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Coordenadas esféricas

As coordenadas cartesianas são as melhores, mas não são as únicas. Para determinar o vetor , que vai da origem

ao ponto , podemos dar as três componentes cartesianas de , que vêm a ser as três coordenadas cartesianas de

, mas também podemos dar o tamanho do vetor, sua direção e seu sentido. Ou seja, o módulo e dois

ângulos que podem ser os ângulos e da figura. As coordenadas esféricas do ponto são, então, , e .

A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por

sendo as inversas dadas por

As coordenadas cartesianas referem-se à base fixa formada pelos vetores unitários , e . De fato, o vetor de

posição , que termina no ponto , tem projeções ao longo dos eixos dessa base que são exatamente as

coordenadas de . Note-se que

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18/09/2010http://fma.if.usp.br/~fleming/diffeo/node4.html

Qual será a base que, para as coordenadas esféricas, desempenha o papel da base , , ? A pista está dada pelas

equações acima: devemos procurar os vetores que são os gradientes das funções , ,

.

Temos:

Logo, temos o primeiro vetor da base,

Analogamente, podemos calcular :

Finalmente, calculamos :

Verifica-se sem qualquer dificuldade que os vetores , e são ortogonais, e que é unitário. Contudo,

é tal que

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e é tal que

Em princípio não há qualquer problema em usar uma base de vetores não unitários. Porém, uma base ortonormal

tem os seus confortos,2 e então preferimos usar os vetores

Em termos desta base, seja um vetor que começa no ponto . Então podemos escrever

ou

Como um exemplo não-trivial do uso de coordenadas curvilíneas, vamos tratar do problema de Kepler (Terra em redor do Sol). Como se sabe, a trajetória de uma planeta está contida num plano que também contém o Sol. Assim, podemos, sem perda de generalidade, considerar o problema como sendo bidimensional o que nos permite utilizar coordenadas polares no plano.

A conexão entre as coordenadas polares e as cartesianas é dada pelas fórmulas

e pelas inversas

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Seja um vetor de posição. Como mostra a figura, suas componentes ao longo dos eixos e são

as coordenadas do ponto localizado na sua extremidade. Seja este ponto, e um ponto muito próximo,

de coordenadas . Se denota o vetor de a , temos

Se denotarmos por o quadrado da distância entre e , temos

Para construir uma base apropriada para as coordenadas polares, vamos calcular e :

ou seja,

Para ter uma base ortonormal, escolhemos

isto é,

Diferentemente de e , os vetores da base adaptada às coordenadas polares (Cartan falava na ``base natural'' das

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coordenadas polares) não são constantes. Fala-se, então, numa ``base móvel'', ou ``referencial móvel'' (moving frame). Já que são funções, calculemos suas diferenciais:

Estes dois vetores podem ser expandidos na base formada por e . Usando a notação de Cartan, pomos

Antes de prosseguir no cálculo, vamos fazer uma digressão sobre coordenadas curvilíneas num contexto um pouco mais geral.

Sejam ( , coordenadas curvilíneas num espaço que admite um sistema de coordenadas cartesianas. A expressão das

em termos das coordenadas cartesianas é conhecida. Construímos, calculando os gradientes das funções e normalizando, os

vetores , ( ), tais que

Diferenciando ambos os membros, temos

ou

Ora,

logo,

e, como , temos

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que dá

Daqui se conclui que

Vemos que as expressões em (43) podem ser simplificadas, pois e .

Para calcular , lembremo-nos de que, numa base ortonormal,

Comparando com (44), chegamos a

O produro escalar acima é facil de calcular:

Conclui-se então que

e que, portanto,

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