iteatlaxcala.inea.gob.mxiteatlaxcala.inea.gob.mx/SEducativos/Modul/AVANZADO... · Coordinación académica María Esther Amador Gómez Autoría María Esther Amador Gómez Revisión

Educación para la Vida y el Trabajo • CienciasEducación para la Vida y el Trabajo • Matemáticas

Libro del adulto

Queda prohibido su uso para fines distintos a los establecidos en el programa.

Coordinación académica María Esther Amador Gómez Autoría María Esther Amador Gómez Revisión de contenidos Rosa Elvira Páez Luis Ramírez Flores María de Lourdes Aravedo Reséndiz Sofía Arce y Paredes Rubén Gutiérrez Ramos Alonso Carrillo García

Coordinación gráfica y cuidado de la edición Greta Sánchez Muñoz Adriana Barraza Hernández Seguimiento editorial Tania Fernández Urías María del Carmen Cano Aguilar Revisión editorial Felipe Sierra Beamonte Laura Sainz Olivares Diagramación Abraham Menes Núñez Jesús García Morales

Diseño e ilustración de portada Ricardo Figueroa Cisneros Ilustración María Isabel Gómez Guízar Ricardo Pérez Rovira Gabriel Loyo Romero Ricardo Martínez Hernández Maya Selene García López Alejandro Villalobos González Ismael David Nieto Vital Bruno López Mario Grimaldo González Víctor Sandoval Ibáñez Fotografía Pedro Hiriart y Valencia Este material tiene como antecedente los contenidos de la primera y segunda edición. Primera edición.- Coordinación académica: Araceli Limón Segovia. Autoría: Araceli Limón Segovia, Marco Antonio García Juárez, Patricia Limón Segovia, María Mireya Torres Galicia. Colaboradoras: Irma Susana Millán Rojano, Carlos Nicanor Ramos. Revisión de actividades: Rosa Emma González Bernal. Revisión de estilo: José Luis Chagolla Remigio. Lectoras: Fabiola Rubí Márquez Hernández, Mónica Edith Villanueva Vilchis. Coordinación gráfica y cuidado de la edición: Greta Sánchez Muñoz, Laura Sainz Olivares. Diseño: Jaime Baldenegro M., Ricardo Figueroa Cisneros. Diagramación: Gustavo Amador R. Ilustración: José Luis Novoa, Jonathan González, Alejandro Salazar. Fotografía: Pedro Tzontémoc, Christa Cowrie. Segunda edición.- Coordinación académica: Araceli Limón Segovia, Marco Antonio García Juárez. Actualización de contenidos: Araceli Limón Segovia, Marco Antonio García Juárez, Rosa Emma González Bernal. Revisores: Alicia Ávila Storer, Hugo Espinosa, María de Lourdes Aravedo Reséndiz. Coordinación gráfica y cuidado de la edición: Greta Sánchez Muñoz, Adriana Barraza Hernández, Guadalupe Pacheco Marcos. Revisión de estilo: José Luis Moreno Borbolla. Diseño y formación: Rocío Mireles. Fotografía: Pedro Tzontémoc, Christa Cowrie, Raúl Cano, Dante Bucio. Operaciones avanzadas. Libro del adulto. D.R. 2000 ©Instituto Nacional para la Educación de los Adultos INEA. Francisco Márquez 160, Col. Condesa, México, D.F., C.P. 06140. 3ª edición 2007. Esta obra es propiedad intelectual de su autora y los derechos de publicación han sido legalmente transferidos al INEA. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita de su legítimo titular de derechos. Algunas veces no fue posible encontrar la propiedad de los derechos de algunos textos aquí reproducidos. La intención nunca ha sido la de dañar el patrimonio de persona u organización alguna, simplemente el de ayudar a personas sin educación básica y sin fines de lucro. Si usted conoce la fuente de alguna referencia sin crédito, agradeceremos establecer contacto con nosotros para otorgar el crédito correspondiente. ISBN Modelo Educación para la Vida y el Trabajo. Obra completa: 970-23-0274-9 ISBN Operaciones avanzadas. Libro del adulto: 970-23-0700-7 Impreso en México

Secretaría de Educación Pública

Dirección General de INEA

Dirección Académica

Índice

Estimada persona joven o adulta 6

Propósitos del módulo 7

Estructura del módulo 8

Recomendaciones generales 13

UNIDAD 1 Números con signo 14

1. Fríoocaliente 16

NúmeroscoNsigNos

2. Laatmósfera 25

sumayrestadeNúmeroscoNsigNo

3. ¿enabonos? 33

muLtipLicacióNydivisióNdeNúmeroscoNsigNo

autoevaluacióndelaunidad1 42

UNIDAD 2 Aplicaciones de los números con signo 44

4. Losmeridianos 46

pLaNocartesiaNo

5. “pirámide”,¿negocioofraude? 54

poteNcias

6. alimentosyenergía 65

JerarquíadeoperacioNes

7. Nanotecnología 72

NotacióNcieNtíFica


3

4

UNIDAD 3 Expresiones algebraicas 78

8. eltrabajodedonchuy 80 usodeLasLiteraLes

9. underechociudadano 90 reguLaridadesypatroNes

10. Laexperienciahaceladiferencia 103 usodeLLeNguaJeaLgebraico


UNIDAD 4 Ecuaciones de primer grado 114

11. conunpocodeingenio 116 NocióNdeecuacióN

12. elcambio 122 ecuacioNesdeLaFormax + a = b y a – x = b

13. aguamalgastada 130 ecuacioNesdeLaFormaax = b y

x

a = b

14. grandesconstrucciones 140 ecuacioNesdeLaFormaax + b = c y

x

a + b = c


UNIDAD 5 Relaciones en plano cartesiano 154

15. botellallena 156

probLemascoNdosvariabLes

16. ¡Factura! 163

gráFicadeLareLacióNeNtredosvariabLes

17. ¿cuálleconvienemás? 171

probLemascoNdosvariabLes


5

UNIDAD 6 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas 182

18. yoloxóchitl 184resoLucióNdesistemasdedosecuacioNescoNdosiNcógNitasporLosmétodosdesustitucióNydesumayresta

19. Latiendafamiliar 195 resoLucióNdesistemasdedosecuacioNescoNdosiNcógNitas

porLosmétodosdesustitucióN,desumayrestaygráFico


UNIDAD 7 Monomios y polinomios 210

20. cuandoelríocorre 212 NocióNdemoNomioypoLiNomio

21. carpetas 218 sumayrestademoNomiosypoLiNomios

22. reparticióndetierra 225 muLtipLicacióNdemoNomiosydeuNpoLiNomio

poruNmoNomio


UNIDAD 8 Teorema de Pitágoras 234

23. evalúesumasacorporal 236 poteNciascuadradas

24. grandespuentes 243 teoremadepitágoras


Autoevaluación del módulo 254Respuestas del módulo 268Respuestas a la Autoevaluación del módulo 345

6

Estimada persona joven o adulta

Nos da gusto que haya

decidido continuar sus estudios

de educación básica en el

Instituto Nacional para la

Educación de los Adultos.

Usted ha elegido el módulo

Operaciones avanzadas.

Al resolver las actividades

que en él se plantean,

aplicará lo que ha aprendido

en su vida diaria.

7

Propósitos del módulo

enestemódulo,usted:

• Leerá,escribiráycompararánúmerosconsigno.

• realizaráoperacionesdenúmerosconsigno.

• emplearáelplanocartesianoparaubicarpuntosapartirdesuscoordenadas,

yviceversa,apartirdeunpuntoencontrarálascoordenadas.

• conocerá el lenguaje algebraico y utilizará letras para representar

variables.

• resolveráproblemasque involucranelplanteamientoy la resoluciónde

ecuacionessencillasdeprimergradoconunaincógnita.

• resolveráproblemasque involucranelplanteamientoy la resoluciónde

sistemasdedosecuacionescondosincógnitas.

• resolverásistemasdedosecuacionescondosincógnitasporlosmétodosde

sustitución,sumayrestaygráfico.

• resolveráproblemasaplicandoelteoremadepitágoras.

8

Estructura del móduloEl módulo Operaciones avanzadas contiene los siguientes materiales:

Libro del adulto

Las unidades que conforman el Libro del adulto se integran con actividades

relacionadas con situaciones de la vida cotidiana.

Las actividades se identifican con un logo que permite visualizar la principal tarea

matemática a desarrollar:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

c

M-M+

Mr

%x

7 8 9

4 5 6

1 2 3

. 0 =

+

on off

9

Propósito:enuncialoqueseesperaqueusted

logrealrealizarlasactividades.

Número y nombre:identificanlaactividad.

Recuperar y compartir experiencias:se

realizan preguntas relacionadas con diversas

actividadesdondeseutilizaelcontenidoatratar.

Presentación: información breve que da la

oportunidaddesaberalgomássobreunhechoo

situaciónenlaquesevaatrabajarelcontenido.

Situación problemática inicial:sepresenta

unasituaciónqueustedresuelveconsuspropias

estrategias.

Cómo resuelve otra u otras personas una

situación similar: seincluyenejemplosde

cómootrapersonaresuelveunproblemasimilar

alpropuestoinicialmente.

Resolvamos otros problemas:ustedresolverá

problemas en los que requiere aplicar lo

aprendidoeneldesarrollodelaactividad.

10

Cierre:presentainformaciónsobreelcontenido

matemáticodesarrolladoenlaactividad.

Autoevaluación de la unidad:enestasección

usted resolverá problemas que requieren que

apliqueloaprendidoenlaunidadcorrespondiente,

conloqueustedpodráautoevaluarsusaprendizajes

altérminodecadaunidad.

11

Autoevaluación del módulo:enestasección

usted resolverá problemas que requieren que

aplique lo aprendido al estudiar el módulo

Operaciones avanzadas.

Compare sus respuestas: presentalasrespuestascorrectasalaspreguntasyproblemasdecada

actividad,asícomolasrespuestasalaautoevaluacióndecadaunidad.

Respuestas a la Autoevaluación del módulo:presentalasrespuestascorrectasalosproblemas

planteadosenlaautoevaluacióndelmódulo.

Hoja de avances:enestahojasuasesorregistrarálosavancesqueustedtienealdesarrollarlas

actividadesdecadaunidad.

Nodesprendaestahojadesulibroporqueselapediránalpresentarsuexamendeacreditación

delmódulo.

elLibrodeladultorelacionalosmaterialesdelmódulo,indicacuándoutilizarlacalculadora,

realizarunalecturadelarevistaojugar.

12

Revista Lecturas de matemáticas

contienelecturasrelacionadasconlahistoriadelasmatemáticas,laexistenciaderegularidades

ylautilidadquetienenennuestravidacotidiana.

Folleto de juegos

contienejuegosquelepermitirándesarrollarsushabilidadesymejorarsusestrategiaspararesolver

problemasrelacionadoscontemasdelmóduloOperaciones avanzadas.

Calculadora y regla

La calculadora es un instrumento que usted utilizará para hacer cuentas y verificar sus

resultados.

Lareglaesuninstrumentobásicoparatrazarlíneas.enestemódulolarequerirácontinuamente

enlaelaboracióndegráficas.

Guía del asesor

contieneorientacionesgeneralessobresuaprendizaje.déselaasuasesor.

Al recibir su módulo Operaciones avanzadas revise su contenido, si le falta

algún material, solicítelo a su asesor, promotor de la Plaza comunitaria o

técnico docente.

13

Recomendaciones generales

• Lea con cuidado la actividad que va a resolver.

• Si es posible, comente con sus compañeros y su asesor o asesora de qué trata la actividad y cómo

resuelve usted los problemas que se proponen en ella.

• Resuelva las actividades y al término de cada una verifique sus respuestas en la sección

Compare sus respuestas del Libro del adulto.

• Utilice la Revista Lecturas de matemáticas, el Folleto de juegos, la calculadora y la regla

cuando se le indique en este libro.

• Al terminar de resolver los problemas de una unidad, conteste en el Libro del adulto la

autoevaluación de la unidad correspondiente y compare sus respuestas con las que se

incluyen en este libro.

• Al concluir todas las actividades, resuelva la Autoevaluación del módulo. Al final del libro

encontrará las respuestas a la autoevaluación.

Recuerde consultar a su

asesor si tiene dudas sobre

un tema en particular.

Recuerde consultar a su asesor si tiene dudas sobre una actividad en

particular.

Para que obtenga el mejor

resultado al trabajar este módulo,

le sugerimos lo siguiente:

UNIDAD 1UNIDAD 1Números con signo

En esta unidad, usted:

• Leerá, escribirá y comparará números con signo.

• Sumará y restará números con signo.

• Multiplicará y dividirá números con signo.

16

Operaciones avanzadas Unidad 1 Números con signo

¿Cómo es el clima del lugar donde usted vive? ¿Es frío o caliente? ¿Alguna vez ha tiritado

de frío o se ha sentido de mal humor por el calor? Comente con su asesor.

El clima en nuestro planeta es variable; por ejemplo, en algunos lugares de Chihuahua hay tem-

poradas en que se registran temperaturas de 48 °C (centígrados), y otras en las que se llega hasta

8 °C bajo cero.

1 Observe las temperaturas registradas en un día de invierno en distintos lugares de la República

mexicana. Después conteste las preguntas que se plantean.

Propósito: Usted leerá, escribirá y comparará números con signo.

Actividad 1 Frío o caliente

-20

-10

0

10

20

30

°C

Chihuahua

-20

-10

0

10

20

30

Distrito Federal

°C

-20

-10

0

10

20

30

San Luis Potosí

°C

-20

-10

0

10

20

30

Saltillo

°C

-20

-10

0

10

20

30

Cuernavaca

°C

17


A) ¿Qué ciudad tuvo la temperatura más alta el día que se realizaron dichos registros?

¿Cuál la más baja?

B) ¿Qué ciudad tuvo una temperatura igual a cero grados centígrados?

C) ¿Qué ciudades tuvieron temperaturas más altas que Saltillo y San Luis Potosí?

D) ¿Qué significa que una ciudad, comunidad o región tenga una temperatura bajo cero?

E) ¿De qué otra manera puede usted escribir 2 °C bajo cero?

F) Comente con sus compañeros y asesor el tipo de problemas que enfrentan los habitantes de

un lugar con una temperatura bajo cero.

18


si tuvo alguna dificultad para contestar las preguntas anteriores, observe el razonamiento de

Juanyandrésalleerunanoticiadelperiódico.

¡Vamos a ver! Si dijera 13 °C, significaría que

está por arriba del cero, es decir, positiva

y que puede escribirse como 113 °C, pero

como dice 13 °C bajo cero significa que la

temperatura está por debajo del cero y se

puede escribir como 213 °C.

Tienes razón, pero,

¿eso quiere decir que la

temperatura en Quebec,

Canadá, es mucho más

baja que en las ciudades

mexicanas?

Fuente:periódicoEl Universal,domingo6demarzode2005,p.1J.

19


Resolvamos otros problemas

2 useelsigno1pararepresentartemperaturasarribadelceroyelsigno2pararepresentar

temperaturasbajocero.

a) 3 °carribadelcero

b) 18 °cbajocero

c) 40 °cbajocero

d) 1 °cbajocero

e) 2 °carribadecero

F) 36 °carribadecero

-20

-10

0

10

20

30

40

50°C

Así es, ve el termómetro, 213 °C está por

abajo de 24 °C, que es de las temperaturas

más bajas registradas en nuestro país.

Y mucho más baja que 8 °C, que es la

temperatura registrada en un día de invierno

en la capital de la República mexicana.

20


3 Losrefrigeradorescaserosconservanlosalimentosa24 °c(centígrados).¿esunatemperatura

arriba de cero o bajo cero?

¿porqué?

4 elplanetatierratieneunacapadegasesllamadaatmósfera,sinestacapalatemperaturadela

tierraseríaaproximadamentede218°c.¿estaríaporabajooporarribadelatemperaturaala

queustedestáacostumbrado?

5 ordenedemayoramenorlassiguientestemperaturas,todasengradoscentígrados:16,28,

0,216,7,140,100,22,21,3,19,2.

6 La temperaturaa laquehierveelaguaes100 °cya laque secongelaes0 °c.escriba

las temperaturas usando el signo 1 si es mayor que cero y el 2 si es menor que cero.

• Losnúmeros naturalessonel1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...

• Los números enteros incluyen a los naturales, al cero y a los números negativos:

...26,25,24,23,22,21,0,1,2,3,4,5,6,....

• Losnúmeros positivospuedenonoserprecedidosporelsigno+.

por ejemplo: 15, 19, 1234, 47, 8 945 son números positivos. y, generalmente

representanunaumentooincremento.

• Losnúmeros negativossiemprevanprecedidosdelsigno2.porejemplo:26,29,

247,2678 sonnúmerosnegativos. ygeneralmente seutilizanpara representaruna

disminuciónodecremento,unadeuda,unapérdida,etcétera.

21


analicelasiguienteinformaciónyrealiceloquesepide.

sedicequehaydéficitcuandolosgastosdeunapersona,

familia o sociedad son mayores a la cantidad de dinero

queganaorequiereparasatisfacersusnecesidades.

porelcontrario,sedicequehaysuperávitcuandolosingresossonmayoresalosgastos.

elcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariaurbanaesde$20.90.

a) ¿quétipodeinformaciónsepresentaenlatabla?

b) ¿quégrupogastamásenalimentosporpersonaaldía?

¿cuálmenos?

c) ¿Haypalabrasenlatablacuyosignificadonoconozcausted?

¿cuáles?

La pobreza alimentaria de los no pobres of iciales

GruposGasto Alimentario (GA)

por persona al día$

Déf icit o superávit con relación al Costo por Persona de la Canasta Normativa Alimentaria

(CCNA)$

Medio urbano3 10.70 210.204 12.20 28.705 14.40 26.506 14.50 26.407 16.90 24.008 18.90 22.009 22.50 1.60

10 32.80 11.90

Fuente:periódicoLa Jornada,viernes11deoctubrede2002,p.28,economía.

22


d) busqueensudiccionarioycomenteconsuasesor

oasesoraelsignificadodealgunostérminosde

latabla.

e) ¿quénúmerosnegativosidentificaenlatabla?

¿quérepresentaelsigno2enelcontextodela

informacióndadaenlatabla?

F) ¿quérepresentanlascantidadespositivas?

g) ¿quécantidaddedinerorequierenlosintegrantesdelgrupo8paracubrirelcostoporpersona

delacanastaNormativaalimentariaurbana?

8 elcostodelacanastaNormativaalimentariaruralesde$15.40.siunapersonasólotiene

$8.20paracomidaaldía,¿quécantidaddedinerolefaltaparacubrirelmínimosupuesto?

a) ¿quésignolecolocaríapararepresentarlo?escribalacantidadusandodichosigno.

9 ordenedemenoramayorlossiguientesnúmeros:

26.4,11.9,24.0,22.0,28.7,1.6,210.2,26.5,27.8,5.7,22.9,25.5,4.0

a) ahora,ubíquelosenlasiguienterectanumérica.

b) ¿quénúmerosestánalamismadistanciadelceroperoensentidosopuestos?

212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

23


10 siustedgasta$35.00aldíaygana$35.00pordía,¿cuántodinerolequeda?

11 coloqueelsímbolo=(igual),>(mayorque)o<(menorque)entrecadapardenúmeros:

26.4 11.9 24.0 22.0 28.7 1.6

210.2 26.5 27.8 5.7 22.9 25.5

28.7 28.7 1.6 26.4 26.5 25.7

4.0 24.0 11.9 11.9 24.0 24.0

11.9 28.7 25.5 22.0 210.2 5.7

12 escribaunposiblenúmerosegúnloindiqueelsímbolo> (mayor que)o<(menorque).

9.3 > 28.9< 0 <

0 > 17.8> 223.9<

• Losnúmerospositivosynegativossonllamadosnúmerosconsigno.

• Los números con signo pueden ser representados en la recta numérica de la forma

siguiente:

• elceromarcaladivisiónentrelosnúmerosnegativosypositivos.alaizquierdadelcerose

representanlosnegativosyaladerechadelcero,lospositivos.

01 2 3 44 3 2 1

12

121

4

14

24


• elceronoespositivoninegativo.

• Losnúmerosdecimalescomo1.2ó23.5seencuentranentredosnúmerosenteros:

• Los números que tienen signo positivo se leen anteponiendo la palabra “más”. por

ejemplo,125seleemásveinticinco.

• Losnúmerosquetienensignonegativoseleenanteponiendolapalabra“menos”.por

ejemplo,27seleemenossiete.

• cadanúmerosobrelarectanuméricatieneunsimétrico,yesaquelqueseencuentra

a la misma distancia del cero que el número inicial, pero en sentido opuesto. por

ejemplo,al116lecorrespondeelnúmero216,yviceversa.

• cadapuntodelarectanuméricarepresentaunnúmero.

• sihaydospuntosaybenlarectanumérica,puedensucedertrescosas:

- siasesobreponea b,entoncesa=b.

- siaestáaladerechadeb,entoncesa>b.

- siaestáalaizquierdadeb,entoncesa<b.

Lossímbolossignifican:=(igual),>(mayorque)y<(menorque)

4 3 2 11.53.5

0 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18160

25


¿sabeaquéalturaconrespectoalniveldelmarviveusted?¿algunavezhasentidolos

efectosdelcambiodepresiónydetemperaturaalviajardeunlugaraotro?comente

consuasesoroasesora.

elplanetatierra tieneunacapagaseosa llamadaatmósfera.Laatmósferaejerceunapresión

sobrelatierraytodoloqueenellaseencuentra;además,regulalatemperaturaenlasuperficie

delatierra.

1 Lealasiguienteinformación.

Latemperaturaylapresióndelairecambianconlaaltura(altitud).aunquelatemperaturano

dependesólodelaaltura,sinodeltipodesueloydelasnubes,entreotrosfactores.

Propósito: Sumará y restará números con signo.

Actividad 2La atmósfera

26


conbaseenlainformaciónanterior,contestelassiguientespreguntas.

a) ¿a qué altura con respecto al nivel del mar hay mayor presión

atmosférica?

b) ¿aquéalturaconrespectoalniveldelmaresposibleencontraruna

temperaturade217.5 °c?

c) ¿cuálesladiferenciaentrelatemperaturamedidaa2 000metrosde

alturaylamedidaa5 000?

d) ¿cuálesladiferenciaentrelatemperaturamedidaa5 000 metros

dealturaylamedidaa8 000?

e) unaviónregistróunatemperaturaambientalexternade211 °cy

unosminutosmástardeaumentó13 °c.¿quétemperaturaalcanzó

el ambiente externo? ¿estaba subiendo o bajando el

avión?

0

10

- 10

- 20

- 30

- 40

°C

Altura en metros con respecto al nivel del mar

Presión en milímetros de mercurio (mm Hg)

Temperatura en grados centígrados (°C)

8 000 266.9 237.0

6 000 353.8 224.0

5 000 405.1 217.5

4 000 462.3 211.0

3 000 525.8 24.5

2 000 596.2 2.0

1 000 674.1 8.5

0 760 15

Fuente:http:omega.iLce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/102/htm/sec_5.htm

27


si tuvo alguna dificultad para contestar las preguntas anteriores, observe la forma en que lo

hacenmaríayJacinto.

Yo uso una recta numérica para realizar operaciones.

Para sumar (27) 1 (22), coloco mi pluma en 27 y la muevo 2

unidades a la izquierda, pues el 2 tiene un signo negativo. Así

llega al 29, por lo que (27) 1 (22) = 29.

Muy bien, pero si hubieras sumado 12,

hubieras tenido que mover tu pluma 2

unidades a la derecha, (27) 1 (+2) = 25.

Si la temperatura ambiente es 7.5 °C y

necesitamos congelar un alimento a 218 °C,

¿cuántos grados hay de diferencia?

Para saberlo, coloco mi pluma en 7.5 y la

muevo hacia abajo, contando cuántas

unidades hay hasta encontrar el 218.

Esto quiere decir que entre 7.5 °C y 218 °C

hay 25.5 °C de diferencia.

Lo cual se puede representar así:

(17.5) 2 (218) = 25.5

- 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 100

0°

10°

- 10°

- 20°

20°

28



2 Las integrantes de una cooperativa que hace muñecas

compararonlospreciosalosquecomprabanelañopasado

susmaterialesconelprecioalquecompranesteaño.

conbaseenlainformaciónanterior,realiceloquesepide.

a) comparadoconelañopasado,¿cuántomáscuestaelrollodelistónesteaño?

b) ¿cuántobajódeprecioelcarretedehilo? ¿porquéelcambioestárepresentado

conunsignonegativo?

c) ¿cuántodinerogastaránmásesteañoalcomprar2 rollosde listóny4 carretesdehilo?

d) ¿porquéelcambiodelpreciodelpardeojitosestárepresentadopor-----?

e) ¿cuánto dinero más gastarán al comprar5 metros de dubetina y5 docenas de botones?

F) ¿Lacooperativatendráquesubirobajarelpreciodelasmuñecas? ¿porqué?

Material Cantidad Año anterior$

Año actual$

Variación$

Listón rollo 75 89 114

Botones docena 6 5 21

Tafetán (tela) metro 8 10 12

Dubetina (tela) metro 25 31 16

Ojitos par 3 3 ----

Hilo carrete 7 5 22

29


elvalor absoluto deunnúmeroes ladistanciadedichonúmerocon respectoal

origen,esdecir,alcero.porejemplo,elvalorabsolutode8y28es8,porqueambos

seencuentrana8unidadesdelorigen.

parasumar dos números con el mismo signo,sesumanambosnúmerosyse

dejaelmismosigno.

ejemplos.

(19) 1 (17) = 116

(29) 1 (27) = 216

parasumar dos números con signo diferente, se restaelnúmerodemenor

valorabsolutoaldemayorvalorabsolutoysedejaelsignodelnúmerodemayorvalor

absoluto.

ejemplo.

(25) 1 (112) = 17

•

•

•

- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9- 10

0

3 realicelassiguientessumas.

a) (19)1(25)= b)(112)1(8)= c)(23)1(19)=

d) (216)1(235)= e)(142)1(218 )= F)(254)1(289)=

g) (191)1(215)= H)(274)1(348)= i) (2743)1(166)=

30


4 analiceeltalóndepagoderosalíayrealiceloqueselepide.

a) ¿quéconceptosrepresentaningresospararosalía?

b) ¿cuántolepaganpordichosconceptos?

c) ¿porcuántosconceptoslehacendescuentos?

d) ¿cuántoledescuentanentotal?

e) ¿cuántodinerocobrórosalíaenlaquincena?

5 graciasalaatmósfera,latemperaturapromediodelatierraesde15 °c.sinlaatmósfera,

latemperaturadelatierraseríaaproximadamentede218 °c.¿cuántosgradoshabríade

diferenciaenlatierra?

6 Las fechasdenacimientodealgunosmatemáticos importantes son:Fermat,1601n.e.;

gauss,1777n.e.;pitágoras,572a.e.;eratóstenes,273a.e.;pappus,300n.e.;cantor,

1845n.e.;euclides,300a.e.

entradibujodeuntalóndepago.

31


a) en la recta siguiente ubique las fechas de nacimiento en el tiempo. recuerde que el

nacimientodeJesucristofueenelaño0,puesmarcaeliniciodelanuevaera,yquea.e.

significaantesdenuestraerayn.e.significanuestraera.

b) escribalasfechasdenacimientousandolossignos1y2enlugardelassiglasn.e.ya.e.

c) calcule cuántos años han pasado del nacimiento de cada uno de los matemáticos a la

fecha.

Fermat, ; gauss, ; pitágoras, eratóstenes,

;pappus, ;cantor, ;euclides, .

7 estudieycomparelassiguientessumasyrestas.

(19)1(23)=16 (19)2(13)=16

(19)1(13)=112 (19)2(23)=112

(29)1(23)=212 (29)2(13)=212

(29)1(13)=26 (29)2(23)=26

a) ¿quéresultadoobtieneal sumar23a9? ¿ycuál si resta13almismo

número?

b) ¿qué resultadoobtieneal sumar13 a9? ¿y cuál si resta23 almismo

número?

c) ¿esciertoquealsumar13daelmismoresultadoquealrestar23,yquealsumar–3da

elmismoresultadoquealrestar13?

500-500-1500 15000 1000 2000-1000

Gauss, 1777 n.e.

32


pararestar números con signo,secambiaelsignodelsustraendoyseprocedecomo

enlasumadenúmerosconsigno.

ejemplos.

(18) 2 (17) = 1 es igual que (18) + (27) = 1

(29) 2 (24) = 25 es igual que (29) 1 (14) = 25

•

8 realicelassiguientesrestas.

a) (119)2(28)= b)(217)2(18)= c)(239)2(19)=

d) (261)2(235)= e)(142)2(218)= F)(250)2(289)=

g) (196)2(125)= H)(247)2(34)= i)(2743)2(166)=

enresumen:

parasumardosnúmerosdeigualsigno,sesumanyquedaelmismosigno.

ejemplo.

(239)1(210)=249

parasumardosnúmerosdediferentesigno,serestaelnúmerodemenorvalorabsolutoal

demayorvalorabsolutoyquedaelsignodelnúmerodemayorvalorabsoluto.

ejemplo.

(245)1(125)=220

para restarnúmeros con signo, se cambia el signodel sustraendo (en formamental o

escrita)yseprocedecomoconlasuma.

ejemplo.

pararestar:

minuendo 219 2192

sisecambia1

sustraendo 27 enformaescrita 1 7

resta o diferencia 212 212

•

33


¿Hacompradoustedacréditooenabonos? ¿Lospagosqueha realizado son fijose

iguales?comenteconsuasesoroasesora.

en ocasiones, la poca liquidez de nuestra economía nos obliga a comprar cosas en abonos.

generalmente,lastiendasquevendenenabonosagreganunporcentajedeinterésalpreciofinal

ylodividenenunciertonúmerodepagos.

1 analicelassiguientessituacionesyutilizandonúmerosconsignorealiceloquesepide.

a) siestablececomocerolas0horasdeldíadehoy,¿dóndeubicaría3semanasantesenuna

rectanumérica?

b) ¿dónde8semanasdespués?

¿porqué?

c) escriba3semanasantesusandounnúmeroconsigno ;y8semanasdespués

d) ubique23y18enlasiguienterectanumérica.

e) usandosignos(1y2)representeundepósitoalbancode$100.00

unadeudade$100.00

F) escribaunaoperaciónquerepresentelasiguientesituación:

Juanplaneaahorrar$100.00cadamesdurante6meses.¿cuántodineroahorrará?

Propósito: Usted multiplicará y dividirá números con signo.

Actividad 3¿En abonos?

0

34


g) escribaunaoperaciónquerepresentelasiguientesituación:

Los abonos del televisor son de $100.00. Juan

todavíadebe6pagos,¿cuántodinerodebeJuan?

H) escribaunaoperaciónquerepresentelasiguientesituación:

Juanhaahorrado$100.00cadamesdurantelosúltimos6meses.¿cuántodineromenos

teníahace6meses?

i) escribaunaoperaciónquerepresentelasiguientesituación:

Juanhagastado$100.00cadamesdurantelosúltimos6meses.¿cuántodineromástenía

hace6meses?

35


Los vecinos han ahorrado $300.00

semanales durante las últimas 3 semanas.

¿Cuánto dinero menos tenían hace 3

semanas?

(1300) 3 (23) = 2900

tenían $900.00 menos de lo que ahora

tienen.

¡Mmmmm! Si ahorramos $200.00 a

la semana durante 8 semanas:

(1200) 3 (18) = 1 600

tendremos $1 600.00

analicelosrazonamientosquesilviayricardorealizanantesituacionescomolasanteriores.

Mi hermano Antonio ha gastado

de sus ahorros $600.00 semanales

durante las últimas 5 semanas.

¿Cuánto dinero más tenía antes de

empezar a gastar?

(2600) 3 (25) = 13 000

es decir, tenía $3 000.00 más.

En cambio, los abonos semanales

de la lavadora son de $50.00

y todavía debemos 8 abonos,

¿cuánto debemos aún?

(250) 3 (18) = 2400

es decir, todavía debemos $400.00

36



2 analicesiguienteinformación,despuésrealiceloqueselepide.

sedicequehaydéficitcuandolosgastosdeunapersona,familia,osociedadsonmayoresala

cantidaddedineroqueganaorequiereparasatisfacersusnecesidades.

porelcontrario,sedicequehaysuperávitcuandolosingresossonmayoresalosgastos.

• paramultiplicar dos números que tiene el mismo signo,semultiplicanambosnúmerosyquedasignopositivo.ejemplos. (16)3(18)=148

(29)3(27)=163• para multiplicar dos números que tienen signo diferente, se multiplican

ambosnúmerosyquedasignonegativo.ejemplos. (25) 3 (112) =260

(116)3(215)= 2240

La pobreza alimentaria de los no pobres oficiales

Grupos Gasto Alimentario (GA) porpersona al día

$

Déficit o superávit con relación al Costo por Persona de la Canasta Normativa Alimentaria (CCNA)

$

Medio urbano3 10.70 210.204 12.20 28.705 14.40 26.506 14.50 26.407 16.90 24.008 18.90 22.009 22.50 1.60

10 32.80 11.90

Fuente:periódicoLa Jornada,viernes11deoctubrede2002,p.28,economía.

37


elcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariaurbanaesde$20.90.

a) ¿cuáleselcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariaurbana(ccNa)?

b) ¿cuáleselgastoalimentario(ga)porpersonaaldíadelgrupo5?

c) unapersonadelgrupo5,¿quédéficittieneconrelaciónalccNa?

d) ¿cuáleseldéficitdiariodeunafamiliadelgrupo5quetiene6integrantes?

e) ¿cuáleseldéficitdiariodeunafamiliadelgrupo3quetiene4integrantes?

F) una familia del grupo7 tiene un déficit diario de2$20.00, ¿cuántos integrantes son?

g) una familia del grupo6 tiene un déficit diario de2$38.40, ¿cuántos integrantes son?

H) unafamiliade3integrantestieneundéficitdiariode2$26.10.¿cuálessudéficitdiario

porpersona? ¿aquégrupopertenecelafamilia?

i) ¿cuáleselsuperávitdiariodeunafamiliadelgrupo10quetiene3integrantes?

J) unafamiliadelgrupo9tieneunsuperávitde$11.20diarios,¿cuántosintegrantesson?

38


3 analiceycomparelassiguientesoperaciones,despuéscontestelaspreguntasquesehacen.

(16)3(14)=124 porloque (124)4(16)=14

(26)3(14)=224 porloque (224)4(26)=14

(26)3(24)=124 porloque (124)4(26)=24

(16)3(24)=224 porloque (224)4(16)=24

a) aldividirdosnúmerosquetienenelmismosigno,¿quésignolequedaalcociente(resultado)?

b) aldividirdosnúmerosquetienendiferentesigno,¿quésignolequedaalcociente(resultado)?

observeelrazonamientodeLucyacercadeladivisióndenúmerosconsigno.

Si conozco el producto y uno de los factores de la multipli-

cación, entonces puedo encontrar el factor desconocido

dividiendo el

producto entre el factor conocido.

Esto es: factor 15 factor 3 8 entonces: 120 4 8 = 15 120

Veo que:

(19) 3 (13) = 127 entonces (127) 4 (13) = 19

(29) 3 (13) = 227 entonces (227) 4 (13) = 29

(29) 3 (23) = 127 entonces (127) 4 (23) = 29

(19) 3 (23) = 227 entonces (227) 4 (23) = 19

También observo que al dividir dos números que tienen el mismo signo, el

resultado o cociente lleva signo positivo. Pero al dividir dos números que tienen

signo diferente, el resultado o cociente lleva signo negativo.

39


4 realice mentalmente las siguientes operaciones. después verifique sus resultados con la

calculadora.

a) (19)3(18)=

d) (210)3(130)=

g) (16)3(212)=

J) (260)3(130)=

m) (145)4(25)=

p) (1100)4(125)=

s) (2300)4(215)=

v) (1525)4(25)=

5 analiceeltalóndepagodeestebanycontestelaspreguntas.

a) ¿cuántopagaporsegurosocialalmes?

b) ¿cuántopagadeimpuestosobrelarentaanualmente?

c) ¿cuántocobraalaquincena?

b) (15) 3 (28)=

e) (115) 3 (14)=

H) (134) 3 (24)=

K) (241) 3 (25)=

N) (260)4(13)=

q) (1200)4(225)=

t) (270)4(135)=

W) (2180)4(23)=

c) (29)3(11)=

F) (17)3(210)=

i) (214)3(6)=

L) (120)3(221)=

o) (160)4 (212)=

r) (290)4 (230)=

u) (1120)4 (260)=

X) (2160)4 (220)=

40


Multiplicación

elproductodedosfactoresconelmismosignoespositivo:

(1)3(1)=1

(2)3(2)=1

ejemplos.

(15)3(19)=145

(25)3(29)=145

elproductodedosfactoresconsignodiferenteesnegativo:

(1)3(2)=2

(2)3(1)=2

ejemplos.

(15)3(29)=245

(25)3(19)=245

División

elcocientededosnúmerosconelmismosignoespositivo:

(1)4(1)=1

(2)4(2)=1

ejemplos.

(145)4(19)=15

(245)4(29)=15

elcocientededosnúmerosconsignodiferenteesnegativo:

(1)4(2)=2

(2)4(1)=2

ejemplos.

(145)4(29)=25

(245)4(19)=25

•

•

•

•

41


Para saber más

ensurevistaLecturasdematemáticaslea“Números,númerosymásnúmeros”ycontestelas

siguientespreguntas:

1. ¿cómosellamanlosnúmerosqueusamosparacontar?

2. ¿cómosurgenlosnúmerosfraccionarios?

3. ¿quéotrotipodenúmerosconoceusted?

4. ¿Lepareceinteresantelahistoriadelosnúmeros?

5. ¿seledificultaaustedpensarennúmerosnegativos?

desarrollesushabilidadesdepensamientoresolviendo“Labrecha”ensuFolletodejuegos.


Autoevaluación Unidad 1resuelvalossiguientesproblemas.

1 analicelainformaciónsiguiente.

elcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariaurbanaesde$20.90ydelaruralde

$15.40.Fuente:periódicoLa Jornada,viernes11deoctubrede2002,p.28,economía.

conbaseenlainformaciónanterior,realicelosiguiente.

a) ¿cuáleselcostoporpersonadelacanastaNormativaalimentariarural?

b) ubique en la siguiente rectanumérica losdéficits y superávits alcanzadospor losgrupos

urbanosyrurales.observeelejemplo.

42

La pobreza alimentaria de los no pobres oficiales

Grupo

GastoAlimentario

(GA) porpersona al día

$

Déficit o superávit con relaciónal

Costo por Persona de la Canasta Normativa Alimentaria (CCNA)

$

Grupo

Gasto Alimentario

(GA) porpersona al día

$

Déficit o superávit con relación al Costo por

Persona de la Canasta Normativa Alimentaria

(CCNA)$

Medio urbano Medio rural5 14.40 26.50 5 7.6 27.8

6 14.50 26.40 6 8.2 27.2

7 16.90 24.00 7 9.9 25.5

8 18.90 22.00 8 12.5 22.9

9 22.50 1.60 9 14.6 20.8

10 32.80 11.90 10 21.1 5.7

- 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 80


c) escribalossímbolos>(mayorque)o<(menorque),segúnseaelcaso.

11.9 26.5 27.8 15.7

26.5 26.4 27.2 25.5

20.8 11.6 25.5 15.7

d) unapersonadelgrupo7ruralyotradelgrupo7urbano,¿quédéficittienenjuntas?

e) comparandoelgrupo5delmediourbanoconeldelrural,¿cuáltienemayordéficit?

F) comparandocadagrupodelmediourbanoconsurespectivogruporural,¿cuálmediotiene

mayordéficit?

g) unafamiliade5integrantesdelgrupo8rural,¿quédéficitdiariotiene?

H) una familia del grupo 9 rural tiene un déficit diario de 2$4.00, ¿cuántos integrantes

son?

2 consucalculadora,resuelvalassiguientesoperaciones.

(1234)1(1897)= (1456)1(2983)=

(2895)1(13 456)= (2789)1(28 346)=

(1784)2(1578)= (2984)2(1456)=

(2324)2(21 235)= (1429)2(2342)=

(1379)3(1832)= (2956)3(2123)=

(2735)3(1196)= (1919)3(2548)=

(1894)4(1222)= (2934)4(224)=

(2467)4(1106)= (11 025)4(2125)=

43

44

UNIDAD 2UNIDAD 2 En esta unidad, usted:

• Ubicará puntos en el plano cartesiano a partir de sus coordenadas (x, y); y viceversa, a partir de la posición de un punto en el plano obtendrá las coordenadas correspondientes.

Aplicaciones de los números con signo

45

• Resolverá problemas que involucran potencias.

• Utilizará la jerarquía de operaciones (incluyendo potencias).

• Utilizará la notación científica con exponentes enteros positivos y negativos.

Operaciones avanzadas Unidad 2 Aplicaciones de los números con signo

46

¿sabeustedcómoselocalizanpuntosenlatierra?,¿algunavezhavistounglobo

terráqueo?comenteconsuasesoroasesora.

Propósito: Usted ubicará puntos en el plano cartesiano a partir de sus coordenadas (x, y); y viceversa, a partir de la posición de un punto en el plano obtendrá las coordenadas correspondientes.

Actividad 4Los meridianos

1 Lealasiguienteinformaciónyrealiceloqueselepide.

unaformadelocalizarpuntosenunmapaesutilizandolongitudes,lascualesse

representanconsignopositivosiestánalestedelmeridianodegreenwichynegativosi

estánaloeste.

deigualforma,laslatitudesqueserepresentanconsignopositivoestánalnortedel

ecuadoryconnegativo,alsur.

paralocalizarpuntosenungloboterráqueo,

éstesehadivididoengrados(°),marcados

pormediodelíneas.

Losllamadosmeridianosquevandelpolo

Nortealpolosurindicanlalongitud.el

meridianoprincipalpasaporgreenwich,

inglaterra,ymarcalalongitud0°.

otraslíneascortantransversalmentealglobo

eindicanlalatitud.elecuadormarcala

latitud0°.


47

a) ¿porquésedicequeelpuntoAestáubicadoenlongitud0°,latitud0°?

b) ¿porquésedicequelascoordenadasdelpuntoEsonlongitud75°,latitud220°?

c) ¿porquésedicequelascoordenadasdelpuntoGsonlongitud2135°,latitud110°?

d)¿porquésedicequelascoordenadasdelpuntoHsonlongitud230°,latitud240°?

e)escribalascoordenadasdelossiguientespuntos.

Punto Longitud Latitud

B D F J

-180º 180º-150º 150º-120º 120º-90º 90º-60º 60º-30º 30º0º

0º

30º

60º

90º

-30º

-60º

-90º

A

C

B

D

E

F

G

K

H

I

J

L

M


48

g)elcapitándeunbarcoreportóquesuembarcaciónseencuentraaunalongitud230°yunalatitud210°.ubiqueelbarcoenelmapa.

situvoalgunadificultadpararealizarlosejerciciosanteriores,observeelrazonamientodeteresayFelipe.

Localizar puntos en el mapa es fácil. El Ecuador viene

a ser el eje x y el meridiano de Greenwich el eje y.

Así la longitud indica la coordenada x y la latitud la

coordenada y.

El punto donde se cruza el meridiano de Greenwich

con el Ecuador es el origen, por lo que sus

coordenadas son (0°, 0°).

F) escribalospuntosqueseubicanenlassiguientescoordenadas.

Longitud Latitud Punto

45° 240° 2150° 30° 245° 70° 0° 60° 260° 250°


49

y

x

Meridiano de Greenwich

Ecuador

30º

60º

90º

-30º

-60º

-90º

-180º 180º-150º 150º-120º 120º-90º 90º-60º 60º-30º 30º0º

A

Entonces, para localizar un punto en el mapa,

colocamos la pluma en el origen y lo movemos a la

derecha si la longitud o coordenada x tiene signo

positivo y a la izquierda si es negativo.

De ahí, movemos la pluma hacia arriba si la latitud

o coordenada y tiene signo positivo y hacia abajo

si es negativo.

Desde luego que vamos a mover la pluma tantas

unidades como indique la coordenada.

Por ejemplo,

para localizar en el mapa el punto A cuya

longitud es 290° y latitud es 120°,

se inicia en el punto (0°, 0°), se mueve la pluma

90° a la izquierda y luego se sube 20°.

Vea en el mapa de arriba dónde se localiza

dicho punto.


50


2 indiquecuálessonlascoordenadasdelossiguientespuntos.

A( , ) B ( , ) C ( , )

D ( , ) E ( , ) F ( , )

a) comenteconsuasesoroasesoracómolohizo.

3 ubiqueenelplanoanteriorlossiguientespuntos.

G(7,3) H (28,10) I (9,25) J (29,21)

K (0,9) L (0,24) M (7,0) N(25,29)

a) comenteconsuasesorcómolohizo.

y

x-1 1

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 4 5 6 7 8 9 10-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-3-4-5-6-7-8-9-10

A

D

F

E

B

C


51

4 elplanocartesianoestádivididoen4cuadrantes.observecadaunodeellosenelsiguiente

plano.

conbaseenloqueobservó,realiceloqueseindicaacontinuación.

a) ¿enquécuadranteselocalizaelpunto(6,28)?

b) ¿enquécuadranteselocalizaelpunto(24,21)?

y

x-1 1

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 4 5 6 7 8 9 10-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-3-4-5-6-7-8-9-10

Cuadrante 1

Cuadrante 2

Cuadrante 3

Cuadrante 4

• alejexselellamaejedelasabscisas.

• alejeyselellamaejedelasordenadas.

• enlascoordenadasdeunpuntosiemprevaprimerolaabscisaydespuéslaordenada.

ejemplo.

enelpunto(9,25),laabscisaes9ylaordenada25.


52

c)escribalascoordenadasdeunpuntoqueseencuentre:

enelcuadrantei

enelcuadranteii

enelcuadranteiii

enelcuadranteiv

recuerdequelosnúmerosromanosdel1al10son:

d)elpunto(0,29),¿enquécuadranteseencuentra?

1 i

2 ii

3 iii

4 iv

5 v

6 vi

7 vii

8 viii

9 iX

10 X

• enelcuadranteisiemprehabrápuntoscuyaabscisayordenadaseanpositivas.

• Lospuntosdelcuadranteiisecaracterizanportenerlaabscisanegativaylaordenada

positiva.

• Lascoordenadasdecualquierpuntodelcuadranteiiitendránabscisayordenada

negativas.

• enelcuadranteivhabrápuntosconabscisapositivayordenadanegativa.

• paraubicarunpunto(x,y)enelplanocartesiano,seiniciaenelorigenysecuentan

tantasunidadescomoloindicalaabscisa(x),aladerechasiespositivaoalaizquierda

siesnegativa. deahí,secuentantantasunidadescomoloindiquelaordenada(y),haciaarribasies

positivaohaciaabajosiesnegativa.


53

• paraencontrarlascoordenadasdeunpuntoenelplano,setrazan,enformamental

oescrita,unalíneaparalelaalejedelasabscisasyunalíneaparalelaalejedelas

ordenadasquepasenpordichopunto.

• Lascoordenadasdelpuntoestaránindicadasporloscortesquelaslíneasparalelas

trazadashacenalosrespectivosejes.

y

x-1 1

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 4 5 6 7 8 9 10-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-3-4-5-6-7-8-9-10


54

¿Hasidoustedvíctimadeunfraude?,¿algunavezlehaninvitadoaformarpartede

una“pirámide”enlaqueusteddaunacantidadyselaquintuplican,sextuplican,

etcétera?comenteconsuasesoroasesora.

existenpersonasqueorganizan“pirámides”.siustedquiereformarpartedela“pirámide”,

tienequedarciertacantidaddedinero,ycomprometerseameterotraspersonas.

1 a don eusebio le invitaron a formar una “pirámide” donde le prometieron$5 000.00,

paraellotienequedar$1 000.00.comolevanaquintuplicarsudinero,tienequellevar

a5personasmás.élpensódareldineroquetieneparacomprarmaíz,¿leconviene?

a) analiceelsiguienteesquemaquerepresentacómosevaformandola“pirámide”,

empezandoporunapersona.

b) ¿cuántaspersonashayeneliniciodela“pirámide”? ¿cuántasenelsegundo

escalón? ¿cuántaseneltercero?

Propósito: Resolverá problemas que involucran potencias.

Actividad 5“Pirámide”, ¿negocio o fraude?


55

c) ¿cuántaspersonasserequierenparaformarelcuartoescalóndela“pirámide”?

¿cuántasparaelquinto?

d)¿cuántaspersonassenecesitanparaformareldécimoescalóndela“pirámide”?

¿cómolehizoparasaberlo?

e) ¿cuántaspersonasentotalsenecesitanparaformaruna“pirámide”de10escalones?

F) ¿enlacomunidaddondeustedvivehaytalnúmerodepersonas?

g)¿La“pirámide”esunbuennegociooesunfraude?

¿porqué?

• cuandolosfactoresdeunamultiplicaciónsoniguales,sepuedeescribircomopotencia.

• enunapotencia,labaseindicaelfactoryelexponenteindicacuántasvecessetomaal

númerocomofactor.

ejemplo.

6 3 6 3 6 3 6 3 6 = 65

65 seleecomo“seiselevadoalexponentecinco”

• todonúmeroelevadoalexponenteceroesiguala1.

ejemplo.

50=1


56

observecómohacenpedroyFranciscapararesolverunasituaciónsimilar.

¡Vamos a ver! Para formar una “pirámide” donde cada uno invite

a 8 personas, en el primer escalón va una persona; en el segundo

van 8; en el tercero 8 3 8, es decir, 64 personas, ya que cada uno

de esos 8 invita a otros 8.

En el cuarto escalón 64 3 8, o sea, 512 personas.

¡Claro! Son potencias de 8. El primer escalón es 80 (ocho

elevado al exponente cero); el segundo, 81 (ocho elevado al

exponente uno); el tercero, 82 (ocho elevado al exponente

dos) y así sucesivamente.

Entonces, el número de personas que se requiere para formar

el décimo escalón es 89 (ocho elevado al exponente nueve).


57

Significa que hay que multiplicar:

8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8

y tenemos un total de 134 217 728 personas.

¡Aún no llegamos a esa población en México!

Pero todavía falta, pues si sumamos:

1 1 8 1 64 1 512 1 4 096 1 32 768 1 262 144

1 2 097 152 1 16 777 216 1 134 217 728 = 153 391 689

tenemos que para formar una “pirámide” así requerimos de

153 391 689 personas.


58


2 severinoypedrovanacontratarlarentadeun

tractorporunmes.enlatienda“Labarata”lo

rentana$100.00diariosyen“elcomercio”

cobran$1.00elprimerdía,$2.00elsegundo

día,$4.00eltercerdía,$8.00elcuartodía

yasísucesivamente.¿encuáltiendaconviene

máscontrataryporqué?

a) completelatablaqueseverinousóparaargumentarporqué,segúnél,fuesumejor

elección.

Núm. de días “La barata” “El comercio”

1 $100 $1

2 $100 $2

3 $100 $4

4 $100 $8

5 $100

6 $100

7 $100

8 $100

9 $100

10 $100 $512

Total $1 000 $1 023


59

Yo pagué $511.00 por 9 días en

“El comercio”, porque era lo más

conveniente. Ya que si contrataba

por 10 días, pagaba más en “El

comercio”, como se puede apreciar

en la tabla anterior.

b)analiceelargumentodepedroparatomarsudecisiónydiscutaconsuasesory

compañerosquiéndelosdostomólamejordecisiónyporqué.

Yo contraté en “El comercio” sólo

por los días en que me cobraban

menos de $100.00, puesto que si

pagaba más de $100.00, ya no me

convenía.

c)severinocontratóenlatienda“elcomercio”sólopor9díasyluegocambióa“La

barata”paracompletarelmes;pedrocontratóen“elcomercio”por7díasyluego

cambióa“Labarata”.¿quiéndelosdospagómásyporqué?


60

3 escribalassiguientesmultiplicacionescomopotencias.calculelosresultados.

a)3 3 3 3 3 =

b)9 3 9 3 9 3 9 =

c)(26) 3 (26) 3 (26) =

d)(28) 3 (28) 3 (28) 3 (28) 3 (28) 3 (28) =

e)10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 =

F)2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 =

4 escribalassiguientespotenciascomomultiplicacionesusandopuntosoparéntesis.calculelos

resultados.

a) 94 =

b) 49 =

c) 39 =

d) 93 =

e) 85 =

F) 58 =

• Lamultiplicaciónsepuederepresentarconun·(punto)ousandoparéntesis.

ejemplo.

535 35=5 · 5 · 5 = (5)(5)(5) =125

unadelasventajasesqueenálgebraelsigno3nosevaaconfundirconlaletrax.


61

5 Leaelsiguienteinventariodeunapropiedad.

Juanitatiene9casas;

cadacasatiene9habitaciones;

cadahabitacióntiene9mesas;

encadamesahay9platos;

encadaplatohay9monedasdeoro.

¿cuántasmonedasdeorotieneJuanita?

Observequecadavezquesedisminuyeunexponenteenunaunidad,lapotenciasedivideentre5.Deacuerdoconesto,alpasardelexponente1al0hayquedividir5entre5ydacomoresultado1.

• el5elevadoalexponenteceroesiguala1.

ejemplo.

54 = 625

53 = 125

52 = 25

51 = 5

50 = 1

6 discutaconsuscompañerosporqué80esiguala1.

7 en una comunidad de 2 000 habitantes el párroco

platicó a 3 personas que se retiraría. estas personas

tardaron 20 minutos para platicarlo con otras 3

cada una. a su vez esas personas lo comentaron con

otras3 cada una en los siguientes20 minutos y así

continuaron.¿cuántotiempotardóenenterarsetodala

comunidad?


62

8 a)usandoparéntesis,escribalafórmulaparacalculareláreadeuncuadrado.

b)elladodeuncuadradomide8cm,¿cuálessuárea?

c) ¿cuáleseláreadeuncuadradoquemide9mdelado?

9 a)escribacomopotencialafórmulaparacalcularelvolumendeuncubo.

b) ¿cuáleselvolumendeuncubocuyaaristamide6cm?

c)Laaristadeuncubomide2m,¿cuálessuvolumen?

vértice

cara

arista

• enálgebratambiénseusanletraspararepresentarcantidades.

ejemplos.

a · a=a2

a · a · a =a3

a · a · a · a · a · a · a · a =a8

tambiénelexponentesepuederepresentarconunaletra:

a · a ·... · a =an

locualindicaqueelfactorestáelevadonveces.


63

• Lapotenciaeselresultadoqueseobtienedespuésdeusarelfactortantasvecescomolo

indicaelexponente.

ejemplo.

39 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 19 683

exponente exponente

39 = 19 683 an = a · a · a ··· a

base potencia basenfactores

cuandolabaseesnegativaseprocededelamismaforma:

ejemplo.

(28)2 = (28) 3 (28) =164 porque (2) 3 (2) =1

(25)3 = (25) 3 (25) 3 (25) =2125

porque (2) 3 (2) 3 (2) =2

10 enunhotelantiguo,exclusivoparagenteconfortuna,cobrabancadanocheunacantidad

diferente.elcobropordíaestabadefinidoporpotenciasde4.Laprimeranochecobraban

40monedasdeoro; la segunda,41; la tercera,42; la cuarta,43 y asíhastaque salía el

huésped.

a) ¿cuántasmonedasdeorocobrabanporlaprimeranoche? ¿cuántaspor

lasegunda?

b) ¿cuántasmonedasdeorocobrabanporladécimanoche?


64

Para saber más

ensurevistaLecturasdematemáticaslea“resolverproblemas”ycontestelassiguientes

preguntas.

1. ¿quétipodeproblemasresuelveustedensuvidacotidiana?

2. ¿encuálesdeellosrequiereelusodesusconocimientosmatemáticos?

3. ¿ustedcreequeesverdadquelasmatemáticaspermitenafrontaralgunosproblemasdeuna

maneramásadecuadayeficiente?

4. polyadivideelprocesoderesoluciónencuatroetapas,¿cuálessonesasetapas?

5. ¿quéimportanciatieneelcomprenderelproblema?

resuelvalosacertijosde“Laterminaldeautobuses”ensuFolletodejuegos,despuéscontestela

siguientepregunta.

1. ¿cuálacertijoleexigiómayorrazonamiento?


65

¿comeustedadecuadamente?,¿sabíaustedquelosalimentosnosaportanenergíayque

laenergíaqueconsumimossemideenkilocalorías?comenteconsuasesoroasesora.

cuandocomemosobtenemosenergíaparapodermovernosyreparareldesgasteconstanteque

sufreelcuerpo.unaalimentaciónnoadecuadatraecomoconsecuenciasladesnutriciónyla

obesidad,entreotrosproblemas.

1 ofeliayJorgequierenconocerlacantidaddekilocaloríasquedebenconsumiraldía.

teniendoencuentasusexo,talla,edadypeso,ellosencontraronquelapuedencalcularconlas

siguientesfórmulas.

mujeres: kilocalorías = 665 1 9.56 3 pesoenkg 11.85

3 tallaencm 24.68 3edad

más25%delresultadoobtenido.

Hombres: kilocalorías = 66.5 1 13.75 3 pesoenkg15

3 tallaencm26.78 3edad


Propósito: Usted utilizará la jerarquía de operaciones (incluyendo potencias).

Actividad 6 Alimentos y energía

Peso Talla Edad

ofelia 68kilogramos 155cm 35 años

Jorge 79kilogramos 166 cm 40 años


66

situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,observelaformaenqueyolandacalculalaskilocaloríasquepuedeconsumir.

porloqueellosllegaronalosiguiente:

ofelia:kilocalorías=665 1 9.56 3 68 11.85 3 155 2 4.68 3 35


Jorge: kilocalorías=66.5 1 13.75 3 79 1 5 3 166 2 6.78 3 40


conbaseenlainformaciónanteriorrealicelosiguiente.

a) calculelaskilocaloríascorrespondientesaofeliaantesdeaumentarleel25%.

b)calculelaskilocaloríascorrespondientesaJorgeantesdeaumentarleel25%.

c)analicelosresultadosalosquellegaronofeliayJorgeenunprimerintento:

paraofelia: 248855056.5 kilocalorías

paraJorge: 52267666 kilocalorías

d)¿sonresultadoscorrectos? ¿dóndepuedeestarelerrorsielloshicieron

lasoperacionesdecorrido?

e) ¿cuántaskilocaloríaspuedeconsumirofeliaaldía?

F) ¿cuántaskilocaloríasdiariopuedeconsumirJorge?

¡Cuidado al realizar las operaciones con la calculadora! Puede obtener

un resultado diferente al de su compañero, esto depende de cómo estén

programadas sus calculadoras.


67

Primero, realizo las multiplicaciones:

665 1 602.28 1 301.55 2 163.8 =

Luego, sumas y restas y resulta:1 405.03.

Calculo el 25 %, que es igual a 351.25, y lo sumo.

Yo puedo consumir 1 756.28 kilocalorías.


2 analicelasiguienteinformaciónyrealiceloquesepide.

Hayotrasformasdecalcularlacantidaddeenergíaqueserequiere.yaquesilapersonarealiza

unaactividadfuerterequieredemayorenergía.

margaritallevaunaactividadintensa,porloqueellatienequecalcularsupesoconla

siguientefórmula:

mujeresconactividadintensa:(8.7 3 pesoenkilos 1 829) 3 1.82

Fuente:saludaliainteractiva©copyright2000

margarita:(8.7 3 60 1 829) 3 1.82

a) ¿quéindicaelparéntesisenlafórmula?

b) ¿cuáleslacantidaddekilocaloríasquepuedeconsumirmargarita?

c)simultiplica8.7 3 60y829 3 1.82 yluegosuma,¿quéresultadoleda?

¿porquénoescorrectohacerloasí?

De acuerdo con mis datos, las operaciones son:

kilocalorías = 665 1 9.56 3 63 11.85 3 163 2 4.68 3 35

más 25 % del resultado obtenido.


68

3 bernardollevalacontabilidaddeelectrodomésticosquetransportaelferrocarrilquesalecada

findemes.élanotaloquesaleyloquedejaencadaestaciónhastallegaralabodega.

Lassiguientesoperacionesindicanlosucedidoenlacargaydescargadeaparatos.

30 3 10 2 5 3 10 1 20 3 5 1 20 2 6 1 253 2 3 3 252

a) realicelasoperacionesparasabercuántosaparatosllegaronalabodega.

analicelasrespuestasquedan3personas.

demetrio: Llegaron5 816 013 750aparatos,porque253es25 3 25 3 25;de

lamismaforma252es25 3 25.porloquehicetodaslasoperacionesde

corridoyalllegaral253 multipliqué 25 3 25 3 25.Hicealgoparecido

con252.

Julio: Llegaron14 114,porqueprimerohayquecalcularlaspotencias,despuéshay

quehacerlasmultiplicacionesydivisiones(sihay),yalúltimolassumasylas

restas.

daniel: Llegaron28 614aparatos,porqueprimerohayquecalcularlaspotenciasy

despuéshacertodaslasdemásoperacionesdecorrido.

b) ¿quiéndelos3estáenlocorrecto?

¿porqué?


69

4 analicelainformacióndelatablasiguiente.

a) 20 2 6

b) 30 3 10 – 5 3 10

c) 20 3 5

d) 253 2 3 3 252

1. unvagóncontenía25cajonescon25cajasde

25estéreoscadauna.descargaron3cajonesen

unaestacióndepaso.

2. enunvagónllevaban20cajascon5pantallas

cadauna.

3. enunaestacióndepasodescargarondeunvagón

6lavadorasdelas20quecargaronenellugarde

origen.

4. enunvagóncargaron30cajascon10televisores

cadaunaydejaron5cajasenunaestación.

c)relacionelaoperaciónuoperacionesconlasituaciónquesedescribe.

Consumo promedio de agua en actividades domésticas

Acción Gasto de agua

Baño con regadera (20 minutos) 140 litros

Baño con regadera economizadora 290 litros que una común

Lavarse los dientes (3 minutos) 20 litros

Barrer la calle con la manguera (15 minutos) 5.25 litros

Lavar los trastes (30 minutos) 210 litros

Descarga del sanitario 10 litros

Una carga de lavadora automática 200 litro


70

conbaseenlainformaciónanteriorescribalasoperacionesquedescribenlassiguientes

situaciones.

a) LafamiliaFernández,compuestapor3personas,sebañadiarioconunaregadera

común,selavalosdientes3vecesaldía,lavalostrastes3vecesaldíayusanel

sanitario6vecescadaunoaldía.¿cuántaaguagastaaldíalafamiliaFernández?

b)realicelasoperacionesycompruebesusrespuestas.

c)enlafamiliadeantoniahay9integrantes,ellosusanunaregadera

economizadora,perolavandiario2cargasderopa,lavanlostrastes5vecesal

día,selavanlosdientes2vecesaldíay5integrantesusanelsanitario4veces

aldía,elrestosólo3veces.¿cuántaaguagastaaldíalafamiliadeantonia?

d)realicelasoperacionesycompruebesusrespuestas.

paramayorinformacióndecómoahorraragua,reviseelmóduloPor un mejor ambiente.


71

5 conayudadesucalculadoraencuentrelosresultadosdelassiguientesoperaciones.

a)4 3 (5 1 53) 4 36 1 (6 2 2) =

b)7 1 46 3 (16 4 4) 2 13 =

c)93 1 67 2 12 3 (34 2 68) =

d)90 4 6 2 45 3 ( 6 2 24) =

• alresolverunaexpresiónaritméticaqueincluyevariasoperaciones,esnecesarioseguir

elsiguienteorden.

Primero:resolverlaspotencias.

Segundo:Lasoperacionesqueesténdentrodeparéntesis(siloshay).

Tercero:Lasmultiplicacionesylasdivisiones.

Cuarto:Lassumasylasrestas.

ejemplo.

6 3 (73 1 8) 2 (24 212) 1 125 4 5 =

potencias: 6 3 (343 1 8) 2 (16 2 12) 1 125 4 5 =

paréntesis: 6 3 351 2 4 1 125 4 5 =

multiplicaciones

ydivisiones: 2 106 2 4 1 25 =

sumasyrestas: 2 127

elresultadoes 2 127

Loanteriorseconocecomojerarquíadeoperaciones.algunascalculadorasestánprogramadas

paraaplicarlajerarquíadelasoperaciones,otrasnoloestán.


72

¿quéeslomáspequeñoylomásgrandequeustedconoce?,¿avistoatravésdeun

microscopioodeuntelescopio?comenteconsuasesoroasesora.

Nanussignificadiminuto.Lananotecnologíacreananocables,nanomotores,nanotransistores

quepermitiránlacreacióndediminutosrobotsparaconocerlaspartesmásdiminutasdel

cuerpohumano,comosonlascélulas,losglóbulosrojos,etcétera.

1 analicelasiguienteinformación.

Actividad 7Nanotecnología

El cuerpo humano tiene 3 3 107

glóbulos rojos.

Un caracol se mueve a

7.5 3 1023

kilómetros

por hora.

La película Titanic produjo

1.8 3 109 dólares de ganancias.

Los japoneses inventaron un termómetro

que mide 1 3 1023

mm de largo por

7.5 3 1026

mm de ancho.

1.95 3 107 es la cantidad de

barriles de petróleo que Estados

Unidos consume al día.

Propósito: Usted utilizará la notación científica con exponentes enteros positivos y negativos.


73

conbaseenlainformaciónanteriorrealiceloquesepide.

a) ¿quénúmerosrepresentancantidadespequeñas?

¿porquésecaracterizan?

b) ¿quémedidaesmáspequeña1 31023 mmó7.5 31026 mm?

¿cómolosupo?

c) ¿cuálesnúmerosrepresentangrandescantidades?

¿porquésecaracterizan?

d)¿quécantidadesmásgrande1.8 3 109 ó1.95 3 107?

¿cómolosabe?

observelaformaenquemarcoyLupitainterpretaninformaciónescritaconnotacióncientífica.

En notación científica, una

potencia positiva indica una

multiplicación por 10, por 100,

por 1 000, etcétera, según sea 1,

2, 3, etcétera, el exponente de la

base 10.

Una potencia negativa indica una

división entre

10, 100, 1 000, etcétera, según

sea 21, 22, 23, …

el exponente de la base 10.

Por ejemplo,

una aguja pesa 4 3 1023 kg, es

decir, pesa 4 3 0.001, lo que

equivale a 0.004 kg.

¡Vamos a ver! 6.5 3 104 especies

de arañas quiere decir que son

6.5 3 10 000, es decir, 65 000 especies.

Pero, ¿qué significa una potencia

negativa?


74

• Lanotacióncientíficasebasaenlosprincipiosdelsistemadenumeracióndecimal.

porejemplo,elnúmero28 948 sepuedeescribircomo:

20 000 1 8 000 1 900 1 40 1 8

tambiéncomo:2 3 104 1 8 3 103 1 9 3 102 14 3 101 18 3 100

asíelnúmero30 000 000es3 3 107

• deigualmanera,0.54puedeescribirsecomo:

5

10 1

4

100

tambiéncomo:5 3 1021 1 4 3 1022


2 analicelainformacióndelasiguientetabla.

Medidas de las células

Tipo de organismo microscópico Notación científica Medida en notación decimal

1 3 1027 cm

1 3 1025 cm

2 3 1025 cm

1 3 1026 cm

Fuentedefotos:http://www.botanica.cnba.uba.ar/pakete/dibulgeneral/

a) paracompletarlatabla,escribaennotacióndecimallasmedidasdelos

microorganismosencentímetros.


75

3 Joelcompróunacajadepastillasconunasustanciaactivade2.5mgcadauna.eldoctorle

indicóquetomara5 x 1023gdiariamente.¿cuántaspastillasdebetomaraldía?

4 escribalossiguientesnúmerossinnotacióncientífica.

a) 6 3 108= e)7 3 1023=

b) 8.5 3 107= F) 8.9 3 1025=

c) 5.62 3 106= g)5.9 3 1027=

d)9.793 109=

encienciascomolafísica,laquímicaylaastronomía,esnecesarioescribirnúmerosmuy

grandesomuypequeños.unamaneradeescribirlosenformaabreviadaesmediantela

notacióncientífica.

paraescribirunnúmerograndeennotacióncientífica,seescribelaprimeracifradel

número,elpuntoydespuéslascifrassignificativas(diferentesdecero)quequieranponerse;

finalmente,seindicalamultiplicaciónpor10dedichonúmeroyelexponenteesigualal

númerodecifrasdelnúmeroinicialmenos1.

ejemplos.

7 860 000 = 7.86 3 106

990 000 000 = 9.9 3 108

paraescribirunnúmeropequeñoennotacióncientífica,seescribelaprimeracifra

significativa(diferentedecero)delnúmero,elpuntoydespuéslascifrassignificativas

(diferentesdecero)quequieranponerse;finalmente,seindicalamultiplicaciónpor10

dedichonúmeroyelexponenteesigualalnúmerodecerosquehayentreelpuntodel

númeroinicialylaprimeracifrasignificativamás1yllevasignonegativo.

ejemplos.

0.000045 = 4.5 3 1025

0.009412 = 9.412 3 1023

Autoevaluación Unidad 2

resuelvalossiguientesproblemas.

1 ubiquelossiguientespuntosen

elplanocartesiano.

a)(29,4)

b)(8,12)

c)(23,1)

d)(2,21)

e)(12,25)

F) (7,8)

g)(211,11)

H)(0,24)

i)(210,0)

J)(11,11)

2 unbarcoseencontrabaenelpunto(0,0)yavanzó8kilómetrosaladerechay6kilómetros

haciaelNorte,¿enquepuntoseencuentra?

3 enelpunto(9,28)seencuentraunobjeto;parallegarahítuvoqueavanzar8unidades

haciaelsur(abajo),¿dóndeseencontrabaanteriormente?

4 un coche se encuentra en el punto (26,24). para llegar ahí avanzó2 unidades a la

izquierday6unidadeshaciaabajo,¿enquépuntoseencontraba?

x-1 1

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

-12

-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12

y


76


5 escribalassiguientesmultiplicacionescomopotencias.

a) (4) (4) (4) (4)=

b)5 · 5 · 5 · 5 · 5 =

c) (26) (26) (26) =

d)(211) (211) (211) (211) =

e)12 3 12 3 12 3 12 3 12 3 12 =

F) (220) (220) (220) (220) (220) =

6 escribalassiguientespotenciascomomultiplicacionesusandopuntosoparéntesis.calculelos

resultados.

a) 28=

b)46=

c)64=

d)83=

e)38=

7 ¿esigual 46que64? ¿38que83?

8 realicelassiguientesoperaciones.

a) (5 1 8 1 45 3 20) 4 (15 2 83) =

b) (29)4 1 65 2 5 3 (45 1 65) =

9 elpesodeunelectrónesde9 3 10228g.escríbaloenformadecimal.

10 el peso de la tierra es 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. escríbalo en notación

científica.

11 elcoeficientedeexpansióndelmercurioes1.8131024.escríbaloennotacióndecimal.

77

UNIDAD 3UNIDAD 3En esta unidad, usted:

• Conocerá la utilidad de las literales en el álgebra. Usará algunas reglas de escritura algebraica.

• Encontrará la regularidad que relaciona una lista de cantidades.

Expresiones algebraicas

• Utilizará el lenguaje algebraico. Modelará con expresiones algebraicas algunas situaciones de la geometría y de la física.

Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas

80

¿Hasembradoárboles?,¿hatenidoproblemaspararegarlosycuidarlos?comentecon

suasesoroasesora.

comotodotrabajo,elcuidadodelosárbolesesalgoquesepuedeoptimizar,esdecir,quese

puedeahorrartiempoyesfuerzo.

1 sembraron 35 árboles en hilera con

igualseparaciónunodelotro.donchuy

pidióuntinacoconaguapararegaruno

aunoconunacubeta.donchuyquiere

caminar lo menos posible al regarlos,

¿dóndetienequecolocareltinaco,junto

alárboldeenmedioojuntoaunárbol

decualquierextremo?

a) ¿porqué?

b)sihubieransido36árboles,¿cuálhubierasidoellugaridealparacolocareltinaco?

sugerencias:supongaunamenorcantidaddeárboles.determineunadistanciaalaqueseencuentranlosárboles,nadamásnoolvidequeesigualentreunárbolyotro.

c)comparesusrespuestasconlasdesuscompañeros.

Actividad 8 El trabajo de don Chuy

Propósito: Usted conocerá la utilidad de las literales en el álgebra. Usará algunas reglas de escritura algebraica.


81

analicelosrazonamientosdesoniaymiguelanteunasituaciónparecida.

sesembraronárbolesenhileracada5m.sobrelamismahileraya5mdelprimerárbolhay

unpozo.¿cuántosmetrostienequecaminardonchuypararegarconunasolacubetacada

árbol?

entraundibujodealgunosarbolitosenhilera

conunpozotodosalamismadistancia:seseñala

ladistanciaentreelárbolqueestámáscercadel

pozoyelpozoconunaflecha hacia el árbol y otra

al pozo. Dice: “5 m” sobre cada flecha 5 m

5 m

2 veces 5 m

2 veces 5 m

¡Vamos a ver!

Para regar el primer árbol tiene que caminar 2 veces 5 m.

Es decir, 5 m del pozo al árbol y 5 m del árbol al pozo.

Para regar el segundo árbol, son 2 veces (2)(5 m). Es decir,

10 m del pozo al árbol y 10 m del árbol al pozo.


82

Para regar el tercer árbol, tiene que caminar

2 veces (3)(5 m). Es decir, 15 m del pozo al

árbol y 15 m del árbol al pozo.

Si te fijas, siempre hay que caminar 2 veces

la distancia del árbol al pozo.

La distancia del árbol al pozo depende del

lugar que ocupe el árbol en la hilera.

El primero está a (1)(5) = 5, es decir,

a 5 m de distancia; el segundo está a

(2)(5) = 10 m; el tercero está a

(3)(5) = 15 m. Entonces, para calcular la

cantidad de metros que hay que caminar

para regar el árbol x, es decir, cualquier

árbol, podemos multiplicar:

(2)(x)(5) = (2)(5)(x)

(10)(x) = 10x

Donde x representa el número de árbol

y 10x la cantidad de metros que hay que

caminar para regarlo.


83


2 mireasualrededortodoslosobjetosquetienenformarectangular.

a) dibujeunobjetodelosquevioyalladodibujeunrectánguloquerepresenteatodos

losobjetosrectangularesquevio.

b)escribaunalíneaconflechasqueindiqueellargodelrectánguloyunal.Hagalo

mismoconelancho,peroescribaunaa.

c) ¿cuáleselperímetrodelrectángulo?

3 tome tres objetos rectangulares (hojas de papel, tarjetas de cartulina, libros, etcétera) del

mismo tamaño y colóquelos uno junto a otro para formar un rectángulo largo, como se

muestraenseguida.

a) ellargodecadaobjetomidel.utilicelpararepresentarlamedidadeb:

b) ¿cuántomidesuperímetrosielanchomidea?


84

• enálgebraseusanletraspararepresentarcantidadesyselesllamaliterales.

ejemplo.

enestecaso,laliteralesmyrepresentalamedidadelsegmento.

• suempleoesparecidoaldelosnúmerosenlaaritmética.

ejemplo.

comocadasegmentopequeñomidem,lamedidadelsegmentoABes:

m 1m 1m 1m 1m =5m

• Loanterioresporquelamultiplicaciónporunnúmeroyunaliteraloentredosliterales,quedaexpresadacuandoseescribenjuntos.

5mexpresaunamultiplicaciónde5porm.

c)midaunodelosobjetosysustituyaelvalor

delya,¿cuántomideelperímetrodel

rectánguloformado?

4 elpesodecadachocolateconfitadoesb,¿cuánto

pesaunsobresitrae55chocolates?

5 elpreciodeldólarvaríaconmuchafrecuencia.utilizandounaletra,¿cómopuederepresentar

elimportede250dólares?

m

m m m m m

A B


85

6 unautorecorrióladistanciaABenundía.eldíasiguienterecorrióladistanciaBC,comose

indicaenelsiguientediagrama.

a) ¿quédistanciarecorrióenlosdosdías?

7 Lamedidadelaalturadeunescalónesu,¿quésignifica8u?

a) escriba8ucomosuma.

8 Lasiguientefiguramuestralasdistanciasrecorridasporunferrocarril.

a) ¿quédistanciahaydeAaB?

b) ¿cuálesladistanciadeBaC?

c) ¿cuálfueladistanciatotaldelrecorrido?

m m m m m

A B

m m m

C

l m

A B C

• expresionescomo4l;2b+2a;3

5m;2b2seconocencomoexpresiones algebraicas.

• Lasexpresionesalgebraicasestánformadasporuncoeficiente,unaliteraloliterales

(letras)queestánelevadasaalgúnexponenteysignosdeoperaciones.


86

• Coeficiente:eselnúmeroquemultiplicaunaliteral.

ejemplo.

5eselcoeficientedelaexpresión5m

• cuandodosexpresionesalgebraicastienenlamismaliteraloliteralesyéstasestán

elevadasalmismoexponente,sedicequesontérminos semejantes.

ejemplo.

5messemejantea3m.

• dostérminos semejantes sepuedensimplificar.

ejemplos.

5m13m =8m

29b17b =22b

• cuandodosexpresionesalgebraicastienendiferenteliteral/esodiferenteexponente,se

dicequenosontérminossemejantes.

porejemplo:7nnoessemejantea9t

• cuandodostérminosnosonsemejantesnosesimplifican.

ejemplos.

7n19t

5n16t22n18n=11n16t

9 simplifiquelassiguientesexpresionesalgebraicas.

a) b1b1b1b1b= b) d1d1d1d12d=

c) l12l15l= d)5b2b=

e)h22h16h= F) l1b1b1b=

g)2b1b1l= H)m1m16m12b1b=


87

10 sembraron 5 árboles en hilera con igual separación uno del otro. don chuy pidió que

colocaranuntinacoconaguajuntoalprimerárbolpararegarunoaunoconunacubeta.

¿cuántovaacaminardonchuysiladistanciaentreárbolyárbolesl?

a) silmide1m,¿cuántocaminarádonchuy?

b)silmide2m,¿cuántocaminarádonchuy?

c) ¿quédistanciahayentreárbolyárbolsidonchuycamina120 m?

11 diegoganaunacomisiónfporcada$100.00quevenda.Hoyvendió$900.00,¿cuálfuesu

comisión?

a) sifvale$3.00,¿cuántodineroledierondecomisión?

b) sifvaliera$5.00,comoselohanprometido,¿cuántotendríanquedarlede

comisión?

12 observelasiguientefigura.

a) ¿cuáleselperímetrodelafigura?

b)silvale9m,hvale11mybvale13 m,¿cuáleslamedidadelperímetro?

ll

l

b

h


88

13 calculeelvalornuméricodelassiguientesexpresionesalgebraicas:

sib=12,l=20,d=5,h=30, m=1

a) 6b= b) 19d=

c)8l+5h= d) 5b2b=

e)22h116d= F) 4l17b=

g)9b1l= H) 10m15b=

14 analicelasiguientetabla,quemuestralasfórmulasparacalcularlacantidaddekilocalorías

diariasquedebemosconsumir.

prepresentaelpesodelapersonaenkilos.

Tipo de actividad Hombres Mujeres

Ligera (11.6 p 1 879) 1.55 (8.7 p 1 829) 1.56

Moderada (11.6 p 1 879) 1.78 (8.7 p 1 829) 1.64

Intensa (11.6 p 1 879) 2.1 (8.7 p 1 829) 1.82

Fuente:saludaliainteractiva©copyright2000


89

a) ¿cuántaskilocaloríasdebeconsumirpabloaldíasipesa67kgytieneunaactividad

intensa?

b)Lucíarealizaunaactividadintensaypesa63kg.¿cuántaskilocaloríasdebe

consumir?

c)calculelaskilocaloríasquedebenconsumirusted,suesposooesposaysuasesoro

asesora.

d)comparesusrespuestasconsuscompañeros.

• paracalcularelvalornuméricodeunaexpresiónalgebraica,sedanvaloresparticulares

alasliteralesyseoperaconellos.

ejemplos.

sim=3yl=9

12m18l=12(3)18(9)=108

sif=2yb=6

4f4+3f25b=4(24)13(2)25(6)=40


90

¿conoceustedsusderechoscomo

ciudadano?,¿haejercidosuderecho

avotar?,¿cuándoseránlaspróximaselecciones

parapresidente?comenteconsuasesoro

asesora.

votaresunderechociudadano.enméxico

serealizaneleccionesparaelegirpresidente,

gobernadorencadaunodelosestados,

presidentesmunicipales,diputadosysenadores.

1 La siguiente lista muestra los últimos años en que ha habido elecciones presidenciales en

méxico.

1946, 1952, 1958, 1964, 1970, 1976, 1982, 1988, 1994, 2000, 2006

a) ¿cadacuántosañoshayeleccionesparapresidenteennuestropaís?

¿aloscuántosañossepuedevotar?

b)elhijodevíctorychelanacióenenerode2003,¿cuáleselprimerañoenquepodrá

votarparapresidente?

c)decontinuarlaactualpolíticaelectoral,¿habráneleccionesenelaño2055?

¿cómolosupo?

d)¿Habráneleccionesenelaño2054sicontinúalamismapolítica?

¿cómolosabe?

e)sisepudieraconservarlapolíticaatravésdelossiglos,¿enelaño6002habrán

elecciones? ¿cómolosabe?

Actividad 9 Un derecho ciudadano

Propósito: Encontrará la regularidad que relaciona una lista de cantidades.


91

F) consucalculadora,dividaalgunosdelosañosenquehayeleccionesentre6,¿qué

pasaconlapartedecimaldelresultado? ¿Habráalgunarazónpara

ello?

g)divida,usandolápizypapel,algunosdelosañosenquehayeleccionesentre6,sin

decimales.¿quépasaconelresiduo?

H)supongaquedesdehacemuchosañoshanhabidovotacionescada6añosyque

siempreseráasí.simultiplico6poralgúnnúmeroyleaumento2,¿esunañode

eleccionespresidenciales?

i) escribaenformaalgebraicalaafirmaciónanterior.

situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,analicealrazonamientode

antonioyalejandro.

eldueñodeunacadenadesanitarioscompróunsistemaahorradordeagua.

elsistemalepermiteahorrarlassiguientescantidadesenlitrosdeaguadeacuerdoconel

númerodedescargasdeagua:

3, 7, 11, 15, 19, 23, ...

Para escribir en forma algebraica, es decir, como

expresión algebraica, el número de litros que se

ahorran por descarga:

Debemos buscar qué regularidad se encuentra en

la sucesión anterior.

Veo que en cada descarga se ahorran 4 litros,

excepto en la primera, que sólo se ahorran 3.


92

¿Viste?, sin querer resolvimos

otras secuencias.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

... ... ... ...

4 k 23 4 k 22 4 k 21 4 k

Creo que podemos organizar los números

de 4 en 4 como se muestra a la derecha.

Fíjate que en la última columna están los

múltiplos de 4 y los podemos expresar

como 4k, donde k es un número natural.

Así, 4(1) = 4; 4(2) = 8, y así sucesivamente.

¡Tienes razón! Para escribir en forma

algebraica la tercera columna, basta fijarse

que todos los números de esa columna son

múltiplos de 4 menos 1.

Entonces, puede expresarse como 4k–1.


93


2 analicelasiguientesucesión.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...

a) escribaunaexpresiónalgebraicaqueladescriba.

b)elprimernúmerodelasucesiónes2;elsegundo,4;etcétera.¿quénúmeroocuparála

posición100enlasucesión?

3 escribaunasucesiónquerespondaalaexpresión2n21.


6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41 ...

a) escribaunaexpresiónalgebraicaqueladescriba.

b) ¿quénúmerovaenlanovenaposicióndelasucesión?

c) ¿quénúmerovaenlaposición50delasucesión?

• unasucesiónesunconjuntodenúmerosdondeunoesdesignadocomoelprimero;otro,

comoelsegundoyasísucesivamente.cadanúmerodelasucesiónesuntérmino.

• Lassucesionespuedensercrecientes,cuandovanenaumento.

ejemplo.

9, 18, 27, 36, ...

• sondecrecientescuandovandisminuyendo.

ejemplo.

99, 88, 77, 66, 55,...


94

5 escribalostérminosfaltantesenlassiguientessucesiones.

a) 7, 13, 19, 25, , , 43, 49, ...

b)156, 151, 146, 141, , , , ...

c)1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, , , 46, ...

d)34, 35, 37, 40, , , 55, 62, ...


1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

a) ¿puedeencontrarcadatérminosumandounacantidadaltérminoanterior?

paracontinuar,analiceelsiguientediagrama.

teniendoencuentaquecadarepresentaunaunidadcuadrada,realiceloqueselepide.

b)cuentecuántasunidadescuadradastieneelcuadradoazulclaro.

c)cuentecuántasunidadescuadradastieneelcuadradoazulmarino.

d)cuentecuántasunidadescuadradastieneelcuadradonegro.

e)cuentecuántasunidadescuadradastieneelcuadradocafé.

• •

• •


95

F) teniendoencuentaquecadarepresentaunaunidadlineal,dibujeenel

diagramauncuadradoquemida5unidadesporlado.cuentecuántasunidades

cuadradastienedichocuadrado.

g)sidibujarauncuadradode6unidadesporlado,¿cuántasunidadescuadradastendría?

¿cómolosupo?

H)sirepresentamosconlalnúmerodeunidadesporladoquetienecualquiercuadrado,

¿conquéfórmulacalculamossuárea?

i) vuelvaaanalizarlasucesiónycompletelatablaqueestáenseguida. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

J) expliqueporquéunaformaderepresentaralgebraicamentelasucesiónanterioresn2.

• •

Número de posición en la sucesión Sucesión Es igual a También se puede

representar como

1 1 1 3 1 12

2 4 2 32

3 9 32

4

5

6 36

7

8

9 9 3 9

n n 3 n


96

7 estudielostamañosquehaydeunjuegoinfantilcompuestoporaros,yrealiceloquesele

indica.

a)¿cuántosarosllevaelprimermodelo? ¿cuántoselsegundo,tercero,cuarto

yquinto?

b)enellugarcorrespondiente,dibujeelsextomodelo.

c)¿cuántosarostendráeldécimomodelo?

d)analicelasiguientesucesiónybusquélarelaciónconlasucesiónanterior.

analicelossiguientesdiagramasrectangulares.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5

1 2 3 4


97

e) ¿cuántospuntostienecadadiagrama?

F) ¿puedeencontrarunaformarápidadecontarlospuntosdecadadiagrama?

¿cuál?

sisedenominaconnalnúmerodepuntosquetieneenlabasecadaelementodelasucesión,

podemosverquealcompletarconpuntosrojosunrectángulo,elrectánguloformadotiene

(n+1)puntosenlabaseynpuntosenlaaltura.

g)enelrectánguloformado,¿hayigualcantidaddepuntosrojosquenegros?

H)¿puedeencontrarunaformarápidadeconocereltotaldepuntosenelrectángulo?

¿cuál?

i) ¿estádeacuerdoqueelnúmerodepuntosenelrectánguloes(n11)(n)?

¿porqué?

J) despuésdeconocereltotaldepuntosdelrectángulo,¿quéoperaciónlefaltahacer

paraconocersóloelnúmerodepuntosnegros?

K)¿cuáleslaexpresiónalgebraicaquepermitecalcularelnúmerodearosdeljuego

infantil?

n

n

n � 1


98

a) ¿cuálessonlosvaloresdeccuandopvale70y90?

b) ¿cuálesvalordeccuandopvale53?

c) ¿quéexpresiónalgebraicapermitecalcularlacantidaddecalorías(c)conrelaciónal

peso(p)delapersona?

d)utilizandolaexpresiónobtenida,calculeccuandop=68.

e) ¿cuántascaloríasquemaustedalcaminar30minutosapasorápido?

F) dibujelagráficaquerelacionapconc.

8 analicelasiguienteinformaciónyrealiceloqueselepide.

caminar30minutosapasorápidoayudaaperdergrasa.useropacómoda.

Si usted pesa (p) 40 kg 50 kg 60 kg 70 kg 80 kg 90 kg

Calorías quemadas (c) 256 320 384 512

p

c


99

9 salvador llenó el tanque de gasolina de su camioneta. al llegar a la gasolinería, la aguja

marcaba 60 litros. La tabla muestra cuántos litros eran registrados a los 3 segundos,

5segundosyasísucesivamentehastaquesellenóeltanque.

a) ¿cuálessonlosvaloresdelcuandotvale7,9,11y13?

b)escribaunaexpresiónalgebraicaquepermitacalcularlacantidaddelitros(l)con

relaciónaltiempo(t).

observecómoalbertoresuelvelasiguientesituación.

albertoyalejandroobservanunregistrodelatemperaturarespectoalaaltitud(alturasobre

elniveldelmar).ellosquierensaberquéexpresiónalgebraicaofórmulapermitiráconocerla

temperaturaambienteapartirdeconocerlaaltitud.

Tiempo en segundos (t) 0 3 5 7 9 11

Litros (l) 60 72 80

Altitud en metros (a) 0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 8 000

Temperatura °C (t) 15 8.5 2.0 24.5 211.0

Debido a que por cada metro disminuye

20.0065 °C, puedo decir que la temperatura es igual a

15 °C que hay a nivel del mar menos 0.0065 por

el número de metros de la altitud.

t = 115 2 0.0065a

Donde a es el número de metros de altitud.

La expresión anterior también la puedo escribir así:

t = 20.0065a 115


100

a) ¿cuálesladiferenciaentrevender5piezasy10piezas?

b) ¿cuáleslacomisiónporpieza?

c)completelatabla.

d)escribaunaexpresiónquerelacioneelsueldoconelnúmerodepiezasvendidas.

A nivel del mar hay 15 °C, pero cada 1 000 m disminuye 26.5 °C. Con una

proporción, veo que por cada metro disminuye 20.0065.

10 el sueldo semanal de david está compuesto por una cantidad fija más comisiones por

ventas.

Número de piezas vendidas (v) 5 10 50 100 200

Sueldo semanal (s) 275 300

Entonces:

(20.0065) (5 000) 1 15 = 217.5.

Por lo que cuando a vale 5 000,

t vale 217.5 y cuando a vale

6 000, t vale 224.

Así que por 5 000 m disminuye

(26.5) (5) = 232.5

Finalmente, cuando a vale

8 000, t vale 237.

La temperatura desciende cada

vez más.


101

a) ¿cómovaríanlosvaloresdeyconrespectoalavariacióndelosvaloresdex?

b) ¿cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentalarelacióndelatabla?

c)construyalagráficaensucuaderno.

11 analicelosdatosdelasiguientetabla.

(x) 0 5 7 9 11

(y) 45 80 94 108 122

• cuandohayunacantidadquecambiadevalorcuandocambiaelvalordeotra,sedice

queunadependedelaotra.

ejemplo.

Lacantidaddekilómetrosquerecorreunautomóvildependedelacantidadde

gasolina.

• entonces,sedicequelavariable independienteeslyla variabledependienteesd:

d =6l

• Losnúmerosquenocambiansellamanconstantes,enestecaso,esel6.

Litros (l) 0 1 2 3 4 5 6

Kilómetros (d) 0 6 12 18 24 30 36


102

Para saber más

ensurevistaLecturasdematemáticas,lea“regularidadesmatemáticas”,ycontestelas

siguientespreguntas.

1. ¿cuáleseltemadelalectura?

2. ¿Lepareceinteresante? ¿porqué?

3. ¿quétipoderegularidadesencuentraasualrededor?

ensuFolletodejuegosdiviértasejugando“JunJun”ensusdosversiones,despuéscontestela

preguntasiguiente.

1. ¿encontróunamaneraparaganarsiempre?sinolaencontró,sigajugando.


103

Propósito: Usted utilizará el lenguaje algebraico. Modelará con expresiones algebraicas algunas situaciones de la geometría y de la física.

Actividad 10 La experiencia hace la diferencia

¿algunavezharealizadounexperimento?,¿aprendióalgoalrealizarlo?comente

consuasesoroasesora.

Losexperimentossonfuentedeconocimiento,lamayoríadelosconocimientoscientíficoshan

surgidoapartirdeexperimentarunayotravez.enellolamatemáticajuegaunpapelmuy

importantepuespermitecuantificarymodelardistintosfenómenos.

realicelassiguientesactividadesconayudadeuncompañero,familiar,amigooasesor.

1 consigaelmaterialsiguiente:

• unresortemetálicoounaliga(sitieneunabásculaderesorteesmejor).

• unareglagraduada.

• objetoscuyopesoconozca,ocanicasdeigualtamañoypeso.

registreenlasiguientetablalosdatosquevayaobteniendo.

a) midaeltamañodelresorte.escribasumedidaenlatabla.

b)coloquepeso(8canicas)enunextremodelresorte.midaellargodelresorteyregístrelo.

c) dupliqueelpeso(ponga8canicasmás).vuelvaamediryaregistrar.

Peso (p)(número de canicas)

0

Largo en centímetros (l)


104

d)tripliqueelpeso(8canicasmás)yrepitalaoperaciónhastaqueelresortenosedeforme.

e) ¿cómocambialconrespectoap?

F) ¿cuáleslafórmulaquepermitecalcularlapartirdeconocerp?

g)busqueenunlibrodefísicacómoselellamaalfenómenoanterior.

2 escribalaexpresiónalgebraicaquerepresentacadaunadelasafirmacionessiguientes,observe

losejemplos.

Un número más 15. y 1 15Un número menos 20.El doble de un número.El triple de un número. 3x

El cuádruple de un número. La suma de dos números. El doble de un número más 12. El triple de un número menos 4. 3m 24La mitad de un número.

La mitad de un número menos 7. x

2 27

Dos terceras partes de un número. Un número dividido entre otro. El producto de dos números. xy

El producto de dos números más 5. La mitad del producto de dos números.5 menos un número. 5 2 b2 000 menos un número. 6 más un número. Un número más la mitad del mismo. Ocho veces un número. Un número al cuadrado. Un número al cubo. m3

Un número elevado al exponente ocho.


105

3 marina compróun terrenode200metros cuadrados.ellapuede elegir las dimensionesde

acuerdoconsusnecesidades.siquierequelasdimensionesdelterrenoseanmetrosenteros,

¿cuálessonlasdimensionesqueelterrenopuedetener?

a) Hagaundibujoquedescribalasituación.

b)completelasiguientetabla.

c) ¿cuálesfórmulaquepermiteencontrarelanchoapartirdellargo?

4 consigaelsiguientematerial:

• variosobjetosenformadecilindro.

• unacintamétrica.

a) midaeldiámetrodelabasedecadaobjetoyelperímetrodelacircunferencia.

Largo (l) metros 200 100 50 40 20

Ancho (a) metros cuadrados


106

c)dividaelperímetrodecadacircunferenciaentrelalongituddeldiámetro

correspondiente,¿quéresultadoobtiene?

d)¿esconstanteentodosloscasos?

e) ¿cuáleslafórmulaparacalcularelperímetrodelacircunferenciaapartirdela

longituddeldiámetro?

5 realicelosiguiente.

• tomeunpalolargoymídaloconunacintamétrica.

• marqueendondellegalamitad.

• enunextremocuelgueunkilogramodealgo(unapesa,frijolesomaíz).

• cuelgueenelotroextremodoskilogramosdealgo.

• apóyeloalamitadsobreunabase.

a) ¿quésucede?

b)busquelamaneradeponerloenequilibriosinquitarpesodeningúnlado.

c) ¿dequémanerapuedelograrlo?

d.)¿cuálesladistanciaentreelobjetoquepesaunkilogramoyelpuntodeapoyo?

b)registrelosdatosenlatablasiguiente.

Longitud del diámetro en cm (d)

Perímetro de la circunferencia en cm (C)


107

e) ¿cuálesladistanciaentreelpesode2kilogramosyelpuntodeapoyo?

F) Hagaundibujodelasituación.

escribalosresultadosenlasiguientetabla.

¿cómopuedeconocerd2apartirdeconocerlasotrastrescantidades?

Peso del objeto ( p)( p1)1 kg

( p2)2 kg

Distancia (d )(d1) (d2)

6 analicelosdatosdelatablasiguientereferentesamedidasdecuadrados.complételay

realiceloqueseleindica.

Largo (l), centímetros 1 2 3 4 5 6 7 8

Área (A), centímetros cuadrados

1 4 9 16 36


108

a) ¿alduplicarlamedidadelladodeuncuadrado,suáreaseduplica?

¿quésucedeconelárearespectoaláreainicial?

b)dibujeuncuadradode1cm2deáreayuncuadrado9cm2deárea.

c) ¿altriplicarlamedidadelladodeuncuadrado,suáreasetriplica?

¿quésucedeconelárearespectoaláreainicial?

d)¿quépasaconeláreadeuncuadradoalcuadriplicaryquintuplicarlamedidadesus

lados?

e)escribalafórmulaparacalculareláreadeuncuadrado.

F) analicelosdatosdelasiguientetablaycomplétela.

Lado (l) 5 10 15 20 25 30 35

Área (A) 25 100 225 400 625 900 1 225

25(2)(2) 25(3)(3) 25(4)(4)


109

g)óscarescribiólascantidadesqueaparecenenelúltimorenglónporquedicequesi

seduplicalamedidadelosladosdeuncuadrado,eláreaoriginalsemultiplicapor

22;sisetriplicalamedidadeloslados,eláreaoriginalsemultiplicapor32;cuando

secuadriplicalamedidadeloslados,eláreaoriginalsemultiplicapor42yasí

sucesivamente.¿tienerazón?

H)unalonaquemide4mdeanchopor6mdelargocuesta$234.00,

¿cuántocostaráunalonadelamismacalidadquemide8m312m?

i) alaumentareldiámetrodeuncírculoaltriple,¿cuántoaumentasuárea?

7 analice los datos de la tabla siguiente referentes a medidas de los volúmenes de cubos.

complételayrealiceloqueseleindica.

a) ¿alduplicarlamedidadelaaristadeuncubo,¿quésucedeconelvolumenrespectoal

volumendelcuboinicial?

b)Hagaeldibujodeuncubodearista1ydeuncubodearista2.

Arista (l) 1 2 3 4 5 6 7 8

Volumen (V) 1 8 27 125 343


1 encadamovimientounaarañarecorrelamitaddeladistanciaquelaseparadesupresa.

Ladistanciaquelaseparadeunamoscaesb,¿cuántorecorreráenelprimermovimiento?

2 mireasualrededoreidentifiquetodoslosobjetosquetienenformacuadrada.

a)dibujeunobjetodelosquevioyalladodibujeuncuadradoquerepresenteatodos

losobjetoscuadradosquevio.

b)escribaunaletraquerepresentelamedidadelladodecualquiercuadrado.

c)¿cuáleselperímetrodelcuadrado?

3 dibujecuatrocuadradosdelmismotamaño,unojuntoaotroparaformarunrectángulo

largo.


110

a)elijaunaletrapararepresentarlamedidadelladodecadacuadrado.

b)¿cuántomideelanchoyellargodelrectánguloformado?

c)¿cuántomideelperímetrodelrectángulo?

4 simplifiquelassiguientesexpresionesalgebraicas.

a) x1x1x1x= b)12x1x=

c) l12l16l= d)8b22b=

5 calculeelvalornuméricodelassiguientesexpresionesalgebraicas.

sib=12,l=20,a=5,h=30ym=1:

a) 9b= b)15h=

c)2l15a= d)5m2m=

e)2m116b= F) 24l17h=

g)3h 1 l= H)12a15b=


5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ...

a)elprimernúmerodelasucesiónes5;elsegundo,10,etcétera.¿quénúmeroocupará

laposición100enlasucesión?

b)escribaunaexpresiónalgebraicaqueladescriba.

c)analicelasiguientesucesión.

6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, ...

¿enquéseparecealaprimera?

¿enquéesdiferente?

d)escribaunaexpresiónalgebraicaqueladescriba.


111

7 escribaunasucesiónquerespondaalaexpresión4n11.

8 escribalostérminosfaltantesenlassiguientessucesiones.

a) 4, 9, 14, 19, , , 34, 39, ....

b)1, 3, 6, 10, , , 28, ...

c)125, 122, 119, , , ....

d) , , 33, 44, 55, ...

9 salvadorllenóeltanquedegasolinadesucamioneta.alllegaralagasolinería,laaguja

marcaba40 litros. La tabla muestra cuántos litros eran registrados a los2 segundos,

4segundosyasíhastaquesellenóeltanque.

a) ¿cuálessonlosvaloresdelcuandotvale6,8,10y12?

b)escribaunaexpresiónalgebraicaquepermitacalcularlacantidaddelitros(l)con

relaciónaltiempo(t).

10 elpreciodeunantecomedorestácompuestoporelpreciodelamesamáselpreciodecada

unadelassillas.

Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicasOperaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas

112

Tiempo en segundos (t) 0 2 4 6 8 10 12

Litros (l) 40 44 48

Número de sillas (x) 2 4 6 8 10

Precio total (y)mesa con sillas $1 100 $1 400

a) ¿cuálesladiferenciaentreelpreciodelantecomedorcon2y4sillas?

b) ¿cuáleselpreciode2sillas?

c)completelatabla.

d)escribaunaexpresiónquerelacioneelpreciototalconelnúmerodesillasque

requieraelcomprador.

11 carloscompróunterrenode240metros.élpuedeelegirlasdimensionesdeacuerdocon

susnecesidades.siquierequelasdimensionesdelterrenoseanmetrosenteros,¿cuáles

sonlasdimensionesqueelterrenopuedetener?

a) Hagaundibujoquedescribalasituación.

b)completelasiguientetabla.

c)¿cuáleslafórmulaquepermiteencontrarelanchoapartirdellargo?

Operaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicasOperaciones avanzadas Unidad 3 Expresiones algebraicas

113

Largo (l) 240 120 80 60 40 30 24 20

Ancho (a)

UNIDAD 4UNIDAD 4En esta unidad, usted:

• Aplicará la noción de ecuación de primer grado e incógnita.

• Resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma x 1 a = b y a 2 x = b.

Ecuaciones de primer grado

• Resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma

ax = b y xa

= b

• Resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma

ax 1 b = c y xa

1 b = c

Operaciones avanzadas Unidad 4 Ecuaciones de primer grado

116

¿Hatenidoquerepartirenpartesiguales

sincontarconelinstrumentoadecuado

paramedir?,¿cómolohahecho?comenteconsu

asesoroasesora.

muchasvecesrepartimosequitativamente(enpartes

iguales)usandoobjetosnoconvencionalespara

medir,porejemplo,medimostelaconlosbrazos

abiertososemillasconbotes.

1 rosalíanecesitapesar3kgdefierro,¿cómolopuedehacersisólotieneunabalanzayuna

pesa5kgyotrade2kg?dibujelabalanza,buscandounasolución.

2 doshermanosdeseandividirequitativamente5botesde20litrosdecremacadauno,3botes

de5litrosy5botesde1litro.

sintenerqueabrirningunodelosbotes,¿cómopuedenhacerlarepartición?

Propósito: Usted aplicará la noción de ecuación de primer grado e incógnita.

Actividad 11 Con un poco de ingenio


117

3 urieltienequemedir4litrosdelecheysólotieneunamedidade3litrosyunade5litros.

además, sólo tiene el recipiente donde está toda la leche y las dos medidas. ¿cómo puede

hacerlo?

observelaformaenqueolgayLuperazonananteunasituaciónsimilar.

¡Vamos a ver! Tengo un reloj de

arena que dura 9 minutos y uno

que dura 4 minutos, y quiero

medir 5 minutos.

Pongo los dos al mismo tiempo y

empiezo a medir cuando se acaba

el reloj de 4.

¡Claro! Porque lo que se

busca es una igualdad.

5 = 9 2 4

5 = 5


118


4 rodrigogana$45.00másqueóscar.rodrigogana$925.00.¿cuántoganaóscar?

5 Lasmedidasdeunparqueconformacuadradasonde6mporlado.¿cuántomideelperímetro

delparque?

a) escribalafórmula.

b)realiceloscálculos.

unaigualdadindicaquedosexpresionesrepresentanunmismonúmero.

ejemplos.

4 = 416 = 2(8)6x 1 4 = 28p = 3l

unafórmulaesunaigualdadqueindicaunaafirmacióngeneralizada.

ejemplo.

p = 3l

eselperímetrodecualquiertriánguloequilátero.

unaecuaciónesunaigualdadentredosexpresionesalgebraicas,enlascualeslasliterales

representanincógnitas.

ejemplo.

¿quénúmeroalsermultiplicadopor8da40?

sepuederepresentarenlaecuaciónsiguiente:

8x = 40

dondexeslaincógnita.

•

•

•


119

• Solución es el valor que al sustituirlo en la ecuación por la incógnita permite llegar a

una identidad.

Ejemplo.

8(5) = 40

40 = 40

• Miembros de la ecuación. Una ecuación está formada por el signo = y dos

miembros, el primer miembro se encuentra a la izquierda del signo = y el segundo, a

la derecha.

Ejemplo.

8x = 40

Primer miembro Segundo miembro

• Una ecuación de primer grado se caracteriza porque las literales o incógnitas

están elevadas al exponente uno.

Ejemplos.

8x = 40

7y 1 6z = 79

En estos casos, x, y y z están elevados al exponente 1, pero no se acostumbra

escribir x1.

6 Juan tiene dos relojes de arena, uno que dura 11 minutos y otro que dura 3 minutos, ¿cómo

le hace para medir 5 minutos?


120

7 escribaelnúmerooexpresiónquefaltaparacompletarlaigualdad.

a) 8 1 5 = 9 1 b)45 2 5 = 9 1

c)9w 1 6w = 4w 1 d)96a 2 17a = 60a 1

Propiedades de la igualdad

elsumarunmismonúmeroaambosmiembrosdelaigualdadnolaaltera.esdecir,el

resultadoeselmismoenambosmiembros.

ejemplo.

7 1 8 = 10 1 5

alsumar12: 7 1 8 1 12 = 10 1 5 1 12

27 = 27

elrestarunmismonúmeroaambosmiembrosdelaigualdadnolaaltera.esdecir,el

resultadoeselmismoenambosmiembros.

ejemplo.

30 1 15 = 40 1 5

alrestar23: 30 1 15 2 23 = 40 1 5 2 23

22 = 22

almultiplicarambosmiembrosdelaigualdadporunmismonúmero(diferentede

cero),seobtieneigualresultadoenambosmiembros.

ejemplo.

4 1 3 = 2 1 5

almultiplicarpor15: 15(4 1 3) = 15(2 1 5)

105 = 105

•

•

•


121

aldividirambosmiembrosdelaigualdadentreunmismonúmero(diferentedecero),

seobtieneigualresultadoenambosmiembros.

ejemplo.

15 1 12 = 13 1 14

aldividirentre3: 15 1 12 = 13 1 14 3 3

9 = 9

•


122

¿Lehapasadoquevaacompraryno

haycambio?,¿hasalidodelatienda

condudasilehabrándadobienelcambioole

dierondemásodemenos?comenteconsuasesor

oasesora.

daryrecibircambioesunasituacióntan

cotidianaqueparecieranotenerningún

problema.sinembargo,conmuchafrecuencia

dudamossielcambioquedimosorecibimosfuecorrecto.

1 bety es cajera de una zapatería. esta mañana tuvo que cobrar $178.00 de un billete de

$200.00.ellalepreguntóalclientesi traíacambioyélledijoquesólotraía$3.00,ella

aceptó.¿cuántotienequeregresardecambio?

a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?esdecir,¿cuáleslapreguntaquehayque

responder?

b)elijaunaletraquerepresentelaincógnita.

c)paraplantearunaecuaciónquelepermitaconocerlaincógnita,escribael

dineroqueelclienteestápagandomás(1)elcambioquelesolicitólacajera:

estoseráelprimermiembrodesuecuación

(no realice la operación).

d)escribaelpreciodeloszapatosmás(1)elcambioque,enestecaso,estárepresentado

porlaletraqueustedeligió.

estoseráelsegundomiembrodesuecuación.

Propósito: Usted resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma x + a = b y

a – x = b.

Actividad 12 El cambio


123

e)escribalaecuacióncompleta.

F) pararesolverlaecuación,realicelaoperaciónindicadaenelprimermiembrodela

ecuación.

ahoratienequedespejarlaincógnita,esdecir,dejarsolaalaincógnitaenun

ladodelaecuación.recuerdequeparaconservarlaigualdad,siustedaumentao

disminuyealgodeunlado,lotienequehacerdelotro.

g)¿cuántotienequerestarenelsegundomiembrodelaecuaciónparadejarsolaala

incógnita? ¿cuántotienequerestaralprimermiembro?

H)realicelaoperación.

i) ¿cuántotienequeregresardecambio?

J) sielclientelehubieradado$28.00,¿conquéecuaciónpodríaconocerelcambioque

tendríaquedarle?

K) ¿cuántohubierasido?


124

=

observelaformaenqueramonarazonaunasituaciónsimilar.

Como sólo tengo un billete de $100.00 y uno de $50.00,

entonces tengo que pedirle $16.00 más al cliente.

Así, quedamos iguales, él me da en total $500.00 más

$16.00 y yo le entrego $366.00 en mercancía y $150.00

de cambio.

500 1 16 = 366 1 150

516 = 516

¿Y si sólo tuviera un billete de $200.00

para dar el cambio?

– ()

¡Vamos a ver! Si tengo que cobrar $366.00 de un

billete de $500.00 y no hay cambio,

primero tengo que ver que el cambio que debo dar

son $134.00.

Entonces, tengo que buscar billetes y monedas que

sean una cantidad igual de dinero.

Lo anterior es similar a plantear la siguiente ecuación:

134 = 150 – x

donde x representa la cantidad que debe darme el

cliente si le doy $150.00 de cambio.


125

Lo que significa que tengo que pedirle $66.00

más al cliente.

Así, quedamos iguales, él me da

$500.00 más $66.00 y yo le entrego $366 en

mercancía más $200.00 de cambio.

500 1 66 = 366 1 200

566 = 566

Si tengo que cobrar $366.00 de un billete de

$500.00 y sólo cuento con un billete de $200.00

para dar cambio, ¿cómo planteo la ecuación?

El cambio que debo dar sigue siendo $134.00.

Para que pueda darle los $200.00 al cliente,

tengo que plantear la siguiente ecuación:

134 = 200 2 x

donde x representa la cantidad que debo de

pedir al cliente para completar los $200.00.

= – ()


126


2 araceliessupervisoradecalidad.encontróquelosrefrescosdelitro

ymediotraenmenorcantidad.¿cuáleslacantidaddelíquidoque

faltaaunenvase?

a) ¿cuáleslaincógnitadelproblema?

b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita.

c)almedirlacantidadderefrescoquetraeelenvase,encontróquesólotrae1.32litros.

escribaelcontenidototaldelenvasecomolasumadeloquetraemásloquelefalta,

esdecir,máslaincógnita.

d)planteelaecuaciónescribiendoenunmiembrolasumaqueacabausteddeescribiry

enelsegundomiembroeltotalquedeberíatraer.

e) ¿quénecesitahacerparaconocerelvalordelaincógnita?

F) ¿quécantidadderefrescofaltaaunenvase?

paraplantearunaecuaciónquedérespuestaaunproblema,esnecesario:a. Leercondetenimientoelproblema.b. analizarcómoestánrelacionadoslosdatosdelproblema.siesnecesario,hacerun

dibujodeloselementosdelproblema.

•


127

c. encontrarcuáleslapreguntaquesequiereresponderyelegirunaletraque

representelacantidaddesconocidaoincógnita.

d. plantearlaecuaciónquerepresentalasituación.

e. asegurarsequelaecuaciónrepresentalasrelacionesqueindicaelproblemayquelos

miembrosdelaecuaciónsonequivalentes.

F. resolverlaecuación.

g. verificarquelarespuestaobtenidacumplelascondicionesdelproblema.

3 Latemperaturadelhornoestabaa250 °cyelpasteldebióhornearsea180 °c,¿porcuántos

gradossepasóelhorno?

a) ¿cuáleslaincógnita?


c)escribalatemperaturaalaqueestabaelhornoyréstelelosgradosquelesobraban.

¿aquédebeserigualesto?

d)escribalaecuacióncompletayresuélvala.

4 Lucíatiene7años,¿cuántosañoslefaltanparapodervotar?

a) ¿aloscuántosañosseobtieneelderechoavotarennuestropaís?

b)planteeunaecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.

c)resuélvala.


128

5 patypagó$167.00 porunostenisquecostaban$217.00.¿cuántoledescontaron?

a) planteeunaecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.

b)resuélvala.

6 marycompró$286.00demercancía.alpagarconunbilletede$500.00,lacajeralepidió

$36.00más.¿cuántodinerotienequeregresarledecambio?

a) planteeunaecuaciónpararesolverelproblema.

b)resuélvala.

c) ¿cuántohubieratenidoqueregresarledecambiosidoñamarylehubieradado

$86.00másenlugardelos$36.00?

d)planteeunaecuaciónpararesolverelproblema.

e)resuélvala.

7 resuelvalassiguientesecuaciones.

a) a 1 23 =45

b)892b=97

c)m256=206

d)5=c29


129

• Para resolver una ecuación de la forma x 1 a = b, donde x es la incógnita, se resta

a en ambos lados de la ecuación:

x 1 a = b

x 1 a 2 a = b 2 a

Como a 2 a = 0

x = b 2 a

Ejemplo.

x 1 65 = 135

x 1 65 2 65 = 135 2 65

x = 135 2 65

x = 70

• Para resolver una ecuación de la forma a 2 x = b, donde x es la incógnita, se

resta a en ambos lados de la ecuación:

a 2 x = b

a 2 a 2 x = b 2 a

Como a 2 a = 0

2 x = b 2 a

Para que el valor de x quede positivo, se multiplican ambos miembros de la ecuación

por (21):

x = 2 b 1 a

Ejemplo.

45 2 x = 8

45 2 45 2 x = 8 2 45

2 x = 8 2 45

2 x = 2 37

2 (2 x = 237)

1 x = 37


130

Propósito: Usted resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma ax = b y x

a = b.

Actividad 13 Agua malgastada

¿ustedcuentaconserviciodeaguapotable?¿tieneproblemasparaconseguirelaguaqueconsumediariamente?comenteconsuasesoroasesora.

elaguaesunlíquidoesencialparalavida,queademásdebeber,lousamosenmúltiplesactividadesdiarias,comosonbañarse,lavartrastes,lavarselosdientes,etcétera.

1 LaRevista del Consumidorrealizóuncálculoparaconocerlacantidaddeaguaquepuedemalgastaraldíaunafamiliade5miembros.Losresultadosfueronquelafamiliamalgastó580litros.¿cuántoslitrosmalgastaunsolomiembrodelafamilia?

a) paraconocercuántoslitrosmalgastacadamiembrodelafamilia,uselaletrapcomoincógnitayescribalaecuaciónquerelacionalosdatos.

asegúresequelaecuaciónrepresentalosdatosdelproblemaylosdosmiembrosdelaecuación

sonequivalentes.

resuelvalaecuación.

verifiquequeelresultadoescorrecto.

b)¿cuáleselresultado?c)comparesusrespuestasconlasdesuscompañeros.


131

2 Lafamiliamalgasta29cubetasdeagua,loquedauntotalde580litros.¿decuántoslitrosescadacubetadeagua?

a) utilicelaletraxcomoincógnitayplanteeunaecuaciónquelepermitacalcularelnúmerodelitrosquelecabenaunacubeta.

asegúresequelaecuaciónrepresentalosdatosdelproblemaydequelosdosmiembrosdelaecuaciónsonequivalentes.

resuelvalaecuación.

verifiquequeelresultadoescorrecto.

b)¿cómolohizo?c) ¿cuáleselresultado?comparesusrespuestasconlasdesuscompañeros.

paramultiplicarunafracciónporunnúmeroentero,seescribeelnúmeroenterocomofracciónysemultiplicanumeradorpornumeradorydenominadorpordenominador:

2

7 35 =

2

7 3

5

1 =

10

7

sesigueelmismoprocedimientocuandoseusanincógnitas:

( 2

7 )( x )= ( 2

7 )( x

1 )

= 2x

7

•

•


132

situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,observecómoLilianaresuelve

unasituaciónsimilar.

Para saber cuánta agua gasta cada miembro de la

familia puedo plantear la siguiente ecuación:

5 d = 700

donde d representa la cantidad de litros de agua

que gasta un miembro, por lo que al multiplicarlo

por 5 me tiene que dar 700, que es la cantidad

total de litros de agua que gastan para bañarse.

Resolverla es sencillo. Solo tengo que despejar d, es

decir, dejar sola a d en un miembro de la ecuación.

unafamiliade5miembrosgastadiariamente700litrosdeaguaparabañarse.


133

Para verificar, sustituyo el valor de d en la ecuación

y realizo las operaciones:

5d = 700

5(140) = 700

700 = 700

Se conservó la igualdad, lo que indica que el

resultado es correcto.

¡Cada miembro gasta 140 litros

de agua para bañarse!

5d = 700

Como 5 está multiplicando a d, tengo que dividir

entre 5 los dos miembros de la ecuación:

5d5

= 7005

d = 140


134


3 al “barrer” la calle con lamanguera segastan105 litrosdeagua, ¿a cuántas cubetasde

20litrosequivale?



c)planteeunaecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.

d)asegúresequehayequivalenciayquerepresentalasituaciónanterior.

e)resuelvalaecuación.

F)escribaelresultadoyverifiquequeescorrecto.

4 Lealainformaciónquesepresentaenelrecuadrodela

derechayrealiceloqueselepide.


135

Para verificar, sustituyo

el valor de x en la

ecuación y realizo las

operaciones:

x3

= 22

663

= 22

22 = 22

La igualdad indica que el

resultado es correcto.

a) planteeunaecuacióndondelaincógnitasealacantidaddegramosdepolloquese

requierenparaconsumireltotaldeproteínasdiariasrecomendadas.

b)resuélvala.

c)escribaelresultadoyverifiquequeescorrecto.

observecómoJoséJuanresuelveunasituaciónparecida.

La comida en ese lugar cuesta $22.00, una tercera parte de lo que cuesta en el

restaurante. ¿Cuánto cuesta una comida en el restaurante?

Una vez planteada la ecuación x3

= 22 , tengo que despejar la incógnita. Como 3 está

dividiendo, entonces tengo que multiplicar por 3.

Quiere decir que cierta

cantidad entre 3 es igual a

22. Es decir, x3

= 22

¡La comida en el

restaurante cuesta

$66.00!

x3

= 22

(3)( x3 ) = (22)(3)

x = (22)(3) x = 66


136

todonúmerodiferentedecerodivididoentresímismoesigualauno,así: 4

4 = 1porloque 4x

4 =1x

todonúmerodiferentedeceromultiplicadoporunoesigualasímismo:

1x=x

•

•

5 al usar un sistema ahorrador de agua en el sanitario, una familia de5 integrantes gasta

180litros,lamitaddeloquegastaencondicionesnormales.¿cuántogastaencondiciones

normales?

a) ¿cuáleslaincógnitaenelproblema?


c)estudiecómoestánrelacionadoslosdatosyplanteeunaecuaciónquerepresenteel

problema.

d)asegúresedequeescorrecta.

e)resuélvala.

F)escribalarespuestaalproblemayverifiquequeseacorrecta.

6 elperímetrodeunpatiocuadradoesde32m,¿cuántomidesulado?


b)escribalafórmulaparacalcularelperímetrodelcuadrado.


137

c) ¿quédatosconoceycuállefaltaporconocer?

d)¿cómomodificaríalafórmulaparaencontrarlamedidabuscada?

e)realicelasoperaciones.

F) verifiquesusrespuestas.

7 elproblemade la contaminación seríamenosgrave si se reciclaranalgunosproductos, es

decir,silaspiezasdeciertosproductosquesedesechansereutilizaranparalaelaboraciónde

nuevosproductos.

tansólo,conlosteléfonoscelularesdesechadosenunañopodríarescatarse50 toneladasde

plomo,loquerepresentaunaveintisieteavaparte( 1

27)deloquepodríarecuperarsedecobre.

¿cuántastoneladasdecobrepodríanrecuperarse?

a) planteelaecuaciónquelepermitaresolverelproblema.

b)resuélvala.

c) ¿cuántastoneladasdecobreserecuperaríanalañoalreutilizarlosteléfonoscelulares

quesedesechan?

d)verifiquequesurespuestaseacorrecta.

consulteelmóduloPor un mejor ambienteparaconocerformasdeahorrarelaguayde

reciclaralgunosproductos.


138

8 un señor cobraeldobleque suhijoporhacerun trabajo.estemes entre losdosganaron

$4 500.00,¿cuántoganóelpapáycuántoelhijo?

a) planteelaecuaciónquelepermitaresolverelproblema.

b)resuélvala.

c) ¿cuántoganóelpapá? ¿cuántoelhijo?

d)verifiquequesusrespuestasseancorrectas.


a) 3d=15

b)5x=125

c)6a1a=77

d)35b2 b=306

e) a

7 =4

F) m

9 =9

g)x

25 =38


139

pararesolverecuacionesdelaforma

ax=b

bastacondespejaraxlocualse

lograaldividirambosmiembros

delaecuaciónentrea.

ax= b

ax

a = b

a

x =b

a

ejemplo.

5x= 950

5x

5 = 950

5

x = 950

5

x = 190

•

•

pararesolverecuacionesdelaforma

x

a =

b

bastacondespejarxlocualselogra

almultiplicarambosmiembrosdela

ecuaciónpora.

x

a =

b

( x

a )a =

(b)a

x= (b)a

ejemplo.

x

16 =

9

( x

16)16 = (9)16

x= (9)(16)

x= 144

•


140

Propósito: Usted resolverá problemas que involucran ecuaciones de la forma

ax + b = c y xa

+ b = c.

Actividad 14Grandes construcciones

¿conocealgunasdelasconstruccionesquehayenlaciudaddeméxico?,¿quéconstrucciones

hayenellugarenqueustedvive?comenteconsuasesoroasesora.

debidoalasobrepoblaciónquehayeneldistritoFederalsehacenecesarialaedificaciónde

másconstrucciones.porejemplo,porlagrancantidaddeautomóvilesquecirculanenla

ciudadexisteunagrandemandadelugaresparaestacionamiento.

Fuente:periódicoEl Universal,domingo29demayode2005,p.c2,

comunidadyservicios.

1 sobrelaavenidaJulio

vernecasiesquinacon

reformaquierenhacer

unestacionamiento

subterráneo.La

propuestasemuestraa

continuación:


141

a) estudiecondetenimientoeldibujo.

¿cuáleslaincógnita? ¿quéesloquerepresenta?

b) ¿quédatosseconocen?

c) ¿cuáldeellosesinnecesarioparaconocerelvalordelaincógnita?

d)planteeunaecuaciónquelepermitaconocerelvalordelaincógnita.

e)resuélvalayverifiquequesuresultadoseacorrecto.

F) ¿cuáleselanchodecadahileradecajones?


142

La incógnita es la medida del diámetro de los

semicírculos. En el dibujo está representada

por la letra d.

Conozco las medidas del ancho del puente y

de las partes que complementan los diámetros

de los semicírculos.

situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanterioresestudieelrazonamientode

antonioyFilemón.

antonioyFilemónnecesitanconocereldiámetrodelossemicírculosquesostienenelpuente.

8,5 m

3,5 m

0,8 m

d d

0,8 m1,6 m


143

Tienes razón, el diámetro de

cada semicírculo es 2.65 metros.

¡Compruébalo!

¡Ahora! Para despejar d primero

hay que quitar el 3.2:

2d 1 3.2 2 3.2 = 8.5 23.2

2d = 5.3

Después el 2 :

2d

2 = 5.3

2

d = 2.65

La ecuación de la situación anterior es:

0.8 1 d 1 1.6 1 d 1 0.8 = 8.5

Simplificando:

2d 1 3.2 = 8.5


144


2 doñaadelitarecibióentotal$2 900.00por4 semanasdetrabajoyunacompensaciónde

$300.00.¿cuántoganasemanalmente?


b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita. planteeuna

ecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.

c)asegúresequehayequivalenciayquerepresentalasituaciónanterior.

d)resuelvalaecuaciónyverifiquequeescorrectoelresultado.

e) ¿cuáleselsueldosemanaldedoñaadelita?

3 en el año 2000 un importante empresario proyectó la construcción de un santuario en

guadalajara.paraelaño2004elproyectohabíaperdidoterrenoparalaconstrucciónpues

apenassuperabacon1.6hectáreaslamitaddeloplaneadoinicialmente,yasólocontabacon

9.6hectáreasparalaconstrucción.¿cuántashectáreasmedíainicialmenteelterrenoparael

santuario?


b)elijaunaletrapararepresentarlaincógnita. planteeunaecuaciónque

relacionelosdatosdelproblema.



e) ¿concuántashectáreassecontabaparaconstruirelsantuario?

F) ¿cuántashectáreasseperdieronparalaconstrucción?


145

observecómoplanteayolandalasiguientesituación.

La cuarta parte de la caja de chocolates más 3 son 15 chocolates.

¿Cuántos trae la caja?

Se puede plantear la ecuación:

x

4 1 3 = 15

Primero quito el 3 restándolo en

ambos miembros de la ecuación:

x

4 1 3 = 15

x

4 1 3 2 3 = 15 23

x

4 = 12

¡Ahora! Para despejar a x, multiplico

por 4 ambos miembros de la

ecuación:

( x

4 )(4) = (12)(4)

x = 48

La caja trae 48 chocolates.

¡Compruébalo!


146

4 sobreperiféricohayunedificioconlasiguienteformaymedidas:

Lamacetaestáa4.1mporencimadelsuelo,yaunaquintapartedelaalturadeledificio

menos1.5m.¿cuáleslaalturadeledificio?


b)planteeunaecuaciónquerelacionelosdatosdelproblema.



e) ¿cuáleslaalturadeledificio?

5 Jimenaahorró$700.00,lefaltan$60.00paratener4veceslacantidaddedineroquetiene

rosita.¿cuántodinerotienerosita?

maceta

h


147

6 enunanunciocolocaron5 focos,quejuntosconsumen475wattsdeenergíaeléctrica.el

primeroesde100watts,elsegundode150wattsylosotros3consumenigualcantidadde

energíaeléctrica.¿cuántoswattsconsumecadaunodelosúltimos3focos?

7 LafórmulaparaconvertirgradoscentígradosaFahrenheites:

°F =9

5 °c 1 32

a) despeje°cparaencontrarlafórmulaparaconvertirgradosFahrenheitacentígrados.

LafórmulaparaconvertirgradosFahrenheitacentígradoses:

°c =5

9 (°F232)

b)compárelaconelresultadoqueustedobtuvo.c) ¿cometióalgúnerror? ¿cuál?

paraconvertir15 °ca°F:

F=9

5 °c132

°F=9

5 315132

=135

5 132

=27132

59°F

• paraconvertir120 °Fa°c

c=5

9 (°F232)

°c=5

9 3(120232)

=5

9 388

=440

9

48.8°c

•

-20

-10

0

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0

°C °F

Punto deebullición

Punto decongelación


148

8 maríatienequecocinarunpastela200 °c,perosuhornoestágraduadoengradosFahrenheit.

¿acuántosgradosdebedehornear?

9 Felipecomprócarnemolidadepollo.enlaetiquetadicequesedebecocinara165 °F,pero

él solo tieneun termómetroparamedir temperaturade lacarneengradoscentígrados. ¿a

cuántosgradoscentígradostienequecocinarlacarne?

pararesolverunaecuacióndela

forma x

a 1b =

c

pararesolverunaecuacióndela

forma ax 1 b = c

ax 1 b = c

ax 1 b 2 b = c 2 b

ax = c 2 b

ax

a =

c 2b

a

x =c 2b

a

ejemplo.

5x 1 10 = 280

5x 1 10 2 10 = 280 2 10

5x = 270

5x

5 =

270

5

x = 54

x

a 1 b = c

x

a 1 b 2 b = c 2 b

x

a = c 2 b

(x

a )(a) = (c 2 b) (a)

x = (c 2 b)(a)

ejemplo.

x

9 130= 84

x

9 130230= 8423

x

9 = 54

(x

9 )(9) = (54)(9)

x = 486


149

Para saber más

ensurevistadeLecturas,lea“¿vivirsinmatemáticas?¡imposible!”,ycontestelassiguientes

preguntas:

1. mireasualrededoryescribaelnombredetodosaquellosaparatosysituacionesque

requierendelasmatemáticasparasufuncionamiento.

2. ¿cuálhasidoelpapeldelacomputacióneneldesarrollodelasmatemáticas?

paraconocerotrassituacionesdondelasmatemáticasestánpresentes,resuelva“tráficoen

labrecha”ensuFolleto de juegos.despuésreflexioneenquéotrassituacionesseaplicanlas

matemáticas.

1

1 2 2

2

2

2

1

1 2 2


1 ¿cómoleharíaparamedir7litrosdelechesisólotieneunamedidade5yunade3 litrosy

elrecipientedondeestátodalaleche?

2 planteeunaecuaciónquerepresentelasiguientesituación:“Latercerapartedeunnúmero

másdosesiguala20”.

3 pánfilocompró$27.00depanypagóconunbilletede$200.00;lacajeralepidió$3.00

yledio$170.00decambió.¿Ledieronbiensucambio?

a) planteeunaecuaciónquerepresentelacantidaddedineroqueestádandopánfiloylo

quelacajeraleestáregresandomásloquefalta.

b)resuelvayverifiquesurespuesta.

c) ¿cuántodineroperdiópánfilo?


150

4 analicelasiguientesituación.

a) planteeunaecuaciónquerepresentelasituaciónanterior.

b)resuélvalayverifiquesurespuesta.

c) ¿cuántovalex?

5 analicelasiguientesituación.

a) planteeunaecuaciónquerepresentelasituaciónanterior.

b)doñamarytieneunportadordefrascosdecondimentoscomoelanterior,perosele

quebróunfrasco.ellaquierecomprarlo,¿quédiámetrodebetenersufrascoparaque

quepaensuportador?


151

17,5 cm

d

Orégano

õ

ö

Clavo õ

ö

Canela õ

ö

Sal õ

ö

165 cm

85 cm

x

6 unahojadetriplayestresvecesmáslargaqueanchaytieneunperímetrode9.6m.¿cuáles

sonsusmedidas?

a) Hagaundibujoquerepresentelasituaciónplanteada.

b)planteelaecuaciónyresuélvala.

c) ¿cuálessonlasmedidasdelahojadetriplay?

7 paraproducirunkilogramodecarnedepolloserequieren5 000litrosdeagua,unatercera

partedeloqueserequiereparaproducirunkilogramodecarnederes.¿cuántoslitrosdeagua

serequierenparaproducirunkilogramodecarnederes?

a) planteelaecuaciónyresuélvala.

b) ¿cuántoslitrosdeaguasenecesitanparaproducirunkilogramodecarnederes?


152

8 Losterrenosdedonandrésproducen1 500kgdetabaco,100kgmenosque3

4 partesde

loqueproducíanhacealgunosaños.¿cuántoskilogramosdetabacoproducíanantes?


b)elijaunaletrapararepresentarla.

c)planteelaecuaciónyresuélvala.

d)¿cuántoskilogramosdetabacoproducíalatierrahacealgunosaños?


a) 80 1 x = 135

b)189 2 y = 39

c)9c=345

d)8d 1d =63

e)6m23m =33

F) 27x 1 5 = 32

g)89x 2 5 = 21 152

H)x

4 1 3 = 14

i)m

6 224 = 422

J)n

25255 =890


153

UNIDAD 5UNIDAD 5 Relaciones en plano cartesiano


• Resolverá problemas que involucran la relación entre dos variables.

• Graficará la relación entre dos variables.

• Resolverá problemas utilizando gráficas.

Operaciones avanzadas Unidad 5 Relaciones en plano cartesiano

156

Propósito: Usted resolverá problemas que involucran la relación entre dos variables.

Actividad 15 Botella llena

¿Haoídohabardelinspectordebotellallena?,¿algunavezhacompradounrefresco

ocervezamediollenoomediovacío?comenteconsuasesoroasesora.

Laleydecomercioobligaalos

productoresaenvasarlacantidadde

productoqueofrecenenlaetiqueta.

elinspectordebotellallenaseencarga

deverificarquelabotellalleveel

contenidoindicado.

1 david es inspector de botella llena en una fábrica de cerveza. para saber rápidamente la

cantidaddecervezaquefaltaapartirdemedirlaquetienelabotella,élhizounatablacomo

lasiguiente:

dondexrepresentalacantidaddecervezaquecontienelabotellaenmililitrosyy lacantidad

quefaltaenmililitros.

a) ¿quécantidaddecervezadebellevarlabotella?

b) ¿siemprequecambiaelvalordexcambiaeldey?

c) ¿quévalordebetenerxparaqueyvalgacero?

d)¿quévalordebetener yparaquexvalgacero?

x 215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315

y 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10


157

2 analicelasecuacionesquesegúndavidyanarepresentanlarelaciónentrexyy.

david ana

y = 325 2 x y 1 x = 325

a) discutaconsuscompañeros,¿quiéndelosdosestáenlocorrecto?

b)ubiquelosparesdevalores(x,y)quefaltanycompletelagráfica.

205

0

0

20

40

60

80

100

120

140

215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315

Contenido

Falt

ante

Botella llena


158

situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,analiceelrazonamientode

gustavoyuriel.

¡Vamos a ver!

Si cada caja de leche trae 12 litros, la

cantidad de litros que consumimos más

los que quedan debe ser igual a 12.

Lo cual lo podemos representar como

x 1 y = 12

Donde x representa la cantidad de

litros que tomamos en tanto que y, los

que quedan.

También puede ser

y = 12 2 x

Tienes razón, y podemos hacer una

tabla y gráfica como las siguientes:


159

cuandounaecuacióntienedosliteralesquerepresentannúmerosdesconocidosypuedeser

resueltaporvariosparesdenúmerosquecorrespondenalosvaloresdelasliterales,sedice

quedichasliteralessonvariables.

porejemplo,enlaecuación:

y = 2x

laxpuedetomarmuchísimosvalores,porejemplo,sixvale1,yvale2;perosixvale2,

yvale4;ysixvale50,yvale100.porloquexyysonvariables.

elvalordeyenlaecuacióndependedelvalorqueseleasigneax,porloquexesla

variableindependienteyylavariabledependiente.

•

•

1

0

0

2

4

6

8

10

12

14

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Litros consumidos

Litr

os

qu

e q

ued

an

cajadeLeche

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3


160

()


3 unaempresaprivadaanuncióqueporcadapesoquelagentedoneparalaluchacontrael

cáncer,aportarádos.

a) elijaunaletrapararepresentarlacantidaddedineroqueaportarálaempresa.

b) ¿dequédependedichacantidad?

c)elijaunaletrapararepresentarlacantidaddedineroqueaportelagente.

d)escribaunaecuaciónqueexpreselarelaciónentrelasdosvariables.

e)completelatablaescribiendolasletrasqueeligiópararepresentarlasvariablesylos

valoresquefaltan.

F) elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentrelosdatosdelatabla.

()

Gente ( )

Empresa ( ) 1 millón 2 millones 3 millones 4 millones 5 millones 6 millones


161

4 elcochedeagustíngasta1litrodegasolinaporcada12kilómetros.

a) utilizandolaxpararepresentarlacantidaddelitrosdegasolinaquegastaelcochey

laypararepresentarloskilómetrosquerecorre,escribalaecuaciónquerepresentala

relaciónentrelasdosvariables.

b)conbaseenlainformaciónanterior,completelasiguientetabla:

c)elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentrelacantidaddelitrosdegasolinay

loskilómetrosrecorridos.

5 Lostaxisdesitiocobran$5.00porcadakilómetrorecorridomás$8.00porservicio.¿cuánto

cobranporunviaje?

a) utilizandolaxpararepresentarlacantidaddekilómetrosdedistanciaenunviaje

ylaypararepresentarelpreciototaldelviaje,escribalaecuaciónquerepresentala

relaciónentrelasdosvariables.

y

x

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 12


162


c)elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentreloskilómetrosdedistanciayel

precioapagar.y

x

ustedpodráencontrardiferentesecuacionesquerelacionandosvariables,porejemplo:

P = 4l

dondePrepresentaelperímetrodeuncuadradoyllamedidadellado.

tambiénencontraráquegeneralmenteseutilizalaxpararepresentarlavariable

independienteylayparalavariabledependiente,porloqueenlagráficalosvaloresde

lavariableindependientecorrespondenalasabscisasoejehorizontalylosvaloresdela

variabledependientecorrespondenalasordenadasoejevertical.

•

•

variableindependiente:x

variabledependiente:y

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y 13 18


163

¿Paga usted impuestos?, ¿hace usted declaración de impuestos? ¿Alguna vez ha

pedido una factura para comprobar gastos? ¿Ha oído hablar del IVA desglosado?

Comente con su asesor o asesora.

El Impuesto al Valor Agregado (IVA) es un 16% que pagamos de impuesto por casi todo lo que

consumimos: ropa, zapatos, artículos electrodomésticos, etcétera.

Cuando una persona trabaja en forma independiente puede comprobar gastos por medio de

una factura en la cual debe ir el IVA desglosado, es decir, en la factura deben aparecer el precio

del artículo sin IVA, el 16% sobre el precio del artículo y el precio total.

1 Fernando es cajero de una tienda donde venden artículos como los siguientes:

Propósito: Usted graficará la relación entre dos variables.

Actividad 16 ¡Factura!

Lp fotosmart

435

$1 960.00con IVA con IVA

con IVA

con IVA

con IVA

$3 599.00

$6 180.00 $19 299.00

$6 299.00

Syber-shot

TSD - C43

Lp fotosmart

R707

Proyector Lp

SB-21

Paquete Minilab

Impresora Cámara digital Papel fotográfico Memory Stick


164

Con mucha frecuencia Fernando tiene que hacer facturas con IVA desglosado.

Fernando sabe que para calcular el precio de un artículo sin IVA, sólo tiene que sustituir en la

ecuación siguiente, la x por el precio final del artículo:

y = x

1.16

A) Para llenar los datos de la factura, calcule el precio de la cámara de la factura sin IVA.

Calcule el 16% de IVA.

B) Para comprobar si es correcto, sume y compare con el total.

C) Para completar la tabla, encuentre el precio sin IVA de cada uno de los siguientes

artículos. Analice el ejemplo.

ArtículoPrecio final

x

Sustitución del precio final en la ecuación

y = x

1.16

Precio sin IVA

y

Lp fotosmart 435 $1 960.00 y = 1 960

1.16$1 689.65

Lp fotosmart R707

Syber-shot TSD–C43

Proyector Lp SB–21

Paquete Minilab


165

Para calcular el IVA de un artículo tienes

que multiplicar por 0.16 el precio, para

después sumar y encontrar el precio

final.

Por lo que finalmente pagas un 116%,

es decir, el 100% de lo que cuesta el

artículo más un 16% de impuesto.

Ahora, si la cámara cuesta $5 999.00

con IVA incluido, quiere decir que ello

es un 116%, que expresado en forma

decimal es 1.16.

Con una regla de tres y expresando los

porcentajes como decimales tenemos:

1.16

1 =

5 999

y

y = (5 999)(1)

1.16

y = 5 999

1.16

2 Fernando desea saber por qué la ecuación y = x

1.16 funciona para conocer el precio de

cualquier artículo.

A) Analice los argumentos que le dan 2 compañeros.

Adriana Gerardo

Vamos a representar el precio sin IVA

con y, y como el impuesto se calcula

multiplicando el precio por 0.16

entonces el impuesto de y es 0.16y.

Por lo que el precio final es la suma de

ambos:

x = y + 0.16y

Como el coeficiente de y es 1

x = 1.16y

donde x representa el precio final.

Ahora, si queremos conocer el precio

sin IVA, lo único que tenemos que hacer

es despejar y.

y = x

1.16


166

b) ¿soncorrectoslosdosargumentos?

c) ¿quiéndelosdosargumentaporquélafórmulapuedeaplicarseparacalcularel

preciosinivadecualquierartículo?

d)¿cadaprecioconivacorrespondeaunsolopreciosiniva? yviceversa,

¿cadapreciosinivacorrespondeaunsoloprecioconiva?


3 elimpuestosobrelarenta(isr)representaun10%delasgananciasnetasdeltrabajador.

detalformaquelacantidaddedineroqueunapersonarecibefinalmenteporsutrabajoestá

definidaporlaecuacióny = x – 0.10x

a) enlatablasiguienteasignevaloresdiferentesaxycalculelosvalorescorrespondientes

ayencadacaso.analicelosejemplosyprocurequelascantidadesvayanaumentando

conciertaregularidad.b)grafiquelosdatosdelatabla.


167

y

x

situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,observeelprocedimientode

elena.

¡Vamos a ver!

Me dijeron que para calcular mi salario puedo

usar la siguiente ecuación:

y = 8x + 1 500

Donde y representa el sueldo total quincenal y x la

cantidad de pares de zapatos que venda. Mi sueldo

base es de 1 500 pesos a la quincena.

Voy a hacer una tabla y su gráfica para tener idea de

cuánto puedo ganar a la quincena. Como mínimo voy

a suponer que vendo 15 pares a la quincena.

x y

2300 2 0702600 2 340

x 15 20 25 30 35 40 45 50 55

y 1 620 1 660 1 700 1 740 1 780 1 820 1 860 1 900 1 940


168

y

x

4 enlatablasiguiente,asignevaloresaxenlaecuacióny = 2x 1 25ycalculelosvalores

deycorrespondientes.

elaboreunagráficaconlosdatosobtenidos.

15

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

20 25 30 35 40 45 50 55

Número de pares de zapatos

Sueld

o c

on c

om

isió

n

sueldoquincenal

x

y


169

pararesolverunaecuacióncondosvariables,hayqueasignarvaloresalavariable

independienteycalcularlosvalorescorrespondientesdelavariabledependiente.por

ejemplo,enlaecuación:

y =x

2

sepuedeasignarvariosvaloresaxparacalcularlosdey,yconellosgraficar.

•

20

0

10

10

20

30

40

50

60

30 40 50 60 70 80 90 100 110

y

x

x 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

y 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55


170

Para saber más

1. ¿algunavezsehanegadoaaprenderalgoqueaparentementenotieneunaaplicación

inmediata? ¿porqué?

ensuRevistaLecturas de matemáticas,leaelartículo“matemáticasaplicadas”,ycontestelas

siguientespreguntas:

2. ¿quéseentiendepormatemáticasaplicadas?

3. ¿porquéestandifícilhacerunadistinciónentrelasmatemáticaspurasylasaplicadas?

desarrollesuubicaciónespacialconunpasatiempodelFolletodejuegos llamado“el

zoológico”.

comparesusrespuestasconlasdesuscompañeros.


171

Propósito: Usted resolverá problemas utilizando gráficas.

Actividad 17¿Cuál le conviene más?

¿usaustedcelular?,¿conocealguienquelouseconmuchafrecuencia?,¿tieneusted

ideadeloquepuedecostarmensualmentesuuso?comenteconsuasesoroasesora.

actualmenteunagranpartedela

poblaciónmexicanausateléfonocelular.

Lasdificultadesqueexistenparallevar

teléfonosatravésdecableshansido

superadasporlatelefoníacelular,lacual

generalmentecobraportiempoaire,es

decir,sóloporeltiempoenqueseestáen

contactoconotroteléfono.

1 robertodeseaadquirirunteléfonocelular.Leofrecierondosplanes.enmexceltienequepagar

unarentamensualde$180.00más$0.50porcadaminuto,yencelfonlecobran$3.50

el minuto de tiempo aire. ambas compañías cobran tiempo medido, si sólo hablas medio

minuto,tecobransólomediominuto,etcétera.

¿cuántosminutosnecesitahablarrobertocomomínimoparaqueleconvengamás

mexcel?

a) utilicelaletraypararepresentareltotaldepagomensualylaxpararepresentarel

númerodeminutosdetiempoaireyplanteeunaecuaciónquerepresenteelcosto

mensualdeunteléfonodemexcel.

b)representeelcostomensualdeunteléfonodecelfon.


172

c)analicelosejemplosycompletelatablasiguientedeacuerdoconlosdatosdeambas

compañías.

d)ubiquelosparesdenúmerosquefaltanycompletelasgráficasdeambosservicios

telefónicos.

e) ¿cuántosminutosnecesitausarelteléfonocomomínimoparaqueleconvengaa

robertocontratarconmexcel?

F) ¿enelusodecuántosminutospagalomismoenambascompañías?

g)sihablaaproximadamente40minutosporteléfonoalmes,¿cuálcompañíale

convienecontratar?

H)amandarequierehablar90minutosporteléfonoalmes,¿cuálcompañíaleconviene

contratar?

¿cuántoahorraríaconrespectoalaotracompañía?

i)Federicohablaalrededorde120minutosporteléfonoalmes,¿cuálcompañíale

convienecontratar? aproximadamente,¿cuántoahorraríacon

respectoalaotracompañía?

Minutos 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Mexcel ($) 185 190 195

Celfon ($) 35 70 105

Peso

s

Número de minutos

comparacióndeprecios

0

100

200

300

400

10 20 30 40 50 60 70 80 90


173

situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanterioresanaliceelrazonamientode

donLupercio.

¡Vamos a ver!

Donde trabajo me pagan a la semana $800.00 más

$5.00 por metro cuadrado de tabique que pego,

es decir, y = 800 1 5x

La nueva constructora me ofrece $200.00 a la semana

más $22.00 por cada metro cuadrado de tabique,

es decir, y = 200 1 22x

¿Cuántos metros cuadrados de tabique tengo que pegar como

mínimo a la semana para que me convenga cambiar de trabajo? Voy

a hacer una tabla y una gráfica para comparar.

Tabique (m2) [x] 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Empleo actual ($) [y] 800 850 900 950 1000 1 050 1 100 1150 1 200

Empleo nuevo ($) [y] 200 420 640 860 1080 1300 1520 1740 1960

0

0

500

1000

1500

2000

2500

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Peso

s

Número de minutos

comparacióndesueldo

Empleo actual

Empleo nuevo

x

y


174

¿Para hacer la gráfica del sueldo de tu empleo

actual, consideraste los puntos:

(10, 850), (20, 900), (30, 950) y así sucesivamente?

Sí, y si pegas casi el doble, es decir, 70 metros

cuadrados, ganarás $ 590.00 más en la nueva

constructora.


2 paragraficarlasecuaciones y 1 2x = 40yy 2 10x = 10,primerodespejelay,o

variabledependiente,deambasecuaciones.

a) analicelosejemplosycompletelastablas.

Así es, y para hacer la gráfica del sueldo del nuevo

empleo, consideré los puntos:

(10, 420), (20, 640) y así todos los demás.

Ahora podemos ver que las líneas se cruzan cuando

x vale 35.2941, lo que quiere decir que en ambas

constructoras pagan lo mismo al pegar 35.2941

metros cuadrados de tabique; pero si pego más de

dicha cantidad, me conviene más el empleo nuevo.


175

b)ubiquelospuntosquefaltanycompletelagráfica.

c)¿enquépuntosecruzanambaslíneas?

d)compruébelosustituyendodichosvaloresenlasecuaciones.

3 oliviavaarentaruncoche.enlaarrendadora“delujo”cobran$150.00más$35.00por

kilómetrorecorrido,yenla“comodidad”cobran$40.00porkilómetrorecorrido.¿conqué

arrendadoraleconvienecontratarsilosturistasqueguíaquierenhacerunpaseode20km?

a) escribalaecuaciónquerepresentaelprecioen“delujo”.

y = 40 2 2x

Valores de x Valores de y

0 40

1 38

10

20

30

y = 10 1 10x


0 10

1 20

10

20

30

10010010010 202020 303030 404040 505050 606060 707070 80880 9090900

100

-100

200

300

400

y = 40 – 2x

y = 10 + 10x


176

b)escribalaecuaciónquerepresentaelprecioen“comodidad”.

c)completelosdatosdelasiguientetabla.

d)Hagaunagráficaquemuestrecómoserelacionanlosdatos.

e)¿concuálarrendadoraleconvienecontrataraolivia?

4 contestelassiguientespreguntas.

a) ¿quéventajasencuentraustedalescribirlasrelacionesdeunasituaciónoproblema

comoecuación?

b) ¿quéventajasencuentraustedalgraficardosecuacionesenlaresolucióndeun

problema?

Pre

cio

en p

eso

s

Kilómetros

rentadeautos

“Delujo”

“Comodidad”

0

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Kilómetros recorridos 20 40 60 80

“Delujo” ($) 850

“Comodidad” ($) 800


177

Lastablasylasgráficaspermitenencontrarregularidadesenlosdatosycompararcon

otrosdatos.

ejemplo.

siustedquieresabersileconvienemáscontratarsepor$2 300.00almesmás

$10.00decomisiónporcadaventaopor$1 500.00almesmás$30.00 de

comisiónporcadaventa,puedeplantearlassiguientesecuaciones:

y = 2 300 1 10x

y = 1 500 1 30x

Hayqueasignarvaloresaxysustituirlosenambasecuacionesparacalcularelvalordey.

sólohaciendomásde40ventasalmesleconvieneelsegundocontrato.ellodependedequétanfácilseavenderelproductoodequétanbuenvendedorsea.

•

Sueld

o m

ensu

al e

n p

eso

s

Número de ventas

y = 2300 + 10x

y = 1500 + 30x

0

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

Tipo de contrato

10 20 30 40 50 60 70 80 90

x 0 10 20 30 40 50

y = 2 300 1 10x 2 300 2 400 2 500 2 600 2 700 2 800

y = 1 500 1 30x 1 500 1 800 2 100 2 400 2 700 3 000



1 unaempresaprivadaanuncióqueporcadapesoquelagentedoneparalaluchacontrael

cáncer,aportarátres.

a) elijaunaletrapararepresentarlacantidaddedineroqueaportarálaempresa.

b) ¿dequédependedichacantidad?

c)elijaunaletrapararepresentarlacantidaddedineroqueaportelagente.

d)escribaunaecuaciónqueexpreselarelaciónentrelasdosvariables.

e)completelatablaescribiendolasletrasqueeligiópararepresentarlasvariablesylos

valoresquefaltan.

F) elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentrelosdatosdelatabla.

0

y

x

Gente ( ) 1 millón 2 millones 3 millones 4 millones 5 millones 6 millones

Empresa ( )

178

2 Lacamionetadelrepartidordelechegastaun1 litrodegasolinaporcada8 kilómetros.

a) utilizandolaxpararepresentarlacantidaddelitrosdegasolinaquegastala

camionetaylaypararepresentarloskilómetrosquerecorre,escribalaecuaciónque

representalarelaciónentrelasdosvariables.


c)elaboreunagráficaquerepresentelarelaciónentrelacantidaddelitrosdegasolinay

loskilómetrosrecorridos.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 8

179

0

y

x


3 enlatablasiguiente,asignevaloresaxenlaecuacióny = 12x – 7,ycalculelosvalores

de ycorrespondientes.

a) elaboreunagráficaconlosdatosobtenidos.

4 enlaempresadondetrabaja,robertotuvoqueelegirquelepaguensemanalmente$150.00

fijosmás$35.00porteléfonocelularvendido,osinsueldofijo,sólo$50.00 porteléfono

celular vendido. ¿cuál es la mínima cantidad de teléfonos que debe vender para que le

convengamáslasegundaopción?

a) escribalaecuaciónquerepresentalaprimeraopción.

b)escribalaecuaciónquerepresentalasegundaopción.

x

y

0

y

x


180

c)completelosdatosdelasiguientetabla.

d)Hagaunagráficaquemuestrecómoserelacionanlosdatos.

e) ¿enquécasosconvienemáslaprimeraopción?

¿ylasegunda?

5

0

200

400

600

800

1 000

1 200

10 15 20 25 30 35 40 45

Sueld

o s

em

anal

en p

eso

s

Teléfonos vendidos en una semana

sueldo

Primera opción

Segunda opción

Número de teléfonos vendidos 5 10 15 20

Primera opción $325 $850

Segunda opción $250 $1 000


181

182

UNIDAD 6UNIDAD 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas


• Resolverá problemas que involucran un sistema de ecuaciones con dos incógnitas mediante métodos de sustitución y de suma o resta.

183

• Aplicará métodos para resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: sustitución, suma o resta y graficación.

Operaciones avanzadas Unidad 6 Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

184

¿perteneceustedaalgunacooperativa?,¿quésabeustedacercadelascooperativasy

delasventajasqueofrecenasusintegrantes?comenteconsuasesoroasesora.

Lasdificultadesquelospequeñosproductoresoconsumidorestienenparacomercializarsus

productosoparacomprarmateriaprimalesobligaaasociarseencooperativas.Lasventajas

quelascooperativasofrecenasusasociadosvandesdelaposibilidaddecompraramenor

preciolamateriaprimahastavendersusproductosamejoresprecios.

1 gabrielaestesoreradelacooperativayoloxóchitl,quesóloelaboratapetesdedostamaños.el

preciodelostapeteschicosesde$250.00ydelosgrandesde$450.00.

alhacersurelacióndeventasdeldíadeayer,ledijeronqueentotalhabíanvendido12

piezasdetapetesdelosdostamañosyreunido$4 000.00.

¿cuántostapetesdecadatamañovendieron?

a) ¿cuálocuálessonlasincógnitasdelproblema?

b)elijaunaliteralpararepresentarelnúmerodetapeteschicosquesevendieronyotra

paraelnúmerodetapetesgrandes.

c)escribaunaecuaciónquerelacioneelnúmerodetapeteschicos,

elnúmerodetapetesgrandesyeltotaldetapetesvendidos.

Propósito: Usted resolverá problemas que involucran un sistema de ecuaciones con dos incógnitas mediante métodos de sustitución y de suma o resta.

Actividad 18 Yoloxóchitl


185

d)escribaunaecuaciónquerelacioneelpreciodelostapeteschicos,el

preciodelostapetesgrandesyelpreciototaldelostapetesvendidos.

e) intenteresolverlasecuacionesqueobtuvo;sinopuede,analicelasituaciónsiguientey

vuelvaaintentarlo.

Luisygabrielaresolvierondelasiguientemaneraunasituaciónparecidaunosdíasantesde

quesubieranelpreciodelostapetes.

Tengo dos ecuaciones, ambas surgen de la misma situación, por

lo que puedo resolverlas como un sistema.

El sistema de ecuaciones es:

x 1 y = 14

220x 1 400y = 4 520

Si se vendieron 14 tapetes en total por los que cobramos $4 520.00 y

el tapete chico cuesta $220.00 y el grande $400.00, ¿cuántos tapetes

grandes y cuántos chicos vendimos?

Si represento al número de tapetes

chicos con x y con y al número

de tapetes grandes, tengo que

x 1 y = 14.

También sé que el importe de los

tapetes chicos

vendidos es 220x y el de los grandes

es 400y.

Como la suma de ellos da 4 520,

tengo que 220x 1 400y = 4 520


186

(1) x 1 y = 14

(2) 220x 1 400y = 4520

despejoxenlaecuación(1): x = 14 2y

sustituyoelvalordexenlaecuación(2): 220(14 2y) 1 400y =4 520

realizolasoperaciones: 3080 2 220y 1 400y = 4 520 3 080 1 180y = 4 520 180y = 4 520 2 3 080 180y = 1 440

y = 1 440

180 y = 8

unavezconocidoelvalordeylosustituyoenlaecuación(1): x 1 8 = 14

despejox paraencontrarsuvalor: x = 14 2 8

realizolasoperaciones: x =6

Finalmentecompruebo: 6 1 8 = 14 220(6) 1400(8) = 4 520 4 520 = 4 520


187

Muy sencillo. ¡Fíjate!

8(4 1 5) = 8(4 1 5) =

8(9) = 72 8(4) 1 8(5) =

32 1 40 = 72

La multiplicación de un número por la suma de dos o varios sumandos es igual que

multiplicar ese número por cada uno de los sumandos y después hacer la suma de

los productos. A esta propiedad numérica se le llama propiedad distributiva de la

multiplicación con respecto a la suma y a la resta, porque también aplica para la resta.

Un ejemplo en una situación algebraica es el siguiente:

8(4x 1 5) =

8(4x) 1 8(5) = 32x 1 40

Yo pongo un ejemplo con resta:

6(10 2 4) = 6(10 2 4) =

6(6) = 36 6(10) 2 6(4) =

60 2 24 = 36

Y si fuera álgebra, sería:

5(10x 2 6) =

5(10x) 2 5(6) = 50x 2 30

Lo único que no entendí fue: ¿por qué al multiplicar 220(14 2 y),

primero multiplicas 220 por 14 y luego 220 por 2 y?


188

elmétodo de sustituciónpararesolverunsistemade2ecuacionescon2incógnitas

deprimergradoseiniciadespejandounavariableyencontrandosuvalorentérminosdela

otra.enelejemploanteriorsedijoquex = 14 2y

posteriormente,sesustituyedichovalorenlasegundaecuaciónyseobtieneunaecuación

conunaincógnita,lacualseresuelveenlaformayaconocida.

unavezhalladoelvalordelaincógnitaenlasegundaecuaciónsesustituyeenlaprimera,

quedandounaecuaciónconunaincógnita,lacualseresuelveenlaformayaconocida.

Finalmente,secomprueba,sustituyendoelvalorencontradoparacadaincógnitaenlas

dosecuacionesiniciales.


2 La entrada al circo cuesta $65.00 para adulto y $35.00 para niño. Hoy recaudaron

$18 995.00por439boletosvendidos.¿cuántosboletosparaadultovendieronycuántos

paraniño?

a) planteeunaecuaciónentérminosdelosboletosvendidos.

b)planteeunaecuaciónentérminosdeldinerorecaudado.

c)resuelvaelsistemadeecuaciones.

•

•

•

•


189

d)¿cuántasentradasparaadultosevendieron?

e) ¿cuántasentradasparaniñosevendieron?

3 unapartede$4 000.00fueinvertidaaun3%deinterésanualyelrestoaun4%.alfinalizar

elañotuvounrendimientode$155.00,¿quécantidaddedinerofueinvertidaal3%yqué

cantidadal4%?

4 entre dos hermanos recibieron $6 500.00. si el menor recibió $800.00 menos que el

mayor,¿cuántorecibiócadauno?

5 unacargadequesospesa51.6kg.sientotaltrae27quesosde1.6 kgy2.3kg,¿cuántos

quesosdecadapesotrae?


190

analicelaformaenquerodrigoresuelveestetipodeecuaciones.

En la unidad residencial Bosques

del Oriente viven 229 personas,

que pertenecen a familias de 3 ó 5

integrantes. ¿Cuántas familias de

3 integrantes hay en la unidad y

cuántas de 5, si se sabe que ahí viven

65 familias?

Si represento con x al número de

familias de 3 integrantes y con y al

número de familias de 5 integrantes,

tengo que: x 1 y = 65

También sé que 229 es el número total

de personas que viven en la unidad,

por lo que al multiplicar el número

de integrantes de cada familia por el

número de familias de cada tipo tengo

la ecuación siguiente:

3x 1 5y = 229

Tengo dos ecuaciones que puedo

resolver por el método de suma o

resta.


191

(1) x 1 y = 65

(2) 3x 1 5y = 229

multiplicopor5laecuación(1):

5x 15y = 325

enestecaso,creoqueesmejorrestar.paraellovoyacolocarlasecuacionesdemaneraque

resultefácilrealizarlasoperacionesyrestoambosmiembrosdelaecuación(2)alaecuación

(1)quemultipliquépor5.

5x15y = 325

–3x15y = 229

2x10 = 96

resuelvolaecuaciónresultante:

2x= 96

x =96

2

x = 48

sustituyoenunadelasdosecuacionesinicialeselvalorencontradoylaresuelvopara

encontrarelvalordey:

48 1 y = 65

y = 17

comprueboenambasecuacioneslosvaloresencontradosyveoquesoncorrectos.

Locualsignificaqueenlaunidadviven48familiasde3integrantesy17de5integrantes.


192

6 resuelvalossiguientessistemasdeecuacionesusandoelmétododesustituciónoeldesuma

orestaqueseexplicaenlasiguientepágina.compruebesusresultados.

a) y = x 2 4 6x 2 7y = 21

b) x16y= 23 2x113y= 28

c) x 1 4y = 110 9x 1 2y = 140

d) 8m 1 n = 10 8m 1 7n = 22

e) y 2 3x = 34 x 2 8y = 27


193

Método de suma o resta para resolver un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con

2 incógnitas:

• Hay que sumar o restar los términos semejantes de ambas ecuaciones, de tal forma que

se elimine una incógnita:

3x 1 4y = 60 10x 1 4y = 44

13x 1 0 = 104

Se resuelve la ecuación obtenida:

13x = 104

x = 104

13

x = 8

Una vez conocido el valor de una incógnita se sustituye en cualquiera de las dos

ecuaciones iniciales y se resuelve la ecuación obtenida:

3(8) 1 4y = 60

24 1 4y = 60

4y = 60 2 24

4y = 36

y = 36

4

y = 9

Para comprobar se sustituyen los valores obtenidos en las ecuaciones iniciales:

3x 1 4y = 60 10x 2 4y = 44

3(8) 1 4(9) = 60 10(8) 2 4(9) = 44

24 1 36 = 60 80 2 36 = 44

60 = 60 44 = 44


194

encasodequeningunaincógnitatengaigualelvalorabsolutodesus2coeficientes,

puedemultiplicarsealgunadelasecuacionesporelnúmeroqueseanecesarioparaque

los2coeficientesdealgunadelasincógnitastenganelmismovalorabsoluto.

ejemplo:

(1) 3x 1 4y = 60

(2) 5x 2 2y = 22

sepuedemultiplicarlaecuación(2)por2yobtenerlosiguiente:

2(5x 2 2y) = 2(22)

10x 2 4y = 44

conloquequedaelsiguientesistemadeecuaciones:

3x 1 4y = 60

10x 2 4y = 44

•


195

¿quésabeusteddelas

microempresas?¿ensuestado

hayapoyoalapequeñaymedianaempresa?

comenteconsuasesoroasesora.

ennuestropaísgeneralmenteuna

microempresasólogeneraempleosparaunmáximode10personas.Lastiendasquesólo

generanempleoparalosmiembrosdeunafamiliasonmicroempresas.

1 en sus ratos libres Fernandoayudaa suhermanotoñoaatender la tienda. Fernando vio

quetoñocobró$136.00por5kgdefrijoly8sobresdegrenetinaparahacergelatinas,y

queenotromomentocobró$118.00por3kgdefrijoly10sobresdegrenetinaparahacer

gelatinas.¿cuáleselprecioporkilogramodefrijolycuálelde1sobredegrenetinaparahacer

gelatinas?

a) ¿quédatossondesconocidosenelproblema?

b) ¿cuálessonlosdatosqueseconocenenelproblema?

c)planteeunsistemadeecuacionesquerelacionelosdatosdelproblema.

Propósito: Usted aplicará métodos para resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: sustitución, suma o resta y graficación.

Actividad 19 La tienda familiar


196

d)grafiquelasdosecuacionesdelsistema.

e) ¿Laslíneasqueseformansonparalelasosecortanenunpunto?

sisecortan,¿cuáleselpuntodondesecortan?

F) resuelvaelsistemadeecuacionesporelmétododesumaoresta.

g)¿quérelaciónobservaentrelassolucionesqueencontróalresolverel

sistemadeecuacionesylospuntosdondesecortanlaslíneasquegraficó?

H)¿cuáleselpreciode1kilogramodefrijol?

¿cuáleselpreciode1sobredegrenetinaparahacergelatinas?

i) verifiquesusrespuestas.

0

y

x


197

analicelaformaenqueFernandaplanteaunsistemadeecuacionesyelmétododegraficación

queutilizapararesolverlo.

Por 7 veladoras y 8 kg de piloncillo, Toño cobró $74.00, y por 9

veladoras y 3 kilogramos de piloncillo cobró $66.00. ¿Cuánto tengo

que cobrar por 1 veladora y cuánto por 1 kilogramo de piloncillo?

Ahora, despejo la y en ambas ecuaciones:

y = 74 27x

8 y = 66 29x

3

Al asignar valores a x y sustituirlos en cada una de las ecuaciones,

obtengo los datos siguientes:

Si represento con x al precio

de una veladora y con y al

precio de un kilogramo de

piloncillo, entonces en la

primera venta tengo que:

7x 1 8y = 74

La segunda venta la

represento como:

9x 1 3y = 66


198

Como las líneas se cortan en el

punto (6, 4), quiere decir que

x = 6 y y = 4

Entonces el precio de una veladora

es de $6.00 y el kilogramo de

piloncillo cuesta $4.00

0

5

-5

10

15

20

2222222 4444 6666 8888

Veladoras y piloncillosy

x

y = 74 27x8

x y

1 8.37

5 4.37

10 0.5

y = 66 29x3

x y

1 19

5 7

10 –8

y = 66 29x3

y = 74 27x8


199


2 doñaFelipaespropietariadeuna tiendaqueatiende juntoconsushijos.en lacentralde

abastosuhijoledijoqueyasólotenían20paquetesderollosdepapelparabaño,peroqueno

recordabacuántoserande18rollosycuántosde24,sólosabíaqueentotalquedaban384

rollos.¿cuántospaquetesde18rolloshabíaenlatienda?,¿cuántospaquetesde24?




d)resuelvaelsistema,usandoelmétodoquemásselefacilite.

e)verifiquesusrespuestas.


200

3 donmiguelesganadero.vendió80vacasy160borregosen$139 200.00auncomprador.

alosmismospreciosporcabezavendióaotrocomprador50vacasy185borregos,porloque

recibió$114 200.00.¿cuáleselpreciodecadavacaydecadaborrego?




d)resuelvaelsistema,usandoelmétodoquemásselefacilite.

e)verifiquesusrespuestas.


201

4 resuelvalossiguientessistemasdeecuacionesconelmétodoqueconsideremásadecuado.

verifiquesusresultados.

a) 13m 2 4z = 26

7m 1 8z = 78

b) 9a 1 7b = 17

7a 1 6b = 16

c) 25x 1 25y = 2105

4x 2 8y = 48

d) 2x 1 23y = 584

22x 2 5y = 2152


202

5 resuelvaelsiguientesistemadeecuacionesgraficando:

9m 1 3z = 33

27m 1 9z = 99

a) ¿Laslíneassecruzanosesobreponen?

b)multipliquelaprimeraecuacióndelsistemapor3.

c) ¿cómosonlaecuaciónresultanteylasegundaecuacióndelsistema?


4x 1 7y = 68

8x 1 14y = 78

a) ¿Hayunpuntodondelaslíneassecruzan?

b) ¿cómosonlaslíneas?


203

Haysistemasquepuedentenermuchassoluciones,comoeselcasodelejercicio5donde

porserambasecuacionesequivalentes,esdecir,representanlomismo,todoslospuntos

(x,y)deunalíneapertenecentambiénalaotra.

Haysistemasquenotienensolución,ylaslíneasquecorrespondenalasecuacionesson

paralelas,porlotanto,nosecruzan.

pararesolverunsistemade2ecuacionesdeprimergradocon2 incógnitasmediante

elmétodo de graficación,hayquegraficarlasdosecuacionesylocalizarlas

coordenadasdelpuntodondesecruzan.

ejemplo:

25x 2 13y = 47

12x 1 2y = 72

aldespejaryenambasecuaciones:

y = 47 225x

213 y = 72 212x

2

seasignanvaloresaxparacalcularlosdeyenambasecuaciones:

•

•

•

y = 45 225x

213

x y

1 1.69

5 6

10 15.61

y = 72 212x

2

x y

1 30

5 6

10 –24


204

comolaslíneassecruzanenelpunto(5,6),lasolucióndelsistemaes:

x = 5

y = 6

paracomprobarsesustituyenlosvaloresobtenidosenlasecuacionesiniciales:

25x 2 13y = 47 12x 1 2y = 72

25(5) 2 13(6) = 47 12(5) 1 2(6) = 72

47 = 47 72 = 72

0

10

-10

-20

-30

20

30

40

222222222 44444444 66666666 88888888 1010101010 121212121212 1414141414

y

x

y = 45 225x

213

y = 72 212x

2


205

Para saber más

resuelva“Lasjoyas”ensuFolleto de juegos,despuéscontestelaspreguntassiguientes.

1. ¿quésucedecuandounacantidadseduplicaunayotravez?

2. ¿cuálacertijoseledificultómás?

3. ¿quéconocimientosmatemáticosaplicópararesolverlosacertijos?


206206



1 La entrada al parque de juegos cuesta $35.00 para adulto y $15.00 para niño. Hoy

recaudaron$4 480.00por224boletosvendidos.¿cuántosboletosparaadultovendierony

cuántosparaniño?

a) planteeunaecuaciónentérminosdelosboletosvendidos.

b)planteeunaecuaciónentérminosdeldinerorecaudado.

c)resuelvaelsistemadeecuaciones.

d)¿cuántasentradasparaadultosevendieron?

e) ¿cuántasentradasparaniñosevendieron?


207207


2 un camión transporta 40 animales. si Leonardo contó 132 patas, ¿cuántos guajolotes y

cuántoschivostrae?

a) elijaunaletrapararepresentarelnúmerodeguajolotes.

b)elijaunaletrapararepresentarelnúmerodechivos.

c)escribaunaecuaciónquerepresentequelasumadeguajolotesmáschivosesiguala

40.

d)representeelnúmerodepatasdeguajolotes.

e)representeelnúmerodepatasdechivos.

F) escribaunaecuaciónquerepresentequelasumadepatasdeguajolotesmáslasuma

depatasdechivosesiguala132.

g)resuelvaelsistemadeecuaciones.

H)¿cuántosguajolotestraeelcamión?

i) ¿ycuántoschivos?


208208


3 enunabodegahay800cuadernos.¿cuántoscuadernosde100hojasycuántosde50haysi

entotalhay77 500hojas?

4 resuelvalossiguientessistemasdeecuacionesconelmétodoqueconsideremásadecuado.

verifiquesusresultados.

a) 12m 1 8z = 20

3m 1 4z = 28


209209


b) 3a 2 4b = 3

8a 1 6b = 58

c) 27x 1 9y = 13

26x 2 3y = 221

d) 2x 1 3y = 9

23x 2 5y = 214

UNIDAD 7 UNIDAD 7 En esta unidad, usted:

• Modelará monomios y polinomios con figuras geométricas.

• Sumará y restará monomios y polinomios.

• Multiplicará monomios y un polinomio por un monomio.

Monomios y polinomios

Operaciones avanzadas Unidad 7 Monomios y polinomios

212

Propósito: Usted modelará monomios y polinomios con figuras geométricas.

Actividad 20Cuando el río corre

¿viveustedcercadeunestanquearroyo

orío?,¿legustametersealagua?,¿puede

hacerloentodaslasépocasdelañosinningún

peligro?comenteconsuasesoroasesora.

Laprofundidadylacorrientedelosríoscambian

deacuerdoconlaslluvias.generalmente,los

habitantesdeloslugarescercanosacorrientesde

aguaconocenlasépocassegurasylaspeligrosas.

1 gerardo vive cerca de un río y le gusta llevar un registro de la profundidad de los ríos en

diferentesépocasdelaño.élno tieneequipoadecuadoparamedir,por loque lohacecon

ramasdeárbolyconlosinformesoficialesquellegan.

eldomingomidióconunavaraquemidevariosmetrosyquegerardoregistracomoa:

ellunesgerardovioqueelríohabíadescendidounpocoehizounamarcaenlavara,a

laquellamób.

a

a

b


213

a) ¿cómodeberegistrarlamedidadelaprofundidaddelríodellunes?

b)Lanochedelluneslloviómuyfuerteporloqueanunciaronqueelríohabía

crecidoaldoble.¿cómodeberegistrarlamedidadelaprofundidaddelrío?

c) ¿podríaescribirlodealgunaotramanera?


cayetano.

Yo medí el largo de la puerta con mi

mano y vi que medía 15 cuartas de mi

mano menos lo largo de este clavo.

Ahora, si hay 3 puertas juntas,

miden en total 3(15x 2p).

Si represento la medida de la cuarta de mi

mano con x y con p el largo del clavo, puedo

representar el largo de la puerta como:

15x 2 p


214


2 Leonardo va a enmarcar con aluminio algunos espejos que tienen las siguientes formas y

medidas.

m m

m n

n

2n

m

2n

3n

n

n

3n

m + n p


215

a) ¿cuántomidecadaladodelprimerespejo?

b) ¿cuántomidesuperímetro?

c)escribaenlalíneacorrespondienteacadadibujolacantidaddealuminioquenecesita

paracadauno.

d)¿cuántoaluminionecesitaLeonardoentotal?

Recuerde:

Literal.usamosletraspararepresentarnúmerosdesconocidosoquevarían,loscualespuedenserpositivosonegativos.

ejemplos.

xpuedevaler19ó23.

eldobledexseescribe2xysutriple3x,mientrasquelamitaddexseescribex

2.

Coeficiente y exponente.enelproducto8x2elnúmero8eselcoeficientedex,xeslaliteralyestáelevadaalexponente2.

8x2

cuandoelcoeficientees1,noseescribe.

ejemplo.

1xy = xy

deigualmanera,cuandoelexponentees1,noseescribe.

ejemplo.

9mn

avecesesnecesarioescribirsumascomo:3xy15x27a29bc2

alossumandosselesllamatérminosdelasuma.Lasumaanteriortiene4términos.

•

•

•

Coeficiente

Exponente

Literal


216

3 Leonardocalculóeláreadelosespejosyobtuvolosiguiente:

a) escribaenlalíneacorrespondienteelperímetrodecadafigura.

b) ¿aquéexponenteestánelevadaslasliteralesconqueserepresentalamedidadelos

perímetros?

c) ¿aquéexponenteestánelevadaslasliteralesconqueserepresentalamedidadelas

áreas?

d)¿cuáleselvolumendelsiguientecubo?

e) ¿cuántomideeláreadeunadelascarasdelcuboanterior?

x

x

x

a = 2x2 y

y

a = y2

zx + y

x

x2 + xy

2a =

n


217

unaexpresiónalgebraicacompuestaporunsolotérminosellamamonomio.

ejemplos.

a; 24a3; 3ab2c3; 15xy2; 2x5; 7bc

4

unaexpresiónalgebraicacompuestapordosomástérminossellamapolinomio.

ejemplos:

a 1 57a3; 4a3 2 8 abc2 1 5xy2; x5 2 7x

4 1 y22 9xy2

aunaexpresiónalgebraicacompuestapordostérminostambiénseledenomina

binomio.

ejemplos.

a 1 57a3; 4a3 2 5xy2; x5 1 y2; m 1 n3

Términos semejantes. cuandodostérminostienenlasmismasliteralesconlos

mismosexponentessedicequesonsemejantes:

ejemplos.

a y 24a

3xy2 y 15xy2

x5 y 56x5

Reducción o suma de términos semejantes.unpolinomiopuedereducirseal

sumarorestarlostérminossemejantesqueloforman.

ejemplos.

29x 1 21x 1 2y 2 y = 112x 1 y

2n 1 5mn2 14n = 6n 1 5mn2

26xy2 1 2x3y 1 2xy2 2 x = 24xy2 1 2x3y 2x

•

•

•

•

•


218

¿consideraalostrabajosmanualescomounarte

osimplementecomounaactividadmás?,¿conoce

alguienqueborde,tejayelaborecarpetas?comenteconsu

asesoroasesora.

eltrabajomanualquemuchasmujeresrealizanennuestro

país,comoelbordado,eldeshiladoyeltejidoqueenmuchas

ocasioneslleganaserverdaderasobrasdearte,espoco

apreciadoy,generalmente,pobrementeremunerado.

1 gelitay susamigaselaborancarpetasde formaspococomunes. ¿quécantidaddeencaje

requierenparaadornarlaorilla?

Propósito: Usted sumará y restará monomios y polinomios.

Actividad 21Carpetas

a) ¿cuántosladosdelafigura1midena? ¿cuántos2a?

b) ¿cuántomideelperímetrodelafigura1?

a

a

a

2a

a2

2a

Figura 1 Figura 2


219

El perímetro de la figura 3 es: 2a 1 2b 1 c,

pues tiene 2 lados que miden a, 2 que

miden b y 1 que mide c.

De la figura 4 es: 2c 1 4d

c) ¿cuántosladosdelafigura2midena? ¿cuántosa

2 ?

d)¿cuántomideelperímetrodelafigura2?

e) ¿quécantidaddeencajeesnecesariaparaadornarambascarpetas?


gelita.

Para sumar el perímetro de ambas figuras, me fijo

en los términos semejantes, en este caso son c y 2c,

que al sumarlos dan 3c. Al no haber más términos

semejantes, el polinomio que expresa el perímetro de

ambas figuras es:

2a 1 2b 1 3c 1 4d

ac

d

b

c

Figura 3 Figura 4


220


2 expliqueporqué:

a) 45xyyxysontérminossemejantes.

b)8bcy8abnosontérminossemejantes.

c)26m2n y 10mn2nosontérminossemejantes.

d)8a2bc y 2ca2bsontérminossemejantes.

3 relacioneconunalínealostérminosquesonsemejantes.

212b2 3xy2

98nm3 8b2

7x 2ca3

3y5 8ab2

13a3c nm3

8xy2 24x

23ab2 26y5


221

aveceslospolinomiosestándentrodeunparéntesis,dichoparéntesispuedeestarantecedido

porunsignodemásodemenos(1o2).

Eliminación de paréntesis

sielsignoqueleantecedeespositivo,sequitaelparéntesissincambiarelsignodelos

sumandosdelpolinomioencerradodentrodelparéntesis.

ejemplo.

(2n 1 4n) 1 (45mn 2 7mn2 1 8n)

2n 1 4n 1 45mn 2 7mn2 1 8n

reduciendoosimplificandotérminossemejantes:

14n 1 45mn 2 7mn2

sielsignoqueleantecedeesnegativo,secambiaelsignoalossumandosdelpolinomio

encerradodentrodelparéntesisysequitaelparéntesis.

ejemplo.

(2n 1 4n) 2 (45mn 2 7mn2 1 8n)

2n 1 4n 2 45mn 1 7mn2 2 8n


22n 2 45mn 1 7mn2

cuandounparéntesisllevasignopositivoyestáaliniciodelpolinomio,generalmenteno

seescribeelsigno,perosiesnegativo,síseescribe:

ejemplo.

2(2n 1 4n) 2 (45mn 2 7mn2 1 8n)

22n 2 4n 2 45mn 1 7mn2 2 8n


214n 2 45mn 1 7mn2

•

•

•


222

cuandohayvariosparéntesismetidosunosdentrodeotros,seeliminanpasoapaso,

iniciandoconlosinteriores.

ejemplo.

2(2n 1 4n)2[2(9mn115n)1 (45mn 2 7mn2 1 8n)]

2(2n 1 4n)2[29mn215n1 45mn 2 7mn2 1 8n]

22n 2 4n 19mn115n2 45mn 1 7mn2 2 8n


n236mn17mn2

4 sumelosperímetrosdelassiguientesfiguras.

•

a) perímetrodelrectángulo.

b)perímetrodeltriángulo.

c)sumadeambosperímetros.

n

pm

n

m


223

5 reduzcalossiguientespolinomios.

a) 7n 2 2n 1 4n 2 3m =

b)2y2 1 2x3 2 9y2 2 x =

c)5y2 1 3y 1 y2 2 2y =

d)4ab2 2 7x3y 1 9ab2 1x =

e)3x2y 1 8x3y 2 4x2y =

F) 9p2 1 x3y 1 2y2 2 x =

6 sumeorestelossiguientespolinomios.

a) (4n 2 5m)1(3n 2 5m)=

b)(9b2 1 6x3 2 8y2)2 (6b2 2 9x31x)=

c)2(6ab2 2 9x3y)1 (15ab2 1x)=

d)(8xy2 2 7x3y )2 (9xy2 1x)=

e)(9m3n 2 5m)1(3m 25m3n1n)=

F) (8k 1 5l)2(3k 25l) =

g)(10b2 1 7x3 2 5x)2 (6b2 2 9x31x)=

H)2(7xy2 2 9x3y)2(3xy2 1 4x)=

i) (23mn3 2 7xy)2 (2mn3 19x)=

J) (28yn2 2 8m)2(4m 26yn2 14n)=


224

parasumarpolinomios,selocalizanlostérminosquesonsemejantesyserealizala

sumadesuscoeficientes.

ejemplos.

(2n 2 9mn2) 1 (4n 2 5mn2) = 6n 2 14mn2

(9x2y 1 8xy 2 4y) 1 (8x2y 2 2xy 2 x) = 17x2y 1 6xy 2 4y 2x

pararestarpolinomios,secambiaelsignoatodoslostérminosqueformanel

sustraendoydespuéssesuma.

ejemplos.

(3a3 26ab) 2 (7a3 28ab) = (3a3 26ab) 1 (27a3 18ab)

= 24a3 12ab

(5mn 19x2y 17y) 2 (18x2y 13mn 2x) = (5mn 1 9x2y 1 7y) 1 (28x2y 23mn 1x)

= 2mn 1x2y 17y 1 x)

puedesermásfácilsiacomodalospolinomiosenfilasdeacuerdoconlostérminos

semejantes.

ejemplo.

5mn 1 9x2y 1 7y

2

13mn 1 8x2y 2 x

porserresta,secambiaelsignodelostérminosdelsustraendo:

5mn 1 9x2y 1 7y

1

23mn 2 8x2y 1 x

2mn 1x2y 17y 1 x

•

•

•


225

Propósito: Usted multiplicará monomios y un polinomio por un monomio.

Actividad 22Repartición de tierra

¿Lazonadondeustedviveesunvalleohaymontesymontañas?,¿losterrenosestán

trazadosenformasregularesoirregulares?comenteconsuasesoroasesora.

Haypartesdelatierraqueestánmuyaccidentadas,porloquelosterrenosquefraccionanen

ellasonmuyirregulares.

1 bonifaciotrabajadelimitandoterrenosyayudaalospropietariosacalcularlasdimensionesde

losmismos.élnecesitacalculareláreadelterrenoahoraquesupropietariohavendidouna

esquinadelmismo.

a) ¿cuáleseláreadelpedazodeterrenoquevendió?

b) ¿cómolacalculó?

c) ¿cuáleraeláreadelterrenoantesdevenderelpedazo?

d)¿cómolacalculó?e)despuésdehabervendidounpedazodeterreno,¿cuántomidecadaladodelterreno?

m

n

n

m


226

2 parapodercalculareláreadelterrenoquequeda,bonifaciolodividióenpartes.

a) ¿cuálessonlasdimensionesdelrectángulo1?

b)calculesuárea.

c) ¿cuálessonlasdimensionesdelrectángulo2?

d)calculesuárea.

e) ¿cuáleseláreadelterrenoquenovendió?

F) ¿podríacalculareláreadeotramanera?

¿cuál?

g)calcúlelaycomparesusrespuestas.

m

n

n 1

2

m


227

situvoalgunadificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,analicelosprocedimientos

quedanbonifacioeisabel.

enunterrenodelacomunidadvanahacerdiversasconstruccionesyvanadejarunaáreapara

eljardín.

Yo calculé el área total del terreno:

(m) (2m) = 2m2

También calculé el área del jardín:

ab

Luego reste el área del jardín al área total:

2m2 2ab

¡Obtuve lo mismo!

Simplificando términos semejantes

se tiene que el área del terreno

para la construcción es:

2m2 2 ab

Para calcular el área de la parte para la construcción,

puedo dividir el terreno en rectángulos. Así obtengo

que el área del rectángulo 1 mide:

(2m 2 a)(m)

Lo que significa que mide:

2m2 2 am

El área del rectángulo 2 es:

(m 2 b)(a).

Por lo que mide

am 2 ab

Sumando el área de los dos rectángulos

tenemos que:

2m2 2 am 1 am 2 ab


228

paramultiplicarunmonomioporotromonomio,hayquemultiplicarloscoeficientes

deambosydespuéslasliterales.

ejemplos.

(2m) (8m)=16m2

(3x) (6y)=18xy

(5m2) (4ab)=20m2ab

comopuedeustedver,almultiplicarlamismaliteralsesumansusexponentes.

ejemplos.

(m) (m)=m2

(5m) (8m)=40m2

(2x2y3) (4x2y2)=8x4y5


3 multipliquelossiguientesmonomios.

a) (2a) (4a)=

b)(5m) (9a)=

c)(3m2) (4m)=

d)(20x2)(xy)=

e)(8b) (3a2b)=

F) (5m) (9a)=

•

•


229

4 alterrenodedoñaLupitalecortaronunpedazo.elcortepasaexactamenteporlamitaddedos

desuslados.

a) comopuedeobservar,elladodelterrenoqueteníadoñaLupitamedíac,¿dequé

manerasepuederepresentarlamedidadelárea?

observeeldibujodelterrenogirado.Fijesuatencióneneltriánguloqueseforma,ytrate

deestablecercuántomidelabaseycuántolaaltura.(recuerdequepasaporlamitadde

losladosdelcuadrado.)

b) ¿estádeacuerdoenquelamedidadelabasedeltriánguloesc2

?,¿yquelamedidade

sualturaesc2

? ¿porqué?

c

c

c


230

5 realice las siguientesmultiplicaciones.antes leael recuadrodeabajodondese indicaotra

formaderesolverlas.

a) (2a 1 4a2) (5m 2 9a)=

b) (3m2 1 4n) (20x

2 1 xy) =

c) (23 a2b 1 8 b) (29a 25) =

paramultiplicarunpolinomioporunmonomio,semultiplicaelmonomioporcada

términodelpolinomio.

ejemplo.

8x 1 2xy 2 y

3 5x

40x2 1 10x

2y 2 5xy

paramultiplicarunpolinomioporotropolinomio,semultiplicacadatérminodeun

polinomioporcadatérminodelotropolinomio.despuéssesimplifica.

ejemplo.

7x 1 4m

3 25x 1 3m

21xm 112m2

235 x2 2 20xm

235x2

1 xm 112m2

•

•


231

Para saber más

ensuRevistaLecturas de matemáticaslea“distanciasinaccesibles”,ycontestelassiguientes

preguntas.

1. ¿conquéfrecuenciarealizaustedmediciones?¿quémide?

2. mencionetressituacionesenlasqueesnecesariohacermedicionesindirectas.

3. ¿quétipodeconocimientosmatemáticosseaplicanparahacermedicionesindirectas?

resuelvael“crucigramamatemático”ensuFolleto de juegos,despuésrespondalassiguientes

preguntas.

1. ¿Leparecióinteresanteelcrucigrama?

2. ¿aprendióalgonuevoalresolverlo? ¿qué?


1 ¿cuáleselperímetrodelassiguientesfiguras?

2 relacioneconunalínealosmonomiosquesonsemejantes.

26c2 nm

2

nm3 x

7x 12nm3

4nm2 9c

2

f

q

q2q

h d

h

q

r r

b


232


a) 7m5 1 8x

3 2 6m5 2 x =

b)9k2 1 3k 1 k

2 2 2k =

c)24an2 2 7n

2y 1 9an

2 1x =

d)25x2y 1 7x

3y 1 3x

2y =

e)10r2 1 r2

p 1 3y22 x =


a) (9b) (8b)=

b) (7n) (7n)=

c) (8p2) (5p) =

d)(24x2) (xy)=

e) (8x) (6x2y)=

5 realicelassiguientesmultiplicaciones.puedereescribirlasdeotramanera,siesnecesario.

a) (6a 1 5a2) (6n 2 n)=

b) (9m2 1 12n) (3m

2 1 n) =

c)(9x 2 2x2y) (7x 2 3xy) =


233

234

UNIDAD 8 UNIDAD 8 En esta unidad, usted:

• Resolverá problemas con potencias cuadradas.

• Conocerá el teorema de Pitágoras y lo aplicará en la resolución de problemas.

Teorema de Pitágoras

235

Operaciones avanzadas Unidad 8 Teorema de Pitágoras

236

¿Haoídohablardelíndicedemasacorporal(imc)?¿sabíaqueelimcleindicasi

tieneproblemasdesobrepesoodeobesidad?¿sabecómocalcularlo?comenteconsu

asesoroasesora.

Laobesidadesunproblemadesaludpúblicaquevaenaumento.porelloesimportantecuidar

lacantidadycalidaddelosalimentosqueconsumimos.elíndicedemasacorporalsecalcula

apartirdelatallaenmetrosydelpesodelapersonaenkilogramos.

1 verónicaleyólasiguienteinformaciónenelperiódico:

Propósito: Usted resolverá problemas con potencias cuadradas.

Actividad 23Evalúe su masa corporal

Salud ✽ Comer bien ayuda a perder peso Por Silvia Ojanguren

Gaceta Semanal

Por principio de cuentas, la gente tiene que evaluar

si es parte de la estadística de sobrepeso y obesi-

dad, para lo cual debe conocer su IMC, es decir, el

Indice de Masa Corporal, que se obtiene así: el

peso en kilogramos entre (dividir) el cuadrado de la

estatura en metros.

Vamos a calcular nuestro IMC, el cual nos dice si

nuestro peso pone en riesgo nuestra salud y en

peligro nuestra vanidad.

Como evaluar la masa corporalNormal: IMC de 18.6 a 24.9

Sobre peso: IMC de 25.0 a 26.9

Obesidad I: IMC de 27.0 a 29.0

Obesidad II: IMC de 30.0 a 34.9

Obesidad III: IMC de 35.0 a 40.0

*Estos índices son para mujeres que

miden 1.50m o más y hombres

que miden 1.60m o más

?

Fuente:periódicoEl Universal,lunes13dejuniode2005.p.g4.


237

conbaseenlainformaciónanterior,realiceloqueselesolicita.

a) utilicelaletraMpararepresentarelimc,lappararepresentarelpesoylat para

representarlaestaturayescribalaecuaciónparacalcularelimc.

b)verónicapesa67 kgymide1.52 m,¿cuálessuimc?

c) ¿verónicatieneproblemasdesobrepesoodeobesidad?

2 Juanitatieneunimcde24.74ymide1.57 m,¿cuántopesa?

a) escribalaecuaciónparacalcularelimc,despuésdespejelap(peso).

b)sustituyalasmedidasdeJuanitaenlaecuaciónycalculesupeso.


238

3 ramóntieneunimcde24.38ypesa68kg,¿cuálessuestatura?

a) escribalaecuacióndondedespejóp(peso)ydespejelat2(estaturaalcuadrado).

b)sustituyalasmedidasderamónycalculet2

c) ¿quédatoobtiene?

d)¿quéfaltahacerparaconocerlaestaturaderamón?

e)conlatecla desucalculadora,calculelaestaturaderamón.

recuerdeque:

(l)(l) = l2

porlotanto,

l2 = l

deigualmanera:

(l)(l)(l)= l3

porlotanto,3

l3 = l

•

•


239

Para calcular la medida del lado de

un prisma cuadrangular a partir de la

fórmula del volumen y de conocer el

volumen y la altura del mismo, se despeja

de la ecuación la literal que representa la

medida buscada.

V = Abh

Por ser un prisma cuadrangular, el área

de la base es l2:

V = l2h

Para despejar, sólo divido ambos miembros

de la ecuación entre h:

l2 =

Vh

Entonces:

l2 =

238812

l2 = 199

Para conocer el valor de l, hay que sacar raíz

cuadrada en ambos lados de la ecuación:

l2 = 199

l = 14.1067

porloqueelladodelabasedelprismacuadrangularmide14.1067cm.

situvodificultadparacontestarlaspreguntasanteriores,analicelaformaenquearaceli

procedeanteunasituaciónsimilar.

12 cm

l

V = 2388 cm3


240

analicecómosecalculalaraízcuadradadelnúmero678.

seseparanlascifrasdedosendos,empezandoporladerecha.

sebuscaunnúmeroquemultiplicadoporsímismoseaigualocasiigual,peromenor,queelnúmeroformadoporlacifradelaizquierda(6)yseescribesobrelalíneadeladerecha.

elnúmeroencontrado(2)semultiplicaporsímismoyelresultadoserestadel6.

dentrodelaraíz,sebajaelsegundopardecifras.enelexterior,seduplicaelnúmerodelaprimeralíneayelresultadoseescribeenunasegundalínea,abajo.

sebuscaunacifra(6)queseagregaalosnúmerosdelaprimeraysegundalíneas.Lamultiplicacióndedichacifraporelnúmerodelalíneadeabajo(46)debeserigualocasiigual,peromenorque278.seescribeelresultadodelamultiplicaciónyserestaa278.

elresultadofinales26yquedan2.

secompruebamultiplicando26porsímismoysumando2:

(26)(26)= 676

67612= 678

•

6,78

6,78 2

6,78 2 2 4 2

6,78 2 2 4 4 2 78

6,78 26 2 4 46 2 7822 76 2


241


4 eláreadeunkioscocircularesde200.96 m2,¿cuántomidesuradio?

a) recuerdequelafórmulaparacalculareláreadelcírculoesA=pr2.despejer2dela

fórmula.

b)sustituyalosvaloresyencuentreelvalorder2.considereapcomo3.14.

c) ¿quéfaltaparaconocerelvalorder?

d)realícelo.¿cuántomideelradio?

5 vanaponerunaseriedefocosalrededordeunkioscocircularquemide271.57m2.¿cuáles

lamedidamínimaquedebetenerlaserieparaquealmenosledéunavueltacompleta?

a) recuerdequelafórmulaparacalculareláreadelcírculoesA=pr2.despejer2dela

fórmula.

b)sustituyalosvaloresyencuentreelvalorder2.considereapcomo3.14.

c) ¿quéfaltaparaconocerelvalorder?

d)realícelo.¿cuántomideelradio?


242

e) ¿cuáleslamedidadeldiámetrodelcírculo?

recuerdequelafórmulaparacalcularelperímetrodeuncírculoes

P = pd

F) ¿cuáleslamedidamínimaquedebetenerlaserie?

6 calculeelvalordelaincógnitadelassiguientesecuaciones.

a) l2 1 9 = 1 333.96

b)m2 2 10 = 28.44

c)100p2 = 334.08

d)m

2

3 = 26.4

Lasecuacionespuedenteneralgunaliteralelevadaaunapotencia.

ejemplo.

x2 1 3 = 28

paraconocerelvalordex,primerohayquedespejarladelaecuaciónyrealizarlas

operacionesindicadas:

x2 = 28 2 3

x2 = 25

Finalmente,enestecaso,hayquesacarraízcuadradaaambosmiembrosdela

ecuación:

x2 = 25

x = 5

•

•

•


243

Propósito: Usted conocerá el teorema de Pitágoras y lo aplicará en la resolución de problemas.

Actividad 24 Grandes puentes

¿En la localidad que usted vive hay puentes? Además de los puentes peatonales (para

la gente), ¿qué otro tipo de puentes conoce usted? Comente con su asesor o asesora.

En varios estados del país se han construido puentes vehiculares (para vehículos) que cruzan

ríos, montañas o avenidas grandes.

1 Un puente del Estado de México está sostenido por grandes cables sujetos a un pilar, como se

muestra en la siguiente figura:

A) Mida con un transportador el ángulo que forman el puente y el pilar, ¿cuánto mide?

B) ¿Qué figura forma el cable AB con el puente y la altura del pilar?

¿El AC? ¿Y el AD?

Puente

Favor de hacer bien el dibujo.

Este es solo para dar una idea de

cómo se requiere.

La líneas de acotación son muy

importantes para la resolución

10m

4m

8m

12m

B

A

C D


244

untriángulorectánguloesaquelquetiene

unángulorecto(90°).elladoopuestoal

ángulorectoesllamadohipotenusa,los

dosladosqueformanelángulorectoson

llamadoscatetos.

conreferenciaadichotriángulo,secumple

elteoremadepitágoras:

“enuntriángulorectángulo,elárea

delcuadradoconstruidosobreellado

opuestoalángulorectoesigualala

sumadelasáreasdeloscuadrados

construidossobrelosladosqueforman

elángulorecto.”

algebraicamentepuedeexpresarse

como:

c2 = a

2 1 b2

•

•

c) ¿cuáleslamedidadecadaunodeloscablesquesostienenelpuente?

AB

AC

AD

estudieelteoremadepitágoras,conélpuederesolverproblemascomoelanterior.

Hipotenusa

Cateto

Cateto

90°

a

a2

b2

c2

bc


245

Cada viga debe medir

4.47 m, las dos juntas

8.94 m.

sinopudoresolverelproblemaanterior,analicelaformaenqueLetyresuelveun

problemasimilarapartirdeaplicarelteoremadepitágoras.

El teorema de Pitágoras es:

c2 = a2 1 b2

Al sustituir los datos queda

c2 = 22 1 42

c2 = 4 1 16 c2 = 20

Para conocer el valor de c hay que sacar raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación:

c2 = 20

c = 4.47

Para calcular la medida de las vigas que necesito para sostener el techo de la casa de asistencia,

puedo aplicar el teorema de Pitágoras.

Sé que el ancho de la casa es de 8 metros y la parte central va a medir 2 metros por encima de los lados.

También sé que el teorema de Pitágoras sólo se aplica a triángulos rectángulos; si divido en dos el triángulo formado por el techo, me quedan dos

triángulos rectángulos. Puedo calcular por partes.

2m

4m

8 m

2 m


246


2 Letyypaty,juntoconotrascompañeras,planeanhacerunaáreadejuegoparasushijos.La

estructuraparalaescaleradeunaresbaladillallevadospiezasdelasiguienteforma:

Laalturadebeser2.5 mylabasedebemedir1.3 m.¿quécantidaddetuboserequiere

paracadaunadelasestructuras?

a) ¿cómopuedecalcularlacantidaddetuboqueserequiere?

b) ¿quémedidafaltaparapodercalcularla?

c) ¿puedeaplicarelteoremadepitágorasparacalcularlamedidaque

desconoce? ¿porqué?

d)¿cuáleslamedidadelladodesconocido?

e) ¿quécantidaddetuboserequiereparacadaunadelasestructuras?

¿paralasdos?

3 elrecíprocodelteoremadepitágorasdiceque:

“enuntriángulo,cuandoeláreadelcuadradoconstruidosobreelladomayoresigualala

sumadelasáreasdeloscuadradosconstruidossobrelosotrosdosladosdelmismotriángulo,

entonceseltriánguloesrectángulo.”

90°


247

pruebequelossiguientestriángulossonrectángulos.analiceelejemplo.

siestriángulorectángulo,debecumplirelteoremadepitágoras.enestecaso,lahipotenusa

mide5yloscatetos3y4.

52 = 32 1 42

25 = 9 1 16

25 = 25

Como se cumple la igualdad, entonces es un

triángulo rectángulo.

a)

b)

3

4

5

7.071

55

8

10

12.8062


248

sienuntriángulorectángulollamamoscalahipotenusayaybacadaunodeloscatetos,entonces:

a) como: c2 =a2 1 b

2

entonces: c =a2 1 b2

b) como: c2 =a2 1 b

2

aldespejara: a2 =c2 2 b

2

c) como: c2 =a2 1 b

2

aldespejarb: b2 =c2 2 a

2

4 en un muro de contención de forma rectangular metieron estructuras metálicas como

refuerzo.ellargodecadaestructuraesde10mylaalturadelmuroesde6m,¿cuántomide

elanchodelmuro?

a) conbaseenlainformación,intenteverodibujeeltriánguloquerelacionalosdatos.

b) ¿cómoeselánguloopuestoalladomáslargodedichotriángulo?

¿puedeaplicarelteoremadepitágoras?

c)sitienequehaceralgúndespeje,hágalo.

aspectosquesederivandelteoremadepitágoras.•

6m

10m

a

a2

b2

c2

bc


249

Para saber más

ensuRevistaLecturas de matemáticaslea“Lapruebaenmatemáticas”,ycontestelas

siguientespreguntas.

1. ¿porquéestanimportanteeltrabajodepitágoras?

2. ¿quéesloquehacediferentesalascienciasexperimentalesdeltrabajomatemático?

3. expliqueenquéradicalaimportanciadelademostraciónquehacesimonenlaresolución

delproblemadeltablerodeajedrezylasfichasdedominó.

realiceel“rompecabezas” ensuFolleto de juegos,despuéscontestelassiguientespreguntas.


1 eláreadeuncarruselcircularesde50.24 m2,¿cuántomidesuradio?considereapcomo

3.14.

2 van a poner una serie de focos en un carrusel circular que mide78.5 m2 de área. ¿cuál

eslamedidamínimaquedebetenerlaserieparaquealmenosledéunavueltacompleta?

considereapcomo3.14.


250

3 Calcule el valor de la incógnita de las siguientes ecuaciones.

A) l2 1 9 = 34

B) m2 2 10 = 141.29

C) 10 p2 = 1 210

D) m

2

3 = 176.3333

4 Un puente está sostenido por cables sujetos a un pilar, como se muestra en la siguiente figura:

3 m

6 m

9 m

A

15 m

B C D


251

a) midaconuntransportadorelánguloqueformanelpuenteyelpilar,¿cuántomide?

b) ¿quéfiguraformaelcableABconelpuenteylaalturadelpilar?

¿elAC? ¿yelAD?

c) ¿cuáleslamedidadecadaunodeloscablesquesostienenlaantena?

AB

AC

AD

5 unapuertarectangularllevadossolerasatravesadasparatenermayorsoporte.ellargodecada

soleraesde3.91 mylaalturadelapuertaesde3m,¿cuántomideelanchodelapuerta?


252

6 aplicando el teorema de pitágoras, diga si las siguientes medidas pertenecen a triángulos

rectángulos.

a) 5, 6 y 7.810249

b)9, 10, 13.4536

c)8, 13, 15.2643


253

AutoevaluaciónAutoevaluación

2207 autoevaluacion.indd 254 12/4/07 16:04:52

255

del módulodel módulo


Operaciones avanzadas Autoevaluación

256

Resuelva los siguientes problemas.

1 analicelasiguienteinformación:

ellibromásantiguoqueseconservaesdelaño 868,puesantesdedichafechaseusabael

papiroy3 000 añosantesdenuestraeraseusabantablillasdebarro.Fuehasta1456que

seimprimióelprimerlibro,graciasagutenberg,quienenelsiglo XVinventólaimprenta.

conbaseenlainformaciónanteriorrealicelosiguiente:

a) Lalíneaanteriorseconocecomolíneadeltiempo,debidoaqueenellasepuedenregistrar

acontecimientosimportantesyvercómoocurrieroneneltiempo.escribaenellaunaTen

laépocaqueseusarontablillasdebarro.

b)marqueconunaLcuandoseimprimióelprimerlibro.

c) ¿cuántosañoshaydediferenciaentreelusodelastablillasyelprimerlibroimpreso?

d)conunaAmarqueelmomentocuandosehizoellibromásantiguoqueaúnse

conserva.

2 escribalossímbolos>(mayorque),<(menorque)o5(igual),segúnseaelcaso.

213.9 10.4 7.08 7.7

28.8 27.3 29.01 25.9

20.18 11.6 9.56 29.65

5.9 5.90 4.07 4.0700

500-500-1500-2500-3500 1500-3000 0 1000-1000-2000 2000



257

3 consucalculadora,resuelvalassiguientesoperaciones.

(1445) 1 (1787) 5 (1986) 1 (2183) 5

(2895) 1 (1346) 5 (2789) 1 (2548) 5

(2784) 2 (1873) 5 (2956) 2 (1679) 5

(21 827) 2 (21 235) 5 (1956) 2 (2987) 5

(1983) 3 (1657) 5 (2852) 3 (2285) 5

(2834) 3 (1126) 5 (1956) 3 (2854) 5

(1673) 4 (1178) 5 (26 598) 4 (227) 5

(2894) 4 (1342) 5 (1895) 4 (2347) 5

4 ubiquelossiguientespuntosenelplanocartesiano.

a) (5, 6)

b) (8, 24)

c) (23, 7)

d) (6, 25)

e) (4, 215)

F) (27, 8)

g) (29, 29)

H) (0, 0)

i) (212, 0)

J) (2, 2)

y

x-1 1

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

-12

-13

-14

-15

-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15



258

5 unbarcoseencontrabaenelpunto(0,0)yavanzó7kilómetrosaladerechay9kilómetros

haciaelNorte.¿enquépuntoseencuentra?

6 escribalassiguientesmultiplicacionescomopotencias:

a) (6) (6) (6) 5

b)9 · 9 · 9 · 9 · 9 5

c)(23) (23) (23) (23) (23) (23) 5

d)(215) (215) (215) (215) 5

e)(10) (10) (10) (10) (10) (10) 5

F) (2100) (2100) (2100) (2100) (2100) 5

7 escribalassiguientespotenciascomomultiplicaciones,usandopuntosoparéntesis.calcule

losresultados.

a) 87 5

b) 56 5

c) 74 5

d) 93 5

e) 78 5

8 ¿esigual87que78? ¿porqué?



259

9 realicelassiguientesoperaciones:

a)9 1 3 1 (38 3 5) ÷ 15 2 32 5

b)(215)2 1 73 – 5(33 1 35) 5

10 escribaconnúmerosdecimaleslamedidadelmetroenrelaciónconelecuador,teniendo

encuentaqueelmetroes1310–7vecesladistanciadelpoloalecuador.

11 ¿cómo le haría para medir8 kilos de masa en una balanza, si sólo tiene una pesa de

10 kilosyotrade2 kilos?

12 planteeunaecuaciónquerepresente lasiguientesituación:“La cuarta parte de un

número menos 12 es igual 88”.

13 ernestinacobró$138.00deunpardezapatosyledieron1billetede$500.00.elcliente

leofreció$38.00yellaaceptó,¿cuántodebedardecambio?

a) planteeunaecuaciónquerepresentelacantidaddedineroqueestárecibiendoernestina

yloquedebedardecambio.

b)resuelvalaecuaciónyverifiquesurespuesta.



260

14 analicelasiguientesituaciónycontestelaspreguntasqueselehacen.

a) ¿cuántomideeldiámetrodelcírculomayor?

b) ¿quérepresentadeneldibujo?

c)planteeunaecuaciónquerepresentelarelaciónentrelosdatosypermitacalcularel

valorde d.

d)¿cuántomided?

15 un terreno rectangular es5 vecesmás largoqueancho y tieneunperímetrode60 m.

¿cuálessonsusmedidas?

a) Hagaundibujodeunrectánguloquesea5vecesmáslargoqueancho.

b)planteelaecuaciónyresuélvala.



261

c) ¿cuálessonlasmedidasdelterreno?

16 Lamilpadegenaroproduce8 toneladasdemaíz,3 toneladasmenosquelamitadde

loqueproducíahace10 años.¿cuántastoneladasdemaízproducíahace10 años?


b)elijaunaletrapararepresentarla.

c)planteelaecuaciónyresuélvala.

d)¿cuántastoneladasdemaízproducíalamilpahace10años?


a) 65 1 x 5 456

b)234 2 y 5 123

c)98c 5 196

d)45d 1 d 5 414

e)9m 2 3m 5 6 468

F) 45x 1 3 5 408

g)298x 2 67 5 22 970

H)x

41 16 5 27

i)l

34 2 12 5 268

J)n

24 2 45 5 2456



262

18 analicelosdatosdelasiguientetabla.

x 0 1 2 3 4

y 10 13 16 19 22

a) cadaxaumenta1,¿cuántoaumentay?

b) ¿cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentalarelacióndelatabla?

c)construyalagráficaensucuaderno.

19 enel aeropuerto los taxis cobran$65.00 por serviciomás$35.00 por cadakilómetro

recorrido.¿cuántocobranporunviaje?

a) utilicelaxpararepresentarlacantidaddekilómetrosdedistanciaenunviajeylay

pararepresentarelpreciototaldelviaje;escribalaecuaciónquerepresentalarelación

entrelasdosvariables.

b)conbaseenlainformaciónanteriorcompletelasiguientetabla.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y 100 135

20 en la tabla siguiente asigne valores a x en la ecuación y 5 6x 1 45 y calcule los

valoresdeycorrespondientes.

x

y



263


21 resuelvalossiguientessistemasdeecuacionesusandoelmétododesustitución.compruebe

susresultados.

a) y 5 x 2 1

6x – 7y 5 1

b) x 1 5y 5 238

2x 1 13y 5 100



264


10m 1 4z 5 122

6m 1 8z 5 118

23 ¿cuántosmetrosdetuboserequiereparahacerunapiezacomolasiguiente?

4 m

3 m



265

24 sumelossiguientespolinomios.

a) (5n 1 8m) 1 (2n 2 2m) 5

b) (12b2 2 10x3 2 8y2) 1 (3b2 1 x3 2 6x)5

c) (ab2 1 11x3y) 1 (9ab2 2 3x) 5

d)(2xy2 1 5x3y) 1 (5xy2 1 x) 5

e) (3m3n 1 5m) 1 (6m 1 7m3n 2 n) 5

25 restelospolinomiossiguientes.

a) (7y 1 3x) 2 (2y 2 4x) 5

b) (12b2 1 2x3 2 6x) 2 (2b2 2 3x3 1 8x)5

c) (5xy2 2 12x2y) 2 (9xy2 1 2x) 5

d)(61mn3 2 12xy) 2 (24mn3 1 x) 5

e) (26yz2 2 8p) 2 (4m 2 8yz2 1 6m) 5

26 ¿cuáleselperímetrodelassiguientesfiguras?

____________________ ____________________

a y

y

x

y

x

d

c

b



266


a) 9n5 1 9x3 2 6n5 2 x3 5

b)8h2 1 5h 1 4h2 2 x 5

c)28cb2 2 7cb2 1 9cb2 1 c 5


a) (5c) (3c) 5

b) (x) (9y) 5

c) (4h2) (2h) 5

d)(3x2) (x2y) 5

e) (5x) (7xy2) 5

29 realicelassiguientesmultiplicaciones.puedereescribirlasdeotramanerasiesnecesario.

a) (7b 1 8a2) (6b 2 8a2) 5

b) (2b2 1 3c) (6b2 1 2c) 5



267

30 ¿quécantidaddecableserequiereparasostenerunpostede15 mdealtura,sisequiere

queelcableformeunángulode55°conelpiso?


Respuestas delRespuestas del


269

módulomódulo


Operaciones avanzadas

270

Respuestas

comparesusrespuestas.

UNIDAD 1 Actividad 1

1.

a) cuernavacalamásaltaychihuahualamásbaja.

b)sanLuispotosí.

c)distritoFederalycuernavaca.

d)quehacemuchofrío.

e)22 °C

2.

a) 13 °C b) 218 °C

c) 240 °C d) 21 °C

e) 12 °C F) 136 °C

3.

bajocero.porquetienesignonegativo.

4.

pordebajo.

5.

100, 140, 19, 16, 7, 3, 2, 0, 21, 22, 28, 216

6.

1100 °Cy0 °C.elceronoesnegativonipositivo.


Operaciones avanzadas Respuestas

271

7.

a) Lacantidaddedineroqueunapersonagastaaldíaysucomparaciónconloque

supuestamentedebíaserlanorma.estainformaciónvieneagrupadadeacuerdoconla

cantidaddedineroquegastan.

b)elgrupo10.el3.

e)210.2, 28.7, 26.5, 26.4, 24.0, 22.0.elsigno2representaquelaspersonasno

contaronconlacantidaddedineroqueproponelanormayporlotantogastanmenosde

losupuesto.

F) enlacolumnadegastoalimentario…,representanlascantidadesrealesquegasta

unapersonaaldíaenalimentos;enlacolumnadedéficitosuperávit…,representala

cantidaddedineroquegastaunapersonaaldíaenalimentos,ademásdelosupuesto.

g)$2.00

8.

$7.20

a) elsignonegativo.2$7.20

9.

210.2, 28.7, 27.8, 26.5, 26.4, 25.5, 24.0, 22.9, 22.0, 1.6, 4.0, 5.7, 11.9

a)

b)el24yel14.

- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9-10-11-120

- 10,2 - 8,7 - 7,8 - 6,5 - 5,5 -4,0 -2,9 -2,0 1,6 4,0 5,7 11,9- 6,4



272

Respuestas

10.

Nada.

11.

26.4 < 11.9 24.0 < 22.0 28.7 < 1.6

210.2 < 26.5 27.8 < 5.7 22.9 > 25.5

28.7 5 28.7 1.6 > 26.4 26.5 < 25.7

4.0 > 24.0 11.9 5 11.9 24.0 5 24.0

11.9 > 28.7 25.5 < 22.0 210.2 < 5.7

Actividad 2

1.

a) cerometros

b)5 000 m

c)19.5 °C

d)19.5 °C

e)2 °C.bajando

2.

a) 1 $14.00

b)2 $2.00.porquebajóelpreciodelcarretedehilo.

c)$ 20.00

d)porquenohubocambio.

e)$ 25.00

F) subir.porqueengeneralsubierontodoslosmateriales.



273

3.

a) (19) 1 (25) 5 14 b) (112) 1 (8) 5 120

c) (23) 1 (19) 5 16 d) (216) 1 (235) 5 251

e) (142) 1 (218) 5 124 F) (254) 1 (289) 5 2143

g)(191) 1 (215) 5 176 H) (274) 1 (348) 5 1274

i) (2743) 1 (166) 5 2677

4.

a) sueldoyayudaparavivienda.

b)$2 175.35

c)por3.

d)2$438.15

e)$1 737.20

5.

33 °C

6.

a)

b)2572, 2300, 2273, 1300, 11601, 11777, 11845

500-500-1500 15000 1000 2000-1000

Pitágoras, 572 a.e.

Euclides, 300 a.e. Pappus, 300 n.e. Fermat, 1601 n.e.

Cantor, 1845 n.e.

Gauss, 1777 n.e.

Eratóstenes, 273 a.e.



274

Respuestas

c)Larespuestaesvariadadeacuerdoalmomentoqueustedcontesteellibro.siesen

nuestraera,(n. e.)deberestarlafechadenacimientoalañoactual;perosiesantesde

nuestraera(a. e.),debesumar.

7.

a) 6, 6

d)12, 12

e)sí.

8.

a) (119) 2 (28) 5 27 b) (217) 2 (18) 5 225

c) (239) 2 (19) 5 248 d) (261) 2 (235) 5 226

e) (142) 2 (218) 5 60 F) (250) 2 (289) 5 139

g)(196) 2 (125) 5 1 71 H) (247) 2 (34) 5 281

i) (2743) 2 (166) 5 2809

Actividad 31.

a) antesdelcero.

b)despuésdelcero.porqueocurriráenelfuturo.

c)23 y 18

d)

e)1$100.00 y 2$100.00

- 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 80



275

F) (100)3(6) 5

g)(2100)3(6) 5

H)100 3 (26) 5

i) (2100) 3(26) 5

2.

a) $20.90

b)$14.40

c)2$6.50

d)2$39.00

e)2$40.80

F) 5integrantes

g)6integrantes

H)2$8.70al4

i) 1$35.70

J) 7integrantes

3.

a) 1(positivo)

b)2(negativo)

4.

a) (19)3(18) 5 72 b) (15) 3 (28) 5 240

c) (29)3(11) 5 299 d) (210)3(130) 5 2300

e) (115) 3 (14) 5 160 F) (17)3(210) 5 270

g)(16)3(212) 5 272 H) (134) 3 (24) 5 2136

i) (214)3(6) 5 284 J) (260)3(130) 5 2180

K) (241) 3 (25) 5 1205 L) (120)3(221) 5 2420



276

Respuestas

m)(145) ÷ (25) 5 2 9 N)(260) ÷ (13) 5 220

o)(160) ÷ (212) 5 25 p)(1100) ÷ (125) 5 14

q)(1200) ÷ (225) 5 28 r)(290) ÷ (230) 5 13

s) (2300) ÷ (215) 5 120 t)(270) ÷ (135) 5 22

u)(1120) ÷ (260) 5 22 v) (1525) ÷ (25) 5 2105

W)(2180) ÷ (23) 5 1 60 X)(2160) ÷ (220) 5 18

5.

a) 2$150.10

b)2$3 900.00

c)1$2 694.90


1.

a) $15.40

b)

c)11.9 > 26.5 27.8 < 15.7

26.5 < 26.4 27.2 < 25.5

20.8 < 11.6 25.5 < 15.7

d)2$9.50

e)elrural

F) elrural

g)2$14.50

H)5integrantes

- 1 +1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 80



277

2.

(1234)1(1897)5 1 131 (1456)1(2983) 5 2527

(2895)1(13 456)52 561 (2789)1(28 346)5 29 135

(1784) – (1578)5 206 (2984) –(1456) 5 21 440

(2324) –(21 235)5911 (1429) –(2342) 5 771

(1379)3(1832)5 315 328 (2956)3(2123) 5 117 588

(2735)3(1196)5 2144 060 (1919)3(2548) 5 2503 612

(1894)÷(1222)5 4.027 (2934) ÷ (224) 5 38.916

(2467)÷(1106)5 24.405 (11 025)÷(2125) 5 28.2


1.

a) porqueesdondesecruzanelmeridianoprincipalconelecuador.

b)porqueestá75°aladerechadelmeridianoprincipaly20°abajodelecuador.

c)porqueestá135°alaizquierdadelmeridianoprincipaly10°arribadelecuador.

d)porqueestá30°alaizquierdadelmeridianoprincipaly40°abajodelecuador.

e)

Punto Longitud Latitud

B 60° 0° D 90° 40° F –45° 20° J 90° 80°



278

Respuestas

F)Longitud Latitud Punto

45° 240° M 2150° 30° K 245° 70° L 0° 60° C 260° 250° I

g)

2.

a) (4, 8)

b) (7, 0)

c) (6, 28)

d)(25, 6)

e) (24, 28)

F) (23, 2)

y

0 x

Meridiano de Greenwich

Ecuador

20º

-20º

30º 60º 90º 120º 150º -60º -90º -120º -150º

-40º

40º

60º

80º

-30º -3-33-3333-3-3



279

3.

4.

a) cuarto

b)tercero

d)enninguno,seencuentrasobreelejey.

Actividad 5

1.

a) Lacantidadsevaquintuplicandoencadaescalón.

b) 1, 5y25

c)125y625

d)1 953 125.calculandoelvalorde59.

e)2 441 406

F) No

y

x-1 1

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 4 5 6 7 8 9 10-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-3-4-5-6-7-8-9-10

G

M

H

N

K

LI

J



280

Respuestas

g)esunfraude,porqueusteddadineroynohaygarantíadequeseloregresen.por

ejemplo,enelcasodelproblemaanterior,doneusebioteníaquedar$1 000.00,más

$5 000.00delaspersonasqueélinvitarason$6 000yaélleprometieron

$5 000.00sólosiingresaban5personasmás.

2.

a)

c)severinopagó$184.00más,porqueeneloctavodíapagó$128.00yenelnoveno,

$256.00.esdecir,$28.00y$156.00más,respectivamente.

3.

a) 33 5 27

b) 94 5 6 561

Núm. de días “La barata” “El comercio”

1 $100 $1

2 $100 $2

3 $100 $4

4 $100 $8

5 $100 $16

6 $100 $32

7 $100 $64

8 $100 $128

9 $100 $256

10 $100 $512

Total $1 000 $1 023



281

c) (26)3 5 2216

d) (28)6 5 262 144

e) 107 5 10 000 000

F) 210 5 1 024

4.

a) 9 · 9 · 9 · 9 5 6 561

b)4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 5 262 144

c)3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 5 19 683

d)9 · 9 · 9 5 729

e)8 · 8 · 8 · 8 · 8 5 32 768

F) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 5 390 625

5.

59 049

7.

120 minutoso2 horas

8.

a) A 5(l) (l)

b)64 cm2

c)81 m2

9.

a) V 5 a3

b)216 cm3

c)8 m3



282

Respuestas

10.

a) 1y4,respectivamente

b)262 144

Actividad 6

1.

a) 1 438.03

b)1 711.55

d)No.enquenomultiplicaronprimero.

e)1 797.5375

F) 2 139.4375

2.

a) queprimerohayquerealizarlasoperacionesqueestándentrodeél.

b)2 458.82kilocalorías

c)2 030.78porquehayunparéntesisqueindicaqueprimerosumo829.78alresultado

demultiplicar8.7 x 60yluegomultiplicarpor1.82

3.

a) 14 114

b) Julio.porqueesquienaplicalajerarquíadelasoperaciones.

c)1cond

2conc

3cona

4conb



283

4.

a) 33140 1 333320 1 33210 1 336310 5

ó33140 1 32320 1 33210 1 336310 5 1 410

1 410litrosdeaguaaldía.

c)93140 – 9390 1 23200 1 53210 1 932320 1 5343101 4

33310 5 4 200

2 580litrosdeaguaaldía.

5.

18.444

178

1 204

10 225

Actividad 7

1.

a) Losquetienenunapotenciade10negativa.porqueelexponentetieneunsignode

menos.

b)7.5310–6.porquelapotencianegativaesmayor.

c)Losquetienenpotenciapositiva.Notienensigno,loquesignificaqueespositiva.

d)1.83109.porquelapotenciatieneelexponentemayor.



284

Respuestas

2.

a)

3.

2 pastillas

4.

a) 600 000 000

b)85 000 000

c)5 620 000

d)9 790 000 000

e)0.007

F) 0.000089

g) 0.00000059

Medidas de las células

Tipo de organismo microscópico Notación científica Medida en notación decimal

1 3 1027 cm 0.000 000 1 cm

1 3 1025 cm 0.000 01 cm

2 3 1025 cm 0.000 02 cm

1 3 1026 cm 0.000 001 cm

Fuentedefotos:http://www.botanica.cnba.uba.ar/pakete/dibulgeneral/



285


1.

2.

(8, 6)

3.

(9, 0)

4.

(24, 2)

5.

a) 44 5 256

b)55 5 3 125

x-1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

-12

-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12

y

A

H

G

I

D

C

BJ

E

F

2


286

Respuestas

C) 263 o (26)3 5 2216

D) 2114 o (211)4 5 14 641

E) 126 5 2 985 984

F) 2205 o (220)5 5 23 200 000

6.

A) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) 5 256

D) (4) (4) (4) (4) (4) (4) 5 4 096

E) (6) (6) (6) (6) 5 1 296

F) (8) (8) (8) 5 512

G) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) 5 6 561

7. No y no

8.

A) 21.837

B) 13 787

9.

0.0000000000000000000000000009 g

10.

6 3 1024

11.

0.000181


287

UNIDAD 3 Actividad 81.

eneldeenmedio

a) con5árbolesyunadistanciadsucedelosiguiente:

enunextremo:

porloqueladistanciatotalacaminarsiseponeeltinacoenunextremosería:

d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1

d 1 d 1 d 5 20d

siseponeenmedio:

d

d



288

Respuestas

porloque,sisecolocaeltinacoenmediosería:

2(d 1 d 1d 1 d 1 d 1 d) 5 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d 1 d

1 d 5 12d

comopuedever,sisecolocaenunextremo,consolo5árbolesdonchuyestaría

caminando20vecesladistanciaentreunárbolyotro,mientrasquesisecolocaen

medio,sóloestaríacaminando12vecesdichadistancia.porlotanto,leconvienemás

colocarloenmedio.

b)enmediodel18 y19.

2.

a)

b)

c)P 5 2l 1 2a.tambiénpuedeescribirsecomoP 5 2 (a 1 l)

3.

a) l 1 l 1 ló3l.

b) l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 l 1 a 1 a;tambiéncomo:6l 1 2a;ocomo:2b 1 2a

4.

55b

5.

p 5 250d,dondepeselimporteydeselvalordeundólarenelmomento.

l

a



289

6.

m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m u 8m

7.

Lamedidadelaalturadeochoescalones.

a) u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u

8.

a) l 1 l 1 ló3l

b)m 1 mó2m

c) l 1 l 1 l 1 m 1 mó3l1 2m

9.

a)5b b)6d

c)8l d)4b

e)5h F)l 13b

g)3b 1 l H)8m 1 3b

10.

20l

a) 20 m

b)40 m

c)6 m

11.

9f

a)$27.00

b)$45.00



290

Respuestas

12.

a) 3l 1 b 1 h

b)51 m

13.

a)72 b)45

c)310 d)48

e)20 F)164

g)128 H)70

14

a) 3 478.02

b)2 506.32

Actividad 9

1.

a) 6y18años

b)2021

c)No.sumandode6 en6.

d)sí

e)sí

F) esigualentodos.sí,porqueelresiduoeselmismo.

g)siemprees2.

H)sí

i) 6x 1 2



291

2.

a) 2n

b)200

3.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...

4.

a) 5n 1 1

b)5(9) 11 5 46

c)251

5.

a) 31,37

b)136,131,126

c)29,37

d)44,49

6.

a) sí

b)1

c)4

d)9

e)16

F) 25

g)36.multiplicandoporsímismoelnúmerodeunidadesquetieneporlado.

H) l2



292

Respuestas

i)

J) porqueloselementosdelasucesióncorrespondenalcuadradodelnúmerodeposiciónen

lasucesión.

7.

a) 1, 3, 6, 10, 15

b)

c)55

d)Loselementoscorrespondientesenlassucesionestienenelmismonúmerodepuntosode

aros.

Número de posición en la sucesión Sucesión Es igual a También se puede

representar como

1 1 1 3 1 12

2 4 2 32 22

3 9 3 33 32

4 16 4 34 42

5 25 5 35 52

6 36 6 36 62

7 49 7 37 72

8 64 8 38 82

9 81 9 3 9 92

n n 3 n n2

6



293

e)2, 6, 12, 20

F) sí.multiplicandoelnúmerodepuntodeunlado(base)porelnúmerodepuntosdelotro

lado(altura).

g)sí.

H)sí.multiplicandoelnúmerodepuntodeunlado(base)porelnúmerodepuntosdelotro

lado(altura).

i) sí.porquesirepresentamoselnúmerodepuntosdeunladoconlaletran,entonces

podemosrepresentarelnúmerodepuntosdelotroladoconlaexpresiónn11,queal

multiplicarsequedacomo(n) (n11) o (n11) (n).

J) dividirentre2.

K)n(n11)

2

8.

a) 448y576,respectivamente.

b) 339.2

c)c 5 6.4 p

d)c 5 6.4 (68) 5 435.2

F)

Peso

Calo

rías

Calorías quemadas por 30 minutos de caminata

0

200

400

600

800

20 40 60 80 100p

c



294

Respuestas

9.

a)88, 96, 104, 112

b) l 5 4t 1 60

10.

a) 25

b)5

c)

d)s 5 5v 1250

11.

a) y aumenta7porcada1queaumentax.

b)y 5 7x 1 45

c)

Número de piezas vendidas (v) 5 10 50 100 200

Sueldo semanal (s) 275 300 500 750 1 250

(x) 0 5 7 9 11

(y) 45 80 94 108 122

01 2 4 6 8 10 113 5 7 9

y

x

20

40

60

80

100

120

140

y = 7x + 45



295

Actividad 10

1.

dependedelosresultadosquehayaobtenidoensuexperimento.

2.

ustedpudohaberelegidoletrasdiferentesalasaquípropuestaspararepresentarlas

expresionesalgebraicas,sólorevisequelasrelacionesentreellasseancorrectas.

Un número más 15. y 1 15

Un número menos 20. a 220

El doble de un número. 2x

El triple de un número. 3x

El cuádruple de un número. 4x

La suma de dos números. x 1 y

El doble de un número más 12. 2x 1 2

El triple de un número menos 4. 3m 24

La mitad de un número. x

2

La mitad de un número menos 7. x

227

Dos terceras partes de un número. 2x

3

Un número dividido entre otro. x

y

El producto de dos números. xy

El producto de dos números más 5. xy 1 5

La mitad del producto de dos números.xy

2

5 menos un número. 5 2 b

2 000 menos un número. 2 000 2 b

6 más un número. 6 1 b

Un número más la mitad del mismo. b 1 b

2

Ocho veces un número. 8b

Un número al cuadrado. y2

Un número al cubo. m3

Un número elevado al exponente 8. y8



296

Respuestas

3. 200 31; 100 3 2; 50 3 4; 40 3 5; 25 3 8; 20 3 10

a)

b)

c)a 5

4.

dependedelexperimentoqueustedrealice.

d)sí

e)P 5 3.14 d

5.

dependedelexperimentoqueustedrealice.

6.

a) No.secuadriplica.

200l

Largo (l) metros 200 100 50 40 20

Ancho (a) metros cuadrados 1 2 4 5 10

Largo (l) centímetros 1 2 3 4 5 6 7 8

Área (A) centímetros cuadrados 1 4 9 16 25 36 49 64



297

1 cm

1 cm

3 cm

3 cm

b)

c)No.semultiplicapor9.

d)semultiplicapor16ypor25,respectivamente.

e)A 5l2

F)

g)sí.

H)$936.00

i) 32ó9veces.

7.

a) semultiplicapor8.

b)

Lado (l) 5 10 15 20 25 30 35

Área (A) 25 100 225 400 625 900 1 225

25(2)(2) 25(3)(3) 25(4)(4) 25(5)(5) 25(6)(6) 25(7)(7)

Arista (l) 1 2 3 4 5 6 7 8

Volumen (V) 1 8 27 64 125 216 343 512

1 2



298

Respuestas


1.

2.

a)

x

b)x

c)4x

3.

a) Laqueustedelija.aquípondremosx.

b)elanchomidexyellargomide4x.

c)10x

4.

a) 4x b) 3x

c)9l d) 6b

b

2

x x x x

x



299

5.

a) 108 b) 150 c) 65

d)4 e) 191 F) 690

g)110 H) 120

6.

a) 500

b)5n

c)separeceenquevacambiandode5en5yenquecadaelementodeestasucesiónse

puedeencontrarsumando1acadaelementodelasucesiónanterior.

d)5n 11

7.

5, 9, 13, 17, 21, 25, 29...

8.

a) 24, 29

b)15, 21

c)116, 113

d)11, 22

9.

a) 52, 56, 60y64,respectivamente

b) l 5 2t 1 40

10.

a) $ 300.00

b)$ 300.00



300

Respuestas

c)

d)y 5 150x 1 800

11. 240 31; 120 3 2; 80 3 3; 60 3 4; 48 3 5; 40 3 6; 30 3 8; 24 3 10;

20 3 12; 16 3 15

a)

b)Largo (l) 240 120 80 60 40 30 24 20

Ancho (a) 1 2 3 4 6 8 10 12

c)a 5 240

l


1.

ponerlapesade2kgjuntoconelfierroylade5kgdelotrolado:2 1 3 5 5

2.

3botesde20litrosparaunodeellosytodoloquerestaparaelotro:

3 (20) 5 2 (20) 1 3 (5) 1 5

Número de sillas (x) 2 4 6 8 10

Precio total (y)mesa con sillas $1 100 $1 400 $1 700 $2 000 $2 300



301

3. Llenaelrecipientede 5 litros,vacía3litrosalrecipientede3 litrosylequedan2litrosenelde5 litros.desocupaelrecipientede3litrosyponelos2litrosquelequedabanenelde5 litros.vuelveallenarelrecipientede5litrosyvacía1litroparacompletarlos3litrosenelrecipientede3 litros,asílequedan4 litrosenelrecipientede5 litros.estoes:4 5 5 2 3 2 2 1 5 2 1

4. 880

5. a) p 5 4l

b)24 m

6. ponejuntoslosdosrelojes;encuantoterminaelde3minutoslovuelveaponer,yempiezaacontarcuandoterminaelde3minutosporsegundavez:11 2 3 2 3 5 5

7. a) 8 1 5 5 9 1 4 b) 45 2 5 5 9 1 31c)9w 1 6w 5 4w 1 11w d) 96a 2 17a 5 60a 119a

Actividad 12

1. a) ¿cuántotienequeregresardecambio?b)Laletraqueustedhayaelegido.

c)200 1 3

d)178 1 m.(Laletraquehayaelegido)

e)200 1 3 5 178 1 m

F) 203 5 178 1 m



302

Respuestas

g)178y178

H)203 2 178 5 178 2 178 1 m

25 5 m ó m 5 25

i) $25.00

J)200 1 28 5 178 1 m

228 5 178 1 m

K)$50.00

2.

a) Lacantidaddelíquidoquefaltaalenvase.

b)Laletraqueustedhayaelegido.

c)1.32 1x(Laletraqueustedhayaelegido)

d)1.32 1x5 1.5

e)despejarlayhacerlaoperaciónindicada.

F) 0.18 litros

3.

a) cuántosgradossepasóelhorno.

b)Laletraqueustedelija

c)250 2 y.a180.

d)250 2 y 5 180.

y 570 °C

4.

a)18 años

b)x1 7 5 18

c)x5 11

5. $50.00

a) x1 167 5 217ó217 2x5 167

b)x5 50



303

6.

a) unaformadeplantearlaecuaciónes:500 1 36 5x1 286 ustedpudohaberlaplanteadounpocodiferente.verifiquesurazonamientoyelresultado

queobtuvo.b)x5 250

c)$300.00

d)unaformadeplantearlaecuaciónes:500 1 86 5x1286 ustedpudohaberlaplanteadounpocodiferente.verifiquesurazonamientoyelresultado

queobtuvo.e)x5 300

7.

a) a 5 22

b)b 5 28

c)m 5 262

d)c 5 14

Actividad 13

1.

a) 5p 5 580

5p 5 580

p 5 580

5 p 5 116 5 (116) 5 580 580 5 580

b)116 litros



304

Respuestas

2.

a) 29x5 580

29x5 580

x5 58029

x5 20

29 (20) 5 580

580 5 580

c)20 litros

3.

a) elnúmerodecubetasde20 litrosquesegastanal“barrer”lacalleconlamanguera.b)Laletraqueustedhayaelegido.aquíusaremoslam.c) 20m 5 105

e) 20m 5 105

m 5 10520

m 5 10520

m 5 5.25

F) 5. 25 cubetas.2035.25 5 105;105 5 105,esdecir,5.25 cubetas deagua

equivalena105 litros.

4.

a)r

25 140

b) r

25 140

2(r

2 ) 5 (140) (2)

r 5 280



305

c)280 gramosdepollo.

2802

5 140

140 5 140

5.

a) elnúmerodelitrosquegastaunafamiliade5 miembrosenelsanitario,sinsistema

ahorradordeagua.

b)Laletraqueustedhayaelegido.aquíusaremoslax.

c) x

25 180

e) x

25 180

2(x

2) 5 (180) (2)

x5 360

F) encondicionesnormales,unafamiliade5 miembrosgasta360 litrosdeagua

diariamenteenelsanitario.

3602

5 180

180 5 180

6. 8 m

a) Lamedidadelladodelpatio.

b)P 5 4l

c)seconoceelperímetroyfaltaconocerlamedidadelladodelcuadrado.

d)l 5 P

4

e) l 5 324

l 5 8



306

Respuestas

F) 8 5 324

8 5 8

7.

a) P

27 5 50

b) P

27 5 50

p 5 (50) (27)

p 5 1 350

c)1 350 toneladasdecobre.

d) 1350

27 5 50

50 5 50

8.

a) 2d 1 d 5 4 500

3d 5 4 500

b)3d 5 4 500

d 5 4 500

3

d 5 1500

c)$3 000.00 elpapáy$1 500.00elhijo.

d) 3 (1 500) 5 4 500

4 500 5 4 500

9.

a) d 5 5

b)x5 25



307

c)a 5 11

d)b 5 9

e)a 5 28

F) m 5 81

g)x5 950

Actividad 14

1.

a) xrepresentaelanchodeunahileradecajonesparacolocarloscoches.

b)Laalturadelestacionamiento,elanchototalymedidadeladistanciaqueseparalasdos

hilerasdecajones.

c)Laalturadelestacionamiento.

d) 2x 1 3.3 5 13.76

e) 2x 1 3.3 5 13.76

2x 5 13.76 – 3.3

2x 5 10.46

x5 10.46

2 x5 5.23

2(5.23) 1 3.35 13.76

10.46 1 3.35 13.76

13.765 13.76

F) 5.23 metros

2.

a) elsueldosemanal



308

Respuestas

b)Laletraqueustedeligió.aquíusaremoslay.ecuación:

4y 1 300 5 2 900

d) 4y 1 300 5 2 900

4y 5 2 900 2 300

4y 5 2 600

y 5 2600

4

y 5 650

4(650) 1 3005 2 900

2600 1 3005 2 900

2 9005 2 900

e)$650.00

3.

a) Lacantidaddehectáreasqueteníainicialmente.b)Laqueustedhayaelegido.aquíusaremoslay.ecuación:

y

2 1 1.6 5 9.6

d)y

2 1 1.6 5 9.6

y

2 5 9.6 21.6

y

2 5 8

y 5 (8) (2)

y 5 16

162

1 1.65 9.6

8 1 1.65 9.6

9.65 9.6



309

e)16 hectáreasF) 6.4 hectáreas

4.

a) Laalturadeledificio.

b) h

5 2 1.5 5 4.1

d)h

5 2 1.5 5 4.1

h

5 5 4.1 1 1.5

h

5 5 5.6

h 5 (5.6) (5)

h 5 28

paraverificar:

285

2 1.5 5 4.1

5.6 2 1.5 5 4.1

4.1 5 4.1

e)28 mdealtura.

5.

4x 2 60 5 700

x 5 190

rositatiene$190.00



310

Respuestas

6.

3w 1 100 1150 5 475

w 5 75

cadafococonsume75 watts.

7.

a) °F 5 95

°C 1 32

°F – 32 5 95

°C

5 (°F – 32) 5 9 °C

5 (°F – 32) 5 °C

9

b)siustedllegóalasiguientefórmula:

59 (°F – 32) 5 °C

tambiénescorrecta,puesrepresentanlomismo.

8.

392 °F

9.

73. 8 °C



311


1.

tomo5 litros;echo3litrosalrecipientede3 litros.esos3 litroslosechoenelrecipientede

todalaleche.echolos2litrosdelrecipientede5litrosenelrecipientede3 litros ymido5

litros,conlosquecompletolos7 litros.

2. x

3 1 2 5 20

ustedpudohaberelegidootraletra.

3.

No

a) 200 1 3 5 27 1 170 1 x

b) 200 1 3 5 27 1 170 1 x

203 5 197 1 x

203 – 197 5 x

6 5 x

200 1 3 5 27 1 170 1 6

203 5 203

c)$6.00

4.

a) x1 85 5 165

b) x1 85 5 165

x5 165 – 85

x5 80

80 1 85 5 165

165 5 165



312

Respuestas

c)80 cm

5.

a) 5d 5 17.5

b)3.5 cm

6.

a)

b) 8d 5 9.6

d 5 9.68

d 5 1.2

8 (1.2) 5 9.6

9.6 5 9.6

c)1.2 mpor3.6 m

7.

a) y

3 5 5 000

y 5 5 000 (3)

y 5 15 000

15 0003

5 5 000

5 000 5 5 000

b)15 000 litrosdeagua.

d

d

d d



313

8. a) Loskilogramosdetabacoqueproducíanantes.b)Laqueustedhayaelegido.aquíusaremoslax.

c) 34

x– 100 5 1 500

34

x5 1 500 1 100

34

x5 1 600

3x 5 (1 600) 4

3x 5 (6 400)

x5 6 400

3

x5 2 133.33

d)2 133 kilogramosdetabaco.

9.

a) x5 55

b)y 5 150

c)c 5 38.33

d)d 5 7

e)m 5 11

F) x5 1

g)x5 212.89

H) x5 44

i) m 5 2 676J) n 5 24 725



314

Respuestas


1.

a) 325 ml

b)sí

c)325

d)325

2.

a) Lasdosecuacionessoncorrectasporquealdespejaryenlaecuacióny 1x5 325

quedalaecuacióny 5 325 2 x.

b)

3.

a) Laletraqueustedhayaelegido.aquíusaremoslam.

b)delacantidaddedineroqueaportelagente.

205

0

0

20

40

60

80

100

120

140

215 225 235 245 255 265 275 285 295 305 315

Contenido

Falta

nte

Botella llena



315

c)Laletraqueustedhayaelegido.aquíusaremoslan.

d)m 5 2 n

e)

F)

4.

a) y 5 12x

b)

Gente (n)12

millón 1 millón 112

millones 2 millones 2

12

millones 3 millones

Empresa (m) 1 millón 2 millones 3 millones 4 millones 5 millones 6 millones

0

1

2

3

4

5

6

(m)

(n)1 2 3

Millones de pesos que da la gente

Luchacontraelcáncer

Mill

ones

de

peso

s qu

e ap

orta

rá

la e

mpr

esa

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132



316

Respuestas

c)

5.

a) y 5 5x 1 8

b)

c)

0

50

100

150

y

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Litros

Kilómetros por litro de gasolinaKi

lóm

etro

s

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 68 73 78 83

0

20

40

60

80

100

y

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Kilómetros

precioporviajeentaxi

Prec

io



317

Actividad 16

1.

A) $4 850.00

IVA: $776.00

B) Es correcto porque $5 599.00 es igual a $5 599.00

C)

Las cantidades han sido redondeadas.

ArtículoPrecio final

x

Sustitución del precio final en la ecuación

y = x

1.16

Precio sin IVA

y

Lp fotosmart 435 $1 960.00 y = 1 960

1.16$1 689.65

Lp fotosmart R707 $6 180.00 y = 6 180

1.16$5 327.59

Syber-shot TSD–C43 $3 599.00 y = 3 599

1.16$3 102.59

Proyector Lp SB–21 $19 299.00 y = 19 299

1.16$16 637.07

Paquete Minilab $6 299.00 y = 6 299

1.16$5 430.17


318

Respuestas

2.

b)sí.

c)gerardo.

d)sí.

3.

Losdatosdelatablaydelagráficapuedenvariardeacuerdoacomoustedloshayaelegido

pero,másomenos,debenquedarasí.

a)

x y

2 300 2 0702 600 2 3402 900 2 6103 200 2 8803 500 3 1503 800 3 4204100 3 6904 400 3 9604 700 4 2305 000 4 500



319

b)

4.

a)

ustedpudohaberasignadootrosvaloresaxyobtenerotrosvaloresdey,perosiusted

prolongaestagráficaolaqueustedhizo,podráverqueeslamisma.

2300 2600 2900 3200 3500 3800 4100 4400 4700 5000

0

500

1000

1500

2000

2500

2070

2340

2610

2880

3150

3420

3690

3960

4230

4500

3000

3500

4000

4500

5000

Sueldo

Suel

do n

eto

y

x

x –2 2 6 10 14 18 22

y 21 29 37 45 53 61 69

0

40

60

80

y

x2-2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

y = 2x + 25

20



320

Respuestas

Actividad 171.

a) y 5 180 1 0.50x

b)y 5 3.50x

c)

d)

e)61 minutos

F) 60 minutos

g)celfon

H)mexcel,$90.00

i) mexcel,$180.00

Minutos 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Mexcel ($) 185 190 195 200 205 210 215 220 225

Celfon ($) 35 70 105 140 175 210 245 280 315

10

0

100

200

300

400

20 30 40 50 60 70 80 90

Peso

s

Número de minutos

comparacióndeprecios



321

2.

y 5 40 2 2x y y 5 10 1 10x

a)

b)

c) (2.5; 35)

y = 40 2 2x


0 40

1 38

10 20

20 0

30 –20

y = 10 1 10x


0 10

1 20

10 110

20 210

30 310

100100101010 200200202020 3030303030 404404404040 500500505050 606606606060 700700707070 800800808080 909090900

100

-100

200

300

400

y = 40 – 2x

y = 10 + 10x



322

Respuestas

d)y 5 40 2 2x y 5 10 1 10x

y 5 40 – 2 (2.5) y 5 10 1 10 (2.5)

y 5 40 – 5 y 5 10 1 25

y 5 35 y 5 35

3.

a) y 5 150 1 35x

b) y 5 40x

c)

d)

e)“comodidad”

Kilómetros recorridos 20 40 60 80

“Delujo” ($) 850 1 550 2 250 2 950

“Comodidad” ($) 800 1 600 2 400 3 200

0

1000

2000

3000

4000

5000

10 20 30 40 50 60 70 80 90

Prec

io e

n pe

sos

Kilómetros

rentadeautos

“Delujo”

“Comodidad”



323

4

sonrespuestasdeopinión.


1.

a) Laqueustedelija.aquíusaremosm.

b)delacantidaddedineroquedonelagente.

c)Laqueustedelija.aquíusaremosp.

d)m 5 3p

e)

F)

2.

a) y 5 8x

Gente (p) 1 millón 2 millones 3 millones 4 millones 5 millones 6 millones

Empresa (m) 3 millones 6 millones 9 millones 12 millones 15 millones 18 millones

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6

Donaciones para niños con cáncer (millones de pesos)

Empr

esar

ios

Gente

y

x



324

Respuestas

b)

c)

3.


x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

rendimientodelacamioneta

Kilo

met

ros

Litros de gasolina

y

x

y = 12x – 7

0000

2020020

0-20- 020020020-2020

400-40- 0400400404040

4040040040

6060060060

8080080080

11111111111-1111111 2222222222-22222 333333333 444444444

y

x



325

4.

con11 teléfonosquevendayaestáganadomás.

a) y 5 35x 1 150

b)y 5 50x

c)

d)

e)sólosivendemenosde9 teléfonos,leconvienelaprimeraopción.sivende11omás,

leconvienelasegunda.

Número de teléfonos vendidos 5 10 15 20

Primera opción $325 $500 $675 $850

Segunda opción $250 $500 $750 $1 000

5

0

200

400

600

800

1 000

1 200

10 15 20 25

Suel

do s

eman

al e

n pe

sos

Teléfonos vendidos en una semana

sueldo

Primera opción

Segunda opción



326

Respuestas

UNIDAD 6 Actividad 181.

5grandesy7 chicos.

a) elnúmerodetapeteschicosyelnúmerodetapetesgrandesquesevendieron.

b)Lasqueustedelija,aquíelegimosmyn.

c)m 1 n 5 12

d)250m 1 450n 5 4 000

2.

a) a 1 n 5 439

b)65a 1 35n 5 18 995

c)a 5 439 2 n

65 (439 2 n) 1 35n 5 18 995

28 535 2 65n 1 35n 5 18 995

230n 5 18 995 2 28 535

230n 5 29 540

n 5 29 540230

n 5 318

a 1 318 5 439

a 5 439 2 318

a 5 121d)121e)318

3.

$500.00al3%deinterésanualy$3 500al4%.paraplantearelsistemadeecuaciones

queresuelveelproblemaesnecesariorecordarqueparacalcularel3%ó4%deuna



327

cantidad,estasemultiplicapor0.03opor0.04,respectivamente.porloqueelsistemade

ecuacionesqueresuelveelproblemaeselsiguiente:

x 1 y 5 4 000

0.03x 1 0.04y 5 155

porelmétododesustituciónsepuederesolverdelasiguientemanera:

x 1 y 5 4 000

x 5 4 000 2 y

0.03( 4000 – y) 1 0.04y 5 155

porlapropiedaddistributivadelamultiplicaciónconrespectoalasuma:

120 – 0.03y 1 0.04y 5 155

120 2 0.01y 5 155

0.01y 5 155 – 120

0.01y 5 35

y 5 350.01

y 5 3 500

sustituciónenlaprimeraecuación:

x 1 y 5 4 000

x 1 3 500 5 4 000

x 5 4 000 – 3 500

x 5 500

verificaciónderespuestas:

3 500 1 500 5 4 000 3 500 (0.04) 1 500 (0.03) 5 155

4000 5 4 000 140 1 15 5 155

155 5 155



328

Respuestas

4.

elmenorrecibió$2 850.00yelmayor$3 650.00

5.

15 quesosde1.6y12de2.3 kg

6.

a) x 5 7

y 5 3

b)x 5 9

y 5 22

c)x 5 10

y 5 25

d) m 5 1

n 5 2

e)x 5 213

y 5 25

Actividad 19

1.

a) elpreciode1kilogramodefrijolyelpreciode1sobredegrenetinaparahacergelatinas.

b)elpreciode5 kgdefrijoly8sobresdegrenetinayelpreciode3 kgdefrijoly10 sobres

degrenetina.

c) 5x 1 8y 5 136

3x 1 10y 5 118



329

d)

e)secortanenunpunto.enelpunto(16, 7).

x 5 16yy 5 7

F) 5x 1 8y 5 136

3x 1 10y 5 118

semultiplicanambasecuaciones,unapor3ylaotrapor5:

15x 1 24y 5 408

15x 1 50y 5 590

seresta,enestecaso,secambióelordendelasecuacionesparafacilitarresultados:

15x 1 50y 5 590

15x 1 24y 5 408

0 26y 5 182

sedespejaydelaecuaciónresultante:

y 518226

y 5 7

0

5

10

15

20

25

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

y

x

y = (136 – 5x)

8

y = (118 – 3x)

10



330

Respuestas

sesustituyeelvalordeyenunadelasdosecuacionesinicialesysecalculaelvalordex:

5x 1 8y 5 136

5x 1 8 (7) 5 136

5x 1 56 5 136

5x 5 136 – 56

5x 5 80

x 5 805

x 5 16

secompruebaelresultadosustituyendoambosvaloresenlasdosecuacionesiniciales:

5 (16) 1 8 (7) 5 136 3 (16) 1 10 (7) 5 118

80 1 56 5 136 48 1 70 5 118

136 5 136 118 5 118

g)Lasolucióndelsistemacorrespondealpuntodondesecortanlasrectas.

H)$16.00elkilogramodefrijoly$7.00unsobredegrenetinaparahacergelatinas.

2.

16 paquetesde18 rollosy4paquetesde24 rollos.

a) Lacantidaddepaquetesde18 rollosdepapelylacantidaddepaquetesde24.

b)eltotaldepaquetesyeltotalderollosquehayenlospaquetes,asícomolacantidadque

contienenlosdostiposdepaquetes.

c) 18x 1 24y 5 384

x 1 y 5 20

d) x 5 16

y 5 4

3.

$1 100.00unavacay$320.00cadaborrego.

a) elpreciodecadavacayelpreciodecadaborrego.



331

b)Lacantidaddedineroquerecibióporlaventade80 vacasy160 borregosyporlaventa

de50 vacasyde185 borregos.

c) 80x 1 160y 5 139 200 50x 1 185y 5 114 200

d) x 5 1 100

y 5 320

4.

a) m 5 2

z 5 8

b) a 5 22

b 5 5

c) x 5 6

y 5 23

d)x 5 16

y 5 24

5.

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

m = (33 – 3z) 9

m = (99 – 9z) 27

z

m



332

Respuestas

a) sesobreponen.

b)27m 1 9z 5 99

c)sonlamismaecuación.

6.

a) No.

b)sonparalelas.


1.

a) a 1 n 5 224

b)35a 1 15n 5 4 480

c)n 5 168

a 5 56

0

2

-2

4

6

8

10

y

x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y = (68 – 4x) 7

y = (78 – 8x) 14



333

d)56

e)168

2.

a) Laqueustedhayaelegido.aquíusaremosx.

b)Laqueustedhayaelegido.aquíusaremosy.

c) x1 y 5 40

d) 2x

e) 4y

F) 2x 1 4y 5 132

g)x5 14

y 5 26

H) 14 guajolotes.

i) 26 chivos.

3.

750 cuadernosde100 hojasy50 cuadernosde50 hojas.

4.

a) m 5 26

z 5 11.5

b) a 5 5

b 5 3

c) x 5 2

y 5 3

d) x 5 3

y 5 1



334

Respuestas


1.

a) a 2 b

b)2 (a 2 b)

c)sí,2a 2 2b.

2.

a) dosladosmidenmydosladosmiden2m.

b)6m

c)m m

m n

n

2n

m

2n

3n

n

n

3n

m+n p

6m 4n

16n 6m

18n 4n 1 m 1 p



335

d)13m 1 42n 1 p

3.

a)

b)alexponente1

c)alexponente2

d)n3

e)n2

Actividad 21

1.

a) 8 lados midenay4 ladosmiden2a.

b)16a

x

x

x

A = 2x2 y

y

A = y2

zx + y

x

A = x2+ xy

2

6x 4y

2x 1 y 1 z



336

Respuestas

c)4 lados midenay8 ladosmidena

2 .

d)8a

e)24a

2.

a) porqueambostienenxycomoliterales.

b)porque,aunqueambostienea bcomoliteral,enunoestámultiplicadoporayenotro

por c.

c)porque,aunqueambostienenamyncomoliterales,enunoelcuadradoestáenlamy

enotro,enlan.

d)porquelamultiplicaciónesconmutativa,yasícomo(8) (2) 5 (2) (8),también

a2bc 5 ca2b

3.

212b2 3xy2

98nm3 8b2

7x 2ca3

3y5 8ab2

13a3c nm3

8xy2 24x

23ab2 26y5

4.

a) 2m 1 2n

b)p 1 m 1 n

c)p 1 3m 1 3n



337

5.

a) 9n 2 3m

b)27y2 1 2x3 2 x

c)6y2 1 y

d)13ab2 2 7x3y 1 x

e)2x2y 1 8x3y

F) 9p2 1 x3y 1 2y2 2 x

6.

a) 7n – 10m

b)3b2 1 15x3 2 8y2 2 x

c)9ab2 1 9x3y 1 x

d)2xy2 2 7x3y 2 x

e)4m3n 2 2m 1 n

F) 5k 1 10l

g)4b2 1 16x3 2 6x

H)210xy2 1 9x3y 2 4x

i) 21mn3 2 7xy 29x

J) 34yn2 2 12m 2 4n

Actividad 22

1.

a) m2

b)multiplicandoladoporlado:(m) (m)

c)n2

d)multiplicandoladoporlado:(n) (n)

e)dosladosmidennydos(n 2 m)



338

Respuestas

2.

a) ny(n 2 m)

b)n2 2 nm

c) (n 2 m) y m

d)nm 2 m2

e)n2 2 nm 1 nm 2 m2 5 n2 2 m2

F) sí.multiplicandolamedidadelosladosmenoslamedidadelosladosdelcuadradoque

lequitaron.

g)n2 2 m2 5 n2 2 m2

3.

a) 8 a2

b)45ma

c)12m3

d)20x3y

e)24a2b2

F) 45ma

4.

a) c2

b)sí,porqueelcortepasaporlamitadde2desuslados.

5.

a) 20a2m 1 10am – 36a3 – 18a2

b)3m2xy 1 4nxy 1 80x2n 1 60x2m2

c)27a3b 1 15a2b – 72ab – 40b



339

Autoevaluación Unidad 71.

2.

26c2 nm2

nm3 x

7x 12nm3

4nm2 9c2

f

q

q

t

2q

d

h

h

q

r r g

b

6f 12q 1 2t 2h 1 d

4r 1 2q 8b4g



340

Respuestas

3.

a) m5 1 8x3 2 x

b)10k2 1 k

c)5an2 2 7n2y 1 x

d)22x2y 1 7x3y

e)10r2 1 r2p 1 3y2 2 x

4.

a) 72b2

b)49n2

c)40p3

d)24x3y

e)48x3y

5.

a) 30an 1 25a2n

b)27m4 1 45m2n 1 12n2

c) 63x2 2 27 x2y 1 6x3y2 2 14x3y


1.

a) M 5P

t2

b)28.99

c)deobesidad,enprimernivel.



341

2.

a) p 5 Mt2

b)p 5 24.74 (1.57)2

p 5 24.74 (2.4649)

p 5 60.98

aproximadamente61 kilogramos.

3.

a) t2 5 P

M

b) t2 568

24.38

t2 5 2.789

c)Laestaturaderamónalcuadrado.d)sacarraízcuadrada.e)mideaproximadamente1.67 metros.

4.

a) r2 5Ap

b)r2 5200.96

3.14

r2 5 64

c)sacarraízcuadrada.d)8 metros

5.

a) r2 5Ap

b)r2 5271.57

3.14

r2 5 86.48



342

Respuestas

c)sacarraízcuadrada.

d)mide9.299 m,locualsepuederedondeara9.3 m.

e)18.6 metros

F) 58.404 metros

6.

a) l 5 36.4

b)m 5 6.2

c)p 5 1.827

d)m 5 8.899

Actividad 241.

a) 90°

b)triángulorectángulo,triángulorectángulo,triángulorectángulo.

AB: 10.77 metros,aproximadamente.

AC: 12.8 metros,aproximadamente.

AD: 15.62 metros,aproximadamente.

2.

a) calculandolamedidadelladoopuestoalángulorectoysumandolamedidadelostres

lados.despuésmultiplicarpor2porqueson2 piezas.

b)Lamedidadelladoopuestoalángulorecto.

c)sí,porqueeltriánguloesrectángulo.

d)2.8178,redondeandoaenteros3 metros.

e)6.8 metros. 13.6 metros.



343

3.

a) 7.0712 5 52 1 52.esuntriángulorectángulo.

b)12.80622 5 82 1 102.esuntriángulorectángulo.

4.

8 metros

a)

b)recto.sí.

c) a2 5 102 – 62

a 5 100 – 36

a 5 64

a 5 8


1

4 m2

2.

31.4 m,aproximadamente

10 m6 m



344

Respuestas

3.

a) l 5 5

b)m 5 12.3

c)p 5 11

d)m 5 23

4.

a) 90°

b)triángulorectángulo.triángulorectángulo.triángulorectángulo

c)AB: 15.297,aproximadamente

AC: 16.155,aproximadamente

AD: 17. 492,aproximadamente

5.

2.5076 m,aproximadamente

6.

a) (7.810249)2 5 52 1 62

60.99998 5 25 1 36

60.99998 5 61

redondeando60.99998a61,podemosdecirquesetratadeuntriángulorectángulo.

b) (13.4536)2 5 102 1 92

180.999 5 100 1 81

redondeando180.999a181,podemosdecirquesetratadetriángulorectángulo.

c) (15.2643)2 5 82 1 132

232.998 5 64 1 169



345

232.998 5 233

redondeando232.998a233,podemosdecirquesetratadetriángulorectángulo.

Respuestas a la Autoevaluación del módulo

1.

c)4 456 años

2.

a) 213.9 < 10.4 7.08 < 7.7

28.8 < 27.3 29.01 < 25.9

20.18 < 11.6 9.56 > 29.65

5.9 5 5.90 4.07 5 4.0700

3.

(1445) 1 (1787) 5 1 232 (1986) 1 (2183) 5 803

(2895) 1 (1346) 5 2549 (2789) 1 (2548) 5 21 337

(2784) – (1873) 5 21 657 (2956) – (1679) 5 21 635

(21827) – (21235) 5 2592 (1956) – (2987) 5 1 943

(1983) 3 (1657) 5 645 831 (2852) 3(2285) 5 242 820

(2834) 3 (1126) 5 2105 084 (1956) 3 (2854) 5 2816 424

(1673) ÷ (1178) 5 3.78 (26598) ÷ (227) 5 244.37

(2894) ÷ (1342) 5 22.614 (1895) ÷ (2347) 5 22.579

500-500-1500-2500-3500 1500-3000 0 1000-1000-2000 2000

T LA



346

Respuestas

4.

5.

(7, 9)

6.

a) 63 5 216

b)95 5 59 049

c) (23)6 5 729

d)(215)4 5 50 625

e) (10)6 5 1 000 000

F) (2100)5 5 10 000 000 000

y

x-1 1

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15-2

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

-12

-13

-14

-15

-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15

A

J

F

I H

G

E

C

BD



347

7.

a) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) 5 2 097 152

b) (5) (5) (5) (5) (5) (5) 5 15 625

c) (7) (7) (7) (7) 5 2 401

d)(9) (9) (9) 5 729

e) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) 5 5 764 801

8.

No.87es2 097 152y78es5 764 801.

9.

a) 15.66666

b)228

10.

0.0000001

11.

pongolapesade10kilogramosdeunladoylade2kilogramosdelotroladojuntoconlo

quevoyapesar.

12. 2 12 5 88

13.

$400.00

x

4



348

Respuestas

a) 138 1 x 5 500 1 38

b)x 5 400

138 1 400 5 500 1 38

538 5 538

14.

a) A

b)eldiámetrodeuncírculomenor.

c)A 5 3d

d)d 5 A

3

15.

a) a a a a a

a

b)2a 1 2 (5a) 5 60

a 5 5

c)elterrenomide5metrosdeanchoy25 metros delargo.

16.

a) Lacantidaddetoneladasdemaízqueelterrenoproducíahacediezaños.

b)aquíusaremosy

c)8 5 y

2 2 3

y 5 22



349

d)22 toneladas

17.

a) x 5 391

b)y 5 111

c)c 5 2

d)d 5 9

e)m 5 1 078

F) x 5 9

g)x 5 29.7416

H) x 5 44

i) l 5 21904

J) n 5 1644

18.

a) 3

b)y 5 3x 110

c)

0

10

20

30

40

50

1 2 43

y = 3x+10y

x



350

Respuestas

19.

a) y 5 35x 1 65

b)

20

unaposiblerespuestaes:

a)

21.

a) y 5x2 1(ecuación1)

6x 2 7y 51(ecuación2)

enestecaso,esrecomendablesustituirenlaecuación2elvalordeydelaecuación1.

6x 2 7(x 2 1) 5 1

6x 27x1 7 5 1

2x 1 7 5 1

2x 5 1 – 7

2x 5 26semultiplicanambosmiembrospor21.

x5 6

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

y 100 135 170 205 240 275 310 345 380 415 450 485 520 555 590

x 2 4 6 8 10 12 14

y 57 69 81 93 105 117 129

0

50

100

150

2 4 8 126 10 14

y = 6x + 45

y

x



351

ahorasesustituyeenlaecuación1 elvalorencontradodex.

y 5x2 1

y 5 6 2 1

y 5 5

entonces:

y 5 5

x 5 6

b)x1 5y 5 238(ecuación1)

2x 1 13y 5100(ecuación2)

enestecaso,sepuededespejarxenlaecuación1.

x 5 238 – 5y

sustituirxenlaecuación2.

2(238 2 5y) 1 13y 5 100

276 2 10y 1 13y 5 100

276 1 3y 5 100

3y 5 100 176

3y 5 100 176

3y 5 176

3y

3 5

1763

y 5 58.666

ahorasesustituyeenlaecuación1 elvalorencontradodey.

x 1 5y 5 238

x 1 5 (58.666) 5 238

x1 293.33 5 238

x5 238 – 293.33

x5 2331.33



352

Respuestas

entonces:

y 5 58.66

x 5 2331.33

22.

m 5 9

z 5 8

23.

12 m

24.

a) 7n 1 6m

b)15b2 2 9x3 2 8y2 2 6x

c)10ab2 1 11x3y 2 3x

d)7xy2 1 5x3y 1 x

e)10 m3n 1 11m 2 n

0

5

10

15

20

25

30

2 4 8 106

z

m

10m + 4z = 122

6m + 8z = 118



353

25.

a) 5y 1 7x

b)10b2 1 5x3 2 14x

c)24xy2 2 12x2y 2 2x

d)37mn3 2 12xy 2 x

e)34yz2 2 8p 2 10m

26.

27.

a) 3n5 1 8x3

b)12h2 1 5h 2 x

c)26cb2 1 c

28.

a) 15c2

b)9yx

c) 8h3

d)3x4y

e)35x2y2

a y

y y

x

y

x

d

c

b

a 1 b 1 c 1 d 2x 1 4y



354

RespuestasOperaciones avanzadas Respuestas

29.

a) 42b2 2 8a2b 2 64a4

b)12b4 1 22cb2 1 6c2

30.

18.3116 m,aproximadamente.

354


Operaciones avanzadas Notas

Notas

355


Notas


Notas



Notas

356


HO

JA D

E A

VA

NC

ES

Opera

ciones

avanza

das

Mate

máti

cas

Nom

bre

de la

pers

ona

jove

n o

adul

ta

Apellid

o p

atern

o

Apellid

o m

atern

o

Nom

bre

/s

M

arq

ue c

on u

na p

alo

ma

✓

los

pro

pósi

tos

que s

e h

ayan

com

ple

tado s

ati

sfact

ori

am

ente

en c

ada u

nid

ad.

RFE o

CU

RP

✁

Unid

ad 1

Hago c

onst

ar

que la p

ers

ona c

om

ple

tó

sati

sfact

ori

am

ente

est

a u

nid

ad.

Fech

a

Nom

bre

y fi r

ma d

el ase

sor

o a

seso

ra

• Le

erá

, esc

ribir

á y

com

par

ará

núm

ero

s co

n s

igno.

• Su

mar

á y

rest

ará

núm

ero

s co

n s

igno.

• M

ult

iplica

rá y

div

idir

á

núm

ero

s co

n s

igno.

Unid

ad 2

Hago c

onst

ar

que la p

ers

ona c

om

ple

tó

sati

sfact

ori

am

ente

est

a u

nid

ad.

Fech

a

Nom

bre

y fi r

ma d

el ase

sor

o a

seso

ra

• U

bic

ará

punto

s en e

l pla

no c

arte

sian

o a

par

tir

de s

us

coord

enad

as

(x, y)

y v

iceve

rsa,

a

par

tir

de la

posi

ción d

e

un p

unto

en e

l pla

no

obte

ndrá

las

coord

enad

as

corr

esp

ondie

nte

s.

• Reso

lverá

pro

ble

mas

que

invo

lucr

an p

ote

nci

as.

• U

tiliza

rá la

jera

rquía

de

opera

ciones

(incl

uye

ndo

pote

nci

as).

• U

tiliza

rá la

nota

ción c

ientí

fi ca

co

n e

xponente

s ente

ros

posi

tivo

s y

nega

tivo

s.

Unid

ad 3

Hago c

onst

ar

que la p

ers

ona c

om

ple

tó

sati

sfact

ori

am

ente

est

a u

nid

ad.

Fech

a

Nom

bre

y fi r

ma d

el ase

sor

o a

seso

ra

Unid

ad 4

Hago c

onst

ar

que la p

ers

ona c

om

ple

tó

sati

sfact

ori

am

ente

est

a u

nid

ad.

Fech

a

Nom

bre

y fi r

ma d

el ase

sor

o a

seso

ra

• Conoce

rá la

uti

lidad

de las

lite

rale

s en á

lgebra

. U

sará

al

gunas

regl

as d

e e

scri

tura

al

gebra

ica.

• Enco

ntr

ará

la r

egu

lari

dad

que r

ela

ciona

una

list

a de

canti

dad

es.

• U

tiliza

rá e

l le

ngu

aje

alge

bra

ico.

Modela

rá c

on

exp

resi

ones

alge

bra

icas

al

gunas

sit

uac

iones

de la

geom

etr

ía y

de la

físi

ca.

• Aplica

rá la

noci

ón d

e e

cuac

ión

de p

rim

er

grad

o e

incó

gnit

a.

• Reso

lverá

pro

ble

mas

que

invo

lucr

an e

cuac

iones

de la

form

a x

+ a =

b y

a –

x =

b.

• Reso

lverá

pro

ble

mas

que

invo

lucr

an e

cuac

iones

de la

form

a ax

= b y

x a

= b

.

• Reso

lverá

pro

ble

mas

que

invo

lucr

an e

cuac

iones

de la

form

a ax

+ b =

c y

x a

+ b =

c.


HO

JA D

E A

VA

NC

ES

Opera

ciones a

vanza

das

Mate

mática

s

Nom

bre de la persona joven o adulta

Apellid

o p

atern

o

Apellid

o m

atern

o

Nom

bre

/s M

arq

ue co

n u

na p

alo

ma ✓

los p

ropósito

s que se

hayan

com

ple

tado sa

tisfacto

riam

ente

en ca

da u

nid

ad.

RFE o

CU

RP

✁

Unid

ad 5

Hago co

nsta

r que la

perso

na co

mple

tó

satisfa

ctoria

mente

esta

unid

ad.

Fech

a

Nom

bre

y fi rma d

el a

seso

r o a

seso

ra

• Reso

lverá p

roble

mas q

ue

invo

lucran

la relació

n e

ntre

dos variab

les.

• Grafi cará la re

lación e

ntre

dos variab

les.

• Reso

lverá p

roble

mas

utilizan

do gráfi cas.

Unid

ad 6

Hago co

nsta

r que la

perso

na co

mple

tó

satisfa

ctoria

mente

esta

unid

ad.

Fech

a

Nom

bre

y fi rma d

el a

seso

r o a

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ra

• Reso

lverá p

roble

mas q

ue

invo

lucran

un siste

ma d

e

ecu

aciones co

n d

os in

cógn

itas m

edian

te m

éto

dos d

e

sustitu

ción y d

e su

ma o

resta.

• Aplicará m

éto

dos p

ara re

solve

r un siste

ma

de e

cuacio

nes co

n d

os

incó

gnitas: su

stitució

n, d

e

sum

a o re

sta y de grafi cació

n.

Unid

ad 7

Hago co

nsta

r que la

perso

na co

mple

tó

satisfa

ctoria

mente

esta

unid

ad.

Fech

a

Nom

bre

y fi rma d

el a

seso

r o a

seso

ra

Unid

ad 8

Hago co

nsta

r que la

perso

na co

mple

tó

satisfa

ctoria

mente

esta

unid

ad.

Fech

a

Nom

bre

y fi rma d

el a

seso

r o a

seso

ra

• Modelará m

onom

ios y

polin

om

ios co

n fi gu

ras ge

om

étricas.

• Sum

ará y restará m

onom

ios y

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om

ios.

• Multip

licará monom

ios y u

n

polin

om

io p

or u

n m

onom

io.

• Reso

lverá p

roble

mas co

n

pote

ncias cu

adrad

as.

• Conoce

rá el te

ore

ma d

e

Pitágoras y lo

aplicará e

n la

reso

lució

n d

e p

roble

mas.

✁


✓

✁

✁

¿Q

ué a

pre

ndí?

¿P

ara

qué m

e s

irve?

Auto

eva

luac

ión fi

nal

Nom

bre

y fi r

ma d

e la p

ers

ona j

ove

n o

adult

a

Dato

s de la a

plica

ción

Fech

a

Lugar

de la a

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ción

N

om

bre

y fi r

ma d

el aplica

dor

HO

JA D

E A

VA

NC

ES

Opera

ciones

avanza

das

Mate

máti

cas



Con frecuencia se oye decir que el álgebra no tiene aplicaciones en la vida diaria; que es árida y difícil. Por eso, en este libro, se intenta demostrar que este conocimiento matemático tiene amplias aplica-ciones en la cotidianidad, pero que no se aplica porque no se conoce. ¿Antes de aprender a multiplicar y dividir usted empleaba estas ope-raciones?Es claro que no se puede aplicar el conocimiento que no se tiene, por ello le invitamos a que destine un tiempo determinado y regular al estudio de este módulo, pues más que ser difícil, el álgebra, al igual que cualquier otro tipo de conocimiento, exige estudio y disciplina.

Educación para la Vida y el Trabajo • CienciasEducación para la Vida y el Trabajo • Matemáticas

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iteatlaxcala.inea.gob.mxiteatlaxcala.inea.gob.mx/SEducativos/Modul/AVANZADO... · Coordinación académica María Esther Amador Gómez Autoría María Esther Amador Gómez Revisión