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Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE
Matemáticas DiscretasPrincipios fundamentales de conteo
Cursos Propedéuticos 2010
Ciencias Computacionales
INAOE
Dr. Luis Villaseñor Pineda
http://ccc.inaoep.mx/~villasen
2
Contenido
Introducción
Reglas de la suma y el producto
Permutaciones
Combinaciones
Generación de permutaciones
3
Introducción
En ocasiones, interesa saber cuántas diferentes permutaciones/combinaciones de elementos se pueden generar a partir de cierto conjunto, por ejemplo: ¿Cuántos comités diferentes de 3 personas puede haber a
partir de un grupo de 10 individuos?
¿De cuántas diferentes maneras pueden repartirse 5 cartas a partir de 52 cartas (poker)?
¿De una urna con 10 bolas, 6 rojas y 4 negras, cuántas formas diferentes existen al extraer 4 bolas, asumiendo que cada vez que se saca una, se regresa a la urna?
4
Introducción
En esta sesión veremos la teoría matemática que nos
permite hacer estos cálculos, así como algunos
ejemplos de aplicación
2
5
Experimento
Un proceso físico que tiene un número de posibles resultados
Ejemplos: Tirar una moneda y observar que cara queda arriba
Tirar n monedas y observar las caras que quedan arriba en cada moneda
Sacar m pelotas de una caja con n pelotas
Seleccionar 3 miembros para un comité de un grupo de npersonas
De n personas que fuman, observar cuántas tienen cáncer
Si se puede realizar una primera tarea de m maneras,
mientas que una segunda se puede efectuar de n
maneras, y no se pueden realizar las dos tareas
simultáneamente, entonces realizar cualquiera de ellas
se puede lograr de m + n maneras.
EJEMPLO. La biblioteca de un colegio tiene 40 libros de
texto sobre sociología y 50 sobre antropología. Por la
regla de la suma, un estudiante de ese colegio puede
elegir entre 40 + 50 = 90 libros de texto para ampliar sus
conocimientos sobre alguno de los dos temas.
La regla de la suma
Si un procedimiento se puede separar en las etapas
primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la
primera etapa y n para la segunda, entonces el
procedimiento total se puede realizar, en el orden
designado, de n m maneras.
EJEMPLO. El grupo de teatro de la Universidad Central
está haciendo pruebas para la obra de primavera. En vistas
de que se presentan seis hombres y ocho mujeres para los
papeles principales masculino y femenino, por la regla del
producto el director puede formar el reparto de su pareja
principal de 6 8 = 48 maneras.
Regla del producto
Aquí se muestran varias extensiones de la regla del
producto, al considerar la fabricación de placas para autos
que constan de dos letras seguidas de 4 dígitos.
a) Si no se pueden repetir las letras ni los dígitos, hay
2625 10 9 8 7 = 3 276 000 placas distintas.
b) Si se permiten repeticiones de letras y dígitos, hay
2626 10 10 10 10 = 6 760 000 placas posibles.
Ejemplo
3
9
Permutaciones
Dados n objetos, queremos obtener las diferentes
formas de ordenar r de estos objetos
Por ejemplo, dada las letras a,b,c, de cuántas formas
podemos arreglar 2 de ellas:
ab, ba, ac, ca, bc, cb
Esto se conoce como las permutaciones de
r de n, P(n, r)
En una clase de diez estudiantes se seleccionan cinco para
sentarlos en fila y fotografiarlos. ¿Cuántas disposiciones
lineales de cinco estudiantes pueden hacerse?
Para responder a la pregunta, se considerarán las
posiciones y los números posibles de estudiantes que se
pueden elegir para ocupar cada posición.
10 9 8 7 6
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
Posición Posición Posición Posición Posición
Permutaciones
Ejemplo
Cualquiera de los diez estudiantes puede ocupar la primera
posición de la fila,
No se permiten las repeticiones,
sólo se pueden seleccionar uno de los nueve estudiantes restantes
para ocupar la segunda posición,
prosiguiendo de esta manera,
se halla que sólo se puede elegir entre seis estudiantes para ocupar
la quinta y última posición,
Tenemos un total de 30240 disposiciones posibles de cinco
estudiantes seleccionados de una clase de diez.
11 12
Permutaciones
Dada una colección de n objetos, cualquier
disposición de ellos se denomina permutación de la
colección.
El número de permutaciones se obtiene de la
siguiente manera:
P(n, r) = n! / (n-r)!
Donde n! es el factorial de n, definido como:
n! = n (n-1) (n-2) …. x 2 x 1
(Por definición: 0! = 1)
4
Permutaciones
13
En general si hay n objetos, denominados a1, a2, .... ,an, y r
es un entero, con 1 r n, entonces, por la regla del
producto, el número de disposiciones o permutaciones de
tamaño r para n objetos es
n (n–1) (n–2) ... (n – r + 1) =
1ª 2ª 3ª r ava
Posición Posición Posición Posición
)!(
!
rn
n
Permutaciones
En caso de permitir repeticiones, entonces, por la
regla del producto, hay nr disposiciones posibles, con
r0.
EJEMPLO El número de permutaciones de las letras
de la palabra COMPUTER es 8!. Si se toman sólo
cuatro de esas letras, el número de permutaciones (de
tamaño cuatro) es P(8,4)=8!/(8–4)!=8!/4!=1680. Si se
permiten repeticiones de letras, el número de
disposiciones posibles es 88 = 16 777 216.
14
15
Permutaciones – Generalización
Ahora consideramos que tenemos t clases de objetos,
de forma que los de una clase son indistinguibles
entre sí
Cómo podemos ordenar n objetos, con n1 del tipo 1,
n2 del tipo 2, …, nt del tipo t?
Por ejemplo, 3 letras, 2 a’s y 1 b:
aab, aba, baa
Otro ejemplo
¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de
la palabra DEDO?
16
5
Otro ejemplo
¿Cuál es el número de permutaciones de las letras de
la palabra DEDO?
17
D D E O D1 D2 E O D2 D1 E O
D D O E D1 D2O E D2 D1O E
D E D O D1 E D2 O D2 E D1 O
D E O D D1 E O D2 D2 E O D1
D O D E D1 O D2 E D2 O D1 E
D O E D D1 O E D2 D2 O E D1
E D D O E D1 D2 O E D2 D1 O
E D O D E D1 O D2 E D2 O D1
E O D D E O D1 D2 E O D2 D1
O D D E O D1 D2 E O D2 D1 E
O D E D O D1 E D2 O D2 E D1
O E D D O E D1 D2 O E D2 D1
Otro ejemplo (cont)
Si se diferencian las dos D representándolas por D1 y
D2, entonces se pueden utilizar las ideas anteriores
sobre permutaciones de objetos diferentes;
Con los cuatro símbolos diferentes, D1, E, D2, O, se
tienen 4!=24 permutaciones.
Al examinar la tabla se observa que a cada
permutación en la que no se diferencian las D
corresponde un par de permutaciones con distintas D.
18
Otro ejemplo (cont)
En consecuencia,
2 (número de permutaciones de los símbolos D,E,D,O)=
=(número de permutaciones de los símbolos D1, E, D2,O)
y la respuesta al problema original de hallar todas las
permutaciones de las letras de DEDO es 4!/2=12.
19
Permutaciones – Generalización
si hay n objetos con n1 de un primer tipo, n2 de un
segundo tipo,..., y nr de un r-ésimo tipo, donde
n1+n2+...+nr=n, entonces hay
permutaciones de los n objetos dados.
20
!!!
!
21 rnnn
n
6
21
Permutaciones – Generalización
Otros ejemplos:
Para el código morse (puntos y rayas), ¿cuántos mensajes
se pueden hacer con dos puntos y tres rayas?
Hay 10 oficinas, 2 las va a explorar el robot 1, 5 el robot
2, y 3 el robot 3, ¿de cuántas formas diferentes se pueden
organizar los robots para explorar las oficinas?
Combinaciones
Una baraja de póquer consta de 52 naipes, repartidos
en cuatro palos: tréboles, diamantes, corazones y
picas.
Cada palo tiene 13 naipes: As, 2,3,...,9, 10, J, Q, K.
26
Combinaciones
Si se tienen que sacar tres naipes de la baraja,
seguidos y sin sustituirlas, entonces, por la regla del
producto, hay
posibilidades
una de las cuales es AC(As de corazones), 9T(nueve de
tréboles), KD(rey de diamantes);
27
3,52!49
!52505152 P
Combinaciones
Pero dado que el orden de selección no es importante
entonces las seis permutaciones,
AC-9T-KD, AC-KD-9T, 9T-AC-KD, 9T-KD-AC, KD-9T-
AC, KD-AC-9T,
corresponden a una sola selección (desordenada).
Por tanto, cada selección o combinación de tres
naipes, sin referencia al orden, corresponde a
3! permutaciones.
28
7
Combinaciones
En general,
si se comienza con n objetos distintos, cada selección o
combinación de r de estos objetos, sin referencia al orden,
corresponde a r! permutaciones de tamaño r de los n
objetos.
Así el número de combinaciones de tamaño r de un
conjunto de tamaño n, denotado C(n, r), 0 r n, cumple
(r!) C(n, r) = P(n, r) y
29
nrrnr
n
r
rnPrnC
0,
)!(!
!
!
,,
Combinaciones
Además del símbolo C(n, r), se suele utilizar el
símbolo
30
r
n
Ejemplo - combinaciones
Un tesista ofrece una cena para algunos de los
miembros de la facultad. Debido al tamaño de su
casa, sólo puede invitar a 11 de los 20 miembros de
la facultad. Como el orden no importa, puede invitar a
11 de entre
combinaciones posibles.
31
167960!9!11!2011
20
Otro ejemplo
En un examen, un estudiante debe responder a siete
preguntas de un cuestionario de diez. Como no
importa el orden, el estudiante puede responder al
examen de
formas
32
120123
8910
!3!7
!10
7
10
8
Otro ejemplo
Si el estudiante tiene que responder a tres preguntas
de las cinco primeras y a cuatro de las cinco últimas,
se tiene que para la primera parte formas y
para la segunda parte formas.
Así por la regla del producto, el estudiante puede
hacer el examen de formas.
33
103
5
54
5
505104
5
3
5
Otro más
El número de permutaciones de las letras de
TALLAHASSEE es 831600.
¿Cuántas no tienen las A adyacentes?
34
!1!1!2!2!2!3
!11
Otro más
Sin tener en cuenta las A, hay 5040 formas de ordenar las
letras restantes.
Si sólo es posible colocar las As en 9 posiciones posibles
para no ser adyacentes
Tres de estas posiciones se pueden seleccionar de 84
formas
como esto también es posible para las 5039 ordenaciones
restantes, por la regla del producto, hay 5040 84 =
423360 permutaciones de las letras de TALLAHASSEE sin
A adyacentes. 35
3
9
Teorema Binomial
Obsérvese en primer lugar que para los enteros n, r
con n r 0, .
Es decir al tratar con una selección de tamaño r de una
colección de n objetos distintos, el proceso de selección deja
fuera n - r objetos.
36
rn
n
r
n
9
Teorema Binomial
En consecuencia, afirma la existencia de una
correspondencia entre las selecciones de tamaño r (los objetos
elegidos) y las selecciones de tamaño n – r (los objetos
desechados).
37
Selecciones de tamaño r = 2 Selecciones de tamaño n – r = 3
1. 1, 2 6. 2, 4 1. 3, 4, 5 6. 1, 3, 5
2. 1, 3 7. 2, 5 2. 2, 4, 5 7. 1, 3, 4
3. 1, 4 8. 3, 4 3. 2, 3, 5 8. 1, 2, 5
4. 1, 5 9. 3, 5 4. 2, 3, 4 9. 1, 2, 4
5. 2, 3 10. 4, 5 5. 1, 4, 5 10. 1, 2, 3
rn
n
r
n
Teorema Binomial
Teorema 1.1 (Teorema Binomial) Si x e y son variables y n es
un entero positivo, entonces
38
01122110
1210yx
n
nyx
n
nyx
nyx
nyx
nyx nnnnnn
n
k
knk yxk
n
0Seleccionar k x’s de (x+y)n
De este resultado se observa que knn
k
knyx
kn
nyx
0
Debido a este teorema suele denominarse coeficiente
binomial.
k
n
Del coeficiente binomial resulta que el coeficiente de x5y2 de (x + y)7 es
El coeficiente de a5b2 de (2a – 3b)7 es .
Esto resulta del teorema al hacer x = 2a e y = –3b.
212
7
5
7
2532
5
7
Corolario 1.1 Para cualquier entero n 0,
a)
b)
n
n
nnnn2
210
01210
n
nnnn n
Dem. x=1,y=1 en T1.1
Dem. x=-1,y=1 en T1.1
Coeficiente Binomial
tn
t
nnnxxxx 321
321 ntxxxx 321
Teorema 1.2 Para los enteros positivos n, t, el coeficiente
de en es
donde cada ni es un entero con 0 ni n, para toda 1 i
t y n1 + n2 + n3 + ...+ nt = n.
!!!!
!
321 tnnnn
n
también se escribe
y se denomina coeficiente multinomial.
!!!!
!
321 tnnnn
n
tnnnn
n
,,,, 321
Coeficiente Multinomial
10
Combinaciones con repetición
Siete estudiantes se detienen en un restaurante, donde cada uno
puede escoger entre: una hamburguesa, un hot dog, un
bocadillo o un emparedado de pescado. ¿Cuántos pedidos
diferentes se pueden hacer?
41
1. h, h, p, p, b, b, e 1. xx xx xx x
2. h, h, h, h, p, b, e 2. xxxx x x x
3. h, h, h, h, h, h, e 3. xxxxxx x
4. p, b, b, e, e, e, e 4. x xx xxxx
5. b, b, b, b, b, e, e 5. xxxxx xx
6. b, b, b, b, b, b, b 6. xxxxxxx
7. e, e, e, e, e, e, e 7. xxxxxxx
a) b)
Combinaciones con repetición
Hemos establecido una correspondencia entre dos
colecciones de objetos, y sobre una de ellas sabemos
cómo contar el número de la colección.
Podemos contar todas las permutaciones de diez
símbolos formados por siete x y tres barras ( ).
42
7
10
!3!7
!10
Combinaciones con repetición
En general, dados n objetos distintos de los cuales se
quiere seleccionar, con repetición, r objetos, se toman
en cuenta todas las permutaciones de las r “x” y
n – 1 “”.
En el ejemplo anterior n = 4, r = 7, de modo que r
puede ser superior a n cuando se permiten
repeticiones43
r
rn
nr
rn 1
! 1!
! 1
Combinaciones con repetición
EJEMPLO ¿De cuántas formas se pueden distribuir
siete manzanas y seis naranjas entre cuatro niños, de
modo que cada niño reciba al menos una manzana?
Al dar a cada niño una manzana, se tiene C(4 + 3 – 1,
3) = 20 formas de distribuir las tres manzanas
restantes y C(4 + 6 – 1, 6) = 84 formas de distribuir
las seis naranjas.
Por la regla del producto, hay 20 84 =1680 formas
de distribuir la fruta en las condiciones establecidas.
44
11
Combinaciones con repetición
EJEMPLO Determínense todas las soluciones enteras
de la ecuación
x1 + x2 + x3 + x4 = 7, donde xi 0 para toda 1 i 4.
Una posible interpretación de esto
se distribuyen siete centavos (objetos idénticos) entre
cuatro niños (destinatarios distintos);
Si x1 = 3, x2 = 3, x3 = 0, x4 = 1 se puede ver como si se
dieron tres centavos a cada uno de los dos primeros niños,
nada al tercero y el último centavo al cuarto.
45
Combinaciones con repetición
Bajo esta interpretación, se observa que cada solución
entera no negativa de la ecuación corresponde a una
selección con repetición, de tamaño 7 (los centavos
idénticos) de una colección de tamaño 4 (los niños
distintos), de modo que hay C(4 + 7 – 1, 7) = 120
soluciones.
46
Combinaciones con repetición
En este momento es fundamental reconocer la
equivalencia de lo siguiente:
a) El número de soluciones enteras de x1+x2+...+xn = r,
xi 0, 1 i n.
b) El número de selecciones, con repetición, de tamaño
r de una colección de tamaño n.
c) El número de maneras de distribuir r objetos
idénticos entre n destinatarios distintos.
47
Combinaciones con repetición
Otro ejemplo:
48
For i:=1 to 20 do
For j:=1 to i do
For k:=1 to j do
writeln(i*j+k);
¿Cuántas veces es ejecutada
la función writeln?
12
Combinaciones con repetición
Otro ejemplo:
Cualquier i,j,k satisface
Esto es, seleccionar 3 números, con repetición, de 20
entre números C(20+3-1,3)=C(22,3)=1540
49
For i:=1 to 20 do
For j:=1 to i do
For k:=1 to j do
writeln(i*j+k);
¿Cuántas veces es ejecutada
la función writeln?
1 20 k j i
ResumenEl orden es
relevante
Se permiten las
repeticiones
Tipo de
resultado
Fórmula
SI NO Permutación
SI SI Permutación
con repetición
NO NO Combinación
NO SI Combinación
con repetición
nr
rnnrnP
0
,)!/(!),(
n n rr , , 0
C n r n r n r
r n
( , ) !/ [ !( ) !]
0
n r
r
1