537
Copyright: Paris Pamfilos 2011 http://www.math.uoc.gr/ pamfilos/Z11/GeoBook.pdf

Copyright: Paris Pamfilos 2011 ...2 * ω 92 30 4@ # >i=@' !,%!? % * # >i=@' & @ % ! * & # 92 30 2311 30+23 60

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • ��������

    �������� �������

    �� ������� ���

    Copyright: Paris Pamfilos 2011����������� ������ �������� ��� �� ��������� ����

    ��������������������� http://www.math.uoc.gr/ ∼pamfilos/Z11/GeoBook.pdf

  • ��������

    �� ��� ���� ���� ������� ��� ��������� ��������� ��������� ��� ������������������� ������� ���������� � ��������� ��� ������� �� ��������� ��� ��������������� ��� ���������� ����� ���� ��� ����� ��� ��������� ��������� ��� �������!��"!���# �� ���� �������� ���� �����$�� ��� %������� ��� ������ �� ��� ���&��������� ������� ��� ���� �� ���� ��� �����! ����� ������ �� ���� �� �'������# ( %������ ��� �� ��� ����!� ������ �� ��� �������� ��� ������&�� ���������# )���� �� � ������&� ��� ��'������� ������ ������� ����������# ( ������� ���� *!���� ��� ������ �� ���!� ��� ��������� ���� %������+ ,��������! �������� �������!# ,��������! ��� ��������� � ����� ��� ����� ���� -����������������. �� ����� ���� ������ �� ������� ��� �������� ����# ,������!� ���������

    *����� �� ��� �&������ �� ���!� ��� ��������� ������ �� ���� ������

    '����� �� ���� �������� �� ����&����# ( ������� ���! ��� ������� ���� ������&���� ��'������� ��� ������*��� ��� ��� ��������! �����

    ������ ��� ��������! ��'��� ���������� ����$�

    �� ������������� ��� �� ������� ������� �����& ����# "������ ����� ��� � ������� ��� ������ �� ���������� �� �� ���$�� ���� �� �������������� ��� ��� $��� �� � %������ ��� ������� ��������� ���!� ��� ���������# /�'�������� �� ������ ��!��� ������ ��������� �� �������!�� ���� �� ������������� ��� �� �� ������� �$������# 0��� ����� �� ������� ���� ���� ��� �����*� ��� ������� ��� �� ������������� ��� �� �&

    � ������ ��� ��� ��� � �������#

    1�� ����� ����� �� ���� ��$��&������ ����� ���� �����! ��� ���$��������� ������! �� ��� ������� ����� ��� ����� �� ���& �� ��� ������ �� ���������#�� ���� ���������� �� ���� �� �� ������� �� �� ����! ���� ���� �� ���������� ���� �������! ��� �� ���!�� �� ����$��� �� ������ ���!����� ���� ������ �����! ��� �� ���!�� �� �����&��# 0���� ��� ���� ��� �� !���� �� �����

    ������ �� �������� �� ���� �� ��� ����������� ������# 0�

    ����� ���� �� ���� ������ $������ ��������# �� ������ ������ �� ��!����� ��� ��� �� ������ ���!������� ��&�� ���������� �� ������� �� ������ �����# 1��� ��� � ���# /��� ������ �!�� ������� �

    ����� ���������� ��� ���� ������ ! ��� �������& ����!����� %������ ������ ��� ������������� 2���������&��� ��� �� �������&������� ���!����� �� �������&���� ���*�� � ������� ��$�� ��� ���!� ������ ��� ����������� �����# ( ����&���� �� ����� ������! ��� %������� ���� ����� ������ ������ �������� �� �� ���������# ( ������! ��� ���� ����� ���� �������� ���������� ��� ��������� ���

    ��� ��� ���� �� ��� ������������� ����# 3������ �� ������� ������� ��� ���� ��� ���& �� ��& ��� ���� ��� ���!��� ���&����� ��� ������#( ������ ��� �� ����� �����! ��� ��� �������! �� �� ���������� �� ���� �����$�� �� ����� ��� &��� ��� %������� �� ���� �� ����� ��� �������� �� ������#�� �� ����� ������ �� ���� ����� �� �����! ���������� �� ��������� ���������

    4

  • 5

    ���� ����� ���� �� ���� �� ������*��� �� �� ������ ����!���� ���������&�����!� -������� ���!���� �������� ���!���� ���!��� ��������& �� ������������ ������� $&��� ������� �������� ���#.# ( $����$� ��� ��� �� �$���*���� ������&�� ��������� �� ��� � ����� �� ���� �!�� ���� ������������ ��� ���!������ ��� ����������� �� ����� ��� �$��! �� �������� ���� ��� ���� ������ �����������#

    6��� ������� �� ����� ��� ���� �� ���� ������ ������# �� ���� ��� %��'������ �� ���� ��� 7���!�� �� ���� ��� 8����� ���#� �� ���� �� ���&��� ��� &����� ��������� ��������� �� ���� �� �����# 92�� � �����!� �� ��� �� ����� ����!� ������! ���� ���� �� ������� �� ��� ��� ����� ��� �������� ���# �� �������� �� ���*� �� ��� ���� �� �� ��������� �� ������� ����!����� ��� ���$���������� �� ����������� �� ����� ��� ��$! ���� ������# 91���� �� �� � �����!���� �������� ���� �� ��� ����� ���� ����� ���� ��� ����� ��� ������� ����� ������ ����� �� ��� ���$����� ���������� ������� ����� �� �� ����&�� ��� ���������� �� ��� �������! ���#

    ,�� ���!���� ��� ������ ��� ����� �� ����! ��������� ���� �� �� ���'���&��������!� �������! ������� ��� �������� ���� �������� �� �� ������ ������ ���� ���� ���$! �� �� ��!���� �� �� ����!���� ��� ����*���� �� ����# :� ����!�������� �� ���*� ����� �� ������� �� �� ������ �����

    ��� �� ���������� ����������� �� ��� ���� �� ����# �� :�������� ����� ����� �

    ���� ����� ��� �������� ��� ���������� ���� ��������� �� ���&���� �����# ; ����� ���� ������ ���������� ������ ��������� ��� ��� $����� ����� �� �� ������� �� ��� ������!���� %������� �� ������ ��� ��� ��������&�� �� ��!���� �� �� ����!���� ��� �������� �����&�# 6��� �� � �����!� ���� ���� �� ��� ������� ������������������������ �� ��� ����&���� ������ ����� ��� ��� �������! ��� �$������� ��'���� ���� ���� ��� ����� ���� ��� ���� ����� �� ���������� ��� �������! ��� �������# 92��� ���� �� �� ��� � �����!� ��� ����� ���$���� ��*� �

    ������ ���� ���������� �� ����� �!��� ��� ������ �������� ����� ���� �� ��� � ��������� ���� ����� �� �&����� �� ����$����� ��!����� ��� �� ������� ��������# :��� ���������� $������&��� ���& ������ �������� ��

    ��� ��� �� ����� �� ����&��� ������� ��������&� �� �� ��� ����&� �� �������# 1��� ���� �� ��� �� ������� �� ������� ���������� ��*!���� ���

    ������ �������� �� ������������� ��� ��� �� ��������! �� ��� �����! �� ���� �� ��� ����!�� ��� �� ������# ( ��*!���� ��� ������ � �������!� ������$! ��� ����&����� ��� ������ ��� �� ����� ��������� ����� �������� ��� ��� &����� ��$�� �� ���� �� ����� ����� �$�& ����� ����!���� ����# 0��� ���� ���� �� �� �� ��� ���� �� ����� �� ����!�� ��� ��� ������ ���'���� ������� �� �� ����$��� ��� �� �� ����������� ���� �� ����!�� ��������# 92�� ����� ���� �� ������ ��� �����!� ��� ������!�� ��� ����� ���$!�� ���� ��

    ��! ������ ��� ��� ����� ������#

    2&���� � �������!�� ���� �� � $������� �����!�� �� ������ �� ���� �� ��� ����������� �� ����� ��

    ������ ��� ��� ������� ��� ��� �&�� �� �����&�� ���'����*������ �� ����� ���� �� ������ ���� -�� ���� �

    ���� � ������� �� �� ������� ���.# 6� ��� ���� ����� ����� ��������� �� �� ��� �����! �� $���� �� �������� �����!�� ��� �� �� �� ��$��*� ����� �� ���� ��� ���$����� ��� �� ������ ���#,� ���� ����� ��� *�!� ��� ��� ������ �� ��� ����� � %������# �� ������� ���'���� �� ���! ����&� �$������ �� ����� ��� ����������� ��� ���! �����& �� ����������� ������# %� ����� ������ �� �����&���� ��

    ������ ! �� ������ ������� ��

  • <

    ����� ������ ��� ������� �� ���� ������$��� ���������# 2���� ��� ����� �� ������� �� � ������� ���� �� ���� �� ���*��� �� �� ������� �� ���&���� ���������� ����!����� �� ����$������ �� ����&����� ���� ��� ���� ��� ������� ���#2���� ���� ������� �� ��!��� � ����� ��� ��� �� ��

    ������ ��� ��� ������������������� �� ��!����# 92�� ������ ���� ��� ������� ��� %�������� �������������� ���� ����&��� �� ��!����# 92�� ��!�� ��������� ���� ���� ����# "�� �������� ���������� ��� ���� �� ������� ��� $������� �� ����������� ��� &���!� ���# ;������� ��� ���� ���� ������� �� ��� ��������� ���� ��� ��� ��!�� �� �� ��'

    &��� �����# :����� �$����� ���*�� �� ��� � �����!�� �� ���� �� �����*�� ��� ������ ����� ��� �� ��!���� ��� ������� ���� ������ ���� ��� �� �� ������ ����� ��������� �� ��� ���!�� ��� �� ������� ��� ������� ���# 2���� ��� ��������� ��� &����� ��� �� �� �$���� ��� ������!� ���������� ����� �� ������

    �� ��!�� ��� ��$���� �����& �������& ��

    ��������# 9;��� ��$� ������������� � ������ ���� ���'����� ��� ���� ��� ��� ��� ��!�� �� ���� ��� ������� ���� ���� ��� %�������#

  • =

  • ��������

    � �� ������ �

    ��� ��>#> 1�

    ���� ������� ������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >�>#� 2���� �� 2��&����� ��!�� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ><>#4 :!���� 1������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >?>#5 %���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �@>#< %���� ��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �5>#= ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �=>#A ( ������ �������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4@>#? �� �������� �� �� ������� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4�>#B "

    �!

    � ������� �

    ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 45>#>@ ,����� ������ ����� �

    ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4B>#>> ( �

    ����! �������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5=>#>� ( "������ ��� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5?>#>4 ( 0�������� ��� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >#>5 �� ������ ����� �

    ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #>< �� ����� ��� �����!��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #>= ,������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # =4>#>A C���� 1������ ������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # =B

    ����� ��� ������� ���#> ; �&����� � �������� � ���! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # A5�#� "&���� �� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # A?�#4 /&� �&��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ?��#5 "��������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ?=�#< 0������������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B5�#= ��������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # BA�#A �� ���� ��� ������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >@>�#? ; ������ �

    ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >@<�#B �� ������� �� �� �������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >@B�#>@ 91��� ��� �������&�� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >>>�#>> 0��&����� ������� ���&���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >><�#>� ����� �������� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >�@�#>4 2����������� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >�5�#>5 2���������� ��������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >45�#>< %�����

    �� ���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >5@

    A

  • ? ����������

    � ������� ����� ������ ����� !� �"�4#> 2������ ��������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >554#� �� ������� ��� �������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >5=4#4 2������ ��������������� �

    ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >5B4#5 0������� �� 0����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >=�4#= ; �

    �������

    ��� �����!��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >=A4#A �� ������ ��� 6��! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >A44#? /����� ������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >AB4#B 9;��� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >?A4#>@ 9;��� ���&���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # >B=4#>> 6��!���� ������� �� ���������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �@44#>� Stewart� ������� �������� &�� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �@B

    " # ����$ %�� ������ ��5#> /&���� �� ��� �&��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �>?5#� 8��! ���!� ������� ��������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ���5#4 D*��� ������� D*�� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ��<5#5 ; �&��� ��� 1�������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �4@5#< /����� �&���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �455#= ;������ �&��� �� ������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �545#A "���� ��������� �&� �&���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �5?5#? 1�����$! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # �

  • ���������� B

    ( ������ ��%!$�$ �"�=#> ; ��������� �� �

    � # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 455=#� ;

    ���� ��� ��

    ����� ��� �&���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 45?=#4 ; �

    ���� π # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4A#4 %���� ���� ��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4A5A#5 1�&������ ������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4A=A#< 2���� ������ �� ������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4A?A#= %��� ������ �� ������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4?<A#A 6����� ��� 6��! ��� ��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4?A

    - .%�!�� �)�?#> /���� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4B�?#� ����� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4BA?#4 0������� ������

    ��� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5@4?#5 ������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5@<?#< "������� ������� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5@A?#= 0��&���� 0������� ������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5>@?#A 0����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5>5?#? "&����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5>A?#B "����� "���! ��$���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5>B?#>@ "������ "����� 1�������� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5�5?#>> ,$�� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5�=?#>� ,$�

    �� ���&��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 545?#>4 91������� ���� ������� �&���� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 54=?#>5 ,$�

    �� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 54A?#>< ( �����������! ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 55>

    ) ������ �%� +,!�� ���� ""&B#> 2����� ��� ��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 55=B#� 2������ ��� �$��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5

  • >@ ����������

    �/ ����� 0��� "-&>@#> "����� ����� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5?=>@#� ; �$��� ��� Dandelin # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5?B>@#4 /������&��� # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 5B4>@#5 %���� ������

    ���� ������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # @#< ( 0�����! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # @#= ( ������ # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 4>@#A ( ������! # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # B

    1������!�2*� &�

    ��!�%�!�� &��

  • ������ �

    � ����� ������

    >>

  • >� ����

    �� �� �� ������� ������

    ��� ������ ����� ��������

    ( ��! ��� ��� �&����� �� ��� �����$�� �� ��� �����!# ��&�� ��� ��������'�� � ��������� ' !��%� �

    ���# 92����� ��� ��� ���� ����� �� ����� ��� �������� ���� ���� ��� ����&�� �� ��&�� �� ����� �� ��� ��!��� ��� ����� �� ����

    �������# ������ ������ ���� %������ ��� �� .$��*�� � 3,!�� �� ��*���� �� ����*�� � ����� ��� ������ 4�%�5� �&� ����� ������ �� � ����� ��� 6� %$%��&� ��������# :������� �� ��

    *������ ����� �� ������ ���� ��� 6���%�%� ���� !'5����%� ��� ��

    ��$��� ����� ������

    ���� ���� �� �� ���� ���������� ������ �������# E������ ����� �� �� ��

    ���� ������# 0�

    ��$���� �� ������ ����������� �� ������� �� ��� �� �� ���� ������*����� �� ������ ������� �� ��� ����!����������� ����� �������� �� ���!���� ! ������� �� �� ������� -������ �������������� ��� ���������.# �� ���

    � ���� ������ ����������� ���!����� ��* �� ���������� ��������&��� �� �� ����������� ���� �������� �����! ��� ���!����#:� ��� ���� ���� ��*���� ���'��� ��� ���� ��������� �� �������� ��������� �'�������� ��� ������� ��� ����� ��� ���� %������# 2�� �� ����� ����� ��������� ������! �#�# 1FG ��� ���

    *����� ��� ����!� �����!����� �� ���� ����� �����$��� ��� ����� ����� ! �� �� �����& ��������� ������� ���� ���� �� � ������!��� ����� �� ����� �� ������ ���������� �� �����&�� �� ��&� � ����! ����� ���

    ������� -��� �������� A �= B.# ( ������� ���! ��� ���������& ������ �� �%���

    ������� �� ���������� ���� ���� ���� �������#

    ( 2������� %������ �����*� �� ������� �������� ��� ��� �� �� ������ �� ��������� ��� ����*���� �� ���!���# 3� .+��� ����&�� �����!���� ������! ��������� ������� -������ ��!��. ! ��� ���� -��!�� ���� ���.# :����� �!��� ����� ��������# ,��� ��� ������ �� ������# ,��!��� �� ������ ��*��� �� �&� ���# ,������ ����� ��� �����*��� ���������%!*� �����*���� ������� �������� ��� ����'���� ���� �� ������ �� ��������� � �&���� ���# ,�� ��&��� ����� ��� �����*���.%�!����%!*� �����*���� ������� ��� �������� ��� ����� ���� � �&���� � �$�����#

    .+ ���7� �� ������� ��� �� ��������� �� ������ ������� �� ����� ����������� ������� ��� ��� ��� �������� ��������� �����& ����# ;

    ����� ��� ���� ����������� ��� �����# 2������� �� ����&���� �� ����!����� �� ������� ��������������& ����� ���� ����! �� �� ���������� ���� �� �������� ������� �� ���!����#1���� ������� �� ��� ��� ������� �� �����

    �!����� �� ���& ����� �������� �����'��&����� �� �� ����� �� �������� ��� ���� �������� ���# 0������ �� ���������������� ������ ��� ����� �� ������� ��� �������� �� ��� $����$� �� � ��������� ����$�� ���!��� ������� ��

    ������ ����$��� ��� ��� ��������� ��� ��$����#%� �� ��$����! ����� ���� �����*��� ��������� �� ���� ��� �������� ��������� �� �� �� ���& ������ ���� [Hil03] ��� Hilbert 1862-1943� ��� ��� �$�������� �����!�� ��� ��*!���� ��� ��������� ��� ��������� ���� �� ��� �����& ������'���$��������# 1�� ���� �� ���� �������� �� �� ��

    ������ ��� �������� ��������� ��� �������� �������# 1�������� ������ ��

    �� ��� ���� �� ������� ����� �&����� ��� Birkhoff 1884-1944 -[Bir32].� ��� ����$��*��� �� �� � ������ ��� �������� �����$� ��� ������� ��� ��������� �

    ����# 1� ������� ������ �� � ��'������ ��� 2�������� �������� ���� �� ��� �� �� ���& ��� �������# ; Hilbert

  • ���� �������� ������� ������ >4

    ��� �����$���� ���� ���� ����� �� � Cairns 1904-1982 -[Cai33].� ����� ����!������ ������ ����� �������# ; Bachmann 1909-1982 -[Bac73]. ��� ��� �&����� ����� �'�������# ,� ��� ���� �� ����!���� ���� ���������� �� �&������ ���������� �����-��������� ���� �������������� ������ �#�#.#

    .+ ���7 �� ������ ��� 2������ -����� 4�# (�!��� ��� ������ ������ �� ��� ������ ������ ����!� ������#

    �# "� ����������� ������ ���� �� ������� �� ������ �������#

    4# "� ���� ����� �� ����!��� �&���� ��$����#

    5# "� ����� ��� ���� ����� ��� ���!��� ���#

  • >5 ����

    �� �� �� ������� ������

    �� ����� ���� �� �������� ������� ��� �� ���!����# 2������������ ������ ���������� ��� ��������� ��� �� ��*��!�� ����� �� ���������!��� ��� ������������� �� �� ��

    ���� ������ ��� ����� ���� ���$�����#

  • ���� ������ �� ���������� ����� ><

    ��� ����� ��� ��������� �����

    �� ������ ��������� ��� .$��*� ��� ������*��� �� ��$���� ������� 1� G� %� ### !��$���� �� ������ 19� G9� %9� ### ! ��$���� �� ������ A1, A2, ### ���# �� �� ���� ��!����� ������� ��� � ����*� ��� ������*���� �� ��� ������� �� *� �� ### ! �������

    ε

    ,�!�� >+ 2���� �

    �� ������ �9� *9� ### ! ������� �� ������ �1, �2, ... ���# %� �� ������ ��������� �� ��!������ ������� -�������.#

    A B

    ,�!�� �+ 2���� 1G

    '5*��� �::� "!� ��#������� ������ $% & ���'�� ��� ����()� ����� �� ��(���'����� $&*

    '5*��� �:: +��� ����� ���� ������ ������* ��� ���� ����� ������ ������ �������� ������ �� �� �� ��� �� �� �* ��� ���� ������ ������ ������� ������ �� ��

    ��������� ��� ���*

    BA

    ,�!�� 4+ (�������

    '5*��� �::� +��� ����� ����'�� �� ������ �� !� ���� �� �������� #����*����%�� �� ���� ����� ������ �� ��� �����* ,�� ����� �� ���� !� ������ $ ��� & ��

    ��#������� ��������� ��� ������ � ������ ��� ����� � -�� ��)�� ��)���� �������� ������� ������ ���� ��� ����()� ������ ��� � ��� � �� ��� ����� $&.* ���� �����������!����� ���� 4�!�� ��� ������% ����)���� ��� ��� �� !� ��������� �� �*

    '5*��� �::" "!� ������ $% & ���� ������ � ���'�� ��� �����!���� %���� ��

    ��(���'��� ������ �� $&* /� $& ����������� ��� �� $%& ���)� ��� ��� �� ������ ��

    ���������� 4�%�5� �� $ ��� �� &* /� $ ��� & �������� ;'�!� �� ��������

    �� �����* /� ������ �� �������� �� �����% ����� ��� �����% ���� ��� �������!� �����%�!�� �� �������� �� �����*

  • >= ����

    �� �� �� ������� ������

    Α

    Β

    Ε

    ,�!�� 5+ 1 �� G �� ��$����� �������� ��� �

    '5*��� �::& $� �� ������ $ ��� & ���������� ��� ��� ��������� ��� ������ �% ������� ��� �� ������ �� �������� �� ����� $& ����������� ��� ��� ���������* $� �������� $ ��� & ���������� �� ��#������� ��������� ��� ������ �% ���� �� ������ ��� � ��� ������ � ��� ��� ������ $& ��������� �����! ��� $ ��� &*

    Α

    Β

    Ε

    ε

    ,�!�� #�#5 � ���� 4�%�5� ��� ��

    ���# 6� ��� ��$!� ���� ����������� �����$� �� ��� ��!��� ��� ������ ��� �!���� ��� ���������� ��!�����#

    .+ ���7 ( �!�� ��� ��� �������� 1G �� �� ���&����� ��!�� ����� �� �������� ��� �*��� ��� �� 1 �� G ��� ���� �� ��� ��������# "��� $�� � ������ ����������� �� ���&��� ��� �� ���$�*�����# ,���� �� ��$���� �� ��� ����� � F 1G��������� �� ���� �� �&����� ���������&� ��� $��� $ ����*� � ��� �!*

  • ���� ������ �� ���������� ����� >A

    Α ε

    ε '

    ,�!�� A+ ���������� ������ ε �� ε′

    ���� �� ����� ��� ���� ���� ����� 1# ��&�� ��� �� ���� �� ��&��� ����� ���!�G� ��$����� ��� 1� �� ����� �&� ��$������ ������ � �� �9 ��������� ��� �� �&������ 1 �� G� ��� ��� ��&����� ��� ���$���� ��� 1���� >#�#>� �#�#�#

    ;'��$�$ �::� "����� ����� �* "���� ��� �� �� ��!������ �� �� $& �� ������ �������� � ���� �� ������ $ ��� & ����������� ��� ��� ���������*

    Α

    Β

    ε

    ,�!�� ?+ 1� G ��� ��� �� ��

    � ��� �

    �������0 8!�� �� ������ ������!�# )������ �� �� 1G ��� ����� ��� � �� �� 1� G��

    ������ �� ��$����� �������� ��� �# ���� ���� �� 1���� >#�#< �� 1G �� �������� � �� ��� ����� 2� ���$�������� ���� �������#

    ;'��$�$ �:: "���� ��� ��� ���� ������ 1 �� ������ ������ ������� ������ ����������� ��� ���*

    O

    X Y Z........

    ,�!�� B+ 1��� ������ �� ��� ;

    �������0 6����� �� ����� � ��� ��� ������ ��� �� ;# "��� �� 1���� >#�#� ������� ����� �����# 9;

    �� ������ �� ������ ;8� ;Y � ### ���# ��� ������� ��� �� ; ����� ����� 8� Y � ### ��� �# "� ��� ���� �� 1���� >#�#� ������� ���� ����� 8� Y �### �� ��� � �� ���� ��� ��� ���� �*� �� ��$����! ����� ��� ������ ��� �� ;#

  • >? ����

    �� �� �� ������� ������

    ��� ���� ��������

    '5*��� �:�:� ��� ���� '�!��� ������� $ ��� & ���'���� ���� ����������� �������|AB| ≥ 0 �� �����'��� '� �%��$ ��� ������� ��� ���������� ��� �������� |AB| =|BA| ��� |AB| = 0 ���� ��� �����% ���� �� ������ ��� ����'�����*

    Α ΒΕ

    ,�!�� >@+ 91����� �����

    '5*��� �:�: ��� ���� ����� ��#������)� ������� $% & ��� ��� ���� ������% ����� ��� ���)� ����� ������� ��� ���� !�* $� �� ����� �����! ��� $ ��� & ���� |AB| =|AE|+ |EB|* +�� ��������#�% �� ���!�� �� � ����� ���� �� ����� �����! ��� $ ��� &*

    Α

    Β1 Β2 ε2ε1δ δ

    ,�!�� >>+ ,���� �� �������� � ��� �� ��� ���������� ��������

    '5*��� �:�:� 2�� ������ $ ������ � ����'�� ��� ����� �� !� ���� �1 ��� �2% �� ����������� ����� ������ �� $ ��� �������� #������*� �� ;'�!� '!+� �� $* ��� ���������� ������ ������ ��� ����()� ������ B1 ���� �1 �� |B1A| = δ ��� ��� ����()������� B2 ���� �2 �� |B2A| = δ* /� $ ����� ��4��� �� �������� �� ����� B1B2*4��� ��� ���������� ��!����� 1G �����*���� ��� �������� |AB| ��� ���� ���#C��� �� �&� ���&����� ��!���� 1G �� %/ ��� ��� ������ ! ��$������ ��������� ;6��� ���� ����� �� �� �!���# ; �&� �������� ��� �*���� ��� �� ����� 1 ����� ������ � ������� '%���*���# ��!���$�� �����*���� �&� �������� �����

    ������ �� ��������� ������#.+ ��� �� 1���� >#4#4 ��� ������ ������ �� ����&�� �� �������������� ���&'����� ��!�� ������!���� �!���� �������# ( �����! ��������! �#�# ��

    *��������� ��� �&� ����� �������� ��� ������ -�����. �� ��� ���!��� ���� �����*������� ��� ���� ���� ��� �� ��� �������!�� ���� ���&�# 0#�# � ��������! ��� �����: ���� �������� ���������� ��!����� 1G �� ��� ��!��� ��� ������ �� ��� ���!������� ����� ��� ���!��� ��� �&���� ��� ��� ������ ���� �����# 3����� � ���������� &����� ��� :� ���� ��� ������� ���!���� ��� ���!#

    Α Β Ε

    ,�!�� >�+ �� G ������� ��� 1 �� �� 2

  • ���� ������� ������� >B

    ;'��$�$ �:�:� 2��� ��� & ��� ����� !� ������ ���� ��� �������� $3 �� ���� �� $*"���� ��� � |AE| > |AB| ���������� ��� �� & ����� �����! ��� $ ��� * +�� ��������#�%�� �� & ����� ������� ��� $ ��� �� ���� ���!�� � ������!���� �����*

    �������0 92��� �� �� G ��� ��� �����& ��� 1 �� 2# ���� ! �� G �� ����*��� �� �� 2�� ������� |AB| = |AE| ��� ��� ������ ! �� 2 �� ��� �����& ��� 1 �� G� ����� ������ 1���� >#4#� �� ��&� |AE|+ |EB| = |AB|# 1��! ���� ���������� �� |AB| > |AE|�������� �� ��� �������#

    Α Β ΕΖ

    ,�!�� >4+ /��������� ��� 1G

    ;'��$�$ �:�: -"����������� �������� �� �����. "����� ��!������ �� �� $&*"���� ��� ���� ����� $& ������ !� ������ ��� 4 ���� )��� �� & �� ����� �� ������� $ ��� �� $ �� ����� �� ����� �� 4&*

    �������0 0�� �� 2 �� ��� �������� �� ��� �� G ��� ��� ��

    ��� �� 1 �� �� ��������|AB| ��� �� G# 1������ ���� �� �� H#;'��$�$ �:�:� "���� ��� ��� ���� ��!������ �� �� $& ������ ��� ����()� ������, -�� ����� �� $&. ���� )��� |AM | = |MB|*�������0 1� |AB| = λ ���� �� ����� : �� �������� �I� ��� �� 1 ��� ��� ��

    � ���G ��� ����$��*��� ��� �� 1���� >#4#4 ��� �� *���&����#

    ;'��$�$ �:�:" "���� ���% �� !� ������ $ ��� & ����� ��� ��� ��� ����� ������ �% ������ ��!������ �� �� $& �� ������ ��� �*

    �������0 1� �� 1G ������ ��� �� ���� �� ����� ���!� % �� !��� ��$����� ��� 1 ��G� �� �� !��� �����& ����� �� �� ����� ���$��� ��� 1���� >#�##�#< � �9 �� ����� ��� �# 1�����$�� �� ��� ��� �� �&��������� ��� � ��

    ��� ��� �� ������ *�&�� ������ ��� �9� ���� ���! ��� ���� ������� ��� �# 1� ��� ������ ��� ����� 1� ���� �� 1 �� �

    *� �&� ���������� ���������� ��� �9 �� ���������� ��� ��� ����� �� ���� ������� �� ������ �&� ����� ��� �9�� ��$����� �������� ��� �#

    ;'��$�$ �:�:( "���� ��� �� ������ & ��� � ��� ������ � ����� ��� ��� ��� ����� ��

    ������ $ ��� �% ���� ��� �����% ���� |BΓ| = ||AB| − |AΓ||*�������0 1� �� G�% ��� ��� ���� �� ������� ��� 1� ���� ! �� G �� ��� �����&��� 1 �� %� ����� |AΓ| = |AB| + |BΓ|� ! �� % �� ��� �����& ��� 1 �� G� �����|AB| = |AΓ|+ |ΓB|# ,������� �� ��� �&� ��

    ������ |BΓ| = ||AB| − |AΓ||� �����! ��*���&����# 0������ ���������� �������&� �� �� ������$�#

  • �@ ����

    �� �� �� ������� ������

    �� !"��

    /&� �������� OX,OY �� ���� ��� ;� ��*��� �� ������ �� �&� ��� �� �*����� ��!%� >�*� ! ���� >�*� �� �� 4$ ��!%� >�*�# ��!%� >�*� ! ����>�*� ������ �� ��!�� ��� ������*���� �� 8;Y �� ��������� ��� �� �&� ��������OX �� OY ��* �� �� ��� ��� �� �&� ��� ��� ������� ��� ������ �����

    �� ��� �����#�� ���%�!�� ��� ����� ��� �� ���� ��� ������� ��� ��������� ��� �� ����� D

    XO

    Y P

    ,�!�� >5+ %��� XOY

    ��� �������&� �� �&� �������+�. �� D �� � ������� OY ��� ��� ��� �� ��

    � ��� ������ ;8��. �� D �� � ������� ;8 ��� ��� ��� �� ��

    � ��� ������ ;Y #�� ����� ; ������ ��!�2� ��� �����# ; �������� OX,OY ������� ����!�%$ ��*�#

    OX

    Y

    ΓωνιαΜη κυρτη γωνια

    ,�!�� >

  • ���� ������ �>

    180

    ,�!�� >=+ 0����������� ����

    ;8 �� ;Y # 6���&�� �� � ���� ���! ��� ��� �����

    ��� ��� ������� �� ������ ������� ;8 ������ �� �����

    �� ���!� ��� �����#���!$ �%!�2� ! ���!$ ��*� �����*���� �� ��!�� ��� ��������� ��� �&� ���'�*������ �������� ;8 �� ;Y # 2�� �� �����

    �� ��� ����� ����&�� ������� �������� ��!� ��� ;8� ��� ��� ����� �����

    ��#

    Ο X

    Y

    ,�!�� >A+ :�����! ����

    ΧΟ

    ,�!�� >?+ 0�!�� ���$!

    ; ������ ������� -�������. ��� ����� ��� � ��!�+

    '5*��� �:":� ��� ���� ����� -��� � . XOY ���'���� ���� ������� |XOY | =|Y OX| ≥ 0 �� ������� 4�%!� %$ ��*� �� ��*!�* 5��!�� |XOY | = 0 ������� ����� ���� � ����� ����� � ������ *

    O

    A

    B

    ω

    ω

    X

    ,�!�� >B+ 9J��� ����� ��������� ��� ;8

    '5*��� �:": ��� ���� ������ � �� 0 < ω < 180 ������ !� ����()� ��������� 1$%1& ���� !� ������ ��� ������ 13 ���� )��� �� ������ XOA ��� XOB �� ���������!�|XOA| = |XOB| = ω* � ����������� ����� ���� ����� 678 ������*

  • �� ����

    �� �� �� ������� ������

    2� ��������� �� ���� � �� ���� ������*��� �� ω◦# 92�� ���� 30◦ ������ ���� 4@����# �� >I=@'���� ��� ���� ������ �!,%� ��� ���� ! ?��% �� ������*����� ��� ����# �� >I=@'���� ��� �����& ������ @��%�!� ��� ���� �� ������*��� ���&� ������# 92��� 30◦23′11′′ ������*� �� ���� ��� ��&�� �� 30+ 23

    60+ 11

    3600����# /��

    �� ������ �� ����� ��� ���������# 1���� �� �� ����� ���� � 30◦ �� ��$� ���� 4@#/&� ����� ������� ;6�� ���� �� ����� ���� �� ���� ���� ��� ��#

    '5*��� �:":� ��� ���� ������ 9 ��� ��������� ��� ������ XOY -��� � ������ �.�� ����� ��� ����)� XOY% 319 ��� POY ���������!� ��� |XOY | = |XOP | + |POY |*�� ���� ������ ��������� ���� ��� � ����� XOY ����� �� '�!����� ��� ����)� 319��� POY*

    O

    P

    X

    Y

    β

    ,�!�� �@+ :��� ���������

    /&� ����� ��� ����� ���! ���$! �� �� ����� ����� ���! �� �! ��������� �������������

    �� -���� � 8;D �� D;Y ��� ��!����� '20. ������� �2�5�#

    ;'��$�$ �:":� &��� ��� ������� ���� ������������ ������ XOY * "���� ��� �� ��������� ������������ ������ ����� :;8 ������*

    ;'��$�$ �:": 2��� ����� XOY �� ����� |XOY | = α ��� 9 ������ ��� ��������� ���������* "���� ��� |XOP | < α* $�������#� ���� ��� ��� ���� ������ β < α ������ ������9 ��������� ��� ������ ���� )��� |XOP | = β* "���� ����� ��� ��� ��� �� ������ 9����������� �� �������� �� ���� �� 1*

    ;'��$�$ �:":� 2��� ��� �� ������ $ ��� & ����������� ��� ��������� ��� ��� � ������31Y * "���� ��� ��� ���� ������ �� �������� �� ����� $& ���������� ��� ������������ ������ 31Y * "���� ��� � ������� ������� �� ���!�� ��� �������� ������*

    ;'��$�$ �:":" -2������ "�������. "���� ��� ��� ���� ����� XOY ������ ��� �����()� �������� 14 ��� ��������� ��� �� ��� ����'�� �� !� ���� ������ XOZ,ZOY ��|XOZ| = |ZOY | = |XOY |/2*.+ ���7� �� 1���� >#5#� ��� ����� ������ �� ����&�� �� �������������� �����!'���� ���� ������� �� ��� �� �&� ��

    �� ��� ��������# 9;��� ���� �� �� ���&�������!���� ��� �� �� ������ � �����! ��������! ������

    ����� ����� �� ��� ��!������ ������ �� ��� ���!��� ���� ���� ��� �$���� ���� �#�# � ���� =@ ����� ��� �����$����� *!���� �� �� ������&� �� ��� ������� ��� �&���� �� �� ��������� ���������!����� ��� ��������!#

    .+ ���7 1�*� ��� ���� �� �����!�� ����� �

    ������ ����� ������� �����& ������� ���������� ��������� ����� ���� �$�� �� ������ �����!� �������� �� �����#

  • ���� ������ �4

    Α

    Ο

    Β Γ Δε

    α

    ,�!�� �>+ 1�������� ���������� �������� ' �����

    ( ����� 21 ����� ���� $�������! ��� ���! � ��������# 1�� ��� ����� ; ����� ��������� � �� �� ���� ���&����� ��!�� 1G ���!� ���������*��� � ���� 1;G# :������!� ��� ���������� ���������� �������� ' ����� � ������ ��� ���$�� ����$�'

    ���� ��� ��� ����� ��� ����� �� ���$! �� ; -��� ������� ��!��.# 92�� �� 1% ����� ������ ��� 1G �� G% �� � �������� ���� 1;% ��� �� ������ ��� 1;G ��G;%# �� G ��� �����& ��� 1 �� % �� ������� � ;G ��� �����& ��� ;1 �� ;%� ���&� ������� ���&����� ��!���� ��������&� �$��!� ����� �#�#�#

    :� ��� ����� ��� ��������� ��!����� ����&�� �� ������� ������ �&� ����!������� ����� ����� �� �� �&����� �� ���� ���� �� ������� �� ��

    *������ ����� ������-��� �� ��� �&�� ���� 91����� 4#B#5 �� 4#?#?.#

    �! ��$�� �:":� ������� ��� ��� �������� �� �� � ����� $1& ���� ������� �����|AOB| = α ��� ��������#���� ���� �� 1* ��� ���� ���� ��� ������� �� � ��� �� ����������

    �������� �� ����� $& �������� ;

    �! ��$�� �:": ������� ��� ��� �������� �� �� �� �� �� $& ������� ���� ��������� � ����� �� ����'�� �� � ��� ��* ��� ���� ���� �� $& ������� � ���������� �����$1& ������� ;

    ωωω

    ω

    Ο

    Α

    Β

    Γ

    Δ

    ,�!�� ��+ 91����� ��� �����

    ;'��$�$ �:":& ��� ������ � ����� 1> �������� �� ��� ����� 1$;

  • �5 ����

    �� �� �� ������� ������

    ��# !"���� �$�

    O

    X

    YX'

    Y'

    ω4

    ω3

    ω2

    ω1

    ,�!�� �4+ %���� �&� ������

    /&� ���������� ��� ����� ; ������ OX �� OY �*��� �����

    � �����# ; ����� �������� �&� ������*��� *�&�� ��%� ��!�2� ������ �����! ����� �� ��� ����� ��������� �� ������ �� ��������� ��� �����# %� �� �&� ������������ XOX ′ �� Y OY ′

    ������ 180 = |XOX ′| = |XOY | + |Y OX ′|# 2���� 180 = |Y OY ′| = |Y OX| + |XOY ′|#2���! |XOY | = |Y OX| ����������� �� � ���� ���$!� ����� Y OX ′ �� XOY ′ ������# 1������ �������� �� �� � XOY �� X ′OY ′ ��� ���# 1�������� ������� ���+

    �! %��$ �:&:� +��� ���# � ������ ����� ����*

    /&� ����� ��� ����� ������ ����� >?@ ������� ��!���$!���%���# ,�� ���'��&���� ��!�� ���� *�&��� �������� ����� ��������� ��� ������������� �����#�!�� ������ �� ���� ��& ��� ���� B@# 0�$���� �� ��! ��� �� �� ��� ���'��������! ���# 0����������� �� ������ ��� ��!� ����� ��� ����� ;� �����!�������� �� �� ���������� �������� ��� ������� �*���� �����

    � ���� ������&� ��� �� ����� ����� ��� ��� �&� ��� ! ���� ���$!� ! �������������# 92�� �&������� ��� �������� ��� ����� ; �� ������*��� �� -��� �� �����

    �. ����� ��! ��������*��� �� �� �������� ����# /&� ������ ������ ������� ����%�#

    Ο

    ,�!�� �5+ "������ ������

    �5�*� ������ �� ���� XOY ��� ����� �� ���� |XOY | < 90# '����*� �������� ���� ��� ����� �� ���� |XOY | > 90# 0�$���� �� �� ���� ��� ���� ���� ������������! ��� �� ��� ������ �� ��&�����# C��� �� � ���� � ��� �����&��'

    �I������ ��� ����� � �� ��&� ��� ������� �� �� ���� ����+ |α| < |β| -��������|α| > |β|.# 0�$���� ���� ������ ��� �����&��� ��� ��!� ��� �� ��� ��� ��� ��������&��� ���� �����# .����$!���%��� ������� �&� ����� ��� ����� �� ����α, β ����� ������ α + β = 90# 0�$���� ������������� ����� ��� ����� �� ��&�# 92�� ����� 89 ��� �����

    �� ��� ��!� ����� XOY �*� �&� ������������������ α = XOX ′, β = X ′OY #

  • ���� ����� ����� �<

    οξεια αμβλεια

    XO

    Y

    XO

    Y

    ,�!�� �

  • �= ����

    �� �� �� ������� ������

    ��% &���"��

    Α

    Β Γβ γ

    α

    a

    bc

    ,�!�� �?+ �����

    0!*��� ��� �� ��!�� ��� �*��� ��� �� ����� 1� G �� %� �� ��

    ������� �� ���� ����� ������ ����� �� �� ���&����� ��!���� ��� �� �������# �� �� ����� ����������� ��!�2� %�� %!��,��# �� ���&����� ��!���� ��� �*���� ��� �&����$�� ��� �

    ����� ������� ����!� %�� %!��,��# >�*� %�� %!��,�������*���� �� -�����. ����� ��� ������*���� �� ���� ���$! ��� ��� �� ������ ����

    ����� �� ��! ���!� ��� ���$!# ,����*��� �� ��

    �������� �� �!�� ��� �������� �� ������ �������

    a = |BΓ|, b = |ΓA|, c = |AB|�� �� ���� ��� ����� ��� �

    ����� �� �� ��� �������

    α = |BAΓ|, β = |ΓBA|, γ = |AΓB|.���� ���������&� ����&� �� �������� ����� �� ��� ������� ��$����# ; �����1G%� G%1� %1G ����&�� �� ��� �������� '���%� ��� ������ 1%� G1� %G# �������� ��� ����� ��� ������

    p = a + b+ c,

    ������ ��!*��%!� ��� �

    �����# /&� ����� 1G% �� 19G9%9 ���� �� ��� ;6�� ��������� ��� ��������� ������ -a = a′, b = b′, c = c′. �� �������� ��� ����� -�F�9��F�9� �F�9.# ; ������ ������� -�������. ��� �

    ����� ��� � ��!�+

    Α

    Β Γ

    Χ

    Υ

    ΖΩ

    ,�!�� �B+ 2����

    �� �� �����

    �� �

    �����

    '5*��� �:(:� +��� ������� ����'�� �� ������ �� !� ���� �� ���%�!�� ��� �5�%�7!�� * "!� ������ 3 ��� Y % ����������� ��� ��������� �� ����)��% ���'�� ��!�������� �� 3Y �� ���������� �� ���� �� ��� ��������� �� ����)��* "!� ������ 3 ��� 4%

  • ���� ������ �A

    ����������� �� ��� ��� ��������� ��� �� ���� ��� ��������� ��% ���'�� ��!������ �� ��� 34 �� ����� �������� ���# �� ����)�� ������ ��� ����()� ����� �� ����)��

    �� ��������� ��� ������ ������ >*

    Β

    Α Γ

    Γ

    Β

    Α

    '

    '

    '

    ,�!�� 4@+ ����� �� ��������� ������ ���

    '5*��� �:(: -5������� !� ����)���. "!� ������� $&� ��� $2&2�2 �� ���� ������������ ������ ���� -|AB| = |A′B′|, |BΓ| = |B′Γ′|, |ΓA| = |Γ′A′|. ����� ���* "��� ���� ������ ����������� ������ ����* ,������ �������� ��� ���������� ���� ������ �� �������������� ������*

    Α

    Β Γ

    X

    ,�!�� 4>+ 1���� ��� Pasch

    '5*��� �:(:� -/� Pasch 1843-1940. $� ��� ����� ε ������ ��� ����� $& �� ����)��� ��� �� �������� ��� ��� ���# ��% ���� �� ������ ��� ��� ��� ��� ����� ������*

    .+ ���7� �� ����� �� �� �����

    �� �� �����

    �� ��� �

    ����� ��� �� ��� �� ��'

    ������ ��� ���$�� ���� ��! ��� ��$�����# ,������� ��� �� ������� ��������������� �� ����&�� �� �������� �� ������# ( ������� ������ ��

    ��� �������'

    ��� ��� ����� ��� ��� ������ �� ������� � �����!�# 92�� �� ��*� ��� �� �����#

    �� �������� 1���� >#=#4 $����� ���������� ������ � ������ ��� ��$�*� ����������� ��� �� �����&���� �������# ( ��������� ��� $����� �� ��� ��� ������������� ����� �� ��� ������ ��� ��������# ; �&� ����� ������� ����� �� ��&�� ������������� ��� ���� �� ������ ������ �� ���� �� ������� ���� ���� ���

    ���&���� ���� ��� ��������# 92�� ��!��� ������� �������� ���� �� �� ����� ���[Bel07]#

    �! %��$ �:(:� �� �� " ����� ��� ��������� ������ �� ����)��% ���� � $" ��������� �������� ����� &� �� ����)��*

  • �? ����

    �� �� �� ������� ������

    Α

    Β Γ

    Δ

    ΕΖ

    Χ

    ,�!�� 4�+ ���! ������� ������

    $������0 0�� ����� 2 ��� ���&����� ��!�� 1/# 6����� ������ �� ����� 1G/�� ��� �������� %2# "��� �� 1���� >#=#4 � %2 �� ������� �� �� ��&��� ����� ����

    ����� 1G/# 2���! � ����� G/ ����& ��� �

    ����� ��� ����� ��� ����� 8%1 �%2 �� ������� ��� 1G �� ��� ����� H# 6����� ���� �� ����� G%H �� ��� ����� 12��� ������� ��� ����� ��� %H# "��� �� >#=#4 � 12 �� ������� �� �� ���� ����� ����

    ����� ��� ��� ���� �� ��� � GH� ��� ���� � 12 �� �������� �� ��� GH# 91� �12� ��� ��� � �� �� ��� ����� 1/ �� ������� ��� ����� G% ��� �

    ����� G%H� ������ �� ����� ��� �

    ����� 1G%� �#�#�#

    ;'��$�$ �:(:� "����� ����� ε* "���� ��� � ����� �����! !� ������� $ ��� &0 -�� $��� & ����������� ��� ��� ��������� ��� ε. ����� ����(���� * "��� �� �� $ ��� & �������� ��� ��������� ��� �� & ��� � ����� ������ ��� ��� ��������� ���� ��� �� $ ��� � �������� ��� ���������*

    Α

    Γ

    Β

    Ε Ζ

    ε

    ,�!�� 44+ �� ����� ��� �������� '>#=#4

    �������0 )������ �� �� 1� G ��� ��� �� �������� �� �� �� G� % ����� ��� ���������� ���� �� �� 1�% ��� ���# ���� -1���� >#�##=#4 �� �� ��� �� ����� �&�# 1� ����� ��� G% �� ����� H� ������ ������ ��� ���� ��G� % �� ��� �� ��$������ ������ ��� �# 1� ����� ��� 1G �� ������ ������� �����#91� � 1% ��� ���� �� ����� ��� �#

    @������ ��� �

    ����� ������ �� ���&����� ��!�� ��� ����� �� ���$! ��� ���� ����� ��� ������� ������# @�+�% �� ��� �

    ����� ������ �� ���&����� ��!����� ����� �� ���$! �� ��� ������� ����� ��� �� ��*� ��� ���� ��� ���$!� ���&� ��� �����# ,���� �����*���� ������� �� ������� ��� ����� ! ������� ���

  • ���� ������ �B

    Β

    Α

    ΓΜΔ

    ΥΨ

    ΟΣ

    ΔΙΧΟ

    ΤΟΜ

    ΟΣ

    ΔΙΑΜΕΣΟΣ

    Υ

    ΕΞ. ΔΙΧ

    ΟΤΟΜΟ

    Σ

    Χ

    ,�!�� 45+ /������� /�������� 9)���

    ������� ��� ���� ��� �

    �����# �5�%�!��� ��*� ��� �

    ����� ������ �� ���'��������! ����� �

    ����� �#�# ��� 1� ��� ���&��� ������������ �� ��� �� ��������� �

    ������ �#�# ��� 1% -�����! �������� ��� ����� 1%.� ����� ���&��� � G18-��!��'45.# �5�%�!��� ��+�% �� �

    ����� ������ � �������� ��� �����

    �!� ��'��� ���# ;AB� ��� �

    ����� ������ �� ���&����� ��!�� ��� ����� ��� ���$! ����

    ����� �� ��� ����� ��� ������� ������ ��� �� ��� ������ ���� ����� ���! -���&���� ��� &���� �� ����$������� ��� ������ ���� 0����$� >#>�.# 9;��� �� ��&��������� � ��� ������ ��� �

    ����� ������� ��� ���� ����� -0����� �#?#>.� ���� ������� ������� ��� ���� ���� ����� -0����� �#�#4. �� ����� �� �� &��������� �� ���� ��� ��� ���� ����� -0����� �#?#4.#

    ; ������� �� &�� �� � ������� -�����

    ��� �� �����

    ���. �

    ����� ���$���������� �� @��%�!���%� �%��+�*� ��� �

    �����#

    .+ ���7 ,���� � ����� ��� ����� �

    �� ��� ���� �� ������ ��� �� ��� ��

    '�! ��������! ��� �

    �����# %� ��������� ���� 91����� �#>