Correction du devoir N°2 I – Application directe du cours : (5 points)

1. On calcule Un+1 – Un si c’est positif la suite est croissante, si c’est négatif elle est décroissante

2. Voir le cours. 3. Soit (Un) une suite arithmétique telle que U25 = 53 et U42 = 69.

U42 = U25 +(42 – 25) r donc 17r = 16 soit r = 16/17 et U0 = 53 – 25× 16/17=501/17

 Un =50117 +

1617n

4. Un = (n+1)2 – n2 = n2+2n+1+n2 = 2n+1 c’est une suite arithmétique, de la raison 2 et de premier terme 1.

II – Épargne pour acheter un vélo : (7 points)

Pierre se constitue une tirelire pour acheter un vélo, qui coute 150 €. Après un dépôt initial de 10 € dans sa tirelire, il décide qu’à la fin de chaque mois, il déposera une somme augmentée de 2 € par rapport à celle déposée le mois précédent.

Soit (Pn) la suite des sommes, en euros, déposées dans la tirelire chaque mois. On note P0 = 10 le dépôt initial et Pn le dépôt effectué le n-ième mois, en euros.

1. A la fin de chaque mois, il dépose une somme augmentée de 2 € par rapport à celle déposée le mois précédent donc la différence entre deux termes consécutifs est toujours égale à 2 et Pn+1 = Pn+2 , la suite est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 10 et Pn = 10 + 2n.

2. Le 6ème mois il dépose P6 = 22 euros. 3. Au bout de n mois il aura dans sa tirelire :

𝑆 = 𝑛 + 1𝑃! + 𝑃!2 = 𝑛 + 1

10+ 10+ 2𝑛2 =

𝑛 + 1 2𝑛 + 202 = 𝑛! + 11n+ 10  

il pourra acheter son vélo si S ≥150 ⟺ n2+11n+10 ≥ 150 ⟺ n2+11n – 140 ≥ 0.  On résout cette inéquation on trouve deux racines -18,4 et environ 7,5 or n est un entier naturel donc n=8 c’est le 8ème mois qu’il pourra acheter son vélo.

III – Suite et algorithme : (9 points)

Pour l’achat d’un logiciel, le vendeur propose un contrat d’assistance comprenant l’installation à domicile et un conseiller joignable par téléphone, pour 20 € le premier mois puis chaque mois 0,60 € de moins par rapport au mois précédent et ainsi de suite. On note Un la mensualité en euros le n-ième mois.

1. U1= 20 – 0,6 = 19,4 et U2 = 19,4 – 0,6 = 18,8 2. Un+1 = Un – 0,6 c’est donc une suite arithmétique de premier terme U0 = 20 et de raison –

r = - 0,6 donc Un = 20 - 0,6n et le 12ème mois U11 = 13,4. 3. Si le contrat est pris pour 2 ans donc de U0 = 20 à U23 = 6,2 , il coutera S :

S = 24U! + U!"

2 = 314,4

4. La durée maximale du contrat est de 34 mois car U34 = 0,2 < 0,6.

5. Algorithme : On veut utiliser Algobox pour calculer, chaque mois, les sommes U payées et le montant total S déjà versé. On veut faire ces calculs pour les 2 ans de durée du contrat.

Pour faire varier n il faut introduire une variable i et lire la variable n