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CORSO DI ECONOMIA

ESEMPI NUMERICI

Margherita Balconi e Roberto Fontana

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TEORIA DEL CONSUMATORE ESEMPIO # 1 (con funzione di utilita’ Cobb-Douglas) Alessia ha 16 anni, e consuma esclusivamente libri (X) e concerti musicali (Y). Il prezzo unitario dei libri è pari a 4 euro e quello dei concerti 7. Inoltre le preferenze di Alessia per questi due beni possono essere rappresentate dalla seguente funzione di utilità:

U(X,Y)=X0,3Y0,7

a) Scrivete e rappresentate graficamente il vincolo di bilancio sapendo che il reddito di

cui dispone Alessia è di 280 euro settimanali, indicando chiaramente le intercette e l’inclinazione.

F A 28 U 21 E X

Sostituendo nell’equazione generale del vincolo di bilancio PxX+PYY=I i dati del

problema, si ottiene 4X+7Y=280 . La pendenza del vincolo di bilancio di Alessia è data da

-4/7, mentre le intercette orizzontale e verticale sono rispettivamente data da E=280/4=70

e F=280/7=40.

b) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Alessia? Derivate analiticamente la quantità ottima consumata dei due beni e fornitene una rappresentazione nel grafico precedente.

c) In questo caso, il saggio marginale di sostituzione è dato da:

SMSY,X = MUX/MUY = 3/7 (Y/X)

Eguagliando l’SMS con il rapporto fra i prezzi e mettendo a sistema con il vincolo di

bilancio si ottiene

Y

3

3/7 * Y/X = 4/7 X = 21

4X + 7Y = 280 Y = 28

Nel grafico, l’equilibrio è indicato con la lettera A.

c) Alessia riceve dai genitori un aumento della paghetta settimanale ed il suo nuovo reddito sarà pari a 320 euro. Come varierà la quantità di libri e concerti che Alessia vorrà acquistare? Calcolate il nuovo equilibrio e rappresentatelo graficamente.

Y

32 B

24 X

Il nuovo sistema che ci consente di determinare l’equilibrio di Alessia ( punto B nel grafico)

diventa:

3/7 * Y/X = 4/7 X = 24

4X + 7Y = 320 Y = 32

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ESEMPIO # 2 (con funzione di utilita’ lineare (beni perfetti sostituti))

Lorenzo è uno studente di dottorato. Egli spende tutto il suo reddito in due soli beni: manuali di econometria (X) e tavolette di cioccolato (Y). La funzione di utilità di Lorenzo è data da

U(x,y) = 10x + y. Il prezzo dei manuali di econometria è di 20 Euro, mentre il prezzo delle tavolette di cioccolato è di 1 Euro.

a) Che relazione sussiste fra i due beni nelle preferenze di Lorenzo?

I due beni sono perfetti sostituti

b) Scrivete e rappresentate nel grafico sottostante il vincolo di bilancio di Lorenzo sapendo che il reddito di cui dispone è di 800 Euro al mese, corrispondente alla sua borsa di studio. Indicate chiaramente le intercette e l’inclinazione.

Analiticamente, il vincolo di bilancio è dato da 20x+y=800, quindi y = 800 - 20x. La pendenza è

pari 20 in valore assoluto, e le intercette verticali ed orizzontali sono rispettivamente 800 e 40. Il

vincolo è rappresentato dalla linea in grassetto.

800

40

pendenza = -20

x

y

E

5

c) Quale sarà il paniere ottimo scelto da Lorenzo? Derivate analiticamente la quantità

ottima consumata dei due beni e fornitene una rappresentazione nel grafico precedente.

La soluzione sarà una soluzione d’angolo. Occorre confrontare l’ SMS con il rapporto fra i prezzi. In questo caso:

y

xyx p

pMRS =<= 2010

Di conseguenza, Lorenzo deciderà di consumare solo tavolette di cioccolato. In equilibrio, 0* =x

e 8001

800* ==y

L’equilibrio è rappresentato dal punto E. d) Insoddisfatto della performance degli studenti di dottorato italiano, il Ministero dell’Istruzione decide di introdurre un sussidio per l’acquisto di libri scientifici. Allo stesso tempo, però, per finanziare la riforma, decide di ridurre la borsa di studio per gli studenti di dottorato. Dopo la riforma, il prezzo dei manuali di econometria diventa 12 Euro, mentre l’ammontare della borsa di studio (che costituisce l’unica fonte di reddito per Lorenzo) è pari a 750 Euro. Ritenete che Lorenzo sarà favorevole o contrario alla riforma? Nel nuovo equilibrio,

y

xyx p

pMRS =<= 1210

Di conseguenza, Lorenzo continuerà di consumare solo tavolette di cioccolato. In equilibrio,

0* =x e 7501

750* ==y .

Poiché il consumo di x è rimasto inalterato, ed il consumo di y si è ridotto, Lorenzo vede la sua utilità ridotta in equilibrio, e quindi sarà contrario alla riforma.

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ESEMPIO #3 (con funzione di utilita’ “a gomito”(beni perfetti complementi)) Un consumatore deve scegliere tra due beni X e Y. Le sue preferenze sono tali da indurlo a consumare sempre una unità di X per ogni tre unità di Y. B1) Come definireste la relazione tra questi due beni? Rappresentate graficamente ed analiticamente le preferenze del consumatore. U2 U1

3 U0

α = -1/3 1

Sono beni perfetti complementi, devono essere consumati in proporzioni fisse. U(X,Y) = min{aX; bY}= min{3X; Y} B2) Se il consumatore avesse a disposizione 10 unità del bene X e 5 del bene Y, quale sarebbe l’utilità che trarrebbe dal consumo di questo paniere? U(X,Y) = min{X;(1/3) Y}= min{10; 5/3}=5/3 B3) Il consumatore dispone di un reddito I pari a 150. Dati i prezzi di mercato di X e Y, rispettivamente Px=5 e Py=15, determinate e rappresentate nel grafico precedente il vincolo di bilancio (indicate intercette e inclinazione). Vincolo di bilancio: Px + Py= I; 5X + 15Y = 150

Intercette e pendenza: X = 50; Y = 10; α = -Px/Py= -1/3

Y Y = 3 X

E (3; 9)

50

10

X

7

B4) Quale sarà il suo consumo ottimo? (si fornisca una soluzione analitica e si indichi nel grafico precedente il punto di equilibrio)

Y = 3X Y = 3X Y*=9

5X + 15Y = 150 5X + 45X= 150 X*=3 E (3;9)

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CALCOLO DELL’ELASTICITA’ Esempio #1 Un bene X ha la funzione di domanda descritta dalla seguente equazione: X = 40/Px. Sapendo che in equilibrio il consumatore consuma 10 unità del bene X, calcolate il valore dell’elasticità della domanda di X rispetto al suo prezzo nel punto di equilibrio. In equilibrio si ha: 10 = 40/Px Px = 4 L’elasticità al prezzo si deriva dalla funzione di domanda: εx = -[(dX/dpx)·(px/X)] dX/dpx = –40/(px)2 εx = -[-40/( px)2 · px /(40/ px)] Sostituendo Px = 4 si ottiene εx = 1, elasticità unitaria Esempio #2 2) Supponete che la curva di domanda di mercato del bene X sia X = 10 – Px. a) Disegnate la curva di domanda specificandone le intercette. b) Ipotizzate che il prezzo di mercato del bene sia Px = 4. Calcolate l’elasticità al prezzo in corrispondenza del punto iniziale. c) Mostrate nel grafico il punto in cui l’elasticità è massima e indicatene il valore. b) Px = 4 X = 10 – 4 = 6 εx = -[(dX/dpx)·(px/X)] = -[-1 ·(4/6)]= 2/3 L’elasticità è massima nel punto di intercetta orizzontale in cui ∞=xε Infatti stiamo esaminando una funzione X = f (p), ossia una vera curva di domanda. Quando invece si rappresenta graficamente una curva di domanda inversa dove P = f (X),

l’elasticità è massima nel punto di intercetta verticale in cui ∞=xε Esempio #3 3) Sia data la seguente curva di domanda X = 20 - 3Px. Calcolate il valore puntuale dell’elasticità εx nel punto in cui P = 2 e X = 14. dX/dpx = –3 ⏐εx⏐ = -[(dX/dpx)·(px/X)] = -[-3 ·(2/14)]= 3/7 Essendo minore di 1 nel punto considerato, la curva di domanda è anelastica (rigida)

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E

OFFERTA DI LAVORO ESEMPIO # 1 L’utilità di un consumatore può essere espressa dalla seguente funzione di utilità

U = C 0,5 N0,5 Considerando che ha un monte ore giornaliero di T = 8 ore, il consumatore deciderà quanto tempo lavorare (L) e quanto tempo dedicare a se stesso ed ai suoi amici (il tempo libero N). Il salario (W) è di 4 euro all’ora e i beni di consumo (C) hanno un prezzo (P) di 1 euro. B1) Si rappresenti graficamente ed analiticamente il vincolo di bilancio del consumatore, specificando le intercette e l’inclinazione.

Vincolo di bilancio: wN + pC = wT; pC = wT- wN 4N + C = 32 C = 32 - 4N

se N = 0 ⇒ C = 32

se C = 0 ⇒ N = 8

Pendenza = - w = - 4

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B2) Calcolate la quantità ottima di consumo e l’ammontare di lavoro (è richiesta una soluzione analitica). Rappresentate il paniere ottimo nel grafico precedente. MRS = (dU/dN)/ (dU/dC) dU/dN = C 0,5 * 0,5 N-0,5 dU/dC = N 0,5 * 0,5 C-0,5

(dU/dN)/ (dU/dC) = C 0,5/ N0,5 / N 0,5/ C 0,5 = C/N

4 T= 8 N

C 32

10

⎩⎨⎧

=+=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

3244

324

4

324CNNC

CNNC

CNpwMRS

N *=32/8=4 C*=4N =16

L*=T-N*=8-4=4 ESEMPIO # 2 Mario è uno studente che deve scegliere quante ore lavorare durante l’estate. Egli sa che avrà a disposizione 60 ore al salario orario di 5 euro, mentre il prezzo dei beni di consumo, indicati con C, è pari a 3 euro. La sua funzione di utilità è U = 3C + 2N, dove N indica le ore di tempo libero. B1) Si scriva l’equazione del vincolo di bilancio di Mario e lo si rappresenti graficamente insieme a tre curve di indifferenza. L’espressione del vincolo di bilancio è pC = w(T-N), ovvero: 3C = 5(60-N) → C = 100 – 5/3N graficamente:

C

100

Curve di indifferenza

-5/3-2/3

N60

E1

150E1

11

B2) Quante ore lavorerà Mario? La funzione di utilità di Mario è lineare, e caratterizza i beni perfettamente sostituti. Ciò significa che per Mario il consumo e il tempo libero sono perfettamente sostituibili e quindi consumerà esclusivamente quello che ha il migliore costo opportunità, a meno che non sia uguale. Per identificare il costo opportunità migliore, confronto SMSC,N con il rapporto tra i salario e prezzo

del consumo CP

w : C

NC PwMRS =−−=

35

32

, f , quindi Mario utilizzerà tutta le sua dotazione di

tempo T = 60 per lavorare, ottenendo un consumo pari a C=100. B3) Quale sarà l’utilità di Mario nel punto di equilibrio?

U = 3C + 2N, sostituendo i valori del punto di equilibrio si ha:

U = 3*100 + 0 = 300

B4) Si ipotizzi che il prezzo dei beni di consumo scenda a 2 euro: come si modificherebbe il suo punto di equilibrio? E la sua Utilità?

In questo caso il vincolo di bilancio diventerà pari a:

2C = 5(60-N) → C = 150 – 5/2N

La variazione del prezzo è insufficiente a modificare il segno della precedente disequazione, quindi la pendenza del vincolo di bilancio continua a permanere inferiore a quella delle curve di indifferenza. Ne consegue che Maria continuerà ad utilizzare tutta la sua dotazione di tempo libero per lavorare. Tuttavia, essendo sceso il prezzo del suo consumo, ora potrà consumare 150 unità del suo bene invece che 100. L’utilità in questo caso sarà uguale a . U = 3*150 + 0 = 450

B5) Il valore dell’elasticità incrociata tra consumo e tempo libero �C,N è positivo, negativo o nullo? Perché? (suggerimento: non serve fare calcoli, si guardi alla relazione tra i due beni in questione).

Poiché tra i due beni sussiste una relazione di perfetta sostituibilità, si può affermare che l’elasticità è sicuramente positiva (e tendente a infinito).

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ESEMPIO # 3 Alfredo, studente di Economia, deve scegliere tra consumo (c) e tempo libero (n). Egli percepisce una borsa di studio mensile fissa e pari a 1500 Euro e lavora come ragioniere presso uno studio commercialista, ricevendo un salario orario w = 15 Euro. a) Sapendo che la dotazione di tempo di Alfredo è di 50 ore al mese e che il prezzo del consumo è unitario, si scriva il vincolo di bilancio di Alfredo e lo si rappresenti graficamente nel grafico sottostante, indicando chiaramente i valori della pendenza e delle intercette.

( )15 50 1500c n= − +

Intercetta asse n = 150

Intercetta asse c = 2250

Inclinazione = -15

b) Supponendo che la funzione di utilità di Alfredo sia ncncU 3),( = , si trovi il punto di equilibrio (n*, c*) tra consumo e tempo libero, e lo si rappresenti nel grafico precedente.

15315 2250

cn

c n

⎧ =⎪⎨⎪ = − +⎩

1687.5

37,5cn=⎧

⎨ =⎩

c) Quante ore al mese deciderà di lavorare Alfredo?

50 37,5 12,5L = − =

Alfredo riceve una brutta notizia dallo studio dove lavora, il suo salario orario viene ridotto da 15 a 6 Euro.

n

c

15050

225

15

13

d) Al nuovo salario, quante ore lavorerà Alfredo? Motivate analiticamente la vostra risposta.

ESEMPIO # 4 Gianni è uno studente universitario. Per mantenersi gli studi, Gianni riceve dai genitori una rendita mensile pari a M = 30; tuttavia, egli ha anche la possibilità di lavorare. La dotazione di tempo rispetto al quale può scegliere se lavorare o dedicarsi alle proprie attività del tempo libero è T = 120, mentre il salario orario è pari a W = 3/2. a) Si scriva l’espressione analitica del vincolo di bilancio, e lo si rappresenti graficamente indicando le intercette e la pendenza del vincolo di bilancio. Il vincolo di bilancio è dato da C=W*(T-N)+M. Sostituendo: C = (120-N)3/2 +30 C = 210 – 3/2N Graficamente: b) Si determinino i valori del consumo e delle ore dedicate al lavoro sapendo che la funzione di utilità di Gianni ha la seguente espressione analitica: U(C, N) = C1/2N1/2 . (dove C è il consumo ed N il tempo libero). Si rappresenti l’equilibrio nel grafico precedente.

Data la funzione di utilità, l’SMS è uguale a NC

MUMU

C

N = . Il sistema che occorre risolvere è il

seguente:

Pend=-3/2

210

E

T

C

70 120

105

30

14

⇒⎩⎨⎧

=+−=

WMRSMWNTC *)(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

5070105

23

23210

lNC

NC

NC

Il punto di equilibrio corrisponde al punto E nel grafico al punto a). c) Supponete ora che i genitori di Gianni vogliano evitare che il proprio figlio lavori, e per questo motivo aumentino la rendita M, portandola a 60. Riusciranno i genitori nel loro scopo?) In questo caso, il sistema da risolvere risulta essere il seguente

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

4080120

23

23240

lNC

NC

NC

I genitori, non quindi, non raggiungeranno il loro scopo perché Gianni continuerà a lavorare (anche se meno ore che nel caso precedente). d) Qual è il livello minimo della rendita M per cui Gianni sarebbe spinto a non lavorare? Occorre trovare quel valore di M per cui N=120 risulta la soluzione ottima. Quindi il sistema da risolvere diventa:

⎩⎨⎧

==

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

180180

23

120MC

CMC

I genitori quindi dovranno incrementare la rendita fino a 180 per indurre Gianni a non lavorare.

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COME RICAVARE LA CURVA DI OFFERTA DI BREVE PERIODO DALLA FUNZIONE DI COSTO Costo tot = 2x2 + 4x MC = 4x + 4 AC = 2x + 4 1) Si trova il valore di x per cui MC=AC 4x + 4 = 2x + 4 x = 0 2) Si trova il prezzo corrispondente al valore di x tale per cui MC=AC MC(x = 0) = 4(0) + 4 = 4 sappiamo che in equilibrio di concorrenza perfetta: MC = MR = p per cui so trova che p = MC = 4 3) se p < 4 x = 0 se p maggiore o uguale a 4 allora la curva di offerta coincide con il tratto crescente della curva dei mc quindi: MC = 4x + 4 x = MC/ 4 - 1 ma MC = p in equilibrio e dunque x = p/ 4 – 1 l’espressione della curva di offerta sara’ data da: x = 0 se p < 4 x = p/4 – 1 se p > oppure uguale a 0

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CONCORRENZA MONOPOLISTICA (la prima parte si può usare anche per monopolio)

Sia data un’impresa che produce in un mercato di concorrenza monopolistica. I costi totali dell’impresa sono pari a: CT = 1/2y2 + 50 La curva di domanda che l’impresa deve servire è descritta da: P = 140 – 3y 1) Si trovi quanto produce l’impresa nell’equilibrio di breve periodo. Nel BP l’impresa si comporta da monopolista per cui in equilibrio dovrà valere: MC = MR RT = (140 – 3y)y = 140y –3y2

MR = 140 – 6y MC = y MR = MC 140 – 6y = y 140 = 7y y* = 20 2) Si trovi il profitto che l’impresa fa nel BP Per prima cosa si trova il prezzo di equilibrio: P* = 140 – 3y* P* = 140 – 3(20) P* = 80 Poi si trova il profitto della singola impresa: Π = RT(y*) – CT(y*) Π = 80(20) – (1/2 (20)2 + 50) Π = 1600 – (200 + 50) = 1350 Dato che il profitto è positivo esistono incentivi all’entrata di nuove imprese. L’entrata di nuove imprese cambia la curva di domanda che diventa: P = 20 –3/2y 3) Trovare la soluzione di equilibrio di lungo periodo. E’ sostenibile tale equilibrio con tale domanda? Per rispondere bisogna mostrare che nel lungo periodo i profitti si annullano ovvero che: P = ΑC Nel lungo periodo si produce la quantità tale per cui MR = MC

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RT = 20y – 3/2y2 MR = 20 – 3y MC = y MR = MC 20 – 3y = y y* = 5 Nel lungo periodo il prezzo di equilibrio è dato da: P* = 20 – 3/2y* P* = 20 – 3/(2(5) P* = 12.5 AC* = 1/2y +50/y AC(y*) = ½(5) + 50/5 = 5/2 + 10 = 12.5 Nell’equilibrio di LP si ha effettivamente P* = AC*. Dunque il profitto si annulla e

l’entrata di nuove imprese si arresta. L’equilibrio trovato è stabile.

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TEORIA DEI GIOCHI ESEMPIO # 1 Considerate il seguente gioco.

Una generica industria è popolata da due sole imprese. L’impresa 1 deve decidere se investire in pubblicità (I), che farebbe aumentare la propria quantità venduta ma anche la domanda totale di mercato e quindi anche la quantità venduta dall’impresa 2, oppure se non investire in pubblicità (NI). L’impresa 2 invece è di piccole dimensioni e il management sta per decidere strategicamente se ampliare il proprio impianto (A) oppure no (NA).

Nel caso in cui l’impresa 1 investisse in pubblicità e l’impresa 2 non ampliasse l’impianto, l’impresa 1 avrebbe profitti pari a 5000 mentre la 2 farebbe profitti nulli. Se invece la 2 ampliasse allora potrebbe catturare maggiore domanda e i profitti sarebbero pari a 6000 per entrambe le imprese. Se l’impresa 1 non investisse in pubblicità e l’impresa 2 non ampliasse, l’attuale domanda di mercato sarebbe divisa tra le due imprese in modo tale che i profitti siano pari a 7000 per l’impresa 1 e a 3000 per la 2. Se a fronte del non investimento in pubblicità da parte di 1 l’impresa 2 ampliasse il proprio impianto, si instaurerebbe una feroce guerra tra le due imprese che porterebbe a profitti pari a 1000 per l’impresa 1 e 2000 per l’impresa 2.

I. Costruite il gioco simultaneo in forma normale e determinate l’equilibrio (o gli equilibri) di Nash.

II. Esiste una strategia dominante? Motivate la vostra risposta.

III. Supponete ora che l’impresa 1 decida prima dell’impresa 2. Rappresentate il gioco in forma estesa.

ESEMPIO # 2 Si consideri il seguente gioco simultaneo rappresentato in forma normale.

Mr. Colonna

SINISTRA CENTRO DESTRA

Mr. Riga ALTO (8, 15) (9, 13) (13, 5)

BASSO (12, 7) (10, 11) (2, 7)

I. Si individuino gli equilibri di Nash (o l’equilibrio di Nash, nel caso fosse unico). II. Giocare ‘Basso’ rappresenta una strategia dominante per Mr. Riga? Fornite una

spiegazione della risposta

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Supponete ora che Mr. Colonna conosca la decisione di Mr. Riga prima di fare la propria

scelta. Rappresentate il nuovo gioco in forma estesa.

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OLIGOPOLIO ESEMPIO # 1 Un turista che desideri raggiungere le Canarie da Milano può scegliere tra due compagnie aeree: AriaEuropa (AE) e Iberica (I). Esse offrono un servizio assolutamente identico e competono sulla quantità. I costi totali per le due imprese sono: TCAE = 2qAE TCI = 4qI Dove qAE e qI indicano, rispettivamente, il numero di passeggeri trasportati da AriaEuropa e Iberica. a) Sapendo che la domanda di mercato (D) è P = 12 – Q, dove Q = qAE + qI , si

determinino le funzioni di reazione delle due imprese

)(12 IAE qqp +−=

Dal momento che le imprese competono nella quantità il modello di riferimento è Cournot (asimmetrico): ogni duopolista uguaglia il proprio ricavo marginale (calcolato sulla domanda residuale) al costo marginale (questa è la solita condizione di massimizzazione del profitto).

42122212

:4212

2212

=−−=−−

=−−==−−=

==

IAE

AEI

IIAEI

AEAEIAE

II

AEAE

qqqq

QuindiMCqqMRMCqqMR

MCMRMCMR

Dunque le funzioni di reazione sono:

AEI

IAE

qqqq

)2/1(4)2/1(5

−=−=

b) Si calcoli l’equilibrio di mercato (quantità prodotta dalle singole imprese, quantità complessivamente prodotta sul mercato e prezzo di equilibrio).

Le funzioni di reazione costituiscono un sistema di due equazioni in due incognite: sostituendo una funzione di reazione nell’altra possiamo risolvere il sistema e trovare le

21

quantità di equilibrio. Quindi sostituendo la quantità offerta nella funzione di domanda si ricava il prezzo di equilibrio

123])2/1(4)[2/1(5 =−−= AEAEAE qqq

66126

2

4

*

*

*

*

=−=

=

=

=

pQ

q

q

I

AE

c) A quanto ammontano i profitti delle due imprese in equilibrio?

482*6)(

1684*6)(**

**

=−=−=Π

=−=−=Π

IIII

AEAEAEAE

qTCqp

qTCqp

ESEMPIO # 2 L’impresa Hein&Ken s.p.a. (H) e l’impresa Biperoni (B) s.p.a. sono oligopolisti nel mercato della birra. Le loro funzioni di costo totale sono: CTH(qH)=40qH CTB(qB)=40qB La domanda di mercato e’ data da P=100-2Q, dove Q= qH + qB, e le due imprese competono scegliendo la quantita’ da produrre. a) Trovate le funzioni di risposta ottima delle due imprese. Impresa H: 100- 2qB - 4qH = 40 qH =15-1/2qB Per simmetria: qB =15-1/2qH

22

b) Disegnate nel grafico sottostante le funzioni di risposta ottima, avendo cura di specificare le intercette e le pendenze.(Punti 6) qB 30 15 Ec 10 Ec’ qH 10 15 30 c) Quali saranno la quantita’ prodotte da ciascuna impresa, la quantità totale e il prezzo di equilibrio nel mercato? Risolvo il sistema tra le due funzioni di reazione. qH =15-1/2(15-1/2qH) da cui: q*H= q*B=10 Quindi: Q*=20 P*=60 d) In seguito ad un’innovazione di processo l’impresa Hein&Ken s.p.a. (H) riesce a ridurre i propri costi. Ora la sua funzione di costo totale e’ pari a: CTH(qH)=20qH (mentre per l’impresa B la funzione di costo totale resta invariata).Rappresentate qualitativamente questo nuovo equilibrio nel grafico precedente (non è necessario fare calcoli). L’impresa H che ora ha costi marginali minori produrra’ di piu’ rispetto a prima a scapito dell’impresa B che ora produrra’ di meno. Graficamente si ha uno spostamento della funzione di reazione di H verso l’esterno.

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ESEMPIO # 3 L’impresa Rosso e l’impresa Blu operano in un mercato duopolistico, concorrendo sulla

quantità venduta. La funzione di domanda è YP21100 −= , mentre le funzioni di costo

sono rispettivamente αα yCT 5200 += e 2

21

ββ yCT = .

B1) Si definisca il concetto di funzione di reazione. (4 punti) …………………………………………………………………………………………… La funzione di reazione di un’impresa indica la decisione di produzione OTTIMA di tale impresa DATA la decisione di produzione dell’altra impresa. ……………………………………………………………………………………………

B2) Si calcolino le funzioni di reazione delle due imprese e si rappresentino graficamente. (7 punti) ……………………………………………………………………………………………

)()( αα yMCyMR =

521100 =−− βα yy

da cui:

βα yy2195 −= funzione di reazione dell’impresa Rosso

Similmente:

)()( ββ yMCyMR =

ββα yyy =−−21100

da cui:

αβ yy4150 −= funzione di reazione dell’impresa Blu

24

……………………………………………………………………………………………

Impresa Rosso Impresa Blu B3) Si calcolino prezzo, quantità di equilibrio e profitto delle due imprese. (7 punti) ……………………………………………………………………………………………

Sistema tra le due funzioni di reazione:

)4150(

2195 αα yy −−=

da cui:

80* =αy

e:

30* =βy

Quindi:

110* =Y

P* = 45

30004002003600)805200()8045(* =−−=⋅+−⋅=Π α

90045013503021)3045(* 2 =−=−⋅=Π β

……………………………………………………………………………………………

95

190

50

yβ

200 yα

25

Oligopolio con leadership 1) Supponete che i produttori italiani di sale grezzo siano solo due: Solvay (S) ed Italkali (I). Essi offrono un prodotto assolutamente identico e decidono che quantità produrre per massimizzare i propri profitti. Anziché decidere simultaneamente quanto produrre, Italkali si comporta da Leader e Solvay da Follower.

I costi totali per le due imprese sono:

TCS = 8qS TCI = 8qI

Dove qS e qI indicano, rispettivamente, le quantità prodotte da Solvay e Italkali e TC sono i costi totali.

La domanda mondiale di sale (D) è P = 48 – 2Q, dove Q = qS + qI .

I. Si determini la quantità prodotta da ciascuna impresa in equilibrio.

Calcoliamo la funzione di reazione del Follower: P = 48 -2 (qS + qI) RTs = 48 qS -2 qI qS – 2qS2

In equilibrio RMS = CS

48 - 2 qI - 4 qS = 8 4 qS = 40 - 2 qI qS = 10 - ½ qI

Il leader terrà conto della seguente curva di domanda: P = 48 – 2 (10 - ½ qI) – 2 qI = 48 – 20 + qI – 2 qI P = 28 - qI

In equilibrio il leader produrrà la quantità per cui RMI = CMI RTI = 28 qI - qI2 Quindi 28 -2 qI = 8 qI = 10

Il follower produrrà invece: qS = 10 – 5 = 5

II. Si trovi il prezzo di equilibrio P = 48 –2 (10 + 5) = 18

III. Si trovino i profitti delle due imprese in equilibrio

ΠI = (18 - 8)(10) = 100 ΠS = (18 - 8)(5) = 50

26

2) Supponiamo ora invece che per qualche ragione Italkali non sia in grado di mantenere la leadership, e che le imprese colludano, producendo una quantità di monopolio e poi spartendosi i profitti in parti uguali. Calcolare la quantità e il prezzo di monopolio P = 48 – 2Q RT = 48Q -2 Q2

RM = CM quindi 48 – 4Q = 8 Q = 10 P = 48 - 20 = 28 Quali sono i profitti di collusione? Ciascuno produce la metà della produzione di monopolio, ovvero 5. I profitti di ciascuno saranno: ΠC = (28-8) * 5 = 100 Quale sarebbe stato il profitto di ciascuno nel caso in cui i duopolisti avessero deciso indipendentemente i livelli produttivi, come nel modello di Cournot ? Ricordiamo che il profitto di ogni impresa (se la domanda è lineare e i costi marginali sono costanti e pari a c) in un equilibrio Cornot-Nash è pari a:

( )bcaNC

9

2

1−

=π

Ossia: 402 /18 = 1600/18 = 88,88. Colludere quindi, almeno apparentemente, conviene. Ma per sapere se l’equilibrio di collusione è stabile bisogna calcolare il profitto di defezione. Supponendo che sia Italkali a defezionare, quale sarebbe il suo profitto? P = 48 -2 (QI + 5) RTI = 48 QI – 2 QI2 -10 QI = 38 QI - 2 QI2

RMI = CMI 38 – 4 QI = 8 QI = 30/4 = 7,5

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bcaQD

I 8)(3 −

= = (3*40)/16 = 7,5

Il prezzo diventerebbe P = 48 -2 (7,5 + 5) = 48 – 25 = 23 ΠD = (23 -8) *7,5 = 15 * 7,5 = 112,5 > 100 ossia ΠD > ΠC E’ chiaro quindi che poiché tradire conviene, l’equilibrio di collusione non è stabile. Quali sarebbero i profitti dell’impresa “tradita”? ΠT = (23-8) *5 = 75

= ( )

bCa7,10

2−

= 1600/(10,7 * 2) = 75

Cooperare è quindi troppo rischioso, oltre a non convenire. E’ meglio un comportamento indipendente, alla Cournot, che darà profitti pari a 88,88, come si è visto sopra. I risultati trovati possono essere presentati in una matrice, che rappresenta i pay-off nei vari casi.

E’ chiaro quindi che siamo di fronte ad un classico gioco del tipo “dilemma del prigioniero”, con equilibrio di Nash nella strategia dominante “non cooperare”.

Coopera Non coopera

Coopera 100; 100 75 ; 112,5

Non coopera 112,5; 75 88,88; 88,88

ItalkaliSolvay