Corso di Fisica GeneraleCorso di Fisica Generale

Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina

1) Intensità di corrente e densità di corrente 2) Le leggi di Ohm in forma integrale3) Legge di Ohm4) Le correnti elettriche dal punto di vista microscopico5) Forza elettromotrice e campo elettromotore6) Effetto Joule 7) Leggi di Kirchhoff8) Teoria dei circuiti lineari

Parte XVIII: Correnti Stazionarie

All’equilibrio un conduttore è equipotenziale. Tuttavia se gli estremi del conduttore sonomantenuti ad una d.d.p. fissa le cariche al suo interno (gli elettroni) si muoveranno (deriva).

V1 V2

++

++ ++ +

++

+ ++-

-

-

S1 S2S

Si definisce intensità di corrente (o semplicemente corrente) la quantità di carica elettricapositiva che attraversa una sezione del conduttore nella direzione del campo al secondo

dt

dqi

La corrente si misura in Ampère (Coulomb/sec)

Intensità di corrente e densità di correnteIntensità di corrente e densità di corrente

La corrente essendo la portata del flusso di cariche elettriche si può definire anche medianteil vettore densità di corrente elettrica

S

dSn̂Ji

La densità di corrente a sua volta si può definire come:

z,y,xvz,y,xz,y,xvz,y,xz,y,xvz,y,xz,y,xJ

Cioè come il prodotto della densità di portatori di carica per il campo delle loro velocità

Come già visto, una conseguenza del principio di conservazione della carica elettrica è laequazione di continuità

0t

Jdiv

Quei moti di cariche che avvengono lasciando inalterata la densità di carica elettrica si chiamano correnti stazionarie e vale:

0Jdiv

Si verifica sperimentalmente che la corrente che scorre in un conduttore e la tensioneapplicata sono proporzionali

RiV

Questa è la I legge di Ohm. La costante di proporzionalità va sotto il nome di ResistenzaElettrica e si misura in Ohm (Volt/Ampère) e la quantità Ri si chiama caduta di tensione

La resistenza, a sua volta, risulta proporzionale alla lunghezza del conduttore edinversamente proporzionale all’area della sezione (II legge di Ohm)

S

lR

La costante (ATTENZIONE AI SIMBOLI!) si chiama resistività (Ohm x metro) e dipendedal materiale e dal suo stato chimico-fisico. Per la maggior parte dei metalli solidi aumentalinearmente con la temperatura:

TT 10

L’inverso della resistività si chiama conducibilità e si indica con la lettera (ATTENZIONE AI SIMBOLI)

1

Le leggi di Ohm in forma integraleLe leggi di Ohm in forma integrale

Per un conduttore costituito da un cilindretto infinitesimo di lunghezza l e sezione s,l’applicazione congiunta delle leggi di Ohm dà

V1 V2

S

l

El

VJSJ

S

lRiV

1

Nel limite di l e S tendenti a zero l’ultima espressione acquista un significato locale

z,y,xEz,y,xJ

Questa è la legge di Ohm. Essa è una legge di risposta (come P=E per un dielettrico):sotto l’azione di un campo esterno un conduttore non si polarizza ma la risposta del sistemaconsiste nel fatto che le cariche elettroniche si mettono in moto di deriva nel verso (opposto)del campo elettrico.

La Legge di OhmLa Legge di Ohm

Per conduttori fortemente anisotropi la condicibilità, analogamente alla suscettività, saràun tensore (od un campo tensoriale per sistemi non omogenei).

Nascosto nella legge di Ohm c’è il fenomeno della dissipazione. Infatti, siccome la densitàdi corrente è proporzionale alla velocità dei portatori di carica ed il campo è proporzionalealla forza agente sulla carica, la legge di Ohm dice che la forza agente sulla carica èproporzionale alla velocità di questa. Tale è la caratteristica delle forze di attrito viscoso.

La legge di Ohm ci spiega perché in un conduttore all’equilibrio non esista carica netta divolume, quando utilizzata in connessione con la legge di Gauss e l’equazione di continuità.Supponiamo di addensare all’istante t=0 della carica elettrica nel punto (x,y,z) all’interno diun conduttore e proponiamoci di calcolare come evolve nel tempo tale densità di carica.

EJ;Ediv;t

Jdiv;t,z,y,x

0

0 00

Quanto più buono è il conduttore (->) tanto più velocemente la carica addensata si annulla(va sulla superficie)

t

ez,y,xt,z,y,xdtd

t;

tEdiv

00

0

000

(t)

t

0

=1

=2

=0.01

=0

Come si vede un buon conduttore disperde presto o prestissimo la carica localizzatamentre un buon isolante la mantiene per sempre

Consideriamo il Cu metallico. È facile dimostrare che il numero di atomi per unità di volumeè enorme

32825

33

33

2523

10498100551

10968

10968

10055110026

5563

m.Kg.m

Kg.

mN

mKg.

Kg..

g.

N

Am

Cu

mat

m

A

rCu

Se pensiamo che ogni atomo di Cu possa partecipare alla conduzione con un elettrone (4s1)avremo per la densità di corrente

eN

JvevNJNN

ececatec

Anche per correnti grandi v- sarà piccola. Infatti il tempo che impiegano gli elettroni apercorrere 1 metro di conduttore con una corrente di 106 A/m2 sarà

ore.sec.v

T

secm.

C.m.m

Av

73104131

1047106110498

10

3

519328

26

Le correnti da un punto di vista microscopicoLe correnti da un punto di vista microscopico

Tuttavia le velocità degli elettroni sono altissime (106 m/sec). Ciò si comprende col fatto chele velocità degli elettroni sono, in assenza di campo, dirette lungo tutte le direzioni (nessunacorrente). In presenza di campo elettrico ogni elettrone acquista una componente dellavelocità nella direzione opposta (l’elettrone è carico negativamente) al campo. La media diqueste è la velocità di deriva

Non si spiega ancora l’esistenza della resistenza elettrica. Infatti per un metallo perfetto talemoto di deriva non incontra nessun ostacolo o attrito. Tuttavia se nel metallo sono presentiimpurezze (vuoti reticolari, atomi di altra specie, etc.) o imperfezioni, l’interazione con taliimpurezze è in grado urtandolo di far deviare l’elettrone dal moto di deriva, impedendogli digiungere a destinazione. Analogamente le vibrazioni reticolari agiscono deviando gli elettronidalla traiettoria di deriva. Chiamiamo urti (eventi di scattering) tali fenomeni.

+e-

Impurezza

Possiamo quindi definire il libero cammino medio, lec come la distanza media fra due urtiEd il tempo di rilassamento, , o tempo medio fra due urti come

ec

ec

v

l

Dove vec è la velocità degli elettroni di conduzione (non la velocità di deriva)

Sotto l’azione di un campo elettrico esterno uniforme l’elettrone sarà accelerato e la suavelocità sarà

tm

eEtv

e

La velocità di deriva sarà proprio la media di questa funzione. Se immaginiamo che in ogniurto si perda il ricordo della velocità acquistata per effetto del campo, ed introduciamo laprobabilità, p(t), che avvenga un urto al tempo t

ee m

eEdtttp

m

eEdttptvv

00

Perché il secondo integrale è proprio il tempo medio fra due urti. Si ha quindi

Ev

l

m

eNJ;

v

l

m

eEv

ec

ec

eec

ec

ec

e

2

ovveroec

ec

eec v

l

m

eN

2

Il moto delle cariche deve comunque rispettare l’equazione di continuità. Affinché ladensità di carica non vari, però, il vettore densità di corrente deve essere solenoidale. Ciòimplica che le linee di flusso di J siano chiuse per moti di cariche stazionari.

Il moto è tale che tante cariche entrano da una sezione quante contemporaneamente neescono da un’altra

Ma proprio per la solenoidalità di J tali moti stazionari possono avvenire solo se i tubi diflusso di J sono chiusi, cioè in circuiti.

V1 V2

++

++ ++ +

++

+ ++-

-

-

S1 S2

0Jdiv

Però se le cariche si muovono lungo linee di flusso chiuse il lavoro non può essere compiutodal campo elettrostatico che è irrotazionale

0dE

La forza elettromotrice ed il campo elettromotoreLa forza elettromotrice ed il campo elettromotore

Di conseguenza il lavoro di far girare le cariche in un circuito elettrico in moto stazionarionon può essere compiuto da un campo conservativo. Ciò si capisce anche da questo esempio

Per far muovere le cariche (positive) da A verso B in un circuito , che presenta una resistenza ohmica R, bisogna che VA>VB.Tuttavia perché possano continuamente girare nel ritornare al puntoA il potenziale deve riassumere lo stesso valore VA

Si avrà quindi

A

B

A B A B A B

VA

VB

Le cariche vanno da Afino a B sotto l’azione diforze conservative (da puntia potenziale maggiore a puntia potenziale minore.

Per tornare da B ad Adevono andare verso puntia potenziale maggiore quindici vuole un campo non conservativoil campo elettromotore

La circuitazione del campo elettromotore si chiama (impropriamente) forza elettromotrice

0dEf m

f.e.m.

L’attrito viscoso incontrato dalle cariche nel loro moto nei conduttori (i tubi di flusso di J)deve dar luogo ad una dissipazione di potenza. Questa è calcolabile facilmente mediantela prima legge di Ohm.

R

VViRi

dt

dqRi

dt

dLP;RidqVdqdL

22

P è l’energia elettrica che ogni secondo viene trasformata in calore, se R è una resistenzaohmica o come si dice passiva. In un circuito alimentato da una f.e.m. ideale (senza resistenzainterna) sarà

ifP

Un tale sistema è, evidentemente una stufa. Se tuttavia la resistenza rappresenta qualcosadi più complicato, come ad esempio un motore elettrico, l’energia fornita dal generatoresarà trasformata, in parte, in energia meccanica o di altro tipo. In tal caso il lavoro ottenutoPer unità di carica si chiamerà più correttamente forza contro-elettromotrice

Effetto JouleEffetto Joule

Un circuito elettrico può essere topologicamente molto complicato, potendo avere moltipunti di diramazione e molti sotto circuiti.

Si dice ramo un tratto di circuito contenente una resistenza e/o un generatore di f.e.m.e nodo un punto in cui confluiscono più rami.

R1

R2

R3

Nodo

I Legge di Kirchhoff: La somma delle correnti uscenti da un nodo è nulla

Questa è una conseguenza della solenoidalità delle correnti. Infatti, dette Si le sezioni deiconduttori, queste sono anche le intersezioni dei conduttori stessi con una superficie checontiene interamente il nodo. Si ha

k k

kkS

kS

JdividSnJdSnJk

00

Leggi di KirchhoffLeggi di Kirchhoff

Si definisce maglia una poligonale chiusa di rami circuitali

R1

R2

R3+ -

+-

R4

R5

f4

f5

II Legge di Kirchhoff: Stabilito un verso arbitrario di circuitazione in una maglia, la sommaDi tutte le cadute di tensione eguaglia la somma di tutte le f.e.m. prese col loro segno(positivo se il verso della circuitazione attraversa il generatore dal negativo verso il positivo)

È una ovvia conseguenza del principio di conservazione della energia:tutto il lavoro compiutodai generatori deve servire a far percorrere alle cariche le linee di flusso (chiuse) del vettore J

L’uso congiunto delle leggi di Kirchhoff consente di risolvere (calcolare le correnti chescorrono in tutti i rami di un circuito) il circuito. Con esse si può impostare la teoria deicircuiti (primo capitolo di Elettrotecnica ed Elettronica)

Resistenze in serie R1 R2A B C

Le cadute di tensione fra A e B e fra B e C dipendono dalle resistenze ed eguaglianoin somma la tensione applicata

kkeq

eqBCABBCAB

RR

IRIRRVVf;IRV;IRV 2121

Collegamenti di resistenzeCollegamenti di resistenze

Resistenze in parallelo

R1

R2

A B

Ai nodi la corrente si divide in due parti mentre entrambe le resistenze sono sottopostealla stessa tensione

k keqeq

ABABAB

RR;

R

V

R

V

R

VI

11

21

L’inverso della resistenza si chiama conduttanza

A titolo di esempio analizziamo il seguente complicato circuito costituito da

Rc

Re

Ra

Rb

fa

fd

Rf

Rd

IbId Ic

Ia

If Ie

I2 I3

I1

V1

V3V2

V4

Sei rami percorsi dalle correnti (incognite) Ia, Ib, Ic, Id, Ie, If

Tre maglie percorse dalle correnti I1, I2, I3

Quattro nodi che si troveranno ai potenziali V1,V2,V3 e V4, che è nullo (posto a massa)

Le maglie sono sempre N-1, con N numero dei nodi

Teoria dei circuitiTeoria dei circuiti

Analisi per rami

Se appichiamo le leggi di Kirchhoff otteniamo le seguenti 2(N-1) equazioni in 2(N-1) incognite

Rc

Re

Ra

Rb

fa

fd

Rf

Rd

IbId Ic

Ia

If Ie

V1

V3V2

V4

deeddcc

dffddbb

aeeffaa

fRIRIRI

fRIRIRI

fRIRIRI

Maglia 1

Maglia 2

Maglia 3

Legge delle maglie

0

0

0

0

fed

aec

fab

cdb

III

III

III

III

(Ottenibile come somma delle prime 3)

Legge dei nodi

Nodo 1

Nodo 2

Nodo 3

(Nodo 4)

Troppo lavoro!!

Rc

Re

Ra

Rb

fa

fd

Rf

Rd

IbId Ic

Ia

If Ie

I2 I3

I1

V1

V3V2

V4

Analisi per maglie

Il lavoro si semplifica un po’ osservando che in termini delle correnti di maglia

3

2

1

II

II

II

c

b

a

Rami esterni Rami interni (comuni a più maglie)

21

13

32

III

III

III

f

e

d

dedc

dfdb

aefa

fRIIRIIRI

fRIIRIIRI

fRIIRIIRI

13323

21322

13211

Legge delle maglie

Sistema di 3 equazioni in 3 incognite

Analisi per nodi

Rc

Re

Ra

Rb

fa

fd

Rf

Rd

IbId Ic

Ia

If Ie

I2 I3

I1

V1

V3V2

V4

Osservando che la corrente scorre da un nodo verso l’altro perché i nodi si trovanoa potenziali diversi

0

0

0

23133

32122

31211

a

a

ce

a

a

bf

cbd

d

R

fVV

R

VV

R

VR

fVV

R

VV

R

VR

VV

R

VV

R

fV

Trovati i potenziali dei nodi le correnti sono immediatamente trovate

Consideriamo il seguente circuito

Supponiamo che il problema sia determinare la corrente che scorre nella resistenza R2

R2

R3

R1

f1 f2

V

Con l’analisi per nodi133221

12213

2

2

1

1

3

0RRRRRR

RfRfRV;

R

fV

R

fV

R

V

Da cui2

22 R

fVI

Circuiti equivalentiCircuiti equivalenti

L’esercizio era semplicissimo, tuttavia se avessimo potuto trasformare il circuito assegnatoin un circuito solo serie (o solo parallelo) sarebbe stato molto più semplice

R2

f2

R3

R1

f1

R2

f2

Rx

fx

Rx

fxR3

R1

f1

??

22 RR

ffII

x

dx

Morsetti

Ci viene in aiuto il teorema di Thevenin: Una qualunque rete lineare può essere sempresostituita da una forza elettromotrice con in serie una resistenza.

In sostanza, individuati due morsetti, basta misurare la tensione ai capi e la resistenza fraessi, che ci si può dimenticare tutta la rete complicata che porta ai morsetti. Per esempio,collegando un apparecchio alla presa di corrente non è necessario risolvere il complicatissimoproblema della rete elettrica: basta sapere che tensione c’è ai morsetti e la resistenza internadel generatore equivalente rappresentato dalla presa

Nel nostro caso la resistenza Rx è proprio la resistenza che si vede dai morsetti, cioè il parallelodi R1 e R3:

31

31

RR

RRRx

La forza elettromotrice fx è invece data semplicemente dalla tensione ai capi di R3, cioèdalla f1 ridotta della caduta di tensione ai capi di R1

31

3111

31

1

RR

RfIRff;

RR

fI x

Da cui, guardando il circuito equivalente,2

22 RR

ffI

x

x

Risultato equivalente a quello ottenuto precedentemente (provare per credere)

Il Ponte di Wheatstone è il circuito in figura

f GB A

R2R1

R4R3

R5

G è un galvanometro (misuratore di corrente o di sbilanci di corrente).Vogliamo calcolare che corrente passa nella resistenza R5

È possibile ridisegnare il circuito ed individuare due morsetti nel tratto AB

G

A

B

f

R1

R2

R3

R4 R5

A

B

f

R1

R2

R3

R4

Proseguiamo col teorema di Thevenin

Il Ponte di WheatstoneIl Ponte di Wheatstone

A circuito aperto nelle due maglie scorrono le correnti I e I’:

A

B

f

R1

R2

R3

R4

I

I’Queste sono date da

4231 RR

fI;

RR

fI

La caduta di potenziale fra A e B è quindi

412

2

31

121 RR

R

RR

RfRIIRVf ABTh

La resistenza di Thevenin è invece data cortocircuitando (cioè sostituendola con un contattoelettrico) la batteria

A

B

R1

R2

R3

R4

A

B

R1

R2

R3

R4

13

13

24

24

RR

RR

RR

RRRTh

Abbiamo ridotto quindi il circuito al semplicissimo circuito serie:

R5RTh

fTh G

In tale circuito non passerà corrente solo se fTh sarà nulla cioè solo se le due correnti dimaglia I ed I’ saranno uguali ed opposte. Il Ponte di Wheatston è quindi un sensibilestrumento per rivelare differenze di correnti elettriche o per misurare resistenze elettricheincognite (note 3 resistenze del ponte)