Corso di GEOTECNICA PIANI E TENSIONI PRINCIPALI Docente: …geotecnica.dicea.unifi.it/less_res_13_14.pdf · 2013. 11. 6. · la tensione tangenziale limite di rottura in un generico

PIANI E TENSIONI PRINCIPALIPIANI E TENSIONI PRINCIPALI

Preso un punto P all’interno di un corpo continuo,

le tensioni sui possibili elementi superficiali infinitesimi passanti per P (tensione risultante e

relative componenti normale e tangenziale sull’elemento superficiale considerato) variano in

generale da elemento a elemento.

Si può dimostrare che nella stella di piani

passanti per P esistono almeno 3 piani, ortogonali fra loro, su cui agiscono

esclusivamente tensioni normali. Questi 3 piani sono detti principali; le tensioni che agiscono su di essi sono dette tensioni principali

1

= tensione principale maggiore (agisce sul piano principale maggiore 1

)

2

= tensione principale intermedia (agisce sul piano principale intermedio 2

)

3

= tensione principale minore (agisce sul piano principale minore 3

)

P

1

1

1

2

2

2

3

3

3

Corso di GEOTECNICA

Docente: Giovanni Vannucchi

Piani

e tensioni principali1

STATI TENSIONALISTATI TENSIONALI

1

= 2

= 3

STATO TENSIONALE ISOTROPO

tutti i piani della stella sono principali e la tensione (isotropa)

è eguale in tutte le direzioni. (tensione isotropa)

i

= j

k

STATO TENSIONALE ASSIAL‐SIMMETRICO

esiste un fascio di piani principali (che ha per asse la

k

) sui quali agiscono tensioni uguali (i

= j

) e un piano principale ad essi ortogonale (sul quale agisce la

k

)

Corso di GEOTECNICA


Stati

tensionali2

Poiché

gli

stati

tensionali

critici

per

i

terreni

interessano,

nella

maggior

parte

dei

problemi pratici, piani ortogonali

al

piano

principale intermedio,

ovvero

appartenenti

al

fascio

avente

per

asse

la

direzione

della

tensione

principale

intermedia

2

,

è

possibile

ignorare

il

valore

e

gli

effetti

della

tensione

principale

intermedia

e

riferirsi

ad un sistema piano di tensioni

STATO TENSIONALE PIANO

CONVENZIONE SEGNI:

positiva se di

compressione;

positiva

se produce rotazione anti orariarispetto ad un punto mediatamente esterno al piano di giacitura

positivo in senso antiorario

Piano principale maggiore,

Piano principale minore

Piano

P3

3

11

1

3

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Stato

tensionale piano 3

Piano principale maggiore,

Piano principale minore

Piano

P3

3

11

1

3

Si

consideri,

nell’intorno

del

punto

P,

un

elemento

prismatico

triangolare

di spessore

unitario

e

lati

di

dimensioni

infinitesime,

disposti

parallelamente

ai

due piani principali, 1

e 3

, e ad un generico piano

passante per P inclinato di

rispetto a 1

.

CERCHIO DI MOHRCorso di GEOTECNICA


Cerchio

di Mohr 4

re,

3

1

1

2313

31 22

cos

sin

Dall’equilibrio alla traslazione

dell’elemento prismatico nelle direzioni di 1

e 3

:

Equazione di un cerchio nel piano (, )

0sindlcosdlcosdl0cosdlsindlsindl

1

3

Riportando in un sistema di assi cartesiani ortogonali

(piano di Mohr) le tensioni normali, , lungo l’asse X e le tensioni tangenziali, , lungo l’asse Y, al variare di , si

ottiene un cerchio (cerchio

di Mohr) con:

RAGGIO: CENTRO :R = (1

–

3

)/2 C

[(1

+ 3

)/2; 0]

che rappresenta il luogo geometrico delle condizioni di tensione su tutti i piani del

fascio.

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5Cerchio

di Mohr

O C

3

1

A B

D

E

Y

X

Se si assume il piano principale maggiore 1

come

riferimento per individuare l’orientazione dei piani del fascio (la cui traccia è

l’asse X)

A (3

,0)

rappresenta il polo

Se si assume il piano principale minore 3

come

riferimento per individuare l’orientazione dei piani del fascio (e la cui traccia coincide con l’asse X), il

polo coincide con B (1

,0)

Def. Si definisce polo

o origine dei piani il punto tale che qualunque retta uscente da

esso interseca il cerchio in un punto le cui coordinate rappresentano lo stato tensionale agente sul piano che ha per traccia la retta considerata.

OSS. L’angolo di inclinazione

tra due piani (BÂD) è

metà

dell’angolo al centro del

cerchio di Mohr

che sottende i punti rappresentativi delle tensioni agenti sui due piani

(BĈD).

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6Cerchio

di Mohr

RESISTENZA AL TAGLIORESISTENZA AL TAGLIO

Per le verifiche di resistenza

delle opere geotecniche è

necessario valutare quali sono gli

stati di tensione massimi sopportabili dal terreno in condizioni di incipiente rottura.

Nella Meccanica dei Terreni

si parla di resistenza al taglio, perché

nei terreni, essendo

di natura particellare, le deformazioni (e la rottura) avvengono principalmente per scorrimento relativo fra i grani.

La resistenza al taglio di un terreno in una direzione

è la massima tensione tangenziale,

f

, che può essere applicata al terreno, in quella direzione, prima che si verifichi la

“rottura”.

La rottura

(ovvero quella condizione cui corrispondono deformazioni inaccettabilmente

elevate):

può essere improvvisa e definitiva, con perdita totale di resistenza (come avviene generalmente per gli ammassi rocciosi)

oppure può avere luogo dopo grandi deformazioni plastiche, senza completa perdita di resistenza (come si verifica spesso nei terreni)

Corso di GEOTECNICA


Resistenza al taglio 7

In linea teorica

se si utilizzasse per l’analisi delle condizioni di equilibrio e di rottura dei terreni un modello discreto, costituito da un insieme di particelle a

contatto, si dovrebbero valutare le azioni mutue intergranulari (normali e tangenziali alle superfici di contatto) e confrontarle con i valori limite di

equilibrio. Tale approccio, allo stato attuale e per i terreni reali, non è applicabile.

In pratica

si utilizza un modello continuo, costituito, nell’ipotesi di terreno saturo, dalla sovrapposizione nello stesso spazio di un continuo

solido

corrispondente alle particelle di terreno, ed un continuo fluido, corrispondente all’acqua che occupa i vuoti interparticellari.

OSS: l’hp di mezzo continuo è

accettabile anche perché

la dimensione caratteristica dei fenomeni di interesse pratico è molto maggiore di quella

della microstruttura, ovvero dei grani e dei pori.

Corso di GEOTECNICA



Le tensioni che interessano il continuo solido sono le tensioni efficaci, definite dalla differenza tra le tensioni totali e le pressioni interstiziali (I parte del principio delle tensioni efficaci):

’ =

‐

u

La resistenza al taglio dei terreni è legata alle tensioni efficaci (II parte del principio delle tensioni efficaci):

f

= f (’ )

“Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio

è

attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci”

Corso di GEOTECNICA



CRITERIO DI MOHRCRITERIO DI MOHR‐‐COULOMBCOULOMB

Il più

semplice ed utilizzato criterio di rottura per i terreni, è il criterio di Mohr‐Coulomb

(‐Terzaghi):

ʹtanʹʹcʹtanuʹc f,nf

la tensione tangenziale limite di rottura in un generico punto P su una superficie di scorrimento potenziale interna al terreno è data dalla somma

di due termini:

il primo, detto coesione

(c’), è

indipendente dalla tensione efficace (’) agente nel punto P in direzione normale alla superficie

il secondo è

proporzionale a ’ mediante un coefficiente d’attrito tan’. L’angolo

’

è

detto angolo di resistenza al taglio.

Corso di GEOTECNICA


Criterio

di Mohr‐Coulomb 10

Nel

piano

di

Mohr

il

criterio

di

rottura

di

Mohr‐Coulomb

è

descritto

da

una retta,

detta

retta

inviluppo

di

rottura,

che

separa

gli

stati

tensionali

possibili

da quelli privi di significato fisico in quanto incompatibili con la resistenza del materiale.

ʹtanʹʹc f,nf

’

c’

’STATI TENSIONALI

IMPOSSIBILI

STATI TENSIONALI POSSIBILI

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11Criterio

di Mohr‐Coulomb

Un cerchio di Mohr

tutto al di sotto

della retta inviluppo di rottura indica che la condizione di

rottura non è

raggiunta

su nessuno dei piani passanti per il punto considerato, mentre non sono

fisicamente possibili

le situazioni in cui il cerchio di Mohr

interseca

l’inviluppo di rottura.

c’f

’

’

inviluppo di rottura

rottura

no rottura

Impossibile

1,f’

O3,f

n,f

’’

Se

nel

punto

P

si

verifica

la

rottura,

lo

stato

di

tensione

corrispondente (supposto

per

semplicità

piano)

sarà

rappresentato

nel

piano

’

da

un

cerchio di Mohr

tangente

all’inviluppo di rottura

stato tensionale relativo al punto P in cui si verifica la rottura

Corso di GEOTECNICA


12Criterio

di Mohr‐Coulomb

(Nel punto P) l’inclinazione del piano di rottura

(sul quale agiscono la tensione efficace normale ’n,f

e la tensione tangenziale f

) rispetto al piano principale maggiore (sul quale agisce ’1,f

) è pari a: f

= /4 + ’/2

Oc’

D

3,f

n,f

ff

f

’’’

’

’/2

A

inviluppo di rotturatraccia del pianodi rottura

F C B

1,f’

f f1

3‘f

‘,f

‘n,,ff

Corso di GEOTECNICA


13Criterio

di Mohr‐Coulomb

OSSERVAZIONI

I. Il criterio di rottura di Mohr‐Coulomb

non dipende dalla tensione principale intermedia, ’2,f

c’3,f

2,f

’’

’

C B

’’

1,f

Corso di GEOTECNICA


14Criterio

di Mohr‐Coulomb

Oc’

D E

3,f

fmax

f

’’’

’

’/2

A

inviluppo di rotturatraccia del pianodi rottura

F C B

1,f’n,f

II.

La

tensione f

non

è il

valore

massimo

della

tensione

tangenziale,

che

è invece pari al raggio del cerchio di Mohr:

'3'1max 21

ed agisce (E) su un piano ruotato di /4 rispetto al piano principale maggiore (e quindi di ’/2

rispetto al piano di rottura)

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15Criterio

di Mohr‐Coulomb

III. I parametri di resistenza al taglio c’

e tan’

non sono caratteristiche fisiche del terreno, ma sono funzione di molti fattori (storia tensionale,

indice dei vuoti, tipo di struttura, composizione granulometrica, etc.).

IV. L’inviluppo a rottura può presentare c’

= 0.

V. L’inviluppo di rottura reale non è

necessariamente una retta

(anzi, è marcatamente curvilineo in prossimità

dell’origine degli assi); spesso

tale approssimazione è

accettabile solo in un campo limitato di tensioni.

Corso di GEOTECNICA


16Criterio

di Mohr‐Coulomb

Corso di GEOTECNICA


17

VI. Come conseguenza del principio delle tensioni efficaci:

‐

per i terreni a grana fine

(consolidazione):

‐

per i terreni a grana grossa

(nei quali a variazioni di tensione totale corrispondono immediatamente analoghe variazioni di tensione efficace)

la

resistenza al taglio, e quindi le condizioni di stabilità, non variano nel tempo dopo l’applicazione del carico.

a. se le tensioni efficaci crescono (es. rilevato), anche la resistenza al taglio cresce e le condizioni di stabilità

più

critiche sono a breve termine,

b. se le tensioni efficaci decrescono (es. scavo) anche la resistenza al taglio decresce e le condizioni di stabilità

più

critiche sono a lungo termine

Criterio

di Mohr‐Coulomb

Corso di GEOTECNICA


18Resistenza al taglio

Si Si

Si supponga di deformare progressivamente a taglio semplice con tensione normale (verticale) costante z

un campione A di sabbia sciolta o di argilla normalmente consolidata o debolmente sovraconsolidata (OCR ≤

2), ed un

campione B della stessa sabbia ma addensata o della stessa argilla ma fortemente sovraconsolidata (OCR > 2)

H0

X

Z

x

z

x

z

Compressione

X

Z

xz

x

z

Espansione

Campione A Campione B

Poiché

in condizioni di deformazione di taglio semplice le deformazioni orizzontali sono nulle (x

= y

= 0), la deformazione volumetrica coincide con la deformazione verticale. (v

= z

= z/H0

). La deformazione di taglio è la distorsione angolare

zx

= x/H0

.

Corso di GEOTECNICA



zx

cs

p picco

stato critico

Campione A

Campione B

zx

v

Campione A

Campione Bvzx

co

mpr

essio

nees

pans

ione

zx

v

zx

v

dd

tan

a)

b)

zx

e

Campione A

Campione B

c)

indice dei vuoti criticoecs

Per un assegnato valore della tensione normale z

Corso di GEOTECNICA



Il campione A

(sabbia sciolta o argilla normalmente consolidata o debolmente

sovraconsolidata (OCR ≤

2)) al crescere della deformazione di taglio mostra un

graduale incremento della tensione di taglio fino a stabilizzarsi su un valore cs

, detto

di stato critico, e una progressiva riduzione di volume (le deformazioni v

sono positive

in compressione) fino a stabilizzarsi su un valore costante per grandi deformazioni. Conseguentemente l’indice dei vuoti, ovvero lo stato di addensamento, si riduce

progressivamente dal valore iniziale fino a stabilizzarsi per grandi deformazioni su un valore costante ecs

detto di stato critico.

Il campione B

(sabbia addensata o argilla fortemente sovraconsolidata (OCR > 2)) al

crescere della deformazione di taglio mostra inizialmente un rapido incremento della tensione di taglio fino a raggiungere un valore di picco, p

, per deformazioni ancora

relativamente piccole, poi un decremento progressivo fino a stabilizzarsi sul valore critico cs

, poco superiore o eguale al corrispondente valore critico del campione A. La

deformazione volumetrica al crescere della deformazione di taglio è

inizialmente di

compressione (riduzione di volume) ma poi si inverte di segno e diviene negativa, ovvero di espansione, con aumento di volume e di indice dei vuoti fino al valore critico

ecs

.

Corso di GEOTECNICA



La condizione di stato critico

(cs

, ecs

), caratterizzata da tensione di taglio e volume costanti al crescere della deformazione di taglio, è

comune ai due

campioni A e B, ovvero è

indipendente dallo stato iniziale.

Al crescere della tensione z

i campioni di tipo A (sabbia sciolta o argilla normalmente consolidata o debolmente sovraconsolidata (OCR ≤

2)

mostrano un progressivo incremento della tensione massima di stato critico e della deformazione volumetrica di compressione.

Al crescere della tensione z

i campioni di tipo B (sabbia addensata o argilla fortemente sovraconsolidata (OCR > 2) mostrano un picco di resistenza

sempre meno accentuato, fino a scomparire per sufficientemente elevati valori di z

, un incremento della tensione di stato critico e una riduzione del comportamento dilatante

Corso di GEOTECNICA



incremento della tensione normale efficace z

zx


tipi campione A

tipi campione B

zx

v

co

mpr

essio

nees

pans

ione

b)

zx

e

d)

(ecs)1

a)

123

4

5

6

7

89

tipi campione A


tipi campione B

(ecs)2

tipi campione B

tipi campione A

z

tipi campione A

tipi campione Bc)

1 23

4

5

6

7

8

9

'cs

Riportando in grafico nel piano di Mohr

i punti corrispondenti allo stato critico dei

campioni di tipo A e B ed ai picchi di resistenza dei campioni di tipo B si osserva che i punti corrispondenti allo stato critico sono ben allineati su un’unica retta passante per

l’origine, mentre i punti corrispondenti alla resistenza di picco definiscono una linea curva con concavità

verso il basso che termina sulla linea retta precedentemente

individuata.

Corso di GEOTECNICA



Per i campioni di tipo B, al crescere del rapporto di

sovraconsolidazione OCR, a parità

di tensione normale z

, il picco di resistenza e il

fenomeno della dilatanza sono più

accentuati.

zx

(OCR)2

zx

v

co

mpr

essio

nees

pans

ione

b)

a)

(OCR)1(OCR)2 > (OCR)1

(OCR)1

(OCR)2

Corso di GEOTECNICA



I risultati ottenuti sono interpretabili alla luce della legge dell’attrito di Coulomb, opportunamente adattata.

Si consideri un blocco (ad es. un mattone) appoggiato su un piano orizzontale e soggetto al peso proprio W e ad una forza orizzontale,

progressivamente crescente.

W

H

RN = W

T = H

'

A

Per la legge dell’attrito di Coulomb, la forza H per la quale il blocco inizia a

muoversi è:

H =

W

f

= H/A

(’n

)f

= W/A

= tan’

ff

= (= (’’

nn

))

ff

tantan’’

La legge dell’attrito di Coulomb richiede che sia definito il piano di scorrimento, che

nell’esempio coincide con il piano

orizzontale di appoggio del blocco.

Corso di GEOTECNICA



La legge dell’attrito di Coulomb può essere estesa al comportamento dei terreni, che sono mezzi particellari con resistenza di tipo attritivo, ma per i

terreni la superficie di scorrimento non è

definita.

a a

Fila 2

Fila 1

Fila 2

Fila 1

T

T

- V/V

N

N

Aumento di volume (dilatanza) in un mezzo

particellare ideale

Piano di scorrimento incipiente: a) orizzontale b) inclinato

Corso di GEOTECNICA



Per il caso delle sfere nello stato addensato (piano di scorrimento incipiente inclinato) vi è

analogia con il blocco spinto su un piano inclinato.

Fx

= 0 H – N sen

–

N cos

= 0

Fz

= 0 N cos

–

N sen

‐

W = 0

e risolvendo per H e W si ottiene:

H = N (sen

+

cos)

W = N (cos

‐

sena)

tanʹtan1tanʹtan

tan1tan

sencoscossen

WH

' R

W

TN

H

Corso di GEOTECNICA



Per analogia, nel caso delle sfere e passando dalle forze alle tensioni, si ha:

ʹtantanʹtan1tanʹtan ʹ

nʹnf

' n

'

O

B

C

2 1

A

p )1

p )2

inviluppo a rottura di Coulomb lineare

inviluppo a rottura di Coulomb curvilineo per la dilatanza

Il rigonfiamento è

ostacolato dalla tensione normale ’n

e si riduce al crescere di essa. A

parità

di stato di addensamento iniziale, il valore dell’angolo di

dilatanza

diminuisce al crescere della tensione normale

’n

. Ciò spiega la curvatura dell’inviluppo di resistenza di

picco per terreni addensati (sabbie) o fortemente

sovraconsolidati (argille).

CRITERIO DI TRESCACRITERIO DI TRESCA

Qualora il terreno pervenga a rottura in condizioni non drenate

(in genere nei terreni

coesivi e quando la velocità

di applicazione del carico è tale da impedire lo

smaltimento delle sovrappressioni interstiziali) e quando non è nota l’entità

delle

sovrappressioni u, la resistenza al taglio

può essere determinata ed espressa solo in

termini di tensioni totali, secondo il criterio di Tresca:

uf c

Nel piano di Mohr

il criterio di Tresca è descritto da una retta orizzontale (u

= 0), che

inviluppa i cerchi di rottura espressi in termini di tensioni totali:

)0(c uuf

cu

dove cu

è la resistenza al taglio non drenata.

Corso di GEOTECNICA


Criterio

di Tresca 28

COEFFICIENTI DI SKEMPTONCOEFFICIENTI DI SKEMPTON

IPOTESI: Elemento di terreno poco permeabile, saturo e sotto falda all’interno di un deposito omogeneo con superficie del piano campagna

orizzontale

u/w

STATO TENSIONALE: assial‐simmetrico (le tensioni geostatiche verticale e orizzontali sono tensioni principali e le tensioni principali orizzontali sono tra

loro uguali; cioè

1

= v

e 2

= 3

= h

, con v

> h

).

CONDIZIONI DI

CARICO E DI

FALDA: nessun carico applicato e condizioni idrostatiche

Corso di GEOTECNICA


Coefficienti

di Skempton 29

Coefficienti di Skempton

Si applica, in modo istantaneo

in superficie, un carico (infinitamente esteso in direzione

orizzontale),

che

produce

istantaneamente,

nell’elemento

di

terreno

considerato,

un

incremento

assial‐simmetrico

dello

stato

tensionale

totale

(1

e

2

=

3

)

e

un

incremento

della

pressione

interstiziale

(u),

che

possono

essere

scomposti

(nell’hp

1

> 3

) in:

=

u/ w

u /b w

+ u /a w

incremento

delle

tensioni

isotropo,

cioè

eguale

in

tutte

le

direzioni,

di intensità

3

(con incremento di pressione interstiziale ub

)

incremento

deviatorico,

agente

solo

in

direzione

verticale,

di

intensità

(1

–

3

)

(con incremento di pressione interstiziale ua

)

u = ua

+ ub

Corso di GEOTECNICA


30Coefficienti

di Skempton

Si definiscono coefficienti di Skempton

i rapporti:

3

bu

B)( 31

a

uA

BAA

e complessivamente l’incremento di pressione interstiziale

conseguente all’applicazione del carico risulta:

313 ABu

313 ABu oppure:

Tali coefficienti possono essere determinati in laboratorio

con prove triassiali consolidate non drenate.

Corso di GEOTECNICA


31Coefficienti

di Skempton

Il coefficiente B dipende dal grado di saturazione

del terreno

a) terreno saturo

(Sr

= 1): un incremento di tensione totale isotropa in condizioni non drenate non produce alcuna deformazione in base al principio delle tensioni efficaci, non produce neppure variazioni di

tensione efficace (’ = 0)

0Grado di saturazione, Sr

Coe

ffici

ente

B d

i Ske

mpt

on

00.2

0.2

0.4 0.6 0.8 1.0

0.4

0.6

0.8

1.0

= ’ + u = u 1

uB

b) terreno asciutto

(Sr

= 0): un incremento di tensione totale isotropa non produce

variazioni delle pressioni interstiziali (u = 0):

= ’ + u = ’ 0

uB

c) terreno insaturo

(0

COEFFICIENTE A DI

SKEMPTON:

Nell’ipotesi di terreno saturo, in condizioni non drenate, il coefficiente A non è

unico per lo stesso terreno, ma dipende (a differenza di B, sempre

uguale a 1) dall’incremento di tensione deviatorica

(1

–

3

) e dallo stato tensionale iniziale.

f31

fff )(

uAA

1Grado di sovraconsolidazione, OCR

Coe

ffici

ente

A

di S

kem

pton

-0.52 3 8 10 20

0

0.5

1.0

4 6

f

Af

dipende da numerosi fattori tra cui OCR;

‐

per argille NC varia di norma tra 0.5 e 1‐

per argille fortemente OC è negativo.

valore a rottura:

Corso di GEOTECNICA


33Coefficienti

di Skempton

TIPO DI

TERRENO:

campioni ricostituiti di materiali sabbiosi;

campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine.

La dimensione massima dei grani di terreno deve essere almeno 6 volte inferiore all’altezza del provino.

PROVA DI TAGLIO DIRETTOPROVA DI TAGLIO DIRETTO

SCOPO DELLA PROVA: determinare le caratteristiche di

resistenza al taglio

del terreno

Corso di GEOTECNICA


Prova di taglio diretto 34

Il provino è inserito in un telaio metallico

diviso orizzontalmente in 2 parti uguali; è racchiuso tra due piastre metalliche forate

e nervate, carta filtro e pietre porose.

Telaio

Pietreporose

Capitello

Il tutto è posto in una scatola metallica

piena d’acqua

che può scorrere a velocità

prefissata

su un binario trascinando la

parte inferiore del telaio; la parte superiore è bloccata da un contrasto

collegato ad un dinamometro per la misura delle forze orizzontali.

Sulla testa del provino si trova un

capitello che consente di trasformare un carico verticale in pressione uniforme.

Provino

ATTREZZATURA: il provino è un prisma a sezione quadrata (lato = 60100 mm >> altezza = 2040 mm per velocizzare il processo di consolidazione e ridurre l’attrito laterale)

Corso di GEOTECNICA


35Prova di taglio diretto

PROCEDURA DI

PROVA

(la prova è eseguita su almeno 3 provini):

I. fase di consolidazione

È

applicata in modo istantaneo e mantenuta costante nel tempo (in

genere 24h) una forza

verticale N

che dà

inizio ad un processo di consolidazione edometrica

(essendo il provino

saturo confinato lateralmente)

Si misurano gli abbassamenti del provino

, H, nel tempo, controllando in tal modo il

processo di consolidazione e quindi il raggiungimento della pressione verticale efficace media:

(A = area trasversale del provino)AN

n '

II. fase di taglio

Si fa avvenire lo scorrimento orizzontale

(prova a deformazione controllata) della parte

inferiore della scatola a velocità

costante

(2∙10‐2mm/s per sabbie; 10‐4

mm/s per argille)

molto bassa

(per evitare l’insorgere di sovrappressioni interstiziali non misurabili)

producendo quindi il taglio del provino nel piano orizzontale medio (in condizioni drenate).

Si controlla lo spostamento orizzontale relativo d

e si misurano la forza orizzontale T(t), che si sviluppa per contrastare lo scorrimento, e le variazioni di altezza del provino.

Corso di GEOTECNICA



T

Tf

rf

Tf

INTERPRETAZIONE DELLA PROVA:

a) I parametri di consolidazione

(es. cV

) del terreno, limitatamente al carico N applicato

(e alla pressione di consolidazione raggiunta, ’), sulla base dei quali può essere tarata la velocità

di scorrimento nella fase successiva.

A partire dalle misure effettuate, durante la prova, di:

H (t) durante la fase di consolidazione edometrica

(t), T(t) e H(t) durante la fase di taglio

si possono ricavare:

b) Si determina la forza resistente di

picco

Tf

oppure, quando non si possa

individuare chiaramente un valore di picco della resistenza, la forza T

corrispondente ad un prefissato spostamento, r

(pari al 20% del lato

del provino) a partire dalle misure di T(t) diagrammate rispetto allo

scorrimento

Corso di GEOTECNICA



c) La tensione normale e di taglio che agiscono sul piano di rottura (orizzontale) sono

rispettivamente:

AN'

n'

f,n A

T ff

(coordinate di un punto del piano di Mohr

appartenente alla linea di inviluppo a rottura)

Ripetendo la prova con differenti valori di N

(almeno 3, scelti tenendo conto della

tensione verticale efficace geostatica) si ottengono i punti sperimentali che sul piano di Mohr

permettono di tracciare la linea di inviluppo a rottura:

'tan'' cf e determinare c’

e ’

3f

'3n

'2n

'1n

2f

1f

Spostamento,

'

'

'3n '2n'1n

c'

Corso di GEOTECNICA



All’inizio della fase di taglio (fine consolidazione) lo stato tensionale è di tipo geostatico (assial‐simmetrico con piani orizzontale e verticale principali);

a rottura il piano orizzontale e verticale non sono più

piani principali.

STATO TENSIONALE:

a

e b

= inclinazione dei p.p. minore e maggiore

rispetto all’orizzontale

Spostamento,

f

1,03,0

’n c’

’’’ ’K n0 == ’’ ’

n3f

1f

POLO

Stato tensionale iniziale

Tensione sul piano

di rottura

Stato tensionale a rottura

‘

Corso di GEOTECNICA



1. l’area A del provino varia

(diminuisce) durante la fase di taglio (per cui bisogna tenerne conto nel calcolo delle tensioni a rottura, ’n,f

e f

)

2. la pressione interstiziale non può essere controllata

(se si generano sovrappressioni non possono essere quantificate)

3. non sono determinabili i parametri di deformabilità

4. la superficie di taglio è

predeterminata

e, se il provino non è omogeneo, può non essere la superficie di resistenza minima

LIMITI DELLA PROVA DI

TAGLIO DIRETTO :

Corso di GEOTECNICA



TIPO DI

TERRENO: può essere eseguita su campioni ricostituiti di materiali sabbiosi

e su

campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine.

SCOPO DELLA PROVA: determinare le caratteristiche di resistenza al taglio

e di rigidezza

del terreno.

MODALITÀ

DI

PROVA:

la prova in modalità

standard

si esegue a

compressione su provini saturi, consolidati o meno,

in condizioni drenate o non drenate, a deformazione

controllata (altre modalità di prova prevedono, ad

esempio, differenti percorsi di carico o provini non

saturi).

PROVE TRIASSIALI STANDARDPROVE TRIASSIALI STANDARDCorso di GEOTECNICA


Prove triassiali 41

FORMA E DIMENSIONE DEI PROVINI: i provini di terreno hanno forma cilindrica

con rapporto

altezza/diametro generalmente compreso tra 2 e 2.5. Il diametro è di norma 38 o 50mm

(e

deve essere almeno 10

volte maggiore della dimensione massima dei grani).

STATO TENSIONALE: è di tipo assial‐ simmetrico e rimane tale durante tutte

le fasi della prova, quindi le tensioni principali agiscono sempre lungo le

direzioni assiale e radiali del provino

1

= a

2

= 3

= r

Corso di GEOTECNICA


42Prove triassiali

Carico assiale

Misuratore delcarico assiale

Misuratore deglispostamenti verticali

Misuratore delVolume d’acqua

scambiato

Provino

Misuratore dellaPressione di cella

Misuratore dellapressione interstiziale

APPARECCHIATURA: si compone di una cella,

interamente riempita d’acqua, messa in pressione,

che consente di trasmettere al provino, contenuto al suo interno, una pressione

isotropa

(misurabile).

Corso di GEOTECNICA


43Prove triassiali

Carico assiale




scambiato

Provino



Il provino, appoggiato su un piedistallo rigido, riceve il

carico assiale (misurabile) tramite una piastra di carico

di

contrasto ed è isolato dall’acqua contenuta nel

cilindro tramite una membrana che lo avvolge

lateralmente, mentre un circuito di drenaggio

regola il

flusso d’acqua (in entrata o in uscita) nella sola direzione

verticale e consente di misurare, quando è aperto, il

volume d’acqua in uscita, quando è

chiuso, la pressione

interstiziale interna.

Corso di GEOTECNICA


44Prove triassiali

Carico assiale




scambiato

Provino



Il piedistallo su cui appoggia il provino, avanza, mediante

una pressa, con una velocità costante (con la possibilità

di

misurare gli abbassamenti).

Corso di GEOTECNICA


45Prove triassiali

Particolare della cella triassialeCorso di GEOTECNICA


46Prove triassiali

Con l’apparecchio triassiale standard è

quindi possibile:

esercitare una pressione totale isotropa

sul provino tramite l’acqua di cella;

fare avvenire e controllare la consolidazione isotropa del provino misurandone le

variazioni di volume

(= quantità

di acqua espulsa dai tubi di drenaggio);

deformare assialmente il provino a velocità

costante

fino ed oltre la rottura

misurando la forza assiale di reazione corrispondente;

controllare (e misurare) le deformazioni assiali del provino

(tramite la velocità

di

avanzamento della pressa) durante la compressione assiale;

misurare il volume di acqua espulso o assorbito dal provino

durante la

compressione assiale a drenaggi aperti;

misurare la pressione dell’acqua nei condotti di drenaggio

(assunta uguale alla

pressione interstiziale, supposta uniforme, nei pori del provino) durante la compressione a

drenaggi chiusi;

mettere in pressione l’acqua nei condotti di drenaggio, creando una egualepressione interstiziale nel provino (contropressione o back pressure)

Corso di GEOTECNICA


47Prove triassiali

TIPI DI

PROVA:

Le prove triassiali

standard

sono condotte secondo tre modalità

:

prova triassiale consolidata isotropicamente

drenata

(TxCID),

prova triassiale consolidata isotropicamente

non drenata

(TxCIU),

prova triassiale non consolidata non drenata

(TxUU).

e i risultati vengono interpretati ipotizzando un comportamento deformativo isotropo del terreno.

Corso di GEOTECNICA


48Prove triassiali

Per tutti e tre i tipi di prova, il provino è saturato mediante l’applicazione (per un

certo tempo) di una tensione isotropa di cella c,s

e di una poco minore contropressione (back‐pressure, b.p.)

dell’acqua interstiziale u0

(per non avere consolidazione e variazione di tensione

efficace).

FASE DI

SATURAZIONE

(fase 0)

Per verificare l’avvenuta saturazione:1. a drenaggi chiusi si incrementa la pressione di

cella di una quantità

e si misura il conseguente aumento di pressione interstiziale, u

2. se B = u/ > 0,95 si considera

il provino saturo3. se invece risulta B

La prova si svolge in due fasi.

I. FASE DI

CONSOLIDAZIONE

Il provino, precedentemente saturato, è

sottoposto a compressione isotropa mediante un incremento della pressione

di cella, a drenaggi aperti fino a completa consolidazione.

La pressione di consolidazione, ’c

, è pari

alla differenza fra la pressione di cella (totale), c

, e la contropressione

interstiziale, u0

:

’c

= sc

– u0

Il processo di consolidazione è controllato

attraverso la misura nel tempo del volume di acqua espulso (= V)

cc

c

c

u0

drenaggio aperto volume H2

0 espulso = V

PROVA TxCID

pressione di cella

pressione interstiziale a

fine consolidazione

Corso di GEOTECNICA


50Prova TxCID

II. COMPRESSIONE ASSIALE

Ancora a drenaggi aperti, si fa avanzare il pistone a velocità

costante e

sufficientemente bassa

da non produrre sovrappressioni interstiziali all’interno del

provino (ad es. inversamente proporzionale al tempo di consolidazione).

Durante la fase di compressione assiale:•

si controlla la variazione nel tempo

dell’altezza del provino, H•

si misurano:

la forza assiale

N esercitata dal pistone sul provino il volume d’acqua espulso o assorbito dal provino

V (corrispondente

alla sua variazione di volume nell’ipotesi di provino saturo)

r

= cr

a

= c

+ N/A

c

u0

drenaggio aperto volume H2

0 scambiato = V

N/A

c

u

= pressione

interstiziale, costante

c

= pressione di cella, costante

N/A = Pressione

trasmessa dal pistone

A

= area della sezione

orizzontale

Corso di GEOTECNICA


51Prova TxCID

Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino:

INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI:

la deformazione assiale media,a

= ‐

H/H0 la deformazione volumetrica media, V

= ‐

V/V0 la deformazione radiale media,r

= (V

– a

) / 2

(essendo

V

= a

+ 2∙r

)

la tensione assiale media, a

= N/A + c

(totale)

a

’ = a

– u0

(efficace) la tensione radiale,r

= c

(totale)’r

= c

– u0

= ’c

(efficace) la tensione deviatorica

media,

q = a

– r

= ’a

– s’r

= N/A, la pressione media,

p = (sa

+2 r

)/3 (totale)p’

= p – u0

(efficace)

Corso di GEOTECNICA


52Prova TxCID

La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno consolidati con 3 diversi valori di ’c

=

c

– u0

a

v

3f

’ ‐ ’ = ( ‐ )a r a ra r ’ ’ ) ’c (3)

’c (2)

’c (1)

2fa r ’ ’ )

1fa r ’ ’ )

1)

Dalla curva (a

‐

r

) ‐

a

si determina la tensione deviatorica

a rottura

(a

‐r

)f

come valore di picco o come valore corrispondente ad un

prefissato livello della deformazione assiale media, a

.

2) Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione

principale minore, 3

) rimane costante (uguale alla pressione di cella c

, costante) e quindi:

3f

(a rottura) = rf

== rc

(a fine consolidazione) = c

(di cella)’c(3)

> ’c(2)

> ’c(2)

Corso di GEOTECNICA


53Prova TxCID

3) Poiché

durante la fase di compressione assiale non si sviluppano sovrappressioni

(prova drenata), cioè

u0

= cost, anche la pressione radiale efficace rimane costante:

’3f

(a rottura)

= ’rf

= rf

‐

u0

= rc

– u0

(= ’rc

, a fine consolidazione) = c

– u0

= ’c

(pressione di consolidazione)

Corso di GEOTECNICA


54

4) Invece varia progressivamente la pressione assiale

(= tensione principale maggiore, 1

) , sia totale

(1

= a

) sia efficace

(’1

= ’a

)

1f

(a rottura)

= 3f

+ (a

‐

r

)f

= c

+ (a

– r

)f

≠

1c

Prova TxCID

Una volta note le tensioni principali efficaci (assiali e radiali), a fine consolidazione e a rottura:

si

possono

costruire

i

cerchi

di

Mohr

corrispondenti

in

termini

di

tensioni efficaci

che

rappresentano

l’evoluzione

degli

stati

tensionali

durante

la

compressione assiale, fino (ed oltre) la rottura (percorso tensionale).

’1c

= ’3c

= ’c

’3f

= ’c

’1f

= ‘c

+ (a

–

r

)f

Corso di GEOTECNICA


55Prova TxCID

O

’’f

’

Stato tensionale efficacea rottura

Stato tensionale efficace a fine

consolidazione

(inizio fase di

compressione)

’1f

= ’af’1c

= ’3c

= ’3f

= ’rf

I) Il cerchio di Mohr

che rappresenta lo stato tensionale efficace iniziale

della fase di compressione (= fine consolidazione isotropa) è

rappresentato da un

punto

di coordinate [’c, 0]

II) I cerchi di Mohr

che rappresentano lo stato tensionale efficace durante l’applicazione del carico assiale

e fino a rottura passano tutti per questo

stesso punto.III) Il cerchio di Mohr

che rappresenta lo stato tensionale efficace a rottura

ha un diametro pari a (’a

‐’r

)f

= (a

‐

r

)f

, passa per i punti di coordinate [’3f

, 0] e [’1f

, 0] ed è tangente alla retta di equazione:

'tan'''tan' cucf

STATO TENSIONALE:

Corso di GEOTECNICA


56Prova TxCID

Per determinare l’equazione

dell’inviluppo a rottura, e quindi i parametri di resistenza al taglio ’ e

c’, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la prova su almeno tre provini

dello stesso terreno, a

differenti valori della pressione efficace di consolidazione

(scelti

tenendo conto della tensione efficace geostatica)

CAMPO D’APPLICAZIONE:

L’esecuzione della prova TxCID

richiede un tempo tanto maggiore quanto minore è la

permeabilità

del

terreno,

ed

è

pertanto

generalmente

riservata

a

terreni

sabbiosi

o

comunque abbastanza permeabili

O

’’f

’

c’’rf(1)’rf(2)’rf(3) ’af(1) ’af(2) ’a(f3)

N.B. Se il terreno è normal‐consolidato

c’

= 0

DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI

c’

E ’:

Corso di GEOTECNICA


57Prova TxCID

PROVA PROVA TxCIUTxCIULa prova si svolge in due fasi.

I. FASE DI

CONSOLIDAZIONE

II. COMPRESSIONE ASSIALEA drenaggi chiusi

e collegati a trasduttori che

misurano la pressione dell’acqua u

nei condotti di

drenaggio e quindi nei pori del provino, si fa avanzare il pistone a velocità

costante, anche relativamente

elevata. Il provino, essendo saturo, non subirà

variazioni di

volume.

la forza assiale

N esercitata dal pistone sul provino

la pressione interstiziale

u all’interno del provino

Durante la fase di compressione assiale:

•

si controlla la variazione nel tempo dell’altezza del

provino, H•

si misurano:

r

= cr

c

u

drenaggio chiuso(misura di u )

u

= pressione

interstiziale, variabile

c


N/A = Pressione

trasmessa dal

pistone

Il provino, precedentemente saturato, è

sottoposto ad una fase di consolidazione

a drenaggi aperti, identica a quella della prova TxCID.

a

= c

+ N/AN/A

cA

= area della

sezione orizzontale

Corso di GEOTECNICA


58Prova TxCIU

Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di

calcolare, fino ed oltre la rottura del provino:

INTERPRETAZIONE DEI RISULTATIINTERPRETAZIONE DEI RISULTATI


= ‐

H/H0 la deformazione radiale media,r

= (–

a

) / 2 (v

= a

+ 2r

= 0) la

pressione

(o la sovrappressione)

interstiziale, u (u)

la tensione totale radiale media, r

= c

(costante durante la prova)

la tensione deviatorica

media, q = a

– r

= ’a

– ’r

= N/A la tensione totale assiale media,

a

= N/A + r le tensioni efficaci medie assiali

e radiali,’a

= a

– u; ’r

= r

– u le pressione medie efficaci e

totalip =

(a

+2 r

)/3; p’

= p – u il coefficiente A di Skempton,

A = A = u/(a

– r

)

Corso di GEOTECNICA


59Prova TxCIU

La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno consolidati con 3 diversi

valori di ’c

=

c

– u0

.

1) Dalla curva (a

‐r

)‐a

si determina


a rottura

(a

‐r

)f

come valore di picco o

come valore corrispondente ad un prefissato livello della

deformazione assiale media, a

.

2) Durante la fase di compressione assiale

la pressione radiale totale (= tensione principale minore, 3

) rimane costante

(uguale alla pressione di cella c

,

costante) e quindi:

3f

(a rottura) = rf

= rc

(a fine consolidazione) = c

(di cella)

’c(3)

> ’c(2)

> ’c(1)

’

’ ’

u

b)

a

a

r

3f 3c

2c

1c

’

’

’ ’a ra r ’ ’ )

2fa r ’ ’ )

1fa r ’ ’ )

’ ’ ’ 3c

2c1c

Corso di GEOTECNICA


60Prova TxCIU

3) Poiché

durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova

non drenata), la pressione interstiziale u varia rispetto al valore iniziale u0

, e così

anche la pressione radiale efficace varia:

’3f

(a rottura) = ’rf

= rf

‐

uf

= c

– uf

(≠

’rc

, a fine consolidazione, = c

– u0

)≠

’c

(pressione di consolidazione)

4) La pressione assiale (= tensione principale maggiore, 1

) , sia totale (1

= a

) sia

efficace (’1

= ’a

) variano:’1f

(a rottura) = ’3f

+ (a

‐

r

)f

5) Una volta calcolate le tensioni principali efficaci (assiali e radiali), a fine

consolidazione e a rottura:

1f

(a rottura) = 3f

+ (a

‐

r

)f

= c

+ (a

–

r

)f

si possono costruire i cerchi di Mohr

corrispondenti in termini di pressioni efficaci.

’1c

= ’3c

= ’c ’3f

= c

– uf ’1f

= ’3f

+ (a

‐

r

)f

Corso di GEOTECNICA


61Prova TxCIU

II. I cerchi di Mohr

che rappresentano lo stato tensionale efficace durante

l’applicazione del carico assiale fino a rottura (percorso tensionale) non passano per uno stesso punto.

I. Il cerchio di Mohr

che rappresenta lo stato tensionale efficace iniziale della fase di

compressione (= fine consolidazione isotropa) è

rappresentato da un punto

di

coordinate [’c, 0].


’1c =’3c’3f =’rf ’1f =’afO ’

Stato tensionale efficacea fine consolidazione

Stati tensionali efficaci intermedi

III. Il cerchio di Mohr

che rappresenta lo stato tensionale efficace a rottura ha un

diametro pari a (’a

‐

’r

)f

= (a

‐

r

)f

, passa per i punti di coordinate [’3f

,0] e [’1f

,0]

ed è

tangente alla retta di equazione: ʹtanʹʹcʹtanuʹcf

STATO TENSIONALE EFFICACE

Corso di GEOTECNICA


62Prova TxCIU

Per determinare l’equazione dell’inviluppo a rottura, e quindi i parametri di resistenza al

taglio ’ e c’, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la prova su almeno tre provini

dello stesso terreno, a differenti valori della pressione efficace di consolidazione

(scelti tenendo conto della tensione efficace geostatica)

O

’’f

’

c’’rf(1)’rf(2)’rf(3) ’af(1) ’af(2) ’a(f3)

N.B. Se il terreno è normal‐consolidato, c’

= 0


c’

E ’

Corso di GEOTECNICA


63Prova TxCIU

I cerchi di Mohr

che rappresentano lo stato tensionale totale iniziale della fase di

compressione (= fine consolidazione isotropa) e fino a rottura sono rappresentati da cerchi traslati di u0

rispetto ai corrispondenti cerchi espressi in termini di tensioni

efficaci (essendo la pressione interstiziale isotropa, e quindi

uguale sia in direzione

assiale che radiale):

u0uf

1c =3c 1f = af ’(‐‐),

(‐)

Poiché

il terreno perviene a rottura in condizioni non drenate, è

possibile interpretare

i risultati della prova anche in termini di tensioni totali.

STATO TENSIONALE TOTALE


’1c =’3c’3f =’rf ’1f =’af

O

Stati tensionali efficaciintermedi

Stato tensionale totalea rottura

Stati tensionali totaliintermedi

Corso di GEOTECNICA


64Prova TxCIU


cu

’,’f ’ ’

u

c

Cerchio di Mohr in tensioni efficaci

u

3f 3f 1f 1f

f

Cerchio di Mohr in tensioni totali

Per determinare la coesione non drenata, cu

,

si calcola il raggio del cerchio di Mohr

a rottura

N.B. La cu

è

diversa per ciascuno dei 3 provini, essendo diversa la pressione efficace di

consolidazione (e quindi il diametro del cerchio). Se il terreno

è

NC il rapporto

cu

/’c

è

costante, altrimenti è

funzione del grado di sovraconsolidazione OCR

CAMPO D’APPLICAZIONE

L’esecuzione della prova TxCIU

è

generalmente riservata a terreni argillosi o comunque

poco permeabili, per i quali l’esecuzione di prove TxCID

richiederebbe tempi molto lunghi

Corso di GEOTECNICA


65Prova TxCIU

PROVA TxUU

La prova si svolge in due fasi.

I. FASE DI

COMPRESSIONE ISOTROPA

cc

c

u1

drenaggio chiuso

pressione interstiziale (u1

= u0

+ u)

c

= pressione di cella

c

A

differenza

delle

prove

TxCID

e

TxCIU,

non

è

prevista

una

fase

di

consolidazione

isotropa (e in taluni casi neanche di saturazione).

La

pressione

di

consolidazione

del

provino,

’c

,

è

quella

che

possiede

il

provino

in

conseguenza dello scarico tensionale conseguente al suo prelievo

ed estrazione.

Durante tale fase si può controllare l’incremento u di pressione interstiziale.

Il provino, a drenaggi chiusi, è

sottoposto a

compressione isotropa portando in pressione il fluido di cella ad un valore assegnato di pressione totale sc

Se il provino è

saturo

(B=1) il volume del provino non

varia e l’incremento della pressione isotropa di cella comporta un uguale aumento della pressione

interstiziale mentre le tensioni efficaci non subiscono variazioni

Corso di GEOTECNICA


66Prova TxUU

II. COMPRESSIONE ASSIALE

r

= cr

c

u

drenaggio chiuso

u

= pressione


sc


N/A = Pressione

trasmessa dal

pistone

a

= c

+ N/AN/A

cA

= area della

sezione orizzontale

A drenaggi ancora chiusi, si fa avanzare la pressa

su cui si trova la cella triassiale a velocità costante, anche piuttosto elevata.

Il provino, essendo saturo, continua a non subire

variazioni di volume.

la forza assiale

N esercitata dal pistone sul provino

Durante la fase di compressione:• si controlla la variazione nel tempo dell’altezzadel provino, H

• si misura:

N.B. la variazione di pressione interstiziale

all’interno del provino in genere non

viene misurata

Corso di GEOTECNICA


67Prova TxUU

Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino:

INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI


= ‐

H/H0 la deformazione radiale media,r

= (–

a

) / 2


media, q = a

– r

= ’a

– ’r

= N/Ala tensione totale radiale media, (costante r

= c

)la tensione totale assiale media,a

= N/A + rla

pressione media totale,

p = (a

+ 2 sr

) / 3

(essendo

V

= a

+ 2∙r

= 0)

Corso di GEOTECNICA


68Prova TxUU

La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno sottoposti a 3 diversi valori di c

(ma con uguale ’c

)

1) Dalla curva (a

‐r

) ‐

a

si determina la tensione

deviatorica

a rottura (a

‐r

)f

come valore di picco o come valore corrispondente ad un prefissato livello della

deformazione assiale media, a

.

2) Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione

principale minore, 3

) rimane costante (uguale alla pressione di cella c

, costante) e quindi:

3f

(a rottura)

= rf

= rc

(a fine compressione isotropa) = c

(di cella)

a -r

a

’c(a -r )f

Corso di GEOTECNICA


69Prova TxUU

3) Durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non

drenata), che in genere non vengono misurate, quindi la pressione efficace radiale varia, ma non è nota.

4) La pressione assiale


)

totale

(1

= a

) varia ed è

determinabile:

1f

(a rottura)

= 3f

+ (a

–

r

)f

= c

+ (a

–

r

)f

5) Una volta calcolate le tensioni principali totali (assiali e radiali), a fine

consolidazione e a rottura:

’3f

(valore a rottura) = ’rf

’rc

= ’3c

(valore a fine compressione isotropa)

anche la pressione assiale efficace

(‘1

= ‘a

) varia, ma non è

determinabile:

si possono costruire i cerchi di Mohr

corrispondenti in termini di pressioni totali (i

cerchi di Mohr

espressi in tensioni efficaci non sono determinabili, non essendo

misurate le pressioni interstiziali durante la fase di compressione assiale e a rottura).

3f

= c 1f

= c

+ (a

–

r

)f

Corso di GEOTECNICA


70Prova TxUU



che rappresentano lo stato tensionale totale durante l’applicazione

del carico assiale

e fino a rottura (percorso tensionale) passano per lo stesso punto

di coordinate [c

, 0] (essendo la tensione totale radiale media costante durante la

fase di compressione assiale).


che rappresenta lo stato tensionale totale

iniziale

della fase di

compressione (= fine compressione isotropa) è

rappresentato da un punto

di

coordinate [c, 0].


che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura

ha un

diametro pari a (’a

‐’r

)f

= (a

‐

r

)f

, passa per i punti di coordinate [3f

,0] e [1f

,0],

il suo raggio individua la coesione non drenata:

f

31u 2

c

cu

uf

1f =af3c

c


cu

Per determinare la coesione non drenata,

cu

,

si calcola il raggio del cerchio di Mohr

a

rottura.

Corso di GEOTECNICA


71Prova TxUU

La prova viene eseguita su almeno 3 provini

estratti alla stessa profondità

(stessa

pressione di consolidazione ’c

), a differenti pressioni totali di cella c

e alle stesse

condizioni di saturazione. Il carico assiale che porta a rottura i tre provini (diametro del cerchio di Mohr

a rottura)

è

sempre lo stesso ed indipendente dalla pressione isotropa

di cella c

imposta, quindi la coesione non drenata viene calcolata come media dei

valori ottenuti per i tre provini.

I cerchi di Mohr

a rottura dei tre provini in termini di tensioni totali hanno lo stesso

diametro e i cerchi di Mohr

in termini di tensioni efficaci sono coincidenti.

cu

’3f =’rf ’1f =’af c(1) c(2) c(3)

u0

uf(1)uf(2)uf(3)

’(--), (-)’c (1,2,3)

1f(1) 1f(2) 1f(3)

Corso di GEOTECNICA


72Prova TxUU

La prova TxUU

può anche essere eseguita su provini di terreno non saturi; in tal caso la

pressione efficace non è più la stessa e quindi l’inviluppo dei cerchi di rottura in termini di tensioni totali risulterà

curvilineo

per basse pressioni di confinamento e orizzontale

per le pressioni più

elevate (per le quali il terreno ha raggiunto la saturazione).

Inoltre la resistenza al taglio in

condizione non drenate, cu

,

che si

ricava dalle prove è dipendente, a parità

di terreno, dalla pressione

efficace di consolidazione

in sito e

quindi, su provini estratti a profondità

differenti, gli inviluppi a

rottura sono differenti.

CAMPO D’APPLICAZIONE

La prova TxUU

è

generalmente eseguita su provini ricavati da campioni “indisturbati”

di terreno a grana fine.

Corso di GEOTECNICA


73Prova TxUU

PROVA ELL

COMPRESSIONE ASSIALE

u

drenaggio impedito dalla velocità

di

deformazione e della permeabilità

u

= pressione


N/A =

Pressione

trasmessa dal

pistone

a

= N/AN/A

A

= area della

sezione orizzontale

Si fa avanzare la pressa su cui si trova il provino

a velocità

costante, anche piuttosto elevata. Il provino potrebbe non essere saturo

(non è

possibile controllare la saturazione), in tal caso potrebbe subire variazioni di volume.

la forza assiale

N esercitata dal

pistone sul provino

Durante la fase di compressione:• si controlla la variazione nel tempo dell’altezzadel provino, H

• si misura:

N.B. È

una prova semplice, rapida e a basso costo, ma può essere eseguita solo su

terreni a grana fine

La prova ad espansione laterale libera

(ELL), o di compressione semplice, si svolge in

una sola fase. È

una prova triassiale a tutti gli effetti, ma non è

prevista una fase di

saturazione e consolidazione isotropa, né

la misura delle pressioni interne.

r

= 0 r

= 0

Corso di GEOTECNICA


Prova ELL 74

APPARECCHIATURA

A differenza dell’apparecchio triassiale, il provino

non è

avvolto da una membrana, non è posto

all’interno di una cella circondato da acqua e quindi non è

compresso in direzione radiale (r

= 0).

Il provino, appoggiato su un piedistallo rigido,

riceve il carico assiale (misurabile) tramite una piastra di carico

di contrasto per l’avanzamento di

una pressa a velocità

costante (elevata), con la

possibilità

di controllare gli abbassamenti. Non è

previsto un circuito di drenaggio

che consenta di

regolare il flusso d’acqua (in entrata o in uscita) o di misurare la pressione interstiziale interna.

Sebbene vi sia possibilità

di drenaggio, l’elevata

velocità

di deformazione e la ridotta permeabilità

del terreno

fanno sì

che le condizioni di prova

siano praticamente non drenate.

Corso di GEOTECNICA


75Prova ELL

I risultati possono essere interpretati solo in termini

di tensioni totali

e può essere determinata la sola

coesione non drenata, cu

Le misure effettuate durante la prova permettono di calcolare, fino ed oltre la

rottura del provino:

INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI

la deformazione assiale media, a

= ‐

H/H0

la tensione totale assiale media

(o il deviatore medio), a

= N/A + r

= N/A = q

(essendo r

= 0)a

–

r

= a

= q (deviatore)

prova TxUU

(con c

= 0)

Dalla curva (q) ‐

a

si determina la

tensione deviatorica

a rottura qu

come

valore di picco o come valore corrispondente ad un prefissato livello

della deformazione assiale media, a

.

q

a

qu

Corso di GEOTECNICA


76Prova ELL

Durante la compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non drenata),

che non possono essere misurate, quindi la pressione efficace radiale

varia, ma non è

nota.

’3f

(valore a rottura) = ’rf

’r0

= ’30

(valore a inizio prova)

Durante la compressione assiale la pressione radiale totale

(= tensione principale

minore, 3

) rimane costante

ed uguale 0 (pressione atmosferica) e quindi:

3f

(a rottura) = rf

= r0

(inizio prova) = 0

(pressione atmosferica)

La pressione assiale


)

totale

(1

= a

) varia ed è

determinabile:

1f

(a rottura) = 3f

+ (a

–

r

)f

= c

+ (a

–

r

)f

= qu

’1f

(valore a rottura) = ’af

’a0

= ’10

(valore a inizio prova)

anche la pressione assiale efficace

(‘1

= ‘a

) varia, ma non è

determinabile:

Corso di GEOTECNICA


77Prova ELL

Una

volta

calcolate

le

tensioni

principali

totali

(assiali

e

radiali),

a

inizio

prova

e

a

rottura:

si

possono

costruire

i

cerchi

di

Mohr

corrispondenti

in

termini

di

pressioni

totali

(i

cerchi

di

Mohr

espressi

in

tensioni

efficaci

non

sono

determinabili,

non

essendo

misurate le pressioni interstiziali durante la fase di compressione assiale e a rottura).

3f

(a rottura) = 0 1f

(a rottura) = qu

Corso di GEOTECNICA


78Prova ELL



che rappresentano lo stato tensionale totale durante l’applicazione

del carico assiale

e fino a rottura (percorso tensionale) passano tutti per l’origine

(essendo la tensione totale radiale media nulla durante la prova).


che rappresenta lo stato tensionale totale iniziale

(= inizio della

prova) è

rappresentato da un punto coincidente con l’origine

[0,

0].


che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura

ha un

diametro pari a qu

e passa per i punti di coordinate [0,0] e [qu

,0], il suo raggio

individua la coesione non drenata:


cu

Per determinare la coesione non

drenata, cu

,

si calcola il raggio del

cerchio di Mohr

a rottura.

2/uu qc

O

qu

cu

=qu

/2

Corso di GEOTECNICA


79Prova ELL

O

’f

c = q /2

q

u u

u

1) Se si conoscessero le pressioni interstiziali a rottura, e quindi le tensioni efficaci, il

cerchio di Mohr

a rottura corrispondente sarebbe spostato a destra rispetto a quelle

in termini di tensioni totali (pressioni interstiziali negative), non potendo sostenere il terreno tensioni di trazione.

TENSIONI TOTALITENSIONI EFFICACI

2) Se la prova fosse ripetuta su provini dello stesso terreno estratti alla stessa

profondità, il cerchio di Mohr

a rottura che si otterrebbe sarebbe lo stesso

(nell’ipotesi di terreno saturo), non potendo modificare la pressione di cella.

uf

RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA GROSSARESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA GROSSA

I terreni a grana grossa

(ghiaie e sabbie) possono essere:

privi di coesione

(sabbie e ghiaie sature non cementate)

La resistenza al taglio

dei terreni a grana grossa

dovrebbe essere determinata su

campioni indisturbati e rappresentativi

delle reali condizioni in sito.

dotati di coesione apparente

(sabbie parzialmente sature)

dotati di coesione

(sabbie e ghiaie cementate)

In genere non è

possibile

prelevare campioni indisturbati

di terreno a grana grossa non

cementati.Le prove di laboratorio condotte su provini

di sabbia ricostituiti

alla densità

del terreno

in sito, sono scarsamente rappresentativi del comportamento meccanico del terreno naturale in sito.

Si ritiene più

affidabile stimare la resistenza al taglio di sabbie e ghiaie sulla base dei

risultati di prove in sito; le prove di laboratorio

su terreni a grana grossa vengono

effettuate per determinare la resistenza di terreni da impiegare

come materiali da

costruzione, o per lo studio di leggi costitutive.

Corso di GEOTECNICA


Resistenza al taglio dei terreni a grana

grossa 81

COMPORTAMENTO DILATANTE E CONTRATTIVOCOMPORTAMENTO DILATANTE E CONTRATTIVO

Durante una prova di resistenza meccanica di laboratorio (ad es.

prova di taglio diretto o prova triassiale drenata), il comportamento di due provini della stessa sabbia aventi differente indice dei vuoti

(ovvero con differente

densità

relativa) e sottoposti alla stessa pressione di confinamento

può essere molto diverso:

’ ’

Sabbia densa1 3

a

Sabbia sciolta

e

e

Sabbia densa

crit

a

a

Sabbia sciolta

Corso di GEOTECNICA


82Resistenza al taglio dei terreni a grana

grossa

1.

curva di resistenza con un massimo accentuato

(corrispondente alla condizione

di rottura) e un valore residuo, per grandi deformazioni, pressoché

eguale al

valore di resistenza mostrato dal provino di sabbia sciolta (a parità

di pressione

di confinamento); 2.

piccola diminuzione di volume iniziale, (e quindi di e), seguita da un’inversione

di tendenza (per cui e

supera il valore iniziale e tende allo stesso indice dei vuoti

critico, ecrit

, sempre a parità

di pressione di confinamento).

COMPORTAMENTO DILATANTE

1.

graduale aumento della resistenza mobilizzata (’1c

‐

’3

) tendente a

stabilizzarsi su un valore massimo, anche per grandi deformazioni;2.

progressiva e graduale diminuzione del volume (e quindi dell’indice dei vuoti) con

tendenza a stabilizzarsi su un valore minimo (corrispondente a un indice dei vuoti critico, ecrit

), anche per grandi deformazioni.

COMPORTAMENTO CONTRATTIVO

All’aumentare di a

:

PROVINO PROVINO DIDI

SABBIA SCIOLTASABBIA SCIOLTA

PROVINO PROVINO DIDI

SABBIA DENSASABBIA DENSA

Corso di GEOTECNICA



grossa

ANGOLO DI

RESISTENZA AL TAGLIO DI

PICCO E RESIDUO

Per una sabbia che presenta un massimo nelle curve tensioni – deformazioni si

possono definire due diverse rette di inviluppo della resistenza, ovvero due angoli di resistenza al taglio: l’angolo di resistenza al taglio di picco

(a rottura), ’P

, e l’angolo

di resistenza al taglio residuo

(per grandi deformazioni), ’R

Corso di GEOTECNICA



grossa

I principali fattori che influenzano, in misura quantitativamente diversa, l’angolo di

resistenza al taglio di picco dei terreni sabbiosi

sono:

la densità, la forma e la rugosità

dei grani,

la dimensione media dei grani, la distribuzione granulometrica

’ = 36° + ’1’2’3’4 Densità ’1 sciolta

media densa

- 6° 0°

+ 6° Forma e rugosità dei grani ’2 spigolo vivi

media arrotondati molto arrotondati

+ 1° 0°

- 3° - 5°

Dimensione dei grani ’3 sabbia ghiaia fine ghiaia grossa

0° + 1° + 2°

Distribuzione granulometrica ’4 uniforme media distesa

- 3° 0°

+ 3°

’ = 36° + ’1’2’3’4 Densità ’1 sciolta

media densa

- 6° 0°



+ 1° 0°

- 3° - 5°


0° + 1° + 2°


- 3° 0°

+ 3°

Corso di GEOTECNICA



grossa

’ = 36° + ’1’2’3’4 Densità ’1 sciolta

media densa

- 6° 0°



+ 1° 0°

- 3° - 5°


0° + 1° + 2°


- 3° 0°

+ 3°

Corso di GEOTECNICA



grossa

Tipo di terreno ’cs

( °

) ’P

( °

)

Ghiaie 30‐35 35‐50

Miscele di ghiaie e sabbie in matrice limo‐argillosa 28‐33 30‐40

Sabbie 27‐37* 32‐50

Limi e sabbie limose 24‐32 27‐35

*

I

valori

più

alti

(32‐37°)

sono

per

le

sabbie

con

percentuale

significativa

di feldspati, i valori più

bassi (27‐32°) per le sabbie quarzose.

RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE

I terreni a grana fine (limi e argille) saturi e normalmente consolidati, alle profondità

di interesse per le opere di ingegneria geotecnica, presentano di norma indice di consistenza, Ic

’c(2)

> ’c(3)

Corso di GEOTECNICA



fine

L’angolo

di

resistenza

al

taglio

’

è inferiore

a

quello

dei

terreni

a

grana grossa

e

dipende

dai

minerali

argillosi

costituenti

e

quindi

dal

contenuto

in

argilla, CF, e dall’indice di plasticità, IP

.

Corso di GEOTECNICA



fine

’

arcsen(0.843 –

0.1045 lnIP

)

I terreni a grana fine sovraconsolidati presentano di norma indice di consistenza, Ic

> 0.5, coesione efficace c’

> 0.

La

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Corso di GEOTECNICA PIANI E TENSIONI PRINCIPALI Docente: …geotecnica.dicea.unifi.it/less_res_13_14.pdf · 2013. 11. 6. · la tensione tangenziale limite di rottura in un generico