Cottos Bustamante Carlos - Desarrollo de Primera Práctica de Métodos Numéricos

Universidad San Pedro Práctica de Métodos NuméricosFacultad de Ingeniería Ciclo VIEscuela de Mecánica Eléctrica

Práctica de Métodos Numéricos para Ingenieros

METODO GRAFICO

5.a Si f (x)=x3−x+1, al trazar la gráfica, podemos observar que corta al eje x en un punto

ubicado entre <-2,-1> (dentro de [-10,10]),entonces ahi se ubica una raíz.

Docente: Lic. Jorge R. Ventura Guanilo pág. 1

EJERCICIO NUMERO 5


Si hacemos f(x)=g(x)-h(x), donde g(x)=x3, h(x)=x-1 y luego graficamos estas funciones en un mismo

plano, vemos que la intersección de ambas funciones proyectada en el eje x sucede entre <-2 y -1>,

confirmando lo visto en el gráfico anterior.



5.b. APLICACIÓN DEL METODO BUSCA.- Con este método buscamos raíces. Intervalo en [-10,10] y la amplitud de los subintervalos es de 1 (h=1). Abajo muestro los resultados obtenidos con este método, para la función f (x)=x3−x+1 el cual fue trabajado con la ayuda del Excel. En efecto, el método confirma lo ya mostrado por el método gráfico, existe una raíz entre -2 y -1. Esto lo sabemos porque f(a).f(b)=-5 < 0 justo en ese subintervalo <-2,-1>

h= 1 Donde h es la amplitud del intervalo.

Nro. de intervalos

a b f(a) f(a) f(a)*f(b) Decisión

1 -10 -9 -989 -719 711091 No existe raíz2 -9 -8 -719 -503 361657 No existe raíz3 -8 -7 -503 -335 168505 No existe raíz4 -7 -6 -335 -209 70015 No existe raíz5 -6 -5 -209 -119 24871 No existe raíz6 -5 -4 -119 -59 7021 No existe raíz7 -4 -3 -59 -23 1357 No existe raíz8 -3 -2 -23 -5 115 No existe raíz9 -2 -1 -5 1 -5 Existe raíz

10 -1 0 1 1 1 No existe raíz11 0 1 1 1 1 No existe raíz12 1 2 1 7 7 No existe raíz13 2 3 7 25 175 No existe raíz14 3 4 25 61 1525 No existe raíz15 4 5 61 121 7381 No existe raíz16 5 6 121 211 25531 No existe raíz17 6 7 211 337 71107 No existe raíz18 7 8 337 505 170185 No existe raíz19 8 9 505 721 364105 No existe raíz20 9 10 721 991 714511 No existe raíz

En efecto: Para el intervalo <-2,-1>: a=-2 y b=-1

Luego: Si f (x)=x3−x+1, entonces f (a )=f (−2 )=−5 y f (b )=f (−1 )=1

Luego: f (a ) . f (b )<0 , por lo tanto entre←2 ,−1>existe unaraíz



5.c) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN.- a cada intervalo con una tolerancia de 0.0001 para

f (x)=x3−x+1. Este método se aplico con la ayuda del Excel, para el intervalo <-2,-1>

Nro. a b c f(a) f ( c ) p=f(a)*f(c) Abs(a-b) Comentario

1 -2.00 -1.00 -1.500000000 -5.0000 -0.8750 4.3750 0.5000 Continúe iterando

2 -1.50 -1.00 -1.250000000 -0.8750 0.2969 -0.2598 0.2500 Continúe iterando






8 -1.33 -1.32 -1.324218750 -0.0146 0.0021 0.0000 0.0039 Continúe iterando



11 -1.33 -1.32 -1.324707031 -0.0020 0.0000 0.0000 0.0005 Continúe iterando



14 -1.32 -1.32 -1.324768066 -0.0005 -0.0002 0.0000 0.0001 -1.324768066

En este método c=a+b2,entonces

Primera Iteración

c=−2−12

=−1.5

Luego: Si f (x)=x3−x+1, entonces f (a )=f (−2 )=−5 y f (c )=f (−1.5 )=−0.875

Luego: f (a ) . f (c )>0 , entonces|b−c|=0.5000>0.0001 , entonces |a-c| es aun mayor que la tolerancia por lo que debemos continuar iterando.

Segunda Iteración

c=−1.5−12

=−1.25

Luego: Si f (x)=x3−x+1, f (a )=f (−1.5 )=−0.875 y f ( c )=f (−1.25 )=0.2969

Luego: f (a ) . f (c )<0 , entonces|a−c|=0.25>0.0001 , entonces |a-c| es aún mayor que la tolerancia por lo que debemos continuar iterando.

Con el método de la Bisección la raíz es obtenida en la iteración número 14, con un valor de



-1.324734897 y una tolerancia de 0.0001.

5.d) APLICACIÓN DEL MÉTODO MODIFICADO DE LA REGLA FALSA MODIFICADA.- en <-2,-1>, para

f (x)=x3−x+1, con una tolerancia de 0.0001

n a b f(a) f(b) c f( c) p=f(a)*f( c) abs(a-b) Comentario

1 -2.000 -1.000 -5.0000 1.0000 -1.16666667 0.5787 -2.89351852 0.8333333333 continúe2 -2.000 -1.167 -5.0000 0.5787 -1.32330827 0.0060 -0.03001951 0.6766917293 continúe3 -2.000 -1.323 -5.0000 0.0060 -1.32492949 -0.0009 0.00451151 0.0016212226 continúe4 -1.325 -1.323 -0.0009 0.0060 -1.32455482 0.0007 -0.00000063 0.0003746765 continúe5 -1.325 -1.325 -0.0009 0.0007 -1.32478209 -0.0003 0.00000025 0.0002272762 continúe6 -1.325 -1.325 -0.0003 0.0007 -1.32468204 0.0002 -0.00000004 0.0001000526 continúe7 -1.325 -1.325 -0.0003 0.0002 -1.3247349 -0.0001 0.00000002 0.0000528562 -1.324734897

Si f(a) se repite dos veces, entonces:

c=a−0.5∗f (a ) .(b−a)f (b )−0.5∗f (a)

Si f(b) se repite dos veces entonces:

c=a−f (a ) .(b−a)

0.5∗f (b )−f (a)

De lo contrario:

c=a−f (a ) .(b−a)f (b )−f (a)

Entonces

Primera Iteración

a=-2 y b=-1, entonces Si f ( x )=x3− x+1

f(a)=f(-2)=-5 y f(b)=f(-1)=1, entonces c=-1.16666667

f(a)*f(c)<0, luego |a-c|=0.8333333333<0.0001, por lo tanto debemos continuar iterando.

Segunda Iteración

a=-2 y b=-1.167, entonces Si f ( x )=x3− x+1

f(a)=f(-2)=-5 y f(b)=f(-1.167)=0.5787, entonces, se repite f(a), c=-1.32330827


Con el método de Regla Falsa Modificada la raíz es obtenida en la iteración número 7, con un valor de






5.e) APLICACIÓN DE LA ITERACION DE PUNTO FIJO.- en <-2,-1>, paraf (x)=x3−x+1, con una tolerancia de 0.0001

Nro. It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario

1 -1.5 -1.357208808 0.142791192 Continúe2 -1.35720881 -1.330860959 0.026347849 Continúe3 -1.33086096 -1.325883774 0.004977185 Continúe4 -1.32588377 -1.324939363 0.000944411 Continúe5 -1.32493936 -1.324760011 0.000179352 Continúe6 -1.32476001 -1.324725945 0.000034066 -1.324725945

En este método, haremos a f(x)=0 y despejaremos en función de x, a esa nueva función la llamaremos g(x), luego Si derivada de g(x), osea |g’(x0)|<1, entonces converge, por lo que podremos aplicar el método sin problemas, haciendo x1=g(x0), se evalu x1-x0, si esta es mayor que la tolerancia debemos continuar iterando, en la nueva iteración, x0=x1(de la iteración anterior).

Si f (x)=x3−x+1 , entonces g(x )=3√ x−1, luego g '(x )=1

3∗(x−1)2/3

Primera Iteración

x0=-1.5

Entonces g(-1.5)= -1.357208808, luego | x1-x0|=0.142791192>0.0001, por lo tanto continuar iterando

Segunda Iteración

x0=-1.357208808

Entonces g’(-1.357208808)= -1.330860959, luego | x1-x0|=0.026347849>0.0001, por lo tanto continuar iterando.

Con el método de Iteración de Punto Fijo la raíz es obtenida en la iteración número 6, con un valor de -1.324725945 y una tolerancia de 0.0001.



5.f) APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON RAPHSON.- en <-2,-1>, paraf (x)=x3−x+1, con una tolerancia de 0.0001

Nro It. x0 x1 Abs(x1-x0) Comentario

1 -1.500000000 -1.370370370 0.129629630 Continúe2 -1.370370370 -1.334325316 0.036045054 Continúe3 -1.334325316 -1.326585668 0.007739648 Continúe4 -1.326585668 -1.325074353 0.001511315 Continúe5 -1.325074353 -1.324785713 0.000288640 Continúe6 -1.324785713 -1.324730829 0.000054884 -1.324730829

En este método debemos calcular x1=x0−f (x)f ' (x)

, luego si

¿ x1−x0∨¿0.00001 , continuar iterando , luego x0=x1

Entonces Si f (x)=x3−x+1, f ' ( x )=3 x2−1

Luego x1=x0−xo3−x0+13 x2−1

Primera iteración:

x0=¿-1.5, entonces x1=¿-1.370370370, luego ¿ x1−x0∨¿0.129629630 > 0.0001, debemos continuar iterando.

Segunda Iteración:x0=¿-1.370370370, entonces x1=−1.334325316, luego ¿ x1−x0∨¿0.036045054 > 0.0001, debemos continuar iterando.

Con el método de Newton Raphson la raíz es obtenida en la iteración número 6, con un valor de -1.324730829 y una tolerancia de 0.0001.



5.g) APLICACIÓN DEL METODO DE LA SECANTE.- en <-2,-1>, paraf (x)=x3−x+1, con una tolerancia de 0.0001

It. xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi-1-xi xi+1 Abs(xi-1-xi+1) Coment.1 -2.000000000 -1.000000000 -5.000000000 1.000000000 -1.000000000 -1.166666667 0.833333333 Continúe2 -1.000000000 -1.166666667 1.000000000 0.578703704 0.166666667 -1.395604396 0.395604396 Continúe3 -1.166666667 -1.395604396 0.578703704 -0.322630515 0.228937729 -1.313656661 0.146989994 Continúe4 -1.395604396 -1.313656661 -0.322630515 0.046687476 -0.081947735 -1.324016115 0.071588280 Continúe5 -1.313656661 -1.324016115 0.046687476 0.002991141 0.010359454 -1.324725250 0.011068589 Continúe6 -1.324016115 -1.324725250 0.002991141 -0.000031101 0.000709135 -1.324717952 0.000701837 Continúe7 -1.324725250 -1.324717952 -0.000031101 0.000000020 -0.000007298 -1.324717957 0.000007293 -1.324717957

En este método, debemos calcular x i+1, mediante la siguiente fórmula:

x i+1=x i−f (x i)(x i−1−x i)f (x i−1 )−f (xi)

Para este necesitamos dos valores, tanto el valor mínimo y máximo del intervalo donde se encuentra la raíz a calcular (en este ejercicio son -2 y -1).Luego, con estos valores, podemos obtener valores para f (x i ) , f ¿Luego Si |x i−1−x i+1|>tolerancia , continuar iterando ,

Para este ejercicio, tolerancia=0.0001

Primera Iteración.x i−1=−2 y x i=−1, luego x i+1=¿-1.166666667, f (x i )=−1 y f (x i−1 )=−5

Luego x i+1=−1.166666667|x i−1−x i+1|=0.833333333>0.0001, por lo que debemos continuar iterando.

Segunda Iteración.x i−1=−1 y x i=−1.166666667, luego x i+1=−1.395604396,

f (x i )=0.578703704 y f (x i−1 )=1

Luego x i+1=−1.166666667|x i−1−x i+1|=0.395604396>0.0001, por lo que debemos continuar iterando.

Con el método de la Secante la raíz es obtenida en la iteración número 6, con un valor de




5.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR.

Para la búsqueda de las raíces, ambos métodos, GRAFICO y BUSCA dan los mismos resultados, por lo que podríamos usar cualquiera de los dos. Sin embargo vale resaltar que el método busca no es infalible, dependiendo su eficacia en mucha ocasiones de amplitud (h) del intervalo que se tome, para este ejercicio h=1, lo cual no ocasiono ningún problema.

MÉTODO NÚMERO DE ITERACIONES

VALOR CALCULADO DE LA RAÍZ

ERRORMÉTODO SUGERIDO PARA USO

MOTIVO

BISECCIÓN 14 -1.324768066 0.000061035

REGLA FALSA (MODIFICADA) 7 -1.324734897 0.000052856

PUNTO FIJO 6 -1.324725945 0.000034066 X

Es necesario un número menor de Iteraciones, siendo el error aún menor que el método de Newton.

NEWTON-RAPHSON 6 -1.324730829 0.000054884

SECANTE 7 -1.324717957 0.000007293



METODO GRAFICO

25.a Si f ( x )=x−lnx−2, al trazar la gráfica, podemos observar que corta al eje x en un dos

puntos, entre <0,1> y <3,4>(dentro de [-10,10]), por lo que podemos decir de que hemos

encontrado la ubicación de dos raíces tal que f(x) será igual a cero.

Si hacemos f(x)=g(x)-h(x), donde g(x)=g ( x )=x, h ( x )=lnx+2 y luego graficamos estas funciones en

un mismo plano, vemos que la intersección de ambas funciones proyectada en el eje x sucede entre

<0,1> y <3,4>, confirmando lo visto en el gráfico anterior.


EJERCICIO NUMERO 25


25.b. APLICACIÓN DEL METODO BUSCA.- Con este método buscamos raíces, el intervalo definido es [-10,10] y la amplitud de los subintervalos es de 1 (h=1). Abajo muestro los resultados obtenidos con este método, para la función f ( x )=x−lnx−2 ,el cual fue trabajado con la ayuda del Excel. El método confirma la raíz hallada con el método gráfico en <3,4>. Sin embargo no aplica para poder hallar la raíz entre <0,1>, la cual si fue hallada por el método gráfico. Esto se debe a que el ln(0), no existe en los números naturales, y por lo tanto en <0,1>no se puede calcular f(a) y por ende tampoco f(a)*f(b)

Número de

intervalosa b f(a) f(b) p=f(a)*f(b) Decisión

1 -10 -9 - - - No existe raíz2 -9 -8 - - - No existe raíz3 -8 -7 - - - No existe raíz4 -7 -6 - - - No existe raíz5 -6 -5 - - - No existe raíz6 -5 -4 - - - No existe raíz7 -4 -3 - - - No existe raíz8 -3 -2 - - - No existe raíz9 -2 -1 - - - No existe raíz

10 -1 0 - - - No existe raíz11 0 1 - -1.00 - No existe raíz12 1 2 -1.00 -0.69 0.69 No existe raíz13 2 3 -0.69 -0.10 0.07 No existe raíz14 3 4 -0.10 0.61 -0.06 Existe raíz15 4 5 0.61 1.39 0.85 No existe raíz16 5 6 1.39 2.21 3.07 No existe raíz17 6 7 2.21 3.05 6.74 No existe raíz18 7 8 3.05 3.92 11.97 No existe raíz19 8 9 3.92 4.80 18.83 No existe raíz20 9 10 4.80 5.70 27.36 No existe raíz

En efecto: Para el intervalo <0,1>: a=0 y b=1

Luego: Sif ( x )=x−lnx−2, entonces f (a )=f (0 )=∄ y f (b )=f (1 )=−1

Luego: f (a ) . f (b )=∄ , por lotanto entre<0,1>e stemetodonoaplica

Para el intervalo <3,4>: a=3 y b=4

Luego: Sif ( x )=x−lnx−2, entonces f (a )=f (3 )=−0.10 y f (b )=f (4 )=0.61

Luego: f (a ) . f (b )<0 , por lo tanto existeunaraíz entre<3,4>¿



25.c) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN.- a cada intervalo con una tolerancia de 0.0001 para f ( x )=x−lnx−2 . Este método se aplico con la ayuda del Excel, para el intervalo <3,4>

Nro. a b c f(a) f ( c) f(a)*f(c) Abs(a-c) Comentario

1 3.00000 4.00000 3.500000000 -0.098612289 0.247237032 -0.024380610 0.500000000 Continúe

2 3.00000 3.50000 3.250000000 -0.098612289 0.071345004 -0.007035494 0.250000000 Continúe

3 3.00000 3.25000 3.125000000 -0.098612289 -0.014434283 0.001423398 0.125000000 Continúe

4 3.12500 3.25000 3.187500000 -0.014434283 0.028263090 -0.000407957 0.062500000 Continúe

5 3.12500 3.18750 3.156250000 -0.014434283 0.006865386 -0.000099097 0.031250000 Continúe

6 3.12500 3.15625 3.140625000 -0.014434283 -0.003796825 0.000054804 0.015625000 Continúe

7 3.14063 3.15625 3.148437500 -0.003796825 0.001531202 -0.000005814 0.007812500 Continúe

8 3.14063 3.14844 3.144531250 -0.003796825 -0.001133583 0.000004304 0.003906250 Continúe

9 3.14453 3.14844 3.146484375 -0.001133583 0.000198617 -0.000000225 0.001953125 Continúe

10 3.14453 3.14648 3.145507813 -0.001133583 -0.000467531 0.000000530 0.000976563 Continúe

11 3.14551 3.14648 3.145996094 -0.000467531 -0.000134469 0.000000063 0.000488281 Continúe

12 3.14600 3.14648 3.146240234 -0.000134469 0.000032071 -0.000000004 0.000244141 Continúe

13 3.14600 3.14624 3.146118164 -0.000134469 -0.000051200 0.000000007 0.000122070 Continúe

14 3.14612 3.14624 3.146179199 -0.000051200 -0.000009565 0.000000000 0.000061035 3.146179199

En este método c=a+b2

, Entonces:

Primera Iteración

c=3+42

=3.5

Luego: Si f ( x )=x−lnx−2,

entonces f (a )=f (3 )=−0.098612289 y f (c )=f (3.5 )=0.247237032

Luego: f (a ) . f (c )>0 , entonces|a−c|=0.5000>0.0001 , entonces |a-c| es aun mayor que la tolerancia por lo que debemos continuar iterando.

Segunda Iteración: c=3+3.52

=3.25

Luego: Si f ( x )=x−lnx−2, f (a )=f (3 )=−0.098612289 y

f ( c )=f (3.25 )=0.071345004 ,Luego: f (a ) . f (c )<0 , entonces|a−c|=0.25>0.0001 , entonces |a-c| es aún mayor que la tolerancia por lo que debemos continuar iterando.

Con el método de la Bisección la raíz es obtenida en la iteración número 14, con un valor de



3.146179199 y una tolerancia de 0.0001.

25.d) APLICACIÓN DEL MÉTODO MODIFICADO DE LA REGLA FALSA MODIFICADA.- en <3,4>, para f ( x )=x−lnx−2, con una tolerancia de 0.0001

Nro a b f(a) f(b) c f( c) p=f(a)*f( c) abs(a-b) Comentario

1 3.000 4.000 -0.0986 0.6137 3.13843859 -0.0053 0.0005213 0.8615614 continúe2 3.138 4.000 -0.0053 0.6137 3.15303117 0.0047 -0.0000247 0.0145926 continúe3 3.138 3.153 -0.0053 0.0047 3.14371527 -0.0017 0.0000089 0.0093159 continúe4 3.144 3.153 -0.0017 0.0047 3.14762835 0.0010 -0.0000017 0.0039131 continúe5 3.144 3.148 -0.0017 0.0010 3.14552801 -0.0005 0.0000008 0.0021003 continúe6 3.146 3.148 -0.0005 0.0010 3.14653834 0.0002 -0.0000001 0.0010103 continúe7 3.146 3.147 -0.0005 0.0002 3.14602383 -0.0001 0.0000001 0.0005145 continúe8 3.146 3.147 -0.0001 0.0002 3.1462787 0.0001 0.0000000 0.0002549 continúe9 3.146 3.146 -0.0001 0.0001 3.14615068 0.0000 0.0000000 0.0001280 continúe

10 3.146 3.146 0.0000 0.0001 3.14621454 0.0000 0.0000000 0.0000639 3.14621454

Si f(a) se repite dos veces, entonces:

c=a−0.5∗f (a ) .(b−a)f (b )−0.5∗f (a)

Si f(b) se repite dos veces entonces:

c=a−f (a ) .(b−a)

0.5∗f (b )−f (a)

De lo contrario:

c=a−f (a ) .(b−a)f (b )−f (a)

Entonces

Primera Iteración

a=3 y b=4, entonces Si f ( x )=x−lnx−2

f(a)=f(3)= -0.0986 y f(b)=f(4)= 0.6137, entonces c=3.13843859

f(a)*f(c)>0, luego |b-c|=0.8615614<0.0001, por lo tanto debemos continuar iterando.

Segunda Iteración

a=3.138 y b=4, entonces Si f ( x )=x−lnx−2

f(a)=f(3.138)=-5 y f(b)=f(4.000)= 0.6137, entonces, se repite f(b), c=3.15303117




Con el método de Regla Falsa Modificada la raíz es obtenida en la iteración número 10, con un valor de 3.14621454 y una tolerancia de 0.0001.



25.e) APLICACIÓN DE LA ITERACION DE PUNTO FIJO.- en <-2,-1>, para f ( x )=x−lnx−2, con una tolerancia de 0.0001, en el intervalo <3,4>.

Nro It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario

1 3.5 3.252762968 0.247237032 Continúe

2 3.252762968 3.179504779 0.073258189 Continúe

3 3.179504779 3.156725455 0.022779324 Continúe

4 3.156725455 3.149535242 0.007190213 Continúe

5 3.149535242 3.1472549 0.002280342 Continúe

6 3.1472549 3.146530612 0.000724287 Continúe

7 3.146530612 3.146300453 0.000230159 Continue

8 3.146300453 3.146227303 7.31497E-05 3.146227303

En este método, haremos a f(x)=0 y despejaremos en función de x, a esa nueva función la llamaremos g(x), luego Si derivada de g(x), osea |g’(x0)|<1, entonces converge, por lo que podremos aplicar el método sin problemas, haciendo x1=g(x0), se evalu x1-x0, si esta es mayor que la tolerancia debemos continuar iterando, en la nueva iteración, x0=x1(de la iteración anterior).

Si f ( x )=x−lnx−2 , entonces g ( x )=lnx+2, luego g' (x )=1/x

Entonces, ¿ g' (3.5 )∨¿1 , por lotantoconverge y procedeelmétodo .

Primera Iteración

x0=3.5

Entonces g(3.5)= 3.252762968, luego | x1-x0|=0.247237032>0.0001, por lo tanto continuar iterando

Segunda Iteración

x0=3.252762968, Entonces g’(3.252762968)= 3.179504779,

luego | x1-x0|=0.073258189>0.0001, por lo tanto continuar iterando.

Con el método de Iteración de Punto Fijo la raíz es obtenida en la iteración número 8, con un valor de 3.146227303 y una tolerancia de 0.0001.



25.f) APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON RAPHSON.- en <3,4>, para f ( x )=x−lnx−2, con una tolerancia de 0.0001, en el intervalo <3,4>.

Nro It. x0 x1 Abs(x1-x0) Comentario

1 3.500000000 3.153868156 0.346131844 Continúe2 3.153868156 3.146197563 0.007670593 Continúe3 3.146197563 3.146193221 0.000004343 3.146193221

En este método debemos calcular x1=x0−f (x)f ' (x)

,luego si

¿ x1−x0∨¿0.00001 , continuar iterando , luego x0=x1

Entonces Si f ( x )=x−lnx−2, f ' ( x )=1−1x

Luego, x1=x−

x−lnx−2

1−1x

Primera iteración:

x0=¿3.5, entonces x1=¿3.153868156, luego ¿ x1−x0∨¿0.346131844> 0.0001, debemos continuar iterando.

Segunda Iteración:x0=3.153868156, entonces x1=3.146197563, luego ¿ x1−x0∨¿0.007670593> 0.0001, debemos continuar iterando.

Con el método de Newton-Raphson la raíz es obtenida en la iteración número 3, con un valor de 3.146193221 y una tolerancia de 0.0001.



25.g) APLICACIÓN DEL METODO DE LA SECANTE.- en <-2,-1>, para f ( x )=x−lnx−2, con una tolerancia de 0.0001, en el intervalo <3,4>.

It. xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi-1-xi xi+1 Abs(xi-1-xi+1) Coment.1 3.00000000 4.00000000 -0.09861229 0.61370564 -1.00000000 3.13843859 0.13843859 Continúe2 4.00000000 3.13843859 0.61370564 -0.00528682 0.86156141 3.14579720 0.85420280 Continúe3 3.13843859 3.14579720 -0.00528682 -0.00027014 -0.00735861 3.14619345 0.00775486 Continúe4 3.14579720 3.14619345 -0.00027014 0.00000016 -0.00039625 3.14619322 0.00039602 Continúe5 3.14619345 3.14619322 0.00000016 -0.000000000005 0.00000023 3.14619322 0.00000023 3.146193221

En este método, debemos calcular x i+1, mediante la siguiente fórmula:

x i+1=x i−f (x i)(x i−1−x i)f (x i−1 )−f (xi)

Para este necesitamos dos valores, tanto el valor mínimo y máximo del intervalo donde se encuentra la raíz a calcular ( en este ejercicio son 3 y 4).Luego, con estos valores, podemos obtener valores para f (x i ) , f ¿Luego Si |x i−1−x i+1|>tolerancia , continuar iterando ,

Para este ejercicio, tolerancia=0.0001

Primera Iteración.x i−1=3 y x i=4, luego x i+1=¿3.13843859, f (x i )=0.61370564 y f (x i−1 )=−0.09861229

Luego x i+1=3.13843859

|x i−1−x i+1|=0.13843859>0.0001, por lo que debemos continuar iterando.

Segunda Iteración.x i−1=4 y x i=3.13843859, luego x i+1=3.14579720,

f (x i )=3.13843859 y f ( xi−1 )=0.61370564

Luego x i+13.14579720

|x i−1−x i+1|=0.85420280>0.0001, por lo que debemos continuar iterando.






Para esta función, el método gráfico en la búsqueda de la ubicación de raíces es la elección correcta, pues encuentra las ubicaciones de dos raíces, mientras el método BUSCA solo encuentra solo la ubicación de una de ellas.



ERROR MÉTODO MÉTODO

BISECCIÓN 14 3.146179199 0.000061035

REGLA FALSA (MODIFICADA)

10 3.146214540 0.000063863

PUNTO FIJO 8 3.146227303 0.000073150

NEWTON-RAPHSON 3 3.146193221 0.000004343 X Es necesario un Número menor de Iteraciones, siendo también el método con el menor error.

SECANTE 5 3.146193221 0.000000228



Soluciones para hallar el valor de las raíces realizadas con el uso de MATLAB y una en Excel.

METODO GRAFICO

45.a Si f ( x )=cosh ( x ) cos(x )−1, al trazar la gráfica, podemos observar que corta al eje x

en cinco puntos, entre <-8,-7>, <-5,-4>, raíz exacta <0,0>, <4,5>, <7,8>,(dentro de x:[-

10,10]). Hemos encontrado la ubicación de 4 raíces asi como el valor de una raíz exacta.

Hacemos f(x)=g(x)-h(x), g ( x )=cosh ( x )cos (x), h ( x )=1, graficamos en un mismo plano, vemos

que la intersección de ambas funciones proyectada en el eje x sucede entre <-8,-7>, <-5,-4>, <0,0>,

<4,5>, <7,8>.


EJERCICIO NUMERO 45


45.b. APLICACIÓN DEL METODO BUSCA.- Para la función f ( x )= ,cosh ( x ) cos(x )−1 ,el cual fue trabajado con la ayuda del Excel. Este método encuentra 06 ubicaciones para raíces, entre <-8,-7>, <-5,-4>, <-1,0>,<0,1>, <4,5> y <7,8>.En la aplicación de este método para esta función encontramos un error, pues entre <-1,1> existe una raíz exacta igual a 0 (el origen).

Nro. de intervalos

a b f(a) f(b) p=f(a)*f(b) Decisión

1 -10 -9 -9241.890186 -3692.482547 34125518.21 No existe raíz

2 -9 -8 -3692.482547 -217.8647684 804461.8547 No existe raíz

3 -8 -7 -217.8647684 412.3774489 -89842.51738 Existe raíz

4 -7 -6 412.3774489 192.6813602 79457.44775 No existe raíz

5 -6 -5 192.6813602 20.05055618 3863.368437 No existe raíz

6 -5 -4 20.05055618 -18.84985219 -377.9500204 Existe raíz

7 -4 -3 -18.84985219 -10.96690983 206.7246294 No existe raíz

8 -3 -2 -10.96690983 -2.565625835 28.1369872 No existe raíz

9 -2 -1 -2.565625835 -0.166269975 0.426586543 No existe raíz

10 -1 0 -0.166269975 0 0 Existe raíz

11 0 1 0 -0.166269975 0 Existe raíz

12 1 2 -0.166269975 -2.565625835 0.426586543 No existe raíz

13 2 3 -2.565625835 -10.96690983 28.1369872 No existe raíz

14 3 4 -10.96690983 -18.84985219 206.7246294 No existe raíz

15 4 5 -18.84985219 20.05055618 -377.9500204 Existe raíz

16 5 6 20.05055618 192.6813602 3863.368437 No existe raíz

17 6 7 192.6813602 412.3774489 79457.44775 No existe raíz

18 7 8 412.3774489 -217.8647684 -89842.51738 Existe raíz

19 8 9 -217.8647684 -3692.482547 804461.8547 No existe raíz

20 9 10 -3692.482547 -9241.890186 34125518.21 No existe raíz


Luego: Si f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1, entonces f (a )=f (−8 )=−217.8647684 y

f (b )=f (−7 )=412.3774489

Luego: f (a ) . f (b )=−89842.51738<0 , por lo tanto entre←8 ,−7>existeunaraíz



45.c) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN.- a cada intervalo con una tolerancia de 0.0001 para f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1 . Este método se aplico con la ayuda del Excel, para el intervalo <4,5>

Ingrese el valor de a = 4 Ingrese el valor de b = 5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001

Ingrese la funciòn: cosh(x)*cos(x)-1

It. a b c Error aprox

1 4.000000000000000 5.000000000000000 4.500000000000000

2 4.500000000000000 5.000000000000000 4.750000000000000 0.250000000000000

3 4.500000000000000 4.750000000000000 4.625000000000000 0.125000000000000

4 4.625000000000000 4.750000000000000 4.687500000000000 0.062500000000000

5 4.687500000000000 4.750000000000000 4.718750000000000 0.031250000000000

6 4.718750000000000 4.750000000000000 4.734375000000000 0.015625000000000

7 4.718750000000000 4.734375000000000 4.726562500000000 0.007812500000000

8 4.726562500000000 4.734375000000000 4.730468750000000 0.003906250000000

9 4.726562500000000 4.730468750000000 4.728515625000000 0.001953125000000

10 4.728515625000000 4.730468750000000 4.729492187500000 0.000976562500000

11 4.729492187500000 4.730468750000000 4.729980468750000 0.000488281250000

12 4.729980468750000 4.730468750000000 4.730224609375000 0.000244140625000

13 4.729980468750000 4.730224609375000 4.730102539062500 0.000122070312500

14 4.729980468750000 4.730102539062500 4.730041503906250 0.000061035156250

15 4.729980468750000 4.730041503906250 4.730010986328125 0.000030517578125

16 4.730010986328125 4.730041503906250 4.730026245117188 0.000015258789063

17 4.730026245117188 4.730041503906250 4.730033874511719 0.000007629394531

18 4.730033874511719 4.730041503906250 4.730037689208984 0.000003814697266

19 4.730037689208984 4.730041503906250 4.730039596557617 0.000001907348633

20 4.730039596557617 4.730041503906250 4.730040550231934 0.000000953674316

21 4.730040550231934 4.730041503906250 4.730041027069092 0.000000476837158

22 4.730040550231934 4.730041027069092 4.730040788650513 0.000000238418579

23 4.730040550231934 4.730040788650513 4.730040669441223 0.000000119209290

24 4.730040669441223 4.730040788650513 4.730040729045868 0.000000059604645

La raíz aproximada es: 4.730040729045868, Con el método de la Bisección la raíz es obtenida en la iteración número 24, con un valor de 4.730040729045868 y una tolerancia de 0.0001.



45.d) APLICACIÓN DEL MÉTODO MODIFICADO DE LA REGLA FALSA .- en <4,5>, para

f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1, con una tolerancia de 0.0001

Ingrese el valor de a = 4 Ingrese el valor de b = 5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001

Ingrese la Funcion f(x) = cosh(x)*cos(x)-1


1 4.000000000000000 5.000000000000000 4.484566948759856

2 4.500000000000000 5.000000000000000 4.750000000000000 0.265433051240144

3 4.500000000000000 4.750000000000000 4.625000000000000 0.125000000000000

4 4.625000000000000 4.750000000000000 4.687500000000000 0.062500000000000

5 4.687500000000000 4.750000000000000 4.718750000000000 0.031250000000000

6 4.718750000000000 4.750000000000000 4.734375000000000 0.015625000000000

7 4.718750000000000 4.734375000000000 4.726562500000000 0.007812500000000

8 4.726562500000000 4.734375000000000 4.730468750000000 0.003906250000000

9 4.726562500000000 4.730468750000000 4.728515625000000 0.001953125000000

10 4.728515625000000 4.730468750000000 4.729492187500000 0.000976562500000

11 4.729492187500000 4.730468750000000 4.729980468750000 0.000488281250000

12 4.729980468750000 4.730468750000000 4.730224609375000 0.000244140625000

13 4.729980468750000 4.730224609375000 4.730102539062500 0.000122070312500

14 4.729980468750000 4.730102539062500 4.730041503906250 0.000061035156250

15 4.729980468750000 4.730041503906250 4.730010986328125 0.000030517578125

16 4.730010986328125 4.730041503906250 4.730026245117188 0.000015258789063

17 4.730026245117188 4.730041503906250 4.730033874511719 0.000007629394531

18 4.730033874511719 4.730041503906250 4.730037689208984 0.000003814697266

19 4.730037689208984 4.730041503906250 4.730039596557617 0.000001907348633

20 4.730039596557617 4.730041503906250 4.730040550231934 0.000000953674316

21 4.730040550231934 4.730041503906250 4.730041027069092 0.000000476837158

22 4.730040550231934 4.730041027069092 4.730040788650513 0.000000238418579

23 4.730040550231934 4.730040788650513 4.730040669441223 0.000000119209290

24 4.730040669441223 4.730040788650513 4.730040729045868 0.000000059604645

La raíz aproximada es: 4.730040729045868, con el método de Regla Falsa Modificada la raíz es obtenida en la iteración número 24, con un valor de 4.730040729045868 y una tolerancia de 0.0001.



45.e) APLICACIÓN DE LA ITERACION DE PUNTO FIJO.- en <4,5>, para


No pudo aplicarse el uso de Matlab para esta función, pues reportaba error,

Tomando como g ( x )=arccosh( 1cos ( x ) ) ,entonces

g' (x )= sen (x)

cos2 x∗[ 1cos2 x

−1]12

Entonces ¿ g' (4.5 )∨¿4.743928>1 , por lotanto noconverge

Tomando como g ( x )=arccos( 1cosh ( x ) ) , entonces

g' (x )= senh (x)

cosh2 x∗[1− 1cosh2 x ]

12

Entonces ¿ g' (4.5 )∨¿0.022215<1 , por lotanto converge ,

pero al ejecutar enmatlabno obtenemosrespuesta .

Tampoco se logró nada haciendo uso del Excel

Este método no aplica para esta función.



45.f) APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON-RAPHSON.- en <4,5>, para


Ingrese el valor inicial x0 = 4.5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001Ingrese la función f(x) = cosh(x)*cos(x)-1i fx(i) Error aprox (i)

0 4.500000000000000 100.000000000000000

1 4.803880023241935 0.303880023241935

2 4.734922190036826 0.068957833205109

3 4.730064007600674 0.004858182436153

4 4.730040745394374 0.000023262206300

5 4.730040744862704 0.000000000531670

La raíz aproximada es: 4.730040744862704

Con el método de Newton-Raphson la raíz es obtenida en la iteración número 5, con un valor de 4.730040744862704 y una tolerancia de 0.0001.



45.g) APLICACIÓN DEL METODO DE LA SECANTE.- en <4,5>, para


No pudo aplicarse el programa de MATLAB pues arrojaba error

Ingrese el intervalo inferior: 4 Ingrese el intervalo superior: 5

Ingrese el porcentaje de error: 0.00001

Ingrese la funciòn: cosh(x)*cos(x)-1

i xf(i) Error aprox (i)

1 1.5696901582 100.0000000000

2 -3.1051279139 150.5515457563

3 -1.3393145753 -131.8445547625

4 -1.2585766792 -6.4150160569

5 -0.9704257083 -29.6932540512

6 -0.8119529621 -19.5174786726

7 -0.6593185582 -23.1503272551

8 -0.5417927373 -21.6920259005

9 -0.4432396577 -22.2347161242

10 -0.3632569166 -22.0182293673

11 -0.2975112171 -22.0985615563

12 -0.2437293688 -22.0662157086

13 -0.1996504110 -22.0780701744

14 -0.1635497170 -22.0732231710

15 -0.1339748193 -22.0749673892

16 -0.1097486419 -22.0742388764

17 -0.0899030075 -22.0744945132

18 -0.0736460870 -22.0743845919

19 -0.0603288436 -22.0744218549

20 -0.0494197317 -22.0744051805

21 -0.0404832852 -22.0744105789

22 -0.0331627946 -22.0744080351

23 -0.0271660497 -22.0744087687

24 -0.0222536812 -22.0744085186



25 -0.0182296040 -22.0744084917

26 -0.0149331905 -22.0744086954

27 -0.0122328592 -22.0744077128

28 -0.0100208218 -22.0744112529

29 -0.0082087819 -22.0744062432

30 -0.0067244089 -22.0744025743

31 -0.0055084502 -22.0744251622

32 -0.0045123719 -22.0743825134

33 -0.0036964116 -22.0743897529

34 -0.0030279983 -22.0744262979

35 -0.0024804486 -22.0746268801

36 -0.0020319144 -22.0744594469

37 -0.0016645038 -22.0732806306

38 -0.0013635651 -22.0699925316

39 -0.0011169018 -22.0845990573

40 -0.0009151650 -22.0437721785

41 -0.0007491769 -22.1560524679

42 -0.0006140438 -22.0070802685

43 -0.0005042805 -21.7663170975

44 -0.0004099226 -23.0184728741

45 -0.0003361519 -21.9456585085

46 -0.0002720034 -23.5837019066

47 -0.0002292377 -18.6555865520

48 -0.0001864721 -22.9340722506

49 -0.0001437065 -29.7590296002

50 -0.0001009408 -42.3670536310

51 Inf NaN

La raiz aproximada es: Inf

resultado obtenido en la iteración Nro.:51



Sin embargo, ejecutamos el Excel, obteniendo el valor aproximado de la raíz

It. xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi-1-xi xi+1 Abs(xi-1-xi+1) Coment.

1 4.000000000 5.000000000-

18.849852 20.0505562 -1.00000000 4.484566949 0.484566949 Continúe2 5.000000000 4.484566949 20.050556 -11.0110654 0.51543305 4.667283329 0.332716671 Continúe

3 4.484566949 4.667283329-

11.011065 -3.39920547 -0.18271638 4.748878434 0.264311485 Continúe4 4.667283329 4.748878434 -3.399205 1.10613044 -0.08159511 4.728845559 0.061562231 Continúe5 4.748878434 4.728845559 1.106130 -0.06881622 0.02003287 4.730018878 0.018859556 Continúe6 4.728845559 4.730018878 -0.068816 -0.00126051 -0.00117332 4.730040771 0.001195211 Continúe7 4.730018878 4.730040771 -0.001261 0.00000148 -0.00002189 4.730040745 0.000021867 4.730040745






Para esta función, en la búsqueda de ubicación de las raíces el método gráfico es la elección correcta, pues encuentra las ubicaciones de las 05 raíces, dentro de ellas una exacta.




BISECCIÓN 24 4.730040729045868 0.000000059604645


24 4.730040729045868 0.000000059604645

PUNTO FIJO No aplica


SECANTE 7 4.730040745 0.000021867



INTERVALO <7,8>

Biseccion

Ingrese el valor de a = 7 Ingrese el valor de b = 8

Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la funciòn: cosh(x)*cos(x)-1


1 7.000000000000000 8.000000000000000 7.500000000000000

2 7.500000000000000 8.000000000000000 7.750000000000000 0.250000000000000

3 7.750000000000000 8.000000000000000 7.875000000000000 0.125000000000000

4 7.750000000000000 7.875000000000000 7.812500000000000 0.062500000000000

5 7.812500000000000 7.875000000000000 7.843750000000000 0.031250000000000

6 7.843750000000000 7.875000000000000 7.859375000000000 0.015625000000000

7 7.843750000000000 7.859375000000000 7.851562500000000 0.007812500000000

8 7.851562500000000 7.859375000000000 7.855468750000000 0.003906250000000

9 7.851562500000000 7.855468750000000 7.853515625000000 0.001953125000000

10 7.851562500000000 7.853515625000000 7.852539062500000 0.000976562500000

11 7.852539062500000 7.853515625000000 7.853027343750000 0.000488281250000

12 7.853027343750000 7.853515625000000 7.853271484375000 0.000244140625000

13 7.853027343750000 7.853271484375000 7.853149414062500 0.000122070312500

14 7.853149414062500 7.853271484375000 7.853210449218750 0.000061035156250

15 7.853149414062500 7.853210449218750 7.853179931640625 0.000030517578125

16 7.853179931640625 7.853210449218750 7.853195190429688 0.000015258789063

17 7.853195190429688 7.853210449218750 7.853202819824219 0.000007629394531

18 7.853202819824219 7.853210449218750 7.853206634521484 0.000003814697266

19 7.853202819824219 7.853206634521484 7.853204727172852 0.000001907348633

20 7.853202819824219 7.853204727172852 7.853203773498535 0.000000953674316

21 7.853203773498535 7.853204727172852 7.853204250335693 0.000000476837158

22 7.853204250335693 7.853204727172852 7.853204488754273 0.000000238418579

23 7.853204488754273 7.853204727172852 7.853204607963562 0.000000119209290

24 7.853204607963562 7.853204727172852 7.853204667568207 0.000000059604645


La raíz fue obtenida en la iteración número: 24

La raíz fue obtenida con un error de: 0.000000059604645



Regla Falsa Modificada


Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la Funcion f(x) = cosh(x)*cos(x)-1


1 7.000000000000000 8.000000000000000 7.654315813207004

2 7.500000000000000 8.000000000000000 7.750000000000000 0.095684186792996

3 7.750000000000000 8.000000000000000 7.875000000000000 0.125000000000000

4 7.750000000000000 7.875000000000000 7.812500000000000 0.062500000000000

5 7.812500000000000 7.875000000000000 7.843750000000000 0.031250000000000

6 7.843750000000000 7.875000000000000 7.859375000000000 0.015625000000000

7 7.843750000000000 7.859375000000000 7.851562500000000 0.007812500000000

8 7.851562500000000 7.859375000000000 7.855468750000000 0.003906250000000

9 7.851562500000000 7.855468750000000 7.853515625000000 0.001953125000000

10 7.851562500000000 7.853515625000000 7.852539062500000 0.000976562500000

11 7.852539062500000 7.853515625000000 7.853027343750000 0.000488281250000

12 7.853027343750000 7.853515625000000 7.853271484375000 0.000244140625000

13 7.853027343750000 7.853271484375000 7.853149414062500 0.000122070312500

14 7.853149414062500 7.853271484375000 7.853210449218750 0.000061035156250

15 7.853149414062500 7.853210449218750 7.853179931640625 0.000030517578125

16 7.853179931640625 7.853210449218750 7.853195190429688 0.000015258789063

17 7.853195190429688 7.853210449218750 7.853202819824219 0.000007629394531

18 7.853202819824219 7.853210449218750 7.853206634521484 0.000003814697266

19 7.853202819824219 7.853206634521484 7.853204727172852 0.000001907348633

20 7.853202819824219 7.853204727172852 7.853203773498535 0.000000953674316

21 7.853203773498535 7.853204727172852 7.853204250335693 0.000000476837158

22 7.853204250335693 7.853204727172852 7.853204488754273 0.000000238418579

23 7.853204488754273 7.853204727172852 7.853204607963562 0.000000119209290

24 7.853204607963562 7.853204727172852 7.853204667568207 0.000000059604645

La raiz fue obtenida en la iteración número : 24

La raiz aproximada es:7.853204667568207

El resultado fue obtenido con un error de:0.000000059604645



Iteración de Punto Fijo

Ingrese el valor inicial x0 = 7.5

Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001

Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = sinh(x)/((cosh(x))^2*(1-(cosh(x))^-2)^0.5)

i x1 Error aprox

1 0.001106168401916 7.498893831598084

2 0.999999388269936 0.998893219868020

3 0.648054575585937 0.351944812683999

4 0.821395621983631 0.173341046397694

5 0.737058664168120 0.084336957815510

6 0.778725513183610 0.041666849015489

7 0.758240828130784 0.020484685052825

8 0.768341919227577 0.010101091096792

9 0.763367644095235 0.004974275132342

10 0.765818912137395 0.002451268042160

11 0.764611354334611 0.001207557802784

12 0.765206326742137 0.000594972407526

13 0.764913203282647 0.000293123459490

14 0.765057621406017 0.000144418123370

15 0.764986469871139 0.000071151534878

16 0.765021524959116 0.000035055087977

17 0.765004254027086 0.000017270932030

18 0.765012763085616 0.000008509058530

19 0.765008570839767 0.000004192245849

20 0.765010636278057 0.000002065438289

21 0.765009618676924 0.000001017601133

22 0.765010120029210 0.000000501352286

23 0.765009873022707 0.000000247006503

24 0.765009994718003 0.000000121695296

25 0.765009934761100 0.000000059956903






La raíz obtenida no encaja en el intervalo analizado <7,8>, por lo que haremos uso del Excel.

Nro It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario1 7.50 0.001106 7.498893832 Continúe2 0.00110617 0.999999 0.99889322 Continúe3 0.99999939 0.648055 0.351944813 Continúe4 0.64805458 0.821396 0.173341046 Continúe5 0.82139562 0.737059 0.084336958 Continúe6 0.73705866 0.778726 0.041666849 Continúe7 0.77872551 0.758241 0.020484685 Continúe8 0.75824083 0.768342 0.010101091 Continúe9 0.76834192 0.763368 0.004974275 Continúe

10 0.76336764 0.765819 0.002451268 Continúe11 0.76581891 0.764611 0.001207558 Continúe12 0.76461135 0.765206 0.000594972 Continúe13 0.76520633 0.764913 0.000293123 Continúe14 0.7649132 0.765058 0.000144418 Continúe15 0.76505762 0.764986 0.0000711515 0.76498647

Como vemos tampoco Excel nos da un respuesta con sentido para el intervalo analizado <7,8>, por lo que el método no aplicaría para f ( x )= ,cosh ( x ) cos ( x )−1 ,intervalo<7,8>



METODO DE NEWTON-RAPHSON



Ingrese la función f(x) = cosh(x)*cos(x)-1

i fx(i) Error aprox (i)

0 7.500000000000000 100.000000000000000

1 8.084290962094810 0.584290962094810

2 7.893842301334428 0.190448660760382

3 7.854772040922961 0.039070260411467

4 7.853207077668694 0.001564963254267

5 7.853204624101863 0.000002453566831

6 7.853204624095838 0.000000000006025



El resultado fue obtenido con un error de: 0.000000000006025



METODO DE LA SECANTE

Ingrese el intervalo inferior: 7

Ingrese el intervalo superior: 8

Ingrese el porcentaje de error: 0.00001

Ingrese la funciòn: (0.5*(exp(x)+exp(-1*x)))*cos(x)-1


1 0.0011061684 100.0000000000

2 2.5933551844 99.9573460508

3 2.6760997937 3.0919851884

4 1.8810771194 -42.2642254323

5 1.5882394805 -18.4378768077

6 1.2762489663 -24.4458975090

7 1.0497007148 -21.5821755907

8 0.8573265328 -22.4388461951

9 0.7026567684 -22.0121361194

10 0.5753200052 -22.1332062278

11 0.4713134350 -22.0673892223

12 0.3860562110 -22.0841477422

13 0.3162481616 -22.0738198364

14 0.2590582951 -22.0760606991

15 0.2122134264 -22.0744132312

16 0.1738389970 -22.0746955969

17 0.1424041055 -22.0744278815

18 0.1166534802 -22.0744595671

19 0.0955593193 -22.0744151417

20 0.0782795618 -22.0744177657

21 0.0641244645 -22.0744102227

22 0.0525289980 -22.0744101905

23 0.0430303112 -22.0744088797

24 0.0352492480 -22.0744087895

25 0.0288752151 -22.0744085620

26 0.0236537825 -22.0744084807



27 0.0193765285 -22.0744084258

28 0.0158727195 -22.0744085618

29 0.0130024955 -22.0744086724

30 0.0106512870 -22.0744076510

31 0.0087252415 -22.0744086035

32 0.0071474783 -22.0744035840

33 0.0058550174 -22.0744160637

34 0.0047962696 -22.0744027833

35 0.0039289738 -22.0743570345

36 0.0032185045 -22.0745173140

37 0.0026365184 -22.0740398137

38 0.0021597719 -22.0739258529

39 0.0017691892 -22.0769319923

40 0.0014493151 -22.0707106962

41 0.0011872510 -22.0731875372

42 0.0009726189 -22.0674335195

43 0.0007969871 -22.0369718860

44 0.0006523772 -22.1666081225

45 0.0005346111 -22.0283779527

46 0.0004373947 -22.2262284079

47 0.0003587638 -21.9171667189

48 0.0002932381 -22.3455685217

49 0.0002327528 -25.9869163604

50 0.0001722675 -35.1112466640

51 0.0001601705 -7.5526126223

52 0.0001601705 0.0000000000



Se uso la forma de cosh=(e^x+e^-x)*0.5, mas no se obtuvo un resultado acorde con el intervalo analizado <7,8>, aun haciendo uso del Excel



Entonces para intervalo <7,8>




BISECCIÓN 24 7.853204667568207

0.000000059604645


24 7.853204667568207 0.000000059604645

PUNTO FIJO 15 0.76498647 0.0000711515


SECANTE



Valor de las raíces realizadas con el uso de MATLAB.

METODO GRAFICO

65.a Si f ( x )=ex−2cos(x ), al trazar la gráfica, podemos observar que corta al eje x en

cuatro puntos, entre <-8,-7>, <-5,-4>, <-2,-1>, <0,1>, (dentro de x:[-10,10]). Hemos

encontrado la ubicación de 4 raíces.


EJERCICIO NUMERO 65


Hacemos f(x)=g(x)-h(x), hacemos g ( x )=ex y h (x )=2cos (x ), graficamos en un mismo plano,

vemos que la intersección de ambas funciones proyectada en el eje x sucede entre <-8,-7>, <-5,-4>, <-

2,-1>, <0,1>, (dentro de x:[-10,10])



65.b. APLICACIÓN DEL METODO BUSCA.- Para la función f ( x )=ex−2cos(x ) ,el cual fue trabajado con la ayuda del Excel. Este método encuentra 06 ubicaciones para raíces, entre <-8,-7>, <-5,-4>, <-2,-1>, <0,1>, confirmando lo hallado por el método grafico.

Nro. de intervalos

a b f(a) f(b) p=f(a)*f(b) Decisión

1 -10 -9 1.678188458 1.822383934 3.058303684 No existe raíz

2 -9 -8 1.822383934 0.29133553 0.53092519 No existe raíz

3 -8 -7 0.29133553 -1.506892627 -0.439011362 Existe raíz

4 -7 -6 -1.506892627 -1.917861821 2.890011837 No existe raíz

5 -6 -5 -1.917861821 -0.560586424 1.0751273 No existe raíz

6 -5 -4 -0.560586424 1.325602881 -0.743114978 Existe raíz

7 -4 -3 1.325602881 2.029772062 2.690671692 No existe raíz

8 -3 -2 2.029772062 0.967628956 1.964066222 No existe raíz

9 -2 -1 0.967628956 -0.712725171 -0.689653513 Existe raíz

10 -1 0 -0.712725171 -1 0.712725171 No existe raíz

11 0 1 -1 1.637677217 -1.637677217 Existe raíz

12 1 2 1.637677217 8.221349772 13.46391721 No existe raíz

13 2 3 8.221349772 22.06552192 181.4083736 No existe raíz

14 3 4 22.06552192 55.90543727 1233.582651 No existe raíz

15 4 5 55.90543727 147.8458347 8265.38604 No existe raíz

16 5 6 147.8458347 401.5084529 59361.35237 No existe raíz

17 6 7 401.5084529 1095.125354 439702.0866 No existe raíz

18 7 8 1095.125354 2981.248987 3264841.352 No existe raíz

19 8 9 2981.248987 8104.906188 24162743.36 No existe raíz

20 9 10 8104.906188 22028.14394 178536040.1 No existe raíz


Luego: Sf ( x )=ex−2cos(x ) , entonces f (a )=f (−2 )=0.967628956 , y

f (b )=f (−1 )=−0.712725171Luego:

f (a ) . f (b )=−0.689653513<0 , por lo tantoen←2 ,−1>existeunaraíz



65.c) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN.- a cada intervalo con una tolerancia de 0.0000001 para

f ( x )=ex−2cos(x ) . <-2,-1>

Ingrese el valor de a = -2 Ingrese el valor de b = -1

Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la funciòn: exp(x)-2*cos(x)


1 -2.000000000000000 -1.000000000000000 -1.500000000000000

2 -1.500000000000000 -1.000000000000000 -1.250000000000000 0.250000000000000

3 -1.500000000000000 -1.250000000000000 -1.375000000000000 0.125000000000000

4 -1.500000000000000 -1.375000000000000 -1.437500000000000 0.062500000000000

5 -1.500000000000000 -1.437500000000000 -1.468750000000000 0.031250000000000

6 -1.468750000000000 -1.437500000000000 -1.453125000000000 0.015625000000000

7 -1.468750000000000 -1.453125000000000 -1.460937500000000 0.007812500000000

8 -1.460937500000000 -1.453125000000000 -1.457031250000000 0.003906250000000

9 -1.457031250000000 -1.453125000000000 -1.455078125000000 0.001953125000000

10 -1.455078125000000 -1.453125000000000 -1.454101562500000 0.000976562500000

11 -1.454101562500000 -1.453125000000000 -1.453613281250000 0.000488281250000

12 -1.454101562500000 -1.453613281250000 -1.453857421875000 0.000244140625000

13 -1.453857421875000 -1.453613281250000 -1.453735351562500 0.000122070312500

14 -1.453735351562500 -1.453613281250000 -1.453674316406250 0.000061035156250

15 -1.453674316406250 -1.453613281250000 -1.453643798828125 0.000030517578125

16 -1.453674316406250 -1.453643798828125 -1.453659057617188 0.000015258789063

17 -1.453674316406250 -1.453659057617188 -1.453666687011719 0.000007629394531

18 -1.453674316406250 -1.453666687011719 -1.453670501708984 0.000003814697266

19 -1.453674316406250 -1.453670501708984 -1.453672409057617 0.000001907348633

20 -1.453674316406250 -1.453672409057617 -1.453673362731934 0.000000953674316

21 -1.453674316406250 -1.453673362731934 -1.453673839569092 0.000000476837158

22 -1.453673839569092 -1.453673362731934 -1.453673601150513 0.000000238418579

23 -1.453673839569092 -1.453673601150513 -1.453673720359802 0.000000119209290

24 -1.453673720359802 -1.453673601150513 -1.453673660755158 0.000000059604645

La raiz aproximada es:-1.453673660755158, con el método de la Bisección la raíz es obtenida en la iteración número 24, con un valor de -1.453673660755158 y una tolerancia de 0.0000001.



65.d) APLICACIÓN DEL MÉTODO MODIFICADO DE LA REGLA FALSA MODIFICADA.- en <-2,-1>, para

f ( x )=ex−2cos(x ), con una tolerancia de 0.0000001


Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la Funcion f(x) = exp(x)-2*cos(x)


1 -2.000000000000000 -1.000000000000000 -1.424151766081306

2 -2.000000000000000 -1.424151766081306 -1.250000000000000 0.174151766081306

3 -2.000000000000000 -1.250000000000000 -1.375000000000000 0.125000000000000

4 -2.000000000000000 -1.375000000000000 -1.437500000000000 0.062500000000000

5 -2.000000000000000 -1.437500000000000 -1.468750000000000 0.031250000000000

6 -2.000000000000000 -1.468750000000000 -1.453125000000000 0.015625000000000

7 -2.000000000000000 -1.453125000000000 -1.460937500000000 0.007812500000000

8 -2.000000000000000 -1.460937500000000 -1.457031250000000 0.003906250000000

9 -2.000000000000000 -1.457031250000000 -1.455078125000000 0.001953125000000

10 -2.000000000000000 -1.455078125000000 -1.454101562500000 0.000976562500000

11 -2.000000000000000 -1.454101562500000 -1.453613281250000 0.000488281250000

12 -2.000000000000000 -1.453613281250000 -1.453857421875000 0.000244140625000

13 -2.000000000000000 -1.453857421875000 -1.453735351562500 0.000122070312500

14 -2.000000000000000 -1.453735351562500 -1.453674316406250 0.000061035156250

15 -2.000000000000000 -1.453674316406250 -1.453643798828125 0.000030517578125

16 -2.000000000000000 -1.453643798828125 -1.453659057617188 0.000015258789063

17 -2.000000000000000 -1.453659057617188 -1.453666687011719 0.000007629394531

18 -2.000000000000000 -1.453666687011719 -1.453670501708984 0.000003814697266

19 -2.000000000000000 -1.453670501708984 -1.453672409057617 0.000001907348633

20 -2.000000000000000 -1.453672409057617 -1.453673362731934 0.000000953674316

21 -2.000000000000000 -1.453673362731934 -1.453673839569092 0.000000476837158

22 -2.000000000000000 -1.453673839569092 -1.453673601150513 0.000000238418579

23 -2.000000000000000 -1.453673601150513 -1.453673720359802 0.000000119209290

24 -2.000000000000000 -1.453673720359802 -1.453673660755158 0.000000059604645

La raíz aproximada es:-1.453673660755158, obtenida en la iteración número 24, con un valor de

-1.453673660755158y una tolerancia de 0.0000001.



65.e) APLICACIÓN DE LA ITERACION DE PUNTO FIJO.- en <-2,-1>, para

Tomando como g ( x )=−1∗acos (exp (x )2 ) , puescosx=cos (−x ) ,entonces

g' (x )= e x

(4−e2x )12

Entonces ¿ g' (−1.5 )∨¿0.112265942>1 , por lotantoconverge


Ingrese el valor inicial x0 = -1.5


Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = -1*arcos(exp(x)/2)

i x1 Error aprox

1 -1.458998503315253 0.041001496684747

2 -1.454298504933456 0.004699998381796

3 -1.453747162403277 0.000551342530180

4 -1.453682313757217 0.000064848646059

5 -1.453674683907543 0.000007629849674

6 -1.453673786174923 0.000000897732620

7 -1.453673680546716 0.000000105628207

8 -1.453673668118378 0.000000012428337

La raíz aproximada es:-1.453673668118378, resultado obtenido en la iteración 8 y con una tolerancia de 0.0000001

.



65.f) APLICACIÓN DEL METODO DE NEWTON RAPHSON.- en <-2,-1>, para




Ingrese la función f(x) = exp(x)-2*cos(x)


0 -1.500000000000000 100.000000000000000

1 -1.453915227259419 0.046084772740581

2 -1.453673674235863 0.000241553023556

3 -1.453673666461042 0.000000007774821

La raíz aproximada es:-1.453673666461042

Con el método de Newton-Raphson la raíz es obtenida en la iteración número 3, con un valor de:




65.g) APLICACIÓN DEL METODO DE LA SECANTE.- en <-2,-1>, para


Ingrese el intervalo inferior: -2 Ingrese el intervalo superior: -1

Ingrese el porcentaje de error: 0.00001 Ingrese la función: exp(x)-2*cos(x)


1 -1.4589985033 100.0000000000

2 -1.4763893605 1.1779316280

3 -1.4754667921 -0.0625272220

4 -1.4537346870 -1.4949155007

5 -1.4536738372 -0.0041859317

6 -1.4536736665 -0.0000117439

7 -1.4536736665 -0.0000000001

La raíz aproximada es: -1.4536736665, resultado obtenido en la iteración Nro.: 7




Para esta función, en la búsqueda de ubicación de las raíces el método gráfico es la elección correcta.




BISECCIÓN 24 -1.453673660755158 0.000000059604645


24 :-1.453673660755158 0.000000059604645

PUNTO FIJO 8 :-1.453673668118378 0.000000012428337

NEWTON-RAPHSON

3 :-1.453673666461042 0.000000007774821 X Es necesario un Número menor de Iteraciones.

SECANTE 7 -1.4536736665 -0.0000000001



Intervalo <0,1>

Método de la Bisección


Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001 Ingrese la función: exp(x)-2*cos(x)


1 0.000000000000000 1.000000000000000 0.500000000000000

2 0.500000000000000 1.000000000000000 0.750000000000000 0.250000000000000

3 0.500000000000000 0.750000000000000 0.625000000000000 0.125000000000000

4 0.500000000000000 0.625000000000000 0.562500000000000 0.062500000000000

5 0.500000000000000 0.562500000000000 0.531250000000000 0.031250000000000

6 0.531250000000000 0.562500000000000 0.546875000000000 0.015625000000000

7 0.531250000000000 0.546875000000000 0.539062500000000 0.007812500000000

8 0.539062500000000 0.546875000000000 0.542968750000000 0.003906250000000

9 0.539062500000000 0.542968750000000 0.541015625000000 0.001953125000000

10 0.539062500000000 0.541015625000000 0.540039062500000 0.000976562500000

11 0.539062500000000 0.540039062500000 0.539550781250000 0.000488281250000

12 0.539550781250000 0.540039062500000 0.539794921875000 0.000244140625000

13 0.539550781250000 0.539794921875000 0.539672851562500 0.000122070312500

14 0.539672851562500 0.539794921875000 0.539733886718750 0.000061035156250

15 0.539733886718750 0.539794921875000 0.539764404296875 0.000030517578125

16 0.539764404296875 0.539794921875000 0.539779663085938 0.000015258789063

17 0.539779663085938 0.539794921875000 0.539787292480469 0.000007629394531

18 0.539779663085938 0.539787292480469 0.539783477783203 0.000003814697266

19 0.539783477783203 0.539787292480469 0.539785385131836 0.000001907348633

20 0.539783477783203 0.539785385131836 0.539784431457520 0.000000953674316

21 0.539784431457520 0.539785385131836 0.539784908294678 0.000000476837158

22 0.539784908294678 0.539785385131836 0.539785146713257 0.000000238418579

23 0.539785146713257 0.539785385131836 0.539785265922546 0.000000119209290

24 0.539785146713257 0.539785265922546 0.539785206317902 0.000000059604645

La raíz aproximada es: 0.539785206317902 , La raíz fue obtenida en la iteración número: 24

La raíz fue obtenida con un error de :0.000000059604645



Método de la Regla Falsa, Intervalo <0,1>




1 0.000000000000000 1.000000000000000 0.379121445816054

2 0.500000000000000 1.000000000000000 0.750000000000000 0.370878554183946

3 0.500000000000000 0.750000000000000 0.625000000000000 0.125000000000000

4 0.500000000000000 0.625000000000000 0.562500000000000 0.062500000000000

5 0.500000000000000 0.562500000000000 0.531250000000000 0.031250000000000

6 0.531250000000000 0.562500000000000 0.546875000000000 0.015625000000000

7 0.531250000000000 0.546875000000000 0.539062500000000 0.007812500000000

8 0.539062500000000 0.546875000000000 0.542968750000000 0.003906250000000

9 0.539062500000000 0.542968750000000 0.541015625000000 0.001953125000000

10 0.539062500000000 0.541015625000000 0.540039062500000 0.000976562500000

11 0.539062500000000 0.540039062500000 0.539550781250000 0.000488281250000

12 0.539550781250000 0.540039062500000 0.539794921875000 0.000244140625000

13 0.539550781250000 0.539794921875000 0.539672851562500 0.000122070312500

14 0.539672851562500 0.539794921875000 0.539733886718750 0.000061035156250

15 0.539733886718750 0.539794921875000 0.539764404296875 0.000030517578125

16 0.539764404296875 0.539794921875000 0.539779663085938 0.000015258789063

17 0.539779663085938 0.539794921875000 0.539787292480469 0.000007629394531

18 0.539779663085938 0.539787292480469 0.539783477783203 0.000003814697266

19 0.539783477783203 0.539787292480469 0.539785385131836 0.000001907348633

20 0.539783477783203 0.539785385131836 0.539784431457520 0.000000953674316

21 0.539784431457520 0.539785385131836 0.539784908294678 0.000000476837158

22 0.539784908294678 0.539785385131836 0.539785146713257 0.000000238418579

23 0.539785146713257 0.539785385131836 0.539785265922546 0.000000119209290

24 0.539785146713257 0.539785265922546 0.539785206317902 0.000000059604645






Método de Iteracion de Punto Fijo Intervalo <0,1>

Ingrese el valor inicial x0 = 0.5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001

Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = log(2*cos(x))

i x1 Error aprox

1 0.562562940116223 0.062562940116223

2 0.525782330205283 0.036780609910940

3 0.548042287210253 0.022259957004971

4 0.534791524564303 0.013250762645950

5 0.542760125966028 0.007968601401724

6 0.537996726374226 0.004763399591801

7 0.540854507397180 0.002857781022954

8 0.539143697710393 0.001710809686787

9 0.540169205969210 0.001025508258818

10 0.539554964670932 0.000614241298279

11 0.539923043974558 0.000368079303626

12 0.539702536898028 0.000220507076530

13 0.539834659264876 0.000132122366848

14 0.539755502757251 0.000079156507624

15 0.539802929466513 0.000047426709261

16 0.539774514723631 0.000028414742882

17 0.539791539202757 0.000017024479126

18 0.539781339246109 0.000010199956647

19 0.539787450441646 0.000006111195536

20 0.539783789000819 0.000003661440827

21 0.539785982710069 0.000002193709250

22 0.539784668377135 0.000001314332933

23 0.539785455843743 0.000000787466608

24 0.539784984042974 0.000000471800769

25 0.539785266716605 0.000000282673631

26 0.539785097356211 0.000000169360395

27 0.539785198826400 0.000000101470190



28 0.539785138031794 0.000000060794607






65. Método de Newton-Raphson Intervalo <0,1>





0 0.500000000000000 100.000000000000000

1 0.540821054559040 0.040821054559040

2 0.539785831067799 0.001035223491241

3 0.539785160809562 0.000000670258237

4 0.539785160809281 0.000000000000281






65. Método de la Secante Intervalo <0,1>

Ingrese el intervalo inferior: 0 Ingrese el intervalo superior: 1

Ingrese el porcentaje de error: 0.00001 Ingrese la funciòn: exp(x)-2*cos(x)


1 0.5625629401 100.0000000000

2 0.5237189523 -7.4169528587

3 0.5247270893 0.1921259669

4 0.5399391235 2.8173609790

5 0.5397836989 -0.0287938686

6 0.5397851607 0.0002708108

7 0.5397851608 0.0000000261

La raíz aproximada es:0.5397851608

resultado obtenido en la iteración Nro.: 7



65.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR, INTERVALO <0.1>.





BISECCIÓN 0.539785206317902 0.000000059604645


0.539785206317902 0.000000059604645

PUNTO FIJO 0.539785138031794 0.000000060794607

NEWTON-RAPHSON 0.539785160809281 0.000000000000281 X Es necesario un Número menor de Iteraciones, el error también es s menor

SECANTE (Excel) 0.5397851608 0.0000000261



65. Método de Bisección, Intervalo <-5,-4>




1 -5.000000000000000 -4.000000000000000 -4.500000000000000

2 -5.000000000000000 -4.500000000000000 -4.750000000000000 0.250000000000000

3 -4.750000000000000 -4.500000000000000 -4.625000000000000 0.125000000000000

4 -4.750000000000000 -4.625000000000000 -4.687500000000000 0.062500000000000

5 -4.750000000000000 -4.687500000000000 -4.718750000000000 0.031250000000000

6 -4.718750000000000 -4.687500000000000 -4.703125000000000 0.015625000000000

7 -4.718750000000000 -4.703125000000000 -4.710937500000000 0.007812500000000

8 -4.718750000000000 -4.710937500000000 -4.714843750000000 0.003906250000000

9 -4.718750000000000 -4.714843750000000 -4.716796875000000 0.001953125000000

10 -4.718750000000000 -4.716796875000000 -4.717773437500000 0.000976562500000

11 -4.717773437500000 -4.716796875000000 -4.717285156250000 0.000488281250000

12 -4.717285156250000 -4.716796875000000 -4.717041015625000 0.000244140625000

13 -4.717041015625000 -4.716796875000000 -4.716918945312500 0.000122070312500

14 -4.716918945312500 -4.716796875000000 -4.716857910156250 0.000061035156250

15 -4.716918945312500 -4.716857910156250 -4.716888427734375 0.000030517578125

16 -4.716888427734375 -4.716857910156250 -4.716873168945313 0.000015258789063

17 -4.716873168945313 -4.716857910156250 -4.716865539550781 0.000007629394531

18 -4.716865539550781 -4.716857910156250 -4.716861724853516 0.000003814697266

19 -4.716861724853516 -4.716857910156250 -4.716859817504883 0.000001907348633

20 -4.716861724853516 -4.716859817504883 -4.716860771179199 0.000000953674316

21 -4.716860771179199 -4.716859817504883 -4.716860294342041 0.000000476837158

22 -4.716860771179199 -4.716860294342041 -4.716860532760620 0.000000238418579

23 -4.716860771179199 -4.716860532760620 -4.716860651969910 0.000000119209290

24 -4.716860651969910 -4.716860532760620 -4.716860592365265 0.000000059604645

La raíz aproximada es: -4.716860592365265, la raíz fue obtenida en la iteración número: 24




65. Método de la Regla Falsa Modificada, Intervalo <-5,-4>




1 -5.000000000000000 -4.000000000000000 -4.702794187955013

2 -5.000000000000000 -4.702794187955013 -4.750000000000000 0.047205812044987

3 -5.000000000000000 -4.750000000000000 -4.625000000000000 0.125000000000000

4 -5.000000000000000 -4.625000000000000 -4.687500000000000 0.062500000000000

5 -5.000000000000000 -4.687500000000000 -4.718750000000000 0.031250000000000

6 -5.000000000000000 -4.718750000000000 -4.703125000000000 0.015625000000000

7 -5.000000000000000 -4.703125000000000 -4.710937500000000 0.007812500000000

8 -5.000000000000000 -4.710937500000000 -4.714843750000000 0.003906250000000

9 -5.000000000000000 -4.714843750000000 -4.716796875000000 0.001953125000000

10 -5.000000000000000 -4.716796875000000 -4.717773437500000 0.000976562500000

11 -5.000000000000000 -4.717773437500000 -4.717285156250000 0.000488281250000

12 -5.000000000000000 -4.717285156250000 -4.717041015625000 0.000244140625000

13 -5.000000000000000 -4.717041015625000 -4.716918945312500 0.000122070312500

14 -5.000000000000000 -4.716918945312500 -4.716857910156250 0.000061035156250

15 -5.000000000000000 -4.716857910156250 -4.716888427734375 0.000030517578125

16 -5.000000000000000 -4.716888427734375 -4.716873168945313 0.000015258789063

17 -5.000000000000000 -4.716873168945313 -4.716865539550781 0.000007629394531

18 -5.000000000000000 -4.716865539550781 -4.716861724853516 0.000003814697266

19 -5.000000000000000 -4.716861724853516 -4.716859817504883 0.000001907348633

20 -5.000000000000000 -4.716859817504883 -4.716860771179199 0.000000953674316

21 -5.000000000000000 -4.716860771179199 -4.716860294342041 0.000000476837158

22 -5.000000000000000 -4.716860294342041 -4.716860532760620 0.000000238418579

23 -5.000000000000000 -4.716860532760620 -4.716860651969910 0.000000119209290

24 -5.000000000000000 -4.716860651969910 -4.716860592365265 0.000000059604645






65. Método de la Iteración de Punto Fijo, Intervalo <-5,-4>



Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = -1*acos(exp(x)/2)

i x1 Error aprox

1 -1.565241799963731 2.934758200036269

2 -1.466086357640836 0.099155442322896

3 -1.455125007854536 0.010961349786300

4 -1.453844307410881 0.001280700443655

5 -1.453693742537714 0.000150564873167

6 -1.453676028611616 0.000017713926097

7 -1.453673944394103 0.000002084217514

8 -1.453673699162965 0.000000245231137

9 -1.453673670308788 0.000000028854177


La raiz aproximada es:-1.453673670308788


Este valor no pertenece a <-5,-4>, por lo que haremos uso del Excel.

Nro It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario1 -4.50 -1.565241800 2.9347582 Continúe2 -1.5652418 -1.466086358 0.0991554 Continúe3 -1.4660864 -1.455125008 0.0109613 Continúe4 -1.4551250 -1.453844307 0.0012807 Continúe5 -1.4538443 -1.453693743 0.0001506 Continúe6 -1.4536937 -1.453676029 0.0000177 -1.453676029

El resultado es el mismo por lo tanto el método no aplica para la función f ( x )=ex−2cos(x ), en el intervalo <-5,-4>



65. Método de Newton-Raphson Intervalo <-5,-4>

Ingrese el valor inicial x0 = -4.5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001



0 -4.500000000000000 100.000000000000000

1 -4.720072915589575 0.220072915589575

2 -4.716860543812934 0.003212371776641

3 -4.716860600703114 0.000000056890180






65. Método de la Secante Intervalo <-5,-4>




1 -1.5652418000 100.0000000000

2 -3.6277728060 56.8539188183

3 4.2616474443 185.1260657617

4 -3.8300510160 211.2686861503

5 -4.0104948882 4.4992919148

6 -4.9309356480 18.6666552866

7 -4.7048351588 -4.8057048034

8 -4.7169585700 0.2570175460

9 -4.7168606036 -0.0020769395

10 -4.7168606007 -0.0000000620


Resultado obtenido en la iteración Nro.:10



65.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR, INTERVALO <-5.-4>.





BISECCIÓN 24 -4.716860592365265

0.000000059604645


24 -4.716860592365265 0.000000059604645

PUNTO FIJO No aplica para esta función en <-5,-4>

NEWTON-RAPHSON 3 -4.716860600703114

0.000000056890180 X Es necesario un Número menor de Iteraciones. Menor Error.

SECANTE (Excel) 10 -4.7168606007 0.0000000620



65. Método de Bisección, Intervalo <-8,-7>




1 -8.000000000000000 -7.000000000000000 -7.500000000000000

2 -8.000000000000000 -7.500000000000000 -7.750000000000000 0.250000000000000

3 -8.000000000000000 -7.750000000000000 -7.875000000000000 0.125000000000000

4 -7.875000000000000 -7.750000000000000 -7.812500000000000 0.062500000000000

5 -7.875000000000000 -7.812500000000000 -7.843750000000000 0.031250000000000

6 -7.875000000000000 -7.843750000000000 -7.859375000000000 0.015625000000000

7 -7.859375000000000 -7.843750000000000 -7.851562500000000 0.007812500000000

8 -7.859375000000000 -7.851562500000000 -7.855468750000000 0.003906250000000

9 -7.855468750000000 -7.851562500000000 -7.853515625000000 0.001953125000000

10 -7.855468750000000 -7.853515625000000 -7.854492187500000 0.000976562500000

11 -7.854492187500000 -7.853515625000000 -7.854003906250000 0.000488281250000

12 -7.854003906250000 -7.853515625000000 -7.853759765625000 0.000244140625000

13 -7.854003906250000 -7.853759765625000 -7.853881835937500 0.000122070312500

14 -7.853881835937500 -7.853759765625000 -7.853820800781250 0.000061035156250

15 -7.853820800781250 -7.853759765625000 -7.853790283203125 0.000030517578125

16 -7.853790283203125 -7.853759765625000 -7.853775024414063 0.000015258789063

17 -7.853790283203125 -7.853775024414063 -7.853782653808594 0.000007629394531

18 -7.853790283203125 -7.853782653808594 -7.853786468505859 0.000003814697266

19 -7.853790283203125 -7.853786468505859 -7.853788375854492 0.000001907348633

20 -7.853788375854492 -7.853786468505859 -7.853787422180176 0.000000953674316

21 -7.853788375854492 -7.853787422180176 -7.853787899017334 0.000000476837158

22 -7.853787899017334 -7.853787422180176 -7.853787660598755 0.000000238418579

23 -7.853787660598755 -7.853787422180176 -7.853787541389465 0.000000119209290

24 -7.853787541389465 -7.853787422180176 -7.853787481784821 0.000000059604645

La raíz aproximada es: -7.853787481784821, la raíz fue obtenida en la iteración número: 24


65. Método de la Regla Falsa Modificada, Intervalo <-8,-7>






1 -8.000000000000000 -7.000000000000000 -7.837987449414292

2 -8.000000000000000 -7.837987449414292 -7.750000000000000 0.087987449414292

3 -8.000000000000000 -7.750000000000000 -7.875000000000000 0.125000000000000

4 -8.000000000000000 -7.875000000000000 -7.812500000000000 0.062500000000000

5 -8.000000000000000 -7.812500000000000 -7.843750000000000 0.031250000000000

6 -8.000000000000000 -7.843750000000000 -7.859375000000000 0.015625000000000

7 -8.000000000000000 -7.859375000000000 -7.851562500000000 0.007812500000000

8 -8.000000000000000 -7.851562500000000 -7.855468750000000 0.003906250000000

9 -8.000000000000000 -7.855468750000000 -7.853515625000000 0.001953125000000

10 -8.000000000000000 -7.853515625000000 -7.854492187500000 0.000976562500000

11 -8.000000000000000 -7.854492187500000 -7.854003906250000 0.000488281250000

12 -8.000000000000000 -7.854003906250000 -7.853759765625000 0.000244140625000

13 -8.000000000000000 -7.853759765625000 -7.853881835937500 0.000122070312500

14 -8.000000000000000 -7.853881835937500 -7.853820800781250 0.000061035156250

15 -8.000000000000000 -7.853820800781250 -7.853790283203125 0.000030517578125

16 -8.000000000000000 -7.853790283203125 -7.853775024414063 0.000015258789063

17 -8.000000000000000 -7.853775024414063 -7.853782653808594 0.000007629394531

18 -8.000000000000000 -7.853782653808594 -7.853786468505859 0.000003814697266

19 -8.000000000000000 -7.853786468505859 -7.853788375854492 0.000001907348633

20 -8.000000000000000 -7.853788375854492 -7.853787422180176 0.000000953674316

21 -8.000000000000000 -7.853787422180176 -7.853787899017334 0.000000476837158

22 -8.000000000000000 -7.853787899017334 -7.853787660598755 0.000000238418579

23 -8.000000000000000 -7.853787660598755 -7.853787541389465 0.000000119209290

24 -8.000000000000000 -7.853787541389465 -7.853787481784821 0.000000059604645

La raíz fue obtenida en la iteración número : 24, La raíz aproximada es:-7.853787481784821


65. Método de la Iteración de Punto Fijo, Intervalo <-8,-7>





Ingrese la función despejada de f(x) = 0: g(x) = -1*acos(exp(x)/2)

i x1 Error aprox

1 -1.570519784606298 5.929480215393702

2 -1.466639566665406 0.103880217940892

3 -1.455189267185965 0.011450299479442

4 -1.453851856876054 0.001337410309911

5 -1.453694630659538 0.000157226216516

6 -1.453676133106893 0.000018497552645

7 -1.453673956689109 0.000002176417784

8 -1.453673700609610 0.000000256079499

9 -1.453673670479002 0.000000030130608




Resultado no pertenece a <-8,-7>, asi que se hara uso del Excel:

Nro It. x0 x1=g(x0) Abs(x1-x0) Comentario1 -7.50 -1.570519785 5.929480215 Continúe2 -1.5705198 -1.466639567 0.1038802 Continúe3 -1.4666396 -1.455189267 0.0114503 Continúe4 -1.4551893 -1.453851857 0.0013374 Continúe5 -1.4538519 -1.453694631 0.0001572 Continúe6 -1.4536946 -1.453676133 0.0000185 -1.453676133

Tampoco se obtiene un dato correcto, por lo tanto el método no aplica para f ( x )=ex−2cos(x ), en el intervalo <-8,-7>



65. Método de Newton-Raphson Intervalo <-8,-7>

Ingrese el valor inicial x0 = -7.5 Ingrese la tolerancia tol = 0.0000001



0 -7.500000000000000 100.000000000000000

1 -7.869361330722756 0.369361330722756

2 -7.853786282067799 0.015575048654958

3 -7.853787494684895 0.000001212617097

4 -7.853787494684895 0.000000000000000






65. Método de la Secante Intervalo <-8,-7>




1 -1.5705197846 100.0000000000

2 -6.5393497867 75.9835482755

3 15.9892775624 140.8983442880

4 -6.5393448324 344.5088609363

5 -6.5393398782 -0.0000757606

6 -10.3654974786 36.9124357836

7 -8.9164968659 -16.2507836261

8 -13.3672669864 33.2960366918

9 -11.3936472140 -17.3221070949

10 -8.9131523060 -27.8296030715

11 -10.6303172635 16.1534685644

12 -11.8217610425 10.0783950437

13 -11.0198512235 -7.2769568547

14 -10.9924852909 -0.2489512780

15 -10.9955829413 0.0281717706

16 -10.9955826754 -0.0000024180



Sin embargo el resultado no pertenece a <-8,-7>, por lo que haremos uso del Excel:



It. xi-1 xi f(xi-1) f(xi) xi-1-xi xi+1 Abs(xi-1-xi+1) Coment.

1 -8.0000000000 -7.0000000000 0.2913355302 -1.5068926267 -1.0000000000 -7.8379874494 0.162012550585708 Continúe

2 -7.0000000000 -7.8379874494 412.3774488984 19.2725489135 0.8379874494 -7.8790710231 0.879071023056763 Continúe

3 -7.8379874494 -7.8790710231 19.2725489135 -34.1323054793 0.0410835736 -7.8528135395 0.014826090091781 Continúe

4 -7.8790710231 -7.8528135395 -34.1323054793 0.5027319706 -0.0262574836 -7.8531946702 0.025876352839730 Continúe

5 -7.8528135395 -7.8531946702 0.5027319706 0.0128004080 0.0003811307 -7.8532046280 0.000391088486642 Continúe

6 -7.8531946702 -7.8532046280 0.0128004080 -0.0000050113 0.0000099578 -7.8532046241 0.000009953878766 -7.8532046241


La raíz aproximada es: -7.8532046241




65.h) ANALISIS Y SUGERENCIA DE METODO A UTILIZAR, INTERVALO <-8.-7>.





BISECCIÓN 24 -7.853787481784821

0.000000059604645


24 -7.853787481784821 0.000000059604645

PUNTO FIJO No aplica Para esta función

NEWTON-RAPHSON

4 -7.853787494684895 0.000000000000000 X Es necesario un Número menor de Iteraciones, obteniendo el valor real de la raíz.

SECANTE (Excel) 6 -7.8532046241 0.000009953878766


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Cottos Bustamante Carlos - Desarrollo de Primera Práctica de Métodos Numéricos