Cours 05 - Lois Entrée-sortie en Position Et en Vitesse

Cours 05 - Lois entre-sortie en position et en vitesse CPGE 1re anne

Sciences Industrielles pour lIngnieur Page 1/10 23/01/2012

Sommaire

I - Loi entre-sortie dun systme ....................................... 2

I.1 - Chane de solide ................................................................... 2

I.2 - Dtermination dune loi entre-sortie dune chane ferme .............. 2

II - Loi entre-sortie des rducteurs et multiplicateurs de vitesse . 4

II.1 - Rapport de transmission ........................................................ 4

II.2 - Transmission par adhrence : roues friction .............................. 4

II.3 - Transmission par obstacles : engrenages ..................................... 5 Trains dengrenages simples ......................................................................... 7 Train dengrenages picyclodaux ................................................................... 8

II.4 - Transmission par lien flexible. ............................................... 10



I - Loi entre-sortie dun systme

On appelle loi entre sortie dun systme mcanique, lensemble des relations entre les paramtres de position et dorientation (ou leurs drives) du solide dentre (1) et ceux du solide de sortie . La manire dont on obtient cette loi entre sortie dpend de la configuration de la chaine cinmatique.

I.1 - Chane de solide

Chane ouverte. Chane ferme. Chane complexe.

Une chane complexe est constitue de plusieurs chanes ouvertes ou fermes.

Exemple : bras robot. Exemple : lve-barrire

Exemple : plate-forme lvatrice

Les paramtres cin-matiques sont tous indpendants. La loi entre-sortie concerne la relation entre les coordonnes articulaires (c'est--dire les paramtres pilotant les actionneurs : moteurs, vrins) et les coordonnes oprationnelles (c'est--dire les coordonnes dun point de leffecteur en bout de chane : pince, outil)(2).

Certaines caractristiques gomtriques du systme sont invariantes et sont supposes connues. Dautres paramtres permettent de caractriser les mouvements des solides les uns par rapport aux autres. La loi entre-sortie est une loi exprimant le(s) paramtre(s) de sortie du systme uniquement en fonction du(des) paramtre(s) dentre et des caractristiques gomtriques invariantes du systme, sans faire intervenir les paramtres de mouvement intermdiaires. Les mthodes pour obtenir la loi entre-sortie sont : la fermeture gomtrique ; la fermeture angulaire ; le produit scalaire constant de 2 vecteurs dorientation ; la prise en compte de la condition de non glissement ; la fermeture cinmatique.

I.2 - Dtermination dune loi entre-sortie dune chane ferme

Quelle que soit la mthode utilise, il faut commencer par identifier le paramtre dentre et le paramtre de sortie du systme afin de correctement cibler la loi entre-sortie recherche.

(1) Il sagit en gnral du solide mis en mouvement par lactionneur de la chane dnergie.

(2) Dans ces systmes, chaque liaison, pilote par son propre action-neur, est appele un axe. On parle alors de robots ou de machines trois axes, quatre axes, etc.



Fermeture gomtrique

liant les paramtres de

position.

Dmarche Rsultatscrire la relation vectorielle de fermeture de la chane de solide. En gnral, cela consiste crire une relation de Chasles en passant par les points caractristiques des diffrents solides tout en parcourant la chane ferme :

... 0AB BC DA+ + + =JJJG JJJG JJJG G .

En projetant cette quation sur les vecteurs unitaires dune base unique judicieusement choisie de manire faire apparatre tous les paramtres(1), on obtient : - 3 quations scalaires pour un systme en mouvement spatial, - 2 quations scalaires pour un systme en mouvement plan. On limine enfin les paramtres intermdiaires en combinant les quations obtenues(2) afin dobtenir la relation dentre sortie recherche.

Une loi entre-sortie en position

ou

une loi entre-sortie en vitesse en drivant cette

relation.

Fermeture angulaire liant les paramtres dorientation.

Dmarche Rsultats

crire la relation angulaire de fermeture de la chane de solide :

0)x,x(...)x,x()x,x( 0n2110 =+++ .


ou

une loi entre-sortie en vitesse en drivant cette relation.

Produit scalaire constant de 2

vecteurs dorientation.

Dmarche RsultatsEcrire lquation qui traduit la particularit angulaire du systme. Il sagit en gnral de la conservation, impose par certaines liaisons, dune valeur angulaire lors du mouvement des solides du systme.

.i jx x =JJG JJG

constante (0 si les 2 vecteurs sont orthogonaux).

On obtient ainsi une quation scalaire pour un systme en mouvement spatial ou en mouvement plan.


ou

une loi entre-sortie en vitesse en drivant cette

relation.

Fermeture cinmatique

Dmarche Rsultatscrire, en utilisant une criture en ligne des torseurs cinmatique, la relation de composition des mouvements : { } { } { } { }0/11/21n/n0/n ... VVVV +++= A condition davoir exprim tous les torseurs au mme point, cette quation torsorielle permet dobtenir 2 quations vectorielles :

- composition des vecteurs rotation ; - composition des vecteurs vitesse.

Ce qui conduit : - 6 quations scalaires pour un systme en mouvement spatial ; - 3 quations scalaires pour un systme en mouvement plan. Pour obtenir la loi entre-sortie recherche, on peut rsoudre ce systme dquations ou directement crire uniquement celle qui lie le paramtre dentre au paramtre de sortie sans faire apparatre les paramtres indsirables .

une loi entre-sortie en vitesse

ou

Une loi entre-sortie en position en intgrant cette

relation(3).

(1) Cela peut-tre intressant de choi-sir une base intermdiaire pour limiter les pro-jections.

(2) Lorsque le paramtre interm-diaire liminer est un angle, il est souvent intressant dlever au carr les quations obtenues et dutiliser la rela-tion :

2 2cos sin 1 + =

(3) Il ne faut pas oublier la constante d'intgration qui se dtermine pour une position particulire du systme.

(4) Les quations obtenues par fer-meture de chane cinmatique corres-pondent aux dri-ves des quations obtenues par ferme-ture gomtrique. Les deux approches permettent donc, priori, dobtenir les mmes rsultats.



II - Loi entre-sortie des rducteurs et multiplicateurs de

vitesse

Dans un systme, lnergie mcanique de rotation en sortie de lactionneur est rarement directement utilisable par leffecteur. Lorsque lon souhaite adapter les caractristiques cinmatiques de cette nergie, on utilise un transmetteur permettant de rduire ou de multiplier la vitesse angulaire.

II.1 - Rapport de transmission

Le rapport de transmission est dfini comme tant un rapport entre la vitesse angulaire (note s ) de sortie et la vitesse angulaire dentre ( e ) du transmetteur.

s e

e si ou i

= =

Selon la fonction du transmetteur et la valeur de ce rapport ( 1< ou 1> ), on parle dun multiplicateur ou dun rducteur de vitesse. On peut classer ces transmetteurs en deux grandes familles vis vis de la technologie employe pour transmettre le mouvement : ceux utilisant la transmission par adhrence : roue friction (exemple : dynamo

de vlo), dispositif poulie-courroie lisse (exemple : alternateur de voiture) ; ceux utilisant la transmission par obstacle : dispositif poulie-courroie crante

(exemple : courroie de distribution dune voiture), dispositif pignon-chane (exemple : vlo, moto), engrenages (exemple : boite de vitesse).

II.2 - Transmission par adhrence : roues friction

0xG

Roue menante 1 O1

0xG

0yG

1xG

2xG

1

O2

2

O1

O2

0yG

0zG

0zG

I

R1

R2 Roue mene 2

I

ressort presseur

1/02/0

Principe

Deux roues cylindriques ou coniques sont en contact linique(1). Le frottement au contact des deux roues permet de transmettre le mouvement dentre (roue menante 1) la roue de sortie (roue mene 2). Pour un bon fonctionnement, il faut assurer un roulement sans glissement en utilisant :

- un couple de matriaux avec un fort coefficient de frottement ; - un effort presseur entre les deux roues.

Utilisation Transmissions de faible puissance.

(1) La zone de contact est une ligne.



Rapport de transmission

La condition de roulement sans glissement au point de contact I scrit 2/1 0IV =JJJJJJG G

.

2/1 2/0 1/0I I IV V V = JJJJJJG JJJJJJJG JJJJJJG

avec 22/0 2/0 2 2/0 2 0 2 0 2 2 0

0

.I OV V IO R y z R x = + = = G

JJJJJJJG JJJJJJJJG JJJG JJJJJG JJG JJG JJG

et 11/0 1/0 1 1/0 1 0 1 0 1 1 0

0

.I OV V IO R y z R x = + = = G

JJJJJJG JJJJJJJJG JJJG JJJJJG JJG JJG JJG

donc : 2 2 0 1 1 0 2 2 1 10R x R x R R = = JJG JJG G

On en dduit le rapport de transmission(1) : 2/0 2 11/0 21

RiR

= = =

II.3 - Transmission par obstacles : engrenages

0xG

O1 0xG

0yG

1xG

2xG

1

1

2 O2 2

O1

O2

0yG

0zG

0zG

1

2

I I

D1

D2

1/02/0

Principe

Un engrenage est constitu de deux roues dentes(2) qui engrnent lune avec lautre.

Caratristiques

Diamtres primitifs Pas primitif

1D et 2D 1 2

1 2

2 . 2 .R Rpas

z z = =

La forme des dents assure le roulement sans glissement au point de contact I des

cercles fictifs de diamtres 1D et 2D . Ces cercles sont appels cercles primitifs. Ils correspondent aux profils des roues de friction qui assureraient le mme rapport de transmission.

Le pas primitif correspond la longueur de larc de cercle primitif compris entre deux dents successives. Pour garantir lengrnement, les pas primitifs des deux roues dentes doivent tre gaux.

Nombre de dents Module

1Z et 2Z

zDm = .pas m =

Le module (enmm ) caractrise la forme de la dent. Les deux roues dentes doivent imprativement avoir le mme module pour pouvoir engrener

.

1 Les cercles reprsents sur les schmas cin-matiques corres-pondent aux cercles primitifs des roues dentes.

(1) Le signe ngatif du rapport de transmission indique que le sens de rotation est invers par ce type de transmetteur.

(2) La plus petite des roues dentes est appele parfois pignon et la plus grande est appele roue ou couronne dans le cas dun engrenage intrieur.



Utilisation Transmissions de faibles et fortes puissances. Applications : de la montre la boite de vitesse automobile.

Rapport de transmission La condition de roulement sans glissement au point de contact I entre les deux cercles primitifs(1) permet dobtenir le rapport de transmission :

2/0 2 1 1 1

1/0 2 2 21

R D ZiR D Z

= = = = =

(rappel : i iD m Z= )

Types

Engrenages cylindriques extrieurs

Engrenages cylindriques intrieurs Engrenages coniques

Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres axes concourants perpendiculaires ou non.

Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres axes parallles.

denture droite

denture hlicodale Avantages Inconvnient Avantages Inconvnient

simples ; conomiques ; ils peuvent

admettre des dplacements axiaux.

bruyants. plus silencieux ; ils permettent de

transmettre des couples plus importants.

Ils sont lorigine defforts axiaux.

Engrenage

roue et vis sans fin Avantages Inconvnients

Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres axes perpendiculaires non concourants.

rapport de rduction important (jusqu 150) ;

irrversible si ncessaire (2) .

faible rendement (60%) ; forte usure.

Dans le cas particulier dun engrenage roue et vis sans fin, le rapport de transmission est :

/0

/0

vis

roue

Z nombre de filets de la visroue visZ nombre de dents de rouevis roue

Zi

Z

= =

(1) Voir le calcul au II.2.

(2) Ce qui peut tre utile pour des raisons de scurit. Sur un treuil de levage par exemple, pour viter que la charge ne devienne entrainante en cas de coupure dnergie.



Trains dengrenages simples

Pour augmenter le rapport de rduction on peut associer dans un rducteur plusieurs engrenages en srie. On parle alors de train dengrenages. Lorsque toutes les roues dentes sont en mouvement de rotation par rapport au bti, on parle de train simple . Dans la pratique, pour calculer la loi entre-sortie dun train

dengrenages simple, il est inutile de repartir de la condition de RSG au point de contact. On utilise directement la formule suivante qui dfinit le rapport de transmission :

/0

/0( 1) .ns

e

RouesmenantesiRouesmenes

= =

( 1)n donne le sens de rotation de la sortie par rapport lentre(1) avec n : nombre de contacts extrieurs(2) entre roues.

On qualifie de roue menante toute roue motrice dans le train dengrenage et de roue mene toute roue rceptrice dans le train dengrenages(3).

Exemple :

Soit 1 la roue dentre de ce rducteur et 4 la roue de sortie. Le rapport de

transmission 4/01/0

i= est tel que :

1 2 324/0

1/0 2 3 4

80 17 30( 1)60 50 60

0,23

p p

r r

Z Z Zi

Z Z Z

i

= = = =

Cela signifie que ce rducteur divise la vitesse angulaire quasiment par quatre.

(3) Une roue qui peut tre la fois une roue menante et une roue mene est appele roue folle . Son nombre de dents ninterviendra pas dans le rapport de transmission mais il une incidence sur son signe.

(2) Cela ne concerne pas les contacts entre engrenages intrieurs pignon-couronne.

(1) Cela na de sens que si lon compare le sens des mouvements de rotation autour daxes parallles. Il faut donc tre prudent lorsquil y a des engrenages coniques ou roue et vis sans fin dans le rducteur.



Train dengrenages picyclodaux

Avec un seul train dengrenages simple, la rduction de vitesse nest gnralement pas suffisante et les arbres de sortie et dentre ne sont pas coaxiaux. Lutilisation de trains simples plusieurs tages permet de combler ces problmes mais cette solution devient rapidement encombrante et lourde. Une solution consiste utiliser des trains picyclodaux qui permettent dobtenir de grands rapports de rduction dans un encombrement faible.

0xG

O1I

0yG

0zG

4

4yG

4yG

2yG

4

11

2 23

3

O3 O4

O2

J

Satellite 2

Plantaire 1

Plantaire 3

Porte satellites 4

Constituants

Porte-satellite Il sagit dune pice en rotation par rapport au bti sur laquelle sont monts le ou les satellites.

Satellite Il sagit de roues dentes en rotation par rapport au porte-satellite. Leur axe de rotation nest donc pas fixe par rapport au bti.

Plantaire Les plantaires sont des roues dentes (pignon ou couronne) qui engrnent avec le ou les satellites.

Un des deux plantaires ou le porte-satellite peuvent tre le mouvement

dentre ou de sortie(1). Pour dterminer la loi entre-sortie dun train picyclodal, on peut soit crire les conditions de roulement sans glissement aux points de contact entre le satellite et les plantaires (en I et J) ou bien utiliser la relation de Willis :

( ). /0 . /0 . /01 0Pla A Pla B Po Sa + = avec . /0

. /0

. /0 0Po Sa

Pla A

Pla B = =

Pla A plantaire A Pla B plantaireB Po Sa porte satellite : raison de base du train picyclodal. Cest une constante qui correspond au rapport de

transmission du train dengrenage simple obtenu si on immobilise le porte-satellite.

Lutilisation dun train picyclodal ncessite dimposer la vitesse angulaire par rapport au bti de deux des trois entres pos-sibles ( . /0 . /0 . /0,Pla A Pla B Po Saou ). Cependant, dans la pratique : - on bloque souvent lune dentre-elles ( . /0 . /0Pla A Pla Bou gnralement) ; - on impose la vitesse de rotation la deuxime. La troisime ( . /0Po Sa gnralement) est alors donne par la relation de Willis en prenant en compte la vitesse nulle de l'entre bloque.

1 Lutilisation de plusieurs satellites ne modifie par le comportement cin-matique du rduc-teur mais permet de mieux rpartir les efforts.

(1) Pour la majorit des cas : - un des deux plantaires est lentre ; - lautre plantaire est fixe ; - le porte satellite est la sortie.

1 Pour dterminer le rapport de transmission dun train picyclodal, il faut : - crire la relation

de Willis et calculer la raison de base sans tenir compte du fait que cer-taines entres sont bloques ou ont une vitesse impose ;

- puis simplifier la relation obtenue en tenant compte de ces particu-larits.



Exemple :

4

1

2

Z1

Z2a Z2b

Z3

3

Soit 1 la pice dentre de ce rducteur et 4 la pice de sortie. Le rapport de

transmission 4/01/0

i= est tel que :

( )1/0 3/0 4/0. 1 . 0 + = avec 4/0

21/0 3 2

3/0 2 10( 1) a

b

Z ZZ Z =

= =

Or on a 3/0 0 = donc : ( ) 4/0 2 11/0 4/0

21/ 3 20 11 0 1.

1b

b a

Z ZZ Z Z Z

i i = = =

+ =

Conditions gomtrique de fonctionnement

Les conditions gomtriques indispensables au montage et au fonctionnement du train picyclodal impliquent des relations entre les diamtres (ou rayons) primitifs des diffrentes roues dentes. Ces relations peuvent se traduire sous la forme de relations liant les nombres de dents de roues dentes conditions que leurs modules soient gaux. Exemple pour le train pi. de type I :

3 1 22.D D D= + 3 1 22.z z z= + Exemple pour le train pi. de type II :

1 2' 2'' 3R R R R+ + = 1 2' 2'' 3z z z z+ + =

1

2a 2b 3

4

0

1

2

4

0

3

Plantaire A : 1Plantaire B : 3 Porte-satellite : 4 Satellite : 2

1 Dans cet exemple, on parle de satellite double.



II.4 - Transmission par lien flexible.

Les liens flexibles sont particulirement avantageux lorsquil sagit de transmettre un mouvement de rotation entre deux axes parallles trs distants.

Pignons-chane Poulies-courroie

Dans les rducteurs liens flexibles, les poulies ou les pignons tournent dans le mme sens, contrairement aux engrenages. Le rapport de transmission scrit :

/0 e

/0

s

e s

Ri

R= =

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