Cours 10

2.2 DÉRIVÉ ET LINÉARISATION

Au dernier cours, nous avons vu

✓ Taux de variation

moyen✓ Dérivée en un point

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Comment trouver une droite qui

donne une bonne approximation

d’une fonction.

✓ La fonction dérivée

✓ La dérivée de

Supposons qu’on ait une fonction, f(x), qui modélise un phénomène.Supposons aussi que ce qui nous intéresse est de

comprendre ce phénomène lorsque les valeurs de x sont près de a.Dans ce cas, on peut simplifier grandement les choses

en trouvant une approximation de la fonction avec une droite.

Exemple:

Trouver la droite donnant une bonne approximation de la fonction , près de

La pente de cette droite est donnée par

On a que la pente de la droite est

Reste à trouver l’ordonnée à l’origine de la droite.

Il nous faudrait un point

En général la linéarisation de la fonction

autour du point

a comme pente et passe par le point

Qu’on peut écrire plus simplement comme

Faites les exercices suivants

Section 2.2 # 8

Exemple:

Soit

On peut donc trouver une fonction qui donne la dérivée en n’importe quel point.

On nomme cette fonction la fonction dérivée ou tout simplement la dérivée.

Dans l’exemple précédant, la fonction était

et sa fonction dérivée était

d’où

Notations

Soit une fonction

On note la dérivée de cette fonction:

Exemple:

Faites les exercices suivants

Section 2.2 # 9 à 11

Un vrai zéro

Trouvons la dérivée de fonction simple.

Soit

La dérivée d’une fonction constante est 0.

Exemple: Trouver la dérivée de la fonction

Objection votre honneur!

J’invoque le droit à la paresse!

BinômeRegardons les différentes puissances d’un binôme.

Triangle de Pascal

Blaise Pascale(1623-1662)

Yang Hui (1238-1298)

Comprendre pourquoi ça marchenécessiterait de comprendre la combinatoire.

Mais on va quand même essayer de comprendre;

C’est-à-dire que le deuxième terme est

C’est-à-dire que le deuxième terme est

Prenons l’exemple de

Comment obtenir le terme en ?

D’autant de façon que j’ai de choisir un a.

Donc 5, car j’ai 5 termes.

Faites les exercices suivants

Section 2.2 # 12

Exemple:

Théorème:

Preuve:

Tous les termes ont du «h»

Avec ce qu’on a vu.

Exemple:

Exemple:

Exemple:

Remarque:

Le dernier théorème reste vrai même si l’exposant n’est pas entier.

C’est-à-dire

Or, la preuve est plus compliquée.

Dans les exercices, vous allez démontrer

Exemple:

Exemple: Une minute!

Faites les exercices suivants

Section 2.2 # 13

Aujourd’hui, nous avons vu

✓ Linéarisatio

n

✓ Fonction

dérivée

✓ La dérivé de

Devoir: Section 2.2