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Cours 2Notion de cohérence
Préambule:interférences entre sources de
fréquences différentes
Rappel : détecteur quadratique
constconst
t
t
=
=+
=+
2/1)(cos
0)cos(2 φω
φω
),(
)',(
')',(1
2
0
02
0
tMIU
ttMEcU
dtttMEcT
UT
∝
−∝
−∫−
ε
εα
Le signal U délivré par le détecteur est proportionn el au carré du champ (ou proportionnel au module du vecteur de Poynting) mo yenné sur un temps T très long devant la période optique.
Rappel:
Interférence entre deux ondes de fréquences différentes
En notation réelle, les amplitudes des champs lumineux sont de la forme:
221
2222
1111
)),(),((
))(cos(),(
))(cos(),(
tMStMSI
MtatMS
MtatMS
M +=
+=+=
ϕωϕω
L’intensité au point M est alors:
Calculons l’intensité mesurée par le détecteur
( )
( )))()()cos((2
))()()cos(())()()cos((22
))(cos())(cos(2
))((cos))((cos
)),(),((
21212121
2121212121
22
21
221121
2222
1122
221
21
MMtIIIII
MMtMMtaaaa
I
MtMtaa
MtaMtaI
tMStMSI
M
M
M
M
ϕϕωω
ϕϕωωϕϕωω
ϕωϕω
ϕωϕω
−+−++=
−+−++++++=
+++
+++=
+=
21
21
IIIM +=≠ ωω
))()(cos(2 212121
21
MMIIIIIM φφ
ωωω
−++=
==
INTERFERENCES POSSIBLES!!!Simple addition des intensité
Conséquence IDeux ondes de fréquences différentes ne peuvent
interférer !!!
T/121 <<−ωω
Remarque
Le détecteur peut percevoir des battements
C’est une situation possible mais difficile à réaliser expérimentalement (2 sources très fines spectralement et très proches en fréquence. Exemples: modes d’un laser)
Si :
Généralisation:Deux ondes dont la différence de phase varie
rapidement ne peuvent interférer
( )( ))),(),(cos(2
)),(),()cos((2
212121
21212121
tMtMIIIII
tMtMtIIIII
M
M
ϕϕ
ϕϕωω
−++=
−+−++=
21 ωω =
SI ),(),( 12 tMtM ϕϕ − varie rapidement sur un temps plus court que T,
Il n’y aura pas d’interférences
Les sources de lumière « réelles »:
Modèle de la source quasi-monochromatique
Source ponctuelle quasimonochromatique (modèle)
• Le champ n’est plus déterministe -> sa phase ne peut être prévue.
• La phase de la source ponctuelle varie au cours du temps aléatoirement
Modèle mathématique : à des instants aléatoires, la phase de l’onde « saute »d’une quantité aléatoire mais reste constante entre ces instants.
Origine physique: effets des collisions des molécules environnantes avec l’atome émetteur, émission spontanée…
phase
Champ en un point
temps
« train d’onde »Saut de phase
)),(cos(),( 00 MttaMtS φω +=
Temps caractéristique entre deux « sauts »: τc
Absence de corrélations entre les sources.
La phase ne varie pas de la même manière d’une sourc e à une autre !
Champ de la première source
Champ de la deuxième source
t
(Phase de la source 2) –(Phase de la source 1) = fonction aléatoire du temps
Champ émis par deux sources ponctuelles réelles quasimonochromatique et INDEPENDANTES
Deux sources ponctuelles quasimonochromatiques indépendantes ne peuvent interférer
Deux sources ponctuelles quasimonochromatiques indépendantes ne peuvent interférer
On dit qu’elles sont MUTUELLEMENT INCOHERENTES
Montage des trous d’YoungPour faire des interférences il faut générer deux o ndes à partir d’une même source primaire quasimonochromatique
Exemple: Montage des trous d’Young
S
O1
O2
M
Fentes d’YoungEcran
I(x)x
Interférences
Inte
rfrang
e
D
a
i=λD/a
Source ponctuelle et quasimonochromatique
Plaque avec deux petits trous
Chaque petit trou DIFFRACTE l’onde incidente dans t outes les directions:Équivalent à deux sources d’ondes sphériques « liées »
S1
S2
Notion de temps de cohérence
S
O1
O2
M
Fentes d’YoungEcran
I(x)x
Interférences
Inte
rfrang
e
D
a
Source ponctuelle et monochromatique
Plaque avec deux petits trous
S1
S2
r1
r2
Différence de marche en M:
( )( )))',()',(cos(2
)),(),(cos(2
21212121
122121
tMtMkIIIII
tMtMIIIII
M
M
ϕτϕδ
ψψ
−−+++=
−++=
211221 )( τδ crrM =−=
Attention !
Temps de cohérence et interférences
( )
( )
21
2121
212121
2121
21212121
)',()',(
)cos(2
)',()',(
))',()',(cos(2
III
tMtM
kIIIII
tMtM
tMtMkIIIII
M
C
M
C
M
+=≠−>
++=
≈−<<
−−+++=
ϕτϕττ
δ
ϕτϕττ
ϕτϕδ
On retrouve la formule des interférences à deux onde s (ouf !!!)
Pas d’interférences possibles
La différence est une fonction aléatoire du temps variant rapidement
Pour faire des interférences…
• Les ondes qui interfèrent doivent provenir de la mê me source primaire
• La différence de marche δ21 ne doit pas être plus grande que Lc=c τc, la longueur de cohérence
Interférences en lumière polychromatique
Interférences en lumière polychromatique
S
O1
O2
M
Fentes d’YoungEcran
I(x)x
Interférences
Interfra
nge
Si la source émet deux longueurs d’ondes λA et λB Il y a, a priori, 4 champs: S1A, S1B, S2A, S2BSeuls ceux de même longueur d’onde (i.e de même fréq uences ) interfèrent
S1A et S1B interfèrent ���� IAS2A et S2B interfèrent ���� IB
I=IA+IB
BA
BBB
AA
AAAAAA
IIIc
II
cIIIIII
+=
+=
+=++=
))2
cos(1(2
))2
cos(1(2)2
cos(2
210
210210000
δπυ
δπυδλπ
Deux systèmes de franges vont se superposer en inte nsité.
Lorsque les franges sombres de l’un et les franges brillantes de l’autre se confondent���� brouillage
Interférences en lumière polychromatique (II)
δ21
))2
)(2cos()
2
)(2cos(22(2
))2
cos()2
cos(2(2
21210
21210
000
δυυπδυυπ
δπυδπυ
ccII
ccII
III
ABBA
BA
BA
+−+=
++=
==
Terme rapide avec δ21 �
franges correspondant à la fréquence moyenne
Terme lentement variable avec δ21
Contraste des franges
Interférences en lumière polychromatique (III)
δ21
Intensité mesuréeλ0
))(Re(22
)2exp()(Re22
)2cos()(22
)2cos()(22
))2cos(1()(2
))2cos(1()(2
))2
cos(1()(2
)(
00
2100
2100
0
2100
0
210
210
210
00
JTFII
diJII
dJII
dJII
dJI
dJdIc
dJdI
dJdI
+=
−+=
+=
+=
+=
+=
+=
=
∫
∫
∫
∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞
νπυτν
νπυτν
νπυτν
πυτνν
πυτνν
δπυνν
νν
Interférences en lumière polychromatique: généralisation
J0 = Spectre de la source
Interférences en lumière polychromatique: propriétés
)2cos()(~
22
)()(
210210
00
τπντνννFII
FJ
+=⇒
−= Spectre centré sur la fréquence ν0
Modulation rapide avec δ21 (ou τ21 )� Franges d’interférences
Modulation lente avec δ21 (ou τ21 ):CONTRASTE LOCAL DES FRANGES
Si F est large, sa TF est étroite�Franges uniquement pour τ21 proche de zéro.
Si F est étroite, sa TF est large���� Franges sur un grand intervalle de τ21 .
0
21)(~
I
FClocal
τ=
ν0
ν1/2
δ21
Lc
J0(ν)
I
δ21
ν1/2
5 ν1/2
25 ν1/2
125 ν1/2
Notion de cohérence temporelle;temps de cohérence
Interférences en lumière polychromatique: longueur de cohérence
La longueur de cohérence Lc est la différence de marche au-delàde laquelle le contraste des franges s’effondre.
�Demi largeur à 1/e de la transformée de Fourier du spectre�Plus le spectre est large, plus Lc est petite.�Lc est inversement proportionnelle à la largeur spectrale
� Temps de cohérence τC=Lc/c
ντ
∆≈ 1
C
Lien avec le modèle de la source quasi-monochromatique
temps
τC
On peut définir un spectre d’intensité J0( ν) (densité spectrale de puissance) pour un tel signal. Sa largeur spectrale est de l’ordre de:
ντ
∆≈ 1
C
On voit que le temps de cohérence d’une source poly chromatique et le temps de cohérence du modèle quasimonochromatique coincident.
Théorème de Wiener-Khintchine(appliqué à l’optique)
Le contraste des franges C( τ21 ) en fonction du retard τ21 est proportionnel à la transformée de Fourier du spectre en intensité J 0(ν) de la source.
Rq: Ceci est valable y compris si le champ est aléatoire, à condition que ses propriétés statistiques soient stationnaires, i.e ne dépendent pas du temps (C’est cela, le théorème de Wiener Khintchine)
Interférences avec une source étendue;
cohérence spatiale
S
O1
O2
M
Fentes d’YoungEcran
I(x)x
Interférences
Inte
rfrang
e
D
a
Plaque avec deux petits trous
expérience d’Young...avec une source étendueOn remplace la source ponctuelle S par une source étendue dans la direction X (largeur d)
S1
S2
X
Quel sera l’effet sur la figure d’interférence ???
expérience d’Young...avec une source étendue
• On décompose la source en une infinité de sources ponctuelles. • On détermine ensuite la figure d’interférence produite par chacune d’elles. • On somme enfin l’ensemble de ces figures d’interférence EN INTENSITE (les champs de deux sources différentes ne peuvent interférer)
X
S1
S2
x
M
D
r2
r1
L
S
L
aX
SSSS
D
axdXidXidXiMdI
λπφφ
λπφφ
φφλπ
2
)(2
)2
cos(2)(
12
1212
21000
−=−
−=−
−+++=
On va supposer que les trous sont équivalentsI1=I2
expérience d’Young...avec une source étendue
+=
−−++=
++=
++==
++=
−
−−∫∫
)2
cos()sin(22
12)(
)2
sin()2
sin(2
22)(
)22
sin(2
22)(
)22
cos(12)(
)22
cos(12)(
0
00
2/
2/00
2/
2/
2/
2/
0
0
D
ax
L
ad
ad
LdiMI
L
ad
D
ax
L
ad
D
ax
ad
LdidiMI
L
aX
D
ax
a
LidiMI
dXL
aX
D
axidIMI
L
aX
D
axdXiMdI
d
d
d
d
d
d
M
λπ
λπ
πλ
λπ
λπ
λπ
λπ
πλ
λπ
λπ
πλ
λπ
λπ
λπ
λπ
On retrouve le cosinus des franges d’interférencesFonction qui module la
visibilité GLOBALE des franges
Visibilité des franges avec une source étendue
)(sin
)2
cos()(sin12)(
minmax
minmax
0
L
adc
II
IIC
D
ax
L
adcdiMI
λπ
λπ
λπ
=+−=
+=
1)(sinlim
/)sin()(sin
0=
=
>−xc
xxxc
x
On rappelle les propriétés du sinus cardinal
Premier point d’annulation:
x = π ou x = -πx
Sin(x)/x
Position x du point M
Intensité en M
Taille de la source Sd= 100µm
Taille de la source Sd= 400µm
Taille de la source Sd= 800µm
Notion de longueur de cohérence spatiale
• Sur l’exemple précédent, on voit que le contraste des franges est maximale si d=0(source ponctuelle)• Le contraste tend vers zero si d augmente (source très étendue) � Avec une source trop grande, pas de franges !
• Pour une source étendue (taille d non nulle) il est en théorie toujours possible de choisir une distance a entre les trous suffisamment petite ou une distance L suffisamment grande pour garder des franges visible s:
Il faut que le sinus cardinal ne s’annule pas soit:
Td
La
L
ad
Λ=<
<
λ
πλ
π
ΛT est la longueur de cohérence transverse ou LONGUEUR DE COHERENCE SPATIALEdu champ, au niveau du plan des trous
GénéralisationSi on a une distribution d’intensité I(X) suivant X, on peut développer
un formalisme équivalent à celui de la cohérence temporelle:
−−+=
++=
++==
++=
∫
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
dXL
aXiXi
D
axiIMI
dXL
aX
D
axXiIMI
dXL
aX
D
axXidIMI
L
aX
D
axdXXiMdI
M
)2
exp()()2
exp(Re22)(
)22
cos()(22)(
)22
cos(1)(2)(
)22
cos(1)(2)(
00
00
0
0
λπ
λπ
λπ
λπ
λπ
λπ
λπ
λπ
Généralisation: théorème de Van Cittert - Zernicke
Si on a une distribution d’intensité I(X) suivant X, on peut développer un formalisme équivalent à celui de la cohérence temporelle:
L
aq
dXqXiXiD
axiIMI
dXL
aXiXi
D
axiIMI
dXL
aX
D
axXiIMI
dXL
aX
D
axXidIMI
L
aX
D
axdXXiMdI
M
λ
πλπ
λπ
λπ
λπ
λπ
λπ
λπ
λπ
λπ
=
−−+=
−−+=
++=
−+==
−+=
∫
∫
∫
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
)2exp()()2
exp(Re22)(
)2
exp()()2
exp(Re22)(
)22
cos()(22)(
)22
cos(1)(2)(
)22
cos(1)(2)(
00
00
00
0
0
Contraste des franges …c’est la Transformée de Fourier de i0(X) !
Franges des trous d’Young
Applications
Application de la cohérence temporelle: Spectroscopie TF
• Objectif : déterminer le spectre d’une source J0(ν)• On enregistre le contraste des franges C(δ) en fonction
de la différence de marche δ.• La TF inverse de C(δ) permet de revenir à J0(ν).• Le plus petit écart en fréquence que l’on peut distinguer
est inversement proportionnel à la différence de marche δmax que l’on peut atteindre techniquement.
Application de la spectroscopie Infrarouge par tran sformée de Fourier (FTIR):Identification de molécules complexes (transitions ro-vibrationnelles) dans un milieu.Cosmochimie, planétologie (exobiologie), analyse d’ œuvres d’art, médecine légale, recherche de polluants…
!!!
Source cohérente temporellement
�c’est une source ayant une largeur spectrale très faible.� Sa longueur Lc de cohérence et donc son temps de cohérence sont grands
Sources:
Raie spectrale de lampe à vapeur métalliques (Lc=1mm à 1cm)
Laser monomode (Lc= 20cm !!!)
Intérêt : expériences d’interférométrie nécessitant des différences de marche importantes
� TP à vocation pédagogiques (pas trop précis sur les distances…)� interférométrie à grande distance� holographie (enregistrement d’objets en 3D, analyse de vibrations, de déformations)
Source incohérente temporellement
�c’est une source ayant une largeur spectrale très grande.� Sa longueur Lc de cohérence et donc son temps de cohérence sont petits
Sources:
�Lumière blanche� diodes blanches� lasers femtosecondes (Titane-Saphir)
Intérêt : permet de repérer la différence de marche nulle avec une très grande précision (franges nulle part saut près de la diffé rence de marche nulle)
� Mesure absolue de distance� Couplée à la microscopie: Tomographie par cohérence optique (OCT en anglais). Permet d’obtenir le profil vertical d’un tissus vivant (peau, rétine…) avec une très bonne résolution.
Application de la cohérence spatiale: télescope interférométrique
Si on mesure le contraste des franges en fonction de la différence de marche, on peut déterminer la répartition d’intensité dans la source.
Ce principe est à la base des télescopes interérométriques comme le VLTI (VeryLarge Telescope Interferometer).
En faisant interférer la lumière provenant de différents telescopes observant la même étoile, il est possible de reconstituer son image avec une résolution très supérieure à celle d’un seul des télescopes !
La différence de marche est « scannée » à l’aide de miroirs montés sur rails
Application de la cohérence spatiale: télescope interférométrique