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Commande Robuste
Analyse de la Robustesse des SystemesAsservis
Universite de Strasbourg
Ecole Nationale Superieure de Physique de Strabourg3A - Option ISAV
Master ISTI
Edouard [email protected]
http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/Student
2008–2009
Table des matieres
1 Introduction 4
2 Les systemes 62.1 Systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Systeme lineaire a parametres variants (LPV) . . . . . . . . . 6
2.2.1 Systeme LPV affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2 Systeme LPV polytopique . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.3 Representation lineaire fractionnaire (LFR) . . . . . . 7
2.3 Systeme non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Inegalites matricielles affines 103.1 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Positivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Inegalite matricielle affine ou lineaire . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Exemple de LMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5 Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.6 Complement de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Stabilite de Lyapunov 144.1 Systeme non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Systeme LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Maximisation du taux de decroissance . . . . . . . . . . . . . 164.5 Matrice de Lyapunov dependant des parametres . . . . . . . . 16
5 Dissipativite, norme H∞ 185.1 Systeme non-lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Systeme lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3 Performance H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4 Systeme LPV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.5 Dissipativite avec matrice de Lyapunov dependant des parametres 22
6 Application a un systeme mecanique 236.1 Presentation du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Analyse a partir du modele LPV . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2.1 Modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2.2 Robustesse en stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2.3 Robustesse en performance . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.3 µ-analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.3.1 Modele LFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
6.3.2 Robustesse en stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3.3 Robustesse en performance . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.4 Lieu des poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A Analyse des systemes asservis multivariables 37A.1 Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.2 Valeur singuliere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.3 Trace des valeurs singulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.4 Performances d’un systeme asservi . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.4.1 Stabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.4.2 Bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.4.3 Precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40A.4.4 Rejet de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.4.5 Robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.5 Schemas d’analyse et de synthese H∞ . . . . . . . . . . . . . . 41A.5.1 Schema 1 bloc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.5.2 Schema 2 blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42A.5.3 Schema 4 blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3
1 Introduction
En Automatique, la synthese d’une loi de commande se fait generalementsur un modele nominal simplifie qui ne prend pas en compte toute la com-plexite du systeme. Des dynamiques sont negligees, comme celles qui se trou-vent en dehors de la bande passante du systeme asservi ; les valeurs desparametres du modele sont consideres egales a leurs valeurs nominales.
Du fait de ces approximations, il est generalement necessaire de recourira une etape de validation a posteriori de la loi de commande. On parle d’-analyse de la robustesse ; il s’agit en effet d’analyser la robustesse du com-portement du systeme asservi face aux perturbations externes (variation desconditions de fonctionnement, comme la temperature) ou internes (variationdes parametres) du systeme.
L’analyse de la robustesse s’appuie generalement sur la formulation d’unmodele variant dans le temps, variation qui peut s’exprimer en fonction d’uncertain nombre de parametres incertains. La premiere question concerne lastabilite. L’analyse de la robustesse en stabilite consiste a etablir si le systemedemeure stable malgre les variations attendues des parametres. On peut aussisouhaiter que le systeme maintienne certaines performances (comme la bandepassante). L’analyse de la robustesse en performance cherche a etablir si lesysteme maintient les performances prevues pour les variations attendues desparametres.
On peut distinguer deux principales sources de perturbation succeptiblesde destabiliser un systeme asservi ou de diminuer ses performances : les vari-ations de ses parametres et les dynamiques negligees. Pour traiter le secondcas, celui des dynamiques qui ont ete negligees lors de la synthese, il suffitsimplement de les inclure dans le modele d’analyse. On se retrouve donc fi-nalement a analyser la robustesse a partir d’un modele qui peut etre plussophistique que le modele de synthese et dont les parametres sont incertainsdans certains intervalles et peuvent, selon les cas, varier au cours du tempsavec des dynamiques eventuellement bornees.
Avant de se lancer dans l’analyse de la robustesse, c’est-a-dire dans l’etudedes modification du comportement du systeme en fonction des parametres, ilconvient de connaıtre son fonctionnement nominal. La premiere question estcelle de la stabilite nominale, la seconde est celle des performances nominales.Une etude de robustesse en stabilite n’a de sens que si la stabilite nominaleest assuree. De meme pour les performances.
4
La question de la robustesse peut-etre abordee de deux manieres, pour lastabilite comme pour les performances :
– etant donne les intervalles de variation des parametres, le systeme est-ilrobuste ? A cette question, on repond par oui ou non ;
– quel taux de dilatation faut-il appliquer aux intervalles des parametrespour amener le systeme en limite de stabilite ou de performance ? Letaux de dilatation est aussi appele marge de robustesse. La robustesseest assuree si la marge de robustesse est superieure a 1. Puisque la sta-bilite est une condition suffisante pour les performances, la marge derobustesse en performance est necessairement plus faible que la margede robustesse en stabilite.
Les methodes d’analyse different en fonction du modele choisi. Les modeleslineaires dependant des parametres (LPV), modeles pour lesquels des methodesefficaces et desormais bien connues, sont disponibles sous deux formes :
– les modele LPV avec une dependance affine des matrices d’etat enfonction des parametres ;
– les representations lineaires fractionnaire (LFR) formes d’un bouclageentre un systeme linaire a temps invariant (LTI) et une matrice degains fonction des parametres. Ce second type correspond aux systemeslineaires dont les matrices d’etat dependent rationnellement des parametres ;il s’agit donc d’une generalisation du premier type.
Pour les systemes LPV affines, des formulation LMI sont disponibles pourl’analyse en stabilite et en performance dans le cas de parametres constantsou variants. Ces methodes, disponibles dans les boites a outils1 de Matlab,sont presentees dans ce fascicule. La methode la plus classique destinee auxmodeles LFR est la µ-analyse2. Cette methode fait egalement parti du con-tenu du cours mais seule la presentation de la modelisation LFR est presenteedans ce fascicule. Elle sera traitee de maniere detaillee en cours3.
1Les methodes d’analyse des systemes LPV affines ont ete proposees dans la LMIControl Toolbox [1]. Ces fonctions sont desormais disponibles dans les version recentes dela Robust Control Toolbox[2]
2Ces methodes sont disponibles dans la µ-Analysis and Synthesis Toolbox [3] ou dansles versions recentes de la Robust Control Toolbox [2].
3D’autres boites a toutils sont egalement disponibles. Citons par exemple Romuloc,developpee par D. Peaucelle qui permet de traiter a la fois les modeles LPV affines et lesLFR [4]
5
2 Les systemes
Nous nous limitons, dans ce cours, aux systemes dynamiques continusmultivariables (dits aussi MIMO pour multi input multi output). Le vecteurdes entrees est u, celui des sorties y ; le vecteur d’etat est x.
2.1 Systeme lineaire
Il s’agit du cas ou les equations sont lineaires par rapport aux entrees etaux variables d’etat. Le systeme peut etre mis sous la forme :
x = Ax+Buy = Cx+Du
(1)
Cette representation ne concerne que les systemes propres (qui ne contiennentpas d’effet derivatif pur) ; pour les systemes strictement propres, D = 0.
2.2 Systeme lineaire a parametres variants (LPV)
Dans un systeme LPV, les matrices d’etat A, B, C et D dependent d’unvecteur des parametres θ qui peut varier en fonction du temps.
x = A(θ)x+B(θ)uy = C(θ)x+D(θ)u
(2)
A defaut de connaıtre a l’avance la trajectoire de θ, on connaıt souvent desbornes sur ses differentes composantes : θk ≤ θk ≤ θk et peut-etre aussi sur
les vitesses de variation : θk ≤ θk ≤ θk.Le vecteur des parametres peut etre vu comme une entree supplementaire
du systeme qui ne rentre alors plus dans la classe des systemes lineaires. Parmiles systemes LPV, certains types particuliers sont interessants a etudier :les systemes LPV affines, LPV polytopiques et les representations lineairesfractionnaires).
2.2.1 Systeme LPV affine
Dans ce cas, la dependance des matrices d’etat en fonction des parametresest lineaires. Notons
M =
[A BC D
]. (3)
On a alors M(θ) = M0 + θ1M1 + θ2M2....Remarquez que le produit ou l’interconnexion de deux modeles LPV
affines n’est generalement pas un modele LPV affine, mais plutot un modeleLPV avec dependance quadratique en fonction des parametres.
6
2.2.2 Systeme LPV polytopique
La matrice M representant le systeme est une combinaison barycentriquede plusieurs matrices M s
1 , M s2 ,... : M = α1M
s1 +α2M
s2 + .... Avec 0 ≤ αk ≤ 1
et Σαk = 1.Un systeme LPV affine dont les parametres varient sur des intervalles
connus peut etre considere comme un systeme polytopique. Traitons l’exem-ple d’un systeme dependant de deux parametres M(θ) = M0 + θ1M1 + θ2M2
et notons M s1 , M s
2 , M s3 et M s
4 ses sommets :M s
1 = M0 + θ1M1 + θ2M2
M s2 = M0 + θ1M1 + θ2M2
M s3 = M0 + θ1M1 + θ2M2
M s4 = M0 + θ1M1 + θ2M2
(4)
Construisons maintenant le systeme polytopique M = α1Ms1 + α2M
s2 +
α3Ms3 + α4M
s4 avec
α1 = θ1−θ1θ1−θ1
θ2−θ2θ2−θ2
α2 =θ1−θ1θ1−θ1
θ2−θ2θ2−θ2
α3 = θ1−θ1θ1−θ1
θ2−θ2θ2−θ2
α4 =θ1−θ1θ1−θ1
θ2−θ2θ2−θ2
(5)
En remplacant dans l’expression de M les M sk et les αk par leurs expressions
ci-dessus, verifie que l’on retrouve bien M = M . Ce resultat est encore valablepour un nombre de parametres plus eleve. On retiendra qu’il y a equivalenceentre les representations affine et polytopique.
Exercice 1 (Equivalence entre polytopique et LPV affine)Ecrivez M en fonction de θ ; simplifiez et montrez que l’on retrouve M .
2.2.3 Representation lineaire fractionnaire (LFR)
Ce systeme est l’interconnexion d’un systeme LTI avec une matrice ∆(un systeme statique) dependant des parametres, comme represente sur lafigure 1. Tout type de systeme LPV dont les matrices d’etat dependent ra-tionnellement des parametres peut etre mis sous forme de LFR ; cependantil n’est pas toujours aise de trouver une representation LFR d’ordre mini-male, c’est a dire avec une matrice ∆ de taille minimale. La LFR Toolbox,developpee a l’Onera, permet de creer et de manipuler les LFR [5]. Voustrouverez des exemples de modelisation LFR d’un systeme physiques dans
7
[6]4 pour un systeme mecanique elementaire et dans [7]5 pour un systemeelectromecanique d’enroulement de bande. Des travaux sur la machine as-chrone sont egalement disponibles [8, 9].
Q(s)
∆(θ)
--
-
u
v
y
z
Fig. 1 – Modele LFR
Notons v et u les entrees provenant respectivement de ∆ et de la com-mande et z et y les sorties destinees respectivement a ∆ et a la mesure. Lesysteme Q(s) s’ecrivant :
x = Ax+B1v +B2u (6)
z = C1x+D11v +D12u (7)
y = C2x+D21v +D22u (8)
En rebouclant avec la matrice ∆(θ), c’est-a-dire en ecrivant que
v = ∆(θ) z (9)
on peut ecrire les equation du systeme boucle d’entree u et de sortie y :
x = A(θ)x+ B(θ)u (10)
y = C(θ)x+ D(θ)u (11)
avec :
A(θ) = A+B1∆(θ)(I −D11∆(θ))−1C1 (12)
B(θ) = B2 +B1∆(θ)(I −D11∆(θ))−1D12 (13)
C(θ) = C2 +D21∆(θ)(I −D11∆(θ))−1C1 (14)
D(θ) = D22 +D21∆(θ)(I −D11∆(θ))−1D12 (15)
On peut faire differentes remarques sur cette representation :
4Ouvrage disponible a la bibliotheque du pole API de l’ULP.5Article disponible a partir du reseau internet de l’ULP sur le site du LSIIT
(http ://lsiit.u-strasbg.fr/Publications) ou par le SCD (http ://www-scd-ulp.u-strasbg.fr).
8
1. cette representation n’existe que si la matrice I − D11∆(θ) n’est passinguliere (on parle de LFR “bien posee” (well-posed en anglais) ;
2. dans le cas general, il s’agit d’un modele LPV ou les matrices d’etatdependent de maniere rationnelle des parametres ;
3. dans le cas ou D11 est nulle, alors la dependance des matrices est affine.
Propriete 1 (Interconnexion des LFR)L’interconnexion de plusieurs LFR est une LFR.
Exercice 2 (Interconnexion de deux LFR)Soit un systeme LFR d’entree u1 et de sortie y1 defini par ∆1 et le systeme :
x1 = A1x1 +B11v1 +B12u1 (16)
z1 = C11x1 +D111v1 +D112u1 (17)
y1 = C12x1 +D121v1 +D122u1 (18)
et la LFR d’entree u2 et de sortie y2 definie par ∆2 et le systeme :
x2 = A2x2 +B21v2 +B22u2 (19)
z2 = C21x2 +D211v2 +D212u2 (20)
y2 = C22x2 +D221v2 +D222u2 (21)
1. Les systemes sont connectes en serie avec u2 = y1. Determinez les 9 ma-trices d’etat du systeme d’entree u1, de sortie y2, d’etat x = [xT1 ; xT2 ]T
et de matrice incertaine ∆ = diag∆1,∆2.2. Les systemes sont interconnecte en retroaction avec u1 = u + y2 et
u2 = y1. Determinez les 9 matrices d’etat du systeme d’entree u, desortie y = y1, d’etat x = [xT1 ; xT2 ]T et de matrice incertaine ∆ =diag∆1,∆2.
2.3 Systeme non-lineaire
L’equation d’etat d’un systeme non-lineaire est :x = f(x, u)y = g(x, u)
(22)
Si les fontions f et g sont derivables, (on exclut donc les non-linearites fortesdu type seuil, bande morte...), on peut lineariser les equations autour d’unpoint d’equilibre (x0, u0) verifiant f(x0, u0) = 0 :
x = f(x0, u0) + ∂f∂x
(x− x0) + ∂f∂u
(u− u0)
y = g(x0, u0) + ∂g∂x
(x− x0) + ∂g∂u
(u− u0)(23)
9
En notant δx = x− x0, δu = u− u0 et δy = y − g(x0, u0) on se ramene a unsysteme LPV :
δx = A(θ)δx +B(θ)δuδy = C(θ)δx +D(θ)δu
(24)
avec θ = [x0, u0].L’etude d’un systeme non-lineaire par l’analyse de son modele linearise,
bien que souvent sans garantie stricte, constitue une voie couramment em-pruntee en automatique.
3 Inegalites matricielles affines
Les Inegalites Matricielles Affines ou LMI prennent une place de plusimportante dans les methodes modernes de l’automatique. De nombreuxresultats anterieurs trouvent une formulation LMI et ce formaliste permetaussi de resoudre de nouveaux problemes qui n’avaient pas trouve jusqu’alorsde solution.
3.1 Valeurs propres
Definition 1 (Valeur propre)Soit A une matrice carree de reels ou de complexes. On appelle valeur proprela grandeur λ telle qu’il existe un vecteur propre x verifiant Ax = λx.
La matrice A de dimension n × n represente une application lineaire deRn dans Rn. Les directions propres, c’est-a-dire les directions des vecteurspropres, sont les directions de Rn invariantes par A. Les valeurs propres sontles gains d’amplifications dans ces directions. Le nombre de valeurs propresdistinctes est au plus n. La dimension du sous-espace propre correspondanta une valeur propre donnee est variable. Une base de vecteurs propres peutetre obtenue.
En utilisant la relation Axi = λixi ou λi est la ieme valeur propre et xi unvecteur propre qui lui est associe, on peut concatener les n relations obtenuespour i = 1 . . . n en AX = XD ou X = [x1 . . . xn] est la matrices des vecteurspropres formant une base et D = diagλ1, . . . λn est la matrice des valeurspropres ou chaque valeur propre est repetee autant de fois que la dimensionde son sous-espace propre.
Propriete 2 (Matrice symetrique ou hermitienne)Les valeurs propres des matrices reelles symetriques (AT = A) et complexeshermitiennes (AH = (A∗)T ) sont toutes reelles.
10
3.2 Positivite
Definition 2 (Matrice positive)Une matrice A ∈ Rn est dite positive et on note A ≥ 0 si la forme quadratiquexTAx est positive pour tout vecteur x.
Cette definition se transpose evidemment au cas negatif. On peut tou-jours ecrire une forme quadratique a partir d’une matrice symetrique. Ainsi,xTAx = 1
2xT (AT +A)x. On ne contentera donc de considerer le cas des matri-
ces symetriques. Ces matrices ont la particularite d’avoir toutes leurs valeurspropres reelles.
Propriete 3 (Matrice positive)Une matrice A symetrique est positive si et seulement si toutes ses valeurspropres sont positives et on note A ≥ 0.
On definit aussi la positivite stricte et on dit qu’une matrice est definiepositive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. C’est equivalenta dire que la forme quadratique correspondante xTAx est strictement positivepour tout x non nul.
Propriete 4
– Soit λ un scalaire, A− λI > 0 si et seulement si les valeurs propres deA sont strictement superieures a λ.
– P > 0 ⇔ −P < 0 ; on peut donc toujours se ramener a un problemede positivite (ou de negativite).
Propriete 5 (Somme de matrices)– A > 0, B > 0⇒ A+B > 0
Cette propriete se demontre facilement a partir de la definition A > 0 ⇐⇒xTAx > 0 ∀x 6= 0.
Propriete 6 (Produit de matrices)– A > 0, B > 0⇒ AB > 0– A > 0, B < 0⇒ AB < 0
Demonstration 1 (Explication) Ces proprietes se comprennent facile-ment en considerant qu’une matrice positive est une application qui, a unvecteur de composantes positives, associe un vecteur de composantes toutespositives ; une matrice negative, au contraire, est une application qui, a unvecteur de composantes positives, associe un vecteur dont les composantessont toutes negatives.
11
Demonstration 2 (Demonstration plus complete)Pour une demonstration plus complete, on peut considerer une valeur propreλAB de AB associee au vecteur propre V AB, verifiant donc
λABV AB = ABV AB, (25)
et chercher a montrer qu’elle est positive. L’idee des calculs ci-dessous con-siste a calculer les coordonnees du vecteur propre d’abord dans la base desvecteurs propres de B notes V B
k puis dans ceux de A notes V Al . Ainsi, on
peut ecrire
V AB =∑k
βkVBk (26)
ou les βk sont les coordonnees de V AB dans la base des vecteurs propres deB et
V Bk =
∑l
αklVAl (27)
ou les αkl sont les coordonnees de V Bk dans la base des vecteurs propres de
A. En remplacant dans (25) et en utilisant le fait que AV Al = λAl V
Al et
BV Bk = λBk V
Bk ou λAl et λBk sont les valeurs propres respectivement de A et
B, on obtient :
∑l
λAl
(∑k
λBk βkαkl
)V Al = λAB
∑l
(∑k
βkαkl
)V Al (28)
Il s’agit d’une egalite entre deux vecteurs. Leurs coordonnees dans la base V Al
sont donc identiques et
λAl∑k
λBk βkαkl = λAB∑k
βkαkl ∀l (29)
Dans l’hypothese ou A et B sont toutes deux positives, les quantites λAl∑
k λBk βkαkl
et∑
k βkαkl sont necessairement de meme signe et λAB est donc positif (ABpositive). Si A et B sont de signe contraire, ces deux quantites seront de signecontraire et AB est alors negative.
3.3 Inegalite matricielle affine ou lineaire
Definition 3 (Inegalite matricielle affine)On appelle inegalite matricielle affine (ou inegalite matricielle lineaire eten anglais linear matrix inequality, note LMI) le probleme suivant : etantdonnees les matrices reelles, carrees et symetriques Mk, k = 1..n, trouver lesreels xk, k = 1...n tels que M0 + x1M1 + ...+ xnMn > 0.
12
Le succes des LMI vient du developpement des methodes dites du pointinterieur (interior point methods) qui permettent de resoudre de maniereefficace ces problemes [10]. Il est egalement lie au fait que de nombreuxproblemes, notamment de l’automatique, peuvent etre formule sous forme deLMI.
Remarque 1 (Un systeme de plusieurs LMI est une LMI)P (x) > 0Q(x) > 0
⇔[P (x) 0
0 Q(x)
]> 0 (30)
3.4 Exemple de LMI
Les LMI ne se presentent pas directement sous la forme de l’inegalitepresentee ci-dessus. Prenons un exemple classique de l’automatique : la sta-bilite de Lyapunov pour un systeme lineaire x = Ax. Il s’agit de trou-ver une matrice reelle P = P T > 0 de meme dimensions que A telle queATP + PA < 0. Considerons a titre d’exemple, le cas ou A est une matrice2× 2.
A =
[a1 a2
a3 a4
](31)
La matrice P depend alors de 3 parametres xi, k = 1..3 et peut s’ecrire
P =
[x1 x2
x2 x3
](32)
La condition de positivite de P s’ecrit
x1
[1 00 0
]+ x2
[0 11 0
]+ x3
[0 00 1
]> 0 (33)
L’inegalite de Lyapunov, elle se reecrit :
x1
[2a1 a2
a2 0
]+ x2
[2a2 a1 + a4
a1 + a4 2a2
]+ x3
[0 a3
a3 2a4
]< 0 (34)
3.5 Resolution
Afin de rendre les solvers de LMI facilement utilisables pour les problemesde l’automatique, des interfaces ont ete developpees permettant d’ecrire lesprobleme sous des formes matricielles simples. On peut citer LMI-Tools deEl Ghaoui6, la LMI Control Toolbox de MathWorks [1] et l’interface SeDuMi
6http ://robotics.eecs.berkeley.edu/˜elghaoui/
13
developpe au LAAS par Peaucelle et alli [11]. Notons aussi l’outil YALMIP7
qui permet de definir un probleme LMI et de le resoudre avec n’importe quelsolveur installe sur votre machine.
Les trois problemes classiques que ces outils resolvent sont– la fesabilite (ou existence) : trouver x solution de A(x) < 0,– la minimisation d’une fonction lineaire : trouver x minimisant cTx sous
la contrainte A(x) < 0,– le probleme de valeur propre generalisee : minimiser λ sous les con-
traintes A(x) < λB(x), B(x) > 0 et C(x) < 0.
3.6 Complement de Schur
Il s’agit d’un resultat preliminaire qui permettra, dans ce qui suit, desimplifier des expressions matricielles.
Lemme 1 (Complement de Schur)La LMI : [
Q SST R
]< 0, (35)
ou Q = QT et R = RT est equivalente a :
R < 0, Q− SR−1ST < 0. (36)
Demonstration 3La demonstration se fait facilement en multipliant (35) a droite par :[
I 0−R−1ST I
](37)
et a gauche par la transposee de cette derniere matrice. On obtient alors :[Q− SR−1ST 0
0 R
]< 0. (38)
4 Stabilite de Lyapunov
4.1 Systeme non-lineaire
Soit un systeme libre de vecteur d’etat x et d’equation d’etat x = f(x).Soit x0 un point stable candidat. Il doit alors verifier la condition d’equilibref(x0) = 0. De plus, il faut aussi que que ce point soit attractif, c’est-a-direque les trajectoires de x convergent vers x0.
7http ://control.ee.ethz.ch/˜joloef/yalmip.php
14
Definition 4 (Stabilite au sens de Lyapunov)x0 est un point stable au sens de Lyapunov s’il existe une fonction scalaireV (x) verifiant les conditions suivantes :
– V (x) > V (x0) pour x 6= x0
– ddt
(V (x)) < 0 pour x 6= x0
Une telle fonction V (x) est dite fonction d’energie du systeme.
A partir d’une condition initiale xi differente de x0, l’energie interne dusysteme va decroıtre jusqu’a atteindre son minimum qui correspond a l’u-nique point x0 ; l’etat du systeme tendra donc necessairement vers x0.
Pour demontrer la stabilite par cette methode, la difficulte reside dansle choix d’une “bonne” fonction d’energie. Une classe de fonctions souventutilisees sont les fonction quadratiques V (x) = (x − x0)
TQ(x − x0) avecQ = QT > 0 ; on parle alors de stabilite quadratique.
Pour la fonction d’energie choisie, il reste a demontrer que ddt
(V (x)) =dV (x)dx
f(x) < 0 pour tout x.
4.2 Systeme lineaire
Dans ce cas, f(x) = Ax. Le point d’equilibre candidat est x = 0. Enchoisissant V (x) = xTQx avec Q = QT > 0, la condition de stabilite s’ecritalors xT (ATQ+QA)x < 0 pour x 6= 0, ce qui s’ecrit aussi ATQ+QA < 0 etqui signifie que toutes les valeurs propres (reelles) de la matrice symetriqueATQ+QA sont strictement negatives. La stabilite quadratique peut ainsi secaracteriser par un systeme de LMI dont l’inconnue est la matrice symetriqueQ :
Q > 0 (39)
ATQ + QA < 0 (40)
Remarque : dans ce cas, cette stabilite (quadratique de Lyapunov) estequivalente a la stabilite au sens classique dont le critere est que la matriceA ait ses valeurs propres a partie reelle positive.
4.3 Systeme LPV
Pour un systeme LPV autonome x = A(θ)x, la condition de decroissances’ecrit (A(θ))TQ + QA(θ) < 0 pour tout θ dans l’ensemble admissible. Enabsence d’hypothese supplementaires sur la dependance en θ de A, noustrouvons alors devant une infinite de conditions LMI a verifier 8 (pour chaque
8On parle en fait de LMI semi-infinie dans le cas ou les parametres sont bornes ; leterme de LMI infinieLMI !infinie s’appliquant au cas ou les parametres ne sont pas bornes
15
valeur des parametres). Une issue consiste a se ramener a un nombre finide LMI en discretisant l’ensemble des parametres. L’inconvenient de cettemethode reside dans le nombre eleve de LMI a resoudre, meme pour un petitnombre de parametres ; elle est irrealiste dans le cas de systemes dependantd’un nombre eleve de parametres.
Dans le cas d’un systeme LPV affine ou polytopique, on verifie qu’il suffitque la condition soit verifiee au sommets de l’espace pour qu’elle le soit surl’ensemble du domaine. En effet, si A = ΣαkA
sk, V = Σαkx
T ((Ask)TQ +
QAsk)xT . Il suffit de verifier ((Ask)
TQ+QAsk) < 0 pour tout k. L’etude de lastabilite quadratique d’un systeme LPV affine ou polytopique s’etudie par lesysteme de 2p + 1 LMI suivantes ou p est le nombre de parametres :
Q > 0 (41)
(Ask)TQ + QAsk < 0 (42)
Remarquez que la stabilite quadratique d’un systeme LPV n’est, dansle cas general, qu’une condition suffisante de stabilite. En effet, la stabilitepourrait etre etablie avec des fonction de Lyapunov non quadratiques.
4.4 Maximisation du taux de decroissance
Plutot que de se contenter d’assurer que V decroıt, il est interessant dechercher a maximiser cette decroissance. Dans le cas d’une fonction quadra-tique V (x) = xTQx, on peut chercher a assurer V (x) < τxTx ou le taux decroissance τ est un scalaire ; il est negatif si le systeme est stable. Pour unsysteme lineaire, il s’agit donc de trouver Q = QT et τ minimal verifiant :
Q > 0 (43)
ATQ + QA < τI (44)
Il s’agit d’un probleme de valeurs propres generalisees. Ce resultat est genera-lisable aux systemes LPV affine et polytopique ; on assure alors un taux dedecroissance minimal sur le domaine.
4.5 Matrice de Lyapunov dependant des parametres
Dans le cas d’un systeme LPV, on peut introduire une matrice de Lya-punov Q(θ) dependant des parametres. La derivee de l’energie s’ecrit alors :
dV
dt= xTQx+ xTQx+ xT Qx (45)
= xT (ATQ+QA+ Q)x, (46)
16
ou Q = Q(θ(t))dt
= Σ ∂Q∂θkθk. La stabilite est donc assuree si :
Q(θ) < 0 ∀ θ ∈ Θ (47)
ATQ+QA+ Q < 0 ∀ θ ∈ Θ et θ ∈ Γ (48)
ou Θ est l’ensemble de variation des parametres et Γ celui des variations deθ ; comme on l’a fait pour Θ, on suppose que chaque composante de θ est
bornee, c’est-a-dire que θk ≤ θk ≤ θk. Dans le cas general, cette inegalitepeut etre verifiee en echantillonnant Θ et Γ.
Restreignons nous desormais a des matrices de Lyapunov dependant demaniere affine des parametres : Q(θ) = Q0 +θ1Q1 +θ2Q2 · · · . Il suffit alors deverifier la positivite de Q aux sommets de Θ, c’est-a-dire sur Θs. On observealors que Q = θ1Q1+ θ2Q2 · · · = Q(θ)−Q0. L’inegalite a verifier s’ecrit alors :
Q(θ) < 0 ∀θ ∈ Θs (49)
(A(θ))TQ(θ) +Q(θ)A(θ) +Q(θ)−Q0 < 0 ∀ (θ, θ) ∈ Θ× Γs. (50)
Dans le cas d’un systeme LPV affine (A(θ) = A0 + θ1A1 · · · ), il s’agit d’uneinegalite matricielle polynomiale d’ordre 2 qu’on ne peut resoudre avec lestechniques classiques. Par contre, il est possible d’obtenir une condition suff-isante sous forme de LMI. Pour cela, nous allons nous appuyer sur le resultatsuivant :
Lemme 2 (Condition suffisante de negativite)Soit f une fonction de E vers R ou E est un parallelepipede rectangle(E = [x1;x1]× [x2;x2] · · · ). Notons Es l’ensemble des sommets de E (Es =(x1, x2, ...), (x1, x2, . . .) . . .). La proposition (ii) implique la proposition (i)
i. f(x) < 0 ∀x ∈ Eii.
f(x) < 0 ∀x ∈ Es
∂2f∂xk≥ 0 ∀x ∈ E (51)
Pour que la fonction f soit negative, il suffit qu’elle soit negative aux sommetset qu’elle soit multiconvexe. Remarquons que la multiconvexite, c’est-a-direla convexite dans chacune des directions des axes de l’espace est une conditionmoins forte que la convexite (la convexite implique la multiconvexite). Pourcomprendre ce resultat, prenons l’exemple d’une fonction de R2. L’ensemblede depart E est donc un rectangle. Supposons que les conditions (ii) soientverifiees. Il est alors evident que f(x) < 0 sur chacun des cotes du rectangle,par convexite. Ensuite, pour un point a l’interieur du rectangle, on peut dire
17
qu’il appartient a un segment parallele a l’un des bords du rectangle ; parconvexite, f est negative en tous les points de ce segment.
Il s’agit alors d’appliquer ce lemme a l’inegalite matricielle (50) avec E =Θ × Γ et Es = Θs × Γs. La condition de multiconvexite se ramenant aATkQk +QkAk ≥ 0 ∀k ≥ 1, on obtient le systeme de LMI suivant :
Q(θ) < 0 ∀θ ∈ Θs (52)
(A(θ))TQ(θ) +Q(θ)A(θ) +Q(θ)−Q0 < 0∀θ ∈ Θs et θ ∈ Γs (53)
ATkQk +QkAk ≥ 0 ∀k ≥ 1 (54)
Remarque : la stabilite quadratique simple (avec matrice de Lyapunovconstante) est un cas particulier de la stabilite quadratique avec matrice deLyapunov dependant des parametres. Il suffit en effet de choisir Qk = 0 ∀ k ≥1.
5 Dissipativite, norme H∞
5.1 Systeme non-lineaire
On s’interesse maintenant a un systeme non-lineaire de vecteur d’entree u,de vecteur de sortie y, de vecteur d’etat x. Son equation d’etat est x = f(x, u)et son equation de sortie est y = g(x, u). Soit S(u, y) une fonction scalaireque nous appellerons flux d’energie entrant.
Definition 5 (Dissipativite)Un systeme dynamique est dit S-dissipatif s’il existe une fonction d’energieV (x) telle que
dV (x)
dt< S(u, y) (55)
pour tout x 6= x0 ou x0 est le point d’equilibre considere verifiant f(x0, 0) = 0
On peut s’interesser a des fonctions S de type particulier comme :
S(u, y) =
[yu
]T [Q11 Q12
Q12T Q22
] [yu
](56)
On parle alors de Q11, Q22, Q12-dissipativite.
18
5.2 Systeme lineaire
Soit le systeme d’equation d’etat x = Ax + Bu et d’equation de sortiey = Cx+Du.
Theoreme 1 (Caracterisation LMI de la dissipativite)Le systeme ci-dessus est Q11, Q22, Q12-dissipatif s’il existe une matrice Q =QT verifiant le systeme de LMI suivant :
Q > 0 (57)[ATQ + QA− CTQ11C QB − CTQ11D − CTQ12
BTQ−DTQ11C −QT12C −DTQ11D −DTQ12 −QT
12D −Q22
]< 0
(58)
Demonstration 4On peut remplacer le vecteur [yT , uT ]T dans la fonction S(u, y) par[
yu
]=
[C D0 I
] [xu
](59)
On obtient alors une nouvelle expression S(x, u) du flux d’energie :
S(x, u) =
[xu
]T [CT 0DT I
] [Q11 Q12
Q12T Q22
] [C D0 I
] [xu
](60)
soit
S(x, u) =
[xu
]T [CTQ11C CTQ11D + CTQ12
DTQ11C +QT12C DTQ11D +DTQ12 +QT
12D +Q22
] [xu
](61)
Par ailleurs, la derivee de la fonction d’energie s’ecrit :
dV (x)
dt= xTQx+ xTQx (62)
= (Ax+Bu)TQx+ xTQ(Ax+Bu) (63)
=
[xu
]T [ATQ+QA QB
BTQ 0
] [xu
](64)
La dissipativite (55) s’ecrit alors comme une LMI en Q = QT > 0 :[ATQ+QA− CTQ11C QB − CTQ11D − CTQ12
BTQ−DTQ11C −QT12C −DTQ11D −DTQ12 −QT
12D −Q22
]< 0
(65)
19
5.3 Performance H∞
Definition 6 (Norme H∞)La norme H∞ d’un systeme est la norme induite par la norme L2 sur sessignaux ; c’est-a-dire que pour un systeme S de vecteur d’entree u, de vecteurde sortie y et de condition initiale nulle :
||S||∞ = max||y||2||u||2
(66)
avec ||y||2 =∫∞
0yTydt
Lemme 3 (Yakubovitch-Kalman)Soit Σ un systeme lineaire. Les propositions suivantes sont equivalentes :
(i) Σ est Q11, Q22, Q12-dissipatif.
(ii) ∀ω ∈ R+\det(jωI − A) 6= 0,[G(jω)I
]T [Q1 Q12
QT12 Q2
] [G(jω)I
]≥ 0 (67)
Ce resultat s’obtient facilement en considerant un signal harmonique u(t) =Uexp(jωt).
On peut maintenant montrer que la norme H∞ est un cas particulier dedissipativite.
Theoreme 2 (Equivalence entre norme H∞ et dissipativite)Soit un systeme lineaire Σ et la fonction de flux d’energie S(u, y) = γ2uTu−yTy. Les propositions suivantes sont equivalentes :
(i) Σ est S-dissipatif
(ii) ||Σ||∞ ≤ γ
Grace au lemme de Yakubovitch-Kalman, la proposition (ii) est equivalentea −(G(jω)TG(jω) + γ2I ≥ 0 ce qui est equivalent a dire que les valeurspropres de G(jω)TG(jω) sont inferieures a γ2. Or les valeurs propres (reelleset positives) deG(jω)T (G(jω) sont les carres des valeurs singulieres deG(jω).CQFD car la norme H∞ de Σ est la borne superieure de la valeur singulieremaximale.
La majoration de la normeH∞ par γ est donc equivalente a la −I, γ2I, 0-dissipativite. Ce resultat est aussi connu sous le nom de lemme borne reel(bounded real lemma en anglais) :
20
Lemme 4 (Lemme borne reel 1)Un systeme dynamique continu lineaire de matrices d’etat A, B, C et D aune norme H∞ inferieure a γ si et seulement si il existe une matrice Q = QT
verifiant :Q > 0 (68)[
ATQ + QA+ CTC QB + CTDBTQ +DTC DTD − γ2I
]< 0 (69)
On peut appliquer le lemme borne reel pour le calcul de la norme H∞d’un systeme lineaire en resolvant un probleme de valeurs propres generaliseessuivant : trouver les matrices Q = QT et R = RT minimisant λ = γ2 etverifiant :
Q > 0 (70)[ATQ + QA+ CTC QB + CTD
BTQ +DTC DTD
]<
[0 00 R
](71)
R < λI (72)
Remarquez l’introduction d’une nouvelle matrice R necessaire pour avoirune matrice de rang plein dans l’inegalite (72) ou intervient le scalaire aminimiser.
5.4 Systeme LPV
Comme pour la passivite, on peut garantir des proprietes d’un systemeLPV en passant par un echantillonnage de l’ensemble Θ de variation desparametres. Cependant, dans le cas d’un systeme LPV affine, il existe unresultat sous forme d’un systeme comportant un nombre fini de LMI. Eneffet, l’equation (74) qui comporte des produits des matrices d’etat (ce quientraıne le caractere non lineaire de l’inegalite, meme pour un systeme LPVaffine) peut se transformer via le complement de Schur :
Lemme 5 (Lemme borne reel 2)Un systeme dynamique continu lineaire de matrices d’etat A, B, C et D aune norme H∞ inferieure a γ si et seulement si il existe une matrice Q = QT
verifiant :Q > 0 (73) ATQ + QA QB CT
BTQ −γI DT
C D −γI
< 0 (74)
21
Demonstration 5En appliquant le complement de Schur a la relation ci-dessus avec la decomposition :
Q =
[ATQ + QA QB
BTQ −γI
](75)
R = −γI (76)
S =
[CT
DT
](77)
et en multipliant par γ on obtient la premiere forme du lemme borne reelou la matrice de Lyapunov est γQ. Les deux formes sont bien equivalentespuisque γ > 0.
La seconde forme du Lemme borne reel a l’avantage de ne pas faire ap-paraıtre de produit des matrices d’etat. Ainsi, pour un systeme LPV affine, laLMI depend de maniere affine des parametres. Pour que la LMI soit verifieesur l’ensemble du domaine, il suffit qu’elle le soit aux sommets de l’espacedes parametres. On peut alors enoncer le theoreme suivant :
Theoreme 3 (Dissipativite d’un systeme LPV affine)Un systeme LPV affine est stable pour toute trajectoire de θ dans Θ et sanorme H∞ est inferieure a γ pour tout θ fige dans Θ si le lemme borne reel2 est verifie pour tout θ ∈ Θs.
Ce resultat est immediat du fait du caractere affine de l’inegalite matricielleet du fait du caractere affine de la dependance des matrices d’etat en fonctiondes parametres.
5.5 Dissipativite avec matrice de Lyapunov dependantdes parametres
Comme nous l’avons fait pour la passivite, nous pouvons introduire unematrice de Lyapunov Q(θ) dependant des parametres (en abrege PDLF pourparameter-dependent Lyapunov function) pour traiter le probleme de la dis-sipativite. Remarquons tout de suite que seule la fonction d’energie xTQxest affectee ; la fonction S(u, y) de flux d’energie n’est en rien concernee parce changement. Comme pour la passivite, le terme ATQ+QA est desormaisaffecte d’un terme supplementaire Q. Pour un systeme LPV, sous pouvonsalors enoncer le resultat suivant :
22
r
actionneur transmission souple
charge
régulateur
y
u
Fig. 2 – Schema du systeme mecanique etudie
Theoreme 4 (LMI semi-infinie de dissipativite avec PDLF)Le systeme LPV est S-dissipatif (S(u, y) = −yTy + γuTu) s’il existe desmatrices symetriques Q0, Q1... avec Q(θ) = Q0 + θ1Q1 · · · telles que :
Q(θ) > 0 ∀θ ∈ Θs (78) M(θ, θ) Q(θ)B(θ) C(θ)T
(B(θ))TQ(θ) −γI (D(θ))T
C(θ) D(θ) −γI
< 0 ∀ (θ, θ) ∈ Θ× Γ (79)
ou M(θ, θ) = (A(θ))TQ(θ) +Q(θ)A(θ) + Q(θ).
Cette caracterisation est une LMI semi-infinie. Comme nous l’avions faitpour la passivite dependant des parametres, on peut obtenir une caracterisationplus restrictive sous forme d’un nombre fini de LMI :
Theoreme 5 (Condition LMI de dissipativite avec PDLF)Le systeme LPV est S-dissipatif (S(u, y) = −yTy + γuTu) s’il existe desmatrices symetriques Q0, Q1... avec Q(θ) = Q0 + θ1Q1 · · · telles que :
Q(θ) > 0 ∀θ ∈ Θs (80) M(θ, θ) Q(θ)B(θ) C(θ)T
(B(θ))TQ(θ) −γI (D(θ))T
C(θ) D(θ) −γI
< 0 ∀ (θ, θ) ∈ Θs × Γs (81)
[ATkQk +QkAk QkBk
BTk Qk 0
]≥ 0 ∀ k ≥ 1 (82)
ou M(θ, θ) = (A(θ))TQ(θ) +Q(θ)A(θ) +Q(θ)−Q0.
6 Application a un systeme mecanique
On traite dans cette partie la modelisation d’un systeme dynamique sousforme LPV affine et sous forme LFR. Des resultats d’analyse par differentesmethodes sont presentes.
23
6.1 Presentation du systeme
Le systeme est presente sur la figure 2. Il est compose de deux sous-systemes d’inerties respectives J1 et J2 et de coefficients de dissipation (frot-tements fluides) f1 et f2 reliees par un accouplement de raideur K et de coeffi-cient de dissipation f . Le premier sous-systeme est actionne et on commandele couple u. On note qk les positions et Ωk les vitesses. On cherche a asservirla vitesse Ω2 du second sous-systeme. On considere que la raideur K et l’in-ertie J2 sont entachees d’incertitudes. Les valeurs nominales des parametressont J1 = J2 = 10 mkg.m2, f1 = f2 = 20 mNms/rad, f = 40 mNms/rad,K = 10 N/rad. On considere des variations de 50 % sur K et sur 1
J2.
Le couple transmis par la liaison flexible entre les deux sous-systemes estCK = K(q1 − q2) + f(Ω1 − Ω2). Les equations de la dynamique appliqueesaux deux sous-systemes s’ecrivent :
J1dΩ1
dt= u− CK − f1Ω1 (83)
J2dΩ1
dt= CK − f2Ω2 (84)
Il s’agit d’un modele lineaire d’ordre 4. Il peut s’ecrire sous forme d’etat avecx = [q1 Ω1 q2 Ω2]
T et les matrices d’etat suivantes :
A =
0 1 0 0
−KJ1−f+f1
J1
KJ1
fJ1
0 0 0 1KJ2
fJ2
−KJ2−f+f2
J2
, B =
01J1
00
(85)
C =[
0 0 0 1], D = 0 (86)
Ce modele a l’inconvenient d’etre non observable. En effet, seule la dif-ference q1 − q2 des positions a de l’influence sur la mesure Ω2 ; la sommeetant sans effet9. Ainsi, il est preferable de simplifier les equations en notantq = q1 − q2 et qui verifie l’equation :
˙q = Ω1 − Ω2 (87)
En reprenant les equations de la dynamique avec CK = Kq+ f(Ω1−Ω2), onpeut ecrire le modele d’etat avec x = [Ω1 Ω2 q]
T et les matrices d’etat :
A =
−f+f1J1
fJ1
−KJ1
fJ2
−f+f2J2
KJ2
1 −1 0
, B =
1J1
00
(88)
9Ajouter un offset identique sur les conditions initiales de q1 et q2 est sans effet sur latrajectoire de Ω2.
24
Fig. 3 – Lieu de Bode du systeme mecanique
C =[
1 0 0], D = 0 (89)
Le lieu de Bode du systeme mecanique est presente sur la figure 3. Laresonance se situe entre 40 et 50 rad/s. Afin d’asservir la vitesse de la charge,on a choisi un correcteur de fonction de transfert :
K(s) =2(s+ 2)
(s+ 10)(s+ 0, 01)(90)
Il s’agit d’un correcteur de type PI10 avec une troncature du terme integralpour les pulsations inferieures a 10 mrad/s et un filtrage passe bas du premierordre pour les frequences superieures a 10 rad/s. La reponse du systemenominal asservi a un echelon unitaire est donnee sur la figure 4. On note undepassement de l’ordre de 15 % et un temps de reponse a 5 % de 500 ms.
6.2 Analyse a partir du modele LPV
6.2.1 Modelisation
le modele developpe ci-dessus fait apparaıtre des produits entre les vari-ables incertaines K et 1
J2et ne peut s’ecrire directement comme un modele
10Ce correcteur simple a ete developpe pour illustrer les procedures d’analyse de ro-bustesse. De meilleurs resultats peuvent-etre obtenus avec un correcteur d’ordre plus elevecomme ceux obtenus par les methodes H∞. Vous trouverez un exemple dans [8], articledisponible depuis le reseau de l’ULP sur le cite du SCD (http ://www-scd-ulp.u-strasbg.fr,rubrique Revues electroniques) ou a partir du cite du LSIIT (http ://lsiit.u-strasbg.fr).
25
Fig. 4 – Reponse a un echelon du systeme nominal asservi
LPV affine. Cela sera rendu possible par un changement de variable d’etatx = [J1Ω1 J2Ω2 θ]
T . Remarquons que ce changement de variable est jus-tifie par la physique car, en presence d’inerties variables, les equations de ladynamique s’ecrivent rigoureusement sous la forme :
d
dt(J1Ω1) = u− CK − f1Ω1 (91)
d
dt(J2Ω2) = CK − f2Ω2 (92)
Le modele d’etat s’ecrit alors avec les matrices suivantes :
A =
−f+f1J1
fJ2
−K− fJ1
−f+f2J2
KfJ1
− fJ2
0
, B =
100
(93)
C =[
0 fJ2
0], D = 0 (94)
Les matrices d’etat s’expriment de maniere affine en fonction des parametresincertains K et 1
J2.
En notant par commodite :
M =
[A BC D
](95)
26
le modele s’ecrit M = M0 +KM1 + 1J2M2 avec :
M0 =
−f+f1
J10 0 1
− fJ1
0 0 0fJ1
0 0 0
0 0 0 0
(96)
M1 =
0 0 −1 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
(97)
M2 =
0 f 0 00 −(f + f2) 0 00 −f 0 00 f 0 0
(98)
Le script de definition du modele sous Matlab est donne ci-dessous11 :
Aa0 = [ 1/J1*[-(f+f1) ; f ; 1] zeros(3,2) ] ;
Aa1 = [zeros(3,2) [-1 ; 1 ; 0]] ;
Aa2 = [zeros(3,1) [f ; -(f+f2) ; -1] zeros(3,1)] ;
Ba0 = [1 ; 0 ; 0] ; Ba1 = zeros(3,1) ; Ba2 = Ba1 ;
Ca0 = zeros(1,3) ; Ca1 = Ca0 ; Ca2 = [0 1 0] ;
Da0 = 0 ; Da1 = 0 ; Da2 = 0 ;
S0 = ltisys(Aa0,Ba0,Ca0,Da0) ;
S1 = ltisys(Aa1,Ba1,Ca1,Da1,zeros(3)) ;
S2 = ltisys(Aa2,Ba2,Ca2,Da2,zeros(3)) ;
K0 = 10 ; w1 = 5 ; % ponderation sur K
J20 = 1e-2 ; w2 = 50 ; % ponderation sur 1/J2
range = [K0-w1 K0+w1 ; 1/J20-w2 1/J20+w2] ;
pv = pvec(’box’,range)
sysGaff = psys(pv,[S0,S1,S2]) ;
psinfo(sysGaff)
6.2.2 Robustesse en stabilite
Le correcteur est defini comme suit :
Kp = 2 ; ti = 1 ; w1K = 2 ; w2K = 10 ;
NumK = Kp*[1 w1K] ; DenK = conv([1 1e-2],[1 w2K]) ;
sysK = nd2sys(NumK,DenK) ;
11Les codes Matlab de cette partie requierent la boite a outil LMI toolbox ou la version3 ou posterieure de la Robust Control Toolbox.
27
On calcule le systeme en boucle ouverte compose du correcteur et du process :
sysboaff = smult(sysK,sysGaff) ;
On peut ensuite definir le systeme boucle, ayant comme entree la referenceet comme sortie l’erreur, par une simple lft :
sysbfaff = slft([1 -1 ; 1 -1],sysboaff) ;
On peut ensuite etudier la stabilite quadratique avec une matrice de Lya-punov constante :
[tau,P] = quadstab(sysbfaff) ;
On obtient tau = -0.0039 negatif, ce qui montre que le systeme est robuste-ment stable. La stabilite quadratique avec matrice de Lypaunov dependantdes parametres de maniere affine est etudiee avec :
[tau2,Q0,Q1,Q2] = pdlstab(sysbfaff) ;
qui donne tau2 = -0.0222, et qui montre que le systeme est robustementstable12.
6.2.3 Robustesse en performance
On calcule la norme H∞ du systeme avec :
[perf,Pp] = quadperf(sysbfaff) ;
On obtient un gain de 1,77, ce qui correspond a une marge de module pirecas (distance au point -1 dans le lieu de Nyquist) de 0,564.
On peut etudier la robustesse en performance en ajoutant une ponderationfrequentielle W1(s) sur l’erreur et en calculant la norme H∞ du transfert entrela reference et la sortie de W1(s). On definit la ponderation comme suit :
w1c = 8 ; NumW1 = 0.5*[1 1/w1c] ; DenW1 = [1 1e-3] ;
W1lti = ltisys(’tf’,NumW1,DenW1) ;
Le systeme pondere est calcule par :
sysbfaffp = smult(sysbfaff,W1lti) ;
et on calcule la norme H∞ du systeme avec :
[perf,Pp] = quadperf(sysbfaffp) ;
On obtient une norme de 0,863, ce qui montre que la sensibilite en sortie(le transfert entre la reference et l’erreur) verifie le gabarit W−1
1 (s) avec unemarge de robustesse de 1,13. Le systeme est robuste en performance.
12L’utilisation de matrice de Lypunov dependant des parametres aboutit a uneevaluation moins concervative de la stabilite ; ce resultat est donc evident des lors quela stabilite quadratique avec matrice de Lyapunov constante est verifiee.
28
Fig. 5 – Schema-bloc du modele dynamique d’ordre 3
6.3 µ-analyse
La µ-analyse est une analyse de robustesse qui s’appuie sur la notion devaleur singuliere structuree. Le modele doit-etre donne sous forme de LFR.
6.3.1 Modele LFR
La methode la plus simple pour obtenir une representation LFR d’unsysteme consiste a travailler sur le schema-bloc et a la simplifier au maximumde sorte a faire intervenir un nombre minimum de fois chacun des parametres.Dans le cas du systeme mecanique considere, chaque parametre peut etreutilise une seule fois, comme le montre le schema de la figure 5.
A partir de ce schema, il est possible de construire simplement la LFRen remplacant chaque parametre incertain par une entree vk et une sortie zk.Ainsi, en remplacant la raideur K par v1 et z1 puis 1
J2par v2 et z2, on obtient
le modele presente sur la figure 6.Ce modele se met alors sous la forme (6-8) avec :
A B1 B2
C1 D11 D12
C2 D21 D22
=
−(f + f1)/J1 0 0 −1 f 1
f/J1 0 0 1 −(f + f2) 01/J1 0 0 0 −1 0
0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0
(99)
29
Fig. 6 – Schema-bloc du modele LFR
On observe que la matrice D11 est nulle, ce qui fait que le modele LFR estaussi un modele LPV affine.
Une etape de normalisation est ensuite operee. Les parametres K et 1J2
sont respectivement remplaces par K0 + w1δ1 et 1J20
+ w2δ2 ou δ1 et δ2 sontdeux parametres dont les variations sont comprises entre -1 et 1. Le schemacorrespondant est celui de la figure 7. Le script de definition du modele LFRnormalise est donne ci-dessous13 :
A = [-(f+f1)/J1 f/J20 -K0 ; f/J1 -(f+f2)/J20 K0 ; 1/J1 -1/J20
0] ;
B1 = [-1 f ; 1 -(f+f2) ; 0 -1] ;
B2 = [1 ; 0 ; 0] ;
C1 = [0 0 w1 ; 0 w2 0] ;
C2 = [0 1/J20 0] ;
D11 = zeros(2) ;
D12 = zeros(2,1) ;
D21 = [0 1] ;
D22 = 0 ;
sysLFR = pck(A,[B1 B2],[C1 ;C2],[D11 D12 ; D21 D22]) ;
blk = [-1 0 ; -1 0] ; % structure des incertitudes
La variable blk indique que le systeme contient deux incertitudes reelles
13Les codes Matlab de cette partie requierent la boite a outil µ-analysis and synthesistoolbox ou la version 3 ou posterieure de la Robust Control Toolbox.
30
Fig. 7 – Schema-bloc du modele LFR normalise
scalaires14.
6.3.2 Robustesse en stabilite
On presente ensuite les resultats d’analyse de la robustesse en stabilite apartir du modele boucle. Apres avoir defini le correcteur au format adequat :
Kp = 2 ; ti = 1 ; w1K = 2 ; w2K = 10 ;
NumK = Kp*[1 w1K] ; DenK = conv([1 1e-2],[1 w2K]) ;
Ktf = tf(NumK,DenK) ;
sysK = nd2sys(NumK,DenK) ;
La definition du modele boucle peut se faire a partir de la fonction sysic
de la maniere suivante :
systemnames = ’ sysLFR sysK ’ ;
inputvar = ’[ v2]’ ;outputvar = ’[ sysLFR(1 :2) ]’ ;
input to sysK = ’[ -sysLFR(3) ]’ ;
input to sysLFR = ’[ v ;sysK ]’ ;
sysoutname = ’sysLFRbf’ ;
14Chaque ligne de la variable code un bloc d’incertitude. Les incertidudes reelles diag-onales rI sont codees par [-r 0] ; les incertitudes complexes diagonales cI sont codeespar [c 0] ; les incertitudes complexes pleine de taille l × c sont codees par [l c].
31
Fig. 8 – Valeur singuliere structuree pour l’analyse en stabilite (bornesuperieure et borne inferieure)
cleanupsysic = ’yes’ ;
sysic ;
Avant d’analyser la robustesse, il importe de verifier que le modele nom-inal (avec des incertitudes nulles) est stable15. Cela se fait de la manieresuivante :
if max(real(spoles(sysLFRbf))) >= 0,
disp(’Systeme nominal instable’)
else
disp(’Systeme nominal stable’)
end
Le calcul de la valeur singuliere singuliere structuree sur un ensemble devaleurs de la pulsation se fait ainsi :
TabPuls = logspace(0,2,400) ;
sysLFRbf w = frsp(sysLFRbf,TabPuls) ;
[bnds,rowd,sens,rowp,rowg] = mu(sysLFRbf w,blk) ;
figure
vplot(’liv,m’,bnds)
15Une valeur de µ inferieure a 1 signifie qu’aucun pole ne traverse l’axe imaginaire maisne garantie pas que le systeme nominal est stable.
32
Fig. 9 – Schema-bloc du modele LFR pour l’analyse en performance
et donne le trace de la figure 8. On note un majorant de 0,55 de la bornesuperieure et un minorant de 0,53 de la borne inferieure, d’ou une marge derobustesse de l’ordre de 1,8. Remarquons que la borne inferieure a de grandesdifficultes a converger. C’est la une caracteristique de la borne inferieure pourles problemes purement reels.
6.3.3 Robustesse en performance
Le calcul de la robustesse en performance se fait en incluant une ponderationW1(s) sur l’erreur de regulation16 et en ajoutant une incertitude complexepleine entre la sortie de W1(s) et la reference. Le schema du systeme estpresente sur la figure 9. La ponderation est definie sous Matlab comme suit :
w1c = 8 ; NumW1 = 0.25*[1 1/w1c] ; DenW1 = [1 1e-3] ;
W1 = nd2sys(NumW1,DenW1) ;
On definit ensuite le modele boucle sous forme LFR :
systemnames = ’ sysLFR sysK W1’ ;
inputvar = ’[ v2 ; vp]’ ;
outputvar = ’[ sysLFR(1 :2) ; W1 ]’ ;
input to sysK = ’[ vp-sysLFR(3) ]’ ;
input to sysLFR = ’[ v ;sysK ]’ ;
input to W1 = ’[ vp-sysLFR(3) ]’ ;
sysoutname = ’sysLFRbfp’ ;
cleanupsysic = ’yes’ ;
sysic ;
Le trace de la valeur singuliere structuree se fait avec le script ci-dessous :
16Avec une ponderation placee sur l’erreur de regulation, on peut traiter les problemesde bande-passante, de marge de module et de precision statique.
33
Fig. 10 – Valeur singuliere structuree pour l’analyse en performance (bornesuperieure et borne inferieure)
sysLFRbfp w = frsp(sysLFRbfp,TabPuls) ;
blkp = [blk ; [1 0]] ; % ajout de l’incertitude complexe liee
aux performances
[bnds,rowd,sens,rowp,rowg] = mu(sysLFRbfp w,blkp) ;
figure
vplot(’liv,m’,bnds)
et donne les resultats presentes sur la figure 10. On observe que les bornessuperieure et inferieure sont proches ; l’ajout d’une incertitude complexepour l’analyse en performance permet de regulariser le probleme. Le systemeest robuste en performance avec une marge de robustesse de 1,5 (1/0,66).C’est-a-dire que le systeme maintient les performances definies par le gabaritW−1
1 (s) sur la sensibilite en sortie (le transfert entre la reference et l’erreurde regulation) pour toutes les valeurs des parametres dans les intervallespredefinis.
6.4 Lieu des poles
L’etude du lieu des poles multimodele presentee ici s’appuie sur unemodelisation LFR presentee dans le paragraphe 6.3.1. Elle utilise des fonc-tions developpee par l’auteur.
34
Fig. 11 – Lieu des poles multimodele pour les variations nominales desparametres (5×5 modeles)
Le lieu des poles multimodele, trace sur la figure 11, obtenu par unechantillonnage de l’espace parametrique est obtenu par :
[poles,para0] = polesMM(sysLFRbf,blk,5) ;
figure
plot(real(poles),imag(poles),’*’)
On observe que la partie reelle des poles demeure inferieure a -1,9 ; le systemeest donc robustement stable.
On peut tracer l’evolution de la partie reelle maximale en fonction d’uncoefficient r que l’on applique au domaine de variation des parametres. Lesresultats produits sur la figure 12 sont obtenu avec les commandes :
tabr = linspace(0,3,40) ;
tabpole = [] ;
for ind = 1 :length(tabr),
r = tabr(ind) ;
rsysLFR = mmult(r*eye(2),sysLFRbf) ;
[poles,para0] = polesMM(rsysLFR,blk,10) ;
tabpole = [tabpole max(real(poles))] ;
end
figure
plot(tabr,tabpole)
On observe qu’au moins un pole est a partie reelle positive a partir d’une
35
Fig. 12 – Evolution de la partie relle pire-cas des poles en fonction du coeffi-cient de dilatation de l’ensemble de variation des parametres (5×5 modeles)
dilatation de 1.875. Cette valeur est aussi la marge de robustesse obtenue.Cette valeur peut etre obtenue automatiquement par dichotomie avec la
commande :
[Mu,para] = mumm(sysLFRbf,blk,10,1,1,[])
On obtient Mu = 0.5334 et para = [-1.0000 -0.1111], ce qui montre quela marge de robustesse est de 1.8746 et le pire cas est obtenu pour les in-certitudes normalisees δ1 = −1, 8746 et δ2 = −0, 2083. Remarquons que,dans le cas present, le pire cas n’est pas obtenu sur un sommet de l’espaceparametrique.
Le lieu de poles multimodele avec les variations maximales des parametres,presente sur la figure 13, est obtenu par le script suivant :
rsysLFR = mmult(1/Mu*eye(2),sysLFRbf) ;
[poles,para0] = polesMM(rsysLFR,blk,10) ;
figure
plot(real(poles),imag(poles),’*’)
On observe bien que l’ensemble des poles sont a partie reelle negative ; cepen-dant, certains ont une partie reelle proche de zero et sont en limite de stabilite.
36
Fig. 13 – Lieu des poles multimodele pour les variations maximales desparametres (10×10 modeles)
A Analyse des systemes asservis multivari-
ables
A.1 Position du probleme
Considerons un processus lineaire multivariable y = G(s)u asservi parun correcteur K(s), avec nu entrees et ny sorties. En tenant compte de laconsigne r et d’une perturbation d en entree du processus, les equationss’ecrivent :
u = K(s)(r − y) (100)
y = G(s)(u+ d) (101)
En notant Sy(s) = (Iny + K(s)G(s))−1 la sensibilite en sortie et Su(s) =(Inu +G(s)K(s))−1 la sensibilite en entree, on obtient les transferts en bouclefermes suivants :
ε = Sy(s)r − Sy(s)G(s)d (102)
u = K(s)Sy(s)r −K(s)Sy(s)G(s)d (103)
= Su(s)K(s)r − Su(s)K(s)G(s)d (104)
y = Sy(s)G(s)K(s)r + Sy(s)G(s)d (105)
(106)
37
ou ε = r − y est l’erreur de regulation.Les objectifs de ce schema general s’asservissement sont les suivants :– stabilite,– robustesse,– un bon suivi de trajectoire,– un bon rejet des perturbations.
Voici comment les evaluer a partir de la representation frequentielle des trans-ferts en boucle fermee.
Les outils classiques de l’automatique monovariable (lieu de Bode, deBlack et de Nyquist) ne sont pas directement utilisables en multivariable.Les outils presentes s’appuient sur le trace des valeurs singulieres, extentionde la notion de gain.
A.2 Valeur singuliere
Definition 7 (Valeur singuliere)Les valeurs singulieres d’une matrice complexe M sont les racines carreesdes valeurs propres de MHM ou MH est le hermicien (transpose conjugue)de M . On les note σi(M).
Propriete 7 (Proprietes generales)– Les valeurs singulieres sont des nombres reels positifs.– Les valeurs singulieres non nulles de M sont identiques a celles de MH
(invariance par l’operation transpose/conjugue)– Les valeurs singulieres non nulles sont au plus au nombre de min(nu, ny),
la plus petite dimension de M .
Propriete 8 (Norme matricielle)La valeur singuliere maximale σ(M) est une norme matricielle. Les pro-prietes generales des normes s’appliquent donc.
– σ(λM) = |λ|σ(M)– σ(M +N) ≤ σ(M) + σ(N)– σ(MN) ≤ σ(M)σ(N)
Propriete 9 (Inversion de matrice)M est inversible si et seulement si sa plus petite valeur singuliere est nonnulle (σ(M) > 0). Alors, σ(M) = 1
σ(M−1)et σ(M) = 1
σ(M−1).
On en deduit les proprietes suivantes :
Propriete 10 (Autres proprietes)– σ(λM) = |λ|σ(M)
38
– σ(M +N) ≥ σ(M) + σ(N)– σ(M)σ(N) ≤ σ(MN)
Propriete 11 (Interpretation)La norme σ est la norme induite sur les matrices par la norme euclidiennedes vecteurs :
σ(M) = maxz 6=0
||Mz||2||z||2
σ2(M) = maxz 6=0
zHMHMz
zHz(107)
Ainsi, la norme σ est l’amplification maximale du systeme de transfert M .
A.3 Trace des valeurs singulieres
Pour un transfert dynamique multivariableM(s), la representation frequentielleconsiste en le trace des valeurs singulieres de M(jω) en fonction de ω sur[0,∞]. L’echelle logarithmique est generalement choisie pour les absisses etles ordonnees. Ce trace generalise celui du gain aux systemes multivariables.
Definition 8 (Norme H∞)La norme H∞ de M(s), notee ||M ||∞ est la borne superieure des valeurssingulieres maximales de M(jω) lorsque ω varie sur [0,∞] :
||M ||∞ = supω∈[0,∞]
σ(M(jω)) (108)
Definition 9 (Norme L2 sur les signaux)Soit z un signal a valeur reelle ou complexe sur [0,∞] ; on note ||z||2 sanorme L2 definie par :
||z||2 =
∫ ∞0
zH(t)z(t)dt (109)
Propriete 12 (Interpretation de la norme H∞)La norme H∞ est la norme induite sur les systemes par la norme L2 sur lessignaux :
||M(s)||∞ = maxz 6=0
||M(s)z||2||z||2
(110)
Ainsi, la norme ||M(s)||∞ est l’amplification maximale.
39
Des criteres de stabilite, robustesse, qualite du suivi de trajectoire etqualite du rejet de peturbation peuvent s’evaluer a partir des representationsfrequentielles de certains transferts du systeme boucle. Cela fait l’objet desparagraphes suivants. Pour obtenir les valeurs singulieres d’un systemes dy-namique, vous pouvez utiliser sous Matlab la fonction sigma de la ControlSystem Toolbox ou la fonction vsvd de la µ-Analysis and Synthesis Toolbox.
A.4 Performances d’un systeme asservi
A.4.1 Stabilite
La stabilite est evaluable a partir du lieu des poles (tous les poles de laboucle fermee doivent etre a partie relelle strictement positive), ce qui s’evalueen multivariable de la meme maniere qu’en monovariable. Cependant, on saitque la stabilite ne suffit pas et que des marges sont necessaires. La margede module est definie en monovariable comme la distance minimale au point−1 du transfert complexe en boucle ouverte, ce qui s’ecrit avec les notationsutilisees :
∆M = minω|1 +K(jω)G(jω)|. (111)
En notant que :
minω|1 +K(jω)G(jω)| =
(maxω|(1 +K(jω)G(jω))−1|
)−1
, (112)
on definit en multivariable la marge de module en sortie :
∆M =1
||Sy(s)||∞, (113)
et la marge de module en entree :
∆M =1
||Su(s)||∞. (114)
A.4.2 Bande passante
Afin d’avoir un bon comportement en suivi de consigne, il faut que letransfert entre la reference et l’erreur soit de type coupe-bas (ou passe-haut).On pourra alors tracer la representation frequentielle de Sy(s) et relever labande passante a -3 dB ainsi que l’attenuation maximale (en continu).
A.4.3 Precision
L’erreur statique en reponse a un echelon unitaire sur la reference estdonnee par Sy(0).
40
A.4.4 Rejet de perturbation
Afin d’avoir un bon comportement en rejet de perturbation, il faut que letransfert entre la perturbation et l’erreur soit le plus faible possible notam-ment en basse frequence. Ce transfert est generalement de type passe-bande.On pourra alors tracer la representation frequentielle de Sy(s)G(s) et releverl’attenuation maximale (en continu) ainsi que l’amplification maximale enprecisant la frequence.
A.4.5 Robustesse
Les systemes dynamiques physiques sont generalement de type passe-bande et on dont un gain qui diminue en haute frequence. Il en resultedonc qu’au dela d’une certaine bande de frequences, ces dynamiques sontnecessairement mal connues. Ainsi, une des sources classique de manque derobustesse des systemes asservis correspond a des amplifications de modeshautes frequence mal connus, entraınant ainsi des instabilites. Afin de palierce probleme, il convient de s’assurer que le gain du correcteur decroit audela de la bande passante. Une maniere detournee de s’en assurer consiste aconsiderer la reponse frequentielle du transfert Su(s)K(s) ou K(s)Sy(s) dutransfert entre r et u.
A.5 Schemas d’analyse et de synthese H∞
A.5.1 Schema 1 bloc
Le transfert cruxial est la sensibilite Sy(s) qui permet de gerer a lafois la bande passante, la marge de stabilite et la precision. Consideronsla ponderation suivante :
W11(s) =s+ a
K(s+ b)(115)
avec a < b et K ≥ 1. Ce transfert a un gain statique de aKb
, un gain minimalde 1
Ket presente un gain a 3 dB a la pulsation
ωc =
√a2 − 2K2b2
2K2 − 1(116)
Definissons le filtre multivariable diagonal :
W1(s) = W11(s)I. (117)
41
On a :
W−11 (s) =
1
W11(s)I. (118)
Appliquons a l’entree de ce filtre l’erreur de regulation e ; notons z1 sa sortie.Si on est capable de verifier que la norme du transfert entre r et z1 estinferieure a 1, alors |W−1
11 (jω)| est un majorant de σ(Sy(iω)) pour tout ω.On en deduit que :
– la marge de gain du systeme est superieure a 1K
;– l’erreur statique relative est inferieure a Kb
a;
– la bande passante est superieure a ωc.Il suffit d’inverser ces trois relations pour definir la ponderation permettantcorrespondant a un cahier des charges donne :
– K est determine a partir de la marge de gain ;– le rapport b
aest ensuite deduit a partir de l’erreur statique acceptable ;
– le coefficient a est alors determine par l’expression de la bande pas-sante :
a = ωc
√2K2 − 1
1− 2K2(ba
)2 (119)
– on determine ensuite b grace a la valeur de ba.
Si on souhaite une erreur statique nulle, il convient de prendre b = 0.On peut aussi chercher a imposer une erreur de suivi de rampe nulle enchoississant une ponderation de la forme :
W11(s) =(s+ a)2
K(s+ b)2(120)
ou b est choisi tres faible voire nul17. Il convient toutefois de refaire les calculsci-dessus.
A.5.2 Schema 2 blocs
Afin de forcer le gain du correcteur a decroitre au dela de la bande pas-sante du systeme asservi, on peut etre amene a ajouter une ponderation sur lacommande u. Cette ponderation est un filtre derivateur tronque qui amplifieles hautes frequences. Avec W2(s) = W21I, on peut prendre :
W21(s) =s
K2(cs+ 1)(121)
17Il est parfois preferable de choisir b faible non nul afin de ne pas rendre le systemeinstable par l’adjonction d’un pole nul ; c’est notamment le cas pour l’analyse de la ro-bustesse.
42
avec cωc 1 (par exemple cωc = 0, 01). Une valeur de K2 faible corresponda un effet de roll-off important, c’est-a-dire une decroissante rapide du gaindu correcteur en haute frequence.
A.5.3 Schema 4 blocs
Si le rejet de perturbation n’est pas suffisant, il convient d’integrer l’entreed qui s’ajoute au signal de commande et qui modelise les perturbation appa-raissant sur l’entree du systeme. Une ponderationW3(s) = W31(s)I constantepermettra de regler le rejet de perturbation grace au transfert Tde(s) avec :
σ(Tde(jω)) <1
|W11(jω)W31(jω)|. (122)
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44
Index
Bande passante, 40Boucle
fermee, 37, 38, 40ouverte, 40
Complement de Schur, 14, 21, 22
Fonctionde Lyapunov, 16
Inegalitede Lyapunov, 13
Inegalite matricielle affine, 12
LFR, 5, 7, 9LMI, 5, 10, 12–19, 21–23
semi-infinie, 15, 23
Marge de module, 40Matrice de Lyapunov, 17, 18, 22
dependant des parametres, 16, 18,22
ModeleLFR, 8linearise, 10LPV, 6LPV affine, 5, 6, 9nominal, 4
NormeH∞, 39matricielle, 38
Performance, 40Precision, 40
Rejet de perturbation, 38, 40, 41Representation frequentielle, 39, 40Robustesse, 38, 40, 41
Sensibilite
en entree, 37en sortie, 37
Stabilite, 38, 40de Lyapunov, 13, 14quadratique, 15, 18
Suivide trajectoire, 38, 40
Systemeasservi, 4boucle, 8dynamique, 18, 21LFR, 9lineaire, 6, 13, 15, 16, 19–21LPV, 6, 10, 15, 16, 21–23LPV affine, 5, 6, 16, 17, 21, 22LTI, 5, 7non lineaire, 14non-lineaire, 9, 10, 18polytopique, 7, 16
Valeur singuliere, 38–40maximale, 38
45
