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ENAC – Section de génie civilIS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structuresen béton II
Dr O. Burdet
Dalles
Introduction à l’élasticité
ENAC – Section de génie civilIS-BETON – Laboratoire de construction en béton
Structuresen béton II
Dr O. Burdet
Le gauchissement : près de l’appui
Fig. 7.35
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Le gauchissement: bande de champ
Fig. 7.35
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Dr O. Burdet
Le gauchissement : visualisation
Fig. 7.35
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On pourrait éviter la torsion…
Fig. 7.37
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Dr O. Burdet
Dalles
Théorie de l’élasticité
ENAC – Section de génie civilIS-BETON – Laboratoire de construction en béton
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Dr O. Burdet
Equation différentielle des dalles▪ Etablie par Lagrange▪ Hypothèses de base:
– Dalles élancées (l/h > 5)– Dalles isotropes homogènes– Pas de déformation du feuillet moyen dans son
plan– Les sections planes restent planes– Les contraintes normales sont négligées
Fig. 7.5
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Elément infinitésimal de dalle
dx
dy
Fig. 7.6
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Equilibre d’un élément de dalle
( )m dm dyx x+ ⋅
Fig. 7.6
( )m dm dyx x+ ⋅
( )m dm dyxy xy+ ⋅( )m dm dxy y+ ⋅
( )m dm dxyx yx+ ⋅
( )v dv dyx x+ ⋅( )v dv dxy y+ ⋅
v dxy ⋅v dyx ⋅m dyx ⋅
m dxy ⋅
m dyxy ⋅m dxyx ⋅
yx
z dx
dy
q dx dy⋅ ⋅
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Equilibre autour de y
yz
x0=−∂
∂+
∂∂
xxyx v
ym
xm
Fig. 7.6
dyx
mm xx ⋅
∂∂
+
dymx ⋅ dxmxy ⋅
dxy
mm xy
xy ⋅
∂
∂+
dyvx ⋅
dyxvv x
x ⋅
∂∂
+
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Equilibre autour de x
yz
x0=−
∂
∂+
∂
∂y
xyy vx
my
m
Fig. 7.6
dyy
mm y
y ⋅
∂
∂+
ymdymyx ⋅
dyy
mm yx
yx ⋅
∂
∂+
dxvy ⋅
dxyv
v yy ⋅
∂
∂+
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Equilibre vertical
yz
x
0=+∂
∂+
∂∂ q
yv
xv yx
Fig. 7.6
dxvy ⋅
dxyv
v yy ⋅
∂
∂+
dyvx ⋅
dyxvv x
x ⋅
∂∂
+
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Equilibre d’un élément infinitésimal de dalle
0=−∂
∂+
∂∂
xxyx v
ym
xm 0=−
∂
∂+
∂
∂y
xyy vx
my
m
0=+∂
∂+
∂∂ q
yv
xv yx
Fig. 7.6
qym
yxm
xm yxyx −=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
2
2
Eq. 7.2
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Déformation d’un élément de dalle▪ Etablie par Lagrange▪ Hypothèses de base:
– Dalles élancées (l/h > 5)– Dalles isotropes homogènes– Pas de déformation du feuillet moyen dans son
plan– Les sections planes restent planes– Les contraintes normales sont négligées
Fig. 7.5
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Déformation dans un plan parallèle au feuillet moyen
xv
yu
yxxy ∂∂
+∂∂
=+= γγγFig. 7.7
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Répartition des contraintes
zh
xx ⋅=
2/max,σ
σ
Fig. 7.8
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Moments en fonction de la déformée
∂∂
+∂∂
−= 2
2
2
2
yw
xwBmx ν
∂∂
+∂∂
−= 2
2
2
2
yw
xwBmy ν
( )yx
wBmxy ∂∂∂
−−=2
1 ν
( )2
3
112 ν−⋅⋅
=hEBavec
Eq. 7.9
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Equation de Lagrange (1811)
Bq
yw
yxw
xw
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2
Eq. 7.10
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Grille de poutres sans torsion
Bq
yw
xw
=∂∂
+∂∂
4
4
4
4
Fig. 7.37
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Conditions de bord
Type de condition cinématique (déplacements connus)
statique (efforts connus)
appui simple w = 0 m = 0
encastrement total w = 0, ∂w∂n = 0
encastrement élastique w = 0
∂w∂n proportionnel à m
m proportionnel à ∂w∂n
bord libre m = 0, r = 0
Bq
yw
yxw
xw
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2Tab. 7.10
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Résolution de l’équation de Lagrange
w x yqa
D my
by
by
bm x
am m
m
m m
m
m
m( , )
tanhcosh cosh cosh sinh sin
, , ,...= −
++
=
∞
∑4 11
22
22
2 24
5 51 3 5π
α αα
α αα
α π
w(x,y) = ∑m
∞ ∑
n
∞ amn · sin
mπx
a · sin
nπy
b
avec α πm
m ba
=2
y
x
b2
b2
a
On peut le faire avec Excel !
Fig. 7.11
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Moments – dalle rectangulaire
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
a a/2
0 1.5
Mqa2
b = ab = 1.5 a b = 2 a
b = 3 a b = 4 a
Mqa2
des momentsDiagramme
m à y = 0y
Diagrammedes momentsm à x = a/2x
Distribution transversaledes momentsm à x = a/2y
Distribution transversaledes momentsm à y = 0x
a 2a 3a 4a3a/2a/2
0.125
Diagramme
Diagramme Distribution
DistributionFig. 7.12
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Isolignes des déformations
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Vue 3D des déformations
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Vue 3D des déformations
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Isolignes des moments mx
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Isolignes des moments my
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Isolignes des moments de torsion mxy
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Moments élastiques (ν = 0.17)
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Soulèvement des coins
b) coins ancrésa) coins libres de se soulever
Fig. 7.14
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Efforts dans les coins
Fig. 7.15
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Torsion pure dans les coins de dalles
R
réaction répartie r
m-
m+a
a
a
m-
m+
a) moments dans l'angle d'une dalle simplementappuyée et ancrée
b) moments dans l'angle d'une dalle surquatre colonnes
A
A
Fig. 7.17
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Réactions d’appui
Fig. 7.13
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Dalle encastrée sur son pourtour
Fig. 7.18
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Etat de contraintes dans un coin
dz
dx dzσydy dzσx
dx dzτyxdy dzτxy
dx dzσα
ds dzτα
dydx
α
z
y
x
Fig. 7.19
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Moments principaux
m T
mm1m2 mx
mymxy
2α
mxy
Figs. 7.20 et 7.21
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Trajectoires des moments principaux
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Comparaison dalle-poutre (1)
h h
b
z
x
w
),( yxw )(xw
Dalle Poutre
z
x
wy
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Comparaison dalle-poutre (2)h h
b
∂∂
⋅+∂∂
−= 2
2
2
2
yw
xwBmx ν
∂∂
⋅+∂∂
−= 2
2
2
2
xw
ywBmy ν
( )yx
wBmm yxxy ∂∂∂
−−==2
1 ν
2
2
dxwdBM x ′−=
0≡yM
0=xyM
12
3bhIEIB ==′
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Comparaison dalle-poutre (3)h h
b
Bq
yw
yxw
xw
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
4
4
22
4
4
4
2Bq
xw
′=
∂∂
4
4
121
3
2
hIEIB =−
=ν 12
3bhIEIB ==′