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Note de cour sur les lments finis 04/11/2003
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ELEMENTS FINIS
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Note de cour sur les lments finis 04/11/2003
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1. RAPPEL M.M.C.
F
f
duu =
D
sur Du
sur Df
Voici les notations utilises:
Le repre fixe : R (0,x1,x2,x3)
i j k, , , ,
, , ,
1 2 3
1 2
l ql q
Nous travaillerons dans le cadre des petites dformations, cela implique que la position
de rfrence reste la position initiale. Les chargements peuvent tre de type volumique
ou de type surfacique dans le cas 3-D. La rsolution d'un problme de structure consiste
tudier trois champs vectoriels ainsi que leur relation :
Le champ de dplacement, not u x
u x y z
v x y z
w x y z
( )
( , , )
( , , )
( , , )
RS|T|
Le champ des dformations not
( )x L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
22
33
2 12
2 13
2 23
Le champ des contraintes not
( )x L
N
MMM
O
Q
PPP
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11
22
33
12
13
23
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Note de cour sur les lments finis 04/11/2003
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Les diffrentes relations entre ces quantits peuvent tre schmatises par la figure
suivante:
DEPLACEMENT DEFORMATION CONTRAINTE
GEOMETRIE MATERIAU
CHARGEMENT
Dans le cas gnral, on montre que les quations d'quilibre s'crivent sous la forme
div f
qui se simplifient dans le cas de la statique :
div f
0
of est une force volumique dans le cas 3-D.
1.1. Dformation
Nous considrons Mxy
z
0
0
0
0
RS|
T|UV|
W|un point dans la configuration de dpart et
M
x dx
y dy
z dz0
0 0
0 0
0 0
'
RS|
T|
UV|
W|un point voisin. Suite au chargement il se transforme respectivement
en M
x x u
y y v
z z w
M
x x dx
y y dy
z z dz
RS|
T|
UV|
W|
RS|
T|
UV|
W|
0
0
0
et ''
'
'
. Ce qui donne sur un dessin la figure
suivante :
M'
M0
M0 '
M
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Note de cour sur les lments finis 04/11/2003
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Si nous faisons une tude dans le cas 2-D, nous pouvons mettre en place la relation
entre les dplacements et les dformations. Nous utilisons seulement des DL d'ordre 1.
x x u x y
u x dx y dy u x yu
xx y dx
u
yx y dy
x x dx dx x xu
xx y dx
u
yx y dy
dxu
xx y dx
u
yx y dy
FHG
IKJ
0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 01
,
, , , ,
, ,
, ,
b g
b g b g b g b gb g b g b g b g b g
b g b g
Ce calcul peut tre effectu pour les autres composantes dy,dz , dans le cas 3-D, et crit
sous la forme matricielle suivante :
dX
dx
dy
dz
Id dU dX Id
u
x
u
y
u
zv
x
v
y
v
zw
x
w
y
w
zx y
dX
z
F
HGG
I
KJJ
L
N
MMMMMMM
O
Q
PPPPPPP
F
H
GGGGGGG
I
K
JJJJJJJ
c h
c h
0
0 0 0
0
, ,
dU
o
grad U grad U
grad U grad U
T
T
FHIK
:
( ) ( )
( ) ( )
1
2
1
2
On montre alors que le tenseur des dformations H s'crit d'une faon gnrale :
H FHIK FH
IK
1
2
Dans le cadre des petites perturbations (faible rotation, faible dplacement), il suffit de
prendre la partie linaire de H.
H
Le tenseur des dformations est symtrique par construction, il est dfini positif etdonc il a des valeurs propres relles. Ces directions principales sont orthogonales. On
les dtermine l'aide d'un cercle de Mohr et des mesures obtenues sur une rosette 45.
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Note de cour sur les lments finis 04/11/2003
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1.2. Contraintes
Les contraintes n'ont de sens que par rapport une facette que l'on oriente par sa
normale. Si on prend comme lment de volume un paralllpipde
xy
zn
xx
xz
xy est la contrainte dans le solide sur la facette de normal
n . Dans le cas o le vecteur
normal est colinaire un vecteur de base, on a:
ijo i correspond la direction de la normal et j la composante dans le plan de lafacette.
1.2.1. Invariant du tenseur des contraintes
Nous pouvons dfinir un certain nombre d'invariant sur une matrice et donc sur le
tenseur des contraintes. Les trois premiers invariants sont :
J
J J
J
Tr ii
Tr
Det
1
2 1
3
11 22 33
12
2 2
1 2 3
FHG IKJ
( )
ijest un tenseur symtrique dfini positif et donc ses valeurs propres sont relles,notes : 1 2 3, , . Il est facile de montrer que les directions principales sontorthogonales.
On dfinit galement la contrainte normale
n et tangentielle
t .
t
n
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Note de cour sur les lments finis 04/11/2003
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On dfinit galement le tenseur des contraintes comme la somme de deux tenseurs : le
tenseur sphrique, dont la forme correspond celle du tenseur des contraintes pour une
pression hydrostatique, et le dviateur des contraintes.
L
N
MMMMMM
O
Q
PPPPPP
J
I d sp d
sp
J
J
J
d
13
1
1
1
3
3
3
3
Tenseur de pression hydrostatique
Partie deviatorique du tenseur des contraintes, qui correspond
la cission du matriau
Il est facile de montrer que si d Jn t 0 3 01 / et
1.3. Les relations de compatibilit.
Quand on connat les dplacements il est simple de dterminer les dformations, mais
le Pb inverse n'est pas aussi simple : 3 composantes pour le dplacement et 6
composantes pour le tenseur des dformations. On a donc 6 inconnues et trois quations: le problme n'a pas de solution unique. Cela est d au mouvement de corps solide :
Rotation d'ensemble, translation (Mcanique des milieux indformables). Il existe des
relations de compatibilit pour soulever ces indterminations qui sont :
2
2 2 2
2
eii
j k i
e
i
e
j
e
k
eij
i j
eii
i i
ejj
j j
jk ik ji FHG
IKJ
FHG
IKJ
R
S||
T||
Ces formules sont donnes sans sommation de l'indice rpt.
1.4. Loi de comportement - Loi de Hook
La loi de comportement relie le tenseur des dformations au tenseur des contraintes. A
chaque catgorie de matriau correspond un type de loi. Nous allons ici nous intresser
seulement au matriau lastique linaire et donc la loi de Hook :
L
NM
O
QPL
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[L] est un tenseur d'ordre 4, mais comme les tenseurs des dformations et des
contraintes sont symtriques, il est possible d'assimiler [L] une matrice [6,6] en
utilisant une reprsentation vectorielle des champs de dformations et de contraintes.
De plus dans le cas d'un processus adiabatique et isotherme rversible, on a :
12
2 2
L
L L
ijkl ij kl
ijij
ij klijkl
kl ijklij
d i
est la densit d'nergie de dformation interne.
Donc dans un cas gnral, il ne reste plus que 21 constantes diffrentes pour qualifier le
comportement d'un matriau anisotrope.
1.4.1. Matriau isotrope
Aucune direction privilgie, matriau macroscopiquement homogne
ex : Acier, inox, plastique ....
Dfinition de la loi de Hook:
ij ll ij ij 2
, sont les coefficients de Lam
Maintenant nous allons tudier des cas simples de chargement pour mettre en vidence
des coefficients ayant des sens physiques plus vidents.
1.4.1.1. Cas compression uniforme
Le solide est soumis un champ de pression surfacique et aucune force volumique.
D
F = -p n
F = -p n
D
les quations d'quilibre locales donnent :
ij j
ijnj pni D
, RS|T|
0 sur D
sur
En introduisant la loi de Hook et 12 grad U grad UT( ) ( )
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Note de cour sur les lments finis 04/11/2003
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Il est simple de montrer que ij p ij est solution du problme.
Calculons ii J 1
ii pp
ii ii
ii
3 23
2
en introduisant ce rsultat dans la loi de Hook, on obtient :
ijp
ij ij
3
22
si i j
si i j =
ij ij
ii sommation sur i
0 0
3 2 3iip p p
Ksans
Maintenant si nous calculons la variation relative de volume nous avons :
V V
V Vu dv
p
Ki i
D
z00 0
1,
La variation de volume pour une pression p est inversement proportionnelle K, qui est
appel Module de rigidit la compression.
Rq : Plus K augmente plus le matriau est peu compressible, et si K le matriau estdit incompressible.
1.4.1.2. Cas traction simple
Considrons une poutre cylindrique de longueur L limite ses extrmits par deux
surfaces iorthogonales l'axe de rvolution. Deux forces de traction opposes sont
exerces sur la poutre chacune de ses extrmits.
F
SF , ,0 0b g . F est une force
rpartie sur la surface i . Le matriau est suppos homogne isotrope, Il suit donc une
loi de Hook.
les quations d'quilibre locales donnent :
ij j
jnj F jnj jnj
jnj F jnj jnj
ijnj
,
,
,
R
S||
T
||
0
1 2 2
1 2 2
0
sur D
=0 sur
, =0 sur
sur D-
1
0
1 0m r
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Il est simple de vrifier que la fonction 11 22 23 0 F, ... est solution du Pb.En utilisant la loi de Hook on a :
iiF
F
F
R
S||
T||
3 2
3 2
2 3 2
11
33 22
b g
b g
En utilisant 11 F
E
l
l
, il est facile de montrer que le module d'lasticit ou module
d'Young E est gal :
E
3 2b g
mais galement que :
u X Fx cste
u X Fx cste
2 2
3 3
2 3 2
2 3 2
( )
( )
b g
b g
en posant classiquement 11 22 33 , on en dduit que le coefficient dePoisson est :
2b g
Nous pouvons rcapituler ces quantits dans un tableau :
E
EG
KE
1 2 1
2 1
1 2
b gb g
b g
b g
Module de cisaillement
o