Cours10 MIG8001 Chap9 Taguchi-Aut2015

8/19/2019 Cours10 MIG8001 Chap9 Taguchi-Aut2015

1/58

1

Cours MIG8001Méthodologie de recherche etcommunication

Chapitre 9 Plan FractionnairePlan d’expériences

TAGUCHI

Cours # 10


2/58

TAGUCHI TABLES ORTHOGONALES STANDARD

ET MÉTHODOLOGIE TAGUCHI

• INTRODUCTION

Dès 1939 aux U.S.A. diverses tables

orthogonales standards ont été publiéeset mises ù disposition des utilisateurs.

Malheureusement, peu d'ingénieurs en

ont compris l'intérêt sauf quelques

spécialistes.


3/58

Mais, qu'est-ce qu'une table orthogonale ?

Il s'agit d'une fraction de plan factoriel, ayant conservé la

propriété d'orthogonalité des colonnes deux à deux. A titre

d'exemple, rappelons qu'il existe 2n - l manières de couper

un plan 2n en deux parties et plusieurs manières de couper à

nouveau le plan 2n-1 obtenu en deux parties (ce qui conduit à

un quart de plan).

On voit que le nombre de solutions possibles dès qu'on aura

affaire à des fractions 1/8 ou 1/16… est très grand.

Même remarque si nous partons de plans factoriels 3n.

Nous pourrons en prendre une fraction 1/3 ou 1/9 ou 1/27,

etc.


4/58

Parmi toutes les solutions possibles les spécialistes en ont

choisi certaines pour leurs propriétés particulières. Ces

tables sont dites standards car elles sont un outil

mathématique pur qui se présente sous forme de tableau

matriciel et qui sert en particulier à construire des plans

d'expériences.

Voici à titre d'exemple une table orthogonale


5/58

Genlchi Taguchi propose un ensemble limité d~ table~orthogonales et un mode d'emploi original particulièrementattractif et simple car il se présente sous forme graphique.

CONSTRUCTION D'UN PLAN D'EXPÉRIENCESSELON LA MÉTHODE TAGUCHI

Principes

La construction d'un plan est basée sur trois principes:

1) N'utiliser qu'un nombre limité de tables, celles-ci étant choisies pour leurspropriétés particulières.

2) Rendre l'utilisation de ces tables extrêmement facile grâce à des « lineargraphs » ou graphes linéaires. En bref le mode d'emploi est à la portée de

tous et mis sous forme graphique.3) Considérer les actions d'ordre deux comme négligeables, sauf quelques-

unes bien identifiées. , . .

Les actions d'ordre 2, « alias» des actions d’ordre 1 ou « alias » des actions d'ordre 2précitées considérées comme négligeables, seront complètement passées soussilence !


6/58

Voici une table orthogonale standard proposée par GenichiTaguchi c'est la table L 8 (2)7.

Le 8 indique que cette table comporte 8 lignes et le (2)7 qu'il s'agitd'un plan fractionnaire tiré d'un plan factoriel 27. Elle compte 7colonnes (la colonne correspondant au calcul de la moyennen'étant pas présente).

Exemple 1


7/58

Considérons par exemple le triangle. Les sommets sont 1, 2, 4 et les côtés 3, 5, 6.

Voyons l'utilisation du côté 1, 2. Il nous dit que si la colonne 1 représente les

niveaux d'un facteur A, la colonne 2 les niveaux d'un autre facteur B alors la

colonne 3 pourra être util isée pour le calcul de l'interaction AB.

Les graphes linéaires fournis avec la table L8 sont les suivants :


8/58

La saturation de la table suivant le graphe triangulaire conduirait au plan suivant:

Bien sûr avec 8 résultats et des degrés de liberté répartis commesuit :

1 pour I

1 pour l'estimation de l'effet de A1 pour l'estimation de l'effet de B1 pour l'estimation de l'effet de AB1 pour l'estimation de l'effet de C1 pour l'estimation de l'effet de AC1 pour l'estimation de l'effet de BC1 pour l'estimation de l'effet de D


9/58

Les colonnes 4 et 5 étant inutilisées il reste, même sans répétition,2 ddl pour la résiduelle ce qui n'est pas très confortable pourl'expérimentateur, mais reste cohérent.

Rappelons que toute interaction autre que AB est considérée commenégligeable !

Le modèle s'écrit alors symboliquementY = I + A + B + AB + C + D

En remplaçant les l par des - et les 2 par des + on obtient une tablede Yates incomplète qui présente en outre la particularité d'avoirune colonne AB changée de signe par rapport à la table

traditionnelle, et qui n'est pas dans l'ordre standard.

Ceci dit on trouve directement les coefficients du modèle par laméthode habituelle, les résultats étant supposés les suivants :


10/58


11/58

Signification des termes 1er groupe, 2e groupe, 3e groupe etdes symboles des graphes à savoir:

O .

Il s'agit tout simplement comme on le voit immédiatement en

regardant une table, de repérer la colonne ou le groupe de

colonnes qui conduisent aux expériences les plus faciles à

réaliser.

En effet les changements de niveaux sont plus malaisés pour certains facteurs que

pour d'autres.

il sera plus difficile de démonter une culasse que de changer une bougie ; beaucoup

plus long et cher de changer un vilebrequin que de régler l'avance à l'allumage etc.

La colonne 1 d'une table de Taguchi sera toujours affectée aufacteur le plus difficile à traiter.


12/58

Il faudra donc essayer de classer les facteurs suivant la difficulté et le coût de

leurs changements de niveaux pendant la phase «préparation des

expériences>>.

Il ne faut toutefois pas oublier de répartir au hasard (aléariser, randomiser) les

facteurs non contrôlés. Là est le point essentiel.

Ceci dit, dans certains cas vous serez obligés de respecter l'ordre de la table,

pour réaliser les expériences et conserver à la colonne 1 son caractère de «

facilité».

Nous n'aurons alors qu'une fois à changer de niveau s'il s'agit d'une table en

(2)n, deux fois s'il s'agit d'une table en (3)n etc. Cette colonne 1 est toujours

associée sur les graphes, à un O .

On peut dire, en d'autres termes, que c'est la colonne la

plus «facile» (groupe 1).

Les difficultés de traitement vont en s'accroissant lorsquel'on passe du


13/58

Exemple 2 - plan 3 n.k

Voici une table L27 (3)13 . Elle est à 27 lignes et constitue donc une fraction d'un plan factoriel

(3)13 // 1594323, c'est-à-dire d'un plan à 13 facteurs et 3 niveaux par facteur.Les graphes linéaires fournis ·avec la table sont aussi reproduits ci-après.


14/58

Supposons que nous voulions étudier l'effet de 5 actions d'ordre l(effets principaux) et de 2 actions d'ordre 2 (interactions).Soient A, B, C, D, E, AB, BC, ces actions.

Le modèle (symbolique) est alors:Y = 1 + A + B + AB + C + BC + D + E

Le graphe linéaire :


15/58

montre que si A est en colonne 1 et B en colonne 2, alors les colonnes 3 et 4 serontaffectées à AB ; D pourra alors être en 9 par exemple et E en 10.Voyons combien de degrés de liberté sont nécessaires au calcul des coefficients dumodèle.li faut:

- 1 ddl pour le terme constant I- 2 ddl par action d'ordre 1(3 - 1) (3 - 1) = 4 ddl par action d'ordre 2.Dans le cas présent le calcul nécessite :

1 + (5 X 2) + (2 X 4) = 19 ddlIl restera 27 - 19 = 8 ddl pour la résiduelle, ce qui est largement suffisant.

Si nous voulons utiliser les colonnes pour le calcul de variance, nous remplacerons lescolonnes 3 et 4 par une seule colonne faisant apparaître les 9 modalités de l'actiond'ordre 2 lorsque chacun des facteurs a 3 niveaux.

De même nous remplacerons les colonnes 8 et 11 par une seule colonne.

Voici comment : On numérote les 9 modalités d'une action d'ordre 2 quelconque, par exemple AB, grâce

à la matrice 3 X 3 ci-après.


16/58

Ainsi la modalité 1,1 sera numérotée 1, la modalité 1,2 sera numérotée 2, la modalité2,2 sera numérotée 5 etc.

On écrit alors pour chaque interaction concernée les deux colonnes correspondantes.Celles-ci sont choisies grâce au graphe linéaire.

Dans notre exemple nous avons vu que AB est représentée par les colonnes 3 et 4 ; ilfaut les remplacer par la colonne des modalités de AB suivant la numérotation ci-dessus.

D'où le plan d'expériences ci-après, lescolonnes AB et BC pouvant servir aucalcul de variances d'après GenichiTaguchi.

• Mais la chose est beaucoup pluscompliquée qu’à partir de notre

méthode générale et nous n'utilisons

jamais ces colonnes !


17/58

Finalement la table L27(3)13 est devenue :


18/58

D'où le plan d'expériences et les résultats suivants:

Notons que la colonne d'interaction proposée par Genichi Taguchine peut pas être utilisée pour calculer les coefficients du modèle !

O i l' ili i d f l é é l d l l d l' ff d' i d' d


19/58

Les neuf modalités de AB conduisent au calcul des neuf coefficients du modèle. Ainsi lecoefficient du modèle (ab)32 qui correspond à la modalité 8 sera-t-il obtenu parl'équation suivante : (moyenne des résultats pour A = 3 et B = 2) = moyenne générale+a3 + b2 + (ab)32.

On sait que l'utilisation de notre formule générale de calcul de l'effet d'une action d'ordre2 (ici nous avons à calculer les effets de AB et BC) passe par le calcul des moyennes desrésultats obtenus pour chaque modalité de l'interaction.

Ainsi pour AB avec A en ligne et B en colonne, les neuf modalités de l'interaction sontdéfinies par la matrice ci-contre.


20/58

Le modèle complet est aisément calculé. Ainsi le coefficient du modèle correspond à la modalité 3 de BC noté (bc)13,

sera calculé à partir de la moyenne de tous les résultats obtenus pour B = 1 etC = 3, c'est-à-dire de la moyenne des résultats de l'expérience n° 3, soit 33, del'expérience n° 12, soit 32,8 et de l'expérience n° 21, soit 34


21/58

F


22/58

Le F de la table est donné pour = 0,05 et = 0,01. Nousconservons A, B, C, AB.

Le modèle définitif est alors :


23/58

3 – Exemple:

Réponse : Y

Variables : A, B, C, D, E à 2 niveaux chaque. Sauf A à 4 niveaux

Interaction : aucune

Modèle mathématique : Y = µ + A + B + C + D + E

df = 3 1 1 1 1 le Total = 7

Donc ça prend au moins un L8


24/58

SSTotal = 22 + 62 + 42 + 72 + 72 + 102 + 82 + 122 – 562/8 = 70


25/58

A et B sont significatif Choix du meilleur combinaison

Expérience de confirmation

Pl d’ é i


26/58

Plan d’expérienceFactoriel et plan 2f


27/58


28/58


29/58

Donc seulement A significative


30/58

Méthode de Yate pour plan 2f

* On additionne 2 à 2** On retranche 1er du 2eme


31/58

=

(−)

∗ =

(−)

∗ =

(−)

∗

=()

∗


32/58

Coefficient et plan fractionnaire

3 facteurs: A, B, C

Modèle mathématique


33/58

Modèle mathématique

y = µ + + + + + + + + ()

On coupe ce plan en 2 plan orthogonaux selon une colonne desinteractions : choisissons les (-) ou les (+) de ABC.

Sur les colonnes , lesvariables et les interactionssont confondus

L4 de Taguchi


34/58

y = µ + + +

y = µ + + + y = µ + + +

y = µ + + +

Modèle mathématique possibles

N’importe quel plan d’expérience 2f peut êtrecoupé en plan fractionnaire 2f-1 puis 2f-2 et ainside suite, selon la méthode de Yate.

Plan fractionnaire et plan Taguchi pour gagnertemps et argent; -> coût diminue

ou

Plan 3f


35/58

Plan 3f

2 variables A, B à niveaux codé (0, 1, 2)

Modèle mathématique: y = µ + + + + ()


36/58

Chaque variable à 2 degré de liberté. Donc son

somme de carré SS est divisé en 2 SS pour

comparaison.

(2 comparaisons)

Une comparaison mesure l’effet linéaire

l’autre comparaison mesure l’effet quadratique.

C l EMS d l t bl d’ANOVA


37/58

Colonne EMS de la table d’ANOVA

∅ = ∗∈ 2

N = constante


38/58

Donc dépendant si les niveaux du variable sont fixe ou

aléatoire, le test de F se fait différemment.

Si tous les niveaux de tous les variables sont fixes, le

test se fait par % à σε2 (erreur)


39/58


40/58


41/58


42/58

Méthode de calcul de EMS


43/58

Méthode de calcul de EMS


44/58

4) On couvre la colonne ou les colonnes en bas desindices du variable à calculer son EMS et onmultiplie les autres par Φ si fixe et σ2 si aléatoire.


45/58

Plan Fractionnaire


46/58

Plan FractionnairePlan d’expériences

TAGUCHI

- Moins précise que le plan complet- Coût moins chère et prend moins de temps

1 - Fonction Perte:

L = k (Y-m)2

L = Perte

K = facteur relatif au procédé

Y = Réponse (résultat du procédé)

M = Valeur de désign

2 – Étapes:


47/58

2 Étapes:

1)Choix des facteurs et des interactions

2)Choix du modèle mathématique

3)Choix du plan d’expérience

4)Expérience

5)Analyse de résultats et choix du point optimal

6)Expérience de confirmation

7)validation

Exemple « Tolérance »

On peut util iser la fonction de perte de Taguchi pour établi r de tolérance


48/58

Un circuit de puissance de télévision convertit: 100 V d’un courant

alternative à 115 V de courant direct. Avec la détérioration du

circuit, l’output varie de 115 V. À plus petit que 90 V au plus grand que 140 V, le consommateur

doit réparer ou changer son T.V.

Le cout est de 30 000 Yen Japonais

L(Y) = k(Y 115)2


49/58

Donc tolérance du consommateur = 115 ± 25 V

Pour la Cie Ajuster la T.V. À l’usine avant que ça sort.

Ça coûte 100 Yen.

Donc on a: L = 48(Y-115)2 Y-115 = 1.4

Donc pour le même K il faut que la cie solutionne le problèmecausé en générale par un resistor avant de vendre le T.V.

Tolérance de la Cie : 115 ± 1.4

L(Y) = k(Y-115)2

30000 = k(25)2 k = 48 Yen

L = 48(Y-115)2

Exemple:


50/58

Exemple: Design du paramètre d’un pont de Wheatstone

Facteurs contrôlable: A, C, D, F en ohms et E en volts.


51/58

Facteurs bruits

Un de source de bruit dépend de la qualité des composantsutilisés


52/58


53/58

Nombre de combinaison : 36x36 = 1296 combinaisons


54/58

Exemple


55/58

p- Variables qui affectent la moyenne- Variables qui affectent la moyenne et variance

Effet de Gain de transistor sur l’ouput au voltage,

- Niveau rechercher du voltage Y0 , obtenu au niveau de gain X0

Problème : une petite variation dans X implique une


56/58

Problème : - une petite variation dans X0 implique unevariation au niveau de Y0

- Au niveau de X1 une grande variation de

Gain implique une petite variation de Y1 donc système plus stable.

Solution

Faire le set up à X1 au niveau de transistor et ramener la

moyenne à Y1 en jouant sur la résistance.

Gain de 0.5 / 1 KiloHoms

L’effet de la résistance est linéaire.


57/58


58/58

Documents

Cours10 MIG8001 Chap9 Taguchi-Aut2015