COUVERTURE D’UNE OPTION SOUS VOLATILITÉ STOCHASTIQUE … · Résumé Ce mémoire porte sur l’analyse théorique de la couverture théorique d’une option de vente Euro-péenne

COUVERTURE D’UNE OPTION SOUS VOLATILITÉSTOCHASTIQUE ET COÛTS DE TRANSACTIONS

Mémoire

Emmanuel Penka Fowé

Maîtrise en Ingénierie FinancièreMaître ès sciences (M.Sc.)

Québec, Canada

© Emmanuel Penka Fowé, 2016

Remerciements

Ce mémoire n’aurait pu exister sans le soutien et la participation de plusieurs personnes que je ne puis

nommer sur une seule page. Ainsi, je tiens à remercier les personnes suivantes qui ont joué des rôles

importants dans le processus de ce travail :

— Le professeur Van Son Lai d’avoir accepté dirigé ce travail, je lui suis très reconnaissant pour ses

conseils et sa présence continue au cours de ce mémoire. Il est non seulement un bon conseiller

et enseignant, mais aussi il m’a donné assez de libertés pour suivre mes propres intérêts de

recherche, me permettant de commettre des erreurs et d’en apprendre des ses impacts. Je ne

pouvais imaginer avoir un si meilleur conseiller et mentor pour ma maîtrise, et sans son bon

sens, ses connaissances, sa perspicacité à toujours proposer des choix judicieux, je n’aurai ja-

mais fini ce travail.

— Le Professeur Issouf Soumaré pour avoir accepté de lire et d’évaluer ce mémoire. Je lui suis

très reconnaissant pour les discussions intéressantes que nous avons eu et des corrections très

pertinentes qu’il a recommandé pour améliorer ce travail. Ses idées et concepts ont eu une

influence positive sur mon apprentissage à l’Université Laval.

— Mes professeurs de l’Université Laval pour leur disponibilité à me fournir tout le support dont

j’ai eu besoin tout au long de mes études.

— Je suis redevable à mes nombreux camarades de classe pour avoir contribuer à fournir un en-

vironnement stimulant et amusant dans lequel nous avons appris l’un de l’autre. Je remercie

particulièrement Ricardo Esquil, Djibril Ndome et Diarra Sourang.

— J’ai été soutenu financièrement par les Fonds Conrad-Leblanc pour la réalisation de ce mé-

moire. Je leur suis très reconnaisant.

— Ma famille ; Jacqueline Tchouya Nana, Manuelle Penka Océane, Laétitia Penka, Noémie Penka,

Emilienne Matchida, Ulrich Penka, Calode Penka, Micheline Penka, Elyse Penka, Chantal

Penka, Jacques Penka pour leur soutien constant tout au long de ce travail.

iii

Résumé

Ce mémoire porte sur l’analyse théorique de la couverture théorique d’une option de vente Euro-

péenne dans les cas particuliers où le sous-jacent suit un processus stochastique sous le modèle de

Heston et dans un univers où les coûts de transaction sont pris en considération. Pour couvrir les deux

sources de risques inhérentes aux variations des prix du sous-jacent et à sa volatilité, nous avons uti-

lisé une stratégie combinant l’utilisation d’une couverture delta pour couvrir le prix du sous-jacent et

l’instrument ‘At The Money Forward (ATMF) straddle option’ pour couvrir la variation de la volati-

lité. Notre stratégie (notée SC4) est comparée respectivement à : (i) la gestion passive où soit aucun

balancement n’est fait pendant la vie de l’option (SC1) ou soit un seul balancement au début et fin

de vie de l’option (SC2) ; (ii) la gestion active delta où seul le risque lié à la variation du prix est

couverte dynamiquement tout au long de la vie de l’option. Les résultats des simulations Monte-Carlo

montrent qu’en général, le rendement des stratégies est dans l’ordre SC1 >SC4>SC3>SC2 alors que

le ratio rendement- valeur à risque évolue en general dans le sens SC1>SC4 ∼ SC3 > SC2. De même,

l’analyse des distributions des rendements laisse suggérer que sous SC4, peu d’évènements extrêmes

sont observés comparer à d’autres stratégies. Toutefois, SC4 semble moins performer pour des coûts

de transactions élevés.

v

Table des matières

Remerciements iii

Résumé v

Table des matières vii

Liste des tableaux ix

Liste des figures xi

Introduction 1

1 Modèle d’évaluation des options 51.1 Modèle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Insuffisance du Modèle de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Évaluation des options sous volatilité stochastique 92.1 Quelques modèles de volatilité stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Evaluation des options sous le modèle de Heston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Couverture de la volatilité : Option sur straddle 153.1 Introduction à L’ATMF STO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Fonctionnement de l’ATMF STO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Greeks sur l’ATMF STO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Couverture des options sous volatilité stochastique 194.1 Construction du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Stratégies de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Méthodes numériques 255.1 Simulation des formes semi-analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Méthodes Numériques : Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Quelques résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Résultats des stratégies de couverture 336.1 Résultats des différentes stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Analyse de la sensibilité des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3 Les limites de nos simulations et du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

vii

Conclusion 47

Bibliographie 51

viii

Liste des tableaux

5.1 Paramètres utilisés pour les tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Evaluation du Put : :Données 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Evaluation des Greeks (Delta) : Semi-analytique Vs Monte-Carlo (MC) : :Données 5.1 . 295.4 Evaluation du Call : Semi-analytique Vs Monte-Carlo (MC) : :Données5.1 . . . . . . . 315.5 Evaluation de l’ATMF Straddle et ses greeks : : Données 4eme cas de 5.1 . . . . . . . . 31

6.1 Paramètres utilisés pour les stratégies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.2 Résultats des différentes stratégies : : Données Tableau 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3 Résultats des différentes stratégies : : Données Tableau 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 386.4 Effet de la durée entre deux dates de rebalancements : :Données Tableau 6.1 . . . . . . 406.5 Influence de la volatilité initiale : :Données Tableau 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.6 Influence des coûts de transaction : :Données Tableau 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.7 Influence du strike de l’option sur straddle : :Données Tableau 6.1 . . . . . . . . . . . . 446.8 Effet de la variation du taux sans risque : :Données Tableau 6.1 . . . . . . . . . . . . . 446.9 Effet de la variation du paramètre κ : : Données Tableau 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . 45

ix

Liste des figures

3.1 Illustration de l’ATMF option Straddle (STO). A T1, on reçoit au prix KSTO le Call + Putde maturité T2 avec K = S(T1)er(T2−T1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.1 Schéma simplifié des dates de rebalancement. On peut choisir de couvrir uniquement la volatilité entre T4 − Tf ou couvrir la volatilité tout au long du processus T0 − Tf comme

suit : entre T2 − T3 en achètant des ATMF STO à T0 que nous notons STO(T0), puis entreT3 − T4 en achetant des ATMF STO à T1 et en fermant STO(T0). Ceci continuera ainsi

jusqu’à Tf maturité de l’option à couvrir (Stratégie SC4) . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.1 Distribution des rendements des stratégies : Données 1er cas du Tableau 6.1 . . . . . . . 366.2 Distribution des rendements des stratégies : Données 2eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 376.3 Distribution des rendements des stratégies : Données 3eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 386.4 Distribution des rendements des stratégies : Données 4eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 396.5 Distribution des rendements des stratégies : Données 5eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 416.6 Distribution des rendements des stratégies : Données 6eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 416.7 Distribution des rendements des stratégies : Données 7eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 416.8 Distribution des rendements des stratégies : Données 8eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 426.9 Distribution des rendements des stratégies : Données 9eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 426.10 Distribution des rendements des stratégies : Données 10eme cas du Tableau 6.1 . . . . . 42

xi

Introduction

La notion de risque est inhérente aux activités financières et i l est bien connu dans ce domaine que sans prise de risque, le rendement ne suivra sans doute pas. Cependant compte tenu du grand éventail et de la complexité des produits dérivés, il est de plus en plus évident pour les institutions financières que l’identification et la gestion des risques encourus tiennent une place de choix dans la politique de gestion de l’entreprise. Parmi les produits dérivés, les options par exemple, offrent de vastes possibi-

lités aux investisseurs. L’intérêt des options vient de leur polyvalence, en effet elles donnent le droit mais pas l’obligation d’exercer un droit que l’on acquiert lors de son achat à des coûts relativement faibles. Les options sont principalement utilisées à deux fins : pour spéculer et en guise de couverture. En spéculant, les investisseurs parient en quelque sorte sur l’évolution d’un titre. L’avantage est qu’il n’est pas nécessaire que le marché soit haussier pour réaliser un bénéfice. Compte tenu de leur poly-

valence et dependemment des termes de l’option, les gains sont possibles peu importe l’évolution du marché. Les options sont aussi utilisées à des strategies de couverture, comme un contrat d’assurance, en quelque sorte.

Bien évidemment, cette polyvalence a un revers. Les options sont des titres complexes qui peuvent

être extrêmement risqués dont les pertes peuvent entraîner la faillite. Bien qu’il existe de nombreux

sources de risque inhérents aux marchés d’options, des approches théoriques sont en constante évo-

lution pour aider à mieux les comprendre et les contenir. L’équation de base communément utilisée

sur laquelle repose les différentes stratégies est celle de Black-Scholes[4]. Cependant, étant donné

que cette dernière suppose que la volatilité associée au sous-jacent demeure invariable dans le temps,

il est vite apparu sur les données empiriques que cette dernière approximation connaît des limites et

de nos jours de nouveaux modèles incorporant des volatilités variables sont de plus en plus utilisés.

Ainsi, différent modèles existent dans la littérature [17, 32, 14] et l’un des plus connus est sans doute

le modèle à volatilité stochastique de Heston [16]. Alors que la couverture du risque associé à la va-

riation du prix du sous-jacent est usuellement opérée en rendant le portefeuille delta-neutre, celle liée

à la gestion de la volatilité (véga-neutre) du sous-jacent est compliquée à mettre en pratique à cause

de la difficulté à transiger la volatilité. Pour palier à cet inconvenient, différentes approches sont cou-

ramment utilisées en industrie, les plus connues portent sur les opérations sur les indices de volatilité

comme le VIX [5], le ’forward-looking volatility index’ [6]), les options sur swaps [18] etc. Toutefois,

le coût de l’implémentation pour usage pratique de ces méthodes reste un challenge pour l’industrie.

Ainsi, récemment, Brenner et al.[7] ont proposé une approche basée sur une option sur un straddle

1

’Forward’ à la monnaie pour couvrir le risque spécifiquement lié à la volatilité. Le straddle est conçu

avec les spécificités suivantes :

— il est la monnaie

— la valeur du strike du straddle est connue uniquement à l’expiration de l’option sur ce dernier

— la valeur du strike correspond au prix futur du sous-jacent pour la durée du straddle.

Notons que cet instrument n’est pas l’état actuel disponible ou transigible sur le marché. Cependant,

du fait de son faible coût, nous nous proposons d’évaluer dans ce travail la performance théorique de

cet instrument. Ainsi, ce travail pourrait donc constituer une avenue pour l’exploitation sous forme

synthétique ou par le substitut via un proxy par les pratiquants (trader, gestionnaire de portefeuille, de

risque, etc.) du marché.

Ainsi, nous nous proposons de développer une stratégie de gestion de risque associée à une option

(put) quand le prix et la volatilité du sous-jacent de celle-ci suivent un mouvement stochastique.

Nombreuses sont les formes que possèdent de tels options dans le marché à cause des différentes

expressions associées à la volatilité..[16, 2, 34, 14] Notre travail est basé sur le modèle de Heston[16]

et la question de recherche est définie comme suit :

Étant donné une option sous le modèle de Heston, comment pourrons nous gérer au mieux les risques

associés à la variation du prix et de la volatilité de ce dernier ? Ultimement, est ce qu’il y’a un gain à

faire appel à un instrument pour gérer spécifiquement le risque de la volatilité du prix du sous-jacent

de l’option dans un cadre réaliste où les coûts de transaction sont pris en compte ? Pour répondre à

cette question, notre travail est reparti en cinq chapitres.

— Le chapitre 1 porte sur le rappel du modèle de Black-Scholes qui est celui de base pour l’évalua-

tion du prix d’une option Européenne. Les limites de ce modèle en matière de prise en compte

de la volatilité seront décrites.

— Le chapitre 2 introduit sommairement quelques modèles de volatilité, nous y rappellerons briè-

vement les insuffisances de chacune et nous portons une attention particulière au modèle de

Heston qui sera celui utilisé dans ce travail.

— Le chapitre 3 porte sur la couverture d’une option Put lorsque le risque combine une première

source de risque associée au prix du sous-jacent et une seconde source de risque pour volatilité.

Nous rappellerons comment utiliser une couverture delta pour la première source de risque et

introduirons comment l’option ‘At the money forward starting straddle option’ (ATMF Straddle)

peut être utilisé contre la seconde source de risque.

— Le chapitre 4 portes sur les différentes stratégies de couverture d’une option Put. Nous y sou-

lignerons notre stratégie pour gérer simultanément les deux sources de risque mentionnées

au chapitre 3 et présenterons d’autres stratégies pour comparaison. Le but ultime de l’ATMF

Straddle serait de d’étudier la viabilité de l’instrument contre la variation de la volatilité.

2

— Le chapitre 4 est dédié à l’implémentation des stratégies. En l’absence d’une forme analytique

pour l’implémentation de l’instrument décrit chapitre 3, nous présenterons une approche numé-

rique basée sur le schéma d’Euler pour la simulation des différentes stratégies.

— Le chapitre 5, le tout dernier de ce travail portera sur l’évaluation numérique des différentes

stratégies. Des tests de sensibilité y sont rapportés pour jauger la consistance de nous résultats.

Afin de donner un caractère réaliste à ce travail, les coûts de transaction sont pris en compte et les dates de re-balancement du portefeuille ont été rendues modulables et indépendantes des incréments temporels des schéma numériques (i.e., on peut choisir faire des re-balancements en journaliers, hebdomadaires ou mensuels).

3

Chapitre 1

Modèle d’évaluation des options

L’univers des méthodes d’évaluation ou ’pricing’ des options est vaste et peut s’avérer parfois com-

plexe dépendamment de la structure de l’option. Cependant, le modèle de Black-Scholes [3, 4] est communément admis comme celui de base dans les marchés financiers. Ce chapitre introduit som-mairement ce modèle tout en insistant sur ses insuffisances et particulièrement le traitement de la volatilité du sous-jacent dans le cadre d’une option Européenne. Notons que nous n’irons pas dans les détails complets et preuves des théories étudiées, ces dernières sont disponibles dans plusieurs livres et certaines références données tout au long du chapitre.

1.1 Modèle de Black-Scholes

1.1.1 Le concept

Le modèle de Black-Scholes (B-S) est le plus utilisé pour le pricing des options européennes (qui suppose que l’option est conservée jusqu’à la date d’échéance) et leurs dérivées. Son expression analytique est simple à utiliser et comme tous les modèles d’arbitrage, il ne requiert pas la connaissance de l’aversion au risque de l’investisseur. Le modèle fait appel à deux actifs :

— L’actif sans risque (obligation) dont la dynamique est donnée par l’expression (1.1) ci-dessous :

dB(t) = r(t)B(t)dt (1.1)

r(t) est une constante non négative représente le taux d’intérêt instantané utilisé pour le prêt ou

l’emprunt de l’argent noté B(t).

— L’actif risqué dont l’évolution est décrite par un mouvement brownien géométrique de la forme

dS(t) = µS(t)dt +σsS(t)dWs (1.2)

µ > 0, est le taux de rendement, σ > 0, est la volatilité et dWs est un mouvement brownien

standard.

5

La base fondamentale du modèle réside dans la construction d’un portefeuille Π (nous omettons le

script t) sans risque composé de :

1. une position courte sur une option d’achat

2. une position longue sur unités d’actif risqué

ainsi,

Π =− f +∆S. (1.3)

Toute variation du portefeuille dans un intervalle infinitésimal donne

dΠ =−d f +∆dS, (1.4)

et en absence de toute opportunité d’arbitrage, le rendement du portefeuille est le taux sans risque tel

que ci-dessous décrit.

dΠ = rΠdt. (1.5)

En combinant les équations (1.4) et (1.5), on obtient l’équation aux dérivées partielle (1.6) encore plus

connue sous le nom d’équation de B-S.

∂ f∂ t

+ rS∂ f∂S

+12

σ2S2 ∂ 2 f

∂ 2t= r f (1.6)

où f désigne l’option de vente Européenne dont la condition aux limites est donnée par

f = max(−S+K,0); t = T, (1.7)

la résolution de (1.6) et (1.7) permet d’obtenir l’expression analytique du Call suivante à t=0 ;

CP(r,T,K,S(t0),σ) =−S(t0)N(−d1)+Ke−rT N(−d2), (1.8)

avec

d1 =ln(S(t0)/K)+(r+σ2/2)T

σ√

T;d2 = d1−σ

√T .

S0 est le prix courant de l’actif risqué, T est le temps à maturité, N(x) est distribution cumulative de

probabilité de la loi normale standard et est la volatilité de l’actif risqué.

6

Le succès de modèle de B-S tient du fait que l’équation (1.8) dépend uniquement d’une seule variable

inobservable : la volatilité et comme nous le verrons dans la section suivante, un des soucis du modèle

vient de l’estimation de cette dernière.

1.1.2 Volatilité dans le modèle de Black-Scholes

Etant donné que le prix d’une option européenne ne dépend que de la volatilité du sous-jacent, et non

de son rendement moyen, dans la pratique, deux approches sont couramment utilisées pour estimer la

volatilité : La méthode empirique (ou historique) et l’approche implicite.

Volatilité implicite

Pour un Put donné dont le prix est disponible sur le marché, PMkt , à partir de l’équation (1.8), on peut

trouver une fonction σ tel que le Put théorique P(r,T,K,S(t0),σBS) égalise celui du marché comme

suit

P(r,T,K,(t0),σBS) = PMkt (1.9)

et vérifiant les contraintes d’arbitrage (−S(t)+Ke−r(T−t))+ < P(r,T,K,(t0),σBS)< S(t). Ainsi pour

tout PMkt et tous autres paramètres du marché (T, K, r, S), la résolution numérique de (1.9) permet

d’obtenir une volatilité dite implicite.

C’est un indicateur utile pour les tradeurs car il correspond à la volatilité anticipée par les participants

du marché pour la durée de vie de l’option et transparaît dans la prime de l’option. Ainsi plus sa

valeur est élevée, plus la prime de l’option est élevée et vice versa. Le fait que la volatilité implicite

soit censée rendre compte de la volatilité future est cohérent avec le fait que ce qui compte pour la

valeur de l’option, c’est la capacité du sous-jacent à varier pendant la période qui reste jusqu’à la

maturité.

Volatilité historique

Elle se calcule comme l’écart-type des rentabilités logarithmiques sur une période donnée. Elle est la

plus simple à calculer car elle ne nécessite que très peu d’outils mathématiques et peut être estimée

sur différents horizons de temps suivant l’analyse désirée. L’une des limites à cette méthode et non la

moindre, repose sur le fait qu’il n’est pas toujours fiable de se baser sur des données historiques pour

prédire les variations futures.

1.2 Insuffisance du Modèle de Black-Scholes

Dans le modèle de B-S, la volatilité implicite d’une option est sous-entendue équivalente à la volatilité

historique et les rendements de l’actif sous-jacent suivent une loi normale. Dans cette hypothèse,

l’évolution future de la volatilité sera inspirée par son évolution passée et l’écart-type des rendements

qui est constant en est un bon estimateur. Cependant, dans la pratique, les prix réels des options

7

permettent de calculer une volatilité implicite qui dépend du temps avant maturité. Quelques données montrent qu’en général, la volatilité implicite est plus élevée que son équivalent historique [31] et les périodes de forte volatilité se traduisent souvent par des cours bas permettant d’anticiper une rentabilité plus élevée. Ainsi, le modèle de volatilité réel doit prendre en compte la variable temps. Dans le cas où l’on prend en compte de l’incertitude de la volatilité du sous-jacent d’une option, on parle de modèles à volatilité stochastique.

Bien que le modèle de B-S diverge de la réalité en de nombreux points, il en demeure néanmoins

que c’est une approximation très utile et fort intéressante. Ainsi, on peut facilement montrer que si

la volatilité constante du modèle constitue une borne (majorant/minorant) de la vraie volatilité, il en

suit que le prix obtenu constitue aussi une borne du vrai prix. Cette propriété connue sous le nom de

“robustesse de la formule de Black-Scholes”.

En conclusion, la connaissance de la volatilité joue un rôle essentiel dans l’évaluation et dans la

couverture d’un investissement quelconque, surtout lorsque celui-ci est risqué. Par conséquent, la pré-

vision de cette volatilité est indispensable afin de contrôler le risque (et lorsque possible, le diminuer).

Ceci nous amène à introduire le chapitre suivant qui sera basé sur quelques modèles de volatilités et

l’évaluation des options qui en découlent.

8

Chapitre 2

Évaluation des options sous volatilitéstochastique

Nous nous intéressons dans ce travail à la couverture d’une option Européenne sous volatilité stochas-

tique. Étant donné la multitude de modèles de volatilité stochastique disponible dans la littérature, nous proposons dans ce chapitre de présenter sommairement quelques unes des plus couramment utilisées. Le modèle de Heston étant celui de base de notre étude, nous accorderons une attention particulière à la description de ce modèle et des ’greeks’ afférents.

2.1 Quelques modèles de volatilité stochastiques

En général, on suppose que le prix de l’actif et sa volatilité suivent des mouvements stochastiques

dont la formulation est donnée comme suit :

dS(t) = µtS(t)dt +σtS(t)dWt,1

σt = f (yt)

dy(t) = a(t,yt)dt +b(t,yt)dWt,2

dWt,2dWt,1 = ρdt

(2.1)

avec µt encore appelé drift réprésente le taux de rendement instantané (deterministe). σt est la vo-

latilité instantanée et ρ qui est déterministe et géneralement négatif est la corrélation entre les deux

mouvements Browniens standard (processus de Wiener). De façon équivalente, les termes aléatoires

Wt,1,Wt,2 de l’équation (2.1) peuvent être réecrits en deux mouvements Browniens indépendants d̃Wt,1

et d̃Wt,2 suivant la relation ci-dessous

dWt,1 = d̃Wt,1

dWt,2 = ρ d̃Wt,1 +√

1−ρ2d̃Wt,2.

9

Suivant l’expression de y(t),a(t,yt),b(t,yt) de l’équation (2.1), les modèles ci-dessous ont été deve-

loppés dans la littérature.

2.1.1 Modèle de Hull et White

Dans le modèlede Hull et White [17], l’expression de la volatilité suit une loi lognormale et on obtient

l’expression

ρ = 0

f (Yt) =√(yt)

dy(t) = aytdt +bytdWt,2

(2.2)

a et b sont des constantes. Le problème avec ce modèle c’est que les moments d’ordre supérieurs

peuvent facilement diverger ou encore la volatilité peut croître/décroître indéfiniment.

2.1.2 Modèle Gaussien de Ornstein-Uhlenbeck

Ce modèle [34] introduit à la dynamique de la volatilité la notion de retour à la moyenne. Cette

dernière est en accord avec les données empiriques.

ρ = 0

σt = yt

dy(t) = δ (θ −σt)dtytdt +βytdWt,2

(2.3)

L’inconvénient du modèle est non seulement que la volatilité a une forte chance de tendre vers zéro

et d’être négative, mais aussi elle suppose que le risque de la volatilité est constant. Les variantes

suivante de ce modèle ont été developpées : Stein and Stein[32] assume f (y) = |y| alors que pour

Scott[30], on a f (y) = exp(y).

2.1.3 Modèle de Heston

Le modèle de Heston [16] qui sera la base de travail est un modèle dont la volatilité suit un processus

de retour à la moyenne de type CIR[14]. La dynamique d’un actif suit l’équation de diffusion

dS(t) = µtS(t)dt +

√V (t)S(t)dWt,1

dV (t) = κ(θ −V (t)dt +η√

V (t)dWt,2

dWt,2dWt,1 = ρdt

(2.4)

avec

— κ : vitesse de retour à la moyenne. Il est toujours positif

10

— θ : moyenne à long terme de la variance V (t)

— η : la volatilité de la variance V (t)

— ρ : le coefficient de corrélation entre mouvement Brownien du prix St et celui de la variance vt .

−1≤ ρ ≤ 0.

— V (0) et S(0) sont les valeurs initiales positives de la variance et du prix du sous-jacent

La volatilité est strictement positive quand 2κθ ≥ η2 et 0 ≤ 2κθ ≤ η2 (pour plus d’information,

voir la discussion de Brigo et Mercurio[9]). dWt,2 et dWt,2 sont des mouvements Browniens sous la

filtration (Ft)t>0.

De tous les modèles de dynamique d’un actif risqué, le modèle de Heston est sans doute celui qui a

gagné en popularité dans le marché. Cet attrait tient entre autres de sa robustesse et de :

— L’existence d’une forme semi-analytique pour le prix des options, facilitant ainsi la calibration

du modèle

— la non nécessité de log-normalité de la dynamique du prix comme dans le modèle de B-S

— La correspondance entre la forme de la volatilité implicite et celui du marché

— l’effet de levier.

Le fait que le coéficient de correlation ρ 6= 0 rend ce modèle très intéressant sur la plan pratique pour

la génération des smiles et skew de la volatilité (modèle qui cadre avec la réalité sur le marché). Une

corrélation positive implique que le prix bouge dans le même sens et en même temps que la volatilité

alors qu’une corrélation négative est généralement interprétée en terme d’effect de levier : En effet,

des données empiriques montrent qu’une grande chute des prix des options est associée à une hausse

de la volatilité.

2.2 Evaluation des options sous le modèle de Heston

Cette section porte sur l’évaluation des options vanilla Européenne, des options forwards et des options

sur option forward. Nous n’entrerons pas dans les détails techniques des différentes dérivations des

modèles. Pour d’amples informations, le lecteur pourra consulter les reférences fournies.

2.2.1 Evaluation d’un Put Européen

Heston[16] a montré que pour un Put Européen P(x,v,τ) de maturité T, dont le temps courant est

donné pat τ = T − t, r le taux sans risque sous Q, S(t) le prix du sous-jacent , A(t,T ) le facteur d’ac-

tualisation et K le prix d’exercice. En posant x = ln(S(t)), le prix d’un put est donné par l’expression

P(x,v,τ) = S(τ)P1(x,v,τ)−KA(t,T )P2(x,v,τ)+KA(t,T )−S(τ) (2.5)

où les probabilités Pj de l’équation (2.5) sont données par

11

Pj(x,v,τ) =12+

1π

∫∞

0Re[

e−iϕy f j(x,v,τ,ϕ)iϕ

]dϕ. (2.6)

Les fonctions caractéristiques f j(x,vτ,ϕ) proposées par Heston[16] dans l’équation (2.6) sont de la

forme

f j(x,v,τ,ϕ) = eC j(τ,ϕ)+D j(τ,ϕ)V+iϕx, (2.7)

où :

D j(τ,ϕ) =b j−ρσϕi−d j

σ2

[1− e−d jτ

1− c je−d jτ

], (2.8)

C j(τ,ϕ) = rϕiτ +a

σ2

{(b j−ρσϕi−d j)τ−2ln

[1− c je−d jτ

1− c j

]}, (2.9)

d j =

√(ρσϕi−b j)

2−σ2 (2u jϕi−ϕ2), (2.10)

c j =b j−ρσϕi−d j

b j−ρσϕi+d j, (2.11)

a = κθ , u1 =12 , u2 =−1

2 , b1 = κ +λ −σV ρ et b2 = κ +λ .

Albrecher et al. [1] et Agnieszka et al.[19] ont montré que d j tel que ci-dessus formulé est numérique-

ment stable.

Analyse des sensibilités : Greeks

— Calcul du Delta

Le Delta d’une option mesure la sensibilité de ce dernier par rapport au prix du sous-jacent. Un

portefeuille sera dit Delta neutre si elle est couverte de facon optimale contre les variations du

prix, cela consiste à prendre des positions sur des proportions de sous-jacent. Sous le modèle de

Heston, on montre[19] que l’expression de ∆ est donnée par

∆P =∂P∂S

=−1+P1 +S · ∂P1

∂S−Ne−rτ · ∂P2

∂S. (2.12)

Or ∂Pj∂S =

∂Pj∂x ·

∂x∂S , et en sachant que

∂Pj

∂x=

1π

∫∞

0Re[e−iϕy f j(x,v,τ,ϕ)

]dϕ = p j (2.13)

avec∂x∂S

=1S. (2.14)

12

On obtient∂Pj

∂S=

1A· p j. (2.15)

Nous conclut que

∆P =−1+P1 + p1−NS

e−rτ · p2. (2.16)

— Calcul de vega

Le véga mesure la sensibilité d’une option par rapport à la volatilité. Ainsi une option est dite

Véga-neutre si elle est moins sensible aux variations de la volatilités des prix. Dans la pratique,

on utilise les dérivées de volatilités (options sur VIX) ou des instruments comme les options

Straddle pour rendre le portefeuille véga-neutre Le véga de l’option est donné par [19]

ΛP = A · ∂P1

∂v−Ne−rτ · ∂P2

∂v(2.17)

avec∂Pj

∂V=

1π

∫∞

0Re[

e−iϕyD j(τ,ϕ) f j(x,v,τ,ϕ)iϕ

]dϕ (2.18)

Au terme de ce chapitre, nous avons les incrédients pour faire rendre notre portefeuille delta-neutre.

Seul, le risque associé à la variation de la volatilité reste inexploré. Ceci constituera l’essence du

chapitre prochain.

13

Chapitre 3

Couverture de la volatilité : Option surstraddle

Dans ce chapitre, nous présentons l’option ’At the money foward straddle’, ATMF STO, qui est l’ins-

trument que nous allons utiliser pour couvrir la variation de la volatilité du modèle de Heston. Nous

montrerons que l’un des avantages de l’ATMF STO est son faible coût. Une illustration est fournie

pour plus de clarté.

3.1 Introduction à L’ATMF STO

L’ATMF STO est une option sur un straddle à la monnaie, et pour mieux comprendre cet instrument et son fonctionnement, nous définirons respectivement l’At the Money Forward (ATMF) option puis l’option sur l’ATMF.

3.1.1 At the Money Option

Ce sont des options dont le prix d’éxercice (Strike) correspond à la valeur espérée du prix de l’option

à maturité. Dans ces conditions, le pay-off à T2 de l’ATMF est donné par (S(T2)− kS(T1))+, avec k

qui correspond à k = er(T1−T2), T1 est la période initiale, T2 la maturité de l’option, de même que S(i)

est le prix de l’actif au temp Ti. Tel que formulé, l’intérêt d’une telle option tient de la faiblesse de son

coût.

3.1.2 At the Money Forward Starting Option

Ceci désigne une option qui est initialisée à une date T0 avec un Strike inconnu. Cette dernière ne sera

fixée qu’à un instant T1 où l’option commence et sa valeur est S(T1)er(T1−T2).

Pour son évaluation, si on suppose que le Strike n’est connu qu’à un temps ultérieur que nous notons

(t*), Kruse et Nogel[23] ont montré que la structure de prix prend la forme suivante sous le modèle de

Heston :

15

FIGURE 3.1 – Illustration de l’ATMF option Straddle (STO). A T1, on reçoit au prix KSTO le Call +Put de maturité T2 avec K = S(T1)er(T2−T1)

C(x,v,τ) = Ke−rτ

(exP̂1(x,v,τ)− P̂2(x,v,τ)

). (3.1)

avec τ = T2− t∗, P̂1 et P̂2 sont les probabilités analogues à un facteur multiplicatif près à celle de

l’équation (2.6).

3.2 Fonctionnement de l’ATMF STO

Comme précédemment, ceci est un straddle dont la structure est illustrée le prix d’exercice est connu

à un temps ultérieur que nous avons appelé T1 dans la figure. La structure du pay-off de l’option T2

donnée par (S(T2)− kS(T1))++(−S(T2)+ kS(T1))

+. Si l’option est à la monnaie, le straddle est dit

At-The Money Foward Starting Straddle (ATMF Straddle).

L’option sur un At-The Money Forward Starting Straddle que nous notons ATMF STO est un instru-

ment dont le fonctionnement est relativement simple et illustré à la figure 3.1.

Son fonctionnement est comme suit :

1. à T0, on achète une option call sur ATMF Straddle (ATMF STO) de maturité T1 de prix d’éxer-

cice KSTO.

2. à T1, le prix d’éxercice de l’ATMF Straddle est connu, il vaut KStraddle = ST1er(T2−T1) si le STO

est exercé, l’investisseur reçoit donc l’ATMF Straddle de maturité T2

16

3. à T2, nous recevons le pay-off du Straddle.

3.2.1 Application : Cas du modèle de Black-Scholes

Supposons comme dans la réference [7], que la volatilité est déterministe et vaut entre T0−T1 et T1−T2

respectivement σ1 et σ2. Nous admettons aussi que dans ces intervalles, la formule de Black-Scholes

tient. On écrira

— à T2 le pay-off du straddle (Call(T2)+Put(T2)) avec les prix ST1 et ST2est comme suit

ST (T2) = max((S(T2)−S(T1)er(T2−T1)),0)+max((−S(T2)+S(T1)er(T2−T1)),0) (3.2)

— à T1 l’ATMF Straddle vaut ST (T1) = ST (T2)er(T2−T1), l’option étant ’at the money’, le call vaut

le put et Brenner [8] montre que l’on obtient

ST (T1)≈ 2/√

2πσ2√

T2−T1S(T1) (3.3)

De l’équation (3.3), on remarque que la valeur relative ST (T1)/S(T1) est déterminée unique-

ment par la volatilité pendant la période de vie de l’ATMF Straddle T1−T2. Cette relation très

interressante suggère que l’ATMF serait un instrument de choix pour couvrir le risque associé

à la volatilité.

— à T0, la valeur de l’option STO vaut la valeur actualisée de max(ST(T1)-KSTO,0).

Dans le cas géneral où 0 < t < T1, Brenner[7] montre que que le STO vaut

STOt = αStN(d)−KSTOe−r(T1−t)N(d−σ1√

T1− t) (3.4)

avec α = 2/√

2πσ2√

T2−T1 et d =ln(αSt/KSTOe−r(T1−t))+0.5σ2

1 (T1−t)σ1√

T1−t

Ainsi, les paramètres fondamentaux de l’option STO sont respectivement le strike KSTO, les

volatilités σ1 et σ2.

De part sa construction, l’ATMF STO s’avère théoriquement être un outil de choix pour des raisons

suivantes :

— Son coût est généralement très faible comparer aux options classiques

— Il est adéquat pour juguler la partie du risque associée à la volatilité implicite

— Il est plausible de faire sa replication ou un proxy.

3.2.2 Evaluation de l’option sur Straddle sous le modèle de Heston

L’option sur Straddle appartient à la famille des options dites ’Composées’. Différents modèles de pri-

cing existent dans la littérature et son expression est évidemment dépendante du modèle de volatilité.

Brenner et al. [7] ont derrivé une forme semi-analytique dans le cas où la volatilité suit le modèle de

Stein[32]. De même, Kruse et Nogel[23] ont trouvé une expression analytique dans le cas de l’option

17

ATMF permettant d’obtenir l’expression de l’ATMF Straddle en utilisant la relation Put-Call. A notre

connaissance, aucune formule semi-analytique n’existe sur l’ATMF STO dans le cas du modèle de

Heston. Dans ce travail, l’ATMF STO sera évaluée numériquement par l’approche Monte-Carlo.

3.3 Greeks sur l’ATMF STO

Ne disposant pas d’une forme semi-analytique pour l’ATMF STO, nous présenterons dans le chapitre

suivant quelques schéma numériques pour le calcul des greeks.

En conclusion, rappelons que dans le modèle de Heston (2.6), le prix de l’option est sujet à deux types

de risques : l’un sur le prix du sous jacent et l’autre sur la volatilité. Sachant qu’il est classique de faire

une couverture delta pour le risque sur le prix du sous-jacent, ce chapitre nous a permis d’introduire

l’ATMF STO comme un instrument de couverture de la volatilité. Ainsi, nous disposons à présent de

deux instruments pour couvrir une option sous le modèle de Heston. Dans le chapitre suivant, nous

décrirons notre stratégie pour couvrir les deux types de risque.

18

Chapitre 4

Couverture des options sous volatilitéstochastique

Cette chapitre s’intéresse à la stratégie théorique que nous utiliserons pour la couverture d’un put

sous modèle de Heston. Nous proposons une stratégie qui pourait permettre de coupler la couverture

du risque lié à la variation du prix du sous-jacent (couverture delta) et celle liée à la variation de

la volatilité du sous-jacent (utilisation de l’instrument ATMF STO). Notre stratégie sera comparer à

quelques alternatives comme la couverture dynamique delta-neutre et des stratégies passives.

4.1 Construction du portefeuille

La construction du portefeuille est assimilable à celle de B-S décrite en l’équation (1.3). Cependant,

d’après l’équation (2.6) nous avons deux mouvements Browniens et un seul actif transigeable (le

sous-jacent St). Sachant que le risque associé au mouvement Brownien du prix du sous-jacent peut

être couvert par une stratégie delta, nous avons besoin d’un instrument pour couvrir le mouvement

Brownien de la volatilité. Le choix le plus évident aurait été de considerer une couverture véga, mais

la difficulté qui en résulte tient du fait que la volatilité n’est pas une observable et par conséquent,

on ne saurait la transiger. Cependant, sur un plan théorique, nous pouvons considérer l’existence d’un

instrument quelconque que nous notons G (ceci correspondra à l’ATMF STO), tel que le portefeuille

sans risque soit constitué de :

— Une position courte sur l’option de vente f

— une position longue sur α sous-jacent S

— une position longue sur β instruments de référence G.

On en déduit la valeur de portefeuille suivante :

Π =− f +αS+βG, (4.1)

19

et la variation du portefeuille est donnée par

dΠ =−d f +αdS+βdG. (4.2)

f et G et S sont des fonctions de temps t, de la variance V et du prix S.

En appliquant la formule de dérivation d’Itô à deux variable à l’équation (4.2), on obtient :

dΠ =−

{∂ f∂ t +

12 f (V )2S2 + ∂ 2 f

∂ 2S +ρ f (V )Sb ∂ 2 f∂V ∂S

}dt

− ∂ f∂S dS− ∂ f

∂V dV

+αdS+β

{[∂G∂ t +

12 f (V (t))2S2 ∂ 2G

∂ 2S + 12 b2 ∂ 2G

∂ 2v +ρ f (V )Sb ∂ 2G∂V ∂S

]dt + ∂G

∂S dS+ ∂G∂V dV

} (4.3)

et en réarrangeant l’équation (4.3), on obtient

dΠ =−{

∂ f∂ t +

12 f (V )2S2 + ∂ 2 f

∂ 2S +ρ f (V )Sb ∂ 2 f∂V ∂S

}dt

+β

[∂G∂ t +

12 f (V (t))2S2 ∂ 2G

∂ 2S + 12 b2 ∂ 2G

∂ 2V +ρ f (V )Sb ∂ 2G∂V ∂S

]dt

+[− ∂ f

∂S +β∂G∂S +α

]dS

+[− ∂ f

∂V +β∂G∂V

]dV

(4.4)

et pour que le portefeuille soit sans risque, on a

− ∂ f∂S +β

∂G∂S +α = 0

− ∂ f∂V +β

∂G∂V = 0

(4.5)

et on en déduit que

β = ∂ f∂V /

∂G∂V = ν f

νG

α = ∂ f∂S −β

∂G∂S = ∆ f −β∆G,

(4.6)

où ν et ∆ répresentent respectivement la sensibilité de l’option par rapport à la volatilité (Véga) et par

rapport au prix (Delta). Nous pouvons rendre le portefeuille en (4.1) neutre au risque en reécrivant

− f +αS+βG−B = 0. (4.7)

B désigne le montant d’argent comptant (CASH) initial.

20

En rappel, une illustration pratique serait le cas de l’assurance des actifs d’une firme contre une prime,

ainsi le montant de Cash initial provient de deux sources : (i) la prime recue des ceux dont nous

couvrons (les actionnaires) et (ii) la contribution de l’assureur (investisseur). On peut ecrire dont

B = Prime+ Invest. (4.8)

Invest représente l’investissement ou les fonds propres de l’assureur alors que Prime désigne la prime fixe payée par la compagnie à l’assureur. Nous supposerons qu’elle est une fonction de la perte espérée EL et de la perte inespérée UL comme décrit par Langlois et al [24].

Prime = EL+φUL, (4.9)

Nous prendrons φ ≈ 0.2 comme dans l’article de Marrison [28].

4.2 Stratégies de couverture

En rappel, une des motivations de ce mémoire est de savoir s’il est viable d’utiliser notre instrument pour couvrir le risque de volatilité dans un univers réaliste où les coûts de transaction sont pris en compte. Pour cela, nous allons la comparer à d’autres stratégies n’utilisant pas d’instrument pour le risque de la volatilité. Rappelons que l’option sur un ATMF STO que nous nous proposons d’utiliser n’existe pas sur le marché, mais étant donné qu’elle repose sur les options Straddle (Call+Put) qui sont transigeables, nous en déduisons que l’option sur un ATMF STO est théoriquement replicable ou d’en construire un proxy.

— Coût de transaction noté θ

— Pour chaque actif X (avec X=S ou G) acheté, le coût sera de (1+θ)X

— Pour chaque actif X (avec X=S ou G) vendu, le gain sera de (1−θ)X

— Auto-financement

Nous insinuons ici qu’étant donné le capital initial composé de la prime et des fonds propres de

l’investisseur, aucun autre apport externe n’est admissible jusqu’à la fermeture des positions.

— Absence d’opportunités d’arbitrage

Dans toutes nos stratégies, il est impossible quelqu’en soit la stratégie de gagner de l’argent

sans en avoir investi.

Les stratégies suivantes sont utilisées dans ce travail pour comparaison :

1. Absence de couverture : SC1Tout le capital initial tel que défini dans l’équation (4.1) est investi dans un taux sans risque.

21

FIGURE 4.1 – Schéma simplifié des dates de rebalancement. On peut choisir de couvrir uniquementla volatilité entre T4−Tf ou couvrir la volatilité tout au long du processus T0−Tf comme suit : entreT2− T3 en achètant des ATMF STO à T0 que nous notons STO(T0), puis entre T3− T4 en achétantdes ATMF STO à T1 et en fermant STO(T0). Ceci Continuera ainsi jusqu’à Tf maturité de l’option àcouvrir (Stratégie SC4)

[Schéma simplifié des dates de rebalancement des stratégies de couverture]

L’option put vendue est évaluée à maturité. Il n’ya aucun balancement pendant toute la vie de

l’option

2. Couverture Statique : SC2Initialement, on prend des positions longues sur α quantités de S et β quantités de G (ou STO).

La valeur initiale du portefeuille est donc Π0 = B0−αS−βG est investie au taux sans risque.

Ces positions sont maintenues et fermées à maturité sans rebalancement.

3. Couverture Delta dynamique sur l’option : SC3Dans cette stratégie, il n’ya que le prix du sous-jacent ,i.e. S(t) qui est couvert. On ignore

complètement le risque associé à la volatilité. L’illustration est faite sur la figure 4.1 où on note

que le rebalancement est faite uniquement à des dates prédéfinies Ti et à intervalles régulières

pouvant être en jours, semaines, mois ou années selon les préférences de l’assureur. Ainsi, si

∆ réprésente la sensibilité de l’option par rapport au prix tel que donné dans l’équation (4.1), à

chaque instant, la valeur du portefeuille est donnée par :

BδT+T = BT − (∆T+δT −∆T )S∗T+δT (4.10)

avec S∗T+δT = (1±θ)ST+δT

4. Couverture dynamique sur l’option avec S et G (ou STO) : SC4Ceci est sans aucun doute le cas le plus intéressant du travail car il fait appel à G (ou ATMF

STO) l’instrument de couverture de la volatilité.

L’utilisation de G nécessite au moins trois dates T0, T1, T2 comme illustré dans la figure 3.1),

22

A l’échéance du contrat, toutes les positions sont fermées (les actifs sous-jacents vendus). La valeur

ou rendement du portefeuille est donnée par

R =Π(Tf )−Π(T0)

Invest(4.11)

où Invest représente notre investissement initial. Les portefeuilles sont comparées par le ratio R/VaR95,

où VaR95 représente la valeur à risque avec un taux de confiance de 95%.

Dans ce chapitre nous avons présenté les différentes stratégies de gestion de portefeuille d’options

sous le modèle de Heston. La question bien évidemment fondamentale est de savoir si nous avons un

gain en utilisant l’ATMF STO pour couvrir la partie du risque associée à la volatilité, ou encore,est ce

qu’il y’a un intérêt (financier) à aller au delà d’une couverture Delta via l’utilisation de l’ATMF STO.

Pour répondre à cette question, nous devrons dabord être en mesure d’implémenter toutes les stratégies

ci-dessus mentionnées, i.e, d’évaluer sous le modèle de Heston les options Put, le Call ATMF STO et

les greeks (Delta et Véga) qui leur sont associées. Ceci sera décrit dans le prochain chapitre.

23

Chapitre 5

Méthodes numériques

Dans le chapitres 3 et chapitre 4, nous avons introduit l’option l’ATMF STO comme instrument pour

couvrir la variation de la volatilité. Étant donné qu’il n’existe aucune forme analytique connue pour

l’évaluation de cet instrument et des ’greeks’ y afférents, nous présentons dans ce chapitre une ap-

proche numérique de son implémentation. Des tests de sensibilité sont reportés afin de jauger la qualité

des résultats obtenus.

5.1 Simulation des formes semi-analytiques

L’implémentation de la forme semi-analytique des équations de Heston concerne principalement les

fonctions caractéristiques de l’équation (2.5) et particulièrement l’intégrant (2.6). Les approches sui-

vantes sont généralement utilisées :

5.1.1 Intégration numérique

La fonction caractéristique utilisée en (2.6) est légèrement différente de celle proposée par Heston.

Pour cette dernière, il est vite apparu que les schéma d’intégration classique (Simpson, Trapèze et bien

d’autres) entrainaient des instabilités numériques (pour les maturités très courtes) dues à l’oscillation

de l’intégrant dans l’inverse de Fourier de l’équation (2.6). Pour contourner la difficulté, les facteurs

C j,D j de ce travail sont des modèles transformés (simple inversion) du modèle original de Heston.

Albrecher et al.[1], Gatheral [20] ont montré qu’une telle transformation est équivalente au modèle

de Heston et est suffisante pour résoudre le problème de stabilité par des schéma classiques. Pour

l’implémentation de l’intégrant en (2.6), nous avons utilisé la fonction Matlab quad(@fun,a,b) basée

sur un schéma de Simpson adapté qui intègre la fonction (notée @fun) entre [a,b] avec une erreur

d’environ 10−6.

25

5.1.2 Transformée de Fourrier

Des auteurs comme Carr et Madan Carr [11], Lewis [25] et Lipton [26] ont developpé une approche de résolution de l’intégrand (2.7) basée sur la transformée de Fourier. L’avantage d’une telle méthode tient de la rapidité des algorithmes de FFT. Cependant, des problèmes relativement compli-qués peuvent apparaitre sur l’implémentation des probabilités de densité de fonctions (pdf) issus des fonctions cumulatives. Nous n’utiliserons pas cet approche dans ce travail et des détails peuvent être trouvés dans les références [11], [27].

5.2 Méthodes Numériques : Monte-Carlo

Le nom ’Monte-Carlo’ fait référence à une ville de Monaco célèbre pour la pratique abondante des

jeux du hasard ’Casino’. Ainsi, les méthodes Monte-Carlo sont des techniques permettant d’évaluer

une valeur espérée ou déterministe à l’aide d’un grand nombre de trajectoires aléatoires. Cette ap-

proche est utile pour se faire une idée d’une grandeur donnée ou pour estimer les valeurs dont on

n’attribue aucune forme analytique. De façon simplifiée, si V désigne une grandeur mesurable, l’es-

timé V̂ de variance E[(V̂ −V )2] par la méthode Monte-Carlo (MC) pour M parcours est donnée par

V̂ =1M

M

∑j=1

Vj (5.1)

Les simulations des trajectoires MC étant faites par génération de séquences finies de variables aléa-

toires ν j, les variables antithétiques−ν j peuvent être aussi utilisées pour les simulations des parcours.

En combinant ces deux variables aléatoires, et en prenant la moyenne des estimés V̂avg de V̂ν et V̂−ν ,

on peut facilement montrer que la qualité des résultats obtenus est améliorée, i.e. E[(V̂avg−V )2] <

E[(V̂ −V )2]. Pour utiliser la méthode MC dans le modèle de Heston, nous avons besoin de discréti-

ser les variances V(t) et le prix S(t), pour ce, l’approche de discrétisation utilisée dans ce travail est

celui de Euler, connue pour son faible côut en temps de calcul. Ainsi, le schéma de discrétization de

Euler [15] est donné comme suit

S(t +dt) = S(t)+(µ−0.5v0)dt +√

V (t)dtZ1

V (t) = max(1e−20,κθdt +(1−κdt)V (t−1)+η√

Vt−1dtZ2

Z1 = Φ−1(U1)

Z2 = ρZ1−√

1−ρ1Φ−1(U2)

(5.2)

U1 et U2 sont deux variables uniformes indépendantes et Φ−1 est la fonction inverse de la loi normale.

Dans ces cas, nous avons utilisé le générateur de variable aléatoire par défaut de Matlab. Le problème

avec l’approche de Euler est que la volatilité tend facilement vers zéro dans le modèle de Heston et

il y’a une probabilité non nulle d’avoir des valeurs de volatilité négatives, entraînant des instabilités

ou divergences numériques. Pour palier à celà, nous avons contraint la volatilité à être non-nulle en

26

utilisant la fonction de maximum. De même, en appelant h le pas temporel, le schéma d’Euler ci-

dessus est d’ordre 1 en dt et en ce sens, les résultats peuvent être améliorés en réduisant la valeur de

dt.

Notons pour terminer qu’il existe d’autres schéma de discrétisation plus précis de la variance dans le modèle de Heston. Le lecteur désireux d’avoir plus d’informations pourra lire les références [12, 10, 35, 21, 22, 33, 15].

5.2.1 Evaluation de l’option Sur Straddle

En rappel, la structure de l’option sur Straddle nécessite au moins deux étapes illustré à la figure 3.1.

— Période T0−T1

On achète l’option de maturité T et de strike KSTO sur un straddle ’Foward At the money’ dont

le prix d’éxercice ne sera connu qu’à T1.

— Période T1−T2

on recoit en T1 le straddle ’At-the Money Forward’ (ATMF Straddle) i.e le prix d’éxercice est

KStr = (S(T1)er(T2−T1). La fonction payoff à T2 est donc (S(T2)−KStr)+

L’évaluation de l’option sur ATMF Straddle peut s’effectuer avec le schéma numérique de Euler ci-

dessus mentionné.

5.2.2 Evaluation des Greeks

Nous nous intéressons uniquement aux calculs de Delta (∆) et Véga(ν). Comme précédemment, nous

allons distinguer l’approche semi-analytique de Heston de l’équation (2.5) où nous utiliserons res-

pectivement les formules (2.16) pour ∆ et (2.17) pour (ν). L’implémentation numérique usuelle est la

différence finie qui se resume à re-évaluer le prix d’une option suite à une pertubation sur des variables

prix S(t) ou volatilité V(t). Pour une option f , l’expressopn des sensibilités est donnée par

— Delta

∆ =∂ f∂S

=f (S+2δS)− f (S−2δS)

4δS(5.3)

δS représente l’incrément sur le prix sachant que tous les autres paramentres (K, t, V, etc...) sont

fixes.

— Vega

Dans le modèle de Heston, la volatilité peut facilement tendre vers zero due au modèle de retour

à la moyenne utilisé. le schema ci-dessous a été utilisé

— Pour une approximation de second ordre (differentielle centrée), on utilisera

ν =∂ f

∂V (0)=

f (V +2δV (0))− f (V −δ2V (0))4δV (0)

(5.4)

27

pour éviter des oscillations de la volatilité autour de sa valeur nulle, l’approximation de

4eme ordre sera utilisée

ν =∂ f

∂V (0)=− f (V +2δV (0))+8 f (V +δV (0))−8 f (V −δV (0))+ f (V −2δV (0))

12δV (0)(5.5)

Notons pour terminer que l’approche par différence finie est généralement très coûteuse en temps de

calcul et le résultat est largement influencé par le choix des incréments utilisés.

5.3 Quelques résultats numériques

Dans cette section, nous donnons les résultats numériques des stimulations des options et les greeks illustrant les schéma ci-dessus mentionnés. Nous avons utilisé 300000 trajectoires différentes pour les simulations MC. Les paramètres de Heston utilisés sont donnés dans le tableau 5.1.

TABLE 5.1 – Paramètres utilisés pour les tests numériques

1er cas 2eme cas 3eme cas 4eme cas 5eme casη 0.61 0.61 0.9 1.0 1.0κ 6.21 6.21 0.3 1.0 0.5θ 0.019 0.019 0.04 0.09 0.04V(0) 0.0102 0.0102 0.04 0.09 0.04S(0) 100 100 100 100 100ρ -0.8 -0.7 -0.5 -0.3 -0.9r 0 3.19% 0 0 0.04κθ

η2 1.26 1.26 0.0593 0.3600 0.0800

Les paramètres pour les cas 1−2 sont ceux de [10] et 3−5 sont ceux utilisés par Joshi et al. [12]

5.3.1 Option Put du modèle de Heston

Nous comparons dans le tableau 5.2 les prix du Put de la simulation Monte-Carlo ( i.e., Euler (EL)) et l’approche semi-analytique (éxacte). Une serie de 100 simulations a été utilisée pour le calcul de l’incertitude sur l’estimation des prix par la méthode MC. Les résultats de Joshi et al. [13] sont reportés pour comparaison ainsi que les temps d’éxécution.

Nos résultats montrent qu’en général, les simulations MC sont en bon accord avec les valeurs semi-

analytiques (l’incertitude sur nos simulations en dessous du seuil de 1.5%). De même, les simulations numériques sont meilleures pour 4

η

κ2θ > 1. En général, l’erreur relative (par rapport à la valeur exacte)

28

TABLE 5.2 – Evaluation du Put : :Données 5.1

(Joshi[13]) forme Semi-Analytique EL1er cas

Put 4.8845 4.8860Std Deviation 0.0350

2eme casPut 3.667 3.7599Std Deviation 0.0472

3eme casPut 5.100 5.1004 6.1732Std Deviation 0.0632



Temps de simulation moyenTemps(s) 0.61 4.01

δT = 0.001, T = 1 ; EL=Euler, K=S0, Nombre series = 100

reste en dessous du seuil de 2%, faisant ainsi de l’approche Euler est un bon candidat pour nos simula-

tions à cause de son très faible coût en temps de calcul. Pour la suite de notre analyse, nous reportons

dans le tableau 5.3 les résultats des greeks et leurs incertitudes dans le cas du Put Européen.

TABLE 5.3 – Evaluation des Greeks (Delta) : Semi-analytique Vs Monte-Carlo (MC) : :Données 5.1

2eme cas 3eme Cas 4eme CasDelta

Joshi[13] 0.663 0.608Semi-Analytique 0.6760 0.6628 0.6081Euler 0.6723 0.6495 0.5971Std Deviation 0.0038 0.0037 0.0038

Vega(Joshi[13]) 74.957 39.495Semi-Analytique 22.4294 74.9692 39.5040Euler 22.4436 65.4104 35.7801Std Deviation 0.7755 0.7934 0.8176

δT = 0.001, T = 1 ; Nombre de series =100,δS = 1, δV (0) = 0.001

Pour compléter le tableau 5.3, nous avons utilisé les données du 2eme au 4eme cas du tableau 5.1. Les résultats de Joshi et al. [13] sont également reportés pour comparaison et le nombre de séries

29

pour l’estimation de l’incertitude est de 50. Les résultats montrent que nos valeurs sont comparables

à celles de de Joshi et al. [13].

— Calcul de Delta,

on note également que l’approches EL donne des résultats proches des valeurs semi-analytiques

reportées et ceci pour tous les cas étudiés. Il est important de souligner qu’il soit possible de

réduire cet écart en augmentant le nombre de trajectoires. Cependant, cette correction pourrait

être plus lourde en temps de calcul pour les simulations du chapitre suivant.

— Calcul de Véga

Nous résultats montrent que l’incertitude des valeurs estimées sont plus importantes que celle

de Delta. A l’éxception des données du 3eme cas, les résultats obtenus sont en général en bon

accord avec ceux de la forme semi-analytique. Cependant, les deviations les plus importantes

(plus 8%) sont observées des données du 3eme cas du tableau 5.1, ceci tiendrait du fait que les

données du 3eme cas ont 4κθ

η2 la plus faible de notre série. Ceci implique que V (t) a de très

fortes chances d’osciller autour de la valeur nulle et par conséquent, les résultats obtenus seront

très sensibles à l’incrément δV (0) utilisé.

5.3.2 Résultats numériques sur l’option ATMF STO

En rappel, l’option sur un ’ATMF STO est un call et son évaluation se fera en de facon retrograde (

backward) en deux étapes :

— At The money Forward Call pour la période T1 - T2

Pour le pricing des options forward, les auteurs Kruze et Nögel [23] ont developpé une forme

semi-analytique comparable à celui de Heston à un facteur multiplicatif (fonction de densité

de transition sur la variance ) près provenant de l’utilisation de la densité conditionnelle de

la variance à T1 pour intégrer le prix. Cependant, l’implémentation du modèle n’est pas aussi

simple comparer au modèle de Heston à cause de l’inclusion d’un nouvel terme d’intégration

de la densité de transition sur la variance que l’auteur a approximé par les fonctions de Bessel

de premier type. Une alternative est l’approche de Broadie et Kaya[10] qui consiste à utiliser le

modèle de Heston pour la période qui nous intéresse. Ainsi, l’expression à T0 du call Européen

est donnée par

C(S,kS,T ) = E{

e−rT1CH(S(T1),kS(T1),T2−T1)}

(5.6)

ou CH répresente le call du modèle de Heston, ce terme n’est pas constant car il dépend de la

valeur S(T1). A cause de la relation linéaire entre le prix du Call et le prix du sous-jacent, on

peut re-écrire que

C(S,kS,T ) = E{

e−rT1S(T1)CH(1,k,T2−T1)}

(5.7)

Pour des besoins de comparaison, nous laissons k = 1 (correspondant à At the money call, i.e.

S(T1) = S(T2) comme dans l’article Broadie et Kaya[10].

30

TABLE 5.4 – Evaluation du Call : Semi-analytique Vs Monte-Carlo (MC) : :Données5.1

Broadie [10] Forme Semi-Analytique EL2eme cas

Call 6.9688 7.0270 7.0889Std Deviation 0.0350

δT = 0.001, T1 = 1, T2 = 2, k = 1, Nombre series = 100, EL=Euler

Pour effectuer les calculs reportés au tableau 5.4, nous avons considéré S(T1) comme la valeur

expérée de S(T0) à T1. Nos résultats montrent que les valeurs de nos simulations sont compa-

rables à ceux de Broadie et Kaya[10]. Il en resulte que l’option Straddle (Call + Put) Forward

At the money (Str s’obtient en posant k = e−r(T2−T1). On peut facilement montrer que d’après la

parité Put-Call l’ATMF Straddle est équivalente à :

Str =CH(S(T1),kS(T1),T2−T1)+CH(S(T1),kS(T1),T2−T1) = 2CH(S(T1),kS(T1),T2−T1)

(5.8)

A présent que l’implémentation numérique de l’ATMF Straddle est acquise, le prochain para-graphe portera sur l’option sur l’ATMF Straddle.

— L’option sur l’ATMF Straddle pour la période T0 - T1

Ne disposant pas d’une forme fermée pour l’ATMF Straddle, l’option sur cet instrument peut

être évaluée comme un call Européen classique CSTO(KSTO,T0,T1,Str) classique de pay-off

CSTO(KSTO,T0,T1,Str) = E{

e−r(T1−T0)(Str−KSTO)+}. (5.9)

TABLE 5.5 – Evaluation de l’ATMF Straddle et ses greeks : : Données 4eme cas de 5.1

KSTO = 3.5 KSTO = 5.5 KSTO = 7.1Prix ATMF STO

EL 3.6814 1.7155 0.2372Std 0.0072 0.0068 0.0079

Delta ATMF STOEL 0.0715 0.0713 0.0692Std 0.0002 0.0001 0.0004

Vega ATMF STOEL 0.0056 0.0052 0.0051Std 0.0001 0.0001 0.0001

T0 = 0.001, T1 = 0.5, T2 = 1, Nombre series = 100 ;

Nous reportons dans le tableau 5.5 les résultats de nos simulations. Les paramètres de Heston sont

ceux du 2eme cas du Tableau 5.1. Pour la période T1−T2, l’ATMF Straddle est évaluée par la formule

31

de Heston (2.5) (Ceci aurait également pu être fait avec les méthodes MC comme nous le verrons dans

le chapitre suivant) et pour la période de T0−T1, nous avons utilisé les schéma numériques de Euler

(EL).Les simulations ont été faites pour différentes valeurs de KSTO et elles montrent que le prix de

l’option ATMF STO augmente avec la maturité.

En conclusion sur l’analyse des différentes méthodes de calcul du prix du Call de Heston et de l’ATMF

STO, ainsi que de leurs ’greeks’, on retient que l’approche de Euler garde l’avantage d’avoir un coût

minime en temps de calcul et ses valeurs sont en général comparable à celles de la forme semi-

analytique. Ainsi, l’approche EL (Euler) est une approche de choix pour nos simulations qui ont des

temps relativement long. Elle sera utilisée dans la suite dans ce travail.

32

Chapitre 6

Résultats des stratégies de couverture

Ce chapitre est consacré à l’analyse et aux discussions des résultats des stratégies énoncées au chapitre

4 et implémenté au chapitre 5. Les paramètres de Heston choisis sont identiques à ceux utilisés par

Broadie et Kaya [10]. Toutefois, nous avons testé la sensibilité de nos stratégies en faisant varier les

différents paramètres du modèle. Les grandeurs statistiques telles que le ’Kurtosis’, le ’skewness’,

l’écart-type et l’ inter-quantile sont utilisés pour comparer les différentes stratégies.

6.1 Résultats des différentes stratégies

TABLE 6.1 – Paramètres utilisés pour les stratégies

1 cas 2 cas 3 cas 4 cas 5 cas 6 cas 7 cas 8 cas 9 cas 10 casη 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61 0.61κ 6.21 6.21 6.21 6.21 6.21 6.21 6.21 6.21 6.21 2.21θ 0.019 0.019 0.019 0.019 0.019 0.019 0.019 0.019 0.019 0.019V(0) 0.3020 0.302 0.0102 0.0102 0.0102 0.302 0.0102 0.0102 0.0102 0.0102S(0) 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100ρ -0.8 -0.8 -0.8 -0.4 -0.8 -0.8 -0.8 -0.8 -0.8 -0.8r 0.03 0.03 0.03 0 .03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.00 0.03KSTO 6.0 6.0 4.0 4.0 4.0 4.0 4.0 8.0 4.0 4.0ThetaCost 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.03 0.00 0.03 0.03 0.03NbJrBal 30 30 30 30 50 30.0 30.0 30 30 30.0MaxSim 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000 9000Tps 0.5 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0NbPas 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400

ThetaCost : coût transaction, NbJrBal : Période entre deux dates de rebalencement (Fig 4.1).

Pour nos tests, les paramètres [10] de Heston utilisés pour la simulation sont donnés dans le tableau

6.1. Les différents cas illustrés sont utilisés pour analyser le changement de nos résultats par rapport

33

aux paramètres utilisés. Ainsi, la sensibilité de nos résultats par rapport à la maturité de l’option put à

couvrir est illustrée par le 1er cas et 2eme cas alors que la sensibilité à la volatilité initiale est illustrée

par les cas 3 et 6.

Dans le tableau 6.1, le terme ’MaxSim’ représente le nombre de trajectoires utilisées pour le calcul

des rendements. Pour des raisons de temps de calcul, ’MaxSim’ a été fixé à 9000 alors que le nombre

de trajectoires utilisé pour les simulations MC nécessaire à l’évaluation des prix des options et de leurs

greeks est augmenté à 13000.

Pour la mesure de la performance des stratégies, les indicateurs suivants ont été utilisés :

1. Le rendement moyen (Rdt)

Elle est calculée comme la valeur moyenne de la distribution et permet de savoir s’il y’a un gain

ou une perte pour une stratégie donnée.

2. La valeur à risque 95% (VaR95%)

Elle évalue le coût en risque encourru pour chaque stratégie et pour un rendement donné. Ainsi,

le ratio entre Rdt et VaR95% nous permet de comparer les stratégies.

3. Le coéfficient de Kurtosis (Kurt)

Elle mesure l’applatissement de la distribution (coefficient de Pearson). Elle correspond au mo-

ment d’ordre 4 de la variable centrée réduite de notre distribution.

— Pour Kurt = 3, le kurtosis de la distribution est semblable à celle d’une loi gaussienne

— Un kurtosis positif (Kurt > 3) indique que les queues comptent plus d’observations que

dans une distribution gaussienne ou encore les queues de distribution sont plus épaisses

que les queues de la loi gaussienne.

— Un kurtosis négatif (Kurt < 3) indique que les queues comptent moins d’observations que

dans une distribution gaussienne ou encore les queues de distribution sont moins épaisses

que les queues de la loi normale.

4. Le coéfficient d’asymétrie ou Skewness (Skew)

Ceci traduit la forme de la distribution qui peut être décalée à gauche ou à droite par rapport à

une loi normale. Elle correspond au moment d’ordre 3 de la variable centrée réduite de notre

distribution.

— Lorsque la distribution est symétrique, le Skew est nul.

— Lorsque la distribution possède une forte queue vers la droite, le coefficient de Skew est

positif (les + l’emportent) ou encore la moyenne est supérieure à la médiane (la série

présente une queue de distribution vers la droite).

— Lorsque la distribution possède une forte queue vers la gauche, le coefficient de Skew est

négatif (les - l’emportent) ou encore la moyenne est inférieure à la médiane.

Afin de favoriser les cas où la moyenne est est dessus de la médiane (les + l’emportent).

34

5. Ecart Inter-quantile (IQR)

Ceci mesure la dispersion de la distribution en calculant l’écart entre le 75eme et la 25eme

percentile de la distribution. Plus cet écart est grand, plus la dispersion des observations est

forte.

En rappel, un résumé du fonctionnement des différentes stratégies est comme suit :

1. gestion passive SC1

La prime et le fond propre tel que définie dans l’équation (4.7) sont investis dans un taux sans

risque. L’option put vendue est évaluée à maturité. Il n’ya aucun balancement pendant toute la

vie de l’option.

2. Couverture Statique : SC2Initialement, on prend des positions longues sur α quantités de S et β quantités de G (ou STO).

Ces positions sont maintenues et fermées à maturité sans rebalancement.

3. Couverture Delta dynamique sur l’option : SC3Dans cette stratégie, il n’ya que le prix du sous-jacent ,ie S(t) qui est couvert. On ignore com-

plètement le risque associé à la volatilité.

4. Couverture dynamique totale sur l’option : SC4Ici, on couvre à la fois le risque sur le prix (Delta) et sur la volatilité (ou ATMF STO).

TABLE 6.2 – Résultats des différentes stratégies : : Données Tableau 6.1

SC1 SC2 SC3 SC41er cas

Rdt (%) 0.0369 0.0961 0.1319 0.2650VaR95% 0.1342 0.3696 0.2905 0.5633Rdt(%)/VaR95% 0.2753 0.2599 0.4540 0.4094Kurt 13.3052 4.4858 4.0975 3.9999Skew -2.9303 -1.0080 -0.7469 0.4704IQR 0.1011 0.3107 0.1483 0.2206

2eme casRdt (%) 0.1385 -0.0131 0.0106 0.0209VaR95% 0.4665 0.1395 0.0969 0.2021Rdt(%)/VaR95% 0.2920 -0.0938 0.1093 0.1033Kurt 4.8272 8.1151 4.0183 3.9544Skew -1.5467 -1.7376 -0.9706 0.3218IQR 0.5582 0.3779 0.1630 0.2833

Les résultats des cas 1 et 2 du tableau 6.1 sont donnés dans le tableau 6.2. Pour le 1er cas illustré à la

figure 6.1, on remarque que les rendements de la gestion passive (SC1 et SC2) sont plus faibles que

ceux de la gestion active (SC3 et SC4). Ainsi,

35

FIGURE 6.1 – Distribution des rendements des stratégies : Données 1er cas du Tableau 6.1

— Pour SC1 et SC2, les résultats du tableau montrent que ’ne rien faire du tout’ entraîne desgains relativements faibles, toutefois, la stratégie SC1 permet tripler le rendement et aussi le risque associé. Le kurtosis (Kurt) est supérieur à 3 pour les deux stratégies, il est toutefois en moyenne trois fois plus pronouncé (plus d’évènements extrêmes) en SC1 qu’en SC2. Alors que le skewness (Skew) est plus faible en SC1 qu’en SC2 traduisant i.e qu’en general, la moyenne (rendement) est plus faible que la médiane en SC1 qu’en SC2 ou encore plus de rendements positifs en SC2 qu’en SC1. Enfin, l’IQR est plus faible en SC1 qu’en SC2 (trois fois plus élevé) traduisant une certaine concentration de la distribution en SC1 qu’en SC2. En général, la stratégie SC1 est moins meilleure que SC2.

— Pour SC3 et SC4, les rendements sont meilleurs en SC4 qu’en SC3, toute fois, le ratio de

risque rendement est meilleur en SC3 qu’en SC4. Le coefficient de kurtosis est comparable pour

les deux stratégies alors le skewness est positif en SC4 (i.e le nombre de rendements positifs

est supérieur à ceux qui sont négatifs) alors que c’est le cas contraire en SC3. Cependant, la

concentration de la distribution entre la 25eme et la 75eme quantile est meilleure en SC3 qu’en

SC4. Ainsi, il est difficile de conclure la quelle des deux stratégies est la plus avantagieuse,

le ratio rendement risque est en faveur de la stratégie SC3 alors que l’analyse des moments

supérieurs plaide en faveur de la stratégie SC4.

Pour les données relatives au 2eme cas illustré dans la figure 6.2, la caractéristique principale est la

date de maturité qui est passée de 0.5 an au1er cas à 1 an. Les résultats de la simulation montrent que

pour la gestion passive, la stratégie SC1 est meilleure que la stratégie SC2 dont le rendement moyen

est négatif. De même, pour SC2, les moments supérieurs (Kurt =8.11) et (Skew=-1.74) suggèrent

respectivement une forte probabilité des évènement extrêmes et plus de rendements négatifs qu’en

SC1. Ceci est confirmé par les résultats de l’IQR qui montrent une forte dispersion en SC2 qu’ent

SC1.

Quant aux stratégies SC2 et SC3, comme dans le 1er cas, le rendement est élevé en SC4 qu’en SC3

alors que l’ordre inverse est observé sur les variances. Le ratio rendement/risque est comme dans le

1er cas légèrement supérieur en SC3 qu’en SC4. l’analyse des moments supérieurs (Kurt et Skew)

36

FIGURE 6.2 – Distribution des rendements des stratégies : Données 2eme cas du Tableau 6.1

sugèrent que le coefficient d’applatissement est comparable pour les deux stratégies alors qu’en SC4,

les rendements positifs sont prépondérants par rapport aux rendements négatifs. En SC3, le Skew est

négatif.

Le tableau 6.3 présente les résultats des cas 3 et 4. Les caractéristiques principales resident sur la

baisse du prix d’éxercice KSTO, de la volatilité initiale et de la corrélation. Pour le 3eme cas illustré

dans la figure 6.3, le ratio de rendement est largement favorable à la stratégie SC1. Les valeurs du

Kurt et du Skew suggèrent que la SC1 a une forte tendance à avoir des évènements extrêmes et plus de

rendements négatifs que positifs. Quant à la gestion active, les résultats montrent qu’elle est largement

meilleure avec la stratégie SC4 (rendement positif) comparer à la stratégie SC3 (rendement négatif).

Cette tendance est confirmée par les valeurs du Kurt et du Skew qui sont respectivement faibles et

positifs en SC4. Les données de l’IQR sont faibles pour SC2 et SC3 respectivement pour la gestion

passive et active. L’influence de la corrélation est illustrée par les données du 4eme cas et illustrée

dans la figure 6.4. Nos simulations montrent qu’en général, nos simulations sont très peu sensibles à

la variation de la corrélation.

L’analyse des résultats issus des données des cas 1,2,3 et 4 laissent suggérer que nos stratégies sont

dépendants de la maturité T, de KSTO et de la valeur initiale de la volatilité.

6.2 Analyse de la sensibilité des résultats

Pour l’analyse de la sensibilité, nous avons fait varier les valeurs des paramètres utilisés dans nos

simulations afin de mesurer leurs effets sur les résultats obtenus. Pour reférence, nous avons choisi

le 3eme cas dont la distribution des rendements est donnée dans 6.3. Ainsi, dans le tableau 6.4, nous

présentons les résultats de la variation des périodes fixes entre les dates de re-balancement du porte-

feuille. Ceci revient à comparer les cas 3 et 5, pour ce dernier, la distribution des de ses rendements

est présentée dans la figure 6.5. Comme on se serait attendu, nos simulations montrent que la gestion

37

TABLE 6.3 – Résultats des différentes stratégies : : Données Tableau 6.1

SC1 SC2 SC3 SC43eme cas

Rdt (%) 0.0739 -0.0420 -0.0002 0.0687VaR95% 0.2206 0.2192 0.0927 0.3603Rdt(%)/VaR95% 0.3350 -0.1916 -0.0019 0.1906Kurt 12.7694 3.8440 5.7226 3.8440Skew -2.8420 -1.8775 -1.4353 0.7108IQR 0.1633 0.2150 0.1030 0.2150

4eme casRdt (%) 0.0661 -0.0467 -0.0030 0.0503VaR95% 0.2056 0.1908 0.0869 0.3250Rdt(%)/VaR95% 0.3216 -0.2446 -0.0349 0.1547Kurt 9.2186 3.4909 8.8152 3.4909Skew -2.3917 -1.1273 -1.6314 0.5638IQR 0.1766 0.2010 0.0847 0.2010


passive (SC1 et SC2) n’est pas affectée par les périodes de rebalancement. On note également que pour la gestion active (SC3 et SC4), le ratio entre rendement et variable est plus faible pour les pé-riodes élevées entre les dates de rebalancement. En général, pour les instruments d’analyse utilisée, la stratégie SC4 est meilleure que SC3.

La sensibilité par rapport à la volatilité initiale est donnée dans le tableau 6.5, elle correspond à la com-

paraison des cas 3 (reférence) et cas 6 dont la distribution des rendements est montrée dans la figure

6.6. On y voit que quelque soit la stratégie, les rendements sont élevés lorsque la volatilité initiale V (0)

est plus grande. Pour la gestion passive (SC1 et SC2), on constate que le ratio rendement-risque est

favorable à la Stratégie SC1, cette tendance est maintenue à travers l’analyse des moments supérieurs

(Skew et Kurt) alors que l’IQR est plus important en SC1 qu’en SC2. Les résultats des simulations

des stratégies SC3 et SC4 montrent que bien que le rendement soit plus important en SC4 qu,en SC3

pour une hausse de volatilité initiale, le ratio rendement-risque est légèrement en faveur de la stratégie

38


SC3. L’analyse des moments supérieurs montrent que nous avons plus de rendements positifs et moins

d’évènements extrêmes pour la stratégie SC4 comparer à SC3. Toutefois, l’IQR est meilleur en SC3

qu’en SC4, ie une forte concentration des rendements entre la 25eme et la 75eme quantile.

Le tableau 6.6 présente le résultat de la sensibilité de nos simulations par rapport au coût de transac-

tion, elle correspond à la comparaison des cas 3 (reférence) et cas 7 dont la distribution des rendements est montrée dans la figure 6.7. En l’absence de ce dernier, les rendements sont bien évidemment plus élevés dans toutes les stratégies. La stratégie passive SC1 reste pratiquement inchangée alors que SC2 connait une hausse importante de rendement et de volatilité. De même, pour la gestion active SC4, les rendements sont en moyenne cinq fois plus élevés en l’absence des coûts de transaction. Cette hausse se traduit également par une augmentation de la volatilité des rendements si bien que le ratio rendement-risque est légèrement en faveur de la stratégie SC3. L’analyse des moments supérieurs sont toujours en accord avec les résultats préccedents, i.e., que nous avons plus de rendements positifs que négatifs et un kurtosis faible dans la stratégie SC4 comparer à SC3.

Les résultats de l’analyse de la variation du taux sans risque est présentée dans le tableau 6.8, ceci se

traduit par la comparaison des cas 3 (reférence) et cas 9 pour lequel la distribution des rendements

est présentée dans la figure 6.9. On observe que peu importe la stratégie, les résultats sont en général

peu influencés par le choix du taux sans risque. Toutefois, une augmentation de ce dernier permet

d’enregistrer des gains substantiels.

Dans le tableau 6.9 est donné les résultats de la sensibilité de nos stratégies par rapport à la diminution

du paramètre κ et la distrubution des rendements est donnée dans la figure 6.10. Nos valeurs montrent

que la stratégie SC1 est peu sensible à la variation de κ alors que sa dimunition est très bénéfique

pour la stratégie SC2 où le ratio rendement risque connait une augmentation considérable. Pour la

gestion active, le ratio rendement-risque semble baisser considérablement dans le même sens que κ .

La stratégie SC3 devient très alléchante suite à une forte augmentation du rendement pour une relative

39

hausse de risque. On note que le ratio rendement risque en SC3 est largement plus élevé qu’en SC4.

L’influence du prix d’exercice de l’ATMF STO est reportée dans le tableau 6.7 où les données de notre reférence (cas 3) sont comparées à celles du cas 8 dont distribution des rendements est présentée dans la figure 6.8. Comme on s’y serait attendu, les stratégies SC1, SC2 et SC3 sont peu insensibles à la variation du strike de l’ ATMF STO. Pour la stratégie SC4, nos simulations montrent une baisse de rentabilité. Les valeurs obtenues des différents indicateurs sont assez proche de celles de la stratégie SC3. Ceci laisse penser que plus le strike de l’ATMF STO est élevé, plus la valeur de l’option cor-respondante est faible et on a très peu de chance de pouvoir éxercer l’option, par conséquent on se rapproche de la stratégie SC3.

TABLE 6.4 – Effet de la durée entre deux dates de rebalancements : :Données Tableau 6.1




40




41




42

TABLE 6.5 – Influence de la volatilité initiale : :Données Tableau 6.1



6eme casRdt (%) 0.1825 0.0942 0.1758 0.2254VaR95% 0.6167 0.4620 0.3798 0.5215Rdt(%)/VaR95% 0.2959 0.2040 0.4630 0.4323Kurt 4.5847 3.7489 4.2012 3.7489Skew -1.4811 -1.0301 -0.8252 -0.2948IQR 0.7439 0.2478 0.1867 0.2478

TABLE 6.6 – Influence des coûts de transaction : :Données Tableau 6.1



7eme casRdt (%) 0.0829 0.0399 0.0834 0.2658VaR95% 0.2358 0.3053 0.1794 0.6482Rdt(%)/VaR95% 0.3514 0.1307 0.4645 0.4101Kurt 10.5409 3.8035 5.1075 3.8035Skew -2.5918 -1.6584 -1.3820 0.8470IQR 0.1725 0.2795 0.1098 0.2795

6.3 Les limites de nos simulations et du modèle

6.3.1 Les limites de nos simulations

Au régard des différents résultats reportés dans les différents de ce chapitre, il en ressort que nos

résultats restent sensibles au générateur de variable aléatoire pour lors des simulations Monte-Carlo.

Pour palier à cela, une possibilité aurait été d’utiliser des variables aléatoires identiques (figés) pour

l’analyse des sensibilités, i.e. garder inchangé les nombres aléatoires tel que fait pour le calcul des

greeks. La deuxième alternative aurait été d’utiliser un nombre très élevé de trajectoires pour les

43

TABLE 6.7 – Influence du strike de l’option sur straddle : :Données Tableau 6.1




TABLE 6.8 – Effet de la variation du taux sans risque : :Données Tableau 6.1




simulations MC. Cette dernière alternative bien qu’elle soit la plus recommandée est difficile à mettre

en pratique sans en modifier fortement le code (parallélisation en C/C++) ou d’accepter un coût élevé

en temps de calcul. Il aurait été aussi interressant de comparer les résultats de nos simulations avec

ceux issus des autres schéma (exemple QE) étudiés dans ce document. Dans nos simulations, nous

avons supposé que l’achat de l’ATMF STO est fait à chaque date de balancement pour couvrir les

périodes à venir. Cependant, si nous avions calibré les paramètres de Heston, il aurait été judicieux

d’acheter l’option sur straddle uniquement lorsque l’inférence sur la valeur future de la volatilité prédit

une augmentation de cette dernière pour la période à venir.

44

TABLE 6.9 – Effet de la variation du paramètre κ : : Données Tableau 6.1




6.3.2 Les limites de notre modèle

Le modèle stochastique utilisé dans notre travail est celui de Heston. Ce dernier suppose que les coefficients d’actualisation sont tous constants et surtout ne prend pas en compte l’occurence des évènements rares qui peuvent être captés par l’inclusion d’un processus de Poisson comme dans le modèle de Bates [2] ou Merton [29].

6.3.3 Les limites de la stratégie

L’instrument ATMF STO n’est pas transigeable, ce qui constitue nul doute une limite à ce travail, toutefois, cet instrument a pour essence un straddle qui lui est fait d’un call et un put transigeable. Ceci rend plausible par réplication notre stratégie.

45

Conclusion

Nous nous sommes proposés dans ce travail de developper et implémenter un modèle de couverture

d’une position courte sur un Put dont la valeur et la volatilité du sous-jacent suit un processus stochas-

tiques ou modèle de Heston. Pour couvrir les deux risques inherents (Prix + volatilité) à l’option put,

nous avions eu recours à la couverture delta classique pour le prix et à l’utilisation de l’option sur un

’forward starting straddle at the money’ ( ATMF Straddle).

Dans le chapitre 3, nous avons présenté les différentes stratégies pour la couverture de l’option. Elles

ont été réunies en deux grands groupes : la gestion passive (SC1 et SC2) et la gestion dynamique

(SC3 et SC4). Le premier groupe distingue le cas où la prime issue de l’option est investie au taux

sans risque et rien n’est par la suite jusqu’à la maturité (SC1) et le cas où des opérations de couver-

ture sont initiées à la date initiale et aucun re-balancement n’est opéré jusqu’à la la maturité ou les

positions sont fermées (SC2). Le deuxième groupe a essentiellement comparé le cas où une gestion

dynamique est faite uniquement sur le risque associé au prix du sous-jacent (couverture delta) et rien

n’est fait sur le risque de la volatilité (SC3) avec le cas où les deux risques sont pris en compte avec

de fréquentes dates de re-balancement.

Le chapitre 4 a porté essentiellement sur les approches numériques pour tester les stratégies ci-dessus

décrites, des différentes familles numériques existantes sur le modèle de Heston, nous avons testé

quelques unes et établies les conditions de leur utilisation. Bien que les résultats de nos simulations

par l’approche QE se sont avérées les meilleures comparer à l’approche éxacte, notre choix s’est porté

sur la méthode Euler à cause de son coût de calcul relativement faible et pour une bonne qualité des

résultats. De même, ne disposant pas de forme fermée pour l’ATMF Straddle, celle-ci a été simulée

par l’approche Monte-Carlo. Nous avons terminé le chapitre par la calibration des paramètres du

modèle de Heston. Dans ce dernier cas, nous avons utilisé la méthode des récuit-simulés pour trouver

le minimum global. A cause du temps de calcul très élevé pour de telles simulations et de la non

nécessité de faire des inférences sur les données réelles à partir des paramètres optimisés, nous n’avons

pas utilisé les paramètres optmisés dans le dernier chapitre de notre travail.

Le chapittre 5 (le dernier de ce travail) a porté sur l’implémentation et le test des différentes stratégies.

Les résultats des tests de sensibilités (influence de la variation des paramètres du modèle sur les

résultats des simulations) y sont aussi reportés. l’analyse des résultats montre que la stratégie passive

donne des rendements généralement faibles et semblent peu adaptés. Pour la gestion dynamique, nos

47

résultats montrent que le skewness est toujours positif pour la stratégie SC4, toutefois, les résultats

obtenus sont largement influencés par les valeurs des paramètres de nos simulations, cependant le

ratio rendement-risque est généralement en faveur de la stratégie SC3.

48

appendice

49

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Documents

COUVERTURE D’UNE OPTION SOUS VOLATILITÉ STOCHASTIQUE … · Résumé Ce mémoire porte sur l’analyse théorique de la couverture théorique d’une option de vente Euro-péenne