Creative Commons License Deed - La SalleLes característiques bidimensionals de la imatge impliquen que el mostreig espacial també siga bidimensional. La resolució espacial d’una

Creative Commons License Deed Reconeixement-No comercial-Sense obres derivades 2.5 Espanya

Vostè és lliure de: Copiar, distribuir i comunicar públicament l’obra.

Sota els següents condicionants:

Reconeixement. S’ha de referenciar aquesta obra a Lluís Vicent - Enginyeria La Salle (Estudis Semipresencials).

No comercial. No es pot utilitzar aquesta obra per a finalitats comercials. Sense obres derivades. No es pot alterar, transformar o generar una obra derivada a partir d’aquesta.

• Quan reutilitzeu o distribuïu l'obra, heu de deixar ben clar els termes de la llicència de l'obra. • Alguna d'aquestes condicions pot no aplicar-se si obteniu el permís del titular dels drets d'autor.

• No hi ha res en aquesta llicència que menyscabi o restringeixi els drets morals de l'autor.

Els drets derivats d'usos legítims o altres limitacions reconegudes per llei no queden afectats per l'anterior

Això és un resum fàcilment llegible del text legal (la llicència completa) disponible en els idiomes següents:

Català Castellà Basc Gallec

Crèdits

Autor: Lluís Vicent

Editor: Lluís Vicent

Coordinació lingüística: Sara Laso

Revisió lingüística: Cristóbal Cabeza

Maquetació: Sara Laso

Disseny de portada: Marc Segarra

Aquesta edició ha comptat amb el suport de l’Agència de Gestió d’Ajuts Universitaris i de Recerca (AGAUR) de la Generalitat de Catalunya en la Convocatòria d’ajuts a l’edició i la difusió de llibres de text o manuals universitaris i llibres cientificotècnics, en suport paper o en suport electrònic, escrits en llengua catalana (DILL 2008).

ISBN: 978-84-937011-2-3

1

Índex

Sessió 1: El Processament Digital de la Imatge ______________________________ 5

1. Introducció i àrees del processament de la imatge _________________________ 5

1.1. La imatge digital _________________________________________________________ 5

1.2. El Processament Digital de la Imatge ________________________________________ 6

Sessió 2: Sistemes lineals i invariants ______________________________________ 9

2. Anàlisi espacial i freqüencial de senyals lineals bidimensionals _______________ 9

2.1. Sistemes lineals i invariants _______________________________________________ 9

2.2. Caracterització espacial. Resposta impulsional _______________________________ 10

Sessió 3: Sistemes lineals invariants en domini freqüencial____________________ 11

2.3. Introducció a la transformada de Fourier ___________________________________ 11 2.3.1. Transformada de Fourier bidimensional _________________________________________ 13

Sessió 4: Problemes de Transformada de Fourier ____________________________ 17 2.3.2. Problemes ________________________________________________________________ 17

Sessió 5: Mostreig ____________________________________________________ 19

3. Mostreig i quantificació ______________________________________________ 19

3.1. Introducció a la teoria del mostreig ________________________________________ 19 3.1.2. Teoria del mostreig bidimensional _____________________________________________ 20 3.1.3. Tipus de mostreig bidimensional _______________________________________________ 22

Sessió 6: Quantificació _________________________________________________ 25

3.2. Quantificació de la imatge _______________________________________________ 25

Sessió 7: Tomografia __________________________________________________ 29

4. Transformada de Radon i tomografia __________________________________ 29

4.1. Transformada de Radon _________________________________________________ 29

4.2. Tomografia Axial Computeritzada (TAC) ____________________________________ 30

Sessió 8: Millora d’imatges. Filtratge freqüencial ___________________________ 33

5. Transformacions puntuals ___________________________________________ 33

5.1. Filtratge en freqüència __________________________________________________ 33 5.1.1. Filtre passabaix ____________________________________________________________ 34 5.1.2. Filtre passaalt ______________________________________________________________ 35

Sessió 9: Filtratge freqüencial ___________________________________________ 37 5.1.3. Filtre passabanda ___________________________________________________________ 37 5.1.4. Filtre rebutjabanda _________________________________________________________ 38

Sessió 10: Histograma _________________________________________________ 41

5.2. Histograma ____________________________________________________________ 41

2

Sessió 11: Transformades puntuals _______________________________________ 45 5.2.1. Transformades puntuals _____________________________________________________ 45

Sessió 12: Transformades puntuals 2. Equalització __________________________ 49 5.2.2. Equalització _______________________________________________________________ 49 5.2.3. Correcció Gamma __________________________________________________________ 50

Sessió 13: Transformades espacials. Suavitzat de la imatge ___________________ 51

5.3. Transformades espacials _________________________________________________ 51 5.3.1. Transformades espacials lineals _______________________________________________ 52 5.3.2. Transformades espacials no lineals _____________________________________________ 52 5.3.3. Filtres de mitjana ___________________________________________________________ 52

Sessió 14: Filtres espacials. Detectors de contorns de primera derivada ___________________ 55 5.3.4. Filtres de primera derivada. __________________________________________________ 55

Sessió 15: Filtres espacials. Detectors de contorns de segona derivada ____________________ 59 5.3.5. Filtres de segona derivada. ___________________________________________________ 59

Sessió 16: Filtres no lineals _____________________________________________ 63 5.3.6. Filtres d’ordre _____________________________________________________________ 63

Sessió 17: Problemes __________________________________________________ 65 5.3.7. Problema _________________________________________________________________ 65

Sessió 18: Introducció a la morfologia matemàtica __________________________ 67

5.4. Introducció a la morfologia matemàtica ____________________________________ 67

Sessió 19: Filtres morfològics ____________________________________________ 71 5.4.1. Filtres morfològics __________________________________________________________ 71

Sessió 20: Geodèsia ___________________________________________________ 73 5.4.2. Distància geodèsica _________________________________________________________ 73

Sessió 21: Problema de morfologia matemàtica ____________________________ 75 5.4.3. Problema _________________________________________________________________ 75

Sessió 22: Operacions entre diverses imatges ______________________________ 77

5.5. Operacions aritmètiques _________________________________________________ 77 5.5.1. Operacions lògiques ________________________________________________________ 78

Sessió 23: Introducció a la segmentació ___________________________________ 81

6. Segmentació d’imatges ______________________________________________ 81

6.1. Introducció a la segmentació _____________________________________________ 81 6.1.1. Binarització mitjançant detecció de llindar _______________________________________ 82 6.1.2. Etiquetatge de regions connexes ______________________________________________ 82

Sessió 24: Region growing i Split and merge _______________________________ 85 6.1.3. Creixement i divisió de regions ________________________________________________ 85

Sessió 25: Representació de regions ______________________________________ 87

6.2. Representació de regions ________________________________________________ 87

Sessió 26: Descripció de contorns ________________________________________ 89

6.3. Per què cal la descripció de les línies _______________________________________ 89

3

6.3.1. Codis de cadena ____________________________________________________________ 90 6.3.2. Signatures ________________________________________________________________ 91 6.3.3. Descriptors de Fourier _______________________________________________________ 91 6.3.4. Transformada de Hough _____________________________________________________ 91

Sessió 27: Característiques de les regions __________________________________ 93

6.4. Caracterització de regions ________________________________________________ 93

Sessió 28: Anàlisi de textures ___________________________________________ 97

6.5. Textures ______________________________________________________________ 97 6.5.1. Estadístiques dels nivells de gris _______________________________________________ 98

Sessió 29: Problema resum _____________________________________________ 99

6.6. Robot dòmino _________________________________________________________ 99

Bibliografia _________________________________________________________ 101

Glossari ____________________________________________________________ 103

5

Sessió 1: El Processament Digital de la Imatge

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: El Processament Digital de la Imatge Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: [Escalera 2001]

OBJECTIUS En aquesta sessió estudiarem què és una imatge digital, en què consisteix un sistema de processament digital de la imatge i quines branques hi ha dins el processament.

CONTINGUTS Es definirà què és la imatge digital i un sistema de processament digital de la imatge. Es donarà una ràpida visió sobre les diferents àrees que comprèn el tractament digital de la imatge.

1. Introducció i àrees del processament de la imatge

1.1. La imatge digital En aquest capítol definirem la imatge digital (sense color), i treballarem els conceptes del mostreig i de la quantificació.

Imatge digital

La imatge digital es pot definir com una funció f(u,v) on la funció correspon al nivell de gris o luminància en el punt de les coordenades (u,v). La funció imatge digital té dues característiques, és discreta tant en el domini com en el recorregut. Açò vol dir que hi haurà mostreig en l’espai (amb la formació de píxels) i discretització en el nivell de gris.

Mostreig espacial

Ací veurem el primer dels dos processos de la formació d’una imatge digital. Una imatge real té infinits punts i infinita precisió. El primer pas d’una digitalització serà el

mostreig espacial de la imatge real. Les característiques bidimensionals de la imatge impliquen que el mostreig espacial també siga bidimensional. La resolució espacial d’una imatge estarà definida pel nombre de píxels per unitat de superfície. Evidentment, la qualitat i la resolució seran directament proporcionals.

Quantificació

Un cop hi ha definits els píxels (punts discrets) s’haurà de quantificar el nivell de gris. Aquest pas és necessari en tota digitalització, ja que la informació es guardarà de forma binària i s’obtindran un nombre limitat de nivells de gris possibles. Si n és el nombre de bits, el nombre de nivells possibles serà:

nN 2= La quantificació consisteix a aproximar el nivell de gris real a algun dels valors quantificats possibles.

Emmagatzemament

Per saber la memòria que ocupa una imatge digital haurem de multiplicar el nombre de píxels pel nombre de bits amb què es codifica cada píxel. Així, una imatge amb N files, M columnes i g bits per píxels ocuparà:

bitsNMgGrandària = Recordem les equivalències següents:

MbytesGbyteKbytesMbytebytesKbyte

bitsbyte

10241102411024181

===

=

Referència:

[Escalera2001], p.61-66

1.2. El Processament Digital de la Imatge En aquest capítol veurem les diferents àrees que comprèn el processament digital de la imatge.

6

7

Millora d’imatges

Aquesta àrea estudia diferents tècniques per a millorar l’aspecte d’una imatge. Aquesta millora consisteix en l’emfasització d’alguna característica que facilitarà una posterior anàlisi de la imatge, o que simplement millora la qualitat visual. Exemples tenim amb l’emfasització del contrast, filtració de soroll, etc.

Restauració d’imatges

La restauració es refereix a l’eliminació o, en el seu defecte, disminució de distorsions conegudes. Aquestes distorsions poden ser degudes a les limitacions dels sensors, per exemple.

Anàlisi d’imatges o Visió artificial

L’anàlisi és la part més complexa i amb més gran quantitat d’utilitats del processament. S’hi obtenen característiques de la imatge i dades útils sobre ella, tal i com faria l’ull humà. L’estudi de la quantitat de cèl·lules en una imatge biòpsia o la detecció automàtica de matrícules, en són dos exemples.

Reconstrucció de la imatge a partir de projeccions

Aquest tema descriu com es pot obtenir una imatge bidimensional de l’interior d’un cos a partir de projeccions unidimensionals (per exemple els rajos X) en tots els angles possibles. Aquesta reconstrucció és utilitzada en molts dels aparells mèdics capaços de traure talls axials, per exemple el TAC o el PET.

Compressió

Les imatges amb bona definició tenen un gran nombre de píxels i de bits de codificació. Açò implica que la grandària dels fitxers d’imatge és gran. En aquest tema estudiarem diverses tècniques d’imatge per a la compressió dels fitxers d’imatge. Referència:

[Jain1989], p.6-10

RESUM En aquest capítol s’ha estudiat la imatge digital, tenint en compte el mostreig espacial i la quantificació. També hem estudiat les diferents àrees d’estudi del processament de la imatge.

Sessió 2: Sistemes lineals i invariants

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Sistemes lineals i invariants Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: [Jain1989] [Jain1995]

PRECEDENTS A la sessió anterior es van conèixer les diferents branques que té el processament de la imatge, i què és una imatge digital.

OBJECTIUS En aquesta sessió s’estudien els sistemes lineals i invariants, ja que molts dels processaments que es poden aplicar a la imatge es poden caracteritzar amb aquestos sistemes.

CONTINGUTS Es definiran els sistemes lineals i invariants. Com s’hauran d’aplicar a la imatge es veurà bidimensionalment. S’estudiarà des del punt de vista espacial, i des del freqüencial.

2. Anàlisi espacial i freqüencial de senyals lineals bidimensionals

2.1. Sistemes lineals i invariants

Sistemes lineals

Un sistema és lineal si la combinació lineal de dues entrades produeix la mateixa combinació amb les respectives eixides. Siga un sistema T on:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )nmxTnmyinmxTnmy ,,,, 2211 == aleshores direm que el sistema h és lineal si:

[ ] [ ]( ) [ ] [ ]nmbynmaynmbxnmaxT ,,,, 2121 +=+

9

Sistemes lineals invariants (SLI) respecte l’espai

Un sistema lineal s’anomena invariant si un desplaçament a l’entrada provoca el mateix desplaçament a l’eixida. Matemàticament, si:

[ ] [ ]( )nmxTnmy ,, 11 = aleshores

[ ]( ) [ ]0000 ,, nnmmynnmmxT −−=−− Referència:

[Jain1989] p13-p15, [Jain1995] p115-117

2.2. Caracterització espacial. Resposta impulsional Els sistemes es poden tractar des de diferents punts de vista, des de l’espacial (quan treballem directament amb els píxels d’una imatge estem en el domini espacial). Per treballar amb SLI’s en l’espai cal convolucionar l’entrada x[m,n] amb la resposta impulsional h.

Resposta impulsional

Tot SLI i la resposta impulsional d’un sistema és la resposta d’aquest quan a l’entrada hi ha una delta de Dirac centrada a l’origen:

[ ] [ ]( )nmTnmh ,, δ=

Eixida d’un SLI per una entrada x(m,n)

Si l’entrada a un sistema és x(m,n), l’eixida la podem calcular convolucionant aquesta entrada amb la resposta impulsional:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ jnimhjix

nmhnmxnmyM

i

N

j

−−=

=∗=

∑∑= =

,,

,,,

1 1

]

RESUM En aquesta sessió hem estudiat els sistemes lineals invariants. S’ha vist que la resposta impulsional defineix el sistema.

10

Sessió 3: Sistemes lineals invariants en domini freqüencial

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Sistemes lineals invariants en domini freqüencial Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: [Jain1989] [Jain1995]

PRECEDENTS En la sessió anterior es van definir els sistemes lineals invariants, i es van tractar des d’un punt de vista espacial.

OBJECTIUS En aquesta sessió es pretén donar els coneixements necessaris per a treballar amb sistemes lineals invariants en el domini freqüencial.

CONTINGUTS Es definirà la Transformada de Fourier. Com que hem d’aplicar els sistemes al tractament d’imatges i aquestes poden ser considerades com senyals discrets bidimensionals, cal estudiar la transformada discreta de Fourier 2D.

2.3. Introducció a la transformada de Fourier La transformada de Fourier permet representar un senyal definit en el temps o l’espai a un espai freqüencial. Matemàticament, la transformada de Fourier unidimensional d’una funció és:

∫∞

∞−

−= dtetfF tjωω )()(

i l’antitransformada:

∫∞

∞−= ωω

πω deFtf tj)(

21)(

11

S’ha de tenir en compte que les transformades de Fourier de senyals reals són simètriques respecte l’eix d’ordenades. Les freqüències negatives, sense sentit físic, són resultants de les integrals anteriors.

Resposta a un sistema

En el temps o l’espai, l’eixida a un sistema es pot calcular convolucionant el senyal d’entrada amb la resposta impulsional, tal i com es va veure a TEO- . En el domini freqüencial, l’eixida s’obté multiplicant la transformada de Fourier de l’entrada per la transformada de Fourier de la resposta impulsional. Aquesta última funció s’anomena funció de transferència i es representa amb H(ω).

)()()( ωωω XHY =

Transformada de Fourier de senyals discrets

Si tenim un senyal continu x(t) i el mostregem obtenint x(nΔt) on Δt és la distància entre mostres, la transformada del senyal mostrejat serà la transformada d’x(t) repetida cada fm, on aquesta freqüència és la de mostreig i és igual a:

mmm fótf πω 21 =

Δ=

Transformada discreta de Fourier

La transformada discreta de Fourier transforma els senyals discrets en senyals freqüencials continus. La fórmula és:

[ ]∑=

Ω−=ΩN

n

jnenfF1

)(

Aquest senyal és periòdic degut a l’exponencial complexa. Aquesta freqüència Ω és una freqüència normalitzada com explicarem més endavant en el mostreig. El període de repetició és 2π. La transformada de Fourier inversa és:

[ ] ∫−Ω ΩΩ=

π

ππdeFnf jn)(

21

DFT. Transformada discreta de Fourier

Aquesta transformada és la discretització en freqüència de la TFSD. Si la TFSD és periòdica amb període 2π, aquesta és periòdica de període N, on N és el nombre de punts amb què mostregem un període de la TFSD. L’expressió matemàtica és:

12

[ ]∑−

=n

kN

jnenfkF

π2

)(

La DFT inversa serà:

[ ] [ ]∑=

=N

k

kN

jnekF

Nnf

1

21 π

Referència:

[Vicent2002]

2.3.1. Transformada de Fourier bidimensional

Per a treballar amb imatges caldrà utilitzar una transformada de Fourier en 2D. Matemàticament:

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

+−= dxdyeyxfF yxjyx yx)(),(),( ωωωω

amb transformada inversa:

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

+= dxdyeFyxf yxjyx yx)(

2 ),(41),( ωωωωπ

Propietats

Freqüències espacials: Habitualment treballem amb la transformada de Fourier considerant que les freqüències són variacions sinusoïdals de la funció en el temps. En el processament de la imatge aquestes freqüències ens representaran canvis de la luminància en l’espai, en una direcció xω o en l’altra yω . Unicitat: En funcions contínues, a una funció li correspon una única transformada de Fourier i viceversa. Separabilitat: La transformada de Fourier bidimensional és separable. A efectes pràctics vol dir que es pot calcular fent la transformada unidimensional primer per les columnes i després per les files o a l’inrevés.

∫ ∫∞

∞−

−∞

∞−

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= dyedxeyxfF yjxjyx yx

ωωωω ),(),(

13

Teorema de la convolució: La transformada de Fourier de la convolució de dues funcions és el producte de les transformades de dues funcions:

),(),(),(),( yxyx GFyxgyxf ωωωω⇔∗

Resposta a un sistema

Com en una dimensió, podrem calcular l’eixida d’un sistema multiplicant la transformada de Fourier 2D de l’entrada amb la funció de transferència 2D:

),(),(),( 212121 ωωωωωω XHY = Referència:

[Jain1989] p15-p18

La transformada discreta de Fourier

Fins ara hem estudiat la transformada de Fourier per funcions continues, però les imatges digitals són discretes. Serà així, més útil, treballar amb la transformada discreta de Fourier.

TFSD. Transformada de Fourier de senyals discrets

Aquesta transformada ens permetrà trobar la representació freqüencial de senyals discrets, com ara una imatge digital. El domini freqüencial d’aquesta transformada és continu, ho podem veure en l’expressió següent:

[ ]∑∑= =

Ω−Ω−=ΩΩN

m

M

n

jnjmyx

yx eenmfF1 1

,),(

Aquesta transformada té la particularitat de ser periòdica amb període 2π, a causa de les exponencials complexes d’idèntic període. El 0 correspondrà a la freqüència 0 i el π correspondrà a la màxima freqüència representada, que serà la freqüència de mostreig dividit per 2 (criteri de Nyquist). La TFSD inversa serà:

[ ] yxjnjmyx ddeeFnmf yx ΩΩΩΩ= ΩΩ− −∫ ∫π

π

π

ππ),(

41, 2

Referències:

[Vicent2002]

14

[Jain1995] p118

DFT. Transformada discreta de Fourier

Aquesta transformada és la discretització en freqüència de la TFSD. Si la TFSD és periòdica amb període 2π, aquesta és periòdica de període N, on N és el nombre de punts amb què mostregem un període de la TFSD. (Bidimensionalment el període serà N en una direcció i M en l’altra si no es mostreja amb el mateix nombre de punts en ambdues direccions.) L’expressió matemàtica és:

[ ]∑∑−−

=m n

lM

jnkN

jmeenmflkF

ππ 22

,),(

La DFT inversa serà:

[ ] [ ]∑∑= =

=N

k

lM

jnkN

jmM

leelkF

NMnmf

1

22

1,1,

ππ

Referència:

[Vicent2002]

RESUM En aquest capítol hem estudiat el domini freqüencial. S’ha definit la transformada de Fourier, tant contínua com discreta, i la representació de sistemes lineals invariants en el domini freqüencial.

15

Sessió 4: Problemes de Transformada de Fourier

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Problemes de Transformada de Fourier Tipus: de problemes Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: [Jain1989]

PRECEDENTS A la sessió anterior es realitzà un estudi teòric sobre la transformada de Fourier continua i discreta i unidimensionalment i bidimensionalment.

OBJECTIUS Ací pretenem reforçar els coneixements teòrics adquirits a la sessió anterior mitjançant la resolució de problemes.

CONTINGUTS Hi ha un parell de problemes que es podran resoldre amb la teoria apresa.

2.3.2. Problemes

Problema 1

Troba la transformada de )4cos()( ttx =

[ ]

( ))1.0*(4cos nnx = I la de

Problema 2

Siga una imatge bidimensional 3x3 amb els nivells de gris següents:

0 1 01 5 23 0 1

17

Calcula la seua TFSD i intenta dibuixar la forma del seu espectre. Dóna la DFT 3x3 del mateix.

Problema 3

Justifica quin pot ser el mòdul de la transformada de Fourier bidimensional de cadascuna d’aquestes imatges.

18

Sessió 5: Mostreig

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Mostreig Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS En sessions anteriors s’han estudiat els sistemes lineals invariants i la transformada de Fourier aplicada a imatges espacials. També vam veure el procés de creació d’una imatge digital.

OBJECTIUS Aquesta sessió pretén mostrar diferents tipus de mostreig i avaluar-los en funció de certes característiques com l’ample de banda.

CONTINGUTS En aquesta sessió aprofundirem en el mostreig per la creació d’una imatge digital. Es definiran els conceptes d’ample de banda, aliàsing i s’estudiaran diferents tipus de mostreig.

3. Mostreig i quantificació

3.1. Introducció a la teoria del mostreig El mostreig d’un senyal continu determina l’ample de banda del senyal que es podrà després recuperar. Com més curta siga la distància entre mostres major serà l’ample de banda freqüencial del senyal mostrejat.

TFSD d’un senyal mostrejat

Si mostregem un senyal a una freqüència fm, la seua transformada de Fourier serà un senyal periòdic amb període de repetició 2πfm (que correspon a la freqüència

normalitzada Ω=2π segons la fórmula mm ff

fπω 2

==Ω .

19

Referència:

[Vicent2002]

Recuperació del senyal original. Teorema del mostreig

És intuïtiu pensar que per recuperar el senyal original a partir del mostrejat només caldrà filtrar passabaix en freqüència, de manera que ens quedem en un únic període. La freqüència de tall haurà de ser fm/2. En el domini no transformat (temps o espai) aquest filtratge serà la convolució amb l’antitransformada del filtre passabaix. El senyal serà:

xfxfxnfxf

m

m )sin()()( π∗Δ=

Criteri de Nyquist

Observant la gràfica anterior és fàcil comprendre que hi haurà problemes si l’ample de banda del senyal original és superior a fm/2. Si això ocorre hi haurà solapaments entre períodes i això farà que el senyal original siga irrecuperable. Aquest fenomen s’anomena aliàsing. Per evitar-ho, la freqüència de mostreig (fm) ha de ser almenys el doble del màxim ample de banda del senyal original (B). El Criteri de Nyquist diu així:

Bfm 2≥ El mostreig òptim serà aquell que amb les mínimes mostres possibles permeta recuperar el senyal original. Així el mostreig òptim serà fm=2B.

3.1.2. Teoria del mostreig bidimensional

Com s’ha dit adés, el mostreig d’un senyal continu determina l’ample de banda del senyal que es podrà recuperar després. En el cas d’un senyal bidimensional el mostreig determinarà l’ample de banda freqüencial en dues direccions. Aquesta característica dependrà tant de la separació entre mostres com de la forma en què estan distribuïdes.

La imatge com a senyal bidimensional de banda limitada

Una imatge real difícilment tindrà un ample de banda limitat. Si férem la transformada de Fourier d’una imatge real, tindria valors reals fins a l’infinit. Tanmateix, podem aproximar la imatge per un senyal limitat, menyspreant les freqüències superiors a un cert llindar.

20

Referència:

[Jain1989] p84-p85

Periodicitat del senyal mostrejat

En ser la imatge mostrejada un senyal discret, la transformada d’aquesta serà periòdica de període 2π en ambdues direccions. Així, l’espectre serà la transformada de Fourier de la imatge original (si està limitada freqüencialment a la meitat de la freqüència de mostreig (Nyquist)), repetida cada 2π en cada direcció. Referència:

[Jain1989] p85

Recuperació de la imatge original

Com l’espectre del senyal original és el que es troba sobre l’eix de coordenades, només caldrà aplicar un filtre passabaix. Una vegada tinguem aquest espectre només cal fer la transformada de Fourier inversa i recuperar el senyal original. Referència:

[Jain1989] p85

Teorema del mostreig

Una imatge de banda limitada i mostrejada uniformement en una malla rectangular pot ser recuperada convolucionant el senyal mostrejat amb una sinc (antitransformada d’un pols). Si

yi

x ysxs Δ=

Δ=

11 ξξ

Aleshores

yy

xx

ynxmfyxfys

ys

xs

xs

ξπξ

ξπξ )sin()sin(

),(),( ∗ΔΔ=

Açò és el mateix que filtrar passabaix la imatge en freqüència i antitransformar després.

21

Referència:

[Jain1989] p88-89

Criteri de Nyquist i Aliàsing

El criteri de Nyquist que un senyal pot ser recuperat exactament si es mostreja a una freqüència doble a la màxima freqüència del senyal:

Bfm 2≥ Si això no és compleix, es produeix l’efecte d’aliàsing o solapament a l’espectre. Açò produeix uns errors que impossibiliten la recuperació del senyal original. És per això que abans de mostrejar cal assegurar-se que el senyal o imatge original no conté freqüències superiors a la meitat de la freqüència de mostreig. Açò es pot evitar amb un filtre passabaix. Referències:

[Jain1989] p87

[Vicent2002]

3.1.3. Tipus de mostreig bidimensional

Veurem ara les diferents característiques i prestacions de diferents tipus de mostrejos espacials. Estudiarem el mostreig rectangular, l’oblic, etc.

Mostreig rectangular

El mostreig més senzill és el rectangular, format per mostres equiespaciades en ambdues direccions i formant una malla rectangular. Aquest és el mostreig necessari si la banda de freqüències on la transformada de Fourier de la imatge és diferent de 0 i té forma rectangular.

Rotació de la malla de 45º

Encara que les imatges puguen tenir un espectre de forma rectangular, la visió humana no és molt sensible a freqüències altes en ambdues direccions simultàniament. Això vol dir que podem menysprear els components freqüencials alts en les dues direccions, és a dir, els components de les diagonals. Així, podem considerar que els espectres que veu l’ull tenen forma de diamant.

22

23

Considerant aquest espectre, si es fa un mostreig rectangular es desaprofita molt l’espectre. En canvi, si el mostreig el fem en angle de 45º, l’espectre resultant s’aprofita molt millor, i en canvi reduïm el nombre de mostres a la meitat. (Veure els dibuixos) Aquest serà el mostreig utilitzat en la televisió digital. Referència:

[Jain1989] p91-p92

RESUM S’ha vist en aquesta sessió amb profunditat el mostreig espacial. S’ha estudiat el tema des del punt de vista freqüencial per estudiar l’aliàsing. S’ha buscat el mostreig més òptim.

25

Sessió 6: Quantificació

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Quantificació Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS La sessió anterior ens ha mostrat la primera fase de la creació d’una imatge digital, el mostreig.

OBJECTIUS En aquesta sessió estudiarem com el valor de la luminància de cada mostra és quantitzat en un valor enter de valors possibles.

CONTINGUTS Aquesta sessió presenta el procés bàsic de quantificació. A més, ens presenta diferents algorismes de quantificació.

3.2. Quantificació de la imatge Una vegada s’ha decidit la distribució de mostres sobre la imatge, s’ha d’emmagatzemar digitalment el valor de la luminància de cada mostra. En ser un sistema digital el nombre de bits per mostra ens determinarà el nombre de nivells en què es podrà quantitzar la luminància.

Quantificació

La quantificació és el procés en què una variable continua es converteix en una variable discreta, que pren uns valors concrets. Aquest procés és habitualment una funció en forma d’escala, on cada valor continu original és arredonit al valor discret més proper.

Quantificació uniforme

En la quantificació uniforme, cada valor continu és arredonit al valor discret més proper. El nombre de nivells en què discretitzarem (N) estaran donats pel nombre de bits de codificació (n):

nN 2= Si es defineix tk com els nivells de decisió de la funció d’entrada i rk els valors discrets que tindrem a l’eixida, podem expressar que una funció uniforme:

qtr

NkuN

kuut

kk

k

+=

=−−

= :0)min())min()(max(

on q és la distància entre dos nivells de decisió consecutius. Referència:

[Jain1989] p99-p100

Quantificació òptima per mínims quadrats

Depenent de la distribució del senyal d’entrada, potser la quantificació uniforme no és òptima. Per exemple, si els valors del senyal estan distribuïts normalment amb una desviació petita no té massa sentit quantizar uniformement. Seria millor tenir més precisió al voltant de la mitjana. Així, la quantificació òptima es pot obtenir calculant els valors de decisió que minimitzen l’error entre la funció original i la discretitzada. En general, si els valors del senyal d’entrada segueixen una distribució amb funció densitat p(u), els nivells seran:

ANkzttApert

duup

duupAt kN

t

t

tz

tk

N

k

=−=+≈ +−

+ −

+

∫

∫+

11131

31

11

1

1

1

)(

)(

Utilitzant aquest mètode per una distribució uniforme s’obté que la millor quantificació és la uniforme.

Referència:

[Jain1989] p101-p102

26

http://@base@/main.pl?p=

27

RESUM En aquest tema hem vist la quantificació d’un senyal discret.

Sessió 7: Tomografia

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Tomografia Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 4 hores Dedicació: 4 hores Treball a lliurar: no Material:


PRECEDENTS A les sessions anteriors es va estudiar la formació de la imatge digital amb el mostreig i la quantificació.

OBJECTIUS En aquesta sessió pretenem estudiar la tomografia o formació d’imatges a partir de les seues projeccions. La tomografia és molt utilitzada en ambients mèdics, amb les imatges de TAC.

CONTINGUTS En aquesta sessió estudiarem la transformada de Radon, directa i inversa, base i fonament de la tomografia axial computeritzada. Indicarem també què fa un TAC.

4. Transformada de Radon i tomografia

4.1. Transformada de Radon La transformada de Radon permet obtenir projeccions d’un cos en la seua vessant directa. La transformada de Radon, inversa, més coneguda com a retroprojecció permet recuperar la forma d’un cos a partir de totes les seues projeccions.

Transformada de Radon directa

La transformada de Radon directa de f(x,y) es defineix com la integral de línia al llarg de la funció en un determinat angle θ, i a una distància s, de l’origen de coordenades:

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−−+= dxdysyxyxfsg )sincos)(,(),( θθθ

29

Referència:

[Jain1989] p434-436

Transformada de Radon inversa

La transfomada de Radon inversa, o retroprojecció, és el PRIMER PAS per a trobar el valor de la funció f(x,y) a partir de la funció g(s, θ). La transformada de Radon inversa es defineix com:

∫ +=π

θθθθ0

),sincos(),( dyxgyxb

Aquesta funció b(x,y) és la funció f(x,y) filtrada:

2/122 )(),(),( −+∗= yxyxfyxb Aplicant el filtre invers es pot recuperar la funció original Referència:

[Jain1989] p439-441

4.2. Tomografia Axial Computeritzada (TAC) En medicina, l’aparició del TAC va suposar una gran revolució pel fet que per primera vegada es podien observar talls axials d’un cos i estudiar la distribució dels òrgans dins el cos sense necessitat de cirurgia invasiva. La invenció de l’aparell està basada en la transformada de Radon, que permet recuperar la forma d’un cos a partir de totes les seues projeccions. La radiografia convencional són projeccions del cos en un determinat angle, és a dir, la transformada directa de Radon. Realitzant moltes projeccions en diferents angles (teòricament infinits) i realitzant després la retroprojecció es pot recuperar el tall d’un cos. A continuació teniu un exemple de TAC axial a l’alçada de la pelvis.

30

javascript:openwindow('Aquest%20text%20pertany%20a%20la%20presentaci%C3%B3%20d'un%20apartat%20de%20teoria.%5D%20Aquest%20text%20pertany%20a%20la%20presentaci%C3%B3%20d'un%20apartat%20de%20teoria.%20Aquest%20text%20pertany%20a%20la%20presentaci%C3%B3%20d'un%20apartat%20de%20teoria.%20Aquest%20text%20pertany%20a%20la%20presentaci%C3%B3%20d'un%20apartat%20de%20teoria.%0d','glossari')

RESUM En aquesta sessió hem estudiat la transformada de Radon, directa i inversa, i hem estudiat la seua aplicació en el cas de la tomografia axial computeritzada.

31

33

Sessió 8: Millora d’imatges. Filtratge freqüencial

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Millora d’imatges. Filtratge freqüencial. Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: [Pajares2001]

o Bibliografia complementària: [Vicent2002]

PRECEDENTS En les sessions anteriors s’ha estudiat la transformada de Fourier i el mostreig òptim.

OBJECTIUS En aquesta i les sessions que la segueixen estudiarem la millora d’imatges. Les millores poden ser de molts tipus, emfasització del contrast, aclariment d’imatges fosques, enfosquiment d’imatges clares, eliminació de soroll, etc.

CONTINGUTS En aquesta sessió veurem una primera manera de tractar imatges: el filtratge en freqüència. S’estudiarà el filtre passabaix i el passaalt.

5. Transformacions puntuals

5.1. Filtratge en freqüència Com s’ha vist, les imatges poden ser transformades a un domini freqüencial mitjançant la transformada de Fourier. Amb aquest domini nosaltres podem eliminar (o atenuar) algun rang de freqüències. Açò s’anomena filtrar. En funció de les freqüències que es mantenen i les que s’eliminen, es parla de filtratge passabaix, passaalt, passabanda i rebutjabanda. Com ja s’ha vist, la imatge resultant en el domini freqüencial s’obtindrà multiplicant la imatge original en freqüència amb la funció de transferència del filtre.

5.1.1. Filtre passabaix

El filtre passabaix elimina, si és ideal, o atenua en cas contrari, les freqüències a partir d’un cert valor llindar, anomenat freqüència de tall. En una dimensió, la funció de transferència d’un filtre passabaix ideal és:

⎩⎨⎧

><

=c

cHωωωω

ω01

)(

Aquest filtre manté totes les freqüències inferiors a la freqüència de tall ωc, i elimina totes les superiors. En 2D podem distingir dos tipus de filtres passabaix ideals:

Filtre rectangular

Un filtre rectangular ideal és aquell que elimina tota freqüència superior a un llindar ωcx en la direcció de les Xs, i tota freqüència superior a ωcy en la direcció de les Ys. La seua funció de transferència serà:

⎩⎨⎧

Referència:

[Vicent2002]

5.1.2. Filtre passaalt

Els filtres passaalt són aquells que eliminen (o atenuen) totes les freqüències inferiors a una freqüència de tall. Són filtres amb la mateixa forma que els passabaix, només que els 1s i els 0s estan invertits. En una dimensió, el filtre passaalt ideal té com a funció de transferència:

⎩⎨⎧

><

=c

cHωωωω

ω10

)(

Filtre passaalt rectangular

És el filtre passabaix rectangular invertit. La funció de transferència és:

⎩⎨⎧

36

RESUM Hem vist en aquesta sessió com filtrar passabaix i passaalt des del domini freqüencial, de manera que puguem eliminar soroll o suavitzar la imatge (filtre passabaix) o ressaltar els contorns (filtre passaalt).

Sessió 9: Filtratge freqüencial

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Filtratge freqüencial. Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:



PRECEDENTS A la sessió anterior es va estudiar el filtres passabaix i el passaalt.

OBJECTIUS En aquesta estudiarem els filtres passabanda i rebutjabanda.

CONTINGUTS En aquesta sessió estudiarem els filtres passabanda i rebutjabanda que ens serviran per a seleccionar o eliminar zones freqüencials concretes.

5.1.3. Filtre passabanda

Un filtre passabanda és qualsevol filtre que deixa passar una banda concreta de freqüències. En una dimensió, la funció de transferència serà:

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧ ∈

=altrament

DH

01

)(ω

ω

Per exemple, en la figura següent es deixaran passar les freqüències del quadrat blanc. Conceptualment només hem de tenir en compte el primer quadrant, els altres són resultants de la transformada de Fourier.

Aquest filtre és útil quan volem extraure de la imatge una zona amb un rang de freqüències determinat.

5.1.4. Filtre rebutjabanda

El filtre rebutjabanda és l’invers del passabanda. Elimina una banda de freqüències. En una dimensió, la funció de transferència és:

⎩⎨⎧

39

Aquest filtre serà molt útil per a eliminar zones de la imatge que tinguen una banda concreta de freqüències. Referència:

[Pajares2001] p39

RESUM En aquesta sessió hem exposat dos tipus més de filtres freqüencials, el passabanda i el rebutjabanda.

Sessió 10: Histograma

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Histograma Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:



PRECEDENTS A les sessions anteriors s’han estudiat els filtratges en el domini de la freqüència. Ara estudiarem millores i transformacions en la imatge des del punt de vista dels nivells de gris.

OBJECTIUS En aquesta sessió es pretén entendre el concepte d’histograma i interpretar-lo.

CONTINGUTS En aquesta sessió estudiarem l’histograma i les seues característiques, així com l’avaluació de la brillantor o el contrast de la imatge.

5.2. Histograma L’histograma d’una imatge és una funció que expressa el número de píxels de cada nivell de gris que hi ha en una imatge (N(g)). Ens dóna una idea de quins són els nivells de gris que més abunden a la imatge. En la figura següent en veiem un exemple:

41

L’eix de les abscisses correspon als nivells de gris (g). En aquest cas la imatge té 256 nivells de gris. El nivell 0 correspon al negre i el 255 al blanc. Es pot observar que majoritàriament la imatge és grisa, amb a penes punts gris clar, i cap blanc. A la zona molt fosca tampoc hi ha píxels. L’histograma està estretament relacionat amb la probabilitat d’aparició d’un nivell de gris. La probabilitat aquesta la podem definir com:

MgNgP )()( =

on g és el nivell de gris, N(g) el número de píxels de la imatge i M el nombre total de píxels de la imatge.

Propietats estadístiques de l’histograma

Per estudiar la distribució dels nivells de gris en una imatge podem estudiar el seu histograma i extraure característiques estadístiques: -La mitjana, o valor mitjà dels nivells de gris:

∑−

=

=1

0

)(L

g

ggPg

-La variància que dóna idea de la dispersió al voltant de la mitjana:

∑−

=

−=1

0

22 )()(L

g

gPggσ

-L’asimetria, que dóna idea de la simetria de l’histograma respecte de la mitjana:

∑−

=

−=1

0

3 )()(L

g

gPgga

com més gran més asimètrica és.

Brillantor i contrast

Observant l’histograma de la imatge podem fer-nos una idea ràpida de la brillantor i del contrast d’una imatge. Una imatge fosca tindrà l’histograma molt esbiaixat cap a l’esquerra (la seua mitjana serà baixa), una imatge clara tindrà l’histograma cap a la dreta. La variància de l’histograma ens donarà un grau de com està contrastada la imatge. Una variància molt baixa implica que la majoria dels píxels tenen nivells de gris molt semblants, cosa que ens diu que la imatge és poc contrastada. Una gran variància ens diu que el contrast de la imatge és bo. Referència:

[Pajares2001] p96-p98

42

43

RESUM S’ha definit l’histograma i les seues propietats fonamentals. S’ha estudiat com reconèixer la brillantor o contrast d’una imatge observant l’histograma.

Sessió 11: Transformades puntuals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Transformades puntuals. Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:



PRECEDENTS A la sessió anterior hem estudiat l’histograma com a manera de veure com estan distribuïts els nivells de gris en la imatge.

OBJECTIUS En aquesta sessió estudiarem les transformades puntuals, que permeten emfasitzar contrast, aclarir o enfosquir imatges, etc.

CONTINGUTS En aquesta sessió iniciarem l’estudi de les transformades puntuals. Es definiran i en veurem les més utilitzades.

5.2.1. Transformades puntuals

Una transformada puntual és una aplicació (q=f(p)) d’un nivell de gris de la imatge original (p(x,y)) a un altre nivell de gris en la imatge transformada (q(x,y)).

),(),( )( yxqyxp pfq ⎯⎯⎯ →⎯ = Amb les transformades puntuals podem fer el negatiu d’una imatge, binaritzar-la, emfatitzar-ne el contrast, etc. Veiem a partir d’ara una sèrie de transformades puntuals per aconseguir diferents efectes en la imatge.

Identitat

La transformada puntual identitat transforma una imatge en ella mateixa. És a dir:

45

ppfq == )(

Negatiu

L’operador negatiu transforma la imatge original en el seu negatiu, és a dir, la imatge inversa. La transformació és:

pNpfq −== )( on N és el nivell de gris corresponent al color blanc.

Llindar (threshold)

Aquesta transformada crea una imatge binària. Els nivells de gris superiors a un cert valor (llindar) es convertiran en blanc i els menors en negre.

⎩⎨⎧

>≤

==thpperNthpper

pfq0

)(

on th és el nivell de gris llindar.

Doble llindar

Aquesta transformació és semblant a l’anterior. La diferència és que els píxels el nivell de gris dels quals estiga en un cert interval es convertiran en negre, mentre que els altres es convertiran en blanc:

⎩⎨⎧

≥≤≤≤

==21

110)(thpithpperNthpthper

pfq

Doble llindar invertit

L’invers de l’anterior:

⎩⎨⎧

≥≤≤≤

==21

11

0)(

thpithpperthpthperN

pfq

Llindar amb escala de grisos (Clipping)

Aquesta transformació és pareguda a la de doble llindar però amb la diferència que els píxels que en aquella passaven a negre, ara mantindran els nivells de gris originals:

⎩⎨⎧

≥≤≤≤

==21

11)(thpithpperNthpthperp

pfq

46

Aquesta transformada és útil per a eliminar zones de la imatge que no interessen i mantenir els objectes d’interès amb l’escala de grisos original.

Emfatització del contrast

Transformacions d’emfasització de contrast són aquelles en què es dóna més contrast a un determinat rang de nivells de gris.

Quan el pendent de la transformada és superior a la unitat s’està augmentant el contrast. És lògic, ja que un rang petit de nivells de gris de la imatge original es converteix en un rang més gran en la imatge transformada. Quan el pendent és menor que 1 estem minvant el contrast. Referència:


RESUM En aquesta sessió s’han definit les transformades puntuals i n’hem vist algunes d’importants.

47

49

Sessió 12: Transformades puntuals 2. Equalització

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Transformades puntuals 2. Equalització. Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:



PRECEDENTS A la sessió anterior s’han estudiat un bon nombre de transformades puntuals freqüentment utilitzades en l’àrea del processament de la imatge.

OBJECTIUS En aquesta sessió pretenem introduir el concepte d’equalització per aconseguir una bona qualitat d’imatge. Alhora estudiarem altres transformades puntuals.

CONTINGUTS En aquesta sessió es defineix l’equalització dels nivells de gris d’una imatge i veurem com contraure i expandir l’histograma.

5.2.2. Equalització

Una imatge perfectament contrastada seria aquella que té el mateix nombre de píxels per tots els nivells de gris, és a dir: N(g)=k. Equalitzar uniformement una imatge (o simplement equalitzar una imatge) és transformar-la de manera que l’histograma es convertisca en una funció constant N(g)=k. Açò només és possible en una imatge amb infinits nivells de gris. En una imatge digital real, l’equalització serà un procés que aconseguirà l’histograma més semblant possible a una constant N(g)=k.

L’equalització és una transformació puntual monòtona creixent

El procés d’equalització pretén obtenir el contrast òptim d’una imatge sense canviar el seu “caràcter”. És a dir, les zones més clares de la imatge han de continuar sent les

zones més clares, i les més fosques han de continuar sent les més fosques. Això, ens diu que la transformació serà monòtona creixent (sense pendents negatius). En ser monòtona creixent podem escriure:

∑∑==

=)(

02

01 )()(

uf

i

u

i

iNiN

Equalització uniforme

Si volem que l’histograma destí siga pla N2(g)=k, aquesta k haurà de ser la divisió entre el nombre total de píxels de la imatge i el nombre total de nivells de gris. Obtindrem:

k

gN

ufukfgN

u

iu

i

∑∑ =

=

=⇒= 01

01

)(

)()()(

Referència:

[Pajares2001] p105-p107

5.2.3. Correcció Gamma

Aquest és un cas especial de transformada puntual, que rep nom propi perquè soluciona un problema dels rajos catòdics. Aquestos presenten una no linealitat entre el potencial que els arriba i el nivell d’intensitat que presenten en pantalla segons la fórmula següent:

γkVI = Per tant, si no es fa cap correcció les imatges que veuríem en pantalla no són les que realment arriben al tub. Per solucionar aquest problema s’aplica la correcció gamma, que neutralitzarà l’efecte:

( ) [ ]( ) γ1,mnuKuf ⋅= on γ1NNK = si N és el nombre de nivells de gris.

Referència:


RESUM En aquesta sessió hem estudiat l’equalització de l’histograma i la correcció gamma.

50

51

Sessió 13: Transformades espacials. Suavitzat de la imatge

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Transformades espacials. Suavitzat de la imatge. Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: [Vicent 2002]

o Bibliografia complementària: [Pajares2001] [Escalera2001]

PRECEDENTS Fins ara hem estudiat les transformacions amb filtres freqüencials, i amb transformades puntuals, amb les quals només tenim en compte el nivell de gris del píxel.

OBJECTIUS En aquesta sessió introduirem les transformacions espacials, que es basen en el seu nivell de gris i en la localització del píxel. Característica aquesta última que no tenien en compte les transformacions estudiades fins el moment.

CONTINGUTS En aquesta sessió definirem les transformades espacials i n’estudiarem algun exemple.

5.3. Transformades espacials Les transformades puntuals només tenen en compte el nivell de gris dels píxels, no tenen en compte on està situat el píxel. Sembla necessari algun tipus de transformació que permeta tenir en compte on està el píxel i quins són els seus veïns. Són les transformades espacials. Les transformades espacials consisteixen a estudiar un píxel i el seu entorn i fer alguna transformació tenint en compte només aquest entorn. Les transformades espacials poden ser lineals o no lineals, i ens serviran per a suavitzar la imatge, eliminar soroll, detectar contorns, etc.

5.3.1. Transformades espacials lineals

Les transformades espacials lineals consisteixen a convolucionar la imatge amb una resposta impulsional (plantilla):

),(*),(),( 12 yxhyxIyxI = Aquesta convolució és pot interpretar com passar una plantilla per damunt de la imatge i multiplicar els nivells de gris dels píxels amb els valors de la plantilla. Evidentment aquesta transformació lineal es pot expressar des del punt de vista freqüencial de la manera següent:

)),((·)),(()),(( 12 yxhDFTyxIDFTyxIDFT = Referència:

[Vicent2002]

5.3.2. Transformades espacials no lineals

Les transformades espacials no lineals són qualsevol operació no lineal feta sobre l’entorn del píxel. Per exemple: sobre una plantilla 3x3 sobre el píxel a estudiar podem buscar: - el màxim - el mínim - la mediana - la moda Referència:

[Vicent2002]

5.3.3. Filtres de mitjana

Filtres de mitjana són aquells filtres lineals que suavitzen la imatge. Açò és especialment útil quan l’àrea d’estudi són grans objectes i volem eliminar petits detalls, o soroll. La plantilla d’un filtre de mitjana ha de fer la mitjana aritmètica de tots els píxels al voltant del píxel sobre el qual actua. Les plantilles poden tenir diverses grandàries. Com més gran és la plantilla més gran és el suavitzat i per tant la pèrdua de detalls. Les plantilles dels filtres de mitjana 3x3 i 4x4 són:

52

Observeu que la suma de tots els elements és 1. Això és important perquè els marges dels nivells de gris de les imatges original i transformada siguen iguals. L’element en negreta indica que és el que s’ha de posar sobre el píxel a avaluar.

Aquest filtre, en suavitzar la imatge, elimina les altes freqüències, per tant és un filtre passabaix, encara que no ideal. Referències:

[Vicent2002]

[Pajares2001] p81-91

Filtres de mitjana ponderats

Els filtres de mitjana suavitzen la imatge, i per tant eliminen soroll d’alta freqüència. Però ja s’ha dit que perdem qualitat en els contorns, ja que són suavitzats. Per suavitzar la imatge, però no perdre tanta definició es pot ponderar més el píxel central sobre els del contorn. Possibles plantilles són:

Filtres gaussians

Aquestos filtres són unes plantilles que tracten d’imitar la fórmula d’una gaussiana:

2

2

2)(

σyx+

−),( eyxG =

Igual que els anteriors suavitzen la imatge, però aquest filtre té un comportament millor ja que la seua transformada de Fourier té menys lòbuls que l’anterior. La desviació típica donarà el grau de suavitzat. Com més desviació, més suavitzat. Possibles plantilles de gaussiana són:

53

54

391.0=σ Per

1 4 1 4 12 4 1 4 1

625.0=σ Per

1 2 3 2 1 2 7 11 7 2 3 11 17 11 3 2 7 11 7 2 1 2 3 2 1

Referència:

[Escalera2001] p132-134

RESUM En aquesta sessió hem definit les transformades espacials, n’hem vist els tipus i n’hem estudiat els de mitjana i els gaussians.

55

Sessió 14: Filtres espacials. Detectors de contorns de primera derivada

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Filtres espacials. Detectors de contorns de primera derivada. Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


o Bibliografia complementària: [Pajares2001]

PRECEDENTS En la sessió anterior s’han estudiat què són filtres lineals i no lineals, i s’han estudiat els filtres que suavitzen la imatge: els de mitjana i els gaussians.

OBJECTIUS En aquesta sessió continuarem estudiant filtres lineals però dedicats ara a la detecció de contorns

CONTINGUTS En aquesta sessió veurem els filtres detectors de contorns basats en la primera derivada.

5.3.4. Filtres de primera derivada.

Els contorns d’una imatge són variacions fortes del nivell de gris. Per tant, un mètode que compute diferències en nivells de gris serà útil per a trobar aquestos contorns. La primera derivada d’una funció dóna el grau de variació de la funció en aquell punt. Operadors de primera derivada són el gradient, Sobel, Prewitt, Roberts, etc. Referència:

[Pajares2001] p145-147

Gradient

El gradient d’una imatge és el vector bidimensional següent:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

== ),(),,(,),( yxfy

yxfx

GGyxfgrad yx

El mòdul representa la magnitud de la diferència de nivells de gris, i la fase, la direcció de màxima variació:

xyx G

yx GGyxG +=|),(|

yGarctgyxiGGyxG =+= ),(|),(| 22 φ

De vegades el mòdul, a causa de la menor càrrega computacional, és aproximat per:

En discret, tenim que:

xx ΔxfxxfG −Δ+= )()(

que és el mateix que passar la plantilla [-1,1] sobre la imatge. La component vertical serà òbviament:

-1 1

Si fem la transformada discreta de Fourier d’aquestes plantilles observarem que es tracta d’un filtre passaalt. Si volem distingir contorns entre sí el que farem és binaritzar la imatge gradient, tenint cura de triar un bon llindar (th):

⎩ ≤ thGsi ||0⎨⎧ >

=thGsi

yxg||1

),(

Referència:

[Pajares2001] p148-149

Sobel

Un problema que presenta l’operador gradient és que a més dels contorns, realça el soroll. Per minvar l’amplificació d’aquest soroll es pot aplicar una plantilla gradient que suavitze al mateix temps la imatge. Són operadors de Sobel:

56

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=121000121

101202101

yx GG

Referència:

[Pajares2001] p149-152

Prewitt

Prewitt és un operador gradient que també suavitza la imatge. És semblant a la Sobel, amb la diferència que aquesta suavitza una mica més. Les seues plantilles són:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=111000111

101101101

yx GG

Referència:

[Pajares2001] p152

Roberts

La plantilla Roberts no suavitza com els dos operadors anteriors i cerca els punts de contorn independentment de la seua direcció:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

0110

1001

H

Referència:

[Pajares2001] p153

Algorisme de Canny

Els mètodes anteriors presenten problemes en funció del llindar de binarització triat. Si és baix obtindrem els contorns d’interès i probablement soroll, i si és molt alt és possible que eliminem el soroll però els contorns d’interès no apareguen complets, hi haurà discontinuïtats.

57

58

L’algorisme de Canny tracta de solucionar aquestos problemes, extraure només els contorns importants sense discontinuïtats. L’algorisme consta de tres passos: Obtenció del mòdul i fase del gradient. Esqueletització o aprimament de l’ample de contorns. Histèresi del llindar. Definició de dos llindars de binarització, un baix per aconseguir els contorns sencers encara que tinguem soroll i un alt per eliminar el soroll i tenir només contorns interessants, encara que no estiguen continus. Reconstrucció. Els contorns trobats en Ih es completaran amb la imatge de llindar baix (Il). El criteri és continuar els contorns de Ih amb els contorns de Il que estiguen connectats amb el contorn de Ih. Referències:

[Pajares2001] p159-163

[Vicent2002]

RESUM En aquesta sessió hem vist les transformacions espacials lineals de primera derivada per a detectar contorns. Hem vist la plantilla gradient, Sobel, Prewitt, Roberts i l’algorisme de Canny.

Sessió 15: Filtres espacials. Detectors de contorns de segona derivada

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Filtres espacials. Detectors de contorns de segona derivada. Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


o Bibliografia complementària: [Pajares2001] [Escalera2001]

PRECEDENTS En la sessió anterior hem estudiat els detectors de contorn de primera derivada.

OBJECTIUS En aquesta sessió continuarem estudiant detectors de contorn però basats en la segona derivada.

CONTINGUTS En aquesta sessió veurem els filtres detectors de contorns basats en la primera derivada i en la segona derivada.

5.3.5. Filtres de segona derivada.

La primera derivada d’una funció indica el grau de variació d’una funció en un espai molt petit. Els filtres de primera derivada només detecten diferències de nivell de gris entre píxels molt propers. Però si hi ha un augment gradual del nivell de gris, els filtres de primera derivada no consideraran que hi ha un contorn. Per a aquestos casos serà millor la segona derivada.

Operador Laplaciana

La Laplaciana d’una funció és:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∇ ),(),,(),( 22

2

22 yxf

yyxf

xyxf

r

59

que en discret es pot aproximar per

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

111181111

121242121

010141010

óó

Aquestos filtres també són passaalt, com es pot comprovar si fem la transformada de Fourier. A diferència del que passava amb la primera derivada, on consideràvem com a contorn els píxels on el mòdul del gradient és superior a un cert llindar, en la segona derivada els contorns no són els màxims, sinó els passos per zero. Així doncs, després de convolucionar la imatge amb una plantilla laplaciana, caldrà buscar els passos per zero per trobar el contorn. Referència:

[Pajares2001] p163-165

Operador Laplaciana de la Gaussiana o Marr-Hildreth

Aquest operador és ben semblant a l’anterior però amb la diferència que ara introduïm un suavitzat. L’operador Laplaciana de la Gaussiana consisteix a fer la laplaciana de la funció gaussiana. La funció densitat d’una distribució gaussiana o normal és:

2

22

2

21),( σ

σπ

yx

eyxG+

−−=

i la seua laplaciana:

2

22

22

222 2),( σ

σ

yx

eyxKyxG+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=∇

r

Per fer la plantilla en discret caldrà fer:

[ ] 222

22

22

2, σσ

nm

enmKnmh+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

De tota manera aquesta plantilla és equivalent a passar primer una plantilla gaussiana, tal i com es va veure, i després l’operador laplaciana.

60

61

La desviació típica ens donarà el major o menor amitjanament (o freqüencialment la freqüència de tall) de la gaussiana. Com més gran és la desviació, major és l’amitjanament, o menor és la freqüència de tall. Referències:

[Pajares2001] p163-170

[Escalera2001] p161-163

RESUM En aquesta sessió hem vist les transformacions espacials lineals de segona derivada per a detectar contorns.

63

Sessió 16: Filtres no lineals

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Filtres no lineals. Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:


o Bibliografia complementària: [Vicent 2002]

PRECEDENTS En les darreres sessions hem fet un estudi dels filtres lineals més utilitzats en el processament de la imatge.

OBJECTIUS En aquesta sessió introduirem alguns dels filtres no lineals o d’ordre més usats.

CONTINGUTS A continuació es definiran els filtres d’ordre basats en l’estadística i es veurà la seua utilitat per a l’eliminació de soroll.

5.3.6. Filtres d’ordre

Els filtres d’ordre són uns filtres no lineals, és a dir, el resultat no és la convolució de la imatge amb la resposta impulsional. Els filtres d’ordre estan basats en l’estadística d’ordre. Operen sobre un entorn anomenat finestra al voltant d’un píxel central que és reemplaçat aplicant alguna característica estadística.

Filtre de mediana

La mediana d’un conjunt de valors és el número tal que la meitat dels valors són inferiors a ell i la meitat superiors. El filtre de mediana consistirà a crear una finestra, per exemple de 3x3, i canviar el valor central per la mediana dels valors de la finestra. D’aquesta manera eliminarem el soroll impulsional, ja que un píxel solitari amb un nivell de gris molt diferent als seus veïns no serà tingut en compte. Amb els filtres de mitjana, aquest soroll puntual és suavitzat gràcies a l’amitjanament, però el píxel sorollós entra en el càlcul de la mitjana, per tant, continuarà havent-hi una

64

zona amb el soroll. Amb el filtre de mediana un soroll d’un píxel és eliminat completament, encara que la imatge perdrà definició en els contorns. Referència:

[Pajares2001] p630-631

Filtre de moda

La moda d’un conjunt de valors és aquell que més es repeteix. El filtre de moda consistirà a substituir un píxel per la moda de la finestra que té al voltant. A l’igual que el filtre de mediana, també eliminarà molt bé el soroll impulsional. La distorsió de la imatge serà una mica menor que en el de mediana. Referència:

[Pajares2001] p631-632

Filtre de màxim

El filtre de màxim consistirà a substituir un píxel pel màxim de la finestra que té al voltant. És especialment útil per eliminar soroll de tipus sal.

Filtre de mínim

El filtre de mínim consistirà a substituir un píxel pel mínim de la finestra que té al voltant. És especialment útil per eliminar soroll de tipus pebre. Referència:

[Pajares2001] p631-632

RESUM En aquesta sessió hem vist els filtres no lineals o d’ordre més utilitzats per a eliminar soroll impulsional.

Sessió 17: Problemes

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Problemes Tipus: de problemes Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no

PRECEDENTS S’han estudiat en moltes sessions anterior moltes eines de processament de la imatge, principalment transformades puntuals i filtres.

OBJECTIUS Aquesta sessió ha de servir perquè l’alumne sàpiga combinar de manera eficient les diferents transformacions estudiades per obtenir resultats fiables.

CONTINGUTS En aquesta sessió incloem un problema a resoldre amb els coneixements de les sessions anteriors.

5.3.7. Problema

La imatge de TAC següent (Tomografia Axial Computeritzada, eina mèdica que dóna talls axials interiors el cos humà mitjançant RX) té 512x512 píxels i és de 256 nivells de gris.

65

1. Calcula la grandària de l’arxiu en bits i en Kbytes. (Indiqueu exactament tots els càlculs). 2. Si volem eliminar els punts de soroll, quina solució proposes. És possible que la qualitat de la imatge no es veja minvada? 3. Com eliminaríeu les lletres? 4. Si l’única informació que ens interessa és la localització de l’os, quina transformació realitzaràs? 5. Processant la imatge hem obtingut la imatge següent. Explica el procés.

66

67

Sessió 18: Introducció a la morfologia matemàtica

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Introducció a la morfologia matemàtica Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: [Vicent2002]


PRECEDENTS A les darreres sessions s’han estudiat els filtres d’ordre o filtres no lineals.

OBJECTIUS En aquesta sessió es pretén introduir l’alumne en el món del tractament de les imatges des d’un punt de vista morfològic, on la forma esdevé el fonamental.

CONTINGUTS En aquesta sessió s’inclouen els principis de la morfologia matemàtica. Es definirà l’element estructurant i estudiarem les operacions més fonamentals.

5.4. Introducció a la morfologia matemàtica La morfologia matemàtica és una matèria de processament d’imatge basada en formes i grandàries. Està basada en els filtres d’ordre. Les operacions fonamentals són la dilatació (corresponent al filtre d’ordre màxim) i l’erosió (corresponent al filtre d’ordre mínim). Els termes dilatació i erosió són metafòrics i fan referència a l’efecte visual que produeixen aquestos filtres sobre una imatge on la forma d’interès és clara (o blanca en binari) i el fons fosc (o negre en binari). Referència:

[Vicent2002]

javascript:openwindow('morfologia%20matem%C3%A0tica','glossari')

Element estructurant

En la morfologia matemàtica, a l’igual que en la resta de filtres, hi ha una plantilla que es passa sobre la imatge i realitza una certa operació sobre els píxels on actua. La plantilla en la morfologia matemàtica s’anomena element estructurant, i pot prendre qualsevol forma i grandària. Exemples d’elements són:

El color groc indica els píxels de la imatge sobre els qual actuarà la plantilla. Sobre aquestos píxels es defineixen una sèrie d’operacions. Referències:

[Vicent2002]

[Pajares2001] p 267-269

Dilatació

L’operació de la dilatació (δ) dóna el màxim entre els píxels que es troben sota l’element estructurant. El resultat és un aclariment de la imatge. Visualment les zones clares (o blanques en una imatge binària) creixen, és a dir, es dilaten. La metàfora dilatació suposa que la informació en la imatge és clara i el fons és fosc.

Erosió

És l’operació dual a la dilatació. L’erosió (ε) consisteix a agafar el mínim entre els píxels que es troben sota l’element estructurant. El resultat és un enfosquiment de la imatge, consistent en la disminució de la grandària de les formes clares de la imatge (blanques en binari). El resultat visual és una erosió de les formes clares. Referències:

[Vicent2002]

[Pajares2001] p272-278, p288-290

68

69

RESUM En aquesta sessió s’ha introduït la morfologia matemàtica, estudiant l’eina fonamental, l’element estructurant, i les operacions fonamentals, dilatació i erosió.

71

Sessió 19: Filtres morfològics

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Filtres morfològics Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no Material:



PRECEDENTS A la sessió anterior es va realitzar una breu introducció sobre la morfologia matemàtica estudiant les seues operacions fonamentals, dilatació i erosió.

OBJECTIUS En aquesta sessió s’estudiaran una sèrie de filtres basats en les operacions bàsiques de la morfologia matemàtica.

CONTINGUTS Els filtres que estudiarem en aquesta sessió són l’obertura, el tancament i el top-hat.

5.4.1. Filtres morfològics

Combinant les dues operacions fonamentals de la morfologia es poden obtenir una sèrie de filtres més complexos com l’obertura, el tancament i el top-hat.

Obertura

L’obertura (γ), open en anglès, és un filtre compost que consisteix a erosionar la imatge primer, i dilatar-la després. Val a dir que erosió i dilatació, en no ser lineals, no són operacions invertibles, per tant erosionar primer i dilatar després no donarà la imatge original. Se sol utilitzar per l’aplicació següent: amb l’erosió s’eliminen els objectes no interessants de la imatge. Tanmateix els objectes d’interès queden erosionats (més petits). Amb la dilatació següent es restaura la grandària original a aquestos darrers objectes.

72

Tancament

El tancament (ϕ), close en anglès, és l’operació dual a l’obertura, i consisteix, per tant, a dilatar primer la imatge i erosionar-la després. L’aplicació principal és la mateixa que en l’obertura. S’aplica el tancament quan els objectes a eliminar són foscos.

Top-hat

Quan es treballa amb imatges de nivell de gris, pot passar que els objectes d’interès i el fons tinguen nivells de gris variables, de manera que no possible realitzar una binarització per diferenciar zones. Amb el top-hat s’aconsegueix que el fons siga uniforme. El top-hat blanc és una operació consistent en la diferència entre la imatge original i l’obertura realitzada sobre aquella imatge. El fons es converteix en negre. Quan el fons és més clar que les zones d’interès, es modifica el top-hat realitzant la diferència entre el tancament i la imatge original. Aquest top-hat s’anomena top-hat negre. Referències:

[Vicent2002]

[Pajares2001] p279-280,p291-295

RESUM Hem estudiat els tres filtres morfològics més utilitzats, l’obertura, el tancament i el top-hat.

73

Sessió 20: Geodèsia

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Geodèsia Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no Material:



PRECEDENTS A les sessions anteriors hem estudiat les operacions fonamentals de la morfologia matemàtica, erosió i dilatació, i filtres basats en aquestes dues operacions.

OBJECTIUS En aquesta sessió es veuran també les operacions d’erosió i dilatació des del punt de vista de la geodèsia.

CONTINGUTS En aquesta sessió estudiarem els conceptes de distància geodèsica, i de l’erosió i dilatació geodèsica.

5.4.2. Distància geodèsica

Les distàncies que habitualment entenem són euclídies, i es calculen traçant una recta entre dos punts i calculant el segment comprès entre els dos punts. La distància geodèsica és la distància més curta entre dos punts però sense eixir d’una referència. Aquesta distància és la utilitzada en les carreteres, ja que la distància entre dues poblacions es dóna anant per la carretera. En morfologia matemàtica habitualment es treballa amb l’erosió i la dilatació geodèsica. Es pot intuir que aquestes erosions i dilatacions tindran com a diferència respecte les no geodèsiques que les primeres s’hauran de realitzar dins uns límits donats per la referència.

Dilatació geodèsica

La dilatació geodèsica és equivalent a la no geodèsica però amb una excepció. La dilatació fa créixer les formes clares de la imatge. En la dilatació geodèsica aquest

creixement no pot ser infinit ja que la forma resultant serà la intersecció entre la dilatació no geodèsica i la referència que s’haja marcat. (La referència serà una forma clara de la imatge)

RXXR ∩= )()( δδ Açò és especialment útil quan volem reconstruir una forma de la imatge a partir d’un punt llavor o marcador.

Erosió geodèsica

L’erosió geodèsica és dual a la dilatació geodèsica. Consisteix a erosionar la imatge i fer la intersecció amb una referència (en aquet cas negra). Referència:

[Vicent2002]

Reconstrucció geodèsica

La reconstrucció consisteix a eliminar d’una imatge zones que no interessen sense que queden afectades les zones d’interès. En una imatge binària de formes blanques sobre fons negre, la reconstrucció geodèsica, principal aplicació de la geodèsia, consisteix a erosionar la imatge de manera que despareguen totes les formes que no interessen, i després realitzar una dilatació geodèsica per recuperar perfectament les zones d’interès. Referència:

[Vicent2002]

RESUM En aquesta sessió hem estudiat l’erosió i la dilatació geodèsica i la seua aplicació principal per a reconstruir formes a partir de marcadors.

74

75

Sessió 21: Problema de morfologia matemàtica

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Problema de morfologia matemàtica Tipus: de problemes Format: no presencial Durada: 1 hora Dedicació: 2 hores Treball a lliurar: no

PRECEDENTS A les sessions anteriors s’han estudiat els conceptes bàsics de la morfologia matemàtica.

OBJECTIUS En aquesta sessió es pretén que l’alumne jugue amb les eines morfològiques que s’han estudiat per resoldre un problema obert real.

CONTINGUTS Es presenta en aquesta sessió un problema on l’alumne ha d’utilitzar de manera hàbil les operacions que ha estudiat.

5.4.3. Problema

De la fotografia del Meteosat següent, es vol recuperar la fotografia original on no hi havia cap traç artificial. Per tant, es demana eliminar:

- La silueta dels continents, en la part central dibuixada en blanc i en la part superior en negre.

- Els creuaments entre meridians i paral·lels, malgrat perdem alguna localització important, com ara Castelló de la Plana.

A la dreta teniu uns zooms de dues zones perquè estudieu els objectes que es vol eliminar. Descriviu l’algorisme. Aquest serà millor com menys es distorsione la imatge original.

Sessió 22: Operacions entre diverses imatges

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Operacions entre diverses imatges Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 1 hora Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: Llibres [Pajares 2001]

PRECEDENTS Fins ara s’han estudiat les transformades espacials i puntuals sobre una imatge. Amb elles es podien aconseguir moltes transformacions dins una imatge.

OBJECTIUS Amb aquesta sessió es pretén que l’alumne siga capaç de treballar amb més d’una imatge mitjançant operacions aritmètiques.

CONTINGUTS Aquesta sessió comprèn les operacions aritmètiques i lògiques més utilitzades en el treball entre dues imatges, l’addició, la subtracció, i les lògiques AND, OR o NOT.

5.5. Operacions aritmètiques Es poden realitzar operacions aritmètiques entre dues o més imatges, poden obtenir la suma o la resta (també la multiplicació o la divisió, encara que les aplicacions d’aquestes dues operacions són més limitades).

L’addició

L’addició de dues (o més) imatges consisteix en la suma píxel a píxel dels nivells de gris de cada imatge. Cal tenir en compte que el nivell de gris de la imatge resultant serà la suma dividida pel nombre d’imatges. Altrament, si sumàrem dos píxels blancs (255 per 8 bits), obtindríem un resultant 510 fora dels límits dels nivells de gris. Si a i b són les imatges originals i c la suma, el resultat serà:

[ ] [ ] [ ]( ) 2/,,, nmbnmanmc +=

77

El resultat és el mateix que fer l’amitjanament de les imatges. Referència:


La subtracció

La subtracció és la diferència entre els nivells de gris píxel a píxel entre dues imatges. Habitualment, i per obtenir una imatge en el mateix rang de nivells de gris que les originals es multiplica el resultat pel nombre d’imatges. Així:

[ ] [ ] [ ]( )nmbnmanmc ,,2, −= Referència:

[Pajares2001] p75

5.5.1. Operacions lògiques

Les operacions aritmètiques es poden realitzar sobre imatges amb diversos nivells de gris. Tanmateix, en moltes aplicacions se solen utilitzar imatges binàries (blanc i negre purs, 1 bit per píxel) i sobre aquestes imatges sol ser més interessant treballar amb operacions lògiques. En totes aquestes operacions cal operar píxel a píxel.

AND

L’operació AND es pot realitzar entre dues imatges binàries píxel a píxel. El resultat d’una AND és 1 si les dues entrades són 1 i 0 en tots els altres casos.

OR

L’operador OR dóna un resultat 0 si les dues entrades són 0 i 1 en tots els altres casos.

NOT

L’operador NOT es realitza sobre una única imatge i és equivalent al negatiu per una imatge binària.

78

79

Referència:


RESUM En aquesta sessió s’han estudiat les operacions aritmètiques i lògiques entre diverses imatges.

81

Sessió 23: Introducció a la segmentació

FITXA DE LA SESSIÓ Nom: Introducció a la segmentació Tipus: teòrica Format: no presencial Durada: 2 hores Dedicació: 3 hores Treball a lliurar: no Material:

o Bibliografia bàsica: Llibres [Pajares2001]

PRECEDENTS Fins ara s’han estudiat mètodes per a processar les imatges. Açò és el pas previ a tota anàlisi de dades d’una imatge.

OBJECTIUS Amb aquesta sessió introduirem l’extracció de regions, consistent a diferenciar diverses regions significatives en una imatge. Entrem dins el tema d’anàlisi d’imatges.

CONTINGUTS En aquesta sessió introduirem l’extracció de regions, o segmentació, i en veurem els casos simples de la tria de llindar de l’histograma i l’etiquetatge de regions connexes.

6. Segmentació d’imatges

6.1. Introducció a la segmentació Les operacions de processament que hem vist fins ara treballen en píxels, i transformen píxels en píxels. Ara bé, el coneixement que una persona té sobre una imatge no és a nivell de píxel. Som capaços de diferenciar diferents zones dins d’una imatge, per exemple, en la imatge de TAC de la sessió anterior som capaços de diferenciar l’os de la resta de la imatge, malgrat que tots els píxels que componen l’os no tenen el mateix nivell de gris. La segmentació automàtica de regions intentarà que l’ordinador tinga un coneixement “similar” al d’una persona en la diferenciació de zones significatives. Referència:

[Pajares2001] p179-180

6.1.1. Binarització mitjançant detecció de llindar

La manera més fàcil de segmentar una imatge és aplicar diversos llindars en l’histograma i separar les regions en funció del nivell de gris dels píxels. El punt clau per a aquest algorisme és la tria d’un bon llindar que delimite bé les zones a diferenciar. Referència:

[Pajares2001] p180-181

Selecció del llindar òptim

L’histograma, quan es poden diferenciar diverses regions segons el nivell de gris, es por considerar format per diverses funcions de densitat de probabilitat (pi), habitualment normals. Si per exemple volem distingir dues regions en una imatge, tindrem dues funcions densitat de probabilitat (pi), i al mateix temps, podrem definir la probabilitat (Pi) que un píxel puga pertànyer a una regió o a l’altra. El llindar òptim serà el valor del nivell de gris (z) que satisfaça:

)()( 2211 zpPzpP = En el cas que les funcions de densitat de probabilitat siguen normals (amb mitjanes m1 i m2 respectivament i amb la mateixa desviació típica σ el llindar està determinat per:

1

2

21

221 ln

2 PP

mmmmT

−+

+=

σ

Referència:

[Pajares2001] p182-184

6.1.2. Etiquetatge de regions connexes

Po

Documents

Creative Commons License Deed - La SalleLes característiques bidimensionals de la imatge impliquen que el mostreig espacial també siga bidimensional. La resolució espacial d’una