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CRISTALOGRAFA Y MINERALOGA
TEMA 1 INTRODUCCIN A LA CRISTALGRAFA Y MINERALGA
NDICE
1.1 Concepto de Cristalografa
1.2 Concepto de Mineraloga
1.3 Antecedentes histricos
Concepto de cristal y mineral
1.4 El estado cristalino
1.5 Propiedades de los slidos en estado cristalino
1.6 Cristal
1.7 Monocristal
1.8 Agregado cristalino
1.9 Estructura cristalina
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1.1 CONCEPTO DE CRISTALOGRAFA La Cristalografa es una ciencia
que se ocupa del estudio de la materia cristalina, de
las leyes que gobiernan su formacin y de sus propiedades
geomtricas, qumicas y
fsicas.
Esta ciencia se clasifica en:
Cristalografa geomtrica, Cristalografa qumica o Cristaloqumica
Cristalografa fsica o Cristalofsica,
segn que estudie a la materia cristalina desde un punto de vista
geomtrico, qumico o fsico.
En la Cristalografa geomtrica se estudia: o la morfologa externa
de los cristales y su simetra, o la geometra y simetra de las
redes
Cuando se trata a la materia cristalina desde un punto de vista
macroscpico hay que considerarla como:
o un medio homogneo y continuo, anistropo y simtrico. o Cuando
se estudia la simetra interna hay que considerar a la materia
cristalina
como:
un medio homogneo y discreto, adems de anistropo y simtrico. En
la Cristaloqumica se estudia la disposicin de los tomos en la
materia cristalina;
es decir, su estructura.
o En este caso hay que introducir el concepto de cristal real,
ya que hay que considerar sus imperfecciones, al contrario de como
se consideraba en la
Cristalografa geomtrica.
En la Cristalofsica se estudian las propiedades fsicas de los
cristales, intentando relacionarlas con la composicin qumica y la
estructura.
o Propiedades importantes a considerar en esta parte son las que
derivan de la interaccin de la radiacin X con la materia, ya que
ellas permiten conocer la
disposicin de los tomos en la estructura, identificar fases
cristalinas, etc.
1.2 CONCEPTO DE MINERALOGA La Mineraloga es la ciencia de los
minerales y como tal estudia, en estrecha relacin
mutua, su composicin qumica, estructura cristalina, propiedades
fsicas y condiciones de su
gnesis, as como su importancia prctica.
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La Mineraloga puede dividirse en:
Mineraloga qumica Se encarga del estudio de las propiedades
qumicas de los minerales.
Mineraloga fsica Estudia las propiedades fsicas de los minerales
como las propiedades mecnicas,
pticas, elctricas, magnticas, etc.
Mineraloga determinativa Se ocupa de describir las distintas
tcnicas de identificacin y determinacin de
minerales.
Mineraloga descriptiva Se describen las propiedades
cristalogrficas, qumicas y fsicas, as como las
asociaciones y yacimientos de los minerales.
Mineralognesis Se ocupa del estudio de la gnesis de los
minerales y permite obtener datos de sumo
inters para la prospeccin y valoracin de los yacimientos
minerales.
Mineraloga aplicada Se ocupa de describir las aplicaciones de
los minerales en la industria,
prospeccin y exploracin, etc.
1.3 ANTECEDENTES HISTRICOS La Mineraloga naci como una ciencia
eminentemente aplicada, dedicada al
aprovechamiento de los yacimientos minerales tiles al hombre.
Junto al estudio de su
utilidad, se desarroll, desde los primeros tiempos, el aspecto
descriptivo de los nuevos
minerales que se descubran. De esta manera es como se presentan
las primeras obras que
tratan de los minerales. Entre ellas se pueden citar los textos
de Aristteles (Libro de las
piedras, ao 315 antes de J.C.), de Teofrasto (Naturalis
historia, ao 77 antes de J.C.), de
Avicena (Tratado de las piedras, en el que se esboza una
clasificacin de los minerales) o de
Alberto Magno (De Mineralibus et rebus metallius, ao 1262).
Durante el Renacimiento las obras que tratan de los minerales lo
hacen, ms bien,
desde el punto de vista metalrgico y de su aprovechamiento
industrial, como la obra De Re
Metlica, de Agricola (1530) y Pirotechnia de Birunguccio
(1535).
En la primera mitad del siglo XVIII se estudian los minerales
como simples
compuestos qumicos de origen natural. En este sentido
representan un gran progreso los
trabajos de Wallerius y, sobre todo, de Cronstedt.
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Las leyes de Rome de l'Isle y de Hay, sobre las caractersticas
de la materia cristalina,
permitieron perfeccionar ampliamente los mtodos de determinacin
mineralgica.
Las determinaciones clsicas se basan en las propiedades fsicas
ms manifiestas y
observables sin necesidad de aparatos complicados; sin embargo,
la utilizacin del
microscopio de polarizacin permiti un gran avance en la tcnica
de determinacin de los
minerales.
La determinacin de la composicin qumica es muy importante en
todos los estudios
de Mineraloga, pero por s sola es insuficiente para identificar
los distintos minerales, ya que
en muchos de ellos ciertos cationes son intercambiables (micas,
cloritas, zeolitas, granates,
etc.) o minerales distintos corresponden a compuestos de
composicin qumica idntica
(diamante y grafito, calcita y aragonito, etc.).
El nacimiento de la Cristalografa como ciencia se considera en
el momento en que
Stensen presenta la constancia de los ngulos diedros de las
caras de los cristales de cuarzo,
aunque fuera Rome de l'Isle el que generalizara posteriormente
sus descubrimientos.
El descubrimiento de los elementos y las posibilidades de los
anlisis qumicos dieron
pie a una de las grandes controversias en el mundo de la
Cristalografa: la que afect al
polimorfismo del carbonato clcico. Otro problema fue el del
isomorfismo. La configuracin
de los procesos que explicase estos fenmenos ha sido de gran
importancia en la
Cristalografa y Mineraloga.
A la ciencia rusa se debe importantes progresos en el dominio de
la Cristalografa,
personalmente a Federov, por su obra "Simetra de los sistemas
regulares de las figuras"
(1890).
Otro aporte importante de Federov a la ciencia es el referente
al estudio microscpico
de los minerales.
Los descubrimientos del fsico M. Laue, en 1912, sobre la
difraccin de los rayos X al
pasar por un cristal y las investigaciones posteriores en este
campo, llevados a cabo por el
fsico ruso G. Wulff, los Bragg (padre e hijo), Pauling y otros,
permitieron comprobar con
toda claridad la estrecha relacin que existe entre la estructura
cristalina de los minerales, su
composicin qumica y propiedades fsicas. Gracias a estos
progresos naci la
Cristaloqumica, ciencia que estudia las leyes de la disposicin
espacial de los tomos o iones
en los cristales y la relacin existente entre la estructura
cristalina de los minerales y sus
propiedades qumicas y fsicas.
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Son tambin de suma importancia las realizaciones en el dominio
de la Qumica Fsica
y, en particular, en la teora de las fases y de los equilibrios
de los sistemas fisico-qumicos.
En este campo se debe mucho a Gibbs, autor de la teora de las
fases.
1.4 ESTADO CRISTALINO Es el estado de equilibrio termodinmico de
un slido que bajo unas condiciones
termodinmicas (P y T) y con una composicin determinada le
corresponde una determinada
estructura cristalina.
1.5 PROPIEDADES DE LOS SLIDOS EN ESTADO CRISTALINO La principal
propiedad es la
Periodicidad, de la que se derivan otras caractersticas
macroscpicas que son la: homogeneidad,
anisotropa y simetra.
Homogeneidad Desde el punto de vista macroscpico, significa
invariabilidad de una propiedad F medida en un punto x, en
relacin a su medida en
otro punto x + x', es decir,
F(x) = F(x + x')
Ecuacin 1
De la condicin de homogeneidad se obtiene, a nivel
macroscpico,
la constancia de la composicin qumica y estado de fase a travs
de
todo el volumen de la sustancia en estado cristalino.
El concepto de homogeneidad hace que
se pueda considerar a una sustancia en estado cristalino como
un
continuo.
Este concepto es muy importante en Cristalografa ya
que se pueden dar descripciones fenomenolgicas de
muchas propiedades fsicas de los cristales sin hacer
referencia a su estructura atmica discreta. Cuando se
consideran las propiedades fsicas de los cristales a nivel
macroscpico, se trata con distancias considerablemente
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mayores que el espaciado interplanar y con volmenes
que exceden con mucho el de la celda unidad.
Anisotropa Existen ciertas propiedades de los cristales que son
independientes de la direccin en
la que se miden; se dice que son propiedades escalares, como el
peso especfico, la
capacidad calorfica, etc.
Existen otras propiedades que dependen de la direccin en la que
se miden; de algunas
se dice que son propiedades vectoriales y de otras, tensoriales,
como la conductividad
trmica, la constante dielctrica, el ndice de refraccin, etc.
Si la descripcin de una propiedad es independiente de
cualquier
orientacin, se dice que la sustancia es istropa respecto a
esa
propiedad.
Si una propiedad es dependiente de la orientacin, se dice que
la
sustancia es anistropa para dicha propiedad.
En cualquier caso, una sustancia en estado cristalino siempre
ser anistropa
para alguna propiedad, como puede ser la diferente disposicin de
los tomos a
lo largo de distintas direcciones (anisotropa estructural).
Simetra Es la propiedad que hace que un objeto no se distinga de
su posicin original despus
de haberle aplicado una transformacin.
Teniendo en cuenta estas caractersticas, a nivel macroscpico,
podemos definir a una
sustancia en estado cristalino como un medio
homogneo continuo, anistropo y simtrico.
Sin embargo, como se ver ms adelante,
una sustancia en estado cristalino no es un ente esttico,
ya que los tomos vibran y lo hacen en mayor grado cuando
aumenta la temperatura.
sto afecta a sus propiedades fsicas.
muestra defectos y variaciones locales de su composicin y tambin
una
desviacin de la estructura respecto de la ideal.
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Estas imperfecciones no se consideran cuando se trata al
medio
cristalino desde un punto de vista macroscpico.
Habr sustancias cuyas propiedades sean poco
sensibles a defectos estructurales y puedan ser
descritos utilizando un modelo de cristal ideal;
en otras habr que considerar su estructura real,
ya que presentarn propiedades que dependern
en mayor o menor extensin de los defectos
estructurales.
1.6 CRISTAL Se define como un slido en estado cristalino que
bajo determinadas condiciones de
formacin aparece con la forma de un poliedro, es decir, limitado
por caras cristalinas.
Ejemplos: En la Figura 1.1 se puede apreciar un cristal de
granate presentando caras
(superficies planas limitando el cristal) en forma de rombo.
FIGURA 1.1
1.7 MONOCRISTAL Se define como cristal nico.
Ejemplo: Cada uno de los cristales de granate espesartita de la
imagen inferior
constituye un monocristal porque est constituido por un nico
cristal.
1.8 AGREGADO CRISTALINO Se define como un grupo de cristalitos
(cristales de tamao pequeo) que crecen
juntos. Pueden aparecer con diversas formas.
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Ejemplos de agregados: En la Figura 1.2 (izquierda) puede
apreciarse un agregado
radial de cristales de wavellita, en la del centro un agregado
botroidal y en la figura de la
derecha una geoda de cuarzo amatista.
FIGURA 1.2
1.9 ESTRUCTURA CRISTALINA Es la disposicin peridica y ordenada
en el espacio de tres dimensiones de los
constituyentes atmicos de un slido en estado cristalino.
Ejemplo: El cristal de halita (Figura 1.3 derecha) est
constituido por iones cloro e iones sodio dispuestos en el espacio
(Figura 1.3 izquierda).
FIGURA 1.3.- Cristal de halita (derecha) y estructura cristalina
(izquierda)
1.10 CONCEPTO DE MINERAL En la actualidad, minerales son los
componentes de las rocas y menas que se distinguen por su
composicin qumica y
propiedades fsicas.
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Desde el punto de vista gentico, los minerales son combinaciones
qumicas naturales, es decir, productos naturales resultantes de los
distintos procesos fsico-qumicos que
actan en la corteza terrestre.
o La mayora de estos productos se hallan en forma de minerales
en: estado slido dotados de determinadas propiedades qumicas y
fsicas
en estrecha relacin mutua con la estructura cristalina de la
sustancia que los constituye.
estables en determinados rangos de presin y de temperatura. La
mayora de los minerales se encuentran en estado cristalino.
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CRISTALOGRAFA GEOMTRICA
TEMA 2
PERIODICIDAD, REDES CRISTALINAS, SMBOLOS Y NOTACIONES
NDICE
REDES
2.1 Traslacin
2.2 Red cristalina
2.3 Redes planas
2.4 Redes espaciales
2.5 Origen de la red
2.6 Celda elemental
2.7 Celda unidad
2.8 Parmetros de celda
2.9 Volumen de celda
2.10 Propiedades de la red cristalina
2.11 El cristal como redes paralelas Interpenetradas
Elementos de la red
2.12 Nudos
2.13 Filas reticulares
2.14 Planos reticulares
2.15 Espaciado reticular
2.16 Planos tautozonales
2.17 Cara cristalina
2.18 Arista de un cristal
2.19 Densidad reticular
2.20 Red recproca
2.21 Relaciones generales entre la red directa
y la red recproca
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2.1 TRASLACIN Es la distancia, a la que se repite el motivo en
la estructura cristalina, paralela e
idnticamente a lo largo de una direccin dada (Figura 2.1).
FIGURA 2.1
Debido a ello, y como esta repeticin montona del motivo
constituye la caracterstica
fundamental de un cristal, el medio cristalino puede abstraerse
de su contenido material y tratarlo
nicamente en funcin de las traslaciones presentes.
Esta abstraccin constituye lo que se llama teora de las redes
cristalinas.
La traslacin es una transformacin, es decir una operacin de
simetra. Es la operacin de simetra ms simple e inherente a la
estructura cristalina, por eso se le
denomina simetra trivial.
La traslacin se representa por un vector llamado vector de
traslacin: o se define por su direccin y mdulo.
Traslaciones fundamentales o unidad son las traslaciones ms
pequeas en las tres direcciones del espacio, respectivamente,
o sus mdulos se representan por a, b y c, se les asigna el valor
unidad.
o Este tro de traslaciones constituye el sistema de coordenadas
de la red. Se les denomina constantes reticulares debido a que sus
valores son fijos
para un cristal
se expresan por los mdulos mencionados - a, b y c- y por los
ngulos entre ellos , y
t
b
a
t
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2.2 RED CRISTALINA Definiciones:
1. Es una representacin tridimensional del motivo que se repite
en la estructura cristalina
En la Figura 2.2 se muestra a una imagen de la estructura del
mineral cordierita tomada (con un microscopio electrnico de
transmisin1 (TEM) (en A. Putnis, 1992: Introduction
to Mineral Sciences, Cambridge University Press). En ella, las
manchas negras representas
huecos y cada mancha blanca representa una regin con alta
densidad electrnica y podra
corresponderse con cada uno de los tetraedros imaginarios en los
que los vrtices estaran
ocupados por oxgeno y el centro por silicio. La distancia entre
dos manchas negras
equivalentes es de 9,7 .
1 Microscopio electrnico de transmisin
Un microscopio electrnico de transmisin es un microscopio que
utiliza un haz de
electrones para visualizar un objeto debido a que la potencia
amplificadora de un microscopio
ptico est limitada por la longitud de onda de la luz visible.
Debido a que los electrones
tienen una longitud de onda mucho menor que la de la luz pueden
mostrar estructuras mucho
ms pequeas. Las partes principales de un microscopio electrnico
son:
Can de electrones, que emite los electrones que chocan contra el
espcimen, creando una imagen aumentada.
Lentes magnticas para crear campos que dirigen y enfocan el haz
de electrones, ya que las lentes convencionales utilizadas en los
microscopios pticos no funcionan con los
electrones.
Sistema de vaco es una parte muy importante del microscopio
electrnico. Debido a que los electrones pueden ser desviados por
las molculas del aire, se debe hacer un vaco
casi total en el interior de un microscopio de estas
caractersticas.
Placa fotogrfica o pantalla fluorescente que se coloca detrs del
objeto a visualizar para registrar la imagen aumentada.
Sistema de registro que muestra la imagen que producen los
electrones, que suele ser una computadora.
Los microscopios electrnicos de transmisin pueden aumentar un
objeto hasta un milln
de veces.
Obtenido de
"http://es.wikipedia.org/wiki/Microscopio_electr%C3%B3nico_de_transmisi%C3%B3n"
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FIGURA 2.2
2. Representacin tridimensional de la simetra traslacional de la
estructura cristalina.
3. Disposicin de nudos a lo largo de tres direcciones.
4. Conjunto de planos reticulares paralelos e idnticos, debido a
que la extensin de la red es
infinita. En este caso, a este conjunto de planos lo
denominaremos familia de planos (hkl).
Red monodimensional
Es una disposicin de nudos a lo largo de una direccin, como la
de la Figura 2.3.
FIGURA 2.3
Red bidimensional
Es una disposicin de nudos a lo largo de dos direcciones, como
la de la Figura 2.4.
FIGURA 2.4
O
a
b
T
T = 2a -
t
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2.3 REDES PLANAS
Hay 5 redes planas. Las relaciones entre las traslaciones
fundamentales y el ngulo entre ellas puede apreciarse en la Tabla
2.1:
Red Parmetros de red Oblicua a b 90 Cuadrada a = b = 90
Rectangular a b = 90 Hexagonal a = b = 60 120 Rmbica a = b 90, 60
120
Tabla 2.1
2.4 REDES ESPACIALES
Son 14 y se denominan redes de Bravais. Se obtienen por
apilamiento de las redes planas. Pueden ser primitivas y
mltiples.
o Las primitivas se simbolizan por P. Las mltiples pueden
ser:
centradas en las bases (A, B C), centradas en las caras (F)
centradas en el interior (I)
Se denominan segn sean las relaciones entre las traslaciones
fundamentales y el ngulo entre ellas, como figuran en la Tabla
2.2
Red Tipo Parmetros de red Triclnica P a b c 90 Monoclnica P, A
(B,C) a b c = = 90 Rmbica P, I, F, A (B,C) a b c = = = 90
Tetragonal P, I a = b c = = = 90 Hexagonal P a = b c = = 90 = 60
120 Rombodrica P a = b c = = 90 = 60 120 Cbica P, I, F a = b = c =
= = 90
Tabla 2.2
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2.5 ORIGEN DE LA RED Es un punto de la red elegido como punto
inicial en la descripcin de una red.
Puede elegirse en cualquier posicin de la estructura cristalina
y no necesita coincidir con
ningn tomo o in.
2.6 CELDA ELEMENTAL Es un paraleleppedo limitado por las
traslaciones fundamentales no coplanares en una red y
constituye la parte ms pequea caracterstica del cristal.
Celda elemental primitiva Celda que contiene un nudo de la
red.
Celda elemental mltiple Celda que contiene ms de un nudo de la
red.
Ejemplos de ellas pueden observarse en la Figura 2.5.
FIGURA 2.5.- Las celdas A y B son primitivas y la B es
mltiple
Las celdas elementales (Tabla 2.3) son 14 y se denominan como
las correspondientes redes
de Bravais
Celda Tipo Parmetros de celda
Triclnica
Primitiva P
a b c 90
A
BC
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Monoclnic
Primitiva P
Centrada en las bases A (B,C)
a b c = = 90
Rmbica
Primitiva P Centrada en interior I Centrada en las cF
Centrada en bases A (B,C)
a b c = = = 90
Tetragonal
Primitiva P
Centrada en el interior I
a = b c = = = 90
Hexagonal
Primitiva P
a = b c = = 90 = 60 120
Rombodri
Primitiva P
a = b c = = 90 = 60 120
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Cbica
Primitiva P Centrada en el interi Centrada en las cara
a = b = c = = = 90
Tabla 2.3
2.7 CELDA UNIDAD
Celda apropiada primitiva o mltiple, seleccionada de acuerdo a
unos requisitos.
2.8 PARMETROS DE CELDA
Son las traslaciones fundamentales a, b, c y los ngulos entre
ellas , y (ver Figura 2.6)
FIGURA 2.6
2.9 VOLUMEN DE CELDA
Viene dado por la expresin:
Ecuacin 2.1
2.10 PROPIEDADES DE LA RED CRISTALINA La red debe caracterizarse
por las mismas propiedades que los materiales en estado
cristalino, ya que stos pueden tratarse con el concepto de
red.
Dichas propiedades son: o Homogeneidad
En una red todos los nudos son equivalentes, no se distinguen
entre ellos. La
distribucin de nudos alrededor de uno dado es la misma,
independientemente del
a
c
b
coscos2cos2cos2cos2cos1abcV +=
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nudo tomado como referencia (en la Figura 2.7 el nudo 0
coloreado en azul o el
coloreado en rojo).
FIGURA 2.7
o Anisotropa En la red todos los nudos son equivalentes, pero la
distancia de un nudo a sus
vecinos no es constante, depende de la direccin que se tome para
medir dicha
distancia.
Ejemplo: La distancia desde el origen O a cualquier otro nudo a
su alrededor
(A, B o C) no es la misma.
OAOC
FIGURA 2.8
o Simetra
La aplicacin de una traslacin (simetra trivial) b a un nudo O
tomado como origen
genera otros nudos 1, 2 equivalentes a l (ver Figura 2.9).
FIGURA 2.9
O A
B C
O 1 2
b b
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2.11 EL CRISTAL COMO REDES PARALELAS INTERPENETRADAS El cristal,
en realidad, est formado por un nmero infinito de redes paralelas y
de
dimensiones constantes, interpenetradas entre s.
En el NaCl (Figura 2.10 a) se pueden considerar dos redes: 1.
una la formada a partir de los iones Cl-, tomando este in como
motivo de repeticin (Figura 2.10 b).
2. la otra formada a partir de los iones Na+, tomando este in
como
motivo de repeticin (Figura 2.10 c).
o Ambas son idnticas en dimensiones y son paralelas, pero una de
ellas est desplazada 1/2 de la traslacin, en las tres dimensiones
del
espacio, respecto de la otra (Figura 2.10 d y e).
Sin embargo, el cristal queda definido por una nica red, tanto
dara describirlo mediante la red de los iones cloro (nudos y
entramado verde), como la de los iones sodio (nudos y
entramado marrn).
a b
c d e
FIGURA 2.10
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2.12 ELEMENTOS DE LA RED: NUDO Es un punto equivalente por la
traslacin. El nudo de la red cristalina sustituye al motivo que se
repite en la estuctura cristalina.
o En la red cristalina existen puntos, adems de los nudos. Los
puntos no son equivalentes y se sitan entre los nudos.
o Los tomos en la estructura cristalina pueden ocupar la posicin
de un nudo o de un punto, considerando el concepto de red.
La posicin de un nudo puede especificarse mediante una traslacin
t:
t = ma + nb + pc
Ecuacin 2.2
m, n y p son las coordenadas de un nudo de la red referidas a un
nudo que se toma
como origen del sistema de coordenadas, definido por a, b y
c.
La posicin de un punto B cualquiera como el de la Figura 2.11 se
puede especificar por el vector:
ab
A
Bri
r
ri 2a+4b
FIGURA 2.11
r = ri + ma + nb + pc
Ecuacin 2.11
r es la distancia entre el punto B y el origen.
ri es la distancia entre el punto A y el origen. Viene definida
por:
ri = xia + yib + zic Ecuacin 2.4
xi, yi y zi son las coordenadas del punto definido por ri y son
tres nmeros positivos
menores que la unidad. Todos los puntos definidos por ri ocupan
un espacio
limitado por las traslaciones fundamentales, es decir,
constituyen la celda elemental.
Este espacio llena todo el espacio cristalino aplicndole las
traslaciones
fundamentales.
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El punto B queda especificado por el vector
r = ri + (2a+4b) Ecuacin 2.5
2.13 ELEMENTOS DE LA RED: FILA RETICULAR Es una disposicin de
nudos a lo largo de una direccin.
o Una direccin de red es, por lo tanto, una direccin que
contiene nudos.
o Cada par de nudos de la red define una fila reticular.
SMBOLO DE FILA RETICULAR
Son las coordenadas p, q y r de un nudo de la red, contiguo a
otro nudo tomado como origen o se escriben entre corchetes, [pqr],
o describen totalmente a la fila reticular.
Se denominan filas fundamentales de la red a las filas con
smbolos [100], [010] y [001],
FIGURA 2.12
o son paralelas respectivamente a las traslaciones fundamentales
a, b y c. o Definen las aristas de la celda elemental de la red
2.14 ELEMENTOS DE LA RED: PLANO RETICULAR Es una disposicin de
nudos a lo largo de dos direcciones.
Cada tro de nudos no dispuestos en una misma direccin de la red
definen un plano reticular.
SIMBOLO DE UN PLANO RETICULAR
Parmetros de Weiss
Son las intersecciones de un plano reticular con las
traslaciones fundamentales.
b
a
[010
[100
[230
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ndices de Miller
Serie de tres nmeros enteros positivos o negativos entre
parntesis, (hkl), que se refieren a las intersecciones de un plano
con las traslaciones fundamentales.
o Cuando aparece un nmero negativo se sita una rayita encima de
l; ejemplo:
y se lee uno menos, dos, cero.
o Si aparecen nmeros de 2 dgitos se ponen separados por comas;
ejemplo: (10,2,2). El plano ms prximo al origen de una familia de
planos y que pase por tres nudos, uno en
cada fila fundamental de la red, es aqul cuyas coordenadas
son:
A=Ha, B=Kb y C=Lc
donde:
H, K y L son las intersecciones del plano con las filas
fundamentales,
es decir los parmetros de Weiss
a, b y c son las traslaciones fundamentales.
El nmero de planos existentes entre el plano con coordenadas A,
B y C y el
origen de la red viene dado por el producto HxKxL=N.
Los cocientes N/H=h, N/K=k y N/L=l, son nmeros enteros y se
denominan ndices
de Miller. Son los inversos de los parmetros de Weiss.
En la Figura 2.13 se muestra el plano AB, paralelo al eje
cristalogrfico c, por lo
que sus ndices de Miller son (320)
Los planos cristalinos que cortan a los tres ejes de coordenadas
de la red se simbolizan por (hkl).
o El ms sencillo es el (111).
FIGURA 2.13
b
a
[100
[010
A
B
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Los planos que cortan a dos ejes y son paralelos al tercero se
simbolizan por (hk0), (h0l) y (0kl), segn que sean parelos al eje
c, al b o al a, respectivamente.
o Los ms sencillos son los planos (110), (101) y (011). Los
planos que cortan a un eje y son paralelos a los otros dos se
simbolizan por (h00), (0k0)
y (00l).
o Los planos de smbolo ms sencillo son (100), (010) y (001) y se
les denomina planos fundamentales.
Definen las caras de la celda elemental de la red. Los planos
con mayor densidad de nudos son los que tienen ndices de Miller ms
simples
y constituyen caras cristalinas.
LEY DE NDICES RACIONALES
Ya desde antiguo, al estudiar los cristales se descubri que para
determinadas caras los
ndices podan expresarse por nmeros enteros simples o por ceros.
Se trata de la ley de los ndices
racionales.
2.15 ESPACIADO RETICULAR Es la distancia entre los planos de una
familia de planos (ver Figura 2.14). Se mide sobre la perpendicular
a los planos de la familia. El espaciado de una familia de planos
(hkl) se simboliza por dhkl y es caracterstico de cada
familia.
FIGURA 2.14
Est relacionado con las constantes reticulares y con los ndices
de Miller mediante una expresin, que para el caso ms general
es:
a
(100)
(010)
d 100
d010
b
-
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15
Ecuacin
2.16 PLANOS TAUTOZONALES
Conjunto de planos no paralelos que se caracterizan por tener
una arista comn, es decir, son paralelos a una direccin
cristalogrfica denominada eje de zona y cuyo smbolo es [uvw].
En la Figura 2.15 pueden observarse algunas familias de planos
paralelas al eje c (perpendicular al plano de la pantalla).
FIGURA 2.15
Tambin se puede observar que cada conjunto de planos paralelos,
idnticos e igualmente distanciados tienen el mismo smbolo y la
misma densidad reticular.
La condicin para que un plano (hkl) sea paralelo a un eje [uvw]
viene dada por la ley de zonas de Weiss:
hu + kv + lw = 0
Ecuacin 4
(010)
( 1 1 0 )
(110)
(100)
1 1 1 2
2
2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
/ / ( cos cos cos cos cos cos ) .
.
( / )sen ( / )sen ( / )sen
( / ) ( cos cos cos )
( / ) ( cos cos cos )
( / ) ( cos cos cos )
d
h a k b l ckl bc hl ac hk ab
hkl = + + +
+ ++ ++
-
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16
Si dos planos (hkl) y (h'k'l') pertenecen a la misma zona o lo
que es lo mismo, son paralelos a la misma direccin cristalogrfica
[uvw] debe cumplirse:
hu + kv + lw = 0
h'u + k'v + l'w = 0
Ecuacin 5
Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene el smbolo del eje de
zona.
u = hl' - lk' v = lh' - hl' w = hk' - kl'
Ecuacin 6
2.17 CARA CRISTALINA Es la manifestacin en el cristal de planos
que se caracterizan por poseer la mayor densidad
reticular plana y como ndices de Miller nmeros sencillos.
Ejemplo: En la Figura 2.16 pueden apreciarse diferentes
superficies planas numeradas,
limitando el cristal de pirita, que son caras cristalinas.
FIGURA 2.16
2.18 ARISTA DE UN CRISTAL Es la manifestacin en el cristal de
una fila reticular que se caracteriza por poseer la mayor
densidad reticular lineal y tener el smbolo de eje ms
sencillo.
En la imagen de cristal de yeso (Figura 2.17) se ha remarcado
con trazo discontinuo rojo
alguna arista.
-
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17
FIGURA 2.17
2.19 DENSIDAD RETICULAR Densidad reticular lineal
Es el nmero de nudos por unidad de longitud.
Es el inverso del mdulo del vector de traslacin.
Las filas de ndices de Miller ms sencillos son las que tienen
mayor densidad de nudos.
Estas son: [100], [010] y [001]
Densidad reticular plana Es el nmero de nudos por unidad de
superficie.
Es el inverso del rea,
1/Shkl
Ecuacin 7
Shkl = Vhkl/dhkl
Ecuacin 8
Los planos de mayor densidad reticular son los que tienen un
espaciado mayor.
Densidad reticular espacial Es el nmero de nudos por unidad de
volumen. Es el inverso del volumen,
hkl = 1/Vhkl Ecuacin 9
hkl = 1/Shkl = dhkl/V hkl Ecuacin 10
-
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18
2.20 RED RECPROCA Es, como su nombre indica, la recproca de la
red cristalina o red directa.
o Se obtiene de la siguiente manera (ver Figura 2.15): Se toma
un punto cualquiera de la red directa como origen de la nueva red,
se trazan las perpendiculares a los planos fundamentales de la red
directa -(100),
(010) y (001)- es decir, se trazan los espaciados interplanares
d100, d010 y d001
que se toman como ejes de coordenadas de la red recproca.
Sobre cada uno de ellos se toman traslaciones proporcionales al
inverso del espaciado de los planos correspondientes
Los parmetros de red se simbolizan con * a* = 1/d100
b* = 1/d010
c* = 1/d001
Ecuacin 11
o El eje a*, simbolizado por [100]* es perpendicular al plano
(100) de la red directa. o El eje b*, simbolizado por [010]* lo es
del plano (010). o El eje c*, simbolizado por [001]* del plano
(001).
FIGURA 2.15
-
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19
De manera general, cada una de las filas reticulares de la red
recproca es perpendicular a
un plano reticular especfico de la red directa.
La red recproca tiene una celda elemental definida por las
traslaciones fundamentales recprocas, anteriormente definidas.
Su volumen es el inverso del volumen de la celda elemental de la
red directa. Si a, b y g son los ngulos fundamentales de la red
directa y A, B y C son los ngulos
diedros entre los planos fundamentales de dicha red, los ngulos
fundamentales de la red
recproca correspondientes vienen dados por:
* = 180 - A * = 180 B
* = 180 - C Ecuacin 12
Las relaciones entre las traslaciones de la red directa y la red
recproca son: a* = (1/V)bcsen b* = (1/V)casen
c* = (1/V)absen Ecuacin 13
2.21 RELACIONES ENTRE LA RED DIRECTA Y LA RECPROCA Una de las
caractersticas de la red recproca es poseer la misma simetra que la
red directa,
cuando se considera la mtrica de la red.
A cada red directa le corresponde una sla red recproca. Toda red
recproca posee la misma simetra que la red directa de la que
procede. Una red recproca deriva de la red directa primitiva por
giro de 90 alrededor del nudo
tomado como origen.
Si la red directa es de caras centradas, su recproca ser
centrada en el interior. Si la red directa es centrada en el
interior, su recproca ser de caras centradas. Si la red directa es
centrada en las bases, su recproca tambin lo es. Si la red directa
es primitiva su recproca tambin lo es. La red directa es homognea,
por el contrario, la red recproca no lo es. En la red directa
todos los nudos son equivalentes y el origen puede tomarse en
cualquier nudo, mientras que
en la red recproca existe un origen y los nudos no son
intercambiables.
-
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20
La red recproca est formada por familias de filas reticulares,
que son perpendiculares a planos de la red directa, y por familias
de planos reticulares que son perpendiculares a filas
reticulares de la red directa.
Los planos de una misma familia en la red recproca no son
equivalentes entre s, al contrario de lo que ocurre en la red
directa.
Existen 14 tipos de redes directas (redes de Bravais) y 14 tipos
de redes recprocas.
-
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1
CRISTALOGRAFA GEOMTRICA TEMA 3
SIMETRA y REDES
NDICE
3.1 Simetra contenida en las redes
3.2 Concepto de simetra
3.3 Operaciones de simetra
3.4 Elementos de simetra
3.5 Traslacin
3.6 Rotacin y eje de rotacin
3.7 Inversin
3.8 Reflexin y plano de reflexin
3.9 Rotacin inversin y eje de rotacin inversin
3.10 Rotacin reflexin y eje de rotacin reflexin
3.11 Simetra con traslacin asociada: Reflexin-
traslacin (Deslizamiento)
3.12 Simetra con traslacin asociada: Rotacin-
-
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3.1 SIMETRA CONTENIDA EN LAS REDES El cristal es simtrico porque
es peridico. Su simetra se puede deducir como
consecuencia de la teora de las redes cristalinas.
La traslacin es la simetra trivial de las redes. o Es la
distancia ms corta entre dos nudos contiguos en cada una de las
tres
dimensiones del espacio.
El centrado es una operacin propia de la red. o Resulta de aadir
nuevos nudos en el centro de cada paralelogramo generador de
la red plana.
o Slo se considera posible cuando la red resultante es
morfolgicamente diferente de la original.
o Slo se pueden centrar las redes rectangulares (Figura 3.1) o
las rmbicas (Figura 3.2).
FIGURA 3.1
FIGURA 3.2
RELACIONES ENTRE ELEMENTOS DE LA RED Y OPERADORES DE SIMETRA
El nmero y tipo de operadores que aparecen en una red dependen
de la mtrica de aqulla.
-
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3
El principio de homogeneidad reticular hace que todo elemento de
simetra que pasa por un nudo se repita paralela e indefinidamente
en cada nudo de la red.
Todo nudo de la red es un centro de simetra. Todo eje de simetra
es una fila reticular. Todo plano de simetra es un plano reticular.
Perpendicularmente a todo eje de simetra existe una familia de
planos reticulares. Todo plano reticular que es plano de simetra
tiene una familia de filas reticulares
perpendicular a l y cada fila reticular de esta familia es un
eje de simetra.
Toda fila reticular que es un eje de orden par (2, 4 o 6) tiene
perpendicularmente a ella un plano reticular que es un plano de
simetra.
Una fila reticular que sea eje de simetra de orden 4 6 tiene 4 6
familias de filas perpendiculares a ella que son ejes binarios y 4
6 familias de planos de simetra que
contienen a dicha fila.
La interseccin de un eje de orden par sobre un plano de simetra
que es perpendicular a dicho eje, es un centro de simetra.
3.2 CONCEPTO DE SIMETRA Es una propiedad que hace que los
objetos aparezcan indistinguibles despus de
haberlos sometido a alguna transformacin en el espacio.
Matemticamente, la simetra corresponde a un conjunto de
transformaciones lineales que hacen unas direcciones equivalentes a
otras.
La definicin de equivalencia, desde el punto de vista matemtico
incluye las condiciones de la:
identidad a = a
reflexividad si a = b, entonces b = a
transitividad si a = b y b = c, entonces a = c
3.3 OPERACIN DE SIMETRA
Es una transformacin que cuando se somete a un objeto le lleva a
una configuracin indistinguible de la original.
-
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4
OPERACIONES DE SIMETRA EN EL PLANO
Traslacin Rotacin Inversin Reflexin Reflexin-traslacin
(deslizamiento)
OPERACIONES DE SIMETRA EN EL ESPACIO
Traslacin Rotacin Inversin Reflexin Rotacin-inversin
Rotacin-reflexin Reflexin-traslacin (deslizamiento)
Rotacin-traslacin
3.4 ELEMENTO DE SIMETRA Es un operador que permite realizar la
operacin de simetra. Existen varios tipos de elementos de
simetra.
ELEMENTOS DE SIMETRA EN EL PLANO
Vector de traslacin Punto de rotacin Centro Lnea de simetra Lnea
de deslizamiento
ELEMENTOS DE SIMETRA EN EL ESPACIO
Vector de traslacin Eje de rotacin Centro Plano
-
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Eje de rotacin-inversin Eje de rotacin-reflexin Plano de
deslizamiento Eje helicoidal
3.5 TRASLACIN Es la simetra trivial de las redes. Es la
distancia ms corta entre dos nudos contiguos en cada una de las
tres
dimensiones del espacio.
FIGURA 3.3.- Elemento decorativo de la mezquita de Crdoba
3.6 ROTACIN y EJE DE ROTACIN
EN EL ESPACIO
Operacin de simetra que consiste en un giro de 360/n alrededor
de un eje de simetra eje de rotacin (que es su correspondiente
elemento de simetra).
El orden de ese eje es n, pudiendo ser 1, 2, 3, 4 y 6. Para
simbolizar los ejes de rotacin se usan diversas notaciones, aunque
las ms
utilizadas son la de Hermann Mauguin o notacin internacional y
la de Schoenflies
(Tabla 3.1).
Hermann Mauguin Schoenflies eje giro grados ()
1 C1 monario(identidad) 360 2 C2 binario 180 3 C3 ternario 120 4
C4 cuaternario 90 6 C6 senario 60
TABLA 3.1
En el plano los operadores de la operacin rotacin son puntos de
rotacin y el orden, n, pude ser 1, 2, 3, 4 y 6.
A esta operacin se la denomina operacin propia y a los
operadores ejes de rotacin propia.
Un eje de rotacin de orden n genera un total de n
operaciones.
-
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Un eje de rotacin que implica giros de 360/n tambin implica
giros de mx(360/n), donde m puede valer 1, 2, 3, 4, 5 y 6, es
decir:
giros que implica:
360/1 1x(360/1) 360/2 1x(360/2) 2x(360/2) 360/3 1x(360/3)
2x(360/3) 3x(360/3) 360/4 1x(360/4) 2x(360/4) 3x(360/4) 4x(360/4)
360/6 1x(360/6) 2x(360/6) 3x(360/6) 4x(360/6) 5x(360/6)
6x(360/6)
TABLA 3.2
EN EL PLANO
Operacin de simetra que consiste en un giro de 360/n alrededor
de un punto de simetra punto de rotacin (que es su correspondiente
elemento de simetra).
El orden de ese punto es n, pudiendo ser 1, 2, 3, 4 y 6. En la
Tabla 3.3 se muestra la notacin de Hermann-Mauguin para los puntos
de
rotacin.
Hermann Mauguin eje giro
grados ()
1 monario(identidad) 360 2 binario 180 3 ternario 120 4
cuaternario 90 6 senario 60
TABLA 3.3
Punto de
rotacin Figura
Punto de
rotacin Figura
monario
cuaternario
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Punto de
rotacin Figura
Punto de
rotacin Figura
binario
senario
ternario
TABLA 3.4.- Puntos de rotacin
3.7 INVERSIN Es la operacin que hace que un objeto con
coordenadas iniciales x, y z se transforme
en otro con coordenadas -x -y -z.
El elemento es el centro de simetra. Equivale a la rotacin
inversin de orden 1, cuyo smbolo, segn la notacin de
Hermann-Mauguin es: . Una imagen esttica de la actuacin de la
inversin puede
observarse en la Figura 3.3.
FIGURA 3.4.- Inversin
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RESUMEN DE LAS OPERACIONES DE SIMETRA
Operacin de simetra Giros Ejes de rotacin Notas
Rotaciones propias 360/n 1, 2, 3, 4 y 6 1 es la identidad
Rotaciones impropias
360/n e inversin
simultnea 1 , 2 , 3 , 4 y 6
1 equivalente a centro de simetra 2 equivalente a plano de
simetra 3 equivalente a eje ternario + centro
de simetra 6 equivalente a eje ternario ms plano
perpendicularTABLA 3.5
3.8 REFLEXIN y PLANO DE REFLEXIN de SIMETRA
EN EL ESPACIO La reflexin es la operacin de simetra que hace que
todo motivo u objeto que
aparece a un lado del elemento de simetra, denominado plano de
simetra o de
reflexin, aparezca al otro lado de dicho plano y a la misma
distancia.
Actuacin del plano de reflexin. Smbolo del plano de simetra
notacin de Hermann Mauguin es m. notacin de Schoenflies es s,
o sh plano horizontal perpendicular al eje de rotacin principal
(que es el que tiene el mayor orden)
o sn plano vertical que incluye al eje de rotacin o sd plano
diagonal que incluye al eje de rotacin principal y divide en dos
al
ngulo entre dos ejes C2 que son normales al eje de rotacin
principal.
EN EL PLANO
La reflexin es la operacin de simetra que hace que todo motivo u
objeto que aparece a un lado del elemento de simetra, denominado
lnea de simetra o de
reflexin, aparezca al otro lado de dicha lnea y a la misma
distancia.
Actuacin de la lnea de simetra o de reflexin. Smbolo de la lnea
de simetra es m
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3.9 ROTACIN INVERSIN y EJES DE ROTACIN INVERSIN Es una operacin
de simetra que consiste en un giro de 360/n y una inversin
alrededor de un elemento de simetra denominado eje de rotacin
inversin. El orden
de ese eje es n, pudiendo ser 1, 2, 3, 4 y 6.
El smbolo de estos ejes para la notacin ms usada,
Hermann-Mauguin o internacional, es el siguiente:
1 que se lee uno con raya
2 que se lee dos con raya
3 que se lee tres con raya
4 que se lee cuatro con raya
6 que se lee seis con raya
En la Tabla 3.6 puede observarse la notacin de Hermann-Mauguin
de estos ejes, as
como la de Schoenflies, su denominacin y el nmero de grados de
giro de los mismos
Hermann Mauguin Schoenflies eje giro
grados ()
1 C1 monario(identidad) 360
2 C2 binario 180 3 C3 ternario 120 4 C4 cuaternario 90
6 C6 senario 60 TABLA 3.6.- Tabla resumen
Nota: debido a las dificultades de utilizar los smbolos
anteriores con lenguaje html
que es el usado normalmente en internet se utilizan normalmente
otros que los
sustituyen: -1, -2, -3, -4, -6
La equivalencia con la rotacin reflexin, que no existe en la
notacin de Hermann-Mauguin, es la que se muestra en la Tabla
3.7
Rotacin-inversin Hermann-Mauguin
Rotacin-reflexin Schoenflies
1 S2 2 3 S6 4 S4 6 S3
TABLA 3.7
-
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El eje 1 es el centro de simetra El eje 2 equivale al plano de
simetra, m
FIGURA 3.5.- Planos de simetra verticales y horizontales
El eje 3 equivale al eje 3 y al centro de simetra El eje 6
equivale al eje 3 y a un plano m perpendicular a l (3/m).
Ejes de
rotacin-
inversin
Figura
Ejes de
rotacin-
inversin
Figura
Monario 1
Cuaternario
(-4)
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Ejes de
rotacin-
inversin
Figura
Ejes de
rotacin-
inversin
Figura
Binario 2 Senario (-
6)
Ternario 3
TABLA 3.8.- Ejes de rotacin-inversin
3.10 ROTACIN REFLEXIN y EJES DE ROTACIN REFLEXIN Consiste en
giros de 360/n y reflexin
n es el orden de giro y su valor puede ser 1, 2, 3, 4 y 6.
Ejes de rotacin reflexin son los elementos de simetra que
permiten realizar esta operacin.
Su smbolo, segn la notacin de Schoenflies es, S2, , S6, S4, S3
No se utiliza en la notacin de Hermann Mauguin, pus se usa la
rotacin inversin y
los ejes de rotacin inversin.
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Existe equivalencia entre ambas notaciones, como se muestra en
la Tabla 3.9. Rotacin-inversin Hermann-Mauguin
Rotacin-reflexinSchoenflies
1 S2 2 3 S6 4 S4 6 S3
TABLA 3.9
3.11 REFLEXIN-TRASLACIN (DESLIZAMIENTO)
EN EL ESPACIO El deslizamiento es una operacin de simetra que
consiste en una reflexin y una
traslacin.
El operador de simetra es el plano de deslizamiento. La
traslacin tiene que estar contenida en el plano de deslizamiento.
La distancia de la traslacin tiene que ser la mitad de la traslacin
unidad en dicha
direccin (Figura 3.6).
FIGURA 3.6.- Plano de deslizamiento
En la notacin de Hermann-Mauguin se distinguen los siguientes
planos de deslizamiento:
axial
diagonal
diamante
Nota: Las figuras reflejan proyecciones, por lo que el plano de
deslizamiento se observa como
una lnea, que es lo que se observa cuando se proyecta sobre el
plano coloreado en amarillo.
-
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EN EL PLANO
El deslizamiento es una operacin de simetra que consiste en una
reflexin y una traslacin.
El operador de simetra es la lnea de deslizamiento. La traslacin
tiene que estar contenida en la lnea de deslizamiento. La distancia
de la traslacin tiene que ser la mitad de la traslacin unidad en
dicha
direccin.
o axial o diagonal o diamante
PLANO DE DESLIZAMIENTO AXIAL
EN EL ESPACIO
Plano cuya componente de deslizamiento es paralela a un eje
cristalogrfico. Su longitud es la mitad del periodo de la traslacin
a lo largo de este eje. Se simboliza como a, b o c, segn que el
deslizamiento sea a lo largo de los ejes
cristalogrficos a, b o c, respectivamente.
En las Figuras 3.8 a 3.10 se muestra el efecto del plano de
deslizamiento axial segn
sea de un tipo u otro y en relacin a distintos planos
cristalinos de una celda rmbica (Figura
3.7).
FIGURA 3.7.- Planos cristalinos de una celda rmbica
-
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14
FIGURA 3.8.- Plano axial a perpendicular a plano cristalino
(001) y (010) respectivamente
de una celda rmbica
FIGURA 3.9.- Plano axial b perpendicular a plano cristalino
(001) y (100) respectivamente
de una celda rmbica
FIGURA 3.10.- Plano axial c perpendicular a plano cristalino
(100) y (010) respectivamente
de una celda rmbica
-
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EN EL PLANO
Lnea cuya componente de deslizamiento es paralela a uno de los
dos ejes cristalogrficos.
Su longitud es la mitad del periodo de la traslacin a lo largo
de este eje. Se simboliza como g.
Actuacin de la lnea de deslizamiento
PLANO DE DESLIZAMIENTO DIAGONAL
Plano cuya componente de deslizamiento es: (a+b)/2
(a+c)/2
(b+c)/2
Su smbolo es n.
FIGURA 3.11.- Plano de deslizamiento diagonal perpendicular a
plano cristalino (001) y
(100), respectivamente de celda rmbica
3.12 ROTACIN-TRASLACIN
Operacin que implica rotacin de orden 2, 3, 4 o 6 y traslacin
constante a lo largo del eje de rotacin.
-
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La rotacin se toma en el sentido contrario a las agujas del
reloj y la traslacin en sentido ascendente.
El operador que permite realizar la operacin es el eje
helicoidal. El nmero de ejes helicoidales existentes es n-1, siendo
n el orden del eje.
As, los ejes helicoidales existentes son los que se muestran en
la Tabla 3.10.
Orden del eje
Ejes helicoidales
2 213 31 324 41 42 436 61 62 63 64 65
TABLA 3.10
Ejes helicoidales enantiomorfos (cada uno es la imagen especular
del otro) 31 y 32
41 y 43
61 y 65
62 y 64
En la Tabla 3.11 se muestra el smbolo de los diferentes ejes
helicoidales en la
notacin de Hermann-Mauguin, los grados de giro y la traslacin
que implican
Tipo de eje helicoidal Smbolo Rotacin () Traslacin
Binario 21 + 180 1/2[uvw]
Ternario 31 32 + 120 1/3[uvw] 2/3[uvw]
Cuaternario 41 42 43
+ 90 1/4[uvw] 3/4[uvw] 1/2[uvw]
Senario
61 62 63 64 65
+ 60
1/6[uvw] 5/6[uvw] 1/3[uvw] 2/3[uvw] 1/2[uvw]
TABLA 3.11
-
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Ejes Figura Ejes Figura
Binario 21 Ternario 31
Ternario 32
TABLA 3.12.- Ejes helicoidales.
-
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1
CRISTALOGRAFA GEOMTRICA TEMA 4
SIMETRA PUNTUAL
NDICE
4.1 Introduccin
4.2 Grupos puntuales y clases cristalinas
4.3 Reglas que condicionan la presencia de varios
elementos de simetra en un mismo grupo puntual
4.4 Sistemas cristalinos
4.5 Smbolo de los grupos puntuales
4.6 Operaciones de simetra de los grupos puntuales
4.7 Grupos puntuales planos y grupos puntuales de
las redes planas
4.8 Grupos puntuales tridimensionales y grupos
puntuales de las redes tridimensionales
4.9 Formas cristalinas
4.10 Concepto de zona y eje de zona
4.11 Haz de normales
Proyecciones cristalogrficas
4.12 Esfera de polos
4.13 Proyeccin estereogrfica
4.14 Proyeccin estereogrfica de los ejes
cristalogrficos, las zonas y polos de las caras de
los distintos sistemas cristalinos
4.15 Clculos cristalogrficos
-
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2
4.1 INTRODUCCIN La morfologa cristalina ha proporcionado los
datos experimentales para el desarrollo
de la Cristalografa matemtica hasta el descubrimiento en 1912 de
la difraccin de los rayos
X por los cristales.
LEY DE LOS NGULOS DIEDROS (Rom de lIsle, 1772-1783) Los ngulos
diedros que forman las caras equivalentes de diversos cristales de
una
sustancia son iguales y caractersticos de ella, sea cual sea la
forma del cristal (ver Figura 4.1).
Figura 4.1.- Corindn mostrando diferentes hbitos en los que se
cumple que el ngulo entre
las caras r y n de las figuras del centro y de la derecha son
iguales. Tambin son iguales el
ngulo entre las caras r y de los cristales de la derecha y del
centro.
LEY DE LA SIMETRA (Hay, 1803): Todos los cristales de una misma
sustancia poseen la misma simetra, sean cuales sean
las caras que presenten (ver Figura 4.2).
Figura 4.2.- Cristales de la misma especie cristalina mostrando
diferentes hbitos pero con la
misma simetra cbica.
r
r
c
a aa
n
n n
nn
n
c cr r
rr
n nn
n n
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
3
LEY DE LA RACIONALIDAD DE LOS NDICES (Hay, 1781): Las aristas
interseccin de tres caras de un cristal permiten definir un sistema
de ejes
de coordenadas. La distancia a la que una cuarta cara corta a
cada eje se le considera la unidad
de medida sobre este eje. Todas las restantes caras del cristal
cortan a dichos ejes a unas
distancias cuya razn con las longitudes definidas como unidades
son nmeros racionales y
en general sencillos (ver Figura 4.3).
Figura 4.3.- Cara cristalina (111) cortando a las traslaciones
fundamentales a, b y c a la
distancia unidad.
4.2 GRUPOS PUNTUALES Y CLASES CRISTALINAS Un grupo puntual se
define como el conjunto de operaciones de simetra existentes en
una red cristalina.
Tiene todas las caractersticas de un grupo matemtico. Existe un
punto en el espacio que es equivalente a s mismo, el cual se
toma,
normalmente, como origen de coordenadas.
A los grupos puntuales se les llama muchas veces clases
cristalinas. Se les da diversos nombres:
o algunos derivan de las formas geomtricas que poseen la simetra
del grupo puntual
o otros nombres describen las caractersticas del grupo. o en la
actualidad se usa, cada vez ms, un smbolo en vez de un nombre
para
referirse a los distintos grupos puntuales.
Grupos puntuales planos
Grupos puntuales tridimensionales
a bc
a
b
c
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
4
Orden del grupo es el nmero de elementos que lo constituyen. Si
el grupo tiene n elementos, el grupo es de orden n.
Un subgupo se define como el conjunto de elementos de un grupo
que por s solos cumplen las condiciones de grupo.
CARACTERSTICAS QUE DEBE CUMPLIR UN GRUPO MATEMTICO
Cualquier combinacin de dos o ms elementos (u operaciones) debe
ser equivalente a un elemento que pertenezca tambin al grupo.
o La combinacin es una multiplicacin, es decir, la realizacin
sucesiva de operaciones de simetra.
o Esta operacin puede expresarse as: AB = C
Donde:
A, B y C son elementos del grupo, al que consideramos finito,
pus el
nmero de elementos de simetra es finito.
o En el grupo puntual 2/m, 2 y m son elementos que pertenecen al
grupo y su
combinacin es equivalente a otro elemento 1 , que tambin
pertenece al
grupo.
o En la figura 4.4 A el punto 2 se obtiene aplicando al punto 1
la reflexin y a continuacin el eje 2.
Figura 4.4 A.- La combinacin de la reflexin (aplicada al punto
1) y despus la rotacin
binaria (aplicada al punto 1 reflejado) origina el punto 2. El
mismo resultado se obtiene si se
aplica al punto 1 la inversin. Por lo tanto la lnea de simetra,
la rotacin binaria y el punto
de rotacin- inversin monaria pertenecen al grupo.
o En la figura 4.4 B, el punto 2 se obtiene aplicando al punto 1
el centro de simetra. La combinacin del plano m y el eje 2 sobre el
punto 1 es
m2
1
2
-
Celia
Marco
s Pasc
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5
equivalente a la actuacin del centro de simetra sobre el punto
1.
Figura 4.4 B
En el grupo debe existir un elemento tal que pueda combinarse
con todos los dems elementos del grupo, dejndolos a todos
inalterados.
Se trata del eje monario o la identidad. Esta propiedad puede
expresarse as:
AE = A
Donde:
A es cualquier elemento del grupo
E es la identidad o el eje monario.
La combinacin del elemento identidad con todos los dems
elementos debe ser conmutativa, es decir:
AE = EA = A
Figura 4.5.- La combinacin de la reflexin con la rotacin monaria
origina la reflexin y la
combinacin de la rotacin monaria y la reflexin origina,
igualmente, la reflexin.
La combinacin de elementos debe ser asociativa. Significa que
debe cumplirse la siguiente relacin:
A(BC) = (AB)C
Donde:
A, B y C son elementos del grupo.
12
m1=1m=m
1
B
2
1
-
Celia
Marco
s Pasc
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6
Cada uno de los elementos del grupo posee el elemento inverso,
de forma que el producto del elemento por su inverso es igual al
elemento identidad.
AX = E
Donde:
A es un elemento del grupo,
X es su elemento inverso
E es la identidad.
Adems, si X es el inverso de A, A debe ser el inverso de X:
AX = XA = E
Cuadro 4.1
CLASES CRISTALINAS
Haciendo clic en el correspondiente sistema cristalino:
Sistema cristalinoTriclnico Monoclnico Rmbico Rombodrico
Tetragonal Cbico Hexagonal
Tabla 4.1
Se podrn observar dos tablas (Tabla 4.2 y Tabla 4.3).
En la primera (Tabla 4.2) aparece el siguiente contenido:
Clase cristalina Ejes de simetra Planos
simetra
Centro
simetra Smbolo Hermann-Maugin
2 3 4 6
Tabla 4.2
haciendo clic en cada clase cristalina accedes a un applet
JCrystal que muestra un ejemplo.
Puedes hacer uso de la ayuda para manejarlo haciendo clic en el
siguiente botn de ayuda
que se muestra a continuacin y que tambin se encuentra en cada
applet
En la segunda (Tabla 4.3) podrs observar las formas generales,
especiales y la
proyeccin estereogrfica de la forma general de cada una de las
clases cristalinas del
correspondiente sistema cristalino, como aparecen en las Tablas
Internacionales de
Cristalografa.
-
Celia
Marco
s Pasc
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7
Clase Formas especiales Formas generales Proyeccin
estereogrfica
Smbolo abreviadoSmbolo completo
Nombre y notacin de las
formas
Nombre de las formas y notacin
de todas
Punto: cara hemisferio superior Crculo: cara hemisferio inferior
Proyeccin elementos de simetra: Centro: Planos: lneas gruesas
Rotacin propia: 2 3 4 6 Rotacin impropia: -3 -4 -6
Tabla 4.3
Cuadro 4.2
4.3 REGLAS QUE CONDICIONAN LA PRESENCIA DE VARIOS
ELEMENTOS DE SIMETRA EN UN MISMO GRUPO PUNTUAL 1. Si existe un
eje de rotacin de orden par y un plano de reflexin perpendicular a
l,
existe un centro de simetra en su interseccin.
2. Si una serie de planos de simetra se cortan en un eje de
simetra, existen tantos planos
como el orden del eje.
3. Si un eje de rotacin de orden n tiene ejes binarios
perpendiculares a l, habr tantos
ejes binarios como sea el orden del eje.
4. Si existe un eje binario perpendicular a un eje de rotacin
inversin, cuyo orden n es
par, existen n/2 planos que intersectan con el eje y n/2 ejes
binarios perpendiculares a
l.
4.4 SISTEMA CRISTALINO Se define como el conjunto de grupos
puntuales compatibles con las redes de Bravais.
En el siglo pasado se agrupaban los grupos puntuales en unas
clases que la mayora de
los autores denominan sistemas cristalinos, aunque tambin se han
usado los trminos de
singona y tipo cristalino.
-
Celia
Marco
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8
Se dice que dos o ms grupos puntuales pertenecen al mismo
sistema cristalino si
admiten las mismas redes de Bravais. De esta manera aparecen 7
sistemas cristalinos.
Sistema cristalino Redes de Bravais Triclnico P
Monoclnico P, A (B,C) Rmbico P, I, F, A (B,C)
Tetragonal P, I Hexagonal P
Rombodrico P Cbico P, I, F
Tabla 4.4
CRUZ AXIAL
Son las constantes reticulares caractersticas de cada
sistema.
Sistema cristalino Cruz axial
Triclnico a b c Monoclnico a b c
Rmbico a b c Tetragonal a = b c Hexagonal a = b c
Rombodrico a = b c Cbico a = b = c
Tabla 4.5
NGULOS DE LA CRUZ AXIAL
Son los ngulos que forman las constantes reticulares.
Sistema cristalino ngulos de la cruz axial Triclnico 90
Monoclnico = = 90 Rmbico = = = 90
Tetragonal = = = 90 Hexagonal = = 90 = 60 120
Rombodrico = = 90 = 60 120 Cbico = = = 90
Tabla 4.6
-
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9
ELECCIN DE LA CRUZ AXIAL EN CADA SISTEMA CRISTALINO
Las cruces axiales de cada sistema coinciden con las 7 celdas de
Bravais primitivas (P). Se construyen de modo que los ejes de
coordenadas coincidan con los elementos de
simetra del material en estado cristalino.
Cuando existe un eje de rotacin de orden superior al binario, la
direccin del eje c se elige segn la direccin de dicho eje.
Las direcciones de los ejes a y b se eligen segn los ejes
binarios si existen. En el sistema rmbico, las direcciones de a, b
y c se eligen segn los ejes binarios
cuando existen.
En el sistema monoclnico la direccin de b se elige segn el nico
eje binario si existe.
En el sistema triclnico la eleccin de a, b y c se hace
seleccionando las tres aristas ms pequeas y no coplanarias.
Cuando se considera la simetra externa de un cristal, se
acostumbra a utilizar los ejes x, y y z.
Seran los ejes de coordenadas sobre los que se sitan las
constantes a, b y c. El eje z se orienta de arriba abajo El eje y
de derecha a izquierda El eje x de atrs hacia delante. La eleccin
de dichos ejes sobre el cristal se hara de la misma manera que para
la
eleccin de las direcciones de a, b y c
4.5 SMBOLO DE LOS GRUPOS PUNTUALES Existen dos tipos de
smbolos.
1. Notacin de Schoenflies, que es la ms antigua de todas.
Consiste de una letra mayscula, caracterstica del tipo del grupo
puntual, Puede ir acompaada de uno o ms subndices:
o Uno de ellos numrico o El otro una letra minscula o cuando
existen ambos se escriben en este orden
2. Notacin de Hermann Mauguin (o notacin internacional)
Consiste en sucesin de nmeros y la letra m (plano de reflexin)
Corresponden a los smbolos que representan los distintos elementos
de simetra.
-
Celia
Marco
s Pasc
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10
Pueden incluir: o Barra de quebrado o Denominador es la letra m
o Numerador es un nmero que hace referencia al orden de un eje de
rotacin.
Pueden simplificarse algunos smbolos si no da lugar a confusin
con otros smbolos
OBTENCIN DEL SMBOLO DE LOS GRUPOS PUNTUALES
Para obtener el smbolo de un grupo puntual, de acuerdo a la
notacin internacional,
hay que tener en cuenta las direcciones de simetra de la red
plana (Tabla 4.7) o
tridimensional (Tabla 4.8), segn que el grupo puntual sea plano
o tridimensional.
Red
Direcciones de simetra Posicin en notacin de Hermann-Mauguin
Punto de rotacin en el plano
Secundarias Terciarias Oblicua Rectangular
Cuadrada
Hexagonal
Tabla 4.7
Sistema cristalino
Direcciones de simetra Posicin en notacin de Hermann-Mauguin
Primarias Secundarias Terciarias
Triclnico Ninguna
Monoclnico eje nico b
eje nico c
Rmbico
Tetragonal
Hexagonal
Rombodrico
-
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Marco
s Pasc
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11
Rombodrico
Cbico
Tabla 4.8
o Se distinguen tres direcciones de simetra: primarias,
secundarias y terciarias.
En las redes triclnicas no hay ninguna direccin de simetra. En
las redes monoclnicas hay una direccin de simetra. En las redes
rombodricas hay dos direcciones de simetra, pero hay que tener
en cuenta que se elijan ejes hexagonales o rombodricos.
En las redes rmbicas, tetragonales, hexagonales y cbicas hay
tres direcciones.
o En el smbolo de los grupos puntuales de los sistemas triclnico
y monoclnico slo hace falta especificar el elemento de simetra
existente (1 o -1) en el triclnico y el
elemento de simetra existente en la nica direccin de simetra del
monoclnico.
o En el caso de los grupos puntuales del sistema rombodrico hay
que especificar los elementos de simetra existentes en las dos
direcciones de simetra.
o En el caso de los grupos puntuales de los sistemas rmbico,
tetragonal, hexagonal y cbico hay que especificar los elementos de
simetra existentes en las tres
direcciones de simetra.
o En el caso de que en alguna de las direcciones de simetra no
haya ningn elemento de simetra no se escribe nada.
Nota: Cuando hay ms de una direccin de simetra en la columna de
las direcciones
primarias, secundarias o terciarias para un determinado sistema
cristalino, significa que son
equivalentes.
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
12
Cuadro 4.3
4.6 GRUPOS PUNTUALES Y CLASES CRISTALINAS OPERACIONES DE SIMETRA
DE LOS GRUPOS PUNTUALES
Rotaciones propias o Rotaciones de orden 1, 2, 3, 4, 6
Rotaciones impropias o Rotaciones de orden 1 , 2 (reflexin), 3 ,
4 , 6
El nmero total de grupos puntuales es de 32. o Se les da
diversos nombres, algunos derivan de las formas geomtricas que
poseen la
simetra del grupo puntual, mientras que otros nombres describen
las caractersticas
del grupo.
CLASES CRISTALINAS
A los grupos puntuales se les llama muchas veces clases
cristalinas (ver Cuadro 4.2).
En funcin de los elementos de simetra, se distinguen:
Holoedra Es la clase cristalina que posee el mayor nmero de
operaciones de simetra.
Hemiedra Es la clase que posee la mitad de las operaciones de
simetra. A su vez, puede ser:
o Paramrfica: Se caracteriza porque conserva el centro de
simetra. o Enantiomrfica: En ella no hay planos de simetra. o
Hemimrfica: Se caracteriza porque los ejes de simetra son
polares.
Tetartoedra Es la clase cristalina que posee la cuarta parte de
las operaciones de simetra.
En las Tablas 4.9 a 4.15 se presentan, para cada uno de los 7
sistemas cristalinos, los
grupos puntuales con la notacin de Hermann Mauguin y la de
Schoenflies entre parntesis,
las respectivas clases cristalinas, las operaciones de simetra y
los elementos de simetra
expresados mediante la frmula que se describe en el Cuadro
4.4
FRMULA PARA EXPRESAR LOS ELEMENTOS DE SIMETRA DE UN
DETERMINADO GRUPO PUNTUAL
La frmula consta de una serie de caracteres que expresan los
elementos de simetra.
Los smbolos utilizados son los siguientes:
C indica centro de simetra
-
Celia
Marco
s Pasc
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13
E indica eje de simetra o El nmero de ejes de simetra de un
determinado tipo se expresa colocando dicho
nmero delante de la letra E.
o El tipo de ejes de simetra se expresa colocando el smbolo del
eje correspondiente, de acuerdo a la notacin de Hermann-Mauguin, en
forma de superndice a la
derecha de la letra E.
Ejemplo: La frmula para indicar que existen 4 ejes ternarios de
rotacin inversin sera la siguiente:
34E
m indica plano de reflexin Ejemplo: La frmula para indicar que
existen 3 ejes binarios y 4 ejes ternarios sera la
siguiente: 23E , 34E
Cuadro 4.4
Sistema cristalino triclnico
G. PUNTUAL
CLASE CRISTALINA
N OPERACIONES
ELEMENTOS DE SIMETRA
1 (C1) HOLOEDRA 2 C
1 (Ci) HEMIEDRA 1 IDENTIDAD Tabla 4.9
Sistema cristalino monoclnico
G. PUNTUAL
CLASE CRISTALINA
N OPERACIONES
ELEMENTOS DE SIMETRA
2/m (C2h) HOLOEDRA 4 1E2, m, C
2 (C2) HEMIEDRA
ENANTIOMRFICA 2 1E2
m (Cs) HEMIEDRA
HEMIMRFICA 2 m
Tabla 4.10
G.
PUNTUAL
CLASE
CRISTALINA
N
OPERACIONES
ELEMENTOS DE
SIMETRA
mmm (D2h) HOLOEDRA 8 3E2, 3m, C
222 (D2) HEMIEDRA 4 3E2
-
Celia
Marco
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14
ENANTIOMRFICA
mm2 (D2v) HEMIEDRA
HEMIMRFICA 4 2m, 1E2
Tabla 4.11
Sistema cristalino tetragonal
G. PUNTUAL
CLASE CRISTALINA
N OPERACIONES
ELEMENTOS DE SIMETRA
4/mmm (D4h)
HOLOEDRA 16 1E4, 4E2, 5m, C
4mm (C4v) HEMIEDRA
ENANTIOMRFICA 8 1E4, 5m
4 2m (D2d) HEMIEDRA con
INVERSIN 8 41E , 2E2, 2m
422 (D4) HEMIEDRA
ENANTIOMRFICA 8 1E4, 4E2
4/m (C4h) HEMIEDRA
PARAMRFICA 8 1E4, 1m, C
4 (S4) TETARTOEDRA con
INVERSIN 4 41E
4 (C4) TETARTOEDRA 4 1E4 Tabla 4.12
Sistema cristalino rombodrico
G. PUNTUAL
CLASE CRISTALINA
N OPERACIONES
ELEMENTOS DE SIMETRA
3 m (D3d) HOLOEDRA 12 1E3, 3E2, 3m, C
3m (C3v) HEMIEDRA
HEMIMRFICA 6 1E3, 3m
32 (D3) HEMIEDRA
ENANTIOMRFICA 6 1E3, 3E2
3 (C3i) HEMIEDRA
PARAMRFICA 6 1E3, C
3 (C3) TETARTOEDRA 3 1E3 Tabla 4.13
Sistema cristalino hexagonal
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
15
G. PUNTUAL
CLASE CRISTALINA
N OPERACIONES
ELEMENTOS DE SIMETRA
6/mmm D6h) HOLOEDRA 24 1E6, 6E2, 7m, C
6 2m (D3h) HEMIEDRA con
INVERSIN 12 1E3, 3E2, 4m, C
6mm (C6v) HEMIEDRA
HEMIMRFICA 12 1E6, 6m
622 (D6) HEMIEDRA
ENANTIOMRFICA 12 1E6, 6E2
6/m (C6h) HEMIEDRA
PARAMRFICA 12 1E6, 1m, C
6 (C3h) TETARTOEDRA 6 1E3, 1m, C
6 (C6) TETARTOEDRA con
INVERSIN 6 1E6
Tabla 4.14
Sistema cristalino cbico
G.
PUNTUAL
CLASE
CRISTALINA
N
OPERACIONES
ELEMENTOS DE
SIMETRA
m 3 m (Oh) HOLOEDRA 48 1E3 , 6E2, 9m, C
4 3m (Td) HEMIEDRA con
INVERSIN 24 41E , 4E3, 6m
432 (O) HEMIEDRA
ENANTIOMRFICA 24 3E4, 4E3, 6E2
m 3 (Th) HEMIEDRA
PARAMRFICA 24 3E2, 4E3, 3m, C
23 (T) TETARTOEDRA 12 3E2, 4E3
Tabla 4.15
En las Tablas 4.16 a 4.22 se presentan los grupos puntuales y
las clases cristalinas
correspondientes a cada sistema cristalino segn aparecen en las
Tablas Internacionales de
Cristalografa, Volumen A
-
Celia
Marco
s Pasc
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16
SISTEMA CRISTALINO TRICLNICO
CLASE GRUPO
PUNTUAL
FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES
PROYECCIN
ESTEREOGRFICA
Pedial
(Hemiedra) 1 No hay
Pediones
( )hkl
Pinacoidal
(Holoedra) 1 No hay
Pinacoide
( )( )lkhhkl Tabla 4.16
SISTEMA CRISTALINO MONOCLNICO
CLASE GRUPO
PUNTUAL
FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES
PROYECCIN
ESTEREOGRFICA
Esfenoidal
(Hemiedra
enantiomrfica)
2
Pedin ( )010 o ( )010
Pinacoides{ }lh0 Esfenoide
( ) ( )lkhhkl ,
Domtica
(Hemiedra
hemimrfica)
m Pediones ( )lh0
Pinacoides{ }010
Domo
( ) ( )lkhhkl ,
Prismtica
(Holoedra) m2
Pinacoides
{ }010 ,{ }lh0 Prisma
( )( )( )( )lkhlkhlkhhklTabla 4.17
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
17
SISTEMA CRISTALINO RMBICO R = rmbico
SISTEMA CLASE GRUPO
PUNTUAL
FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Esfenoidal
(Hemiedra
enantiomrfica)
222
Pinacoides
{ }100 , { }010 , { }001 Prismas R
{ }0hk ,{ }kl0 , { }lh0
Biesfenoide R
( )( )( )( )lkhlkhlkhhkl
Piramidal
(Hemiedra
hemimrfica)
2mm
Pediones ( )001 o ( )100
Pinacoide
{ }100 Prisma R
{ }0hk Domos { }lh0 , { }kl0
Pirmide R
( )( )( )( )klhlkhlkhhkl
Bipiramidal
(Holoedra)
mmm o
mmm222
Pinacoides
{ }100 , { }010 , { }001 Prismas R
{ }0hk , { }lh0 , { }kl0
Bipirmide R
( )( )( )( )( )( )( )( )klhlkhlhklkh
lkhlkhlkhhkl
Tabla 4.18
-
Celia
Marco
s Pasc
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18
SISTEMA CRISTALNO TETRAGONAL T = tetragonal DT =
ditetragonal
SISTEMA CLASE GRUPO
PUNTUAL FORMAS ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Piramidal
(Tetartoedra) 4
Pediones ( )001 o ( )100 Prisma T { }0hk
Pirmide T
( )( )( )( )lhkhlklkhhkl
Esfenoidal
(Tetartoedra con
inversin) 4
Pinacoide { }001 Prisma T { }0hk
Biesfenoide T
( )( )( )( )lhklhklkhhkl
Bipiramidal
(Hemiedra
enantiomrfica) m
4 Pinacoide{ }001 Prisma T { }0hk
Bipirmide T
( )( )( )( )( )( )( )( )hlklhklhklkh
lhkhlklkhhkl
Trapezodrica
(Hemiedra
enantiomrfica)
422
Pinacoide { }001 Prismas T
{ }100 , { }110 Prisma DT
Trapezoedro T
( )( )( )( )( )( )( )( )lhklkhlkhlkh
lhkhlklkhhkl
-
Celia
Marco
s Pasc
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19
{ }0hk Bipirmides T
{ }hhl , { }lh0
Ditetragonal
(Hemiedra hemimrfica) mm4
Pediones ( )001 o ( )100 Prismas T { }100
Prismas DT { }0hk Pirmide T
{ }hhl , { }lh0
Pirmide DT
( )( )( )( )( )( )( )( )hkllhkklhlkh
lhkhlklkhhkl
Escalenodrica
(Hemiedra con
inversin) m24
Pinacoide { }001 Prismas T { }100 , { }110
Prismas DT{ }0hk Bipirmides{ }lh0
Biesfenoides T
{ }hhl
Escalenoedro T
( )( )( )( )( )( )( )( )khllhklkhlkh
lhklhklkhhkl
Escalenodrica
(Hemiedra con
inversin) 24m
Pinacoides { }001 Prismas T { }110 , { }110
Prisma DT { }0hk Bipirmides{ }hhl
Escalenoedro T
( )( )( )( )( )( )( )( )lkhlhklkhklh
lhklhklkhhkl
-
Celia
Marco
s Pasc
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20
Biesfenoides T
{ }lh0
Ditetragonal bipiramidal
(Holoedra)
mmm4 o
mmm224
Pinacoide { }001 Prismas T { }100 , { }110
Prisma DT { }0hk Bipirmides T { }lh0 ,
{ }hhl
Bipirmide DT
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )khllhkklhlkh
lhklhklhklkhlhklkhlkhklhlhkhlklkhhkl
Tabla 4.19
SISTEMA CRISTALINO ROMBODRICO
R = rombodrico o trigonal; H = hexagonal; DT = ditrigonal; DH =
dihexagonal Se usan ndices hexagonales (hkil)
SISTEMA CLASE GRUPO PUNTUAL FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Piramidal
Tetartodrica
(Tetartoedra)
3
Pedin
( )0001 o ( )1000 Prisma R { }0hki
Pirmide R
( )( )( )kihlihklhkil
-
Celia
Marco
s Pasc
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21
SISTEMA CLASE GRUPO PUNTUAL FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Rombodrica
(Hemiedra
enantiomrfica) 3
Pinacoide{ }0001 Prisma H{ }0hki
Romboedro
( )( )( )( )( )( )lhiklkhilikh
kihlihklhkil
Trapezodrica
(Hemiedra
enantiomrfica)
321
Pinacoide{ }0001 Prisma H{ }0110
Prisma R
{ }0211 o { }2011 Prisma DT
{ }0hki Romboedro
{ }lhh0 Bipirmide R
{ }hlhh2
Trapezoedro R
( )( )( )( )( )( )likhlhiklkhi
kihlihklhkil
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
22
SISTEMA CLASE GRUPO PUNTUAL FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Trapezodrica
(Hemiedra
enantiomrfica)
312
Pinacoide{ }0001 Prisma H{ }0110
Prisma R
{ }0211 o { }2011 Prisma DT
{ }0hki Romboedro
{ }lhh0 Bipirmide R
{ }hlhh2
Trapezoedro R
( )( )( )( )( )( )lhkilkihlihk
kihlihklhkil
Ditrigonal piramidal
(Hemiedra
hemimrfica)
13m
Pedin
( )0001 o ( )1000 Prisma R
{ }0110 o { }0101 Prisma H { }0211
Prisma DT
{ }0hki
Pirmide DT
( )( )( )( )( )( )lhkilkihlihk
kihlihklhkil
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
23
SISTEMA CLASE GRUPO PUNTUAL FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Pirmide R
{ }lhh0 Pirmide H
{ }lhhh2
Ditrigonal piramidal
(Hemiedra
hemimrfica)
m31
Pedin
( )0001 o ( )1000 Prisma R{ }0211 o
{ }0211 Prisma H { }0110 o
{ }0101 Prisma DT
{ }0hki Pirmide R{ }lhhh2
Pirmide H
{ }lhh0
Pirmide DT
( )( )( )( )( )( )ikhlhiklkhil
kihlihklhkil
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
24
SISTEMA CLASE GRUPO PUNTUAL FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Ditrigonal
escalenodrica
(holoedra)
13m o 123 m
Pinacoide{ }0001 Prismas H
{ }0110 , { }0211 Prisma DH
{ }0hki Bipirmide H
{ }hlhh2 Romboedro { }lhh0
Escalenoedro DT
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )lhkilkihlihk
lhiklkhilikhlikhhiklkhil
kihlihklhkil
Ditrigonal
escalenodrica
(holoedra)
m13 o
1213 m
Pinacoide{ }0001 Prismas H
{ }0110 , { }0211 Prisma DH
{ }0hki Bipirmide H { }lhh0 Romboedro { }hlhh2
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )lhkilkihlihk
lhiklkhilikhikhlhiklkhilkihlihklhkil
Tabla 4.20
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
25
SISTEMA CRISTALINO HEXAGONAL
R=rombodrico o trigonal; H=hexagonal; DT=ditrigonal;
DH=dihexagonal. Se usan ndices hexagonales (hkil).
CLASE GRUPO
PUNTUAL
FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Piramidal
(Tetartoedra) 6
Pediones{ }0001 o { }1000
Prismas
H{ }0hki
Pirmide H
( )( )( )( )( )( )lhiklkhilikh
kihlihklhkil
Trigonal
bipiramidal
(Tetartoedra
con
inversin)
6 Pinacoide{ }0001Prisma R{ }0hki
Bipirmide R
( )( )( )( )( )( )lkihlihklhki
kihlihklhkil
Hexagonal
bipiramidal
(Hemiedra
paramrfic
a)
m/6 Pinacoide{ }0001Prisma H{ }0hki
Bipirmide H
( )( )( )( )( )( )lkihlihklhki
kihlihklhkil
( )( )( )( )( )( )lhiklkhilikh
lhiklkhilikh
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
26
CLASE GRUPO
PUNTUAL
FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Trapezodrica
(Hemiedra
enantiomr
fica)
622
Pinacoide{ }0001Prisma H{ }0110
Prisma
DH{ }0hki Prismas
H{ }0hki , { }0211
Bipirmides
H{ }lhh0 , { }lhhh2v
Trapezoedro H
( )( )( )( )( )( )likhlhiklkhi
kihlihklhkil
( )( )( )( )( )( )lhiklkhilikh
lhkilkihlikh
Dihexagonal
piramidal
(Hemiedra
hemimrfic
a)
mm6
Pedin{ }0001 o { }1000 Prismas
H{ }0110 , { }0211
Prisma DH
Pirmide DH
( )( )( )( )( )( )ikhlhikllkhi
kihlihklhkil
( )( )( )( )( )( )lhiklkhilikh
lhkilkihlihk
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
27
CLASE GRUPO
PUNTUAL
FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
{ }0hki Pirmide
DH{ }hkil Pirmides
H{ }lhh0 , { }lhhh2v
Ditrigonal
bipiramidal
(Hemiedra con
inversin)
26m
Pinacoide{ }0001Prisma R{ }0110
o { }0101 Prisma H{ }0211
Prisma
DT{ }0hki Bipirmide
R{ }lhh0 Bipirmide
H{ }lhhh2v
Bipirmide DT
( )( )( )( )( )( )lkihlihklhki
kihlihklhkil
( )( )( )( )( )( )lhkilkihlihk
lhkilkihlihk
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
28
CLASE GRUPO
PUNTUAL
FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
Ditrigonal
bipiramidal
(Hemiedra con
inversin
m26
Pinacoide{ }0001Prisma R{ }0110
o { }0101 Prisma H{ }0211
Prisma
DT{ }0hki Bipirmide
R{ }lhh0 Bipirmide
H{ }lhhh2v
Bipirmide DT
( )( )( )( )( )( )lkihlihklhki
kihlihklhkil
( )( )( )( )( )( )lhkilkihlihk
lhkilkihlihk
Dihexagonal
bipiramidal
(Holoedra)
mmm/6 o mmm /2/2/6
Pinacoide{ }0001Prismas
H{ }0110 , { }0211 Prisma
DH{ }0hki Bipirmides
Bipirmides DH
( )( )( )( )( )( )lkihlihklhki
kihlihklhkil
( )( )( )( )( )( )lhkilkihlihk
lhiklkhilikh
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
29
CLASE GRUPO
PUNTUAL
FORMAS
ESPECIALES
FORMAS
GENERALES PROYECCIN ESTEREOGRFICA
H{ }lhh0 , { }hlhh2v
( )( )( )( )( )( )lhkilkihlihk
lhiklkhilikh
( )( )( )( )( )( )ikhlhiklkhil
lkihlihklhki
Tabla 4.21
SISTEMA CRISTALINO CBICO
SISTEMA
CLASE
GRUPO
PUNTUA
L
FORMAS ESPECIALES FORMAS GENERALES PROYECCIN
ESTEREOGRFICA
Dodecadrica
pentagonal
Tetradrica
(tetartodrica)
Tetartodrica
23
Cubo { }100 Rombododecaedro{ }110 Dodecaedro pentagonal
(piritoedro) { }kl0 Tetraedros{ }111 { }111 Tristetraedro{ }
lhhhl <
Dodecaedro deltoide
Tetartoide (dodecaedro pentagonal
tetradrico)
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hlkhlkhlkklhkhlkhl
khllhklkhlkhlkhhkl
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
30
(deltoedro) { } lhhhl >
Disdodecadrica
(Hemiedra
paramrfica) 3m
Cubo{ }100 Rombododecaedro{ }110 Dodecaedro pentagonal
(piritoedro) { }kl0 Octaedro{ }111
Icositetraedro deltoide
(trapezoedro){ } lhhhl < Trisoctaedro{ } lhhhl >
Disdodecaedro
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hlkhlkhlkklhkhlkhl
khllhklkhlkhlkhhkl
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hkllhkhlkhlkkhlklh
hklkhllkhlkhlhklkh
Icositetradrica
pentagonal
(Hemiedra
enantiomrfica)
432
Cubo{ }100 Rombododecaedro{ }110 Tetraquishexaedro{ }kl0
Octaedro{ }111 Icositetraedro deltoide
(trapezoedro) { } lhhhl < Trisoctaedro{ } lhhhl >
Giroedro (icositetraedro
pentagonal)
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hlkhlkhlkklhkhlkhl
khllhklkhlkhlkhhkl
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )khllkhklhklhhklhlk
hklkhlhlklhklhklkh
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
31
Hexaquistetradri
ca
(Hemiedra
hemimrfica)
m34
Cubo{ }100 Rombododecaedro{ }110 Tetraquishexaedro{ }0hk
Tetraedros{ }111 { }111 Tristetraedro{ } lhhhl <
Dodecaedro
deltoide{ } lhhhl >
Hexaquistetraedro
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hlkhlkhlkklhkhlkhl
khllhklkhlkhlkhhkl
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )klhklhklhhlkhklhkl
hkllkhlhklhklhkkhl
Hexaquisoctadri
ca
(Holoedra)
mm3
mm234
Cubo{ }100 Rombododecaedro{ }110 Tetraquishexaedro{ }kl0
Octaedro{ }111 Icositetraedro deltoide
(trapezoedro) { } lhhhl < trisoctaedro{ } lhhhl >
Hexaquisoctaedro
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hlkhlkhlkklhkhlkhl
khllhklkhlkhlkhhkl
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )hkllhkhlkhlkkhlklh
hklkhlklhlkhlhklkh
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )khllkhklhklhhklhlk
hklkhlhlklhklhklkh
( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )klhklhhlkklhhklhkl
lkhhkllhklhkkhllhk
Tabla 4.22
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
32
4.7 GRUPOS PUNTUALES PLANOS y GRUPOS PUNTUALES DE LAS
REDES PLANAS Son los grupos puntuales bidimensionales y son
10:
1, m, 2, 2mm, 3, 3m, 4, 4mm, 6 y 6mm
Una representacin de ellos puede verse en la Tabla 4.23
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
33
Tabla 4.23
Los grupos puntuales que caracterizan a las redes planas son los
siguientes:
Red oblicua 2 Red rectangular 2mm Red rmbica 2mm Red cuadrada
4mm Red hexagonal 6mm
4.8 GRUPOS PUNTUALES TRIDIMENSIONALES y GRUPOS
PUNTUALES DE LAS REDES TRIDIMENSIONALES Son 32. Su smbolo (ver
Cuadro 4.3), de acuerdo a la notacin internacional, se obtiene
teniendo en cuenta las direcciones de simetra de las redes.
Los grupos puntuales que caracterizan a las redes
tridimensionales son los siguientes: Tipo de red Grupo puntual
holodrico
Triclnica 1
Monoclnica 2/m
Rmbica mmm
Rombodrica m3
-
Celia
Marco
s Pasc
ual
34
Tipo de red Grupo puntual holodrico
Hexagonal 6/mmm
Tetragonal 4/mmm
Cbica mm3
