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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
Cristiane do Socorro Ferreira dos Santos
Ensino das Funções Afim e Quadrática por
Atividades
Belém – PA
2013
Cristiane do Socorro Ferreira dos Santos
Ensino das Funções Afim e Quadrática por Atividades
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação. Linha: Formação de Professores. Orientador: Prof. Dr. Fábio José Costa Alves
Data de aprovação: 30/10/2013 Banca Examinadora: _______________________________________ - Orientador Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia
_______________________________________ - Membro Interno Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará/Universidade da Amazônia
_______________________________________ - Membro Externo Claudianny Amorim Noronha Doutora em Educação Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Dedico este trabalho a Deus, fonte
inesgotável do amor e da sabedoria e a
minha mãe que me deu a vida com
dignidade.
Cristiane do Socorro Ferreira dos Santos
Agradecimentos
Referendando a máxima de que não somos ninguém sem o outro e que o homem
não se constrói sozinho, esse trabalho só foi possível porque tive o apoio de muitas pessoas,
as quais quero fazer, neste momento, um especial agradecimento.
Agradeço primeiramente a Deus, por me fortalecer e guiar por este caminho de
desafios, superação e conquistas.
A minha mãe, pelos ensinamentos de vida, direcionando ao caminho da
dignidade, perseverança e respeito ao próximo.
A Universidade do Estado do Pará (UEPA) e ao Programa de Pós-Graduados
em Educação pela oportunidade.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), por
tornar esse sonho realidade, concedendo-me uma bolsa na modalidade Mestrado - GM.
Ao corpo docente do Programa de Pós-Graduados em Educação - UEPA pelos
ensinamentos, discussões e contribuições para este trabalho.
A professora Ma. Francinete Maria Rocha de Jesus, por ceder sua turma para
aplicação da sequência didática, pelo acompanhamento, paciência e dedicação à pesquisa.
Aos alunos da turma 101 de 2013 da escola do experimento, sem os quais este
trabalho não seria possível.
Ao professor Dr. Fábio José da Costa Alves pela dedicação, paciência,
conhecimento e orientação dispensada para a conclusão desta dissertação.
A professora Dra. Claudianny Amorim Noronha pelas colocações no exame de
qualificação que muito contribuíram para o enriquecimento da pesquisa.
Ao professor Dr. Pedro Franco de Sá pelas contribuições no desenvolvimento das
atividades, troca de experiências e ampliação da minha visão na área do saber.
A todos que, de uma forma ou outra, contribuíram para que eu pudesse alcançar
este objetivo, colocando ou retirando as pedras do caminho.
Cristiane do Socorro Ferreira dos Santos
Ensinar matemática na escola só faz sentido quando
se proporcionam aos estudantes, de qualquer nível de ensino, ferramentas matemáticas básicas para o desenvolvimento de seu pensamento matemático sempre apoiado em suas práticas sociais, tendo em vista uma qualificação adequada que promova a inclusão social do estudante e o capacite para atuar no mundo social, político, econômico e tecnológico que caracteriza a sociedade do século XXI.
(INEP, 2009)
RESUMO
SANTOS, Cristiane do Socorro Ferreira dos. Ensino das funções afim e quadrática por atividades. 2013. 312 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2013.
Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo investigar as contribuições de atividades para o processo de compreensão do conteúdo de funções afim e quadrática. A investigação foi orientada pela seguinte questão: Quais os efeitos de um conjunto de atividades sobre funções afim e quadrática no desempenho de alunos do 1º ano do ensino médio? O referencial teórico adotado em nossa pesquisa tem como base elementos da Didática da Matemática segundo Brosseau e para elaboração das atividades nos fundamentamos na Modelagem Matemática como estratégia de ensino e no Ensino por Atividades. Adotamos a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa, estando às seções deste estudo organizadas segundo as etapas dessa metodologia. E como recursos: a análise bibliográfica de dissertações, questionários aplicados a professores e alunos, a gravação em áudio, testes, além da produção escrita dos alunos nas atividades. A sequência didática elaborada era composta de doze grupos de atividades e dois testes diagnósticos que foram analisados a priori e aplicada a 30 alunos do 1º ano do ensino médio de uma escola pública estadual da cidade de Belém do Pará, sendo desenvolvidos em dezessete sessões de ensino. As análises a posteriori evidenciaram que a sequência didática aplicada possibilitou a alunos construir e compreender noções e conceitos matemáticos sobre função afim e quadrática; que os alunos tiveram avanços progressivos ao ponto de compreender um problema e trilhar passos para executá-lo; que a abordagem de aspectos da cultura local na sequência didática instigou os discentes nas discussões, na busca de informações e na participação das aulas e que os alunos tiveram significativos avanços nos pós-testes. Esses resultados nos permitiu concluir que o objetivo de nossa pesquisa foi alcançado, uma vez que a sequência didática aplicada revelou significativas contribuições para o aprendizado e, consequentemente o melhor desempenho dos alunos do 1º ano do ensino médio. Palavras-chave: Educação. Educação Matemática. Ensino da função afim. Ensino da função quadrática. Ensino por atividades.
ABSTRACT
SANTOS, Cristiane do Socorro Ferreira dos. Teaching affine and quadratic functions for activities. 2013. 312 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2013. This paper shows the results of a study that aimed to investigate the contribution of activities to the process of understanding the contents of affine and quadratic functions. The research was guided by the following question: What are the effects of a set of activities on affine and quadratic functions in the performance of students in the 1st year of high school? The theoretical framework used in our research is based on elements of mathematical didactics second Brosseau and based our development activities in Mathematical Modeling as a teaching and Teaching Activities for strategy. We adopt a Didactic Engineering as a research methodology, this study being to sections organized according to the steps of this methodology. And as resources: a literature review of dissertations, questionnaires to teachers and students, the audio recording, testing, and production activities in students' writing. The elaborate instructional sequence was comprised of twelve groups of activities and two diagnostic tests that a priori were analyzed and applied to 30 students of the 1st year of high school from a state school in the city of Belém do Pará, being developed in seventeen teaching sessions. The subsequent analysis showed that the applied didactic sequence allowed the students to construct and understand mathematical concepts and notions about affine and quadratic function; students had progressive to the point of understanding a problem and walk steps to run it advances, the approach aspects of local culture in the teaching sequence instigated the students in the discussions, information seeking and participation in classes and that students had significant improvements in post-test. These results allowed us to conclude that the goal of our research has been achieved, since the applied didactic sequence revealed significant contributions to learning and hence better performance of students in the 1st year of high school.
Keywords: Education. Mathematics Education. Teaching affine function. Teaching
quadratic function. By teaching activities.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Esquema do ensino tradicional ................................................................ 17
Figura 2 - Domínios do conhecimento do professor, trajetória hipotética de aprendizagem e interações com os alunos ........................................... 48
Figura 3 – Esquema da proposta de ensino ........................................................... 108
Figura 4 – Procedimentos realizados pela dupla 5 ................................................. 198
Figura 5 – Alunos resolvendo a questão proposta da atividade ............................. 201
Figura 6 – Tabela construída pelos alunos com os dados do texto ........................ 202
Figura 7 – Resolução da questão proposta ............................................................ 203
Figura 8 – Alunos socializando a questão proposta na atividade descobrindo a expressão algébrica ............................................................................ 204
Figura 9 – Alunos construindo o gráfico da função afim ......................................... 208
Figura 10 - Procedimentos desenvolvido pelos grupos sobre função crescente e decrescente......................................................................................... 213
Figura 11 – Explicação do quadro da atividade que indica o crescimento e decrescimento da função afim pela análise do gráfico. ....................... 215
Figura 12 – Aluno preenchendo o quadro de procedimentos da atividade “Concavidade da parábola” ................................................................. 233
Figura 13 – Alunos preenchendo o quadro de procedimentos da atividade “Zeros da função quadrática”............................................................................... 236
Figura 14 – Ilustração da questão complementar 1 ................................................ 240
Figura 15 – Socialização dos resultados das questões complementares da atividade “Encontrar os zeros da função quadrática” .......................................... 241
Figura 16 – Resolução da 1ª questão complementar ............................................. 253
Figura 17 – Resolução da 2ª questão complementar ............................................. 254
Figura 18 – Resolução da 3ª questão complementar ............................................. 254
Figura 19 – Resolução da 4ª questão complementar ............................................. 254
Figura 20 – Gráfico traçado com os valores das coordenadas trocadas ................ 255
Figura 21 – Resolução da atividade descubra a expressão algébrica .................... 266
Figura 22 – Resolução da questão proposta na atividade 1 da função quadrática . 267
Figura 23 – Resolução dos procedimentos da atividade “Construindo gráficos da função quadrática”............................................................................... 269
Figura 24 – Procedimentos da atividade 4 da função quadrática ........................... 271
Figura 25 – Procedimentos da atividade 5 da função quadrática ........................... 272
Figura 26 – Resolução da questão 4 da atividade 7 da função quadrática ............. 275
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1 – Sexo e faixa etária dos professores consultados ................................... 55
Gráfico 2 – Instituição e ano de conclusão de graduação em Matemática ............... 57
Gráfico 3 – Instituição e ano de conclusão de especialização .................................. 59
Gráfico 4 – Mestrado e ano de conclusão ................................................................ 60
Gráfico 5 – Tempo de serviço .................................................................................. 62
Gráfico 6 – Tipo de escola que os sujeitos trabalham .............................................. 63
Gráfico 7 – Cursou alguma disciplina sobre função afim e quadrática ..................... 64
Gráfico 8 – Participou de evento/curso sobre função afim e função quadrática ....... 65
Gráfico 9 – Ensina função afim e quadrática do modo que aprendeu ...................... 66
Gráfico 10 – Métodos usados para introdução dos conteúdos de função afim e função quadrática .................................................................................. 67
Gráfico 11 – Recursos para fixação do conteúdo de função afim e quadrática ........ 68
Gráfico 12 – Realizou ensino de função afim e quadrática por experimento ............ 70
Gráfico 13 – Tempo aproximado para ministrar função afim .................................... 73
Gráfico 14 – Tempo aproximado para ministrar função quadrática .......................... 73
Gráfico 15 – Tipos de atividades que o professor trabalha matemática ................... 75
Gráfico 16 – Escola disponibiliza laboratório de Matemática .................................... 76
Gráfico 17 – Escola disponibiliza laboratório de informática ..................................... 77
Gráfico 18 – Momentos de planejamento das aulas oferecidos pela escola............. 78
Gráfico 19 – Atividades de nivelamento ................................................................... 78
Gráfico 20 – Recursos disponibilizados pela escola para o professor ...................... 80
Gráfico 21 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados ......................................... 82
Gráfico 22 – Responsável do aluno ......................................................................... 83
Gráfico 23 – Escolaridade do responsável do aluno ................................................ 84
Gráfico 24 – Responsável trabalha .......................................................................... 85
Gráfico 25 – Aluno trabalha de forma remunerada ................................................... 85
Gráfico 26 – Tipo de escola ..................................................................................... 86
Gráfico 27 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora ............................................ 87
Gráfico 28 – Cursos ................................................................................................. 88
Gráfico 29 – Pratica esporte ..................................................................................... 88
Gráfico 30 – Dependência........................................................................................ 89
Gráfico 31 – Gosta de Matemática ........................................................................... 90
Gráfico 32 – Gosta de Matemática ........................................................................... 91
Gráfico 33 – Distrai nas aulas de Matemática .......................................................... 91
Gráfico 34 – Estuda matemática em outros horários ................................................ 92
Gráfico 35 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática ................... 93
Gráfico 36 – Aulas de função afim e quadrática ....................................................... 94
Gráfico 37 – Fixar conteúdo de função afim e quadrática ........................................ 96
Gráfico 38 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia .................................. 97
Gráfico 39 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados ....................................... 182
Gráfico 40 – Responsável do aluno ....................................................................... 183
Gráfico 41 – Escolaridade do responsável do aluno .............................................. 183
Gráfico 42 – Responsável trabalha ........................................................................ 184
Gráfico 43 – Aluno trabalha de forma remunerada ................................................. 185
Gráfico 44 – Tipo de escola ................................................................................... 186
Gráfico 45 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora .......................................... 186
Gráfico 46 – Cursos ............................................................................................... 187
Gráfico 47 – Pratica esporte ................................................................................... 188
Gráfico 48 – Dependência...................................................................................... 188
Gráfico 49 – Gosta de Matemática ......................................................................... 189
Gráfico 50 – Dificuldade em Matemática ................................................................ 190
Gráfico 51 – Distrai nas aulas de Matemática ........................................................ 191
Gráfico 52 – Estuda matemática em outros horários .............................................. 191
Gráfico 53 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática ................. 192
Gráfico 54 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia ................................ 193
Gráfico 55 – Média de acertos por questões no pós-teste da função afim ............. 264
Gráfico 56 – Percentual de acertos por questões no pós-teste da função quadrática ............................................................................................................ 276
Gráfico 57 – Comparação do percentual de acertos por questões do pré-teste com o pós-teste da função afim ..................................................................... 278
Gráfico 58 – Comparação do percentual de acertos por questões do pré-teste com o pós-teste da função quadrática ........................................................... 279
Gráfico 59 – Desempenho de cada aluno no pré-teste e pós-teste da função afim e da função quadrática ........................................................................... 281
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Ações do engenheiro e do pesquisador em didática .............................. 26
Quadro 2 - Níveis alcançados pela turma ................................................................ 32
Quadro 3 - Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores ........................................................................................... 71
Quadro 4 – Avaliação quanto ao grau de dificuldades das funções afim e quadrática, segundo os discentes ............................................................................ 97
Quadro 5 – Comparação entre a avaliação dos docentes e discentes sobre as dificuldades e os desempenhos dos alunos no teste ........................... 100
Quadro 6 – Tarefas do professor e dos alunos nos casos de Modelagem ............. 105
Quadro 7 – Distribuição das atividades .................................................................. 128
Quadro 8 - Cronograma das sessões de ensino na experimentação ..................... 179
Quadro 9 – Relação entre as dificuldades em aprender matemática, o gosto pela matemática, a atenção dos alunos nas aulas de matemática e o hábito de estudar fora do horário de aula ....................................................... 194
Quadro 10 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade descobrindo a minha regra .................................................................. 199
Quadro 11 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Descobrindo a expressão algébrica .................................................... 206
Quadro 12 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Construindo gráficos da função afim ................................................... 212
Quadro 13 – Crescimento e decrescimento da função afim ................................... 214
Quadro 14 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade “Crescimento e decrescimento da função afim .................................... 216
Quadro 15 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Construindo gráficos da função afim ................................................... 219
Quadro 16 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade descobrindo a minha regra .................................................................. 221
Quadro 17 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Zero da função afim.......................................................................................... 222
Quadro 18 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade descobrindo a minha regra .................................................................. 227
Quadro 19 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade construindo gráficos da função quadrática .......................................... 231
Quadro 20 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade concavidade da parábola .................................................................... 233
Quadro 21 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula das atividades “Construindo gráficos da função quadrática” e “Concavidade da parábola”. ............................................................................................ 235
Quadro 22 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade zeros da função quadrática ........................................................................... 237
Quadro 23 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade cálculo dos zeros da função quadrática. ................................................................ 239
Quadro 24 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade vértice da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo .................. 241
Quadro 25 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade cálculo dos zeros da função quadrática ................................................................. 243
Quadro 26 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade problemas sobre função quadrática ...................................................................... 245
Quadro 27 – Desempenho da turma obtido no pré-teste ........................................ 248
Quadro 28 – Respostas das questões complementares 1 e 2 da atividade 1 de função afim, dada pelos grupos........................................................... 253
Quadro 29 – Respostas da questão proposta e questões complementares da atividade 2 de função afim, dada pelos grupos .................................... 258
Quadro 30 – Respostas da questão proposta e questões complementares da atividade 3 de função afim, dada pelos grupos .................................... 260
Quadro 31 – Respostas da questão proposta e questões complementares da atividade 4 de função afim, dada pelos grupos .................................... 261
Quadro 32 – Respostas das questões da atividade 5 de função afim, dada pelos grupos ................................................................................................. 262
Quadro 33 – Desempenho da turma no pós-teste da função afim ......................... 263
Quadro 34 – Respostas das questões da atividade 5 de função afim, dada pelos grupos ................................................................................................. 274
Quadro 35 – Desempenho da turma no pós-teste da função quadrática ................ 276
Quadro 36 – Percentual de questões resolvidas nos pré-testes e nos pós-testes .. 278
Quadro 37 – Percentual de acertos de cada aluno do 1º ano do EM no pré e pós-teste da função afim e da função quadrática ....................................... 280
Quadro 38 – Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes ......................................................................... 282
LISTA DE SIGLAS
FIBRA Faculdade Integrada Brasil Amazônia
IDEB Índice de Desenvolvimento da Educação Básica
LDB Lei de Diretrizes e Bases para o Ensino Básico
MEC Ministério da Educação
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio
SAEB Sistema Naciona de Avaliação da Educação Básica
SEDUC Secretaria da Educação Básica
UEPA Universidade do Estado do Pará
UFPA Universidade Federal do Pará
UNAMA Universidade da Amazônia
UNIR Universidade Federal de Rondonia
UVA Universidade Estadual do Vale do Acaraú
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 16
1. ANÁLISES PRÉVIAS .......................................................................................... 30
1.1 ESTUDOS SOBRE O PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DAS
FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA .......................................................................... 30
1.1.1 Modelagem matemática para o ensino de funções .................................... 31
1.1.1.1 Modelando matematicamente questões ambientais relacionadas com a água
................................................................................................................................. 31
1.1.1.2 O uso da Modelação Matemática na construção do conceito de função ...... 34
1.1.1.3 A modelagem matemática como proposta de ensino e aprendizagem do
conceito de função ................................................................................................... 36
1.1.2 Uso das tecnologias de informação e comunicação .................................. 37
1.1.2.1 Aplicação do software Graphimaticano ensino de funções ........................... 37
1.1.2.2 Uma sequência de ensino usando o programa winplot ................................ 39
1.1.2.3 Função quadrática: um estudo didático de uma abordagem computacional . 41
1.1.3 Resolução de problemas como estratégia de ensino ................................ 43
1.1.3.1 Análise de uma sequência didática para aprendizagem do conceito de função
afim .......................................................................................................................... 43
1.1.3.2 O ensino da função afim a partir do registro de representação semiótica .... 46
1.1.3.3 Ensinar e aprender funções polinomiais do 2º grau no ensino médio ........... 48
1.1.4 Considerações Gerais .................................................................................. 50
1.2 O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NA
VISÃO DE DOCENTES ........................................................................................... 54
1.3 O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NA
VISÃO DE DISCENTES ........................................................................................... 80
1.4 ESTRATÉGIA DE ENSINO .............................................................................. 103
1.4.1 Modelagem Matemática .............................................................................. 103
1.4.2 Ensino por atividade ................................................................................... 106
1.4.3 Limitações das metodologias de ensino ................................................... 107
1.4.4 Combinação metodológica ......................................................................... 108
1.5 CONCEPÇÕES SOBRE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA ................................... 110
2.1 CONSTRUINDO CONHECIMENTO SOBRE OS SUJEITOS DA PESQUISA .. 115
2.1.1 Pré-teste e pós-teste da função afim ......................................................... 116
2.1.2 Pré-teste e pós-teste da função quadrática .............................................. 120
2.1.3 Outras questões do pós-teste .................................................................... 124
2.2 ANÁLISE A PRIORI DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA ............................................ 127
2.2.1 Atividades da função afim .......................................................................... 130
2.2.1.1 Atividade 1 ................................................................................................. 131
2.2.1.2 Atividade 2 ................................................................................................. 136
2.2.1.3 Atividade 3 ................................................................................................. 140
2.2.1.4 Atividade 4 ................................................................................................. 144
2.2.1.5 Atividade 5 ................................................................................................. 148
2.2.2 Atividade da função quadrática ................................................................. 153
2.2.2.1 Atividade 1 ................................................................................................. 154
2.2.2.2 Atividade 2 ................................................................................................. 158
2.2.2.3 Atividade 3 ................................................................................................. 161
2.2.2.4 Atividade 4 ................................................................................................. 165
2.2.2.5 Atividade 5 ................................................................................................. 167
2.2.2.6 Atividade 6 ................................................................................................. 169
2.2.2.7 Atividade 7 ................................................................................................. 172
3 EXPERIMENTAÇÃO .......................................................................................... 176
3.1 A ESCOLA ....................................................................................................... 176
3.2 O EXPERIMENTO ........................................................................................... 178
3.2.1 Primeira sessão ........................................................................................... 180
3.2.2 Segunda sessão .......................................................................................... 195
3.2.3 Terceira sessão ........................................................................................... 200
3.2.4 Quarta sessão ............................................................................................. 204
3.2.5 Quinta sessão .............................................................................................. 207
3.2.6 Sexta sessão ............................................................................................... 209
3.2.7 Sétima sessão ............................................................................................. 212
3.2.8 Oitava sessão .............................................................................................. 220
3.2.9 Nona sessão ................................................................................................ 223
3.2.10 Décima sessão .......................................................................................... 224
3.2.11 Décima primeira sessão ........................................................................... 225
3.2.12 Décima segunda sessão ........................................................................... 230
3.2.13 Décima terceira sessão ............................................................................ 235
3.2.14 Décima quarta sessão .............................................................................. 238
3.2.15 Décima quinta sessão ............................................................................... 239
3.2.16 Décima sexta sessão ................................................................................ 243
3.2.17 Décima sétima sessão .............................................................................. 245
4. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO........................................................ 247
4.1 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 1 ....................................................... 247
4.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 2 ....................................................... 250
4.3 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 3 ....................................................... 251
4.4 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 4 ....................................................... 252
4.5 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 5 ....................................................... 255
4.6 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 6 ....................................................... 256
4.7 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 7 ....................................................... 258
4.8 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 8 ....................................................... 260
4.9 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 9 ....................................................... 261
4.10 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 10 ................................................... 263
4.11 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 11 ................................................... 265
4.12 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 12 ................................................... 268
4.13 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 13 ................................................... 271
4.14 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 14 ................................................... 272
4.15 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 15 ................................................... 272
4.16 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 16 ................................................... 274
4.17 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 17 ................................................... 275
4.18 ANÁLISE COMPARATIVA DO PRÉ-TESTE E DO PÓS-TESTE ................... 277
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 286
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 292
APÊNDICE A – Questionário a professores ....................................................... 298
APÊNDICE B – Questionário a alunos do 2º ano ............................................... 302
APÊNDICE C – Questionário a alunos do 1º ano ............................................... 308
APÊNDICE D – Folha de Gráficos A ................................................................... 310
APÊNDICE E - Ficha de avaliação das aulas...................................................... 312
16
INTRODUÇÃO
Pesquisas que buscam inovar a sala de aula e desenvolver uma prática
docente criativa e adequada à necessidade da sociedade contemporânea são temas
férteis na área da Educação Matemática, que busca soluções e alternativas para
melhorar o ensino de Matemática, com base num vasto referencial teórico. Uma das
temáticas mais discutidas dentro da área são as Tendências metodológicas no
ensino da matemática.
As práticas pedagógicas no Brasil decorrentes de distintos pressupostos
epistemológicos relativos à Educação Matemática foram inseridas no processo
educacional e modificadas historicamente.Um dos marcos à história da Educação
Matemática ocorreu na década de1920 quando a Congregação do Colégio Pedro II
propôs ao Conselho Nacional de Ensino, uma mudança na seriação do curso
secundário. Essa alteração foi homologada em sessão do referido conselho, em 26
de julho de 1928, e legalizada pelo Decreto nº 18.564, de 15 de janeiro de 1929,
tendo sido regulada sua aplicação pelo Aviso do Ministro da Justiça, encaminhado
ao Diretor Geral do Departamento Nacional de Ensino, em 29 de janeiro de 1929,
nesta data foi criada uma nova disciplina escolar no ensino brasileiro denominada
Matemática,que antes ao referido decreto era ensinada de forma fragmentada, isto
é, fazia parte do currículo do ensino secundário a aritmética, a álgebra e a
geometria. É também nesse contexto que o tema função é inserido entre os
conteúdos matemáticos do ensino secundário, que parte das concepções de Felix
Klein para o ensino secundário dentre os quais destaco: “incluir o conceito de função
com o papel de ideia coordenadora dos diversos assuntos da matemática escolar”
(BRAGA, 2006, p. 57).
Propostas metodológicas para o ensino da matemática já vêm sendo
discutidas há algum tempo por estudiosos da área. No artigo de Dário Fiorentini,
publicado em 1995 na revista Zetetiké, foi apresentada uma categorização a partir
da análise histórica do ensino da Matemática ao longo dos anos, definindo a
concepção de ensino e aprendizagem da Matemática, e a relação professor-aluno-
saber em cada contexto. Identificamos no estudo de Fiorentini três grandes períodos
históricos da Educação Matemática: a Matemática Tradicional, a Matemática
17
Moderna e a Matemática Contemporânea, que evidenciam distintas concepções de
ensino, a saber, as tendências: formalista-clássica, empírico-ativista, formalista-
moderna, sócioetnocultural, tecnicista e suas variações, construtivista, e histórico-
crítica.
A Matemática Tradicional enfatizada na década de 1920 em um período
em que as discussões giravam em torno das reformas educacionais no Brasil. Foi
marcada pelo processo de industrialização, em que a fábrica era vista como ideal
civilizatório de sociedade, visando à necessidade de mão de obra especializada e a
educação voltada à qualificação para o trabalho industrial (CARVALHO, 1998, p. 27
e 28). Até a década de 1930 sob uma perspectiva tradicional privilegiou-se o
domínio das técnicas operatórias, necessárias à vida prática e às atividades
comerciais.
O ensino da Matemática no Brasil caracterizava-se pela tendência
formalista-clássica até final da década de 1950, onde o professor tinha um papel
central como transmissor e expositor do conteúdo. A aprendizagem do aluno se
dava pela memorização e reprodução precisa do raciocínio e procedimento do
professor e da disposição dos conteúdos dos livros. Nesse sentido, os
tradicionalistas compreendiam que a melhoria do ensino da Matemática estava
relacionada a uma dimensão técnica e formal, os recursos utilizados eram a lousa e
os livros (FIORENTINI, 1995, p.5-8).
Na perspectiva tradicional de aprendizagem da matemática não é dada ao aluno qualquer oportunidade de articular suas experiências e conclusões pessoais acerca do conhecimento ensinado ou mesmo cobrado pelo professor, visto que só lhe é permitido exercitar o que lhe foi transmitido na escola. O aluno, portanto, não tem oportunidade de interagir com o próprio conhecimento, o que transforma a relação educativa em uma via de mão única na qual não lhe é dada a chance de rever aspectos implícitos no conhecimento que lhe é transmitido (MENDES, 2001a, p. 69).
Figura 1 - Esquema do ensino tradicional Fonte: MENDES, 2001a, p.69
18
A tendência empírico-ativista surge no Brasil a partir da década de 1920.
Na década de 1930 contribuiu para formular as diretrizes metodológicas do ensino
da matemática da Reforma Francisco Campos em 1931, e para a criação da
disciplina matemática resultante da unificação da álgebra, aritmética e geometria
(BRAGA, 2006, p. 25).
Os ativistas veem a experimentação/manipulação como fundamentais no
processo de aprendizagem, privilegiando o uso de jogos, materiais manipulativos e
atividades lúdicas. O professor passa a ser visto como orientador da aprendizagem e
o aluno como centro. Utilizam-se atividades experimentais, a resolução de
problemas e o método científico acreditando-se que o aluno aprende fazendo. Os
métodos de modelagem matemática e resolução de problemas emergem desse
período (FIORENTINI, 1995, p.10-12).
De acordo com Fiorentini (1995, p.13-15) na década de 1950 e 1960, com
a Matemática Moderna, o cenário educacional brasileiro foi dominado pela repressão
a todos que não concordavam com o regime militar, daí ter sido fortemente
influenciada, na sua elaboração, pelo pensamento tecnicista. Hoje, visto como mais
um modismo que influenciou fortemente a prática pedagógica desenvolvida nas
escolas, este tipo de pensamento, reduziu o ensino à formulação de objetivos
através de uma prática formal e funcionalista. E posteriormente, ainda nesse cenário
o ensino da matemática foi depositário de expectativas relacionadas à melhoria do
ensino e aprendizagem por meio do Movimento da Matemática Moderna.
Nesse período, destaca-se a tendência formalista-moderna (IBID,p. 13-
15), com ênfase no rigor, no uso da linguagem formal da matemática e nas
estruturas algébricas. O ensino continua sendo centrado no professor e distante de
aplicações práticas, e o aluno como reprodutor do saber sistematizado pelo
professor, haja vista que a proposta de ensino do período visava formar o
especialista matemático.
Ainda em um contexto militar destaca-se entre os anos de 1960 e 1970, a
tendência tecnicista (IBID, p.15-18), cuja proposta era apresentar os conteúdos
como uma instrução programada. Os recursos e as técnicas de ensino passam a ser
o centro do processo ensino e aprendizagem. A concepção de aprendizagem tem
como base o behaviorismo, corrente psicológica que estuda mudanças
19
comportamentais que se dão através de estímulos. Os alunos e o professor são
vistos como meros executores de um processo desenvolvido por especialistas.
A tendência sócioetnocultural surge com o fracasso do Movimento
Modernista e ganha destaque no Brasil a partir da década de1970, trata-se de uma
visão antropológica, social e política da Matemática e da Educação Matemática.
Parte de problemas da realidade, inseridos em diversos grupos culturais, que podem
ser utilizados no trabalho na sala de aula. A Etnomatemática surge nesta
perspectiva, como técnica de explicar, de conhecer e de entender a matemática nos
diversos contextos culturais (FIORENTINI, 1995, p. 24-29).
Segundo Heliodoro (2001, p. 113-117) considera-se a Matemática
Contemporânea, no Brasil, a partir da primeira metade da década de 1980, com a
instalação da Nova República, marcada pelo fim da ditadura militar e à ascensão do
governo civil da Aliança Democrática que aboliu a censura, favorecendo a produção
de literatura educacional crítica, passa-se a discutir uma tendência curricular crítica,
onde o professor é responsável por fazer a mediação entre o saber sistematizado e
a experiência social concreta do aluno. Assim, a ênfase está na relação triádica,
aluno-professor-saber matemático, hoje é considera como um dos principais projetos
de investigação em Educação Matemática, com a intenção de transformação
qualitativa do processo ensino e aprendizagem da matemática.
A tendência construtivista ganha força no Brasil nos anos 80,
fundamentada na teoria do construtivismo de Piaget que considera o conhecimento
matemático resultante da ação interativa-reflexiva do indivíduo com o meio
ambiente. Destaca-se o aprender a aprender e o desenvolvimento do pensamento
lógico-formal (FIORENTINI, 1995, p. 18-24).
A tendência histórico-crítica que concebe a Matemática como um saber
dinâmico que pode atender estímulos externos e internos, como as necessidades
sociais e as necessidades teóricas de ampliação dos conceitos, respectivamente.
Trata-se de uma aprendizagem significativa, que acontece quando o aluno consegue
atribuir sentido e significado às ideias matemáticas e sobre elas é capaz de pensar,
estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar.
Atualmente, com o intuito de adequar os conteúdos curriculares as
exigências dos documentos oficiais, procedimentos metodológicos são construídos
ou adaptados a fim de viabilizar o ensino e aprendizagem de forma a atender a
20
sociedade contemporânea, o que tem acarretado um aumento considerável das
abordagens metodológicas para o ensino de matemática.
Linhas de pesquisas voltadas aos métodos de ensino inclinam-se as
exigências educacionais dos documentos oficiais, tais como: a Lei de Diretrizes e
Bases para o Ensino Básico (BRASIL, 1996) que tem por finalidade desenvolver o
educando para o exercício da cidadania, consciente de sua responsabilidade
ambiental e apto a relacionar o conteúdo de sala de aula com o mundo a seu redor.
E os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 47 e 48) que apontam
como objetivo ao ensino da matemática, estimular o estudante a utilizar o
conhecimento matemático para fazer observações sistemáticas de aspectos
quantitativos do ponto de vista do conhecimento, a identificar os conhecimentos
matemáticos como meio para compreender e transformar o mundo a sua volta e a
desenvolver a capacidade de resolver problemas.
As tendências metodológicas no ensino da matemática, atualmente giram
em torno do Uso de Materiais Concretos e Jogos, da Resolução de Problemas, da
Etnomatemática, da Modelagem Matemática,do Uso das Tecnologias de Informação
e Comunicação, do Uso da História da Matemática como estratégia de ensino, e do
Ensino por Atividades, dentre outros. Essas metodologias utilizadas isoladamente ou
em conjunto apontam possibilidades de evolução no ensino e aprendizagem de
matemática.
O uso de materiais concretos e jogos é uma metodologia de ensino que
se utiliza de materiais manipulativos, balança, trena, fita métrica, ábaco, astrolábio
plano, com a finalidade de proporcionar uma verdadeira personificação e
representação dos conceitos matemáticos ou das ideias exploradas e tem como um
de seus precursores Reys (1971, apud MENDES, 2008, p.11).
A resolução de problemas como estratégia cognitiva em educação
matemática com ênfase em Polya (1979, apud MENDES, 2008, p. 28) que abordou
sobre como planejar e resolver problemas, e propõe situações-problemas
caracterizadas pela investigação e exploração de novos conceitos.
A etnomatemática que pode ser considerada como uma área do
conhecimento intrinsecamente ligada a grupos culturais e a seus interesses, propõe
um enfoque epistemológico alternativo associado a uma historiografia mais ampla.
“Etnomatemática significa que todas as culturas e todos os povos desenvolvem
21
maneiras de explicar, de reconhecer, de lidar com a realidade em um processo de
permanente evolução” (D‟AMBROSIO, 1985, apud MENDES, 2008, p.19).
A modelagem matemática, discutida por vários autores dos quais destaco
Bassanezi (1991). Este autor distingue a modelagem matemática enquanto método
científico, quando a mesma é utilizada como instrumento de pesquisa, na Física, na
Química, na Biomatemática, em problemas industriais de engenharia e em outras
áreas; e como estratégia de ensino, que propõe a partir do “mundo real” e, através
da abstração, construir modelos matemáticos que, resolvidos através de técnicas
matemáticas, apresentam soluções que passam por um processo de validação
visando ou não à modificação do modelo construído.
O uso da informática elucidada por Borba e Penteado (2003), que veem
nas novas mídias, como os computadores com softwares gráficos e as calculadoras
gráficas, uma possibilidade para o aluno experimentar e gerar várias conjecturas e
conseguir desenvolver argumentos para várias delas.
O uso da história da matemática como estratégia de ensino da
matemática escolar, que visa a partir da informação histórica, contribuir para a
disseminação do conhecimento proveniente de diferentes grupos socioculturais que
se organizam e se desenvolvem intelectualmente de acordo com suas necessidades
(MENDES, 2001b).
E, o ensino de matemática por atividades, com base na redescoberta, a
partir de uma sequência fixa ou flexível de atividades, “pressupõe a possibilidade de
conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções matemáticas presentes
nos objetivos da atividade” (SÁ, 2009, p. 18).
Com o intuito de verificar as abordagens metodológicas atuais para o
ensino de matemática, especificamente no que diz respeito ao ensino e
aprendizagem das funções afim e quadrática, realizamos um levantamento de
produções científicas nas regiões brasileiras, tendo como recorte o período de 2005
a 2011. O critério utilizado para a seleção das pesquisas foi o conteúdo, funções
afim e/ou quadrática, com enfoque nos trabalhos que apresentaram e aplicaram
propostas de atividades.
Foram identificados estudos que abordaram duas ou mais metodologias,
uns trataram da resolução de problemas com o uso de softwares educativos, outros
da modelagem matemática com o auxílio de um programa plotador de gráfico. No
22
entanto, percebe-se a predominância de um método, a saber: os trabalhos de
Chaves (2005), Pires (2009) e Souza (2011) que se utilizaram da Modelagem
Matemática como metodologia de ensino para o estudo de funções; as pesquisas de
Dornelas (2007), Mesquita (2009) e Delgado (2010) comdestaquenaResolução de
Problemas; e as Tecnologias de Informação e Comunicação para o ensino da
matemática presente nas pesquisas de Berleze (2007), Maia (2007) e Calil (2010).
Dada a pluralidade de metodologias com o fim último de favorecer o
ensino e aprendizagem de matemática, visualizamos a possibilidade de um avanço,
mesmo que restrito, com relação ao desempenho dos estudantes. No entanto, tendo
como recorte a realidade da Amazônia paraense, percebemos que mesmo com a
expansão das metodologias de ensino, tem havido um decréscimo no desempenho
dos estudantes na educação básica.
O Sistema de Avaliação da Educação Básica - SAEB/Prova Brasil1
avaliou o rendimento escolar em 2011 que abrangeu 55.924 escolas públicas que
participaram da parte censitária, a chamada Prova Brasil, e 3.392 escolas públicas e
particulares que participaram da parte amostral. O primeiro grupo de escolas
recebeu aplicação censitária em turmas de 5º e 9º ano do ensino fundamental
público, nas redes estaduais, municipais e federais, de área rural e urbana, desde
que a escola possuísse no mínimo 20 alunos matriculados em cada série avaliada.
Para esse grupo, os resultados são divulgados por escola.Já a parte amostral da
avaliação abrangeu escolas com 10 a 19 alunos de 5º e 9º ano do ensino
fundamental das redes públicas; escolas com 10 ou mais alunos de 5º e 9º ano do
ensino fundamental das redes privadas; e escolas com 10 ou mais alunos do 3º ano
do ensino médio das redes públicas e privadas do país.
Comparando os resultados da avaliação realizada em 2011, observa-se
que as médias na disciplina de matemática a nível estadualcom a média
nacionalapresentam um decréscimo. Segundo os dados da planilha do
SAEB/ProvaBrasil (2012), a média das escolas estaduais urbanas e das escolas
públicas no Brasil nos anos finais do ensino fundamental é de 245,1 e 243,2
1O Sistema de Avaliação da Educação Básica – SAEB/Prova Brasil é uma avaliação externa em larga
escala aplicada desde 1990, a cada dois anos, pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – INEP. O objetivo do SAEB/Prova Brasil é realizar um diagnóstico dos sistemas educacionais brasileiros. As informações produzidas por essa avaliação visam subsidiar a formulação, reformulação e o monitoramento das políticas públicas educacionais nas esferas municipal, estadual e federal, contribuindo para a melhoria da qualidade, equidade e eficiência do ensino.
23
respectivamente. Já no estado do Pará a média dos anos finais do ensino
fundamental é de 229,0 nas escolas estaduais urbanas e 229,1 nas escolas
públicas. Com relação ao ensino médio, as notas em matemática no estado do Pará
possuem média de 241,6 nas escolas estaduais urbanas e 243,1 nas escolas
públicas o que dista de 22,5 e 26,46 da média das escolas estaduais urbanas e
públicas brasileiras, respectivamente. Haja vista que a média das escolas de ensino
médio no Brasil é 264,1 para as escolas estaduais urbanas e 264,6 para as escolas
públicas.
Na região amazônica, os dados do Índice de Desenvolvimento da
Educação Básica (IDEB)2 apontam, em 2009, a conjuntura da rede pública de
ensino. No estado do Pará
pela planilha oficial é a menor média entre todas as unidades federativas. Em comparação com a nota nacional, os alunos do Estado estão um ponto abaixo da média (4,6). Considerando que neste levantamento o Ministério não considerou as notas da rede privada dos Estados nortistas, a diferença é de 0,8 pontos do resultado médio entre todas as escolas públicas do País (4,4) (FOLHA DO PROGRESSO, 2010).
Com relação aos anos finais do ensino fundamental o MEC estipulou uma
meta de 3,3 às escolas públicas estaduais do Pará para 2009 e 3,6 para 2011. No
entanto, os alunos do 9º ano apresentaram nota de 3,1 nos dois períodos. O quadro
negativo observado no Estado, nos anos finais do ensino fundamental, se repete nos
dados por município. Em Belém e Ananindeua, por exemplo, as escolas estaduais
ficaram aquém da meta do MEC. Belém ficou com 3.0 enquanto se esperava 3.2 e
Ananindeua ficou com 3.2 enquanto se esperava 3.5 (BRASIL, 2012).
O diagnóstico supracitado evidencia um problema inerente ao processo
educativo brasileiro, principalmente no que tange à realidade da Amazônia
paraense. Este cenário de baixo desempenho no âmbito da educação pode decorrer
de fatores, socioeconômicos como o índice de violência na escola, a falta de
incentivo da família, a falta de incentivo da escola, as condições financeiras,
2 O Ideb foi criado em 2005, como parte do Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE), para
medir a qualidade de cada escola e de cada rede de ensino. O índice é medido a cada dois anos, com o objetivo de, a partir do alcance das metas municipais e estaduais, o País chegue à nota seis em 2021, correspondente à qualidade do ensino em países desenvolvidos. No indicador estão reunidos o fluxo escolar (taxas de aprovação, reprovação e evasão obtidas no censo da educação básica) e as médias de desempenho nas avaliações Prova Brasil e Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (FOLHA DO PROGRESSO, 2010).
24
habitacionais e sociais das famílias dos alunos, dentre outras situações, ou de
fatores didático-pedagógicos, como por exemplo, estratégias de ensino.
A respeito das metodologias usuais, vale destacar que o método
tradicional é o mais recorrente em nossas escolas até hoje, adquirindo apenas uma
nova roupagem, antes os recursos mais utilizados eram o quadro negro e o giz,
agora o quadro magnético e o pincel. As aulas de matemática, em sua maioria,
continuam sendo ministradas de forma expositiva, a explanação do conteúdo
seguida de exemplos e exercícios, enfatizando uma aprendizagem mecanicista. O
que segundo os PCN também acarreta um baixo desempenho no aprendizado dos
alunos, principalmente por não favorecer uma proposta interdisciplinar, no que diz
respeito à execução de atividades escolares, que leve em conta a realidade do
educando.
O uso da metodologia tradicional na Amazônia, especificamente com
relação ao estudo das funções afim e quadrática, tem corroborado às dificuldades de
ensino e aprendizagem conforme aponta Furtado e Vale (2007) e Santos (2010).
Furtado e Vale (2007) realizaram uma pesquisa comparativa a partir de
questionários aplicados a alunos e professores sobre a concepção dos mesmos com
relação ao ensino e aprendizagem das funções afim e quadrática e ainda apontaram
uma proposta metodológica com atividades de redescoberta, uma das investigações
diz respeito às metodologias utilizadas para o ensino de funções, os autores
constataram que:
O ensino das funções afim e quadrática, de acordo com os alunos consultados, vem sendo desenvolvido por meio de uma abordagem que inicia com a definição seguida de exemplos e exercícios. O que confirma a predominância do ensino de funções por meio da metodologia tradicional que vem sofrendo severas críticas por parte dos estudiosos do processo de ensino e aprendizagem da Matemática (FURTADO e VALE, 2007, p. 100).
Santos (2010) procurou identificar a metodologia mais utilizada para o
ensino de funções, no município de Belém do Pará a partir da análise de
questionários aplicados a 80 alunos do ensino médio. A autora confirma a
predominância no ensino de funções por meio da metodologia tradicional, sendo que
60% dos alunos consultados estudaram função afim por meio deste método e
51,25% a função quadrática pelo mesmo método. Identificou-se ainda, dentre as
principais dificuldades relacionadas ao conteúdo de funções: o conceito de função, a
25
definição de função afim e função quadrática, em identificar o tipo de função, em
relacionar a função a seu respectivo gráfico, e uma das maiores dificuldades dos
estudantes, encontrada na pesquisa, está na resolução de problemas, uma vez que
dos 80 alunos consultados apenas dois tentaram resolver o problema proposto, mas
não conseguiram chegar ao resultado.
As informações supracitadas nos levaram a refletir sobre as contribuições à
educação matemática dentro da realidade local, de um lado temos um conjunto de
metodologias com procedimentos distintos mais com o mesmo fim, propiciar a
aprendizagem, de outro o ensino continua deficiente e os alunos acabam por não
aprender nem a parte técnica da matemática3, nem a visão crítica de mundo, tão
almejado pelos parâmetros curriculares nacionais. Nesta perspectiva formulamos a
seguinte questão: Quais os efeitos de um conjunto de atividades sobre funções
afim e quadrática no desempenho de alunos do 1º ano do ensino médio?
Mediante o estudo das abordagens pedagógicas adotadas no âmbito da
matemática, das exigências curriculares e de recursos simples e viáveis a
professores e alunos, projetamos atividades em que os alunos fossem inquiridos a
observar, analisar, inferir, testar, concluir, etc., a respeito dos conceitos,
propriedades matemáticas e problemas contextualizados ou não, isto é,
participassem ativamente do processo de construção do saber em questão.
Nosso trabalho compreende um conjunto de atividades como recurso de
ensino e aprendizagem com o objetivo de investigar as contribuições de
atividades para o processo de compreensão do conteúdo de funções afim e
quadrática.
Contemplando a dimensão desta pesquisa, que visa uma estratégia
didático-metodológica, com a intenção de fornecer subsídio ao discente para o
aprendizado das funções afim e quadrática, optamos por um método de pesquisa
capaz de relacionar concepções teóricas e práticas, a saber: a Engenharia Didática.
A Engenharia Didática emergiu de uma linha de pesquisa francesa
denominada Didática da Matemática no início da década de 1980, proposta por
MichèleArtigue. Trata-se de uma metodologia de investigação que se caracteriza por
um esquema experimental baseado em ações pedagógicas na sala de aula
(ARTIGUE, 1996, p. 196). A autora abordou a Engenharia Didática como dois pontos
3Princípios lógicos, cálculo, linguagem formal da matemática, estrutura algébrica.
26
centrais: as relações entre a investigação e a ação no sistema de ensino; e, uma
forma de colocar as ações didáticas desenvolvidas na sala de aula no seio das
metodologias de investigação didática.
A Engenharia Didática consiste em um trabalho de investigação do
didático no ensino de matemática comparável ao trabalho do engenheiro durante a
realização de um projeto. O quadro a seguir esclarece a relação entre as ações do
engenheiro e do pesquisador em didática da matemática.
Quadro 1 - Ações do engenheiro e do pesquisador em didática
Ações Engenheiro Pesquisador em didática
Apoia-se nos conhecimentos científicos de seu domínio.
Apoia-se nos conhecimentos oriundos da Engenharia e suas teorias.
Apoia-se nos conhecimentos oriundos da pesquisa em didática e suas teorias.
Submete-se ao controle cientifico.
É controlado pelas normas legais que estabelecem os procedimentos e exigências para as construções.
É controlado pelas normas estabelecidas pela ética na pesquisa.
Trabalha com objetos complexos.
Desenvolve seu trabalho num ambiente em que a complexidade é inerente as condições do projeto, devido envolver materiais distintos e combinações dos mesmos por seres humanos.
Desenvolve seu trabalho num ambiente em que a complexidade é inerente as condições da sala de aula devido a diversidade de relações envolvidas na atividade pedagógica e os aspectos cognitivos.
Estuda de forma prática meios de alcançar seu objetivo.
Estuda a situação apresentada buscando procedimentos e materiais que garantam a viabilidade do projeto.
Estuda a situação apresentada buscando procedimentos e materiais que visem superar ou aperfeiçoar a situação didática em questão.
Estuda situações ainda não resolvidas.
A cada projeto tem que estudar as condições ambientais, materiais, de mão de obra, tecnológicas e financeiras disponíveis para com criatividade e técnica propor a sequencia de desenvolvimento do projeto.
A cada pesquisa tem que estudar as condições sócioambientais, ideológicas, materiais e tecnológicas disponíveis para com criatividade e técnica propor uma alternativa metodológica para a situação em estudo.
Fonte: SÁ e ALVES, 2011. p. 147.
27
Este método de pesquisa realiza-se em quatro fases, conforme explicita
Pais (2002, 101-103): a análise preliminar, a concepção e a análise a priori, a
experimentação e a análise a posteriori e validação.
A análise preliminar diz respeito ao quadro teórico da pesquisa
descrevendo dimensões epistemológica, cognitiva, pedagógica, dentre outras que
contribuem à construção do objeto de estudo; além de destacar constatações
empíricas, concepções dos sujeitos envolvidos e a compreensão da realidade sob a
qual a experiência será realizada.
A concepção e a análise a priori tem o objetivo de determinar quais as
variáveis e se é possível exercer algum tipo de controle, relacionando o conteúdo
estudado com as atividades que o aluno pode desenvolver para a apreensão dos
conceitos em questão.
A experimentação diz respeito a aplicação da sequência didática
previamente planejada, estruturada e analisadas com a finalidade de observar
situações de aprendizagem.
E, a análise a posteriori e validação referente ao tratamento das
informações obtidas com a sequência didática, na engenharia didática a validação é
obtida pelo confronto dos dados obtidos na análise a priori e a posterior.
Inicialmente objetivamos apreender todo o arcabouço teórico da pesquisa
e galgar etapas para a execução da mesma. O primeiro contato com o método se
deu no grupo de pesquisa, Cognição e Educação Matemática na Universidade do
Estado do Pará, no qual realizamos leituras e discussões sobre a Engenharia
Didática.
De posse da apreensão do método, foi realizado um levantamento
bibliográfico de dissertações sobre o ensino e aprendizagem das funções afim e/ou
quadrática, no intuito de apreender as abordagens metodológicas e analisar a
eficiência das mesmas conforme o propósito de cada pesquisa.Essa leitura
possibilitou uma perspectiva acerca da necessidade educativa do aprendiz com
relação ao conteúdo das funções e do processo de construção de conhecimento do
aluno, o que nos levou a escolha da modelagem matemática e do ensino por
atividades, como metodologias de ensino a fim de estimular o aluno ao estudo e
possibilitar o aprendizado do conteúdo matemático. Realizamos o estudo dessas
metodologias de ensino, a partir das concepções de Biembengut e Hein (2003),
28
Barbosa (2003) e Bassanezi (2004) sobre modelagem matemática; e Sá (2009)
sobre ensino por atividades. Além do estudo sobre os fundamentos e métodos da
Didática da Matemática com base nas ideias de Brousseau (1996), que possibilitou
tecermos nossas análises a respeitos das relações aluno-conhecimento-professor
estabelecidas em sala de aula.
Em seguida aplicamos questionários a professores de matemática do
ensino básico e alunos do 2º ano do ensino médio,elaborados com base nos
questionários apresentados nas pesquisas de Furtado e Vale (2007) e Santos
(2010), a fim de obter um diagnóstico local sobre o desempenho de estudantes
belenenses, relacionados a matemática e ao conteúdo das funções afim e
quadrática, e os dados profissionais e escolares dos alunos e dos pais dos alunos
com intuito de obter informações que possam influenciar no desempenho escolar do
aluno.
Levando em consideração as concepções prévias acerca dos fatores
favoráveis à aprendizagem do estudante, das dificuldades encontradas por
pesquisadores, na realização de sua pesquisa, e por alunos em dominar o conteúdo.
Elaboramos atividades sobre as funções afim e quadrática, com base no trabalho
desenvolvido por Furtado e Vale (2007) e Santos (2010) tendo como enfoque o
ensino por atividades e a modelagem matemática abarcando elementos da cultura
local. A sequência didática visa estimular o estudante na aquisição do conhecimento
a partir desituações peculiares a cultura paraense; potencializar a especificidade do
conteúdo permitindo ao aluno desenvolver seu cognitivo por meio da interação com
as atividades; e, fornecer subsídio ao discente para resolver problemas sobre
funções, a partir do conhecimento construído em sala de aula.
Na sequência foi realizada a Experimentação. Aplicamos um questionário,
sobre o perfil dos alunos, e um conjunto de atividades para os conteúdos de função
afim e de função quadrática que ocorreram por meio de sessões. Os sujeitos da
pesquisa foram alunos do 1º ano do ensino médio de uma escola pública em Belém
do Pará. Executamos testes antes e após o conjunto de atividades, com a finalidade
de verificar o nível de aprendizado dos discentes antes e após o experimento.
Assim, registramos nessa fase a execução das atividades, nos roteiros de
atividades, nas gravações em áudio eem fichas que foram entregues a alunos com o
objetivo de verificar a opinião deles sobre cada aula. E por fim, analisamos as
29
produções dos alunos em classe a partir de uma abordagem qualitativa e
quantitativa dos pré-testes, das atividades desenvolvidas e dos pós-testes.
Com essa configuração de estudo almejamos contemplar nossa realidade
educacional e verificar a viabilidade de nossa estratégia. Assim, discorremos este
trabalho conforme as sessões a seguir:
A primeira sessão, análises prévias, apresentamos o levantamento
bibliográfico, de dissertações produzidas em instituições superiores no Brasil, nos
anos 2005 a 2011, sobre o ensino e aprendizagem das funçõesafim e quadrática; a
análise de uma pesquisa de campo realizada com docentes de matemática e
discentes do 2º ano do ensino médio para verificar o desempenho de estudantes
belenenses com relação aos conteúdos de funções; e ainda, nossa estratégia de
ensino, bem como, as metodologias de ensino que nortearam a pesquisa e os
elementos teóricos da pesquisa.
Na segunda seção, concepções e análise a priori, apresentamos o pré-
teste e o pós-teste descrevendo nossas hipóteses para a resolução dos mesmos
pelos alunos da turma experimental; e nossa sequência didática para o ensino das
funções afim e quadrática, detalhando o objetivo de cada atividade e o procedimento
para aplicação das mesmas, descrevendo possibilidades de ação para cada
atividade, prevendo comportamentos possíveis a fim de mostrar o desenvolvimento
da aprendizagem. Foram elaboradas 12 (doze) atividades e 02 testes diagnósticos.
A terceira seção se refere à experimentação. Nela apresentamos o
funcionamento da sequência didática, realizada em 17 (dezessete) sessões de
ensino, onde se procurou garantir a aproximação dos resultados práticos com a
análise teórica.
Na quarta seção tratamos da última fase da engenharia didática, que se
refere à análise a posteriori e validação. Nela analisamos as produções dos
alunos realizadas na aplicação das atividades e confrontamos os dados da análise a
priori ( nossas hipóteses sobre o experimento) com a análise a posteriori (o que de
fato ocorreu no experimento), a fim de tecer conclusões.
Por último, elencamos as considerações finais.
30
1. ANÁLISES PRÉVIAS
Com o objetivo de apresentar os resultados dos estudos realizados na
etapa das analises prévias, enfatizamos nesta seção: o levantamento de estudos
sobre o ensino e aprendizagem de funções afim e quadrática; a pesquisa de campo
sobre o processo de ensino e aprendizagem das funções afim e quadrática segundo
professores de matemática; a pesquisa de campo sobre o processo de ensino e
aprendizagem das funções afim e quadrática segundo discentes do 2º ano do ensino
médio; nossa estratégia de ensino com base na modelagem matemática e no ensino
por atividades e os elementos teóricos que embasaram nossa pesquisa, concepções
acerca da Didática da Matemática.
1.1 ESTUDOS SOBRE O PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DAS
FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA
Com o objetivo de analisar o efeito de propostas de ensino dentro das
abordagens de pesquisas que nos antecederam e buscar subsídios para a
construção de nossa pesquisa, levantamos e analisamos 9 dissertações, tendo
como recorte os anos de 2005 a 2011. Percebemos a preocupação de
pesquisadores em buscar estratégias que deem conta das expectativas
educacionais de um determinado contexto, seja este, uma instituição, um grupo de
alunos, alguns professores, especificidades de um dado local, dentre outras
situações.
O critério adotado para a seleção das pesquisas foi o conteúdo, sendo
selecionado trabalhos que abordaram a construção e aplicação de atividades
relacionadas as funções afim e quadrática, com destaque no percurso metodológico
para a execução das mesmas.
Os dados foram coletados na Biblioteca Digital Sapientia - Banco de
Teses e Dissertações da PUC-SP <www.sapientia.pucsp.br>, na Biblioteca Digital do
MEC - Portal Domínio Público <www.dominiopublico.gov.br>, na Secretaria da
Educação do Governo do Estado do Paraná - Portal Dia a Dia Educação
<www.diaadiaeducacao.pr.gov.br>, no Portal Mestrado Profissionalizante em Ensino
31
de Física e de Matemática do Centro Universitário Franciscano
<sites.unifra.br/fisicamatematica/Inicial/tabid/269/Default.aspx>, no Repositório
institucional – RIUFPA - Banco de dados de teses e dissertações da UFPA
<www.repositorio.ufpa.br>.
A análise que realizamos nos permitiu obter uma visão geral acerca de
atividades desenvolvidas para o ensino de funções afim e quadrática, e das
dificuldades enfrentadas pelos pesquisadores. Os estudos analisados utilizaram
mais de um método de ensino, contudo predominou um que foi o foco do estudo,
abordamos cada proposta de pesquisa, a partir das categorias: a Modelagem
Matemática, o Uso de TICs e a Resolução de Problemas. Apresentamos a proposta;
o problema; a questão de investigação; o objetivo; a descrição das atividades para o
ensino de funções, e propostas para serem usadas em sala de aula ou em outro
ambiente; os resultados obtidos; as considerações de cada autor e as convergências
e divergências dos trabalhos citados com a nossa pesquisa.
1.1.1 Modelagem matemática para o ensino de funções
1.1.1.1 Modelando matematicamente questões ambientais relacionadas com a água
Chaves (2005) discutiu uma possível forma de se conceber e materializar
a Modelagem Matemática como método de ensino e aprendizagem em cursos
regulares. E, destacou com base no estudo de Barbosa (1999) que os obstáculos
inerentes ao ensino e aprendizagem, tendo por metodologia a modelagem
matemática, estão relacionados a dificuldades identificadas pelos alunos, escola e
professores: os alunos desmotivados para a aprendizagem estariam despreparados
para esta abordagem; a escola com toda a sua estrutura formal/organizacional
oferece barreira para a implementação da modelagem e inibe iniciativas dos
professores que intencionem enveredar por esses caminhos; quanto aos
professores, menciona o fato de não se sentirem habilitados a desenvolver a
modelagem.
Chaves (2005) investigou: Como podemos utilizar a Modelagem, para o
ensino e a aprendizagem da Matemática em um curso regular como o Ensino Médio,
por exemplo? Com o objetivo de observar como a professora e os alunos se
32
envolvem em atividades de Modelagem e discutir os efeitos desse envolvimento
para a prática docente no referido método, para a formação geral do educando bem
como para o processo de ensino e aprendizagem de um conteúdo
reconhecidamente complexo, como é o caso das funções.
A pesquisa teve como sujeitos uma turma de primeira série do ensino
médio de uma escola da rede Federal de ensino, em Belém do Pará. Com base na
ModelagemMatemática e nas concepções advindas após o estudo dos obstáculos
relativos à mesma. As atividades foram realizadas em 2004, e construídas a partir da
seleção de várias reportagens de jornais e de revistas, publicações e páginas da
internet, além de duas visitas a COSANPA (Companhia de água e saneamento do
estado do Pará), como fonte de informações interessantes para a elaboração de
situações, envolvendo o estudo das funções afim, quadrática, exponencial e
logaritmo. A aplicação das atividades foi divida em problemas com base na
modelagem matemática e exercícios para revisar o conteúdo já visto na perspectiva
de contribuir a compreensão efetiva dos textos apresentados.
Com relação à avaliação da aprendizagem foram considerados apenas os
problemas das atividades voltados ao contexto da água, uma vez que a autora
considera que os exercícios não tratam de transformação no conhecimento, assim
foi subdividida por níveis de produção de 1 a 5, como mostra a tabela abaixo:
Quadro 2- Níveis alcançados pela turma
(continua) Atividades Categorização Nível Porcentagem
1 Exercício - -
2 Problema 5 88%
4 12% 3 Exercício - -
4 Problema 5 65%
4 35%
5 Exercício - -
6 Problema
5 16%
4 8%
2 24%
0 52%
7 Exercício Avaliativo
5 56%
4 35%
8 Problema
5 56%
4 35%
2 9%
33
Quadro2 – Níveis alcançados pela turma (conclusão)
9 Problema
5 40%
4 36%
3 17%
2 7%
10 Exercício - - Fonte: Chaves, 2005, p. 126.
Nos resultadosobtidos Chaves aponta que a maior incidência de alunos
estão enquadrados no nível 5, representando que conseguiram efetivar a tradução
para a linguagem simbólica da Matemática e portanto, construíram o modelo/função
esperado, realizando inferências e projeções.E em menor incidência os alunos se
enquadraram no nível 4, representando aqueles que a pesar de construírem o
modelo/função não conseguiram realizar com eles inferências eprojeções. Uns por
apresentarem defasagens de conteúdos próprios de Ensino Fundamental, oque os
impedia de resolver uma equação, um sistema ou uma expressão numérica, outros
porque conseguiam trazer o problema para o contexto da Matemática, através da
tradução,mas, não conseguiam voltar os resultados obtidos para o contexto.
Chaves considerou de um modo geral, que os alunosdesenvolveram
habilidades e capacidades em compreender os princípios matemáticos, calcular
valor numérico e raízes, identificar os conjuntos domínio e imagens das funções,
analisar, interpretar gráficos, dentre outros. Conclui que esses alunos aprenderam
de formasignificativa a utilizar as funções como ferramenta para a compreensão de
problemas comreferência na realidade e, que, a Modelagem, favoreceu
essaaprendizagem.
Destaca ainda que o ensino por Modelagem pode levar o aluno a tornar-
se coparticipante de seu processo de ensinoeaprendizagem e, por consequência, ter
sua aprendizagem facilitada. Por outro lado, para a professora pesquisadora, entre o
reconhecimento das desvantagens quanto à utilização da Modelagem para o ensino
e a sua aplicação, existe um caminho permeado de estudo e de pesquisa, que, para
ser trilhado precisa-se de disposição e audácia para vencer os obstáculos que se
afiguram. De modo que, para que a Modelagem Matemática, como estratégia de
ensino,possa serfielmente e continuamente aplicada nas salas de aulaprecisa-se de
um projeto pedagógico que a contemple. Caso contrário, seu uso ficará restrito a
experiências isoladas.
34
1.1.1.2 O uso da Modelação Matemática na construção do conceito de função
Pires (2009) buscou investigar: Quais as reais possibilidades de se
introduzir o conceito de função afim no 7º ano do ensino fundamental por meio da
resolução de problemas? Tendo por objetivo realizar um estudo intervencionista para
investigar as reais possibilidades de se introduzir o conceito de função afim no 7º
ano do Ensino Fundamental, contrariando o que é tradicionalmente proposto nos
documentos oficiais da educação brasileira.
O autor realizou uma pesquisa, de metodologia quase-experimental, com
53 alunos de uma escola pública municipal, localizada na cidade de Salto de
Pirapora, no interior de São Paulo. Os alunos foram divididos em dois grupos: o
Grupo Experimental (GE) formado por 29 alunos e que passou por uma intervenção
de ensino para introduzir noções básicas sobre função afim; e o Grupo de Controle
(GC), composto por 24 alunos que não passou por qualquer tipo de intervenção
sobre o tema. Esses alunos nunca haviam antes estudado formalmente função afim.
Todos os participantes passaram por um pré-teste e um pós-teste.
A participação do GC na pesquisa resumiu-se na realização de um teste
inicial (pré-teste) e um teste final (pós-teste). O pré-teste teve por objetivo
diagnosticar os conhecimentos desses alunos sobre o assunto em questão e o pós-
teste, o intuito de, após a intervenção no GE, comparar os desempenhos dos
estudantes dos dois grupos. Os testes foram aplicados no período de aula, em
duplas sendo destinadas duas aulas para cada teste.
Para o GC, foram previstos dois encontros, com duas aulas de 50 minutos
cada no total de quatro horas/aulas, destinadas à aplicação do pré e pós-teste.
Enquanto que o GE participou do experimento realizando o pré-teste, a intervenção
de ensino e o pós-teste. Todas estas atividades consumiram sete encontros, cada
encontro com duas aulas duplas de 50 minutos cada, totalizando 14 horas/aulas.
Vale ressaltar que, o primeiro encontro, foi destinado a aplicação do pré-teste que
aconteceu 15 dias, antes do início da intervenção, e do segundo ao sexto encontro
aconteceu a intervenção. O sétimo encontro foi dedicado à aplicação do pós-teste,
que aconteceu 15 dias após o término da intervenção de ensino.
35
Pires (2009) abordou os resultados a partir da análise dos erros, sendo
estes analisados de forma qualitativa a partir da avaliação dos alunos e suas
experiências em sala e uma análise quantitativa com o uso do software SPSS
(Statistical Package for Social Science) fazendo um comparativo entre o pré-teste e
o pós-teste dos grupos, GE (Grupo Experimental) e GC (Grupo de Controle). Assim,
foi constatado um considerável número de erros que foram contornados com a
mediação do experimento, dentre os quais o autor afirmou considerando os limites
de sua amostra, que os alunos realmente iniciaram a compreensão do conceito de
função afim, adquirindo algumas noções básicas referentes a esse assunto
matemático.
Os resultados da análise quantitativa apontam queos dois grupos partiram
de patamares próximos echegaram a patamares distintos, com nítida superioridade
no desempenho do GE sobre o GC. Este resultado já era esperado pelo
pesquisador, haja vista que o GE passou por uma intervenção de ensino enquanto
que o grupo GC não teve qualquer tipo de intervenção acerca do conteúdo.
Com relação à análise qualitativa o autor ressalta que o erro relativo à
proporcionalidade estava relacionado com a construção do conceito de função afim,
pois a noção proporcionalidade é o principal elemento para a construção do conceito
desse tipo de função. E, que de modo geral, a intervenção de ensino pela qual o
grupo passou foi eficiente no sentido de diminuir sensivelmente o número de
atividades que os alunos não sabiam responder e, também, na diminuição
considerável dos erros relativos à construção de gráficos, a não reconhecer no
gráfico as informações sobre a função afim e a não reconhecer a expressão
algébrica de uma função afim por meio de sua representação gráfica. Expõem ainda
que com relação ao erro de construção de gráficos, a não conhecer os coeficientes
de uma função afim e o desconhecimento da relação do coeficiente angular da
função afim com seu crescimento/decrescimento a intervenção de ensino não foi
suficiente para gerar uma diminuição significativa nesses tipos de erros, pois no pós-
teste esses erros voltaram a incidir com uma pequena diminuição em sua incidência
ou, em algumas vezes, chegando até a aumentar, como no caso do
desconhecimento da relação do coeficiente angular. E, conjecturou que estas
questões poderão ser contornadas se a intervenção de ensino apresentasse mais
atividades que dessem conta de superar esses erros, ou ainda, um maior número de
36
encontros, uma vez que esse foi o primeiro contato desses alunos com a função afim
e, também, com a álgebra.
O autor considerou que seus resultados podem contribuir para dar uma
pista a respeito da introdução das noções básicas de função afim, no que diz
respeito à construção do conceito de função afim por alunos do 7º ano do Ensino
Fundamental. E, que a modelação com a bomba d‟água motivou os alunos a
manipular o experimento e desenvolver o aprendizado, despertando ainda, um
espírito investigativo no aluno.
1.1.1.3 A modelagem matemática como proposta de ensino e aprendizagem do
conceito de função
Souza (2011) propôs o seguinte questionamento: De que maneira os
professores se apropriam da modelagem como processo de ensino e
aprendizagem? Com o objetivo de verificar como os professores se apropriam da
modelagem como processo de ensino e aprendizagem. Aplicou atividades a oito
professores de matemática de uma escola estadual de São Paulo.
A pesquisa teve por enfoque a utilização do segundo caso de modelagem
matemática proposto por Barbosa, que trata da escolha de um tema por parte do
professor mediador e uma busca de dados por parte dos alunos a fim de solucionar
por meio de um modelo matemático a situação desejada, e também se utilizou de
recursos tecnológicos especialmente para a construção gráfica, com o auxílio do
software GeoGebra.
Toda a atividade foi desenvolvida no laboratório de informática da escola,
onde os vinte computadores estavam conectados a internet. O conteúdo escolhido
para aplicação da modelação foi a relação existente entre potencias de motores
automotivos quando funcionados a álcool combustível (etanol) e a gasolina com
seus respectivos valores nos postos juntamente com a quilometragem rodada.
Para incentivar as discussões em cada dupla, foi entregue aos
professores textos e perguntas impressas, material este, onde puderam registrar
suas conclusões.O autor destacou pontos positivos e negativos identificados pelos
participantes, sobre a modelagem matemática como estratégia de ensino e
37
aprendizagem, haja vista que a intenção do estudo era a apropriação por parte dos
sujeitos do processo de Modelagem Matemática em suas práticas docentes.
Os pontos negativos mais citados foram: a falta de tempo para se realizar
todo o processo de modelagem e a preocupação com o cumprimento do
planejamento escolar. Dos positivos, se destacaram: a motivação do aluno e do
próprio professor;afacilitação da aprendizagem, o conteúdo matemático passa a ter
significação, deixa de ser abstrato e passa a ser concreto; desenvolvimento do
raciocínio, lógico e dedutivo em geral; a interatividade do conteúdo matemático com
outras disciplinas, etc.
Souza (2011) considerou que os pontos positivos superaram os
negativos, principalmente pelo fato de propiciar aos alunos um debate a respeito do
problema tratado, fazendo da Matemática uma ferramenta necessária para
compreensão e tratamento de situações reais.O autor conclui que este trabalho
possibilitou perceber “que muitos professores de matemática, se mostram propícios
a trabalharem com outras metodologias, mas por diversos motivos, continuam
utilizando o método tradicional em suas práticas”.
1.1.2 Uso das tecnologias de informação e comunicação
1.1.2.1 Aplicação do software Graphimaticano ensino de funções
O trabalho de Calil (2010) teve por objetivo analisar o uso do software
GRAPHMATICA, no conteúdo específico de função polinomial do 1º grau, e sua
relação com a aprendizagem desse conteúdo. Calilapontao problema de algumas
escolas em apresentarem um ensino de Matemática descontextualizado,
impossibilitando os alunos de relacionarem os conteúdos estudados e sua aplicação
no cotidiano e, utilizando outros recursos como a memorização de fórmulas e
conceitos que acabam se perdendo com o passar dos tempos.
As principais inquietações que motivaram a pesquisa foram: Qual o
resultado que se obtém quando os alunos são direcionados para construírem o
saber - matemático sem, contudo, serem direcionadas as respostas? Como o aluno
se comporta diante de uma pesquisa de investigação utilizando o computador?
Como se dá a aprendizagem deste aluno, mediante a utilização do computador?
38
Como o computador pode ajudar no processo de ensino aprendizagem de
Matemática?
O estudo teve como categoria principal as Tecnologias Educacionais, com
o auxilio de software para a construção gráfica, e como categoria secundária a
Resolução de Problemasa partir de situações do dia a dia, como por exemplo,o
preço do taxi em Juiz de Fora/MG.
O pesquisador realizou um estudo comparativo entre duas turmas do
nono ano do ensino fundamental na escola municipal Dante Jaime Brochado, na
cidade de Juiz de Fora, em Minas Gerais, denominadas turma A e turma B, na
primeira foi ministrado o conteúdo de função afim com o recurso do computador e o
auxilio do software Graphimaticae na turma B foi ministrado o mesmo conteúdo
deforma tradicional. Foram aplicados questionários a turma Acom a pretensão de
conhecer o nível de entendimento dos alunos em relação à utilização do
computador, de traçar o perfil inicial dos alunos que iriam utilizar o programa
educacional, e, de orientar os procedimentos para a primeira aula no laboratório. As
aulas e atividades foram ministradas por dois professores da turma um de
matemática e um de física e o pesquisador assumiu papel de observador.
Com relação aos resultados os professores participantes da pesquisa
relataram as condições de aprendizagem das duas turmas, e reinterando que a
turma que não utilizou o computador conseguiu fazer a relação,contudo, tiveram
dificuldade na construção dos gráficos. E, a turma que utilizou o software, embora
com dificuldade nesta construção, compreendeu mais rapidamente as posições dos
gráficos, alterando os valores fixos e os tempos e quantidades gastos nas situações
propostas pelos professores.
Ainda com relação ao desempenho dos alunos foi observado que a turma
B que não utilizou o software Graphmatica 16% obteve de 5,5 a 7 acertos, e a turma
A que utilizou a ferramenta 25% obteve de 5,5 a 7 acertos. O autor concluiu que a
pesquisa demonstrou como as tecnologias de informação podem auxiliar alunos e
professores na construção de conhecimentos. E, que a prática docente deu
oportunidade para que os alunos construíssem o conceito de função polinomial do 1º
grau, compreendendo a relação do conteúdo estudado com a vida fora da escola e
também dentro dela, através de um conjunto de situações que deram significado a
seu estudo.
39
Calil (2010) enfatiza que ao trabalhar as propriedades, as representações
simbólicas, os exercícios com o software Graphmatica contemplou o estudo de
construções e análises de gráficos de funções de 1º grau, suas leis de formação,
assim como melhorou o aprendizado de conceitos básicos de funções, no período
da pesquisa. Considerou que a informática abre possibilidades de mudanças
efetivas dentro da construção do conhecimento. Mas, afirma que outros métodos
devem ser utilizados. Pondera ainda que a tecnologia de informação pode ser
considerada uma maneira de superar alguns problemas no ensino de Matemática e
que é necessário que as escolas tenham um projeto político-pedagógico que
valorize a utilização de recursos computacionais no aprendizado de seus alunos,
sabendo-se que não basta a aquisição de computadores e softwares:“Épreciso que
os professores mudem suas práticas pedagógicas e seus objetivos, inclusive na
avaliação destes softwares que serão utilizados”. Ao final de sua dissertação sugeriu
como tema para futuras pesquisas a utilização do software Graphimatica no estudo
de funções polinomiais do 2º grau e funções trigonométricas.
1.1.2.2 Uma sequência de ensino usando o programa winplot
Berzele (2007) enfatizou o estudo de funções, ressaltando as
transformações gráficas, a partir da geografia e física, sob a ótica da
interdisciplinaridade. Seu objetivo foi analisar a contribuição do software Winplot
para a melhoria da qualidade do ensino de funções reais.
A autora aponta a seguinte questão: O uso do Winplot pode contribuir
com a melhoria da qualidade do ensino e da aprendizagem de funções reais, de
modo que o aluno seja capaz de construir sua própria aprendizagem de forma
autônoma, crítica e criativa?
Os sujeitos da pesquisa foram 14 alunos da primeira série do ensino
médio do Colégio Militar de Santa Maria. Foi aplicado questionário sobre o uso dos
computadores visando diagnosticar como os alunos participantes da pesquisa como
estavam sendo preparados para o uso das tecnologias computacionais no processo
de ensino e aprendizagem. Em seguida uma avaliação diagnostica.O experimento
foi realizado no laboratório de informática da escola com duplas fixas de alunos, as
40
atividades forma realizadas com o auxílio do winplot e ao final das atividades os
alunos salvaram as mesmas em disquete.
A aplicação da sequência didática ocorreu durante cinco sessões, cada
uma com duração média de 2h50min. Cada sessão esteve voltada a um tipo
específico de funções reais: afim, quadrática, exponencial, logarítmica e
trigonométrica. Os encontros ocorreram durante sete segundas-feiras.Os assuntos
abordados em cada uma das cinco sessões foram: sessão 1, função afim,
temperatura nas camadas atmosféricas; sessão 2, função quadrática, variação
diurna do índice ultravioleta num dia de verão; sessão 3, função exponencial, perfil
da pressão do ar na atmosfera; sessão 4, função logarítmica, perfil vertical da
velocidade do vento próximo à superfície; sessão 5, função seno, declinação solar
ao longo do ano. E por fim foi aplicada uma avaliação final, aanálisea posteriori.
O ambiente que se criou no laboratório de informática possibilitou a cada
aluno participar, sugerir, argumentar e tomar conclusões com base na
experimentação propiciada pelo Winplot ou sob a orientação da professora-
pesquisadora. O Winplot promoveu a interatividade aluno-aluno na medida em que
ambos os alunos, quando desconheciam um recurso ou uma estratégia para o
cálculo, viam-se envolvidos em desvendar a ferramenta, a fim de descobrir novas
possibilidades. Em sala de aula, o professor seria visto como o detentor da
“resposta”, bastando o aluno questioná-lo para obtê-la.
Berzele (2007)ressalta que o trabalho desenvolvido em sua pesquisa
procurou associar 3 pontos considerados fortes para a aprendizagem: buscou
relacionar o assunto matemático a outras áreas do conhecimento, mostrando a
importância e aplicabilidade da matemática; usou como ferramenta um recurso
atraente e popular entre os jovens, onde puderam perceber que o computador não
serve apenas para o lazer, mas também para fazer abordagens mais significativas e
relevantes de alguns conteúdos; dispôs os alunos em duplas, de modo que o
assunto matemático, geográfico ou mesmo computacional pudesse ser discutido e
analisado, permitindo que os colegas aprendessem um com o outro.
Os estudos preliminares mostraram que os alunos pesquisados têm
acesso ao computador, porém, o usam basicamente para o lazer. Por outro lado, os
PCN orientam que a formação do aluno deve contemplar o acesso às novas
tecnologias, de modo a prepará-lo para o mundo do trabalho, que espera cidadãos
41
críticos e autônomos. Para isso, a aula precisaria ser mais reflexiva e participativa,
ao invés de simplesmente informativa. Da análise dos resultados (atividades
propostas, relatórios, entrevista, observações) concluiu-se que o trabalho em dupla
foi importante durante o processo de ensino e aprendizagem, pois gerou um
ambiente de discussão, reflexão e argumentação que, por sua vez, desenvolveu a
criticidade do aluno; a curto prazo o uso do Winplot possibilitou que os alunos
inferissem e comprovassem suas asserções, diminuindo a dependência da figura do
professor.
Conforme Berzele esta tipo de abordagem permitiu uma melhor
compreensão do assunto por outro enfoque, uma vez que o aluno pôde discutir
sobre o problema, pois já havia visto o conteúdo em outra disciplina, ou seja, tinha
conhecimento prévio. Já não basta mais encher o quadro de exercícios repetitivos.
Os alunos sentem necessidade de conhecer aplicações concretas em que tais
assuntos são utilizados como forma de motivá-los a compreender melhor a situação.
Essa forma de abordagem permitiu que os alunos discutissem o assunto com base
nos conhecimentos já internalizados anteriormente e, sob o enfoque matemático,
pudessem analisar a situação com “um novo olhar”, agora matemático.
A autora destaca como sugestões que é preciso que as Licenciaturas
incentivem o uso das novas tecnologias durante a formação do futuro professor,
para que este possa sentir-se preparado e seguro ao incorporá-las em suas
atividades pedagógicas. Dessa forma, o professor poderá usar suas próprias
estratégias para viabilizar a melhor maneira de atingir os objetivos propostos do
conteúdo a ser aprendido, de uma forma mais atraente e enriquecedora.
1.1.2.3 Função quadrática: um estudo didático de uma abordagem computacional
Maia (2007) propõe uma sequência didática a oito alunos da 8ª série do
Ensino Fundamental de uma escola particular na cidade de São Bernardo do Campo
no estado de São Paulo com o auxilio de uma professora de Matemática. A questão
norteadora da pesquisa foi: É possível que alunos de 8ª série do Ensino
Fundamental se apropriem do processo de construção gráfica da função quadrática
como um conjunto de variáveis visuais que implicam em unidades simbólicas
significativas da escrita algébrica utilizando um ambiente computacional aliado ao
42
caráter lúdico como uma das ferramentas de aprendizagem? Tendo por objetivo
complementar estudos já realizados a respeito do ensino da função quadrática e da
utilização de software para este fim.
A pesquisa inicia com um breve estudo histórico e epistemológico acerca
do conceito de função. Em seguida a autora analisa livros didáticos sobre função
quadrática, sendo propostos no nível fundamental e médio, evidenciando os tipos de
exercícios e abordagens de ensino. Essas análises são realizadas a partir da noção
de Organização Praxeológica proposta por Chevallard (1995) presente em sua
Teoria Antropológica do Didático, que situa a atividade matemática no conjunto das
atividades humanas e das instituições sociais.
Dos 16 alunosconvidadosa participar da pesquisa somente oito
permaneceram até o final. A autora revela que a escolha do software winplot como
recurso informático se deu pelo fato dos alunos já conhecerem o software que fora
utilizado em uma atividade anterior para o estudo de função afim com o objetivo
observar o comportamento do gráfico relacionando-o com os coeficientes linear e
angular.
O experimento consiste em uma sequência didática composta por 6
atividades com o objetivo permitir que os alunos descubram uma “nova forma” de
representação da função do 2º grau – forma canônica, a fim de perceber que
modificações na escrita algébrica acarretam modificações na representação gráfica
e vice-versa.
A sequência didática foi dividida em três partes: a primeira parte
correspondeu às atividades 1, 2, 3 e 4 visando introduzir a forma canônica da função
quadrática, ou seja, realizar um tratamento na escrita algébrica da função com o
intuito de observar o comportamento do gráfico; a segunda parte correspondeu à
atividade 5 que visava aplicar os conceitos apreendidos e introduzir a noção de
domínio e intervalo de maneira lúdica. E, finalmente, a terceira parte correspondente
à atividade 6, na qual se pretendeu que os alunos reutilizem os conhecimentos
adquiridos.
Os resultados evidenciam que os alunos conseguiram estabelecer
relações do parâmetro a com os gráficos e descobriram, com o auxílio da animação
feita no Winplot, que o único valor que não poderia ser atribuído ao a era zero, pois,
o gráfico deixava deser uma parábola e passava a ser uma reta; e, conseguiram
43
generalizar a concavidade da parábola. Os alunos conseguiram perceber o eixo de
simetria da parábola e a simetria e reflexão entre as parábolas.
E que a primeira atividade possibilitou que os alunos perceberam que o
coeficiente de x2, implicava na mudança de abertura da parábola. E, para além das
expectativas da autora, essa atividade provocou uma indagação a respeito das
raízes da função o que não estava previsto, além do mais foi percebido a
preocupação que os alunos tinham em relacionar o que aprendiam na aula regular
com o que estavam aprendendo nas aulas extras.
Foram encontrados alguns problemas durante a execução das atividades,
pois os alunos sentiam dificuldades em interpretar os enunciados e sentiam-se
incapazes e inseguros em realizar as atividades que não se utilizaram do software
winplot, contudo foi contornada a situação com a mudança da estratégia de
aplicação, e os alunos passaram a construir gráficos da mesma forma que nas aulas
regulares.
Maia (2007) afirmou que o uso da Teoria dos Registros de Representação
foi fator preponderante para que os resultados na pesquisa fossem positivos,
principalmente por possibilitar a construção de uma sequência didática que
permitisse observar que modificações na escrita algébrica acarretam mudanças na
representação gráfica da função e vice-versa. De forma geral a autora concluiu que
houve um avanço por parte dos alunos, na apreensão do conceito de função
quadrática, propiciado pela compreensão e articulação entre as variáveis visuais e
unidades simbólicas significativas, e deixa como sugestão para trabalhos futuros que
se desenvolvam atividades que articulem a passagem de uma representação
algébrica a outra (forma canônica para a forma desenvolvida e vice-versa), por não
ter sido prioridade no seu trabalho.
1.1.3 Resolução de problemas como estratégia de ensino
1.1.3.1 Análise de uma sequência didática para aprendizagem do conceito de função
afim
Com o objetivo de investigar os efeitos de uma sequência didática nas
concepções de alunos do 1º ano do Ensino Médio em relação ao conceito de
44
Função Afim, abordado a partir da resolução de problemas de contexto realístico4.
Dornelas (2007) partiu de suas constatações, em escolas do ensino fundamental e
médio da rede pública estadual e da rede particular na região metropolitana do
Recife-PE, desde 1990, de que a aprendizagem não ocorre apenas quando se
apresenta um conteúdo de forma organizada e sequenciada, nem mesmo quando os
alunos repetem os modelos estudados. Assim, se preocupou com a seguinte
questão: a aplicação de uma sequência didática elaborada a partir de problemas de
contexto realístico enfatizando a ideia de variação entre grandezas (uma
dependendo da outra) e a articulação das diferentes representações de uma função,
produzirá que efeitos didáticos na aprendizagem do conceito de função afim?
Inicialmente a professora-pesquisadora desenvolveu o conteúdo Funções
de modo que os alunos compreendessem a importância da Matemática nas
situações reais por que passam, mas, também, sua importância enquanto
conhecimento historicamente acumulado pela humanidade ao longo do tempo.
Com base na Resolução de Problemas proposta por Charnay (1996),
Dornelas elaborou e executou uma sequencia didática, que foi trabalhada com cinco
grupos de quatro e cinco alunos da 1ª série do Ensino Médio de uma escola da rede
estadual em Recife. O trabalho foi desenvolvido em oito sessões, com duração de 1
h e 40 min cada uma. Foram utilizadas três formas de registro das atividades dos
participantes da pesquisa: registro escrito (fichas de atividades elaboradas a partir
da resolução de problemas), registro de áudio (gravação das discussões dos alunos
visando obter subsídios para a análise dos avanços cognitivos) e vídeo (filmagens
em fitas de VHS a fim de acompanhar as ações exercidas pelos alunos).
Em sua pesquisa, Dornelas (2007) observou no desenvolvimento da
sequência didática ter havido uma evolução nas concepções dos alunos, na
apreensão do conceito de função afim, propiciado pela compreensão do
relacionamento entre as variáveis dependente e independente e pelas devidas
conexões entre as diferentes representações da função.
Destacou também dificuldades em uma das questões, devido alguns
grupos de alunos acharem que a resposta necessitava do registro de algum cálculo
4 Para Dornelas (2007) esse tipo de problema tem como base uma situação real, a exemplo, uma
pessoa que paga um taxi onde é cobrada uma taxa fixa, pela bandeirada, e outra taxa por quilometro
rodado, assim os sujeitos podem estabelecer relações do cotidiano com a matemática.
45
numérico. E, a partir da análise dos registros escritos a autora observou que os
alunos não tinham intimidade com a conversão do registro da linguagem
matemática, tiveram certa dificuldade em compreender o enunciado do problema e
representá-lo na forma tabular, e em realizar a conversão do registro natural para o
tabular. Assim, foi necessária a intervenção da professora-pesquisadora instigando a
discussão entre os pequenos grupos, em algumas situações. Os próprios alunos ao
encontrarem alguma dificuldade que não conseguiam sanar nos pequenos grupos
solicitavam a ajuda da professora, o que evidenciou o efeito do contrato didático, e,
segundo a autora propiciou a incorporação de novas regras na relação professor-
saber-aluno além de possibilitar aos sujeitos da pesquisa assumir mais
responsabilidade pela construção do saber em jogo.
Dornelas (2007) considerou que os resultados das atividades e os relatos
das discussões das produções dos alunos revelaram que a sequência didática
aplicada e a metodologia adotada foram adequadas aos objetivos propostos, além
de propiciarem um “aprimoramento do espírito critico dos alunos”.
Destacou como aspecto positivo no desenvolvimento de sua pesquisa em
sala de aula, o fato das situações abordadas terem possibilitado aos alunos
perceber que uma tabela, uma expressão algébrica ou um gráfico de uma situação
do cotidiano são diferentes formas de representar uma função.
Concluiu que introduzir o estudo de função afim a partir de problemas de
contexto realístico, com ênfase na concepção variacional, possibilitou a identificação
das variáveis e o relacionamento entre elas, bem como a articulação entre os
diferentes registros de representação da função (linguagem natural, numérica,
algébrica e gráfica). E, que debates coletivos, realizados após a conclusão de cada
atividade, proporcionaram a superação de eventuais dúvidas ou dificuldades e as
institucionalizações dos conceitos trabalhados, e representaram um recurso didático
relevante para o bom desempenho dos grupos. Além disso, a discussão das
produções e a reflexão da validade dos resultados encontrados pelos alunos
possibilitaram um avanço cognitivo significativo.
Assim, considerou sua hipótese validada.E, ainda sugeriu as futuras
pesquisas que ao planejar sequências didáticas que envolvam a concepção
variacional, explorem a interpretação dos pontos de intersecção dos gráficos
construídos com os eixos coordenados e assim, favoreçam o estabelecimento de
46
conexões mais profundas entre os registros gráfico e algébrico. Além disso, que
sejam desenvolvidas investigações acerca da compreensão das noções de domínio
e imagem de função para que os alunos percebam que uma função não depende
apenas da relação de dependência entre duas variáveis, mas também dos valores
para os quais está definida.
1.1.3.2 O ensino da função afim a partir do registro de representação semiótica
No trabalho de Delgado (2010) foi enfatizada a crescente dificuldade
apresentada por seus alunos na aprendizagem de funções, relatando que a cada
ano percebe-se nos alunos uma resistência ou até mesmo uma insegurança em se
trabalhar qualquer uma de suas representações. E, uma das causas das
dificuldades apresentadas pelos alunos é a abstração exigida quando se lida com as
representações algébricas.
Destacou que o desenvolvimento desta capacidade de abstração não é
fácil de ser construída porque muitos alunos não têm esse hábito, ou simplesmente
nem sabem como desenvolver tal habilidade. Ressaltou que o estigma de que a
matemática é uma ciência exata traz a ideia errônea de que ela trabalha apenas no
campo do concreto enquanto o campo abstrato é extremamente útil e necessário. E
ainda, o fato dos alunos chegarem ao Ensino Médio com crescente deficiência de
leitura, escrita e interpretação, além das operações básicas em matemática. São
fatores que afetam o processo de aprendizagem, pois reduz a capacidade de
raciocínio, de abstração e de expressão desses alunos, o que ocasiona um enorme
abismo em todo esse processo.
Com base nessas situações, questiona: a utilização dos Registros de
Representações Semióticas auxilia no ensino e compreensão de suas várias
representações? Com o objetivo de avaliar as dificuldades de ensino e
aprendizagem da função afim aos alunos do 1ª ano do Ensino Médio da Rede
Pública Estadual na cidade do Rio de Janeiro.
O autor buscou na Resolução de Problemas como estratégia de ensino,
desenvolverum conjunto de atividades junto a três turmas totalizando cento e treze
alunosda qual o pesquisador foi o professor.Assim, inicialmente foi desenvolvida
com os alunos uma revisão de assuntos preliminares, equações, sistemas de
47
equações e posteriormente foi ministrado o conteúdo de funções afim para então
aplicar as atividades.
Foram realizadas dez atividades, com algumas delas subdivididas,
perfazendo um total de vinte e cinco itens. O objetivo principal das atividades foi a
verificação de quais transformações por conversão entre os diferentes registros de
representação da função afim (língua natural, expressões algébricas, tabelas de
valores e forma gráfica) os alunos possuíam maiores dificuldades e facilidades. Para
tanto, tomou-se o cuidado de se colocar nas atividades, pelo menos, duas diferentes
formas de representação seguindo as orientações dos Parâmetros Curriculares
Nacionais para Ensino Médio.
Das atividades realizadas foi identificado, dificuldade dos alunos com
relação a conversão da língua natural para a forma algébrica, erro conceitual
relacionado a troca dos coeficientes da função afim, além disso, comenta que não foi
percebida pelo professor uma mudança de atitude das turmas que justificasse esta
melhora. E, apenas uma das turmas obtiveram um rendimento satisfatório, e que o
aumento do índice de acerto está intimamente ligado à maior facilidade que os
alunos têm em realizar as transformações por conversão para a forma tabular e na
conversão da forma tabular para a gráfica.
Delgado considerou que os resultados apresentados demonstram que o
emprego dos registros, de forma escalonada, facilitou o ensino da Função Afim e
ajudou na detecção das dificuldades de conversão e tratamento, apontando em
qual(is) das conversões ocorreram maiores facilidades e dificuldades.
Afirmou que a utilização de procedimentos metodológicos adequados
propicia uma melhor avaliação do real aproveitamento dos alunos em relação ao
conteúdo trabalhado. E, muitas das dificuldades que apareceram no decorrer das
atividades podem perfeitamente passar despercebidas, caso se siga apenas a
sequência didática adotada pelos livros.
Delgado (2010, p. 90) conclui que: “Atividades que exigem tomadas de
decisões frente a situações-problema e desafios que ocorrem no cotidiano fazem
com que os alunos cresçam como cidadãos”.
48
1.1.3.3 Ensinar e aprender funções polinomiais do 2º grau no ensino médio
Com o objetivo de investigar como compatibilizar perspectivas
construtivistas de aprendizagem com o planejamento do ensino, no caso particular
do ensino e da aprendizagem de funções polinomiais do 2.º grau, e analisar a
atuação de professores de Matemática no que se refere às atividades de
planejamento e desenvolvimento do ensino, de forma compatível com uma
perspectiva construtivista de aprendizagem. Mesquita (2009) enfatiza as teorias
construtivistas de aprendizagem no que diz respeito ao aproveitamento do
conhecimento dos estudantes para a construção de uma Trajetória Hipotética de
Aprendizagem – THA.
Figura 2 - Domínios do conhecimento do professor, trajetória hipotética de aprendizagem e interações com os alunos Fonte: SIMON, 1995 apud MESQUITA, 2009
Assim, surgiram as seguintes questões: Como compatibilizar perspectivas
construtivistas de aprendizagem com o planejamento do ensino de Funções
Polinomiais do 2.º grau? Como as pesquisas na área de Educação Matemática que
trazem resultados importantes sobre a aprendizagem podem contribuir para a
organização do ensino de Funções Polinomiais do 2.º grau que potencialize boas
situações de aprendizagem dos alunos? Como é a atuação do professor de
Matemática no que se refere às atividades de planejamento do ensino de Funções
49
Polinomiais de 2.º grau, de forma compatível com uma perspectiva construtivista de
aprendizagem?
A pesquisadora escolheu dois professores de Matemática que atuavam
na escola pública estadual de São Paulo para desenvolver as atividades com a
primeira série do Ensino Médio totalizando 62 alunos. As atividades partem de
Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem tendo como suporte a Resolução de
problemas e uso de tecnologias com auxílio do software winplot.
Inicialmente foi proposta uma leitura compartilhada da situação-problema
e, em seguida, uma explicação com questionamentos em busca da interação com os
alunos, por meio das respostas às questões formuladas. Sempre após as
explicações, os alunos realizavam as atividades propostas e o professor circulava
pela sala para auxiliar e interagir com os alunos.
Dentre os resultados obtidos a autora esclarece que os mesmos
compatibilizaram perspectivas construtivistas de ensino e aprendizagem com o
planejamento ao propor tarefas envolvendo resolução de problemas, uso de
tecnologias, abordagens interdisciplinares e aplicações em situações do cotidiano e
em outras áreas do conhecimento, de modo que o aluno pudesse interagir e realizar
experimentos, levantar hipóteses, construir estratégias de resolução, esboçar
conjecturas, argumentar, relacionar e analisar, porém considera que isso não
garante uma aprendizagem com perspectivas construtivistas, sua efetivação
dependerá de como o professor vai atuar em sala de aula.Aesse respeito Marcia
Mesquita (2009, p. 111) afirma:
Nosso trabalho mostra que sem o professor se apropriar e participar do ciclo de aprendizagem esboçado por Simon, que parte do “conhecimento do professor” para organizar THA para seus alunos, identificando boas atividades (e que não necessariamente precise criá-las) a partir de objetivos claramente definidos e de atenção às hipóteses de aprendizagem de seus alunos; que as desenvolve em sala num processo interativo com os estudantes, não é possível avançar na qualidade da aprendizagem matemática.
Concluiu que não há recursos/materiais didáticos, por melhor que sejam
que garantam a aprendizagem. Acredita que não basta o professor receber materiais
prontos, haja vista que em sua pesquisa a autora mostra o professor como peça
fundamental para o desenvolvimento de trajetórias em sala de aula.E, ainda sugere
50
mudanças na Prática de Ensino e no Estágio Supervisionado no sentido de mudar
pesquisas nos currículos de formação inicial e continuada de professores.
1.1.4 Considerações Gerais
Nesta pesquisa abordamos trabalhos científicos que se utilizaram de
metodologias de ensino para o estudo de funções, devido a importância do conteúdo
não apenas para o domínio do conhecimento matemático como também às diversas
áreas do saber principalmente ligadas a fenômenos observáveis. No conceito de
função encontramos uma importante ferramenta para o estudo dasregularidades dos
fenômenos, em diferentes domínios, tais como Física,Química, Biologia e Economia.
As orientações curriculares para o ensino médio também destacam o
poder de alcance do conceito de função e a importância do mesmo para a
Matemática e outros campos do conhecimento:
O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problema, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática (Brasil 2006, p.121).
Com o diagnóstico das pesquisas sobre ensino e aprendizagem de
funções foi possível observar que as dificuldades apresentadas relacionadas a
aprendizagem giram em torno de conceitos de funções e principalmente das
diferentes representações de funções, algébrica, gráfica, tabular e literal, haja vista,
que a maioria das pesquisas evidencia a preocupação em suprir essas dificuldades,
com destaque na teoria dos registros semióticos. Com relação aos estudos que
trataram da manipulação de algum software destacou-se a necessidade de
familiarização com o programa. E, ainda que a sequência de aplicação
metodológica: pré-teste, atividades e pós-teste, nem sempre demonstraram uma
efetiva aquisição do conhecimento, talvez pelo fato de alguns alunos adotarem
postura avessa ao processo de avaliação somativa.
Estudos realizados em nível de Brasil sobre o ensino e aprendizagem de
funções, afim e quadrática, apresentam dentre as principais dificuldades dos alunos
no aprendizado desses conteúdos estão as diferentes representações de funções,
algébrica, gráfica, tabular e literal, como evidenciaSantos (2002), Lopes (2003) e
51
Delgado (2010), os alunos apresentam dificuldades em lidar com as relações das
representações gráficas e algébricas da função afim, e nas tarefas de interpretação
de informações contidas em representações gráficas. Santos (2005) aponta como
dificuldade o fato dos alunos não conseguirem identificar função como dependência
entre duas variáveis. Pires (2009) evidencia as dificuldades em relacionar o conceito
de função a situações contextualizadas. Reis (2012) destaca as dificuldades na
transcrição da linguagem natural para a linguagem algébrica e na resolução de
situações-problema. E, Araújo (2009) aponta as dificuldades em interpretar os
conceitos da função quadrática, como relacionar a parte algébrica, as equações,
com a parte geométrica, os pontos e a curva (parábola) num plano cartesiano.
Ao conhecer pesquisas que apontam resultados satisfatórios para
contornar a problemática no ensino e aprendizagem de funções e levando em
consideração as características específicas de nossa proposta, destacamos a seguir
os principais aspectos, decorrentes de um comparativo entre os trabalhos que
consultamos e nossa pesquisa.
O trabalho de Chaves (2005) aproxima-se do nosso em três aspectos:
primeiro o uso da modelagem, segundo os sujeitos são alunos do 1º ano do Ensino
Médio e terceiro os conteúdos abordados forama função afim e a função quadrática.
E, difere do nosso quanto à aplicação das atividades, pois no trabalho de Chaves
foram utilizados dois tipos de atividades, um considerado exercícios para revisar
conteúdos, reforçar ou desenvolver habilidades operatórias em algoritmos já vistos,
e outro foram atividades caracterizadas como problemas de Modelagem e utilizadas
com o intuito de que o aluno avançasse seus conhecimentos de funções, enquanto
construía modelos matemáticos. E, em nossas atividades partimos de uma situação
real para instigar o aluno a buscar soluções de algumas questões norteadoras,
apresentando durante o processo atividades com base no ensino por atividades que
permitam ao aluno experimentar matematicamente conceitos iniciais sobre funções
para em seguida formalizamos o conceito, e por fim conduzir o discente a encontrar
o modelo que represente o problema proposto.
A dissertação de Pires (2009) assemelha-se da nossa pesquisa por
trabalhar com os princípios da modelagem matemática para a resolução de
problemas em contextos significativos para o trabalho em sala de aula. Em
contrapartida, difere-se do nosso trabalho, pois ele enfatiza apenas a função afim e
52
nós a função afim e quadrática. Alem disso, a proposta de Pires consiste em uma
possibilidade de implementar o ensino de função afim no 7º ano do Ensino
Fundamental e nossa pesquisa não visa modificar o proposto pelos documentos
oficiais para o ensino básico, e sim um recurso para o aprendizado dos alunos com
relação ao conteúdo de funções que contemple o almejado pelos PCN, para o
currículo do 1º ano do Ensino Médio.
Apesar da pesquisa de Souza (2011) convergir com a nossa pelo fato de
trabalhar com a modelagem matemática e também utilizar os estudos de Barbosa
para direcionar as atividades, o enfoque da pesquisa diverge, pois a intenção de
Souza foi verificar como os professores se apropriam da modelagem como processo
de ensino e aprendizagem, e nossa proposta visa à aprendizagem do aluno, não a
apropriação de um método; o público ao qual aplica as atividades são professores
de matemática, e em nossa pesquisa as atividades serão aplicadas a alunos do 1º
ano do ensino médio;além disso, o enfoque com relação as atividades foi a
construção gráfica e utilizaram como auxílio o software GeoGebra, e nossas
atividades buscam trabalhar os demais tópicos de funções e são direcionadas de
forma prática para a sala de aula, não necessitando de um ambiente informático,
com a intenção de ser utilizada pelo professor mesmo que a escola não possua
laboratório de informática.
A pesquisa de Dornelas (2007) converge com a nossa pelo fato das
atividades partirem de um contexto real, os sujeitos da pesquisa serem alunos do 1º
ano do Ensino Médio e a técnica para coleta de dados durante o registro das
atividades, são os recursos de fichas de atividades e a gravação de áudio. No
entanto, o conteúdo abordado foi apenas função afim dando ênfase à variação entre
duas grandezas e às diferentes representações que uma função pode assumir
(literal, algébrica, tabular e gráfica) e nosso trabalho além de abordar essas
situações trata também de outros tópicos de função afim, como por exemplo: o zero
da função, o crescimento e decrescimento, o vértice da parábola, além da função
quadrática e seus conceitos.
A dissertação de Delgado (2010) tem como sujeitos alunos do 1º ano do
Ensino Médio, assim como nossa pesquisa, e também trata da resolução de
problemas, diferenciando no tipo de problemas. Isto é, enquanto o autor trata de
problemas típicos dos livros didáticos nossa pesquisa enfatiza atividades que tratam
53
de um contexto referente à cultura local do discente. Além disso, Delgado trabalha
apenas com a função afim e o enfoque é o ensino e compreensão das várias
representações da função tendo como referencial para embasamento das
atividades, a teoria de Raymond Duval (2005) sobre os registros de representação
semiótica para a aprendizagem da matemática. O que diverge de nossa proposta
que consiste em atividades estruturadas que parte de um contexto cultural da
Amazônia paraense com o enfoque da modelagem matemática para o ensino de
funções afim e quadrática, em seguida desenvolve atividades a fim de que o aluno
experencie e estabeleça construções matemáticas para posteriormente chegar ao
problema proposto, o que requer que o discente aprenda a matemática durante o
caminho (situação contextualizada atividades experimentais problema
proposto).
Ao comparar o trabalho de Mesquita (2009) com a nosso estudo
identificamos duas situações, uma consiste nas atividades também terem uma
perspectivas investigativa de aprendizagem, outra é o fato dos sujeitos também
serem alunos 1º ano do ensino médio. Dentre as principais diferenças podemos
elencar que a autora trabalha apenas com a função quadrática, ela utiliza o software
Cabri-Géomètre II para auxiliar nos gráficos e nossas construções são manuais, haja
vista que requeremos ao aluno desenvolver essa percepção. Além do mais, a
pesquisadora escolheu dois professores de Matemática que atuavam na escola
pública estadual para aplicar o experimento, ela foi apenas observadora, e nos
aplicamoso experimento com o auxilio da professora efetiva.
Os trabalhos de Calil (2010), Berzele (2007) e Maia (2007) diferem do
nosso estudo quanto ao enfoque, pois o objetivo era analisar a contribuição de um
software para o ensino do conteúdo, o Graphimatica para Calil e o Winplot no caso
dos outros autores. A pesquisa de Calil e de Maia foi direcionada ao 9º ano do
ensino fundamental, Calil enfatizou um estudo comparativo em duas turmas
ministrando o conteúdo de função afim e Maia aborda apenas função quadrática e
voltada para a construção gráfica, enquanto nossa pesquisa buscar observar o nível
de compreensão do conteúdo de função afim e quadrática a partir de atividades
aplicadas a uma única turma do 1º ano do ensino médio abordando vários tópicos do
conteúdo. A pesquisa de Calil converge com a nossa pelo fato de também
apresentar problemas, Berzele por aplicar a pesquisa a alunos do 1º ano do ensino
54
médio e por enfatizar atividades com base em um contexto e Maia por apresentar
uma sequência didática.
1.2 O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NA
VISÃO DE DOCENTES
Apresentamos nesta subseção os resultados da consulta feita a 50
(cinquenta) professores de matemática de várias escolas da rede pública do
município de Belém, no Pará, com o objetivo de traçar um diagnóstico a respeito da
prática docente sobre o ensino de funções afim e quadrática, e também verificar
como esses professores avaliavam as dificuldades dos alunos para aprenderem este
conteúdo. Além de tecermos um comparativo com pesquisas diagnósticas, sobre o
perfil dos professores de matemática que atuam em escolas públicas de Belém,
desenvolvidas por Furtado e Vale (2007) com uma amostra de 33 professores;Juca
(2008) com 32 professores eSalgado (2009), Moreira (2010), Graça (2011) e Santos
(2012) com amostra de 100 professores cada.
A consulta foi realizada durante os meses de novembro e dezembro de
2012, tendo como instrumento de coleta um questionário (cf. apêndice A) contendo
25 perguntas fechadas, referentes ao perfil dos sujeitos, a prática docente em
relação a funções, afim e quadrática, a avaliação do grau de dificuldades percebidas
pelo professor em relação a seus alunos quanto ao aprendizado deste conteúdo e
os recursos disponibilizados pela escola para atuação do professor em sala de aula.
Os critérios adotados para a escolha dos sujeitos foi que fossem
professores graduados em matemática, que trabalhassem em escolas públicas e
que lecionassem ou já tivessem lecionando no 1º ano do ensino médio. A
sistematização dos dados mostrou os resultados a seguir.
55
Questão 1 – Sexo e Questão 2 – Idade
Tabela 1 – Sexo e faixa etária dos professores consultados
Faixa etária
Sexo
Total Masculino Feminino
21 a 25 anos F. A. 2 3 5
%. 4% 6% 10%
26 a 30anos F. A. 10 8 18
% 20% 16% 36%
31 a 35 anos F. A. 9 0 9
% 18% 0% 18%
36 a 40 anos F. A. 3 4 7
% 6% 8% 14%
41 a 45 anos F. A. 4 3 7
% 8% 6% 14%
46 a 50 anos F. A. 2 0 2 % 4% 0% 4%
51 a 55 anos F. A. 0 1 1
% 0% 2% 2%
56 a 60 anos F. A. 1 0 1
% 2% 0% 2%
Total F. A. 31 19 50
% 62% 38% 100% Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 1 – Sexo e faixa etária dos professores consultados
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
A sistematização dos dados mostrou que dentre os professores
consultados, 31 eram homens e 19 eram mulheres, mostrando predominância de
2
10
9
3
4
2
0
1
3
8
0
4
3
0
1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
21 a 25 anos
26 a 30anos
31 a 35 anos
36 a 40 anos
41 a 45 anos
46 a 50 anos
51 a 55 anos
56 a 60 anos
Professores
Femenino
Masculino
56
professores do sexo masculino no ensino desta disciplina. Quanto a idade dos
professores consultados, 32 estavam na faixa etária entre 21 a 35 anos, o que
revelou um quadro relativamente jovem de professores atuando em algumas escolas
de Belém.
Assim como em nossa pesquisa, os estudos desenvolvidos por Furtado e
Vale (2007), Salgado (2009), Moreira (2010), Graça (2011) e Santos (2012) também
evidenciaram o predomínio de professores do sexo masculino atuando na disciplina
de Matemática. O que já vem sendo discutido por Curi (2000, p. 62) quando afirma
que a porcentagem de professores homens em matemática é maior do que em
algumas outras áreas do cohecimento.
Com relação a faixa etária, em comparação com nossa pesquisa,os
estudos de Furtado e Vale (2007), Juca (2008), Graça (2011), Santos (2012) e
Salgado (2011) apontam um quadro de professores relativamente jovens; com
exceção de Moreira (2010) que obteve uma amostra cuja a classe docente era
mesclada entre juventude ematuridade.
Questão 3.1 – Formação
Todos os professores consultados possuíam graduação em licenciatura
em Matemática e uma professora possuía além desta, bacharelado em Estatística
pela UFPA concluído em 1995 e graduação em Ciências da Computação pela
UNAMA concluído em 1997. A tabela 2 e o Gráfico 2 dispõe os dados relativo aos 50
professores consultados sobre o ano de conclusão do curso de Licenciatura em
Matemática e a instituição superir de ensino em que cursaram o mesmo.
Tabela 2 – Instituição e ano de conclusão de graduação em Matemática
(continua)
Ano de conclusão
Instituição
Total UFPA UEPA UNAMA UVA UNIR 1983-1986 F. A. 3 0 0 0 0 3
% 6% 0% 0% 0% 0% 6%
1991-1994 F. A. 3 0 1 0 0 4
% 6% 0% 2% 0% 0% 8%
1995-1998 F. A. 2 2 0 0 0 4 % 4% 4% 0% 0% 0% 8%
57
Tabela 3 – Instituição e ano de conclusão de graduação em Matemática (conclusão)
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 2 – Instituição e ano de conclusão de graduação em Matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Os dados evidenciam dentre os professores consultados que 3 foram
graduados em Matemática entre 1983 e 1986, nenhum foi graduado entre 1987 e
1990, 4 foram graduados entre 1991 e 1994, 4 foram graduados entre 1995 e 1998,
12 foram graduados entre 1999 e 2002, 11 foram graduados entre 2003 e 2006; 15
foram graduados entre 2007 e 2010 e 1 não informou. E 43 dos professores
estudaram em instituições de ensino superior públicas.
3
3
2
6
6
7
1
2
4
2
6
1
1
2
1
1
1
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
1983-1986
1991-1994
1995-1998
1999-2002
2003-2006
2007-2010
Não informaram
Professores
UNIR
UVA
UNAMA
UEPA
UFPA
1999-2002 F. A. 6 4 1 0 1 12
% 12% 8% 2% 0% 2% 24%
2003-2006 F. A. 6 2 2 1 0 11
% 12% 4% 4% 2% 0% 22%
2007-2010 F. A. 7 6 1 1 0 15
% 14% 12% 2% 2% 0% 30%
Não informaram F. A. 1 0 0 0 0 1
% 2% 0% 0% 0% 0% 2% Total F. A. 28 14 5 2 1 50
% 56% 28% 10% 4% 2% 100%
58
Questão 3.2 – Pós-Graduação lato sensu
Dos 50 professores consultados 22 cursaram ou estavam cursando
especialização dentre as quais apareceram os cursos e instituições proponentes
evidenciadas na tabela 4 a seguir.
Tabela 3 – Instituição, ano de conclusão e curso de especialização
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Instituição / Curso
Ano de conclusão
Tota
l
1995-1
997
2001-2
003
2004-2
006
2007-2
009
2010-2
012
Curs
an
do
UFPA Educação Matemática F.A 0 1 3 2 0 0 6
% 0% 2% 6% 4% 0% 0% 12%
Didática da Matemática
F.A 0 0 0 0 0 1 1
% 0% 0% 0% 0% 0% 2% 2%
Fundamentos da Matemática Elementar
F.A 0 0 0 1 0 0 1
% 0% 0% 0% 2% 0% 0% 2%
Matemática Aplicada F.A 0 0 0 1 1 0 2
% 0% 0% 0% 2% 2% 0% 4%
Estatística Aplicações F.A 1 0 0 0 0 0 1
% 2% 0% 0% 0% 0% 0% 2%
Pró-Ciências F.A 0 0 1 0 0 0 1
% 0% 0% 2% 0% 0% 0% 2%
UEPA Educação Matemática F.A 0 0 2 0 1 1 4
% 0% 0% 4% 0% 2% 2% 8%
Informática F.A 0 2 0 0 0 0 2
% 0% 4% 0% 0% 0% 0% 4%
UNAMA Ciências e Matemática F.A 0 0 2 0 0 0 2
% 0% 0% 4% 0% 0% 0% 4%
FIBRA Matemática no Ensino Básico
F.A 0 0 0 0 1 0 1
% 0% 0% 0% 0% 2% 0% 2%
SEDUC-PA
Pró-Ciências F.A 0 0 1 0 0 0 1
% 0% 0% 2% 0% 0% 0% 2%
Total
F.A 1 3 9 4 3 2 22
% 2% 6% 18% 8% 6% 4% 44%
Não possui especialização F.A - - - - - - 28 % 56%
Total F.A - - - - - - 50 % 100%
59
Gráfico 3 – Instituição e ano de conclusão de especialização
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Dos 22 professores que cursaram ou estão cursando pós-graduação lato
sensu os cursos destacados distribuem-se em: 10 professores Educação
Matemática, 1 Matemática no Ensino Básico, 1 Didática da Matemática, 1
Fundamentos da Matemática Elementar, 2 Matemática Aplicada, 2 Ciências e
Matemática, 1 Estatística Aplicações, 2 Informática e 2Pró-Ciências. Desses 19
estudou em instituição de ensino superior pública e 3 em instituição particular.
Quanto ao ano de conclusão observamos que 1professor concluiu entre 1995 e
1997, nenhum concluiu entre 1998 e 2000, 3 concluíram entre 2001 e 2003, 9
concluíram entre 2004 e 2006, 4 concluíram entre 2007 e 2009, 3 concluíram entre
2010 e 2012 e 2 estão cursando especialização.
1
5
2
1
1
1
1
1 1
1
2
1
2
2
28
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
1995-1997
2001-2003
2004-2006
2007-2009
2010-2012
Cursando
Não possui
Professores
Não possui especialização
Pró-Ciências
Informática
Estatística Aplicações
Ciências e Matemática
Matemática Aplicada
Fundamentos daMatemática Elementar
Didática da Matemática
Matemática no EnsinoBásico
Educação Matemática
60
Questão 3.3 – Pós-Graduação stricto sensu
Do total de professores consultados apenas 4 cursaram ou estavam
cursando mestrado e nenhum dos sujeitos tinham doutorado.
Tabela 4 – Mestrado e ano de conclusão
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 4 – Mestrado e ano de conclusão
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Dos cursos de mestrado destacado 2 professores cursaram ou estavam
cursando mestrado em Ciências e Matemática, 1 cursoumestrado em Estatística e 1
professor estava cursando mestrado em Matemática Profissional. A Instituição de
1 1 1 1
46
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1998 2007 Cursando Nãopossui
Pro
fes
so
res
Ciências e Matemática
Estatística
Matemática Profissional
Não possui mestrado
Curso Ano de conclusão
Total 1998 2007 Cursando
UFPA Ciências e Matemática
F.A 0 1 1 2
% 0% 2% 2% 4%
Estatística F.A 1 0 0 1
% 2% 0% 0% 2%
Matemática Profissional
F.A 0 0 1 1
% 0% 0% 2% 2%
Total F.A 1 1 2 4
% 2% 2% 4% 8% Não possui mestrado F.A - - - 46 % - - - 92% Total F.A - - - 50 % - - - 100%
61
ensino proponente foi a UFPA e os anos de conclusão observados foram 1 em 1998,
1 em 2007 e 2 estavam cursando.
Analisando os dados sobre a formação dos professores nos deparamos
com uma situação ruim, pois a quantidade de professores especialistas e/ou mestres
é muito pequena, quando dos 50 professores consultados pelo menos 34 destes se
formaram até 2006, 7 anos, sendo que 28 ainda não fizeram curso de
especialização e 46 não fizeram curso de mestrado. Significa que a maioria não deu
continuidade a sua formação.
Ao comparamos nossa investigação com outras, convergimos com os
estudos de Furtado e Vale (2007), Juca (2008), Graça (2011) e Santos (2012) que
também evidenciaram um baixo percentual de professores com pós-graduação,
sendo um pouco mais acentuados os que possuem especialização (em média 23%),
já mestrado e doutorado em média de apenas 5% e 1%, respectivamente, quando
possuíam; com excessão das pesquisas de Moreira (2010) e Salgado (2011),que
mostraram um percentual maior de professores com pós-graduação, embora este
último apresentou um percentual muito baixo de mestres (3%) e doutores(1%).
Essa realidade local retrata a dificuldade de acesso a um programa de
pós-graduação, seja lato sensu ou stricto sensuoferecido pelas instituições públicas
de nossa cidade; a formação inicial pouco estimulada e pouco incentivo na carreira.
Questão 4 – Tempo de serviço como professor de Matemática?
Tabela 5 – Tempo de serviço
Período Frequência
absoluta Percentual (%)
1 a 5 anos 18 36% 6 a 10 anos 12 24% 11 a 15 anos 8 16% 16 a 20 anos 7 14% 21 a 25 anos 2 4% 26-30 anos 2 4% 31-35 anos 1 2%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
62
Gráfico 5 – Tempo de serviço
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Sobre o tempo de serviço, 18 professores tem entre 1 a 5 anos de
docência, evidenciando um número considerável de professores participantes da
pesquisa com pouca vivência de sala de aula. No entanto, a maioria, 32 professores
tinha de 6 a 35 anos de docência, o que significa que tinham experiência suficiente
para avaliar as dificuldades dos alunos em sala de aula em relação a aprendizagem
das funções, afim e quadrática.
Questão 5 – Tipo de escola em que trabalha atualmente?
Tabela 6 – Tipo de escola em que os sujeitos trabalham
Escola Frequência
absoluta Percentual (%)
Pública Estadual, Federal e Privada 1 2% Pública Estadual e Federal 2 4% Pública Estadual, Municipal e Privada 3 6% Pública Estadual e Municipal 4 8% Pública Estadual e Privada 9 18% Pública Estadual 31 62% Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
18
12
8
7
2
2
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
1 a 5 anos
6 a 10 anos
11 a 15 anos
16 a 20 anos
21 a 25 anos
26-30 anos
31-35 anos
Professores
63
Gráfico 6 – Tipo de escola que os sujeitos trabalham
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Com relação às instituições nas quais os professores trabalham,
identificamos que 31 exercem atividades somente em escolas públicas da rede
estadual; 4 trabalham em escolas da rede pública estadual e municipal; 2 exercem
atividades na rede pública estadual e federal, 9 trabalham em escolas da rede
pública estadual e privada, 3 exercem atividades na rede pública estadual, municipal
e na rede privada e 1 exerce atividade na rede pública estadual e federal e na rede
privada. Ou seja, os 50 professores consultados trabalhavam em escolas públicas,
dentre outra, portanto eram conhecedores da realidade escolar na capital paraense.
Questão 6 – Durante sua formação de professor de matemática você fez
alguma disciplina sobre o ensino de Função Afim?
Questão 7 – Durante sua formação de professor de matemática você fez
alguma disciplina sobre o ensino de Função Quadrática?
Tabela 7– Cursou alguma disciplina sobre função afim e função qudrática
Afim Quadrática
Sim F.A 40 41 % 80% 82% Não F.A 10 9 % 20% 18% Total F.A 50 50 % 100% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
31
9
4
3
2
1
Pública Estadual
Pública Estadual e Privada
Pública Estadual e Municipal
Pública Estadual, Municipal e Privada
Pública Estadual e Federal
Pública Estadual, Federal e Privada
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Professores
64
Gráfico 7 – Cursou alguma disciplina sobre função afim e quadrática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
No que se refere a formação inicial para atuar no ensino de função afim,
observamos que os professores, em sua maioria, 40, informaram ter cursado
disciplinas que trataram sobre o ensino deste conteúdo, sendo estas Fundamentos
da Matemática Elementar e/ou Cálculo I, enquanto que 10 informaram nunca ter
cursado nenhuma disciplina que tratasse com destaque deste assunto.Em se
tratando da formação inicial para atuar no ensino de função quadrática, 41 dos
professores consultados informaram ter cursado na disciplina de Fundamentos da
Matemática Elementar e/ou Calculo I, o conteúdo de função quadrática, e 9%
informaram nunca ter cursado nenhuma disciplina que tratasse do assunto.
Questão 8 – Como professor de matemática você já participou de evento/curso
sobre o ensino de Função Afim?
Questão 9 – Como professor de matemática você já participou de evento/curso
sobre o ensino de Função Quadrática?
Tabela 8– Participou de evento/curso sobre função afim e função quadrática
Afim Quadrática
Sim F.A 15 13 % 30% 26% Não F.A 35 37 % 70% 74% Total F.A 50 50 % 100% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
10 9
40 41
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Afim Quadrática
Pro
fess
ore
s
Não
Sim
65
Gráfico 8 – Participou de evento/curso sobre função afim e função quadrática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Quando a questão era a formação continuada, os dados revelam que a
maioria dos professores consultados 35 nunca participou de cursos ou eventos que
abordasse o ensino de função afim e apenas 15 disseram ter participado de algum
desses momentos de formação, citando cursos de especialização e encontros de
educação matemática.No caso da formação continuada direcionada ao conteúdo de
função quadrática, a maioria, 37 professores consultados nunca participou de cursos
ou eventos que abordasse o ensino desse conteúdo e apenas 13 disseram ter
participado de algum desses momentos de formação, citando cursos de
especialização e encontros de educação matemática.
Questão 10 – Você ensina função afim do modo como aprendeu?
Questão 11 – Você ensina função quadrática do modo como aprendeu?
Tabela 9– Ensina função afim e quadrática do modo que aprendeu
Afim Quadrática
Sim F.A 14 13 % 28% 26% Não F.A 36 37 % 72% 74% Total F.A 50 50 % 100% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
15 13
35 37
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Afim Quadrática
Pro
fes
so
res
Sim
Não
66
Gráfico 9 – Ensina função afim e quadrática do modo que aprendeu
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Indagamos os professores acerca do saber aprendido e ensinado, e
verificamos que 36 professores não ensinam o conteúdo de função afim do mesmo
modo que aprendeu e 14 afirmam ensinar o assunto conforme haviam aprendido.
Com relação ao conteúdo de função quadrática, a maioria, 37 professores não
ensinam o conteúdo do mesmo modo que aprendeu e 13 afirmam ensinar o assunto
conforme haviam aprendido.
Com relação à forma de introdução dos conteúdos de função afim e
quadrática, os gráficos e tabelas das questões 12 e 13 do questionário aplicado a
professores evidenciam a prática destes em instituições de ensino públicas
belenenses.
Questão 12 – Introdução das aulas sobre função afim
Questão 13 – Introdução das aulas sobre função quadrática
Tabela 10 – Métodos usados para introdução dos conteúdos de função afim e função quadrática
(continua)
Método Afim Quadrática
Pela definição seguida de exemplos e exercícios
F.A 25 25
% 50% 50%
Com uma situação problema para depois introduzir o assunto
F.A 21 21
% 42% 42%
Com a história do assunto para depois explorar os conceitos
F.A 2 2
% 4% 4%
14 13
36 37
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Afim Quadrática
Pro
fes
so
res
Sim
Não
67
Tabela 10 – Métodos usados para introdução dos conteúdos de função afim e quadrática
(conclusão) Com um experimento para chegar ao conceito
F.A 1 1
% 2% 2%
Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
F.A 1 1
% 2% 2%
Com jogos para depois sistematizar os conceitos
F.A 0 0
% 0% 0% Total F.A 50 50
% 100% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 10 – Métodos usados para introdução dos conteúdos de função afim e
função quadrática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Verificamos que existia uma boa parcela dos professores, 25, que fazia
uso de metodologias diversificadas para introduzir o assunto de função afim e de
função quadrática, com destaque para a utilização de situações problemas, 21.
Enquanto os outros 25 ainda introduziam os assuntos de forma tradicional, centrada
em aulas expositivas, com apresentação das definições, seguidas de exemplificação
e resolução de exercícios. Dentre eles estavam dois dos quatro professores de
matemática da escola onde foi desenvolvido o experimento. O uso da metodologia
tradicional fica mais evidente ainda na pesquisa realizada com alunos que já
cursaram o 1º ano do ensino médio a qual mostramos na seção 1.3.
Com o intuito de verificar quais recursos pedagógicos estavam sendo
mais utilizados por estes docentes no momento da apreensão dos conhecimentos e
25
21
2
1
1
0
25
21
2
1
1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Pela definição seguida deexemplos e exercícios
Com uma situação problema paradepois introduzir o assunto
Com a história do assunto paradepois explorar os conceitos
Com um experimento para chegarao conceito
Com um modelo para situação eem seguida analisando o modelo
Com jogos para depoissistematizar os conceitos
Professores
Afim
Quadrática
68
no desenvolvimento das habilidades dos alunos em relação às funções, afim e
quadrática, tecemos questionamentos a respeito dos recursos utilizados para a
fixação dos conteúdos. As tabelas e gráficos a seguir traduzem as respostas obtidas.
Questão 14 – Os recursos usados pelos professores para fixar o conteúdo de
função afim?
Questão 15 – Os recursos usados pelos professores para fixar o conteúdo de função quadrática?
Tabela 11– Recursos para fixação dos conteúdos de função afim e quadrática
Recursos Afim Quadrática
Lista de exercícios F.A 31 29
% 62% 58%
Exercícios do livro didático F.A 12 13
% 24% 26%
Lista e livro F.A 2 3
% 4% 6%
Lista, jogos e procurar F.A 2 2
% 4% 4%
Lista, livro e procurar F.A 1 2
% 2% 4%
Lista, jogos, livro F.A 1 1
% 2% 2%
Jogos F.A 1 0
% 2% 0%
Total F.A 50 50
% 100% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 11 – Recursos para fixação do conteúdo de função afim e quadrática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
29
13
3
2
2
1
0
31
12
2
2
1
1
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Lista de exercícios
Exercícios do livro…
Lista e livro
Lista, jogos e procurar
Lista, livro e procurar
Lista, jogos, livro
Jogos
Professores
Afim
Quadrática
69
Constatamos que os recursos mais utilizados pela maioria dos
professores consultados era a lista de exercícios, usados por 31 dos consultados na
fixação do conteúdo de função afim e 29 para o conteúdo de função quadrática,
dentre eles estavam os quatro professores da escola local da pesquisa. Em segundo
lugar o recurso mais utilizado pelos professores consultados era o livro didático
representado por 12 para a função afim e 13 para a função quadrática. Enquanto
outros recursos como jogos e pesquisa erammenos utilizados, sendo que uma das
professoras que utilizava atuavana escola local do experimento.
Para nós, estes dados revelaram uma tentativa de buscar outras questões
para compreensão do aluno que está além do livro didático, haja vista que na fala de
alguns professores, durante a aplicação do questionário, destacaram o fato do livro
utilizado na escola não contemplar questões suficientes à aprendizagem dos
discentesno que se refere aos exercícios de fixação, tendo por tanto que recorrer a
outras fontes para isso,uma vez que a preocupação desses professores centra-se
em preparar os alunos para o vestibular. Por outro lado, o uso expressivo de lista de
exercícios e do livro didático, reforma a concepção tradicional de ensino.
Durante a aplicação do questionário presenciamos um momento de
ensino e aprendizagem em sala de aula em que a professora realizava com a turma
atividades com base em questões contextualizados, o que já é previsto no currículo
escolar, a resolução de problemas, embora não seja bem destacado no processo de
aprendizagem como podemos observar nos dados obtidos desta e da próxima
subseção.
Embora a maioria dos professores afirmaramnão ensinar os conteúdos de
função afim e função quadrática do mesmo modo que aprendeu, a maioria ainda
ensina de forma tradicional (definição, exemplo, exercício). O que denota a falta de
preparação didática que estimula professores a repetir os modelos os quais, um dia,
vivenciaram, conforme salientou Pimenta (2011, p. 35).
Questão 16 – Realizou o ensino de Função Afim por meio de experimento?
Questão 17 – Realizou o ensino de Função Quadrática por meio de
experimento?
70
Tabela 12– Realizou ensino de função afim e quadrática por experimento
Afim Quadrática
Sim F.A 2 1
% 4% 2%
Não F.A 46 47
% 92% 94%
Não informaram F.A 2 2
% 4% 4%
Total F.A 50 50
% 100% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 12 – Realizou ensino de função afim e quadrática por experimento
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Procuramos verificar se os professores consultados já haviam realizado o
ensino de funções por meio de experimentos e contatamos que dos 50 professores
apenas 2 afirmaram realizar o ensino da função afim por meio de experimentos, 46
não realizaram o ensino do conteúdo por experimento e 2não informaram; e apenas
1 dos professores afirmaram utilizar o ensino de função quadrática por meio de
experimentos, 47 não realizaram o ensino deste conteúdo por experimento e 2 não
informaram.
Questão 18 – Grau de dificuldade dos alunos no aprendizado de funções
Os professores foram inquiridos a destacar quais dos tópicos dos
conteúdos de função afim e quadrática costumavam ministrar e a avaliar o grau de
dificuldades dos discentes no aprendizado das funções afim e quadrática,
46 47
2 1 2 2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Afim Quadrática
Pro
fes
so
res
Não
Sim
Não informaram
71
destacando cada tópico destes conteúdos, a partir de suas experiências
profissionais em sala de aula, conforme o quadro a seguir.
Quadro 3 - Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores
(continua)
Nº Conteúdo
Você costuma
ministrar?
Grau de dificuldade para os alunos aprenderem
Sim
Não
Mu
ito
Fácil
Fácil
Reg
ula
r
Dif
ícil
Mu
ito
Dif
ícil
01 Definição da Função Afim [
( ) ,f x ax b 0a ] 100% 0% 2% 52% 36% 10% 0%
02 Gráfico da Função Afim 100% 0% 0% 43% 45% 12% 0%
03 Função constante [ ( )f x b ] 100% 0% 10% 58% 22% 10% 0%
04 Função linear [ ( )f x ax ,
0a ] 100% 0% 0% 64% 26% 10% 0%
05 Função identidade [ ( )f x x ] 100% 0% 2% 64% 24% 10% 0%
06 Domínio e Imagem de uma Função Afim
100% 0% 2% 42% 40% 16% 0%
07 Crescimento e decrescimento da Função Afim
100% 0% 4% 40% 42% 14% 0%
08 Zero ou raiz da Função Afim 100% 0% 6% 62% 22% 10% 0%
09 Estudo do Sinal da Função Afim
96% 4% 0% 38% 46% 16% 0%
10 Inequação do 1º grau [
0ax b , 0ax b ] 100% 0% 0% 30% 44% 26% 0%
11
Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Afim
98% 2% 2% 20% 50% 14% 0%
12
Definição da Função Quadrática [ 2( )f x ax bx c ,
0a ]
100% 0% 0% 44% 46% 10% 0%
13 Gráfico da Função Quadrática
100% 0% 0% 36% 50% 14% 0%
14 Função Quadrática do tipo
2( )f x ax bx , com 0a 100% 0% 0% 38% 30% 32% 0%
15 Função Quadrática do tipo
2( )f x ax c , com 0a 100% 0% 0% 30% 40% 22% 0%
16 Função Quadrática do tipo
2( )f x ax , com 0a 100% 0% 6% 30% 48% 16% 0%
72
Quadro 3 - Grau de dificuldades apresentadas pelos alunos, na percepção dos professores
(conclusão)
17 Domínio e Imagem de uma Função Quadrática
100% 0% 0% 34% 50% 16% 0%
18 Zeros ou raízes da Função Quadrática
100% 0% 6% 40% 38% 16% 0%
19 Concavidade da parábola 100% 0% 14% 40% 30% 16% 0% 20 Vértice da parábola 100% 0% 6% 38% 42% 14% 0%
21 Valor de Máximo e de Mínimo da Função Quadrática
100% 0% 2% 50% 36% 12% 0%
22 Estudo do Sinal da Função Quadrática
100% 0% 0% 24% 48% 28% 0%
23 Inequação do 2º grau
2 0ax bx c e 2 0ax bx c 96% 4% 0% 18% 50% 32% 0%
24
Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Quadrática
98% 2% 0% 16% 46% 38% 0%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Observamos no quadro 2 que a maioria dos professores costumava
ministrar todos os tópicos de função afim e quadrática, com exceção de 2 que não
costumavam ministravam inequação do 1º e do 2º grau e 1 que não costumava
ministrar situações-problemas sobre função afim e sobre função quadrática.
De acordo com a opinião dos professores consultados os alunos
apresentam maior dificuldade na resolução de problemas, sendo que 32
consideraram de regular a difícil, situações-problemas sobre função afim e 42
consideram de regular a difícil, situações-problemas envolvendo função quadrática.
Os demais tópicos do conteúdo de função afim e quadrática, a maioria dos
professores considerou como regular o grau de dificuldade para os alunos
aprenderem, com exceção da definição da função afim, dos tipos de função afim, do
zero da função afim, dos zeros da função quadrática, da concavidade da parábola e
do valor de máximo e de mínimo considerados grau de dificuldade fácil. Vale
destacar que os BRASIL (2006, p.83) apontam o quanto é importante, para o
exercício da cidadania, a competência de analisar um problema e tomar as decisões.
73
Questão 19.1 – Tempo aproximado para ministrar aulas de função afim
Tabela 13–Tempo aproximado para ministrar função afim
Hora/aula F.A %
2-6 23 46% 7-11 16 32% 12-16 11 22%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 13 – Tempo aproximado para ministrar função afim
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Questão 19.1 – Tempo aproximado para ministrar aulas de função quadrática
Tabela 14–Tempo aproximado para ministrar função quadrática
Hora/aula F.A %
4-9 19 38% 10-15 24 48% 16-21 7 14%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 14 – Tempo aproximado para ministrar função quadrática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
23
16 11
05
101520253035404550
2-6 h/a 7-11 h/a 12-16 h/a
Pro
fes
so
res
19
24
7
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
4-9 h/a 10-15 h/a 16-21 h/a
Pro
fes
so
res
74
Indagamos os professores sobre o tempo que eles levam para ministrar o
conteúdo de função afim em sala de aula e os dados revelam que a maioria, 23,
levam de 2 a 6 horas/aulas, 16 levam de 7 a 11 horas/aulas e 11 levam de 12 a 16
horas/aulas. Com relação a função quadrática 19 levam de 4 a 9 horas/aulas para
ministrar este conteúdo, 24 levam de 10 a 15 horas/aulas e 7 levam de 16 a 21
horas/aulas. Dentre eles um dos professores de matemática, cujo conteúdo de
função afim estava previsto para ser ministrado em 2 h/a e o conteúdo de função
quadrática em 4 h/a, ressaltou que este tempo foi estipulado durante o planejamento
escolar visando alcançar os demais conteúdos para o vestibular.
Entendemos a importância de o professor cumprir o extenso conteúdo
destinado a cada série de ensino, no caso do 1º ano do ensino médio BRASIL
(2000, p. 128) aponta:
Noção de função; funções analíticas e não-analíticas; análise gráfica; sequências numéricas; função exponencial ou logarítmica.
Trigonometria do triângulo retângulo.
Geometria plana: semelhança e congruência; representações de figuras.
Estatística: descrição de dados; representações gráficas.
E refletimos até que ponto a pressão do vestibular, impulsionando os professores a
terminarem os assuntos de forma rápida pode afetar o desempenho cognitivo do
aluno.
Questão 20 – Atividades extracurriculares em que os professores trabalham a
Matemática
Tabela 15–Tipos de atividades em que trabalha aulas de matemática
Atividades F.A %
Feira da cultura 12 24%
Não trabalha 23 46%
Feira e Campo 2 4%
Feira e jogos 5 10%
Campo e data comemorativa 1 2%
Feira, Jogos e Datas comemorativas 2 4%
Jogos e datas comemorativas 3 6%
Feira e Informática 2 4%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
75
Gráfico 15 – Tipos de atividades que o professor trabalha matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Em se tratando de atividades extracurriculares buscamos identificar em
quais tipos de atividades os professores consultados costumavam trabalhar a
matemática no ensino básico independente do conteúdo abordado, os resultados
apontam que 12 trabalhavam a matemática em feira da cultura, 2 em feira da cultura
e aulas de campo, 5 em feira da cultura e jogos, 1 em aulas de campo e datas
comemorativas, 2 em feira da cultura, jogos escolares e datas comemorativas, 3 em
jogos escolares e datas comemorativas, 2 em feira da cultura e informática e a
maioria, 23, não desenvolviam nenhum tipo de atividade extracurricular para ensinar
matemática em nenhuma das situações citadas.
Questão 21 – A escola disponibiliza de um laboratório de Matemática?
Tabela 16–Laboratório de Matemática
F.A %
Sim 7 14%
Não 38 76%
Não informaram 5 10%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
23
12
5
3
2
2
2
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Não trabalha
Feira da cultura
Feira e jogos
Jogos e datas comemorativas
Feira e Campo
Feira e Informática
Feira, Jogos e Datas comemorativas
Campo e data comemorativa
Professores
76
Gráfico 16 – Escola disponibiliza laboratório de Matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Com relação a laboratórios de matemática verificamos que apenas 7 dos
professores afirmaram ter laboratório de matemática na escola em que eles
trabalham e aplicamos o questionário, 5 não informaram, e a maioria 38 afirmaram
não haver laboratório de matemática ou que o este estaria em construção e um não
estava funcionando, pois estava sendo usado como depósito.
Compreendemos que a falta de laboratórios de matemática pode ser um
dos fatores que colaboram para a escassa utilização de métodos diferenciados, haja
vista que os professores não dispõe de material necessário na escola para modificar
suas práticas e como alguns professores destacaram no momento em que
aplicamos o questionário, outro fator seria o pouco tempo que eles dispõe para
preparar as aulas, o que dificulta a procura por outras abordagens.
Questão 22 – A escola disponibiliza de um laboratório de informática?
Tabela 17–Laboratório de Informática
F.A %
Sim. Com computadores suficientes para uma turma 17 34%
Sim. Com computadores insuficientes para uma turma 32 64%
Não disponibiliza de um laboratório de informática 1 2%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
5 7
38
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Nãoinformaram
Sim Não
Pro
fes
so
res
77
Gráfico 17 – Escola disponibiliza laboratório de informática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
No caso do laboratório de informática, 17 dos professores afirmaram que
a escola em que trabalhavam possuía laboratório de informática com computadores
suficiente para uma turma, levando em consideração computadores suficientes seria
uma quantidade que permitisse trabalhar em duplas ou trios em cada computador,
32, a maioria, afirmou que as escolas possuíam laboratório de informática mas com
computadores insuficientes para uma turma e 1 afirmou não disponibilizar de
laboratório de informática.
Questão 23 – A escola proporciona momentos de planejamento das aulas entre
os professores?
Tabela 18–Momentos de planejamento entre os professores oferecido pela escola
F.A %
Sim 24 48%
Não 17 34%
Não informaram 9 18%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
1
17
32
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Não disponibilizade um laboratório
de informática
Sim. Comcomputadores
suficientes parauma turma
Sim. Comcomputadores
insuficientes parauma turma
Pro
fes
so
res
78
Gráfico 18 – Momentos de planejamento das aulas oferecidos pela escola
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Sobre os momentos de planejamento das aulas entres os professores 24
afirmam que a escola proporciona esses momentos, 17 afirmam que a escola não
disponibiliza esses momento e 9 não informaram.
Questão 24 – A escola disponibiliza atividades de nivelamento/aulas de reforço
para os alunos com baixo desempenho na disciplina?
Tabela 19–Atividades de nivelamento/reforço ofertado pela escola
F.A %
Sim 25 50%
Não 25 50%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 19 – Atividades de nivelamento
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
9
17
24
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Nãoinformaram
Não Sim
Pro
fes
so
res
25 25
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Sim Não
Pro
fes
so
res
79
Buscamos investigar ainda se a escola disponibiliza atividades de
nivelamento/aulas de reforço para os alunos com baixo desempenho na disciplina e
dos 50 professores consultados 25 afirmou não disponibilizar esse tipo de atividade
e os outros 25 confirmou que a escola disponibiliza atividades de
nivelamento.Inclusive um dos professores relatou aimportanciadesta atividade e que
isto não ocorre nesta escola pública dentre as quais fomos aplicar o questionário,
mas que em outra escola da rede privada em que esse professor trabalha há, e ele
considera uma boa mudança nos resultados, e outro professor citaram o projetoMais
Educação funcionando nesse sentido.
Questão 25 – Quais recursos a escola disponibiliza para os professores
utilizarem dentro da sala de aula?
Tabela 20 – Recursos disponibilizados pela escola para uso do professor em sala de aula
Recursos F.A %
Livro 2 4%
Pincel e lousa 2 4%
Livro, Pincel e Lousa 18 36%
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook 3 6%
Livro, Pincel e lousa e DataShow 5 10%
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook e DataShow 11 22%
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook, DataShow e jogos 1 2%
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook, DataShow, jogos e calculadora
1 2%
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook, DataShow e software educativo
2 4%
Livro, Pincel e lousa, DataShow e calculadora 5 10%
Total 50 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
80
Gráfico 20 – Recursos disponibilizados pela escola para o professor
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
O livro e o pincel e lousa são os principais recursos destacados pelos
professores que as escolas disponibilizam para uso do professor em sala de aula,
representado por 18 das respostas, em segundo lugar o livro didático, pincel e lousa,
computador/notebook e data show são recursos bastante disponibilizados pela
escola, 11 das respostas, apenas 1 dos professores consultados destacaram o Livro,
Pincel e lousa, computador/Notebook, DataShow, jogos e calculadora. Desses
materiais a calculadora, os jogos e softwares educativos são os recursos com menor
frequência disponibilizados pela escola.
1.3 O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NA
VISÃO DE DISCENTES
Com o objetivo de obter um diagnóstico local a respeito das dificuldades
dos alunos em relação à aprendizagem das funções, afim e quadrática, realizamos
uma consulta a alunos que já haviam cursado o 1º ano do Ensino Médio em escolas
públicas no município Belém no estado do Pará.
18
11
5
5
3
2
2
2
1
1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Livro, Pincel e Lousa
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook eDataShow
Livro, Pincel e lousa e DataShow
Livro, Pincel e lousa, DataShow e calculadora
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook
Livro
Pincel e lousa
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook,DataShow e software educativo
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook,DataShow e jogos
Livro, Pincel e lousa, computador/Notebook,DataShow, jogos e calculadora
Professores
81
A consulta foi realizada por meio de um questionário (cf. apêndice B)
contendo questões sobre dados pessoais dos discentes (questões 1 e 2), dados
familiares (questões 3, 4, 5 e 6), dados escolares (questões 7, 8, 9, 10 e 11), dados
sobre a relação do aluno com a matemática (questões 12, 13, 14, 15, 16 e 21),
dados sobre a forma como foi desenvolvido o conteúdo de funções afim e quadrática
por seus professores (questões 17, 18, 19 e 20), dados sobre o grau de dificuldades
sentidas pelos alunos para o aprendizado de funções afim e quadrática (questão 22)
e questões envolvendo o conteúdo defunção afim e função quadrática, com o
objetivo de verificar qual o nível de domínio dos alunos sobre esses conteúdos.
O instrumento de pesquisa foi aplicado a 100 (cem) alunos do 2º ano do
ensino médioem duas escolas, uma localizada na periferia de Belém, na mesma
escolana qual foi desenvolvido o experimento e a outra situada no centro de Belém,
ambas da rede pública estadual. A consulta foi realizada durante o mês de
novembro e dezembro de 2012, sendo aplicado em sala de aula, contando com a
participação de cinco turmas; duas da escola na qual foi aplicado o experimento,
sendo uma do turno da manhã e uma do turno da tarde, e três turmas do turno da
manhã de outra escola. As duas turmas representam o quantitativo total de alunos
do 2º ano do ensino médio da escola em que foi aplicado o experimento e esses
alunos em sua maioria também cursaram o 1º ano do ensino médio nesta mesma
escola, nos dando uma ideia mais precisa de como o ensino de funções, afim e
quadrática foi desenvolvido nessa escola.
O critério adotado para a seleção dos sujeitos foi que já tivessem
estudado o conteúdo de funções afim e quadrática e que fossem alunos do 2º ano
do ensino médio, uma vez que nesta série possivelmente os alunos estariam com
esses assuntos mais recentes já que o conteúdo de funções é visto no 9º ano do
ensino fundamental e no 1º ano do ensino médio. A seguir mostramos a
sistematização dos resultados obtidos com a aplicação do questionário a alunos.
82
Questão 1 – Idade? e Questão 2 – Sexo?
Tabela 21 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados
Faixa etária
Sexo
Total Masculino Feminino
15 anos F. A. 0 2 2
% 0% 2% 2%
16 anos F. A. 22 11 33
% 22% 11% 33%
17 anos F. A. 20 19 39
% 20% 19% 39%
18 anos F. A. 9 8 17
% 9% 8% 17%
19 anos F. A. 2 2 4
% 2% 2% 4%
20 anos F. A. 1 2 3
% 1% 2% 3%
21 anos F. A. 0 1 1
% 0% 1% 1%
22 anos F. A. 0 1 1
% 0% 1% 1%
Total F. A. 54 46 100
% 54% 46% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 21 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
0%
22%
20%
9%
2%
1%
0%
0%
2%
11%
19%
8%
2%
2%
1%
1%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%
15 anos
16 anos
17 anos
18 anos
19 anos
20 anos
21 anos
22 anos
Femenino
Masculino
83
Observamos dentre os dados coletados dos alunos do 2º ano do ensino
médio que54% eram homens e 46% eram mulheres. Quanto a idade dos alunos
consultados os dados revelam que 2% tinham 15 anos, 33% tinham 16 anos e 65%
tinham idade igual ou superior a 17 anos. O que representa que a maioria destes
alunos estava em uma faixa etária superior a enfatizada pela LDB para o 2º ano do
ensino médio que prevê o ingresso do aluno no ensino médio com 15 anos de idade,
e consequentemente com 16 no 2º ano, se seguir corretamente as etapas de
obrigatoriedade de 7 a 14 anos no ensino fundamental.
Questão 3 – Quem é seu responsável?
Tabela 22 – Responsável do aluno
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 22 – Responsável do aluno
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
1% 1% 2% 4% 4% 6% 14% 17%
51%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Eumesmo
Avô eAvó
Irmão Avó Tia Avô Pai eMãe
Pai Mãe
Responsável F.A %
Mãe 51 51% Pai 17 17% Pai e Mãe 14 14% Avô 6 6% Avó 4 4% Tia 4 4% Irmão 2 2% Eu mesmo 1 1% Avô e Avó 1 1%
Total 100 100%
84
Questão 4 – Qual o nível de escolaridade de seu responsável?
Tabela 23 – Escolaridade do responsável do aluno
Escolaridade F.A %
Não escolarizado 2 2% Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ª série/1º ao 5º ano) 8 8% Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ª série/6º ao 9º ano) 15 15% Ensino Fundamental Completo 11 11% Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau) 10 10% Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau) 45 45% Ensino Superior (bacharelado, licenciatura ou tecnólogo) 9 9% Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 23 – Escolaridade do responsável do aluno
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Questão 5 – Seu responsável trabalha?
Tabela 24 – Responsável trabalha
Trabalha F.A %
Sim 76 76%
Não 24 24%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
45%
15%
11%
10%
9%
8%
2%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%
Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau)
Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ªsérie/6º ao 9º ano)
Ensino Fundamental Completo
Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau)
Ensino Superior (bacharelado, licenciaturaou tecnólogo)
Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ªsérie/1º ao 5º ano)
Não escolarizado
85
Gráfico 24 – Responsável trabalha
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Questão 6 – Você trabalha de forma remunerada?
Tabela 25 – Aluno trabalha de forma remunerada
Trabalha F.A %
Sim 10 10%
Não 74 74%
Às vezes 15 15%
Não informaram 1 1%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 25 – Aluno trabalha de forma remunerada
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
A maioria dos alunos (82%) tinha como responsável o pai e/ou a mãe. Os
responsáveis concluíram em sua maioria o ensino médio (45%), apenas 9% dos
responsáveis possuía ensino superior. A maioria dos responsáveis (76%) possuía
24%
76%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Não Sim
Não
Sim
1% 10%
15%
74%
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Nãoinformaram
Sim Às vezes Não
86
emprego, dos 24% restantes, alguns alunos afirmaram durante a pesquisa que seus
responsáveis eram aposentados, nesse grupo constava os avós outros disseram
que seus responsáveis não possuíam emprego. O que indicava que a maioria dos
alunos tinha pelo menos um dos responsáveis cuidando de sua subsistência. Com
relação aos alunos que trabalhavam de forma remunerada apenas 10% afirmou
trabalhar dessa forma, 15% indicou que às vezes e a maioria (74%) declarou não
trabalhar de forma remunerada.
Questão 7 – Você cursou o ensino fundamental em que tipo de escola?
Tabela 26 – Tipo de escola
Rede de ensino F.A %
Estadual 76 76%
Municipal 15 15%
Particular 6 6%
Estadual e Municipal 2 2%
Estadual e Particular 1 1%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 26 – Tipo de escola
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Dos 100 alunos consultados os dados revelam que 93% haviam cursado
o ensino fundamental somente em escolas públicas, sendo que destes 76% cursou
o ensino médio somente em escola estadual e 15% somente em escola municipal.
76%
15%
6%
2%
1%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%
Estadual
Municipal
Particular
Estadual e Municipal
Estadual e Particular
87
Questão 8 – A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora?
Tabela 27 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora
F.A %
Sim 41 41%
Não 59 59%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 27 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
A maioria dos alunos (59%) afirmou não estudar no mesmo bairro que
mora. No entanto, com relação aos discentes que estudam na escola do
experimento a maioria, com exceção de cinco alunos, estudam na escola de seu
bairro.
Questão 9 – Você faz algum curso?
Tabela 28 – Cursos
Cursos F.A %
Informática 27 27% Língua Estrangeira 11 11% Cursinho pré-vestibular 7 7%
Língua estrangeira e Informática 2 2% Língua Estrangeira e Cursinho pré-vestibular 1 1%
Informática e Administração e logística 1 1% Garçom 1 1%
Informática, Língua estrangeira e Comércio e varejo 1 1% Gestão empresarial 1 1% Petróleo e gás 1 1% Atendente de farmácia 1 1%
Nenhum curso 46 46% Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
41%
59%
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Sim Não
88
Gráfico 28 – Cursos
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Procuramos investigar se os alunos possuíam algum curso além do
ensino regular, os dados revelaram que a maioria (54%) fizeram ou estavam fazendo
algum curso dentre eles informática (31%), Língua estrangeira (15%) e Cursinho pré-
vestibular (8%); em menor percentual, mas também foram evidenciados alguns
cursos profissionalizantes como: Gestão Empresarial, Atendente de Farmácia,
Petróleo e Gás dentre outros.
Questão 10 – Você pratica algum esporte regularmente?
Tabela 29 – Pratica esporte
F.A %
Sim 49 49%
Não 51 51%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 29 – Pratica esporte
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%
Nenhum curso
Informática
Língua Estrangeira
Cursinho pré-vestibular
Língua estrangeira e Informática
Língua Estrangeira e Cursinho pré-…
Informática e Administração e logística
Garçom
Informática, Língua estrangeira e…
Gestão empresarial
Petróleo e gás
Atendente de farmácia
49% 51%
10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Sim Não
89
Quanto a prática de esporte houve um empate técnico com 49% dos
alunos que afirmaram praticar esportes regularmente dentre eles: futebol, vôlei,
basquete, corrida, musculação, futsal, natação, esgrima, muaithai, tai kondo, karatê.
A pesquisa realizada por Oliveira (2012, p. 26-44) com alunos e
professores sobre a prática de esportes regular e a influência desta no desempenho
escolar, evidenciouque o esporte pode tanto ajudar quanto ser prejudicial ao
rendimento escolar do aluno.Pois, contribui para a disciplina, a disposição para
realizar as tarefas, a concentração, a responsabilidade e a organização e
consequentemente para melhora no aprendizado, se aliado a administração do
tempo de prática e ao apoio familiar, escolar e sócio-econômico, do contrário pode
haver uma desvalorização dos estudos e a priorização excessiva dos treinos.
.
Questão 11 – Você já ficou em dependência?
Tabela 30 – Dependência
F.A %
Sim 41 41%
Não 59 59%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 30 – Dependência
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Procuramos verificar se os alunos já haviam ficado em dependência em
alguma matéria e caso sim que identificassem a disciplina e a série. Dos alunos
consultados 41% já ficou em dependência em algumas disciplina, dentre elas:
Matemática com ocorrências em todos os anos do ensino fundamental e 1º ano do
ensino médio; Português com ocorrência no 6º e 7º ano; Ciências no 6º e 9º ano;
41%
59%
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Sim Não
90
arte no 7º e 8º ano e Sociologia, Biologia, Inglês, História, Física e Química no 1º
ano do ensino médio.
Questão 12 – Você gosta de Matemática?
Tabela 31 – Gosta de Matemática
F.A %
Nenhum pouco 27 27%
Pouco 60 60%
Muito 13 13%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 31 – Gosta de Matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
No que se refere ao sentimento dos alunos pela matemática constatamos
que 73% dos alunos gostam desta disciplina, sendo que 60% gostavam um pouco e
13% gostavam muito; enquanto que 27% não gostavam nenhum pouco.
Questão 13 – Você tem dificuldade para aprender matemática?
Tabela 32 – Dificuldade em Matemática
F.A %
Não 17 17%
Um pouco 57 57%
Muito 26 26%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
13%
27%
60%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Muito Nenhum pouco Pouco
91
Gráfico 32 – Gosta de Matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Com relação a dificuldade em aprender matemática apenas 17% dos
alunos consultados declarou não ter dificuldade, a maioria alegou possui um pouco
de dificuldade (57%) ou muita dificuldade (26%) em aprender a disciplina.
Questão 14 – Você se distrai nas aulas de matemática?
Tabela 33 – Distrai nas aulas Matemática
F.A %
Não, eu sempre presto atenção 28 28% Sim, eu não consigo prestar atenção 16 16% Às vezes, quando a aula está chata 56 56% Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 33 – Distrai nas aulas de Matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
17%
26%
57%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Não Muito Um pouco
16%
28%
56%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Sim, eu nãoconsigo prestar
atenção
Não, eu semprepresto atenção
Às vezes,quando a aula
está chata
92
Com relação às aulas de matemática a maioria alegou se distrair durante
as aulas, 56% dos alunos se distrai às vezes quando a aula está chata, 16% se
distraem por não conseguirem prestar atenção e apenas 28% alegam sempre
prestar atenção nas aulas de matemática. Podemos atribuir esse desinteresse a
forma como vem sendo conduzidas as aulas, na maioria das vezes de forma
tradicional, não possibilitando que o aluno participe mais ativamente do processo de
aprendizagem.
Questão 15 – Você costuma estudar matemática fora do horário de aula?
Tabela 34 – Estuda matemática em outros horários
F.A %
Só no período de prova 47 47%
Só na véspera da prova 23 23%
Só nos fins de semana 9 9%
Alguns dias na semana (2 ou 3 dias) 14 14%
Não costumo estudar fora do horário de aula 7 7%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 34 – Estuda matemática em outros horários
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Os dados evidenciam que a maioria dos alunos consultados (77%) não
possui o hábito de estudar matemática fora do horário de aula apenas 23%
afirmaram estudar a matéria alguns dias da semana ou nos fins de semana. O que
pode ser um dos fatores que influencia no baixo rendimento do aluno, pelo fato de
47%
23%
14%
9%
7%
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%
Só no período de prova
Só na véspera da prova
Alguns dias na semana (2 ou 3 dias)
Só nos fins de semana
Não costumo estudar fora do horário de aula
93
não fixar os conteúdos ou não buscar exercitar os conhecimentos apreendidos a fim
de melhorar seu desempenho.
Questão 16 – Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?
Tabela 35 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática
F.A %
Ninguém 54 54% Professor particular 16 16% Amigo(a) 10 10% Irmão 8 8% Mãe 4 4% Pai 3 3% Primo 2 2% Cunhado 1 1% Namorado(a) 1 1% Mãe e Amigo(a) 1 1% Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 35 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Com relação as tarefas extraclasse perguntamos aos alunos quem lhes
ajudava nas tarefas de matemática e a maior frequência (54%) alegou não receber
ajuda, seguido vem os que afirmaram receber ajuda de professor particular (16%) ou
de amigos (10%).
54%
16%
10%
8%
4%
3%
2%
1%
1%
1%
0% 10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%
Ninguém
Professor particular
Amigo(a)
Irmão
Mãe
Pai
Primo
Cunhado
Namorado(a)
Mãe e Amigo(a)
94
Questão 17 – Como começaram a maioria das aulas quando você estudou
Função Afim?
Questão 18 – Como começaram a maioria das aulas quando você estudou
Função Quadrática?
Tabela 36 – Aulas de função afim e quadrática
Método Afim Quadrática
iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios
F.A 76 78
% 76% 78%
iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto
F.A 12 9
% 12% 9%
iniciaram coma História do assunto para depois explorar os conceitos
F.A 10 5
% 10% 5%
iniciaram com um experimento para chegar ao conceito
F.A 1 2
% 1% 2%
iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
F.A 1 6
% 1% 6%
iniciaram com jogos para depois sistematizar os conceitos
F.A 0 0
% 0% 0% Total F.A 50 50
% 100% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 36 – Aulas de função afim e quadrática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
78%
9%
5%
2%
6%
0%
76%
12%
10%
1%
1%
0%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
iniciaram pela definiçãoseguida de exemplos e…
iniciaram com uma situaçãoproblema para depois…
iniciaram com a História doassunto para depois…
iniciaram com umexperimento para chegar…
iniciaram com um modelopara situação e em…
iniciaram com jogos paradepois sistematizar os…
Afim
Quadrática
95
No que diz respeito ao ensino de função afim, 76% dos alunos declararam
que seus professores costumavam desenvolver o conteúdo por meio de aulas
expositivas, começando com a definição, seguida de exemplos e exercícios; 12%
iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto; 10%
iniciaram com a História do assunto; 1% iniciaram com um experimento para chegar
ao conceito; 1% iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o
modelo e nenhum utilizou jogos para introduzir o assunto.
No que diz respeito ao ensino de função quadrática, 78% dos alunos
declararam que seus professores costumavam desenvolver o conteúdo por meio de
aulas expositivas, começando com a definição, seguida de exemplos e
exercícios;9% iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o
assunto; 6% iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o
modelo; 5% iniciaram com a História do assunto; 2% iniciaram com um experimento
para chegar ao conceito e nenhum utilizou jogos para introduzir o assunto.
Questão 19 – Para fixar o conteúdo de Função Afim, seu professorcostumava?
Questão 20 – Para fixar o conteúdo de Função Quadrática, seu professor
costumava?
Tabela 37 – Fixar conteúdo de função afim e quadrática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Recursos Afim Quadrática
Lista de exercícios F.A 62 64
% 62% 64%
Exercícios do livro didático F.A 26 28
% 26% 28%
Jogos F.A 7 3
% 7% 3%
Procurar questões F.A 3 3
% 3% 3%
Não propor questões de fixação F.A 2 2
% 2% 2%
Total F.A 100 100
% 100% 100%
96
Gráfico 37 – Fixar conteúdo de função afim e quadrática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Em se tratando do método para fixar o conteúdo de função afim os alunos
informaram que 62% dos seus professores costumavam apresentar uma lista de
exercícios para serem resolvidos, 26% solicitavam que os alunos resolvessem
questões do livro didático, 7% apresentavam jogos envolvendo o assunto, 3%
solicitavam que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver e
2% não propõe questões de fixação.
Com relação ao método para fixar o conteúdo de função quadrática os
alunos informaram que 64% dos seus professores costumavam apresentar uma lista
de exercícios para serem resolvidos, 28% solicitavam que os alunos resolvessem
questões do livro didático, 3% não propõe questões de fixação, 3% apresentavam
jogos envolvendo o assunto, 2% solicitavam que os alunos procurassem questões
sobre o assunto.
Questão 21 – Você usa vê/percebe os conteúdos de matemática que você
aprende na escola em atividades/situações do dia a dia?
Tabela 38 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia
F.A %
Sim 57 57%
Não 34 34%
Não informaram 9 9%
Total 100 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
64%
28%
3%
3%
2%
62%
26%
7%
3%
2%
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Lista de exercícios
Exercícios do livro didático
Jogos
Procurar questões
Não propor questões defixação
Afim
Quadrática
97
Gráfico 38 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Buscamos saber se o aluno vê ou percebe os conteúdos matemáticos
que ele aprende na escola em atividade ou situações do dia a dia, e 57%
responderam positivamente, 34% não vê/percebe e 9% não informaram.
Questão 22 – Grau de dificuldade do aluno
Solicitamos que os alunos destacassem dentre os tópicos de função afim
e quadrática os que eles haviam estudado e destes qual o grau de dificuldades que
eles tiveram em aprender os conteúdos. Obtemos os dados a seguir:
Quadro 4 – Avaliação quanto ao grau de dificuldades das funções afim e quadrática,
segundo os discentes (continua)
Nº Conteúdo
Você estudou?
Grau de dificuldade
Sim
Não
Mu
ito
Fácil
Fácil
Reg
ula
r
Dif
ícil
Mu
ito
Dif
ícil
01 Definição da Função Afim [
( ) ,f x ax b 0a ] 100% 0% 3% 12% 56% 25% 4%
02 Gráfico da Função Afim 97% 3% 2% 16% 44% 30% 5%
03 Função constante [ ( )f x b ] 92% 8% 2% 10% 51% 25% 4%
04 Função linear [ ( )f x ax ,
0a ] 90% 10% 2% 6% 53% 27% 2%
05 Função identidade [ ( )f x x ] 82% 18% 0% 11% 39% 27% 5%
06 Domínio e Imagem de uma Função Afim
91% 9% 3% 11% 46% 26% 5%
9%
34%
57%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Nãoinformaram
Não Sim
98
Quadro 4 - Avaliação quanto ao grau de dificuldades das funções afim e quadrática, segundo os discentes
(conclusão)
7 Crescimento e decrescimento da Função Afim
86% 14% 2% 7% 46% 26% 5%
08 Zero ou raiz da Função Afim
91% 9% 4% 9% 44% 30% 4%
09 Estudo do Sinal da Função Afim
85% 15% 3% 13% 33% 30% 6%
10 Inequação do 1º grau [
0ax b , 0ax b ] 87% 13% 0% 13% 39% 29% 6%
11
Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Afim
83% 17% 1% 5% 33% 36% 8%
12
Definição da Função Quadrática [ 2( )f x ax bx c ,
0a ]
93% 7% 3% 10% 40% 32% 8%
13 Gráfico da Função Quadrática
91% 9% 1% 9% 45% 28% 8%
14 Função Quadrática do tipo
2( )f x ax bx , com 0a 88% 12% 2% 9% 49% 25% 3%
15 Função Quadrática do tipo
2( )f x ax c , com 0a 85% 15% 2% 9% 48% 23% 3%
16 Função Quadrática do tipo
2( )f x ax , com 0a 83% 17% 3% 13% 39% 23% 5%
17 Domínio e Imagem de uma Função Quadrática
85% 15% 2% 10% 36% 31% 6%
18 Zeros ou raízes da Função Quadrática
87% 13% 4% 9% 35% 32% 7%
19 Concavidade da parábola 85% 15% 3% 12% 25% 39% 6% 20 Vértice da parábola 89% 11% 3% 9% 33% 36% 8%
21 Valor de Máximo e de Mínimo da Função Quadrática
84% 16% 1% 8% 32% 35% 8%
22 Estudo do Sinal da Função Quadrática
85% 15% 1% 10% 34% 32% 8%
23 Inequação do 2º grau
2 0ax bx c e 2 0ax bx c 80% 20% 4% 5% 33% 25% 13%
24
Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Quadrática
84% 16% 1% 4% 37% 40% 2%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
99
Analisando o quadro 3 observamos que alguns alunos não estudaram
alguns tópicos de funções, sendo o percentual mais acentuado referente aos
tópicos: função identidade, função quadrática do tipo [f(x)=ax2], valor de máximo e
de mínimo, inequação do 2º grau e situações-problemas sobre função afim e
quadrática, com um percentual de 17% em média.
Verificamos que para um número significativo de alunos o aprendizado da
função afim e quadrática tinha um grau de dificuldades regular, sendo que alguns
tópicos de função quadrática eram considerados difícil. Confirmando em parte a
avaliação feita pelos professores, em que a maioria dos tópicos foi considerado
regular e alguns foram fácil.
Os tópicos mais apontados pelos alunos como de difícil aprendizagem
referiam-se a situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre função afim
e quadrática, a concavidade da parábola e o vértice da parábola. Esses tópicos são
considerados em sua maioria como regular para os professores.
Menina (2009, p. 225) afirma que as dificuldades apresentadas pelos
alunos sobre resolução de problemas podem estar relacionadas com a incapacidade
de se relacionarem com o novo e desconhecido ou com o fato de não conseguirem
estabelecer relações entre diversos conteúdos e/ou efetuar generalizações e
transferências entre diferentes situações e contextos.
Comparamos a seguir a avaliação realizada pelos docentes e discentes
com o desempenho destes últimos na resolução das questões dos testes sobre
função afim e quadrática, com a intenção de identificar o nível de domínio dos
alunos em relação aos conteúdos citados.
100
Quadro 5 – Comparação entre a avaliação dos docentes e discentes sobre as dificuldades e os desempenhos dos alunos no teste
Nº Questão
Conteúdo matemático
relacionado a questão
Grau de dificuldade declarado
pelos docentes
Grau de dificuldade declarado
pelos discentes
Resultados do teste
Acertos Erros Não Fez
FUNÇÃO AFIM
1 Q1a
Definição Fácil Regular
49% 31% 20%
2 Q1b 10% 3% 87%
3 Q2 1% 2% 97%
4 Q3a Gráfico Regular Regular 6% 10% 84%
5 Q3b Crescimento e decrescimento
Regular Regular 0% 10% 90%
6 Q4a Problema Regular Difícil 3% 0% 95%
7 Q4b Domínio e imagem
Fácil Regular 8% 0% 92%
8 Q5 Zero da função Fácil Regular 4% 6% 90%
FUNÇÃO QUADRÁTICA
9 Q1a Definição Regular Regular
51% 18% 31%
10 Q1b 12% 1% 87%
11 Q2a Gráfico Regular Regular 0% 4% 96%
12 Q2b Concavidade da parábola
Fácil Difícil 3% 2% 95%
13 Q3 Zeros da função
Fácil Regular 4% 0% 96%
14 Q4a Vértice,valor de máximo e de mínimo
Fácil Difícil 0% 0%
100%
15 Q4b 0% 0% 100%
16 Q5 Problema Regular Difícil 0% 0% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Analisando o quadro observamos que o desempenho dos alunos foi muito
aquém do considerado por eles e pelos professores nas avaliações, sendo
registrado um percentual muito alto de questões não resolvidas em todo o teste. O
que nos levou a inferir que os procedimentos de ensino aos quais esses alunos
foram submetidos, dentre outros fatores,não tem contribuído de fato para resolverem
questões sobre os diferentes tópicos do conteúdo de função afim e função
quadrática.
E ainda que fatores, tais como:pouco tempo de estudo, falta de interesse
pela disciplina, falta de incentivo ou ajuda nas atividades extracurriculares, pouco
tempo que o professor possui para preparar suas aulas e buscar abordagens
101
diferenciadas, pouco empenho por parte da escola em atividades de reforço e a
escassa disponibilidade na escola de recursos de aprendizagem, laboratórios, etc.,
tem colaborado para um baixo desempenho dos alunos no aprendizado de
matemática, mais especificamente de funções, o que ficou reforçado na avaliação
dos docentes e discentes declarando que os conteúdos de funções afim e
quadrática possui nível de dificuldade de regular a difícil na maioria dos tópicos
destes conteúdos.
Vale ressaltar que no momento de aplicação dos questionários muitos
alunos afirmaram que apesar de terem estudado funções afim e quadrática no 1º
ano do ensino médio e alguns também no 9º ano do ensino fundamental, a maioria
não lembrava dos conteúdos.
Na análise das questões verificamos que as únicas questões que os
alunos tiveram um melhor desempenho foi a que tratou da identificação das funções
afim e quadrática. Mas poucos identificaram seus respectivos coeficientes. E na
questão 2 que lhes inquiria encontrar a função afim a partir de dois pontos dados,
apenas um aluno acertou a questão.
Quanto a construção gráfica somente 6% obteve êxito na função afim
nenhum aluno conseguiu construir corretamente na função quadrática. Na
identificação da função afim quanto seu crescimento e decrescimento dos 10% que
tentaram responder nenhum acertou. Já com relação a problemas 3% ainda
conseguiu resolver corretamente a questão da função afim, mas nenhum na função
quadrática. Quanto a questão em que se pedia a imagem da função afim, ainda
obteveram 8% dos acertos e no zero da função afim e nos zeros da função
quadrática 4% dos acertos; o que não ocorreu na questão sobre vértice, valor de
máximo e de mínimo, pois nenhum aluno tentou resolver.
Verificarmos ainda, nos resultados do teste para esses conteúdos, que os
alunos não tiveram rendimento satisfatório em nenhum dos casos, uma vez que a
soma do percentual de erros e de questões não resolvidas superou em muito o
percentual de acertos. Observamos dentre os erros que apesar de alguns alunos
terem a noção de reta, construíram o gráfico da função afim como sendo crescente,
sendo que lhes foi dada uma função decrescente, e que na função quadrática os
alunos tinham a noção que o gráfico era uma parábola, mais só desenharam o
gráfico, não calcularam os pontos, ou calcularam os pontos incorretamente e
102
construíram um gráfico errado, ou ainda dispunham o gráfico côncavo para baixo ao
invés de côncavo para cima. Outra observação foi com relação aos erros cometidos
na identificação da função afim ou quadrática, dentre os erros na função afim 3%
marcaram a função logaritmo (alternativa d), 4% marcaram a função exponencial
(alternativa b) e 24% marcaram a função quadrática (alternativa c); nos erros
cometidos na função quadrática 2% marcaram a função seno (alternativa d), 4%
marcaram a função logaritmo (alternativa b) e 12% marcaram a função afim
(alternativa a).
Braga (2009, p. 22 e 23) ao analisar pesquisas em Educação Matemática
que tratam das dificuldades dos alunos no aprendizado de função afim e quadrática
destaca que essas são resultantes da variedade de noções que estão relacionadas
ao pensamento funcional, com destaque: as representações gráficas, tabulares e
algébricas, o reconhecimento de variáveis dependentes e independentes, a noção
de conjuntos numéricos, domínio e imagem.
Outra análise nos remete ao cruzamento dos dados do questionário
aplicado a professores e alunos. Com relação a formação continuada a maioria dos
professores afirmou não ter cursado nenhuma disciplina sobre funções afim e
quadrática. E a maioria desses também afirmou não ensinar funções afim e
quadrática do mesmo modo que aprendeu, apesar da metade dos professores
consultados evidenciarem o uso do método tradicional (definição seguida de
exemplos e exercícios) para introduzir os conteúdos mencionados. Além de
utilizarem listas de exercícios para fixar os conteúdos. Confirmando os dados
também indicados pelos alunos para a forma com que aprenderam esses conteúdos.
O que nos permite dizer que para a amostra obtida a partir de professores
e alunos que atuam e estudam, respectivamente, em escolas belenenses, o método
de ensino mais utilizado ainda é o tradicional e que o mesmo tem colaborado com os
obstáculos cognitivos do aluno em determinados conteúdos conforme revelam os
dados do teste aplicado a alunos.
Compreendemos que uma possibilidade para contornar essa situação
está relacionada a utilização de recursos e estratégias diversificadas no ensino da
matemática e em contrapartida exige um esforço muito maior por parte dos
professores que precisam, dentre outros, estar bem preparados de forma a gerenciar
o saber necessário em cada ocasião. Dessa forma, é preciso que o professor
103
busque competências5 que o direcione na tomada de decisão da melhor escolha
metodológica que contribuirá com seu meio.
Assim, se faz necessário que o professor procure inserir em sua prática
docente, metodologias que visem favorecer as interações aluno-professor, aluno-
aluno, aluno-saber, buscando criar condições para que a aprendizagem aconteça.
Por este motivo, procuramos abordar nas análises dassituações de ensino
perspectivas da Didática da Matemática com base nas ideias de Brousseau, que tem
como proposta possibilitar construções que permitam a compreensão das interações
sociais desenvolvidas em sala de aula, entre alunos, professores e conhecimentos
matemáticos, reconhecendo que estas acabam condicionando o que se aprende e a
forma como se aprende.
1.4 ESTRATÉGIA DE ENSINO
Para alcançar o objetivo desta pesquisa, desenvolvemos uma estratégia
de aplicação e verificação de uma sequência didática para o ensino e aprendizagem
das funções afim e quadrática, com base no uso de duas metodologias de ensino, a
modelagem matemática e o ensino por atividades. Nesta subsessão apresentamos
essas duas metodologias de ensino, suas vantagens e limitações e nossa
abordagem para a aplicação da sequência didática.
1.4.1 Modelagem Matemática
A Modelagem Matemática pode ser vista como um método que
transforma uma situação escrita na linguagem usual de um contexto real ou fatos do
dia a dia em linguagem simbólica da matemática, fazendo aparecer um modelo
5Competência é à capacidade de agir eficazmente mediante determinadas situações, tendo como
pressupostos conhecimentos, habilidades e atitudes éticas que em nós são desenvolvidas ao longo do processo de profissionalização, no qual está inserida a experiência pré-profissional, formação inicial e continuada e a própria prática docente. Competência é a soma de „conhecimentos‟ saberes que se criam ou desenvolvem ao longo do processo de profissionalização; „habilidades‟, capacidades técnicas para realizar determinadas tarefas, desenvolvidas a partir da relação dialética, teoria e prática, o saber-fazer; e „capacidades individuais‟ características que nascem com cada um e que são criadas/moldadas com a experiência individual e em grupo, e conduzem a um desempenho satisfatório tanto na aprendizagem quanto na execução da habilidade (RAMALHO; NUÑEZ e GAUTHIER, 2004,pag. 69-96).
104
matemático, que por ser uma representação significativa do real, se analisado e
interpretado segundo as teorias matemáticas, devolve informações interessantes
para a realidade que se está questionando.“É o processo que envolve a obtenção de
um modelo” e que, se o modelo for “um conjunto de símbolos e relações
matemáticas que procura traduzir, de alguma forma, um fenômeno em questão ou
problema de situação real”, então temos um modelo matemático (BIEMBENGUT e
HEIN, 2003). Sendo que este modelo será delimitado de acordo com a necessidade
do modelador, assim, um modelo não é a representação da realidade em sua
totalidade, embora carregue essa responsabilidade, mas sempre um recorte, uma
aproximação de idealizações sobre a realidade.
Desse modo, a modelagem matemática pode ser analisada de duas
maneiras, Bassanezi (2004, p. 32-38) a diferencia quanto ao seu uso, como um
método científico ou como uma estratégia de ensino aprendizagem.
Como método científico a modelagem é utilizada como instrumento de
pesquisa, devido sua larga aplicação, na Física, na Química, na Biomatemática, em
problemas industriais de engenharia, na economia e em outras áreas. Como pontos
relevantes:
Pode estimular novas ideias e técnicas experimentais;
Pode dar informações em diferentes aspectos dos inicialmente previstos;
Pode ser um método para se fazer interpolações, extrapolações e previsões;
Pode sugerir prioridades de aplicações e de recursos e pesquisas e eventuais tomadas de decisão;
Pode preencher lacunas onde existem falta de dados experimentais;
Pode servir como recurso para melhor entendimento da realidade;
Pode servir de linguagem universal para compreensão e entrosamento entre pesquisadores em diversas áreas do conhecimento (BASSANEZI, 2004, p. 32 e 33).
A Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem
leva em consideração a interação do aluno com seu ambiente natural, onde o mais
importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido, mas o caminho
que permite aprender o conteúdo matemático. Bassanezi identifica a modelagem em
Educação como Modelação Matemática.
Na modelação a validação de um modelo pode não ser uma etapa prioritária. Mais importante do que os modelos obtidos é o processo utilizado, a análise crítica e sua inserção no contexto sócio-cultural. O
105
fenômeno modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da própria matemática (BASSANEZI, 2004, p. 38).
Biembengute Hein (2007, p.28) a vê como uma “metodologia de ensino-
aprendizagem [que] parte de uma situação/tema sobre ela desenvolve questões,
que tentarão ser respondidas mediante o uso de ferramental matemático e da
pesquisa sobre o tema”.
Nesse sentido, “há várias maneiras de conceber e materializar a
modelagem na sala de aula” (Barbosa, 1999, p.5), através de projetos de curta ou
longa duração, através de situações que podem requerer uma ou duas aulasou
atividades propostas aos alunos.
De acordo com as possibilidades de sala de aula Barbosa (2003, p.70)
explicita três “casos” para a aplicação da modelagem que são categorizados
conforme as tarefas que compete ao professor e/ou aos alunos desenvolverem
dentro do processo de Modelagem, na sala de aula, conforme quadro a seguir:
Quadro 6 – Tarefas do professor e dos alunos nos casos de Modelagem
Fonte: Barbosa, 2003. p.70
No caso 1, o professor apresenta um problema, devidamente relatado, com dados qualitativos e quantitativos, cabendo aos alunos (...), acompanhados pelo professor, (...) a tarefa de resolver o problemae chegar a um modelo que o represente e possa ser generalizado para outras situações semelhantes. Já no caso 2, os alunos deparam-se apenas com o problema para investigar (...). Ao professor, cabe apenas a tarefa de formular o problema inicial. (...) E, por fim, no caso 3, trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas „não-matemáticos‟, que podem ser escolhidos pelo professor ou pelos alunos. (BARBOSA, 2003 p. 69).
De posse das abordagens da modelagem matemática e das pesquisas
realizadas, entendemos que a mesma enquanto estratégia de ensino e seguindo o
caso mais adequado para a sala de aula, dependendo de cada contexto, pode
consistir em uma forte alternativa para o desenvolvimento cognitivo do aluno,
principalmente se aliada ao ensino por atividades.
106
1.4.2 Ensino por atividade
Com o intuito de conduzir o aprendiz à construção das noções
matemáticas presentes em cada atividade proposta, adotamos o Ensino por
Atividade. De acordo com Mendes e Sá (2006, p. 13)
a característica essencial desse tipo de abordagem metodológica de ensino está no fato de que os tópicos a serem aprendidos serão descobertos pelo próprio aluno durante o processo de busca que é conduzido pelo professor até que ele seja incorporado à estrutura cognitiva do aprendiz.
O Ensino por Atividades evidencia uma proposta dinâmica, participativa e
construtiva em que o educando é conduzido a descobertas cognitivas a partir de um
roteiro de atividades estruturados de acordo com a especificidade do conteúdo a ser
abordado. Trata-se, portanto de uma proposta com base na redescoberta em que
previamente são pensados os objetivos, os materiais necessários, os procedimentos
operacionais, dentre outros.
Podemos considerar que as atividades de redescoberta contribuem para a compreensão de propriedades, relações, regras e teoremas matemáticos, bem como a construção de conceitos [...] (SÁ, 2009, p. 24).
A proposta de ensino baseada em atividade pressupõe a possibilidade de
conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções matemáticas presente
em cada atividade, e visa a construção de um material instrucional centrado no aluno
e em seus interesses explicitados na interação em sala de aula (MENDES, 2001a, p.
74). Esta concepção de ensino apresenta elementos essenciais que devem estar
presentes no momento de construção das atividades:
As atividades devem apresentar-se de maneira auto-orientadas para que os alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;
Toda atividade deve procurar conduzir o aluno a construção das noções matemáticas através de três fazes: a experiência, a comunicação oral das ideias apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;
As atividades devem prever um momento de socialização das informações entre os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo. Para que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais experiente do grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;
As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias
107
matemáticas construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele;
De acordo com o modelo proposto por Dockweiller (1996), as atividades propostas pelo professor podem se apresentar de três maneiras: desenvolvimento, conexão e abstração, de modo que sejam sequencialmente apresentadas e possam contribuir para a construção gradual dos conceitos matemáticos (SÁ, 2009, p. 18).
Com essas instruções construimos atividades orientadas, com a intenção
de solucionar obstáculos encontrados por professores em suas práticas em sala de
aula relacionadas às especificidades do conteúdo matemático.
1.4.3 Limitações das metodologias de ensino
As metodologias em questão apresentam algumas limitações no que
concerne ao aprendizado de matemática.
A modelagem matemática, como metodologia de ensino, parte de uma
situação/tema que pode ser questões ambientais como no trabalho de Chaves
(2005) ou sobre a produção do etanol envolvendo conceitos de economia, custo e
consumo, como na pesquisa de Souza (2011), dentre outras, para se chegar à
resolução de problemas. Assim, dada a diversidade de temas e abordagens que
pode abarcar a modelagem, a mesma limita-seno sentido de que a capacidade de
delimitar o conteúdo matemático tratado no modelo depende do nível de
conhecimento do aluno podendo direcionar o problema a conteúdos diferenciados,
assim fica a cargo do professor propiciar condições para aprofundar o conhecimento.
Conforme afirma Biembengut (2007) “Há o inconveniente de não sabermos,
inicialmente, por onde o modelo passará, ou seja, nem sempre o ferramental
matemático requerido está ao alcance do educando e mesmo do professor”.
Por sua vez, oensino por atividadesvisaa construção das noções
matemáticas não sendo seu foco explorar e transformar diferentes contextos para
para a linguagem matemática, o que já encontramos na modelagem.
Temos, portanto, dois aspectos a serem considerados na construção do
saber matemático, de um lado estabelecer conexões entre temas matemáticos de
diferentes campos e áreas curriculares de outro a compreensão das regras,
conceitos e especificidades dos conteúdos.
108
1.4.4 Combinação metodológica
Nossa estratégia de ensino consistiu na combinação da modelagem
matemática, com o ensino por atividades. Partimos da modelagem matemática, com
situações/temas relacionadas a elementos culturais da Amazônia paraense, e sobre
essas desenvolvemos questões a serem solucionadas pelos alunos, que durante o
processo foram propostas atividades estruturadas, direcionadas as especificidades
dos conteúdos das funções afim e quadrática com o objetivo de que o aluno aprenda
o conteúdo e posteriormente resolva as questões propostas.
A figura abaixo esquematiza nossa intenção de ensino na qual nos
pautamos para a construção da sequência didática.
Figura 3 – Esquema da proposta de ensino Fonte: a autora
Nesta pesquisa buscamos a partir da combinação metodológica, três
situações: primeiro que a modelagem matemática como estratégia de ensino
estimule os discentes na aquisição de conhecimento; segundo que o ensino por
atividade possibilite a adequação da metodologia adotada ao cronograma curricular
ao mesmo tempo em que potencialize as especificidades na aprendizagem dos
conteúdos; e terceiro que o discente desenvolva sua capacidade cognitiva para
resolver problemas.
Vale destacar que somos iniciantes na temática e também nossos sujeitos
não estão acostumados com essa abordagem de ensino, o que fica evidente nas
análises prévias a partir do questionário aplicado aos discentes comprovando que a
metodologia de ensino mais utilizada ainda é a tradicional com definição, exemplos e
exercícios.
Neste contexto julgamos o 1º caso de Barbosa mais adequado para a
aplicação da modelagem matemática em sala de aula,
109
Caso 1 – Imaginemos que um professor apresente aos alunos uma situação-problema acerca da construção de um estacionamento numa avenida (da cidade), onde se pede a melhor forma de dispor os carros. A descrição da situação, os dados (reais) e o(s) problema(s) são traduzidos pelo professor, cabendo aos alunos o processo de resolução (BARBOSA, 2001, p.38).
Concordamos com Chaves (2005, p. 35) ao enfatizar que um professor
ainda iniciante no que diz respeito ao uso da Modelagem pode optar pelo Caso 1, no
qual ele toma para si a maior quantidade das tarefas a serem desenvolvidas e, a
medida que começar a sentir-se mais seguro e/ou mais a vontade dentro de seu
contexto, vai transferindo mais tarefas aos alunos, enveredando assim pelos outros
“casos” e assumindo uma postura, cada vez mais predominante, de mediador entre
o conhecimento e o aprendiz, deixando de ser o que detém e transmite o
conhecimento para ser aquele que, por meio de tarefas, oportuniza a aquisição do
conhecimento. Isto é, ser aquele que ensina a aprender.
Com isso, consideramos que se o aluno a partir de conhecimentos
próprios, anteriores ou atuais, puder construir um modelo matemático representativo
de um problema com referência na realidade, estará fazendo uma Modelagem
Matemática. Nesse sentido, adequamos os procedimentos apresentados por
Biembengut e Hein (2007, 13-15) “Interação,reconhecimento da situação-problema e
familiarização com o assunto a ser observado; Matematização, formulação e
resolução do problema; e Modelo Matemático, interpretação da solução e validação
do modelo”, a nossa estratégia de ensino.
A execução da sequência didática possui as etapas, a seguir:
1. Interação
Nesta etapa, o objetivo foi apresentar o texto e a questão proposta. Com
a intenção de aguçar a curiosidade do discente, abrir discussões sobre a cultura
local e sua participação enquanto ser social e direcionar o estudo ao conhecimento
matemático presente na situação de aplicação. Esperamos que o educando
percebesse que os elementos matemáticos tem relação com o contexto cultural.
2. Construções matemáticas
Com o objetivo de propiciar o desenvolvimento cognitivo do estudante,
apresentamos atividades direcionadas aos tópicos do conteúdo de funções, afim e
quadrática, denominadas atividade do conteúdo, permitindo ao aluno familiarizar-se
com os conceitos e experiênciar descobertas, provocando discussões em sala de
110
aula e a construção do saber matemático. Na sequência ocorrereu a formalizaçãodo
conteúdo.
3. Resolução do problema e sistematização
Com os conhecimentos matemáticos adquiridos na atividade orientada, o
discente foi conduzido a resolver as questões referentes ao texto, que denominamos
de questão proposta,nesta etapa ocorreu a transformação da situação problema
para a linguagem matemática, ou seja, o modelo em questão.Não é importante para
esta pesquisa validar ou verificar o nível de aproximação da aplicação do problema a
realidade. Uma vez que nosso objetivo é possibilitar a aprendizagem do aluno por
meio dessas vivências e não descrever um modelo científico padronizado. Portanto,
prosseguimos com a sistematização das informações, isto é, examinar a
experimentação vivenciada, a partir da observação do modelo encontrado,
culminado com a socialização e discussão dos resultados dos discentes, que
posteriormente foram direcionados a resolver os problemas complementares com o
objetivo de fixar e aprofundar os tópicos de função apreendido.
O esquema, apresentação da situação real, atividades direcionadas ao
conteúdo, questão proposta e questões complementaresfoi realizado para cada
tópico do conteúdo de função, afim e quadrática, ao qual propomos que o aluno
aprendesse. A última atividade de cada assunto (afim e quadrática) diferentemente
das anteriores, não aborda estes procedimentos, pois se trata da resolução de
problemas, nossa intenção com estas é fortalecer a capacidade do aluno de resolver
problemas de aplicação.
1.5 CONCEPÇÕES SOBRE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA
Nesta subseção abordamos elementos da Didática da Matemática com
base nas ideias de Guy Brousseau que embasaram nossas análises na observação
dos fenômenos ocorridos em sala de aula com a aplicação da sequência didática.
Brousseau (1996, p. 49) ao tratar das situações didáticas e a-didáticas
ressalta uma concepção de ensino em que cabe ao professor provocar no aluno as
adaptações desejadas através de uma escolha do problema que lhe propõe, de tal
forma que o aluno o aceite, pois sabe que o problema foi escolhido para levá-lo a
adquirir um conhecimento novo.
111
Mas, antes de adentrarmos na temática das Situações Didáticas, se faz
necessário entendermos a Didática da Matemática e o papel de cada agente
envolvido. Segundo Brousseau (1996, p. 35):
A didática da matemática estuda as atividades didácticas, ou seja as
atividades que tem como objecto o ensino, (...)dizem respeito aos comportamentos cognitivos dos alunos, mas também aos tipos de situações utilizadas para lhos ensinar (...).(grifo nosso)
Destacaremos como agentes o professor, o aluno e o conhecimento,
considerados o triângulo didático na compreensão de Brousseau, uma vez que
nosso estudo está focalizado nas relações entre os mesmos. Na perspectiva da
Didática da Matemática o professor é responsável por organizar situações didáticas
em que nem tudo fica explícito (considerado obstáculos) e também dar a cada
aluno,meios para que avance na construção do saber e que possa acessar esse
saber nos diversos momentos em que necessite utilizá-lo.O papel do aluno é pensar
em possíveis caminhos para resolver os problemas propostos pelo professor,
formulando variadas hipóteses sem ter a necessidade de dar nenhuma resposta
imediata (momento a-didático); em seguida o aluno busca simular situações para
reproduzir a atividade, sendo requerido que aja, formule, construa modelos,
linguagens, conceitos, etc. E o conhecimento por sua vez pode ser determinado por
uma situação, entendida como uma ação entre duas ou mais pessoas, que pode ser
articulado de acordo com as necessidades cognitivas do sujeito.
Desse modo, voltando às Situações Didáticas, podemos entender como
um jogo de interações entre o professor e o problema proposto, cujo objetivo é
aprender, pois oprofessor faz a devolução ao aluno deuma situação a-didática, e
esta por sua vez tem o objetivo de ensinar, oferecendo maior responsabilidade ao
aluno na construção do conhecimento.
Sendo assim, se faz necessário estabelecer uma estratégia da situação
didática denominada de contrato didático. Brousseau (1996, p. 50-53) o descreve
como o conjunto de regras que esclarece as responsabilidades que cada parceiro da
relação didática (professor e aluno) deve gerir e pelo qual será responsável perante
o outro.
É em meio a este contexto de perspectivas metodológicas e concepções
sobre relações em sala de aula que construímos atividades sobre funções afim e
quadrática, apresentadas e analisadas a seguir.
112
2. CONCEPÇÕES E ANÁLISE A PRIORI
Nesta seção, nosso objetivo é apresentar a sequência didática referente
ao ensino e aprendizagem das funções afim e quadrática, construída a partir das
análises preliminares apresentadas na seção anterior, e a respectiva análise a priori
sobre ela, e ainda, apresentar os testes para cada função.
Intencionamos propiciar ao discente o desenvolvimento de sua
capacidade cognitiva e ao mesmo tempo favorecer um ambiente em que o sujeito
estivesse ativo no processo ensino e aprendizagem, de modo que os alunos
pudessem construir conhecimentos sem a interferência direta do professor, que
atuaria com a tarefa de criar condições que favorecesse essa construção.
Nas bases teóricas acerca da Didática da Matemática encontramos em
Brousseau (1996, p. 38) a distinção entre o trabalho do aluno e do professor no
processo de construção do saber matemático:
- O trabalho intelectual do aluno exige que ele aja, formule, prove, construa modelos, linguagens, conceitos, teorias, os troque com outros, reconheça aqueles que são conformes à cultura, retire desta aqueles que lhes são úteis, etc. - O professor tem de imaginar e propor aos alunos situações que eles possam viver e nas quais os conhecimentos apareçam como a solução óptima e passível de ser descoberta para os problemas colocados.
Na elaboração da sequência didática foi considerado o que vem sendo
defendido para o ensino de função pelos PCN, pelos sistemas de avaliação da
educação básica: Prova Brasil/SAEB e ENEM. AProva Brasil/SAEB (2011, p. 17) é
elaborada a partir de documentos denominados Matrizes de Referência6 que reúnem
o conteúdo a ser avaliado em cada disciplina e ano de ensino com base nos
Parâmetros Curriculares Nacionais, nas referências curriculares estaduais e
municipais, na consulta a professores e exame de livros didáticos. Essas Matrizes de
6As matrizes de referência representam um recorte das matrizes curriculares feito com base no que
pode ser aferido por meio dos instrumentos utilizados na Prova Brasil/Saeb.Elas não englobam todo o currículo escolar e não podem ser confundidas com procedimentos, estratégias de ensino ou orientações metodológicas, pois um recorte é feito com base naquilo que pode ser aferido (SAEB, 2011, p. 17).
113
Referência estão subdivididas em tópicos ou temas e estes em descritores7. No caso
como do ENEM a Matriz de referência parte de cinco Eixos Cognitivos8 que são
comuns as áreas de conhecimentos e esses são subdivididos em competências de
área e habilidades.
Nos documentos analisados, PCNEM, SAEB e ENEM, percebemos que
os mesmos requerem que os alunos desenvolvam/expressem no processo de
ensino e aprendizagem competências e habilidades de acordo com cada área do
saber. Entende as competências cognitivas como as diferentes modalidades
estruturais da inteligência que compreendem determinadas operações que o sujeito
utiliza para estabelecer relações com e entre os objetos físicos, conceitos, situações,
fenômenos e pessoas.
Ainda no mesmo documento, é mencionado que habilidades referem-se,
especificamente, ao plano objetivo e prático do saber fazer e decorrem,
diretamente,das competências já adquiridas e que se transformam em
habilidades.Para a Matemática destacamos alguns itens relativos a competências e
habilidades, explicitas no PCNEM e abordadas em nossas atividades:
Representação e comunicação: Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões etc).Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa. Investigação e compreensão: Identificar o problema (compreender enunciados, formular questões etc). Procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema. Formular hipóteses e prever resultados. Selecionar estratégias de resolução de problemas. Contextualização sócio-cultural: Desenvolver a
capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real. Aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conhecimento (BRASIL, 2000, p.46).
7O descritor é o detalhamento de uma habilidade cognitiva (em termos de grau de complexidade),
que está sempre associada a um conteúdo que o estudante deve dominar na etapa de ensino em análise. Esses descritores são expressos da forma mais detalhada possível, permitindo-se a mensuração por meio de aspectos que podem ser observados. 8I Dominar linguagens (DL): dominar a norma culta da Língua Portuguesa e fazer uso das
linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa. II Compreender fenômenos (CF): construir e aplicar conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas. III Enfrentar situações-problema (SP): selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e informações representados de diferentes formas, para tomar decisões e enfrentar situações-problema. IV Construir argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente. V Elaborar propostas (EP): recorrer aos conhecimentos desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de intervenção solidária na realidade, respeitando os valores humanos e considerando a diversidade sociocultural (ENEM, 2011, p. 1).
114
Construímos a sequência didática desenvolvida em sala de aula, estando
esta composta de 5 atividades sobre função afim contendo 4 atividades de
aprendizagem do conteúdo com base no ensino por atividade, com 4 questões
propostas com base na modelagem matemática e 13 questões complementares
para exercitar ou aprofundar o conteúdo aprendido e a última atividade consiste em
10 problemas sobre função afim; e de 7 atividades sobre função quadrática
contendo 6 atividades de aprendizagem do conteúdo com base no ensino por
atividade, com 6 questões propostas com base na modelagem matemática e 14
questões complementares para exercitar ou aprofundar o conteúdo aprendido e a
última atividade são 10 problemas sobre função quadrática.
No desenvolvimento das atividades os alunos trabalharam em grupos. As
atividades e testes diagnósticos foram desenvolvidos pela professora-pesquisadora
com alunos do 1º ano do ensino médio, que ainda não tinham passado pelo ensino
de funções afim e quadrática nesta série. Isto porque este conteúdo tem inicio no 9º
ano do ensino fundamental, com ênfase nos conceitos iniciais de funções. Cada
uma das atividades elaboradas estava planejada para ser desenvolvida em média
de 2 horas/aula, podendo variar em algumas atividades, sendo a primeira aula de
apreensão do conteúdo a partir da atividade orientada e a segunda aula para a
resolução das questões (do texto e complementares).
Frente ao exposto realizamos a análise a priori das atividades e testes
diagnósticos contidos na sequência didática apoiados na concepção de Artigue
(1996, p. 205) de que a análise a priori é concebida com “o objetivo de determinar de
que forma permitem as escolhas efetuadas controlar os comportamentos dos alunos
e o sentido desses comportamentos. Para isso fundamenta-se em hipóteses”. Deste
modo, foi possível prevermos as possíveis soluções para as questões propostas em
cada atividade; as dificuldades que os discentes poderiam enfrentar na resolução de
cada atividade e os comportamentos esperados em relação aos alunos. Neste
sentido, as variáveis locais em nossa sequência se referem a apresentação das
atividades para abordar e fixar o conteúdo, as competências e habilidades presentes
nas atividades e requeridas pelos documentos oficiais de acordo com os descritores
em voga, a organização dos alunos na realização das atividades, ao
acompanhamento sistemático da evolução do desempenho dos alunos e ao tempo
115
necessário para o desenvolvimento das atividades. Apenas os testes-diagnóstico
foram realizados individualmente.
Apresentamos a seguir atividades, com a exposição do objetivo para cada
uma delas e o material utilizado para realização da mesma, os testes diagnósticos
de cada conteúdo (afim e quadrática), bem como a análise a priori de cada atividade
e de cada teste.
2.1 CONSTRUINDO CONHECIMENTO SOBRE OS SUJEITOS DA PESQUISA
Com o objetivo de produzir informações sobre o perfil pessoal e estudantil
dos alunos que participaram da aplicação da sequência didática, produzimos um
questionário (cf. Apêndice C) que foi aplicado antes do desenvolvimento das
atividades em sala de aula. O questionário continha questões referentes a idade,
sexo, informações sobre os pais ou responsáveis, condição estudantil; interesse,
dificuldades e nível de dedicação ao estudo da matemática.
O referido questionário também continha um teste elaborado com o
objetivo de produzir informações que permitissem realizar comparações entre o
desempenho dos discentes, na resolução de questões das funções afim e
quadrática, antes e depois da realização das atividades. O primeiro momento de
resolução das questões foi denominado de pré-teste e o segundo momento, de pós-
teste. A análise a priori do pré-teste e do pós-teste foi realizada com base nos
resultados do teste aplicado a alunos do 2º ano do Ensino Médio, descrito na
subseção 1.3, e no questionário aplicado a docentes, subseção 1.2.
Em virtude dos pré e pós-testes terem as cinco primeiras questões
exatamente as mesmas, a análise a priori de ambos foi realizada no mesmo
instante, com exceção de quatro questões que foram adicionadas ao pós-teste de
função afim e uma questão que foi adicionada ao pós-teste de função quadrática,
por consideramos necessário buscar outras informações que evidenciasse o
aprendizado dos conteúdos abordados. Essas últimas foram analisadas na
sequência. O tempo estimado para a aplicação de cada teste foi de duas horas/aula,
corresponde ao total de 90 minutos.
116
2.1.1 Pré-teste e pós-teste da função afim
QUESTÃO 1
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão identificar a
função afim e escrever seus coeficientes, antes e depois do desenvolvimento da
sequência didática.
Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função afim e
escreva os valores de seus coeficientes.
a) ( ) ( ) 4f x x b) ( ) 1( ) 2xf x c) ( ) 2( ) 2f x x d) ( ) ( ) logf x x
Análise a priori das questões no pré-teste: Avaliamos que os alunos conseguirão
resolver corretamente a questão, considerada de baixa complexidade, por se tratar
do reconhecimento da função afim e da identificação de seus coeficientes, conteúdo
abordado no 9º do ensino fundamental. No entanto, os alunos poderão ter
dificuldades em identificar os coeficientes, pois no teste tratado na subseção 1.3,
realizado com alunos do 2º ano do ensino médio, ocorreu de muitos discentes
identificarem a função, mas não escreverem seus coeficientes, alegando não saber
ou não se lembrar do que se trata.
Análise a priori das questões no pós-teste: Como a definição da função afim foi
considerada de fácil a regular na opinião de alunos e professores, subseção 1.2 e
1.3, supomos que o desempenho dos alunos será bastante satisfatório. Nosso
entendimento é de que eles conseguirão identificar corretamente a função e seus
coeficientes após a aplicação das atividades.
QUESTÃO 2
Esta questão objetivava identificar se os alunos, concordante com os
descritores do ENEM e SAEB conseguirão “reconhecer expressão algébrica que
representa uma função a partir de uma tabela”, antes e depois do desenvolvimento
da sequência didática.
117
(SAEB, 2009) Para alugar um carro, uma locadora cobra uma taxa básica fixa acrescida de uma taxa
que varia de acordo com o número de quilômetros rodados. A tabela seguinte mostra o custo total
(C) do aluguel, em reais, em função do número de quilômetros rodados (q).
A sentença que representa o custo total é
a) ( ) 5 5C q q b) ( ) 4 15C q q c) ( ) 45C q q d) ( ) 502
qC q e) ( ) 55
10
qC q
Análise a priori das questões no pré-teste: Levando em consideração que este
conteúdo já vem sendo trabalhado no 9º ano do ensino fundamental, partimos da
hipótese de que os alunos da turma experimental conseguirão encontrar a
expressão representada pelos dados na tabela.
Análise a priori das questões no pós-teste: A primeira atividade, da sequência
didática aplicada, sobre função afim, tem o intuito de aguçar nos alunos sua
capacidade de relacionar variáveis e encontrar uma expressão algébrica que
caracterize cada situação proposta. Além disso, desenvolvemos alguns problemas
matemáticos, envolvendo dados em tabelas, a fim de que o discente desenvolva a
resolução de problemas similares. Desse modo, após a aplicação da atividade,
esperamos que os alunos estejam aptos a estabelecer a relação entre os dados
tabelados e as funções e resolvam a questão sem dificuldades.
QUESTÃO 3
Esta questão objetivava verificar se os discentes conseguirão encontrar a
expressão algébrica a partir da leitura do texto e calcular a imagem da função a
partir de um valor do domínio dado, antes e depois do desenvolvimento da
sequência didática.
A corrida do Círio, realizada em Belém do Pará, surgiu em 1984, a partir da ideia de
um grupo de corredores de rua que queriam homenagear Nossa Senhora de Nazaré.
O CORBE (Corredores de Rua de Belém) promoveu a 1ª Corrida do Círio no dia 13 de
outubro de 1984, na véspera da grande procissão do Círio de Nazaré. Cerca de 50 atletas
participaram dessa 1ª edição. Um atleta leva em média 4 minutos para percorrer 1 km. Ele faz um
118
percurso de x quilômetros.
a) Qual a expressão algébrica que permite calcular o tempo, em minutos, que ele leva para percorrer
os x quilômetros?
b) Sabendo que o percurso é de 10 km, em quantos minutos este atleta completou a prova?
Análise a priori das questões no pré-teste: Esta questão além de fazer parte do
pré e pós-teste aplicado na turma experimental, também foi colocada no teste
aplicado a alunos do 2º ano do ensino médio e os resultados deste evidenciaram
que poucos alunos responderam a questão, apesar de docentes e discentes
(subseção 1.2 e 1.3) julgarem como fácil para o aluno aprender o domínio e imagem
da função afim. Observou-se também a dificuldade que os discentes tiveram em
resolver problemas matemáticos, pois, dos alunos que tentaram resolver, apenas
três responderam corretamente e os outros, embora pareça tido um raciocínio que
os conduziram a quantidade correta de minutos percorridos pelo atleta, não
expressaram na forma algébrica a função que representa o problema. Entretanto,
buscamos obter neste teste o nível de conhecimento e/ou dificuldade da turma
experimental.
Análise a priori das questões no pós-teste: As propostas de atividades de nossa
pesquisa visam que os alunos ampliem sua percepção das ferramentas matemáticas
e de visualizar a matemática em situações contextualizadas. Desse modo, após o
conjunto de atividades, espera-se que os discentes possam ampliar seus conceitos e
perceber na leitura da questão, a possibilidade de resolução das situações
problemas propostas.
QUESTÃO 4
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão traçar o gráfico
da função afim e identificar se a função era crescente ou decrescente, antes e
depois do desenvolvimento da sequência didática.
A produção de artefatos para o uso doméstico é uma prática milenar, herdada da
população ameríndia que habitava a região amazônica, antes da colonização
europeia. A confecção de cestaria e brinquedos feitos de miriti são de grande
relevância econômica e cultural para a população local. A maioria dos artesãos
envolvidos nessas atividades encontra-se no município de Abaetetuba (Pará), localizado no baixo
curso do rio Tocantins, onde os miritizais são abundantes. O lucro diário obtido pela venda por
119
unidade do brinquedo cobra é calculado pela expressão 5 4L x , na qual L indica o lucro (em
reais) e x indica a quantidade de peças vendidas (em unidade).
a) Construa o gráfico de L em função x.
b) A função representada é crescente ou decrescente?
Análise a priori das questões no pré-teste: Na questão que envolvia gráfico da
função afim os discentes do 2º ano mostraram-se mais participativos na tentativa de
resposta, muitos mostraram que entendiam que se tratava de uma reta, mas em sua
maioria traçaram o gráfico com pontos errados, por erro no cálculo no momento em
que substituíram o valor de x na expressão para encontrar a respectiva imagem e
por errarem o jogo de sinal, e a dificuldade maior foi de responder se a função era
crescente ou decrescente. Desse modo, temos por hipótese os alunos do
experimento poderão até conseguir traçar o gráfico, mas terão dificuldades em
classificar a função quanto seu crescimento ou decrescimento.
Análise a priori das questões no pós-teste: Com base na avaliação realizada por
docentes (subseção 1.2) que classificou de muito fácil a regular, para os alunos
aprenderem a construção do gráfico da função afim e seu comportamento quanto ao
crescimento e decrescimento, e no teste aplicado a alunos do 2º ano, supomos que
o desempenho dos alunos será bastante satisfatório. Após a aplicação da sequência
didática, nossa hipótese é que a maioria dos alunos do experimento conseguirá
traçar o gráfico da função afim e avaliar se a função é crescente ou decrescente
tanto pela observação do gráfico quanto da expressão. No entanto, alguns poderão
ainda ter dificuldades com relação ao jogo de sinal, no momento de encontrar o valor
da imagem substituindo o valor de x.
QUESTÃO 5
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão o problema
real e calcular o zero da função, antes e depois do desenvolvimento da sequência
didática.
Um automóvel percorre uma estrada movimentando-se de acordo com a função horária
( ) 2 100S t t , em que S(t) representa sua posição (em km) e t representa o tempo (em min.).
Depois de quanto tempo o automóvel passa pelo marco quilometro zero (km 0)?
120
Análise a priori das questões no pré-teste: Consideramos que os discentes terão
algumas dificuldades em interpretar o problema por tratar de conceitos da física e
pela própria dificuldade que alguns alunos apresentam em resolver problemas
matemáticos conforme afirmaram a maioria dos docentes e discentes (subseção 1.2
e 1.3). No entanto, por se tratar de um conteúdo trabalhado desde o ensino
fundamental recaindo em uma equação do 1º grau com uma incógnita, caso os
discente consiga perceber que basta igualar a zero a posição conseguirá encontrar
facilmente o tempo solicitado.
Análise a priori das questões no pós-teste: Ainda baseados nos questionários,
julgamos que os discentes do 1º ano terão bom desempenho na resolução desta
questão, haja vista, que a maioria dos professores e alunos considerava o zero da
função afim de fácil domínio para os alunos.
2.1.2 Pré-teste e pós-teste da função quadrática
QUESTÃO 1
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão identificar a
função quadrática e escrever seus coeficientes, antes e depois do desenvolvimento
da sequência didática.
Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função quadrática
e escreva os valores de seus coeficientes.
a) ( ) ( ) 4f x x b) ( )4( ) logf x x c) ( ) 2( ) 5 2f x x x d) ( ) ( ) ( )f x sen x
Análise a priori das questões no pré-teste: Avaliamos que os alunos conseguirão
resolver corretamente a questão, considerada de baixa complexidade, por se tratar
do reconhecimento da função quadrática e da identificação de seus coeficientes,
conteúdo abordado no 9º do ensino fundamental. No entanto, os alunos podem ter
dificuldades em identificar os coeficientes, pois no teste tratado na subseção 1.3,
realizado com alunos do 2º ano do ensino médio, ocorreu que muitos discentes
identificarão a função, mas não escreverem seus coeficientes, alegando não saber
ou não se lembrar do que se trata.
121
Análise a priori das questões no pós-teste: Baseados nos resultados do teste
aplicado aos discentes do 2º ano do ensino médio (subseção 1.3) e na avaliação da
maioria dos docentes, de que é fácil a regular para a maioria dos alunos aprenderem
a definição da função quadrática, supomos que o desempenho dos alunos será
bastante satisfatório. Entendemos que, após a sequência didática, eles conseguirão
identificar corretamente a função e seus coeficientes.
QUESTÃO 2
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão encontrar a
expressão algébrica da parábola conhecendo três de seus pontos, antes e depois do
desenvolvimento da sequência didática.
Um atleta realiza um salto partindo da origem
(0,0), segundo um referencial dado, percorre uma
trajetória parabólica que atinge sua altura máxima
no ponto (3,1)conforme a figura ao lado e chega
ao ponto (6,0). Escreva a expressão que
representa a trajetória do atleta.
Análise a priori das questões no pré-teste: Considerando esta questão similar a
questão 5 sobre função quadrática do teste aplicado a alunos do 2º ano (subseção
1.3), onde os mesmos nem se quer tentaram resolver a questão. Avaliamos que por
não conseguirem relacionar os pontos as coordenadas da função quadrática
representativa da parábola indicada na figura acima, muitos dos alunos do 1º ano
não tentarão resolver a questão. Os que tentassem talvez encontrassem dificuldade
no cálculo do sistema formado após a substituição dos pontos dados.
Análise a priori das questões no pós-teste: Considerando que nossa sequência
didática enfatiza questões similares, incluindo problema envolvendo coordenadas
visualizadas em situações gráficas, avaliamos que a maioria dos alunos do
experimento conseguirá substituir corretamente as coordenadas na função
quadrática genérica e encontrar a expressão que descreve a parábola da trajetória
do atleta. Alguns poderão ter dificuldades na resolução do sistema ou com o jogo do
sinal.
122
QUESTÃO 3
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguiriam interpretar o
problema e encontrar a função quadrática, antes e depois do desenvolvimento da
sequência didática.
A prefeitura de Belém deseja construir um novo Hospital PSM. A largura do terreno retangular é 100
metros menor que seu comprimento. Escreva a expressão algébrica que representa a área do
terreno.
Análise a priori das questões no pré-teste: Este problema tem um grau de
complexidade médio e envolve noções de geometria plana. E pelo motivo
evidenciado por docente e discentes no questionário (subseção 1.2 e 1.3) de que os
alunos têm dificuldades em resolver situações problemas envolvendo conhecimentos
sobre função quadrática, considerado difícil. Acreditamos que os alunos do
experimento nem tentarão resolver a questão.
Análise a priori das questões no pós-teste: Como nossa sequência didática sobre
função quadrática enfatizou problemas envolvendo noções de área e perímetro com
o objetivo do discente desenvolver a capacidade de resolver problemas de tal
natureza. Nossa hipótese é que muitos alunos conseguirão resolver a questão pela
similaridade com outras que serão resolvidas em sala. Mas, alguns alunos ainda
poderiam sentir dificuldades em resolver a questão, pelo fato da mesma requerer
conceitos matemáticos relacionados a geometria plana acima citados.
QUESTÃO 4
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão encontrar os
zeros da função, construir o gráfico da função quadrática e identificar a concavidade
da parábola pela análise da expressão algébrica e do gráfico, antes e depois do
desenvolvimento da sequência didática.
O peixe arqueiro é famoso por conseguir "disparar" um jato d'água contra algum inseto
na superfície enquanto submerso. Além disso, o peixe analisa a trajetória de queda da
presa para determinar em qual ponto da água ela irá cair. Supondo que o jato d'água
disparado pelo peixe tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela
expressão 2( ) 2 4h t t t em que h é a altura atingida em metros.
a) Em que instante o jato d'água lançado pelo peixe retorna a superfície da água?
b) A função representada é côncava para cima ou para baixo?
c) Esboce o gráfico da função que representa o jato d'água.
123
Análise a priori das questões no pré-teste: Com base no questionário aplicado a
alunos do 2º ano (subseção 1.3), avaliamos que poucos alunos da turma
experimental resolverão a questão, alguns poderão se lembrar do que viram no 9º
ano do ensino fundamental e tentar construir o gráfico, ou calculassem os zeros da
função lembrado-se da fórmula de Bhaskara e os que conseguissem construir o
gráfico talvez identificassem quando a parábola fosse côncava para cima ou para
baixo, mas dificilmente farão essa relação pela visualização dos coeficientes da
função. Ainda de acordo com o questionário aplicado aos alunos (subseção 1.3),
que evidenciou a resolução de exercícios diretos não dando ênfase a questões
contextualizadas, acreditamos que a maioria dos alunos do experimento terá
dificuldade também por este fato.
Análise a priori das questões no pós-teste: Com base no questionário aplicado a
discentes e docentes (subseção 1.2 e 1.3) que consideraram os conteúdos de
função acima mencionados com grau de dificuldade regular, acreditamos que após a
sequência didática os alunos não terão muita dificuldade em resolver a questão.
Alguns poderão ter dificuldade em interpretar o problema para observar que no
instante em que o jato atinge a superfície da água sua altura é nula ou ainda no
momento de construção gráfica, dificuldade com o cálculo da imagem no jogo de
sinal, ou seja com relação a interpretação do problema.
QUESTÃO 5
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão calcular o valor
de máximo e de mínimo da função quadrática, antes e depois do desenvolvimento
da sequência didática.
(Dante, 2005) A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura
h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h(t) = - t2 + 6t, determine:
a) em que instante a bola atinge a altura máxima;
b) a altura máxima atingida pela bola.
Análise a priori das questões no pré-teste: Esta atividade também fez parte do
teste aplicado a alunosdo 2º ano (subseção 1.3) e os mesmos não resolveram a
questão. Supomos que os alunos do experimento também nem tentassem resolver a
questão.
124
Análise a priori das questões no pós-teste: Embora questões que envolvam o
conhecimento sobre o valor de máximo e mínimo na opinião de professor e aluno
tenha certo conflito, pois a maioria dos docentes considerava como de fácil
entendimento para os alunos e a maioria dos discentes considera de difícil
entendimento. Acreditamos que após a sequência didática, que traz alguns
exemplos de questões de tal natureza, os alunos conseguirão resolver questões que
envolvem o conceito de vértice, valor de máximo ou de mínimo.
2.1.3 Outras questões do pós-teste
Tendo em vista o processo de construção do conhecimento dos alunos,
sentimos a necessidade de verificar no pós-teste de forma mais ampla, o
aprendizado dos alunos em sala de aula. Para tanto, acrescentamos questões
diretas e também em forma de problemas, alguns tópicos da função afim, tais como:
crescimento e decrescimento observando o gráfico ou a expressão algébrica, análise
do zero da função e do coeficiente b pela observando o grafico, a contrução de
tabela, da expressão algebrica, do gráfico, dentre outros. E de verificar, na função
quadrática, se os alunos compreenderam quando a parabola era côncova para cima
ou para baixo, e quantas raizes a função possui, a partir da análise do grafico.
Acrescentamos quatro questões ao pós-teste de função afim, a saber:
QUESTÃO 6
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão identificar o
zero da função, o coeficiente b e se a função era crescente ou decrescente apenas
pela análise do gráfico da função afim, depois do desenvolvimento da sequência
didática.
125
Análise a priori das questões no pós-teste: Nos questionários aplicados
(subseção 1.2 e 1.3) a maioria dos professores e alunos consideram de fácil a
regular os tópicos de função solicitados nesta questão, e como na sequência
didática enfatizamos esta abordagem esperamos que após a mesma os alunos
sejam capazes de identificar facilmente os itens desta questão.
QUESTÃO 7
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão elaborar uma
tabela com valores do domínio pré-estabelecido, encontrar a expressão algébrica
correspondente, construir o gráfico da função afim e determinar o domínio e a
imagem da função afim a partir de um ponto dado, depois do desenvolvimento da
sequência didática.
Uma empresa aluga uma máquina industrial por uma quantia fixa de R$20,00 mais R$5,00 por hora
de uso.
a) Faça uma tabela mostrando o número de horas de uso da máquina e o preço correspondente do
aluguel para 2 horas, 5 horas, 10 horas e t horas;
b) Escreva a expressão para o custo y em função do número de horas de uso t (supondo que t seja
um número real positivo);
c) Faça o gráfico da expressão obtida no item (b);
d) Determine a quantia cobrada pelo aluguel da máquina quando o tempo de uso foi 6 horas;
e) Determine o tempo de uso do equipamento, se a quantia cobrada pelo aluguel da máquina foi
R$60,00.
Análise a priori das questões no pós-teste: Embora esse tipo de questão tenha
um grau de complexidade maior, os descritores do SAEB e do ENEM propõe que os
alunos estejam aptos a construirem as diferentes formas de representações da
função, seja algébrica, tabelar, geométrica ou literal. Esperamos que as questões de
aplicação presentes nas atividades possibilite ao aluno resolver questões de tal
natureza ou pelo menos reduzam as dificuldades na resolução, já que os discentes
não estão acostumados a resolver tais questões conforme aponta o questionário.
QUESTÃO 8
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirião identificar se a
função era crescente ou decrescente apenas observando os coeficientes da função
afim, depois do desenvolvimento da sequência didática.
126
Dadas as funções abaixo, marque com X somente as funções decrescentes:
a) ( ) 5 1y x b) ( ) 2 3y x c) ( ) 3y x d) ( ) 3 2y x e) ( )3
22
y x
Análise a priori das questões no pós-teste: Consideramos essa questão de baixa
complexidade, acreditamos que após a sequência didática os alunos consigam
resolver a mesma com facilidade.
QUESTÃO 9
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão construir o
gráfico da função afim, depois do desenvolvimento da sequência didática.
Análise a priori das questões no pós-teste: Procuramos avaliar se os alunos
serão capazes de construir o gráfico da função afim a partir de uma questão direta,
isto é, sem envolver um contexto. Segundo a maioria dos professores consultados a
construção do gráfico da função afim possui nível de dificuldade de fácil a regular no
aprendizado dos alunos, acreditamos que após a sequência didática os alunos
estejam aptos a construção do gráfico da função afim, pelo fato das atividades
possibilitarem que o aluno treine a construção de gráficos diferenciados.
Acrescentamos uma questão ao pós-teste de função quadrática:
QUESTÃO 9
Esta questão objetivava verificar se os alunos conseguirão identificar a influência
do coeficiente a na concavidade da parábola e do delta no número de raízes, depois
do desenvolvimento da sequência didática.
127
Análise a priori das questões no pós-teste: De acordo com o questionário os
professores classificam de muito fácil a regular o nível de dificuldade para os alunos
aprenderem a concavidade da parábola ou as raízes da função quadrática, após a
sequência didática esperamos que os alunos estejam aptos a identificar o número
de raízes de uma função quadrática a partir da observação do gráfico e se a
parábola é côncava para cima ou para baixo.
2.2 ANÁLISE A PRIORI DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Inicialmente apresentaremos o texto para cada grupo de atividades e
realizaremos, juntamente com os alunos, a leitura do mesmo, assim abriremos a
discussão sobre a temática da cultura local ampliando o debate do conhecimento
matemático presente na situação de aplicação, com o intuito de favorecer ao
discente, a percepção dos elementos matemáticos presentes no texto. Em seguida
distribuiremos o roteiro da atividade para serem desenvolvidas pelos grupos com o
auxílio da professora-pesquisadora destacando suas observações e conclusões em
cada atividade. As atividades foram divididas em: atividades para aprender o
conteúdo com base no ensino por atividade, questões proposta a partir do texto
sugerido com base na modelagem matemática, questões complementares para
exercitar e aprofundar o conteúdo apreendido e a última atividade de cada
conteúdo/função envolvia um grupo de problemas com o objetivo de conduzir o
discente descobrir estratégias para a resolução de problemas.
128
Quadro 7 – Distribuição das atividades
Função Atividades / Título Quantidade Categorização
Afim
1 - Descobrindo a expressão algébrica
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
4 Questões
complementares
2 - Construindo gráficos da função afim
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
4 Questões
complementares
3 - Crescimento e
decrescimentoda
função afim
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
3 Questões
complementares
4 - O zero da função afim
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
2 Questões
complementares
5 - Problemas sobre função afim
10 Problemas
Quadrática
1 - Descobrindo a expressão algébrica
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
4 Questões
complementares
2 - Construindo gráficos da função quadrática
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
2 Questões
complementares
3 - Concavidade da parábola
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
1 Questões
complementares
4 - Zeros da função quadrática
1 Atividade do conteúdo
1 Questões
complementares
2 Questões
complementares
5 - Cálculo dos zeros da função quadrática
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
2 Questões
complementares
6 – Vértice, Valor máximo ou mínimo da função quadrática
1 Atividade do conteúdo
1 Questão proposta
3 Questões
complementares
7 - Problemas sobre função quadrática
10 Problemas
Fonte: autoria própria.
129
Após a execução de cada atividade do tipo para aprender o conteúdo, os
grupos socializarão suas conclusões a respeito do conceito apreendido. Na
sequência a professora-pesquisadora entrará em cena promovendo a
institucionalização do saber, que segundo Brousseau (1996, p. 70) é uma etapa
indispensável da aprendizagem e é constitutiva do saber em relação aos
conhecimentos, é um trabalho cultural e histórico que compete ao professor
estabelecer ou concretizar naturalmente determinas situações.
Em seguida, conduziremos os grupos na resolução da questão proposta
com base no texto, nesse momento os discentes terão que encontrar o modelo mais
adequado a cada situação, o que de acordo com Biembengut e Hein (2011, p. 12) “é
um conjunto de símbolos e relações matemáticas que procura traduzir, de alguma
forma, um fenômeno em questão ou problema de situação real”. Posteriomente, os
discentes também realizarão a socialização dos resultados encontrados e por fim
resolverão as questões complementares, discutindo ao final suas possíveis
soluções.
A atividade 5 referente ao conteúdo de função afim e a atividade 7 sobre
a função quadrática consiste em um conjunto de problemas com a intenção de que o
aluno descubra estratégias para a resolução de problemas para esses conteúdos,
assim estas atividades devem ter um tratamento diferenciado das demais, por tratar
de problemas de fixação com modelos diferenciados, conduziremos a atividade
procurando destacar de modo que o discente possa atentar para os passos
estabelecidos por Polya
1. Compreender o problema: O que se pede no problema? Quais são os
dados e as condições do problema? É possível fazer uma figura, um esquema ou um diagrama? É possível estimar a resposta? 2. Elaborar um plano: Qual é o seu plano para resolver o problema? Que estratégia você tentará desenvolver? Você se lembra de um problema semelhante que pode ajudá-lo a resolver este? Tente organizar os dados em tabelas e gráficos. Tente resolver o problema por partes 3. Executar o plano: Execute o plano
elaborado, verificando-o passo a passo. Efetue todos os cálculos indicado no plano. Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias maneiras de resolver o mesmo problema. 4. Fazer o retrospecto ou verificação: Examine se a solução obtida está correta. Existe outra maneira de resolver o problema? É possível usar o método empregado para resolver problemas semelhantes? (POLYA, 2006).
Ao final de cada atividade (grupo de questões) os alunos receberão uma
ficha de avaliação (cf. Apêndice F) para expressar suas opiniões sobre a aula do dia.
Esses procedimentos seriam usados por cada grupo de atividades.
130
2.2.1 Atividades da função afim
Texto para as atividades 1 a 4
SISTEMA DE PRODUÇÃO DO AÇAÍ
O uso de cultivares adaptadas às diferentes condições de
clima, solo e sistema de produção é o princípio fundamental para a
obtenção de incrementos de produtividade e de qualidade de qualquer
vegetal.
O programa de melhoramento genético da Embrapa Amazônia
Orienta, com base na seleção fenotípica na coleção de germoplasma de
açaizeiro, implantada em área de terra firme, no Município de Belém, PA,
lançou, em 2004, a cultivar BRS-Pará, selecionada para as condições de
terra firme, com bons níveis de produtividade de frutos.
De modo geral, é estimado que, no 5º ano, a produtividade possa chegar a 4 toneladas
e, no 6º ano a 6 toneladas, e a partir do 6º ano, ocorram aumentos progressivos que poderão
alcançar a 10 toneladas de frutos no 8º ano.
A colheita dos cachos inclui a debulha dos frutos e o seu transporte até o local do
embarque, efetuado nas costas ou em pequenas embarcações a remo (cascos). A rasa é uma
medida local que consiste em duas latas de 20 litros (28,4 kg), é confeccionada com talos de arumã
(IschnosiphonovatusKcke.), planta da família das Marantáceas, a qual pertence a araruta
(Marantaarundinacea).
Os preços mensais recebidos pelos extrativistas no Estado do Pará tiveram um
acréscimo no mês de junho. Tal ocorrência se deve a pouca oferta do produto em função do período
de entressafra. Contudo, esses preços tendem a recuar uma vez que no mês de julho inicia a safra do
açaí no Estado do Pará, isto pode ser creditado em parte à demanda externa que fortaleceu as
exportações. O incremento das exportações vem provocando a escassez do produto e a elevação
dos preços ao consumidor local em grande parte do ano, principalmente no período de entressafra
que acontece de janeiro a junho. O preço mensal pago ao extrativista (em R$/rasa) foi de R$18,00 em
junho de 2009, R$12,00 em junho de 2010 e R$ 6,00 em junho de 2011.
Bibliografia
Conab. Companhia Nacional de Abastecimento. Ministério da agricultura, pecuária e abastecimento. Disponível em: <http://www.conab.gov.br/OlalaCMS/uploads/arquivos/11_06_22_17_13_53_conjunturaacaijunho2011..pdf>. Data de acesso: 24 ago. 2012. (Texto adaptado) Embrapa Amazônia Oriental. Sistema de Produção. Disponível em: <http://sistemasdeproducao.cnptia.embrapa.br/FontesHTML/Acai/SistemaProducaoAcai_2ed/index.htm>. Data de acesso: 15 mar. 2012.(Texto adaptado) HOMMA, Alfredo KingoOyama. et al. Açaí: Novos desafios e tendências. Revista Amazônia: Ciencia e Desenvolvimento. Belém, v. 1, n. 2, jan./jun. 2006. (Texto adaptado)
Fonte: ASBRAER, 2011
131
2.2.1.1 Atividade 1
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: Descobrindo a expressão algébrica
Objetivo: descobrir uma relação entre conjuntos de números.
Material: texto “Sistema de produção do açaí”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questão proposta: Volte ao texto “Sistema de produção do açaí”, selecione os dados sobre a
produção anual de açaí em função do ano, em seguida construa uma tabela com duas colunas, uma
coluna com dados dos anos e outra coluna com os valores da produção em toneladas. Com base na
tabela responda a questão proposta: Qual a expressão algébrica que melhor representa a produção
anual de Açaí?
Observação:Antes de responder a questão, complete as tabelas a seguir.
Procedimentos: observe os dados abaixo e descubra a expressão algébrica que relaciona o
conjunto dos valores de x e o conjunto dos valores de y em cada tabela.
x y x y
1 2 0 0
2 4 1 3
3 6 2 6
4 8 3 9
5 10 4 12 x x
x y x y
1 - 2 0 0
2 - 4 1 - 3
3 - 6 2 - 6
4 - 8 3 - 9
5 - 10 4 - 12 x x
x y x y
0 1 0 -1
1 2 1 0
2 3 2 1
3 4 3 2
4 5 4 3 x x
Observação:
Conclusão:
132
Após a discussão do texto do sistema de produção do açaí o professor
deverá entregar somente a primeira página da atividade 1, pois na segunda consta o
quadro explicativo sobre a definição da função afim, após a socialização dos
resultados dos alunos e de suas observações e conclusões, o professor definirá a
função afim e entregará o restante da atividade 1 (páginas 2 e 3).
2
Agora que você já compreendeu a relação existente entre o conjunto de dados das
tabelas acima volte ao texto “Sistema de produção do açaí”, selecione os dados sobre a produção
anual de açaí em função do ano, em seguida construa uma tabela com duas colunas, uma coluna
com dados dos anos e outra coluna com os valores da produção em toneladas. Com base na tabela
responda a questão proposta: Qual a expressão algébrica que melhor representa a produção anual
de Açaí?
3
Questões complementares
1. (ENEM, 2009) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas
em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir.
Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de
vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Disponível em: www.penta.ufrgs.br.
Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
133
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x b) y = 25x + 20,2 c) y = 1,27x d) y = 0,7x e) y = 0,07x + 6
2. (ENEM, 2010) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de
refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de
canu
dos (C) de cada figura dependente da quantidade de quadros (Q) que formam cada figura. A
estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
........
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada
figura?
a) C = 4Q b) C = 3Q+1 c)C = 4Q-1 d) C = Q+3 e) C=4Q-2
3. (DANTE, 2008) O preço de venda de um livro é de R$15,00 por unidade. A receita total obtida pela
venda desse livro pode ser calculada pela formula: receita total = preço de venda por unidade vezes
quantidade de livros vendidos. Indicando por x a quantidade de livros vendidos escreva a lei da
função.
4. (VUNESP, 1995) Uma pessoa obesa, pesando em certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA
onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg Por semana. Suponhamos que isso realmente
ocorra. Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após
n semanas.
Análise a priori: O objetivo desta atividade é descobrir uma relação entre conjuntos
de números. A aplicação da mesma tem o intuito de auxiliar o aluno a descobrir uma
expressão algébrica e compreender o conceito de função afim a partir de relações
entre variáveis, desenvolver a capacidade de análise do discente com base em
dados de problemas contextualizados e conduzi-lo a encontrar o modelo (expressão
algébrica) que melhor represente a situação.
Nessa mesma perspectiva, as Matrizes de referência de Matemática do
ENEM 2011 visam que os alunos tenham desenvolvido, ao final do 3º ano do ensino
médio, competências e habilidades para “identificar representações algébricas que
expressem a relação entre grandezas; resolver situação-problema cuja modelagem
envolva conhecimentos algébricos e resolver problema com dados apresentados em
134
tabelas e analisar informações expressas em tabelas como recurso para a
construção de argumentos.”. E, os descritores do SAEB apontam para o 3º ano do
ensino médio habilidades como “reconhecer expressão algébrica que representa
uma função a partir de uma tabela”.
Nesta atividade, inicialmente os grupos estabelecerão uma relação entre
o conjunto dos valores de x e de y em cada tabela, as quais estão organizadas de
forma a facilitar a percepção da regularidade estabelecida entre o conjunto de
valores do domínio e da imagem da função afim. Nossa hipótese é que os grupos
conseguirão descobrir a expressão algébrica em cada tabela enunciando-a
corretamente, pois consideramos que os alunos do 1º ano do ensino médio
dominem os conteúdos do ensino fundamental, como equações do 1º grau, pré-
requisito para o ensino de função afim. Contudo, terão dificuldade de redigir suas
observações e conclusões, isto porque escrever uma texto explicativo acerca dos
seus entendimentos poderá ser um problema para muitos deles, uma vez que
possivelmente os alunos não estão habituados a participar ativamente da construção
do conhecimento.
Por este motivo, durante a institucionalização do saber orientaremos os
estudantes a atentar para o título, o objetivo da atividade e também a obtenção dos
resultados advindos das relações estabelecidas entre os conjuntos de valores do
domínio e imagem, até então abordados apenas como x e y, a fim de que percebam
que esses elementos podem ajudá-los na organização de suas conclusões. E ainda
que tenham dificuldades em estabelecer uma associação entre a expressão
algébrica e a definição de função, esclareceremos isto no quadro explicativo, após a
socialização das considerações dos alunos, abordando a definição da função afim e
seus coeficientes, a variável dependente e independente e como podemos encontrar
uma função afim conhecendo dois pontos, evidenciaremos alguns exemplos, para
que em seguida os discentes resolvam a questão proposta com base nos dados do
texto “Sistema de produção do açaí”.
Supomos, também, que os grupos conseguirão encontrar o modelo
algébrico que representa a produção do açaí em toneladas, uma vez que a questão
busca instruí-los a montar a tabela com os dados para em seguida encontrar a
função semelhante aos procedimentos anteriormente desenvolvidos, mas que
poderiam encontrar dificuldades em retirar dados do texto, uma vez que não
135
estavam acostumados a modelar situações reais. Pensando nisso, orientaremos os
discentes a leitura do parágrafo que trata mais especificamente da produção anual
do açaí e a coletar os valores dos anos para o conjunto dos x e os valores da
produção para os conjuntos dos y. Depois que os grupos conseguirem encontrar a
expressão algébrica da produção anual de açaí, compararemos os resultados dos
alunos solicitando que eles escrevam no quadro suas respostas para a questão
proposta. Em seguida os discentes serão instigados a resolver as questões
complementares a fim de aprofundar o conteúdo aprendido.
Julgamos que inicialmente os discentes sentirão dificuldades em resolver
os problemas, haja vista que os questionários mensionados nas subseções 1.2 e 1.3
evidenciaram a resolução de problemas como um dos tópicos de função afim que os
discentes mais apresentam dificuldades, tanto na visão dos professores quanto dos
alunos. Em virtude disso, orientaremos os discentes aos passos para a resolução
dos problemas de acordo com a perspectiva de Polya (2006) para a resolução de
problemas.
Na primeira questão complementar supomos que os alunos consigam
enxergar a relação entre o nível da água e o número de bolas, pois a disposição dos
valores na tabela é similar a atividade anteriormente desenvolvida, no entanto o fato
dos dados serem números decimais pode causar certa estranheza aos discentes e
dificulte o cálculo para a construção da expressão. Na questão 2, por se tratar de
outra forma de representar os dados da função, os alunos a princípio poderão ter
dificuldades em identificar uma relação, para resolver isso, solicitaremos que eles
construam a próxima figura e agrupem os dados em uma tabela relacionando
quantidade de palitos e quantidade de quadrados até que cheguem a uma
conclusão sobre a sequência de dados.
Consideramos que os alunos conseguirão encontrar a expressão da
questão complementar 3, uma vez que a função representada está bem explicita na
forma de texto e esta subsidiará a construção da questão 4, caso os discentes
tinham dificuldades em resolver esta questão solicitaremos que busquem destacar a
variável dependente e a variável independente, o valor que é fixo e o valor que é
variável, a fim de enxergarem a relação existente.
Com relação ao tempo gasto para a realização da atividade, calculamos
que esta atividade demandará mais tempo para ser concluída, por iniciar com um
136
debate acerca da cultura local, a produção de açaí, e ainda pela própria estrutura da
atividade requerer ir e voltar ao texto, conceber conceitos, abrir espaço para
discussões, o que está previsto nas metodologias de ensino adotadas nesta
pesquisa. Contudo provoca uma quebra no contrato didático com o qual os alunos
estão acostumados, pois no questionário aplicado alunos do 2º ano (alunos da
escola lócus da pesquisa e de outras escolas) haviam informado que a forma de
abordagem do conteúdo utilizada por seus professores era pautada na definição,
exemplos e exercícios. E a sondagem realizada na turma de aplicação também
ressaltou essa abordagem. O que comprova que a turma experimental não estava
acostumada com o procedimento de ensino que adotamos.
2.2.1.2 Atividade 2
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: Construindo gráficos da função afim
Objetivo: descobrir uma representação geométrica para função afim.
Material: texto “Sistema de Produção do açaí”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questão proposta: Organize os dados do texto “Sistema de Produção do açaí” em uma tabela
com os valores de x referente ao ano e os valores de y referentes a produção anual do fruto,
construa o gráfico e responda: Como podemos representar graficamente a produção anual de
açaí?
Observação:Antes de responder a questão, construa os gráficos a seguir.
Procedimentos: para cada função encontre o valor de f(x), preencha a tabela e em seguida construa o gráfico.
( ) 2f x x
( ) 2f x x
x
( )f x
x
( )f x
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1
2 2
137
( ) 1f x x
( ) 1f x x
x ( )f x x ( )f x
-2 -2 -1 -1
0 0
1 1
2 2
( ) 3f x x
( ) 2 4f x x
x ( )f x
x
( )f x
-2 -2
-1 -1
0 0
1 1 2 2
Conclusão:
Primeiramente o professor entregará a página 1 da atividade 2 da função
afim. Somente após a construção do gráfico e as conclusões dos discentes que o
professor deverá institucionalizar o saber mostrando o quadro explicativo da
atividade 2 (páginas 2) e prosseguir com a aplicação das demais questões.
2
Como você já praticou a construção dos gráficos, organize os dados do texto “Sistema
de Produção do açaí” em uma tabela com os valores de x referente ao ano e os valores de y
138
referentes a produção anual do fruto. Construa o gráfico e responda: Como podemos representar
graficamente a produção anual de açaí?
Questões complementares
1. (DANTE, 2008) Um corpo se movimenta em velocidade constante de acordo com a fórmula
matemática 2 3s t , em que s indica a posição do corpo (em metros) no instante t (em segundos).
Construa o gráfico de s em função de t.
2. (BACKS, 2008) Ao chegar a um aeroporto, um turista informou-se sobre a locação de automóveis
econdensou as informações na tabela seguinte:
Obtenha uma equação que defina o preço y da locação por um dia, em função donúmero de km
rodados, em cada uma das situações apresentadas na tabela. E esboce os gráficos de cada uma das
situações.
3. (ENEM, 2011) As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas
por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção.
Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.
Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas
desse produto é
a) b) c) d) e)
4. (VUNESP) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em
centímetros, todos os dias. Ligando os pontos colocados por ele num gráfico,
obtemos a figura abaixo. Se for mantida sempre essa relação entre tempo e
altura, a planta terá, no 30º dia, uma altura igual a:
a) 5 cm b) 6 cm c) 3 cm d) 15 cm e) 30 cm
Análise a priori: No que diz respeito ao ensino de funções e suas
representações gráficas, o SAEB, em seus descritores, ressalta: “identificar o gráfico
que representa uma situação descrita em um texto; reconhecer o gráfico de uma
função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes e reconhecer a
expressão algébrica de uma função do 1º grau dado seu gráfico”. O ENEM destaca
139
habilidades como “analisar informações expressas em gráficos como recurso para a
construção de argumentos; utilizar informações expressas em gráficos para fazer
inferências e resolver problema com dados apresentados em gráficos”. Estes
aspectos iniciados nesta atividade serão também explorados na atividade 5, nos
problemas que envolvem gráficos.
Assim, esta atividade intenciona propiciar aos alunos a construção de
gráficos da função afim para em seguida resolverem questões de aplicação
envolvendo gráficos. Inicialmente os discentes serão conduzidos a encontrar a
imagem de cada função e marcar os pontos encontrados no plano cartesiano para
em seguida traçar o gráfico. Esperamos que os alunos tenham a percepção de que
o gráfico que representa a função afim é uma reta e abriremos um momento para
discussão e esclarecimento das considerações dos alunos.
A questão proposta busca conduzir o discente a extração de dados do
texto para construção gráfica, daremos um tempo para os grupos buscarem esses
dados no texto. Supomos que eles tenham dificuldades em extrair e tabelar esses
dados por não estarem acostumados a buscar dados matemáticos em um texto.
Para tanto, os conduziremos na construção de uma tabela semelhante a da
atividade 1, em que estavam destacados valores domínio e da imagem, mostrando
que esses dados no texto estão substituídos por valores de ano e produção em
toneladas. Esperamos que desta forma seja possível que eles sistematizem os
dados e construam o gráfico.
Quanto a questão complementar 1, nossa hipótese é que os alunos terão
facilidade em resolve-la, já que é apresentada a função e as variáveis e o discente
apenas deverão escolher valores do domínio, substituir na equação e encontrar as
coordenadas de cada ponto, bem parecido com a atividade inicial. Na questão
complementar 2, consideramos que os discentes terão um pouco mais de dificuldade
por se tratar de duas ações, primeiro achar a equação e segundo a construção
gráfica, outra dificuldade poderá ser pelo fato dos dados não serem números
inteiros, mas como nossa intenção é treiná-lo para resolução de problemas reais se
faz necessário apresentarmos dados que os expressem. No entanto, como em
ambas as ações eles terão que resolver questões similares consideramos que seria
possível às assertivas. Na questão três por se tratar da análise dos dados
relacionando ao gráfico, consideramos que o conhecimento apreendido até então
140
seja suficiente para que eles possam realizar a questão corretamente. Na questão
complementar 4 buscamos que o discente seja capaz de coletar dados do gráfico
para representá-lo algebricamente e em seguida encontrar a imagem a partir do
domínio.
Extipulamos que esta atividade também demandaria certo tempo, pois
apesar da atividade 1, já ter esclarecido alguns conceitos, como domínio e imagem,
que será abordado nesta atividade, o exercício da construção gráfica e a releitura do
texto do “sistema de produção de açaí”, e principalmente pelas diferentes
abordagens de representação gráfica da função afim presentes nas questões
complementares, são fatores que justicam um tempo consideravelmente longo para
a aplicação.
2.2.1.3 Atividade 3
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: Crescimento e decrescimento da função afim
Objetivo: descobrir uma relação entre os coeficientes da função afim com o comportamento do
gráfico e seu crescimento ou decrescimento.
Material: texto “Sistema de Produção do açaí”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questão proposta: Lembre que você já descobriu a expressão para produção anual de açaí em
função do ano, com base no texto “Sistema de produção do açaí” na Atividade 1, agora com base no
que você aprendeu responda a questão proposta: A função que representa a produção anual de açaí
é crescente ou decrescente?
Observação:Antes de responder a questão, estude os gráficos a seguir.
Procedimentos: Observe os gráficos e preencha a tabela abaixo.
( ) 2f x x ( ) 2f x x
141
( ) 1f x x ( ) 1f x x
( ) 3f x x ( ) 3f x x
2
2
( ) 23
f x x
2( ) 2
3f x x
( ) 10 5f x x 5( ) 10
2f x x
142
( ) 9 3f x x ( ) 2 4f x x
3
Uma função em que sempre que o valor da variável independente aumenta
implica no aumento do valor da variável dependente ou que sempre que o valor da variável
independente diminui implica na diminuição do valor da variável dependente é chamada de
função crescente.
Uma função em que sempre que o valor da variável independente diminui
implica no aumento do valor da variável dependente ou que sempre que o valor da variável
independente aumenta implica na diminuição do valor da variável dependente é chamada
de função decrescente.
bxaxf )(, com
:f a
b
0a
maior
0a
menor
A função é:
Crescente?
Decrescente?
( ) 2f x x
( ) 2f x x
( ) 1f x x
( ) 1f x x
( ) 3f x x
( ) 2 4f x x
2( ) 2
3f x x
2( ) 2
3f x x
( ) 10 5f x x
5( ) 10
2f x x
( ) 9 3f x x
143
Observação:
Conclusão:
( ) 3f x x
4
Agora com base na atividade que você desenvolveu, responda a questão proposta.
Lembre que você já descobriu a expressão para produção anual de açaí em função do ano, com
base no texto “Sistema de produção do açaí” na Atividade 1, agora com base no que você aprendeu
responda a questão proposta: A função que representa a produção anual de açaí é crescente ou
decrescente?
Questões complementares:
1. (CESESP-PE) Considere a função afim ( ) ( 0)f x ax b a . Qual dentre as seguintes
alternativas é verdadeira?
a) se b>0, então a função é crescente;
b) se b<0, então a função é decrescente;
c) se a>-1, então a função é crescente;
d) se a<1, então a função é decrescente;
e) se a>0, então a função é crescente;
2. (IEZZI, 2005) Especifique, para cada uma das funções abaixo, quais são crescentes ou
decrescentes em .
a) 5 1y x
b) 2 3y x
c) 3y x
d)
3y x
3. (DANTE, 2008) Determine a lei da função afim cuja reta intersecta os eixos em (-8,0) e (0,4). Essa
função é crescente ou decrescente?
O professor deve entregar a atividade completa ao aluno, incluindo o
quadro explicativo da função crescente e decrescente, essencial para a resolução da
atividade.
Análise a priori: A atividade consoante aos descritores do SAEB requer que os
discentes desenvolvam a habilidade de “analisar crescimento/decrescimento
apresentadas em gráficos”. A atividade deverá permitir que os alunos verificassem
144
que a influência do coeficiente a no comportamento do gráfico da função afim.
Consideramos que os grupos não teriam dificuldades para descobrir, enunciar e
redigir as conclusões, já que o quadro explicativo anunciará as situações de
crescimento e decrescimento o que implicaria apenas na associação do valor de a
ao seu correspondente gráfico.
O que poderá ocorrer neste caso é que os grupos fassam confusão entre
a variável independente e dependente quanto ao aumento e diminuição no momento
da observação do gráfico. E contornaremos a situação explicitando em um exemplo
a variável dependente e independente no gráfico e como esse aumento ou
diminuição poderá ocorrer, para em seguida eles prosseguirem a atividade nos
gráficos propostos. Após as conclusões dos alunos e nossas considerações sobre a
atividade os mesmos serão direcionados a resolver as questões seguintes.
Julgamos que as duplas serão capazes de responder a questão proposta
e as questões complementares, haja vista que a conclusão dos procedimentos desta
atividade era suficiente para que fosse possível identificar se a função afim era
cresceste ou decrescente tanto observando a expressão algébrica como observando
seu gráfico.
Consideramos que esta atividade demandará menor tempo que as
atividades anteriores para ser concluída e que apresentará o melhor desempenho
das duplas em relação a redação das conclusão, devido o acúmulo de experiências
que eles terão e por ter poucas questões complementares.
2.2.1.4 Atividade 4
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: O zero da função afim
Objetivo: identificar o zero da função afim a partir da análise gráfica.
Material: texto “Sistema de Produção do açaí”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questão proposta: Lembre que você já descobriu a expressão para produção anual de açaí em
função do ano, a partir do texto “Sistema de produção do açaí”, agora com base no que você
aprendeu responda a questão proposta: Sabendo que os anos iniciais foram dedicados ao plantio do
açaí. Qual o ano em que inicia a produção dos frutos?
Observação: Antes de responder a questão, estude os gráficos a seguir.
Procedimentos: Para cada gráfico abaixo identifique as coordenadas do ponto em que a reta corta
145
o eixo das abscissas
.
( ) 2f x x ( ) 2f x x
( ) 1f x x ( ) 1f x x
( ) 3f x x ( ) 3f x x
2
2
( ) 23
f x x
2( ) 2
3f x x
146
( ) 10 5f x x 5( ) 10
2f x x
( ) 9 3f x x ( ) 2 4f x x
3
Com base na observação realizada preencha o quadro a seguir:
Função
Coordenadas do ponto em que a reta corta o eixo das abscissas
Valor da abscissa Valor da ordenada
( ) 2f x x
( ) 2f x x
( ) 1f x x
( ) 1f x x
( ) 3f x x
( ) 3f x x
2( ) 2
3f x x
2( ) 2
3f x x
( ) 10 5f x x
147
5( ) 10
2f x x
( ) 9 3f x x
( ) 2 4f x x
Observação:
Conclusão:
O professor deverá entregar as três primeiras páginas da atividade 4
sobre o zero da função afim, as últimas páginas somente após a observação e
conclusões dos alunos, pois na página 4 consta o quadro sobre a definição do zero
da função, que deverá ser ministrada pelo professor após a socialização dos
resultados da execução dos procedimentos desta atividade pelos alunos.
4
O zero da função afim (ou raiz da função) é o valor de x para o qual a função
( )f x ax b se anula, ou seja, para o qual ( ) 0f x .
Lembre que você já descobriu a expressão para produção anual de açaí em função do
ano, a partir do texto “Sistema de produção do açaí”, agora com base no que você aprendeu
responda a questão proposta: Sabendo que os anos iniciais foram dedicados ao plantio do açaí.
Qual o ano em que inicia a produção dos frutos?
Problemas complementares
1. Encontre o zero ou raiz das funções a seguir:
a) 5 1y x
b) 2 3y x
c) 3y x
d)
3 2y x
2. (DANTE, 2008) Um motociclista percorre uma estrada movimentando-se de acordo com a função
horária S(t) = 100t – 50, em que S(t) representa sua posição (em km) e t representa o tempo (em h).
Depois de quanto tempo o motociclista passa pelo marco quilometro zero (km 0)?
Análise a priori: A atividade trata basicamente da análise do gráfico, nossa hipótese
era que as duplas conseguissem identificar que o zero da função é a abscissa do
148
ponto em que o gráfico corta o eixo x. O SAEB (2011, p. 79) aponta como um de
seus descritores (D20) “analisar zeros de funções reais apresentadas em gráficos”.
Julgamos que os alunos terão dificuldade em compreender a questão
proposta, em associar o zero da função ao ano inicial do plantio. Caso isso ocorra
pediremos para que analisassem o gráfico construído na questão proposta da na
atividade 2 e tentassem identificar o zero da função para em seguida associarem o
valor ao ano observado.
Quanto a atividade complementar 1, supomos que as duplas não tenham
dificuldades em encontrar o zero da função, por terem estudado anteriormente
equação do primeiro grau. As outras duas questões também podem ser de fácil
solução por ser similar a questão proposta. Consideramos que esta atividade
demandará o menor tempo para ser concluída, por ser mais sucinta e por ter
questões complementares similares.
2.2.1.5 Atividade 5
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: Problemas sobre função afim
Objetivo:Descobrir estratégias para resolução de problemas envolvendo a função afim.
Material:Roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
1. O patchuli é nativo nas Índias Orientais e Ocidentais da língua tamil patchai (verde) e ellai (folha),
tem sido utilizado durante séculos em perfumaria, o seu aroma é considerado relaxante por diversas
pessoas. São atribuídas várias propriedades benéficas tanto à planta quanto ao seu óleo essencial,
principalmente por parte dos adeptos de medicina alternativa e ervanários. Nas feiras de artesanato
de Belém do Pará, é comum, no período natalino, a venda de árvores de natal feitas com raiz de
patchuli. Um artesão paraense resolveu incrementar sua produção, investindo na compra de matéria
prima, assim tinha um gasto fixo acrescido do custo por unidade produzida. A tabela seguinte mostra
o custo total C da produção, em reais, em função do número de árvores produzidas n.
Escreva a expressão algébrica que representa o custo total da produção de árvores de patchuli.
Qual o custo para o artesão se forem produzidas 10 árvores?
149
2. (UNAMA, 2012) Um paciente esteve interado durante X dias num hospital que cobrou R$200,00
pela diária do apartamento e R$ 1.200,00 pelo procedimento cirúrgico. A expressão que representa o
total pago Y (em reais) pelo paciente em função do número x de dias é
a) 1.400Y X b) 1.200 200Y X c) 200 1.200Y X d) 200Y X
3. (HOFFMANN, 2002) Uma locadora de automóveis cobra R$100,00 por dia mais R$2,00 por
quilômetro rodado. a) Expresse o custo para alugar um carro nessa locadora por 1 dia em função do
número de quilômetros rodados; b) Quanto custa alugar o carro por 1 dia para uma viagem de 50
quilômetros? c) Quantos quilômetros o carro rodou se o preço do aluguel por 1 dia foi R$150,00?
4. (HOFFMANN, 2002) Desde o inicio do mês, o reservatório de água de uma cidade vem perdendo
água a uma taxa constante. No dia 12, o reservatório está com 200 milhões de litros d‟água; no dia
21, está apenas com 164 milhões de litros. a) Expresse a quantidade de água no reservatório em
função do tempo; b) Quanta água havia no reservatório no dia 8?
5. (HOFFMANN, 2002) Uma empresa aluga uma máquina industrial por uma quantia fixa de R$20,00
mais R$5,00 por hora de uso. a) Faça uma tabela mostrando o número de horas de uso da máquina
e o preço correspondente do aluguel para 2 horas, 5 horas, 10 horas e horas; b) Escreva a
expressão para o custo y em função do números de horas de uso t (supondo que t seja um número
real positivo); c) Faça o gráfico da expressão obtida no item (b); d) Determine o tempo de uso do
equipamento, se a quantia cobrada pelo aluguel da máquina foi R$60,00.
2
6. (UEPA, 2011) Uma fábrica apresenta um gasto fixo de R$11.000,00 na produção de papel
reciclado e R$0,06 na produção de cada folha o gráfico que representa o custo total que a fábrica
tem por mês, na produção de folhas de papel reciclado será:
a) uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas
b) uma reta de origem no ponto (0, 11.000).
c) uma reta que passa pelo ponto (6.600, 11.000).
d) uma curva que passa pelo ponto (11.000, 327).
e) uma curva que passa pelo ponto (6, 11.000).
7. (UEPA, 2012) O treinamento físico, na dependência da qualidade e da quantidade de esforço
realizado, provoca, ao longo do tempo, aumento do peso do fígado e do volume do coração. De
acordo com especialistas, o fígado de uma pessoa treinada tem maior capacidade de armazenar
glicogênio, substância utilizada no metabolismo energético durante esforços de longa duração. De
acordo com dados experimentais realizados por Thörner e Dümmler (1996), existe uma relação
linear entre a massa hepática e o volume cardíaco de um indivíduo fisicamente treinado. Nesse
sentido, essa relação linear pode ser expressa por y ax b , onde “y” representa o volume
cardíaco em mililitros (ml) e “x” representa a massa do fígado em gramas (g). A partir da leitura do
150
gráfico abaixo, afirma-se que a lei de formação linear que descreve a relação entre o volume
cardíaco e a massa do fígado de uma pessoa treinada é:
(Fonte: AGUIAR, A. F. A., XAVIER, A. F. S. e RODRIGUES, J. E. M. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas. São. Paulo: Editora Harbra, 1988. Texto Adaptado)
a) 0,91. 585y x
b) 0,92. 585y x
c) 0,93. 585y x
d) 0,94. 585y x
e) 0,95. 585y x
3
8. (ENEM, 2009) Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores, com custos fixos de
R$ 1.000,00 e custos variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo
total para x jogos produzidos é dado por C (x) = 1 + 0,1x (em R$ 1.000,00). A gerência da empresa
determina que o preço de venda do produto seja de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos
produzidos é dada por R(x)=0,7x (em R$ 1.000,00). O lucro líquido, obtido pela venda de x unidade
de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os custos totais. O gráfico que modela
corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos é
a) b) c)
d) e)
9. Um dos atrativos da Ilha de Marajó é o queijo marajoara feito do leite de búfala. Um produtor de
queijo tem um gasto mensal R$1.000,00 para manutenção das instalações. Como cada quilo de
151
queijo será vendido a R$50,00. Determine: a) a expressão algébrica da função que representa o
ganho mensal do produtor de queijo em função do número x de quilos de queijo vendidos; b) indique
se a função é crescente ou decrescente; c) quantos quilos de queijo devem ser vendidos para que
haja lucro no final da venda. d) se o produtor vender 15 quilos de queijo, qual será seu rendimento
mensal? Ele vai ter lucro ou prejuízo?
10. (ENEM, 2011) Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que
produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função,
simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q
também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de
produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q). Considerando-se as funções FT(q) = 5q e
CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria
terá de fabricar para não ter prejuízo?
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5
Análise a priori: Tanto o PCNEM quanto o ENEM e o SAEB destacam a resolução
de problemas dentre as habilidades que o discente deve desenvolver seja de forma
geral “resolver problema envolvendo uma função do 1.º grau”(Saeb, 2011, p. 79) ou
mais específica “resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos
e resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos”
(ENEM, 2011, p.5).
Esta atividade certamente demandará tempo igual ou superior a atividade
1, por se tratar de situações problemas, por apresentar questões diferenciadas e por
tratar de questionamentos ainda não estudados como a noção de lucro e prejuízo
pela ótica da resolução de problemas sobre função afim. Os aspectos destacados
por Polya para a resolução de problemas serão aqui empregados, na tentativa de
treinar o discente a resolução de problemas e torná-lo apto a percepção de tais
situações no seu cotidiano, desse modo propomos problemas de vestibulares locais
como UFPA, UEPA e UNAMA, de outras instituições e de outros autores além de
alguns problemas por nos elaborados.
Inicialmente daremos um tempo para os grupos tentarem resolver os
problemas, nossa hipótese era que os discentes tivessem dificuldades em resolver
questões de tal natureza. Caso esta situação fosse percebida em algum grupo,
procuraremos fazê-los refletir sobre as seguintes questões: O que se pede no
problema? Quais são os dados e as condições do problema? É possível fazer uma
152
figura, um esquema ou um diagrama? É possível estimar a resposta? Dentre outros
questionamentos destacados por Polya(2006). Assim, esperamos contribuir para que
os grupos conseguissem desenvolver a atividade e chegar à solução dos problemas.
As questões 1, 2, 3, 4 e 5 por serem similares as questões desenvolvidas
nas atividades 2 e 3 julgamos que as duplas consiguam resolver com certa
facilidade. Supomos que os grupos possam sentir dificuldade na questão 6, uma vez
que o visual (gráfico) não fazia parte da questão, no entanto, instigaremos os grupos
a encontrar uma relação entre o valor de b e os gráficos construídos na atividade 2,
e assim poderemos conduzí-los a conclusão de que o b é o ponto que corta o eixo
das ordenadas, ampliando desse modo a capacidade de análise do aluno sobre a
questão 5.
Na questão 7, esperamos que os alunos não tenham dificuldade por se
tratar da extração de dados do gráfico, o que já haviam estudado, e de encontrar
uma expressão algébrica que represente a função a partir de dois pontos o que já
teremos esclarecido no momento da socialização da atividade 1. Na questão 8, os
discentes poderão ter dificuldades em relacionar receita, lucro e custo, neste caso,
instruiremos os mesmos quanto noção da regra que representa o lucro de uma
empresa (lucro = receita – custo), nossa hipótese é que eles consigam visualizar no
gráfico a função correspondente ao lucro.
Consideramos que os grupos até consegam estabelecer as expressões
nas questões 9 e 10, mas não conseguam concluir a questão por se tratar de
situações que envolvam uma inequação do 1º grau, assumindo valores maiores,
menores ou iguais a zero para situações de lucro ou prejuízo. Caso isso ocorra
incentivaremos os discentes a encontrarem a desigualdade conforme o solicitado na
questão (com ( ) 0f x ou ( ) 0f x ) e observar para que valores da função os dados
seriam maior ou menor que o zero da função.
153
2.2.2 Atividade da função quadrática
Texto para as atividades 1 a 6
ARQUITETURA DO VER-O-PESO
O trecho do poema acima do poeta belenense Max Martins enfatiza a vida no Mercado
Ver-o-Peso, na cidade de Belém do Pará, grande metrópole da região amazônica, o poeta retratou a
dificuldade do homem ribeirinho em vencer a pobreza na cidade. O mercado foi criado em 1627 para
fiscalizar as mercadorias e cobrar os impostos para a coroa portuguesa, eram as Casas do “Ver-o-
Peso”, o que levou o lugar a ficar conhecido popularmente como Ver-o-Peso. Mas a configuração
que conhecemos atualmente, na paisagem urbana, é resultado de investimentos realizados no
famoso ciclo da borracha, pois o Brasil era o maior produtor mundial de borracha natural do mundo,
em meados do século XIX e início do século XX.
Esses lucros resultaram em investimentos na construção de
prédios públicos, além da urbanização da cidade, o mercado do Ver-o-
Peso, que era a porta de entrada de Belém, logo se beneficiou deste
processo: “as principais ruas foram pavimentadas em concreto e no
calçamento de outras em paralelepípedos de granito, importados de
Portugal; na obrigatoriedade, através de códigos urbanos, do
alinhamento das construções que agora ganhavam varanda na frente dos pavimentos; na
ornamentação das antigas praças alagadiças e recém plantadas com amendoeiras e causarias; na
construção do Mercado Municipal, junto ao Ver-o-Peso”.
Durante muito tempo o Ver-o-Peso, apesar de sua grande importância econômica
regional, chamava a atenção por sua desorganização espacial, refletida na distribuição irregular de
barracas amontoadas umas sobre as outras, sem ventilação e iluminação adequada, era uma
verdadeira favela comercial. Em 1998 foi iniciado um processo de revitalização urbana no Pará, o
Ver-o-Peso foi reformado.As antigas barracas de madeiras foram demolidas, e novas estruturas de
lona tencionada foram construídas para abrigar os feirantes, o tecido das tendas é sintético, branco
e translúcido, e tem durabilidade de seis anos. Foram projetadas em módulos de 8m por 8m, no total
de 77 unidades, propiciando uma área coberta de quase 5 mil m2. Um módulo de tenda de tecido
planificado forma um quadrado cujas dimensões largura e comprimento é xmetros, conforme a figura
a seguir:
Foto da tenda do Ver-o-Peso
Fonte: Google imagem
“A canoa traz o homem a canoa traz o peixe
a canoa tem um nome no mercado deixa o peixe
no mercado encontra a fome” Mercado Ver-o-Peso (Desenho de Luiz Porto)
154
Tendas
Tecido de uma tenda
O projeto foi feito com ajuda da comunidade, e o espaço tornou-se motivo de orgulho
para os paraenses. No dia 27 de março de 2011, o maior mercado aberto da América Latina
celebrou 384 anos, símbolo de diversidade, elo entre a metrópole e vida do ribeirinho.
Bibliografia
CARVALHO, Bianca Moro de. Ver-o-peso em Belém do Pará: 384 anos de história e transformação urbana. (Texto
adaptado). Disponível em: < http://www.thegreenclub.com.br/urbanismo/ver-o-peso-em-belem-do-para-384-anos-de-historia-e-
transformacao-urbana/>. Data de acesso: 02 mai. 2012. (Texto adaptado)
2.2.2.1 Atividade 1
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: Descobrindo a expressão algébrica
Objetivo: descobrir uma relação entre conjuntos de números.
Material: texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questãoproposta:No texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”, o tecido usado para formar a tenda é feito
de um módulo de 8 metros de comprimento por 8 metros de largura, considerando as dimensões
largura e comprimento iguais a x metros, qual das expressões algébricas,encontradas a partir da
relação estabelecida nas tabelas desta atividade, melhor representa a área de tecido necessária
para construir um módulo da tenda em função de suas dimensões?
Observação:Antes de responder a questão, resolva a sequência a seguir.
Procedimentos: observe os dados abaixo e descubra a expressão algébrica que relaciona o
conjunto dos valores de x e o conjunto dos valores de y em cada tabela.
x y x y
1 1 1 2
2 4 2 5
3 9 3 10
4 16 4 17
5 25 5 26 x x
x y x y
1 2 1 3
2 6 2 6
3 12 3 11
4 20 4 18
5 30 5 27 x x
x
x Fonte: Blog uruatapera
155
x y x y
1 3 1 4
2 7 2 8
3 13 3 14
4 21 4 22
5 31 5 32 x x
Observação:
Conclusão:
Após a discussão do texto da arquitetura do Ver - o – Peso, o professor
deverá entregar somente a primeira página da atividade 1, pois na segunda consta o
quadro explicativo sobre a definição da função quadrática, após a socialização dos
resultados dos alunos e de suas observações e conclusões, o professor definirá a
função quadrática e entregará o restante da atividade 1 (páginas 2).
2
As expressões algébricas encontradas nas tabelas acima relacionam dois conjuntos reais
:f , o conjunto dos valores de x chamados de domínio e o conjunto dos valores de y
denominados imagem. Essas expressões são exemplos de função quadrática, onde o y é a
variável dependente e o x a variável independente, assim dizemos que y está em função de x .
Essas expressões podem ser escritas na forma genérica: 2( )f x ax bx c , com 0a ,
onde a , b e c pertencem ao conjunto dos números reais e são chamados coeficientes da
função quadrática.
Com base nas expressões que você encontrou responda: No texto “Arquitetura do Ver-
o-peso”, o tecido usado para formar a tenda é feito de um módulo de 8 metros de comprimento por 8
metros de largura, considerando as dimensões largura e comprimento iguais a x metros, qual das
expressões algébricas,encontradas a partir da relação estabelecida nas tabelas desta atividade, que
melhor representa a área de tecido necessária para construir um módulo da tenda em função de
suas dimensões?
Tendas
Tecido de uma tenda
x
x
156
Questões complementares
1. (DANTE, 2008) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus
quatro cantos, quadrados de lado x . Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou
em função de x .
2. Uma mesa retangular de ping-pong possui um perímetro de aproximadamente 8 metros.
Sabendo que a área da mesa é função do comprimento de um dos lados. Qual a expressão
algébrica que representa a área da mesa de ping-pong?
3. (BACKS, 2008) Um quadrado de cartolina tem lados medindo 10 cm. Em um
dos cantos foi cortado um pedaço quadrado cujos tamanhos dos lados medem x
.Determine a expressão que representa a área da figura pintada de cinza.
4. (HUFFMANN, 2002) Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1.000 m de
cerca. Se um dos lados mais compridos do pasto fica na margem do rio (portanto, não precisa ser
cercado), expresse a área do pasto em função da largura.
Análise a priori: O objetivo desta atividade é descobrir uma relação entre conjuntos
de números. A aplicação da mesma tem o intuito de auxiliar o aluno a descobrir uma
expressão algébrica e compreender o conceito de função quadrática a partir de
relações entre variáveis, desenvolver a capacidade de análise do discente com base
em dados de problemas contextualizados e conduzi-lo a encontrar o modelo
(expressão algébrica) que melhor represente a situação.
Inicialmente os alunos irão estabelecer uma relação entre o conjunto dos
valores de x e de y em cada tabela, estas tabelas estão organizadas de forma a
facilitar a percepção da regularidade estabelecida entre o conjunto de valores do
domínio e da imagem da função quadrática. Nossa hipótese é que será possível que
os grupos consigam descobrir a expressão algébrica em cada tabela enunciando-a
corretamente, haja vista que no 1º ano do ensino médio os alunos já devem ter
estudado o conteúdo de equações do 2º grau no ensino fundamental que é pré-
requisito para o ensino de função quadrática, e tivessem mais facilidade de redigir
suas observações e conclusões, por terem realizados atividades similares no estudo
da função afim.
Após a execução desta parte inicial da atividade abriremos um espaço
para a socialização das observações e conclusões dos grupos e em seguida será
157
ministrada a instrumentalização do conteúdo, abordando a definição de função
quadrática, seus coeficientes, a variável dependente e independente, a noção de
domino e imagem da função quadrática e como poderíamos encontrar uma função
quadrática conhecendo três pontos, evidenciaríamos alguns exemplos, para que em
seguida os discentes resolvessem a questão proposta com base nos dados do texto
“Arquitetura do Ver-o-Peso”.
Supomos, também, que os grupos consigam identificar o modelo
algébrico que represente a área do tecido da tenda, devido o acúmulo de
informações após as atividades da função afim e também devido o desenho
ilustrativo explicitar com clareza a situação proposta. Após isto, os grupos terão que
resolver as questões complementares, julgamos que estas serão um pouco mais
difíceis para os alunos por se tratar de exemplos diferenciados. As questões
complementares nesse primeiro momento requerem apenas alguns conceitos de
geometria plana, relacionando a função quadrática a questões de área e perímetro,
prosseguiríamos ressaltando os passos para a resolução dos problemas de acordo
com Polya e elucidaremos caso fosse necessário às noções de lado, área e
perímetro, a fim de que chegassem a expressão solicitada.
Com relação as Matrizes de referência de Matemática os conteúdos
abordados na atividade se enquadram nos descritores do ENEM (2011, p.5)
“identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas;
resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos e
resolver problema com dados apresentados em tabelas e analisar informações
expressas em tabelas como recurso para a construção de argumentos”. E, nos
descritores do SAEB (2011, p. 79) “reconhecer expressão algébrica que representa
uma função a partir de uma tabela”.
Em se tratando do tempo gasto para a realização da atividade,
consideramos que esta atividade demandará menos tempo para ser concluída, que
a atividade 1 da função afim, pelo fato dos discentes já dominarem alguns conceitos
e estratégias para solução de tais problemas. No entanto, o maior tempo nesta
atividade será dedicado aos problemas complementares, por necessitar de noções
da geometria plana, assunto possivelmente tratado em anos anteriores de ensino.
158
2.2.2.2 Atividade 2
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: Construindo gráficos da função quadrática
Objetivo: descobrir uma representação geométrica para função quadrática
Material: texto “Arquitetura do ver-o-peso”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questão proposta: Com base nos dados do texto “Arquitetura do Ver-o-peso”, descobrimos na
Atividade 1 a expressão que melhor representa a área do tecido de um módulo de tenda, agora
responda: qual dos gráfico que você construiu acima representa a função da a área do tecido de um
módulo de tenda?
Observação:Antes de responder a questão, construa os gráficos a seguir.
Procedimentos: para cada função: encontre o valor de f(x), preencha a tabela e em seguida construa o gráfico.
2( )f x x 2( ) 1f x x
x y
x y
- 2 - 2 - 1 - 1
0 0
1 1
2 2
2( ) 2f x x x 2( ) 4f x x x
x y
x y
- 3 0
- 2 1 - 1 2
0 3
1 4
159
2( ) 4 4f x x x
2( ) 4 5f x x x
x y
x y
- 4 0
- 3 1
- 2 2 - 1 3
0 4
Conclusão:
Primeiramente o professor entregará a página 1 da atividade 2 da função
quadrática. Somente após a construção do gráfico e as conclusões dos discentes
que o professor deverá institucionalizar o saber mostrando o quadro explicativo da
atividade 2 (páginas 2) e prosseguir com a aplicação das demais questões.
2
Os gráficos construídos acima são exemplos de gráfico de uma função quadrática (
2( )f x ax bx c , com x e 0a ), cuja representação no plano cartesiano é uma curva
aberta chamada parábola.
Com base nos dados do texto “Arquitetura do Ver-o-peso”, descobrimos na Atividade 1
a expressão que melhor representa a área do tecido de um módulo de tenda, agora responda: qual
dos gráfico que você construiu acima representa a função da a área do tecido de um módulo de
tenda?
Questões complementares
1. (DANTE, 2010) Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3,-2) e
(0,4) e tem vértice no ponto (2,-4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde
a essa função:
a) 2( ) 2 8 4f x x x b)
2( ) 2 8 4f x x x c)2( ) 2 8 4f x x x
160
2. O Amazonas é o segundo rio mais extenso do planeta, apresenta 6,4 mil quilômetros, sendo
menor apenas que o rio Nilo (7.400 quilômetros). A nascente do rio Amazonas está localizada no
lago Lauri, nos Andes do Peru. O rio Amazonas está presente nos
países do Peru, Colômbia e Brasil, em sua bacia hidrográfica estão
também os países da Bolívia, Equador, Venezuela e Guiana. O rio
nasce com o nome de Vilcanota, e recebe depois as denominações
de Uicaiali, Urubamba e Marañón. Quando entra no Brasil, se torna
Solimões, até o encontro com o rio Negro, próximo de Manaus.
Desse ponto até a foz recebe o nome de Amazonas. O rio
Amazonas, possui cerca de 1.100 afluentes, exemplos deles são: Rio Javari, Rio Jutaí, Rio Juruá,
Rio Madeira, Rio Purus, Rio Coari, Rio Napo, Rio Negro, Rio Jari e Rio Paru.
Supondo que um dos afluentes do rio possui profundidade de 8 metros. E, para se determinar
a equação do leito de rio, basta possuir os registros, de distância e profundidade, em uma seção do
rio. Considerando que foram registrados os seguintes dados, (0,0), (4,-8), (8,0), da distancia e
profundidade do rio, em metros, ilustrado no desenho abaixo.
Determine a expressão que represente o leito do rio.
Análise a priori: Esta atividade tem o intuito que os alunos construam o gráficos da
função quadrática. Em se tratando do cálculo dos valores da imagem e da colocação
dos pontos encontrados no plano cartesiano consideramos que os discentes não
terão dificuldades por terem executado atividade similar no estudo da função afim, e
com relação à disposição dos pontos no plano cartesiano, nossa hipótese é que eles
consigam traçar a parábola em cada atividade, haja vista que já devem ter o primeiro
contato com funções desse tipo no 9º ano do ensino fundamental. Caso algum aluno
tenha dificuldade em construir o gráfico, nossa intervenção consistirá em solicitar
que eles liguem os pontos, conforme a disposição no plano cartesiano. Assim,
esperamos que os alunos tenham a percepção de que o gráfico que representa a
função quadrática é uma parábola e abriremos um momento para discussão e
esclarecimento das considerações dos alunos.
Fonte: Brasil Escola
161
Como a expressão algébrica da questão proposta desta atividade deverá
ter sido encontrada na atividade 1 supomos que os grupos relacionem facilmente a
expressão explicitada na atividade com seu respectivo gráfico.
Após a socialização dos resultados obtidos e o esclarecimento quanto a
representação gráfica de uma função quadrática, bem como a possibilidade de
encontrar a expressão algébrica da função quadrática conhecendo três de seus
pontos, esclarecidos na atividade 1, esperamos que os grupos sejam capazes de
construir o gráfico e encontrar a função da questão complementar 1 e de extrair os
dados do gráfico para encontrar a função quadrática da questão complementar 2.
Dentre os descritores do ENEM sobre funções e suas representações
gráficas destacam-se: “analisar informações expressas em gráficos como recurso
para a construção de argumentos; utilizar informações expressas em gráficos para
fazer inferências e resolver problema com dados apresentados em gráficos”. O
SAEB ressalta habilidades como “identificar o gráfico que representa uma situação
descrita emum texto”.
2.2.2.3 Atividade 3
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: Concavidade da parábola
Objetivo: descobrir uma relação entre os coeficientes da função quadrática e sua concavidade.
Material: texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questão proposta: A figura da tenda ilustrada no texto “Arquitetura do Ver-o-Peso” foi destacada por
uma malha quadriculada com base em uma escala (1:100) que nos permite visualizar pontos no plano
cartesiano. A curva formada por uma tenda ao amarrar suas extremidades nas artes de ferro que a
sustenta, tem inicio na origem O dos eixos, com os pontos (coordenadas) O, P e Q destacados na
curva da tenda conforme a figura ao lado. Com base nos dados, responda: a) Qual a expressão
algébrica que representa a função da curva da tenda? b) A figura da tenda ilustrada no texto
“Arquitetura do Ver-o-Peso” é côncava para cima ou côncava para baixo?
Observação: Antes de responder a questão proposta realize os procedimentos a seguir.
Procedimentos: Observe as funções, preencha o quadro abaixo e responda: o que acontece com a
parábola quando o a é positivo ( 0a )? O que acontece com a parábola quando a negativo ( 0a )?
162
2( )f x a x bx c
Gráficos Função
Coeficientes
0a
positivo
0a
negativo
Côncava para cima
Côncava para baixo
a b
c
2( )f x x
2( ) 1f x x
2( ) 2 8f x x x
2( ) 4f x x x
2
2( ) 4 4f x x x
163
Observação:
Conclusão:
2( ) 4 5f x x x
2( ) 2 2f x x x
2( ) 4f x x x
2( ) 3 4 4f x x x
2( ) 5 4 3f x x x
164
3
A figura da tenda ilustrada no texto “Arquitetura do
Ver-o-Peso” foi destacada por uma malha quadriculada com
base em uma escala (1:100) que nos permite visualizar pontos
no plano cartesiano. A curva formada por uma tenda ao
amarrar suas extremidades nas artes de ferro que a sustenta,
tem inicio na origem O dos eixos, com os pontos (coordenadas)
O, P e Q destacados na curva da tenda conforme a figura ao
lado. Com base nos dados, responda: a) Qual a expressão
algébrica que representa a função da curva da tenda? b) A
figura da tenda ilustrada no texto “Arquitetura do Ver-o-Peso” é
côncava para cima ou côncava para baixo?
Questões complementares
Observe as seguintes funções quadráticas, escreva os seus coeficientes e se o gráfico possui
concavidade voltada para cima ou para baixo:
a) 2( ) 2 3f x x x c) 2( ) 2 5 1f x x x
b) 2( ) 2 8 5f x x x d) 2( ) 5 5 10f x x x
Análise a priori: A atividade deverá permitir que os alunos verifiquem a influência
do coeficiente a no comportamento do gráfico da função quadrática. Consideramos
que os grupos não tenham dificuldades para descobrir as regularidades entre o valor
de a e a disposição do gráfico, e a própria disposição do gráfico e das questões
norteadoras irão facilitar a redação da observação e conclusão.
O que poderá ocorrer neste caso, será que os grupos podem confundir a
palavra côncava na observação do gráfico então mostraríamos que quando a parte
aberta da curva está para cima a parábola é côncava para cima e quando a parte
aberta da curva estiver para baixo a parábola é côncava para baixo.
Acreditamos que esta atividade demandará pouco tempo para ser
concluída e que os grupos terão um bom desempenho em relação a redação das
conclusão, devido o acúmulo de experiências que eles poderão ter e devido as
questões complementares serem mais diretas.
165
2.2.2.4 Atividade 4
Esta atividade esta assim estruturada:
1
Título: Zeros da função quadrática
Objetivo: descobrir o número de raízes reais da função quadrática a partir da análise do gráfico e do
cálculo do discriminante.
Material: texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questão proposta: Quantas raízes reais possui a função que representa a curva da tenda?
Observação: Antes de responder a questão proposta estude os gráficos abaixo
Procedimentos: Observe os gráficos da Folha de Gráficos A e responda: Em que pontos a função
toca o eixo x? Qual o valor da função ( )f x no ponto em que a função toca o eixo x? Em seguida,
preencha o quadro a seguir.
Os pontos que a parábola toca o eixo do x são denominados zeros (ou raízes) da
função quadrática 2( )f x a x bx c .
Para cada função: Calcule o discriminante e preencha o quadro abaixo:
Observação:
Conclusão:
166
A atividade pode ser entregue na íntegra, o quadro explicativo é
necessário para o entendimento dos alunos e execução dos procedimentos desgta
atividade.
2
Agora responda a questão proposta: Quantas raízes reais possui a função que
representa a curva da tenda?
( )f x
Questões complementares
1. (DANTE, 2008) Em cada gráfico da função quadrática 2( )f x ax bx c , com
2 4. .b a c ,
descubra se 0a ou 0a e se 0 , 0 ou 0 .
a) b) c)
d) e) f)
2. Sendo 2( )f x ax bx c , com 0a e x , considere
2 4. .b a c . Não haverá a
interseção do gráfico com o eixo x quando:
a) 0 b) 0a c) 0 d) 0
167
Análise a priori: A atividade trata basicamente da análise do discriminante, nossa
hipótese era que os grupos consigam identificar que a função possui duas raízes
reais quando o delta é maior que zero, uma única raiz quando o delta é igual a zero
e não possui raízes reais quando o delta for menor que zero. No entanto, essa
relação será melhor empregada visualmente a partir da análise do gráfico. O que
está previsto nos descritores do SAEB (2011, p. 79) “analisar zeros de funções reais
apresentadas em gráficos”.
Com as habilidades adquiridas até então consideramos que os alunos
serão capazes de redigir suas conclusões acerca do apreendido, mas sem relatar
precisamente na linguagem matemática o que será fortalecido por nos no momento
de socialização do conhecimento. Após isso, julgamos que os alunos não terão
dificuldade em compreender e resolver a questão proposta e as questões
complementares. Consideramos que a atividade levará pouco tempo para sua
realização e a concentração maior do mesmo será na fase inicial de análise do
gráfico e preenchimento do quadro até a conclusão a respeito do ocorrido.
2.2.2.5 Atividade 5
Esta atividade estaria assim estruturada:
1
Título: Cálculo dos zeros da função quadrática
Objetivo: encontrar os zeros da função usando a fórmula de Bhaskara.
Material: texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questãoproposta:Para quais valores de x a função que representa a curva da tenda ilustrada no
texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”se anula?
Observação: Antes de responder a questão proposta realize a atividade a seguir.
Procedimentos: Para cada função: preencha o quadro abaixo com os valores dos coeficientes e
calcule os zeros (ou raízes) da função. Em seguida compare os valores encontrados com os gráficos
da Folha de Gráficos A.
É possível calcularos zeros (ou as raízes) da função quadrática 2( )f x a x bx c desde que
se conheçam os coeficientes (valores a, b e c) da expressão algébrica que a representa,
substituindo esses valores na fórmula de Báskara.
168
2( )f x a x bx c
Função
Parâmetros
2
1
4
2
b b acx
a
2
1
4
2
b b acx
a
a
b
c
2( ) 2f x x
2( ) 2f x x
2( ) 2 8f x x x
2( ) 4f x x x
2( ) 16f x x
2( ) 1f x x
2( ) 2 3f x x x
2( ) 2 2f x x x
2( ) 2 4 2f x x x
2( ) 6 9f x x x
2( ) 4 8f x x x
2( ) 2 3f x x x
A atividade pode ser entregue na íntegra, o quadro explicativo é
necessário para o entendimento dos alunos e execução dos procedimentos desgta
atividade.
2
Com base na atividade que você desenvolveu e na função encontrada na Atividade 1
responda a questão: para quais valores de x a função que representa a curva da tenda ilustrada no
texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”se anula?
( )f x
169
Questões complementares
1. (PUC – SP)Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em
relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão 2( ) 25 625h t t . Após
quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo?
(VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em
função do tempo (em segundos) pela expressão 2( ) 3 3h t t t em que h é a altura atingida em
metros. Em que instante o grilo retorna ao solo?
Análise a priori: Esta atividade intenciona que os discentes desenvolvam o cálculo
dos zeros da função quadrática, fornecendo a fórmula de Báskara para isso. Como
os discentes possivelmente já tiveram contato com a fórmula, no ensino fundamental
na resolução de equação do 2º grau ou no próprio estudo de função quadrática
iniciado no 9º ano, acreditamos que os discentes tenham certa familiaridade ao
cálculo de raízes para esse tipo de função.
No caso da questão complementar, supomos que eles precisarão retomar
a expressão encontrada na atividade 3 da curva da tenda e em seguida encontrar os
zeros da função. Como já foi esclarecido na atividade 4 o que era os zeros da
função quadrática, a partir da análise dos gráficos, supomos que as duplas não
tenham dificuldades em executar este cálculo, tanto para a questão proposta quanto
para as questões complementares. Julgamos que esta atividade levasse um pouco
mais de tempo que a anterior por ter uma quantidade considerável de funções para
realizar o cálculo das raízes.
2.2.2.6 Atividade 6
Esta atividade estaria assim estruturada:
1
Título: Vértice da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo
Objetivo:descobrire calcular o vértice da função quadrática, e identificar se a função possui valor de
máximo ou de mínimo.
Material: texto “Arquitetura do Ver-o-Peso”, roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
Questão proposta:Com base na atividade que você desenvolveu e na expressão algébrica que
representa a curva da tenda, encontrada na Atividade 3, responda a questão: Qual o vértice da
parábola representada pela curva da tenda do Ver-o-Peso?
170
Observação: Antes de responder a questão proposta realize os procedimentos a seguir.
Procedimentos: Observe os gráficos da Folha de Gráficos A e identifique as coordenadas do ponto
mais alto ou mais baixo.
Os pontos encontrados são denominados vértice da parábola. O vértice é o ponto da
parábola que se localiza mais acima quando a parábola é côncava para baixo, ou é o ponto da
parábola que se localiza mais abaixo quando a parábola é côncava par acima. As coordenadas
do vértice de uma parábola são ( , )2 4
bV
a a
. Quando a ordenada do vértice for o ponto da
parábola que se localiza mais acima temos um valor de máximo. Quando a ordenada do vértice
for o ponto da parábola que se localiza mais abaixo temos um valor de mínimo.
Esta atividade deve ser entregue com o quadro explicativo que auxiliará o
discente a identificar o valor de máximo e mínimo visualisando o gráfico.
2 Com as informações obtidas preencha o quadro a seguir:
3
Observação:
Conclusão:
Com base na atividade que você desenvolveu e na expressão algébrica que representa
a curva da tenda, encontrada na Atividade 3, responda a questão: Qual o vértice da parábola
representada pela curva da tenda do Ver-o-Peso?
171
( )f x
Questões complementares
1. (DANTE, 2008) Determine o vértice da parábola em cada item abaixo:
a) 2( ) 2 3f x x x b)
2( ) 3 5f x x x c) 2( ) 4 3f x x x
2. A Secretaria de Estado de Pesca e Aquicultura (Sepaq) realizou no dia 4 de agosto mais uma
edição da Feira do Peixe Popular em Belém, na Fundação Tancredo Neves (Centur), das 8h às 14h.
Entre as tradicionais espécies vendidas estão: a sardinha inteira, o xaréu com cabeça, o filé de
pescada branca, o filé de dourada e o filé de pescada amarela.
Um piscicultor tem um custo C para produzir x unidades de pescada branca, sendo
2( ) 80 3000C x x x . Nessas condições, calcule:
a) A quantidade de peixes produzidos para que o custo seja mínimo.
b) O valor mínimo do custo.
3. (DANTE, 2010) A trajetória da bola num, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo qua
sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por 2( ) 6h t t t . a) Em que
instante a bola atinge a altura máxima? b) Qual a altura máxima atingida pela bola?
Análise a priori: Esta atividade exigirá um pouco mais de observação dos grupos,
para distinção do representado geometricamente e algebricamente no caso do
vértice e valor de máximo ou de mínimo.
Os grupos terão que realizar o cálculo no quadro a partir dos coeficientes
de cada função e em seguida retirar do gráfico os valores de x e y do vértice.
Esperamos com isso, que os alunos consigam relacionar o valor do vértice calculado
a seu respectivo ponto no gráfico concluindo que se trata do vértice. Quanto à
apreensão da fórmula para o cálculo do vértice, que já é dada, é consequência dos
sucessivos exercícios realizados. A próxima ação será marcar no quadro se o vértice
172
era o ponto mais alto ou mais baixo da parábola concluindo, portanto, qual será o
valor de máximo ou de mínimo.
Com relação à questão proposta os grupos poderão ter duas
possibilidades se solução, uma será reescrever a expressão algébrica da curva da
tenda e calcular o vértice e a outra será observar a figura e destacar o ponto no
plano cartesiano contando a distância da origem para o valor de x e de y.
Na questão complementar 1 consideramos que seja de fácil resolução
para os discente por se tratar apenas da substituição dos valores dos coeficientes
para o cálculo do vértice o que já haverão de realizar até então.
Nas questões complementares 2 e 3 supomos que os discentes tenham
dificuldades em identificar os dados no texto relativos a posição de máximo e mínimo
por estarem acostumados com questões desta natureza na forma mais direta. Caso
isso ocorra, nossa intervenção consistirá em pedir que observem os coeficientes da
expressão, destacando a concavidade e consequentemente seu valor de máximo ou
mínimo e atentem para o que se pede no texto com relação ao x e y do vértice. Vale
destacar que resolver problemas sobre valor de máximo ou de mínimo da função
quadrática também está presente nos descritores (D25) do SAEB para o ensino
médio.
2.2.2.7 Atividade 7
Esta atividade esta assim estruturada:
Título: Problemas sobre função quadrática
Objetivo:Descobrir estratégias para resolução de problemas envolvendo a função quadrática.
Material:Roteiro da atividade, papel, lápis ou caneta.
1. (HOFFMANN, 2002) A largura de um terreno retangular é 200 metros menor que seu
comprimento. A área do terreno é calculada pelo produto da largura pelo seu comprimento.
Determine a expressão que representa a área do terreno.
2. A prefeitura de Belém deseja construir uma área de lazer para moradores de um bairro a beira de
uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular e será cercado nos três lados que não dão
para a rodovia com 200 metros de cerca. Expresse a área do terreno em função do comprimento do
lado que dá para a rodovia.
3. Sabe-se que, sob certo ângulo de tiro, a altura atingida por uma bala, em metros, em função do
tempo, em segundos, é dada por 2( ) 20 200h x x t . Qual a altura máxima atingida pela bala?
173
Em quanto tempo, após o tiro, a bala atinge a altura máxima?
3. (UFPA, 2009) Em um planeta de atmosfera rarefeita, um vulcão em erupção expele para fora de
sua cratera uma pedra incandescente localizada 100 metros abaixo da superfície. Sabendo que a
pedra demora 10 segundos para atingir a altura máxima de 400 metros e que sua trajetória é uma
parábola, podemos afirmar que a pedra demora
a) 20 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela
expressão 2( ) 10 200h t t t .
b) 15 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela
expressão 2( ) 2 20 150h t t t .
c) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t
é dada pela expressão 2( ) 20 20h t t t .
d) aproximadamente 18,94 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t
é dada pela expressão 2( ) 5 100 100h t t t .
e) 17 segundos para retornar à superfície e sua altura h em função do tempo t é dada pela
expressão 2( ) 20 51h t t t .
4. (UEL, 2012 - adaptada) O óxido de potássio, 2K O , é um nutriente usado para melhorar a
produção em lavouras de cana-de-açúcar. Em determinada região, foram testadas três dosagens
diferentes do nutriente e, neste caso, a relação entre a produção de cana e a dosagem do nutriente
se deu conforme mostra a tabela a seguir.
Dose do nutriente
(kg/hectare)
Produção de cana-de-açúcar
(toneladas/hectare)
0 42
70 56
140 61
Considerando que a produção de cana-de-açúcar por hectare em função da dose de nutriente pode
ser descrita por uma função do tipo 2y(x) ax bx c .Qual a expressão algébrica que representa a
função? A função encontrada é côncava para cima ou para baixo?
2 6. Uma pedra lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundo atinge a altura h, dada
por: 2( ) 5 40h t t t . a) Calcule a posição da pedra no instante 2 segundos; b) Calcule o instante
em que a pedra passa pela posição 75 metros; c) Determine a altura máxima que a pedra atinge.
7. (ENEM, 2009) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto x, cujo custo de
fabricação de cada unidade é dado por 3x² + 232, e o seu valor de venda é expresso pela função
180x – 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x. Contudo, a mesma deseja saber quantas
unidades precisa vender para obter o lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a serem
vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é
a) 10 b) 30 c) 58 d) 116 e) 232
8. (ESPM – SP) A estrutura do lucro de uma pequena empresa pode ser estudada através da
174
equação y = –x² + 120x – 2000, sendo y o lucro em reais quando a empresa vende x unidades.
Determine o número de unidades a serem vendidas a fim de se obter o lucro máximo.
9. (UNESP, 2003 - Adaptada) Suponha que um projétil de ataque partiu da origem do sistema de
coordenadas cartesianas descrevendo uma parábola, conforme a figura.
Sabendo-se que o vértice da parábola do projétil de ataque é dado pelas coordenadas (15,45) e
baseado nos dados da figura, responda: a) Qual a expressão algébrica da parábola do projétil de
ataque? b) Qual o valor da abscissa no ponto que corresponde ao alvo?
10. (MESQUITA, 2009) Deseja-se cercar um canteiro retangular dispondo de 8 metros de tela. O
terreno já possui uma parede construída, então será necessário cercar apenas três lados do
retângulo como mostra a figura abaixo:
a) Qual é a fórmula que expressa a área desse canteiro em função de x, que é a medida de um dos
lados do retângulo?
b) Dê alguns valores para x (medida de um dos ladosdo retângulo) e construa o gráfico da área do
canteiro.
c) Verifique qual deve ser a medida do lado do retângulo para que a área do canteiro seja máxima. E
qual é a área máxima?
Análise a priori: Resolver problemas, reconhecer a matemática a partir de
diferentes contextos e associá-la a outras disciplinas ou áreas, a
interdisciplinaridade, são aspectos ligados a matemática que ganham destaque nos
documentos analisados (PCN, SAEB e ENEM).
Embora os discentes já tivessem acostumados a resolver alguns
problemas sobre funções, eles poderão sentir dificuldades para resolver algumas
questões, devido elencarmos problemas diferenciados e com outros contextos,
contudo esperamos que as habilidades desenvolvidas pelos alunos no decorrer da
175
aplicação os levem a ter maior domínio na leitura, categorização, sistematização dos
dados e resolução dos problemas.
As questões 1, 2 e 10 tratam da representação algébrica da função
quadrática envolvendo o cálculo de área e perímetro. As questões 3, 4,6, 7 e 10
desta atividade reinteram um dos descritores do SAEB (2011, p. 79) “resolver
problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de uma
função polinomial do 2.º grau”. As questões 5 e 8 também tratam da representação
algébrica, porém na quinta a situação parte de uma tabela e na oitava do gráfico.
Esperamos que os discentes busquem caminhos para a resolução das
questões 1, 2 e na letra a da décima questão, por serem similares as questões
desenvolvidas na atividade 1 e assim estabeleceriam associação ao que já foi visto.
E nas questões 3, 4, 7 e 10 por tratarem do mesmo conceito de valor de máximo e
mínimo também já estudado. Mas os alunos poderão ter dificuldades em interpretar
a quarta questão, pois cobrava esses conteúdos de forma diferenciada das questões
anteriores. E com relação as questões 5 e 8 a dificuldade que os alunos poderão ter
está relacionada a resolução do sistema devido os valores das coordenadas serem
altos.
176
3 EXPERIMENTAÇÃO
Nesta seção apresentamos os resultados dos registros obtidos na
experimentação com a aplicação da sequência didática, isto é, o conjunto de dados
recolhidos das observações e das produções dos alunos na sala de aula durante a
realização das atividades desenvolvidas nas sessões de ensino. A referida
sequência didática foi colocada em prática a partir do dia 02/04/2013 e encerrada
em 26/06/2013, contando com a participação de 30 (trinta) alunos do 1º ano do
ensino médio do turno da manhã de uma escola pública estadual, localizada no
bairro da Cremação.
3.1 A ESCOLA
A experimentação foi desenvolvida em uma escola pública estadual
situada no bairro da cremação na cidade de Belém no estado do Pará. Atualmente a
escola oferta o ensino fundamental (5º ao 9º ano) e o ensino médio (1º ao 3º ano)
regular nos turnos da manhã e tarde e o ensino médio regular no turno da noite,
conta com o corpo docente de 33 professores sendo que desses 5 (cinco) ministram
a disciplina de matemática e desses, 3 lecionam matemática no ensino médio nessa
instituição, e com um total de 950 alunos matriculados sendo aproximadamente 400
alunos matriculados no turno da manhã, e possui apenas uma turma do primeiro ano
do ensino médio em cada turno, sendo que no turno da manhã nesta série são 65
alunos matriculados9.
A opção pela escola pública em questão se deu pelo fato de termos
estudado parte do ensino básico na mesma e termos vivenciado enquanto discente
os encontros e desencontros com o saber escolar decorrentes do processo de
ensino e aprendizagem. E, por acreditarmos que a educação é um forte meio dentre
os quais é possível contribuir para a melhoria da condição de vida do homem e
constituir um cidadão de bem.
Os outros motivos foram: facilidade de acesso à direção da escola, devido
à compreensão e aceitação da pesquisa nesta escola pela direção, o que não
9 Dados fornecidos pela secretaria da escola pesquisada.
177
ocorreu em algumas escolas públicas quando solicitadas a participarem da mesma;
facilidade de acesso à turma, uma vez que a professora do 1º ano do ensino médio
a qual a diretora nos direcionou foi bastante receptiva, se interessou pela pesquisa e
mostrou-se disposta a contribuir com a aplicação das atividades; facilidade para
chegar à escola, devido morarmos no mesmo bairro onde a escola fica localizada.
Tivemos um contato inicial com a direção da escola explicitando do que
se tratava a pesquisa e solicitando a realização da mesma. No dia 16 de outubro de
2012, foi entregue um ofício a diretora da escola formalizando nosso acesso a esta
unidade de ensino, a partir de então foi feito os contatos com os professores de
matemática da instituição os quais participaram da pesquisa preenchendo um
questionário; com os alunos do 2º ano do ensino médio que também preencheram
um questionário e realizaram um teste sobre os conteúdos de função afim e
quadrática e ainda o contato com a professora do 1º ano do ensino médio, onde
passamos a acompanhar as aulas ministradas pela mesma na turma de 2012.
A partir desse convívio foi apresentada a pesquisa a professora da turma
que se dispôs a nos auxiliar em sala de aula durante a execução das atividades.
Acertamos que iniciaríamos a aplicação das atividades com o inicio do ano letivo na
turma do 1º ano de 2013, e ela acompanharia a turma, sem interferir, ajudando-nos
nas observações das ações dos alunos. Acertamos, ainda, que a avaliação bimestral
dos alunos seria feita a partir da avaliação que ela faria sobre a participação deles
nas atividades e sobre o desempenho destes nos testes que seriam realizados.
Os encontros durante a experimentação ocorreram inicialmente nas terça
e quinta-feira, dias em que eram realizadas as aulas de matemática na turma,
obedecendo aos seguintes horários: Terça-feira: dás 8h45min às 9h30min (3º
horário) e dás 9h45min às 10h30min (4º horário), tendo 15 minutos de intervalo entre
uma e outra aula; Quinta-feira: dás 10h30min às 11h15min (5º horário). No dia
23/04/2013 houve mudança nos horários de aula e as aulas de matemáticas
passaram a ocorrer:
Terça-feira: dás 10h30min às 11h15min (5º horário) e dás
11h15min às 12h (6º horário);
Quarta-feira: dás 9h45min às 10h30min (4º horário).
178
3.2 O EXPERIMENTO
O experimento foi realizado em uma turma do 1º ano do ensino médio no
turno da manhã, nesta turma são 65 alunos matriculados sendo que desses 16 são
alunos de dependência em matemática e 6 são alunos de dependência em outra
disciplina, totalizando 22 alunos com dependência em alguma matéria matriculados
nesta turma, portanto, são 59 alunos cursando a disciplina de matemática, dos 16
alunos em dependência em matemática três alunos não frequentam por motivo de
trabalho segundo a professora da turma. Do total de alunos somente 30 estavam
presentes no dia da aplicação do questionário, portanto consideramos para análise
do perfil dos alunos da turma 101 do 1º ano do ensino médio da escola Mario
Chermont e para análise do desempenho nas atividades apenas as informações e
resultados destes 30 alunos, o que não impediu aos demais participarem das
atividades, sempre que estavam presentes na aula, e realizarem os testes que
resultariam em sua avaliação bimestral.
Inicialmente, as atividades foram realizadas em duplas, mas como havia
alunos que não eram muito frequentes nas aulas, quando estes estavam presentes
juntavam-se com alguma dupla, assim as atividades foram desenvolvidas em grupos
de dois ou três alunos, conforme a afinidade entre os mesmos, totalizando 12
grupos; fazíamos o controle da frequência dos discentes por meio de uma lista que
passávamos ao final da aula.
Os recursos utilizados na observação em sala de aula foram anotações
em um caderno sobre os diálogos dos discentes e sobre o ocorrido em cada
encontro, folhas de atividades realizadas pelos alunos e um gravador de bolso.
Ocorreu de realizarmos uma atividade em duas ou mais sessões, buscando adequar
a atividade ao tempo de aula disponível, em virtude disso, optamos por realizar no
final de cada atividade a avaliação das aulas.
No quadro 8, apresentamos o cronograma das sessões de ensino
desenvolvidas durante a experimentação e os dias em que ocorreram.
179
Quadro 8 - Cronograma das sessões de ensino na experimentação
DATA ATIVIDADE DO DIA
02/04/2013 Aplicação do questionário sobre o perfil dos discentes e pré-teste sobre função afim e quadrática
04/04/2013 Leitura e discussão do texto “Sistema de Produção do Açaí” e realização dos procedimentos da atividade “Descobrindo a expressão algébrica” sobre função afim
09/04/2013 Questão proposta na atividade “Descobrindo a expressão algébrica” sobre função afim
16/04/2013 Questões complementares da atividade “Descobrindo a expressão algébrica” sobre função afim
18/04/2013 Procedimentos da atividade “Construindo gráficos da função afim”
30/04/2013 Questão proposta e questões complementares da atividade “Construindo gráficos da função afim”
07/05/2013 Atividade “Crescimento e decrescimento da função afim”
14/05/2013 Atividade “Zero da função afim”
15/05/2013 Problemas sobre função afim
29/05/2013 Pós-teste sobre função afim
11/06/2013 Leitura e discussão do texto “Arquitetura do Ver-o-Peso” e realização da atividade “Descobrindo a expressão algébrica”.
15/06/2013 Atividade “Construindo gráficos da função quadrática” e Atividade “Concavidade da parábola”
18/06/2013 Procedimentos da atividade “Zeros da função quadrática”
19/06/2013 Procedimentos da atividade “Cálculo dos zeros da função quadrática”
22/06/2013
Questão proposta e questões complementares da atividade “Zeros da função quadrática”; Questão proposta e questões complementares da atividade “Cálculo dos zeros da função quadrática” e a Atividade “Vértice, Valor máximo ou mínimo da função quadrática”
25/06/2013 Problemas sobre função quadrática
26/06/2013 Pós-teste sobre função quadrática
Fonte: Pesquisa de campo (abril a junho/2013)
180
3.2.1 Primeira sessão
O primeiro contato com a turma de 2013 ocorreu no dia 28/03/2013
(quinta-feira), a professora efetiva nos apresentou a turma e explicou que faríamos
um trabalho com eles referente a uma pesquisa científica em nível de mestrado e em
seguida passou a palavra para nós.
Então, nos apresentamos aos alunos informando que também éramos
professora de matemática estávamos realizando uma pesquisa em nível de
mestrado pela Universidade do Estado do Pará. Explicamos que o trabalho que
iríamos desenvolver com eles seria sobre o conteúdo de funções afim e quadrática,
que o assunto de matemática que seria abordado fazia parte do conteúdo do 1º ano
do ensino médio, mas que possivelmente já haviam iniciado o assunto no 9º ano do
ensino fundamental. Ressaltamos que precisávamos da colaboração deles
respondendo o questionário para que pudéssemos colher algumas informações que
nos ajudariam na pesquisa que seria realizado na próxima aula.
Dialogamos com os alunos sobre a forma na qual conduziremos as aulas
e a importância da participação deles durante o experimento. Informamos que as
atividades serão realizadas em dupla, que será aplicado um teste individual antes e
após o conjunto de atividades para cada assunto, e que a participação deles nas
atividades e nos testes, será a avaliação bimestral deles. A escolha do parceiro para
formar a dupla ficou a critério dos alunos, solicitamos aos alunos que escrevessem
em uma folha do caderno os nomes das duplas e nos entregassem no final da aula.
Depois desse diálogo agradeci a colaboração da turma e passei a palavra
para a professora efetiva, a mesma iniciou a aula e ministrou o assunto: relação
pertinência e relação de inclusão. Durante a aula permaneci em sala observando a
turma. Os alunos eram bem falantes, alguns conversavam enquanto a professora
ministrava a aula, outros prestavam atenção à explicação e quando solicitados
respondiam aos questionamentos da professora efetiva durante a resolução dos
exercícios. De modo geral, a turma pareceu bem comunicativa com exceção de
poucos que eram tímidos e só copiavam.
A primeira sessão foi realizada no dia 02/04/2014 (terça-feira), aplicamos
o questionário e o pré-teste sobre função afim e função quadrática. Os discentes
pareciam entusiasmados com a pesquisa, mas no momento de responder as
questões do teste alguns alunos protestaram alegando que não tinham estudado
181
para o teste e questionaram se o mesmo já valia “nota”. Explicamos aos alunos que
aquele teste era para verificar se e como resolvem problemas sobre funções afim e
quadrática, antes da sequência de atividades sobre os assuntos, para podermos
comparar o desenvolvimento dos mesmos depois da aplicação das atividades e que
a resolução deste não consistirá na nota da avaliação. Orientamos os alunos a
resolverem as questões ou pelo menos tentar resolver.
Os alunos foram entregando o questionário e os testes, muitos deixaram
questões em branco uns alegaram que não se lembravam do assunto e outros que
ainda não haviam estudado o assunto em série anterior. Salientamos que a
professora efetiva ainda não havia ministrado os referidos assuntos na turma. Houve
um pequeno grupo de três meninas e cinco meninos que ficou até o final da aula
tentando resolver as questões.
Sobre o perfil dos alunos que participaram da pesquisa levantamos os
dados por meio de um questionário (cf. apêndice E) aplicado no primeiro encontro do
experimento, evidenciando as constatações a seguir.
Questão 1 – Idade? e Questão 2 – Sexo?
Do total de 59 alunos matriculados na turma, apenas 30 foram
observados em nossas análises, conforme mensionamos anteriormente, por terem
participado do momento inicial da aplicação do questionário, embora tivéssemos
uma média de 35 a 45 alunos em sala de aula participando das atividades.
Tabela 39 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados
Faixa etária
Sexo
Total Masculino Feminino
14 anos F. A. 3 1 4
% 10% 3,3% 13,3%
15 anos F. A. 2 9 11
% 6,7% 30% 36,7%
16 anos F. A. 6 3 9
% 20% 10% 30%
17 anos F. A. 2 2 4
% 6,7% 6,7% 13,3%
18 anos F. A. 0 2 2
% 0% 6,7% 6,7%
Total F. A. 13 17 30
% 43,3% 56,7% 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
182
Gráfico 39 – Sexo e faixa etária dos alunos consultados
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Observamos dentre os dados coletados na turma de aplicação do
experimento, 13 eram homens e 17 eram mulheres. Quanto a idade dos alunos
consultados os dados revelam que 4 tinham 14 anos, 11 tinham 15 anos, 9 tinham
16 anos, 4 tinham 17 anos e 2 18 anos, ou seja, a metade dos alunos tinham idade
superior a idade de ingresso no ensino médio. A LDB estipula a oferta obrigatória do
ensino fundamental dos 7 aos 14 anos. Assim, seguindo o avanço gradual por série
o aluno pode ter acesso ao ensino médio a partir dos 15 anos.
Questão 3 – Quem é seu responsável?
Tabela 40 – Responsável do aluno
Responsável F.A %
Mãe 16 53,3% Pai 5 16,7% Pai e Mãe 5 16,7% Avó 1 3,3% Tia 1 3,3% Tio e Tia 1 3,3% Mãe e Avô 1 3,3% Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
3
2
6
2
0
1
9
3
2
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
14anos
15anos
16anos
17anos
18anos
Alunos
Feminino
Masculino
183
Gráfico 40 – Responsável do aluno
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Questão 4 – Qual o nível de escolaridade de seu responsável?
Tabela 41 – Escolaridade do responsável do aluno
F.A %
Não escolarizado 1 3,3%
Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ª série/1º ao 5º ano) 5 16,7%
Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ª série/6º ao 9º ano) 7 23,3%
Ensino Fundamental Completo 3 10,0%
Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau) 2 6,7%
Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau) 10 33,3%
Ensino Superior (bacharelado, licenciatura ou tecnólogo) 2 6,7%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 41 – Escolaridade do responsável do aluno
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
1 1 1 1
5 5
16
02468
1012141618202224262830
Avó Tia Tio eTia
Mãe eAvô
Pai Pai eMãe
Mãe
Alu
no
s
10
7
5
3
2
2
1
0 2 4 6 8 1012141618202224262830
Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau)
Ensino Fundamental Incompleto (5ª a…
Ensino Fundamental Incompleto (1ª a…
Ensino Fundamental Completo
Ensino Médio Incompleto (antigo 2º…
Ensino Superior (bacharelado,…
Não escolarizado
Alunos
184
Questão 5 – Seu responsável trabalha?
Tabela 42 – Responsável trabalha
Trabalha F.A %
Sim 25 83,3%
Não 5 16,7%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 42 – Responsável trabalha
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Questão 6 – Você trabalha de forma remunerada?
Tabela 43 – Aluno trabalha de forma remunerada
Trabalha F.A %
Sim 3 10%
Não 25 83,3%
Às vezes 1 3,3%
Não informaram 1 3,3%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
5
25
0
246
810121416
18
2022242628
30
Não Sim
Alu
no
s
185
Gráfico 43 – Aluno trabalha de forma remunerada
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
A maioria dos alunos, 26, tinham como responsável o pai e/ou a mãe. Dos
responsáveis 10 concluíram o ensino médio, apenas 2 dos responsáveis possuía
ensino superior, os outros 18 cursaram no máximo até ensino médio incompleto. A
maioria dos responsáveis, 25, possuía emprego. O que indicava que a maioria dos
alunos tinham pelo menos um dos responsáveis cuidando de sua subsistência. Com
relação aos alunos que trabalhavam de forma remunerada apenas 3 afirmaram
trabalhar dessa forma, 1 indicou que às vezes, 1 não informou e a maioria, 25,
declarou não trabalhar de forma remunerada.
Questão 7 – Você cursou o ensino fundamental em que tipo de escola?
Tabela 44 – Tipo de escola
Rede de ensino F.A %
Estadual 26 86,7%
Municipal 1 3,3%
Particular 2 6,7%
Estadual e Municipal 1 3,3%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
02
46
81012
1416
18
2022
2426
2830
Nãoinformaram
Às vezes Sim Não
Alu
no
s
186
Gráfico 44 – Tipo de escola
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Dos 30 alunos consultados os dados revelam que 28 haviam cursado o
ensino fundamental somente em escolas públicas, sendo que destes 26 cursou o
ensino fundamental somente em escola estadual e 1 somente em escola municipal,
1 em escola estadual e municipal.
Questão 8 – A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora?
Tabela 45 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora
F.A %
Sim 27 90%
Não 3 10%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 45 – Aluno estuda no mesmo bairro que mora
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
26
2
1
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Estadual
Particular
Municipal
Estadual e Municipal
Alunos
27
02468
1012141618202224262830
Não Sim
Alu
no
s
187
A maioria dos alunos, 27, afirmaram estudar no mesmo bairro que mora, 3
alegou não estudar no mesmo bairro em que mora.
Questão 9 – Você faz algum curso? Tabela 46 – Cursos
Cursos F.A %
Nenhum curso 17 56,7% Informática 9 30%
Cursinho pré-vestibular 3 10%
Língua estrangeira e Informática 1 3,3%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 46 – Cursos
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Procuramos investigar se os alunos possuíam algum curso além do
ensino regular, os dados revelaram que a maioria, 17, não fizeram nenhum curso;
apenas 13 fizeram ou estavam fazendo algum curso, dentre eles informática, 9
alunos, cursinho pré-vestibular 3 alunos e 1 aluno língua estrangeira e informática.
Questão 10 – Você pratica algum esporte regularmente?
Tabela 47 – Pratica esporte
F.A %
Sim 15 50%
Não 15 50%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
17
9
3
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Nenhum curso
Informática
Cursinho pré-vestibular
Língua estrangeira e Informática
Alunos
188
Gráfico 47 – Pratica esporte
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Quanto a prática de esporte houve um empate, a metade dos alunos
praticavam esportes regularmente dentre eles: futebol, basquete, karatê, natação,
caminhada, jiu-jitsu.
Questão 11 – Você já ficou em dependência?
Tabela 48 – Dependência
F.A %
Sim 14 46,7%
Não 16 53,3%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 48 – Dependência
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
15 15
02468
1012141618202224262830
Sim Não
Alu
no
s
14 16
02468
1012141618202224262830
Sim Não
Alu
no
s
189
Dos alunos consultados, 14, quase a metade, já ficou em dependência
em alguma matéria, dentre elas: no ensino fundamental as disciplinas de Matemática
no 7º, 8º e 9º ano; Ciências no 9º ano, Português no 8º ano; História no 6º e 7º ano;
Estudos Amazônicos no 6º e 7º ano; Artes no 6º ano por motivo de falta; Geografia
no 8º ano; Ed. Física no 8º ano e Inglês no 8º ano. No ensino médio as disciplinas de
Matemática, Física e Química no 1º ano.
Questão 12 – Você gosta de Matemática?
Tabela 49 – Gosta de Matemática
F.A %
Nenhum pouco 1 3,3%
Pouco 23 76,7%
Muito 6 20%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 49 – Gosta de Matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
No que se refere ao sentimento dos alunos pela matemática constatamos
que 29 alunos gostam desta disciplina, sendo que 23 gostavam um pouco e 6
gostavam muito; enquanto que 1 não gostavam nenhum pouco.
1
6
23
02468
1012141618202224262830
Nenhumpouco
Muito Pouco
Alu
no
s
190
Questão 13 – Você tem dificuldade para aprender matemática?
Tabela 50 – Dificuldade em Matemática
F.A %
Não 8 26,7%
Um pouco 19 63,3%
Muito 3 10%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 50 – Dificuldade em Matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Com relação a dificuldade em aprender matemática apenas 8 dos alunos
consultados declarou não ter dificuldade, a maioria alegou possui um pouco de
dificuldade 19 ou muita dificuldade 3 em aprender a disciplina.
Questão 14 – Você se distrai nas aulas de matemática?
Tabela 51 – Distrai nas aulas de matemática
F.A %
Não, eu sempre presto atenção 14 46,7%
Sim, eu não consigo prestar atenção 1 3,3%
Às vezes, quando a aula está chata 15 50%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
3
8
19
02468
1012141618202224262830
Muito Não Um pouco
Alu
no
s
191
Gráfico 51 – Distrai nas aulas de Matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Com relação às aulas de matemática a maioria alegou se distrair durante
as aulas, 15 dos alunos se distrai às vezes quando a aula está chata, 1 se distraem
por não conseguirem prestar atenção e 14 alegam sempre prestar atenção nas
aulas de matemática. Podemos atribuir esse desinteresse a forma como vem sendo
conduzidas as aulas, na maioria das vezes de forma tradicional, não possibilitando
que o aluno participe mais ativamente do processo de aprendizagem.
Questão 15 – Você costuma estudar matemática fora do horário de aula?
Tabela 52 – Estuda matemática em outros horários
F.A %
Só no período de prova 18 60%
Só nos fins de semana 5 16,7%
Alguns dias na semana (2 ou 3 dias) Só na véspera da prova
3 2
10% 6,7%
Todo dia 1 3,3%
Não costumo estudar fora do horário de aula 1 3,3%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 52 – Estuda matemática em outros horários
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
15
14
1
0 2 4 6 8 1012141618202224262830
Às vezes, quando a aula está chata
Não, eu sempre presto atenção
Sim, eu não consigo prestar atenção
Alunos
18
5
3
2
1
1
0 2 4 6 8 1012141618202224262830
Só no período de prova
Só nos fins de semana
Alguns dias na semana (2 ou 3 dias)
Só na véspera da prova
Todo dia
Não costumo estudar fora do horário…
Alunos
192
Os dados evidenciam que a maioria dos alunos consultados,19 não
possui o hábito de estudar matemática com frequência fora do horário de aula, 18
destes só estudavam no período de prova e 1 nem estudava; apenas 11 afirmaram
estudar a matéria alguns dias da semana, nos fins de semana ou todo dia. O que
pode ser um dos fatores que influencia no baixo rendimento do aluno, pelo fato de
não fixar os conteúdos ou não buscar exercitar os conhecimentos apreendidos a fim
de melhorar seu desempenho.
Questão 16 – Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?
Tabela 53 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática
F.A %
Professor particular 5 16,7%
Mãe 2 6,7%
Irmão(ã) 1 3,3%
Amigo(a) 4 13,3%
Ninguém 14 46,7%
Primo 1 3,3%
Tio(a) 3 10%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 53 – Ajudam os alunos nas tarefas extraclasse de matemática
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Com relação as tarefas extraclasse perguntamos aos alunos quem lhes
ajudava nas tarefas de matemática, 5 recebia ajuda de professor particular, 2 da
mãe, 1 de irmão(ã), 4 de amigo; 1 primo; 3 de tio(a) e a maioria, 14 alunos, não
recebia a ajuda de ninguém.
14
5
4
3
2
1
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Ninguém
Professor particular
Amigo(a)
Tio(a)
Mãe
Irmão(ã)
Primo
Alunos
193
Questão 17 – Você usa vê/percebe os conteúdos de matemática que você
aprende na escola em atividades/situações do dia a dia?
Tabela 54 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia
F.A %
Sim 23 76,7%
Não 7 23,3%
Total 30 100%
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gráfico 54 – O aluno percebe a matemática no seu dia a dia
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Buscamos saber se o aluno vê ou percebe os conteúdos matemáticos
que ele aprende na escola em atividade ou situações do dia a dia, e 23 responderam
positivamente enquanto7 não vê/percebe a matemática no seu dia a dia. A pesar da
maioria dos sujeitos afirmarem ter a percepção da matemática no contexto
extraescolar os alunos não demonstraram isso nas questões dos pré-testes.
No quadro a seguir cruzamos os dados relacionando à dificuldade dos
alunos em aprender matemática à afinidade, à atenção durante as aulas e ao hábito
de estudar a disciplina.
7
23
02468
1012141618202224262830
Não Sim
Alu
no
s
194
Quadro 9 – Relação entre as dificuldades em aprender matemática, o gosto pela matemática, a atenção dos alunos nas aulas de matemática e o hábito de estudar
fora do horário de aula
Fonte: Pesquisa de campo realizada (nov e dez/2012)
Gosta de Matemática
Dificuldade em aprender matemática
Total
Não Um
pouco Muito
Nenhum pouco F. A. 0 1 0 1
% 0% 3,3% 0% 3,3% Pouco F. A. 4 16 3 23
% 13,3% 53,3% 10% 76,7%
Muito F. A. 4 2 0 6 % 13,3% 6,7% 0% 20%
Total F. A. 8 19 3 30
% 26,7% 63,3% 10% 100%
Atenção dos alunos nas aulas de matemática
Dificuldade em aprender matemática
Total Não
Um pouco
Muito
Não, eu sempre presto atenção F. A. %
4 13,3%
9 30%
1 3,3%
14 46,7%
Sim, eu não consigo prestar atenção F. A. %
0 0%
1 3,3%
0 0%
1 3,3%
Às vezes, quando a aula está chata F. A. %
4 13,3%
9 30%
2 6,7%
15 50%
Total F. A. %
8 26,7%
19 63,3%
3 10%
30 100%
Hábito de estudar fora da escola
Dificuldade em aprender matemática
Total Não Um
pouco Muito
Só no período de prova F. A. 4 12 40%
2 6,7%
18 60% % 13,3%
Só na véspera da prova F. A. 0 1 0 2
% 0% 3,3% 0% 6,7%
Só nos fins de semana F. A. 2 3 0 5
% 6,7% 10% 0% 16,7%
Todo dia F. A. 0 1 0 1
% 0% 3,3% 0% 3,3%
Alguns dias na semana (2 ou 3 dias) F. A. 1 2 0 3
% 3,3% 6,7% 0% 10%
Não costumo estudar fora do horário de aula
F. A. 0 0 1 1
% 0% 0% 3,3% 3,3%
Total F. A. 8 19 3 30
% 26,7% 63,3% 10% 100%
195
A análise do quadro indicou que a turma era constituída, em sua maioria,
por alunos que gostavam ao menos um pouco de matemática e apresentavam um
pouco ou muita dificuldade para aprendê-la. Entretanto, a maioria destes alunos não
costumava dedicar muito tempo ao estudo de matemática quando estavam fora da
escola. Na análise do quadro foi possível verificar que a maioria dos alunos que
tinha um pouco ou muita dificuldade para aprender matemática eram também
àqueles que informaram estudar matemática, fora da escola, apenas no período ou
na véspera da prova, o que contribui para que as dificuldades se acentuem.
Outro fator verificado dizia respeito a atenção dada pelos alunos às aulas
que eram ministradas em sala de aula. O quadro evidencia a relação deste fator
com a dificuldade para aprender matemática. No cruzamento dos dados observamos
que os alunos que disseram ter um pouco de dificuldade para aprender matemática
se dividiram entre os que prestam atenção e os que só não prestam atenção às
vezes quando a aula está chata, estes alegaram que isso ocorria quando a aula não
estava interessante, quando não entendiam o assunto, quando estava muito barulho
na sala ou quando estavam com algum problema particular. Evidenciando que os
motivos mais frequentes para distração estavam diretamente relacionados aos
aspectos didáticos. Estes dados indicavam que a escolha de uma sequência didática
e de recursos pedagógicos adequados seria fundamental para despertar a atenção
dos alunos, reforçando nossa opção pelo uso de uma metodologia que elencasse
aspectos culturais paraenses como forma de instigar o aluno a olhar a matemática
em diferentes contextos.
3.2.2 Segunda sessão
A segunda sessão ocorreu no dia 04/04/2013 (quinta-feira), quando
iniciamos a atividade sobre função afim denominada: descobrindo a expressão
algébrica. Foram desenvolvidos os procedimentos referentes à mesma, com o
objetivo que os alunos descobrissem uma expressão/regra que relacionasse cada
conjunto de valores representados por uma tabela.
O encontro iniciou às 10h30min sob nossa orientação e com o apoio da
professora efetiva. Apresentamos-nos aos alunos que não estavam presentes na
primeira sessão e ressaltamos o objetivo da pesquisa, a metodologia que seria
196
utilizada e que assumiríamos o papel de professora da turma. A partir desse diálogo
buscamos estabelecer o contrato pedagógico com a turma. O contrato pedagógico
de acordo com PCNEM:
Baseia-se essencialmente na relação professor–aluno, e suas “cláusulas” são, na sua maioria, explicitáveis. No geral, são negociadas entre o professor e os alunos, e se mantêm relativamente estáveis no tempo. Nesse contrato, fica determinado o papel de cada um dos elementos humanos da situação didática (professor e alunos); não existem articulações com o saber objeto de ensino e aprendizagem (BRASIL, 2006, p.81).
Pedimos que organizassem as duplas conforme havíamos combinado na
última aula e os que ainda não tinham duplas que formassem, alguns alunos
pediram para se juntarem a outros colegas que já haviam formado dupla, assim
foram formados grupos de 2 ou 3 alunos e as atividades passaram a ser
desenvolvidas em grupos, totalizando 12 grupos. Entregamos a folha com o texto e
as folhas de atividade, uma para cada grupo, em seguida a turma acompanhou a
leitura do texto “Sistema de produção do açaí” e dialogamos sobre o mesmo
discutindo sobre: quem gostava de açaí; como eles gostavam de tomar; se eles já
haviam atentado para o processo que o fruto açaí sofre desde seu plantio, passando
pelo cultivo, colheita, debulha, transporte até chegar as nossas mesas.
Esclarecemos que o texto seria utilizado para as questões propostas nas atividades
sobre função afim.
Após essas discussões visando chamar a atenção da turma para as
atividades, pedimos que eles identificassem os dados matemáticos presentes no
texto e a que eles estavam relacionados. Esclarecemos que representamos as
manifestações dos diversos alunos durante o experimento por A1, A2, A3..., e dos
grupos por G1, G2, G3...
P: (pesquisadora): Quais os dados matemáticos presentes no texto? T: (Turma): Como assim professora? P: Quais os valores/números que tem no texto e a que eles estão relacionados? T: tem o 5, o 4, o 6, 12 reais, 6 reais... P: Mas, esses valores estão representando o que? A1: “Ah! Tem o ano aqui que é 5, 6 e 8 e tem o 4, o 6 e o 10 que é tonelada.” P: Ok. E essas toneladas estão relacionadas a quê? A2: “a produtividade” P: Isso mesmo, a produção do açaí. Quais outros dados têm no texto? A3: “O preço, a quantidade de latas”.
197
P: No texto está a medida de açaí em rasa que corresponde a duas latas de 20 litros. Vocês sabem o que é rasa? Os meninos que brincam de pipa lembram-se do material que utilizam para fazer... T: “tala, saco e linha” P: Então..., a rasa é feita com talos de uma planta chamada arumã.
Com o intuito de que os alunos pudessem interagir com o meio a fim de
adquirir o saber matemático referente ao conteúdo de funções afim e quadrática
buscamos estabelecer o contrato didático10, que foi construído, rompido e
reestabelecido durante a experimentação.
As 10h45min os alunos iniciaram a atividade. Pedimos que lessem em
voz alta o título e o objetivo da mesma, em seguida informamos que eles
desenvolverão os procedimentos da atividade, para posteriormente, encontrarmos
uma expressão algébrica com base nos dados do texto “Sistema de produção do
açaí”, conforme solicitado na questão proposta. Explicamos que deverão completar
cada tabela relacionando o conjunto de valores de x com o conjunto de valores de y.
Alguns alunos conseguiram encontrar facilmente a expressão da primeira
tabela, outros não conseguiram observar o que estava acontecendo, então nos
dirigimos aos grupos que estavam com dificuldades e as instigamos a achar a
resposta:
P: (pesquisadora): Observe, quando o x vale 1, quanto vale o y? G1: (dupla): “dois” P: Quando o x vale 2, quanto vale o y? G1: “quatro” P: Quando o x vale 3, quanto vale o y? G1: “seis” P: Quando o x vale 4, quanto vale o y? G1: “oito” P: Então, o que tá acontecendo com o x A1: “ele tá multiplicando por 2” A2: “ele tá dobrando” P: Então, podemos representá-lo por qual expressão? A2: “2x”
Com relação à segunda tabela os alunos entenderam, mas alguns tinham
dúvida em representar, e perguntavam: “Professora, esse também é 2x só que com
o sinal de menos, então fica -2x?”. Com nossa afirmativa eles continuaram a
10Sistema de obrigações recíprocas relacionadas aquilo (conhecimento matemático visado) que cada parceiro, o professor e o aluno, tem a responsabilidade de gerir e pelo qual será, de uma maneira ou de outra, responsável perante o outro. (BROUSSEAU, 1986. In: BRUN (Org.), 1996, p. 51)
198
desenvolver a atividade e discutiam entre si os resultados alcançados. Após a
segunda tabela o processo para encontrar a expressão algébrica ficou mais claro e
as duplas resolviam com mais facilidade.
Figura 4 – Procedimentos realizados pela dupla 5 Fonte: Produção escrita dos alunos
Alguns grupos terminaram mais rápido outros eram um pouco mais lentos,
mas de modo geral a atividade foi bem acessível aos discentes, em seguida
pedimos para que anotassem suas observações e suas conclusões sobre a
atividade, e levantamos os seguintes questionamentos: “No quadro da observação
escrevam: O que está acontecendo com os valores de x e de y? No quadro da
conclusão respondam: Qual a relação existente entre os valores de x e de y?”. Após
os grupos concluírem suas anotações recolhemos a atividade e fizemos a
socialização das respostas oralmente. As observações e conclusões da turma teve
duração 5min.
199
Quadro 10 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade descobrindo a minha regra
GRUPO OBSERVAÇÕES CONCLUSÕES
G1 “Eles subtraem” “Eles estão trocando relação um com outro”
G2 “O x e o y podem tar somando, subtraindo e multiplicando.”
“O x e o y estabelecem uma relação que é representado por uma expressão”
G3 “Eles podem esta somando ou subtraindo, multiplicando”
“Estar ocorrendo uma relação entre dois conjuntos A e B”
G4 Não responderam “Eles somam, subtrai ou multiplicam”
G5 “Eles podem ta somando ou subtraindo”
“x e y estão se relacionando em função”
G6 Não responderam Não responderam
G7 Não responderam Não responderam
G8 “Eles estão somando, mas também podem estar subtraindo ou multiplicando”
“Está ocorrendo uma relação entre dois conjuntos”
G9 “Que eles podem está somando, podem está subtraindo ou multiplicando”
“Esta acontecendo uma relação que está sendo representada em uma expressão”
G10 “Eles podem estar somando, mas também podem está subtraindo”
“Conclui que entre x e y está avendo uma relação”
G11 Não responderam Não responderam
G12 O x pode somar, multiplicar, dividir e subtrair
Não responderam
Fonte: Produção escrita dos alunos
Observamos as considerações dos alunos e percebemos que os mesmos
sentiram dificuldades em redigir o texto explicitando suas observações e conclusões,
alguns não o fizeram e os que escreveram expressaram ideias confusas,
observamos que alguns grupos têm a noção de relação entre dois conjuntos já
advindas do conceito de função, conteúdo que iniciaram no 9º ano do ensino
fundamental, no entanto, apesar de alguns dos alunos afirmarem já terem estudado
o assunto em série anterior, a maioria não conseguiu generalizar a ideia da
representação algébrica a partir da correspondência de duas variáveis pertencentes
ao conjunto dos reais. O que já era esperado conforme elencamos nas análises a
priori. Esta atividade requer que o discente se utilize das noções de equações do 1º
grau para que possam construir a representação algébrica da função afim em cada
exemplo dado, nossa intenção foi introduzir o assunto.
200
De posse do exposto, coube a nós, nesse momento institucionalizar o
saber. Procuramos organizar as ideias construídas com a atividade, perguntamos
aos alunos o que eles tinham escrito na observação e na conclusão:
P: O que está acontecendo com os valores de x e de y? T: Eles estão somando, subtraindo, multiplicando. P: Eles estão somando... eles quem? A1: O x professora, ele ta multiplicando, ou subtraindo, ou somando com um número. P: E o y? A2: O y tá se relacionando com o x. A3: O y é o resultado P: Então poderíamos escrever uma igualdade? Por exemplo: y=x+1? T: Sim, é isso que queremos dizer.
Em seguida definimos a função afim, apresentamos os coeficientes linear
e angular, discutimos as ideias que os alunos tinham da relação entre dois conjuntos
reais, a noção de domínio e imagem, de variável dependente e variável
independente, ressaltando que trataremos dessas informações no decorrer das
atividades e pedimos para que eles copiassem a definição no caderno. Encerramos
esta sessão às 11h20min.
3.2.3 Terceira sessão
Na terceira sessão, que ocorreu no dia 09/04/2013 (terça-feira), foi
desenvolvida a questão proposta da atividade “Descobrindo a expressão algébrica”
objetivando que os alunos desenvolvessem habilidades na extração de dados de um
contexto real (o sistema de produção do açaí) e na construção da representação
algébrica da função afim a partir de dados dispostos em um texto.
Iniciamos o encontro às 8h45min relembrando a definição de função afim
que trabalhamos no encontro anterior, e mostramos outros exemplos de função afim.
Pedimos para os alunos identificarem os valores de a e b, em seguida explicamos
que na aula anterior eles haviam realizado a transformação de dados de uma tabela
para uma expressão algébrica, isto é, da representação tabelar para a algébrica, e
que podemos encontrar a expressão algébrica da função afim desde que
conhecêssemos dois de seus pontos bastando substituir na expressão genérica
201
vista anteriormente ( ( )f x ax b ) e montar um sistema, encontrando assim os
respectivos valores de a e b.
Em seguida distribuímos o texto “Sistema de produção do açaí” e a folha
de atividade, pedimos para que os alunos lessem a questão e identificassem o que
estava sendo pedido.
Alguns alunos eram mais independentes e foram logo tentando resolver a
questão, outros nos chamavam perguntando o que era pra fazer. Como eram muitos
alunos e eles falavam bastante discutindo o que fariam na atividade, pedimos que
fizessem silêncio para explicarmos a todos e quem já havia entendido que também
prestasse atenção. Explicamos que era para eles procurarem no texto os números
que estavam relacionados ao ano e os que estavam relacionados à produção anual
do açaí e montassem uma tabela similar a que foi dada na atividade anterior. Com
isso surgiram logo as dúvidas:
T: Professora, mas quem é o x e quem é o y? P: Observem a questão, quem está em função de quem? T: A produção está em função do ano. P: Quem é a variável dependente? A1: A produção P: Então, quem é o x e quem é o y? A2: O x é o ano e o y a produção. P: Então construam uma tabela com duas colunas, uma com os valores de x para o ano e outra com os valores de y para a produção. Em seguida encontrem a expressão algébrica que representa a produção de açaí. Vocês podem escolher dois pontos para encontrar a expressão ou se basear no procedimento realizado na atividade anterior.
Figura 5 – Alunos resolvendo a questão proposta da atividade descobrindo a expressão algébrica Fonte: Produção escrita dos alunos
202
Antes da explicação de como resolver a questão dois grupos, dentre os
que foram logo construindo a tabela com dados do texto, o fizeram com os valores
do preço pago ao extrativista por ano. O que pode ser um problema de
interpretação, devido o uso do termo “valores”, utilizado no comando da questão
proposta (p. 123). Neste sentido, evidenciamos a importância da condução do
professor em atividades desse porte, principalmente em se tratando de alunos
iniciantes nesse procedimento de aprendizagem. Intruindo-os a interpretação mais
coerente em cada etapa da produção do conhecimento, explicitando o que de fato
sujere a questão. O que ficou evidente quando explicarmos que os dados que
pedimos eram da produção anual do açaí, eles refizeram a tabela, agora conforme
pedia o comando da questão e partiram para o segundo passo que era encontrar a
expressão.
ERRADO CERTO Figura 6 – Tabela construída pelos alunos com os dados do texto sistema de produção do açaí Fonte: Produção escrita dos alunos
Sugerimos uma mudança no comando da atividade, retirando os termos
“dados” e “valores” ficando “(...) construa uma tabela com duas colunas, uma com
os anos e outra com a produção em toneladas. (...)”.
Mostramos um exemplo para que eles pudessem relembrar como resolver
um sistema do 1º grau, pois apesar de já terem estudado sistemas em ano escolar
anterior, quando solicitamos que resolvessem o problema as dificuldades logo
apareceram. Alguns alunos afirmavam não lembrar como fazer outros disseram que
não sabiam. Então, procedemos com uma demonstração utilizando valores de
coordenadas que resultaram em uma expressão diferente das já vistas até então e
do problema proposto. Desse modo, os discentes resolveram o exemplo com a
professora-pesquisadora, ela perguntava à turma e resolvia no quadro de acordo
com a resposta de alguns alunos.
Dentre as resoluções dos alunos, verificamos que apesar de não
fornecermos no texto o valor relacionado ao 7º ano de produção, alguns alunos
203
mostraram ter compreendido bem a disposição dos valores na tabela: construíram
uma tabela com os dados do 5º ao 8º ano, completando o valor do 7º ano. E
procederam corretamente na resolução do sistema para encontrar a expressão
algébrica da produção anual do açaí.
Resolução do G2 Resolução do G5
Figura 7 – Resolução da questão proposta Fonte: Produção escrita dos alunos
Apesar de termos relembrado como resolver um sistema de 1º grau,
alguns alunos ainda tinham dificuldades em calcular os valores, uns tinham
dificuldades com substituição, outros com o jogo de sinal, percorremos (a professora
efetiva e a professora pesquisadora) as duplas explicando como fazer em cada
situação. Nessa atividade os alunos demonstraram bastante dificuldades,
primeiramente em perceber o modelo matemático presente no texto, o que foi
esclarecido quando instigamos os discentes a identificarem os dados no texto.
Contudo a maior dificuldade estava relacionada a falta de base matemática em
conteúdos de anos anteriores, como jogo de sinal e resolução de sistemas,
ocorrendo de alguns alunos resolverem apenas a metade do problema, ou deixarem
em branco.
Como observamos que alguns alunos não conseguiram resolver a
questão proposta e já haviam desistido de fazê-la pedimos para que entregassem
como estava e passamos para o momento de socialização das atividades.
Convidamos aqueles que haviam resolvido e se sentiam a vontade, para escrever no
quadro.
204
Figura 8 – Alunos socializando a questão proposta na atividade descobrindo a expressão algébrica Fonte: Produção escrita dos alunos
Depois passamos a discutir os resultados, identificando os erros e
acertos, com a finalidade de promover a apreensão dos conhecimentos matemáticos
necessários à resolução do problema e possibilitar aos alunos com dificuldades
participar das demais atividades. A esse respeito Brousseau (1986, p. 51) afirma que
se o aluno recusa ou evita o problema, ou não o resolve, o professor tem então a
obrigação social de ajudá-lo, ou mesmo se justificar por ter colocado um problema
tão difícil. Nessa situação específica nos deparamos com a deficiência de
aprendizagem de alguns alunos em conteúdos necessários à continuidade do
aprendizado no ensino médio.
Tivemos que encerrar às 9h30min, pois os professores tinham reunião na
SEDUC e a escola foi fechada mais cedo. Então deixamos as questões
complementares para o próximo encontro.
3.2.4 Quarta sessão
Como na quinta-feira (11/04/2013) houve paralisação das escolas
públicas estaduais e municipais nosso encontro foi adiado para o dia 16/04/2013
(terça-feira), onde foram realizadas pelos alunos as questões complementares da
atividade “Descobrindo a expressão algébrica”, iniciamos as atividades às 8h45min,
com o objetivo de que os alunos desenvolvessem procedimentos para a resolução
de problemas envolvendo a definição de função afim, e finalizamos as 10h25min.
205
Na primeira questão auxiliamos os discentes a resolverem de forma
parecida com a questão complementar realizada no último encontro, como os
valores das variáveis dependente e independente estavam bem evidentes no quadro
com os valores do número de bolas (x) e nível de água (y), alguns grupos
conseguiram resolver com mais facilidade o problema, haja vista que já haviam
resolvido um problema similar relacionando o ano e a produção do açaí no encontro
do dia 09/04/2013. Mas, a maioria ainda apresentava grande dificuldade quando a
questão exigia a resolução de um sistema, além do mais alguns alunos também
tinham dificuldades com o jogo de sinais e com o cálculo envolvendo números
decimais, então liberamos o uso da calculadora para a resolução, interrompemos um
momento a atividade para relembrar o jogo de sinais e na sequência os discentes
continuaram o processo.
Alguns alunos tiveram dúvidas quanto à segunda questão, então pedimos
para que eles construíssem uma tabela com os valores da quantidade de canudos e
da quantidade de quadrados e observassem o que estava ocorrendo. Percebemos
ainda a dificuldade que alguns alunos ainda tinham em identificar as variáveis:
“Professora, quem é o x e quem é o y aqui?”. Então respondemos: “Quem está em
função de quem?”, alguns poucos responderam: “os canudos estão em função dos
quadrados”. Em seguida afirmamos: “então... o y é a variável dependente, lembram?
E, o x a variável independente... Agora construam a tabela similar àquela que
fizemos com os dados do ano e da produção do açaí, só que agora com os dados
da quantidade de quadrados canudos representada por Q e da quantidade de
canudos representada por C”.
Com relação a terceira e quarta questão, pedimos para que os alunos
lessem com atenção e tentassem responder, deixamos que eles resolvessem sem
interferência alguma. Como as questões 3 e 4 eram bem direcionadas, requerendo
que o aluno apenas compreendesse a relação entre as variáveis claramente
expostas e as transformassem da forma literal para a algébrica, julgamos que os
discente não teriam dificuldades nesta ação. O que ocorreu em parte, pois alguns
grupos tiveram dificuldade em interpretar a quarta questão.
As atividades foram encerradas às 10h05min em seguida foi realizada a
socialização das questões desenvolvidas, solicitamos que as duplas fossem ao
quadro, escrever as questões que haviam resolvido, em seguida entregaram a folha
206
de atividade e abrimos para a discussão dos resultados, esse momento teve
duração de 10min.
Distribuímos aos alunos algumas fichas solicitando que eles avaliassem a
atividade “Descobrindo a expressão algébrica” que fora realizada desde nosso
primeiro encontro finalizando com as questões realizadas no dia 16/04/2013, essa
avaliação teve duração de 10min. No Quadro 5 apresentamos as opiniões emitidas
pelos alunos acerca das aulas sobre definição da função afim sobre o que eles
achavam das atividades e do procedimento de ensino.
Quadro 11 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Descobrindo a expressão algébrica
(continua)
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
1
7
3
2
3
1
1
207
Quadro 11 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Descobrindo a expressão algébrica
(conclusão)
1
3
2
1
1
Fonte: Ficha de avaliação
Observamos que a maioria dos alunos avaliaram as aulas positivamente,
alegando aprenderem mais, que o assunto se tornou mais fácil de aprender e que as
aulas foram boas porque houve interação com os colegas de classe e com a
professora proporcionadas pelas atividades. Com exceção de cinco alunos que
afirmaram terem aprendido um pouco, mas ainda tem dificuldades com a
matemática.
Vale ressaltar que o procedimento adotado no final de cada atividade,
solitando que o aluno exponha sua opinião sobre as aulas, estimula a capacidade de
argumentação dos discentes, mais evidente nas duas últimas opiniões do quadro 11.
3.2.5 Quinta sessão
Iniciamos a quinta sessão às 10h30min do dia 18/04/2012 (quinta-feira),
neste encontro foram desenvolvidos os procedimentos da atividade “Construindo
gráficos da função afim” com o objetivo de que os discentes descobrissem a
representação do gráfico da função afim. Distribuímos a folha de atividades e
208
pedimos para os discentes lerem o titulo e o objetivo da atividade, explicamos que
eles deveriam substituir os valores do domínio dado e encontrar suas respectivas
imagens, em seguida marcar os pontos encontrados no plano cartesiano e ligar os
pontos.
A atividade foi bem acessível para a maioria dos alunos, alguns tiveram
dificuldades em marcar os pontos no plano cartesiano, marcando o x no lugar do y e
o y no lugar do x, um aluno nos perguntou sobre a disposição dos eixos, pois não
lembrava qual era o eixo das abscissas e das ordenadas.
Em virtude do exposto, relembramos aos alunos o plano cartesiano, a
disposição dos valores positivos e negativos no eixo. E auxiliamos os alunos que
tinham dificuldades em marcar as coordenas, após os mesmos nos procurarem com
dúvidas de como fazer a atividade já que os pontos ficavam dispersos no plano
cartesiano, diferentemente do que fora feito pela grupo vizinho. Após nossa
orientação, foi possível os discentes resolverem o 1º procedimento e darem
continuidade no traçado dos demais gráficos. Pedimos para eles ligarem os pontos
com o auxílio de uma régua.
Figura 9 – Alunos construindo o gráfico da função afim Fonte: Produção escrita dos alunos
Quando a maioria das equipes havia encerrado a atividade perguntamos
aos alunos qual era a figura geométrica que eles haviam construído. E as respostas
deles foram: Linha, reta, seta. Então pedimos para que registrassem suas
conclusões sobre a atividade desenvolvida no quadro da conclusão que ficava no
final da folha. Recolhemos as folhas de atividades e abrimos uma rápida discussão
com a turma a partir de suas conclusões sobre a representação gráfica de uma
209
função afim concluindo que o gráfico em questão tratava-se de uma reta e que nós
estudaremos as peculiaridades do mesmo em atividades posteriores. Encerramos
este encontro às 11h15min.
3.2.6 Sexta sessão
Do dia 23 à 25/04/2013 houve paralisação dos professores das escolas
estaduais e municipais. A escola que realizamos o experimento não parou, mas os
alunos passaram a ser dispensados no horário do intervalo, às 9h30min, e como
houve mudança no horário de aulas passando as aulas de matemática com o 1º ano
para os últimos horários, nesta semana não houve aula de matemática na turma
101. Voltamos a desenvolver a atividade “Construindo gráficos da função afim” no
dia 30/04/2012, onde os alunos resolveram a questão proposta e as questões
complementares, quando os alunos resolveram a questão proposta e as questões
complementares, com o intuito de que desenvolvessem habilidades na resolução de
problemas relativos a construção do gráfico da função afim.
Iniciamos a sessão de ensino às 10h30min com a questão proposta.
Distribuímos a folha de atividade e o texto “Sistema de produção do açaí” e pedimos
para que os discentes lessem a questão proposta e tentassem resolvê-la.
Pensamos que a semana que os discentes ficaram sem aula poderia de
alguma forma desestimulá-los ou afetar o desempenho dos alunos no
desenvolvimento das atividades. O que em parte acorreu, pois alguns discentes não
lembravam como construir o plano cartesiano, mas tinham uma noção bem definida
que o gráfico de uma função afim era uma reta. Durante o desenvolvimento das
questões nos dirigimos aos grupos que tinham dificuldades, relembrando a
disposição dos eixos no plano cartesiano e dos quadrantes positivos e negativos,
pois eles se confundiam nesses casos.
Alguns discentes montaram a tabela com os dados do ano e da produção
do açaí e em seguida encontraram a função algébrica e vieram nos perguntar se
estava correto. Então, lembramos que já haviam construído uma tabela com esses
dados na questão proposta da atividade 1, só que antes eles eram para encontrar a
expressão algébrica que representava a função, agora solicitamos que construam o
gráfico dessa mesma função, portanto bastava que fizessem o gráfico.
210
A atitude de refazer todo esse processo de representação tabelar,
algébrica e gráfica de alguns discentes nos deixou contente, haja vista que
demonstraram ter acumulado o conhecimento apreendido em aulas anteriores
ampliando sua percepção sobre a questão, ao quererem mostrar as diferentes
representações na mesma questão. Com isso, observamos na prática o cruzamento
das duas metodologias de ensino utilizadas, de um lado o aluno foi capaz de buscar
informações para a resolução de um problema dentro de um contexto característico
da Modelagem Matemática, de outro ele executou os procedimentos de forma a
interagir com o conhecimento anterior observando a característica de continuidade
enfatizada pelo Ensino por Atividades.
As 11h05min os discentes começaram a resolver as questões
complementares. Na primeira questão, explicamos que eles deveriam montar uma
tabela com os valores do tempo e da posição, escolherem alguns valores para t e
encontrarem o valor de s. Alguns alunos ainda tinham dificuldades com a
substituição e o cálculo para encontrar os valores da imagem. Auxiliamos esses
alunos relembrando jogo de sinais e mostramos alguns exemplos de cálculo com
números negativos o que viabilizou a continuidade da resolução pelos alunos.
Na segunda questão os discentes tiveram um pouco de dificuldade em
montar a expressão, então lemos juntamente com eles a questão explicando que o y
era o preço e o x a quilometragem rodada, e que o preço consistia no valor fixo da
diária adicionado ao valor cobrado por quilometro rodado, e auxiliamos dessa forma
a encontrarem a expressão da locadora 1 e pedimos que de forma similar
encontrassem a expressão da locadora 2 e em seguida construíssem o gráfico das
duas locadoras. Como alguns alunos nos procuraram com dúvidas em como traçar o
gráfico explicamos ainda que seria melhor, nesse caso, que alterássemos a escala
do eixo y de acordo com os valores encontrados, com isso os discentes construíram
cada gráfico.
Na questão 3 pedimos que os discentes identificassem as variáveis
dependente e independente e em seguida marcassem a opção mais coerente ao
caso. Como as respostas dos discentes variavam entre as alternativas b, d e e, e os
discentes estavam ansiosos por saber qual era a resposta correta, começamos a
discutir a questão:
211
P: Qual a expressão algébrica que representa o preço pago pela fruta, de acordo com o comando da questão 3? T: Bem... m é o preço e n o quilograma...
P: Quanto custa cada quilo? T: 1,75 P: Se o n é a quantidade de quilos, a expressão fica...? T: 1,75n P: Então a expressão algébrica será: m=1,75n? Certo? T: Certo. Mas qual o gráfico? P: Por que não pode ser a alternativa a ou c? T: Por que não é reta. P: Isso. E os outros casos que são retas? T: Não sei professora P: Vejam o que acontece... quando o n vale 1, quanto vale m? T: 1,75 P: Então... o gráfico deveria passar pelo ponto (n,m), isto é, (1; 1,75), qual é esse gráfico? T: a letra e professora.
A quarta questão foi resolvida com facilidade pelos discentes, nos
procuravam apenas para confirmarmos se a resposta estava correta. Observamos
que os discentes não fizeram nenhum cálculo para resolver a questão, ou seja, não
buscaram encontrar a expressão algébrica para depois substituir o valor do domínio
dado e encontrar sua respectiva imagem. Como a maioria resolveu corretamente,
perguntamos como eles haviam chegado a essa conclusão, e eles disseram que: “os
dias estavam aumentando de 5 em 5 enquanto a altura aumentava de 1 em 1, então
quando chegasse 30 dias a altura seria 6 cm”.
Após as conclusões dos alunos solicitamos que eles fizessem o
prolongamento do gráfico na folha de atividade mostrando o raciocínio deles e
explicamos que havia outra forma de resolver a questão, substituindo os pontos na
função genérica, encontrando a expressão algébrica para esse caso e em seguida
substituindo o valor do dia para encontrar a altura.
Ao final da atividade pedimos para que os discentes escrevessem nas
fichas de avaliação o que eles haviam achado das aulas sobre construção gráfica,
os alunos já estavam com fome e pediram para sair, alguns preencheram
rapidamente a ficha e depois saíram, finalizamos o encontro às 12h.
212
Quadro 12 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Construindo gráficos da função afim
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
1
3
3
4
2
1
5
Fonte: Ficha de avaliação
Essa foi uma das atividades que os alunos mais gostaram, embora com
as dificuldades iniciais eles acharam bem divertido construir diferentes gráficos da
função afim e alguns relembraram que já haviam estudado a construção gráfica mas
com essa atividade ficou mais claro a substituição dos pontos para traçar as
coordenas o que antes quase sempre os confundia.
3.2.7 Sétima sessão
Iniciamos a sessão às 10h35min, pois a professora do horário anterior nos
pediu mais um tempo para que pudesse encerrar sua aula, aguardamos 5min até a
professora encerrar a aula e entramos em sala, cumprimentamos os discentes e os
mesmos nos responderam com um bom dia, eles estavam sentados organizados em
fileiras e terminavam de copiar a matéria do quadro. Pedimos para que formassem
213
os grupos, muitos alunos faltaram nesse dia então alguns alunos preferiram fazer
individualmente as atividades.
Distribuímos as folhas da atividade “Crescimento e decrescimento da
função afim”, explicamos que na aula anterior construímos os gráficos da função
afim e agora analisaremos o gráfico, durante a distribuição das folhas de atividade
os alunos de dependência estavam chegando e arrumando as cadeiras para se
sentarem e participarem da aula, esse período de distribuição teve duração de
10min.
As 10h45min pedimos para os discentes lerem o título e o objetivo da
atividade em voz alta, um aluno leu o título e outro leu o objetivo enquanto os
demais acompanhavam a leitura. Em seguida pedimos aos alunos pegassem a folha
da atividade que continha quadro das funções e preenchessem com os valores dos
coeficientes a e b para cada função dada.
Figura 10 - Procedimentos desenvolvido pelos grupos sobre função crescente e decrescente Fonte: Produção dos alunos
Os discentes realizaram o procedimento e em seguida nos perguntaram
se estava correto, dois grupos colocaram os valores dos coeficientes sempre
positivos então dissemos a esses que o número sempre deveria estar acompanhado
do seu respectivo sinal (noção fundamental para que chegassem a conclusão da
atividade), então esses alunos identificaram seus erros e foram corrigindo as
respostas.
214
Propositalmente escrevemos algumas funções em que primeiro
apresentamos o valor de b e depois o de a, por exemplo: ( ) 10 5f x x , com o
intuito de que os alunos identificassem e diferenciassem os coeficientes a e b,
independente de sua disposição na função afim. Ocorreu na execução da atividade
que alguns alunos confundiram e trocaram o valor de a, pelo valor de b e vice e
versa, escrevendo no exemplo citado: 10a e 5b , dentre outros. E, ainda ocorreu
de três duplas escreverem o coeficiente a acompanhado da variável x (p. ex. 2a x
), similar a alguns casos identificados no pré-teste dentre os poucos alunos que
colocaram os coeficientes da função afim (questão 1 do pré-teste da função afim)
De posse do exposto, escrevemos no quadro a expressão genérica da
função afim [ ( )f x ax b ] e dois exemplos de função afim [ ( ) 2 1f x x e
3( ) 1
2f x x ] e explicamos que o coeficiente a era o número que estava na frente
da variável x e o coeficiente b era o número que não estava acompanhado de
nenhuma variável. Depois disso, os discentes que haviam errado corrigiram os
coeficientes que estavam trocados.
Posteriormente pedimos para que eles lessem o texto acima do quadro
que eles estavam preenchendo e em seguida perguntamos se eles haviam
compreendido e eles responderam que não. Observamos que apesar de os alunos
já terem conhecimento de qual seria a variável dependente e a variável
independente, pois já havíamos visto isso em atividades anteriores e quando
perguntamos qual era a variável independente eles respondiam que era o x e qual
era a variável independente eles respondiam que era o y, no momento da realização
da atividade essa nomenclatura causava certa dificuldade na compreensão pelos
mesmos.
Quadro 13 – Crescimento e decrescimento da função afim
Uma função em que sempre que o valor da variável independente aumenta implica no aumento do valor da variável dependente ou que sempre que o valor da variável independente diminui implica na diminuição do valor da variável dependente é chamada de função crescente.
Uma função em que sempre que o valor da variável independente diminui implica no aumento do valor da variável dependente ou que sempre que o valor da variável independente
aumenta implica na diminuição do valor da variável dependente é chamada de função decrescente.
Fonte: a autora
215
Então pedimos a atenção dos alunos para que pudéssemos explicar o
conteúdo do texto lido por eles. Construímos dois gráficos na lousa, um da função
crescente e outro da função decrescente e fomos mostrando a eles que conforme o
valor da variável x aumentava o valor da variável y também aumentava, no caso da
função crescente; e conforme o valor da variável x aumentava o valor da variável y
diminuía para a função decrescente. Para eles dizer o “x” no lugar de “independente”
e o “y” no lugar de “dependente” melhorou a compreensão, uma vez que estavam
mais acostumados a essa representação.
Figura 11 – Explicação do quadro da atividade que indica o crescimento e decrescimento da função afim pela análise do gráfico. Fonte: a autora
Após a compreensão sob qual era a disposição dos gráficos, para cada
caso, pedimos que os discentes pegassem as folhas com os gráficos e marcassem
no quadro das funções qual função era crescente e decrescente observando o seu
gráfico. Eles preencheram o quadro sem dificuldade e durante o desenvolvimento
desse procedimento quando percorremos os grupos para verificar se estavam
conseguindo desenvolver, alguns alunos nos disseram que observaram uma
regularidade nos gráficos e nos explicaram falando e desenhando no papel:
“Professora, eu descobri uma maneira mais fácil de identificar, sempre que a reta tá
dispostas assim [ ] é crescente e sempre que a reta tá disposta assim [ ] é
decrescente”.
Na sequência pedimos para que eles obsevassem o valor do coeficiente a
que eles já haviam escrito na tabela, para cada função, e marcassem no quadro se o
mesmo era maior ou menor que zero. Eles foram marcando no quadro, uns
perguntaram se o sinal do número era mais/positivo ele era maior que zero e se o
sinal do número era menos/negativo ele era menor que zero, e acenamos com a
216
cabeça confirmando que sim. Um aluno perguntou: “Professora, e quando o a for
igual a zero onde devo marcar?” Como não trabalharemos a função constante na
atividade e ele tinha a necessidade de saber, respondemos que nesse quadro não
temos esse caso, pois na definição da função afim a condição é que o a seja
diferente de zero ( 0a ) do contrário teremos uma função constante que não é uma
função afim e o gráfico será uma reta paralela ao eixo x. Construímos na lousa um
gráfico exemplificando essa função. Os alunos continuaram desenvolvendo a
atividade enquanto escrevemos no quadro as seguintes perguntas que nortearam
suas considerações: Descubra como identificar se a função afim é crescente
observando seus coeficientes? Descubra como identificar se a função afim é
decrescente observando seus coeficientes? Como podemos determinar se a função
afim é crescente ou decrescente?
Quando os alunos terminaram de preencher o quadro lemos para eles as
perguntas que havíamos escrito na lousa e pedimos para eles responderem na folha
de atividades no espaço deixado para a observação e para a conclusão. A maioria
dos alunos não teve dificuldade em redigir o texto, alguns alunos ficaram em dúvida
de como escrever, então falamos para estes observarem as quatro últimas colunas:
0a , 0a , crescente e decrescente; e verificar o comportamento da função em
cada caso. Deixamos 5min para que os alunos pudessem redigir suas
considerações. Mostramos as respostas dos discentes no quadro a seguir.
Quadro 14 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade “Crescimento e decrescimento da função afim
(continua) GRUPO Descubra como
identificar se a função afim é crescente observando seus coeficientes?
Descubra como identificar se a função afim é decrescente observando seus coeficientes?
Como podemos determinar se a função afim é crescente ou decrescente?
G2 Quando o A for positivo (+) a função é crescente
Quando o A for negativo (-) a função é decrescente
Quem determina se a função vai ser crescente ou decrescente vai ser o A
G6 Quando é crescente o “a” é positivo e sua reta sobe.
Quando é decrescente o “a” é negativo e sua reta é para baixo.
Nós percebemos que para concluir o gráfico, é preciso do “a” da função afim.
217
Quadro 14 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade “Crescimento e decrescimento da função afim
(conclusão)
G9 Quando o sinal é positivo a função é crescente
Quando o sinal é negativo a função é decrescente
a crescente
a decrescente
G3 Quando a for maior que zero ele é crescente.
Quando a for menor que zero ele é decrescente.
Para ver se ele é crescente ou decrescente tem que observar o valor do (a)
G7 a positivo Crescente a negativo Decrescente
Para saber se uma função é crescente ou decrescente temos que observar o “a”
G12 A Função é crescente quando o A e positivo
Não informaram Não informaram
G11 A função e crescente quando o valor do a e maior do que o 0
A função e crescente quando o valor do a e menor do que o 0
Observando o A
G4 Crescente: quando a função é positivo
Decrescente: quando a função é negativa
Não informaram
G8 Pode perceber que o A e crescente quando e positivo
E quando a e decrescente e menor que zero
Não informaram
G1 A função e crescente quando o valor de (a) é positivo
E é decrescente quando o valor de (a) e negativo
O (a) sendo positivo ou negativo determina se a função afim e crescente ou decrescente
G10 Eu pude observar que quando o valor de a é positivo a função do gráfico é positiva.
E para o a negativo a função do gráfico é negativa.
Então, para nos descobrirmos se o gráfico é positivo ou negativo, devemos olhar para a função e mais atentamente para o sinal de a.
Fonte: Produção dos alunos
Essa foi a atividade que os alunos melhor descreveram suas observações
e conclusões, a maioria obteve bom êxito com exceção de poucos alunos com
dificuldade de expressar suas ideias, ora não especificando quem era positivo ou
negativo ora deixando em branco. Após essa etapa, realizamos a socialização das
conclusões dos discentes sobre a atividade, visando generalizar as observações dos
alunos e reescrevê-las de forma coerente com a matemática este procedimento teve
duração de 5min.
218
P: Observem as funções que vocês marcaram na coluna onde 0a , em
todos esses casos a função é crescente ou decrescente? T: Crescente A1: Professora, aqui no meu tens dois que tá decrescente. P: Então, você se enganou, repara se o a é positivo ou negativo e observa o gráfico dessas duas funções se ele tá crescente ou decrescente e ajeita aí. A1: Ah tá professora, agora deu certo. P: Então em todos esses casos ela é crescente. E, na coluna em que o
0a a função sempre é...?
T: ...Decrescente P: Então... Quando a função afim é crescente? T: Quando o a é positivo/maior que zero. P: Quando uma função afim é decrescente? T: Quando o a é negativo. P: Então, para determinar se a função afim é crescente ou decrescente quem é que devemos observar? T: o a professora
P: Muito bem, então é isso... podemos identificar se a função afim é crescente ou decrescente observando o seu gráfico como vimos inicialmente ou apenas observando a sua expressão algébrica, identificando o coeficiente a conforme vocês concluíram agora.
Na institucionalização associamos as ideias dos alunos à linguagem
específica da matemática, e ficou assim formulada:
Se 0a , a função ( )f x ax b é crescente.
Se 0a , a função ( )f x ax b é decrescente.
Encerramos a socialização das respostas dos alunos às 11h35min.
Depois escrevemos na lousa alguns exemplos de função afim e pedimos para eles
identificarem se eram crescente ou decrescente, as respostas foram unanimes, isto
é, todos conseguiram identificar o crescimento ou decrescimento da função
observando os seus coeficientes. Em seguida pedimos para eles lerem a questão
proposta, reescreverem a função da produção anual do açaí e dizerem se ela era
crescente ou decrescente. Depois pedimos para eles resolverem as questões
complementares. Quando eles terminaram de resolver pedimos para que
entregassem as atividades e fizemos a socialização oral das respostas dos
discentes.
P: Na primeira questão, qual é a condição para que a função seja crescente? T: O a tem que ser maior que zero. P: E, qual é a condição para que a função seja decrescente? T: O a tem que ser menor que zero.
219
P: Então, qual a resposta correta? T: letra e P: Na segunda questão, a função da letra a, é crescente ou decrescente. T: crescente P: a letra b? T: decrescente P: a letra c? T: crescente P: a letra d? T: decrescente
A terceira questão, muitos deixaram em branco. Como alguns dos alunos
presentes não estavam em aulas anteriores e até mesmo alunos de dependência
que não participavam antes já estavam engajados no processo, decidimos explicar
no quadro como podemos resolver a terceira questão, explicando que temos que
encontrar a expressão algébrica da função cujo gráfico passa pelos pontos dados e
em seguida dizer se a função era crescente ou decrescente. Após resolvermos,
deixamos um exemplo similar no quadro para que os alunos copiassem e tentassem
resolver em casa.
Ao final da atividade pedimos para que os discentes escrevessem nas
fichas de avaliação suas opiniões sobre as aulas de construção gráfica, os alunos já
estavam com fome e pediram para sair, alguns preencheram rapidamente a ficha e
depois saíram, finalizamos o encontro às 12h.
Quadro 15 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Construindo gráficos da função afim
(continua)
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
2
1
3
1
220
Quadro 15 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Construindo gráficos da função afim
(conclusão)
1
1
3
4
8
2
Fonte: Ficha de avaliação
3.2.8 Oitava sessão
A oitava sessão foi realizada no dia 14/05/2013 (terça-feira) e teve inicio
às 10h30min distribuímos as folhas da atividade “O zero da função afim” e lemos
juntamente com os alunos o título, o objetivo da atividade e a questão proposta,
explicamos que desenvolveremos alguns procedimentos para posteriormente
resolver a questão proposta e as questões complementares.
Pedimos para os alunos pegarem a folha com os gráficos e observando-
os completassem o quadro com os valores das abscissas e das ordenadas do ponto
em que o gráfico corta o eixo x. Eles preencheram as coordenadas corretamente e
observaram imediatamente que a ordenada era sempre zero nos casos dados.
Pedimos para que eles escrevessem suas observações e conclusões, e
eles registraram conforme o quadro a seguir.
221
Quadro 16 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade descobrindo a minha regra
GRUPO OBSERVAÇÕES CONCLUSÕES
G2 “o valor da ordenada é sempre ZERO” “É que o valor da ordenada é sempre zero quando a reta corta a abscissa”
G6 “Observamos que o 0 se repete no valor da ordenada”
“Concluímos que no gráfico há o valor da abscissa e da ordenada, e sempre há um valor”
G8 Não informaram Não informaram
G1 “O valor da ordenada é 0” Não informaram
G12 “O valor da ordenada é 0” “Toda vez que a reta corta o eixo x o valor de y é 0.”
G5 “Quando x dá um valor e quando y da sempre igual a zero”
Não informaram
G3 “O valor da ordenada é sempre zero” Não informaram
G10 “É que nesse caso o valor de y vai ser sempre 0 por causa que a reta corta o x.”
Não informaram
G9 Não informaram Não informaram
G7 “O valor de x que muda e o valor da ordenada é sempre zero”
Não informaram
G11 “Que o valor da ordenada é sempre zero”
Não informaram
G4 “O valor da ordenada é zero” “Para achar o zero da função basta achar o valor de x”
Fonte: produção escrita dos alunos
Após as considerações dos discentes realizamos a institucionalização do
saber, perguntamos aos discentes o que eles haviam observado, e a turma
respondeu que “os valores de x estavam mudando mais os valores das ordenadas
era sempre zero na tabela”. Confiramos com eles que o ponto em que o gráfico corta
o eixo x tem ordenada zero. Então perguntamos qual era o objetivo da questão e
eles responderam “identificar o zero da função afim”. Dissemos que o zero ou raiz da
função afim era o valor de x quando f(x) for igual a zero. Escrevemos isso na lousa e
pedimos para que eles escrevessem no caderno. Depois mostramos um exemplo na
lousa evidenciado que quando a questão pedir que encontrem o zero ou raiz da
função, basta igualar o f(x) a zero, obtendo assim uma equação de 1º grau, e em
seguida encontrarem o valor de x.
222
As 11h05min pedimos que resolvessem a questão proposta. Perguntamos
se eles se lembravam qual era a função que representava a produção anual de açaí,
e alguns alunos responderam qual era a função, então a escrevemos no quadro. Em
seguida perguntamos se eles haviam entendido a questão e o que estava sendo
pedido, os discentes responderam “o ano de inicio da produção”, perguntamos como
poderiam encontrar esse valor e um aluno respondeu que poderia igualar o f(x) a
zero. Então pedimos para que os alunos encontrassem qual seria o valor de x, isto é
do ano quando a produção fosse igual a zero.
Em seguida pedimos para que resolvessem as questões complementares.
E, os alunos a fizeram sem dificuldades no que consiste na substituição do y por
zero, alguns tinham dificuldades apenas no cálculo da equação, com o jogo de sinal,
mais essas dificuldades foram sanadas quando os grupos nos chamavam para
ajudá-los e íamos perguntando a eles até que lembrassem da regra de sinais, ou da
mudança de membro.
Quando eles terminaram de resolver pedimos para que fossem a lousa
socializar suas resoluções e em seguida eles entregaram a folha de atividades.
Discutimos oralmente as soluções explicitadas por eles destacando os casos em que
o resultado final estava diferente e levando-os a identificar os erros.
Após isso distribuímos as fichas de avaliação da aula e pedimos para que
os alunos preenchessem, eles foram entregando e saindo. Finalizamos a atividade
às 12h.
Quadro 17 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Zero da
função afim (continua)
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
1
2
2
223
Quadro 17 - Registro das opiniões dos alunos sobre as aulas da atividade Zero da função afim
(conclusão)
3
7
1
1
1
5
Fonte: Ficha de avaliação
3.2.9 Nona sessão
A nona sessão foi realizada no dia 15/05/2013 e teve inicio às 9h45min.
Como só teremos uma aula para encerrar função afim, pois na próxima semana os
alunos entrarão em período de prova optamos por selecionar três questões (questão
2, 6 e 7) da Atividade 5 sobre resolução de problemas envolvendo função afim, para
os alunos desenvolverem. Pedimos para eles lerem a questão e tentassem resolvê-
la percorríamos os grupos esclarecendo suas dúvidas e tecendo perguntas a fim de
conduzi-los a identificar as variáveis, interpretar o problema e descrevê-lo para
chegar a uma solução.
No momento da socialização, aproveitamos para relembrar o assunto
trabalhado buscando destacar outros elementos do conteúdo mesmo que não
estivesse sendo pedido na questão. Por exemplo, na questão 2, onde era pedido
para encontrar a expressão algébrica que representasse o total pago pelo paciente
em função do número de dias que ele passou na clínica, pedimos também para
identificarem se a função era crescente ou decrescente, e calculassem o zero da
função.
A avaliação da aula foi realizada oralmente. Os alunos afirmaram ter uma
dificuldade inicial em interpretar o problema, mas que com a explicação deu pra
224
entender melhor o que estava sendo pedido; outros disseram que sentiam mais
dificuldade em encontrar a função quando era dado dois pontos, pois era difícil
resolver um sistema mas que iriam treinar em casa para a prova. Encerramos às
10h30min.
Apesar de nossas constantes tentativas em encontrar a expressão
álgebrica da função afim a partir de dois pontos, o fato de alguns alunos não terem
aprendido a resolver um sistema de 1º grau inviabilizou o processo. Na forma inicial
(da primeira atividade) de encontrar qual seria a função a partir de um conjunto de
pontos disposto em uma tabela pareceu mais fácil aos discentes, contudo nem
sempre isso era possível, pois em questões de aplicação, que envolvem
coordenadas com valores maiores ou até mesmo fracionários, essa percepção era
inviável, sendo mais indicada a resolução de sistemas nesses casos. Por isso,
buscamos as duas abordagens. Infelizmente o escasso tempo de aulas de
matemática, não nos permitiu exercitar mais situações como esta para que os
discentes com dificuldade conseguissem se adaptar. Em virtude disso esperamos
um baixo rendimento na questão do pós-teste que envolve essa situação.
3.2.10 Décima sessão
A décima sessão ocorreu no dia 29/05/2013 (quarta-feira) das 8h30 às
10h, onde foi aplicado o pós-teste da função afim. Conforme o combinado o pós-
teste contou como a prova de 1ª (primeira) avaliação da turma e todos os alunos
presentes puderam fazê-la independente de terem respondido a nosso questionário
inicial, critério usado para selecionar os alunos que seriam avaliados em nossa
pesquisa.
Organizamos as carteiras em fileiras e pedimos aos discentes que
guardassem todo o material deixando em cima da carteira apenas lápis, borracha,
caneta e uma folha para borrão.
Distribuímos a folha do pós-teste e dissemos aos alunos que nos
chamassem caso tivessem alguma dúvida. Alguns alunos perguntaram sobre o
comando das questões e instruímos a resolver conforme o que se pedia. Em
seguida passamos a lista de frequência para que os alunos fossem assinando. As
9h10 minutos o primeiro aluno entregou o teste, após 10min mais duas alunas
225
entregaram, os demais alunos ainda tentavam resolver as questões após as
9h40min os alunos foram entregando o teste, ficando apenas 9 alunos até o final da
prova. Quando bateu a campainha os alunos foram entregando os testes e duas
alunas ainda persistiram em resolver enquanto os outros entregavam, dissemos que
elas não precisavam terminar de passar a limpo, mas que nos entregassem o borrão
e o anexamos a prova.
3.2.11 Décima primeira sessão
Após a semana de prova que encerrou dia 29/05/2013, não houve aula
nos dia 4 e 5/06/2013, pois foi reunião escolar. A décima primeira sessão ocorreu no
dia 11/06/2013 (terça-feira), quando iniciamos a atividade sobre função quadrática
denominada: descobrindo a expressão algébrica. O encontro iniciou às 10h30min,
dissemos que iniciaremos um novo conteúdo e pedimos para que os alunos
formassem os grupos e distribuímos o texto “Arquitetura do ver-o-peso” e as folhas
de atividade. Pedimos para que eles lessem o texto em seguida comentamos sobre
o processo de revitalização da feira e destacamos a estrutura das barracas formadas
por módulos 8mX8m que se consideramos de forma planificada o tecido teria a
forma de um quadrado conforme ilustramos no texto.
Em seguida pedimos que os alunos lessem o título e o objetivo da
atividade e desenvolvessem os procedimentos da mesma. Alguns alunos disseram
que já haviam feito essa atividade e dissemos que era bem parecida com a primeira
atividade da função afim, mas agora se tratava de outro tipo de função e os dados
das tabelas da atividade também eram diferentes.
Alguns alunos foram observando logo as últimas tabelas ou as do meio e
não conseguiram obter resposta, pedimos para eles iniciarem com a primeira tabela
e observar como o valor do y alterava conforme aumentava os valores de x, a
maioria dos alunos conseguiu concluir que se multiplissem o valor do x por ele
mesmo o resultado era o valor de y, então perguntamos como podemos escrever
esse número na forma de potência e eles foram mostrando na atividade.
Em seguida perguntamos aos alunos quando esse valor fosse x e não um
número como até então eles haviam observado como ficará o valor de y, eles
escreveram “x2” conforme esperamos. Então pedimos para que eles fizessem a
226
tabela ao lado enquanto percorremos os grupos de acordo com as dúvidas, e eles
perceberam que agora o número/valor de x elevado ao quadrado não estava dando
a resposta então pedimos para que observassem a primeira linha da segunda tabela
e perguntamos o que faltava para dar o respectivo valor de y e os grupos
responderam: “um”. E na próxima linha? Também. E na próxima? Também... E
quando for x, como fica? Então, eles fizeram a expressão correspondente e
solicitamos que fizessem a tabela abaixo que era bem parecida.
Na tabela cuja expressão era “2y x x ” alguns grupos nos perguntaram
como ficaria, pois não estava dando sempre o mesmo número pra ser adicionado ao
x2 como nas outras. Então perguntamos:
P (professora pesquisadora): o valor do x é sempre ele mesmo ao quadrado mais quem? G (grupo): Ele mesmo. P: Então como fica a expressão?
G:2x x
Outros grupos conseguiram compreender essa relação sem que fosse
preciso auxiliá-los. Alguns alunos tiveram um pouco de dificuldade com as duas
últimas tabelas na obtenção das expressões 2 1x x e 2 2x x , tentamos auxiliá-
los de forma similar, pedimos para observarem o que já haviam realizado. Outros
alunos conseguiram associar os valores a expressão sem nos pedir ajuda. Três
grupos não nos chamaram em nenhum momento para que os ajudássemos na
atividade e conseguiram perceber as particularidades de cada tabela sem qualquer
intervenção nossa. Percebemos que os alunos já estavam mais autônomos no
desenvolvimento das atividades, bem diferente do início quando esperavam que
déssemos as respostas ou que fornecêssemos todas as informações já prontas
como nas aulas tradicionais. Notamos que eles já estavam mais habituados a este
processo de aprendizagem e se sentiam instigados a encontrarem as respostas por
conta própria nos solicitando apenas quando não conseguiam progredir por alguma
dúvida.
As 11h15min os alunos já haviam encerrado os procedimentos da
atividade e pedimos para que eles registrassem suas observações e conclusões.
Notamos que eles assimilaram bem o que estava ocorrendo com valores da tabela e
227
também expressaram mais claramente, na observação e conclusão, uma ideia que
se aproxime da definição de função quadrática. Como mostra o quadro a seguir.
Quadro 18 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade descobrindo a minha regra
GRUPO OBSERVAÇÕES CONCLUSÕES
G10 É que está havendo uma mudança em relação aos valores de x e y como:
2y x , 2 1y x ,
2y x x , 2 2y x ,
2 1y x x e 2 2y x x .
Não informaram
G7 Não informaram Não informaram
G8 Sempre dá uma equação do segundo grau.
Não informaram
G3 Observamos que para descobrir a expressão algébrica precisamos de um fator elevado ao quadrado e outros fatores formando uma expressão
2y ax bx c
G2 Que todas as expressões sempre vão
iniciar com o 2x
A expressão da função é 2ax bx c .
G6 Observamos que sempre irá dar uma equação do 2º grau
2ax bx c
G11 Não informaram Não informaram
G1 São variados tipos de expressões algumas podem ter 3 fatores, algumas podem ter 2 fatores e algumas podem ter 1 fator.
2y ax bx c
G5 É que todas as funções são feitas por quadrado
Não informaram
G12 Tá ocorrendo uma mudança dos valores x e y.
O x sempre será elevado ao quadrado.
Fonte: Produção escrita dos alunos
Após esse registro indagamos os discentes acerca de suas observações,
retomando as expressões por eles descobertas e associando-as a representações
algébricas da função dita quadrática, a partir de então definimos a função quadrática
e escrevemos no quadro essa definição seguida de outros exemplos de função
envolvendo coeficientes fracionários, e ressaltamos que os fatores ditos por alguns
eram os coeficientes e o x a incógnita, e ainda falamos sobre as funções
incompletas que eles haviam encontrado na atividade do tipo: 2( )f x ax ,
228
2( )f x ax bx e 2( )f x ax c . Em seguida pedimos para que os alunos anotassem
em seu caderno. Esse processo durou 10min.
Em seguida solicitamos que os alunos observassem a questão proposta e
a resolvessem. Inicialmente pedimos para identificarem o que estava sendo pedido e
os alunos logo responderam que seria para identificar a função que representava a
área do tecido. Os alunos conseguiram observar analisando a figura que se tratava
da área do quadrado, mas muitos não se lembravam de questões básicas da
geometria plana como, por exemplo, o cálculo de área. Então perguntamos se
alguém se lembrava de como podemos calcular a área de um quadrado e duas
alunas responderam que era “lado vezes lado”, então os alunos lembraram como
fazer, e pedimos para que eles escrevessem na forma de potência, assim os mesmo
identificaram a situação.
Somente um grupo nos chamou alegando não haver entendido e nos
dirigimos aos mesmos para explicar. Após os alunos terem identificado qual a
expressão dentre as tabelas dos procedimentos realizados anteriormente
correspondia a área do tecido de um módulo da tenda, que demos continuidade
solicitando que resolvessem as questões complementares, haja vista que seria
essencial que dominassem os conceitos de área da geometria plana para que
obtivessem êxito nas demais questões.
Pedimos para os discentes resolverem a primeira questão complementar.
Os grupos foram se empenhando em fazê-la. Tentando associar a questão anterior
mais sentiram dificuldades. Então, percorremos de grupo em grupo fazendo
indagações para que eles chegassem a algum caminho. E, de acordo com Polya
(2006) procuramos conduzi-los a caminhos para a resolução do problema.
Primeiramente solicitamos que lessem atentamente a questão, após isso
identificassem que figura geométrica estava em destaque e que a desenhassem no
papel para melhor visualização. Então os alunos desenharam um retângulo.
Perguntamos quais eram as medidas desse retângulo e os alunos as informaram.
Alguns foram logo escrevendo 30 cm em um lado e 20 cm em outro do retângulo. E,
lembramos que o retângulo possuía duas dimensões o comprimento e a largura e se
fosse para calcular a área do mesmo bastava multiplicarmos essas dimensões.
Perguntamos também, qual eram os outros dados na questão. Eles responderam
que tinha também o quadrado nos cantos. Então eles desenharam o quadro nos
229
quatro cantos como dizia a questão. Um grupo desenhou apenas um quadrado,
então pedimos para que ele lesse novamente e observasse quantos cantos tinha,
então eles corrigiram o desenho. Assim o problema se tornou mais visível.
Indagamos os discentes sobre qual eram os dados do problema? Eles
responderam: “área, largura, comprimento”. Em seguida perguntamos qual era a
incógnita? Isto é, o que eles tinham que encontrar? Os alunos responderam: “a área
da parte que sobrou”. E reinteramos, como nos podemos fazer isto? A maioria dos
grupos observou que se calculassem a área do retângulo maior e as subtraíssem da
área dos quatro quadrados menores obteriam essa resposta. Dois grupos não
conseguiram ter este raciocínio então solicitamos que eles calculassem a área do
retângulo e dos quadrados separadamente e em seguida perguntamos se eles
retirassem a área do quando como eles poderiam representar a área que sobrou,
então eles observaram que precisariam subtrair essas informações.
Um grupo que não pediu o nosso auxílio fez o procedimento do cálculo
corretamente, mas esqueceu de acrescentar a área dos quatro quadrados na
expressão escrevendo como se tivesse retirado apenas 1 canto do retângulo, e.x.:
2600A x .
Em seguida pedimos para que os discentes resolvessem a terceira
questão que era similar a primeira e já tinha o a figura correspondente o que
facilitava o reconhecimento do problema para os alunos. Nessa questão os alunos
identificaram mais facilmente o problema e como resolve-la. Alguns grupos foram
logo fazendo a questão. Outros nos chamaram para ter certeza do que estavam
fazendo. Perguntamos para cada grupo o que teriam que fazer para encontrar a
área da parte pintada de cinza. Eles responderam que agora teriam que tirar apenas
um dos cantos. Eles resolveram a questão sem qualquer interferência nossa. Como
alguns grupos já haviam terminada a questão três foram logo tentando resolver as
outras questões, e percorremos a sala auxíliando os grupos que nos solicitavam
informações, a quarta questão foi um pouco mais complicada pois alguns alunos
tendiam a calcular o perímetro total da figura, não observando que um dos lados não
precisava ser cercado, quando esclarecemos esta informação ficou mais fácil a
resolução.
Os grupos foram acabando de resolver e pedimos para que esperassem
para discutirmos o que tinham feito. Quando o último grupo terminou abrimos espaço
230
para socialização das respostas. Quatro grupos se ofereceram para ir ao quadro.
Então pedimos para que eles escrevessem no quadro as duas questões que haviam
resolvido. Após isso pedimos para que os alunos entregassem as folhas de atividade
e passamos a fazer a correção das respostas.
Perguntamos aos alunos o procedimento da resolução e ao final
apontamos as soluções corretas. Foi nesse momento que percebemos o equívoco
do grupo que retirou apenas um quadrado na questão 1. Então, com a ajuda dos
demais alunos todos observaram que deveriam considerar os quatro cantos. Na
questão três os alunos também explicaram como foram fazendo, durante a
discussão alguns se orgulhavam de terem acertado, outros ficavam calados quando
perceberam que suas respostas não estavam corretas. Salientamos que o objetivo
da socialização era para que todos pudessem esclarecer suas dúvidas para que não
saíssem da sala com a ideia errada sobre a questão, promovendo dessa forma mais
uma chance para aprendizagem, ou até ratificar as respostas dos grupos que
obtiveram êxito.
Para finalizar a sessão pedimos para que os alunos falassem o que
acharam da aula do dia. Os alunos foram breves nas palavras, pois estavam com
fome. Eles disseram que haviam gostado, pois interagiram bastante; que haviam
relembrado assuntos que tinham esquecido, como o cálculo de área do quadrado e
do retângulo; e que gostaram da condução da aula, pois a professora os ajudava a
pensarem a questão quando tinham dificuldade sem lhes dá a resposta. Encerramos
a aula as 12h15min.
3.2.12 Décima segunda sessão
No dia 12/06/2013 (quarta-feira) não podemos dar continuidade, pois
houve uma palestra na escola com as turmas do 1º ano. Como houve diversas
situações dentre reuniões, palestras e paralisações que ocorreram justamente nos
dias de nossas aulas de matemática pedimos a coordenadora pedagógica que nos
cedesse uma sala para efetuarmos as atividades nos sábados seguintes do mês de
junho, assim combinamos com os alunos aulas aos sábados a partir das 8h30min
para darmos continuidade as nossas atividades além dos dias de aula que
ocorreriam normalmente durante a semana.
231
Assim, a décima segunda sessão (atividades 2 e 3 da função quadrática)
foi realizada no dia 15/06/2013 (sábado). Neste dia chegamos na escola as 8h para
que pudéssemos organizar a sala de aula e o material de aula, pois aos sábados a
escola não funcionava como dia letivo, estando presentes apenas o porteiro, a
professora pesquisadora, a professora efetiva e a turma do primeiro ano da manhã.
Deixamos com o porteiro a listagem com o nome dos alunos do primeiro
ano do ensino médio do turno da manhã e pedimos que controlasse a entrada dos
mesmos, os alunos também tiveram que participar das aulas de sábado
uniformizados seguindo as exigências da direção da escola.
Iniciamos a décima segunda sessão as 8h30min. Pedimos para um aluno
ler o título e o objetivo da atividade 2 “Construindo gráficos da função quadrática” e
em seguida os alunos desenvolveram os procedimentos da atividade. Os alunos
tiveram que encontrar o valor de y substituindo o valor de x dado, e em seguida
destacar os pontos no plano cartesiano da folha de atividade construindo a parábola
para cada função dada. Um grupo calculou errado o valor de x e construiu um dos
gráficos no formato de reta, mas os outros gráficos conseguiu formar a parábola,
quando perceberam a diferença nos questionaram se o que estavam fazendo era
correto e pedimos para que eles observassem o que havia de errado em seus
cálculos.
Observamos também que a maioria havia melhorando com relação ao
cálculo, vez ou outra tinham dificuldade com o jogo de sinais, mas já estavam bem
mais habilidosos. Após os alunos terminarem de construir os gráficos pedimos para
que eles registrassem na conclusão qual era o formato do gráfico que haviam
construído.
Quadro 19 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade construindo gráficos da função quadrática
GRUPOS CONCLUSÕES
G10 Essa figura é uma curva
G2 Concluímos que a figura formada é uma parábola
G6 Ligando os pontos forma uma parábola
G11 É uma curva uma parábola
G9 Isso é uma curva
G1 É uma parábola Fonte: Produção escrita dos alunos
232
Após os discentes escreverem suas conclusões, dentre as curvas e
parábolas descritas pelos alunos, formalizamos suas informações da seguinte forma:
O gráfico da função quadrática (2( )f x ax bx c , com x e 0a ) é
representado no plano cartesiano por uma curva aberta chamada parábola.
Em seguida pedimos para que registrassem em seu caderno. Na
sequência perguntamos aos alunos se eles lembravam da função que representava
a área do tecido da tenda e eles responderam que era x2. Então pedimos para eles
identificarem qual dos gráficos que eles construíram era a representação geométrica
dessa função, respondendo assim a questão proposta.
Solicitamos que eles resolvessem a segunda questão complementar.
Lembramos que esta atividade era similar a questão em que eles tiveram que
encontrar a função afim substituindo seus pontos na função genérica, só que agora
eram necessários três pontos para encontrar a função quadrática que representava
o leito do rio. Alguns alunos lembraram e foram resolvendo, outros tivemos que
ajudá-los, pois ainda tinham dificuldade em resolver sistemas. Em nossa análise
identificamos alguns progressos na execução de procedimentos matemáticos de
séries anteriores que foram necessários para o desenvolvimento da atividade, mas
que inicialmente os alunos de forma geral apresentavam muita dificuldade.
Pedimos para que entregassem a atividade, um grupo se confundiu no
cálculo e um nem tentou fazer a questão 2. Após entregarem a atividade resolvemos
a questão no quadro explicando passo a passo, já que os alunos ficaram acanhados
em escrever suas respostas no quadro. Pedimos para que eles anotassem a solução
da questão no caderno deles e treinassem em casa, buscando outros exemplos.
Ao final da atividade dos gráficos liberamos duas alunas, uma aluna não
estava se sentindo bem e pediu para ir para casa e a outra do seu grupo foi
acompanhando. Nesse momento, chegaram mais três alunos que pegaram o final da
socialização da atividade dos gráficos e passaram a participar da atividade da
concavidade da parábola.
As 11h iniciamos a atividade 3 “Concavidade da parábola”. Lemos o título
e o objetivo da atividade e pedimos para os alunos preencherem o quadro dos
procedimentos observando os gráficos e as expressões algébricas de cada função
dada.
233
Figura 12 – Aluno preenchendo o quadro de procedimentos da atividade “Concavidade da parábola” Fonte: Produção escrita dos alunos
Após isso, pedimos para que observassem o quadro que eles haviam
preenchido e escrevessem na conclusão: O que estava acontecendo com a
parábola quando o a é positivo? E quando o a é negativo? Os registros foram:
Quadro 20 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade concavidade da parábola
GRUPOS O que acontece com a parábola quando a é positivo?
O que acontece com a parábola quando a é
negativo?
G10 É que quando o valor de a é positivo a posição da parábola côncava é para cima.
Quando o valor de a for negativo a posição côncava é para baixo.
G8 Quando o valor de a for maior a posição da parábola é côncava para cima.
Quando o valor de a for menor a posição da parábola é côncava para baixo.
G2 Concluímos que o valor de A influencia na concavidade, se positivo para cima se negativo para baixo.
___________________
G11 Quando o A for POSITIVO a concavidade está para cima
E ao contrário é para baixo
G1 O 0a a concavidade é para cima O 0a a concavidade é para baixo
G5 Quando for a positivo minha concavidade vai ser para cima
E quando for negativo vai ser pra baixo
G6 Quando a concavidade é para cima a é positivo
Quando a concavidade é para baixo a é negativo
Fonte: Produção escrita dos alunos
234
Como os discentes estavam “afoitos” discutindo entre eles suas
conclusões, socializamos as respostas assim que terminaram de escrevê-las na
folha de atividades. E, dissemos para que escrevessem em seus cadernos a
conclusão de nossas discussões que ficou da seguinte forma:
Se 0a a parábola é côncava para cima.
Se 0a a parábola é côncava para baixo.
Feito isso, solicitamos que os discentes observassem a imagem da
questão proposta e respondessem verbalmente só olhando a mesma, se a parábola
era côncava para cima ou para baixo. Após suas respostas pedimos para eles
resolverem a questão proposta e encontrarem a expressão algébrica que representa
a curva da tenda ilustrada. Os alunos identificaram os pontos na malha
quadriculada, alguns tiveram dificuldade de perceber os pontos e pedimos para
estes contarem os quadradinhos da malha quadriculada sobre a imagem como uma
unidade e destacassem os pontos. Em seguida encontrassem a expressão
semelhante ao que já haviam feito na atividade anterior.
No final da atividade pedimos aos alunos que se sentissem a vontade
para escreverem seus resultados no quadro. Desta vez, três alunos se dirigiram a
lousa para socializar suas respostas, enquanto isso recolhemos a atividade dos
demais e passamos a lista de frequência. Quando os três alunos que foram a lousa
acabaram de escrever a resolução das questões devolveram suas atividades e
passamos a discutir o que estes haviam escrito com todos os alunos. E, fizemos as
devidas correções quando necessário.
Após isso, distribuímos as fichas para que os alunos escrevessem suas
opiniões sobre a aula do dia. Finalizamos a sessão as 12h.
235
Quadro 21 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula das atividades “Construindo gráficos da função quadrática” e “Concavidade da parábola”
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
2
3
2
3
1
1
1
1
1
Fonte: Ficha de avaliação
3.2.13 Décima terceira sessão
A décima terceira sessão ocorreu no dia 18/06/2013 (terça-feira). Como
havia duas horas/aulas nesse dia nossa pretensão era realizar toda a atividade.
Contudo ocorreu uma queda de energia na escola após nosso primeiro horário, o
que impossibilitou de concluirmos a atividade. Os alunos executaram os
procedimentos da atividade “Zeros da função quadrática”, deixando as questões
propostas e as questões complementares para outra aula.
Iniciamos a atividade as 10h30mim, distribuímos as folhas de atividade e
as folhas de gráficos A (Apêndice D) e pedimos aos alunos para lerem o titulo e
objetivo da atividade. Em seguida os alunos preencheram a tabela dos
procedimentos, calculando o determinante, marcando os valores do delta e
escrevendo a quantidade de raízes para cada função observando seus respectivos
gráficos.
236
Auxiliamos os alunos a preencherem o quadro com os números das
raízes de cada função orientando que procurassem no gráfico, observando o quadro
do inicio da atividade que informava:
Os pontos que a parábola toca o eixo do x são denominados zeros (ou raízes) da
função quadrática 2( )f x a x bx c .
Alguns alunos perguntaram:
A(alunos): Professora, como escrevo no quadro quando a parábola não toca o eixo x? P (professora pesquisadora): quando a parábola não toca no eixo das abscissas, quantas zeros ou raízes tem a função? A: Nenhum, pois a raiz é quando toca. P: Então, você escreve zero.
Figura 13 – Alunos preenchendo o quadro de procedimentos da atividade “Zeros da função quadrática” Fonte: Produção escrita dos alunos
Acompanhamos os grupos atentamente a fim de que não errassem o
cálculo do delta o que poderia comprometer suas conclusões. Quando os discentes
terminaram de preencher o quadro, pedimos para eles observarem se havia e qual
seria a relação entre o determinante e o número de raízes de cada função e os
alunos descreveram conforme o quadro a seguir.
237
Quadro 22 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade zeros da função quadrática
GRUPO OBSERVAÇÕES CONCLUSÕES
G6 Não informaram Quando o é maior que 0 temos duas raízes, quando o é = 0 é 1 e quando é menor que 0 não tem raiz.
G9 O número de raízes varia conforme o .
Quando o é menor que 0 não tem raiz e quando ele é maior tem 2 raízes.
G1 Não informaram Quando o ( ) é igual a (0) a raiz é (1). Quando o ( ) é maior a raiz é (2). Quando for menor a raiz é (nenhuma).
G7 O número de raízes depende do delta
Quando delta é igual a zero existe uma raiz, quando o delta é maior que zero existe duas raízes, quando delta é menor que zero não existe nenhuma raiz.
G2 O delta altera os valores de raízes.
Quando o 0 temos 2 raízes, quando
0 temos 0 raízes e quando 0 temos 1 raiz.
G11 O número de raiz vai variando conforme o
Quando o é igual a zero só tem uma raiz, quando o é menor não tem raiz, quando o é maior tem 2 raiz
G4 O número de raiz depende do delta
Quando delta é igual a zero a uma raiz, quando é maior a duas e quando é menor não a nenhuma
G8 Não informaram Quando o delta é maior que zero tenho 2 raízes. Quando o delta é menor que zero tenho 1 raiz. Quando o delta é igual a zero tenho nenhuma raiz.
G3 Não informaram É que quando o for igual a (0) ele vai possuir somente uma raiz, quando o for maior que (0) ele vai possuir duas raízes e quando o for menor ele não vai possuir nenhuma raiz.
G5 Não informaram Quando deu = 0 o número de raiz foi 1, quando deu menor que 0 o número de raiz foi 0, e quando deu maior que zero o número de raiz deu 2.
G10 Não informaram É que quando o for igual a (0) ele vai possuir somente uma raiz, quando o for maior que zero ele vai possuir duas raízes e quando o for menor ele não vai possuir nenhuma raiz.
Fonte: Produção escrita dos alunos
238
No momento da socialização observamos que todos os grupos
conseguiram identificar a influência do delta no número de raízes ou zeros de uma
função quadrática, embora alguns escrevessem suas conclusões com ideias um
tanto confusas. Para evitar uma futura interpretação errônea de suas respostas
finalizamos a discussão considerando as informações obtidas e reescrevendo-as da
seguinte forma:
Podemos determinar o número de raízes ou zeros da função quadrática observando o valor do (delta).
Quando 0 temos duas raízes reais;
Quando 0 temos duas raízes reais iguais ou uma única raiz real;
Quando 0 não existe raízes reais.
Enquanto os alunos registravam a conclusão da atividade em seus
cadernos, houve uma queda de energia na escola, o que impossibilitou dar
continuidade a atividade. Então, pedimos para os discentes permanecerem sentados
e terminarem de escrever a conclusão no caderno, e assim que acabassem,
entregassem a atividade e a frequência. Após isso, dispensamos os alunos,
encerramos a aula as 11h20min.
3.2.14 Décima quarta sessão
A décima quarta sessão foi realizada no dia 19/06/2013 (quarta-feira).
Como na quarta só havia uma aula, optamos por realizar os procedimentos da
atividade “Encontrar os zeros da função usando a fórmula de Bhaskara”, deixado a
questão proposta e as questões complementares desta atividade e da atividade
anterior para a próxima sessão.
As 9h45min iniciamos a atividade. Distribuímos as folhas de atividade e as
folhas de gráficos, lemos o titulo, o objetivo e explicamos o primeiro quadro do
procedimento desta atividade, alegando ser possível calcular os zeros da função
quadrática desde que se conheça seus coeficientes. Pedimos para os discentes
calcularem os zeros de cada função dada no quadro das funções, com a fórmula de
Bhaskara presente no mesmo. Em seguida solicitamos que eles identificassem no
gráfico o valor das raízes e confirmassem se a resposta correspondia ao que haviam
calculado.
239
Quando todos os alunos concluíram a atividade. Pedimos que
entregassem o material e socializamos as respostas dos discentes verbalmente.
Pedimos também que escrevessem nas fichas suas opiniões sobre a atividade. E
após isso estavam dispensados. Finalizamos a aula às 10h30min.
Quadro 23 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade cálculo dos zeros da função quadrática.
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
10
1
1
1
1
1
2
1
Fonte: Produção escrita dos alunos
3.2.15 Décima quinta sessão
A décima quinta sessão ocorreu no dia 22/06/2013 (sábado). Iniciamos às
8h30min com a questão proposta e as questões complementares das atividades
“Zeros da função quadrática” e “Encontrar os zeros da função usando a fórmula de
Bhaskara”.
Como havia mais alunos do que no sábado anterior e a maioria não havia
encontrado a expressão da curva da tenda, além disso, julgamos que esta
informação não era fundamental para a questão haja vista que os alunos poderiam
descobrir o que estava sendo pedido na questão complementar apenas observando
a figura, fornecemos a expressão algébrica da função, e pedimos para os alunos
responderem as questões propostas da primeira e da segunda folha de atividade.
Em seguida pedimos para eles calcularem o delta e encontrarem as raízes usando
240
Bhaskara só pra confirmarem a resposta. Com o intuito de treiná-los na resolução de
questões de tal natureza. Escrevemos as fórmulas do delta e de Bhaskara na lousa.
Em seguida eles resolveram as questões complementares da atividade
“Zeros da função quadrática”. Depois passaram para as questões complementares
da atividade “Encontrar os zeros da função usando a fórmula de Bhaskara”. Os
alunos tiveram dúvidas em como resolver estas questões. Simulamos a situação no
quadro desenhando o prédio descrito na primeira questão complementar desta
atividade mostrando a variação decrescente da altura.
Figura 14 – Ilustração da questão complementar 1 Fonte: a autora
Então perguntamos qual seria a altura da bola no momento em que a
mesma atingisse o solo. Os alunos concluíram que seria zero. Informamos que se
substituirmos a altura por zero na função teremos uma equação do 2º grau e
poderemos encontrar suas raízes por Bhaskara. Então eles usaram as fórmulas que
estava na lousa para resolver a questão. A próxima questão como tinha um
raciocínio similar eles resolveram de imediato, sem ser necessário qualquer
intervenção. Pedimos para eles recorrem a seus livros didáticos e treinassem mais
essas questões em casa. Pois na próxima semana aplicaremos o pós-teste, e
teremos apenas mais uma aula antes do mesmo, pois entrariam em férias escolares.
Na sequência abrimos para a socialização dos resultados, alguns alunos
se ofereceram para escrever na lousa, enquanto esses compartilhavam suas
respostas recolhemos as atividades dos demais. Após os alunos que foram ao
quadro entregarem suas folhas de atividade, discutimos as respostas com a turma.
241
Figura 15 – Socialização dos resultados das questões complementares da atividade “Encontrar os zeros da função quadrática” Fonte: Produção dos alunos
As 10h iniciamos a atividade “Vértice da função quadrática, valor de
máximo e valor de mínimo”. Distribuímos as folhas de atividade e as folhas de
gráficos A, um aluno leu o título e o objetivo da atividade. Pedimos para eles
pegarem a folha com o quadro das funções, calculassem e preenchessem os
valores do vértice para cada função. Após isso, pedimos para eles lerem o quadro
explicativo. Identificamos o vértice como bico da parábola, que correspondia as
coordenadas do ponto xv e yv encontrados. E reinteramos que o valor de máximo
está localizado mais acima da parábola e o valor de mínimo mais abaixo.
Após isso, pedimos para eles pegarem as folhas de gráficos, identificarem
qual o ponto mais alto da parábola e o ponto mais baixo da parábola e marcarem no
quadro das funções. E por fim, observassem o quadro das funções e a concavidade
da parábola e respondessem qual a relação entre esses dados. As conclusões dos
discentes ficaram assim descritas:
Quadro 24 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade vértice da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo
(continua)
GRUPO OBSERVAÇÕES CONCLUSÕES
G1 Não informaram Quando o ponto estiver em cima é máximo e quando estiver em baixo é mínimo.
G10 Não informaram Quando a parábola é côncava para cima eu tenho o ponto de mínimo e quando a parábola é côncava para baixo eu tenho o ponto de máximo.
242
Quadro 24 – Considerações dos grupos sobre os procedimentos da atividade vértice da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo
(conclusão)
G5 A concavidade da parábola altera o ponto do vértice.
Quando a parábola é para baixo o ponto é o máximo. Quando a parábola é para cima o ponto é mínimo.
G2 Não informaram Concluímos que quando a parábola estiver côncava para cima é um ponto mínimo e quando para baixo um ponto máximo.
G6 Não informaram Quando a parábola é côncava para cima o ponto mínimo e quando é para baixo é ponto máximo.
G11 Não informaram Quando esta para cima ponto mínimo. Quando a parábola esta para baixo (ponto máximo).
G9 Não informaram Quando a parábola está côncava pra cima é ponto de mínimo, quando a parábola é côncava pra baixo é ponto máximo.
Fonte: Produção escrita dos alunos
Após discutirmos as considerações dos discentes a conclusão ficou
assim:
Quando a parábola é côncava para cima o ponto é de mínimo e quando a parábola é côncava para baixo o ponto é de máximo. E que o para calcularmos o x
do vértice e o y do vértice temos que 2
v
bx
a e
4vy
a
.
Na sequência pedimos aos alunos que resolvessem a questão proposta e
as questões complementares. Nas questões complementares 2 e 3 pedimos que os
alunos identificassem as variáveis, desse modo, foi possível perceber quem era o x
do vértice (quantidade de peixes; instante) e quem era o y do vértice (valor; altura),
quando os mesmos tinham dúvidas. O cálculo ficou acessível, pois eles tinham em
mãos as fórmulas precisando apenas entender a questão e substituir os dados para
encontrar o que estava sendo pedido.
Após a resolução alguns alunos se ofereceram para resolver na lousa. E
enquanto esses escreviam, recolhemos as atividades dos demais. Após isso,
discutimos os resultados, fizemos algumas correções, pois alguns alunos haviam
errado conta. Ressaltamos que os alunos gravassem as fórmulas para o teste. Logo
243
depois distribuímos as fichas para que fossem registradas as opiniões dos alunos
sobre a aula. Encerramos a sessão 12h.
Quadro 25 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade cálculo dos zeros da função quadrática
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
4
1
1
1
1
1
1
Fonte: Produção escrita dos alunos
3.2.16 Décima sexta sessão
A décima sexta sessão ocorreu dia 25/06/2013 (terça-feira). Como esta
seria a penúltima sessão com duração de 2 h/a, e na próxima teremos o pós-teste,
selecionamos algumas questões da última atividade “Problemas sobre função
quadrática”. A fim de que os alunos pudessem treinar mais questões de aplicação.
Conforme salientam os PCN, os PCNEM, o SAEB e o ENEM; bases de dados dentre
outras fontes, como vestibulares locais e livros, das quais utilizamos para construção
deste material.
A aula iniciou às 10h30min, distribuímos as folhas de atividade e papel A4
em branco para resolução das questões. Inicialmente um aluno leu o titulo da
atividade e o objetivo enquanto os demais acompanhavam com a folha de atividade.
Pedimos para os alunos lerem e tentarem resolver a primeira questão e
conforme fosse o desenvolvimento prosseguiremos as demais. Apesar dos
244
procedimentos desenvolvidos nas atividades até então já virem tratando de algumas
questões de aplicação, pelo fato destes alunos serem iniciantes nesse processo de
resolução, as dificuldades são mais presentes ou até mesmo o tempo gasto para ler,
compreender, representar e resolver o problema torna-se maior.
E ainda pelo fato de estar se propondo sempre questões diferenciadas,
pois abordamos diferentes tópicos do conteúdo de funções. Por isso, optamos por
trabalhar com bastante calma, dando tempo suficiente para que discente tomasse
suas conclusões e resolvesse por conta própria, sem nossa interferência, intervemos
somente quando necessário para esclarecer algo fundamental para dar continuidade
a resolução da questão procurando motivar o discente a resolvê-la. Desse modo, no
período de aula estipulado foram desenvolvidas as quatro primeiras questões,
incluindo o tempo de socialização dos resultados, a correção do problema e a
avaliação do aluno sobre a atividade.
Na primeira questão estava bem claro para os alunos a modelação do
problema, pois se tratava de um retângulo com o cálculo de área já mencionado no
texto, os discentes tiveram que pensar um pouco em como descrevê-lo
algebricamente. Instigamos isto, perguntando sobre as dimensões dadas e as
possíveis incógnitas, que a maioria dos alunos usou para representação a letra “x”
como um dos lados (comprimento) para poder em seguida expressar a largura. Após
esse entendimento a representação algébrica ficou mais acessível para os alunos.
Na segunda questão alguns alunos tenderam a calcular a área do terreno
considerando todo lado da cerca. Outros conseguiram compreender que deveriam
levar em consideração apenas os lados cercados. E pediram nosso auxilio nessa
representação. Pedimos para que eles verificassem o perímetro apenas dos lados
cercados e em seguida identificassem quais as variáveis em questão.
A terceira questão foi mais fácil para a maioria, pois aplicaram direto a
fórmula para cálculo do x e y do vértice, identificando assim o ponto de máximo.
Alguns alunos tiveram dificuldade, pois perderam a aula em que tratamos desse
assunto, então tentamos auxíliar esses alunos para que pudessem acompanhar.
A quarta questão foi a mais difícil para a maioria, poucos conseguiram
resolver a questão, bem como respondê-la e representá-la geometricamente, para
melhor compreensão do problema, alguns só marcaram a resposta, alguns fizeram o
cálculo do vértice e chegaram a conclusões parciais.
245
Quadro 26 - Registro das opiniões dos alunos sobre a aula da atividade problemas sobre função quadrática
AVALIAÇÕES Nº de Alunos
3
2
1
2
2
1
4
1
1
Fonte: Produção escrita dos alunos
Os alunos gostaram da aula, alegaram terem aprendido o conteúdo e
também assuntos novos. Após os alunos entregarem as fichas de avaliação da
aula, lembramos que na quarta-feira dia 26 realizaremos o pós-teste sobre função
quadrática que valeria como nota parcial para a segunda avaliação e encerraremos
as aulas de matemática do semestre, e os alunos retornarão em agosto as aulas
com a professora efetiva. Finalizamos esta sessão as 11h.
3.2.17 Décima sétima sessão
A décima sessão ocorreu no dia 26/06/2013 (quarta-feira), onde foi
aplicado o pós-teste da função quadrática. Combinamos com a professora que esse
pós-teste contará como nota parcial da segunda avaliação. Assim como no pós-teste
da função afim, todos os alunos presentes puderam fazê-lo, e receberam nota, mas
somente os alunos que responderam ao questionário e participaram mais ativamente
das atividades foram avaliados em nossa pesquisa.
246
Iniciamos as 8h30, organizamos as carteiras em fileiras e pedimos aos
discentes que guardassem todo o material deixando em cima da carteira apenas
lápis, borracha, caneta e uma folha para borrão.
Distribuímos a folha do pós-teste, lemos atentamente as questões
enquanto eles acompanhavam a leitura em silêncio e dissemos aos alunos que nos
chamassem caso tivessem alguma dúvida quanto ao comando. Em seguida
passamos a lista de frequência para que os alunos fossem assinando.
Com relação ao pós-teste de função afim os alunos resolveram as
questões em um tempo menor, acreditamos que isto se deve ao fato do conteúdo de
função quadrática ser um pouco mais extenso que o da função afim, e requerer mais
cálculos, ou mais pontos, p. ex., para construir o gráfico até formar uma parábola
bem visível.
Alguns alunos que esporadicamente frequentavam as aulas e não faziam
parte de nossa análise entregaram logo o teste alegando não saberem resolver.
Depois de um bom tempo alguns alunos foram entregando, mas com espaços de
tempo considerados. Muitos alunos ficaram até o final do teste tentando fazer as
questões. As 10h avisamos que o tempo para realização do teste havia terminado.
Os alunos foram entregando, alguns ainda persistiam, uns terminavam de passar a
limpo outros ainda resolviam, esperamos mais 5 minutos e pedimos para que esses
últimos que ficaram entregassem o teste. O teste finalizou as 10h05min.
247
4. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
Nesta seção nosso objetivo é apresentar a análise a posteriori e validação
da sequência didática aplicada, isto é, expor os resultados obtidos a partir do
confronto entre os dados coletados durante a experimentação e as concepções
advindas da análise apriori, evidenciando a validação da sequência didática por nós
elaborada e aplicada em sala de aula.
Salientamos que os dados aqui destacados são frutos das produções dos
alunos em sala de aula, das discussões ocorridas durante os encontros e dos
diagnósticos obtidos com os pré e pós-testes. Portanto, apresentaremos a análise a
posteriori por sessão de ensino consoante análise a priori. A sequência didática foi
desenvolvida em 17 (dezessete) sessões, devido a algumas situações ocorridas
durante o seu desenvolvimento, algumas dessas sessões sofreram pequenos
ajustes.
4.1 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 1
Na primeira sessão nosso objetivo era obter informações sobre a turma
referente ao perfil escolar e pessoal dos discentes (apresentados na seção 3.2.1) e,
também, verificar o desempenho dos alunos na resolução de questões de função
afim e quadrática, antes da aplicação da sequência didática. A essa verificação
denominamos de pré-teste.
Esperávamos que alguns alunos resolvessem algumas questões por
serem conteúdos que se iniciam no 9º ano do ensino fundamental, no entanto
poderiam ter dificuldades em resolver as questões contextualizadas, já que a
pesquisa realizada com alunos do 2º ano do ensino médio (seção 1.3) mostra que
esses alunos têm dificuldades em resolver tais questões.
No Quadro 27, apresentamos os resultados referentes ao número de
alunos que acertaram, erraram ou não fizeram cada questão do pré-teste. As
questões sobre função afim são representadas no quadro a seguir pela letra Q
seguida de sua numeração, as questões que estiverem com as letras minúsculas a,
b, c,... são referentes as alternativas de resposta conforme cada pergunta, as
questões denominadas Q1a são referentes a expressão algébrica representativa da
248
função e Q1b são referentes ao seus respectivos coeficientes, conforme pedido na
primeira questão.
Quadro 27 – Desempenho da turma obtido no pré-teste ALUNOS/
QUESTÕES ACERTOS ERROS NÃO FEZ
F.A F.R F.A F.R F.A F.R
FUNÇÃO AFIM
Q1a 11 36,7% 5 16,7% 14 46,7%
Q1b 0 0% 1 3,3% 29 96,7%
Q2 4 13,3% 13 43,3% 13 43,3
Q3a 1 3,3% 3 10% 26 86,7%
Q3b 7 23,3% 5 16,7% 18 60%
Q4a 1 3,3% 5 16,7% 24 80%
Q4b 1 3,3% 3 10% 26 86,7%
Q5 2 6,7% 3 10% 25 83,3%
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Q1a 11 36,7% 4 13,3% 15 50%
Q1b 0 0% 0 0% 30 100%
Q2 0 0% 3 10% 27 90%
Q3 0 0% 0 0% 30 100%
Q4a 0 0% 2 6,7% 28 93,3%
Q4b 0 0% 0 0% 30 100%
Q4c 0 0% 4 13,3% 26 86,7%
Q5a 0 0% 0 0% 30 100%
Q5b 0 0% 0 0% 30 100% Fonte: Pré-teste realizado com os alunos
A análise do quadro mostrou que no geral os alunos não sabiam
resolver as questões de função afim e de função quadrática, confirmando as
hipóteses que foram levantadas na análise a priori.
Em nossa análise foi possível observar que os alunos que tentaram
resolver as questões, possuíam algum conhecimento da definição da função afim e
quadrática, identificando corretamente a função em cada caso, no entanto, não
identificaram seus coeficientes.
No caso de situações de aplicação envolvendo a definição de função
afim e função quadrática, somente quatro alunos marcaram corretamente a questão
2, e ainda assim, não mostraram como chegaram a essa conclusão; e um aluno
resolveu corretamente a letra a da questão 3 sobre função afim. Com relação a
função quadrática dos três alunos que tentaram resolver a questão 2 que consistia
em encontrar a expressão algébrica a partir de três pontos dados, nenhum aluno
249
conseguiu resolver, e esses três alunos apenas escreveram um resultado sem
mostrar nenhum cálculo ou método de raciocínio da resolução. Na questão 3 da
função quadrática que envolvia cálculo de área, assunto possivelmente visto pelos
discentes em anterior, os alunos deixaram em branco.
Em se tratando de encontrar a imagem da função a partir da
substituição de um ponto dado, 7 alunos responderam corretamente a alternativa b
da terceira questão da função afim. Acreditamos que os mesmos observando a
questão fizeram o cálculo mental, obtendo o resultado, embora não souberam
expressar a função algebricamente para posteriormente mostrar o cálculo.
Com relação a construção gráfica da função afim dos 6 alunos que
tentaram resolver a questão 4 alternativa a, verificamos que apenas um aluno
conseguiu construir corretamente o gráfico, os demais tinham uma ideia de que se
tratava de uma reta no entanto expressaram os pontos no plano cartesiano de forma
incoerente.
Quanto ao crescimento e decrescimento da função afim os dados
apontam que dos quatro alunos que tentaram responder apenas um acertou a
questão 4 alternativa b. Quanto ao zero da função afim, apenas dois alunos
conseguiram resolver a questão 5 do pré-teste.
No caso da função quadrática, nas questões que trataram da
construção gráfica, do zero da função e da concavidade da parábola verificamos que
nenhum aluno conseguiu resolver corretamente. Dos quatro alunos que tentaram
esboçar o gráfico mobilizando seus conhecimentos sobre o plano cartesiano e a
representação geométrica da função quadrática, traçaram uma parábola côncava
para baixo, no entanto, as coordenadas utilizadas eram incorretas, observamos que
os discentes representavam o domínio no gráfico como sendo os coeficientes da
função dada.
Em relação ao valor de máximo e de mínimo da função quadrática
nenhum aluno se quer tentou resolver a questão do pré-teste. Outra constatação foi
a de que dentre os alunos que resolveram as questões existiam muitos que
demonstraram não ter domínio da tabuada, nem do jogo de sinal.
250
4.2 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 2
Na segunda sessão nosso objetivo era que os alunos pudessem interagir
em grupo, discutir o texto apresentado e reconhecer a relação existente entre o
conjunto de valores de x e y apresentados nas tabelas da atividade, construindo
expressões que a representassem; e manifestassem conclusões satisfatórias sobre
suas observações.
Iniciamos esta sessão procurando estabelecer um esquema de
comunicação que possibilitasse a inserção do aluno nesta diferenciada11 prática de
ensino, ou seja, um contrato pedagógico. E a partir das interações dos alunos com o
meio12, visando proporcionar a aquisição do conhecimento através de suas próprias
construções procuramos estabelecer um contrato didático. As “cláusulas” deste
contrato foram estabelecidas por nós e pelos alunos no decorrer do experimento, por
vezes evidenciadas em um enunciado que desse pistas sobre qual procedimento
utilizar na resolução de uma questão, ou mesmo quando implícitas possibilitaram a
participação ativa dos alunos na construção do saber matemático.
Observamos que os alunos não tiveram problemas para formar os grupos;
se organizaram muito bem para o desenvolvimento das atividades, permitindo que
todos tivessem oportunidade de desenvolvimento dividiam entre si a resolução das
questões e estabeleceram diálogos nos grupos que lhes permitiram responder as
questões propostas e complementares. De acordo com os PCN o trabalho coletivo
supõe uma série de aprendizagens, tais como:
- perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-las e chegar a um consenso; - saber explicar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do outro; - discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias ideias; - incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender (BRASIL, 2000).
11
Pois os discentes estavam acostumados a metodologia tradicional, conforme esclarecemos na seção 3 (Experimentação). 12
Esse meio consiste nas atividades estruturadas, no saber matemático em voga, no ambiente de sala de aula, e na relação entre colegas de classe e professora-pesquisadora.
251
O que ficou evidente no acompanhamento da turma, quando percorremos
a sala durante a resolução das atividades e observamos o desenvolvimento dos
grupos e a comunicação entre os alunos de cada grupo.
Quanto ao desenvolvimento da atividade desta sessão, constatamos que
a maioria dos grupos de alunos conseguiu encontrar a expressão algébrica de cada
tabela, alguns por terem dificuldades com jogo de sinais tiveram dúvidas e erram
algumas expressões cujo valor do coeficiente linear era negativo e poucos deixaram
algumas tabelas em branco.
Esta atividade, “Descubra minha regra”, foi a que mais ofereceu
dificuldades aos grupos para formular e redigir as suas observações e conclusões,
conforme prevemos nas análises a priori. Consideramos que o fato da maioria dos
alunos não estar habituado a metodologia aplicada e ainda a forte dependência que
muitos deles demonstraram ter do professor são fatores que contribuíram
consideravelmente à dificuldade em questão.
Conforme o previsto a maioria dos alunos conseguiu chegar à expressão
algébrica requerida e observar que havia uma relação entre as variáveis
dependentes e independentes estabelecidas por uma regra. Portanto podemos
considerar que quase todos os objetivos traçados para esta sessão foram
alcançados, a exceção foi à apresentação de conclusões satisfatórias, uma vez que
nenhum grupo conseguiu formular uma regra que generalizasse as situações
apresentadas.
4.3 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 3
Na sessão três nosso objetivo era os alunos desenvolvessem habilidades
na extração de dados de um contexto real (o sistema de produção do açaí) e na
construção da representação algébrica da função afim a partir de dados dispostos
em um texto.
No desenvolvimento da questão proposta os alunos seguiram
corretamente a orientação da questão e construíram a tabela com os valores do ano
e da produção de açaí, com a exceção de dois grupos que construíram a tabela com
os dados do ano relacionado ao preço por rasa, mas após nossa explicação sobre a
atividade que deveriam desenvolver eles refizeram a tabela com os dados corretos.
252
A maior dificuldade nessa atividade foi em encontrar a função escolhendo
dois de seus pontos, pois a maioria dos discentes não sabia resolver sistemas de 1º
grau. O momento da socialização da atividade pelos alunos que conseguiram
desenvolvê-la foi essencial para que os demais pudessem observar e compreender
onde estavam seus erros.
Avaliamos que os objetivos requeridos nessa sessão foram quase todos
atingidos, pois a compreensão e identificação dos dados matemáticos no texto pelos
alunos foram alcançadas, no entanto, a conclusão da questão que consistia na
expressão algébrica que representa a produção anual do açaí ficou comprometida
pela falta de base em conteúdos de anos de ensino anteriores. O que nos levou a
fazermos determinadas pausas durante a execução das atividades para relembrar
os assuntos necessários para os discentes prosseguirem na descoberta dos
conceitos e propriedades aos quais nos propomos ensinar.
4.4 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 4
Nosso objetivo nessa sessão de ensino era que os alunos
desenvolvessem suas habilidades na resolução de questões de aplicação
envolvendo a definição de função afim.
Observamos no pré-teste que esses alunos tinham pouca habilidade, não
coseguiram ou nem tentaram resolver questões de tal natureza. E quando
perguntamos aos alunos os mesmos afirmaram que normalmente os exercícios em
sala de aula eram sobre questões mais diretas e a professora efetiva disse que
dificilmente conseguia propor questões de aplicação, devido o escasso tempo das
aulas de matemática, apenas 3 h/a semanais.
Percebemos ainda a dependência que os alunos tinham do professor,
acostumado a metodologia tradicional em que lhes eram dadas as respostas.
Romper com esse costume não foi uma tarefa fácil. Os discentes constantemente
nos procuravam pedindo que déssemos a resposta da questão, buscamos envolver
os alunos na atividade questionando-os sobre os procedimentos que eles adotaram
para resolver cada questão e observando as diferentes possibilidades de solução
que os grupos davam.
Com relação a primeira questão, alguns grupos conseguiram resolver
relacionando essa questão a questão proposta na sessão anterior e como os valores
253
das variáveis dependentes e independentes estavam bem evidentes não tiveram
muita dificuldades quanto a isso, exceto pelo jogo de sinal e pelos valores serem
decimais o que foi sanado com o auxílio da calculadora. Mas, muitos grupos tinham
problemas em resolver sistemas o que dificultou darem continuidade na resolução
da questão. E acabaram marcando qualquer opção sem finalizar os resultados.
Figura 16 – Resolução da 1ª questão complementar Fonte: Produção dos alunos
Quanto a segunda questão a dúvida era com relação às variáveis, mas,
após o questionamentos que fizemos aos grupos que nos chamavam eles foram
estabelecendo a relação entre o número de quadrados e números de palitos, desse
modo, as respostas dos discentes foram conforme o quadro que segue.
Quadro 28 – Respostas das questões complementares 1 e 2 da atividade 1 de função afim, dada pelos grupos
Questão 1
a) y = 30x b) y = 25x + 20,2 c) y = 1,27x d) y = 0,7x e) y = 0,07x + 6 Não responderam
Nº de grupos 1 0 2 4 2 3
Percentual 8,3% 0% 16,7% 33,3% 16,7% 25%
Questão 2
a) C = 4Q b) C = 3Q+1 c)C = 4Q-1 d) C = Q+3 e) C=4Q-2 Não responderam
Nº de grupos 1 8 1 0 0 2
Percentual 8,3% 66,7% 8,3% 0% 0% 16,7%
Fonte: Pesquisa de Campo
No quadro 28, observamos que apenas 16,7% dos grupos conseguiram
resolver corretamente a questão 1 e 66,7% resolveram com êxito a questão 2. Ao
analisarmos as folhas de atividades percebemos que o grande déficit na primeira
questão se deu pelo fato dos discentes não saberem resolver sistemas de primeiro
grau, e que houve um melhor desempenho na questão 2 devido os grupos terem
realizado a relação dos dados de forma similar ao que fizeram nos procedimentos da
254
atividade “Descubra a expressão algébrica” da função afim (subseção 2.2.1.1).
Dentre os erros cometidos na segunda questão, observamos, por exemplo, que o
grupo G7 fez a contagem da quantidade de palitos errada obtendo uma tabela com
outros valores e consequentemente encontrando outra função gerando uma
resposta errada, mas com um raciocínio coerente na obtenção da função a partir da
tabela construída.
Resolução do G11 Resolução do G7
Figura 17 – Resolução da 2ª questão complementar Fonte: Produção dos alunos
Quanto a terceira questão a maioria dos grupos conseguiu expressar a
questão que representava a receita total, a figura 18 evidencia a analogia direta que
os alunos fizeram a representação da imagem como sendo a variável y apesar de já
terem representado por R anteriormente.
Figura 18 – Resolução da 3ª questão complementar Fonte: Produção dos alunos
Na questão 4, apenas 5 grupos conseguiram expressar corretamente, o
restante ficou oscilando entre as respostas indicadas como “errado” na figura 19.
CERTO ERRADO Figura 19 – Resolução da 4ª questão complementar Fonte: Produção dos alunos
255
Apesar das dificuldades manifestadas as produções dos alunos revelam
que a maioria deles apresentou considerável evolução na resolução de questões
contextualizadas, desse modo nosso objetivo para esta sessão foi alcançado. O que
fica evidente na própria avaliação das sessões de ensino realizadas pelos alunos
que afirmaram que a interação em sala de aula e a forma como foi conduzido o
saber matemático possibilitou maior compreensão e aceitação do mesmo.
4.5 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 5
Nesta sessão os objetivos eram que os alunos descobrissem a
representação do gráfico da função afim. A maioria dos discentes conseguiu
desenvolver bem a atividade, no entanto alguns alunos apresentaram dificuldades,
tais como: a substituição da variável x na expressão dada para encontrar sua
respectiva imagem, principalmente quando eram negativos os valores do coeficiente
linear, os discentes também tinham dificuldade com o jogo de sinal, por isso, tivemos
que relembrar esses conteúdos e também os alunos passaram a utilizar a
calculadora para agilizar o cálculo.
Quanto a construção do gráfico, alguns alunos não lembravam a
disposição do plano cartesiano apesar do mesmo estar desenhado no papel
quadriculado disposto na folha de atividade. O que fica evidente no gráfico
construído pelo grupo 3 em que se confundiram e trocaram os valores das
coordenas, conforme a figura abaixo:
Figura 20 – Gráfico traçado com os valores das coordenadas trocadas Fonte: Produção escrita dos alunos
Conforme elencamos na sessão 5, quando os alunos observaram que o
grupo ao lado tinham disposto os pontos em uma certa linearidade e o seus pontos
estavam dispersos no gráfico nos chamavam para que pudéssemos ajudá-los, e
nesse momento pedimos para que observassem com atenção, qual era o eixo do x e
256
qual era o eixo do y, e solicitamos que traçassem os pontos a partir dessa
perspectiva. Isso possibilitou que eles observassem seus erros e alterassem os
gráficos. E por fim ligassem os pontos encontrados.
As diversas construções que os discentes realizaram, bem como as
discussões entre os alunos de cada grupo durante o desenvolvimento da atividade
possibilitou que eles concluíssem que a reta era a figura que representava o gráfico
da função afim, com a exceção de poucos que a denominaram de seta ou linha, o
que foi bem esclarecido na socialização dos resultados. Com isso, consideramos
que todos os objetivos desta sessão foram alcançados e que os discentes
compreenderam bem as diferentes formas de representação de uma função, sejam
estas um modelo algébrico, geométrico, literal ou tabelar, expostos nos diferentes
procedimentos e/ou questões propostas nas atividades até então abordadas.
4.6 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 6
Nesta sessão o objetivo era que os alunos mobilizassem os
conhecimentos adquiridos nos procedimentos da atividade “Construindo gráfico da
função afim” e observassem os dados no texto da produção anual do açaí para
construírem o gráfico dessa função, e em seguida resolvessem outras questões de
aplicação relacionadas à gráficos da função afim para que pudessem desenvolver
tais situações.
Com relação a questão proposta, como os alunos já haviam construído na
atividade 1, os dados da produção de açaí e do ano em uma tabela, a maioria dos
discentes não teve dificuldade nessa etapa, alguns alunos não lembravam a
disposição dos pontos no plano cartesiano e esses precisaram do nosso auxílio para
darem continuidade no seu processo de construção, os demais observaram os
pontos destacados no texto e construíram a reta sem muita dificuldade. Verificamos
que a noção de reta ficou bem clara aos alunos como sendo a representação
geométrica da função afim.
Avaliamos que nesta etapa da questão proposta, a dificuldade dos
discentes não estava diretamente ligada à extração de dados do texto conforme
destacamos na análise a priori, já que estes dados ficaram bem claros tanto na
leitura em conjunto do texto realizada em sala quanto na produção que os alunos já
haviam realizado com esses valores na atividade para descobrir a regra, a maior
257
dificuldade dos discentes se deu quanto a base do conteúdo que precede este, a
noção de plano cartesiano, de domínio e imagem, que alguns discentes não tinham
e tivemos que trabalhar em sala para possibilitar a continuidade da atividade que
propomos.
Na questão complementar 1, julgamos que os alunos tivessem facilidade
em resolvê-la, conforme apresentamos na análise a priori, primeiro por ser
apresentada a função e as variáveis ficando a cargo do discente apenas atribuir
valores ao domínio e encontrar sua respectiva imagem; segundo por eles já haverem
treinado esse procedimento no inicio da atividade. No entanto, o convívio em sala de
aula evidenciou a dificuldade que esses alunos tinham com relação a base
matemática, tais como: dificuldades na substituição, cálculo com as operações
básicas e jogo de sinais. Dificuldades estas nas quais tivemos que dar uma atenção
maior já que nosso objetivo era que os alunos desenvolvessem o raciocínio no
aprendizado de funções. Com relação à representação gráfica do problema os
discentes não tiveram muita dificuldade, pois os procedimentos desenvolvidos
anteriormente deram suporte para pensarem a situação em questão, no entanto,
alguns alunos se confundiram no momento de dispor os pontos no gráfico trocando
o domínio pela imagem.
Na questão complementar 2, esperamos que os discentes tivessem um
pouco mais de dificuldade por se tratar de duas ações, primeiro achar a equação e
segundo a construção gráfica, outra dificuldade esperada era pelo fato dos dados
não serem números inteiros. O que de fato ocorreu por dois motivos, primeiro os
alunos sentiram dificuldade em interpretar o problema e estabelecer a relação
domínio e imagem, o que só foi contornado com nossa discussão com os grupos até
que eles compreendessem quem estava em função de quem e pudessem expressar
a função; segundo, no momento da construção gráfica como estavam trabalhando
com valores maiores, tivemos que direcioná-los a mudança da escala, a fim de que
usassem apenas os valores encontrados para representar o problema
geometricamente. Essa foi a atividade complementar mais trabalhosa das questões
da atividade 2, mas de grande importância, principalmente no momento de
socialização, pois permitiu que os discentes apreendessem o conteúdo, no que se
refere a olhar o problema e caracterizar os dados representativos da função, isto é,
258
compreender na prática o conceito de função como relação entre conjuntos, e o que
está em função do que.
Na questão três, os alunos identificaram a função como sendo uma reta,
alguns selecionaram a opção correta substituindo o ponto e identificando a imagem,
outros marcaram outras opções (incorretas), mas mantendo a ideia de reta. Na
análise a priori, acreditamos que os discentes acertarão a questão por se tratar da
análise dos dados relacionando ao gráfico considerando que o conhecimento
apreendido até então era suficiente. O que ocorreu em parte, pois os alunos
compreenderam bem a representação geométrica da função afim, no entanto, na
dúvida com relação ao domínio e imagem acabaram por tirar conclusões errôneas.
A quarta questão, que tratava da análise gráfica, foi a questão que os
alunos tiveram mais facilidade para respondê-la, eles a fizeram observando a
relação de dependência entre os valores e chegaram a conclusão apenas com o
cálculo mental.
O quadro a seguir mostra o percentual dos grupos de acerto, erros e os
que não fizeram as questões.
Quadro 29 – Respostas da questão proposta e questões complementares da atividade 2 de função afim, dada pelos grupos
CERTO ERRADO NÃO
FIZERAM
Questão proposta
Nº de grupos 11 0 1
Percentual (%) 91,7% 0% 8,3%
Questão 1 Nº de grupos 5 4 3
Percentual (%) 41,7% 33,3% 25%
Questão 2 Nº de grupos 4 6 2
Percentual (%) 33,3% 50% 16,7%
Questão 3 Nº de grupos 5 5 2
Percentual (%) 41,7% 41,7% 16,7%
Questão 4 Nº de grupos 8 3 1
Percentual (%) 66,7% 25% 8,3% Fonte: Pesquisa de Campo
4.7 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 7
Nesta sessão o objetivo era que os alunos conseguissem descobrir uma
relação entre os coeficientes da função afim com o comportamento do gráfico e seu
crescimento ou decrescimento.
259
Conforme elencamos na analise a priori, acreditamos que os alunos não
teriam dificuldades em executar os procedimentos da atividade, contudo poderão ter
dúvidas com relação as variáveis dependente e independente na observação do
gráfico, mesmo com o quadro explicativo, o que de fato ocorreu, então tivemos que
elucidar o quadro explicativo desenhando dois exemplos de funções (crescente e
decresceste) na lousa, mostrando graficamente quando os valores das abscissas
aumentavam os valores das ordenadas também aumentavam, assim teremos uma
função crescente, e quando os valores das abscissas aumentavam e os valores das
ordenadas diminuíam a função era decrescente. Essa explicação possibilitou a
compreensão dos alunos de quando a função era crescente ou decrescente a partir
da visualização do gráfico. O que era fundamental para dar continuidade a atividade
que requeria que eles identificassem o crescimento ou decrescimento a partir da
análise dos coeficientes da função. Então os alunos progrediram no preenchimento
do quadro de procedimentos.
Outra dificuldade que poucos alunos tiveram, foi com relação a
identificação dos coeficientes, pois trocaram o valor de a pelo valor de b, devido a
ordem que dispusemos a função, então reforçamos a ideia de que o coeficiente a
estaria acompanhado da variável x e o b não. Isto ajudou esses os alunos a
corrigirem seus erros e chegaram a conclusão da atividade de forma coerente.
Quanto a questão proposta, os alunos não tiveram dificuldade em
identificar se a função da produção anual do açaí era crescente ou decrescente, pois
haviam internalizado bem suas conclusões sobre a atividade e conseguiam
identificar facilmente se a função afim era crescente ou decrescente observando seu
coeficiente a.
Com relação às questões complementares, os discentes também não
tiveram dificuldades em resolver a primeira e a segunda questão. Mas, a terceira foi
mais difícil, pois os alunos ainda tinham dificuldades em resolver sistemas de 1º grau
e como a maioria dos grupos não fez esta questão deixamos a explicação da mesma
para o momento de socialização e demos outros exemplos para que eles pudessem
treinar e evoluir nesse caso.
Essa foi umas das situações em que observamos o quanto o problema da
falta de base matemática pode inviabilizar o desenvolvimento do aprendizado do
aluno em outros conteúdos que requerem do conteúdo anterior. Mas, nossa hipótese
260
é que o aluno, com dedicação e uma instrução adequada, seja capaz de evoluir
mesmo que não tenha o conhecimento matemático antecedente para construir
novos conceitos, pois este aluno já acumula uma carga de saberes que se
explorados de forma conveniente pode lhe possibilitar ampliar o olhar.
O quadro a seguir mostra o percentual dos grupos de acerto, erros e os
que não fizeram as questões.
Quadro 30 – Respostas da questão proposta e questões complementares da
atividade 3 de função afim, dada pelos grupos
CERTO ERRADO NÃO
FIZERAM
Questão proposta
Nº de grupos 9 0 3
Percentual (%) 75% 0% 25% Questão 1 Nº de grupos 10 1 1
Percentual (%) 83,4% 8,3% 83,3% Questão 2 Nº de grupos 12 0 0
Percentual (%) 100% 0% 0% Questão 3 Nº de grupos 2 2 8
Percentual (%) 16,7% 16,7% 66,6% Fonte: Pesquisa de Campo
Avaliamos esta sessão positivamente, haja vista que foi a atividade que
os alunos melhor expressaram suas observações e conclusões, além de
demonstrarem evolução na aprendizagem, e se mostrarem mais envolvidos com a
atividade e com a metodologia, também foi a atividade que demandou menor tempo
de execução. Além do mais, o objetivo desta sessão foi alcançado, uma vez que os
discentes descobriram uma regra para identificar se a função afim era crescente ou
decrescente e desenvolveram a habilidade de identificar tanto pela análise do gráfico
quanto da expressão algébrica.
4.8 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 8
Nesta sessão buscamos desenvolver nos alunos a capacidade de
identificar o zero da função afim a partir da análise gráfica. Com relação aos
procedimentos da atividade 4, os alunos desenvolveram com certa agilidade,
preencheram o quadro dos procedimentos e logo visualizaram que em todos os
casos o valor da ordenada era sempre zero.
O momento de socialização foi essencial para os alunos compreenderem
que calcular o zero da função afim recaia em uma equação do 1º grau. Na resolução
261
da questão proposta os discentes tiveram um pouco de dificuldade na interpretação
do problema, já na primeira questão complementar a dificuldade foi com relação ao
jogo de sinais e as operações básicas, mas, conforme exercitavam essas
dificuldades foram reduzidas; na segunda questão complementar os alunos tiveram
facilidade em compreender o que estava sendo pedido e logo foram substituindo a
variável independente por zero, a maioria coseguiu resolver a questão, alguns
tiveram dificuldade na resolução da equação.
O quadro a seguir mostra o percentual dos grupos de acerto, erros e os
que não fizeram as questões.
Quadro 31 – Respostas da questão proposta e questões complementares da
atividade 4 de função afim, dada pelos grupos
CERTO ERRADO NÃO
FIZERAM
Questão proposta
Nº de grupos 6 5 1
Percentual (%) 50% 41,7% 8,3%
Q1a Nº de grupos 12 0 0
Percentual (%) 100% 0% 0%
Q1b Nº de grupos 11 1 0
Percentual (%) 91,7% 8,3% 0%
Q1c Nº de grupos 9 3 0
Percentual (%) 75% 25% 0%
Q1d Nº de grupos 11 1 0
Percentual (%) 91,7% 8,3% 0%
Q2 Nº de grupos 8 1 3
Percentual (%) 66,7% 8,3% 25% Fonte: Pesquisa de Campo
4.9 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 9 A nona sessão foi modificada em função do período de avaliação está
agendado para a próxima semana, assim selecionamos algumas questões para os
alunos desenvolverem e na sessão seguinte aplicamos o primeiro pós-teste.
O objetivo dessa sessão era que os alunos desenvolvessem habilidades
na resolução de problemas envolvendo a função afim. Essa foi a atividade que
demandou mais tempo para resolver cada questão e também mais trabalho
conforme ressaltamos na análise a priori, pois os alunos não estavam acostumados
a resolver questões de tal natureza, embora já viéssemos trabalhando com algumas
questões similares no decorrer das sessões de ensino.
262
Dentre as questões que os alunos resolveram em sala, a questão 2, foi a
que eles apresentaram mais facilidade na resolução, pois envolvia a relação de
dependência entre variáveis e os alunos já haviam treinado situações similares em
atividades anteriores.
Já a questão 6, foi bem mais complicada para os alunos resolverem,
conforme prevemos na análise a priori, o fato do gráfico não fazer parte da questão
e os alunos exercitarem mais atividades visuais o problema se tornou um pouco
mais complexo, poucos alunos tiveram a noção de que o b, era o ponto que corta o
eixo das ordenadas, o que só ficou mais claro no momento da socialização das
respostas, mas, os alunos estavam certos de que se tratava de uma reta, e a maioria
conseguiu construir a expressão algébrica da função.
Na questão 7, observamos que os grupos entenderam a questão e
sabiam os procedimentos para resolvê-la, contudo, apenas um grupo conseguiu
resolver corretamente a questão, alguns alunos conseguiram construir o sistema
mas erram o cálculo por terem dificuldades com números decimais, outros apenas
substituíram os valores de a e b na expressão, mas não montaram o sistema, e
outros nem se quer tentaram resolver.
O quadro a seguir mostra o percentual dos grupos de acerto, erros e os
que não fizeram as questões.
Quadro 32 – Respostas das questões da atividade 5 de função afim, dada pelos
grupos
CERTO ERRADO NÃO
FIZERAM
Questão 2 Nº de grupos 7 3 0
Percentual (%) 70% 30% 0%
Questão 6 Nº de grupos 5 4 1
Percentual (%) 50% 40% 10%
Questão 7 Nº de grupos 1 5 4
Percentual (%) 10% 50% 40% Fonte: Pesquisa de Campo
Em nossa análise avaliamos que introduzir questões problemas e
atividades que instiguem o aluno a pensar e desenvolver esquemas de resolução
não é tarefa fácil, principalmente quando os alunos tem uma cultura de aprendizado
tradicional. No entanto, o fato dos discentes estarem dispostos a buscarem
263
soluções, compreender o problema e se engajarem de forma dinâmica no
aprendizado é um ponto significativo nesse processo de construção do saber.
4.10 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 10
A décima sessão foi realizada com o objetivo de verificar o desempenho
dos alunos em ralação ao conteúdo de função afim, para isso os alunos foram
submetidos a um pós-teste que nos forneceu dados para a realização desta análise.
Nossa análise a priori, evidenciava questões com diferentes níveis de
dificuldade que abordava diversos tópicos de função afim, a saber: definição;
representação gráfica, literal, tabelar e algébrica; construção do gráfico; crescimento
de decrescimento da função; zero da função e problemas sobre função afim. Abaixo
apresentamos o Quadro 33, referente ao desempenho da turma nas questões sobre
função afim. As questões são representadas no quadro pela letra Q seguida de sua
numeração, caso a questão tenha mais de uma pergunta separada pelas opções a,
b e c, estas estarão acompanhando a representação da questão, exemplo: Q3a –
para a resposta da terceira questão letra a; Q3b – para a resposta da terceira
questão letra b, e assim sucessivamente.
Quadro 33 – Desempenho da turma no pós-teste da função afim
ALUNOS/ QUESTÕES
ACERTOS ERROS NÃO FEZ
F.A (%) F.A (%) F.A (%)
Q1a 27 90% 3 10% 0 0%
Q1b 19 63,3% 1 3,3% 10 33,3%
Q2 12 40% 17 56,7% 1 3,3%
Q3a 21 70% 5 16,7% 4 13,3%
Q3b 26 86,7% 3 10% 1 3,3%
Q4a 11 36,6% 5 16,7% 14 46,7%
Q4b 21 70% 4 13,3% 5 16,7%
Q5 23 76,7% 2 6,7% 5 16,7%
Q6a 24 80% 6 20% 0 0%
Q6b 27 90% 3 10% 0 0%
Q6c 26 86,7% 4 13,3% 0 0%
Q7a 17 56,7% 10 33,3% 3 10%
Q7b 23 76,7% 5 16,7% 2 6,7%
Q7c 15 50% 9 30% 6 20%
Q7d 16 53,3% 9 30% 5 16,7%
Q7e 9 30% 14 46,7% 7 23,3%
Q8 27 90% 3 10% 0 0%
Q9 22 73,3% 8 26,7% 0 0% Fonte: Pós-teste realizado com os alunos
264
A leitura do quadro revelou que os índices de acertos nas questões sobre
função afim tiveram um aumento considerável após a sequência didática. Mas que
em algumas questões os erros foram bem acentuados, muitas vezes mais
relacionados a erros de cálculo do que propriamente dos conceitos apreendidos
sobre função afim. O gráfico 55 mostra o percentual de acertos no pós-teste da
função afim.
Gráfico 55 – Média de acertos por questões no pós-teste da função afim
Fonte: Pós-teste realizado com os alunos
Observamos que, 27 (90%), alunos conseguiram identificar a função afim
e, 19 (63,3%), os seus coeficientes, e dos alunos que identificaram a função afim e
não identificaram seus coeficientes, isso pode ter ocorrido por falta de atenção na
leitura da questão.
Na questão 2, embora um pouco mais da metade, 17 (56,7%) tenha
errado a questão, o que já era esperado pelo fato dos alunos terem dificuldade na
resolução de sistema, e os dados da tabela fornecer valores mais difíceis de
visualizar a expressão pela alteração dos valores da ordena e da abscissa como
eles fizeram na primeira atividade da função afim, justamente por ser uma questão
de aplicação; tivemos uma quantidade de acertos considerável, 12 (40%), nesta
questão.
A questão 3, teve um bom percentual de acertos, tanto para encontrar
a função (letra a), quanto para encontrar a imagem da função. Os alunos
demonstraram o cálculo da imagem substituindo o ponto dado na expressão
encontrada.
Na questão 4, os alunos não tiveram dificuldade em identificar se a
função era crescente ou decrescente, mas, muitos não construíram o gráfico,
90%
63,3%
40%
70%
86,7%
26,7%
70% 76,7% 80%
90% 86,7%
56,7%
76,7%
50% 53,3%
30%
90%
73,3%
Q1a Q1b Q2 Q3a Q3b Q4a Q4b Q5 Q6aQ6b Q6c Q7a Q7b Q7c Q7d Q7e Q8 Q9
265
achamos que isso ocorreu porque os alunos optaram por não fazer essa construção,
pois em uma próxima questão deste teste, a maioria dos alunos conseguiu construir
o gráfico.
Quanto ao zero da função afim, 23 (76,7%), alunos conseguiram
resolver a questão 5 do pós-teste. E a questão 6, sobre análise gráfica, os dados do
quadro evidenciaram a compreensão da maioria dos alunos no que diz respeito ao
zero da função ser o ponto em que a reta corta o eixo das abscissas, ao valor do
coeficiente b ser o ponto em que a reta corta o eixo da ordenadas e o crescimento e
decrescimento da função afim.
A questão 7, que envolve diversos tópicos da função afim a partir de um
problema, observamos que os alunos tiveram bons resultados na resolução da
questão, na elaboração da tabela, na representação da expressão algébrica, na
construção gráfica e em encontrar a imagem da função a partir de um ponto dado, o
percentual de acertos só diminuiu quando foi pedido que encontrassem o domínio da
função a partir de um ponto dado.
Na questão 8, a maioria dos alunos acertou. E na nona e última questão a
maioria dos alunos conduziram muito bem a construção do gráfico. É válido ressaltar
que dos alunos que erram ou deixaram questões em branco em sua maioria eram
alunos que tinham pouca frequência nas aulas e perderam algumas atividades, no
geral os alunos tiveram um bom desempenho no pós-teste.
4.11 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 11
Nosso objetivo na décima primeira sessão era que os alunos pudessem
interagir em grupo, discutir o texto apresentado e reconhecer a relação existente
entre o conjunto de valores de x e y apresentados nas tabelas da atividade,
construindo expressões que representam a função quadrática; e manifestassem
conclusões satisfatórias sobre suas observações.
Um momento bastante importante antes do inicio desta outra etapa da
sequência didática, sobre a definição e os conceitos da função quadrática foi quando
os alunos leram e discutiram o texto “Arquitetura do ver-o-peso”, observamos que os
grupos estavam bem mais engajados na metodologia, que ao observarem situações
matemáticas em um ponto turístico de sua cidade se mostraram interessados na
leitura e em como as atividades abordariam essa temática.
266
Nossa hipótese era que os grupos conseguissem descobrir a expressão
algébrica em cada tabela enunciando-a corretamente, o que de fato ocorreu na
maioria dos grupos, alguns tiveram dificuldade com as últimas tabelas, mais a
maioria conseguiu compreender as particularidades de cada conjunto de valores de
x e y, o que evidenciou que as habilidades dos discentes já estavam mais aguçadas,
devido adquirirem experiência com as atividades anteriores.
É importante destacar a linha de raciocínio dos alunos para chegarem às
expressões, como por exemplo: na primeira tabela em que eles identificaram
numericamente que o valor de y era sempre o valor de x elevado ao quadrado para
finalmente concluir que “2y x ”; e na segunda tabela eles conseguiram identificar
que o y era um número elevado ao quadrado mais um; já na terceira tabela que era
um número elevado ao quadrado mais ele mesmo; e assim por diante. Na sequência
eles encontraram as demais expressões conforme mostramos na figura que segue.
Figura 21 – Resolução da atividade descubra a expressão algébrica Fonte: Produção escrita dos alunos
Com relação as conclusões da atividade, percebemos que os alunos
conseguiram descrever melhor do que a primeira atividade sobre função afim. Pois,
já tinham uma noção mais clara da representação algébrica para a função
quadrática, o que facilitou no momento da socialização, a compreensão da definição
da função quadrática e sua representação genérica.
Em se tratando da questão proposta, os alunos gostaram bastante do
modelo matemático para representar a função, a dificuldade que alguns alunos
tiveram foi com relação ao cálculo de área, pois haviam esquecido. Mas, com a
267
ajuda de outros alunos da turma foi possível lembrarem e concluírem a atividade,
após isso, os grupos conseguiram identificar facilmente qual era a expressão
algébrica que representava área de um módulo da tenda.
Figura 22 – Resolução da questão proposta na atividade 1 da função quadrática Fonte: Produção escrita dos alunos
Em se tratando das questões complementares, ressaltamos em nossas
hipóteses que os discentes poderão ter uma dificuldade inicial por se tratar de
questões diferenciadas e por serem problemas que requerem outros conceitos como
a noção de área e perímetro. No entanto, como os alunos já tenham visto geometria
plana em anos anteriores esperamos que eles resolvessem as questões sem muita
dificuldade. Mas, o que de fato ocorreu foi que alguns alunos não se lembravam do
cálculo de área e perímetro, sendo necessário nosso auxílio e de outros alunos para
que a turma lembrasse o conteúdo.
Ainda com relação ao entendimento e resolução das questões
complementares, a utilização dos caminhos para a resolução de problemas elencado
por Polya (2006) foi crucial para auxiliarmos os alunos a pensarem o problema e
buscarem meios de resolução. O que comprova que determinada metodologia em
algum momento específico vai ser mais presente e que a junção das metodologias
de ensino (Ensino por atividades, Modelagem matemática e Resolução de
problemas) utilizadas nessa pesquisa foram necessárias à melhor compreensão do
aluno nas diferentes abordagens do conteúdo matemático, seja esta um problema
direto ou um problema de aplicação.
Com as nossas indagações, ajudamos os alunos a pensarem o problema,
uma vez que acreditamos que o papel de professor é auxiliar o aluno a resolver o
problema por seus próprios meios e mecanismos e não fornecer as respostas
prontas. A maioria dos grupos conseguiu desenvolver as questões, tendo um pouco
mais de dificuldade na quarta questão, e dos poucos alunos que não obtiveram o
bom rendimento nessas questões foram aqueles que por serem menos freqüentes,
acabaram perdendo algumas informações necessárias para sua compreensão.
268
Essas questões complementares levaram um pouco mais de tempo para a execução
do que previmos nas análises a priori, justamente pelos fatores citados
anteriormente.
Em nossa perspectiva esta atividade teve um excelente rendimento pelos
seguintes fatores: foi uma das atividades em que os alunos mais se envolveram e se
dedicaram em concluir a atividade mesmo passando um pouco do horário de aula da
turma; também foi a atividade em que os alunos evidenciaram claramente o
raciocínio que tiveram para encontrar as expressões nos procedimentos das tabelas
de conjunto de valores de x e y; comparada com a atividade 1 da função afim em
que os alunos tiveram dificuldade em expressar suas conclusões, a atividade 1 da
função quadrática foi a atividade em que os discentes mais se aproximaram da
definição; também foi uma das atividades em que os alunos passaram a atentar
mais para o contexto matemático fora de sala de aula, isto é, temas do cotidiano
em que a matemática pode estar presente o que ficou evidente na discussão do
texto; e apesar da dificuldade inicial na resolução das questões complementares foi
uma das atividade em que os alunos apresentaram melhor evolução em pensar e
buscar caminhos para resolver problemas.
4.12 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 12
A sessão 12 foi realizada com o objetivo de verificar o desempenho dos
alunos na construção de gráficos da função quadrática, bem como na resolução de
questões que envolvesse esse tipo de gráfico e ainda com objetivo de verificar o
desempenho dos alunos em relacionar os coeficientes da função quadrática com
sua concavidade.
Com relação aos procedimentos da atividade 2 “Construindo gráficos da
função quadrática” os alunos desenvolveram bem a atividade, notamos que os
problemas iniciais que os alunos tinham com a substituição do valor do domínio para
encontrar a imagem já havia melhorado e que o traçado do gráfico foi de fácil acesso
para os discentes, exceto um grupo que construiu um dos gráficos como uma reta,
por ter errado o cálculo das coordenadas, mas, conforme foi fazendo os demais
gráficos observou a diferença e nos consultou a respeito, e após rever os valores
conseguiu construí-lo corretamente. Na conclusão da atividade os alunos também
obtiveram bom êxito, denominando o gráfico da função quadrática de parábola.
269
Figura 23 – Resolução dos procedimentos da atividade “Construindo gráficos da função quadrática”. Fonte: Produção escrita dos alunos
Na questão proposta os alunos tinham ainda bem claro a expressão
algébrica da área do tecido da tenda, e facilmente identificaram qual dos gráficos
construídos era o correspondente. Observamos que essa estrutura de atividade sob
a ótica da modelagem matemática colaborou tanto para a percepção do aluno sobre
a questão quanto para a obtenção do modelo matemático requerido na questão
proposta.
Na questão complementar 2, alguns alunos ainda tinham dificuldades na
resolução de sistemas, porém, observamos que ouve uma melhora considerável no
desempenho dos grupos na resolução desse tipo de questão, alguns alunos com
nosso auxílio conseguiram resolver corretamente, outros tentaram mas não
concluíram a questão e um grupo não fez. Nessa questão no momento da
socialização dos resultados os alunos ficaram tímidos em escrever na lousa suas
respostas, nossa intervenção nesse momento foi essencial para que eles
compreendessem como resolver a questão, principalmente àqueles alunos que já
haviam faltado algumas aulas e estavam um pouco perdidos. Deixamos a questão
complementar 1 para que os alunos resolvessem em casa e pedimos para que
treinassem mais esse tipo de questão até o pós-teste.
Consideramos que nessa atividade, embora os alunos tivessem
dificuldades na questão complementar, o desenvolvimento da atividade foi bom e o
exercício do cálculo e da compreensão dos discentes também melhorou bastante. O
270
tempo de realização dessa atividade foi um pouco maior que a próxima, até porque
o cálculo e a marcação dos pontos no plano cartesiano demandam tempo e atenção,
contudo, os alunos desenvolveram a mesma em um tempo menor comparada a
construção do gráfico da função afim, justamente por terem reduzido as dificuldades
com o cálculo e com o jogo de sinais.
Com relação a atividade 3 “Concavidade da parábola” os dados obtidos
com as folhas de atividade apontam excelentes resultados. Na execução dos
procedimentos da atividade, os alunos tiveram mais facilidade em identificar os
coeficientes da função, em observar se o coeficiente a era positivo ou negativo
olhando para expressão, e observar se a parábola era côncava para cima ou para
baixo observando o gráfico. Alguns alunos fizeram confusão com o termo côncava,
conforme previmos na análise a priori, mas após nossa explicação sobre a superfície
mais cavada (côncava) poder estar para cima ou para baixo, esses alunos
concluíram o preenchimento do quadro de procedimentos . As conclusões dos
grupos sobre a atividade também foram excelentes, acerca da influência do
coeficiente a na concavidade da parábola.
No caso da questão proposta, os resultados também foram bons, como os
alunos tinham como base a resolução da questão complementar 2 da atividade 2, os
alunos conseguiram desenvolver com mais facilidade a letra a da questão proposta
na atividade 3 e também tiveram facilidade em identificar os pontos da curva da
tenda destacados na malha quadriculada. Quanto a letra b desta questão
verificamos que os grupos sabiam identificar se a parábola era côncava para cima
ou côncava para baixo, após a conclusão dos procedimentos dessa atividade, tanto
pela análise do gráfico quanto pela análise da expressão algébrica encontrada.
Na questão complementar os grupos não tiveram nenhuma dificuldade na
resolução. Observamos também que foi possível acompanhar melhor os grupos
devido o número de alunos presentes nesta sessão ser menor que nos dias de aula
habituais, e o desempenho da turma também. O que corresponde a opinião dos
professores quando aplicamos os questionários que ressaltaram o fato das turmas
possuírem muitos alunos dificulta trabalhar com propostas diferenciadas. Vale
lembrar que nas aulas habituais tivemos em média de 30 a 50 alunos presentes em
sala esporadicamente, mas por fatores que dissemos anteriormente apenas 30
alunos participaram de nossas análises.
271
4.13 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 13
Na décima terceira sessão planejamos executar toda a atividade 4 da
função quadrática, porém devido problemas técnicos essa sessão sofreu alterações,
assim desenvolvemos apenas os procedimentos dessa atividade deixando para
outra aula a questão proposta e as questões complementares. Nessa sessão
objetivamos verificar se os grupos eram capazes de descobrir o número de raízes
reais da função quadrática a partir da análise do gráfico e do cálculo do
discriminante.
Os grupos conseguiram realizar os procedimentos corretamente e com o
auxílio do quadro explicativo conseguiram identificar a quantidade de raízes
analisando o gráfico, alguns alunos tiveram dúvida quando o gráfico não toca o eixo
x, auxiliamos a perceberem que nesse caso não tem raiz, portanto o número de
raízes seria zero. Mais tarde, na socialização explicamos que isso ocorria no
conjunto dos reais, portanto nesse tipo de função não existe raízes reais. Ao
observarem o quadro dos procedimentos que eles haviam preenchido os alunos
expressaram bem suas conclusões acerca da atividade.
Figura 24 – Procedimentos da atividade 4 da função quadrática Fonte: Produção escrita dos alunos
Avaliamos essa sessão positivamente, pois os grupos apresentaram um
ótimo desempenho tanto na agilidade e execução dos procedimentos quanto na
conclusão da influência do valor do delta no número de raízes da função quadrática.
272
4.14 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 14
Essa sessão também sofreu modificação, devido o tempo de aula,
optamos por realizar apenas os procedimentos da atividade 5. De acordo com o
previsto na análise a priori esta atividade demandaria um pouco mais de tempo que
a atividade 4 devido os cálculos das raízes das funções, então na próxima sessão
executamos as questões complementares e as questões propostas das atividades 4
e 5 da função quadrática. O objetivo na décima quarta sessão era que os discentes
desenvolvessem o cálculo dos zeros da função quadrática, já dando a fórmula de
Báskara para isso.
Figura 25 – Procedimentos da atividade 5 da função quadrática Fonte: Produção escrita dos alunos
Cada grupo dividiu as questões entre si para agilizar o cálculo, os alunos
levaram algum tempo para executar essa etapa, depois confirmaram os resultados
analisando a folha de gráficos os que erraram conta corrigiram seus erros
observando as raízes destacadas nos gráficos.
4.15 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 15
Em função das modificações ocorridas nas sessões 13 e 14, a décima
quinta sessão também sofreu modificações. Inicialmente realizamos as questões
propostas e complementares das atividades 4 e 5, com o objetivo de que os alunos
desenvolvessem habilidades nas questões envolvendo os zeros (ou raízes) da
função quadrática. E, posteriormente os alunos desenvolveram a atividade 6 “Vértice
273
da função quadrática, valor de máximo e valor de mínimo” nosso objetivo era que
descobrissem e calculassem o vértice da função quadrática e que fossem capazes
de identificar o valor de máximo e o valor de mínimo, além de resolverem questões
sobre esses conteúdos.
Com relação as questões propostas das atividade 4 e 5, a maioria dos
alunos conseguiram identificar quantas e quais eram as raízes da função da tenda,
tanto pelo cálculo do delta e de Báskara utilizando os coeficientes da expressão
quanto pela análise do gráfico.
Quanto as questões complementares da atividade 4, a maioria dos grupos
resolveu sem dificuldade, os alunos que ainda tinha dúvidas contribuímos
contribuindo quando possível e deixamos para esclarecer melhor no momento da
socialização. Já nas questões complementares da atividade 5, os alunos tiveram um
pouco de dificuldade na interpretação do primeiro problema, mas com nosso auxílio
conseguiram evoluir e não tiveram problema no cálculo, na questão 2 eles já
conseguiram visualizar melhor a situação e resolveram sozinhos a questão. Nenhum
grupo deixou em branco as questões das atividades, e poucos alunos não acertaram
as questões.
A atividade 6 também levou algum tempo para os alunos executarem os
procedimentos devido o cálculo dos vértices de cada função dada, essa atividade
também foi bem acessível aos alunos e também rendeu ótimas conclusões. A
evolução na produção escrita dos alunos sobre as atividades é visível no decorrer
das atividades.
Na questão complementar da atividade 6, apenas dois grupos
identificaram o vértice utilizando os coeficientes da função para o cálculo, a maioria
dos grupos optou por observar o ponto na figura da questão. Com relação as
questões complementares, os alunos foram logo resolvendo a primeira questão por
ser mais direta e não tiveram dificuldade pois tratava apenas de substituição. Nas
questões 2 e 3 os grupos tiveram dúvida com relação as variáveis, mas conseguiram
conduzir bem a questão, a maioria obteve bom rendimento, alguns se confundiram
no cálculo. O desempenho dos grupos nessa atividade no geral foi bom, contudo é
necessário que pratiquem outras situações a fim de aperfeiçoarem suas
descobertas.
274
4.16 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 16
Com só tivemos mais duas aulas antes do encerramento do semestre, a
décima sexta sessão foi modificada, assim solicitamos que os alunos fossem
resolvendo as questões conforme o possível, pois na sessão seguinte aplicamos o
último pós-teste. O objetivo dessa sessão era que os alunos desenvolvessem
habilidades na resolução de problemas sobre função quadrática.
Na análise a priori nossa hipótese era que os discentes estabelecessem
associação das questões 1 a 3 e fossem capazes de buscar caminhos para resolvê-
las por serem similares a questões desenvolvidas em outras atividades, podendo ter
mais dificuldade na questão 4 em interpretar o problema. O que em parte ocorreu
para a maioria dos alunos, embora a dificuldade de alguns alunos ainda fosse bem
acentuada. O quadro a seguir mostra o percentual dos grupos de acerto, erros e os
que não fizeram as questões.
Quadro 34 – Respostas das questões da atividade 5 de função afim, dada pelos grupos
CERTO ERRADO NÃO
FIZERAM
Questão 1 Nº de grupos 7 1 0
Percentual (%) 87,5% 12,5% 0%
Questão 2 Nº de grupos 5 2 1
Percentual (%) 62,5% 25% 12,5%
Questão 3 Nº de grupos 7 1 0
Percentual (%) 87,5% 12,5% 0%
Questão 4 Nº de grupos 1 2 5
Percentual (%) 12,5% 25% 62,5% Fonte: Pesquisa de Campo
Na primeira questão, a maioria dos grupos acertou. Na segunda questão
um grupo conseguiu entender o problema, mas errarou o sinal e acabou obtendo o
resultado final alterado, e outro grupo fez confusão com relação aos lados do terreno
a serem considerados obtendo outra resposta. Os demais tiveram bons resultados.
Na terceira questão, os grupos conseguiram desenvolver bem. Mas a quarta, a
maioria deixou em branco, dos três grupos que tentaram resolver dois fizeram a
substituição dos dados na fórmula do vértice da função, mas não conseguiram dar
continuidade, e um grupo conseguiu obter a resposta certa a partir da construção do
gráfico, esse grupo tentou visualizar o problema graficamente e identificou o
275
coeficiente c excluindo o restante das opções. Conforme visualizamos na figura a
seguir:
Figura 26 – Resolução da questão 4 da atividade 7 da função quadrática Fonte: Produção escrita dos alunos
Essa sessão também levou um bom tempo, pois em uma aula os alunos
conseguiram resolver apenas quatro questões. O que para nos é considerável, tanto
pelo fato de problemas de aplicação demandar mais tempo para leitura,
interpretação, escolha de caminhos para a resolução, etc., como pelo fato dos
alunos serem iniciantes nesse processo. Por isso, avaliamos que, independente dos
acertos e erros dos alunos, o fato deles estarem engajados no problema e tentarem
buscar soluções para o mesmo é um progresso considerável para os mesmos.
4.17 ANÁLISE A POSTERIORI DA SESSÃO 17
A décima sétima sessão foi realizada com o objetivo de verificar o
desempenho dos alunos em ralação ao conteúdo de função quadrática, para isso os
alunos foram submetidos a um pós-teste que nos forneceu dados para a realização
desta análise.
Nossa análise a priori, evidenciava questões com diferentes níveis de
dificuldade que abordava diversos tópicos de função quadrática, a saber: definição;
representação gráfica, literal, tabelar e algébrica; construção do gráfico; concavidade
da parábola; zeros da função; vértice, valor de máximo e valor de mínimo e
problemas sobre função quadrática. Abaixo apresentamos o quadro 35, referente ao
desempenho da turma nas questões sobre função quadrática.
276
Quadro 35 – Desempenho da turma no pós-teste da função quadrática
ALUNOS/ QUESTÕES
ACERTOS ERROS NÃO FEZ
F.A (%) F.A (%) F.A (%)
Q1a 30 100% 0 0% 0 0%
Q1b 27 90% 0 0% 3 10%
Q2 12 40% 10 33,3% 8 26,7%
Q3 27 90% 2 6,7% 1 3,3%
Q4a 28 93,3% 2 6,7% 0 0%
Q4b 27 90% 3 10% 0 0%
Q4c 11 36,7% 7 23,3% 12 40%
Q5a 13 43,3% 17 56,7% 0 0%
Q5b 14 46,7% 15 50% 1 3,3%
Q6a1 24 80% 0 0% 6 20%
Q6a2 24 80% 1 3,3% 5 16,7%
Q6b1 20 66,7% 3 10% 7 23,3%
Q6b2 25 83,3% 1 3,3% 4 13,3%
Q6c1 19 63,3% 4 13,3% 7 23,3%
Q6c2 25 83,3% 1 3,3% 4 13,3%
Q6d1 23 76,7% 0 0% 7 23,3%
Q6d2 25 83,3% 1 3,3% 4 13,3%
Q6e1 23 76,7% 0 0% 7 23,3%
Q6e2 26 86,7% 0 0% 4 13,3%
Q6f1 21 70% 1 3,3% 8 26,7%
Q6f2 25 83,3% 2 6,7% 3 10% Fonte: Pós-teste realizado com os alunos
A leitura do quadro revelou que os índices de acertos nas questões sobre
função quadrática tiveram um aumento considerável após a sequência didática. Mas
que em algumas questões os erros foram bem acentuados o que ocorreu na maioria
com alunos que faltaram algumas aulas e perderam as atividades relacionadas ao
conteúdo específico da questão, mas no geral a turma obteve bom êxito. O gráfico
56 mostra o percentual de acertos no pós-teste da função quadrática.
Gráfico 56 – Percentual de acertos por questões no pós-teste da função quadrática
Fonte: Pós-teste realizado com os alunos
277
Os resultados obtidos no pós-teste evidenciam que todos os alunos
conseguiram identificar a função quadrática e, 27 (90%), os seus coeficientes,
confirmando o aprendizado dos alunos quanto a definição da função quadrática.
Na questão 2, o percentual de acertos foi menor (40%) o que já era
esperado pois apesar das melhoras no desenvolvimento desse tipo de questão
alguns alunos ainda tinham dificuldade na resolução de sistemas e também devido o
nível de dificuldade da questão. Contudo consideramos uma boa evolução, pois
apesar dos erros o percentual das questões em branco caiu bastante.
Na questão 3, verificamos que os alunos tiveram um ótimo
desempenho na resolução de problemas envolvendo cálculo de área. Na questão 4,
que também tinha um nível de dificuldade elevado, os alunos tiveram bom
desempenho na resolução da questão com um percentual menor na letra c, devido
os alunos optarem, por algum motivo, por não construírem o gráfico.
A quinta questão, sobre os valores de máximo e mínimo da função os
alunos tiveram um desempenho razoável quantitativamente, pois os erros foram bem
acentuados, dentre as dificuldades na resolução alguns alunos se confundiram na
interpretação do problema outros erram o cálculo. Como na atividade sobre esse
tópico de função quadrática, alguns alunos faltaram, associamos a isso, o equívoco
na interpretação do problema, haja vista que a questão é bastante similar ao que foi
desenvolvido em sala. Mas, mesmo com os erros, consideramos que o fato de
quase todos os alunos tentarem resolver a questão já mostra certa compreensão
sobre o problema.
Na questão 6, a maioria dos alunos não tiveram dificuldade em
associar o valor do delta e do coeficiente a da função quadrática a seu respectivo
gráfico, o que ocorreu foi que alguns alunos não prestaram atenção na questão e
acabaram identificando apenas uma da situações, relacionando a concavidade da
parábola ou relacionando o número de raízes.
4.18 ANÁLISE COMPARATIVA DO PRÉ-TESTE E DO PÓS-TESTE
Nosso objetivo nesta seção era comparar o desempenho dos alunos na
resolução das questões antes e após serem desenvolvidas todas as atividades
referentes a função afim e a função quadrática. O quadro 36 apresenta o
278
desempenho dos alunos naresolução de cada questão resolvida nos pré-testes e
nos pós-testes.
Quadro 36 – Percentual de questões resolvidas nos pré-testes e nos pós-testes QUESTÕES ACERTOS (%) ERROS (%) NÃO FEZ (%)
PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS
FUNÇÃO AFIM
Q1a 36,7% 90% 16,7% 10% 46,7% 0%
Q1b 0% 63,3% 3,3% 3,3% 96,7% 33,3%
Q2 13,3% 40% 43,3% 56,7% 43,3 3,3%
Q3a 3,3% 70% 10% 16,7% 86,7% 13,3%
Q3b 23,3% 86,7% 16,7% 10% 60% 3,3%
Q4a 3,3% 36,6% 16,7% 16,7% 80% 46,7%
Q4b 3,3% 70% 10% 13,3% 86,7% 16,7%
Q5 6,7% 76,7% 10% 6,7% 83,3% 16,7%
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Q1a 36,7% 100% 13,3% 0% 50% 0%
Q1b 0% 90% 0% 0% 100% 10%
Q2 0% 40% 10% 33,3% 90% 26,7%
Q3 0% 90% 0% 6,7% 100% 3,3%
Q4a 0% 93,3% 6,7% 6,7% 93,3% 0%
Q4b 0% 90% 0% 10% 100% 0%
Q4c 0% 36,7% 13,3% 23,3% 86,7% 40%
Q5a 0% 43,3% 0% 56,7% 100% 0%
Q5b 0% 46,7% 0% 50% 100% 3,3% Fonte: Pesquisa de campo
Gráfico 57 – Comparação do percentual de acertos por questões do pré-teste com o pós-teste da função afim
Fonte: Pesquisa de campo
36,7%
0%
13,30%
3,3%
23,3%
3,3% 3,3% 6,7%
90%
63,3%
40%
70%
86,7%
36,7%
70%
76,7%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Q1a Q1b Q2 Q3a Q3b Q4a Q4b Q5
PRÉ-TESTE
PÓS-TESTE
279
Gráfico 58 – Comparação do percentual de acertos por questões do pré-teste com o pós-teste da função quadrática
Fonte: Pesquisa de campo
Em nossa análise sobre os dados contidos no quadro 36 e nos gráficos
57 e 58, constatamos na comparaçãodos resultados obtidos nos pré e pós-testes
que houve uma considerável melhora no que diz respeito ao número de alunos que
resolveram corretamente as questões no pós-teste, mesmo quando esse número
não atingiu 50%, como ocorreu com as questões Q2 e Q4a da função afim e Q2,
Q4c, Q5a e Q5b da função quadrática que registrou os mais baixos índices de
acertos. Todavia é preciso levarmos em consideração as condições conturbadas nas
quais foram realizadas a questão proposta da atividade 1 da função afim e a
questão complementar 2 da atividade 2 e a questão proposta da atividade 3 da
função quadrática (relatadas na seção 3). É notória a falta de domínio na
resolução de sistemas.
Nas questões Q4a e Q4c sobre gráficos, supomos que os alunos
simplesmente optaram por não construírem esses gráficos, pois nas sessões de
ensino os discentes tiveram um bom desempenho nas atividades que envolviam
esse conteúdo. E com relação a quinta questão da função quadrática, apesar dos
alunos terem bom desempenho na sessão de ensino que tratou desse conteúdo
(sessão 15), verificamos que a maioria dos alunos errou o jogo de sinal ou o cálculo
na questão do pós-teste, e ainda que na mesma sessão de ensino houve uma baixa
frequência dos alunos.
Constatamos também, que apesar da quantidade de erros nos pós-testes,
verificamos que com exceção das questões supracitadas, em todas as outras foram
registrados índices de erros menores do que os registrados nos pré-testes. Além
36,7%
0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
100%
90%
40%
90% 93,3%
90%
36,7%
43,3% 46,7%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Q1a Q1b Q2 Q3 Q4a Q4b Q4c Q5a Q5b
PRÉ-TESTE
PÓS-TESTE
280
disso, o percentual de questões dos pós-testes não resolvidas teve uma queda
significativa com relação aos pré-testes, o que nos permitiu inferir que os alunos por
sentirem-se mais confiantes devido a toda experiência vivenciada durante o
processo, arriscaram-se mais a resolver.
Outro aspecto importante está relacionado ao acúmulo de experiências
vivenciadas com as atividades. Os dados revelaram que o desenvolvimento dos
procedimentos das atividades e especialmente das questões propostas e das
questões complementares, permitindo em alguns momentos o retorno de situações
já trabalhadas, como os problemas das últimas atividades de cada conteúdo,
contribuíram para que os alunos pudessem rever; consolidar e corrigir os
conhecimentos que já haviam apreendido. Dessa forma, verificamos que houve
melhora nos índices de acertos.
No Quadro 37 e gráfico 67, comparamos o desempenho individual dos 30
alunos do 1º ano do ensino médio submetidos às sessões de ensino no que se
refere à resolução dos testes da função afim e da função quadrática, que continham
as mesmas questões.
Quadro 37 – Percentual de acertos de cada aluno do 1º ano do EM no pré e pós-teste da função afim e da função quadrática
(continua)
Alunos
Percentual de acertos
Função Afim Função Quadrática
Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste
A1 0% 25% 0% 78%
A2 13% 88% 0% 56%
A3 38% 100% 11% 78%
A4 0% 75% 0% 89%
A5 25% 75% 11% 78%
A6 0% 88% 0% 100%
A7 0% 63% 0% 67%
A8 38% 38% 11% 89%
A9 25% 50% 0% 67%
A10 0% 63% 0% 78%
A11 13% 88% 11% 67%
A12 50% 75% 11% 100%
A13 0% 63% 0% 56%
A14 38% 88% 11% 100%
A15 0% 38% 0% 56%
A16 50% 88% 11% 100%
281
Quadro 37 - Percentual de acertos de cada aluno do 1º ano do EM no pré e pós-teste da função afim e da função quadrática
(conclusão)
A17 0% 63% 0% 56%
A18 0% 75% 0% 89%
A19 0% 50% 11% 44%
A20 13% 88% 11% 67%
A21 13% 88% 11% 78%
A22 0% 50% 0% 44%
A23 0% 63% 0% 56%
A24 0% 75% 0% 67%
A25 13% 63% 0% 56%
A26 0% 38% 0% 33%
A27 0% 75% 0% 44%
A28 0% 63% 0% 67%
A29 0% 63% 0% 56%
A30 13% 50% 11% 89% Fonte: Pesquisa de campo
Gráfico 59 – Desempenho de cada aluno no pré-teste e pós-teste da função afim e
da função quadrática
Fonte: Pesquisa de campo
Por meio da análise desses dados fica evidente que individualmente
todos os alunosmelhoraram seus desempenhos, ainda que seis deles não tenham
conseguido alcançar 50% de acertos. Daí podermos concluir que, em maior ou em
menor escala, todos conseguiram apreender conhecimentos sobre funções afim e
quadrática, sendo que alguns parecem ter conseguido absorver melhor as atividades
construídas em sala de aula, levando-os a um melhor desempenho das questões no
pós-teste.
282
Um ponto importante a destacar na análise do desempenho individual dos
alunos é o fato de ter sido observado uma diminuição na incidência de erros não
apenas nas questões do pós-teste, mas também nas atividades das sessões de
ensino e ainda nos conteúdos precedentes ao que desenvolvemos em sala. Para
nós, a utilização do ensino por atividades, da modelagem matemática, da resolução
de problemas e do envolvimento dos alunos contribuíram significativamente para
que pudessem desenvolver um maior domínio sobre os conteúdos abordados. Tal
fato contraria aqueles que se colocam desfavorável a metodologias diferenciadas em
sala de aula, principalmente com relação à modelagem, afirmando que o aluno pode
levar o problema a conteúdos diferenciados de acordo com sua capacidade de
delimitação do modelo. Ao contrario, os dados mostraram que a associação dessas
metodologias de ensino utilizadas possibilitaram ao aluno desenvolver habilidades
diferenciadas em cada momento da atividade, conforme lhes eram exigidas essa ou
aquela abordagem. Isto é, na compreensão dos conteúdos matemático abordados,
na percepção do problema, em buscar um modelo que represente a situação
proposta, em pensar e buscar caminhos para resolver o problema.
No quadro a seguir cruzamos os dados das frequências dos alunos em
todas as sessões de ensino que envolvia atividades de função afim e função
quadrática com os dados do desempenho relacionado ao percentual de acertos de
cada aluno nos pós-testes realizados, buscando verificar o nível de participação e a
possível influência que este possuí sobre os resultados dos alunos.
Quadro 38 – Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes
(continua)
ALU
NO
S
Sessões de ensino
Percentual de acertos dos alunos nos testes
desenvolvidos durante o experimento
S2
S3
S4
S5
S6
S7
S8
S9
S11
S12
S13
S14
S15
S16
Pós-teste f. afim
Pós-teste f. quadrática
A1 P P F F P F F F P P P F P P 25% 78%
A2 P P P P P P P P P F P P F P 88% 56%
A3 P P P P P P P P P P P P P P 100% 78%
A4 F P P P P P P P F P P P P P 75% 89%
A5 P P P P P P P F P P P P P F 75% 78%
283
Quadro 38 - Relação da frequência nas sessões de ensino e desempenho dos alunos nos pós-testes
(conclusão)
A6 P P P P P P P P P P P P P P 88% 100%
A7 P P F P P P P F P F P P F P 63% 67%
A8 F P P F F P P F P F P P P P 38% 89%
A9 P F P F F P P P P P P F P P 50% 67%
A10 P P P P F P P P P F P P P P 63% 78%
A11 P P P P P P P P F P P P F P 88% 67%
A12 P F P P P P P P P P P P P F 75% 100%
A13 P P F P P P P P P F P P F P 63% 56%
A14 P P P P P P P P P P P P P P 88% 100%
A15 P F F P F P P F P P P P F P 38% 56%
A16 P P P P P P P P P P P P P P 88% 100%
A17 P P P P F P P P P F P P F P 63% 56%
A18 P F P P P P P P P P P P P P 75% 89%
A19 P F F P P P P F P F F F P P 50% 44%
A20 P P P P P P P P P F P P P P 88% 67%
A21 P P F P P P P P P F P P P P 88% 78%
A22 P P P P F P P F P F F P F P 50% 44%
A23 P F P P P P P P P F P P F P 63% 56%
A24 P P P P P P P F P F P P P P 75% 67%
A25 P P F P P P P P P F P P F P 63% 56%
A26 F F P P P F P P F F P P F P 38% 33%
A27 P P P P P P P P P F P P F P 75% 44%
A28 P F P P P P P P P F P P P P 63% 67%
A29 P P P F P P P P P P F P F P 63% 56%
A30 P P P F F P P P P P P P P P 50% 89% Fonte: Pesquisa de campo
Analisando o quadro 38 identificamos que, 4 (13,33%), alunos
frequentaram todas as aulas ministradas, que 18 (60%) alunos frequentaram em
média 85,7% das aulas e que, 6 (20%), alunos faltaram em média 39,3% das aulas.
Identificamos ainda que os alunos que obtiveram maior percentual de
acertos nos testes foram aqueles de obtiveram maior frequência. Os alunos com
percentual de acertos inferior a 50% (A1, A8, A15, A19, A22 e A26) foram os que
obtiveram menor frequência. É importante ressaltar que dentre os alunos que
obtiveram menor frequência nas sessões de ensino (A1, A8, A15, A26) e
consequentemente menor percentual de acertos nos pós-testes foram os alunos
mais avessos inicialmente ao método de ensino, dois desses alunos nos disseram
logo nas primeiras sessões que preferiram copiar a matéria e depois ir para casa,
284
não quezerão participar ativamente do processo de construção do saber. Esse fato
explica o menor percentual de acertos desses alunos no pós-teste de função afim.
Vale destacar também que, a mudança no comportamento desses alunos
foi gradual, principalmente após os resultados obtidos na prova de 1ª avaliação da
turma que correspondeu as notas obtidas com pós-teste da função afim, esses
alunos observaram o desempenho dos outros colegas de classe e o envolvimento
dos demais nas atividades e passaram a ser mais frequentes nas aulas, isso pode
ser observado a partir da décima primeira sessão. Com a maior participação desses
alunos nas sessões de ensino, o percentual de acertos também aumentou o que
podemos observar nos dados do pós-teste da função quadrática.
Verificamos também que a maioria dos alunos aceitou desde o inicio o
contrato didático estabelecido, mas que a principio demonstraram dificuldades com o
método e gradualmente foram se envolvendo nas atividades e passaram a gostar da
estratégia de aprendizado, como por exemplo, quando passaram a pedir para ir ao
quadro socializar o que tinham realizado. E ainda, relacionado aos alunos de
dependência observamos que os mesmos passaram a ser mais participativos.
Conforme declarou a professora efetiva:
Fiquei admirada ao ver os alunos de dependência que vinham para a escola, mas não costumavam frequentar as aulas de matemática participando das atividades (Pesquisa de campo, 2013).
Destacamos ainda que para além dos resultados quantitativos, a
intervenção de ensino também promoveu resultados qualitativos capazes de
contribuírem consideravelmente para o melhoramento do processo ensino e
aprendizagem dos conteúdos trabalhados. Referimo-nos a relação de interação que
os alunos estabeleceram com o meio, com seu grupo e com a professora-
pesquisadora permitindo que desenvolvessem habilidades como a capacidade de
observação, de proposição, de diálogo,de elaboração de texto, de interpretação, de
buscar caminhos para a resolução de questões criando autonomia e autoconfiança
para desenvolverem o trabalho de construção dos conceitos e noções de conteúdos
matemáticos, contribuindo para um maior significado no processo de aprendizagem
das funções afim e quadrática.
De posse do exposto, consideramos que a sequência didática realizada,
revelou-se como uma eficiente alternativa metodológica para o ensino das funções
285
afim e quadrática, podendo ser perfeitamente adotada por outros docentes, pois
proporcionou significativos resultados na perspectiva da Educação Matemática, além
de fornecer subsídios para os alunos visualizarem e buscarem caminhos para
resolver problemas. Abordagem recomendada pelos PCN, no desenvolvimento dos
conteúdos matemáticos e aludida no ENEM e no SAEB.
Reinteramos que se trata de materiais de baixo custo, uma vez que as
atividades foram desenvolvidas para o aluno executar em sala de aula apenas com
a utilização das cópias das atividades, de lápis ou caneta e papel, recursos que os
alunos normalmente já dispõe no dia-a-dia escolar, podendo ser utilizado também a
régua e a calculadora se houver necessidade, além do mais o professor pode
trabalhar com as atividades mesmo que a escola não disponha de laboratório de
matemática ou de informática, ou ainda que disponha destes com poucos recursos
ou computadores, conforme as informações obtidas no questionário aplicado aos
professores (seção 1.2). Apresentaremos a seguir as considerações finais sobre
nosso estudo.
286
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho é fruto das reflexões sobre o ensino e aprendizagem da
função afim e função quadrática que realizamos desde o contato com a licenciatura
e a comunidade acadêmica. Nossa expectativa não é de formular uma proposta de
ensino acima das demais, mas sim de contribuir com atividades que viabilizem o
ensino e aprendizagem dos conteúdos citados, dentro de nossa realidade escolar.
Nossa pesquisa teve por objetivo investigar as contribuições de atividades
para o processo de compreensão do conteúdo de funções afim e quadrática.
Levamos em conta as dificuldades de ensino e aprendizagem destes conceitos,
tanto por meio de nossas observações, como pelas diversas investigações
existentes na área da Educação Matemática. Elaboramos e aplicamos uma
sequência didática, composta de 12 grupos de atividades, com o intuito de propiciar
a estes alunos uma melhor compreensão dos conteúdos abordados.
Levantamos, então, o seguinte questionamento: Quais os efeitos de um
conjunto de atividades sobre funções afim e quadrática no desempenho de alunos
do 1º ano do ensino médio?
Essa pesquisa fundamentou-se nos princípios da Engenharia Didática
tendo como aporte teórico elementos da Didática da Matemática a partir dos estudos
de Brousseau, que nos direcionou na abordagem das situações didáticas e a-
didáticas que ocorreram durante a aplicação das atividades. A sequência didática
teve por base a modelagem matemática e o ensino por atividade, que contribuíram
com o aluno no envolvimento com os conteúdos, em descobrir as propriedades e
conceitos matemáticos, em elaborar conclusões e direcionar os problemas.
No diagnóstico local obtido a partir dos questionários aplicados a
professores e alunos do 2º ano do ensino médio que já estudaram funções afim e
quadrática, identificamos que a metodologia de ensino que mais vem sendo utilizada
para os conteúdos de função afim e quadrática ainda é a tradicional: definição,
seguida de exemplos e exercícios; que os alunos consideram a maioria dos tópicos
dos conteúdos de função de regular a difícil; e que a maioria dos discentes tiveram
um baixo desempenho nos testes sobre função afim e quadrática. Confirmando a
ideia de que estes conteúdos são de difícil aprendizado conforme já ressaltaram as
287
pesquisas que nos antecederam, e ainda que a metodologia de ensino tradicional
não tem colaborado de forma significa para os alunos consultados, de acordo com
os dados do teste.
Na análise sobre pesquisas realizadas relacionadas ao ensino e
aprendizagem de função afim e/ou quadrática identificamos algumas propostas de
atividade que se mostraram relevantes para os sujeitos pesquisados mediante cada
contexto. Evidenciando uma gama de tendências educacionais que se utilizadas
isoladamente ou em conjunto apontam melhoras no processo de aprendizagem de
funções.
Nesse contexto, realizamos um trabalho experimental focalizado no
processo de ensino e aprendizagem e tendo como sujeitos 30 alunos do 1º ano do
ensino médio de uma escola pública de Belém. Vale lembrar que a turma era
composta por 59 alunos matriculados, sendo que 27% eram alunos de dependência
em matemática, mas como apena 30 estavam presentes no momento da aplicação
do questionário, somente esses foram considerados em nossa análise, apesar dos
demais frequentarem esporadicamente as aulas. Assim, a turma era composta por
alunos mais e menos frequentes, tendo em média 65% dos alunos presentes em
cada sessão.
No decorrer da pesquisa enfrentamos alguns percalços, principalmente
com relação a pesquisa de campo, que consideramos importante mencionar, no
período de aplicação dos questionários a docentes e alunos do 2º ano do ensino
médio, a direção de algumas escolas mostrou-se avessa a pesquisa, inviabilizando
nosso acesso a professores e alunos, mesmo com apresentação do documento
institucional e, em anexo, os questionários, respaldando que tratava-se de uma
pesquisa em nível de mestrado.
Por outro lado, em outras escolas fomos bem recebidos tanto pela direção
como por professores e alunos que mostraram interesse na pesquisa contribuindo
com o preenchimento do questionário e com conversas que tivemos durante a
aplicação do mesmo. Já com relação a execução da sequência didática, as
dificuldades estavam relacionadas a falta de base matemática dos alunos, sendo
necessário interrompermos alguns momentos para relembrar assuntos como jogo de
sinal, cálculo de área e perímetro, ou conceitos iniciais de função, como plano
288
cartesiano e a disposição das coordenadas no plano. O que acabou por consumir
mais tempo na realização das primeiras atividades.
Outra situação que pode ter influenciado nos resultados está relacionada
ao horário de aula da turma, além de terem poucas aulas semanais para a disciplina
de matemática, a mudança de horário de aula durante a realização das atividades, e
ainda, as paralisações, reuniões e palestras que geralmente marcavam nos dias das
aulas de matemática acabou conturbando um pouco a realização das atividades.
Contraponto os pontos negativos podemos elencar como pontos positivos
nesta pesquisa: o bom acolhimento que tivemos e a aceitação da pesquisa pela
escola de aplicação, com relação a nossa apresentação aos professores da escola
pela direção, a secretaria da escola que nos forneceu os dados sobre o histórico da
escola e os dados das turmas, ao corpo técnico que nos concedeu os momentos
nos sábados para realização das sessões de ensino e principalmente a professora
efetiva da turma de aplicação pelo apoio e acompanhamento nas sessões de ensino
e a própria turma que aceitou a pesquisa, as cláusulas do contrato didático e se
dedicou na execução das atividades.
Apesar das dificuldades iniciais que os alunos tiveram no decorrer do
experimento, em desenvolver as atividades e no choque com os procedimentos
metodológicos, ao ponto de alguns alunos se negarem a princípio de participar das
atividades alegando estarem acostumados ao método tradicional e preferirem copiar
a matéria e ir para casa, verificamos uma mudança gradual no desenvolvimento dos
alunos, tanto com relação a aceitação do método de pesquisa que lhes exigia
participar ativamente na construção do conhecimento, tomando para si a
responsabilidade da situação de aprendizagem quanto no desempenho intelectual
na assimilação dos conteúdos a partir de suas observações e na construção de suas
hipóteses com relação as funções e com relação a resolução das questões.
Os resultados apontaram que os alunos tiveram relevantes evoluções
durante as sessões de ensino, não somente relacionadas a apreensão dos
conteúdos de função afim e quadrática, mais principalmente a parceria entre os
grupos; na interação que estabeleceram um com os outros, com a professora
pesquisadora e com o meio; no “buscar a resposta” e na formulação de suas ideias e
conclusões tanto verbalmente quanto na escrita. Além de significativos avanços
observados na comparação dos dados dos pré-testes com os pós-testes. Sendo
289
visível um bom número de acertos em algumas questões dos pré-testes (questões
de identificação da função), haja vista que os alunos já tinham iniciado o estudo do
conteúdo no 9º ano do ensino fundamental, em decorrência disso esperávamos até
um melhor êxito nas questões dos pré-testes, o que não ocorreu. Após a sequência
didática os resultados nos pós-testes aumentaram e foi mais acentuado nos alunos
mais frequentes.
Compreendemos que os resultados poderiam ter sido melhores se não
fossem as dificuldades que os alunos tiveram com conteúdos bases para
compreender função afim e quadrática; se tivéssemos mais tempo para executar as
atividades e fornecêssemos um número maior de questões de aplicação para os
alunos exercitarem, já que não eram acostumados a resolver problemas
contextualizados.
Em se tratando das atividades, analisamos que o tempo de realização das
mesmas foi reduzindo a medida que os grupos se adaptaram ao método e tornavam-
se mais autônomos. Levamos cerca de 12 h/a para concluir o conteúdo de função
afim e 12 h/a para o conteúdo de função quadrática. O que não se distancia muito
do tempo estimado pelos professores para esses conteúdos, em média 9 h/a para
função afim e 12h/a para função quadrática de acordo com os dados do
questionário.
Quanto as questões elaboradas, salientamos algumas
melhorias/adquações no comando das atividades, destacadas na seção 3, como o
uso de palavras que podem levar a interpretação errônea da questão pelo aluno, por
exemplo, a palavra valores no comando da atividade 1 da função afim onde os
alunos confudiram os dados do texto, troncando a produção anual (o que realmente
era solicitado) pelo o preço do açaí. Ou termos matemáticos que dificultaram a
compreensão dos alunos, como por exemplo, variável dependente e independente
no lugar de variável y e x.
Nossa avaliação é de que a dinâmica usada para a socialização das
conclusões nas atividades foi de extrema importância para que pudéssemos
conduzir o momento de institucionalização dos conceitos e para que os alunos
pudessem melhorar suas redações, adquirindo confiança e autonomia em relação as
suas ideias e constatações, pois ao visualizarem as construções dos outros grupos
290
os alunos tinham oportunidade de fazer comparações e identificar onde haviam
cometido equívocos.
E que, abordar aspectos da cultura local (produção do açaí e arquitetura
do Ver-o-Peso) instigou os discentes nas discussões, na busca de informações e na
participação das aulas, ao ponto da própria professora efetiva declarar-se admirada
por ver até os alunos de dependência que não costumavam assistir as aulas,
estarem empenhados na participação das atividades.
Avaliamos também que a estrutura das atividades (atividades de
redescobertaquestão propostaquestões complementares) contribuiu para o
melhor entendimento do aluno tanto para encontrar o modelo matemático da
questão proposta, quanto para a associação do conteúdo matemático apreendido na
resolução de problemas.
Desta forma, consideramos respondida a questão norteadora desta
pesquisa, uma vez que os resultados apontam efeitos positivos e negativos, na
aplicação da sequência didática. As atividades possibilitaram aos alunos construir e
compreender noções, propriedades e conceitos matemáticos sobre função afim e
quadrática, porém, apesar das evoluções, ainda apresentam dificuldades em
resolver problemas. O que é aceitável devido esses alunos, mesmo no 1º ano do
ensino médio, não estarem acostumados a resolver problemas. Ressaltamos que os
mesmos tiveram avanços progressivos ao ponto de compreender um problema e
trilhar passos para executá-lo.
É importante ponderar que nossos sujeitos eram compostos por alunos
com muitas dificuldades nos conteúdos matemáticos de anos de ensino anteriores,
incluindo alunos que estavam repetindo o 1º ano mais ainda não tinham visto função
afim e quadrática devido a greve de professores e o escasso tempo de aulas em
2012, e que a abordagem de ensino que utilizamos era algo novo para eles. O que
nos permite conjecturar que se com essas dificuldades foi possível tal avanço, caso
a sequência didática fosse aplicada a uma turma com condições de aprendizagem
melhores os resultados positivos seriam mais expressivos.
De posse do exposto, concluímos que a metodologia da pesquisa
favoreceu a investigação em sala de aula e a sequência didática aplicada propiciou
o aprendizado e, consequentemente o melhor desempenho dos alunos do 1º ano do
ensino médio em atividades sobre funções afim e quadrática, o que permitiu afirmar
291
que o objetivo de nossa pesquisa foi alcançado. Além da sequência didática
aproximar-se das exigências curriculares, e dos programas do governo ENEM e
SAEB. E, de fornecer ao professor um conjunto de atividades que podem ser
utilizadas em sua totalidade ou parcialmente dependendo da escolha do professor e
do tempo das aulas.
Longe de estar pronta e acabada esta pesquisa gera em nos outras
inquietações, outras questões que nos parecem salutar é pesquisar a contribuição
das atividades de ensino na visão dos docentes, ou outros recursos que facilitem a
compreensão das funções pelos alunos. Qual o nível de aceitação pelos professores
de escolas públicas na utilização de metodologias diferenciadas? Qual a estratégia
mais viável para adequar o tempo de aula, o escasso tempo do professor para
preparar suas aulas e o uso de métodos diferenciados? A utilização de outros
recursos, como por exemplo, software que projetem modelos matemáticos de
situações reais e realizem cálculos possibilita o aluno tecer uma melhor observação
dos fenômenos do dia a dia, atribuindo a isso um significado? Essas questões estão
no horizonte de meus próximos trabalhos, que certamente motivarão outras
investigações.
292
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297
VIANNA, Heraldo Marelim. Pesquisa em educação: a observação. Brasília: Plano Editora, 2003.
298
APÊNDICE A – Questionário a professores
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO
Data:___/___/___
Prezado(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir para superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo este questionário, é de grande importância para o bom êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada.
Agradeço sua colaboração.
1. Sexo: ( ) Masculino ( ) Feminino
2. Faixa Etária: ( ) Menos de 21 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos
( ) 31- 35anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos
( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) mais de 65 anos
3. Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações) Ensino Superior:_______________Instituição:_____ Ano de Conclusão:___ Especialização:______________Instituição:_______Ano de Conclusão:___ Mestrado:___________________Instituição:______Ano de Conclusão:___ Doutorado:___________________Instituição:______Ano de Conclusão:___ 4. Tempo de serviço como professor de matemática? ( ) Menos de um ano
( ) 1-5 anos ( ) 6-10 anos ( ) 11-15 anos ( ) 16-20 anos
( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 anos ( ) Mais de 35 anos
5. Tipo de escola que trabalha atualmente: ( ) Pública Estadual ( ) Pública
Municipal ( ) Publica Federal ( ) Privada ( ) Outra.
Qual?________________________ 6. Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma
disciplina sobre o ensino de Função Afim? ( ) Não ( ) Sim, qual?_______
7. Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma
disciplina sobre o ensino de Função Quadrática? ( ) Não ( ) Sim,
qual?___ 8. Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o
ensino de Função Afim? ( ) Não ( ) Sim, qual? ___________________
9. Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o
ensino de Função Quadrática? ( ) Não ( ) Sim, qual? _______________
299
10. Você ensina função afim do modo como aprendeu? ( ) Não ( ) Sim
11. Você ensina função quadrática do modo como aprendeu? ( ) Não ( ) Sim
12. Quando você ensina Função Afim, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios
( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) com um experimento para chegar ao conceito
( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos
13. Quando você ensina Função Quadrática, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios
( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) com um experimento para chegar ao conceito
( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos
14. Para fixar o conteúdo de Função Afim você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto
( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático
( ) Não propõe questões de fixação
Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para
resolver
15. Para fixar o conteúdo de Função Quadrática você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto
( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático
( ) Não propõe questões de fixação
( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para
resolver 16. Você já realizou o ensino Função Afim por meio de experimentos?
( ) Não ( ) Sim
17. Você já realizou o ensino Função Quadrática por meio de experimentos?
( ) Não ( ) Sim
300
18. Sobre Função Afim e Quadrática e seus conteúdos:
Conteúdo
Você costuma
ministrar?
Grau de dificuldade para
os alunos aprenderem
Sim
Não
Mu
ito
Fácil
Fácil
Reg
ula
r
Dif
ícil
Mu
ito
Dif
ícil
Definição da Função Afim [ ( ) ,f x ax b 0a ]
Gráfico da Função Afim
Função constante [ ( )f x b ]
Função linear [ ( )f x ax , 0a ]
Função identidade [ ( )f x x ]
Domínio e Imagem de uma Função Afim
Crescimento e decrescimento da Função Afim
Zero ou raiz da Função Afim
Estudo do Sinal da Função Afim
Inequação do 1º grau [ 0ax b , 0ax b ]
Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Afim
Definição da Função Quadrática
[ 2( )f x ax bx c , 0a ]
Gráfico da Função Quadrática
Função Quadrática do tipo 2( )f x ax bx , com
0a
Função Quadrática do tipo 2( )f x ax c , com
0a
Função Quadrática do tipo 2( )f x ax , com
0a
Domínio e Imagem de uma Função Quadrática
Zeros ou raízes da Função Quadrática Concavidade da parábola Vértice da parábola Valor de Máximo e de Mínimo da Função Quadrática
Estudo do Sinal da Função Quadrática
Inequação do 2º grau 2 0ax bx c e 2 0ax bx c
Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Quadrática
301
19. Quanto tempo você leva aproximadamente, em aulas, para ministrar o conteúdo sobre:Função Afim: ____aulas. Função Quadrática: ____aulas.
20. Você trabalha a matemática com atividades como (pode marcar mais de uma
opção): ( ) Feira da Cultura ( ) Aulas de campo ( ) Jogos escolares ( )
Datas comemorativas ( ) Outras. Especifique:________________
21. A escola disponibiliza de um laboratório de matemática? ( ) Não ( ) Sim
22. A escola disponibiliza de um laboratório de informática? ( ) Sim. Com computadores suficientes para uma turma (considere
computadores suficientes a quantidade que permita trabalhar com duplas ou trios em cada computador).
( ) Sim. Com computadores insuficientes para uma turma.
( ) Não disponibiliza de um laboratório de informática.
( ) Outros. Especifique:_________________________________________
23. A escola proporciona momentos de planejamentos das aulas entre os
professores? ( ) Não ( ) Sim
24. A escola disponibiliza atividades de nivelamento/aulas de reforço para os
alunos com baixo desempenho na disciplina? ( ) Não ( ) Sim
25. A escola disponibiliza para os professores utilizarem dentro de sala de aula
recursos como (pode marcar mais de uma opção): ( ) Livros ( ) Pincel e
lousa ( ) Computador/Notebook ( ) Data show ( ) Jogos ( ) Softwares
educativos ( ) Calculadora ( ) Outro. Qual?__________________
302
APÊNDICE B – Questionário a alunos do 2º ano
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO
Data ____/___/_____ 1. Qual sua idade? _______________ 2. Qual o seu sexo? ( ) Masculino ( ) Feminino
3. Quem é o seu responsável ? ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Avô ( ) Avó
( ) Tio ( ) Tia ( ) Irmão ( ) Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro.
Quem?____________ 4. Qual o nível de escolaridade de seu responsável?
Não escolarizado
( ) Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ª serie/1ª ao 5ª ano)
( ) Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ª serie/ 6ª ao 9ª ano)
( ) Ensino Fundamental Completo
( ) Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau)
( ) Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau)
( ) Ensino Superior (bacharelato, licenciatura ou tecnólogo)
5. Seu responsável trabalha? ( ) Não ( ) Sim
6. Você trabalha de forma remunerada? ( ) Não ( ) Sim ( ) Às vezes
7. Você estudou o ensino fundamental em que tipo de escola: ( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?_____
8. A escola onde você estuda atualmente fica no bairro onde você mora?
( ) Não ( ) Sim
9. Você faz algum curso? ( ) Informática ( ) Língua estrangeira
( ) Cursinho pré-vestibular ( ) Outro. Qual?___________
10. Você pratica algum esporte regularmente? ( ) Não ( ) Sim.
Qual?_______
Prezado(a) aluno(a) Neste momento estamos realizando um estudo que busca conhecer os dados escolares e profissionais seus e de seus pais, e conhecer sua avaliação sobre seus estudos e sobre o seu aprendizado em Matemática, para tanto necessitamos de sua participação respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
Muito obrigada!
303
11. Você já ficou em dependência? ( ) Não ( ) Sim. Em que disciplina? Em que
série?___________________ 12. Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito
13. Você tem dificuldade para aprender matemática?
( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito
14. Você se distrai nas aulas de matemática?
( ) Não, eu sempre presto atenção.
( ) Sim, eu não consigo prestar atenção.
( ) Às vezes, quando a aula está chata.
15. Você costuma estudar matemática fora do horário de aula? ( ) Só no período de prova.
( ) Só na véspera da prova.
( ) Só nos fins de semana.
( ) Todo dia.
( ) Alguns dias da semana. Quantos? _____________
( ) Não costumo estudar fora do horário de aula.
16. Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática? ( ) Professor
particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém
( ) Outros. Quem? _____________
17. Quando você estudou Função Afim, a maioria das aulas: ( )
iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios
( )
iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( )
iniciaram com a história do assunto para depois explorar os conceitos
( )
iniciaram com um experimento para chegar ao conceito
( )
iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
( )
iniciaram com jogos para depois sistematizar os conceitos
18. Quando você estudou Função Quadrática, a maioria das aulas: ( )
iniciaram pela definição seguida de exemplos e exercícios
( )
iniciaram com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( )
iniciaram com a história do assunto para depois explorar os conceitos
304
( )
iniciaram com um experimento para chegar ao conceito
( )
iniciaram com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
( )
iniciaram com jogos para depois sistematizar os conceitos
19. Para fixar o conteúdo de Função Afim seu professor costumava: ( )
apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
( )
apresentar jogos envolvendo o assunto
( )
solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático
( )
não propor questões de fixação
( )
solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver
20. Para fixar o conteúdo de Função Quadrática seu professor costumava: ( )
apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
( )
apresentar jogos envolvendo o assunto
( )
solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático
( )
não propor questões de fixação
( )
solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver
21. Você usa ou vê/percebe os conteúdos de matemática que você aprende
na escola em atividades/situações do dia a dia? ( ) Não ( ) Sim
305
22. A respeito de Função Afim e Quadrática e seus conhecimentos, preencha o quadro abaixo.
Conteúdo
Você estudou?
Grau de dificuldade
Sim
Não
Mu
ito
Fácil
Fácil
Reg
ula
r
Dif
ícil
Mu
ito
Dif
ícil
Definição da Função Afim
[ ( ) ,f x ax b com 0a ]
Gráfico da Função Afim
Função constante [ ( )f x b ]
Função linear [ ( )f x ax , 0a ]
Função identidade [ ( )f x x ]
Domínio e Imagem de uma Função Afim
Crescimento e decrescimento da Função Afim
Zero ou raiz da Função Afim
Estudo do Sinal da Função Afim
Inequação do 1º grau [ 0ax b ,
0ax b ]
Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Afim
Definição da Função Quadrática 2( )f x ax bx c , com 0a
Gráfico da Função Quadrática
Função Quadrática do tipo 2( )f x ax bx , com 0a
Função Quadrática do tipo 2( )f x ax c , com 0a
Função Quadrática do tipo 2( )f x ax ,
com 0a
Domínio e Imagem de uma Função Quadrática
Zeros ou raízes da Função Quadrática
Concavidade da parábola
Vértice da parábola
Valor de Máximo e de Mínimo da Função Quadrática
Estudo do Sinal da Função Quadrática
Inequação do 2º grau 2 0ax bx c e 2 0ax bx c
Situações-problemas envolvendo os conhecimentos sobre Função Quadrática
306
TESTE DA FUNÇÃO AFIM
1. Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função afim e escreva os valores de seus parâmetros. a) ( ) ( ) 4f x x b) ( ) 1( ) 2xf x c) ( ) 2( ) 2f x x d) ( ) ( ) logf x x
2. Determine a expressão algébrica que representa a função afim cujo gráfico passa pelos pontos ( 2,0) e (2, 4) .
3. Construa o gráfico da função ( ) 2f x x . Essa função é crescente ou
decrescente?
4. A corrida do Círio, realizada em Belém do Pará, surgiu em 1984, a partir da ideia de um grupo de corredores de rua que queriam homenagear Nossa Senhora de Nazaré. O CORBE (Corredores de Rua de Belém) promoveu a 1ª Corrida do Círio no dia 13 de outubro de 1984, na véspera da grande procissão do Círio de Nazaré. Cerca de 50 atletas participaram dessa 1ª edição. Um atleta leva em média 4 minutos para percorrer 1 km. Ele faz um percurso de x quilômetros. Qual a expressão algébrica que permite calcular o tempo, em minutos, que ele leva para percorrer os quilômetros? Sabendo que o percurso é de 10 km, em quantos minutos este atleta completou a prova? 5. Um comerciante gastou R$ 300,00 na compra de um lote de maças, como cada maça será vendida a R$ 2,00. Determine o zero da função.
x y
307
TESTE DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
1. Nas funções abaixo, marque com um “x”, a expressão algébrica que representa a função quadrática e escreva os valores de seus parâmetros.
a) ( ) ( ) 4f x x b) ( ) 4( ) logf x x c) ( ) 2( ) 5 2f x x x d) ( ) ( ) ( )f x sen x
2. Construa o gráfico da função 2( ) 2 1f x x x . Essa função possui
concavidade voltada para cima ou para baixo? 3. Encontre os zeros da função 2( ) 7 6f x x x .
4. A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h(t) = - t2 + 6t, determine: a) em que instante a bola atinge a altura máxima; b) a altura máxima atingida pela bola. 5. O Amazonas é o segundo rio mais extenso do planeta, apresenta 6,4 mil quilômetros, sendo menor apenas que o rio Nilo (7.400 quilômetros). A nascente do rio Amazonas está localizada no lago Lauri, nos Andes do Peru. O rio Amazonas está presente nos países do Peru, Colômbia e Brasil, em sua bacia hidrográfica estão também os países da Bolívia, Equador, Venezuela e Guiana. O rio nasce com o nome de Vilcanota, e recebe depois as denominações de Uicaiali, Urubamba e Marañón. Quando entra no Brasil, se torna Solimões, até o encontro com o rio Negro, próximo de Manaus. Desse ponto até a foz recebe o nome de Amazonas. O rio Amazonas, possui cerca de 1.100 afluentes, exemplos deles são: Rio Javari, Rio Jutaí, Rio Juruá, Rio Madeira, Rio Purus, Rio Coari, Rio Napo, Rio Negro, Rio Jari e Rio Paru.
Supondo que um dos afluentes do rio possui profundidade máxima de é de 4 metros. E, para se determinar a equação do leito de rio, basta possuir os registros, de distância e profundidade, em uma seção do rio. Considerando que foram registrados os seguintes dados, (0,0), (2,-4), (6,0), da distancia e profundidade do rio, em metros, ilustrado no desenho ao lado. Determine a expressão que represente o leito do rio.
x y
308
APÊNDICE C – Questionário a alunos do 1º ano
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO
Data ____/___/_____
Nome:______________________________________________________________
1. Qual sua idade? _______________
2. Qual o seu sexo? ( ) Masculino ( ) Feminino
3. Quem é o seu responsável ? ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Avô ( ) Avó ( ) Tio
( ) Tia ( ) Irmão ( ) Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro.
Quem?____________
4. Qual o nível de escolaridade de seu responsável?
( ) Não escolarizado
( ) Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 4ª serie/1ª ao 5ª ano)
( ) Ensino Fundamental Incompleto (5ª a 8ª serie/ 6ª ao 9ª ano)
( ) Ensino Fundamental Completo
( ) Ensino Médio Incompleto (antigo 2º Grau)
( ) Ensino Médio Completo (antigo 2º Grau)
( ) Ensino Superior (bacharelato, licenciatura ou tecnólogo)
5. Seu responsável trabalha? ( ) Não ( ) Sim
6. Você trabalha de forma remunerada? ( ) Não ( ) Sim ( ) Às vezes
7. Você estudou o ensino fundamental em que tipo de escola:
( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?__________
8. A escola onde você estuda atualmente fica no bairro onde você mora?
( ) Não ( ) Sim
Prezado(a) aluno(a) Neste momento estamos realizando um estudo que busca conhecer os dados escolares e profissionais seus e de seus pais, e conhecer sua avaliação sobre seus estudos e sobre o seu aprendizado em Matemática, para tanto necessitamos de sua participação respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
Muito obrigada!
309
9. Você faz algum curso? ( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Cursinho pré-
vestibular ( ) Outro. Qual___________
10. Você pratica algum esporte regularmente? ( ) Não ( ) Sim. Qual____________
11. Você já ficou em dependência?
( ) Não ( ) Sim. Em que disciplina? Em que série?___________________
12. Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito
13. Você tem dificuldade para aprender matemática?
( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito
14. Você se distrai nas aulas de matemática?
( ) Não, eu sempre presto atenção.
( ) Sim, eu não consigo prestar atenção
( ) Às vezes, quando a aula está chata.
15. Você costuma estudar matemática fora do horário de aula?
( ) Só no período de prova.
( ) Só na véspera da prova.
( ) Só nos fins de semana.
( ) Todo dia.
( ) Alguns dias da semana. Quantos? _____________
( ) Não costumo estudar fora do horário de aula.
16. Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?
( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém
( ) Outros. Quem? _____________
17. Você usa ou vê/percebe os conteúdos de matemática que você aprende na
escola em atividades/situações do dia a dia? ( ) Não ( ) Sim
310
APÊNDICE D – Folha de Gráficos A
Gráfico 1 Gráfico 2
2( ) 2f x x
2( ) 2f x x
Gráfico 3 Gráfico 4
2( ) 2 8f x x x
2( ) 4f x x x
Gráfico 5 Gráfico 6
2( ) 16f x x
2( ) 1f x x
311
Gráfico 7 Gráfico 8
2( ) 2 3f x x x
2( ) 2 2f x x x
Gráfico 9 Gráfico 10
2( ) 2 4 2f x x x
2( ) 6 9f x x x
Gráfico 11 Gráfico 12
2( ) 4 8f x x x
2( ) 2 3f x x x
312
APÊNDICE E - Ficha de avaliação das aulas
Ensino da função afim:___________________________, em: ___/___/____ Dê sua opinião sobre a aula de hoje. Assinado: ______________________
Ensino da função quadrática:_______________________, em ___/___/____ Dê sua opinião sobre a aula de hoje. Assinado:___________________________
313
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado
Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo
66113-200 Belém-PA
www.uepa.br