5. FUNKCIJE

1. Odredite područje definicije, nultočke , lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

.

Funkcija je neparna, jer je f(-x)=-f(x).

stacionarne točke nema toč.infl.

jer je f(1)=4

, jer je f(-1)=-4

Vertikalna asimptota V.A. je

x = 0 , jer je

Kosa :

2. . Odredite područje definicije, nultočke , lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

.

N.T.

stacionarne točke

T.I.

V.A.

1

-4 -2 2 4

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

x

y

0

nema V.A.,a ni H.A. ni K.A.

+ 0 - - - 0 +

- - - 0 + + +

Konk. max

Konk.T.I.

Konv. min

Konv.

3. Odredite područje definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

.

N.T.

stacionarna točka

Vertikalna asimptota:. je V.A.

Horizontalna asimptota.

nema H.A, a može se vidjeti da nema ni K.A.

2

0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

0

0

x

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

y

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

4. . Odredite područje definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

.

N.T.

stac. točke

T.I.

- + + -

Vertikalna asimptota:

Horizontalna asimptota: H.A.

5. . Odredite područje definicije, nultočke, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

.

N.T.

3

-4 -2 2 4 6 8

-4

-2

2

4

6

8 y

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

50

-1 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Vertikalna asimptota: V.A.

u x = 0 nema V.A.

Kosa asimptota:

K.A.

6. Odredite područje definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom

.

funkcija je parna

Nultočke:

stac. točke

4

+ - + -

, ,

Horizontalna asimptota:

7. . Odredite područje definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom

Rješenje: , , H.A.

, V.A.

8. Odredite područje definicije, nultočke , lokalne ekstreme, asimptote te skicirajte graf funkcije zadane formulom

5

-4 -2 2 4

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-4 -2 2 4

-2

2

4

6

8

x x

y

0

x

y

0

N.T.

stac.točke

V.A.

H.A.

- + -

9. Odredite prirodnu domenu, nultočku, asimptote, te skicirajte graf funkcije:

6

Nultočka:

Horizontalna asimptota:

10. Odredite prirodnu domenu, nultočku, asimptote, te skicirajte graf funkcije:

Rješenje: , N.T. , H.A.

-4 -2 2 4

-6

-5

-4

-3

-2

-1

11. Odredite prirodnu domenu, nultočku, asimptote, te skicirajte graf funkcije

Rješenje: , N.T. , H.A.

7

-4 -2 2 4

1

2

3

4

5

6

x

y

0

x0

y

-4 -2 2 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

12. Odredite prirodno područje definicije, lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

stac. točka

točka infleksije

Vertikalna asimptota: V.A.

Nema ni horizontalne ni kose asimptote.

1 2 3 4 5x

-2

-1

1

2

3

4

5y

8

x0

0

13. Odredite prirodnu domenu, točke ekstrema, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

N.T.

stac.točka

Horizontalna asimptota:

Desna:

Lijeva:

-4 -2 2 4

-3

-2

-1

1

2

3

14. . Odredite prirodnu domenu, točke ekstrema, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

funkcija je neparna

Funkcija nema ekstrema i funkcija raste na cijeloj domeni.

- +

9

x x

y

0

V.A. nema

K.A.

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

15. . Odredite prirodnu domenu, točke ekstrema, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

stac. točka

V.A.

- - +

10

x

y

0

Nema ni horizontalne ni kose asimptote.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

16. . Odredite prirodnu domenu, točke ekstrema, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

N.T.

stac. točka

V.A.

H.A.

2 4 6 8 10 12 14

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

11

y x

x 0

x

y

0

17. Odredite prirodno područje definicije, lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

Rješenje: , , V.A. x=1, T.I. za .

18. Odredite prirodno područje definicije, lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

.

jer je

stac. točka

točke infleksije

- - + +

- + + -

konk. konv.. .konv.. konk.

-2 2 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

12

x

y

0

19. Odredite prirodno područje definicije, nultočke, asimptote, te skicirajte graf funkcijezadane formulom:

Nultočke:

Kosa asimptota: y = k x + l

-2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

20. Odredite prirodno područje definicije, nultočke, lokalne ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

stac. točke

T.I.

funkcija je neparnaKosa asimptota:

13

x

y

0

K.A.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

21. Odredite prirodno područje definicije, nultočke, lokalne ekstreme, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

.

N.T.

stac. točke

+ - + - +

Asimptote: Vertikalna asimptota:Kosa asimptota:

14

x

y

0

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

22. Odredite prirodno područje definicije, lokalne ekstreme, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

ili

stac. točke

+ - - +

Vertikalne asimptote:

jer je

15

0

Kosa asimptota:

-4 -2 2 4x

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10y

23. Odredite prirodno područje definicije, nultočke, ekstreme, rast i pad, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

funkcija je neparna

N.T.

stac. točke

- + + - - + + -

Vertikalne asimptote:

Horizontalna asimptota: jer je

16

-6 -4 -2 2 4 6x

-3

-2

-1

1

2

3y

24. Odredite prirodnu domenu, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije

nema ekstrema

točka infleksije

Za funkcija je konveksna

Za funkcija je konkavna

Vertikalna asimptota:

Desna vertikalna asimptota

Horizontalna asimptota:

-4 -2 2 4 6 8x

-1

1

2

3

4

5y

17

25. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije .

nema nultočaka

i funkcija pada na D.

za nema točke infleksije

Vertikalna asimptota: nema V.A.

Horizontalna asimptota:

26. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije .

Zbog arcsin a zbog ex

nema nultočaka

nema ekstrema

nema točaka infleksije

Na D je funkcija raste funkcija je konveksna

Horizontalna asimptota: .

-5 -4 -3 -2 -1x

0.250.50.75

11.251.51.75

2y

18

0

y

x

2

2

2

27. Odredite područje definicije i asimptote funkcije . Odredite intervale rasta i

pada funkcije, ispitajte konveksnost, konkavnost funkcije te skicirajte njen graf.

Nultočka:

nema ekstrema

pada na D(f).

točka infleksije

funkcija je konveksna

funkcija je konkavna

Vertikalne asimptote:

-1 -0.5 0.5 1

-6

-4

-2

2

4

6

28. Odredite područje definicije i asimptote funkcije . Odredite intervale rasta i

pada funkcije, ispitajte konveksnost i konkavnost funkcije te skicirajte nje graf.

Rješenje: D(f)= , N.T. x = 0, V.A. x = -2, x =2, f raste na D, na je

konkavna, na konveksna-.

29. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije .

Nultočke:

19

0

y

x

točka infleksije

- + +

+ + -

konveksna konkavna

1 2 3 4 5x

1

2

3

4

5y

30.Odredite prirodno područje definicije, nultočke, lokalne ekstreme, točke infleksije i asimptote funkcije zadane formulom:

N.T.

stac. točke

točka infleksije

20

0

Vertikalna asimptota:Horizontalna asimptota:

31. Odredite prirodno područje definicije, nultočke, lokalne ekstreme, točke infleksije i asimptote funkcije zadane formulom

.

N.T.

stac. točka

točka infleksije

Vertikalna asimptota:

Horizontalna asimptota:

-4 -2 2 4 6 8x

-15

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

y

21

-4 -2 2 4 6 8x

2.5

5

7.5

10

12.5

15y

32. (a) Odredite domenu i asimptote funkcije .

(b) Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije .

(a)

Vertikalne asimptota:: Horizontalna asimptota:

(b) N.T. nema jer je

stac. točka

točke infleksije

-4 -2 2 4x

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4y

33. Odredite , tako da funkcija ima horizontalnu asimptotu

i minimum u . Skicirajte graf tako dobivene funkcije.

( zbog )

Zbog je: i

22

-6 -4 -2 2 4 6x

-2

2

4

y

V.A

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4

y

34. Odredite , tako da funkcija ima vertikalne asimptote

i ekstrem za . Skicirajte graf tako dobivene funkcije.

nultočke

Vertikalna asimptota:Horizontalna asimptota:

23

35. (a) Odredite domenu i asimptote funkcije .

(b) Odredite vrijednosti parametara a i b za koje funkcija ima

stacionarne točke . Ispitajte ima li funkcija u tim točkama lokalne ekstreme.

(a)

Vertikalna asimptota: V.A.

Kosa asimptota:

=

(b)

36. Ispitati tok i nacrtati graf funkcije .

, nultočaka nema

stac. točka

24

-2 2 4 6x

1

2

3

4

5y

+ + - -

Vertikalne asimptote:

lijeva V.A.

desna V.A.

Horizontalna asimptota:

37. Odredite područje definicije i asimptote funkcije . Odredite intervale rasta i

pada funkcije, ispitajte konveksnost, konkavnost i skicirajte graf.

Asimptote: V.A. jer je

H.A. jer je

za funkcija pada za funkcija raste

funkcija je konkavna

25

1 3

-4 -2 2 4x

-5

-4

-3

-2

-1

1

2y

38. Odredite područje definicije, nultočku, ekstreme, točke infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

.

N.T.

nema ekstrema

T.I.

H.A.

39 .Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije. .

26

-3 -2 -1 1 2 3x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

y

stacionarne točke

- + + - -

+ + - - +

konveksna konkavna konveksna

Asimptote: H.A.

horizontalna asimptota

-4 -2 2 4 6 8x

2

4

6

8

y

40. Ispitajte tok i nacrtajte graf funkcije .

27

Nultočaka nema, jer je .

stac. točka

funkcija je konveksna

- + -

Asimptote: V.A.

H.A.

41. Odredite područje definicije, nultočku, ekstreme, točku infleksije, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

.

N.T. x – 2 = 0 x = 2

nema ekstrema

28

točka infleksije

horizontalna asimptota

42. Odredite područje definicije, nultočke, intervale rasta i pada, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom

.

N.T.

nema stac. točaka

- +

Asimptote:

V.A.

H.A. i K.A. nema

29

43. Odredite područje definicije, nultočke, intervale rasta i pada, asimptote, te skicirajte graf funkcije zadane formulom:

Domena:

Nultočka:

30

Asimptote: V.A.

nije V.A.

H.A.

44. Ispitaj tok i nacrtaj graf funkcije:.

Domena:

Nultočka:

funkcija pada na D(f), nema

ekstrema

H.A.

31