TARTALOM

Előszó ........ ................... ....... ....... ......... ....... ..... ..................... ...... .............. . 7

Bevezetés..................................... ......................................... ...... . 9

1. Ko m b in a t o r ik a ............................................................................................ ....... 111.1. Permutáció .................................. .................................................................. 111.2. V ariáció......................................................................... .................. .............. 171.3. Kom bináció.................................................................................................... 201.4. Binomiális tétel .......... ................................ ........ ......................................... 261.5. A binomiális együtthatók néhány tulajdonsága ........................................ 29

2. Esem ényalgebra ............................................. ............................ . 322.1. Alapfogalmak................................................. ............................................... 332.2. Műveletek eseményekkel....................... .............................. ................ . 392.3. Teljes eseményrendszer, összetett események ............................ ....... ...... 46

3. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ELEMEI .................................................................... 503.1. A valószínűség fogalma ........ ....... ....... .............................. .......... ............. 503.2. A valószínűség axiómái, tételek ....................... ........................ ................. 533.3. Klasszikus valószínűségi m ez ő ............... ................................................... 583.4. Feltételes valószínűség, szorzási szabály ................................................... 663.5. A teljes valószínűség tétele, a Bayes-tétel, valószínűségi fa ................. 703.6. Események függetlensége..... ...... ....................................................... ....... 743.7. Bemoullí-ldsérletsorozat............................................................ ................. 793.8. Geometriai valószínűség.............................................................................. 833.9. Szubjektív valószínűség .................. ....... .................. ................................... 84

4. Valószínűségi változó ................................................. .................................. 934.1. A valószínűségi változó fogalma ................ ................... ........ . 934.2. Az eloszlásfüggvény és tulajdonságai......................................................... 974.3. A sűrűségfüggvény és tulajdonságai..... ........................... ....... ................. 1034.4. A valószínűségi változó néhány jellem zője .............................................. 1094.5. Várható é rté k .............................................................................. ................... 1134.6. S zórás............... ................................ ....... ....... ......................... ................. . 120

5

5. Többdimenziós diszkrét eloszlások .................... ......................................1225.1. Együttes eloszlás, peremeloszlások ........................................................... 1225.2. Együttes eloszlásfüggvény.......................................................................... 1285.3. Kovariancia és korrelációs együttható ..................... .......... ...................... 133'5.4. Valószínűségi változók függetlensége.... ............................................ 1385.5. Feltételes eloszlás, feltételes várható érték, regressziós függvény ......... 141

6. Többdimenziós folytonos eloszlások* ................................ ...... ..............1496.1. Együttes sűrűségfüggvény ...................... .................................................... 1496.2. Várható érték, korrelációs együttható ....................................... ................ 1566.3. Valószínűségi változók függetlensége.................... .................................. 1596.4. Feltételes sűrűségfüggvény, regressziós függvény .................................. 161

7. Va lószínűségeloszlások .............. ................. ......... .......... .......................... . 1637.1. Karakterisztikus e loszlás....................................... .................. ................... 1647.2. Binomiális eloszlás .................. ...... .............................................................. 1657.3. Hipergeometriai e loszlás...... ......... ..................................... ................. . 1687.4. Poisson-eloszlás .................... ........ ..................................... ........ ................ 1717.5. Geometriai e loszlás........................................ .............................................. 1777.6. Egyenletes eloszlás ................................................................... ....... ........ . 1807.7.. Exponenciális eloszlás ............................................................................. . 183

8. N ormális eloszlás, normálisból származtatott eloszlások ....... 1888.3. Normális e losz lás........................................ ......................................... ....... 1888.2. A centrális határeloszlás-tétel ............................ ........................................ 1938.3. Normálisból származtatott eloszlások ................... ..................................... 1968.4. Kétváltozós normális eloszlás* ................................................................... 200

9. Becslő formulák ............................... ................................................................2039.1. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség .................... ................... ........... . 2039.2. A nagy számok törvénye..............................................................................208

Tárgymutató .................................. ......... ......... ............................ . 214

6

ELŐSZÓ

Az oktatási feltételek megváltozása miatt újra át kellett gondolni, melyek azok az ismeretek, amelyek a képzési cél eléréséhez feltétlenül szükségesek, és a rendelke­zésre álló időn belül megfelelő mélységig oktathatók. Ezeket a könyv azon részei tartalmazzák, amelyeket sem a csillag jelzéssel, sem apró betűs szedéssel nem kü­lönböztettünk meg. Az apró betűvel szedett, illetve csillaggal jelölt részek ajánlott ismereteket tárgyalnak, A könyvet úgy szerkesztettük, hogy a jelzés nélküli részek apró betűs, illetve csillaggal jelölt részekre ne hivatkozzanak.

A megértést példákkal, ábrákkal igyekeztünk elősegíteni, így a könyv remé­nyeink szerint önálló tanulásra is alkalmas, és a nappali tagozatos hallgatókon kívül a levelező- és távoktatásban részt vevő hallgatók is eredményesen használhatják.

Végezetül a szerzők nevében is köszönetét mondok a Budapesti Gazdasági Főiskola Módszertani Intézeti Tanszék vezetésének és munkatársainak munkánk segítéséért. Ugyancsak köszönet illeti a lektorokat és dr. Emyes Éva egyetemi adjunktust a kézirat alapos átnézéséért és hasznos tanácsaikért.

Eredményes munkát kívánunk!

Budapest, 2007. január

Dr, Csernyák László szerkesztő

7

BEVEZETÉS

A valószínűségelmélet, valószínűségszámítás az a tudomány, amely a véletlen jelenségekkel foglalkozik. Magyar nyelvterületen az utóbbi elnevezés honosodott meg. A valőszínűségszámítás feladata a véletlen jelenségek összefüggéseinek, tör­vényszerűségeinek feltárása, a köztük levő kapcsolatok elemzése, azzal a céllal, hogy ezeket a gyakorlati problémák megoldásában tudatosan és eredményesen hasznosítani tudjuk.

A legrégibb ismert valószínűségszámítási probléma Lucas dal Borgo Pacioli 1494-ben Velencében nyomtatott könyvében található. Az akkor divatos labdajá­tékokkal kapcsolatban vetette fel a szerző azt a kérdést, hogyan osztozzanak a játé­kosok a téten akkor, ha a játékot félbehagyják. Amikor az újkor elején a világ­tengereken is megindult a hajózás, egyre inkább előtérbe került a kockázat kérdése. A ló. és 17. században igen széles körben elterjedtek a szerencsejátékok, ezért nem véletlen, hogy először éppen a kockajátékokkal kapcsolatban merültek fel olyan problémák, amelyek megoldása valószínűségszámítási meggondolásokat tett szük­ségessé. így feljegyezték, hogy Pascal (1623-1662) francia matematikus figyelmét a valószínűségszámítási problémák felé egy híres szerencsejátékosnak, de la Méré lovagnak egy hozzá intézett kérdése fordította. A szenvedélyes kockajátékos azt állította, hogy a szerencsejátékok néhányszor a matematikai szabályoknak ellent­mondó eredményekhez vezetnek. Ebből a problémafelvetésből indult ki Pascal és egy másik matematikus, Fermat (1601-1665), és számításokkal cáfolták meg a francia nemes sejtését.

Később egy másik nagy matematikus, Jacobus Bemoulli (1654-1705) „Ars conjectandi” („A sejtés művészete”) című posztumusz munkájában először történt utalás arra, hogy az új matematikai elmélet alapvető fontosságú a tömegjelenségek vizsgálatában. Bemoulli unokaöccse! sikerrel alkalmazták a valószínűségszámítást a politikai tudományokban, a demográfiában, a gázok kinetikus elméletében, a döntéselméletet előkészítő feladatokban.

Jelentősen hozzájárultak még a valószínűségszámítás fejlődéséhez Huygens (1629-1695), de Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827). Ez utóbbi „A való­színűségek analitikai elmélete” című munkájában szigorú megalapozottsággal so­rolja fel a valószínűségelmélet alaptételeit.

9

A 19. század nagy matematikusai közül Gauss (1777-1885), Poíncaré (1854- 1912), Csebisev (1821-1894), Markov (1856-1922), Ljapunov (1857-1918) nevét említjük meg.

Á múlt század első harmadában a valószínűségszámítás klasszikus módszerei már nem voltak elégségesek a valóságot új és új oldalról megközelítő természet- tudományok igényeinek kielégítésére. Kolmogorov 1933-ban megjelent „Á való­színűségszámítás alapfogalmai” című művében a valószínűség objektív értelmezé­séből kiindulva a valószínűségszámítást teljes matematikai szigorúsággal néhány axiómára építette fel. Ezt megelőzően a magyar Jordán Károly, a francia Frédiét, az orosz Bemstein és még sokan mások is hasonló irányban munkálkodtak. Ezzel a valószínűségszámítás megalapozásával kapcsolatos több évtizedes vita nyugvó­pontra jutott, s a matematikának ez a fiatal ága mind elméleti, mind gyakorlati vonatkozásban rohamos fejlődésnek indult,

Ez az elmélet napjainkban is nagy fejlődésen megy keresztül, majdnem kivétel nélkül alkalmazható az összes tevékenységi területen, A valószínűségszámítás elméleti kérdéseiben, valamint közgazdasági, ipari,'’biológiai, fizikai, operációkuta­tási stb. alkalmazásában magyar kutatók kiemelkedő eredményeket értek el.

10

1. KOMBINATORIKA

A valószínűségszámítás klasszikus felfogása alapvetően két gyökérre támaszkodik, a kombinatorikára és az eseményalgebrára. Ezek közül történetileg is az első a kombinatorika, mellyel játékos formában már mindannyian kora gyermekkorunk­ban is találkoztunk.

Azt, hogy a tudomány is felhasználja a kombinatorika elméletét és módszereit, bizonyítja a gazdasági, természettudományos és műszaki szakirodalom sokrétűsé­ge, nagy száma.

Ebben a fejezetben azokkal a - részben már ismert - kombinatorikai fogalmak­kal és tételekkel foglalkozunk, melyek a klasszikus valószínűségszámítási felada­tok megoldásához hasznos segítséget nyújtanak.

Kissé túl általános, de lényegét tekintve jó meghatározás szerint a kombinato­rika a véges halmazok elmélete. Ez nem jelenti azt, hogy a kombinatorika minden, a véges halmazokkal kapcsolatos matematikai problémával foglalkozik. Főként csoportalkotási kérdéseket vizsgál. Ezek közül tankönyvünkben csak két alapfel­adatra szorítkozunk, mégpedig megvizsgáljuk:

> Hányféleképpen lehet egy véges halmaz elemeit sorba rendezni.> Hányféleképpen lehet egy véges halmaz elemeiből bizonyos számú elemet

kiválasztani.

Természetesen kitérünk a fenti problémák megoldásánál kapott eredményeink közti összefüggések feltárására és néhány, speciális alkalmazási területére is.

1.1. Permutáció

A permutáció röviden adott számú elem sorba rendezését jelenti. Aszerint, hogy az elemek mindegyike különböző, vagy vannak köztük egyformák is, ismétlés nélküli vagy ismétléses permutációról beszélünk,

11

ISMÉTLÉS NÉLKÜLI PERMUTÁCIÓ

A könnyebb megértés kedvéért tekintsük a következő példát.

L L Példa,Egy beosztott bizonyos üzleti kérdés eldöntésére háromféle javaslatot dolgozott ki. Minthogy szerinte mindegyik javaslat rendelkezik előnyökkel, nehezen dönti el, milyen sorrendben ismertesse azokat főnökével és kollégáival a munkaérte­kezleten. Hányféle sorrendet alakíthat ki a munkatárs a prezentáción?

M e g o l d á s . Jelöljük a különböző javaslatokat A, B, C-vel! M ár csak az a kér­dés, hányféle sorrendje írható fel ezeknek a betűknek?

Az első helyre háromféleképpen választhatunk betűt. Ha ezt beírtuk, a má­sodik helyre csak kétféleképpen választhatunk. Mivel bármely első választáshoz bármelyik második választás tartozhat, ez 3 -2 eset. A maradék helyre csak a maradék betűt tehetjük, így a sorrendek számai 3 - 2 1 - 6 . Ha A-t választunk elsőnek és B-t másodiknak, akkor ABC a sorrend, ha C -t másodiknak, ak­kor ACB , Hasonló a helyzet, ha B, illetve C az első. A hat sorrend:

ABC BAC CABACB BCA CBA

Természetesen nem kell feltétlen ragaszkodnunk ehhez a szisztémához, lénye­ges azonban, hogy ne veszítsünk el egyetlen sorrendet sem.

Szokás a lehetőségek összeszámlálását ún. fával (1.1. ábra), máskor un. „csésze” modellel szemléltetni.

I . hely 2. hely 3. hely sorrend

1. L ábra

Megjegyzés:A kombinatorikai feladatok megoldásánál sok esetben jól használható két alapvető szabály, melyeket célszerű megismerni, ezek: az összegzési és a szorzást szabály.Kissé leegyszerűsítve közöljük ezeket.

12

Összegzési szabályHa egy bizonyos A objektumot m-félcképpen lehet kiválasztani, egy másik, B objektumot pedig n-féleképpen, akkor a vagy A, vagy 3 kiválasztás m + ^-féleképpen lehetséges.

Ahhoz, hogy a fenti összegzési szabályt sikeresen alkalmazhassuk, meg kell követelnünk, hogy az 4 objektum egyik kiválasztása se essék egybe a £ objektum valamelyik kiválasztásával.

Szorzást szabályHa az A objektumot m-féleképpen lehet kiválasztani, és bárhogyan választjuk is ki A-t, a B objek­tumot /i-féleképpen lehet kiválasztani, akkor az (A, B) párt a megadott sorrendben m - n-féleképpen választhatjuk ki.

Természetesen előfordulhat, hogy nem rendezett párokat, hanem rendezett n-eseket, vagyis több elemből álló elemkombinációkat kell előállítanunk. Ezeket a feladatokat ugyanezzel a módszerrel oldjuk meg.

DEFíNÍCIÓ. Adott n különböző elem. Az elemek egy meghatározott sorrendjét az adott n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük, és számu­kat a PH szimbólummal jelöljük.

1.1. TÉTEL, n különböző elem összes lehetséges sorrendjének (permutációinak) száma:

Pv = n ■ (n -1 ) • (n - 2) • ... * 1 = n ! (olv; n faktoriális).

Bizonyítás. A bizonyítást az előző példa megoldásánál felhasznált módszerrel vé­gezzük el.

Az összes lehetséges sorrend összeszámlálásához tekintsük az egyes "helyek ki­töltésének lehetőségeit! Az első helyen álló elem kiválasztására n lehetőségünk van, a másodikra n - 1 lehetőség, a harmadikra n - 2 lehetőség, , , , , az utolsó helyen álló elem kiválasztására már csak egy lehetőség marad (1.2. ábra).

1. 2. n.

/i-féleképpen (n-í)-féleképpen 1-féleképpen

1.2. ábra

így az n elem összes lehetséges sorrendjének, permutációinak száma:

Pn = n • (n -1 ) • (n - 2) • ... • 1 = ni

11.2. Példa.Egy színházi előadásra 5 fiú és 5 lány vett egymás mellé szóló jegyeket. Hányféleképpen ülhetnek le, ha két lány és két f iú nem ül egymás mellé?

13

MEGOLDÁS. A lehetséges elhelyezkedés vagy / I f i f i f i f i , vagyis fiú ül az első helyen, vagy l f i f l f i f i f , vagyis lánnyal kezdődik az ültetés. Minden fiú-ülésrendhez 5!-féle lány-ülésrend tartozik, és a fiúkat is 5!-féleképpen ren­dezhetjük sorba. A lehetőségek száma: 2-5!-5í=28 800.

Az alábbi példabelihez hasonló problémák gazdasági környezetben is gyakran előfordulnak, emiatt érdemes megismerkedni az ún. ciklikus permutációval. Ennek az a jellemzője, hogy a permutált elemeknek csak egymáshoz viszonyított helyze­tére vagyunk tekintettel, vagyis két sorba rendezést csak akkor mondhatunk külön­bözőnek, ha forgatással nem vihetők át egymásba.

1.3, Példa,Hét kislány járja a körtáncot. Hányféleképpen állhatnak körbe?

M eg o ld á s . A tánc elején ki kell alakítani a kört. Álljon fel a táncot tani tó „fő­táncos”, és hívjon maga mellé valakit. Erre 6 lehetősége van. Ezután a máso­dik táncos mellé hív újabb lányt, ekkor 5 személy közül választhat, és így tovább, amíg az utolsó kislány megfogja a „főtáncos” szabad kezét, és kialakul a kör. A lehetőségek száma: 6 • 5 • 4 - 3 ■ 2 ■ 1 = 6 !

Általánosan, n elem ciklikus permutációinak száma: Pu_x = (n -1)!

A ciklikus permutációval kapcsolatos szokásos feladattípus a kör alakú asztal mellé ültetés problémája is, melynek során a ciklikus permutáció csak azzal a meg­kötéssel használható, hogy az ülőhelyek azonos adottságokkal rendelkeznek, csak a személyek szomszédsági viszonyai fontosak.

Ismétléses permutáció

Az ismétléses permutáció abban különbözik az ismétlés nélkülitől, hogy a sorba rendezendő elemek között vannak egyformák (azonosak) is.

1.4. Példa,Egy négyfős hallgatói csoport tanári tévedésből kétféle feladatsort kapott, még­pedig egyvalaki A, hárman B változatot. Hányféle kiosztási lehetőség van?

MEGOLDÁS, a lehetséges kiosztások:' ABBB, BÁBB, BBAB, BBBA, összesen4-féle. Vagyis sokkal kevesebb lehetőség, mintha mindenki különböző változa­tot ima. Hogy a kétféle permutáció közti kapcsolatot meghatározhassuk, kiindu­lásként különböztessük meg a B jelű feladatsorokat indexekkel: Bt , B3, B2.

14

így, ha az első hallgató kapja az A jelű feladatsort, a többiek között 3! = 6 - féleképpen osztható szét a három B jelű, indexszel megkülönböztetett változat.

Ismétlésespermutációk ABBB BABB BBAB BBBA

Ismétlésnélküli

permutációk

AB\M2B2

AB1B2B2 AB * BxÁB2BjBiAB^BiBjABtJ3iB\

B1.1

ByÁB-tfiiBzABfBjBiABjB i

B3AB;B2B2AB2Bx

B-jhABfB \ByAB2 BzBiAB^ BjByAB 1BjBiÁBj

3 \

B \S2B3A BsBiBtAB2B tBy4 BjB^BiA BiB,B2AB3BzBjA

Ha a második hallgató íqa az A változatot, ugyanúgy 3!-féle B kiosztás! le­hetőség társul hozzá, és így tovább a harmadik és negyedik hallgató esetében.

Megállapítható tehát, bármelyikük is kapja az A jelű feladatsort, a hozzá kapcsolódó indexes B esetszám 3!= 6. Tehát ekkor, ismétlés nélküli permu­táció esetén, 4 • 3!= 4! lenne a megoldás. Ezek az esetek azonban a valóságban nem adnak új megoldásokat.

Vagyis az ismétlés nélküli permutációk száma annyiszorosa az ismétléses permutációk számának, ahányféleképpen sorba rendezhetjük egymáshoz képest az azonos tulajdonságú, a példában csak indexszel megkülönböztetett elemeket. Ebben a feladatban az ismétléses permutációk száma hatodrésze az ismétlés nél­küli permutációk számának.

D e f i n í c i ó . Adott n elein, melyek között r (r < n ) különböző található, ezek ű, ,

a2> ■■■> ar .Ha az ű, elem /c, -szer, az a2 elem lc2-szőr, ... az a elem

kr -szer fordul elő, és k í + k2 + ... + kr — n , akkor az n elem egylehetséges sorrendjét ezen elemek ismétléses perm utációjának ne­vezzük.

A permutációk számát a p^ “ k szimbólummal jelöljük.

1.2. TÉTEL. Rögzített n, r és kt , k2, ..., kr esetén az ismétléses permutációkszáma:

Bizonyítás, Kövessük az 1.4, példában látott módszert.A tétel igazolásához az n elem egy tetszőleges permutációjában az ismétlődő

(azonos) elemeket egymástól megkülönböztetjük (pl. úgy, hogy indexekkel látjuk el őket). Á k t -szer ismétlődő elem ez esetben kx! különböző permutációt, a k1 -szőr ismétlődő elem k t l különböző permutációt jelent; és a gondolatmenetet folytatva látj uk, hogy egy ismétléses permutációból k t! k2 kr! különböző elemekből álló

permutáció nyerhető. Ha az ismétléses permutációk száma ’*'*, akkor az

ismertetett eljárást ezek mindegyikére alkalmazva kJ.k2\ - . . . - k t \P ^"k" " 'K) ismétlés-" nélküli permutációt kapunk, amely ni-sál egyenlő. Képletben

k}ík2\ •... ■ kF\P^,’kz"",k' ) =nl

Ebből már az 1.2. tételben felírt egyenlőség adódik.

Megjegyzés:Általában a probléma megfogalmazásából következtetünk arra, ismétlés nélküli vagy ismétléses permutáció segít-e a megoldásban. Nézzünk egy példát erre!

1.5. Példa.Egy nőiruha-üzlet egyik polcán öt különböző méretű pulóver van összehajtva egymáson, közülük kettő lila, három rózsaszín.

Hányféle sorrend alakítható ki köztük, ha a mérettől eltekintünk, csak a puló­verek színe fontos?

Hányféle sorrend alakítható ki köztük, ha egymáshoz képesti elhelyezkedé­sükben a méretre is tekintettel vagyunk?

M egoldás.Míg az első kérdés megválaszolásához az ismétléses, a másodikéhoz az ismétlés nélküli permutáció segít hozzá. Ha a mérettől eltekintünk, akkor a színösszeállí­tások lehetséges számát ismétléses permutációval határozhatjuk meg, vagyis a sorba rendezés lehetőségeinek száma:

Ha a méret is fontos, akkor az öt különböző tárgy sorba rendezési lehetőségeinek számát keressük, amely Pa = 5!= 120 .

16

1.2. Variáció

A variáció hétköznapi, egyszerű megfogalmazásban különböző elemek közül adott számú elem kiválasztását jelenti, azzal a feltétellel, hogy a Idválasztás sorrendje sem közömbös. Ahogy a permutációknál, itt is beszélhetünk ismétléses és ismétlés nélküli variációkról, attól függően, megengedjük-e egy elem többszöri kiválasztását.

Ismétlés nélküli variáció

Tekintsünk ismét először egy példát!

1.6. Példa.A cég hat, eddig kiváló teljesítményt nyújtott dolgozója között három különböző hétvégi utazást sorsolnak ki. Mindenki legfeljebb egyféle jutalomban részesül. Hányféleképpen végződhet a sorsolás?

MEGOLDÁS, a megoldáshoz felhasználhatjuk a permutációknál már megismert modelleket.

Először az első utazásra sorsolunk ki valakit, ennek ó-féle lehetősége van. Ezután kisorsoljuk a második, majd a harmadik utazás nyertesét (1,3. ábra). Mivel ezeket nem nyerheti meg ugyanaz a személy, már csak 5, illetve 4 esé­lyes maradt. A lehetőségek száma összesen: 6 • 5 • 4 = 120.

2. 3,

6-féleképpen 5-féleképpen 4-féleképpen

I 1.3. ábra

DEFINÍCIÓ. Adott n különböző elem. Ha adott n elem közül k elemei (0 < k< n) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sorra, és a kivá­lasztás sorrendje is számít, akkor az n elem egy k-adosztályú ismét­lés nélküli variációját kapjuk.

A z n elem egy A-adosztályú ismétlés nélküli variációinak számát a V* szim­bólum jelöli.

Az előző példa megoldása (V* - 6 ■ 5 ■ 4) általánosítható, melyet tétel formájá­ban fogalmazunk meg.

1.3. TÉTEL. Adotí n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma: V* = « ■ ( « - 1) • (n - 2) + 1).

Más alakban: V k = — '.... .' (n — k)\

Bizonyítás. Ha n elem közöl k darabot választunk ki úgy, hogy a kiválasztás sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor az elsőt w-ből, a másodikat (n - l)-ből, a harmadikat ( n - 2)-ből, az utolsót n - ( k - í ) = n - k + l elemből választhatjuk.

Ez összesen: Vj - n ■ (n - 1 ) ■ (n - 2) • - (n - k + \) lehetőséget jelent.

Könnyen belátható, hogy a variációk számának kétféle felírása ekvivalens.

Megjegyzés:Ha n - k , az n elem &-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma megegye­zik az n elem ismétlés nélküli permutációinak számával.

Ahhoz, hogy a variációk számának tört alakú kiszámítási módja értelmezhető legyen, szükséges a 0!= 1 definiálása.

1.7. Példa.Egy dobozban 10 cédula van, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ó, 7, 8, 9 számjegyekkel megjelölve. Egymás után négy cédulát húzunk ki, úgy, hogy a kihúzott cédulát a húzás után nem tesszük vissza. A kihúzott cédulákon levő számjegyeket a hú­zás sorrendjében újuk egymás mellé. Hány esetben kapunk:a) páratlan négyjegyű számot;b) 1 0 -zel osztható négyjegyű számot?

M e g o l d á s .a) Ha a végeredmény négyjegyű páratlan szám, akkor utolsó helyen az 1, 3, 5,

7, 9 valamelyike állhat, azaz az utolsó helyet 5-féleképpen tölthetjük tó. Marad még 9 számjegy. Az első helyen a 0-t Idvéve minden megmaradt jegy szerepelhet, ez 8 lehetőséget ad. A második helyen, mivel már két számot előzőleg elhasználtunk, 8 -féle, a harmadik helyen 7-féle számjegy szerepelhet. Az összes lehetőségek száma:

5 - 8 -8 -7 =2240.

b) Ha a négyjegyű szám 10-zel osztható, ez azt jelenti, hogy Q-ra végződik, azaz az első három hely kitöltésére annyi lehetőség van, ahányféleképpen a9 jegyből hármat ki tudunk választani, a sorrendet is tekintetbe véve:

V* - 504.

18

ISMÉTLÉSES VARIÁCIÓ

Fogalmazzuk át az 1.6. példát!

1.8. Példa.A cég hat, eddig kiváló teljesítményt nyújtott dolgozója között három, különbö­ző hétvégi utazást sorsolnak ki. Hányféleképpen végződhet a sorsolás, ha nem zárjuk ki, hogy egy "dolgozó több utazást is nyerhet?

M egoldás. Először az első utazásra sorsolunk ki valakit, ennek 6-féle lehető­sége van. Ezután kisorsoljuk a második utazás nyertesét. Mivel ezt ugyanaz a személy is megnyerheti, újra 6 esélyes maradt. Majd ugyanígy a harmadiknál. A lehetőségek száma összesen: 6-6- 6 = 216.

DEFINÍCIÓ. Adott n különböző elem. Ha az adott n elem közül k elemet úgy választunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasz­tás sorrendje is számít, aklwr az n elem egy k-adosztályú ismétléses variációját kapjuk

Az n elem fr-adosztáiyű ismétléses variációinak számát a V k(i) szimbólummal je­löljük.

1.4. T é te l . Adott n elem összes k-adosztályú ismétléses variációinak száma- VKktn=nk.

Bizonyítás. Ha n elem közül k darabot választunk ki úgy, hogy a kiválasztás sorrendjére is tekintettel vagyunk, akkor az elsőt n-ből, a másodikat szintén n- ből, a harmadikat is »~bol, és az utolsót, a A-adikat is n elemből választjuk. Ez összesen nk lehetőséget jelent.

19

1.3. K o m b i n á c i ó

A kombináció különböző elemek közül adott számú elem kiválasztását jelenti, azzal a feltétellel, hogy a kiválasztás sorrendje közömbös. Ebben az esetben is beszélhetünk ismétléses és ismétlés nélküli kombinációkról, attól függően, megen­gedjük-e egy elem többszöri kiválasztását.

Ismétlés nélküli kombináció

Változtassuk meg ismét kissé az 1.6. számú példa feltételeit, és vizsgáljuk így a sorsolás lehetőségeinek számát!

1.9. Példa.A cég hat, eddig kiváló teljesítményt nyújtott dolgozója között három, azonos hétvégi utazást sorsolnak ki. Mindenki legfeljebb egyféle jutalomban részesül. Hányféleképpen végződhet a sorsolás?

I. MEGOLDÁS.Az új feladat abban különbözik az 1.6. példától, hogy lényegtelen, kit melyik útra sorsolnak ki, vagyis elsőként, másodikként vagy harmadikként nyer, csak az a fontos, hogy benne legyen a három kiválasztott között. Jelöljük most a kiválasztási lehetőségek számát C] -mai! Ha az utazások egyformák, akkor a három nyertes megadása egy esetet jelent. Ha most megkülönböztet­nénk az utazásokat, akkor ebből az egy esetből 3!=6 esetet lehetne csinál­ni, hiszen ennyiféleképpen cserélgethetjük az utazásokat köztük. De így a variációk számát kapjuk, ezért

c> 3 != r(\ é s e tw i:

II, Megoldás.A hat kiváló dolgozó: András, Béla, Cili, Dóra, Emma és Feri közül hárman nyerhetik meg az utazást. Jelöljük a nevük alatt + előjellel, ha nyertek,- előjellel, ha nem nyertek. Minden kiválasztási lehetőséghez tartozik egy jelsorozat, és megfordítva. Kérdés, hány különböző, rendezett, + és - elő­jelekből álló hatos sort lehet képezni?

20

András Béla Cili Dóra Emma Feri1. + + + - -2, + + .... + _3. + + + -4, + + - — +5. + _ + + _ _6. + + _ + _

í t T” -L + - - +8. ~r +~ + _9, + - + _ +

10. + _ _11. _ + ■f + _12. - + + _ + -13. - + + - - +14, _ + _ + + _15. + + „ +16. - + _ - + 4*17. _ _ + + + _

H íg 7 1 -4- + +19. _ _ + - 4-20. _ __ _ + + 4-

Amint látjuk, nincs másról szó, mint arról, hogy három + jelet és három - je ­let hányféle sorrendben lehet felírni. A lehetséges sorrendek száma:

c , * - p , M = 6 13! 3!

Megjegyzés:Az ötös LOTTÓ húzásának aktusát megfigyelve szintén ezt láthatjuk. Noha az ötszerencseszámot egymás után választják ki, a nyereményt csak az határozza meg,hány, általunk megjátszott szám van az őt között, függetlenül a húzás sorrendjétől.Ha számítana a sorrend, az 5 számot 5! -féleképpen rendezhetnénk, de ez már90 elem 5-ödosztályú ismétlés nélküli variációja lenne. Ezért a húzás lehetőségei­

renek száma: -22. = cL .

51

DEFINÍCIÓ, Adott n különböző elem. Ha az adott n elem közül k elemet (0 < k < n) úgy választunk ki, hogy mindegyik csak egyszer kerül sor­ra, és a kiválasztás sorrendje nem számít, akkor az n elem egy k- adosztályú ismétlés nélküli kombinációját kapjuk.

21

Az n elem fc-adosztályű ismétlés nélküli kombinációinak számát a C* szimbólum jelöli,

1.5. TÉTEL. Adott n elem összes k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinakni

száma: C„ = -k\-{n — k)\

A fenti kifejezést szokás az\ 1i j

szimbólummal is jelölni (olvasd: n a latta k).

Bizonyítás. A bizonyítást a mintafeladat megoldásához használt mindkét módon elvégezhetjük.

I, írjuk fel az n elemet egymás mellé! Ezek közül válasszunk ki k elemet min­den lehetséges módon, Egy-egy ilyen kiválasztási lehetőséget szemléltethetünk úgy, hogy a kiválasztott elemek alá +, a nem kiválasztottak alá - jelet írunk, így az n elemet két csoportra osztjuk, közülük k e lem +, n - k elem - jelet kap, aszerint, hogy az adott elemet kiválasztottuk-e vagy sem. Ha a + és - je ­leket minden lehetséges módon elhelyezzük (permutáljuk), majd az azonos sor­ban álló + jelek feletti elemeket egy-egy csoportba összegyűjtjük, akkor meg­kapjak n elem összes /c-adosztályú ismétlés nélküli kombinációit,

Hány különböző, k darab + és n - k darab - előjelből álló sorozatot tu­dunk felírni? Ez megegyezik a + és - jelek olyan ismétléses permutációinak számával, amelyekben a + jel £-szor, a - jel (n - k )-szór fordul elő.

Az ismétléses permutáció összefüggését felhasználva;

Q k _ p ( k j t - k ) ■

k\{n - k ) \

II. A lehetőségek összeszámlálását kezdhetjük azzal, hogy az ismétlés nélküli variá­ciónak megfelelően kiválasztjuk a A db elemet, tekintetbe véve a sorrendet is. Ezek száma atmyiszorosa a keresett lehetőségek számának, ahányféleképpen a kiválasztott eleinek sorba rendezhetők, C* - k \ =V* . Innen egyszerű egyenlet­rendezéssel kapjuk meg az általánosított feladat megoldását.

c * _ K n\ ^ n ( n - l ) . . . ( n - * + l)" k\ k \ ( n - k ) \ ki

22

1.10. Példa,Hányféleképpen oszthatjuk ki a 32 lapból álló magyar kártyacsomagot négy já ­tékos között,a) ha mindenki 8 lapot kap?b) Hányféleképpen történhet az osztás, ha mindenkinél van hetes?

a)I. M e g o ld á s . Legyenek a játékosok Anna, Berci, Cili és Dani. Osszunk elő-

-féleképpen tehetjük meg. A megmaradószőr Annának 8 lapot! Ezt

^24 LH24 kártyából Berci -féleképpen kaphatja meg 8 lapját, ezután Ciliét

már csak 16 lapból választjuk/ 16''

, majd Dani egyértelműen a maradék

8 lapot kapja. A lehetőségek száma:

3 2 - 3 1 - . -25 24-,.,-17 16*. . . -9/3 2 >i ( 2 A )

, 8 j u ,, 8 ,

V 8! 8 !

32!(8!)4

= 9,956-10'6.

I I M e g o ld á s . Közelítsük meg a problémát úgy, hogy egy keverés után az egyes kártyalapokhoz hozzárendeljük a négy játékos nevének kezdőbetűjét, mégpedig nyolc-nyolc esetben. Ezután adjuk minden játékosnak azt a lapot, amelyik mellett az 6 kezdőbetűje áll. A kérdés most az, hány különböző sor­rendje van a nyolc A, nyolc B, nyolc C és nyolc D betűknek?

A megoldást visszavezettük 32 elem ismétléses permutációinak megha­tározására, ahol

p(8,8,8,8» _ 32! ss 8!-8!-8!-8!

= 9,950-10"

A két megoldás más-más modell felhasználásával természetesen ugyanazt az eredményt adja.

b) Ha biztosan van mindenkinél egy-egy hetes, ezek 4 .'-féleképpen lehetnek az egyes játékosok kezében. Minden egyes hetes elhelyezkedéshez tartozik annyi lehetőség, ahányféleképpen a négy kézben levő, összesen 23 lap kiosztható.

28'így az összes lehetőségek száma; 4!--------- :—

7J-7Í-7!-7!

23

Ismétléses kombináció

Ismét kezdjük a tárgyalást egy könnyen követhető mintapéldával!

1.11. Példa.Cégünk karácsony előtt megajándékozza személyesen is megjelenő partnereit kettő, a partner által négy különböző közül tetszőlegesen kiválasztható reklám­tárggyal. Az emblémás ajándéktárgyak a következők: esernyő, exkluzív toll, széldzseki, iratmappa. Hányféleképpen állíthatja össze ajándékait az éppen cé­günknél tárgyaló partner, ha lehetősége van arra is, hogy a két tárgy azonos legyen, ha ez tetszik legjobban?

MEGOLDÁS,A mintafeladat megoldásához ismét vegyünk fel egy táblázatot!Töltsük ki a táblázatot úgy, hogy az egyes tárgyak alá annyi + jelet írjunk, ahányat ebből a partner beválasztott a csomagjába, és 0 -át elválasztásként a tárgyak közé. Minden lehetséges jelsorozatban 2 db + jel és 3 db 0 áll.

Esernyő Toll Széldzseki Iratmappa

1 . + + 0 0 0

2. + 0 + 0 0

3. + 0 0 + 0

4. + 0 0 0 +5. 0 + + 0 0

6, 0 + 0 + 07. 0 0 0 i

8. 0 0 + 0 +

9. 0 0 + + 0

10. 0 0 0 + +

Ha a táblázatot elkezdjük szisztematikusan kitölteni, látjuk, hogy az öt tagból álló jelsorozat mindegyikének egyértelműen megfeleltethető egy választás, és megfordítva. Számoljuk össze, hány különböző jelsorozat írható fel!

A megoldást az ismétléses permutáció segítségével könnyen megadhatjuk:

24

DEFINÍCIÓ. Adott n különböző elem. Ha adott n elem közül k elemet úgy vá­lasztunk ki, hogy egy elem többször is sorra kerülhet, és a kiválasztás sorrendje m m számít, akkor az n elem eg)> k-adosztályú ismétléses kombinációját kapjuk.

A z n elem /c-adosztályú ismétléses kombinációinak számát a C f !) szimbó­lummal jelöljük.

1.6. TÉTEL. Adott n elem összes k-adosztályú ismétléses kombinációinak száma:

C m =/ n + k - Ú

kN S

Bizonyítás. A bizonyítást a mintafeladat megoldásához használt módon könnyen el­végezhetjük. A kiválasztási lehetőségeket számláljuk össze a táblázat segítségével!

Á képzeletbeli táblázat oszlopaiban az n különböző elem, illetve minden két elem között egy-egy elválasztó oszlop van. Minden elem alá tegyünk annyi + jelet, ahányszor kiválasztottuk az adott elemet. Válasszuk el egymástól az elemeket 0-val. így egy-egy, k darab + jelből és n - 1 darab 0-ból álló jelsorozathoz jutunk, A kiválasztások és jelsorozatok kölcsönösen megfeleltethetők egymásnak. A kérdés leegyszerűsödött arra a problémára, hány különböző jelsorozatot tudunk felírni.

Ezek száma megegyezik a + és 0 jelek ismétléses permutációinak számával,azaz:

(n + k - l ^—■ N ' "S —;»+i-' -.X. /,

\ ^ Jr m _ (» + * - ! ) !

k\(n — 1)!

Sokszor előfordul, hogy adott feladat megoldása helyett könnyebb az „ellenke­zőjét” megválaszolni.

1.12. Példa.Egy kockával hatszor dobunk. Hány olyan dobássorozat képzelhető el, melyben legalább egyszer előfordul a hatos?

I. MEGOLDÁS. A fenti feladat megoldására ismét kétféle gondolatmenetet hasz­nálunk.

Először közelítsük a problémát a kérdésfeltevésnek megfelelően, tehát vagy egyszer, vagy kétszer, vagy háromszor, ... dobtunk hatost a dobássorozatban, Ezek száma:

25

1-szer hatos:

2 -szer hatos:A

"613-szór hatos:A

4-szer hatos:

Í615-ször hatos:,5 ,

f6l6 -szor hatos:-A

■5 "=18 750;

■54 = 9375;

•53 = 2500;

*52 — 375;

•5'= 30;

■5°=1.

Mivel ezek az események egyszerre nem fordulhatnak elő, az egyes lehetőségek összege adja a feladat megoldását. így a kedvező dobássorozatok száma össze­sen: 31 031.

H. M e g o l d á s . Második összeszámolásunkban vegyük a probléma ellentetjét! Vagyis nézzük meg, hány olyan dobássorozat van, amelyben nincs egyetlen ha­tos sem! Vonjuk Id ezeket az eseteket az összes dobássorozat lehetőségeinek számából, és így megkapjuk a keresett esetszámot!

Az összes lehetséges dobássorozat száma: 6 6 = 46 6 5 6 .

„Rossz” dobássorozatok száma (nincs bennük hatos): 5S = 15 625 .

Vagyis a nekünk tetsző dobássorozatok száma: 6 6 - 56 =31 031.

1.4. Binomiális tétel

A kombinatorika eszközeivel egyszerű módszert nyerhetünk egy kéttagú kifejezés (binom) «-edik hatványának polinommá történő alakítására. Ezt mutatja be a kő­vetkező, ún. binomiális tétel.

26

1 ,7 . TÉTEL. Tetszőleges kéttagú kifejezés (binom) bármely nemnegatív kitevőjű hatványa polinommá atalátható a következő módon:

(a + b y =/ '' n '

a 4- a ”-'b + ...+

it

- I Kk j

v v

/ f l^

\ n ~ lJab'1-1 + b" =

a b ( n e N ; a , i e R ) ,

Az szimbólumot - a binomiális tételben betöltött szerepe miatt - binomiá­

lis együtthatónak nevezzük.Figyeljük meg, hogy az összeg n +1 tagból áll, az a és a b kitevőjének az

összege minden tagban n. Pa, a kitevője n-től 0-ig fogy, míg a b kitevője 0-tól re-ig növekszik és megegyezik az n alatti számmal.

A binomiális tételt n - l , 2, 3 -ra alkalmazva, az algebrából már jól ismert azo­nosságokhoz jutunk:

' in -1 esetén (a + b f = +- a°bl - a + b;

,1

'2 na2b° +

/ 2'' . . ( 2 Srr a h +\,0 / 2

n = 3 esetén (a + b f =' V /

c V +7 ,

\a b + a lb2 +,0y vO A

a.%1 = a2 + 2ab + b1;

3 'a b =

■■ai + 3a2b + 3ab2 + b}

A tétel n = 0 esetén is igaz, hiszen (a + h f -0

a°b° = 1

Bizonyítás. Az (a + b)" nem más, mint egy olyan n-tényezős szorzat, amelynek minden tényezője (a + b), azaz

(a + b)" = (a + b)(a + b) . . . (a + b) , n> 2 .

A szorzást elvégezhetjük úgy, hogy minden tényezőből egy-egy tagot szorzunk az összes lehetséges módon, és az így nyert szorzatokat összeadjuk.Például n = 3 esetén: (a + b f = (a + b)(a + b)(a + b ) ,

Ha mindhárom tényezőből az a-1 szorozzuk össze, c 3 -t kapjuk. Ha két {a + b) tényezőből a-1, a harmadikból b-1 vesszük, a2b -t kapunk. Ezt azonban

27

háromféleképpen tehetjük meg, hiszen a b-t választhatjuk az 1., a 2. vagy a 3. té­nyezőből. így tehát 3a2b adódik.

Ha egy (a + b) tényezőből választjuk az a-1, a másik kettőből a b-1, akkor

ab2 lesz a szorzat. És mivel ezt is háromféleképpen tehetjük meg, 3ab2 -et kapunk. Végül, ha egyik (a + b) tényezőből sem választunk a-t, más szóval mindhá­

romból a b-t szorozzuk össze, b3 lesz a szorzat. így (a + b f + 3a2 b + 3abz + b \

I 2 íjHasonló módon járunk el (a + b)H =(a + b)(a + b) ... (a + b), n > 2 esetében is.

Ha mindegyik (a + b) tényezőből az a-t szorozzuk össze, a" adódik.

Ha n -1 tényezőből az a-t, egyből a b-t szorozzuk össze, a “~'b lesz a szor­zat. De mivel ilyen szorzatot n esetben kapunk, mert az n tényező bármelyikéből választhatjuk a b-t, tehát na"~'b lesz az eredmény.

Ha n - 2 tényezőből a-t, kettőből b-t vesszük, a"~2b 2 lesz a szorzat. Mivel

azonban a b-t -féleképpen választhatjuk ki az n darab (a + b) tényezőből,

ÖsszesenV2y

a"~2b lesz az eredmény.

Hasonló módon, ha n - 3, n - 4 , ... tényezőből választunk a-t, a többi 3 ,4 , . . . tényezőből b-t, akkor «"”3ö3, a “~AbA, ... szorzatokhoz jutunk. Az

együtthatók pedig sorra/ . _\ f \n n

,3 ,?

,4y, ... lesznek, hiszen ennyiféleképpen választhat­

juk ki azokat az (a + b) tényezőket, amelyeknek a b tagja szerepel a szorzatban.Végül, ha egyik tényezőből sem választunk a-t, azaz mindegyikből b-t szer­

zünk össze, b" adódik.Az így nyert szorzatok összege, felhasználva, hogy

/ ,= 1 és n -( n)

a következő:

n na. b + ... +

n=

,0 ,ül +

Knjb",

és ezzel a tételt bebizonyítottuk.

28

1.13. Példa.Fejtsük ki a binomiális tétel alapján az ( j c2 - 2 y 3)5 hatványt!

/ 5"| , 5 / 5'v ( 5\( ^ ) 5 +

w{x5r (- 2 / y + ^ ( x2f ( - 2 y i ) 2 +

í 5^+ (X2y - ( - 2 / y + (x2) ' ( - 2 y y +v3y

- - íoxy + 4o*y - 80 *y + sox1/ 2 - 32ys.

1.5. A binomiális együtthatók néhány tulajdonsága

A binomiális együtthatókat ( n - 0 , 1, 2, ... értékekre) az ún. Pascal-féle három ­szögben helyezhetjük el.

n = 0

n — 1

n — 2

n — 3

n= 4

n - 5

vOy

í 1l\

4*1 (4''

l o j

vb

) ' i \

í 3'.2,) A\ ^4S\ '4

J v3,í v4 1f s'1 l

’51 (-5],3, \,4 j A

Az n értékelőiek megfelelően beszélhetünk 0-adik, első, második stb. sorról. A szimbólumok helyébe azok konkrét értékét beírva a Pascal-háromszög:

29

1

1 1 1 2 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

A Pascal-háromszög képzési szabályára e néhány sorból is következtethetünk. Minden sor kezdő és utolsó eleme 1. Minden sorban a középre szimmetrikus ele­mek egyenlőek, és bármely sorban az egymás mellett lévő számok összege egyenlő az alattuk levő számmal, A binomiális együtthatókra tehát érvényesek a következő tulajdonságok:

1 .8 . T é te l . Bármely k, n e N és 0<,k<n esetén fennáll

a) a szimmetriatulajdonság

( V ' n '

\n ~ kJb) az összegtulajdonság

’n + Ú

k + \,

c)

\ k j

n

k + 1

\

+

V

' n '

v2 j- 2 ".

Bizonyítás.a) Az állítás helyességéről könnyen meggyőződhetünk, hiszen értelmezésünk sze­

rint:

V * /

ni( n - k ) l k l

ésn - k

ni ni

Mivel azonban a két összefüggés csupán a nevezőben szereplő tényezők sor­rendjében tér el egymástól, így valóban igaz állításunk,

b) Tudjuk, hogy

v * ,

n\( n~k) \ k \

ésk + 1

ni[ » - ( * + !)]! ( * + !)!

30

Összeadva a két törtet

ni n\(k + í) + n \ ( n - k ) _( n - k ) \ k \ (n — k — !)!(£ 4-1)! (n -/c)!(/c +1)!

_ n\(n + 1) _ (re + 1)! +~ ( n - k ) \ ( k + 1)!~ (n~k ) l ( k + 1)1 ~ U + 1J

c) Az állítás helyességét a binomiális tétel segítségével könnyen igazolhatjuk. Legyen ugyanis a - 1 és 6 = 1, ekkor a binomiális tétel szerint

(1 + 1)"V

r~ T + . . . +vOy

rj<> + l Y

ahonnan

n n n— + +. . . +

Megjegyzés:a) A szimmetriatulajdonság állítása könnyen belátható algebrai átalakítás nélkül is,

egyszerű, gondolati úton. n elem közül ugyanannyi-féleképpen lehet k darabot kiválasztani, mint (n - k)-t, hiszen minden egyes k elemű részhalmaz kiválasz­tásánál kiválasztódik az ott maradó n - k elemű részhalmaz is.

b) Az összegtulajdonság bizonyítását szintén elvégezhetjük egyszerű, gondolati úton is.Az állítás jobb oldala átfogalmazható arra a kérdésre, hogy valamely n +1

elemű halmazból hányféleképpen lehet k +1 elemű részhalmazt kiválasztani.Tüntessük ki az n + 1 elemű halmaz egy elemét, vizsgáljuk meg, bekerül-e

ez az elem a kiválasztottak közé?Két eset van: a kitüntetett elem vagy beletartozik a k +1 kiválasztott közé,

vagy nem.Ha igen, a részhalmaz maradék k elemét a kiindulási halmaz n eleme kö­

zülí y{\

féleképpen választhatjuk. Ha a kitüntetett elem nincs a kiválasztottak

között, mind a A + 1 elemet a kiindulási halmaz n eleme közül választjuk

féleképpen, A két esetszám a kizáróság miatt összeadódik. Vagyis

k + 1

n + r

k + 1,c) A. c) szabály bizonyításával egyben azt is beláttuk, hogy bármely n elemű hal­

maznak 2" részhalmaza van, amibe beleszámoltuk az üres halmazt és az alap­halmazt is.

31

2. ESEMÉNYALGEBRA

Ha egy játékkockát elejtünk, abban biztosak lehetünk, hogy leesik, méghozzá az elejtés magasságától függően egyértelműen meghatározható idő múlva, szintén pontosan számítható sebességgel ér földet.

Azt, hogy mennyi lesz a „dobott szám”, nem tudjuk előre egyértelműen meg-: mondani, úgy szoktunk fogalmazni, ez a „véletlen műve”. Persze elkezdhetnénk: számolgatni, és a fizika törvényszerűségeit felhasználva, feltételezve, hogy a kocka; szabályos, a kezdeti feltételek precíz rögzítése után sok-sok munkával kiszámol­ható lenne az eredmény. Hétköznapi tapasztalatunkból kiindulva megállapíthatjuk,; hogy a kezdeti feltételek megállapítása sokkal komolyabb nehézséget jelentene, mindamellett számos további bizonytalanságot is rejtene, így sok más jelenséggel: együtt a kockadobást is véletlen jelenségnek tekintjük. Eddigi megfigyeléseinkkel: összhangban, azt mondjuk, az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számok közül mindegyikre azonos eséllyel számítunk,

A fenti példából kiindulva beszélhetünk tehát egyrészt tisztán determ iniszti­kus, a körülmények által előre, egyértelműen m eghatározott lefolyású jelensé­gekről, Ezek a természettudományok által leírt, pl. klasszikus fizikai, kémiai, mű­szaki tudományokból ismerősek.

Az események másik csoportja a köznyelv által véletlennek, a matematikában, statisztikában sztochasztikusnak nevezett jelenség. Ezeknek lefolyását teljes biz­tonsággal nem tudjuk megállapítani, mivel az összes körülményt egyrészt nem ismerjük, másrészt még ezek ismeretében is nehezen, túl nagy apparátus segítségé­vel állíthatnánk valamit a lefolyásról. Ebben az esetben csak arra törekszünk, hogy megismerjük a lehetséges kimeneteleket, és ezek előfordulásának valószínűségéi határozzuk meg. Elmondható tehát, hogy a véletlen jelenségeknek is oka van, de a jelenséget befolyásoló, lefolyását meghatározó összes feltételt, körülményt általá­ban nincs lehetőségünk, illetve esetleg nem is akarjuk megismerni.

Az eseményalgebra a valószínűségszámítással kapcsolatos véletlen jelenségek leírását, megértését teszi lehetővé. Ebben a fejezetben definiáljuk az esemény- algebra legfontosabb fogalmait, ezután megismerkedünk az események közti mű­veletekkel és összefüggésekkel.

32

2.1. Alapfogalmak

A bevezetőben említett véletlen jelenségeken belül a valószínüségszámítás olyan véletlen jelenségek vizsgálatával foglalkozik, melyeket azonos körülmények között (elvileg) akárhányszor megismételhetünk. A z ilyen jelenségeket véletlen tömegje­lenségeknek nevezzük. A meghatározásban nagyon erős az a feltétel, hogy azonos körülmények között biztosítható legyen az akárhányszor! megfigyelés. Gondolha­tunk itt az ókori bölcs, Hérakleitosz szavaira, miszerint kétszer ugyanabba a folyó­ba nem tudunk belépni. Miért tekinthető sok jelenség mégis megfelelőnek ebből a szempontból, azt jól példázza az egyszerű, a valószínűségszámítás kialakulásához vezető szerencsejáték. Azt mindannyian könnyen belátjuk, hogy a kocka-, az érme-, a kártyajátékok sora nagyon jó közelítéssel azonos körülmények között tetszőlege­sen sokszor lejátszható. Ehhez hasonlóan, azoknál a gazdasági folyamatoknál, me­lyeknél biztosítható a feltétel, a valószínűségszámítás eredményeit szintén felhasz­nálhatjuk. Itt példaként csak a legkézenfekvőbb minőség-ellenőrzési eljárást, a mintavételt említjük.

Ha egy szokványos értelemben vett „véletlen jelenséget” megfigyelünk, azt nem tudjuk pontosan előre megmondani, mi következik be. de azt általában igen, milyen eseményekre, „kimenetelekre” számíthatunk. A sztochasztikus, véletlen jelenségeknek mindig több eredménye, kimenetele lehet.

A véletlen tömegjelenség megfigyelését kísérletnek nevezzük, függetlenül at­tól, hogy a jelenséget mesterségesen hoztuk-e létre, vagy rajtunk kívülálló okok miatt következett-e be. Adott kísérlethez sok esetben többféle megfigyelési lehető­ség is rendelhető. Ezeket pontosan definiálni kell, mielőtt a lehetséges kimenetele­ket számba vesszük. Fontos, hogy a kísérlet tetszőleges eredménye ismeretében eldönthető legyen, hogy bekövetkezett-e az adott kimenetel.

DEFINÍCIÓ. Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi esem ényeknek nevezzük.

DEFINÍCIÓ, á z elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük és H-val j e ­löljük.

Ha a kimenetelek száma végtelen sok, ezek közül nyilván csak véges sok fog megvalósulni, de a többit is számon tartjuk mint lehetséges kimenetelt. Tekintsünk néhány példát!

2.1. Példa.a) Legyen kísérletünk az, hogy feldobunk egy játékkockát, és megfigyeljük a

felülre kerülő pontszámot. Ennek a kísérletnek hat lehetséges kimenetele van, ezek:

33

az 1-es pontszám kerül felülre, a 2 -es pontszám kerül felülre, a 3-as pontszám kerül felülre, a 4-es pontszám kerül felülre, az 5-ös pontszám kerül felülre, a 6-os pontszám kerül felülre,

H ~ {hl; Aj, Aj, h4, Aj, h61,

A H elemeit sokszor célszerűbb a /?,, Aj, ... sfb. szimbólumok he­lyett csupán az indexeikkel, azaz az 1 , 2 , . . . stb, számokkal jelölni. Ez ugyanis félreértést nem okoz, sőt, növeli az áttekinthetőséget. így az ese­ményteret jelen esetben az alábbi módon is megadhatjuk:

H = {l, 2, 3, 4, 5, 6},

b) Álljon a kísérlet egy pénzdarab (érme) feldobásából. Ennél a kísérletnél két kimenetel jöhet szóba:

írás van felül, fej van felül.

(Eltekintünk attól az - elvileg lehetséges - esettől, amikor az érme az élén áll meg.)

Jelöljük az írás felülre kerülését í-vel, a fej felülre kerülését pedig /-fel, azaz h{ = i és h2 = f . Ekkor az eseményteret így is megadhatjuk:

H = { i , / } •

c) Álljon a kísérlet két kocka feldobásából Mindkét dobás eredménye az 1, 2,3, 4, 5, 6 számok valamelyike.

Tekintsük a kísérlet kimeneteleit a fenti számokból álló rendezett szám­pároknak:

H = l ( i , j ) | í = l, 2, , . . , 6; j = l, 2 , . . . , 6 j ,

ahol az i az egyik kockán, j a másik kockán kapott pontszámot mutatja. Itt a H egy 36 elemű halmaz.

d) Az orvosi rendelőben történő várakozás esetében megfigyeljük a várakozási idő hosszát. A kísérletnek annyi kimenetele lehet, mint ahány különböző időtartam elképzelhető, tehát a 0 és egy ésszerű K felső határ között bár­milyen nemnegatív valós szám.

Bár a gyakorlatban a várakozási időt percekben mérjük és a perc tört­ré szé t nem jegyezzük fel, elvben mégis minden [0 ; K] intervallumba eső

34

értéket a kísérlet kimenetelének tekintünk;

H = [0;K] ,

ahol K egy pozitív valós szám (a várakozási idők felső határa).Az eseménytér szemléltetésére itt a 2.1. ábrán látható módot választhatjuk.

___________H

2.1. ábra

é) Megfigyeljük, hogy egy ABC-áruházba a nyitást követő első órában hány vevő jön be. Ekkor a kísérlet kimenetele azonosítható egy nemnegatív egész számmal, és

H = N.

Megjegyzés:Nem okoz problémát, ha a lehetséges kimenetelek halmazába beveszünk olyan „kimeneteleket” is, amelyek a gyakorlatban sohasem fordulnak elő, arra viszont ügyelnünk kell, hogy ne feledkezzünk meg olyanokról, amelyek ténylegesen fel­léphetnek.

A kockadobás nemcsak azért szerepel gyakran a valószínűségszámítással foglal­kozó könyvek példái között, mert történetileg jelentős szerepet játszottak a szeren­csejátékok a tudományág fejlődésében, hanem azért is, mert rajta keresztül egysze­rűen, szemlélet alapján közelíthetők meg az alapfogalmak.

Ahogy a fenti példákból is látszik, előfordulhat, hogy azonos helyzetben más­más lesz a megfigyelés tárgya, és ezzel együtt a lehetséges kimenetelek halmaza. Vegyük például az orvosi rendelőben történő várakozással kapcsolatos jelensége­ket! Megfigyelhetjük a várakozási idő hosszát, az előttünk megvizsgált betegek számát, a váróhelyiség hőmérsékletének változását, vagy akár rendszeres ellenőr­zés alkalmával a rendelőben mért tömegünk értékét. A 2,1. példában felsorolt kí­sérletek egy részében a kimenetelek száma véges, mint pl. a kockadobásra vonat­kozó kísérletnél, másokban elvileg végtelen, mint pl. a várakozási idő, a tömegünk, a hőmérséklet lehetséges értékei. Érdekes kísérlet a kimenetelek összeszámlálása szempontjából az előző példában az előttünk sorra kerülő betegek száma, melyben az eredmény elvileg tetszőleges természetes szám lehet: 0, 1, 2, k, ... . A valóságban természetesen csak véges sok eredmény képzelhető el, matematikai­lag azonban könnyebb megszámlálhatóan végtelen számú lehetséges kimenetellel dolgozni, pl. akkor, ha nem ismerjük a pontos felső korlátot.

35

A véletlen kísérletekkel kapcsolatban különféle állításokat fogalmazhatunk meg, amelyek helyességét a kísérlet kimenetele dönti el. Ezeket az állításokat esemé­nyeknek nevezzük. Ilyen esemény a játékkocka feldobásakor például az, hogy pá­ros számot dobunk, hogy legalább négyest dobunk stb. A pénztár előtti várakozási idő megfigyelésénél az, hogy 10 percen belül sorra kerülünk, vagy hogy legalább 2 percig kell vámunk stb,

Minden ilyen esemény az eseménytér valamely részhalmazával reprezentálható. Az az esemény, hogy a kockával páros számot dobunk, a H ~{l , 2, 3, 4 , 5, 6 } halma?. {2, 4, 6} részhalmazával is leírható. Az az esemény, hogy a várakozási idő 10 percnél kevesebb, megfogalmazható oly módon is, hogy megadjuk a vára­kozási idők [0 ; K} halmazának azt a részhalmazát, amelyet a mérési eredmény* ként nyerhető számértékek közül a 10-nél kisebb nemnegatív számok alkotnak. (Ez pedig nem más, mint a [0 ; 10 [ intervallum.)

2.2, Példa.A 2,1. példában ismertetett kísérletekre vonatkozóan különböző eseményeket fogalmazunk meg, majd megadjuk az ezen eseményeknek megfelelő részhal­mazokat:

Véletlen esemény

a) A játékkockával 4-nél nagyobbszámot dobunk

b) Az érmével való dobáseredménye írás

c) A két kockával egyformaszámot dobunk

d) A pénztár előtt legfeljebb2 percig keli várnunk

e) Az üzletbe a nyitás utáni elsőórában 300-nál kevesebb vevőjön be.

A véletlen eseménynek megfelelő részhalmaz

{5, 6}.

M-(2 : 2 ) , . . . ( 6 ; 6 ) )

(x j x e [0 ; 2 ]}.

j n <300, s é N ) .

Az elmondottakból kitűnik, hogy a véletlen események és a halmazok között köl­csönösen egyértelmű kapcsolat létesíthető. így a véletlen események vizsgálatánál felhasználhatjuk a halmazelméletben megismert fogalmakat és összefüggéseket.

Ezek után nézzük meg, mi a véletlen esemény matematikai definíciója!

DEFINÍCIÓ. A H eseménytér egy tetszőleges részhalmazát véletlen eseménynek (röviden eseménynek) nevezzük.

36

A fenti definíciónak megfelelően az elemi események a H eseménytér egyete­mit részhalmazai.

Megjegyzés:1 , A H eseménytér részhalmazait ezentúl - bár formailag halmazok - mindig

eseményeknek nevezzük. Az események nyelvén beszélünk, de szem előtt tart­juk, hogy halmazokról van szó. Továbbá, ha két eseményt ugyanaz a halmaz képvisel, akkor két esemény között nem teszünk különbséget, még akkor sem, ha esetleg szavakban másképpen fogalmazzuk is őket. így például az az ese­mény, hogy a kockával 3-nál kisebbet dobunk, ugyanaz, mint az az esemény, hogy a kockával 1 -et vagy 2-t dobunk.

2, Később látni fogjuk, hogy végtelen számosságú eseménvtéméi nem biztos, hogy minden részhal­maz eseménynek tekinthető.

Az események jelölésére a halmazoknál megismert jelölésrendszert alkalmaz­zuk, s ezért latin nagybetűkkel, A, B, C, ... stb., illetve indexszel ellátott latin nagybetűkkel, pl, Ax, A2, Á} ... stb. jelöljük őket.

Az események szemléltetése ugyancsak a halmazokra megismert módon, Venn- diagram segítségével történik.

A továbbiakban megismerkedünk az eseményekkel kapcsolatos újabb fogal­makkal.

Az eddig elmondottak alapján akkor mondjuk, hogy egy A esemény bekövet­kezik, ha a kísérlet kimenetele eleme az A eseményt reprezentáló halmaznak.

Ha a kockadobás eredménye 2, akkor bekövetkezett az az esemény, hogy pá­rosat dobunk, a 2-es szám ugyanis eleme a {2, 4 , 6} halmaznak. Ezzel egyidejű­leg minden olyan, a kockadobással kapcsolatos esemény is bekövetkezik, amelynél a 2-es szám eleme az eseményt reprezentáló halmaznak. Bekövetkezik például az az esemény is, hogy 1-nél nagyobbat dobunk, hiszen 2 e (2, 3, 4 , 5, 6}.

A H halmazt mint eseményt biztos eseménynek nevezzük, hiszen bármi is a kísérlet kimenetele, ez az esemény bekövetkezik.

Az üres halmazt - amely nem tartalmazza a H egyetlen elemét sem - mint eseményt lehetetlen eseménynek nevezzük, hiszen bármi is a kísérlet kimenetele, ez az esemény nem következhet be. A lehetetlen eseményt 0 -val jelöljük.

2,3. Példa.Egy urnában 3 golyó van, amelyeket az 1, 2 és 3 számokkal jelölünk. Ha a kísérlet az, hogy a három golyó közül egyet kihúzunk, akkor az eseménytér H = { 1, 2, 3}. A kísérlettel kapcsolatban értelmezhető összes esemény:

37

{1}, { 1 ,2 } , 1 1 , 2 , 3 } .

0 {2}, {1 ,3 } ,t {3}, { 2 , 3 } , f

lehetetlen biztosesemény esemény

Az összes esemény száma 23 = 8 (a biztos és a lehetetlen eseményt is beszá­mítva).

Á fenti események bármelyikét szavakban is megfogalmazhatjuk. Például az fi, 3} esemény azt is jelenti, hogy páratlan számmal jelölt golyót húzunk. '

Jelölje A azt az eseményt, hogy két kockával egyszerre dobva két 6 -ost do­bunk, B pedig azt, hogy a két kockával dobott pontok összege páros. Ekkor vala­hányszor az A bekövetkezik, bekövetkezik a B is. Ez természetesen azt jelenti, hogy az A eseményt reprezen­táló halmaz része a B eseményt reprezentáló halmaznak, azaz A c B .

Legyen A és B a H eseménytér két eseménye. Azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja a B ese­ményt, ha valahányszor az A bekövetkezik, bekövetkezik a B is. Ezt a tényt az A c z B szimbólummal jelöljük.

Az események közötti összefüggések szemléletesen jól láthatók, ha azokat az ún. Venn-d iagramok segítségével ábrázoljuk (2 .2 , ábra).

Nyilvánvaló, hogy minden A eseményre teljesül:

0 a A , A d A és A ez f f ,

továbbá, ha

A d B és B c z C , akkor A < z C .

Természetesen két esemény - A és B - akkor egyenlő egymással, ha bárme­lyikük bekövetkezése egyben a másik bekövetkezését is jelenti, azaz

A = B , ha A d B és B e i A .

2.2. ábra

A napi életből merített példából talán még könnyebben megértjük a fogalmat. Sokszor emlegetjük, néha még átvitt értelemben is a közmondást, miszerint „Nem minden rovar bogár, de minden bogár rovar.” Szép nyári nap nézzünk a lábunk elé, nehogy rálépjünk az arra sétálóra! Legyen az A esemény, hogy éppen bogarat

38

látunk, a B esemény, hogy rovart pillantunk meg, Könnyű eldönteni, igazak-e a következő állítások?

a) A c z B , b) B c z A , c) A = B .

2.4. Példa.Egy kétszemélyes társasjátékban a játékosok két kockával dobnak, és a dobott számok összegét figyelik meg. Jelölje A azt az eseményt, hogy az éppen soron kővetkező játékos dobásösszege 6, B pedig azt, hogy mindkét kockával 3-ast dobott.

Igazak-e a következő állítások?a) A d B , b) B<z A , c) A = B .

M EGOLDÁS.a) Ha az A esemény bekövetkezik, vagyis a dobásösszeg 6, akkor ezt a 2.1.

példa c) részének megfelelően az (1; 5 ), (5 ; 1), (2 ; 4 ) , ( 4 ; 2 ) , (3 ; 3) rendezett párok mindegyike megvalósítja. Ezek szerint, ha a dobásösszeg 6, nem biztos, hogy a (3 ; 3) kimenetel, vagyis a B esemény következett be. így ez az állítás hamis.

b) Ha mindkét dobás 3, ez biztosítja a 6 -ot mint dobásösszeget, így ez az állí­tás igaz,

c) Mível a két állítás közül csak az egyik bizonyult igaznak, c) hamis.

2.2, Műveletek eseményekkel

Mivel az eseményeket a H eseménytér részhalmazaiként definiáltuk, az esemé­nyek közötti műveleteket is a halmazokra megismert műveletek alapján tárgyaljuk, értelemszerűen átfogalmazva az események nyelvére. Ilyen értelemben beszélhe­tünk események ellentettjérol, összegéről, szorzatáról, különbségéről.

Egy A esemény „be nem következése” maga is esemény, jelölhetjük ezt A - sál. Ily módon A az eseménytér mindazon elemeit tartalmazza, amelyek az ese­ményben nincsenek benne, de HAioz tartoznak. Minden h e H -ra fenn kell áll­nia az alábbi két állítás egyikének és csak egyikének:

h e A és h g A

vagy

h e A és h £ A .

39

DEFINÍCIÓ. Az A a H esemény ellentétes eseményének (komplementerének) nevezzük azt az A szimbólummal jelölt eseményt, amely akkor követ­kezik be, ha A nem következik be, és A a H .

Egy A esemény ellentétes eseménye nem más, mint a H \ A komplementer halmaz.

A 2.3. ábrán Venn-diagram segítségével ábrázoltunk egy A eseményt és annak eMentettjét.

2.3. ábra

2.5. Példa.Feldobunk egy játékkockát.a) Legyen az A esemény, hogy legalább 3-ast dobtunk!b) Legyen a B esemény, hogy páros számot dobtunk!Mit jelentenek az A és B esemény ellentetjei?

M e g o l d á s .

a) A = {3, 4 , 5 , 6 } esemény, így A = { 1 , 2 } , amit szavakkal többfélekép­pen is kifejezhetünk. Pl.: legfeljebb kettőt dobunk, vagy háromnál keveseb­bet dobunk.

b) B = {2, 4, 6 } esemény, így 5 = {l, 3, 5} páratlan számot dobunk.

2.6. Példa.Tekintsük újra a 2.4. példában említett társasjátékot! Hány elemi esemény vonja maga után az A esemény komplementer vagy ellentett eseményét?

M e g o ld á s . Minden olyan dobásösszeg, ami nem 6 . Az elemi eseményekszáma 36, ebből A-hoz tartozik 5 elemi esemény. Az A esemény akkorkövetkezik be, ha a többi 31 elemi esemény bármelyike bekövetkezik.

2.7. Példa.Egy nagykereskedelmi cégnél három nyomtatóval dolgoznak. Jelentse az A ese­mény azt, hogy mindhárom nyomtató elromlik. Mit jelent A komplementere?

MEGOLDÁS. A z A itt azt jelenti, hogy a három közül legalább egy nyomtató működik.

40

A biztos esemény komplementerének a lehetetlen eseményt, és a lehetetlen ese­mény komplementerének a biztos eseményt tekintjük, azaz

H = 0 és 0 = H .

DEFINÍCIÓ. Ha A és B ugyanazon eseménytérhez tartozó két esemény, akkor azt az eseményt, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B esemény összegének (egyesítésének) nevezzük és az A u B szimbó­lummal jelöljük.

A z A u B esemény tehát bekövetkezik, ha akár az A esemény következik be, de a B esemény nem, akár a B esemény következik be, de az A nem, s végül akkor is, ha A is és B is bekövetkezik. Más szóval két ese­mény így értelmezett összege (egyesítése) olyan újabb esemény, amely a kísérlet mindazon kimeneteleit tartal­mazza, amelyek vagy csak az A eseményhez, vagy csak a B eseményhez, vagy egyszerre A-hoz is, 5-hez is tartoznak {2.4. ábra).

2.8. Példa.Feldobunk egy játékkockát. Legyen az A esemény, hogy legalább 3-ast dobtunk, a B esemény, hogy páros számot dobtunk. Mi lesz a két esemény összege?

MEGOLDÁS. A z A esemény: A = {3, 4 , 5, 6 }, a B esemény: B — {2, 4, 6 }.

A két esemény összege:

A u B = {3, 4, 5, 6}u{2, 4, ó} = {2, 3, 4, 5, 6 }.

2.9. Példa.Tekintsük a heti lottóhúzás elsőként kihúzott számát! Jelentse az A esemény, hogy az első szám páros, a B pedig, hogy nullára végződik! Mit jelent az A u B esemény?

MEGOLDÁS. A z A u B esemény azt jelenti, hogy a szám páros, vagy 0-ra végződik, ez azt jelenti, hogy B e: A , így A u B = A .

Az események összeadásának művelete tetszőleges számú eseményre kiterjeszt­hető. Azt az eseményt, hogy a H eseménytérhez tartozó A ,, Á2, ... , An esemé-

2.4. ábra

41

nyék közül legalább az egyik bekövetkezik, így jelöljük:

u i - A u A , u ... u A n .

tóHasonlóképpen értelmezzük az kj As eseményt arra az esetre, midőn megszámlál hatóan végtelen

sok esemény összegét képezzük:

«5\j A ,~ A. u A. U . . . , i=i '

Amikor egyértelműek az összeghatárok, akkor röviden az <jAt jelölést használjuk.

Ha egy kísérlettel kapcsolatban megfogalmazott A és B események közösen tartalmazzák az eseménytér egy vagy több elemét, akkor valahányszor ezek közül valamelyik bekövetkezik, A is és B is egyidejűleg (egyszerre) bekövetkezik.

DEFINÍCIÓ. Ha A és B ugyanazon eseménytérhez tartozó két esemény, akJíor azt az eseményt, hogy az A és B esemény egyszerre (egyidejűleg) bekö­vetkezik, a két esemény szorzatának (közös részének) nevezzük és az A c s B szimbólummal jelöljük (2.5. ábra).

2.5. ábra

2.10. Példa.Készítsük el a 2.8. példában megadott események szorzatát!

MEGOLDÁS. Mivel az A esemény: A = {3, 4, 5, 6 }, a B esemény: B = {2 , 4 , 6 },

a két esemény szorzata: A n B - { 3, 4, 5, 6}n{2 , 4, 6}={4, 6 },

42

2.11. Példa.Nézzük, mi lesz a 2.9. példában szereplő két esemény szorzata!

M EGOLDÁS. Az A n B esemény azt jelenti, hogy a szám páros, és 0-ra vég­ződik, ez azt jelenti, hogy B c A , így A n B - B .

Az események szorzásának művelete tetszőleges számú eseményre kiterjeszt­hető- Azt az eseményt, hogy a H eseménytérhez tartozó A,, A2, . . . , Ah esemé­nyek mindegyike bekövetkezik, így jelöljük:

r\A . - A, n A, n ... n A .i = i 1 1 i "

Hasonlóképpen értelmezzük a megszámlál hatóan végtelen sok esemény szorzatát is. Jelölésére a

r^A, = A. A, n .../=tszimbólumot használjuk.

sOA r\A i szimbólum helyett, ha nem okoz félreértést, a r \ / íf szimbólumot alkalmazhatjuk,

DEFINÍCIÓ. A H eseménytérhez tartozó tetszőleges A és B eseményeket egy­mást kizáró eseményeknek nevezzük, ha egyszerre nem következhet­nek be, azaz ha A n B = 0 .

Ilyen két egymást kizáró esemény például - egy játékkocka feldobásakor - a páros és a páratlan dobás eseménye.

Két esemény különbségét az alábbi módon értelmezzük.

DEFINÍCIÓ. Ha az A és B esemény ugyanazon eseménytérhez tartozó két ese­mény, akkor azt az eseményt, hogy az A esemény bekövetkezik, de a B nem, a két esemény különbségének nevezzük és az A \ B szimbó­lummal jelöljük (2 .6. ábra).

2.6. ábra

43

A definícióból következik, hogy a különbség lcét esemény szorzataként is felír­ható, mégpedig

A \B = A n B .

2,12. Példa.Képezzük a 2,8, példában megadott események különbségét!

MEGOLDÁS. Mivel az A esemény: 4 — {3, 4 , 5, 6},a B esemény: B = {2, 4, 6},

a két esemény különbsége: A \ B = {3, 4, 5, ó}\{2, 4 , 6 } = {3, 5}:Ha viszont a B \Á különbséget akarjuk meghatározni, a definíció szerint

azoknak az eseményeknek a bekövetkezését kell figyelnünk, amikor a B bekö­vetkezik, de az Á nem.

B \A = { 2, 4> 6}\{3, 4, 5, 6}={2}.

Összhangban azzal, amit a halmazoknál és a valós számoknál is tapasztal­tunk, a Idvonás nem kommutatív művelet!

Megjegyzés:A valószínűségszámítással foglalkozó irodalomban

az A u B helyett az A + B , az A n B helyett az A B , az A \ B helyett az A - B

jelölést is alkalmazzák.Az elnevezések használatának megkönnyítésére egy „szótárt” állítottunk össze.

Az eseményekkel kapcsolatos kifejezésekEseménytér Véletlen esemény Elemi esemény

Biztos esemény Lehetetlen eseményAz A esemény ellentétes eseménye Az A és B esemény összege Az A és B esemény szorzata Az A és B esemény különbsége Az A esemény maga után vonja

a B eseményt

A halmazelméleti kifejezések

AlaphalmazA H halmaz egy részhalmaza A H halmaz egy egyelemű

részhalmaza ({h } ez H ) Alaphalmaz Üres halmazAz A halmaz komplementer halmaza Az A és B halmaz egyesítése Az A és B halmaz metszete Az A és B halmaz különbsége Az A halmaz részhalmaza

a B halmaznak

4 4

Az eseményekkel kapcsolatban az előzőekben megismert elnevezések és műve­letek matematikai szempontból semmi újat nem tartalmaznak, csupán a halmazokra vonatkozó fogalmaknak, műveleteknek az „események nyelvén” történő értelmezé­séről van szó. Ezért nem meglepő, hogy az ott megismert azonosságok itt is érvé­nyesek.

Tetszőleges A, B, C a H eseményekre fennállnak a következő összefüggések;

1. A í j A = A ,2. A u B = B u A ,3. A u ( B u C ) = ( A u B ) u C

4. A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n Cj A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C ) (disztributivitás);

5. A u A = H ,6. A u í l = H ,7. A u 0 = A ,

A n A = A (idempotencía);A n B = B n A (kommutativitás); A n ( B n C ) = ( A n B ) n C (asszociativitás)

A n A = 0 ; A n H = A; A n 0 = 0 .

Megjegyzés:A fentiek alapján látható, hogy az események a műveleti definíciókkal együtt Boole-algebrát alkotnak.

2.1. TÉTEL. Tetszőleges A, B ez H eseményeidre fennállnak a következő összefüg­gések:

1. A u B = A n B ,A n B = A u B (.DeMorgan-egyenlőségek)

2. A u { A n B ) = A,A n ( A u B ) ~ A(beolvasztási szabályok).

Megjegyzés:A 2.1. pontban a véletlen esemény definícióját követő második megjegyzésben említettük, ha H végtelen számosságú, akkor nem biztos, hogy minden részhalmaz esemény. Ennek az a feltétele, hogy az eseményeken a fenti műveleteket elvégezve eseményt kapjunk eredményül és megszám] áthatóanvégtelen sok esemény Összege és közös része is esemény legyen.

45

2.3. Teljes eseményrendszer, összetett események

DEFINÍCIÓ. Egy H eseménytérhe2 tartozó f i,, B2, . . . . Bti események (amelyek közül egyik sem lehetetlen esemény) teljes eseményrendszert allcotnak, haa) egymást páronként Hzáró események,b) összegük a biztos esemény.Más szóval, haa) B , r \ B j = 0 ( i * j és i, j = 1, 2 , ..., n).

b) f l , u 5 , u .

A teljes eseményrendszert alkotó eseményeket az a) és b) feltétel alapján úgy is jellemezhetjük, hogy közülük egy és csak egy mindig bekövetkezik.

Az ellentétes események teljes eseményrendszert alkotnak, hiszen

A n A = 0 és A<J A - H .

Nyilvánvaló az is, hogy a H eseménytér elemi eseményei (a H eseménytér egyelemü részhalmazai) szintén teljes rendszert alkotnak, ha véges sokan vannak, hiszen

a) egymást páronként kizárják,b) összegük a biztos esemény.

Megjegyzés:A teljes eseményrendszer fogalmát megszámlál hatóan végtelen sok eseményre is kiterjeszthetjük.

A megszámlálhatóan végtelen sok eseményből álló B}, B2, . . . eseményrendszert tel­

jes esemény rendszernek nevezzük, ha aza) Sl n B . = 0 ( Í * j ; i , j = 1 ,2,...),

b) Cj B. - t~!ni

feltételek teljesülnek.

2.13. Példa.Tekintsünk néhány további példát teljes eseményrendszerekre!a) A kockadobás kísérletében legyen az A esemény, hogy legfeljebb 3-at do­

bunk, a B esemény, hogy a lehető legnagyobb számot dobjuk, C pedig, hogy dobásunk eredménye 4 vagy 5. Ha ezeket az eseményeket részletez­ve, számhalmazok formájában felírjuk:

^ = { 1 , 2 , 3 } ; 5 = {6}; £ = { 4 , 5 } ;

46

jól megfigyelhető, hogy A, B és C egymást páronként kizárják, összegük pe­dig a biztos esemény. Vagyis a felsorolt események teljes rendszert alkotnak.

b) A magyarkártya-csomagból négy lapot osztunk egy játékosnak. Könnyen be­látható, hogy a következő események teljes rendszert alkotnak:

A) - a kiosztott lapok között nincs hetes;A 2 = a kiosztott lapok között egy hetes van;Ai = a kiosztott lapok között két hetes van;A 4 = a kiosztott lapok között három hetes van;As = a kiosztott lapok mindegyike hetes.

c) Vegyük a 2.4. példa kétszemélyes társasjátékát, tehát figyeljük meg a soron következő játékos két kockával végzett dobásának összegét! Tekintsük Al eseménynek, hogy a dobásösszeg 2, A2 eseménynek, hogy a dobásösszeg3, Ai eseménynek, hogy a dobásösszeg 4, ... Atl eseménynek, hogy a dobásösszeg 12. Mivel a dobásösszeg a 2 és 12 közé eső pozitív egész számok mindegyike lehet, a fenti 11 esemény rövid gondolkodással belát­hatóan valóban teljes rendszert alkot.

d) Az előző játékban a nyereség meghatározása miatt a szereplőknek csak bizo­nyos csoportosításban fontosak a kapott eredmények. Legyen Al esemény, hogy a dobásösszeg legfeljebb 5, A2, hogy 5-nél nagyobb, de legfeljebb10, Ai pedig, hogy legalább 11. Ahogy a c) pontban, a dobásösszeg a 2 és 1 2 közé eső pozitív egész számok mindegyike lehet, a fenti három ese­mény szintén teljes rendszert alkot.

e) A 2.1. példában már említett orvosi rendelőben történő várakozás közben fi­gyeljük meg az előttünk megvizsgált betegek számát! Legyen az A ese­mény, hogy legfeljebb 2 beteg kerül előttünk sorra, a B, hogy 2-nél többen, de 1 0 -nél kevesebben vannak, és a C, hogy legalább 1 0 -en jutnak be előttünk. Nyilvánvaló, hogy a gyakorlatban a lehetőségek száma véges, mégsem tudjuk teljes biztonsággal megmondani, milyen felső korláttal dől- gozzunk, tehát ahogy a korábbiakban utaltunk rá, érdemes egy ésszerű felső határt megállapítani. Az, hogy a három esemény megfelel a teljes esemény* rendszer definíciójának, könnyen belátható.

Minden A eseményt felbonthatunk két esemény összegére a következő módon:

A = A kj A , illetve A = A u 0 .

Ezt a felbontást triviális (nem valódi) felbontásnak nevezzük.

47

DEFINÍCIÓ, Egy eseményt összetett eseménynek nevezünk, ha előállítható - a tri­viális felbontástól eltérően - két esemény összegeként.

Az összetett esemény az eseménytér olyan részhalmaza, amely egynél több ele­met tartalmaz. Az elemi esemény az eseménytér egyelemü részhalmaza, ezért csak triviális felbontása létezik. Az összetett események többféleképpen is létrejöhetnek, az elemi események viszont csak egyféleképpen valósulhatnak meg.

Nem nehéz belátni, hogy minden összetett esemény előállítható elemi esemé­nyek összegeként, ha az eseménytér véges. Még az is igaz, hogy ez a felbontás egyértelmű.

A lehetetlen eseményt nem tekintjük sem elemi, sem összetett eseménynek.

2.14. Példa.Tekintsük azt a kísérletet, amikor feldobunk egy játékkockát.A kísérletnek 6 kimenetele van, a kísérlethez tartozó eseménytér pedig

H = {l, 2 , 3, 4, 5, 6 }.

Jelöljük az elemi eseményeket - a H egyelemü részhalmazait - rendre az E x, E t , E3, E 4 , E }, E 6 szimbólumokkal, ahol

£ ,= {*} (/ = 1, 2, . . . , 6).

Legyen B az az esemény, hogy párosat dobunk, azaz B = {2, 4, 6}, C pedig az, hogy 4-nél kisebbet dobunk, azaz C = {1, 2, 3}. Mindkét esemény összetett esemény, hiszen mindegyik előállítható elemi események összegeként:

B = {2, 4 , 6 } = { 2 } u { 4 } u { 6 } = £ 2u £ , u £ 6,C = {l, 2, 3} = {l j u { 2 } u { 3 } = E, u £ 2 \j E% .

Kombinatorikai eszközökkel egyszerűen kiszámítható, hogy a kockadobás kísérletnél összesen 26 = 64 különböző eseményt állíthatunk elő.

Általánosan is igaz, hogy egy n elemi eseményt tartalmazó H eseménytéren összesen 2" eseményt értelmezhetünk, és ebből az összetett események száma 2 " - n - l .

2.15. Példa.A 2.4. példában ismertetett kétszemélyes társasjátékban a játékosok két kockával dobnak, és a dobott számok összegét figyelik meg. Jelölje A azt az eseményt, hogy az éppen soron következő dobásösszege: 6. Összetett esemény-e az A?

48

M EGOLDÁS, Az A esemény összetett esemény, hiszen megvalósulhat úgy, hogy mindkét kockával 3-ast dobunk, vagy ha egyikkel l-est, a másikkal 5-östdobunk, ami szintén összetett esemény, hiszen dobhatunk az első kockával 5- öst, a másodikkal l-est. A dobásösszeg akkor is 6 , ha egyik kockával 2-est, a másikkal 4-est dobunk, és megfordítva. Vagyis, az A eseményt a 2.1, példac) részének megfelelően az (1 ; 5 ) , (5 ; 1), (2 ; 4 ) , (4 ; 2 ) , (3 ; 3) rendezett párok mint elemi események mindegyike megvalósítja.

2.16. Példa.A már jó l ismert társasjátékban ellenfelünk a következő „gáláns” javaslattal áll elő: ő csak akkor nyer, ha a két kockával dobott számok összege 6, 7, 8 vagy9, mi pedig minden más esetben ugyanakkora összeget. Vizsgáljuk meg, való­ban előnyös-e az ajánlat!

M EGOLDÁS. Első ránézésre tetszetősnek látszik a felkínált lehetőség, hiszen a dobott számok nekünk kedvező összege lehet: 2, 3, 4, 5. 10, 11 vagy 12. Vagyis 7 esetben nekünk áll a zászló, míg ő csak 4 dobásösszeg mellett nyer.

Kicsit jobban átgondolva érdemes számba venni az egyes összegekhez tarto­zó, őket mint összetett eseményeket megvalósító elemi eseményeket! Jelölje az A esemény azt, hogy ellenfelünk nyer. Ez akkor valósul meg, ha az összeg 6,7, 8 vagy 9. Milyen elemi események valósítják meg ezeket?

Ha a dobott számok összege 6, ezt az eseményt 5 elemi esemény valósítja meg (1. 2.15. példa). Ehhez hasonlóan számolható össze a többi, ellenfelünknek kedvező Összetett eseményhez tartozó elemi események száma.Ha a dobott számok Összege 7, ezt az eseményt 6 elemi esemény valósítja meg. Ha a dobott számok összege 8, ezt az eseményt 5 elemi esemény valósítja meg. Ha a dobott számok összege 9, ezt az eseményt 4 elemi esemény valósítja meg.

Tehát játékostársunk összesen 20 elemi esemény bekövetkezésekor kerül nyerő pozícióba.

Nézzük most saját nyerési esélyeinket! Már a 2.1. példa c) részében össze­számláltuk a lehetséges elemi eseményeket, tudjuk, ezek száma: 36. Mivel a szereplő összetett események egymást kizárják, összegük viszont a biztos ese­mény, vagyis teljes eseményrendszert alkotnak, a mi nyerésünket eredményező elemi események száma; 16. Erről könnyen meggyőződhetünk, ha az előzőhöz hasonlóan megnézzük, hány elemi esemény valósítja meg a 2, 3 stb. dobás- összegeket.

A kissé talán aprólékos számolgatás után kiderül, hogy az ajánlat csak első ránézésre lesz számunkra kedvező, és valójában ellenfelünk nyerési esélyei na­gyobbak.

3. A VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ELEMEI

3.1. A valószínűség fogalma

Képzeljük el, hogy egy véletlen jelenségre vonatkozóan egyetlen megfigyelést, kísérletet végzünk. Akármi volt is a kísérlet kimenetele, ebből semmi lényeges információt nem nyerhetünk a vizsgált jelenség tulajdonságára vonatkozóan. Akkor sem jutunk többre, ha még néhányszor megismételjük a megfigyelésünket. Végez­zük el azonban a kísérletet azonos körülmények között sokszor. Az így nyert kísér­letsorozat már lényegesen többet elárulhat a véletlen jelenségről.

A valószínűség szemléletes, a tapasztalatra támaszkodó definíciójának megadá­sakor előbb a relatív gyakoriság fogalmával kell megismerkednünk.

Tekintsünk egy véletlen kísérletet és figyeljük meg, hogy egy bizonyos Á ese­mény bekövetkezik-e. Hajtsuk végre a kísérletet azonos körülmények között sok­szor, mondjuk n-szer, egymástól függetlenül (azaz a kísérletek ne befolyásolják egymást). Ilyenkor n hosszúsági kísérletsorozatról beszélünk. Azt tapasztaljuk, hogy az A esemény a kísérletek egy részében bekövetkezik, más részében nem. Tegyük fel, hogy a megfigyelt A esemény az n kísérletből /c^-szor következett be,

fcA kA számot az A esemény gyakoriságának, a —1- hányadost pedig az A

nesemény relatív gyakoriságának nevezzük.

Annak előfeltétele, hogy egy véletlen esemény valószínűségéről matematikai értelemben beszélhessünk, az, hogy az illető esemény relatív gyakorisága viszony­lagos stabilitást, állandóságot mutasson. Ezen azt értjük, hogy bár a vizsgált ese­mény relatív gyakorisága a különböző hosszúságú kísérletsorozatokban más és más (véletlen ingadozásokat végez), mégis - ha a kísérlet körülményeiben számottevő változás nem állt be - nagyjából valamely jól meghatározott számérték körül inga­dozik. Ha a kísérletek számát növeljük, az ingadozás általában egyre kisebb lesz. Ez azt jelenti, hogy csökkenő tendencia mellett felléphetnek újból és újból elég lényeges ingadozások is, de ezek a kísérletek számának növelésével egyre ritkáb­ban fordulnak elő. Az ilyen ingadozást statisztikus ingadozásnak nevezzük.

Azt a számértéket, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága statiszti­kus ingadozást mutat, az illető esemény valószínűségének nevezzük.

50

A relatív gyakoriság viszonylagos stabilitása figyelhető meg a következő egy­szerű kísérlet sorozatnál, amiről bárki maga is meggyőződhet. Dobjunk fél egy sza­bályos pénzérmét 100-szor egymás után. Legyen az A esemény az, hogy „fejet” dobunk. Figyeljük meg az A esemény relatív gyakoriságának alakulását. Például a következő dobássorozatot kaphatjuk ötösével csoportosítva:

i f f f f l i i i f i f i f i i f i i f i | ... | i i f i i

(ahol / a „fej” dobást, / az „írás” dobást jelenti).Az A esemény gyakoriságának és relatív gyakoriságának értékeit az alábbi

táblázatban rögzítjük. Észrevehetjük, hogy az a számérték, amely körül az A ese­mény relatív gyakorisága statisztikusan ingadozik, 0,5. A pénzdobás kísérletünk­ben tehát a „fej” dobás valószínűségének a 0,5 értéket tekinthetjük.

Kísérletek száma n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

A „fej” dobás gyakorisága

kA0 ] 2 3 4 4 4 4 5 5 6 6 7

A „fej” dobás relatív gyakorisága

h .n

0 0,50 0,67 0,75 0,80 0,67 0,57 0,50 0,56 0,50 0,55 0,50 0,54

Kísérletek száma n 14 15 16 17 18 19 2 0 96 97 98 99 1 0 0

A „fej” dobás gyakorisága 7 7 8 8 8 9 9 49 49 50 50 50

A „fej” dobás relatív gyakorisága

n

0,50 0,47 0,50 0,47 0,44 0,47 0,45 0,51 0,51 0,51 0,51 0,50

A 18. században ilyen kísérletsorozatokat vizsgált két matematikus, Buffon és Pearson is. Buffon 4040-szer dobott és a „fej” dobások gyakoriságát 2048-nak találta, míg Pearson 24 000 dobás közül 12 012-szer kapott fejet. így a relatív gya­koriság Buffonnál 0,5069, Pearsonnél 0,5005.

A „fej” dobás relatív gyakoriságának ingadozását a 3.1. ábra szemlélteti (1, 52. o.).

51

T r |Q j'5 2'0 95 l60 n

3 .1. ábra

Ha az előbbiekben vázolt kísérletsorozatot ismételten végrehajtjuk, akkor a „fej” és „írás” dobások sorrendje más és más lehet, de a kísérletsorozat általános., képe mindig az előbbihez hasonló lesz, Á relatív gyakoriság mindig a 0,5 körül ingadozik.

Az a megfigyelés, tapasztalati törvényszerűség, hogy vannak olyan véletlen ese­mények, amelyek relatív gyakorisága bizonyos stabilitást mutat, azaz a relatív gya­koriság valamely meghatározott érték körül ingadozik, és az ingadozások általában annál kisebbek lesznek, minél több kísérletet hajtunk végre, képezi a valószínűség- számítás tapasztalati hátterét. A relatív gyakoriság és a valószínűség rokon fogal­mak, olyannyira, hogy gyakran empirikusan (tapasztalati úton) a relatív gyakorisá­gokon keresztül becsüljük magukat a valószínűségeket. A gyakorlatban nagyon sokszor, ha nagyszámú kísérleti eredménnyel rendelkezünk, a valószínűségeket egyszerűen a relatív gyakorisággal helyettesítjük,

A valószínűséget azonban formailag élesen meg kell különböztetni a relatív gyakoriságtól: a valószínűség rögzített szám, míg a relatív gyakoriság a véletlentől függően más és más lehet.

Egy esemény valószínűsége tehát a megfigyelőtől függetlenül létező mértékszám, amely megadja, hogy egy hosszú kísérletsorozatban körülbelül mekkora hányadban következik be a szóban forgó esemény.

A valószínűségnek tapasztalati úton történő pontos meghatározása csak nagyon korlátozott körülmények között valósítható meg, általában végtelen sok kísérletet igényelne. Mindezek elkerülésére szükséges matematikai precizitású alaptörvények lefektetése és alkalmazása.

A továbbiakban azoknak a valószínűségszámítási törvényeknek a tárgyalásával foglalkozunk, amelyek azt is lehetővé teszik, hogy egyszerű események valószínű­ségének ismeretében bonyolultabb események valószínűségét számíthassuk ki.

52

3.2. A valószínűség axiómái, tételek

Jelöljenek A , B , C , ,,, egy H eseménytérhez tartozó eseményeket. A valószí- niíségszámitás kiindulópontja az, hogy minden egyes eseményhez hozzárendelünk egy valós számot, amelyet az esemény valószínűségének nevezünk. Ezt természe­tesen csak úgy érdemes elvégeznünk, hogy az előző pontban adott empirikus defi­nícióval összhangban legyen.

A következőkben a latin probabilitas (valószínűség) kezdőbetűjét fogjuk hasz­nálni a valószínűség jelölésére, így ezentúl az A , B , C, ... esemény valószínű­ségét P{A), P(B) , P(C) , ... jelöli.

Próbáljuk meg a relatív gyakoriság tulajdonságaiból „kiolvasni”, hogy milyen feltevéseket célszerű tenni az eseményekhez rendelt valószínűségre.

Végezzünk el egy kísérletet n-szer. Ha ebben az n kísérletből álló kísérletso­rozatban az A esemény kA -szór következett be, akkor 0 ^ k A <n , amiből viszont

következik, hogy 0 < — < 1. Tehát egy esemény relatív gyakorisága a [0 ; l]n

intervallumba eső szám lehet.Meggondolva, hogy ez a mennyiség az illető esemény valószínűsége körül in­

gadozik, továbbá, hogy a valószínűség a véletlen eseménynek az a jellemzője, amely megmutatja, hogy nagyszámú kísérletet végezve azok mekkora hányadában várhatjuk bekövetkezését, kimondhatjuk, hogy bármely esemény valószínűségének [0 ; l] intervallumbeli számnak kell lennie. Minthogy pedig a biztos esemény rela­tív gyakorisága 1 , a biztos esemény valószínűsége is 1 kell, hogy legyen.

Láttuk, hogy egy kísérlettel kapcsolatos események között bizonyos összefüg­gések érvényesek, éppen ezért az események valószínűségét sem írhatjuk elő tet­szőlegesen. Egy ilyen összefüggés az, hogy két egymást kizáró esemény összegé­nek valószínűsége megegyezik a két esemény valószínűségének összegével Ha ugyanis A és B egy adott eseménytérhez tartozó két egymást kizáró esemény, azaz A r \B - 0 , és az n kísérletből álló kísérletsorozatban az A esemény kA- szor, a B esemény pedig kB -szer következett be, akkor a két esemény összegé­nek, azaz annak az eseménynek, hogy az A vagy B következik be, gyakorisága nyilvánvalóan

k AuB = k A +kB>

így relatív gyakorisága

k-A B _. k A k Bn n n ’

53

tehát a relatív gyakoriságok Összeadódnak. így két egymást kizáró A és B esemény­re fenn kell állnia a

P { A u B) = P(A)+P(B)

összefüggésnek.

A valószíníiségszámitás axiómarendszerének megalkotásához több tapasztalati alapra nincs is szükségünk.

Foglaljuk össze eddigi megállapításainkat, amelyek egyúttal a valószínűség­számítás matematikai elméletének alapfeltevései, más szóval axiómái, amelyek Kol mogorovtól származnak.

I. AXIÓMA: Legyen adott egy véletlen kísérlethez tartozó H eseménytér. Minden A <zH eseményhez hozzárendelünk egy P{A) nemnegatív valós szá­mot, az A esemény valószínűségét.

n . AXIÓMA: A biztos esemény valószínűsége 1, azaz

Hl. AXIÓMA: Ha A d H és B czH egymást kizáró események, azaz A n B = 0 , akkor

P { A u B ) = P{Á) + P{B).

Megjegyzés:A III. axiómát a valószínűség additív tulajdonságának nevezzük. Egy-egy újabb esemény hozzávételével igazolható, hogy több (de véges számú), egymást páron­ként kizáró eseményre is fennáll, hogy

P(A i u A2 k j ,.,<u Aii) = P(Ai) + P(A2) + . . . + P ( A ii) . (3.1)

Ez a go □ dől átmenet azonban nem alkalmazható akkor, ha a tekintett események száma megszám- lálhatóan végtelen. Ezért erre az esetre külön is megfogalmazzuk a Ill.-tiak megfelelő axiómái.

[[I*. a xióm a : H a A,. Aj, ... egym ást páronként kizáró események, azaz

A, n A j = 0 ([ * ; , í , y = l , 2 , . . . ) ,

akkor

P(A, U A } 'u ...) = P(A l ) + P (A1) + ... j = I , 2 , ...)■

Ezt az utóbbi axiómát a valószínűség teljes add itiv itásínak nevezzük.

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a H eseménytérhez tartozó eseményeken értel­mezhetünk egy P függvényt, a valószínűséget, amelynek képhalmaza R, és a

54

p{A) függvényérték az A t z H esemény valószínűsége. E függvénynek az axió­mákban előírt tulajdonságokkal kell rendelkeznie.

DEFINÍCIÓ. Ha egy H esemény tér eseményeinek a halmazán értelmeztünk való­színűséget, akkor ezt a halmazt valószínűségi mezőnek nevezzük. A to­vábbiakban ÍV-vei jelöljük.

Szokás a (H , W) jelölés is. Az események a H eseménytér részhalmazai. A W-nek viszont ezek a részhalmazok az elemei, és mindegyikhez tartozik egy valószínűség.

Axiómarendszerünkből kiindulva néhány olyan tételt ismerünk meg, amelyek lehetővé teszik, hogy adott valószínűségű események alapján, velük valamilyen módon összefüggő események valószínűségét meghatározhassuk.

Tegyük fel, hogy A és B a H-hoz tartozó események, illetve a W valószínű­ségi mező elemei.

3.1. T étel. Ha az A esemény valószínűsége P(A), akkor az A ellentétes ese­

mény valószínűsége P(A) = 1 - P(A).

Bizonyítás. Minthogy A u A = H és A n A - 0 , a III. axióma szerint P ( A kj A ) -

= P{A) + P{A) és a II. axióma szerint P{H) = 1 . A bizonyítandó állítás ebből már következik.

A tétel fontos következménye, hogy a lehetetlen esemény valószínűsége zérus, azaz

P (0 ) = 0.

Minthogy a lehetetlen esemény a biztos esemény ellentétes eseménye, így

p<0) = p (H ),

amiből

P ( 0 ) = 1 - P ( H ) = O.

Az az állítás, hogy a lehetetlen esemény valószínűsége zérus, nem megfordít­ható; azaz abból, hogy egy esemény valószínűsége zérus, nem következik, hogy az lehetetlen esemény. Hasonlóképpen abból, hogy P(A) = 1, nem következik, hogy az A biztos esemény,

55

3.2. TÉTEL. Ha az Alt Á^, An események teljes eseményrendszert alkotnak,akkor

P(A]) + P{A2)+ , . . + P K ) = l.

Bizonyítás. Feltevésünk, szerint

és Aj r \ A J = 0 , ha i ^ j (i, j =1, 2, ..., ji),

továbbá a II. axióma szerint P(H) - 1, így (3.1) alapján

P(H) = P ( A , u A l u . . . u A n) = P(A ,) + P{A2) + . . . + • P{Am),

ebből

P(A]) + P(A2) + . . . +P(A. ) = 1.

3 .3 . TÉTEL. Ha A és B két tetszőleges esemény, akkor annak a valószínűsége,hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik,

P(A u S ) = P(Á) + P(B) - P(A n B).

Bizonyítás. Az A u B esemény előállítható két egymást kizáró esemény összegeként, azaz (3.2. ábra)

A u B = A u ( A n B )

es

A n ( Á n B ) = 0 .

Ezért a III. axióma szerint

P(A u B ) = P(A) + P(Á n B). (3.2)

A B esemény is előállítható két egymást kizáró esemény összegeként, azaz (3.3. ábra)

B = ( A n B ) u ( Á n B )

es

( A n B ) n ( A n B ) = 0 .

Ismét a III. axióma alapján

P(B) = P(A n í ) + P(A n B).

56

Innen

/>Ő4 r \ B ) = P (5 ) - n B).

Ez utóbbit a (3.2) összefüggésbe helyettesítve

P(A u B ) = P(A) + P(B) - P(A n B ).

3,4. TÉTEL, / /a az A esemény maga után vonja a B eseményt, azaz A d B fenn­áll, akkor

P(B \ A) = P(B) - P{A) .

Bizonyítás. Ha ^ c f i , altkor

B = A u ( B n l ) ^ A u ( B \ A )

és/ 4 n ( 5 \ / í ) = 0 (14. ábra).

Ezért a III. axióma szerint:

P ( B ) ^ P ( A ) + P ( B \ A )

ésP(B\A) = P ( B ) - P ( A ) .

Megjegyzések;1. A tétel következményeként adódik:

Ha az A esemény maga után vonja a B eseményt, azaz A ez B, akkor

P(A)<P(B) .

Ezt az állítást az I. axióma alapján felírható

P(B \ A) = P(B) - P(A) £ 0

egyenlőtlenségből kapjuk.Mivel minden A eseményre A a H , így P(Á) < P( H) - I. Ezért volt szük­

ségtelen, hogy az I. axióma a P(A) < 1 állítást tartalmazza.2, Könnyen belátható, hogy tetszőleges A és B eseményekre a következő össze­

függés igaz:

P ( B \ A ) = P ( B ) - P ( B n A ) .

57

3.3. Klasszikus valószínűségi mező

DEFINÍCIÓ. Abban az esetben, amikor egy W valószínűségi mező elemi eseményei­nek száma véges, és azok valószínűsége egyenlő, klasszikus valószínű-* ségi mezőről beszélünk.

3.5. T é te l , Legyen W egy klasszikus valószínűségi mező. Elemi eseményeinek száma legyen n. Ha egy A ^ W esemény pontosan k elemi esemény összegeként írható fel, akkor

P(A ) = - n

A szakirodalomban szokásos az A eseményt előállító elemi eseményeket - az A bekövetkezése szempontjából - kedvező elemi eseményeknek nevezni. Ennek megfelelően a tétel alábbi megfogalmazása is használatos:

________ kedvező elemi események száma_______lehetséges (vagy összes) elemi események száma

Ez a tétel képezte az ún. klasszikus valószmöségszámítás alapját. A közölt kép­letet klasszikus képletnek is szokás nevezni. A valószínűségszámítás története folyamán, hosszú időn keresztül csak olyan eseménytereket használtak, amelyelméi véges számú elemi esemény fordul elő és ezek mindegyike egyenlően valószínű. Ez érthető is, hiszen a szerencsejátékoknál (pénzfeldobás, kockadobás, golyók hú­zása urnából, mlett-, kártya- és sorsjátékok stb.) - amelyek a valószínűségszámítás kiindulási problémáit alkották - valóban elvégezhető ily módon a valószínűségek meghatározása. Távolról sem állíthatjuk azonban, hogy a klasszikus valószínűség­számítási módszereknek csupán történelmi jelentősége és érdekessége lenne. Na­gyon sok jelentős fizikai, technikai, gazdasági és más, az életben fellépő problémát lehet eredményesen modellezni az említett szerencsejátékokkal, azaz a klasszikus, valószínűségszámítás feltevéseivel. A matematikai statisztika sem nélkülözheti a klasszikus valószínűségelméleti módszereket. Ezért a valószínűségek klasszikus kiszámítási módszereivel a következőkben részletesebben foglalkozunk.

Ezután térjünk rá a 3,5. tétel bizonyítására.

Bizonyítás. Legyen az eseménytér elemi eseményeinek száma n. Az egyszerűbb tárgyalásmód érdekében a ' H eseménytér elemi eseményeit a következőképpen jelöljük:

E\> E2, ... , En.

58

A tétel állítása szerint ezek az elemi események egyenlően valószínűek, azaz

P{Ex) ^ P ( E 2)= ... = P(E, ) .

síivel azonban

E t u E 2 u ,.. u E n = H ,

és a II. axióma szerint P{H) — i , ezért

P (E l u £ 2 u . . . u £ „ ) = L

AIII. axiómánál említett (3,1) összefüggés szerint

P (£ , u E i v j . . . u E ii) ^ P ( E 1) + P(E2)+ ... + P (E n) ,

igy

P(Et) = - (i = l, 2, n).n

Tekintsük ezután a W valószínűségi mező egy tetszőleges A eseményét, ame­lyet k darab elemi esemény összegeként állíthatunk elő.

Az elemi események sorszámozását végezzük úgy, hogy az A eseményt az első k darab elemi esemény összege adja:

A = E l k j E 2 u , , , u E k ,

ígyP(A) = P( Et u £ 2 u . . . u £ J = P( E{) + P(E2) + . . . + P(Ek) =

- & J_ ~ ! ín n

3.1. Példa.Egy kockát kétszer egymás után feldobunk. Mekkora annak a valószínűsége, hogya) mindkét dobásnál azonos pontszámot kapunk;b) különböző pontszámot kapunk;c) a pontszámok összege 9;d) a pontszámok összege 10;e) a pontszámok összege legfeljebb 10?

MEGOLDÁS, Az elemi események az 1, 2, 3, 4, 5, ó számokból alkotott ren­dezett számpárok:

59

H = {( 1 ; 1), (1 ; 2 ), . . . . (1 ; 6 ), ( 2 ; 1), (6 : 6 ) } ,

ahol pl. a (2 ; 3) azt jelenti, hogy elsőre 2-t és másodikra 3-at dobtunk. Az elemi események száma: 6 ■ 6 = 36.a) Jelöljük .4-val azt az eseményt, hogy mindkét dobásnál azonos pontszámot

kapunk, azaz

^ = {<1;1), (2 ; 2), (3; 3), (4 ; 4), (5 ; 5), (6 ; 6 )}.

így

36 6

b) A szóban forgó esemény nem más, mint az A esemény ellentétes eseménye,így

P(A) = l - P ( A ) = \ - ^ = l .o 6

c) Jelöljük C-vel azt az eseményt, hogy a pontszámok összege 9, azaz

C = {(3;6) , (6 ; 3), (4 ; 5), (5 ; 4) }.

A C esemény tehát 4 elemi eseményt tartalmaz és így

4P(C) = — .

36

d) Jelöljük D-vel azt az eseményt, hogy a pontszámok összege 10, azaz

D = {(4;6), ( 6 ; 4), (5 ; 5)}.

A D esemény 3 elemi eseményt tartalmaz és így

P{ D ) = — .36

<e) Jelöljük F-fel azt az eseményt, hogy a pontszámok összege legfeljebb 10. Célszerű először az ellentétes esemény valószínűségét kiszámítani. Mivel ez azt jelenti, hogy a pontszámok összege nagyobb, mint 1 0 , azaz

F = í ( 5 ; 6 ) , (6 ; 5), (6 ; 6 )},

így

— 3 1 p ( F ) = - = - 36 12

60

amiből

w = 1_ J — Li.12 12

A klasszikus képlet széles köri! alkalmazási lehetőségei tárulnak fel az ún. minta­vételes feladatokban.

Egy halmazból találomra kihúzott elemek összességét véletlen m in tának ne­vezzük. A „találomra” történő húzáson azt értjük, hogy bármely minta kiválasztása egyforma valószínűséggel történik.

Azt az eljárást, amelynek eredményeképpen a véletlen mintát kapjuk, véletlen mintavételnek; nevezzük. Két alapvető típusát különböztetjük meg, a visszatevéses és a visszatevés nélküli mintavételt.

VISSZATEVÉSES MINTAVÉTEL

Tegyük fel, hogy egy N elemű halmazban, pl. egy N golyót tartalmazó urnában M fekete és N - M piros golyó van. Húzzunk ki egymás után találomra n számú golyót úgy, hogy a kihúzott golyót, miután a színét feljegyeztük, visszadobjuk az urnába. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy egy ilyen n húzásból álló sorozatban a fekete golyók száma k (a többi n - k pedig nyilvánvalóan piros).

Jelöljük a szóban forgó eseményt, hogy ti. a kihúzott n golyó között k fekete van, Ak-val.

Ha valamilyen módon megkülönböztetjük a golyókat (pl. számozással), altkor minden húzás Afféleképpen történhet, így a kísérlet lehetséges kimenetelének (az elemi eseményeknek) a száma

N " . (3.3)

Az n kísérletből annak a k db kísérletnek a sorszámát, amelyeknél fekete go­lyót húzunk,

\ k J(3.4)

-féleképpen választhatjuk ki. Ha rögzítünk egy ilyen sorrendet, akkor minden olyan kísérletnél, amikor fekete golyó kerül kiválasztásra, a választás M-féleképpen tör­ténhet. Ilyen kísérlet k db van, ezért a lehetséges esetek száma M k . Hasonló­képpen, piros golyót egy kísérletnél (//-A /)-féleképpen húzhatok. Az ilyen kísér­letek száma n - k, így a lehetséges esetek száma

( N - M ) n -k

61

Ezért egy rögzített fekete-piros sorrendnél a kedvező elemi események száma:

M*

Ha figyelembe vesszük a lehetséges sorrendek (3.4) alatti számát, a kedvező elemi események száma

\ k ;M k( N - M )H-ft

így (3.3) alapján

P(At ) =V*/ AT

(3.5)

(Itt azt tettük fel, hogy mindegyik n elemű visszatevéses minta kiválasztása egy­formán valószínű.)

Vezessük be a

M , N ~ Mp = — es a g=- --------

N N

jelöléseket, ahol p egy fekete golyó, illetve q egy piros golyó húzásának valószí­nűsége. Ekkor (3.5) a következő alakban írható:

\ k Jp kqa~k (A = 0 , 1 , 2 , n ). (3.6)

A P(Ak) helyett sokszor csak a Pk szimbólumot használjuk.

A (3.6)-ban közölt képlet általános érvényű minden olyan esetben, amikor az N elemű halmaz (alapsokaság) valamilyen tulajdonság szerint két diszjunkt részhal­mazra bontható. Pl. áruátvételnél az áru minősége (selejtes-hibátlan); statisztikai adatszolgáltatásnál a nem (férfi-nő); stb.

3.2. Példa.100 termékből, amelyeknek 10%-a selejtes, visszatevéses módszerrel 5 elemű mintát veszünk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a mintába 2 selejtes keriil?

MEGOLDÁS. A (3.6)-os összefüggést alkalmazzuk. Példánkban p = 0,1, q = 0,9, n = 5 , k = 2 , tehát

Pz =' 5 '

0,13 0,93 = 0,07 29.

62

MINTAVÉTEL VÍSSZATEVÉS NÉLKÜL

Tekintsünk ismét egy IV elemű halmazt, pl, egy N golyót tartalmazó urnát, amely­ben M fekete és N — M piros golyó van. Vegyünk ki most is találomra n számú golyót az urnából, de úgy, hogy egyetlen golyó sem kerülhet többször kiválasztásra. Ezt ketféle módon valósíthatjuk meg. Az egyik szerint az n golyót egyszerre emeljük ki az urnából, a másik szerint a golyókat egymás után húzzuk la, de egyiket sem tesszük vissza a húzás után. Mindkét eljárást visszatevés nélküli mintavétel­nek nevezik.

Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy az n golyó között a fekete go­lyók száma k (a többi n - k pedig nyilvánvalóan piros)!

Jelöljük a szóban forgó eseményt Ak -val.Mivel a fent említett módszerek elvileg különböznek egymástól, vizsgáljuk azt

az esetet, amikor az n golyó kivétele egyszerre történik, Ekkor az elemi esemé­nyek száma

f N \(3.7)

A kérdezett Ai esemény akkor következik be, ha az n golyó között k számú

(fekete és n - k számú piros golyó van. A k számú feketét , az n - k számú

Kk )r N - M"'

pirosatÍv — Mn - k I -féleképpen lehet kiválasztani, így az At esemény Összesen

' M '

, k j

módon valósulhat meg.A keresett valószínűség, figyelembe véve a (3.7)-et és (3.8)-at:

P ( A ) = '\ n ~ k j

'aO

(3.8)

(3.9)

k = 0, 1, . . . , n, rt< min(jW, N - M ) ,A P(Ak) helyett a P, szimbólum is használatos.

63

(Itt azt tettük fel, hogy minden n elemű vissza te vés nélküli minta kiválasztása egyformán valószínű.)

Belátható, hogy ugyanezt a valószínűséget kapjuk akkor is, ha az n golyó kivé­tele egymás utáni húzásokkal történik, visszatevés nélkül. (Nem részletezzük.)

Ha az M és az N értéke nagy az n-hez képest, akkor a Pk értékek a gyakorlat számára kielégítő pontossággal közelíthetők a visszatevéses mintavételnél megis­mert valószíniíségértékekkel, azaz

'A i)*N j

\ & A n - kN

\ n J

N(3.10)

Ez abból a megfontolásból is adódik, hogy ilyenkor a kivett minta nem befolyá­solja lényegesen az összetételt.

3.3. Példa.Egy főiskola elsőéves hallgatóinak a száma 600. Ebből 250 fő fiú és 350 lány.a) Az elsőévesek között, mivel tanulmányi átlaguk még nincs, sorsolás alapján

osztanak szét 20 tandíjmentességet. Mennyi a valószínűsége, hogy közöttük 8 fiú lesz?

b) Az elsőévesek gólyabálján 20 ajándéktárgyat sorsolnak ki úgy, hogy minden húzásnál az összes név közül választanak. Mennyi a valószínűsége, hogy 8 tár­gyat fiú nyer, a többit lány?

M egoldás.Az a) kérdés esetében a (3.9) képletbe megfelelően behelyettesítve kapjuk:

^250^ ^SO ''

8 12■ = 0 ,1 8 0 6 .

'óOO'',2 0

A b) kérdés esetében a (3.6 ) képletet használva:

^ 2 ° Y 2 5 0 Y / 3 5 0 V2 ^UooJ UooJ

-0 ,1777 .

Tehát, ha a minta elemszáma nagyságrenddel kisebb az alapsokaság elemszá­mánál, akkor a kétféleképpen kiszámított eredmény jól közelíti egymást.

64

3.4, Példa,Tekintsük a 3.2. példát azzal az eltéréssel, hogy most a 100 termékből, ame­lyek között 10% selejtes, visszatevés nélkül veszünk 5 elemű mintát. Kérdés, mekkora a valószínűsége annak, hogy a véletlenszerűen kivett darabok között2 selejtes lesz?

MEGOLDÁS: Példánkban M =10; N - M = 9 0 ; k = 2 és n - k = 3 , íígy10 90

v 3 .0 , 0 7 0 2 -

3.5. Példa.Valamilyen termék átvételekor minőség-ellenőrzést végzünk. Mintavételi tervet készítünk:

Minden 100-as tetelbcíl választunk egy 10 elemű veletlen mintát (visszate­vés nélkül), és a 1 0 0 -as tételt átvesszük, ha a mintában legfeljebb egy selejte­set találunk. Egyébként visszautasítjuk.

Felmerülhet a kérdés, hogy ezen átvételi terv szigorúsága hogyan függ a se­lejtaránytól?

M eg o ld á s . Megválaszolásához az átvétel valószínűsége szükséges. Ehhez vi­szont ismernünk kellene a tételben levő selejtes darabok arányát, amit jelöljünk p-vel. Az átvétel valószínűsége nyilván a p függvénye.

P : P ( p ) =

' m q ' '

, 10 > /' l 0 0 ''

10J

100/7'100?>

100

10

q = \ - p (3,5. ábra).

Az átvétel valószínűsége:/? = 0,01 esetén 0,996, jt> = 0 , 0 2 esetén 0,984,

77 — 0,05 esetén már csak 0,914.

A számításokat a (3.10)-ben ismertetett közelítéssel végeztük.

65

3.4, Feltételes valószínűség, szorzási szabály

A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy valamely véletlen kísérletnél, megfigyelésnél egy esemény bekövetkezése milyen mértékben befolyásolja egy másik esemény bekövetkezését. Valószínűbb-e egy A esemény bekövetkezése, ha a B esemény már bekövetkezett?

A vizsgált eseményt - az A eseménytől megkülönböztetve - A \ B („A vo­nás 5 ”)-vel, valószínűségét pedig P( A \ B) -vei fogjuk jelölni,

3.6. Példa.Egy vállalatnál 50 férfi és 30 nő dolgozik. A férfiak között a szakképzettek száma 45, a nők között 21. Ezek szerint 5 férfi és 9 nö nem rendelkezik szakképzettséggel. Foglaljuk táblázatba adatainkat.

A (férfi) A (nö)B (szakképzett) 45 21 66

B (nem szakképzett) 5 9 1450 30 80

A vállalat 80 dolgozójáról külsőleg teljesen azonosnak tűnő karton lapokat készítünk. A kartotékokat összekeverjük és közülük egyet véletlenszerűen kivá­lasztunk. Jelentse az A esemény azt, hogy férfi, a B esemény azt, hogy szak­képzett dolgozó kartonját választottuk, feltéve, hogy bármelyik karton választása egyenlően valószínű.

Ekkor annak a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott kartotékon egy

férfi neve van, P(A) = — = 0,625 ; az pedig, hogy egy szakképzett dolgozó80

neve szerepel, P(B) = — = 0,825 .80

Hasonló módon nyerjük a következő valószínűséget:

P( A n B ) =— = 0,5625.80

Az A n B szimbólum nyilvánvalóan azt ez eseményt jelenti, hogy a kihúzott kartoték egy szakképzett férfié.

Ha tudjuk a kihúzott kartotékról, hogy azon a „szakképzett” jelzés található, vagyis B bekövetkezett, kérdezhetjük: mekkora lesz annak a valószínűsége,

66

hogy azon férfi neve szerepel. A 6 6 szakképzett között 45 a férfi, ezért ez a valószínűség

P( A \ B) = ^ = 0,682.66

A P(A | B ) valószínűség felírható a következőképpen is:

45

P ( A \ B ) = ^ r = P ( A n B ) =66 P (B )80

A P(A | B) valószínűséget ily módon visszavezettük a P ( A n B ) és a P(B) valószínűségek meghatározására.

Hasonlóan lehet értelmezni a P(B \ A) valószínűséget is. Ha azt tudjuk,hogy a kihúzott kartonon férfi neve szerepel, akkor annak a valószínűsége, hogy azon „szakképzett” jelzés is található:

80

A P ( B \ Á) valószínűséget most a P ( A n B ) és a P(Á) valószínűségek megha­tározására vezettük vissza.

Ez általában is érvényes, amit a relatív gyakoriságokkal is beláthatunk.

Legyen A és B a H eseménytérhez tartozó két tetszőleges esemény, és P(B)*0. Végezzünk n megfigyelést! Jelöíje k A, k g, k AB az A, B és A n B események gyakoriságát. Az A \ B esemény relatív gyakorisága a

hányados. Ha a kísérletek száma elég nagy, akkor

^ x P ( A n B ) és ^*-*P(B) , ~ P(A IB ) ,n n kB

67

(A pb jel itt azt jelenti, hogy a relatív gyakoriság az adott valószínűség körül inga. dozik.)

Ez indokolja az alábbi definíció bevezetését;

DEFINÍCIÓ. Ha az A és B a H eseménytérhez tartozó két esemény, és P(B) 0 , akkor a

P(A | B) = (3 ,1]}.i p(B)

hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes, valószínűségének nevezzük.

A definíció alapján egyszerűen belátható, hogy a P(A | B ) feltételes valószínű­ségre is érvényesek a valószínűség axiómái, azaz valóban valószínűséget definiál­tunk a H eseménytérben.

I. 0 < P(Á | 5 ) < 1;

II. P( B\ B)=1;III. Ha Áyi A 2, . . . , véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok, egymást pá­

ronként kizáró, H-hoz tartozó esemény, akkor

P(Ai u A l u . . . \ B ) = P(Al \B) + P(Aí \B)+ ... .

így mindazok a tételek, amelyeket a 3.2-ben igazoltunk, a feltételes valószínű­ségre is érvényesek.

3.7. Példa.Egy urnában 10 fehér és 15 fekete golyó van. Találomra kihúzunk egymás után két golyót visszatevés nélkül. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a m á­sodik alkalommal fehér golyót húzunk (A2 esemény), feltéve, hogy az első alka­lommal is fehéret húztunk (Al esemény)?

Keressük a P(Á2 1 A,) valószínűséget!

MEGOLDÁS, A (3.11) definíció értelmében

P(a 2 1 4 ) = ^ . 4 .D A2)P(AX)

Mivel P ( 4 n 4 ) - ^ | - és P(As) = — = ^ í j25-24 25 25*24

így

Áz eredmény előre várható volt; ugyanis a második hűzásra már csak 24 golyó van az urnában és ezek között 9 a fehér, mivel egy fehér golyót az első

I húzásnál már kihúztunk.

Gyakran előfordul, hogy a feltételes valószínűséget vizsgáljuk, és annak segít­ségével számíthatjuk ki a A n B esemény valószínűségét,

Szorozzuk meg ugyanis a (3.11) formula mindkét oldalát P (B )-v e l A

P ( A n B ) = P(A\B)P(B)

összefüggéshez jutunk. Ezt nevezzük a valószínűségek szorzási szabályának,amelyet az alábbi tételben fogalmazunk meg:

3,6. T é te l. Ha A és B a H eseménytérhez tartozó két esemény és P ( B) # 0 , akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az A eseményB eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének és a B esemény valószínűségének szorzatával, azaz

P ( A n B ) = P(A\B)P(B), P ( B ) * 0 . (3.12)

Ha az A és B szerepet cserél és P(A) * 0, akkor a

P{B\ Á) = - ^ ~ ~ yP(A)

alapján

P { A n B ) = P{B\A)P(A). (3,13)

3.8. Példa.Egy áruszállítmány 96%-a megfelel a minőségi előírásoknak, és ezek 60%-aI osztályú, 40%-a pedig II, osztályú. Válasszunk ki találomra egyet az egész

69

szállítmányból. Mennyi a valószínűsége, hogya) I. osztályút választunk (A} esemény);b) II. osztályút választunk (A2 esemény)?

Megoldás. Egyszerű okoskodással is azonnal látható, hogy az I. osztályú vá­lasztásának valószínűsége 0,96 ■ 0,6 = 0,576, a II. osztályú választásának való­színűsége pedig 0,96 • 0,4 = 0,384 .

Gondoljuk csak meg, hogy itt tulajdonképpen a szorzási szabályt alkalmaz­tuk mindkét esetben. Jelölje ugyanis B azt az eseményt, hogy a kiválasztott da­rab minőségileg megfelelő. így az a) esetben

P(B n A ,) = P (A , | B)P(B) = 0,6 ■ 0,96 = 0,576,

a b) esetben

P ( B n A 2) = P(A, | B)P(B) = 0,4-0,96 = 0,384 .

A valószínűségek szorzási szabálya n > 2 eseményre is kiterjeszthető. Ezt mond­ja ki a következő tétel, amelyet a valószínűségek általános szorzási szabályának neveznek.

3.7. TÉTEL. Legyenek Ai, A1, ..., An a H eseménytérhez tartozó tetszőleges ese­mények és P{At n ^ , n ... n A ) ^ 0. Ekkor

P ( A , n A i n . . . n A J = P(Al)P(A2 \At)P(A1 lAi n A 2)... . . . P ( Aw\Al n A l r \ . . . n A l_l).

A tétel bizonyítására, amely a 3.6. tétel többszöri alkalmazásán alapul, nem térünk lei.

3.5. A teljes valószínűség tétele, a Bayes-tétel, valószínűségi fa

3.8. TÉTEL. Ha a H esemény térhez tartozó Bt, B2, ..., Bn események teljes ese­ményrendszert alkotnak és P{Bk) >0 (k = 1,2.......n), akkor bármely,a H-hoz tartozó A esemény valószínűsége:

P(A) = f i P ( A \ B t )P(Bí ). (3.14)

70

A tételt azért nevezik a teljes valószínűség tételének, mert egy A esemény valószínűségét (teljes valószínűségét) feltételes valószínűségekből (részvalószínü- ségekből) határozza meg.

Bizonyítás. Az, hogy a Bk (k =1, 2, . . . , n) események teljes rendszert alkotnak, a z t jelenti, hogy egymást páronként kizárják és összegük a biztos esemény. Az A tetszőleges esemény előállítható egymást kizáró események összegeként az alábbi módon:

A - A c \H = A c \ ( B y k j B 2 u ... u B n) == { A c \ B ^ ) u { A r \ B z) ' u . . .

és ezért

P{A) = Y JP { A n B k). k-\

Alkalmazva a (3.12) képletet (a valószínűségek szorzási szabályát) az egyes P( An Bk) valószínűségekre, a bizonyítandó állítást kapjuk.

3.9. Példa.Három urnába helyezzünk el fehér és fekete golyókat, mégpedig az elsőbe 2 fe­hér és 3 fekete, a másodikba 4 fehér és 1 fekete, a harmadikba pedig 3 fehér és 7 fekete golyót. A kísérlet abban áll, hogy 1/2 valószínűséggel az első, 1/3 valószínűséggel a második és 1 / 6 valószínűséggel a harmadik urnát választva, a választott urnából kiveszünk egy golyót. A kérdés az, mennyi a valószínűsége annak, hogy valamelyik urnából találomra kihúzva egy golyót, az fehér lesz.

MEGOLDÁS, a fehér golyó húzása három egymást kizáró módon jöhet létre. Je­lölje B x, B , , B3 az első, a második, illetve a harmadik urna választásának ese­ményét. Ekkor a teljes valószínűség tételét alkalmazva

P{A) = P{A | B,)P(B]) + P(A | B2)P(B2) + P{A | B,)P(B, ) ,

s minthogy

J T O = i / W = i2 3 6

és az első urnából 2/5, a másodikból 4/5, a harmadikból 3/10 valószínűség­gel húzhatunk fehér golyót, azaz

P ( A \ B )) = 1 , P ( A \ B , ) = ~ , P i A l B , ) ^ ^ ,

71

a kérdezett valószínűség tehát

/>(^) = 1 . 1 + 1 . 1 + J L I = * i * 0,517,5 2 5 3 10 6 60

3.10. Példa.Egy műhelyben három műszakban készítik ugyanazt a2 alkatrészt. Egy napon az összesen gyártott alkatrészek 40%-a készült az első műszakban, és 30 - 30%-a a második, illetve a harmadik műszakban. Az első műszakban elkészült alkat­részek 5%-a, a másodikban gyártottak 7%-a, a harmadikban gyártottak 10%-a selejtes. A három műszakban előállított alkatrészek teljes mennyiségéből a mi­nőségi ellenőr találomra kiválaszt egyet és megvizsgálja. Mekkora a valószínű­sége annak, hogy ez hibátlan?

MEGOLDÁS. Jelölje A a hibátlan alkatrész kiválasztásának eseményét, Bt, B2> B} pedig azt, hogy az első, második, harmadik műszakban készült a kihúzott darab. Alkalmazva a teljes valószínűség tételét:

3

P(A) = £ P ( A | Bk )P{Bk) - 0,95 ■ 0,4 f- 0,93 ■ 0,3 + 0,9 ■ 0,3 = 0,929.*=i

Előfordul, hogy a P(Bk \ A) (1 < k < n ) valószínűségre van szükségünk.

3.9.TÉTEL. (Bayes-tétel.) Ha a H eseménytérhez tartozó Bv B2, .... Bn esemé­nyek teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bk) > 0 (k = 1, 2....... n),akkor bármely, a H-hoz tartozó, pozitív valószínűségű A eseményre igaz, hogy

P(Bk | A) = (A = 1.2....... »). (3.15)f iP ( A \ B l)P(Bi) í=i

Bizonyítás. A valószínűségek szorzási szabálya értelmében a (3.12) és (3.13) össze­függéseket jelen esetre alkalmazva kapjuk, hogy

P(Bk \A)P{A) = P{ A \ Bk)P(Bk).

Innen pedig

1 P(A)

12

A teljes valószínűség tétele szerint azonban

I

amit az előző tört nevezőjébe helyettesítve a bizonyítandó tételhez jutunk.

Ez a tétel azt jelenti, hogy ha ismeijük az A esemény feltételes valószínűségét a Bl, B 1 , . . , , B n teljes eseményrendszer eseményeire vonatkozóan, továbbá ismer­tek a Bk események valószínűségei, akkor a Bk (k = \, 2, n) eseményeknek az A feltételre vonatkozó feltételes valószínűségét ki tudjuk számítani.

Szokás a P(Bk \ A) valószínűségeket „a posteriori” valószínűségeknek, a P ( B , ) valószínűségeket pedig „a priori” valószínűségeknek is nevezni. Amennyiben ez utóbbiak eleve (a priori) ismeretesek, a tétel sok nevezetes probléma megoldására használható (1. a 3.9. pontot).

3.11. Példa.Tekintsük ismét a 3.9. példát, és fordítsuk meg a problémát. Azt kérdezzük, hogy mennyi a valószínűsége annak, hogy a húzás az első urnából történt, ha a húzás eredménye fehér golyó volt,

MEGOLDÁS, Helyettesítsük be a 3.9. példában kapott értékeket a (3.15) képletbe. Ekkor azt kapjuk, hogy

2 15 ? _ j j

P(A) M 3 f 60

Tehát 12/31 a valószínűsége annak, hogy ha fehér golyót húztunk, akkor a hú­zás az első urnából történt.

Hasonló módon kaphatjuk meg a

P(B2 \ A ) = 1 és a P(£} \A) = ^

valószínűségeket, amelyekből leolvashatjuk, hogy ha fehér golyót húztunk, ak­kor 16/31 a valószínűsége, hogy a húzás a második, és 3/31 a valószínűsége, hogy a harmadik urnából történt.

Vegyük észre, hogy 5, w B7 u Bt = H , tehát

P(B t | A) + P{Bt | A) + P(B3 | A) = P{BX u B 2 u B 3 \A) == P ( H\ A ) = t .

73

Ha egy kísérlet egymás után elvégzett véletlenszerű lépések sorozatára bontható fel, akkor a lehetséges végkimenetelek egy fastruktúra ágainak felel telhetők meg. Egy ilyen kísérlet jól megjeleníthető egy gráf segítségével, amelynek az ágaira felvehetjük a lehetséges elemi eseményeket és á hozzájuk tartozó valószínűségeket. A kezdőpontból kiindulva ágak sorozatán keresztül juthatunk el valamely végpont­hoz, amelynek során a feladat egy lehetséges megoldását olvashatjuk ki. A tekintett megoldás valószínűségét pedig a szorzási szabály segítségével kapjuk meg.

A 3.6. ábrán ábrázoltuk a 3.9. példa valószínűségi fa struktúráját és az elemi események valószínűségeit.

S : í. urna

7 ( 5 4 "

B ; 3, urna

^ ) = i

A : fehér

A : fekete

^ ) - l A :fehér_

A : fekete

A : fehér

A : fekete

i v 1 2 2p ( b . ^ a ) = ----- = —

v ' 2 5 10

í 1 3 3P Í B , n ,^ ) = ----- = —

2 5 10

/ \ 1 4 4P { B , n A } = ------------

v J 3 5 15

( - v i l iW ő 7 r w ) = ----------- ----

V ' 3 5 15

v ' 6 10 60

, 1 7 7P ( S . n , A ) = --------- —

6 10 60

3.6. ábra

3.6. Események függetlensége

Két esemény függetlenségén a köznapi szóhasználatban azt értjük, hogy az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezését.

Egyrészt nehéz azonban eldönteni csupán a szemlélet alapján, hogy ez valóban igaz-e? Másrészt a2 is pontosabb körülírást igényelne, hogy mivel mérjük a két esemény egymásra hatásának tényét. Szubjektív tényezőktől mentes, egyértelműen kezelhető matematikai definíciót kell kialakítanunk.

A feltételes valószínűség fogalmának bevezetésekor egy konkrét példát vizsgál­tunk. Azt találtuk, hogy /4-val jelölve egy sokaságban a férfiakat, 5-vel pedig a

74

szakképzetteket, annak valószínűsége, hogy a szakképzettek kartotékjai közül egyet találomra kiválasztva, azon férfi neve szerepel, más, mint amikor a húzás az összes kartoték közül történik, azaz

P(A | B) * P (A ) .

Azt mondhatjuk, hogy az adott esetben a nem és a szakképzettség egymástól nem független tulajdonságok.

Más azonban a helyzet, ha a kérdéses 80 dolgozó adatai történetesen így ala­kulnak:

A (férfi) A (no)B (szakképzett) 45 27 72

B {nem szakképzett) 5 3 850 30 80

Most ugyanis

0,625 ■

és

= 0,625,

tehát

P(A | B) = P ( A ) .

A férfi dolgozók előfordulásának valószínűsége ezek szerint jelen esetben ugyan­akkora a szakképzettek között, mint az összes dolgozók között.

Kézenfekvő tehát arra következtetnünk, hogy ha két eseményre, az A -ra és 5-re P(A | B) - P(A) , akkor a B esemény semmilyen befolyással nincs az A esemény­re. Ez esetben azt mondjuk, hogy A független 5-töl. A feltételes valószínűség (3.11) definíciójából, illetve a (3.12) szorzási szabályból következik, hogy ekkor

P ( A n S ) = P(A | B)P{B) = P( A) P{B) . (3. 16)

írjuk fel a P(B \ A) feltételes valószínűség definícióját a (3.16) figyelembevéte­lével.

75

P(A) P(Á)

feltéve, hogy P(A) > 0 , azaz

P(B | A) = P(B) ,

ami éppen azt jelenti, hogy a B esemény is független az A eseménytől. Tehát

P(A | B ) = P(A) » P(B | A) = P (5 ) o P</í n í ) = .

A függetlenség tehát szimmetrikus fogalom, célszerű definíciójául a2 ekviva­lens egyenlőségek közül az alábbit elfogadni.

DEFINÍCIÓ. Legyen A és B a U eseménytérhez tartozó két esemény. Az A és B esernényeJcet egymástól függetlennek (vagy sztochasztikusan függet­lennek) nevezzük, ha

P ( A n B ) = P{A)P(B). (3.17)

3.12. Példa.Egy ládában

25 darab I. osztályú x típusú,25 darab L osztályú y típusú,25 darab II. osztályú x típusú,25 darab II. osztályú y típusú

termék van. Jelentse A az I. osztályú termék választásának az eseményét és B az x típusú tennék választásáét.Ekkor

w a us 2 5 1 días 5 0 1 ' D /m 5 0 1 P ( A r \ B ) - ---- ■ = —, P(A) = -----= — es P(B) = -— = —.100 4 100 2 100 2

így P ( A n B ) = P{Á)P(B) , azaz az A és a B események függetlenek egymás­tól, ami előre várható volt.

Megjegyzés:Ha P{A) = 0 vagy P(A) - 1, akkor az A esemény minden más eseménytől füg­getlen.

3.10. TÉTEL. Ha az A és B események függetlenek, akkor az A és B , A és B, A és B események is függetlenek.

76

Bizonyítás. Bizonyítsuk be pl. azt, hogy az A és B függetlenek Mivel A - ( A r < B ) ^ J { A n B ) és (A n B ) n ( A r \ B ) = 0 , így

P( A) = P ( A n B ) + P ( A n B ) .

Ebb&P ( A n B ) = P { A ) - P ( A n B ) .

Ha azonban az A és B függetlenek, akkor P ( A n ő ) = P{ A) P{ B ), tehát

P ( A n í ) = P( A) - P{ A) P{ B) = P( ,4) [!-/></!)] = P ( A) P( B) .

Hasonló módon igazolható a többi állítás is.

A függetlenség fogalmát terjesszük ki ezután három eseményre, yí-ra, B -re és C-re. Tegyük fel, hogy ezek páronként függetlenek, azaz P(A n B ) - P{A)P{B) , p ( Ar \ C) = P(Á)P(C) és P ( B n C ) = P(B)P(C). Kérdés, hogy fennáll-e a P ( A r \ B r \ C ) = P(A)P(B)P{C) összefüggés. A páronként! függetlenségből ez általában még nem következik, amint a következő példa is mutatja.

3.13. Példa.Legyen kísérletünk az, hogy két kockával dobunk, melyek közül az egyik piros, a másik fekete. Jelentse az A esemény azt, hogy a pirossal páratlan számot, B azt, hogy a feketével páratlan számot dobunk, C pedig legyen az, hogy a két dobás összege páratlan.

Vizsgáljuk A , B, C függetlenségét!

MEGOLDÁS. Mint könnyen meggyőződhetünk róla, bármelyik két esemény füg­getlen egymástól. Ugyanis

| O 1P(A) = P(B) = P ( C ) = { - = ±

36 2

és

P ( A n B ) = P ( A n C ) = P ( B n C ) = ^ = ~ .

Ezzel szemben a három esemény egyidejűleg nem következhet be, így

P ( A n B r \ Q = 0.

77

3.14. Példa.Az előző példában szereplő két kockával kapcsolatos kísérletünkben legyen most az A, B és C esem ény a következő:

A esemény: a piros kockával legfeljebb 3-ast dobunk,B esemény: a fekete kockával legalább 5 -öst dobunk,C esemény: a pontszámok összege 4, 5, 6 vagy 7.

Vizsgáljuk itt is a függetlenségeket!

M e g o l d á s .

™ = Í K - ^ 1 4P{A n B n C) = ~ ± = P{A)P{B)P(C) .

36 12

Nézzük a páronkénti függetlenséget!

P { A n B ) = — = ~ = P{A)P{B),36 o

P { A r > 0 = % = \ * P { A ) P { C ) ,36 3

p( ^ c ) 4 4 í W ( C ) '3 6 12

Látható, hogy sem az A, sem a B nem független a C-töl.

A P { A n B r \ C ) = P(A)P(B)P(C) egyenlőség teljesüléséből tehát általában nem

következik a páronkénti függetlenség.

DEFINÍCIÓ. Egy H eseménytérhez tartozó A, B és C eseményt függetleneknek nevezzük ha a következő összefüggések mindegyike teljesül:

P ( A n B ) ^ P { A ) P ( B ) ,P ( A n C ) = P(A)P(C),P ( B n C ) = P(B)P(C),P(A n B r \ C ) = P(A)P(B)P{C) .

Ekkor a három eseményt teljesen függetlennek is szokás nevezni, megkülön­böztetvén a páronkénti függetlenségtől.

78

3.7. Bernoulli-kísérletsorozat

A függetlenséget eddig olyan eseményekre definiáltuk, amelyek mindegyike ugyan­azon eseménytérhez tartozott, más szóval olyan eseményekre, amelyek mindegyike ugyanazon kísérlettel volt kapcsolatos.

Most egy új, az eddigieknél általánosabb fogalmat, a független kísérletek fogal­mát vezetjük be.

Ha egy kísérletet ugyanolyan körülmények között többször megismétlőnk (is- metélt kísérletek), akkor a megismételt kísérletek kimenetelei nem befolyásolják egymást. Ha tehát az első kísérlet eredménye egy A esemény, akkor ettől független az, hogy ismétléskor mi következik be. Pl. a többször ismételt kockadobás, érme- dobás stb.

Ugyancsak független kísérletekről beszélhetünk akkor is, ha több kísérletet vég­zünk egyszerre (többszörös kísérletek), és az egyes kísérletek kimenetelei nincse­nek egymásra semmiféle befolyással. Pl. egy játékkockát és egy pénzdarabot do­bunk fei egyszerre.

Amikor tehát egymástól függetlenül végrehajtott kíséri etekről beszélünk, akkor ezzel arra utalunk, hogy a kísérletek között semmiféle kapcsolat nincs. Ez nem ma­tematikai fogalom, de gyakorlati szempontból mégis félreérthetetlen jelentése van.

Tekintsünk két, egymástól függetlenül végrehajtott kísérletet. Legyen Ax az el­ső, A, pedig a második kísérlettel kapcsolatos esemény. Az első kísérlettel kapcso­latos eseményteret H x, a másodikkal kapcsolatos eseményteret H z szimbólummal jelölve, nyilvánvaló, hogy az első kísérletnél bekövetkező A, esemény a H l, míg a másodiknál bekövetkező esemény a H l eseménytér részhalmaza, azaz

At c H, é s A2 c H l .

A két kísérletet egyesítsük egy olyan kísérletté, amelynek lehetséges kimene­telei a H, és H 7 elemeiből alkotott rendezett párok.

így már tudjuk vizsgálni az At és A2 események együttes bekövetkezésének valószínűségét, vagyis meghatározhatjuk a P(A, illetve azt, hogy aP(Aj r \A^) = Pi A^Pi Af ] egyenlőség fennáll-e.

3.15. Példa.Dobjunk fel egy játékkockát és egy pénzdarabot egyszerre.a) írjuk fel a kísérlethez tartozó eseménytér pontjait!b) Legyen Al az az esemény, hogy a játékkockán páros pontszám, A2 pedig az,

79

hogy a pénzdarabon írás kerül felülre. Állítsuk elő az A, r í Az eseményt!c) Számítsuk ki a P(Axr \ A 1) valószínűséget!

MEGOLDÁS, Most arról van szó, hogy egyidejűleg két kísérletet hajtunk végre. A kockadobáshoz a //, = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } eseménytér, a pénzdobáshoz a

H 2 = {í ; / } esemény tér tartozik.a) A két kísérletet egyszerre végrehajtva az un. egyesített kísérlet eseménytere

a H, x H 2 Descartes-szorzat iesz.

f f , x / / a = { ( l ; / ) , (2 ; / ) , (6 ; / ) , (1 ; / ) , (2 ; / ) , .... (6 ; / )} .

Az egyesített kísérletnek 12 kimenetele van.b) Mivel Al ={2, 4, 6 } és Ai = { i } > így

Ai r \ A 2 = {(2 ; i), (4 ; í), ( 6 ; / )}.

c) Tegyük fel, hogy minden pár bekövetkezése egyformán valószínű. Mivel az A, c\ Al esemény szempontjából a kedvező elemi események száma 3 és a

összes elemi eseményének száma 1 2 , így

P(At n A 2) = - = - = = P(Ay)P(A2).12 4 6 2

Hasonló összefüggés igazolható H ,, illetve H 2 tetszőleges eseményére. Ezek után, ha bármely A, cr H, és A2 ez / / , eseményre

P(Al n A 7) = P(Al)P(A2),

akkor joggal mondhatjuk azt, hogy a H t eseménytérhez tartozó kísérlet és a H 2

esemény térhez tartozó kísérlet független egymástól.

E példa következtetései az alábbi definícióban általánosíthatók.

DEFINÍCIÓ. Tekintsünk n számú kísérletet. Ha az első kísérletnél egy tetszőleges A| esemény előfordulásának valószínűsége P(A t), a második kísér­letnél egy tetszőleges A? esemény előfordulásának valószínűsége P{Al ) , . . . , az n-edik kísérletnél egy tetszőleges An esemény előfor­dulásának valószínűsége P(A it), és annak a valószínűsége, hogy az

80

elsőnél az A,, a másodiknál az ...... az n-edi lenéi az An eseménykövetkezik be, egyenlő az egyes valószínűségek szorzatával, azaz

P(Al n A 2 n . . . n A J = P(A,)P(A,) ... P ( A J (3.18)

minden A,, Al , An esetén, akkor a kísérleteket független kísérle­teknek nevezzük.

A 3.3. részben már tárgyaltunk olyan példákat, amelyek valójában független kí­sérletek együttes végrehajtásából álltak, de ezeket kénytelenek voltunk egy kísér­letnek tekinteni, mert még nem ismertük a független kísérlet fogalmát.

3.16. Példa.Független kísérletsorozat esetén mekkora a valószínűsége annak, hogy egy koc­kát rc-szer feldobva, valamennyi dobás 6 -os?

MEGOLDÁS, A (3.18) képlet alapján ez a valószínűség — . A 3.3. részbení í -

ezt úgy oldottuk meg, hogy meghatároztuk az összes lehetséges elemi esemé­nyek számát, mégpedig az n egymás utáni dobást egy kísérletnek tekintve. Ez hat elem íi-edosztályú variációinak száma, 6 ", és közülük csak egy olyan van, ahol minden dobás 6 -os.

A független kísérletek vizsgálata során, kiemelt fontossága miatt részletesen ki­térünk az ún. Bemoulli-kísérletsorozatokra,

Függetlenül megismételt kísérletek sorozatát Bernoulli-kísérlet sorozatnak ne­vezzük, ha az egyes kísérleteknek két lehetséges kimenetelét vizsgáljuk, valamely A eseményt, illetve annak komplementerét ( A ) . Az A és az A valószínűsége a kíséri etsorozat során változatlan marad.

Tekintsünk egy kísérletet, amelyben egy A esemény bekövetkezésének való­színűsége p, be nem következésének valószínűsége nyilvánvalóan l ~ p = q . Vé­gezzük el a kísérletet azonos körülmények között egymástól függetlenül n-szer egymás után. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az első k kísérletben az A ese­mény, valamennyi további n - k kísérletben pedig az A esemény következik be, a független kísérletekre vonatkozó (3.18) összefüggés értelmében

P ( A r > A n . . . n A n A r ) A n . . . n A ) =* " ' 7 ~k 1

= P(A)PiA) ... P(A)P(A)P(A) . ..P(A) = p kq"-k .'----------- ■,----------- ' ' -----------v-----------'k tt-k

81

Nyilvánvaló azonban, hogy ugyanezt az eredményt kapjuk, ha azt kérdezzük, hogy a fenti kísérletsorozat valamely másik k kísérletében az A esemény, a töb­biben pedig az A esemény következik-e be. Mivel az n hosszúságú kísérletsoro­

zatban a k számú A esemény

következő tételt:\ k J

-féleképpen helyezkedhet el, kimondhatjuk a

3 .1 1 . TÉTEL. Annak a valószínűsége, hogy függetlenül megismételt kísérletek n hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k-szor következik be.

\ k y

jt II ~kP <? - (3.19)

ahol

p = P(A) és q = \ - p = P(A) .

A 3.3. részben tárgyalt visszatevéses mintavételi modellnél ugyanerre az ered­ményre jutottunk, hiszen a kivett mintát visszatéve a kísérletek egymástól függet­lennek tekinthetők.

3.17. Példa.Egy kockát feldobunk «-szer. Legyen az A esemény az, hogy egy dobásnál 4-nél nagyobb pontszámot kapunk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az n dobás között pontosan k-szór kapunk 4-nél nagyobb pontszámot?

MEGOLDÁS. Azonnal látható, hogy BemouIIi-kísérletsorozatról van szó. A kér­déses valószínűség tehát a (3.19) képlet szerint

O Y 2

3 ; UV f a V f ' 4 '

n - k

— — —

U J ^ 6 , o k j

mivel

P ( A ) = ~ .6

82

3.8. Geometriai valószínűség

Sok valószínűségszámítási probléma megoldásánál a valószínűség meghatározását geometriai alakzatok mértékeinek meghatározására vezetjük vissza. Az eseményte- ret egy geometriai alakzattal reprezentáljuk, pl. szakasz, görbeív, síkidom stb.

M értéken a geometriai alakzat hosszát, ívhosszát, területét stb. értjük. Az elemi események a szóban forgó alakzat pontjai. Például egy pontszerű objektumnak egy R sugarú, körlap alakú lemezre történő becsapódásaitól' a kísérlet kimeneteleként a körlap egy pontja tekinthető.

DEFINÍCIÓ. Ha feltehető, hogy egy geometriai alakzattal megadott H esemény­térben annak valószínűsége, hogy egy véletlen pont az A c # résztar­tományba esik, arányos az A tartomány mértékével (amennyiben ez létezik), geometriai valószínűségről beszélünk.

3.18. Példa.Az R sugarú céltáblára lövéseket adunk le. Tekintsük biztos eseménynek azt, hogy a céltáblát eltaláljuk. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a középpont körül egy r < R sugarú körön belül esik találatunk. Tegyük fel, hogy geometriai valószínűségről van szó, azaz

P(A) = A r 17r (r < R ),

ahol X egy arányossági tényező. Ez a következőképpen határozható meg: Jelöljük H-val a teljes céltáblára esés eseményét, azaz a biztos eseményt.

Ekkor

\ = P ( H ) = X R Jn,

ahonnan

R 2n

és így

P(A) =Li

r 'f f | rR 2x I R

Az elmondottak általában is érvényesek:Annak valószínűsége, hogy egy H tartományba eső pont egyúttal az A rész­

tartományba esik, megegyezik e két tartomány területének hányadosával, feltéve,

83

hogy az egyes tartományokra esés valószínűsége arányos az illető tartomány terüle­tével, azaz

az A tartomány területe a H tartomány területe

Meggondolásaink nemcsak síkbeli, hanem egyenes- és térbeli tartományokra is érvényesek. így például annak a valószínűsége, hogy egy egységnyi hosszúságú szakaszt 1 0 egyenlő részre osztva egy véletlenszerűen ráhelyezett pont az egyik 1 / 1 0 hosszúságú szakaszra esik, geometriai valószínűséget feltételezve 1/ 1 0 .

3,9. Szubjektív valószínűség

A valószínűség, a korábbi értelmezés szerint, az a szám, amely körül a relatív gya­koriság statisztikai ingadozást végez, a relatív gyakoriságok sztochasztikus határér­téke, amennyiben feltételezzük a kísérlet tetszőleges számú megismételhetőségét.

Mit tehetünk azonban az olyan köznyelvben használt ítéletekkel, hogy 80% a valószínűsége annak, hogy holnap esni fog az eső, vagy valószínűleg Kati keresett. A gazdasági életben is nagyon sokszor kell feltennünk a következő vagy hasonló kérdéseket: Mennyire valószínű, hogy egy új termék elér egy adott piaci részese­dést? A várható kereslet gyenge, közepes vagy erős lesz egy új termék esetén? Ezek a kérdések olyan eseményekre vonatkoznak, amelyek nem rendelkeznek az akárhányszor ismételhetőség tulajdonságával így a korábban értelmezett valószí­nűség-fogalom nem használható. Ebben a pontban megismerkedünk a bizonytalan­ság körülményei közötti gazdasági döntésekben alkalmazható új valószínűség- fogalommal, az úgynevezett szubjektív valószínűséggel, majd vizsgáljuk a bizony­talanság, a szubjektív valószínűség és a Bayes-tétel kapcsolódását.

A SZUBJEKTÍV VALÓSZÍNŰSÉG ÉRTELMEZÉSE

Objektívnek tekintünk valamit, ha az a tudatunktól függetlenül létezik. Ilyen érte­lemben az objektivitás a külvilág attribútuma. Az eddigiekben értelmezett valószí­nűség is a külvilág, egy kísérlet tudatunktól függetlenül létező tulajdonsága, ezért kapta az objektív valószínűség elnevezést.

A valószínűség szubjektív értelmezése először F. P. Ramsey (1926), majd B. de Finetti (1937) munkásságában jelenik meg egy esemény bekövetkezésébe ve­tett hit fokának a mértékeként. Ok ezt a valószínűségi mértéket egy fogadási helyzettel definiálják. A fogadási helyzet során a játékos, akinek egy esemény be­következésére vonatkozó hitét méljük, fogad a „játékvezetővel” . A fogadási helyzet a következő:

84

A játékos mond egy arányt, ami az ő fogadási hányadosa, q. A játékvezető en­n e k ismeretében tesz egy tétet: S. A játékos qS összeget fizet azért, hogy játszhas­son az esemény kimenetétől függetlenül. Míg ha az esemény tényegesen bekövet­kezik, akkor a játékvezető S összeget fizet a játékosnak.

Az előző értelmezés illusztrálására tekintsük a következő egyszerű példát.

3.19. Példa.Vizsgáljuk meg, hogy mit jelent a következő kijelentés: szerintem 70% annak a valószínűsége, hogy holnap esni fog.

MEGOLDÁS. Ebben az esetben 0,7 a hit foka arra vonatkozóan, hogy holnap esni fog, vagyis a fogadási hányados # = 0,7. A játékvezető ennek ismeretébenS = 100 Ft tétet tesz fel. így én 70 Ft-ot vagyok hajlandó fizetni azért a játé­kért, hogy nyerek 100 Ft-ot, ha tényleg esni fog és elveszítem a 70 Ft-ot, ha nem esik.

Ramsey és de Finetti tehát az egyén hiteinek mérését azzal a racionális fogadás­sal kapcsolja össze, amibe az egyén hajlandó belemenni, így az esély, aminél haj­landófogadni az egyén, határozza meg a valószínűséget.

Megjegyzés:A valószínűség szubjektív értelmezésében de Finetti odáig megy, hogy azi állítja, hogy az olyan ese­mények valószínűsége, mint a pénzfeldobás sem lehetnek az egyének hiteitől független létezők, így szerinte a valószínűséget objektívnek tekinteni téves felfogás. Ez az értelmezés komoly vitákat váltott ki. De Finetti felfogásában főleg az objektív valószínűség létezésének megkérdőjelezését kifogásol­ták. A valószínűség körüli vitákat még ma sem lekinthetjük lezártnak. Mi azonban arra a napjainkban legelfogadottabb álláspontra helyezkedünk, amelyik a valószínűség kétféle értelmezését (szubjektív, objektív) együtt használja.

Tekintsük a már említett „valószínűleg Kati keresett” példát. Ebben az esetben nem egy esemény valószínűségéről van szó, hanem egy tényállást, egy helyzetet értékelünk a megérzéseink alapján. A tényállást, helyzetet, amelyről tudni akarjuk, hogy igaz vagy hamis, állapotnak nevezzük a továbbiakban. Ha vizsgáljuk a szóba jöhető telefonálók halmazát, akkor az a tényállás, hogy „Kati telefonált” egy lehet­séges állapot a szóba jöhetők közül. Az /-edik állapotot a jövőben 9, szimbólum­mal jelöljük. A P{9t) egy lehetséges állapot valószínűsége, ami azt fejezi ki, hogy az ítéletet mondó mennyire bizonyos, illetve bizonytalan abban, hogy Kati volt a telefonáló.

Ezekben az esetekben a valószínűség nem a véletlen kísérlettel függ össze, ha­nem a bizonytalanság egy kifejezéseként használjuk. Amikor nem tudjuk megálla­pítani, hogy egy esemény (állapot) igaz vagy hamis, akkor csak annyit mondunk, hogy lehetséges vagy valószínű. A különböző állapotoknak különböző valószínű­

85

ségi szintje lehet, ami attól függ, hogy mi azt gondoljuk, hogy az a valószínűbb, hogy igaz, vagy az, hogy nem.

Az 1 valószínűség azt jelenti, hogy abszolút biztosak vagyunk, hogy igaz. A 0 valószínűség esetén is abszolút biztosak vagyunk, de abban, hogy nem igaz a tény­állás. A 0,5 valószínűség jelenti azt, hogy abszolút bizonytalanok vagyunk, hogy fennáll-e az állapot, vagy nem.

A szubjektív valószínűség D. Wickmann (1990) által megfogalmazott értelme- zése a következő: A szubjektív valószínűség a szubjektumnak egy adott állapot megítélésére vonatkozó bizonyossági foka.

A bizonyossági szintet az „igazságos fogadás paradigmájával" kapcsoljuk Össze. Korábban láttuk, hogy már Ramsey és de Finetti is összekapcsolták a hit foká­

nak mérését a fogadási hajlandósággal. Az igazságos fogadás a következőképpen történik:

3.20. Példa.

Legyen 0i egy bizonyos állapot. D személy azt mondja, hogy P{9,) = ^

(pl. 0,9), ű , f i e N , a + b ^ 0 mértékig biztos abban, hogy a 9. állapot fennáll.

Ha A és B egy bizonyos H összegre fogadnak, amelyből H ■ (0,9H)a + b

az A személytől, H ■ - (0,1//) pedig a B személytől származik, akkor a a + b

fogadási arány a:b (9:1) az A szempontjából. Az A fogad é? -re, B pedig 0j tagadására, és a nyertesé lesz az egész Összeg. A z igazságosság azt jelenti,

hogy D szempontjából mind a kettőjüknek egyenlők a nyerési esélyeik ,----- - -ű ■+■ ö

ve) azt fejezi ld, hogy egyaránt kész A vagy B helyett belépni.

3.21. Példa.Vizsgáljuk, hogy mit jelent az igazságos fogadás szempontjából a következő ki­jelentés: „70%-ig biztos vagyok abban, hogy Kati telefonált”, állítja D.

7M e g o ld á s . Az állapot a következő: 6; = „Kati telefonált”. PW,) = y - - ^ = 0,7 .

A és B 10 000 Ft összegre fogadnak úgy, hogy 7000 A-tó\7 3000 pedig 8 -tői származik. A fogadási arány tehát 7 : 3. Az A arra fogad, hogy Kati telefonált, B pedig arra, hogy nem Kati volt a telefonáló.

86

A fenti értelmezések a szubjektív valószínűség operatív definícióját adják. A szak- irodalomban ez a megközelítés nem egyedi. Például a fizikában az elektromos me­zőt is hasonlóképpen definiálják.

A valószínüségszámítás axiomatikus felépítése Kolmogorov nevéhez fűződik, amelynek alapján a valószínűség formális definíciója alatt azt a valós számot ért­jük, amely a valószínűségi axiómáknak eleget tesz.

Az ún. koherencia feltételezésével az is kimutatható, hogy a fent értelmezett szubjektív valószínűségek eleget tesznek a valószínűség axiómáinak (C, Howson, P. Urbach, 1989 és D. Gillies, 2000). A koherenciafeltételek azt jelentik, hogy le­hetetlen létrehozni olyan fogadássorozatot azzal a személlyel szemben, aki követi a koherencia feltételeit, hogy ez a személy biztosan veszítsen, függetlenül attól, hogy mire fogadott.

Az így definiált bizonyosság! szintek tehát joggal nevezhetők valószínűségeknek.

A BIZONYOSSÁG) SZINT SZÁMSZERŰSÍTÉSÉ

A szubjektív valószínűségeket általában nehéz mérni. Azoknak az eseményeknek, illetve állapotoknak a valószínűsége, amelyek nagyon ritkán fordulnak elő, vagy szinte biztos, hogy előfordulnak, azonban könnyen számszerűsíthető. Például, ha annak az eseménynek a bizonyosság! szintjét kell megadni, hogy „holnap felkel a Nap”, a valószínűség 1 lesz. Ha pedig annak az állapotnak a bizonyossági szintjé­ről beszélünk, hogy „sajtból van a ílold”, akkor a valószínűség közelít 0 -hoz. Mit tudunk azonban mondani annak az állapotnak a bizonyossági szintjéről, hogy „fe­hér karácsonyunk lesz”?

A számszerűsítéssel szembeni elvárások a következők:

> a bizonyossági szinteknek összehasonlíthatóknak kell lenniük,> bizonyossági szinteket egy skálán kell elhelyezni,> a skálának nemcsak ordinálísnak kell lennie, hanem arányskálának is.

Ha mérhetővé akatjuk tenni a bizonytalanságot, meg kell adni egy etalont (stan­dardot), amihez viszonyítunk. Például a hosszúság mérésére a Párizs mellett elhe­lyezett I méter hosszú rúd a viszonyítási alap. A szubjektív valószínűség mérésé­nél a standard egy úgynevezett kalibrációs kísérlethez kötődik. Ez egy egyszerű kísérlet, amelynél a kimenetek valószínűségei nagyon könnyen meghatározhatók és ráadásul ezek a valószínűségek objektívek.

Az általunk alkalmazandó kalibrációs kísérlet egy umás kísérlet. Egy urnában bizonyos számú piros és fehér golyó van. Véletlenszerűen kiveszünk belőle egy golyót. A valószínűség standard mértéke legyen az urnában levő piros golyók ará­nya. Ez a valószínűség függ az urnában levő golyók számától. Például, ha az umá-

87

bán 8 piros és 2 fehér golyó van, akkor 1 piros golyó kiválasztásának a valószí­nűsége 0 ,8 , ha csak pirosak vannak az urnában, a valószínűség 1 , és ha csak fehé­rek, akkor a valószínűség 0 .

Téljünk vissza a „fehér karácsonyunk lesz” állapot valószínűségének számsze­rűsítéséhez. A valószínűség meghatározásához a következő két fogadást hasonlít­juk össze:

1. 10 000 Ft-ot kapsz, ha fehér karácsony lesz, egyébként semmit.2. 10 000 Ft-ot kapsz, ha a kihúzott golyó piros, ha az urnában 5 piros és 5 fe­

hér golyó van, egyébként semmit.

Ha az első fogadást részesíted előnyben, akkor szerinted annak a valószínűsége, hogy fehér karácsony lesz, nagyobb, mint 0,5, ha a második fogadást preferálod, akkor pedig kisebb 0,5-nél ez a valószínűség,

Tegyük fel, hogy az első fogadást választottad, akkor a „fehér karácsony lesz valószínűsége” 0,5 és 1 közé esik. Tekintsük a következő két fogadást:

1. 10 000 Ft-ot kapsz, ha fehér karácsony lesz, egyébként semmit.2. 10 000 Ft kapsz, ha a kihúzott golyó piros, ha az urnában 6 piros és 4 fehér

golyó van, egyébként semmit.

Tételezzük fel, hogy most a második fogadást részesíted előnyben, ez azt jelen­ti, hogy annak a valószínűsége, hogy fehér karácsony lesz, kisebb, mint 0 ,6 . így a szubjektív valószínűség 0,5 és 0,6 közé esik. Ha pontosabb becslést akarunk, akkor újabb fogadásokat kell összehasonlítani.

SZUBJEKTÍV VALÓSZÍNŰSÉG ÉS A BAYES-TÉTEL

Legtöbbször a szubjektív valószínűség mögött is bizonyos előzetes tapasztalatok húzódnak meg, a múltbeli adatokat azonban nem tudjuk vagy nem akarjuk elérni. Ennek a bizonytalanságnak, információhiánynak a kifejezésére használjuk a szub­jektív valószínűséget. Már de Finetti is kapcsolatba hozta a szubjektív valószínűsé­get a Bayes-tétellel. A következő gondolatmenet mutatja a bizonytalanság, a szub­jektív valószínűség és a Bayes-tétel összekapcsolódását.

Egy új termék piacra vitele előtt nem tudjuk, hogy mekkora kereslet várható. Ilyenkor csak azt tudjuk mondani, hogy szerintünk pl. 0,4 annak a valószínűsége, hogy a kereslet közepes lesz. Ez a valószínűség azonban módosulhat, ha új infor­mációhoz jutunk. Például, ha kikérjük egy piackutató cég véleményét, vagy próba- vásárlást végzünk. Módosítani a kezdeti valószínűségeket, amikor új információhoz jutunk, ez a Bayes-í gondolkodás fő motívuma. A Bayes-tétel éppen azt fogalmaz­za meg, hogy a racionálisan gondolkodó személy hogyan módosíthatja hipotézisét,

ha új információ birtokába jut. A korábbi jelölések felhasználásával ez a követke­zőképpen fogalmazható meg:

Tekintsük a {6 , 02 , . . . , 0u} lehetséges állapotok halmazát, amelyek a 0 ál­lapotteret alkotják. P(0j) az a szubjektív valószínűség, amivel egy adott személy

bizonyos abban, hogy a /-edik állapot fennáll. A P{9}) -k által alkotott valószínű-

ségeloszlás a <9 állapottér adott személy általi becslését adja. A 0 minél jobb becslése érdekében az adott személy mintaadatokat szerez (x) és így átalakítja eredeti becslését. így kétféle valószínűségeloszlásról beszélhetünk, egy minta előtti vagy a priori és egy minta utáni vagy a posteriori valószínüségeloszlásról. Az a posteriori eloszlás meghatározása az a priori eloszlásból és a mintavétel adataiból a Bayes-tétel segítségével történik, amit szemléletesen a 5 .7. ábra tartalmaz.

Minta-a priori információ

Pfa) F {.}&,)

' i r — — 1

BAYES-TETEL

a posteriori />((?»

3.7. ábra

A Bayes-tétel az új jelölésekkel a következőképpen fogalmazható meg:

Y lP i x \ e i ) - n f f l )i=i

x : a mintainformáció,: a /-edik állapot,

^ (^ j) : a ./-edik állapotra vonatkozó szubjektív valószínűség,

-v): a mintavétel utáni posteriori valószínűség,

P ( x j Oj) : a mintavételi statisztikából jól ismert megbízhatóság.

89

Előzetes ismereteinket, amelyek bizonytalanság esetén szubjektív feltételezések­ből, megérzésekből származnak, matematikailag egy valószínűségi eloszlás meg­adásával fogalmazzuk meg.

Alkalmazzuk a leírtakat a következő példán keresztül.

3.22. Példa.Egy húsipari cég a piaci részesedésének növelése érdekében egy új ízesítésű, új megjelenésű szalámit fejlesztett ki. A vállalat egy valaha sikeres, de közben csődbe jutó cég felvásárlása után 2 éve alakult új névvel, így a menedzsment számára kiemelkedően fontos, hogy ez az új tennék sikeres legyen. Ezért haj­landók áldozni piackutatásra is.

A szakértőkből és menedzserekből álló team véleménye szerint kétfajta piaci részesedés, 8 % (í?t) és 2% (#,) várható a termék piacra vitele esetén. A team hosszas mérlegelés és a vélemények aggregálása után a 8 %-os piaci részesedés bekövetkezésének 60% esélyt, a 2%-os piaci részesedésnek 40% esélyt fo­galmazott meg, vagyis:

/>(£,) = 0,60, P(&2) = 0,40.

Ezek az a priori szubjektív valószínűségek.A jobb döntés érdekében két piackutató céget is megkérdeztek. Mind a két

piackutató ugyanúgy két kategóriába sorolta az elérhető piaci részesedést, mint a vállalat vezetősége. Az I. piackutató kategóriái a következők: 4% vagy annál nagyobb (a,) , és 4%-nál kevesebb (x2) piaci részesedés, a IL számúé pedig 3% vagy annál nagyobb, és 3%-náI kevesebb piaci részesedés. A piackutatók által közölt megbízhatósági adatokat az alábbi táblázatok tartalmazzák.Az I. számú piackutató megbízhatósági szintjei:

p ( * M ) PiXiW) Együtt

$ 0,70 0,30 1,00

0,20 0,80 1,00

ahol a P(xt \ 9]) megbízhatóság azt jelenti, hogy P(xl j ) — 0,7 annak a való­színűsége, hogy x, előrejelzést kapunk, ha 0l bekövetkezik, vagyis az informá­ció mennyire megbízható,

A II, számú piackutató megbízhatósági szintjei:

P(x} \Öt) P (x2 16>) Együtt

fii 0,70 0,30 1,00

0,40 0,60 1,00

90

Hogyan módosulnak az a priori valószínűségek a piackutatóktól szerzett új in­formációk hatására?

MEGOLDÁS. A piackutatókkal történt előzetes tárgyalás után, a kapott megbiz- hatóságí információk alapján az a priori valószínűségek változását a Bayes-tétel alkalmazásával határozzuk meg.

A P(6 t a',) és P {&2 | a,) a posteriori valószínűségeket és a meghatározásuk menetét az alábbi táblázat tartalmazza:

A priori valószínűségek

Feltételesvalószínűség

Együttes valószín üs égek

A posteriori valószínűségek

4 H°<)P(X]n $ t) =

= P(9,-) P(x, \0 , )P( X] r ^ )

m )ö, 0,60 0,70 0,42 0,84

0,40 0,20 0,08 0,16

A P{8y | x2) és a PfÖj | a',) a posteriori valószínűségek kiszámítása hasonlóan történik, így csak az eredményt közöljük. A táblázat az I. számú piackutató esetén az a posteriori valószínűségek és az a priori valószínűségek együttes táblázata.

4 m \ * > )0,60 0,84 0,360,40 0,16 0,64

£ 1,00 1,00 1,00

Az előző utat követve a II. számú piackutató esetén az a posteriori és a priori valószínűségek együttes táblázata a következő:

3 m ) m i * , )

ö, 0,60 0,64 0,530,40 0,36 0,47

£ 1,00 1,00 1,00

A megbízhatósági szintek különbözősége^ miatt a két piackutató esetén különbö­ző a posteriori valószínűségek születtek. Újabb információk szerzésével, a kapott

91

I a posteriori valószínűségeket a priori valószínűségként kezelve és alkalmazva a Bayes-tétel t még pontosabb a posterion valószínűségeket kaphatunk.

Befejezésül a téma iránt érdeklődő hallgatók számára álljon itt néhány alapvető mü, hiszen a szubjektív valószínűség és a Bayes-tétel alkalmazása sok olyan prob­lémát felvet, amely túlmutat a könyv keretein.

De Finetti (1964); Foresight: its Local Laws, its Subjective Sources. Studies in Subjective Probability. Kyburg, Smolder, New York.

French, S. (1986): Decision Theory. Eli is Horword, Chichester.

Gil, J-W aiker, L. D. (2005): Elicited Priors fór Bayesian Mód cl Specifications. G hat ham ’& HaJl, New York.

Gillies, D. (2000): Philosöpliical Theories of Probability. Routledge. pp. 223 + xiv.

Howsofi, C., Urbach, P. (1989): The Bayesian Approach. Open Court Publishing Company,

Ramsey, F- P. (1963): Tiuth and Probability. Studies in Subjective Probability. John Wiley and Sons, New York.

Shafer, G.-Gitett. P R.-Sherl, R. B. (2003): Subjective Probability and Lower and Upper Precision: A New Undefstanding. Internationa! Journal o f Approximate Reasoning.

Wickmann, D. (1998): Bayes-statisztika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.

92

4. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ

4.1, A valószínűségi változó fogalma

Az eddigiekben annak valószínűségét vizsgáltuk, hogy egy esemény bekövetkezik-e, vagy sem. Az esetek jelentős részében az eseményhez egy vagy több szám kap­csolható, Ha például egy szabályos dobókockát dobunk fel, az egyes kimenetelek­hez (elemi eseményekhez) az 1, 2, ... , 6 számokat rendelhetjük. Azt az összetett eseményt, hogy páros számot dobunk, megfogalmazhatjuk úgy is, hogy az ered­mény a {2 ; 4 ; 6 } halmaz valamelyik eleme. Természetesen a kocka oldalait kü­lönböző színekkel is jelölhetjük, de ekkor azonnal tapasztalhatjuk, hogy csak körül­ményesebben tudunk az eseményekről beszélni. Ezért ilyenkor is célszerű az egyes színekhez különböző számokat rendelni. Dobjunk fel egy pénzérmét! A dobás eredménye „fej” vagy „írás” lehet. Ekkor is megtehetjük, hogy az egyes elemi ese­ményekhez számokat rendelünk, például a „fej’’-hez a 0 -t, az „írás”-hoz az 1-et.

Egy kísérlet kimeneteleihez többféleképpen is rendelhetünk számot. Ennek a megválasztását gyakran a vizsgálat szempontjai határozzák meg. Például a magyar háztartásokhoz hozzárendelhetjük az adott háztartásban élők számát, a nettó össz­jövedelmet, az egy főre eső jövedelmet, az előfizetett mobiltelefonok számát, a havonta ruhavásárlásra fordított összeget stb.

Ebben a fejezetben azzal az esettel foglalkozunk, amikor egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek mindegyikéhez pontosan egy számot rendelünk hozzá. Ekkor lé­nyegében a lehetséges kimenetelek (elemi események) halmazán egy valós értékű függvényt értelmezünk.

DEFINÍCIÓ. Legyen adott egy véletlen kísérlet és az ehhez tartozó H eseménytér, A H eseménytéren értelmezett £ valós értékűföggvényi valószínűségi változónak nevezzük.

A valószínűségi változókat általában görög kisbetűkkel, 4 (kszí), rj (éta), C (zéta) stb. jelöljük.

A valószínűségi változó tehát a kísérlet minden h kimeneteléhez egy %(h) va­lós számot rendel.

Definíciónkat három fontos megjegyzéssel egészítjük ki.

93

Megjegyzések:1. Valószínűségi változót csak olyan eseménytéren definiálunk, amelyhez tartozó

eseményekhez már rendeltünk valószínűségeket, vagyis valószínűségi mezőt al­kotnak. így £ a ^ valószínűségi mező elemi eseményeinek halmazán értelme- zett függvény,

2. A továbbiakban £ < x jelöli azon h kimenetelek halmazát, melyekre £ (/;)< * teljesül.

3. Véges valószínűségi mezőben az eseménytér tetszőleges A c: H részhalmazá­nak (eseménynek) valószínűségét meghatározhatjuk az A halmazt alkotó ele­mek (elemi események) valószínűségei összegeként. Végtelen sok elemet tartal­mazó H eseménytérből kiindulva (mint a 2. fejezetben említettük) még az sem biztos, hogy egy kiválasztott végtelen részhalmaznak, azaz eseménynek van valószínűsége, A továbbiakban viszont mindig feltételezzük, hogy bármely valós x esetén a

m < *

egyenlőtlenségnek eleget tevő halmaznak létezik a

P ( t < x )

valószínűsége.

A W elemi eseményeinek halmazán végtelen sok különböző függvényt, tehát végtelen sok valószínűségi változót lehet értelmezni. Ezek közül a szokásjog vagy az ésszerűség időnként bizonyos megoldásokat kitüntet. Például a szabályos játék­kocka lapjait szinte mindig az 1 , 2 , 6 számokkal jelöljük annak ellenére, hogy erre használhatnánk akár irracionális számokat is. Annál a kísérletnél, amikor egy magyar háztartást választunk ki véletlenszerűen, a valószínűségi változó lehet pl,, mint említettük, a háztartásban élők száma, a nettó összjövedelem, az egy főre eső jövedelem, a mobiltelefon-előfizetések száma stb., a vizsgálat szempontjai szerint.

Ha egy véletlen kísérletet elvégzünk, a valószínűségi változó által felvett érték mindig attól függ, hogy a kísérlet lehetséges kimenetelei közül melyik következik be, Ezért a valószínűségi változó értéke lényegében egy véletlentől függő szám­adat.

Lássuk most az elmondottakat egy konkrét példa kapcsán.

4.1. Példa.Feldobunk két szabályos dobókockát. A kísérlet lehetséges kimeneteleit rende­zett számpárokkal jellemezzük (a két kockát megkülönböztetjük). így egy 36 elemi eseményt tartalmazó klasszikus valószínűségi mezőhöz jutunk. Jelölje a

94

£ valószínűségi változó a dobott számok összegét. Ekkor a £ lehetséges érté­kei. 2, 3, 4, . 1 2 . Az elemi eseményeket, a valószínűségi változó értékeit és azok valószínűségeit az alábbi táblázat tartalmazza:

Dobott számpár (elemi események)A 4

valószínűségi változó értékei

A £ értékeihez tartozó

valószínűségek(l; l) 2 1/36(1;2), (2; 1) 3 2/36(1;3), (2; 2), (3; 1) 4 3/3 ó0 ; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1) 5 4/36

11; 5). (2; 4), (3; 3), (4; 2), (5; 1) 6 5/3611; 6), (2; 5), (3; 4), (4, 3), (5 ;2),{6;1) 7 6/36(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3). (6; 2} 8 5/36(3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3) 9 4/36(4; 6), (5; 5), (6; 4) 10 3/36(5; 6), (6; 5) 11 2/36(6; 6) 12 1/36

Táblázatunkból kiolvasható például, hogy

/ > ( 2 £ £ < 5 ) = />(é = 2 ) + .P(£ = 3) + />(£ = 4) = ^ + - I + -L = I36 36 36 6 '

Itt az elemi események és a £ lehetséges értékei közötti kapcsolat nem kölcsö­nösen egyértelmű. A £ = 5 érték például négy különböző elemi eseményhez is hozzá van rendelve. A függvényfogalom szerint bármelyik elemi eseményhez £ -nek pontosan egy értéke tartozik, A % lehetséges értékeit és az azokhoz tar­tozó valószínűségeket a 4.1. ábrán nyíldiagrammal szemléltettük.

DEFINÍCIÓ. Ha a 4 valószínűségi változó lehetséges értékeinek a száma véges vagy megszámlálhatom végtelen (sorozatba rendezhető), akkor diszkrét vagy diszkrét eloszlású valószínűségi változónak nevezzük.

DEFINÍCIÓ. Ha a diszkrét eloszlású % valószínűségi változó lehetséges értékei xi , x 2. x J ....... akkora P(% = x x), P(4 = x 2) , P{4 = x i ), ... valószí­nűségeket a 4 valószínűségi változó eloszlásának vagy valószínűség- eloszlásának nevezzük.

Könnyű belátni, hogy ekkor

i

ahol az összegzést az összes lehetséges i értékre elvégezzük, és így egy véges vagy végtelen összeget kapunk. A valószínüségeloszlás tehát az 1 valószínűséget osztja el a 4 lehetséges értékei között. Vannak azonban olyan eseményterek is, melyeknek elemei a megszánni álhatóan végtelennél bővebb halmazt alkotnak. Ak­kor viszont lehet olyan valószínűségi változót is értelmezni, melynek értékei nem megszámlálható halmazt alkotnak.

Következő példánkban egy nem diszkrét eloszlású valószínűségi változót értel­mezünk.

4.2. Példa.Az A és B településeket összekötő 10 km hosszú villanyvezeték egy erős vi­har következtében egyetlen pontban megsérült. Jelöljük 4 -vei a sérülés helyé­nek az A településen levő végponttól való távolságát. Ekkor 4 a [0 ; 10] intervallum bármelyik pontja lehet: 0 á 4 ^ 10. A változó tehát most kontinuum sok értéket felvehet, nem diszkrét eloszlású. Ha a hiba helyének elhelyezkedésé­re bármit szeretnénk mondani, bizonyos feltételezésekkel kel) élnünk. Ha fel­tesszük, hogy a meghibásodás szempontjából egyetlen rész sincs kitüntetve, akkor abból indulunk ki, hogy bármely intervallumban a hiba valószínűsége arányos az intervallum hosszával (geometriai valószínűség). Ekkor pl. annak valószínűsége, hogy a hiba 3 km-nél messzebb, de 5 km-nél közelebb van A

2településhez, j°(3 < 4 < 5) = — . Annak a valószínűsége, hogy a hiba A -hoz kö­

zelebb van, mint 5 km, P(4 < ■ Annak valószínűsége pedig, hogy a hiba

éppen félúton van, P(4 = 5) = — = 0.

96

4.2. Az eloszlásfüggvény és tulajdonságai

DEFINÍCIÓ. Legyen 4 egy valószínűségi változó. Az

F 'F { x ) = P ^ < x) , x e R

függvényt a £ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük.

A valószínűségi változó definícióját követő második megjegyzésünk szerint a 4 függvényt csak úgy értelmezhetjük az elemi események halmazán, hogy a

ValÓSZÍníÍ£ég m i n d e i 1 x valós szám esetén létezzen. Ezért bármely való­színűségi változónak van eloszlásfüggvénye, és az minden R esetén értelmezett.

4.3. Példa.írjuk fel a 4.2. példában szereplő 4 valószínűségi változó eloszlásfüggvényét!

M e g o ld á s . A 4 értéke egy távolságot jelöl, ezért negatív értéket nem vehet fel. Akkor pedig

P ( 4 < x ) = 0 , ha * < 0 .

Másrészről, az egy biztos esemény, hogy 4 £ 1 0 , tehát

P ( 4 < x ) = 1 , ha jc > 1 0 .

A körülmények alapján abból indultunk ki, hogy geometriai valószínűséggel számolunk, ezert 6 6

ha 0 < x < 1 0 .

Ezeket összefoglalva, az F{x) = P(£ < x ) -re adódik:

0 , ha j c s IO

^Qc) = /■(£< *) = <-?!, ha 0 < jc < 10

[ 1 , ha 1 0 < jc.

A z F eloszlásfüggvény grafikonja a 4.2. áb­rán látható. Az eloszlásfüggvény most az egész számegyenesen folytonos.

97

A folytonos eloszlású valószínűségi változó értelmezését az analízis tanulmá­nyaink során megismert határozott integrálra, a Riemann-integrálra alapozzuk.

DEFINÍCIÓ. A 4 valószínűségi változót folytonosnak vagy folytonos eloszlásúnak nevezzük, ha létezik olyan véges sok pont kivételével folytonos f függ­vény, melyre

x

F(x)= \ f ( t ) d t , * e R .

Ezt figyelembe véve, a 4.2. példában szereplő £ valószínűségi változó folyto­

nos eloszlású, mert az

/ : / « =

0 , ha x < 0

— , ha O c x c l O100 , ha 1 0 < *

függvényre és a változó F eloszlásfüggvényére (melyet a 4.3. példában határoz­tunk meg) teljesül az

egyenlőség.

4.4. Példa.Egy szerencsekereket 1000 forint befizetése után lehet megforgatni, es a kime­netelek 25%-ában nyer a játékos. Négy darab 1000 forintosunk van és addig játszunk, amíg nem nyerünk, illetve ameddig a pénzünk el nem fogy. A £ való­színűségi változó jelentse a játékra befizetett 1000 forintosok számát. Adjuk meg és ábrázoljuk a £ eloszlását és eloszlásfüggvényét!

MEGOLDÁS. A változó lehetséges értékei: £ - 1 ; 2 ; 3 ; 4 .

Az eloszlás: P{£ = ^ =

A negyedik játék után, annak kimenetelétől függetlenül befejezzük a játékot, azért lesz

Ha £ < x és x < 1, akkor £ < 1. Azonban a lehetséges értékeit figyelem­be véve, a £ < 1 lehetetlen esemény, tehát ha x <, 1 , akkor

F(x) = P(Z <x) = 0 ,

Ha 1 < x < 2 , akkor az -T-nél kisebb £ érték csakis a í - 1 lehet. (Még ha x = 2 , akkor is a £ < x = 2 feltételnek a változó lehetséges értékei közül csakis a £ = 1 felel meg.) Tehát ha 1 < x < 2 , akkor

F(x) = P( Z<x ) = P ( ^ l) = i .4

Gondolatmenetünket folytatva, ha 2 < jc < 3 , akkor

F(x) = P ( Z < x ) = P{ t = \) + P(Z = 2 ) = l ~ 2; . l = l - .4 4 4 16

Ha 3 < x £ 4 , akkor

FW = P(í<^)=sP(í = l) + P(í=2) + />(í = 3)=i + j 4 + Í74 4 4 I^4J

Végül, ha 4 < x , akkor £ < x biztos esemény, ezért ha 4 < x , akkor

F(x) = 1.

Összefoglalva

I - 1 Z4 ^ 6 4 ’

F(x) = P(£ <x) =

0 , x < 1

4 ’7_16 37 641 , 4< x.

\ < x < 2

2 < x < 3

3 < x £ 4

99

Az eloszlás a 4.3,, az eloszlásfüggvény a 4,4. ábrán látható. Az eloszlásfügg­vény „ugrása” a szakadási helyeken mindig ugyanakkora, mint az eloszlás aktuá­lis tagja.

y

0,4-

0,2-

F(x)>

4.3. ábra 4.4. ábra

Míg a folytonos eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye mindig foly­tonos függvény (mert integrálfüggvény), addig a diszkrét eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye úgynevezett lépcsős függvény (pl. 4,4. ábra). Létezik úgynevezett kevert eloszlás is, amely nem is folytonos, nem is diszkrét. Mi ezekkel nem foglalkozunk.

Áz eloszlásfüggvény egyik legfontosabb gyakorlati alkalmazását biztosítja az alábbi tétel:

4.1. TÉTEL. Ha a £, valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor tetszőlegesa <b valósszámolcra

P { a < 4 < b ) = F{ b ) - F { a ) .

Bizonyítás. Az A - ( % <a) , B <b) és C, =(a<% <b) eseményekre fennáll­nak a következő összefüggések:

C = B \ A és A d B .

A 3.4. tétel szerint

P ( a < 4 < b ) = P(C) = P(B) ~ P(A) = P(% < b ) - P(% < a) == F ( b ) - F ( a ) .

4.2. TÉTEL. Ha az F függvény valamely £, valószínűségi változó eloszlásfüggvé­nye, akkora) F monoton növeJcedő,b) lim F(x) = 0 és lim /r (;e) = 1,~oo *c) P minden pontban balról folytonos, azaz

lím F(x) = F(a) .ff—0

100

Bizonyítás. Csupán az a) esetet bizonyítjuk. Azt kell megmutatnunk, hogy tetszőle­ges jc, <jc2 esetén F ( x t) < F{xf ) , vagyis F{x l ) - F ( x l) > 0 . Az előző tétel alap­ján, felhasználva, hogy egyetlen esemény valószínűsége sem lehet negatív,

P ( x 2) - F ( x , ) = P (xi < ^ < j c 2) > 0

adódik.

4.3. T é t e l . Ha valamely F függvény eleget tesz a 4.2. tételben felsorolt tulajdon­ságoknak, akkor van olyan £ valószínűségi változó, melynek eloszlás- függvénye éppen F.

Nem bizonyítjuk.

4.4. T é t e l . Ha a £ valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye folytonos az xQpontban, akkor

P(Z = x(í) = Q.

Bizonyítás. Legyen ( x j egy olyan x0 -hoz tartó sorozat, melyre x0 < * n teljesül. Ekkor

0 <P(g = x 0)< P(x0 < £ < x n) = F (xn ) - F i x , ) . (4 .1)

Feltetelemk szerint F folytonos az x0 helyen, ezért F( x a) -> F( x0) . De ekkorF ( x . ) - F ( x 0) -> 0 . így a „rendőrelv” szerint a (4.1) egyenlőtlenségekből a^ (# = *0) = 0 következik, mert konstans sorozat csak akkor tart a nullához, ha a konstans nulla.

Következmény: Ha a f valószínűségi változó folytonos eloszlású, akkor

P(a < 4 <b) = P(a < £ <b) = P(a < | <b) = P(a < £ < b ) .

Például az első egyenlőség belátásához vegyük figyelembe, hogy

P(a £b ) = P(a < £ <b) + P(£ = a) .

A folytonos eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye minden pontban, az jK = a pontban is folytonos, ezért előző tételünk értelmében:

P(£ = á) = Q.

A többi egyenlőség hasonlóan egyszerűen igazolható.

101

4.5. Példa.Legyen

F(x)0 , ha x < l

\nx, ha 1 < x <e1 , ha e < x .

Lehet-e F eloszlásfüggvény? Ha igen, számoljuk ki a P(£ < 2); P(% = 2); P(2 <,^ < 3) és a F(2 < £ ) valószínűségeket!

MEGOLDÁS. Az F valamely £ változó eloszlásfüggvénye, mert

- monoton növekedő (4.5, ábra),- l i mF = 0 és l i m F - 1 ,

-co co

- minden pontban folytonos, ezért balról folytonos.

P (£ < 2) = F(2) = In 2 .P{£ - 2 ) - Q y mert F folytonos az x0 =2 pontban.A 4.1. tételnek megfelelően

P(2 < 4 < 3) = F ( 3) - F ( 2) - 1 - In 2 .

Felhasználva az ellentett esemény valószínűségére vonatkozó tételt, valamint a fentebb kiszámolt P(% = 2 ) = 0 valószínűséget:

F(2 < £ ) = ! - />(£ < 2) = 1 - (F(2) + P{% = 2)) = 1 - In 2 .

102

4.3. A sűrűségfüggvény és tulajdonságai

A folytonos valószínűségi változó vizsgálatára használjuk a sűrűségfüggvényt Majdlátni fogjuk, hogy azoknak a paramétereknek a kiszámításakor, melyekhez diszkrétváltozó esetén az eloszlásra van szükség, folytonos esetben a sűrűségfüggvény al­kalmas.

DEFINÍCIÓ. Ha a % folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F, akkor az

f : f ( x ) = F'(x)

függvényt a % sűrűségfüggvényének vagy valószínííségsüríiség-fiigg- vényének nevezzük

Megjegyzések:1. A folytonos valószínűségi változó definíciójából következik, hogy eloszlásfügg­

vénye véges sok pont kivételével deriválható. A sűrűségfüggvény véges sok pont kivételével értelmezve van.

2. A sűrűségfüggvényt kizárólag folytonos eloszlású valószínűségi változó esetén értelmezzük. A 4.4. példában szereplő diszkrét eloszlású változó eloszlásfügg­vénye is differenciálható négy pont kivételével, de deriváltját nem nevezzük sű­rűségfüggvénynek. Ezt a véges sok pont kivételével nulla értéket felvevő függ­vényt nem tudnánk használni olyan számításokhoz, mint a folytonos változó sűrűségfüggvényét.

3. A sűrűségfüggvény értelmezését gyakran ki szoktuk terjeszteni az egész szám­egyenesre. Ahol az F nem differenciálható, a sűrűségfüggvénynek gyakran a nulla értéket adjuk. Máskor ezekben a pontokban olyan értéket adunk /-nek, hogy balról vagy jobbról folytonos függvényt kapjunk. Ezt azért tehetjük meg, mert a sűrűségfüggvényből a paramétereket integrálással fogjuk számolni, ezért az / véges sok pontbeli megváltoztatása eredményeinket nem fogja befolyásol­ni. A következő tételben éppen azért nem foglalkozunk azzal, hogy /-e t a defi­níciója esetleg nem minden pontban értelmezi, mert az elmondottak szerint ki­terjeszthetjük a számegyenesre.

4. A sűrűségfüggvény elnevezést a következő megfontolás indokolja:Annak a valószínűsége, hogy £ az [x0 ; x] intervallumba esik,

F ( x ) - F ( x 0).

A lekor az intervallum egységnyi részéhez tartozó valószínűség,

F ( x ) ~ F ( x 0)(4.2)

tekinthető ezen az intervallumon az átlagos valószínűségi sűrűségnek. Az f ( x ) - F' (x) nem

más, mint a (4.2) határértéke * ->■ x t) esetén, az xQ pontbeli sűrűséget adja.

103

4,5. TÉTEL, Ha valamely I folytonos valószínűségi változónak f a sűrűségfügg­vénye, akkora) f ( x ) > 0, x e D f ,

0ö

b) J*/(jc) dx = 1,-íű

Ac) \ f ( t ) d t = F ( x ) , x e R,

~«ob

d) J / ( x )dx = P{a <% <b).tt

Bizonyítás. Célszerűen a d) pont bizonyításával kezdünk,d) Á folytonos eloszlás definíciója és a 4.1. tétel alapján

\ f ( x ) d x = J f { x ) d x - | f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = P(a < g< b ),ff -<n -m

amit bizonyítani akartunk,c) Az előző pontban felhasználókon kívül alkalmazzuk az improprius integrállal

kapcsolatos ismereteinket, valamint a 4.2, tételből ismert lim F(x) = 0 össze-- 0O

függést:X X

f f ( í ) d í = lim \ f ( t ) d t = Hm ( F( x ) - F(a)) = F( x ) - 0 = F(x).- ío rí

b) A c) pont alatti gondolatmenet szerintoo bf f ( x ) d x = lim í f ( x )d x = lim (F(b) - F(a)) = 1 - 0 = 1.

■» et-i-oQ « (?-*- oo«-> — ^ fi—»- e©£-*00 ii

a) Mint minden eloszlásfüggvény, F monoton növekedő. A növekedő függvény deriváltja pedig nem lehet negatív: f ( x ) > 0 , xe . Df .

4.6. TÉTEL. Ha valamely f legfeljebb véges számú hely kivételével folytonos függvényre

a) / (jc) > 0, x e D f

és

b) ] f ( x ) d x = l,

104

akkor van olyan 4, folytonos eloszlású valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f .

.5

Bizonyítás. A tétel feltételei mellett létezik az j f ( t ) d t integrál. Az-ta

x

F( x ) = l f ( t ) d í , x e R (4-3)

rendelkezik a 4,2. tételben megfogalmazott tulajdonságokkal, ezért alkalmazható a4.3. tétel. Annak a változónak viszont, melynek (4,3) az eloszlásfüggvénye, éppen f a sűrűségfüggvénye.

4.6, Példa.A 4.5. példában

0 , ha x <1

F(x) = Inx, ha \ < x < e

1 , ha e < x

volt a i; valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Ekkor a £ sűrűségfüggvénye;

0 , ha x < 1

f ( x ) = ha \ < x < e

0 , ha e < x .

A sűrűségfüggvényt a 4.6. ábrán láthatjuk. Az / függvény az x ~ \ és x = e pontokban nincs értelmezve, mert ezeken a helyeken F nem differenciálható (töréspontja van). A 4.6. ábráról leolvashatjuk, hogy a ^ nem vehet fel pozitív valószínűséggel sem 1-nél kisebb, sem e-nél nagyobb értékeket. Ha az ] l ; e [ intervallumot felosztjuk egyenlő Á x hosszúságú részintervallumokra, akkor an­nak a legnagyobb a valószínűsége, hogy £, az ] 1; 1 + A x [ intervallumba esik. Itt veszi fel a sűrűségfüggvény a legnagyobb értékeket. Az ábráról leolvasott és felso­rolt tulajdonságok azonnal következnek a 4.5, tételből. A fentebb megadott / sű­rűségfüggvény helyett leggyakrabban az

4.6. ábra

105

ha í < x < e

0, máshol

függvényt szoktuk használni, de bizonyos vizsgálatoknál pl, az

/ 2W =—, ha l <x<, ex ;0, máshol

—, ha l < x < ex0, máshol

függvények is szóba jöhetnek. Ezek bármelyikét nevezhetjük a £ változó sű­rűségfüggvényének.

4,7. Példa. Legyen

m = -Ö , ha x < 0

2e~Zx, ha 0 < x

a) Mutassuk meg, hogy / valamely £ valószínűségi változónak a sűrűség- függvénye!

ti) írjuk fel az eloszlásfüggvényt!c) P(ln 2 < < 2) = ?

Megoldás,á) Világos {4.7.a) ábra), hogy az / függvény az i = Ö pont kivételével folyto­

nos, sehol nem negatív függvény: f ( x ) > 0 , i g R .

Kiszámoljuk a függvény görbéje alatti területet.

106

00 ö CQ b £J / = Jo<&+ ^2e~2ídx = lim j2e~lxdx = lim [-e '2t ] =

-co -co ö 0 °

= lim(-e~2b - ( - e 0)) = 0 + 1=1.6-kc

A 4,6. tétel alapján tehát / lehet sűrűségfüggvény.

b) Most írjuk fel az eloszlásfüggvényt.Ha x < 0 , akkor

x *

F( x ) = \ f { t ) d t = jbrf/ = 0.- w -co

Ha -0 < x , akkor

x 0 . x

F(x) = J / ( 0 * = Jb<* + \ 2 e 2,di = [~e2,l = -e~2x + 1.0

Az F eloszlásfüggvény tehát

í 0 , ha x < 0F ( x) =

| l - e ”lr, ha 0 < x .

Grafikonja a 4 .7.b) ábrán látható.

c) Végül számoljuk ki a P(ln2 < £ < 2) valószínűséget!Az eloszlásfüggvény egyik legfontosabb alkalmazása, a P(a<% <b) = = F (p’) - F ( a ) összefüggés alapján, a valószínűség meghatározása. Mivel £; folytonos eloszlású valószínűségi változó, P (£ - In 2) = 0 és így

P(ln 2 < ^ < 2) = P(ln 2 < ^ < 2) = F(2) - F(ln 2) =

= 1 - e~4 - { l - e m i ) = ~ e A+ {é~)niy = - - - V = 0.232.4 e

107

4.8, Példa,Határozzuk meg az A konstans értékét, ha tudjuk, hogy a 4 folytonos eloszlá­sú valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

m = &0 máshol.

P(3 < | < 5) = ?

M egoldás. A 4.5. tétel szerint

Ebből

<£, y <sj

1 = j f (x )d x = jo + jA ■ x~uldx + JO =Á

A = — ,és ekkor f ( x ) > 0 is teljesül.

jci /2

1/2= 2A{49 - 4Á ) = 2 A .

A kérdéses valószínűséget legegyszerűbben a 4.5. tétel alapján kaphatjuk meg:

5 4 5 -t IPP ( 3 < 4 <5) = j f ( x ) d x = Jo + J— j= dx= « J x \ 4 = 4 s ~ 2 ,

i 3 4 2 v X

4.7. TÉTEL. Legyen a £, folytonos eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvé­nye F, sűrűségfüggvénye f. Ha a > 0 , 6 e R , akkor r j - a ^ + b szintén folytonos eloszlású valószínűségi változó és eloszlásfüggvénye

G : G(x) = F

sűrűségfüggvénye

g : g ( x ) = - fa

Bizonyítás, Az eloszlásfüggvény:

x - b '

x - b

G(x) - P(tj <x) = P(a4 + b < x ) = P 4 <x - b

= Fx - b

108

Képezzük a G függvény deriváltját:

g(x) = G'(x) =x - b

a - M —a \ a

Mivel G(x)= ^g{t)dt teljesül, ezért rj valóban folytonos eloszlású és g a sűrű­

ségfüggvénye.

4.4. A valószínűségi változó néhány jellemzője

Ha ismerjük a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét, akkor tulajdonságait meg­határozhatjuk. Ha folytonos esetben a sűrűségfüggvényt, diszkrét esetben az elosz­lást ismerjük, szintén célhoz érhetünk, hiszen ezekből az eloszlásfüggvény előállít­ható. Gyakran előfordul azonban - foként az alkalmazásoknál hogy a változóról egyetlen vagy néhány számadattal akarunk fontos információkat közölni. A jellem­zés így kevésbé lesz árnyalt, de kétségkívül könnyebben áttekinthető. Az sem ritka, hogy a valószínűségi változót nem ismerjük pontosan, statisztikai adatok feldolgo­zásával próbálunk közelítő képet nyerni róla. Ilyenkor a nevezetes paraméterek köze­lítéséhez jutunk el először. Most ezekből a paraméterekből mutatunk be néhányat.

DEFINÍCIÓ. A 4 valószínűségi változó mediánja az a med (4) -vei jelölt valós szám,melyre

P(4 < med (4)) és < med(4)) £: —, ha 4 disz/erét

és

P ( 4 < med{4)) — F(med(4)) = —■, ha 4 folytonos.

Ha két kockával dobunk és £ a dobott számok összege (4.1. példa), akkor a médián értéke 7. Erről a 4.1. példa adatainak a médián definíciójában szereplő egyenlőtlenségrendszerbe való behelyettesítésével, közvetlenül meggyőződhetünk. Ha viszont egyetlen szabályos dobókockát dobunk fel, és a változó a dobott számot jelenti, akkor a médián definíciójának bármely, a [3 ; 4] intervallumban elhelyez­kedő szám eleget tesz. Állapodjunk meg abban, hogy az egyértelműség kedvéért ilyenkor mindig az intervallum felezőpontja legyen a médián. Folytonos esetben

109

többször fogunk, olyan változóval találkozni, melynek sűrűségfüggvénye valamely x = c egyenesre szimmetrikus. Ilyenkor: med(%) = c .

4.9. Példa.Határozzuk meg a 4.7. példában szereplő £ folytonos valószínűségi változómediánját!

Az eloszlásfüggvény, mint kiszámoltuk:

f 0 , ha í < 0^ (* ) =

[l - e , ha 0 <*.

Az

_ J.2

egyenletet kell megoldanunk:

“ 2 ’

és így

med(£) = “ ' 1J1 2 .

DEFINÍCIÓ. Ha a £ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, melyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket a £ móduszának nevezzük és m od(^)-vel jelöljük. Foly­tonos valószínűségi változó móduszának a sűrűségfüggvény szigorít abszolút maximumhelyét nevezzük, ha létezik.

Folytonos változónál előfordulhat, hogy a sűrűségfüggvénynek azért nincs ma­ximumhelye, mert a szakadási pontokban nem értelmeztük a függvényt, vagy a bal és jobb oldali határértékek közül a kisebbiket adtuk értékként.

Már említettük, hogy a változó lényeges tulajdonságai nem változnak, ha ezek­ben a pontokban tetszőleges nemnegatív értékeket adunk a sűrűségfüggvénynek. Minden egyes szakadási pontban válasszuk függvényértéknek a bal és jobb oldali határértékek közül a nagyobbat. (A gyakorlatban előforduló feladatoknál ezek a határértékek léteznek és nem egyenlők.) Ha az így módosított sűrűségfüggvénynek van szigorú maximumhelye, akkor azt a változó móduszának nevezzük. Mind diszk­

110

rét, mind folytonos esetben szoktunk kétmóduszú eloszlásról is beszélni. Diszkrét esetben akkor, ha két olyan lehetséges értéke van a változónak, melyeket egyenlő valószínűséggel vesz fel úgy, hogy ezek minden más érték valószínűségénél na­gyobbak. Ha a folytonos változó sűrűségfüggvénye két pontban egyenlő értéket vesz fel, úgy, hogy ezek minden más függvényértéknél nagyobbak, kétmóduszú változónak nevezzük.

Ha az előző szempontok szerint kettőnél több érték jön szóba, akkor azt mond­juk, hogy a változónak nincs módusza.

A 4.1. példában bevezetett változó módusza: mod(£) - 7 .A 4,7. példában bevezetett £ folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrű­

ségfüggvénye:

, 0 , ha * < 0

= U 2, , (4.4)\ 2 e ha 0 < x.

Ennek a függvénynek nincs maximumhelye. Változtassuk meg az értékét az x0 = 0 pontban a jobb oldali határértékre:

f 0 , ha jr < 0

f M = U ~ . o í , . ( 4 ' 5 >

így már beszélhetünk maximumhelyről, mely az jcö = 0 pontban található.A £ változó sűrűségfüggvényének a (4.4) és a (4.5) alatti függvények bál-me­

lyikét választhatjuk, tehát: mod(£) = 0 .

Gyakran előfordul, hogy nem tudjuk figyelembe venni £ összes lehetséges ér­tékét. Ilyenkor keresünk egy olyan intervallumot, melyen kívül £ már csak egy általunk előírt, aránylag kicsiny valószínűséggel fordulhat elő.

DEFINÍCIÓ. Legyen $ < q < \ . A % valószínűségi változó q-kvanlilisének nevez­zük azt az xq számot, amelyre

P{% < \ ) í <] és P{£, < x ti) > q , ha % diszkrét,P (4 < x f/) = Fixf ) = q, ha ^ folytonos.

Ha a ^-kvantilis definíciójának egy intervallum minden pontja megfelel, akkor általában az intervallum felezőpontját tekintjük x -nak. A fentiek alapján a médián nem más, m inta 0,5-kvantilis: med(£) = xos.

111

Vannak egyéb olyan xri értékek is, melyeket külön névvel látunk el:

jcfl3S alsó kvartilis

x0, alsó decilis

x0i01 alsó centilis

xU6 alsó sextilis

xQll felső kvartilis

jcoí, felső decilis

xu M felső centilis

xsií felső sextilis.

4.10. Példa.Legyen a £ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

— e* , ha x < 0 2

— e~\ ha 0 < x . . 2

A sűrűségfüggvényt a 4.8. ábrán láthatjuk. A mod(£) = 0 a grafikonról azonnal leolvasható. Mivel a sűrűségfüggvény grafikonja az y tengelyre szimmetrikus, ezért med(£) - 0. Határozzuk meg az alsó és felső decilis értékét!

0 ,1 = í —e'£Í£=l im f — = lim J 2 B-+-* J 2 *->-«

1

2 J 2

j;0l = In 0 , 2 - -1,61.

1 X—e2

= — é 2

ír.» ®Az x^, értékét az J f = 0,9, vagy az J/ = 0,1 egyenletből egyaránt megbatá-

rózhatjuk. Ez utóbbinál szimmetriái meggondolások szerint *0.9 = - * 0,1 = - 1110, 2 = 1,61.

112

4.5. Várható érték

A következőkben a valószínűségi változó két leggyakrabban használt paraméterét, a várható értéket és a szórást vezetjük be. A definíció megfogalmazása előtt egy példát mutatunk be.

4.11. Példa.Kétjátékos, A és B a kővetkező szerencsejátékot játsszák: Az A játékosnak legfeljebb három kísérlete van arra, hogy egy pénzérmével írást dobjon. Az A játékos nyerési lehetőségei:

- ha az első dobás írás, 4 forintot nyer;- ha elsőre nem, de másodikra írást dob, 8 forintot nyer;- h a csak harmadikra sikerül írást dobnia, 16 forintot nyer;- ha a három kísérlet egyike sem írás, akkor 40 forintot veszít (B nyer).

A játék mind a négy esetben újrakezdődik. Jelölje £ az A játékosnak az éppen induló játékban a nyereményét. A £ valószínűségi változó lehetséges értékei:

4; 8 ; 16; - 4 0 .

A £ eloszlása:

P(4 = 4 ) = \ , P ( í = 8 ) = ± />(í = 1 6 ) = i P(4 = - 4 0 )= -! .I 4 ö ö

Felmerül a kérdés, hogy a játék egyenlő nyerési esélyeket biztosít-e az egyes játékosoknak, azaz a játék igazságos-e? Ennek eldöntéséhez tegyük fel, hogy n játék után az egyes esetek bekövetkezésének gyakorisága sorrendben k], k 2, ki , kA, ahol ks+k l + /c3 + k4 = n .

Ekkor A nyereménye:

/í = Jfc,-4 + A1 - 8 + jfcJ -16 + t ,( -4 0 ) .

Az egy játékra jutó átlagos nyereménye

— = — '4 + — - 8 + — -16+ — (-40) . n n n n n

Tudjuk, hogy a relatív gyakoriság az esemény valószínűsége körül ingado­zik. A későbbiekben majd azt is látjuk, hogy a kísérletek számának növelésével1-hez közeledik annak valószínűsége, hogy a relatív gyakoriság a valószínűsé­get adott hibahatáron belül megközelíti. Elég sok játék után j ogosak a

113

k „ Pf£ = 4) ; * W ( £ = 8 ) ; ^ * P ( 4 = 16) és ^ ^ = -40) n n « rt

közelítések.

így nagyszámú játék után az várható, hogy az /í játékos egy játékra jutó —

nyereménye közel esik aP (4 = 4) - 4 + />{£ = 8 ) *8 + P (4 = 16 ) ■ 16 + = -4 0 ) -( -4 0 ) =

= 1 . 4 + 1 . 8 + --1 6 + - ( - 4 0 ) = l2 4 8 8

értekhez. Ez azt jelenti, hogy a játék A számára kedvező, mert hosszú távon A játékos egy játékra eső nyereményének átlaga 1 forinthoz közeli érték. A követ­kező definíció alapján úgy fogunk fogalmazni, hogy A játékos egy játékra eső nyereményének, azaz 4 'ne!í a várható értéke 1 forint.

DEFINÍCIÓ. Ha a 4 diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei

-£| j x 2, ,

akkor a 4 várható értékének az

M(É) = £ P ( É =*,)■ *,= !>,-/>, (4-6)i »

Összeget nevezzük, ha ^ | x \p , konvergens.I

Ha a 4 folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f akkor a 4 várható értéke:

coM (£) - \ x - f ( x ) d x , M

u

ha J | x | f ( x ) dx létezik.-fitr

Megjegyzés: A

Z W ^ <0°í

feltételt csak akkor szükséges vizsgálni, ha 4 végtelen sok értéket vehet fel. Erre és az

J V i / o ) ^ 00

feltételre a várható érték egyértelműsége érdekében van szükség, ennek okait nem részletezzük.

114

4.12. Példa.Két szabályos játékkockát feldobunk. Legyen a 4 valószínűségi változó értéke a dobott számok Összege (4.1. példa). Ekkor

A/(£) = 2- — + 3- — + 4 — + 5 — + 6 - — + 7 ™ + 8 - — + h 36 36 36 36 36 36 36

4 3 2 1+ 9 ---- +10 + ------f i i ---- + 12-'— = 7 .36 36 36 36

Most a várható érték egyenlő a mediánnal, illetve a módusszal. Ennek az az oka, hogy szimmetrikus eloszlásról van szó, és a szimmetriapontnak legnagyobb a valószínűsége.

4.13. Példa.A 4 valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek

2, 4, 8 , 16, . . . . 2*. ....

a hozzájuk tartozó valószínűségek pedig rendre

1 1 1 _L _L2 ’ 4 ’ 8 ’ 1 6 ’ 2k " "

Ez valóban egy valószínüségeloszlás, mert

* 1

t=l *

Ekkor

A í(í) = 2 - ! + 4 - ! + 8 - ! + lG- — + ... =1 + 1+ 1 + 1+2 4 8 16

tehát a várható érték nem létezik.

4.14. Példa.Számoljuk ki a 4.5. példában adott 4 valószínűségi változó várható értékét!

MEGOLDÁS. Adott az eloszlásfüggvény

0 , ha jc í 1

F(;c) = *Mn j; , ha l< j ;< e

1 , ha e < i .

115

» jo e a c

M (4 ) = Ja'- f ( x ) d x ~ Jjc*(In*)'ífe = Jjc— dx = Jó* =-CO -30 ] | ^ ]

= [ * ] ' = e - l .

4.Í5. Példa.Legyen a £ folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

' 3f ( x ) =

. . ha 1 < í x*0 máshol.

Határozzuk meg a várható értéket!

MEGOLDÁS.05 * h

A/(£) = \xf{>t)dx = ^ x —j d x ^ l - hm Ja:-3 dx -

— 3 ■ lim á l-2

4.8. TÉTEL. Ha a c tetszőleges valós szám, akkor M(c) = c.

Ha A/(£) létezik, akkor M(c%) is létezik és

M(c£) = c Mt f ) .

Bizonyítás. A tétel első fele könnyen bizonyítható. Ha ugyanis a £ csak a c érté­ket veheti fel, akkor P{% = c) = 1 ; és így

M(c) = M(£) = c-[ = c.

A tétel második fele c - 0 esetén triviális. Ha c ^ 0 , különválasztjuk a diszkrét és a folytonos esetet.

a) Legyen £ diszkrét valószínűségi változó

JC| , Xr^ f X J J . . . ,

lehetséges értékekkel és a rendre hozzájuk tartozó

P> Pi> Pi>

valószínűségekkel.

116

A C'4 valószínűségi változó lehetséges értékei

CX\ , c x l t c x 31

míg a valószínűségek változatlanok. így

w (c% ) = Y , c x i ■ Pi = c' L x'Pt = c 'M (& ■t i

b) Folytonos esetben a 4.7. tételben láttuk, hogy c > 0 esetén a £ változó / sűrű­ségfüggvényét a c ■ £ változó g sűrűségfüggvényével a

g ( x ) = - f ( -c l e

egyenlőség kapcsolja össze. így aztán

M( c £ ) = ^xg{x)dx = J- f

= c j t - f ( t ) d t = c M ( % ) .

dx =

dxx = ct ; — ~ c

dtx —» oo => / - j . 0 0

X - > - o o t —> -oo

1Ha c < 0 , hasonlóan járunk ei. Az ekkor érvényes g(x) - — /c

— a 4.7. tétel- \ c )

ben alkalmazott módszerekkel könnyen igazolható. Nem részletezzük.

4.9. TÉTEL. Legyen n pozitív egész szám. Ha a % diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei x]f x2, xs ....... akkor

t í

(ha létezik).

Ha £ folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel, akkor

j v •/(*)<&

(ha létezik).Az M (£") számot a ^ n-edik momentumának nevezzük.

117

Bizonyítói, Legyen S, diszkrét eloszlású változó

-V x2, ■■■

lehetséges értékekkel és a rendre hozzájuk tartozó

Pi > P i > Pj 1 •■ ■

valószínűségekkel.

A í " változó lehetséges értékei az előző valószí Hőségek mellett

n » u Xt , jcs , JCj . . . . .

Ezért

f

A folytonos esetben eJöször tegyük fel, hogy n páratlan pozitív egész. Ekkor x 1—> x" , x e R

szigorúan monoton növekvő függvény és a változó G eloszlásfüggvénye

o„ co = n s" < 0 = n z < <Tn = ),

ahol F a £ változó eloszlásfüggvénye, így a sűrűségfüggvény

1 = 1W(í") - í t S Á t ) d t = - f i " =

í - x t -» -OO => X —> -00

dt „_t— = n x / —* 00 =* x —* <x> dx

- — l x f ( x ) n x " Adx - | x " f ( x ) d x ,fj _ n _{Ei

amint állítottuk. Ha >1 páros, az x < 0 és az * > 0 eseteket meg kell különböztetnünk, egyébként hasonlóan járunk el. Nem részletezzük.

Megjegyzés:Fontos tény, hogy ha a £ valószínűségi változó n-edik momentuma, M (£") létezik («> 2 ), akkor az első, második, ..., ( « - l)-edikmomentuma is létezik.

4 .1 0 . TÉTEL. Legyen P„{x ) - + ■■ ■ + ^ x + aü tetszőleges n-edfokú po-linom. Ha M(£") létezik, akkor M ( P t(£;)) is létezik, és

M{Pn m = a „ M ( n + a„.,M (<T1) + . . .+ (£) + «„.

118

Bizon y í t á s . A tétel a 4.8. tétel egyszerű következménye, ha figyelembe vesszük a tétel előtti megjegyzést és az 5.3. tételt, mely szerint összeg várható értékét tagon­ként vehetjük.

4.16. Példa.Legyen £ egy géppark elromlott gépeinek javítási ideje (napokban számolva). Tegyük fel, hogy ismert a £ eloszlásfüggvénye:

fc * Hx

3

ha x<, 0

ha 0 < x < l

1 ------ha 1 <^.3x3

Ha a gép javítási költsége és a gép kiesése miatt fellépő járulékos veszteségek együttes összege a £ javítási időből a K = 90£2 +15 (e Ft) formulával számol­ható, mennyi lesz egy gép elromlásából származó kiadás várható értéke?

MEGOLDÁS. Mindenekelőtt határozzuk meg a sűrűségfüggvényt!

/ ( * ) =

0 , ha ,c< 0

1 , ha 0 < x< 1 3

2 u 1— , ha 1 < í .* 4

M (9 0£* + 15) = 90M(42) +15 = 15 + 90 • j x 2f (x) dx =

= 15 + 901 y1 * 9[— f&+ fje2 -—-ebe J 3 J

, 2x 4

= 205.

Vegyük észre, hogy példánkban és általában sem lehet az A /(£2) helyett az

M 1(< ) értéket használni, mert ezek különböznek egymástól.

119

4.6. Szórás

A várható érték a valószínűségi változó „átlagáról” ad felvilágosítást. Az előzőek alapján is nyilvánvaló, hogy a legkülönbözőbb eloszlású változóknak lehet azonos a várható értéke. Vannak olyan esetek, amikor a változó által felvett értékek köz­vetlenül a várható érték körül „tömörülnek'”, máskor attól „egészen nagy távolsá­gokra” szétszóródnak. A változó ilyen jellegű vizsgálatára és jellemzésére alkalmas a szórás. Ha a konkrét értékek várható érték körüli „szétszóródását” szeretnénk jellemezni, természetesnek tűnik a f) átlagára, várható értékére gondolni.Csakhogy a várható értéktől való pozitív és negatív eltérések éppen kompenzálják egymást: M (£ -A f(^ )) = Ö, nem alkalmas a feladatra. Ha nem az eltéréseket, ha­nem azok nagyságát tekintjük, akkor egy használható, de az abszolút érték miatt matematikailag kényelmetlen d(^) = - M (<^)\) paraméterhez jutunk. Ezeket figyelembe véve alakították ki a szórás definícióját.

DEFINÍCIÓ, Ha a £ - M ( g ) valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor ezt a % szórásnégyzetének nevezzük:

d 2( £ ) = m ( 1 4 - m (£)Y) .

Ennek négyzetgyöke

a £ valószínűségi változó szórása.

Egy valószínűségi változó szórásét kiszámolhatjuk az azt definiáló képlettel is, de az első- és másodrendű momentumok segítségével is, az alábbi tétel felhaszná­lásával.

4.1 L. TÉTEL. Ha a % valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor létezik a szórása is, és

Bizonyítás. Fel fogjuk használni, hogy ha egy változó négyzetének létezik a várha­tó értéke, akkor a változónak is van várható értéke. A definíció szerint:

D \ $ ) = A / ( [ í - M ( í ) f ) = M ( f - 2M(£) ■ # + M 2(£)).

120

Alkalmazzuk a 4.10. tételt, figyelembe véve, hogy M ( |) és M 2(£) konstansok:

D 2( f ) = M ( f 2) - 2 M ( f ) - M ( 4 ) + M 2( f ) = M ( 4 2) - M 2(4).

,4.12. TÉTEL. Ha a £ valószínűségi változónak létezik a szórása, akkor tetszőleges a és b valós számok esetén az j ]=a^ + b változónak is létezik a szó­rása és

D(a% + b) = \a \D{%).

:Bizonyítás. Alkalmazzuk az előző tételt;

D 1 (ö<f + h) = M (\a í;+ b f ) - [M(a% + b ) f =

= M ( a 1£ 2 +2ab£ + b2) - [ aM( Z) + b]2 =

= a1M ( ^ ) + 2abM (^) + b1- a 2M 1( 4 ) - 2 a b M ^ ) - b 2 = ^ a 2[ M( í 2) - M 2(t)} = a*D2( t ) .

Felhasználva, hogy a szórás nem negatív, ebből

D (a^ + b) = \a\D(%)

következik.

121

5. TÖBBDIMENZIÓS DISZKRÉT ELOSZLÁSOK

Statisztikai vizsgálatoknál és a gyakorlat más területein legtöbbször a jelenség nem írható le egyetlen valószínűségi változóval. Sőt sokszor éppen ezen változók közöt­ti kapcsolat a vizsgálat tárgya. Ebben a fejezetben az ilyen típusú kísérletekkel fog­lalkozunk azokra az esetekre szorítkozva, amikor a valószínűségi változók diszkrét eloszlásúak, de a definíciókat és a tételeket, ha lehet, általános formában fogalmaz­zuk meg.

5.1. Együttes eloszlás, peremeloszlások

5.1. Példa.Egy cégnél 29-en dolgoznak. A diplomák, illetve a nyelvvizsgák száma szerinti megoszlás a következő:

Diploma

N yelvvizsga''"-^0 1 2 Összesen

0 9 3 2 Í41 4 1 0 1 52 0 6 4 10

Összesen 13 Í0 6 29

Véletlenszerűen kiválasztunk egyet közülük. Jelölje £ az illető nyelvvizsgáinak számál és rj a diplomáinak számát. Ekkor a £ valószínűségi változó lehetséges értékei:

= 0 , x2 - 1 , xs - 2 ;

eloszlása:

« - < » - £ . w - i > 4 .

122

Az r} lehetséges értékei:

> i = 0 , y 2 =l ,

eloszlása:

13P(7? = 0) = — ,

29P(n = i ) = — .

29P(t] —2) = — .

29

Ha azt kérdezzük, hogy mekkora a valószínűsége, hogy a kiválasztott dolgo­zónak két nyelvvizsgája van és csak egy diplomája, akkor a £ - 2 és az r j - \ események együttes bekövetkezéseinek a valószínűségére vagyunk kíváncsiak. Ezt a valószínűséget a következő módon jelöljük:

P ( Í = 2 , t] = \).

Ez a valószínűség , mivel a 29-ből 6 munkavállalónak van 2 nyelvvizsgája

és 1 diplomája.Hasonlóan

P(Z = 0 - v = 0) = — , P(£ = 0 ; *7 — 1) — — ■ stb.29

Foglaljuk ezeket a valószínűségeket táblázatba az (5.1) alatti megoszlási táb­lázatnak megfelelően;

X 0 1 2

09 3 2 1429 29 29 29

14 1

05

29 29 29

9 06 4 10

29 29 2913 10 6

I29 29 29

(5.2)

Ezeket a valószínűségeket is megfelelő hosszúságú nyilakkal szemléltethetjük egy háromdimenziós koordináta-rendszerben, az x tengelyre a £ és az y ten­gelyre az t} lehetséges értékeit felmérve (5.1. ábra, 124. o.).

123

0,5-

5.J. ábra

Most nézzük az általános esetet! Legyen £ és rj valamely W valószínűségi mező elemi eseményein értelmezett diszkrét valószínűségi változó,

£ lehetséges értékei x t , x2, xn; rj lehetséges értékei y ], y z , ..., y m.

Az egyszerűbb írásmód érdekében vezessük be a következő jelöléseket:

P (£ = x ,) = p l (i' = l, 2, n ) ,

P(r? = y j ) = qJ Cy — 1 > 2, m ),

P í í = ;c, ; rj = y j ) ^ p 0 (i = 1, 2 f ..., n ; ; = 1, 2 , .... m).

Ekkor az (5.2) alatti táblázatnak megfeleld elrendezést készíthetünk:

V'S\ 77 4 \ * ^2

A,i

Pu P\m Pt

P22 P l , P*m P i*

x< Pn P a Ptj Pw, P ,

I ;

Piti P„2 P ' ■■■r jji Pim< P„

?i 92 ? / <7,, 1

Az (5.2) alatti táblázatot szemlélve, ha az 7 = 0, 1, 2-höz tartozó valószínűsé­geket minden sorban összeadjuk, a jobb oldali oszlopbeli valószínűségeket kapjuk:

124

J L J _ _ ! - Ü29 + 29 + 29 ~~ 29 ’

4 1 n - 5 --- H------- 1- 0 —----,29 29 29 . 6 4 _ 100 H----- -1------—---- *

29 29 29

Hasonló jelenség figyelhető meg az oszlopoknál, pl.

9 4 13-----]------ h 0 — '29 29 29

Megmutatjuk, hogy ez általában is igaz.

5.1. TÉTEL. Az (5.3) táblázat jelöléseit használvam

í',=1- 2- ■■■' "5j=1

£5

2 ........«)■ í5-4)i-l

Bizonyítás. Elég az egyik egyenlőséget bizonyítani, a másiké hasonlóan történhet. Mivel T] lehetséges értékei y t, y,, y„,, a

Bx -'n = y i , BH :r } =y m

események teljes eseményrendszert alkotnak. Ha A jelöli & £ = x, eseményt, akkor

£ /> „ =P(£ = x í \ 7} = y i) + P{g = x i ' ,Tj=yi )+ . . .+ j=i+ P(4 = x, ; t] = y„,) = ^ 5 , ) + P ( ^ ) +.. . + P(ABm) =

= P(A(Bl +B 2 + ... + £ J ) = JD(/iH ) = / ^ ) = ^ (£ = *í) = / ’, -

Következmény: Mivel a p ( (í = l, 2, n) valószínűségek a í valószínűség- eloszlását alkotják, összegük egy, ezért (5.4)-ből következik, hogy

h ( m ^

I 2 > . = 2 > < = !■ít]

Ez azt jelenti, hogy nincs akadálya a következő definíció megfogalmazásának.

125

DEFINÍCIÓ. Az (5.3) táblázatbeli

Pj, = P i^ = x, -,rj = y i ) (/ = 1, 2, . . . t n ; j = 1, 2 ,..., m)

valószínűségek a % és rj valószínűségi változók együttes eloszlását alkotják A illetve 77 eloszlását peremeloszlásnak nevezzük.

Megjegyzések:1. A £ vagy Tj, vagy mindkettő lehetséges értékei megszámlálhatóan végtelen

számosságnak is lehetnek, ekkor az (5.3) táblázat a megfelelő irányban a vég­telenbe nyúlik. Röviden úgy is mondhatjuk, hogy n vagy m, vagy mindkettő lehet 00 is.

2. Ha egy kísérlethez kettőnél több valószínűségi változó tartozik, akkor tábláza­tunk is kettőnél több dimenziójú. Mivel egyrészt ezek kezelése bonyolult, más­részt a kétváltozós eredmények általában könnyen általánosíthatók, a továbbiak­ban, ha tehetjük, a kétváltozós esetet tárgyaljuk.

5.2. Példa.Egy 32 lapos kártyacsomagból visszatevés nélkül kiveszünk 2 lapot.Legyen £ a kivett pirosak, 7 a kivett királyok száma. írjuk fel a £ és 7/ együttes eloszlását és a peremeloszlásokat!

MEGOLDÁS. A z összes elemi esem ények száma:

/ 32>l= 496.

Most számítsuk ki „cellánként” a kedvező elemi események számát!

kedvező elemi események száma

0 0 2 1 lap nem király és nem piros, így = 2 1 0 .I 2 j

1 0 Egyik lap piros, de nem király, a másik nem király és nem piros:

= 147,'2 P

, 1 .

2 0 Mindkét lap piros, de nem király:s 7\

= 21 .

126

0 1 Egyik nem király és nem piros, a másik király, de nem piros:

= 63.' 2 1 ^ í 3]L

1 1 Két eset lehet: ott a piros király, akkor a másik csak nem király és nem ' 2 0

= 21; ha nincs ott a piros király, akkor a királyt 3-ból,piros lehet:

pirosat 7-ből kell választani: = 21. összesen: 42.

2 1 Az egyik csak a piros király lehet, a másik pirosat 7-ből kell választani:

c ; = 7 .

0 2 Három nem piros királyból kell kettőt választani:

1 2 Egyik a piros király, a másik király, de nem piros:

2 2 Két király két piros nem lehet: 0 .

V2/= 3.

= 3.

n$ \

0 1 2

02 1 0 63 3 276496 496 496 496

1147 42 3 192496 496 496 496

221

4967

4960

28496

378 112 61

496 496 496

(5.5)

A peremeloszlásokat vagy a sorok, illetve oszlopok összeadásával, vagy közvet­lenül határozzuk meg. Célszerű ellenőrzés céljából mindkettőt megtenni:

'24>

K Z = 0 )= -276

496 496 ’ÍZ —

f24]W l 1 J 192

496 496

127

Hasonlóan járhatunk el az utolsó sorban.

5.2. Együttes eloszlásfüggvény

Ha £ és t] valószínűségi változók, akkor mindkettőnek van eloszlásfüggvénye.

Jelölje ezeket illetve F2, azaz

P{£ <x) = Fi{x) ( í e R ) és P{rj < y ) ~ F2(>■) ( y e R ) .

Ha - mint láttuk - beszélhetünk együttes eloszlásról, akkor együttes eloszlásfügg­vény is létezik, amelynek definíciója analóg az egyváltozós esettel.

DEFINÍCIÓ. Legyenek éj és rj a W valószínűségi mező elemi eseményein értelme­zett valószínűségi változók. A éj és rj együttes eloszlásfüggvényének azt az F kétváltozós fiigg\>ényt nevezzük, amely az (x ; y ) számpár­hoz a éj < x és f] < y események együttes bekövetkezésének valószínű­ségéi rendeli:

F : F ( x - , y ) = P ( í < x - r j < y ) ( x ; y ) e R 2

Ekkor a t, valószínűségi változó Fx eloszlásfüggvényét és az rj való­színűségi változó F2 eloszlásfüggvényét perem-eloszlásfüggvénynek nevezzük.

Az F (x ; v) annak a valószínűsége, hogy a (g ;rj) az 5.2. ábrán látható síknegyedbe esik. A síknegyed nem tartalmazza a határpontjait (nyílt halmaz).

Megjegyzés:A továbbiakban, ha két valószínűségi változóról be­szélünk, mindig feltételezzük, hogy ugyanazon való­színűségi mező elemi eseményem vannak értelmezve, akkor is, ha ezt külön nem hangsúlyozzuk.

128

hV

5.3. Példa.Legyen £ és rj együttes és peremeloszlása a következő:

í \1 2

12 3 5

19 19 194 3 719 19 19

32 5 7

19 19 198 11

119 19

írjuk fel az együttes és a perem-eloszlásfüggvényeket!

M e g o l d á s . A z 5.3, ábrán láthatók azok a pontok, amelyeknek koordinátái {éj ; rj) lehetséges értékei, feltüntetve a megfelelő valószínűségeket is.

5.3. ábra

Ha (* ;. y) az jc<1 vagy >><1 félsíkon van (az 5.3. ábrán ilyen az (jc, ; ;y,) pont), akkor az általa meghatározott síknegyedben nincs (£ ; 77) -nak lehetséges értéke, így itt F{x ; y ) = 0. Ha 1 < x < 2 és 1 c y < 2, vagyis (jc ; y) a bal alsó egységnégyzetbe esik (az J.3. ábrán ilyen az (x2 ; y 7) pont), akkor az általa meghatározott síknegyedbe a lehetséges pontok közül csak az (1 ; 1) pont esik,

így

129

F (x ; y ) = P{4 < x ; 7 < y) = = 1 ; V = 1) = — •

Ezt a valószínűséget beírjuk az j.J. megfelelő négyzetébe. Hasonlóan, ha (a ; y) a 2 < ,v < 3; 1 < >■ < 2 egységnégyzetbe esik, akkor már két pont esik a síknegyedébe; (1; 1) és (2 ; 1), így itt

F i x ; *) = />(£ = ! ;i? = l) + n £ = 2 ; 7 = l) = — .

Folytatva az eljárást, megkapjuk az F függvény értékét az egész síkon:

0 , ha * < 1 vagy >><1 .2

— , ha 1 < jc< 2 és l < y < 2 .19

— , ha 2 < x á ‘i és 1 < y - í 2 .19 g

F( x ; y) = <j — , ha 3 < j; és l < y < 2 .

— , h a l < x < 2 é s 2 < v .1912— , ha 2 < * < 3 és 2 <y.191 , ha 3 < x és 2 < y .

A z F függvényt az 5,4. ábrán szemléltetjük. A £ és az rj eloszlásfüggvénye az (5.6) alatti peremeloszlások alapján:

0 , ha * < 1 ,

— „ ha l < x £ 2 ,1912— ■, ha 2 < jr< 3 ,191 , ha 3 <*■

0 , ha y < 1 ,

ha y ~ 2 ,

1 , ha 2 <y.

Fi(x) =

130

1 2 3 X

5.4. ábra

Azonnal látható, ha > 3 rögzített érték, akkor

Fix* i y ) = F1 iy);

ha y 0 > 2 , akkor

F ( x \ y , ) = FlW .

Ha jr-et vagy y-t növeljük, az F értéke (nem csökken) állandó, vagy növekedik, vagyis mindkét változó szerint monoton növekedő.

Most ismerkedjünk meg azokkal a tulajdonságokkal, amelyek minden együttes eloszlásfüggvényre jellemzők. Mielőtt a tételt kimondanánk, megjegyezzük, hogy kétváltozós esetben az intervallum szerepét az a < x < b - c < y < d téglalap veszi át.

5.2. TÉTEL. Ha F á t , és 7] valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvénye, valamim Fx a és F2 az j] perem-ehszlásföggvénye, akkor az F

1 . mindkét változója szerint monoton növekedő, és2 . mindkét változója szerint balról folytonos.3. I i m f ( j r ; ^ = lim F (* ; 7 ) = 0.

_v'—►—ío

4. lim /^ jc ; y) = 1 .

131

5. lim fC* ; y) = Ft {y).y—xp j' cű6 , P(a < £ <b ; c < r j < d ) = F(b ; d ) - F{a \ d) -

- F { b ; c) + F(a ; c).

Bizonyítás. Az 1. és a 2. állítást nem bizonyítjuk, csupán megjegyezzük, hogy az 1. a 6 . tulajdonságból az egyváltozós esethez hasonlóan adódik.A 3 -5 . állítás az alábbi egyváltozós esetben látott határértékekből következik::

lim P{% < x) = hmP(7j < _y) = 1,

ekkor

limP(£<A- ; r j<y) = P(r}<y) ,X "> »

lim P(£<Jc ; tj < y) = P (£ < x ) ,y-mlim P(^<Jc ; ? ] <y ) - \ ^J-HMy—>03

ami a 4., illetve az 5. állítást igazolja. A 3. állítás is a

Hm P{% <x ) = lim P(rj < y) = 0

határértékből következik.A 6 . állítást a következőképpen lehet belátni. Az F(a ; rf) = < a \ r j < d ) ,

illetve / r (Z> ; c) = /*(£ < 6 ; 7 < c) annak valószínűségei, hogy a (£ ; ;/) pont az 5.5. ábrán a megfelelő vonalkázott részekre esik. Az F(a ;c) = P(<f < a ; rj < c) annak a valószínűsége, hogy a kétszeresen vonalkázott részre esik a (£ ; 77) pont. így az

F ( a ; d ) + F ( b ; c ) - F ( a ; c )

annak a valószínűsége, hogy a (£ ; 77) pont a sík valamilyen módon vonalkázott ré­szére esik. Ezt kell kivonni az F(b ; d ) - = P{£ <b ;rj <d) valószínűségből, hogy a téglalapra esés valószínűségét megkapjuk.Ezzel állításunkat igazoltuk.

5.5. ábraMegjegyzes:Ha egy kétváltozós függvény rendelkezik az 1-4. tulajdonsággal, akkor valamely £ és Tj valószínűségi változó együttes eloszlásfüggvénye.

132

5.3. Kovariancia és korrelációs együttható

Ebben a pontban két valószínűségi változó kapcsolatát, illetve annak mérőszámát vizsgáljuk. Előtte azonban a várható érték egy fontos tulajdonságával ismerkedünk meg.

5.4. Példa.Egy cégnél a hónap végén bérfizetéskor jutalmat is osztanak. A munkavállalók bér és jutalom szerinti megoszlása a következő ( 1 0 ezer forintos egységekben számolva):

k iu ta lo mbér 5 10 15

10 2 5 415 4 3 2

2 0 6 5 6

Véletlenszerűen kiválasztunk egy alkalmazottat, £ legyen a bére, rj a jutalma.a) írjuk fel £ és rj együttes eloszlását és a peremeloszlásokat!b) Határozzuk meg M(E,) és M (?]) értékét!c) Mekkora M(J; + t}) és

Megoldás. a)

K 5 10 15

102 5 4 11

37 37 37 37

154 3 2 937 37 37 37

2 06 5 6 1737 37 37 3712 13 12

137 37 37

»> * ( 0 . 1 0 . ”37 37 37 37

. . . , e 12 . . 13 12 370 . .MO7) = 5 ---- + 10----- + 1 5 ----- --------=10.

37 37 37 37Azonnal látható, hogy az M (£) az átlagbér és M (rj) a jutalom átlaga.

133

2c) Ha £ = 10 és í; = 5, akkor £ + 77=10 + 5 , és ennek valószínűsége — .

Hasonlóan járunk el a többi nyolc esetben:

M (£ + 77 ) = (10 + 5 ) - A + (1 0 + 1 0 )-A + (i 0 + 1 5 ) .A +

+ (15 + 5)- — +(]5 + 10)- — + (15 + 15)' — +37 37 37

r í / Ar í*+ (20 + 5) • — + (20 +10) • — + (20 + 15) • — = — .

37 37 37 37

Vegyük észre, hogy M (4 + rj) - M(£) + M(r j ) .A szorzat várható értékének kiszámításánál hasonlóan járhatunk el:

M ( t -77) = 10-5 — +10 10 — + 10 -15 - — + 15 -5- — +15-10- — +37 37 37 37 37

+ 15-Í5- — +20-5- — + 20-10- — + 20-I5- — = .5700 37 37 37 37 37

Azonnal látszik, hogy

, 5700 5850 ,

Most megmutatjuk, a példánkban szereplő azon észrevétel, hogy összegnek ta­gonként számíthatjuk a várható értékét, általában is igaz.

5.3. TÉTEL. Ha a £ és rj valószínűségi változók várható értéke létezik, akkor léis­zik a £ + Tj valószínűségi változó várható értéke is, és

M (£ + 77)=M (£) + M (t7).

Bizonyítás. Alkalmazzuk az 5.1. tételt, és használjuk az 5.3. táblázat jelöléseit:ii ti m >i m

M(4+Tí) = Y JY j (Xl+ y j ) p ii + ' E ' L y Jp« =t J i J ■' í

n tg r» ti tt itt

= T j x<1l P ‘i + Z ^ X ^ + Z■>'W/= M ^ ) + M (?7)■' > j ' ’ i

Két valószínűségi változó között akkor a legszorosabb a kapcsolat, ha egyiknek az értéke pontosan meghatározza a másiknak az értékét. Ez az eset állt volna elő az 5.4. példában, ha pl. ajutalom mindig a bér valahány százaléka lenne. Az ennél

134

lazább kapcsolat szorosságát is mérnünk kellene. Maradjunk az 5.4. példánál. Te­gyük fel, hogy az átlagosnál magasabb bér az esetek többségében az átlagosnál magasabb jutalmat jelent és az átlagosnál alacsonyabb bér alacsonyabb jutalmat (azonos irányú kapcsolat). Ekkor a és az r j -M(r j ) különbségek több­nyire azonos előjelűek. Azaz szorzatuk pozitív. Ha az átlagosnál magasabb bér többnyire átlagosnál kisebb jutalmat jelent és fordítva (ellenkező irányú kapcsolat), akkor az előbbi szorzat az esetek többségében negatív. Ebből is úgy tűnik, a

- M ( 4 ) \ \ j j - M (ij)\ szorzat várható értéke a kapcsolat szorosságának mérő- száma lehet.

DEFINÍCIÓ. Ha létezik a és 77 valószínűségi változók várható értéke, továbbá létezik a \ ^ ~ M ( ^ ) \ \ i ] - M ( r } ) \ várható értéke, akkor ezt a 4 és 77

kovarianciájának nevezzük;cov(£ ; 77) = M f á - M g ) ] - [17-A /fa ) ]).

Megjegyzések:1. Definíciónkban elegendő feltételezni, hogy M (£ 5) és M(rj1) létezik.2. A definíció alapján eov(^ ; 77) = cov(t7 ; £ ),

A kovariancia kiszámításánál nem kell feltétlenül a definícióban szereplő for­mához ragaszkodni, ebben segít a következő tétel.

5.4. TÉTEL. Ha cov(^ ; 77) létezik, akkor

cov(£ ;77) = M (£/7)-M (£)M (77).

Bizonyítás. Felhasználva az 5.3. és a 4.S. tételt:

cov(£ ; 77) = M ( t . 77 - M i n ) ' £ - M(Z) ■ t] + M(4)M(rj ) ) == M ( 4 ■ Jj ) -M(t]) ■ M(£) - M(£)M(rj ) + M(£)M(rj ) == M ( f y ) - M ( O M ( 7 j ) .

Az 5.4. példában azt kaptuk, hogy M ( £ r j ) - , míg M ( 4 ) M ( t]) - .

Ebből

. 5700 5850 -150cov(í ; 77) = -----------------= --------b -4,05 ,

37 37 37

Arra, hogy ez nagyon szoros kapcsolatot jelent-e, nem tudunk válaszolni, ugyan­is ha példánkban ezer forintos egységekben számoltunk volna, a kovariancia 1 0 0 -szor

135

ekkorának adódna, azaz függ a mértékegységtől (dimenziótól). Ezért célszerűbb a kapcsolat szorosságának mérésére az alábbi dimenzió nélküli számot használni.

DEFINÍCIÓ. Ha a 4 és 7 valószínűségi változóknak létezik a szórásuk, és az nem nulla, akkor az

0(í)£)(>7)

számot a 4 és 7] korrelációs együtthatójának nevezzük.

Meg lehet mutatni, hogy

| c o v ( £ ;?7) | < ! > ( £ ) ■ £ > ( ? ) ,

így

- 1 < Í ( Í Í 7 ) < 1 .

Ha rj - a 4 (a állandó), vagyis a két valószínűségi változó között a kapcsolat (lineáris) függvény szerű, akkor

= és D(ij) = \ a \D(4) .

így az

R ( * . n) M i W - M i f t M t n ) _ a [ M ( 4 l ) - M \ 4 ) ] _ a _ D{4)D{?j) \ a \ D2{£) |a |

f 1 , ha <z>0 ,

[ - 1 , ha a< 0 .

Ugyanez igazolható, ha az 77 = a£ + b összefüggés áll fenn.Az eddigi megfontolásainknak megfelelően a sztochasztikus kapcsolat két való­

színűségi változó között annál szorosabb, minél közelebb van az \R(4 ; q)\ az 1-hez.

DEFINÍCIÓ. Ha a 4 SS -rj korrelációs együtthatója létezik és

R { 4 ; tj) = 0 ,

akkor azt mondjuk, hogy a 4 és i] valószínűségi változók korrelálat- lanok.

136

5.5. Példa.Az 5.4. példabeli valószínűségi változónak számítsuk ki a korrelációs együttha­tóját!

585MEGOLDÁS, a kovariancia és a várható értékek már ismertek: M (£) ------ -

37M{tj) = 10 ; cov(£ ;77) = -4,05 . Csak a szórásokat kell kiszámítani.

U 9 17 9925M ( í ) = 100-—- + 225 - — + 400 ■ — =

37 37 37 37^ 9925 5 8 5 1 ^ 2 5 0 0 0 ^

37 37 37w / ^ oc 12 13 12 4300 M. (j] ) — 25 ■ *—“ + 1001 — + 225 ■ — — ■

3 7 3 7 3 7 3 7

. 1 , , 4300D (7) = - j j ~ -100 « 16,22 ; D{rj) « 4,03.

- 4 05R(4 ;?/) = -----— = -0 ,24 .

4,27 '4,03

Ennek alapján ellenkező irányú gyenge kapcsolat van a bérek és a jutalmak között.

Megjegyzés:Az 5.4. tétel után említettük, hogy a korrelációs együttható dimenzió nélküli szám. Ennél egy kicsivel több is igaz. Egyszerű számolással megmutatható, ha R(4 ; rj) létezik, akkor a > 0 és c > 0 esetén

R(a4 + b;c?j + d) = R(4;?7) ,

vagyis a lineáris transzformáció nem befolyásolja a korrelációs együtthatót.

Az 5.3. tételben láttuk, hogy két valószínűségi változó összegének várható érté­ke a várható értékeik összege. A szórásra az ennek megfelelő állítás nem igaz. Erre vonatkozik a következő tétel.

5,5. TÉTEL. Ha 4 és rj szórása létezik, akkor létezik 4 + T) szórása is, és

D \ 4 + 7 ) = D \ 4 ) + D \ i j ) + 2cov(£ ; n ) .

137

Bizonyítás.

D 2 (£ + 77) = M ([#+ ??]2) - M 2 (£ + rj) =

= M ( £ 2 + 2 ^ /7 + ?;2) - [M(£) + M(?7) ] 2 =

= A /(£ 2) + 2M{%rf) + M(rj2) - M 2(^)~- 2 M(Í;)M (77) - M 2 (77) =

- M ( í 2) - M 2 (|) + M(?72) ~ M 2 (?/) + 2[AT (# 7) - M(£)M(rj ) ] =

= D 2 (£) + Z)2{77) + 2 cov(£ ; 77) .

Következmény; Ha ^ és rj korrelálatlanok és létezik a szórásuk, akkor

D 1(Z + 7J) = D 2(Z) + D 2(?]).

5.4. Valószínűségi változók függetlensége

Az előző pontban két valószínűségi változó sztochasztikus kapcsolatáról beszél­tünk. Azt mondtuk, hogy az R(i; ;rj) = 0 esetén a leglazább a kapcsolat. Kérdés, azt jelenti-e ez, hogy a két valószínűségi változó független egymástól?

Kézenfekvő, hogy £ és rj függetlensége alatt azt értsük, hogy a £ < x és az 77 < y események minden (x ; y) számpár esetén függetlenek, azaz

P( í; < x ; i j < y ) = P(<J < x) ■ P(rj < y ) , (x ; j f ) e R ! ,

A bal oldalon az együttes eloszlásfüggvény, a jobb oldalon a perem-eloszlás­függvények szorzata áll. A definíciót ezek segítségével mondjuk tó.

DEFINÍCIÓ, A 4 és rj valószínűségi változókat egymástól függetleneknek nevez­zük, ha együttes eloszlásfüggvényük egyenlő a perem-eloszlásfüggvé­nyek szorzatával. Képletben:

F ( x ; y ) ^ F í(x)F1(y) ((x ; j ; ) e R !),

Most nézzük meg, hogy az együttes eloszlás és a peremeloszlások ismeretében az eloszlásfüggvények felírása nélkül hogyan lehet dönteni a függetlenségi kérdé­sekben. Ehhez szükségünk lesz a következő tételre.

5,6. TÉTEL, Ha £ és tj függetlenek, akkor tetszés szerinti a <b, c < d számpárok esetén

P(a<% <b\ c <r j <d ) = P(a < £ < b)P(c <tj <d) . (5,7)

138

Bizonyítás. Az 5,2. tétel 6 . pontja és a függetlenség definíciója alapján

P(a < 4 <b ; c < r f < d ) = F(b ; d) - F(a ; d) - F(b ; c) ++ F(a ; c) = Fl (b)Ft (d) - Ft (a)Ft (d ) - Ft (b)F2 (c) + Fl {a)Fl (c) == [Ft (b) - F{ (a) }[F2 (d) - F2 (c) ] = P(a < £ < b)P(c <tj <d ) .

5.7. TÉTEL. A % és rj diszkrét valószínűségi változók akkor és csak akkor függet­lenek, ha minden lehetséges (xi ; >>; ) érté!q>árra

P (^ = X í ;t] = y . ) = P ( | = x()P(t] = y }).

Vagy a szokásos jelölésekkel;

Ps = P 3 , (* = l. » : J = 1’ m )- (5.8)

y*

yj*\d-

y/C ■

y, - i

(xM;yJ+1) (xí,yj*d C* i+ Jí y/+ i)

(xí.yj)

(*W;V 1) C v i^ i)

Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy £ és tj függetlenek. Válasszunk a illetve 77 lehetséges értékei közül egy-egy tet­szőlegeset, legyenek ezek x, és yr Van

olyan [a ;b] és [c ; <af] intervallum, hogy [a ; £>]-be lehetséges értékei közül csak az xí esik és [ c ; rf]-be az rj lehetséges értékei közül csak az y . (5.6. ábra). így

az a < x < , b , c < y < d téglalapba egyet­len lehetséges pont esik: az (x; ; y f ) ,

Ezért

P(a <, 4 < b) = P (£ = x .) — p , , P{c<7] < d ) = P{r} = y j ) = q} ,

P(a <,%<b ; c < t j < d ) = P(£ = x t ; rj = y j ) = p n .

Az (5.7)-ből azonnal adódik állításunk.Most tegyük fel, hogy az (5,8) egyenlőség igaz, akkor

F ( x - , y ) = Y , ' E P ( 4 = x r > v = y j ' ) = ' E l L p ^ = xJ p (Ti = y ^ =Xj<x y j< y x f< xy j< y

= p (4 = x,) P(j] =y j ) = F{{x)FÁy).j; ,<x yj<y

Ezzel beláttuk az állítás helyességét.

139

Most válaszoljunk a bevezetőben feltett kérdésre: mi a kapcsolat a korrelálatlan- ság és a függetlenség között. Ehhez nyújt segítséget a következő tétel.

5.8. TÉTEL, Ha a 4 és 7} valószínűségi változókfüggetlenek, akkor

AÍ(£.í7) = AÍ(£)Ar07),

amennyiben ezek a várható értékek léteznek.

Bizonyítás. Ha 4 lehetséges éltékei x]r x2, xn és rj lehetséges értékei y,, y ,, y m, akkor a függetlenség miatt

M (& ) = = ; n = y /) = Y Í L w A t = xt)p{v = JO) =i=\ M >=í

= Y iXíP ( í = x l) f jy j P(n = y j ) = M(4)M(?7) ./-I M

Következmény: Ha 4 És ?j függetlenek, akkor korrelálatlanok is, hiszen ekkor

M (4 ‘i7) ~ M ( 4 )M(?]) = cov( 4 ;tj) = 0 , azaz R ( 4 t r}) = 0 .

5.6. Példa.Tekintsük az 5.2. példában szereplő eloszlást:

> < 0 1 2

0220 63 3 276

496 496 496 496

1147 42 3 192

496 496 496 496

02] 7 0 28

496 496 496 496378 112 6

1496 496 496

a) Számítsuk ki a korrelációs együtthatót!b) 4 és 77 fuggetlenek-e?

140

M e g o l d á s .

a) M { 4 ) - \ ------ + 2 ------- = —,496 496 2

. . . . . 112 . 6 1 M ( r j ) - \ ■—— + 2 --— - =496 496 4

42 3 7 1M Í4 7?) = 1 ■ I ' —— +1 ■ 2 ■ —— + 2*1- —— = —.

496 496 496 8

Ebből cov(4 ; íj) = R{4 ; íj) = 0 , azaz 4 és 7 korrelálatlanok.b) Nem függetlenek, mert például:

« f = 2)./> to = 2 ) - ^ . _ U o = P ( i = 2 : | , = 2 ) .

Az 5.6, példa mutatja, hogy a korrelálailanságból nem következik a független­ség. Ebből és az 5.S. tétel következményéből az következik, hogy a függetlenség „erősebb” követelmény, mint a korrelálatlanság. Ezek után az 5,5. tétel következ­ményét úgy is fogalmazhatjuk, ha 4 és 77 függetlenek, akkor

D \ 4 + 7J) = D í (€) + D 2{77).

Mielőtt még ezt a függetlenséggel foglalkozó pontot lezárnánk, bizonyítás nél­kül megemlítjük, hogy ha 4 és rj független, akkor 42 és t)2 is az.

5.5. Feltételes eloszlás, feltételes várható érték, regressziós függvény

A 3. fejezetben valamely A esemény B eseményre vonatkozó feltételes valószínű­ségét a

P { A \ B ) = ? ^ ± (P (£ )* 0 ) (5.9)

formulával definiáltuk. Ha 4 lehetséges értékei x ,, x2> xn és 77 lehetséges értékei y t, y 2, ..., y m, akkor lehet beszélni a 4 ~ x , esemény í j = y / eseményre

vonatkozó feltételes valószínűségéről, amely (5.9) alapján

P(Z = x, ] V = y>) = P^ p ~ V ) . P{r }=y j ) * 0 . (5.10) p w = y j )

141

Vagy ennek megfelelően

P t o - y A í = <5->»P(Z=X, )(i = 1, 2, ..., n; j - 1 ,2 , ..., m ) .

Most megmutatjuk, ha (5.10)-ben j értékét, illetve (5.11 )-ben i értékét rögzít­jük, akkor ezek a feltételes valószínűségek valószínűségeloszlást alkothatnak. Az5.1. tétel alapján:

]> > (£ = *, ■,jj=yJ) = P(Tj=yJ).M

így

I s ' t ' P té = Xl>Tl = y j ) , ^p(r !=yj ) --------1 0 - 1 , 2 .........■ ).

vagyis valószínüségeloszlásról van szó.

DEFINÍCIÓ. Legyenek ^ és rj diszkrét valószínűségi változók xt , x2, ..., xtt és y }, y 2 .......y m lehetséges értékekkel. A

rw f' I •, p i £ = x f \ jl = yi ) Jp(^ = xi v = y i ) = — öt P(rj = y j )

( P t y = y j ) * o ) . 0 = 1 .2 ........«)valószínűségek a c, valószínűségi változó íj = y . feltételre vonatkozó

feltételes valószínűségeloszlását alkotják ( j = 1, 2, .... ni).

Hasonlóan lehet definiálni az rj valószínűségi változó ^ - x. feltételre vonat­kozó feltételes valószínüségeloszlását. Ekkor már beszélhetünk ezen valószínűség­eloszlások várható értékéről is.

DEFINÍCIÓ. A g diszkrét valószínűségi változó T]=yj feltétel melletti várható ér­

tékén az

M ( 4 \ T f = y j ) = m \ y j ) = Í , x A í = xt \ v = y , ) (5-12)1

összeget értjük, ha P(rj = y j ) * 0.

142

Ennek alapján könnyen felírhatjuk rj -nak a ^ - xt feltétel melletti várható érté­két is:

M ( tj \ £ = xl ) = M ( i i \ x j ) = Y j y jP(?] = y J | £ = * ,). ( 5 . 1 3 )

5.7. Példa.Tekintsük az 5.4. példában szereplő eloszlásokat;

5 10 15

10 2 5 4 1137 37 37 37

154 3 2 937 37 37 37

20 6 5 6 1737 37 37 3712 13 12

137 37 37

ahol £ a kiválasztott munkavállaló bére, rj a jutalma (10 ezer Ft-ban).a) írjuk fel £ és ij feltételes eloszlásait!b) Számítsuk ki a feltételes várható értékeket, és ábrázoljuk ezeket egy-egy ko­

ordináta-rendszerben!

M eg o ld á s .a) Alkalmazzuk a definícióban szereplő formulát:

p (4 = 10 | 7 = 5) = — ; Pi4 = i s \ >7 = 5) = — ;

P ( ^ 2 0 \ 7 = 5 ) = - ^ .

P(Z = ia\ TJ = 10) = — 1 P(4 = 15| 17 = 1 0 ) = - ;

P(4 = 20 | 17 = 10)= -^ -.

p (€ ~ 10 | 77 = 15) = ; P(4 = 15 | ? = 1 5 ) = - ^ ;

/>(£ “ 2 0 | 77 = 15) = — .

143

P(rj = 5\ £ = 1 0 ) = - ; p (r j= i o | í = i o ) = y j ;

^ = 151 £ = 1 0 ) = - .

P(77 = 5 | £ - 1 5 ) = - ; P{71 = 101 £ = 15) = — ;7

P(tj = 15] £ = 15) = - .

P(rj = 5 | £ = 20) = y y ; P(77 = 10 £ = 20) =17

P07 = 15 | £ - 2 0 ) =17

b) Az (5,12) és (5.13) alapján

« .n 2 k 4 ™ 6 200 50M (£ 77 = 5) = 10 — + 15 — + 20 — = ----- = ■—■.1 12 12 12 12 3

C 'l <C 1QCM (£ 1 »7 = 10) = ]0- — + 1 5 -— + 20- — = — = 15.

^ 1 13 13 13 13i 4 2 6 190

M (£ 7j = 15) = 10- — + !5*— + 20- — = — .1 12 12 12 12

(5.14)

A £ feltételes várható értéket mint rj lehetséges értékeinek függvényét az5.7. ábrán szemléltetjük.

= y;) = nh(y)

20 -

10-

5 10 15 y

5.7. ábra

Most nézzük meg az rj feltételes várható értékeit!

144

, 2 5 - . 4 120M in £ = 10) = 5- — + 10----- h 15 - -— = -----.

' 1 * 1 1 1 1 1 1 1 1

* 4 , l í < 4 m 3 2 8 0M in £ = 15) = 5 ' — + 10 • — +15 ■ — = — ■. w i ^ ' 9 9 9 9

M ( jj I £ = 20) = 5* — +10 — + 15- — = — = 10.1 17 17 17 17

A z T] feltételes várható értékeit mint a £ te­hetséges értékeinek függvényét az 5.5. ábra szemléleti. i0i

(5.15)

M(rj\Z = x,) = m,{x)

10 15 20 JC

5.8. ábra

Mint látjuk, a £ valószínűségi változó 7 -ra vonatkozó feltételes várható értékét Tj lehetséges értékeinek függvényeként kezelhet]tik, hasonlóan r/ feltételes várható értéke a £ lehetséges értékeinek függvénye.

D e f i n í c i ó . Az : m 2 ( y ) = M ( £ [ rj = y) ( y = , y 2 .......y m) függvényt a £valószínűségi változó rj -ni vonatkozó (elsőfajú) regressziós függvé­

nyének, az (x) ~M{rj \ £ = .i) (x = , jt2 , . . xn) függvényt az rj valószínűségi változó £ -re vonatkozó (elsőfajú) regressziós függvényének nevezzük.

Hangsúlyozzuk, hogy ezek a függvények rj, illetve £ azon lehetséges értékeinek halmazán vannak értelmezve, amely értekeket a valószínűségi változó pozitív való­színűséggel vesz fel.

Az 5.7. példabeli eloszlásnál (5.14), illetve (5.15) alapján

50

15 , ha y - 1 0

192 V— , ha y = 15

ha x = 1012011 '

80 i,— , ha x = 159

1 0 , ha x = 2 0

(lásd az 5.7., illetve 5,8. ábrát).

145

Ezek a diszkrét pontokból álló grafikonok szemléltetik ugyan a két valószínűsé­gi változó közti kapcsolat milyenségét, de felmerül az igénye annak, hogy egyetlen görbével, vagyis valamilyen képlettel adott g függvénnyel közelítsük az elsőfajú regressziós fiiggvényt. Itt azonnal adódik a kérdés, hogy mit értsünk jó közelítésen és milyen függvénytípust válasszunk. Mi példaként egy lineáris függvénnyel köze­lítünk, más függvényekkel való közelítések is hasonló elven működnek, ezekkel részletesen a statisztika tárgyon belül foglalkozunk.

Azt mondjuk, hogy az mt függvényt az a g t(x) = ax + b függvény közelíti a legjobban, amelyre az

M([a£ + b - 7]Y )

várható érték a minimális. Itt az a és b paramétereket kell meghatározni, azaz meg kell vizsgálni, hogy a

H( a ■, b) = M{[a% + b-T]Y)

kétváltozós függvénynek hol van minimuma.

H( a ; b) - M ( a 2^ 2 + 2ab% + b 2 - 2a^t] - 2b?] + tj2) -

= a 2M ( £ 1 ) + 2 abM( Z) +b 2 - 2 a M ( & ) -

-2bM(T]) + M( i j 2).

Szélsőérték ott lehet, ahol a parciális deriváltak zérussal egyenlők:

/ / ; ( £ ; 7 ) = 2aM(42) + 2 b M ( 0 - 2 M ^ r f ) = 0 ,K i Z ; 77) = 2űM (í) + 2i>-2M(T7) = 0 . (5.16)

Ebből

7) cov(<f ; 7 )

Hasonlóan adódik, hogy az m2 függvényt az a gj i y ) ~c y + d függvény közelíti a legjobban, ahol

g = CQn v ;f és d = M { g ) - ^ f ^ M { 7 1). (5.18)D (17) D (7 )

Az így kapott g ] (jc) = ax + b és g 2 (>') = cy + d függvényt másodfajú regresz- sziós függvénynek nevezzük.

146

Közvetlenül is beláthatjuk, de (5.17)-ből és (5.18)-ból is következik, hogy füg­getlenség esetén (ekkor cov(£ ; 7 ) = 0 ) a regressziós függvény állandó:

= ( í e ^ ) ,

m2iy) = M( 4 ) ( y e D ^ ) .

Az 5.7. példabeli eloszlás szükséges paramétereit már meghatároztuk (5.4., il­letve 5.5. példa):

:Oc0 ?) = ~ ~ » = 1 0 , 18,26, D ; (7 ) *=1 6 ,2 2 ,

cov(£ ; 7 ) 0 -4,05 .

így

g ,W = -0,22* + 13,51,g ,0 0 = -0 ,2 5 r + 18,31.

Ezeket az egyeneseket is az 5,8., illetve az 5.7. ábrán vázoltuk.

Megjegyzés:Ugyanezt az egyenest kaptuk volna, ha az mt és m2 függvényt a legkisebb négyzetek módszerével közelítettük volna egyenesekkel.

5.8. Példa.Legyen a £ és 7 független valószínűségi változók eloszlása:

/>(£ = 1) = 1 />(£ = 2) = 4 , P ( f = 3 ) = i 4 4 4

^ = 0) = j , P(r? = 1 ) = | , P(rj = 2 ) ^ | .

ű) írjuk fel az együttes eloszlást!b) Számítsuk ki M (£) és A /(7 ) értékét!c) Határozzuk meg az ml (jt) és m2(y) függvényeket!

147

Megoldás.a) Függetlenség esetén pfJ = p tqp ezért

\ V í \

0 3 2

1í 2 2 1

20 20 20 4

9 2 4 4 220 20 20 4

1 1 2 2 120 20 20 42 2 2

15 5 5

b) M (£) = i - I + 2 - ^ + 3 - i = 2,4 4 4 5

c) M ( tj | £ = ] ) = !■ j + 2 - | = | ,

M(77| 5 = 2) = l - | + 2 - | = | ,

M(?7 [ £ = 3) = 1- — + 2- — = —.1 5 5 5

íg y /« ,( j:)=-j = Aí C7?)j ha jt = 1, 2, 3.

Hasonlóan

mt ( y ) = 2 t ha y = 0, 1, 2.

Ez összhangban van azzal a megjegyzésünkkel, hogy függetlenség esetén az elsőfajú regressziós függvények a konstans függvények.

148

6. TÖBBDIMENZIÓS FOLYTONOS ELOSZLÁSOK*

Ebben a fejezetben - mint a címe is mutatja - csak folytonos valószínűségi váltó- zókkal foglalkozunk. Gyakran hivatkozunk az előző fejezetre, ugyanis az ott álta­lánosan kimondott definíciókat, illetve tételeket itt nem ismételjük meg szó szerint, csupán folytonos példákkal illusztráljuk, illetve megmutatjuk, hogy folytonos el­oszlásokra is igaz.

6.1. Együttes sűrüségfüggvény

A £ és t] valamely W valószínűségi mező elemi eseményein értelmezett való­színűségi változók együttes eloszlásfüggvényét az előző fejezetben már definiáltuk. Az eloszlásfüggvény tulajdonságait az 5.2. tételben részleteztük. Most nézzünk egy példát.

6.1. Példa. yi.Tekintsük a koordinátás! kon a 0 < x < I ; ^0 < _y < 1 egységnégyzetet {6,1. ábra). Vá­lasszuk ki véletlenszerűen egy pontját, f le­gyen e pont abszcisszája és r; az ordinátája.Geometriai valószínűséget feltételezve íijuk fel az együttes eloszlásfüggvényt és a pe­rem-eloszlásfüggvényeket !

6.1. ábra

M e g o ld á s , Mivel £ és tj lehetséges értékei a [o ; l] intervallumon vannak, x < 0 , illetve y < 0 esetben £ < x , illetve rj < y lehetetlen események, így

F ( x ; y ) = P ( 4 < x ; Tj<y) = 0 , ha * < 0 vagy y<,0 . (6.1)

Ha 0 < x í 1 és 0 < y < 1, azaz ( a: ; y) az egységnégyzetbe esik, akkor az

F ( x ; y ) = P ( 4 < x ; rj < y)

annak a valószínűsége, hogy a pont az egy­ségnégyzet 6 .2 . ábrán látható vonalkázott részére esik.

Ennek a területe xy, mivel geometriai va­lószínűséget feltételeztünk,

F ( x i y ) = ^ = x y *

0 < x < 1, 0 < ^ < 1 .(6 .2)

Ha 1 < x és 0 < y < 1, akkor az

F ( x ; y ) = P ( £ < x ; r j <y )

annak a valószínűsége, hogy ( x ; y) a 6.3. ábrán látható vonalkázott részre esik, amelynek területe y • 1.

így

F { x ; y ) = y >

1 < j t , 0 <y < 1.(6.3)

Hasonlóan

F{x \ y ) = x ,

0 < x í 1, l < y .(6.4)

Ha l <x és 1 < y > akkor a teljes négyzet beleesik az (x ;y) pont által meg­határozott síknegyedbe, így a % <x és ?] < y események biztosan bekövetkez­nek, azaz

■F(x;j0 = 1, 1<jc, \ < y . (6.5)

150

A (6.1)-(6.5) alatti eseteket összefoglalva:

0 , ha ^ < 0 vagy y<, 0

xy.,

yF( x - , y ) =

ha 0 < x í 1 és 0 < y < 1

lia 1 < x és 0 < y < 1

x , ha 0 < x < I és 1 < j ;

1, ha 1 < x és 1 < y,

A 6.4. ábrán F értékeit írtuk az egyes síkrészekbe. Ha y a > 1, akkor

Hasonlóan, ha x0 > 1, akkor

F(x0 ; y) = F1 (y) =

0, ha x < 0

x , ha O c x ^ l

1, ha l< x .

0, ha y< 0

y , ha 0 < > , <1

1, ha Ic^y. 6.4. ábra

A példánkban kapott eloszlásfüggvényhez találunk olyan R^-en értelmezett / függvényt, amelyre

Ezt mutatja be a következő példa.

6.2. Példa.Tekintsük azt az / kétváltozós függvényt, amely a 6.1. ábrán látható egység- négyzeten 1, máshol nulla, azaz

A x - , y ) =fl, ha O á x á l és 0 < ^ < 1

lo egyébként.

151

Számítsuk tó az

F : F ( x ; y ) = J j f ( t ; s ) d s d t (6 .6)—50-50

függvény értékét az xy sík minden pontjában!

M eg o ld á s . H a x < 0 vagy ^ á O , akkor f ( x ; y) = 0, így

x yF ( x ; y ) - \ \ f ( f , s ) d s d t = 0 .

-3 0 —03

Ha 0 < x < l és 0 <_y <1, akkor /-e t csak a 6.2. ábrán látható vonalkázott tégla­lapon kell integrálni (ettől negatív irányokban / nulla):

x y x y x x

F (x ; y )= j j ' / O ' ; s)dsd t = J jlö fs^ = = >> J]<// = _>>x.0 0 0 0 0 0

Ha 1 < x és 0 < _ y < l, akkor a 6.3. ábrán látható vonalkázott téglalapon elegen­dő integrálni:

i r iF (x ; y ) = Jjlífcűfr = y j d t = y .

0 0 c

Hasonlóan, ha 0 < x < 1 és 1 < y , akkor

x !

F( x ; _y) = j^ ld sd í = x ,0 0

Ha 1 < x és 1 < y , akkor a teljes négyzeten kell integrálni:

1 3F (x ; y) = JJW írfí = 1.

Azt kaptuk, hogy az F a 6.1. példabeli eloszlásfüggvény. Vagyis az F eloszlás- függvényhez találtunk olyan / neranegatív függvényt, amelynek a (6 .6 ) alatti integrálfüggvénye F.

DEFINÍCIÓ. Legyen a g és rj valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvénye F. Ha létezik olyan nemnegaíív, kétváltozós f függvény, amelyre

F {x ; y )= | J / ( í ;s)dsd t, {x\y)<a R z (6.7)

152

fennáll, akkor a £ és rj együttes eloszlását folytonosnak nevezzük és f az együttes sűrűségfüggvény ü t

6.1. T é te l, Ha a g és tj valószínűségi változók együttes eloszlása folytonos és együttes sűrűségfüggvényük f akkor

1, f ( x ; y ) > 0, ( jc ;j;)6 R 2,

2 - [ \ f { x \ y ) d x d y = \,

3. a <b és c < d eseténh j

P(a <%<b ; c <? j <d) = j j f ( x ; y ) d y d x ,II c

® oo

4. \ f { x - , y ) d y ^ f ( x ) ; j f ( x ; y)d x = f 2( y ) ,-<» -aj

ahol f y a £, és f 2 az rj sűrűségfüggvénye.

Mielőtt a bizonyításhoz kezdenénk, megjegyezzük, hogy a tételből következik, ha az együttes eloszlás folytonos, akkor külön a £ és külön az rj eloszlása is folytonos. Ezeket itt is perem eloszlásoknak, és az f , f 2 függvényeket pereni- sűrűségfüggvényeknek nevezzük.

Bizonyítás.1. A definícióból következik.2. A (6.7) alapján:

<*> 00 y x

\ \ f { x ; y ) d x d y = lim [ \ f { t ;s)d td$= \\m F (x ; y ) = 1.

3. Az 5.2. tétel 6 . állításából következik (nem részletezzük). Megjegyezzük, hogy a bal oldalon a < és < jelek bárhol felcserélhetők.

4. Az 5.2. tétel és (6.7) alapján

Fs(x) - l im F (x ; y) = lim J J f ( t ;s)dsdt = J / (/ , s ) d s \d t .

Ugyanakkor

F, (x) = j / i < 0 d t , így j f (t) d í = j f j f ( í ; s) * 1 d t .V-

153

Ez minden x-re csak úgy állhat fenn, ha tű

f t ( ( )= \ f ( l ; s ) d s , í e R .

Az f 1 esete ugyanígy tárgyalható.

6.2. T é t e l . Ha f a £ és rj valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye és F az együttes eloszlásfüggvény, akkor minden olyan pontban, ahol f folytonos:

(Nem bizonyítjuk.)

6.3. Példa.Legyen £ és rj együttes eloszlásfüggvénye

n * i y ) =0

1 + -

x + y \ + x l + _y

ha x < \ vagy y s l

ha l< * és l<;y.

a) írjuk fel a perem-eloszlásfüggvényeket!b) Számítsuk ki az együttes sűrűségfüggvényt!c) Határozzuk meg a perem-sőrüségfügg vényeket!d) P (0 < £ < 3 ; 1£ t7< 2 ) = ?

M e g o l d á s .ö) Az 5.2. tétel alapján, ha x > 1,

/^(jcJ^ lím Ffjc; _y) = Umy—n*' Y-*<&

1 + -x + y 1 + x 1 + y

= 1 —1 + JC

így

0 , ha jc£ lFi(x)=<

I —1+ JC

, ha 1 < jc.

154

Hasonlóan, ha y > 1, akkor

x + y l + jc 1 + y i + y

F A y) =

0 f ha y < \

1 - —^ - , ha 1<>.1 + y

b) A 6.2. tétel szerint:

f { x ' , y ) = F £ ( x ; y ) =0 , ha í < 1 vagy y

4

. ( x+y)j , ha 1 < x és 1 < y

c) f , ( x ) = F,Xx) =

A ( y ) = F2(y) =

0 , ha x ^ 0

2 ha 1 < í ,( U * ) :

0 , ha j > < 0

2 , ha l< y .IQ+y)

Ezt az eredményt kaptuk volna az<6 »

J' f ( x ; y ) d y és t y { x \ y ) d x—ta -A

integrálok kiszámításával is.d) Az 5.2. tétel alapján

P( 0 < £ < 3 ; 1 < 77 < 2) - ^ (l < £ < 3 ; 1< t?< 2) = = / ^ ( 3 ; 2 ) - F ( l ; 2 ) - F ( 3 ; l ) + ^ ( l ; l ) = :

+ 5 4 3 _ 30

6.2. Várható érték, korrelációs együttható

Könnyen belátható, ha £ és rj a W valószínűségi mező elemi eseményein értelme­zeti valószínűségi változók, akkor £ + n és £ • 77 is valószínűségi változó W-n.

Ha £ és 77 valószínűségi változók és együttes sűrűségfüggvényük f akkor meg lehet mutatni (nem részletezzük), hogy

CÜ CD

^ ( £ + 7 ) = J \(x + y ) f { x \ y ) d x d y ,—CO “ *43 n

M( Z ' V ) = \ \ x y f { x ‘, y ) d x d y-űQ-nJ

minden olyan esetben, amikor azW ifi B o

J J | j c + > '|/ ( jc :> ’)í&<ty es \ \ \ x y \ f ( , x - t y ) d x d y

itnproprius integrálok konvergensek.

Folytonos esetben is igaz az 5.3. tétel az ott megfogalmazott feltételek mellett:

+ 77) = M (4) + M (j7) . (6 .8 )

Bizonyítás, Induljunk ki a definícióból és használjuk fel a 6.1. tétel 4 . állítását és azt, hogy az integrálás bármely sorrendben végezhető:

re n o

M{% + r})~ J J(* + y ) f ( x ; y ) d x d y = J J* f ( x ; y )d x dy +.-ec-tc -rn-io

^ ^ d o u tg

+ J [ y f { x ; y)d x d y = J* J / f * ; y ) d y d x + J / ( * ; y )d x d y =■ iU

a j CO

= /* /!(* )< & + J ^ / 2 (J^) rfy = AZ (^ ) + yV/ (7/ ) .-J i - d

Ezzel állításunkat igazoltuk.

156

6.4. Példa.Legyen a £ és 77 valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye;

■jíx + y), ha 0 < jc< 1 és 0 < y < 2

0 egyébként.

Számítsuk ki az M ( ^ ) , M ( 77) , M f^ + í?) és az M (£77) várható értékeket!

MEGOLDÁS. Szükségünk van a perem-sürűségfüggvények nullától különböző értékére. Ha 0 c x < I , akkor

/ , ( * ) = “ í(Jc + > ')rfv=7 xy + £3 0 3 L 2

r + 2 2 r ! 2M (£)= Ja— — í& = - J ( : c =

2x + 2

£ Í + £ l 3 + 2

59

x— + xy

2

Ha 0 < j/ < 2 , akkor

/(■k + .íO ^ t 0 ^

M (t7)= J ^ + ^ j <6 ' =

A definíció szerint

M ( 4 + 77) = ~ J J (* + y )J dx dy = | J

12

1 1= —+ - y .

6 3

” 9 ’

0 02

U + y ) 3

(i + y ) '

dy -

119

Természetesen ez utóbbi integrálástól megkímélhettük volna magunkat, hiszen(6 .8 ) miatt

W (í + 7) = A f(í) + AÍ(í7) = | + j = y -

157

Szintén a definíció szerint

2 !

3M(£Tj) = - J \xy (x + j-O^öíy = - J Jí 2

— y + — y 3 2

1 2 1 J- y + - y 6 6

dy =a

23 '

Amint látjuk,

M (£-J7)*A f(£)A f(j?).

Az előző fejezetben a kovariancia és a korreláció definíciójában, sőt az 5.4. té­telben sem szorítkoztunk diszkrét valószínűségi változókra, így ezek az összefüg­gések itt is érvényesek. Nézzünk rájuk egy példát.

6.5. Példa.A 6.4. példában szereplő valószínűségi változóknak számítsuk ki a kovarianciá­ját, a korrelációs együtthatóját és a 4 + TJ szórásnégyzetét!

MEGOLDÁS. Használjuk a 6.4. példabeli eredményeket:

c o v íí; í;) = W (í -í7) - M ( í )Aí C^) = | ~ | - ^ = - 1 .

A korrelációs együtthatóhoz szükségünk van a szórásokra, azaz a négyzetek vár­ható értékére.

1 r 1M ( ^ ) = - \ x 2(2 x + 2) d x = - i l 2x 1

2 + 3

25

** ( ? 2) \ y \ \ + y \ dy

18 81 1621

6 4 -iO

18

]69

81 .13 23

1 6 2 ’ 81

V299* - 0 ,0 8 .

158

Látjuk, hogy nagyon gyenge ellenkező irányú kapcsolat van a két változó között. Az 5.5. tétel alapján

♦ , ) - / > * « ) ♦ * ( , ) ♦ 2cov(í ; „ . J i ♦ 2 - 2 . J | .

6.3. Valószínűségi változók függetlensége

Az 5.4. pontban definiáltuk két valószínűségi változó függetlenségét. Megmutatjuk, hogy a sűrűségfüggvények segítségével is dönthetünk a függetlenség kérdésében.

6.3. TÉTEL. Legyen % és 7j együttes sűrűségfüggvénye f és a perem-sűrüség- Jiiggvények f , illetve / , . A £ és az 77 akkor és csak akkor függet­lenek, ha

/ ( * ; y ) = f f c ) - f i ( y ) . ( j c ^ j e R 1.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy £ és r) független, ekkor a definíció szerint:

F(x-í y ) = Fl(x)F2(y) , ( x ^ ) e R ' .

Differenciáljuk mindkét oldalt x, majd y szerint:

K ( x ; y) = F;(x) ■ F ,0 0 ; F^(x- , y) = FXx)F‘{ y ) .

Mivel F ^ ( x ; y ) = f ( x ; y ) , Fl'(x)=f>(x) és F^(y) = f 2( y ) , az állítást egyik

irányban bebizonyítottuk.Most tegyük fel, hogy

f ( x ; y ) = f , ( x ) f 2(y).

Integráljuk mindkét oldalt - 0 0 -tői x-ig, majd v-ig:

\ \ f { f , s ) d t d s = \ l f { t ) f 2{s)dtds.-<4—5O -W-flO

A bal oldalon F ( x ; >0 áll, a jobb oldalon f 2 nem függ /-tői, ezért kiemelhető a belső integráljel elé:

F i x ; y) = f / 2 (s) | | / i (0 dt) ds = \ f (/) dt | / 3 ( 5 ) * ( A ) f 2 ()0 .— ca 1^-a J —so -aj

159

így a definíció szerint £ és rj függetlenek.Folytonos esetben szintén érvényes az 5.8. tétel is, nevezetesen ha az M (£),

M(?7) és M(£r}) várható értékek léteznek, valamint % és rj függetlenek, altkor

Bizonyítás. Felhasználjuk a 6.3. tételt:ÍQ (0 '*> ^

A í(# 7)= J J W ú ; y ) d x d y ~ J Jxy f ( x ) f ( y ) d x d y .><v<0 -gfrnO

Mivel y f 2(y) nem függ .í-töl, kivihető a belső integrál elé:

v í » »

M ( £ ’ij)= J ^ ( y ) \ x f ( x ) d x dy = \ y f 2{y) M{£;)dy =-00 C0 ) - »

cO

- M (£) \ y ■ f 2 (y)dy = M(£) - M (77) ,- te

amit bizonyítani akartunk.

Következmény: A függetlenségből folytonos esetben is következik a korrelálatlanság.

Ezért a 6.4., illetve a 6.5. példában szereplő valószínűségi változók nem lehet­nek függetlenek, hiszen nem nulla a korrelációs együtthatójuk. De erről a 6.3. tétel alapján is meggyőződhetünk: az

/ ( * ; * ) =” (* + >0. ha 0 < ^ < 1 és 0<>><2

egyébként

függvény nem szorzata az

'2

m =: (;t + l), ha 0 < * < 1

0 egyébként,A( y ) =

+ |» ha 0 < y < 2

0 egyébként

függvényeknek.Viszont könnyen belátható, hogy a 6.1. példabeli valószínűségi változók függet­

lenek, hiszen

F ( x ; y ) = Fl(x)FJ(y) .

160

Lehet konstruálni olyan folytonos együttes eloszlást, ahol a valószínűségi válto­zók korrelálatlanok, de nem függetlenek. így a korrelálatlanságból folytonos eset­ben sem következik a függetlenség.

6.4. Feltételes sűrűségfüggvény, regressziós függvény

Definíció. Ha £ és íj együttes sűrűségfüggvénye f és f , illetve j \ aperem - sűrűségfüggvény, akkor a £ valószínűségi változó Tj—y feltételre vonatkozó feltételes sűrűségfüggvényén az

M y > * T r r ’ haJi{y)

függvényt értjük. Az rj -nak a f = x feltételre vonatkozó feltételes sűrűségfüggvénye

ha / ; « * o .f {>0

Ezek valóban sűrűségfüggvények, hiszen nemnegatívok és - mint arról könnyen meggyőződhetünk - az értelmezési tartományon vett integráljuk 1.

A feltételes sűrűségfüggvény ismeretében már számolható a feltételes várható érték is:

es

M(% | Ti = y ) = M {4 \ y ) ~ ^ x f { x \ y ) d x

M { ti \% = x) = M{ ti \ x) = \ y f { y \ x)dy

Megjegyzés:Természetesen az integrálást mindig a feltételes sürűségftiggvény értelmezési tarto­mányán kell elvégezni.

161

6.6. Példa.Tekintsük a 6.4. példában szereplő valószínűségi változókat, amelyeknek együt­tes sűrűségfüggvénye

K * ; y ) =[ 0 egyébként

és a perem-sűrűségfüggvények

/,(* ) =y(jc +1), ha 0 < x < \

0 egyébként,f i ( y ) = 3

ha 0 < y < 2

egyébként.

Számítsuk ki az Aí(£ | y) és az M{t}\ x) feltételes várható értékeket!

M eg o ld á s , a definíció alapján:

f ( x \ y ) = ^ , f ( y \ x) = l ^ ° <JC<1, 0 < -y < 2 '

így

| rj) = \ x ^ - ^ - d x =

(0 < y < 2 ).

x x— + y —3 2

1y + - 7 2

2jc+ 2

_ 2 ^ 1 -

J +

2x + -;____ 12x + 2

(0 < x < 1) -

Amint példánkból is látszik, a feltételes várható értékek függvények, amelyeket folytonos esetben is (elsőfajú) regressziós függvényeknek nevezünk:

m1 (y) = M { £ \ y ) , A O ) = °K

■h{x) = M(T] \ jc) , x e R \ { j c | / ( x ) = o}.m,

162

7. VALÓSZÍNŰSÉGELOSZLÁSOK

A 4, fejezetben láttuk, hogy bármelyik valószínűségi mezőben sokféleképpen ér­telmezhetünk valószínűségi változót. Mind diszkrét, mind folytonos valószínűségi változókból végtelen sok különféle létezik. A gyakorlati felhasználás szempont­jából viszont csak néhány típus játszik jelentős szerepet. Most ezek közül tekintjük át a számunkra legfontosabbakat, melyeket mi is fogunk használni.

Ha egy diszkrét eloszlású valószínűségi változó viszonylag sok értéket vehet fel, akkor pl. az

I

várható érték kiszámolása hosszadalmas, számolásigényes feladat. Folytonos elosz­lású változónál a paraméter minden apró változása estén újra és újra integrálhatunk, ha a várható értékre vagy a szórásra szükségünk van, A tárgyalt eloszlásoknál le fogjuk vezetni a várható értéket és a szórást egyaránt. Ha egy kísérlet kapcsán be­vezetett változó típusát felismeijük, igen sok számolástól menekülhetünk meg.

A gyakorlati problémák megoldása során az is szembeötlő lehet, hogy különféle eloszlásokkal számolva időnként nagyon közeli értékeket kapunk a valószínűsé­gekre vagy a várható értékre, esetleg a szórásra. A továbbiakban ennek feltételeit is áttekintjük. Először a diszkrét eloszlások kerülnek sóira.

D isz k r é t e l o sz l á so k

Mint ismeretes, a £, valószínűségi változót akkor nevezzük diszkrét eloszlásúnak, ha lehetséges értékeinek halmaza véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz. A lehetséges értékekhez tartozó valószínűségeket nevezzük a diszkrét változó el­oszlásának, Ennek megadásával tudjuk az eloszlásokat definiálni.

163

7.1. Karakterisztikus eloszlás

Először egy nagyon egyszerű esettel foglalkozunk, ennek eredményét a későbbiek­ben használni fogjuk.

DEFINÍCIÓ. A £ valószínűségi változót karakterisztikus eloszlásúnak nevezzük, ha lehetséges értékei az 1 és a 0 , az ezekhez tartozó valószínűségek pedig:

P t f = \) = p & / ^ = 0 ) = 1 - /> = ? . ahol 0 < p < 1 .

Ez nyilván eloszlás, mert = p + q = 1.i

7.1. Példa.Legyen a kísérlet az, hogy egy szabályos játékkockát feldobunk, Válasszuk a ki­meneteleket a szokásos módon: Et =k = a dobott szám értéke (k = 1 ,2 , . . . , 6 ). Mind a hat elemi esemény valószínűsége 1/6, így egy W klasszikus valószínű­ségi mezőhöz jutunk.

A z A esemény legyen az, hogy 3 -nál kisebbet dobunk: A = {£,; £ 2} - { l ; 2 }.

Legyen továbbá £ (£ ,) = £ (£ ,) = 1 és í ( £ J) = í ( £ 4) = f ( £ i ) = í ( £ e) = 0 . A £

egy karakterisztikus eloszlású valószínűségi változó, melyre p = /*(£ = l) = i

és ? = P ( Í = 0 ) = | .

A karakterisztikus valószínűségi változót szoktuk índikátorváltozónak is nevezni, mert egy bizonyos esemény bekövetkezését jellemzi. Előző példánkban az a szó­ban forgó esemény, hogy 3-nál kisebbet dobunk.

7.1. TÉTEL. Ha £ karakterisztikus eloszlású valószínűségi változó és P(£ = 1) = p , akkor

M (£) = /> és D(£) = y[p^q.

Bizonyítás.M M = b p + Q-q = p ,D \ 4 ) = (l*p + 0 ^ ) - (p f = p - p 1 = p{\ - p) = pq ,

£>(£) = -Ím ■

164

7.2. Binomiális eloszlás

DEFINÍCIÓ. A £ valószínűségi változót binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha £ lehetséges értékei 0, 1, 2, ..., n és

P{$ = k) =

ahol 0 < p < I, 9 = 1 - / ? és t = 0 , 1, 2 , «.

(7.1)

Mindenekelőtt megmutatjuk, hogy ez valóban eloszlás, az 1 valószínűséget oszt­ja el a változó tehetséges értékein.

A (7.1) minden tagja pozitív szám, jelölhet valószínűséget. Meg kell még mu-ti

tatnunk, hogy P (£ - k) - 1 . Ehhez a binomiális tételt használjuk fel. Alkalmaz-

zuk most a binomiális tételt a (q + p )“ hatvány kifejtésére.

(<? + />)" = qn- ' -p + . . .+VV k--0

így tehát

A=ö *=0\ k jA ^ = ( ? + P ) '= r = i -

Ezzel beláttuk, hogy ez valóban eloszlás. Most kiszámoljuk a várható értéket és a szórást.

7.2. T é te l . Ha a ^ valószínűségi változó binomiális eloszlású, akkor várható értéke

M(£) = np.

szorosa

npq.

Bizonyítás. Tekintsünk egy olyan Bemoulh-féle kísérletsorozatot, melyben a meg­figyelt esemény valószínűsége p. Jelölje az 77 valószínűségi változó a kísérlet- sorozatban az A esemény bekövetkezéseinek a számát. Ekkor, mint a Bemoulli- kísérletsorozatoknál láttuk,

165

p ( n = k ) =/ \ n

y?Y '-\ jfc=0, 1, 2, n.

A z ?} változónak és a £ változónak azonos az eloszlása, ezért várható értékük és szórásuk is azonos. Legyen ijt az í-edik kísérletben az A esemény karakteriszti­kus valószínű ségi változója, és képezzük az

T]y +TJ2 + . . . + 7J'

összeget.Az összegben szereplő tagok között pontosan azoknak 1 az értéke, melyekhez

tartozó kísérletben A bekövetkezett, a többi nulla. Tehát ez az összeg azt mutatja meg, hányszor következett be az A esemény a Bemoulli-sorozatban, vagyis

7 = 77, +Tj2 + ... + ti„.

A karakterisztikus változó eloszlásánál láttuk, hogy = p és

D 1 {*!,) = PQ (;=1, 2 , ..., n).

Az 5.3. tétel szerint, összeg várható értéke a várható értékek összege, ezért

M{ij) (?,) + + ... + M( r j J = p + p -¥. . .+ p = np .

A szórásra egy kissé bonyolultabb összefüggés igaz (5.5. tétel). Mivel a Bemoulli- sorozatban független kísérletek szerepelnek, ezért alkalmazhatjuk az 5.5. tétel kö­vetkezményében foglaltakat (ami kettőnél több tagra is érvényes):

D 1 ( n ) = D 1 (rj , ) + D * (t/2 ) + . . . + D 2 (77,,) =

= pq + p q + . . . + p<l = npq.

Az rj változó szórása tehát

&(V) = 4nP9 ■

Mivel M (£) = M{r}) és D(g ) = D(rj), a tételt bizonyítottuk.

A binomiális eloszlás szórásának nagyságára felső határt szabhatunk. A számtani és mértani középre vonatkozó ismert összefüggés szerint

166

Elekor viszont

A binomiális eloszlást leggyakrabban a független kísérletsorozatok, például a visszatevéses mintavétel leírására használjuk. Régebben a binomiális eloszlásokat különböző p és n értékekhez táblázatokban adták meg. Ezek az elektronikus kal­kulátorok elterjedésével jelentőségüket vesztették.

A 7.1. ábrán az n = 20-hoz /? = 0,1 -dél, /7 = 0,3-del és p = 0,5-del megrajzol­tuk a binomiális eloszlás grafikonját- Hogy a különböző _p-khez tartozó értékeket el tudjuk különíteni, nem használtunk nyíldiagramot, hanem az egyes grafikonok pontjait vékony vonalakkal kapcsoltuk egymáshoz, (A grafikont természetesen csak a vastagon rajzolt diszkrét pontok jelentik.) Az eloszlás csak p = 0,5 esetén szim­metrikus.

7.2. Példa.Megfigyelések szerint az ország iskoláiban 100 gyermek közül 4 nem éri el a továbbhaladáshoz szükséges szintet. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy 400 fős iskolában 13-nál többen, de 17-nél kevesebben nem érik el a tovább­haladáshoz szükséges szintet? Mennyi ebben az iskolában a továbbhaladási szin­tet nem elérő gyermekek számának várható értéke és szórása?

MEGOLDÁS. Jelölje £ a tekintett iskolában a szintet el nem érő gyermekek szá­mát. ^ lehetséges értékei: 0, 1, 2, ..., 400. Egy véletlenszerűen kiválasztott

4gyerek esetében p = -----= 0,04 a valószínűsége, hogy a gyerek a továbbhala-

167

dáshoz szükséges szintet nem éri el. A vizsgálatot egy 400 kísérletből álló, független kísérletek sorozatának tekintjük. A £ binomiális eloszlású:

*>(£ = *) =Í400'

0,04* -0,96* A =0, 1, 2, 400.

400n i 3 < í < i 7 ) = v

í=mI A0,04* - 0 ,9 6 " _‘ = 0,2965 .

Az M (£) 0,04* ■ O^ö11011 * egy 401 tagú összeg. Ennek kiszámo-*=o \ "■ )

lásától megmenekülünk, mert a binomiális eloszlású valószínűségi változó vár­ható értéke M (£) = 400p =400 ■ 0,04 = 16 és szórása D(^) = y]npq =3,92 a 7.2. tétel szerint egyszerűen adódik.

7.3. Hipergeometriai eloszlás

DEFINÍCIÓ. A £ valószínűségi változói hipergeometriai eloszlásúnak nevezzük, ha

f M \ ( N - M \

n - k/>(£ = *)

( NA k = 0, 1, 2....... n (7.2)

és az n, M , N pozitív egész számokra érvényes: n < M < N és n < N - M .

A hipergeometriai eloszlást gyakorlatilag a visszatevés nélküli mintavétel leírá­sára használjuk.

Megmutaíjuk, hogy (7.2) eloszlást értelmez, A tagok: pozitívak, ezéri csak a = A) = 1 ösz-*=o

szefüggést kell Igazolnunk. Állításunk tehát

Mivel a nevező ft-tól független konstans, ezt

"

ir-0/ M^ f N - m ' V

K k JV n ~ k j v n )(7.3)

alakba írhatjuk. írjuk fel a (7.3)-at részletezve:

^WV

J \ 0 J\

N - M

n

N - M

0

\N - M

)i-lM N - M

n - 2

\

(7.4)

Azt, hogy a (7.4) valóban érvényes, egy mintavételi modell felhasználásával igazoljuk. Tekintsünk egy N elemű halmazt, melyben M darab kitüntetett elem van. Legyen n S W é s

n < N - M . Válasszunk ki a halmazból « elemet visszatevés nélkül. Az üss2es lehetőségek száma

V. Ezt találhatjuk (7.4) bal oldalán. A (7.4) egyenlőség jobb oldalán lévő számok viszont a konk­

rét kiválasztási lehetőségek számait adják:A /Y N - M N

1A », azon lehetőségek száma, hogy nulla db

kitüntetettet és u db nem kitüntetettet választunk. AzM N - M

n - 1azon lehetőségek száma, hogy

I db kitüntetettet és n - 1 nem kitüntetettet választunk ki. Ha így haladunk tovább, az összes konkrét lehetőséget összeszámláljuk és így a jobb oldalon is az összes lehetőségek száma adódik.

A (7.3) összefüggést Cauchy-féle tulajdonságnak nevezzük, melynek ismeretes a faktor iá li sokra alapozott bizonyítása is.

A binomiális eloszlással való összehasonlítás kedvéért a 7.2. ábrán « = 20-hoz A /,= 3 0 , =100 (p — 0,3), továbbá Aí3= 5 0 , ^ = 1 0 0 (p = 0,5) értékekkel megrajzoltuk a hípergeo- metriai eloszlás grafikon­ját. A vékony vonalak most sem tartoznak a grafikon­hoz, csak az egyes para­méterekhez tartozó pontok együvé tartozását jelzik.

169

7.3. TÉTEL. Ha £ hipergeometriai eloszlású, akkor várható értéke

M (4 ) = n -p (iahol p= — ), N

szórásnég)>ze(e q = \ - p jelöléssel

N — }iD 2t f ) = npq

N - 1

Nem bizonyítjuk.Vegyük észre, hogy a binomiális és a hipergeometriai eloszlás várható értéke

azonos. A gyakorlatban rendszerint teljesülő n « N esetén (n „kicsiny” jV-hez képest) a szórások is közel esnek egymáshoz. Ezért a hipergeometriai eloszlást gyakran szoktuk a könnyebben kezelhető binomiális eloszlássá! helyettesíteni. Érmek elméleti megalapozását a következő tételben találjuk.

M7.4. TÉTEL. Ha N és M úgy tartanak végtelenbe, hogy hányadosuk — = p állan­

dó marad, továbbá n és k rögzített számok ( k<n) , akkor

limA/ —

(M' \ ( N - M \

UJ' < n ~ k jN Kk /

Pk { \ - P)lí“# (7 .5)

A tétel bizonyításához ki kell írni a binomiális együtthatók faktoriális alakjait, majd egyszerűsítés után tényezőnként kell a határértéket képezni. Nem részletezzük.

7.3. Példa.Egy farsangi mulatságon 30 tárgynyereményt sorsolnak ki az eladott 500 tombola vásárlói között. Ha 10 tombolát vettünk, akkor mi a valószínűsége, hogy nyereménnyel távozhatunk a bálról? Számoljuk ki a nyereményeink szá­mának várható értékét és szórását is!

MEGOLDÁS. Az N = 500 tombolából M - 30 kitüntetett van. A tombolavásár- iás pillanatában még nem ismeretes, melyek lesznek a kitüntetett elemek. A 10 tombola megvásárlásakor egy n = 10 elemű mintát veszünk, visszatevés nélkül. A nyereményeink száma a 10 elemű mintában lévő kitüntetett elemek szá­ma, hipergeometriai eloszlású valószínűségi változó. Ezért

170

' 3 0 v 4 7 0 '

P ( £ 2 l ) = l - P ( £ = 0 ) = l -0 A i o , _'500^

. 10 J

= 0,4645,

M{E) = np = n— = 10- — = 0,6 N 500

es

30 470 500-10 500' 500 500-1

= 0,7442.

Nézzük meg, milyen közelítő értékeket kapunk az előzőekre, ha binomiális eloszlással közelítünk!

P ( £ a l ) = l - P ( £ = 0 ) » l -

A/(^) = ííp = 10- — = 0,6 , 500

rio''í 3 0 T iI s o o J l

= 0 ,4 6 1 4 .

m ) ■yfipq =JÍÖ-30 470

5 0 0 ’ 500= 0,751.

Látható, hogy a valószínűségek első két tizedesjegye megegyezik, a valószí­nűségek eltérése 0,7%-os. A várható értékek azonosak, míg a közelítő szórás 0,9%-kal nagyobb a pontos értéknél.

7.4, Poisson-eloszlás

Az eddig tárgyalt eloszlásokban a változónak mindig véges sok lehetséges értéke volt. Most egy olyan diszkrét eloszlással ismerkedünk meg, melyben a változó megszámláthatóan végtelen sok értéket vehet fel.

DEFINÍCIÓ, a 4 valószínűségi változót Poisson-eloszlásúnak nevezzük, ha lehet­séges értékei: 0, 1, 2, 3, ... és

p k = P i 4 = k ) = ^ - e \ (7.6)k\

ahol A > 0 rögzített és /c e N .

171

Mindenekelőtt megmutatjuk, hogy a (7.6) alatti pozitív számok eloszlást alkot­

nak, tehát = 1 teljesül rájuk. Most egy végtelen sort kell összegeznünk, k

melyhez felhasználjuk az e hatványsorát, melyet analízisbeli tanulmányainkból ismerünk:

V3 k

<7-7>

Ebből az x = X helyettesítésseloá 1 k

k-0 K ■eA

adódik.A valószínűségek összege pedig:

rt oo jk ® >\k

*=Ö fr=0 A-í Jt-o

7.5. TÉTEL. Ha % Poisson-eloszlású, ükkor várható értéke

M(Z) = A.

Bizonyítás. Felhasználjuk eA hatványsorát, valamint azt, hogy konstans a 2 elé kiemelhető:

k\ t i k\ £ í ( * - l ) !- e Á -

7.6. TÉTEL. Ha < P o m on-eloszlású, űA'/cör szórása

Ű(£) = V I .

Bizonyítás. Számoljuk ki az M (i;2) második momentumot.j k <n j i <c nk

A _* v k 11 A „ j \ \ . AM ( n = E i I ^ = z * ’ ^ = Z / c

it=0 10. t í k\ t í (* -1 )!-é~l —

172

(* -! )! = /l2 + X .

= Xlé-JO 3 *-2 <c

f — ----- + Xe~i y — ----- <Ü ( k ~ 2 ) \ é í ( A - I ) !

A levezetéshez ismét felhasználtuk eÁ hatványsorát (7.8), valamint, hogy az Összegből a nulla szorzóval rendelkező tagok elhagyhatók. Most már könnyen meg­határozhatjuk a szórásnégyzetet.

es így

D \ 4 ) = M (£2) - M \ 4 ) = ( l 2 + X ) - X 2 - X ,

D{£) = 4 1 .

A Poisson-eloszlás az egyik leggyakrabban alkalmazott diszkrét eloszlás. Pél­dául véletlenszerű időpontokban bekövetkező események száma egy adott időin­tervallumban Poisson-eloszlással jól közelíthető. Hasonlóan Poisson-eloszlást al­kalmazunk, ha egy tartományba eső pontok számát vizsgáljuk, és a tartományba esés valószínűsége csak a tartomány méretétől függ. Pl. egy üzletbe adott időinter­vallumban érkező vevők száma, adott hosszúságú útszakaszon található kátyúk szá­ma, egy könyv véletlenszerűen kiválasztott, adott számú oldalán a nyomdahibák száma, egy őserdőben az egy hektáron található fák száma, egy gombóc puncsfagy­laltban a mazsolák száma stb.

A 7.3. ábrán X, = 2 , X1 = 6 és /L, =10 paraméterekkel, közös koordináta-rend­szerben Poisson-el oszlásokat ábrázoltunk.

173

Most pontosabban is megfogalmazzuk az előzőeket. Jelöljük £(-vel egy l hosszúságú időinterval­lumban valamely ,4 esemény bekövetkezéseinek a számát. Ekkor % lehetséges értékei 0, 1, 2, 3, ... . Tegyük fel, hogy teljesül az alábbi három feltétel:

1. A P(4f = k) valószínűségek (k = 0, 1 ,2 ,. . .) csak az időintervallum hosszától függnek, attól nem, hogy az időt mikor kezdtük el mérni.

2. lim ^ — - = X (ahol X állandó). t-> 0 /

Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy ha / elég kicsi, akkor a P(g - I) közelítőleg aranyos í-veL

3. l i m f f ^ = 0) + P(£t = ] ) ] = ] f->oL ' 1 J

vagyis eiég kicsiny idő alatt az A esemény gyakorlatilag vagy egyszer sem, vagy egyszer követ-kezík be.

Ekkor

D/í I \ ~U= *) = --------- ek\

Nem bizonyítjuk.

Az előzőekben leírtakat Poissoii-folyam atnak nevez2ük.Általában rögzíteni szoktuk f értékét, és X t ~ Á \ jelöléssel

X *Ai _ jP t fm k ) — - e 1

*!adódik. Ha más hosszúságú időintervallumot választunk, másik Á adódik.

7,4. Példa.Egy derült augusztusi estén negyedóránként átlag 6 csillaghullás észlelhető. Mennyi a valószínűsége, hogy

a) 10 perc alatt 3-nál több;b) 5 perc alatt 1

csillaghullás figyelhető meg?

MEGOLDÁS.a) Legyen £ a 10 perc alatt bekövetkező csillaghullások száma. Ha 15 perc

alatt 6 , akkor 1 perc alatt 6/15, ezért 10 perc alatt 60/15 a csillaghullások átlaga: M (£) = 60/15 = 4 .Másrészt M{£,) — X, ezért X - A .

n í > 3 ) = i - p ( í < 3 ) = i -

= l - | l + 4 + 8 + — 6

4° _4 4' 41 _4 43— e + — e + -— e +— e 0! 1! 2! 3!

713

64^ , 4 71 . e - 1 ----- e

174

b) Jelöljük 77-val az 5 perc alatt bekövetkező csiliaghuliások számát. Az új idő­intervallumhoz másik X tartozik:

M (77) = 5- 6/15 = 2 = A,,2 ' 2

' > = - ^ = 7 "

A Poisson-eloszlást gyakran használjuk a binomiális eloszlás közelítésére. Ennek alapját az alábbi tétel adja.

7.7, TÉTEL, / /a esetén p -> 0 úgy, hogy leözben az n -p sorozat állandómarad, np - X > 0, akkor q = 1 — p jelöléssel

limn—►«*>

3*nPH = - - e

* k\

XBizonyítás. A tétel feltételei szerint p - — . írjuk ezt be a bal oldalon található bino-

nmiális eloszlás képletébe, majd végezzünk el néhány átalakítást.

u .

\ Vp kr k =

J Kk J n ) \ n ) k \ {n~k) \ n , ' - 7 j H . 1 *

n ( n - l ) . . . ( » - * + !) Xk í 1 X T 1! I n jnk k \ { n ) f ^ X ' *

Vizsgáljuk meg a négy tényező határértékét külön-külön, ha n -» 03 .

r t ( n - l ) ... (n -A + 1) n w- 1 n - k + 1 .hm — 1 ^ 1 = hm ----------- . . . --------------- 1 ,

n n-w n n n

mert a k tényező mindegyike 1-hez tart.

X* Xklim— = — , mert a kifejtésben nem szerepel az n, konstansként visel- k\ k\

kedik.

limf 1—— | - limf 1 + — \=-ez , mint a sorozatnál tanultuk analízisből.

175

limA K

1-----=1 = 1, mert a kitevő rögzített.n

Ezeket felhasználva

limn—mo \ k j

2 k 2 *„ ( ■ i i -k 1 71 t ^ - Jo q = 1----- e -I = — e .ki ki

7.5. Példa.Magyarországon a forgalomban lévő gépjármüvek 10%-a olasz gyártmányú. Mennyi a valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválasztva egy forgalomirányító lámpát és időpontot, a következő piros jelzésnél megálló első 10 jármű között2 olasz gyártmányú lesz?

MEGOLDÁS. Legyen f a kiválasztott 10 jármű között az olasz gyártmányúak szama. A < hipergeometriai eloszlású is, de mivel N értékét nem ismerjük, közelítő megoldást alkalmazunk. A zN „elég nagy”, ezért a 7.4. tétellel „elég jó” közelítést kapunk.

n í - 2 ) ;''lO''

v 2 ,0 ,lz -0,9a =0,I937.

Hogy a közelítésünk pontosságáról képet kapjunk, kiszámoljuk a

8- -n - . 1 .//

10v

értékét különböző N értékekre. Egy ilyen valószínűséget ugyan nincs értelme3-4 tizedesnél pontosabban meghatározni, de most az eltérések értékelhetősége okán kivételt teszünk. Ha

N = 4 millió, N = 3 millió, N - 2 mülíó,

P(4 = 2) = 0,19371043 , P(4 = 2) - 0,19371049, P(£ = 2) = 0,1937106.

Mindegyik érték 6 tízedesjegyig egyezik a binomiális közelítés 0,19371024 -es értékével. Most a már eleve közelítésként alkalmazott binomiális eloszlást a7.7. tétel felhasználásával Poisson-eloszlással közelítjük. A X - n p = 10- 0,1 = i paraméterértékkel

176

*>(£ = 2) = = V =0,1839 21 2

adódik, ami a probléma szempontjából még mindig jónak mondható.

7.5. Geometriai eloszlás

DEFINÍCIÓ, A £ valószínűségi változót geometriai eloszlásának nevezzük, ha lehetséges értékei I, 2, 3, ... és

P t =P{S = k) = qk-l -P ,

ahol 0 < p < 1, q = 1 - p és k = 0, 1, 2, 3........

Megmutatjuk, hogy ez a végtelen sok pozitív szám valóban eloszlást alkot, teháta ^ pk =1 összefüggés teljesül.

kta

Ismeretes, hogy a ^ a - q" geometriai sor konvergens, ha | c/1 < 1 és összegen=0

S = a —-— . Ezt alkalmazva1 - q

CO « 1 1

í-i 4=1 n=o i q p

Geometriai eloszlású valószínűségi változóval találkozhatunk például a kö­vetkező esetben.

Tekintsünk egy véletlen kísérletet és egy azzal kapcsolatos A eseményt, melyre P(A) = p , Végezzük el a kísérletet újra meg újra, egymástól függetlenül mindad­dig, amíg az A esemény be nem következik. Jelölje a ^ valószínűségi változó azt a számot, ahányadikra az A esemény bekövetkezett. Ekkor £ geometriai eloszlá­sú, ugyanis lehetséges értékei 1, 2, 3, ... és a függetlenség miatt annak valószínű­

sége, hogy az első k - \ kísérletben A nem következik be, qkA , hogy a hadikban A bekövetkezik, p. így aztán

P t f = k) = q“ - p .

Most térjünk rá a várható értékre és a szórásra.

177

7.8. TÉTEL. Ha a % valószínűségi változó geom etriai eloszlású, akkor várhatóértéke és szórása

P

Bizonyítás. A várható érték az

£»(£) =t i

(7.9)

végtelen sor összegeként adódik. Azt, hogy (7.9) egyáltalán konvergens, a hánya­doskritérium segítségéve] látjuk be.

(n + \)q"p n + 1 . ,, ,= ------q -> q < 1 (ha «->«> ).

nq p n

Ez pedig azt jelenti, hogy alkalmas n0 -nál nagyobb index esetén az

értékei #-nak a 7.4. ábrán megrajzolt környezetébe esnek.

n +1

q 1 + 92

De ekkor n > n0 esetén

7.4. ábra

* + 9 i< íi =■~ i r < ] -

Kiszámoljuk a (7.9) sor összegét, vagyis a várható értéket.

S = p{1 + 2q + 3q2 +4q* +S -q — p(q + 2 q l + 3 q 1 + 4q* + . . . ) .

(7.10)(7.11)

A (7.11) egyenlőséget a (7.10)-nek q-vs\ való szorzásával kaptuk. Most kivonjuk(7.10)-böl (7.1 l)-et.

S — Sq — p(\ + q + q* + q + q + . . . ) .

A jobb oldali mértani sort összegezve:

S Q - g ) ^ p - ^ - = p - - = i .P

178

ahonnan a várható érték: S --------= — .1 - q p

A szórást hasonló eszközökkel számolhatjuk ki.Nem részletezzük.

A 7.5. ábrán p - 0,3 és p - 0,5 paraméterekkel elkészítettük a geometriai elosz­lás pontdiagramját.

7.6. Példa.Megfigyelték, hogy egy gyártósorról lekerülő halogén izzók között a hibásak re­latív gyakorisága 0,01. Jelölje a £ azt a számot, ahányadikra a minőségi ellenőr az első hibás terméket megtalálja. Tekintsük a valószínűséget és a relatív gya­koriságot egyenlőnek. Adjuk meg a £ eloszlását, várható értékét, szórását és annak valószínűségét, hogy az első 10 termék között nem találunk hibásat!

M egoldás. A változó geometriai eloszlású, ezért

P{£ = *) = 0,99**' ■ 0,01, t = l, 2, 3, 4, ....

A várható érték

w « > - - = 7 7 7 = 100-p 0,01

Tehát, ha sok napon keresztül figyeljük az ellenőr tevékenyégét és átlagoljuk a naponta először megtalált hibás termékekhez tartozó számot (hányadikra ta­lálta), akkor egy 100-hoz közeli érték adódik. A konkrét értékek ettől gyakran messze is lehetnek, mert

179

p 0,01

VégezetülLQ

P{£ > 10) = 1 - P{4 < 10) = 1 - £ 0 ,9 9 * -’ ■ 0,01 = 0,904 .

A megismert egydimenziós diszkrét valószínűségi eloszlások több irányban is általánosíthatók, illetve kapcsolhatók más eloszlásokhoz, melyek speciális területe­ken nagyon fontosak lehetnek. Vannak olyanok, melyeket szakemberek részére írt könyvekben általánosabban tárgyalnak. Mi a diszkrét eloszlásokkal ennél részlete­sebben nem foglalkozunk, áttérünk a folytonos eloszlásokra.

Folytonos eloszlások

Ha a 4 valószínűségi változó folytonos eloszlású, akkor bármely xD e R értéket nulla valószínűséggel vesz fel (4.4. tétel):

P ( Z = x 0) = 0 .

Ezért a diszkrét eloszlásoknál felhasznált valószínüségeloszlás szerepét itt a sűrű­ségfüggvény veszi át, de az eloszlásfüggvényt is sokkal hangsúlyosabban fogjuk alkalmazni, mint a diszkrét esetben tettük. Folytonos eloszlásból is végtelen sok van, melyekből csak néhány játszik igazán fontos szerepet. Ebben a fejezetben az egyenletes és az exponenciális eloszlásokkal ismerkedünk meg. A közgazdasági gyakorlatban és egyéb területeken is kiemelkedően fontos normális eloszlást és az abból származtatott eloszlásokat egy külön fejezetben tárgyaljuk.

7.6. Egyenletes eloszlás

DEFINÍCIÓ. Akkor mondjuk, hogy a g valószínűségi változó az ]g ; b\ interval­lumban egyenletes eloszlású, ha sűrűségfüggvénye

—-— . ha a < x < b f : f ( x ) = \ b - a (7.12)

0 máshol.

180

A z így definiált / valóban valamely folytonos valószínűségi változónak a sűrű­ségfüggvénye, mert a < b miatt / ( * ) ^ 0 , l e R és

\ f { x ) d x = J —1— dr = ]* = | _ £ = l4, * b - a b - a " b - a

Az eloszlásfüggvényt könnyen előállíthatjuk.Jt X

Ha x <, a , akkor / (x) = j f = Jorfí = 0.- t f —in

Ha a < x < b , akkor

F(*)= ( / = f0 * + M — dt = —! _ [ / ] ' =J J > b - a b ~ a L J" b - a—oT>

Ha b < x , akkor F(x) = J / = Jo dt + J—-— dt + JoJí = 1 .-«■ -« n ^ ^ b

Ezeket összefoglaljuk egy képletbe:

F : F ( x ) =

0 , ha x < a

x - a , ,------ , ha a < x £ bb - a

1 , ha x <b .

(7.13)

Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvényének és eloszlásfüggvényének grafikon­ját a 7.6. ábrán láthatjuk.

7.6. ábra

A várható érték és a szórás a folytonos változóknál ugyanolyan fontos szerepet játszik, mint diszkrét esetben.

181

7.9. TÉTEL. Ha a 4 valószínűségi változó az ] a ; /; [ intervallumon egyenleteseloszlású, akkor várható értéke és szórása:

M (& =a + b

D ( 4 ) =b - a

2 ' 2 S '

Bizonyítás. A várható érték:

00 6 1 1M (£ ,)- \ x f ( x ) d x - \ x -------dx = —

J J h — n h —

1 b2

b - a

a + b

b - a

b - a 2

A második momentum:

^ ( £ 2) ~ I' x 2f ( x ) d x - íx 2—-— d x - J J h — rtb - a b - a

(b - a)(b2 + ab + a2) b2 + ab + a

bl - a % 3 ( b - a )

3 ( b - a ) 3

A szórásnégyzet:

D \ t ) = M ( ? ) - M 2(4 ) =b2 + ab + a 2 a + \2 ( b - a ) 2

12

így

£>(£) =b - a

2-V3 '

7.7. Példa.Egy villamos 10 percenként indul a végállomásról. Véletlenszerűen érkezünk ebbe a megállóba (pl. közvetlenül egy fogorvosi kezelés után). Jelölje £ a vil­lamos indulásáig várakozással eltöltendő időnket. Adjuk meg a £ sűrűség- és eloszlásfüggvényét, valamint annak valószínűségét, hogy várakozási időnk a vár­ható értéktől kevésbé tér el, mint a szórás fele!

M EGOLDÁS. Ha véletlenszerűen érkezünk, egyetlen időintervallum sincs kitün­tetve, akkor £ egyenletes eloszlású, a - 0 és 6 = 10 paraméterekkel.

182

/ ( * ) =

1 ha O c x c lO100 máshol

F(X)-

0 , ha x < 0

— , ha 0 < x < 10 101 , ha 10 < x.

0 + 10 c ^ 1 0 - 0 5

2 ’ C ( í ) = i v r v r(

5 +

2^35

2 ^ r F [ 5 + 2s r F 2 V3 ,

2 V3 2 V3

1 0 10 2 V3= 0,289.

1.1. Exponenciális eloszlás

D e f in íc ió . £ valószínűségi változót expon en ciá lis e lo szlá sú n ak nevezzük, ha s űrűségfüggvénye

\X-e~ÁI, ha x > 0 / : / ( * ) = 7 ' 14

[ 0 , ha x < 0 ( x e R )

ahol X > 0 . A X pozitív valós számot az eloszlás paraméterének ne­vezzük.

Megmutatjuk, hogy (7.14) valóban egy eloszlást határoz meg, vagyis (7.14) valamely £ valószínűségi változónak a sűrűségfüggvénye. Az / (x) > 0 (x e R) nyilván teljesül, mert X ■ e~ix > 0 bármely X > 0 esetén. Megmutatjuk még, hogy a függvény görbéje alatti terület 1.

00 C m hj f ( x ) d x = jo dx+ jXe~Ax dx = Jim j X e ^ dx = lim[- e_/Lí Jo =

= lim| — ~ + e°

0

= 0 + 1 = 1 .

183

Ki fogjuk számolni az eloszlásfüggvényt. Ezt az

F(x) = \ f ( t ) d t _0ü

formulából, integrálással tudjuk megtenni.jf

Ha * < 0 , F{ic)= j0 r f /= 0 ,-go

0 x Ha 0< jc , F(x) = J0rfí+ +e° = .

Az eloszlásfüggvény tehát:

F : F ( x ) = <0 ha x < 0

l - e -At, ha 0 < x (jceR ).

Az exponenciális eloszlás sűrűség-, illetve eloszlásfüggvényének grafikonjátX —1 és X - 2 paraméterekkel a 7.7., illetve a 7.8. ábrán rajzoltuk meg. A sű­rűségfüggvény grafikonja szembeötlő hasonlóságot mutat a geometriai eloszlás pontjainak grafikonon való elhelyezkedésével, ha azokat összekötjük szakaszokkal (7.5. ábra).

7.7. ábra 7.8. ábra

7.10. TÉTEL. Ha a 4 valószínűségi változó exponenciális eloszlású, akkor várható értéke és szórása:

M{ 4 ) = D(4) = \ .A

184

Bizonyítás. A várható érték kiszámításához szükséges primitív függvényt a parciális integrálás módszerével meghatározhatjuk, így

n U n

M (4 ) = \ x f ( x ) dx =\ üdx +\ x X£- **dx =

= HmA—KO

~lh, , -jLc 1 -Ál— x e ---- e

A határérték kiszámításához felhasználtuk azt az analízisből ismert tényt, hogy

lim— = 0.a, g1

A szórás meghatározásához szükségünk lesz a második momentumra. Ezt kétszeri parciális integrálás segítségéve] nyeljük.

tv y m

M ( 4 1) = J V /(*)<& = J0í& + f x 2Xe~*dx =

= lim - x 2e~kx + 2 x e '?J> -X2

_2_X2

így aztán

D \ 4 ) = M { ? ) - M \ 4 ) = ~ - \ ~ \

illetve

d (^ - t

A gyakorlatban elég sok olyan jelenség van, amit exponenciális eloszlással tu­dunk leírni. Jelölje a 4 valószínűségi változó valamely A esemény bekövetkezéséig eltelt idő hosszát. Ha az esemény bekövetkezésének a valószínűsége csak az idő­intervallum hosszától függ, de független attól, hogy az időt mikor kezdjük el mérni, akkor a 4 exponenciális eloszlású. Ezt a tulajdonságot „örökifjú” tulajdonságnak nevezzük. Ezzel a tulajdonsággal rendelkeznek például a radioaktív atomok. Az, hogy egy radioaktív atom elbomlik-e vagy sem, egy egyórás időintervallumban, független attól, hogy az időt mikor kezdjük el mérni, ha addig még nem bomlott el. Jó közelítéssel „örökifjúnak” tekinthető egy nagy élelmiszer-áruház pénztári sora is. Ha ugyanis a sor „nem termelődik újra”, az üzletet előbb-utóbb bezárják. Az az idő, amit a pénztárnál sorunkra várva töltünk, szintén exponenciális eloszlású.

185

Ha egy intervallumba eső pontok száma Poisson-eloszlású, akkor a szomszédos pontok távolsága exponenciális eloszlású és viszont, ha a szomszédos pontok távol­ságáról ismert, hogy exponenciális eloszlású, akkor egy intervallumba eső pontok száma Poisson-eloszlású.

Jelöljük a 4 eloszlásfüggvényéi F-feí. Akkor a G(jt) = l - F(x) ( x í Q ) annak a valószínűsége, hogy A az x idő alatt nem következik be. Ekkor nyilván G monoton csökkenő és C (0 )= I. A feltételezett „örökifjú" tulajdonságból a feltételes valószínűség definíciója szerint

P { 4 > y ) = P ( S * x + y \ e > x ) =

P ( ( 4 Z x + y ) ( 4 * x ) ) _ P t f Z x + y )

~ P{4 s jc) P(4 * *)

adódik, mén + c (^ > x).Tehát

™ , CÍJc + J')G(j0 = ~ r T ~ T 'C{ x)

Megmutatható, hogy ennek a függvény egyenletnek a folytonos függvények közül csak a

G(x) = e~í ' ( x Z Q , / l > 0 )

függvény tesz eleget. így

F (x ) = \ - e ~ Xl / L>0)

következik, lehál az „örökifjú” tulajdonsággal rendelkező változó exponenciális elosztású.

7.8. Példa.Egy önkormányzati hivatal egyik osztályára szerdai napokon 11’° és 1200 óra között átlag 4 ügyfél érkezik. Mennyi a valószínűsége, hogy a szerda 1 l40-korérkező ügyfél utána) legalább 10 percet;b) pontosan 10 percet kell várni a következő ügyfél érkezéséig?c) a tizedik percben érkezik a következő ügyfél?

MEGOLDÁS, Jelöljük f -vei azt az időt, amennyit a 1 l40-kor érkező ügyfél után várni kell, a következő ügyfél érkezéséig. A 4 exponenciális eloszlású. Két ügy­

fél érkezése között átlag — perc telik el, ezért — - M (4) = — •4 a 4

á) p ( í > i o ) = i - í > ( í < i o ) = i - F a o ) - i - ( i - e - í lo)=

-— 10 in- 0 30 = - I= e 30 - e =0,264.b) P ( 4 = 10) = 0, mert 4 folytonos eloszlású (4.4. tétel).

186

c) A tizedik perc a kilencedik végén kezdődik, így

P(9 < 4 < 10) = F (10) - F (9 ) = l - e)6 _40

= e '30 - e 30 =0,038,

-i-io10 - ( 1 —* 30 ) =

7.9. Példa.Az egyik budapesti útszakaszon egy tavaszi napon 100 méterenként átlag 2 ká tyút regisztráltak. A szomszédos kátyúk távolsága exponenciális eloszlást követ Mennyi a valószínűsége, hogy

a) induJási pontunkat követően 150 méteren belül találhatunk kátyút?b) ha az első 50 méteren belül nincs kátyú, 50 és 200 méter között lesz?c) az első 200 méteren legalább 3 kátyú lesz?

M eg o ld á s . Jelölje 4 az első kátyúnak az indulási pontunktól mért távolságát

A 4 változó exponenciális eloszlású, — = M(4) = 50 .A

-— 150 ,a) < 150) = /^(150) = 1 —e 50 = \ - e =0,95.í>) Az „örökifjú" tulajdonság miatt ugyanannyi, mint az előző. Ha ez esetleg el­

kerülné a figyelmünket, egyszerű számolással adódik:

P(5Q < £ < 2 0 0 és 4 >50)P(4 > 50) "

P(50 £ 4 < 200) f (200) - F(50)

7^(50 <4 < 200 [ 4 > 50) = -

p ( 4 >50)-— 200

1 - e í0

l - f ( 5 0 )-— 50

l - e 50\

-1 -4e - e= I - e-3 = 0,95.

1 -v.

ít)Nl1 - e soJ

-1

c) Legyen 7; a [0; 200] intervallumon található kátyúk száma. Mivel 4 expo nencíális, ezért rj Poisson-eloszlású. Ha 100 méteren átlag 2, akkor 200 mé­teren átlag 4 = M(r}) = \ kátyú van.

P(rf > 3) = 1 - F(i} < 3) = 1 -

= l -1 3 -e H =0,7652.

— e — e —■ e 0! 1! 2!

181

8. NORMÁLIS ELOSZLÁS, NORMÁLISBÓL SZÁRMAZTATOTT ELOSZLÁSOK

Ebben a fejezetben egy, a valószínűségszámításban és a statisztikában fontos, mond­hatjuk központi szerepet játszó eloszlással ismerkedünk meg.

8.1. Normális eloszlás

Tekintsük ai

függvényt (8.1. ábra). Az exponenciális függvény mindig pozitív, így <p is. Meg lehet mutatni, hogy

«> 1 ®\(p(x)dx = .— \e 1 d x - 1, (8-1)

_* V2ff

így a <p sűrűségfüggvény.

y>0A

/ 0,3-

/ 0,2-

o,i-

- 2 -1i i *

) l 2 x

188

Ennek az integrálnak a kiszámítása általunk nem ismert apparátust igényel, ugyanis az integrandusnak nincs az elemi függvények és véges számú alapműveletek segítségével felírható primitív függvénye. Ezért (8.1) igazolását nem részletezzük.

DEFINÍCIÓ. Ha az rj valószínűségi változó sűrűségfüggvénye <p, aldcor azt mond­juk, hogy t] S tandard norm ális eloszlású.

8 .1 . TÉTEL, Ha rj standard normális eloszlású, akkor létezik a várható értéke és a szórása, érlékük:

M(rj) = 0 , D(i}) = \ .

Bizonyítás.

- e

J otz i,hlim e 7 - e 2 = 0 .

A várható érték 0 volta abból is következik, hogy az origóra szimmetrikus eloszlás­ról van szó (8 .1 . ábra).

Most néz2iik a szórást!

I ^ rl . J

A/(j/2) = - = = í v2e” dx = — = = \ x ( - x ) e ~ dx = v2vr j l t t .i

/(*) = *. /'(*) = 1 jl _J‘

U 'to = (-*>«". =

-If i i t

lim[ Jl[b

" j 1*b r -- 1 f A 1 _í' ^ 1 ? -1'- J e 1 dx ,— lim

\l2ir * b-- be 1 + ae 1

\+ f e 1 dx.

V 2jt _£

hz. első tag ű, a második (8.1) alapján 1. így

D\r}) = M(7}2) -M\ t ) ) ^ 1-0’ = ].

Az rj standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye:

0 (x) =•J lx

Értékeit, mint említettük, nem tudjuk a Newton-Leibniz-formulával kiszámítani, csak numerikus módszerekkel. Ezeket táblázatba foglalják, megfelelő pontossággal. Mivel (p páros függvény, x > 0 esetén felhasználva (8.1)-et (8.2. ábra):

189

■JlK i , V2?T ;

— i = fe 2 d x = l - 0 (x). y}27T

Ebből az alábbiakra következtethetünk (8.3. ábra)\

L <£<0) =0,5.2. <í> a (0 ; 0,5) pontra szimmetrikus.3. Elegendő a 0 táblázatát pozitív x-ekre elkészíteni.

190

8.1. Példa.Egy automata 150 mm-es csavarokat gyárt. Jelöljük 77-val egy véletlensze­rűen kiválasztott csavar méretének a 150 mm-től való eltérését. Ha 77 standard normális eloszlású és maximum 2 mm-es eltérés fogadható el, hány % a selejt (0 (2 ) -0 ,9 7 7 2 )?

MEGOLDÁS. Annak valószínűsége, hogy selejteset választunk:

P( \ t j \ >2 ) = \ - P { - 2 <?]<2 ) = \ - [ ® ( 2 ) - ® { - 2 )\ =

-1 - [0(2) - (I - 0(2))} = 2 - 20(2) = 0,046.

így a selejtarány: 4,6%-os.

Ha a 8 .1. példabeli esetben a kiválasztott csavarnak nem a hibáját, hanem a mé­retét választjuk valószínűségi változónak és 4 -vei jelöljük, akkor

£ = 7 7 + 150.

Ha azt is feltesszük, hogy bizonyos idő után az automata elhasználódása miatt a méretek eloszlásának típusa maradt, de a szórás 2 mm-re növekedett, akkor

£ = 2?7 + 150. (8 .2 )

Ekkor a 4,7. tétel alapján a 4 sűrűségfüggvénye és eloszlásfüggvénye:

. 1 í.r-150^1 . J x - 150A x ) = - t f — ~ — , F(x) = 0 —

2 \ 2 J V 2 .(8.3)

Azt is mondhatjuk, ha a valószínűségi változót (8.2) alatti módon transzformál­juk, akkor a sűrűségfüggvény és az eloszlásfüggvény a (8.3) alatti módon transz­formálódik. (2-szeres nyújtás az x tengely mentén és 150-nel való eltolás.) A 4 el­oszlását is normálisnak hívjuk, csak a standard jelzőt hagyjuk el.

DEFINÍCIÓ. Ha tj standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor a be­lőle a

4 = oi] + m (a > 0) (8.4)

lineáris transzformációval kapott 4 valószínűségi változót normális eloszlásúnak nevezzük.

A 4 sűrűségfüggvénye a 4,7, tétel szerint

1 ( x - n A 1f : f ( x ) = -< p \------- k - J z = e 2ff' (8.4. ábra), (8.5)

<y \ <j ) <j\1 2 k

191

eloszlásfüggvénye

F : F M = J ^ i

Ezt az eloszlást röviden N(m ; a) -val szokták jelölni.

8,4. ábra

Megjegyzés:Ügy is eljárhattunk volna, hogy a normális eloszlást a (8.5) sűrűségfüggvénnyel definiáljuk, és az m = 0, cr -1 speciális esetet nevezzük el standard normális el­oszlásúnak. Könnyű látnij hogy a2 N(m , a ) eloszlásból a standard normális, azaz az yV(0 ; 1) eloszlás a (8.4) transzformáció inverzével, az

a

transzformációval adódik. Ezt az eljárást standardizálásnak hívják.

8.2. TÉTEL. Ha a 4 sűrűségfüggvénye a (8.5) alatti függvény (azaz N(m ; cr) el­oszlású), akkor

M(4) = m és D(£) = v .

Bizonyítás. A 8.1. tételt felhasználva a 4.8. tétel alapján

M ( 4 ) = M { ot) + m) = oM (77) + m =m .

Most a 4.12. tételt hívjuk segítségül:

D(4) = D( u ■ i] + m) = J a | D(rj) = a .

(8.6)

192

8.2. Példa.A tejeszacskóba névlegesen 1 liter tejet tölt az automata. A zacskóban levő tej mennyisége normális eloszlású.

a) Mekkora a valószínűsége, hogy az általunk vásárolt zacskónál 0,5 dl-nél kisebb az l litertől való eltérés, ha a szórás 0,2 dl?

ti) A felmérések szerint a zacskók 95%-ánál l dl-nél kisebb eltérést észlelnek. Mekkora a szórás?

M EGOLDÁS, a (8.6) összefüggést felhasználva (m = 10 , a - 0,2 ):

a) ^(9 15 < í< 1 0 15) = F(lO(5 )-F (9 ,5 ) = t í > ^ ^ ^ j - t f > ^ ^ ^ N

- 0 (2 , 5) - 0 ( - 2 ,5) = 2 0 (2 ,5) -1 ®^ 2- 0,9938-1 = 0,9876.

Tehát a keresett valószínűség: 0,9876 .

b) 0,95 = P(9 < 4 <U ) = F ( l l ) - F ( 9 ) = 0''11-10'S * ( 9 - 1 0

- -<P

= 2 < P | i - h l .

Ebből

A 0 táblázatában azl találjuk, hogy <5(1,96) = 0 ,975 , így

— = 1,96, azaz cr = 0151dl. a

8.2. A centrális határeloszlás-tétel

Gyakran előfordul, hogy egy mérést többször megismételnek lehetőleg egymástól függetlenül, és a mért értékek számtani átlagát fogadják el helyes értéknek. Ha az egyes mérések eredményei a f 2, valószínűségi változók, akkor a fenti fel­tételek mellett ezek azonos eloszlásúak és függetlenek. Akkor mondhatjuk, hogy a

£ + £ + . ■ ■ + £ n

193

számtani átlag várhatóan pontosabb, mint egy mérés eredménye, ha ennek kisebb a szórása. Erre vonatkozik a következő tétel.

8.3. T étel . Ha £ , £ , ..., £ , független valószínűségi változók és == ( /= 1, 2....... n), akkor

6 + & + ■■• + & (8.7)/I

várható értéke m és szórása ~ .ain

Bizonyítás, A várható értékre vonatkozó állítás nyilvánvaló, nézzük a szórást. Láttuk, hogy D 1 (a 4) = a D 1 (£) f ezért a függetlenség miatt

D :Í 5 + & + + £l1_ a íÍ Í l! H. JD *fA .'|+ í-i + Jp > í ^« J L Bn

^ ^r2<T CTn 2 «

Innen gyökvonással adódik állításunk.

Most azt vizsgáljuk, hogy a (8.7) alatti valószínűségi változó eloszlása mutat-e valamilyen törvényszerűséget, ha w-net növeljük.

Ha a 8.3. tétel feltételei teljesülnek, akkor

iW ( £ + £ + . . . + £ ) = "m > és

£>«, + í , + ... + í , ) - = «rf n .

Legyen

g1+ g J + - + g .-w w tt„ - f

ctV«

Mivel a (j‘ = 1, 2, n) valószínűségi változók eloszlását nem ismerjük, az ?/„ eloszlásáról is csak annyi információnk van, hogy M (i?„) = 0 , Ű(//„) = 1, Ezért van nagy jelentősége a következő tételnek.

8,4.T é te l . (Centrális határé!oszlás-tétel.) Ha .... f„, ... azontweloszlású független valószínűségi változók, M (£,) = m ; £>(£■) = cr (í = 1, 2, ...) , akkor az

194

„ £, + ... + £ -n m* ? » ------------ 1=------ ~ (8-»)

a-yjnvalószínűségi változók eloszlásfüggvényei olyan sorozatot alkotnak, amely minden x e R pontban a standard normális eloszlás eloszlás- fuggvényéhez tart:

lim />(?/„ < x) = 0 (x).

(Nem bizonyítjuk.)

8.3. Példa.Egy vidámparkban a következő játékot ajánlják: 100 Ft-ért lehet dobni egy já ­tékkockával, ha hatost dobunk, 440 Ft a nyeremény. Mekkora a valószínűsége, hogy 100 dobás után legalább 3000 Ft a nyereményünk?

MEGOLDÁS. Legyen £m az egyes dobásoknál a nyeremény. Ekkorezek a valószínűségi változók függetlenek és azonos eloszlásúak.

AÍ(£,) = ( - 1 0 0 ) - + 4 4 0 - = -1 0 = m,6 6

M ( Í 2) = 10 0 0 0 - +193 6 0 0 - = 40 600,6 6

Z>2( £ ) = 40 500, £ > (£ )-2 0 1 ,4 9 = ct (/ = 1, 2, ..., 100).

Annak a valószínűségét keressük, hogy

6 + 6 + . . . + 6 * * 3 0 0 0 .

Ekkor (8.8) miatt

i w - w - i - i a j wVTÖÖ - 201,49 2014,9

Ennek valószínűsége:

P(rjm > 1,9852) = 1 - P(r]m < 1,9852) «1 - tf>(l,9852)*, 0,024.

Úgy is gondolkodhattunk volna, hogy legalább 24 db 6-os dobás szükséges a legalább 3000 Ft-os nyereményhez. Annak valószínűsége, hogy A-szor dobunk6-ost;

100

k m i

195

így a keresett valószínűség

w í [ k J U J U y

Megjegyzés:Láttuk az előző fejezetben, hogy ha £ binomiális eloszlású valószínűségi változó, akkor független karakterisztikus valószínűségi változók összege. így az «-et növel­ve a binomiális eloszlás is a fenti módon a normális eloszláshoz tart.

Az eddigiekből is kitűnik, hogy a normális eloszlásnak a valószínűségszámításban és a statisztikában kitüntetett szerepe van.

8.3. Normálisból származtatott eloszlások

A matematikai statisztikában gyakran van szükségünk olyan eloszlásokra, amelyek standard normális eloszlású valószínűségi változókból alkotott algebrai kifejezések. A gyakorlatban ezeknek csupán az eloszlásfüggvényeit használjuk egy meglehető­sen szűk tartományban. Mivel az eloszlásfüggvények integrál nélküli felírása ugyan­úgy nehézségekbe ütközik, mint a normális eloszlásnál és a sűrűségfüggvények sem egyszerűek, ezek felírását mellőzzük. Az eloszlásfüggvények szükséges értékeit táblázatok tartalmazzák.

A KH ÍN ÉGYZ ET-E LOSZLÁS

DEFINÍCIÓ. Ha 4,, 42> ■■■> f ö s s e t e n > S ta n d a r d n o r m á l i s e lo s z l á s ú v a ló s z ín ű ­

ségi v á l to z ó k , akkor a

v a ló s z ín ű s é g i v á l to z ó t n szabadságfokú %z-eloszlásúnak n e v e z z ü k .

A sűrűségfüggvényeket az n = 2, 4, 20 értékeknél a 8.5. á b r á n szemléltetjük. Mivel a x l azonos eloszlású független valószínűségi változók összege, a centrális határeloszlás-tctel miatt nagy n-ekre közelít a normális eloszláshoz. Ez a 8,5. á b r á n

is nyomon követhető.

196

0 5 10 15 20 25 30 35 40

8,5. ábra

A 8.1. pontban láttuk, ha standard normális eloszlású, akkor

= \ (i = l, 2, .... n ).

így

Parciális integrálással megmutatható, hogy

£>*(£) = 2 (í = l, 2, ..., n ),

így

D l i x l ) = 2n.

Mint már említettük, az eloszlásfüggvény értékeit a legtöbbször előforduló tar­tományban táblázat tartalmazza.

Természetesen egy nemnegatív valószínűségi változó négyzetgyöke is valószí­nűségi változó. A

*.=Vfí+í.‘ + ■■■+#,'valószínűségi változót n szabadságfokú ^-eloszlásúnak nevezzük.

8.4. Példa.Egy szabályos játékkockát n-szer feldobunk. Legyen az l-es, 2-es, . . . , 6-os do­bás gyakorisága rendre a v , , v 2, v 6 valószínűségi változó. Mutassuk meg, hogy a

197

/V S - " - 6

* » . I . I6 6

* * t t 2 f i valószínűségi változó elég nagy «-re tekinthető x -eloszlásúnak.

MEGOLDÁS. A v) , v l t . . . , v6 valószínűségi változók binomiális eloszlásúak:

M(v , ) = n ± 0 > i) = ff- I ' 7 <i = 1' 2 ’ ’ 6>' ö o 6

igya

1vi ~ n ■ —

5 = ,---------- C<=1. 2, .... 6)I 2 . 5

V *6 6

valószínűségi változók várható értéke 0 és szórása 1.Említettük, hogy nagy n esetén a binomiális eloszlás közelíthető normálissal,

azaz a ^ valószínűségi változók közelítőleg (aszimptotikusan) standard normá­lis eloszlásúak. Ezért a definíció szerint

# + £ + ... + £2 ,

aszimptotikusan^ -eloszlású, amit bizonyítani akartunk.Megjegyezzük, hogy + v 1 + . . . + v6 = n lehet csak, így a 4 \ + ^ l +

+ í s = 0 egyenlőségnek is fenn kell állni. Ez nemcsak a függetlenségbe zavar be

egy kicsit, hanem azt is jelenti, hogy a ^ + 41 szabadságfoka eggyelkevesebb: 5.

A 8.4. példában bemutatott gondolaton alapul a ^-p róbával történő illeszkedés­vizsgálat, amelyre a statisztika tárgy keretében térünk ki részletesen.

A Student-féle t-eloszlás

Gyakran előfordul (pl. a matematikai statisztikában), hogy egy standard normális és egy ^-eloszlású valószínűségi változó hányadosának eloszlását kell vizsgálni.

198

DEFINÍCIÓ. Ha ?]. 42........független, Standard normális eloszlású valószí­nűségi változók, akkor a

valószínűségi változót n szabadságfokú Síudent- vagy t-eloszlásúnak nevezzük.

A t2, /B és ílü sűrűségfüggvénye a 8 .6 . ábrán látható. Ezen az ábrán vázoltuk a í30 szórásával azonos szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényét is. Ebből is jól látszik, hogy nagy n-ek esetén a /„-eloszlás jól közelíthető normális eloszlással. Eloszlásfüggvényeinek értékeit a szükséges tartományban szintén táblázat tartal­mazza.

A tH-eloszlás várható értéke csak n > 2 esetén létezik. Az n - 1-nél (Caucby-eloszlás) a sűrűségfüggvény

1 171 1 + \ + x 2

ahol az improprms íntegi ál nem konvergens. Ha n> 2 , akkor = 0 . A szóráscsak n> 3 esetén létezik, ekkor

n - 2

199

AZ F-ÉS A Z-ELOSZLÁS

DEFINÍCIÓ. Ha a & ......... £ . é i az 7,, V i........ *1. független, S ta n d a r d

normális eloszlású valószínűségi változók, akkor az

n m

valószínűségi változó eloszlását m, ti szubadsagfoku F-eloszlásnak nevezzük. A

z = \n -ÍFvalószínűségi változó eloszlását Fischer-féle z-eloszlásnak nevezzük.

8.4. Kétváltozós normális eloszlás*

DEFINÍCIÓ. A u és v valószínűségi változók együttes eloszlása standard normá­lis, ha együttes sűrűségfüggvényük

1 ----— [.r-lfíT+i'2]‘ I ( l - r 3) L J<p:<p(x\y) =

ahol - l < r < l .2 W l - í

(8.9)

Azt, hogy ez valóban sűrűségfüggvény, nem 'bizonyítjuk. ^Az jogosít fel bennünket a standard normális jelzőre, hogy a peremeloszlások

standard normálisak. Például

1 j e dy =

-rriy-n)1

= tV T 7 _y = y j \ - r 2 t + rx

á ------d y =

—rft

1 4 1y~rx -> 1 í — 1 r — 1—i ,= —= £ 2 __ ,----- =• \e 1 - J l - r dt

200

Egyszerűsítés után figyelembe véve (8.1)-et adódik, hogy

1 -- 9 ,(x) = - r - e 2 .

2?r

Ugyanígy lehet kiszámítani, hogyee 90

j j x y < p ( x \ y ) d x d y - r .

Az imént beláttuk, hogy 11 és v standard normális eloszlású, így M {u)=M (i/)=0 és D({i) = D(v) = 1. Ebből az következik, hogy

R( p ; v) = r .

Ha a (8.9)-ben r = 0 , akkor

1 _í :_z '(p{x\y) = — e 2 z =(py{x)(pz(y) (8.10)

Ln

(<px = <p2, hiszen mindkettő standard normális eloszlás sűrűségfüggvénye). A (8.10) azt jelenti, hogy ebben az esetben a korrdálatlanságból következik a függetlenség (mint tudjuk, ez általában nem igaz).

DEFINÍCIÓ. Legyenek cr, > 0 , a 2 > 0 , m, és m2 valós számok, valamint {4 és vegyüttes eloszlása standard normális. Ekkor a

4 = o - ^ + m u r ] = a 1v + m 7 ( 8 . 11)

valószínűségi változók együttes eloszlását normális eloszlásnak (vagy kétváltozós normális eloszlásnak) nevezzük.

A 4 és r} együttes sűrűségfüggvénye; (8.9)-ből

: r [t-wii) (y -u h ) | { y - n h f

f ( x i y ) = --------- ^ ----- r e 2ÍW)2^crlí7IVl - r

A perem-sürííségfüggvények:

nr~7TO~2

201

A paraméterek: .

M (£) = m,, M (77) = m2 , £>(£) = <7,, D(ij)-=ct2> R( f ; r j ) = r,

ugyanis a korrelációs együttható a (S.l 1) transzformációnál nem változik (lásd az5.5, példa utáni megjegyzést).

Még bizonyítás nélkül azt jegyezzük meg, hogy a kétváltozós normális eloszlás elsőfajú regressziós függvényei lineárisak:

9. BECSLŐ FORMULÁK

9.1. Markov- és Csebisev-egyenlőtlenség

Az előzőekben láttuk, hogy a várható érték körüli ingadozás egyik fontos mérő­száma a szórás. A Csebisev-egyenlÖtlenség gyakorlati jelentősége abban van, hogy segítségével a várható értéktől való eltérések valószínűségét a2 eloszlás ismerete nélkül, csupán a várható érték és a szórás ismeretének a birtokában megbecsülhet­jük. A Csebisev-egyentötlenség a Markov-egyenlőtlenség segítségével igazolható, ezért először a Markov-egyenlŐtlenséget tárgyaljuk, amelyet szintén használhatunk valószínűségek becslésére,

9.1. T é te l . (Markov-egyenlőtlenség.) Legyen i] olyan nemnegativ valószínűségi változó, amelynek létezik várható ér télié (M (77) > 0), és legyen t > 1 tetszőleges valós szám. Ekkor

y. (9.1)

Az a ~ t M( r j ) jelölést bevezetve a tétel más, ezzel ekvivalens alakban is felír­ható:

P ( r j > a ) < ^ ^ - . (9.2)a

Bizonyítás. Ha 77 diszkrét valószínűségi változó és lehetséges értékei 0< y: <y2 < akkor

M (?) = ^ y , p 0? = y<) = Y ,y A v = w + £ y f i v = y ,) ^tel y, <a y, irt

=x) * E apfo=yJ =yJ= a P - a)•y ,2 a y , in

Ebből azonnal adódik a (9.2).I la rj folytonos g sűrűségfüggvénnyel, akkor a feltétel szerint g(y) = 0, hay < 0,

így

203

flO u CO 00

M(r}) = Jyg(y )dy = j yg( y )dy + \y g (y )d y > j y g ( y ) dy >0 0 a a

ÚD

> a ^ g ( y ) d y = aP(T]>á) .

Innen már egyszerűen adódik állításunk.

9.1. Példa.Legyen 7] pozitív valószínűségi változó, amelynek a várható értéke M{if) - 8. Számítsuk ki, hogy legfeljebb milyen valószínűséggel veszi fel az r/ a 4S vagy annál nagyobb értéket!

MEGOLDÁS. A probléma megoldására alkalmazhatjuk a Markov-egyenlőtlensé- get, mível az rj valószínűségi változóról kikötöttük, hogy csak pozitív értékeket vehet fel.

A Markov-egyenlŐtlenségbe helyettesítve a példa adatait íM ( t}) = 48 , ahon­nan / = 6 , a következő összefüggést kapj uk:

/> (/7 > 6 '8 )< -U o ,1 6 6 7 .6

Tehát az rj valószínűségi változó a 48 vagy annál nagyobb értékeket legfeljebb 0,167 valószínűséggel veheti fel.

A Markov-egyenlőtlenségből levezethető a Csebisev-egyenlőtlenség, amelyet a következő tételben fogalmazunk meg.

9.2. TÉTEL. (Csebisev-egyenlőtlenség.) Legyen £ olyan valószínűségi változó, amelynek létezik a szórása. Ha D(%) > 0, akkor tetszőleges í > 1 esetén

P ( \ Z - M { $ ) \ > t D { S ) ) < j . (9.3)

Bizonyítás. Ha £ valószínűségi változó, akkor az // = ( £ - M (£))s is az. Mivel

?7 > 0 és feltevésünk szerint létezik M(t]) = m ( [ £ ^ - D 2(4 ) , alkalmaz­hatjuk a Markov-egyenlőtlenséget:

/>(í7^íM (77)) = ? ( ( í - M ( 6 ) ) ^ / M ( [ í - M ( í ) f ) ) -

= P ( ( 4 - M ( £ ) y z t D 2( t ) ) ^ . (9.4)

204

Mivel a 1 > b1 akkor és csak akkor áll fenn, ha |a | i>| b \ , a (9.4) alatti egyenlőtlen­ség ekvivalens a

p [ \ t - M ( £ ) \> J tD ( o ) < X-

egyenlőtlenséggel.Ha itt a / > 1 paramétert í s-re cseréljük, adódik a2 állításunk.

A tétel szerint tehát annak valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéktől a szórás /-szeresénél nagyobb mértékben tér el, a t növekedésével egyre csökken.

A tétel segítségével a várható értéktől való eltérésnek a valószínűségét akkor is meg tudjuk becsülni, mint már említettük, ha az eloszlás jellemzői közül csupán a szórás ismeretes. Ezt szemlélteti a 9.1. ábra.

legfeljebb -j?

annak a valószínűsége, hogy a £ megfigyeli értéke a jelölt intervallumok valamelyikébe esik

9.1. ábra

Ha pl. t = 2 , akkor a fenti valószínűség legfeljebb —, ha t = 3 , akkor már csak4

legfeljebb ~ .

Igen sokszor nem a (9.3) alakot, hanem a {jf - M(4) j > t D(£) j esemény komp­lementerével megfogalmazott

p ( \ Z - M t f ) \ < t D ( Z ) ) > l - ± - (9.5)

egyenlőtlenséget használjuk. Ez az [A /(£)-;£> (£ ) ; M{%) + tD{%)] intervallumba esés valószínűségére ad becslést (9 .2 . ábra).

205

legalább 1 - -jf

annak a valószínűsége, hogy a £, megfigyelt értéke ebbe az intervallumba esik

------------- í i ~ [--------------M(í)-tD{í) M{Q M(Q + íD(0

9.2. ábra

9.2. Példa.Tegyük fel, hogy tapasztalati adatokból ismetjük a £ valószínűségi változó várható értékét és szórását, és ezek M(g) = 3,2 , D(%) = 1,6 . Adjunk becslést a P(0,8 < £ < 5,6) valószínűségre!

MEGOLDÁS. Mivel a [0,8;5,6] intervallum felírható a [3 ,2 -2 ,4 ; 3,2 + 2,4] alakban, így

2,4 = 7 £>(£) = 1,6/, amiből t = ^ ~ = 1,5.1,6

Ennek megfelelően

P(Q,% < £ < 5,6) £ 1 - ~ = 1 - ~ 0,56.t 1,5

Legalább 0,56 tehát annak a valószínűsége, hogy a t, megfigyelt értéke a

[0,8 ; 5,6] intervallumba esik. Úgy is mondhatjuk, az várható, hogy pl. 100 füg­getlen kísérlet közül átlagosan legalább 56 esetben lesz a £ megfigyelt értéke a

[0,8 ; 5,6] intervallumban, ha nagyon sok százas független kísérletsorozatot haj­tunk végre.

A Csebisev-egyenlőtlenség általános érvényű. Minden olyan valószínűségelosz­lásra érvényes, amelynek létezik a szórása. Éppen ezért adott nagyságú eltérés valószínűségének becslésére vonatkozóan nagy pontosság nem is várható el tőle. A ^ eloszlásának ismeretében - mint láttuk - az intervallumba esés valószínűsége pontosan számítható.

206

9.3. Példa.Tapasztalati adatokból ismert a £ valószínűségi változó várható értéke és szó­rása, amelyek M{4) = 12 és D{£,) = 2.

a) Nem ismert a £ valószínűségi változó eloszlása. Becsüljük meg a P (8 < ^< 1 5 ) valószínűséget! .

b) Mekkora a P(8 < ^ <15) valószínűség, ha t, binom iáis eloszlású?c) Mekkora a P (8 < | <15) valószínűség, ha £ folytonos egyenletes eloszlású?

M e g o l d á s .a) Becsüljük meg (9.5) segítségével a keresett valószínűséget az ismeretlen el­

oszlású £ valószinűségi változó esetére! A (9.5)-ben a várható értékre szim ­m etrikus intervallum szerepel, és a valószínűségre alsó becslést végzünk, ezért a ]8 ; 15 [ intervallum helyett a kisebb ]9 ; 15 [ intervallumot vesszük, amely már szimmetrikus a várható értékre.

p ( 8 < £ < i 5 ) > / í( 9 < £ < 1 5 ) > p f l 2 - | 2 < £ < 1 2 + | 2 l >

> 1 ----- 1— >0,56.3

Tehát annak a valószínűsége, hogy az ismeretlen eloszlású £ valószínűségi

változó a ] 8 ; 15 [ intervallumba esik, 0,56-nál nagyobb.

Megjegyzés:Ha a ] 8 ; 15 [ intervallumon kívülre esés valószínűségét becsültük volna (9.3) segítségével felülről, akkor a ] 8 ; 16 [ várható értékre szimmetrikus interval­lumra kellett volna áttérni.

b) Ha £, binomiális eloszlású valószínűségi változó, a várható értéke M(^) =

= n p ~ 12, a szórásnégyzete D 2 (%) = npq = 4. Az np értékét az npq = 4

1 2 egyenletbe helyettesítve <7 = —, és így /? = —, « = 18 .

Az n, p, q ismeretében alkalmazzuk a binomiális eloszlásnál megismertképletet a keresett valószínűség meghatározásához;

P ( 8 < £ < 1 5 ) = ]T14 M 8 Y 2 Y Í 1

k J>0,84.

207

Ez a valószínűség számottevően nagyobb az a) pontban meghatározottnál,

c) Ha £ folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó, akkor a várha­

tó értéke M ( £ ) = - 1 2 , ahonnan a + b = 24 , a = 2 4 -í> ; a szórása

ö ( í ) = ^ J 2 = 2. Az a = 24 - A helyettesítést alkalmazva ^ .3^ = 2 , 2V3 2V3

6 - 1 2 = 2>/3 .

Meghatározható az intervallum felső és alsó határa, azaz 6 = 12 + 2-73,

a = 1 2 - 2 ^ 1 .A £ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

/ ( * ) =-5-7=, ha 1 2 - 2 ^ < JC < 12 + 2^34-V3

0 egyébként.

A keresett valószínűség, mivel 12 - 2-n/J > 8,

P ( 8 < £ < 1 5 ) = P ( 1 2 ~ 2 V3 < £ < 1 5 ) = ^ ] = =

3 + 2V3 V 3 + 2 rtíV1 ------- = ---------------ás 0,93 .

4V3 4

9.2. A nagy számok törvénye

A nagy számok törvényei a relatív gyakoriság és a valószínűség viszonyát vizsgál­ják, A klasszikus valószínűség fogalmának bevezetése azon a megfigyelésen ala­pult, hogy nagyszámú véletlen kísérletet végezve egy esemény relatív gyakorisága véletlen ingadozást mutat egy szám, az adott esemény valószínűsége körül. Mi a valószínűség fogalmát a Kolmogorov-axiómák alapján vezettük be. A nagy számok törvénye arra világít rá, hogy a relatív gyakoriságnak e valószínűség körüli ingado­zása milyen törvényszerűségeket mutat. A nagy számok törvényének Bemoulli-féle alakját fogalmazzuk meg.

208

9.3. Tétel. (BemouHi-tétel.) Tekintsünk egy> kísérletei, ahol valamely A esemény bekövetkezésének valószínűsége p. Végezzük el a kísérletet n-szer egy­mástól függetlenül és jelölje ebben a kísérletsorozatban c„ az A ese­mény gyakoriságát, £ pedig egy tetszőlegesen kicsi pozitív valós szám. Ekkor

L - pn

illetve

£~ P

> E

< S

pqs 1n

> 1-pqs 2n

(9.6)

(9.7)

Bizonyítás. Vegyük észre, hogy Bemoulli-féle kísérletsorozatról van szó, így a

binomiális eloszlású valószínűségi változó, np várható értékkel és ^jnpq szórás­

sal. Alkalmazzuk ezután a p([£ - M {£)\>t D(£)) < Csebisev-egyenlötlenséget

a valószínűségi változóra. Eszerint tetszőleges / > 1 -re fennáll, hogy

Ha a |<£r - np\ > t-jnpq egyenlőtlenségben n-nel osztunk, az előzővel ekvivalens

egyenlőtlenséghez jutunk. íijuk be t helyett a — e kifejezést, elekor egyszerű-\P 9

sítés után a fenti egyenlőtlenség a következő alakot ölti:

>€ <pq_

s 2n

amit bizonyítani akartunk.

209

Megjegyzés:A Bemoulli-tétel a következő alakban is felírható tetszőleges e > 0 , 8 > 0 esetén:

í 1 1 ~ ^ - p > s < ő , illetve Pl — ~ p <e > l - S , n ) \ n

mivel tetszőleges £ > 0 és 5 > 0 esetén van olyan >i0 , hogy n > n 0 esetén

P<1 n s 2

< S .

A nagy számok törvénye csak azt állítja, hogy egy hosszú kísérletsorozat után a relatív gyakoriságnak a vizsgált A esemény P(A) valószínűségétől akármilyen kis korlátnál nagyobb eltérése nagyon valószínűtlen. Ugyanis a relatív gyakoriság a kísérletsorozatban az n-nel együtt változik, ezért elképzelhető, hogy bármely rög­zített r;-nél a relatív gyakoriság eltérése a P(A) valószínőségtől nagyobb lesz a megadott korlátnál. Ennek bekövetkezése azonban tetszőleges kis valószínűségű lehet, ha az n megfelelően nagy.

9.4. Példa.Egy szabályos kockával dobunk egymás után ji-szer. Az A esemény jelölje a páros szám dobását. Az A esemény bekövetkezésének valószínűségét ismer­jük, P(A) = 0,5. Hány független kísérletet kell végeznünk ahhoz, hogy az A esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága és valószínűsége közötti eltérés legalább 98%-os valószínűséggel legyen kisebb a 0,01 értéknél?

MEGOLDÁS. Alkalmazzuk a nagy számok törvényének (9.7) alakját!Mivel jEJ = 0,5; q - 0,5; £- = 0,01 és az

1 - ” ->0,98 £ n

egyenlőtlenséget kell felírni, ebből n > 125 000.

Tehát legalább 125 000 kísérletet kell elvégeznünk. Ha például 100 alkalom­mal végeznénk el egy-egy 125 000 kísérletből álló kísérletsorozatot, akkor vár­hatóan 98-szor találnánk, hogy a relatív gyakoriság a ]0 ,5 -0 ,0 1 ; 0,5 + 0,0l[ ,

azaz a ] 0,49; 0,51 [ intervallumba esik, illetve kétszer azt, hogy azon kívül van.

210

9.5. Példa.Megfigyelésekből tudjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy egy izzólámpa 1200 óránál tovább ég, p - 0,70. Ha 100 db izzólámpát veszünk, akkor 0,90 valószínűséggel milyen korlátok közé esik az 1200 óránál nagyobb élettartamú izzók száma?

Megoldás, a

P/

L\

— ~ P < £\ n J

£ 1 —pq£%n

egyenlőtlenséget alkalmazzuk, ahol « = 100, p - 0 , 1 és jelenti az 1200 óránál nagyobb élettartamú villanykörték számát. Behelyettesítve:

Í i m _ 0j7100

< £ 0,9.Í 3100

Ebből £ = tJq,021 ~ 0,141. Azt kaptuk, hogy 0,9 valószínűséggel érvényes a

>0,9,

>0,9, azaz P ( 56< £ <84)>0,9 .

fP £oo 0 7

\<0,14

\ 100 J

amit úgy is írhatunk, hogy

Pl - 0 ,1 4 < ^ - 0 ,7 < 0 ,1 41 100

Tehát a 100 elemű mintában várhatóan az 1200 óránál nagyobb élettartamú izzók száma 90%-os valószínűséggel 56 cs 84 darab közé esik.

A gyakorlati problémáknál azonban a p és q értékek általában nem ismertek, hiszen sokszor éppen abból a célból végzünk kísérleteket, hogy egy véletlen ese­mény ismeretlen valószínűségére a relatív gyakoriságok alapján becslést nyerjünk. Ekkor a (9.6) helyett annak ún. gyengébb változatát, a

/l - p IV

\ n J

1Ae2n

(9.8)

egyenlőtlenséget tudjuk csak alkalmazni. Ez a (9.6)-ból igen egyszerűen adódik. Azt kell csak észrevennünk, hogy — mivel a p és a q ismeretlen — olyan össze-

211

függést kell kialakítanunk, amely bármely rögzített s és n esetén a pq szorzat legnagyobb értéke mellett is érvényes. Mivel a

\ 2pq = p(\ - p ) = p - p * = - - \ p~

1

kifejezés akkor maximális, ha p = — > és a maximum —, így bármely p esetén2 4

pq <£ n 4s n

A megfelelő komplementer eseményre áttérve, a (9.7) helyett a

i \- - p <£n

> 1 - -

4 s 2n(9.9)

összefüggéshez jutunk. Nézzünk erre is példákat.

9.6. Példa.Önkormányzati választáson valamely településen egy huszonéves fiatal is szere­pel ajelöltek között. A választás eredményének előrejelzésére szakszerűen végre­hajtott közvélemény-kutatás során - véletlen számbavételt alkalmazva - a köz­vélemény-kutató szakemberek 10 0 0 0 lakost kérdeznek meg.

a) Legalább mekkora valószínűséggel állíthatják, hogy a 10 000 megkérdezés alapján számított relatív gyakoriság a fiatal jelölt megválasztásának valószí­nűségét 0,01 -nál kisebb hibával közelíti meg?

b) Legalább 85%-os biztonsággal a 10 000 megkérdezés alapján milyen hiba­határ számítható?

MEGOLDÁS. f

a) P 0 000

10 000 - P < 0,01 £1- - = 1 -0 ,25 = 0,75.4 0 , 0 l 2 -10000

így tehát legalább 75% valószínűséggel állíthatjuk, hogy 10 000 független kísérlet végezve, a fiatal jelölt megválasztásának a relatív gyakorisága 0 ,Ól­nál kisebb hibával közelíti meg az esemény ismeretlen valószínűségét.

b) Pf

‘210 000p < £

V 10 0 0 0 )> 1- = 0,85, s = 0,0129.

A keresett hibahatár 0,013, amely 3 ezreddel nagyobb, mint az előző kérdés­nél kapott e.

212

9.7, Példa,Legalább hány kísérletet kell végeznünk ahhoz, hogy e-nál kisebb hibával és 0,999-nél nagyobb biztonsággal (valószínűséggel) megállapítsuk egy esemény bekövetkezésének ismeretlen p valószínűségét?

M e g o l d á s . Az s -nál nagyobb hiba valószínűsége kisebb kell hogy legyen1 -0 ,999 = 0,001-nél, azaz meghatározandó, hogy milyen n-ekre áll fenn a

>s <0,001

egyenlőtlenség. A nagy számok törvénye szerint ez teljesül, ha < 0,001.n s “

i .. d -1 t. pq pqInnen következik, hogy n > — .0,00 U 2 s

Ha például s = 0,001, altkor a p valószínűség adott pontossággal való meg­határozásához szükséges kísérletek minimális száma 107/?(1- p ) . Legnagyobb

számú kísérletre P = ~ esetén van szükség;

n > 10 0 0 2 = 250 = 2 500000.4-0,01 0,001*

Legalább 2 500 000 kísérletet kell végeznünk, hogy £ -nál kisebb hibával és 0,999-nél nagyobb biztonsággal (valószínűséggel) megállapítsuk egy esemény bekövetkezésének ismeretlen p valószínűségét.

213

TÁRGYMUTATÓ

Bayes-tétel 72 Bemoulli-kísérletsorozat 81Bemoulli-tétel 209 binomiális együttható 27binomiális eloszlás 165 binomiális tétel 26 biztos esemény 37 Boole-algebra 45

centrális határeíoszlás-tétel 194 Csebisev-egyenlőtlenség 204

diszkrét valószínűségi változó 96

egyenletes eloszlás 180 egymást kizáró események 43 együttes eloszlás 126 együttes eloszlásfüggvény 128együttes sűrűségfüggvény 153 elemi esemény 33, 37 ellentétes esemény 40 eloszlásfüggvény 97 esemény 36események függetlensége 76 eseménytér 33 exponenciális eloszlás 183

F-eloszlás 200feltételes eloszlás 142 feltételes sűrűségfüggvény 16! feltételes valószínűség 68 Fischer-féle z-eloszlás 200 folytonos eloszlás 98, 153

független kísérletek 81független valószínűségi változók 138

geometriai eloszlás 177 geometriai valószínűség 83

hipergeometriai eloszlás 168

karakterisztikus eloszlás 164 kétváltozós normális eloszlás 200 klasszikus valószínűségi mező 58 kombináció 21, 25 korrelációs együttható 136 kovariancia 135 kvantílis 111

lehetetlen esemény 37

Markov-egyenlőtlenség 203 médián 109 mintavétel 61 módusz 110 momentum 117

normális eloszlás 191

összetett esemény 48

Pascal-féle háromszög 29 perem-eloszlásfüggvény 128peremeloszlás 126 perem-sűrűségfüggvény 153 permutáció 13, 15

214

Poisson-eloszlás 171 Poisson-folyamat 174

regressziós függvény 145 relatív gyakoriság 50

standardízálás 192 standard normális eloszlás 189 Student-eloszlás 199sűrűségfüggvény 103

szórás 120 szorzási szabály 69 szubjektív valószínűség 84

teljesen független események 78 teljes eseményrendszer 46teljes valószínűség tétele 70

valószínűség axiómái 54 valőszínüségeloszlás 96valószínűségi fa 74valószínűségi mező 55 valószínűségi változó 93 várható érték 114 variáció 17, 19

X -eloszlás 197X I -eloszlás 196