Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné ... · Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné

Csordás MihályKonfár LászlóKothencz JánosnéKozmáné Jakab ÁgnesPintér KláraVincze Istvánné

Hetedik, javított kiadás

Mozaik Kiadó – Szeged, 2013

6t a n k ö n y v

Ms-2306_Matek6_7-kiadas-2013.qxd 2013.04.02. 15:43 Page 3

6

Oszthatóság1. A természetes számok többszörösei és osztói (ismétlés) .......... 10

2. Vizsgáljuk a maradékot! ..................................................................................... 15

3. Az összeg, a különbség és a szorzat oszthatósága ....................... 19

4. Oszthatósági szabályok ...................................................................................... 27

5. Oszthatóság a szám számjegyeinek összege alapján .................. 34

6. További oszthatósági szabályok ................................................................... 38

7. Prímszámok, összetett számok ..................................................................... 42

8. Összetett számok felírása prímszámok szorzataként ..................... 46

9. Közös osztók, legnagyobb közös osztó .................................................. 50

10. Közös többszörösök, legkisebb közös többszörös ......................... 55

11. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 59

Hogyan oldjunk meg feladatokat?1. Mi a kérdés? ................................................................................................................ 62

2. Vizsgáljuk meg az adatokat! ............................................................................ 66

3. Következtessünk visszafelé! ............................................................................ 70

4. Készítsünk ábrát! ..................................................................................................... 74

5. Tartsunk egyensúlyt! ............................................................................................. 79

6. Ellenõrizzük a megoldást! ................................................................................. 82

7. Válaszoljunk a kérdésre! .................................................................................... 86

8. A feladatmegoldás lépései ................................................................................ 89


A racionális számok I.1. Az egész számok (ismétlés) ............................................................................ 98

2. Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés) ....................... 101

3. Az összevonás ........................................................................................................... 106

4. Az egész számok szorzása .............................................................................. 109

5. Az egész számok osztása ................................................................................. 114

6. A tizedes törtek összevonása ......................................................................... 118

7. A tizedes törtek szorzása ................................................................................... 122

8. Osztás a tizedes törtek körében .................................................................... 126


Tartalomjegyzék

Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 6

7

Tengelyes szimmetria1. A tengelyes szimmetria a környezetünkben ......................................... 134

2. A tengelyesen szimmetrikus háromszögek ........................................... 138

3. A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör ............................. 143

4. A körzõ és a vonalzó használata .................................................................. 151

5. Merõleges egyenesek szerkesztése .......................................................... 156

6. Párhuzamos egyenesek szerkesztése ..................................................... 161

7. Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés ...................................... 165

8. Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése .............................. 171

9. Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése ...................... 177


A racionális számok II.1. A törtekrõl tanultak ismétlése .......................................................................... 186

2. Mûveletek törtekkel (ismétlés) ........................................................................ 191

3. A negatív törtek ......................................................................................................... 198

4. Tört szorzása törtszámmal ................................................................................ 203

5. A számok reciproka ............................................................................................... 207

6. Osztás törttel ............................................................................................................... 210

7. Mûveleti sorrend ....................................................................................................... 214

8. A racionális számok ............................................................................................... 218


Arányosság1. Az egyenes arányosság ...................................................................................... 226

2. Egyenes arányossággal megoldható feladatok ................................. 230

3. A fordított arányosság .......................................................................................... 233

4. Fordított arányossággal megoldható feladatok .................................. 238

5. Az arány ......................................................................................................................... 241

6. Arányos osztás .......................................................................................................... 245



8

Százalékszámítás1. A törtrész kiszámítása ........................................................................................... 252

2. Az egész rész kiszámítása ................................................................................ 256

3. A százalék fogalma ................................................................................................ 260

4. A százalékérték kiszámítása ............................................................................ 263

5. A százalékalap kiszámítása .............................................................................. 267

6. A százalékláb kiszámítása ................................................................................. 270


Valószínûség, statisztika1. Biztos esemény, lehetetlen esemény ........................................................ 278

2. Diagramok .................................................................................................................... 283

3. Grafikonok .................................................................................................................... 288

4. Átlagszámítás ............................................................................................................. 291


Kiegészítõ anyagrészek1. Nyitott mondatok ..................................................................................................... 296

2. Szimmetria a térben ............................................................................................. 298

3. Sorozatok ...................................................................................................................... 301

Az új szakszavak jegyzéke ........................................................................................ 304

Elõszó és útmutató a tankönyv használatáhozGondolkodni jó! De ne higgyétek, hogy ezt csak azok érezhetik, akiknek jó jegyük van ma-tekból! Mindenki, aki örült már annak, hogy következetes és logikus gondolkodással megtudott birkózni egy megoldhatatlannak tûnõ problémával, átélhette a siker élményét.

Ebben az évben nagyon sok gyakorlati feladattal találkozhattok. Megérthetitek majd pél-dául, mit jelent a hirdetésekben naponta látott-hallott százalék fogalma; megtanultok egy-szerû diagramokat készíteni; körzõvel és vonalzóval alakzatokat szerkeszteni. És legfõ-képpen a sok-sok feladat megoldása során fejleszthetitek a gondolkodásotokat.

A leckék legtöbbször kidolgozott példákkal kezdõdnek. Ezeket érdemes elemezni és meg-érteni, mert mintát nyújtanak a további feladatok megoldásához is. A megtanulandó legfon-tosabb szabályokat és meghatározásokat a könyv zöld aláfestéssel és vastag betûs kieme-léssel jelzi. A *-gal jelölt gyakorló feladatok megoldásához ügyes ötletek szükségesek.A lapszélen olvasható apró betûs információk a mindennapi élettel, a matematika alkalma-zásával kapcsolatos érdekességek, magyarázatok, kiegészítõ ismeretek vagy kérdések.


27

El tudják-e egyenlõenosztani a gyerekekaz ajándékkosár árát?

2-velnem oszthatószámok:1; 3; 5; 7; 9; ...

2-velosztható számok:0; 2; 4; 6; 8; 10; ...

4. Oszthatósági szabályok

1. példaJóska sétálni indul. Melyik lábbal teszi meg a 21., az 58. és a 387.lépést, ha az elsõ lépést jobb lábbal teszi meg?

MegoldásJobb lábbal teszi meg az 1., 3., 5., 7., 9., ... lépést.Bal lábbal teszi meg a 2., 4., 6., 8., 10., ... lépést, köztük a 10 vala-mennyi többszörösét is.

Minden további lépésszámot felbonthatunk olyan kéttagú összegre,melynek az elsõ tagja 10 valamely többszöröse, a második tagja pe-dig egyjegyû szám.

21 = 20 + 1 58 = 50 + 8 387 = 380 + 7bal jobb bal bal bal jobb

Jóska a 21. és a 387. lépést jobb, az 58. lépést bal lábbal teszi meg.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 10-zel, ha az utolsószámjegye 0.

Az oszthatóság megállapítása az utolsó számjegy alapjánA 30; 140 és 4070 számok utolsó számjegye 0. Ezek a számok felírhatók30 = 3 ·10; 140 = 14 ·10; 4070 = 407 ·10 alakban, ezért oszthatók 10-zel.

Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0, akkor osztható 10-zel.

Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor felírható egy természetesszám tízszereseként. Például 5 ·10 = 50; 96 ·10 = 960; 230 ·10 = 2300.Minden természetes szám tízszeresének utolsó számjegye 0.

Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor az utolsó számjegye 0.

A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva:


28

OSZTHATÓSÁG

Az 5-re végzõdõ számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban:

Pl.: 15 = 10 + 5; 25 = 20 + 5; 35 = 30 + 5; ... 75 = 70 + 5.

Az összeg mindkét tagja osztható 5-tel, ezért az összeg is osztható 5-tel.A 0-ra és az 5-re végzõdõ számok oszthatók 5-tel.

Ha a szám 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9-re végzõdik, akkor nem osztható 5-tel.

ötös osztási ötös osztásimaradék maradék

Például: 31 = 3 · 10 + 1 1 36 = 3 · 10 + 6 132 = 3 · 10 + 2 2 37 = 3 · 10 + 7 233 = 3 · 10 + 3 3 38 = 3 · 10 + 8 334 = 3 · 10 + 4 4 39 = 3 · 10 + 9 4

² ²osztható nem osztható osztható nem osztható

5-tel 5-tel 5-tel 5-tel

Magyarázzuk meg a példában szereplõ észrevételt!

A 0-ra végzõdõ számok (10; 20; 30; 40; 50; 60; ...) tízzel oszthatók, ezérta 10 osztójával, az 5-tel is oszthatók.

2. példaGyöngyi egy könyvet olvasott, és észrevette, hogy minden olyanoldalon (és csak azokon) van kép, amelyek oldalszáma 5-tel osztható.Soroljuk fel, hányadik oldalakon talált képet Gyöngyi, ha a könyv 84oldalas! Mit veszünk észre?

MegoldásA képet tartalmazó oldalszámok: 05; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40;

45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80.

Észrevehetõ, hogy azokon az oldalakon van kép, amelyek sorszáma0-ra vagy 5-re végzõdik.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha az utolsószámjegye 0; 2; 4; 6 vagy 8.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha az utolsószámjegye 0 vagy 5.

Egy természetesszám 5-ös maradéka

megegyezikutolsó jegyének

ötös maradékával.

10_________

01 · 1002 · 50

A 10-nekosztója az 5.

35 = 3 ¡ (2 ¡ 5) + 5

31 = 3 ¡ (2 ¡ 5) + 1

Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0; 2; 4; 6 vagy 8, akkor oszt-ható 2-vel.

Ha egy természetes szám osztható 2-vel, akkor az utolsó számjegye0; 2; 4; 6 vagy 8.

A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva:


29

3. példaÁllapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy a 728, az 5812 és az5821 osztható-e 4-gyel!

MegoldásA számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban a következõképpen:

A 728 és az 5812 osztható 4-gyel, az 5821 nem osztható 4-gyel.

0 07 = 7 +58 = 58 +58 = 58 +

28 2812 1221 21

100100100

¡

¡

¡

A szorzat osztható 100-zal,ezért a 100 osztójával, a 4-gyel is.

Az utolsó kétszámjegybõl állószámot kell vizsgálni!

��

��

�

28-nak osztója a 4;12-nek osztója a 4;21-nek nem osztója a 4.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsókét számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható 4-gyel.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 25-tel, ha az utolsó kétszámjegyébõl álló kétjegyû szám osztható 25-tel.

Az oszthatóság megállapítása az utolsó két számjegy alapján

34 = 34 +75 75100¡

A szorzat osztható 100-zal,ezért a 100 osztójával, a 25-tel is.

Az utolsó két számjegybõlálló szám osztható 25-tel.

� ��

Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 20-szal, 25-tel és 50-nelvaló oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó két számjegyébõl állókétjegyû számot vizsgálnunk.

Például a 3475 osztható 25-tel, mert:

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 100-zal, ha az utolsókét számjegye nulla.

Ha egy szorzat egyik tényezõje 100, akkor a szorzat osztható 100-zal ésa 100 valamennyi osztójával, így a 4-gyel, 25-tel, 20-szal és 50-nel is.

100_________

01 · 10002 · 50004 · 25005 · 20010 · 100

Például: 00000400 = 004 · 100 403 · 100 = 40 30000007000 = 070 · 100 800 · 100 = 80 000

² ²az utolsó osztható osztható az utolsó

két számjegy 0 100-zal 100-zal két számjegy 0

Ha egy természetesszám utolsó kétszámjegyébõl állókétjegyû számosztható 4-gyel,akkor a számosztható 4-gyel.

Ha egy természetesszám osztható4-gyel, akkoraz utolsó kétszámjegyébõl állókétjegyû számosztható 4-gyel.


30

OSZTHATÓSÁG

Egy természetes szám 4-gyel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utol-só két számjegyébõl álló szám.

Pl.: 25 472 = 25 400 + 72 és 72 = 18 ¡ 4 + 0, tehát a 25 472 négyes maradéka 0;

25 469 = 25 400 + 69 és 69 = 17 ¡ 4 + 1, tehát a 25 469 négyes maradéka 1.

Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 20-szal, 25-tel, 50-nel és 100-zalosztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyébõl álló szám.

4. példaÁllapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy az 5432, a 17 128és a 7324 osztható-e 8-cal!

MegoldásÍrjuk fel a számokat kéttagú összeg alakban a következõ módon:

432 = 54 ¡ 8 ¯ 432-nek osztója a 8;128 = 16 ¡ 8 ¯ 128-nak osztója a 8;324 = 40 ¡ 8 + 4 ¯ 324-nek nem osztója a 8.

Az 5432 és a 17 128 osztható 8-cal, a 7324 nem osztható 8-cal.

0 0

0 0

5 = 5 +17 = 17 +

7 = 7 +

432 432128 128324 324

100010001000

¡

¡

¡

A szorzat osztható 1000-rel,ezért az 1000 osztójával, a 8-cal is.

Az utolsó háromszámjegybõl állószámot kell vizsgálni.

��

��

�

Az oszthatóság megállapítása az utolsó három számjegy alapján

Például: 2000 = 0002 · 1000 0090 · 1000 = 00 90 0004 500 000 = 4500 · 1000 1803 · 1000 = 1 803 000

² ²az utolsó osztható osztható az utolsó

3 számjegy 0 1000-rel 1000-rel 3 számjegy 0

Ha egy szorzat egyik tényezõje 1000, akkor a szorzat osztható 1000-rel és az1000 valamennyi osztójával, így a 8-cal, a 125-tel, a 250-nel és az 500-zal is.

Az 1000-nekosztója a 8.

1000_________

01 · 100002 · 500004 · 250005 · 200008 · 125010 · 100020 · 500025 · 4000

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha az utolsóhárom számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható 8-cal.

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 1000-rel, ha az utolsóhárom számjegye 0.


31

Egy természetes szám 8-cal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsóhárom számjegyébõl álló szám.

Pl.: 25 472 = 25 000 + 472 és 472 = 59 ¡ 8 + 0, tehát a 25 472 8-as maradéka 0,

25 469 = 25 000 + 469 és 469 = 58 ¡ 8 + 5, tehát a 25 469 8-as maradéka 5.

Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 40-nel, 125-tel, 200-zal, 250-nel,500-zal és 1000-rel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó háromszámjegyébõl álló szám.

Mennyi maradékot ad a 276 és az 1276,

a) 125-tel; b) 200-zal; c) 500-zal osztva?

a) 276 = 2 ¡ 125 + 026 1276 = 1000 + 276 = 8 ¡ 125 + 2 ¡ 125 + 26

b) 276 = 1 ¡ 200 + 076 1276 = 1000 + 276 = 5 ¡ 200 + 1 ¡ 200 + 76

c) 276 = 0 ¡ 500 + 276 1276 = 1000 + 276 = 2 ¡ 500 + 276

A maradékokat szemléltethetjük számegyenesen:

Egy természetes szám pontosan akkor osztható 125-tel, ha az utolsóhárom számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható 125-tel.

Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 125-tel, 200-zal, 250-nelés 500-zal való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó három szám-jegyébõl álló háromjegyû számot vizsgálnunk.

Például a 76 250 osztható 125-tel, mert:

76 = 76 +250 2501000¡

A szorzat osztható 1000-rel,ezért az 1000 osztójával,

a 125-tel is.

Az utolsó háromszámjegybõl álló számosztható 125-tel.

��

1250

0 200 400 600 800

0 500

250 375 500 625 750 875 1000

1000 1200 1400 1600

1000

1125 1250 1375 1500

1500

1625

276

276

276

1276

1276

1276

Feladatok1. a) Hová kerülne a halmazábrán a 10 000-rel

osztható számok halmaza?

b) Írjunk igaz, illetve hamis állításokat a hal-mazábra alapján!

70

11 230

600

3400

7000

82 000 1 000 000

900 000

10-zel osztható számok

100-zal oszthatók

1000-rel oszthatók

Az 1000-nekosztója a 125.

a)

b)

c)


32

OSZTHATÓSÁG

Az adott számok halmaza

4-gyel oszthatók

25-tel oszthatók

2. a) Soroljuk fel azokat a kétjegyû számokat, amelyek a 4-gyel osztható számok végzõ-dései lehetnek!

b) Mely számokkal oszthatók azok a számok, melyek a következõ háromjegyû szá-mokra végzõdnek: 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875?

3. Soroljuk fel azokat a 125-tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek, mint 14 500,és nem nagyobbak, mint 16 000! Hány ilyen szám van?

4. Soroljuk fel azokat a 25-tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek 570-nél, de nemnagyobbak 850-nél!

5. Állapítsuk meg a 783; 3689; 4592; 7840; 11 999 számok

a) 2-es; b) 4-es; c) 5-ös; d) 8-as; e) 25-ös; f) 125-ös maradékát!

6. Mennyi a 2787 + 3058 + 12 429 összeg

a) 2-es; b) 4-es; c) 5-ös; d) 25-ös; e) 125-ös; f) 8-as maradéka?


2-vel oszthatók

5-tel oszthatók

7. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonlóhalmazábrát, és írjuk bele a következõ szá-mokat!0; 17; 45; 72; 30; 85; 160; 449; 328;135; 794; 225; 900.Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú szá-mok kerültek a két halmaz közös részébe!


8-cal oszthatók

125-tel oszthatók

9. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonlóhalmazábrát, és írjuk bele a következõ szá-mokat!4728; 152; 64; 1250; 6112; 415; 0; 94 375;17 000; 500; 63 056; 16 875; 230000.Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú szá-mok kerültek a két halmaz közös részébe!

10. Jelöljük halmazábrán a 4-gyel és 8-cal osztható számok halmazát, majd írjuk bea következõ számokat! Mit vehetünk észre?

56; 20; 100; 172; 256; 7344; 9040; 13 912; 25 000; 528; 403 000; 1; 680 516; 0.

8. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonlóhalmazábrát, és írjuk bele a következõ szá-mokat!7356; 8300; 94 050; 3024; 875; 4445;1932; 15 000; 18; 74; 125; 70 900; 94.Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú szá-mok kerültek a két halmaz közös részébe!


33

11. Állapítsuk meg a következõ számok hiányzó számjegyeit úgy, hogy 4-gyel és 5-tel isoszthatók legyenek! Mit állapíthatunk meg a 4-gyel és 5-tel osztható számokról?

a) 3ÂÒ0 ÂÒ = b) 7ÀÐ85 ÀÐ =

12. A számkártyákból képezzük az összes lehetséges háromjegyû számot!Készítsünk halmazábrát, jelöljük a 2-vel és az 5-tel osztható számok halmazát, és írjukbe a számokat!

13. A számkártyákból alkossunk

a) 4-gyel osztható háromjegyû számokat! Ezek közül melyek oszthatók 5-tel is?Mit mondhatunk a 4-gyel is és 5-tel is osztható számokról?

b) 5-tel, 25-tel és 50-nel osztható háromjegyû számokat, és írjuk ezeket halmazábrába!Mondjunk igaz állításokat a halmazábra alapján!

14. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!a) Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 4-gyel,

akkor maga a szám is osztható 4-gyel.b) Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha utolsó két számjegye oszt-

ható 4-gyel.c) Ha egy szám 4-gyel és 5-tel is osztható, akkor 20-szal is osztható.d) Ha egy szám 4-gyel és 2-vel is osztható, akkor 8-cal is osztható.

15. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!a) Ha egy szám osztható 50-nel, akkor 5-tel is osztható.b) Minden 25-tel osztható szám 50-nel is osztható.c) Ha egy szám többszöröse 25-nek, akkor 5-nek is többszöröse.d) Van olyan 25-tel osztható szám, amelynek minden számjegye páratlan.

16. Egy országos matematikaverseny szervezõi tréfás kiszámolóba rejtve közölték a részt-vevõkkel, hogy mi a fõdíj. „Számoljatok balról jobbra és jobbról balra egyesével 1-tõlkezdve a következõ módon: 1. A, 2. B, 3. C, 4. D, 5. E, 6. D, 7. C, 8. B, 9. A, 10. B, 11. C ... !Ha így haladtok tovább, akkor 1000-hez érve éppen a fõdíjra mutattok.” Mi a versenyfõdíja?

5210

5430

Egy vastag könyvbõl kiesett néhány egymás után következõ lap. A legelsõ a 143. oldal volt, a leg-utolsó kiesett oldalon pedig ugyanezek a számjegyek szerepeltek, csak más sorrendben. Hány lapesett ki a könyvbõl?

R e j t v é n y

A)

B)

D)

E)

C)


70

HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT?

3. Következtessünk visszafelé!

1. példaGondoltam egy számra, elosztottam 5-tel, hozzáadtam 6-ot, ezt meg-szoroztam 8-cal, és így 80-at kaptam. Melyik számra gondoltam?

Megoldás

Kövessük nyomon az eredeti szám változását!

Az eredeti szám a 20.

Ellenõrzés: 20 ¢ 5 = 4; 4 + 6 = 10; 10 ¡ 8 = 80, ami a feladatszövegének megfelel.

Válasz: Tehát a 20-ra gondoltam.

5 4 = 20¡

a kapottszám

10 6 = 4µ 80 8 = 10¢ 80

¢ 5 + 6 ¡ 8

1. szám 2. szám 3. szám 4. szám

¡ 5 µ6 ¢ 8

a gondoltszám

Géza a térképvázlat alapján haladt, és minden útelágazásnál eldöntötte, hogy milyenirányban menjen tovább. Melyik pontból indult, ha az útelágazásoknál az alább jelöltirányokba fordulva ért a sajthoz?

Játsszátok ela feladatot, majd

találjatok kihasonlókat!

Több probléma megoldásakor segítséget jelenthet, ha a végsõ helyzetbõlkiindulva visszafelé következtetünk.


3. példaEgy tál teli volt gombóccal. Elõször Bence ért haza, és megettea gombócok felét és még egy fél gombócot. Majd megjött Ákos, ésmegette a maradék gombócok felét. Ezután 5 gombóc maradt. Hánygombóc volt eredetileg a tálban?

MegoldásJelöljük egy szakasszal az összes gombócot!

Ákos a Bence által meghagyott gombócok felét ette meg. A másik felea maradék 5 gombóc, azaz Ákos is 5 gombócot evett meg. Így Bence2 ¡5 = 10 gombócot hagyott. Ha Bence nem ette volna meg a fél gom-

bócot, akkor épp az összes gombóc felét ette volna meg, ami .10 12

Tehát a tálon eredetileg ¡ 2 = 21 gombóc volt.10 12

az összes gombóc fele

a maradékfeleBence ennyi gombócot evett

5

� � ��

Ákos ennyi gombócot evett

� � ��

��

� ��

ez is a maradékfele

� ��

12

71

2. példaA házunk elõtt három fa áll, egy barack-, egy dió- és egy meggyfa.Reggel 48 veréb repült a házunkhoz, és leszállt a három fára. Késõbb8 veréb a barackfáról átszállt a diófára, majd 6 veréb átszállt a diófá-ról a meggyfára. Ekkor mindegyik fán ugyanannyi veréb ült. Hány ve-réb telepedett le eredetileg a barackfán, a diófán és a meggyfán?

MegoldásA röpködések után a 48 veréb úgy helyezkedett el a három fán, hogymindegyiken ugyanannyi veréb ült, vagyis mindhárom fán 48 ¢ 3=16veréb volt. Foglaljuk táblázatba a verebek számát a fákon!

Ellenõrzés: A barackfán 24 µ 8 = 16 veréb maradt.A diófán 14 + 8 µ 6 = 16 veréb maradt.A meggyfán 10 + 6 = 16 veréb lett.

Válasz: A táblázatból leolvasható a megoldás: eredetileg a barackfára24 veréb szállt le, a diófára 14, a meggyfára pedig 10.

barackfa diófa meggyfa

Végsõ állapot

Közbülsõ állapot

Eredeti helyzet

16

16

16

16 6 = 22+

22 8 =µ 1416 8 =+ 24

16

16 6 = 10µ

10+8 +8

+6 +6

µ8 µ8

µ6 µ6

Hogyan ehette megBence a gombócokfelét és még egy félgombócot úgy, hogyegy gombócot semkellett kettévágnia?


72

HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT?

Feladatok1. Gondoltam egy számot, elvettem belõle 29-et, megszoroztam 17-tel, elosztottam 221-

gyel, és 4-et kaptam. Melyik számra gondoltam?

2. Gondoltam egy számot, hozzáadtam 38-at, elosztottam 10-zel, a kapott számot meg-szoroztam 9-cel, majd hozzáadtam 19-et, és 100-at kaptam. Melyik számra gondol-tam?

3. Melyik az a szám, amelyiknek a felénél 5-tel kisebb szám a 25?

4. Peti egy mûveletsor végén 520-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet elté-vesztette, és ahelyett, hogy 89-et kivont volna, 89-et hozzáadott. Mennyi a helyes vég-eredmény?

5. Pali egy mûveletsor végén 480-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet elté-vesztette, és ahelyett, hogy 4-gyel osztott volna, 4-gyel szorzott. Mennyi a helyes vég-eredmény?

6. András, Béla és Csaba társasjátékot játszottak. A játékszabály szerint aki egy fordulótmegnyert, az a vesztesektõl kapott 5-5 zsetont. A 6. kör végén egyformán osztoztak a60 zsetonon. A 6. kört Béla nyerte, az 5. kört Csaba, a 4. kört András. Kinek hány zse-tonja volt a 3. kör végén?

7. Egy méhraj repült az udvarunkba. A méhek fele a barackfára szállt, a maradék fele azaranyvesszõre, a többi 18 méh pedig a tulipánokra. Hány méh röpült az udvarunkba?

8. A párizsi kiránduláson Réka és Árpi sokat fotózott. Szerdán a képek felét az Eiffel-toronynál, a maradék kétharmad részét a Notre Dame-nál, a maradék 8 képet pediga Diadalívnél készítették. Összesen hány képet készítettek szerdán?

Ellenõrzés:

A tálon 21 gombóc volt. Bence megevett 21 ¢ 2 + = + =11gombócot. Maradt 10 gombóc.

Ákos megevett 10 ¢ 2 = 5 gombócot.

Valóban 5 gombóc maradt.

Válasz: Eredetileg 21 gombóc volt a tálban.

12

10 12

12


73

9. Egy vég szövetbõl az üzletben elõször 5 m-t, aztán 3 m-t, majd 4,5 m-t adtak el. Utánaegy varrónõ megvette a maradék szövet felét, majd egy másik is elvitt 10 m-t, ígyaz utolsó vevõnek 2 m maradt. Hány méter szövet volt a végben?

10. Ha egy téglalap egyik szemközti oldalpárját kétszeresére, másik szemközti oldalpárjátpedig háromszorosára növeljük, akkor egy olyan négyzetet kapunk, amelynek a kerü-lete 48 cm. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai?

11. A 6. C osztályban a tanulók harmada lány. A fiúk negyede kosárlabdázik. Ha 12 olyanfiú van, aki nem kosárlabdázik, akkor hány tanuló jár az osztályba?

12. Egy használtautó-kereskedõ egy hétig nem vett autót, csak eladott. Hétfõn eladta azautók felét meg még egy fél autót, kedden a maradék felét meg még egy fél autót,szerdán a maradék felét meg még egy felet, így egy autója maradt, amivel elmentnyaralni. Hány autót adott el hétfõn?

13. Egy gazdag ember a vagyona felét és még 1000 aranyat a feleségére hagyott. A mara-dék felét és még 1000 aranyat a leányára, a maradék felét és még 1000 aranyat az ina-sára, a maradék felét és még 1000 aranyat a kutyájára, a megmaradt 10 000 aranyatpedig jótékonysági célra hagyományozta. Hány arany volt a gazdag ember vagyona?

Egy hordóban 30 liter drága olaj van. Hogyan lehet ebbõl egy 4 literes és egy 9 literes edény segítsé-gével pontosan 6 litert kimérni, ha nincs más edényünk, és egyetlen cseppje sem veszhet kárba?

R e j t v é n y

JátékEzt a játékot ketten játsszátok egy bábuval! A bábu a START-ról indul, és felváltva léphet-tek vele egyszerre legalább 1-et, de legfeljebb 5-öt. Az gyõz, aki be tud lépni a CÉL-ba.

Tud-e a kezdõ játékos úgy játszani, hogy biztosan gyõzzön?

*

*


122

A RACIONÁL IS SZÁMOK I .

7. A tizedes törtek szorzása

Tizedes tört szorzása egész számmal

1. példaEgy lépcsõs piramis alsó három lépcsõfokát betemette a sivatag ho-mokja. A piramis egy lépcsõfoka 7,18 m magas.

a) Milyen magasan van a pira-mis csúcsa a homokfelszínfelett, ha a piramis összesen7 lépcsõbõl áll?

b) Hol kezdõdik a piramis elsõlépcsõje a homokfelszínhezképest?

Megoldás

a) A piramis 7 lépcsõbõl áll,ezért 4 lépcsõ van a homok-felszín felett.

7,18 + 7,18 + 7,18 + 7,18 == 4 ¡ 7,18 = 28,72.

A piramis csúcsa 28,72 m magasan van a sivatag homokfelszínefelett.

b) A homokfelszín alatti elsõ lépcsõ µ7,18 méteren van.

(µ7,18) + (µ7,18) + (µ7,18) = 3 ¡ (µ7,18) = µ21,54.

A piramis alja a homokfelszínhez képest µ21,54 méteren van.

Ha tizedes törtet egész számmal szorzunk, a szorzatban annyi tizedesje-gyet jelölünk, amennyi a tizedes törtben van. A szorzat elõjelét ugyanúgyállapítjuk meg, mint az egész számok szorzásakor.

24

7827 1 8 ¡,

,

43

5127 1 8 ¡,

,

Beszélgesseteka fotókon látható

mérõeszközökrõl!Fogalmazzatok meg

szorzásokat!


123

2. példaEgy téglalap alakú terasz méretei láthatóak az ábrán. Hány négyzet-méter területû ez a terasz?

Megoldása = 5,6 mb = 3,2 m

T = ? Becslés:T = a ¡ b T » 6 ¡ 3 m2 = 18 m2

T = 5,6 ¡ 3,2 m2

Induljunk ki az egész számok szorzásából, és figyeljük meg a szorzatváltozásait!

A terasz területe 17,92 m2.

Tizedes tört szorzása tizedes törttel

a

b

5,6 m

3,2 m

056 ¡ 32168112

1792

3. példaA 2. példában szereplõ teraszt a kert felõli szélén zöld, a többi részendrapp színû járólappal akarjuk lefedni. Hány négyzetméter lesz a zöldszínû téglalap, ha a hossza 5,6 m, a szélessége 32 cm?

MegoldásA zöld színû téglalap egyik oldala5,6 m, a másik 32 cm hosszú.

a = 5,6 mc = 32 cm = 0,32 m

T = ? Becslés:T = a ¡ c T » 6 ¡ 0,3 m2 = 1,8 m2

T = 5,6 ¡ 0,32 m2

A szorzat változásai alapján:

A zöld színû rész területe 1,792 m2.

Tizedes törttel számolva:

T = 5,6 ¡ 3,2 m2

T = 17,92 m2

Tizedes törttel számolva:

T = 5,6 ¡ 0,32 m2

T = 1,792 m2

a

b

c

5,6 m

3,2 m

32 cm

6 822

19

171

15 36 2¡,

,

,

6 822

19

171

15 06 3 2¡,

,

,

A mértékegységekközti összefüggésekalapján a terület:

T = 56 ¡ 32 dm2

T = 1792 dm2

T = 17,92 m2

A mértékegységekközti összefüggésekalapján a terület:

T = 560 ¡ 32 cm2

T = 17920 cm2

T = 1,792 m2

56 32 =

5,6 32 =

¡

¡

¡ ,5,6 3 2 =

1792

179,2

17 92,

¢10 ¢10

¢10¢10

¢100

=

5,6 0,32 =¡

¡56 32 1792

1,792

¢10 ¢1000¢100


124

A RACIONÁL IS SZÁMOK I .

Feladatok1. Hány tizedesjegy szerepel a következõ szorzatokban, ha a szorzatot nem egyszerûsít-

jük vagy nem bõvítjük? Becsüljük meg a szorzatot! Végezzük el a szorzást!

a) 3,72 ¡ 4; b) 0,107 ¡ 106; c) 5,4 ¡ (µ2);d) 31,31 ¡ 0; e) 3,6 ¡ 3,14; f) 2,8 ¡ 2,5;g) 0,62 ¡ 1,5; h) 10,25 ¡ 10; i) 4,04 ¡ 4,04;j) 4,04 ¡ 100; k) 1,5 ¡ 1,2 ¡ 1,8; l) 1,3 ¡ 0,1416.

2. Számítsuk ki a szorzatokat! Mit veszünk észre?

a) 168 ¡ 24; b) 16,8 ¡ 24; c) 16,8 ¡ 2,4; d) 16,8 ¡ 7; e) 1,68 ¡ 7;

16,8 ¡ 24; 1,68 ¡ 24; 1,68 ¡ 2,4; 1,68 ¡ 0,7; 1,68 ¡ 0,07;

1,68 ¡ 24; 0,168 ¡ 24; 0,168 ¡ 2,4; 0,168 ¡ 0,07; 1,68 ¡ 0,007.

3. Végezzük el a szorzást! Elõtte becsüljük meg a szorzatot!

a) (+7,25) ¡ (+0,8) ¡ (µ2); b) (µ1,25) ¡ (+12) ¡ (µ0,08) ¡ (µ1000).

4. Végezzük el a 3,45 ¡ 2,4 szorzást! Változtassuk úgy valamelyik tényezõt, hogy a szorzat

a) kétszeresére; b) négyszeresére; c) tízszeresére változzon!

5. Rendezzük a szorzatokat csökkenõ sorrendbe! Hányszorosa a legnagyobb a legki-sebbnek? (Próbáljunk a szorzatok kiszámítása nélkül válaszolni!)

a) A) ; B) ; C) ; D) ;

b) A) ; B) ; C) ; D) ;

c) A) ; B) ; C) .µ5,6 ¡ (µ0,8) ¡ (µ12,5)µ5,6 ¡ (µ0,8) ¡ 12,5µ5,6 ¡ 8 ¡ 12,5

0,25 ¡ 0,32 ¡ 00,25 ¡ 4 ¡ 0,32µ0,25 ¡ 3,20,25 ¡ 4 ¡ 3,2

0,372 ¡ 1,8µ3,72 ¡ 1,837,2 ¡ 1,83,72 ¡ 1,8

A többtényezõs szorzatokat lépésenként számoljuk.

(µ0,7) ¡ 5,12 ¡ (µ4,1) = (µ3,584) ¡ (µ4,1) = 14,6944

µ3,584 +14,6944

Például:

7 811

4 34 80 49 34 94 8

8 24 43 6 11 327 14 02 8¡ ¡, , ,

, ,1 03917

636

30

0

1 6 01 45 2¡, ,

,

Tizedes törtek szorzásakor a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk,amennyi a tényezõkben összesen van.


125

Melyik kétjegyû számra igaz, hogy az 1,2-szerese ugyanazokból a számjegyekbõl áll, mint maga a szám?

R e j t v é n y

6. Döntsük el, hogy melyik szorzat, illetve összeg a nagyobb! Számolással ellenõrizzüka döntésünk helyességét!

a) 4,5 ¡ 12 vagy 4,05 ¡ 120; b) 6,2 ¡ 0,54 vagy 0,62 ¡ 5,4;c) 26,8 ¡ 1,1 vagy 2,68 ¡ 11; d) µ3,4 + 1,5 ¡ 2,4 vagy (µ3,4 + 1,5) ¡ 2,4.

7. A gyógyszerészek a gyógyszerek elõállításánál nagyon kis tömegekkel dolgoznak.Az egyik gyógyszer 1 tablettájában 0,25 mg hatóanyag és 47,715 mg tejcukor van.Hány grammot fogyaszt egy évben a hatóanyagból és a tejcukorból az a beteg, akiminden nap 2 tablettát szed be ebbõl a gyógyszerbõl?

8. Péter és apukája az országúton egyszerre indulnak el kerékpárral a faluból a városba.Péter 18,4 km-t, az apukája 16,8 km-t tesz meg óránként. Péter 1,5 óra múlva beéra városba. Mennyi utat kell még megtennie az apukájának, hogy õ is a városba érjen?

9. Egy villanyszerelõ-mûhelyben elosztókat állítanak össze. Egy elosztó vezetéke 3,2 mhosszú, és a szereléshez még 8 cm vezeték kell. Egy mûszak alatt 78 elosztó készül el.Hány méter vezetéket használnak fel? Számoljunk többféleképpen!

10. Egy méteráruboltban függönyöket veszünk. Sötétítõ függönynek 5,7 m-t vásárolunk,2,75 m-rel kevesebbet, mint csipkefüggönynek. A sötétítõ függöny méterének ára3560 Ft, a csipkefüggönyé 4756 Ft. Mennyit fizetünk?

11. Egy négyzet alakú asztalterítõ oldalai 1,6 m hosszúak. A terítõre csipkeszegélyt var-runk. Hány méter csipkét vegyünk, ha a terítõ sarkainál 2-2 cm a ráhagyás?

12. A házunk olyan téglalap alakú telekre épül,amelynek egyik oldala 12,4 m, a másik enneka 2,5-szerese. Hány méteren kell kerítést készí-teni, ha a ház a telekhatárból 25,6 m-t, a kapupedig 4,5 m-t foglal el? Hány m2 a telek területe?

13. Számítsuk ki a téglalapok területét négyzetméterben, ha oldalaik hossza:

1. a = 6 m 5 dm; 2. a = 19 dm; 3. a = 520 cm;b = 10 m 3 dm; b = 37,2 dm; b = 3,8 m!

14. Hány négyzetcentiméter a felszíne és hány köbcentiméter a térfogata egy olyan fakoc-kának, amelynek egy éle 1,5 cm? Ezekbõl a fakockákból egy olyan nagyobb kockátépítünk, amelyik 27 kis kockából áll. Mekkora a nagyobb kocka felszíne és térfogata?

15. Egy akvárium hossza 8,2 dm; szélessége 35 cm;magassága pedig 474 mm. Hány négyzetdeci-méter területû üveglapot használtak fel a készí-tésekor, ha az akváriumnak nincs teteje? Hányliteres az akvárium? (Az üveg vastagságától elte-kinthetünk.)

a = 12,4 mHáz

Kapu

��

��

�

Ms-2306T_Matek6_tk-beadas utani jav-2012.qxd 2012.11.13. 9:27 Page 125

210

A RACIONÁL IS SZÁMOK I I .

6. Osztás törttel

1. példaHány embert tudunk megkínálni 3 pizzából, ha mindenkinek

a) 1; b) ; c) pizzát adunk?15

12

1. megoldásA fenti ábráról leolvashatjuk a keletkezett szeletek számát. Ugyaneztosztással is megkaphatjuk:

a) 3 ¢ 1 = 3; b) 3 ¢ = 6; c) 3 ¢ = 15.15

12

2. megoldásA hányados tulajdonságai alapján tudjuk, hogy ha az osztandó vál-tozatlan és az osztó felére, ötödére csökken, akkor a hányados két-szeresére, ötszörösére nõ.

c) 3 ¢ 1 = 3

² ¢5 ² ¡5

3 ¢ = 3 ¡ 5.15

b) 3 ¢ 1 = 3

² ¢2 ² ¡2

3 ¢ = 3 ¡ 212

Az egész pizzákkal 3, a fél pizzákkal 6, az egyötöd pizzákkal 15 em-bert tudunk megkínálni.

2. példaNégy liter õszibaracklevet áttöltünk

a) 1 literes üvegekbe; b) literes poharakba; c) literes korsókba.

Hány üveg, hány pohár és hány korsó telik meg?

23

13

3 ¢ 6 =

3 ¢ = 60

3 ¢ 15 =

3 ¢ = 1515

15

12

12

Az -del való osztás 2-vel való szorzást, az -del való osztás 5-tel való

szorzást jelent.

15

12

reciproka 212


211

Törttel úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk.

3. példaVégezzük el a következõ osztásokat!

a) 3 ¢ ; b) 3 ¢ ; c) ¢ .45

37

45

15

Megoldás

a) Az elsõ példában láttuk, hogy 3 ¢ = 3 ¡ 5 = 15.15

b) A hányados változásai alapján számolunk.

3 ¢ = 3 ¡ 5

² ¡4 ² ¢4

3 ¢ = (3 ¡ 5) ¢ 4 = =

3 ¢ = 3 ¡ 54

45

154

3 54

3 54

¡= ¡4

5

15

c) A hányados változásai alapján számolunk. A b) esetbõl indulunk ki.

3 ¢ = 3 ¡

² ¢7 ² ¢7

¢ = ¡ =

¢ = ¡ 54

37

45

37

1528

54

37

45

37

54

45

Megoldás

üvegek

poharak

korsók

Az ábra alapján: A hányados változása alapján:

a) az üvegek száma: 4 ¢ 1 = 4.

b) a poharak száma: 4 ¢ = 4 ¡ 3 = 12.

c) a korsók száma: 4 ¢ = 6.23

13

A -dal való osztás -del való szorzást jelent. A a reciproka.23

32

32

23

153

¡5

¢1

5

64

¢2

3

¡3

2

124

¡3

¢1

3

3

¡5

4

¢4

5 154

¡5

4

¢4

5 1528

37

az osztó4-szeresére nõ

az osztandó 7-edrészére csökken a hányados 7-ed részére csökken

a hányados 4-ed részére csökken

4 ¢ 1 = 4

² ¢3 ² ¡3

4 ¢ = 4 ¡ 3

² ¡2 ² ¢2

4 ¢ = 4 ¡ .32

23

13

egész számotosztunk

egész számotosztunk

törtet osztunk


212

A RACIONÁL IS SZÁMOK I I .

Törttel való osztáskor az egyszerûsítést akkor végezhetjük el, ha az osztástátírtuk reciprokkal való szorzásra.

Ha az osztásban vegyes szám szerepel, akkor a vegyes számot elõszörtörtté alakítjuk.

Ha elõjeles számokat osztunk, a hányados elõjelét az egész számoknáltanult módon állapítjuk meg.

µ ¢ µ = µ ¡ µ = ¡ = =78

34

78

43

78

43

76

116

2

1

ÊËÁ

ˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃

45

23

45

32

45

32

65

115

2

1

¢ µ = ¡ µ = µ ¡ = µ = µÊËÁ

ˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃

Ê

Ë

ÁÁ

ˆ

¯

˜˜

2 14

135

94

85

94

58

4532

11332

¢ = ¢ = ¡ = =

125

154

125

415

125

415

1625

4

5

¢ = ¡ = ¡ =

Feladatok1. Végezzük el a kijelölt osztásokat, majd ellenõrizzük számításunk helyességét!

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) .

2. Mennyi a hányados? Ellenõrizzük!

a) ; b) ; c) ; d) ;

e) ; f) ; g) ; h) .

3. Mekkora számot visznek a teljes szerelvényen?

518

815

¢ µÊËˆ¯µ ¢7

45

13

10ÊË

ˆ¯µ ¢ µ9

12

219

ÊË

ˆ¯

ÊË

ˆ¯4

14

812

¢

µ ¢7

102

45

ÊË

ˆ¯

3049

427

¢611

427

¢57

123

¢

513

135

¢µ ¢ µ57

57

ÊË

ˆ¯

ÊË

ˆ¯

725

¢ µÊËˆ¯( )µ ¢5

34

282

712

¢14 157

¢14127

¢147

12¢

¢ 23

25

¢16

32

¢311

32

¢ 449

2 ¢52

¢2

252350

¢5

233

46¢ 5

312


213

4. Milyen számot írhatunk a jelek helyére, hogy az egyenlõség igaz legyen?

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

5. a) Mennyi a hányados, ha a -et -dal osztjuk?

b) Hányszorosa a a -nak?

c) Hányszorosa a a -nek?

d) Mennyivel kell szorozni a -ot, hogy -et kapjunk?

6. Végezzük el az osztásokat! Állapítsuk meg, hogy az osztandó vagy a hányados a na-gyobb!

a) ; ; . b) ; ; .

7. Egy téglalap területe m2. Mennyi a téglalap kerülete, ha az egyik oldala m?

8. Írjunk fel minél több osztást, ha a tényezõket és a hányadost is az alábbi számok közülválaszthatjuk!

; µ4; ; 4; ; µ ; .

9. Vince és Csabi már másfél órája bicikliznek, amikor a tú-

rájuk részénél tartanak. Hányad részét tették meg az

útjuknak 1 óra alatt? Mennyi idõ telik el a túra befejezé-

séig, ha az eddigi tempóban haladnak tovább?

34

32

58

65

52

98

812

25 12

94

54

¢113

43

¢23

32

¢29

23

¢78

12

¢23

45

¢

µ614

ÊË

ˆ¯4

16

µ614

ÊË

ˆ¯4

16

416

µ614

ÊË

ˆ¯

416

µ614

ÊË

ˆ¯

2125

29

20¢Ò =3

42

12

¢Ò =µ ¢145

56

ÊË

ˆ¯ =Ò

58

314

¢Ò =µ ¢35

910

ÊË

ˆ¯ =Ò

23

43

¢Ò =

Egy számot megszoroztunk -del, utána elosztottuk -del. Az alábbiak közül melyik mûvelettel

helyettesíthetõ ez a két mûvelet?

A) osztás -dal; B) osztás -dal; C) szorzás -dal; D) szorzás -del; E) osztás -del.54

54

920

920

43

35

34

R e j t v é n y


256

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

2. Az egész rész kiszámítása

1. példaEgy alpinista már 180 m magasra mászott, amikor a szikla részéigjutott. Hány méter magas a szikla?

Megoldás

34

Az alpinista 240 m magas sziklára mászik fel.

Mennyi a 180 és a hányadosa?

180 34

43

180 240

1

60¢ = ¡ =

34

Mennyi a 240-nek a része?34

Melyik szám része a 180?34

Ha a 180 az egésznek a része, akkor az egész részt úgy is kiszámít-34

hatjuk, hogy a 180-at elosztjuk -del.34

��

��

��

��

��

��

180 m rész34

rész

rész¢ 3 ¢ 31 egész =

180 m

? m

rész

rész

180 m 3 = 60 m¢

4 60 m = 240 m¡

4 ¡ 4 ¡

3

4

1

4

4

4

4

4

240 180¢

3

4

¡3

4


257

3. példa

Egy kerékpártúra elsõ napján az egész út , a második napon pedig27

2. példa

Ádám a hónap elején megkapta a havi zsebpénzének részét, azaz800 Ft-ot. Hány forint Ádám havi zsebpénze?

1. megoldás (következtetéssel)

A zsebpénz

23

2. megoldás (osztással)

Ha rész ¯ 800 Ft;23

a rész ¯ .80023

80032

1200400

1

Ft Ft Ft¢ = ¡ =33

Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kaptuk.Ádám havi zsebpénze 1200 Ft.

Az egész út 105 km.

Egy szám részébõl úgy számítjuk ki az egész részét, hogy a számot el-23

osztjuk -dal.23

3 800 2

3 8002

3 8002

32

800

¡ ¢ =

= ¡ =¡

=

= ¡

( )

része

rész¢ 2 ¢ 21 egész =

800 Ft

? Ft

rész

rész

800 Ft 2 = 400 Ft¢

3 400 Ft = 1200 Ft¡

3 ¡ 3 ¡

2

3

1

3

3

3

3

3

rész

rész¢ 2 ¢ 2

30 km

? Ft

rész

rész

30 km 2 = 15 km¢

7 15 km = 105 km¡

7 ¡ 7 ¡

2

7

1

7

7

7

7

7

a részét tettük meg. Hány kilométer van még hátra, ha az elsõ nap

30 km-t haladtunk?

Megoldás

Az elsõ nap megtett út az egész út része, azaz 30 km.27

25


258

SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS

Feladatok1. Melyik számnak a része a

a) 24; b) 150; c) 540; d) 32,4; e) 100?

2. Melyik mennyiségnek a része a

a) 6 kg; b) 45 m; c) 40 perc; d) 184 cm2; e) 23,5 km?

3. Melyik mennyiségnek a része a

a) 15 km; b) 150 m; c) 1 óra; d) 0,2 kg; e) m2?

4. A pénzem része 900 Ft. Mennyi pénzem van?

5. Felástam a kertünk részét. Hány négyzetméteres a kertünk, ha még 55 m2-es terü-

letet kell felásnom, hogy az egész kert felásásával végezzek?

6. Az osztálykiránduláson a hatodikosok délelõtt a tervezett út részét tették meg. Hány

kilométert tettek meg délelõtt, ha délután még 5,6 km-t kellett gyalogolni?

7. Hunor elolvasta Fekete István Bogáncs címû könyvének részét, így még 147 oldalvan hátra. Hány oldalas a könyv?

8. Petrának 720 Ft-ja van. Ez a pénz Zoli pénzének része, Szilvi pénzének része.

Hány forintja van Zolinak és Szilvinek? Kinek a legtöbb a pénze?

94

25

58

35

712

34

23

85

23

34

A második napon 42 km-t tettünk meg.

A hátralévõ út: 105 km µ 30 km µ 42 km = 33 km.

33 kilométer van még hátra a kerékpártúrából.

A második napon az egész út részét tettük meg. 25

rész1 egész =

rész¢ 5 ¢ 5

105 km

? km

rész

rész

105 km 5 = 21 km¢

2 21 km = 42 km¡

2 ¡ 2 ¡

5

5

1

5

2

5

2

5


259

Az osztály tanulóinak a része sportvetélkedõn, az része szavalóversenyen vett részt. Mennyi

az osztálylétszám, ha minden tanuló részt vett valamelyik versenyen, és 9 olyan tanuló volt, aki

mindkét helyszínen ott volt?

12

78

R e j t v é n y

9. Az iskolai menzára már befizetett a tanulók része. Hányan ebédelnek az iskolában,ha még 168-an nem fizettek?

10. Egy hordóban hl víz volt. A hordó az oldalán kilyukadt, és kifolyt a benne lévõ víz 34

45

310

része. A benne maradt víz a hordó ûrtartalmának az -a. Hány literes a hordó?

11. Egy tálcán lévõ süteményeknek elõször megettük a részét, majd a maradék ré-

szét. Ezek után a tálcán 6 sütemény maradt. Hány sütemény volt eredetileg a tálcán?

12. Egy iskola hatodik osztálya diákönkormányzati képviselõt választott. Az osztály tanu-

lóinak része szavazott. A szavazatok részét Karcsi kapta. Hatan voltak, akik nem

Karcsira szavaztak. Mennyi ennek a hatodik osztálynak a létszáma?

13. Erzsinek 2400 Ft-ja van. Laci pénzének része ugyanannyi, mint Erzsi pénzének -e.

Meg tudják-e venni együtt a 4999 Ft-ba kerülõ DVD-t a nõvérüknek a születésnapjára?

14. Cézár az elsõ héten megette a két hétre szánt kutyaeledel részét,4,5 kg-ot. Hány kilogramm volt a két hétre szánt kutya-eledel? Melyik mûveletsor fejezi ki a feladat megoldását?

A) 4,5 ¡ ; B) (4,5 ¢ 9) ¡ 14; C) 4,5 ¢ ;

D) (4,5 ¡ 14) ¢ 9; E) 4,5 ¡ ; F) 4,5 ¢ .

15. Írjunk olyan szöveges feladatokat, amelyek megoldását a következõ kifejezések írják le!

A) ; B) ; C) ;

D) ; E) ; F) .

16. Ali Babától 40 rabló drágakövekkel teli ládikát zsákmányolt. A rablók közül néhányanelvettek fejenként 1 drágakövet, és ellovagoltak. Az ott maradt rablók fele fejenként2 drágakövet vett el, a másik felének nem jutott a drágakövekbõl. Hány drágakõ voltAli Baba ládikájában?

14 14 13

µ ¡14 23

8 34

¡ µ ¡14 23

9¡ µ

14 9 23

µ ¡14 9 23

µ ¡( )14 23

34

¡ ¢⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

149

149

914

914

914

34

23

34

45

34

25

16

*


Documents

Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné ... · Csordás Mihály Konfár László Kothencz Jánosné Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára Vincze Istvánné