Cuadernillo Actividades de Ejercicios de Unidades Tematicas

UNIVERSIDAD CATLICA DE LA SANTSIMA CONCEPCIN Departamento de Matemtica y Fsica Aplicadas

PROBABILIDADES Y ESTADSTICA

IN1062C

Hugo Alvarado Martnez Mara Lidia Retamal Prez

Periodo acadmico 2014

Probabilidades y Estadstica H. Alvarado L. Retamal

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ACTIVIDADES

DE PROBABILIDADES Y ESTADSTICA

Temario: U1. Estadstica descriptiva en una y dos variables

U2. Fundamentos del clculo de probabilidades de eventos U3. Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad U4. Variables aleatorias continuas y distribuciones de probabilidad

U5. Distribuciones muestrales U6. Inferencia estadstica

Se presenta un listado de actividades de acuerdo a los contenidos de un curso clsico

de Probabilidades y Estadstica a nivel universitario. Esperamos que este cuadernillo de actividades situados a la ingeniera permita a los estudiantes apreciar las posibilidades de aplicaciones en diversos contextos y sea un complemento de gua de estudios en las sesiones de prctica.

Las actividades a desarrollar, por ejemplo en la Unidad 1, se denotan para el trabajo guiado en las prcticas por P1.1, P1.2, y ejercicios propuestos a desarrollar fuera del aula por T1.1, T1.2, Al final, se plantean ejercicios complementarios de las unidades.

U1. Estadstica Descriptiva en una y dos Variables P1.1 Debido a las mediciones efectuadas en las estaciones climatolgicas e hidromtricas, se cuenta con observaciones de variables hidrolgicas, tales como caudales durante cierto periodo de tiempo. A continuacin, se muestra un resumen de los caudales medios de un ro de Francia en un periodo de 30 aos (los datos han sido ordenados), expresados en metros cbicos por segundo (m3/s):

5.1 5.3 5.4 5.4 5.7 6.1 6.1 6.2 6.4 6.6 6.8 6.8 6.9 7.0 7.2 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.9 8.0 8.0 8.1 8.5 8.6 8.7 9.1 9.2 9.2

Las siguientes preguntas tienen por objeto formarse una idea sobre la magnitud de los caudales sintetizando la informacin mediante estadstica descriptiva en cinco intervalo de clases. a) Defina la variable de estudio y su clasificacin. Escriba la unidad de observacin. b) Qu porcentaje de los datos presentan un caudal a lo ms de 77 m3/s? c) Se pueden clasificar los datos como homogneos? Fundamente. d) Justifique si se pueden considerar simtricos la muestra de los caudales. e) Calcular e interpretar el tercer cuartil. f) Presentar el grfico de un histograma y comentar.


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P1.2 La siguiente informacin corresponde al nmero de piezas que los empleados de una fbrica logran armar en un tiempo de 12 horas de trabajo.

4 4 9 9 9 4 6 8 8 8 8 4 4 5 5 6 4 4 9 7 7 7 7 7 7 9 9 4 4 5 5 6 9 4 9 4 7 6 6 6 6 6 7 6 6 4 4 5

a) Identifique y Clasifique la variable de estudio. b) Construya una tabla de frecuencias que represente la informacin. c) Calcule la media, moda y mediana del conjunto de datos d) La fbrica considera que el empleado es de alto valor si la cantidad de piezas armadas

supera las 5 piezas. Qu % de empleados de la fbrica tiene alto valor? P.1.3 En 1000 operaciones de venta, un concesionario de Renault observa los siguientes datos relativos al color del coche y a la forma de pago.

FORMA DE PAGO

COLOR Contado Financiado

Blanco 181 119

Azul 240 160

Verde 144 96

Negro 36 24

Total 601 399

a) Elabore un grfico circular para la variable color de auto, considerando solamente los que compraron al contado. b) Construya un grafico de barras para la variable forma de pago. c) Construya un grfico de barras para los pagos dado que los autos son de color Azul. d) Construya un grfico circular para las formas de pago, considerando los autos de color azul y verde. P1.4 Segn la Asociacin de lucha contra la Bulimia y la Anorexia, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinnimo de xito social. Muchos jvenes luchan para conseguir el fsico ideal motivados por modelos, artistas o por la publicidad comercial. Durante el mes de marzo de un determinado ao 2006, en un colegio, despus de las vacaciones de verano, se observ con precaucin a 27 alumnos con sntomas de anorexia, registrndose los siguientes signos visibles: Dieta Severa, Miedo a Engordar, Hiperactividad, Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa, Uso de Laxantes, Miedo a Engordar, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Dieta Severa, Dieta Severa, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Hiperactividad, Uso de Laxantes, Miedo a Engordar, Uso de Laxantes, Dieta Severa, Uso de Ropa Holgada, Uso de Laxantes, Hiperactividad, Uso de Laxantes, Uso de Ropa Holgada, Hiperactividad, Dieta Severa. a) Determine y clasifique la variable de inters. Indique la unidad observable. b) Resuma la informacin en una tabla de distribucin de frecuencias. Comente.


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c) Construya un grfico adecuado para resumir la informacin anterior. P1.5 Se realiza en 94 microempresas un estudio sobre la situacin laboral de los trabajadores. Sea X la variable que designa el nmero de trabajadores por micro empresa e Y nmero de ellos con contrato temporal. La siguiente tabla recoge la distribucin conjunta de estas variables, y se obtuvo los siguientes valores de las varianzas de X e Y respectivamente 2,50595 y 0,7204.

X/Y

1 2 3

1 3 25 0 0 3 5 4 25 5 5 7 0 0 35

a) Calcular el nmero medio de trabajadores por microempresa dado que tienen ms de un contrato temporal. b) Determinar e interpretar el coeficiente de correlacin de Pearson. c) Cul de las dos distribuciones de frecuencias de X e Y presentan mayor variabilidad? P.1.6 En una empresa de limpieza, que cuenta con 100 trabajadores, se ha realizado un estudio sobre la relacin entre el salario en miles de dlares y el ausentismo laboral, obtenindose, entre otros, los resultados que aparecen en la tabla bidimensional . a) Calcular el nmero medio mensual de das de ausentismo por trabajador, de los trabajadores con salario comprendidos entre 1200 y 1800 dlares. b) Obtenga la varianza de la distribucin del salario mensual de los trabajadores que se han ausentado del trabajo entre 4 y 8 das. c) Qu puede opinar sobre la relacin entre el salario y el ausentismo laboral?. Justifique estadsticamente.

ausentismo 0 - 4

4 - 8

salario 0,6 1,2 5 20 1,2 1,8 15 10 1,8 2,4 50 0

T1.1 Una muestra de camiones ligeros que utilizan combustible diesel revel las siguientes millas recorridas por galn de combustible consumido: a) Reconozca y clasifique la variable en estudio. b) Construya la distribucin de frecuencia asociada al grfico. c) Calcular e interpretar la media. d) Son los datos heterogneos? Justifique estadsticamente. e) Analice la simetra de la distribucin de frecuencias. f) Determine un intervalo que contenga el 95% de los datos e interpretar.


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T1.2 En un estudio se midieron la emisin de partculas contaminantes (p.p.m.) de 40 vehculos city car. La informacin de este estudio se muestra en la siguiente Tabla de frecuencia

Fronteras Frecuencia [0,08-0,13[ 16 [0,13-0,18[ 12 [0,18-0,23[ 6 [0,23-0,28[ 4 [0,28-0,33[ 2

a) Defina y clasifique la variable de estudio. Nombrar la unidad de observacin. b) Es el nmero de clases mostrado adecuado para el conjunto de datos? Fundamente c) Qu porcentaje de los autos contaminan a lo ms 0,18 p.p.m? d) Qu cantidad de partculas hace que el 15% de los vehculos contamine a lo menos dicha cantidad? e) Un vehculo se considera que no contamina si la emisin de partculas es inferior + 0,07 p.p.m. Qu porcentaje de los vehculos se consideran contaminante? f) Son los datos homogneos? Simtrico? g) Elabore un box plot y comente. T1.3 Las diferencias de temperatura entre la superficie caliente del ocano y las aguas profundas, ms fras, pueden utilizarse para convertir la energa trmica en energa mecnica. Sea X la diferencia de temperatura entre el agua superficial y la situada a profundidad de 1 km. Se realizan mediciones en 15 sitios seleccionados aleatoriamente del Golfo de Mxico. Resultan los siguientes datos: 22.5 23.8 23.2 22.8 10.1 23.5 24.0 23.2 24.2 24.3 23.3 23.4 23.0 23.5 22.8 a) Elabore un diagrama de Tallo y Hoja de los datos.


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b) Calcule la media, mediana, moda y desviacin estndar de los datos. Comente. c) Si se elimina el posible valor atpico 10.1 de los datos. Calcule nuevamente la media, mediana, moda y desviacin estndar. Cul medida se ve menos afectada por la presencia del valor atpico? Fundamente su respuesta. d) Compruebe sus resultados a travs del uso de calculadora y la planilla Excel. T1.4 Una empresa estudia las relaciones entre el nmero de licitadores para un proyecto de carretera, y la propuesta ganadora (la ms baja en millones de dlares) para el proyecto. A: Proyecto, B: N de licitaciones, C: Licitacin ganadora A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 5 8 5 4 4 3 9 4 7 4 5 5 C 4,0 6,9 4,8 3,9 4,2 2,7 7,8 4,1 6,1 4,4 4,8 5,9 a) Ms licitaciones tienden a aumentar o disminuir el importe de la licitacin ganadora? b) Estime el monto de licitacin ganadora si hubiese siete licitadores. T1.5 En un estudio preliminar a la fijacin de velocidad lmite en un tramo especfico de cierta carretera, se coloc un dispositivo para registrar la velocidad de los vehculos durante varios das, entre las 8 y 9 de la maana. Las velocidades (en km/h) registradas en uno de tales das es la siguiente: 60 70 50 80 40 85 55 45 90 60 65 55 70 35 80 65 55 75 85 55 Automviles 65 60 70 85 80 60 65 80 70 65 85 60 65 70 85 70 60 65 60 40 100 75 60 50 65 95 60 65 Buses 50 60 55 70 35 40 80 85 60 55 55 60 40 35 50 65 90 40 Camiones 40 50 45 60 30 40 35 35 65 50 40 55 Otros 55 70 85 60 65 60 90 30 Analice la informacin mediante los elementos de la estadstica descriptiva en una variable y con apoyo de recursos informticos. T1.6 Se cree que la cantidad de libras de vapor usadas en una planta por mes est relacionada con la temperatura ambiente promedio. A continuacin se presentan los consumos (libras) y las temperaturas (C) del ltimo ao. Mes Temperatura Uso/1000 Mes Temperatura Uso/1000 Ene. 21 185,79 Jul. 68 621,55 Feb. 24 214,47 Ago. 74 675,06 Mar. 32 288,03 Sep. 62 562,03 Abr. 47 424,84 Oct. 50 452,93 Mayo 50 454,68 Nov. 41 369,95 Jun. 59 539,03 Dic. 30 273,98

a) Cree Ud. que sea posible determinar un modelo de prediccin? Justifique. b) Si su respuesta en (a) es afirmativa, ajuste un modelo de regresin lineal. c) De ser posible, interprete la pendiente y el coeficiente de posicin.


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T1.7 El gerente de ventas de una compaa se est preparando para una reunin de ventas, y le gustara mostrar al grupo de vendedores la forma como se relaciona el nmero de llamadas a clientes con el valor anual de pedidos que se reciben. De sus registros recolect la siguiente informacin para el ltimo ao. Nmero de llamadas Pedidos (miles de

dlares) Nmero de llamadas Pedidos (miles de

dlares) 5 4,8 2 2,2 4 6,1 4 7,1 5 12,3 4 8,7 7 13,7 5 13,7 7 15,7 2 2,3 2 2,2 3 4,6 3 7,3 7 10,6 4 5,8 3 6,1 2 1,9 4 7,5 3 6,7 5 15,1

a) A partir de estos datos, puede llegarse a la conclusin que conforme se incrementa el nmero de llamadas, tambin aumenta el monto anual de pedidos? Para interpretar sus resultados obtenga los resultados con calculadora y compare con los valores entregados por la planilla Excel. b) Uno de los gerentes elabor la siguiente tabla de doble entrada, considerando la variable valor anual de pedidos agrupadas en cuatro intervalos de clases.

X/Y 1.9 - 5.3 5.4 8.8 8.9 12.3 12.4 15.8 ni.. 2 4 4 3 1 3 4 4 5 5 5 1 1 2 4 7 1 2 3 n.j 6 8 2 4 n = 20

b1) Interprete los valores de n 32 , f 2 y N 3

b2) Son los montos anuales de pedidos heterogneos? Justifique estadsticamente. b3) Calcular e interpretar la mediana de los montos anuales de pedidos. b4) Realizar un polgono de frecuencias para los montos anuales de pedidos. Comente. b5) Construya un grfico adecuado para la variable nmero de llamadas. Comente. b6) Determine el nmero de llamadas ms frecuente entre los montos anuales de pedidos. b7) Obtener e interpretar la media de los nmeros de llamadas a clientes cuyo monto anual de pedidos est entre 5400 y 12300 dlares. b8) Calcular el setenta y cinco por ciento de los montos anuales de pedidos. b9) Qu puede opinar sobre la conclusin del gerente de ventas? Justifique estadsticamente.


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T1.8 Los siguientes datos relacionan la densidad del trfico, descrita en trminos de nmero de automviles por milla, con la velocidad media de trfico en una ciudad de tamao moderado. Los datos se recogieron en un mismo lugar y en 10 instantes distintos dentro de un periodo de 3 meses. Densidad 69 56 62 119 84 74 73 90 38 22 Velocidad 25.4 32.5 28.6 11.3 21.3 22.1 22.3 18.5 37.2 44.6 a) Enuncie la variable de entrada (independiente o predictora) y variable respuesta (dependiente). b) Dibuje un diagrama de dispersin. Comente si observa algn tipo de relacin. c) Puede ajustarse a los datos un modelo de regresin lineal simple? En caso afirmativo, presente el modelo. Adems, realice alguna prediccin. d) Para el desarrollo del ejercicio utilice la calculadora y Excel.

U2. Fundamentos del Clculo de Probabilidades de Eventos P2.1 Una empresa produce memory stick para cmaras fotogrficas, en un proceso automatizado. La calidad de la maquinaria garantiza que slo el 4% de las memorias producidas son defectuosos. Los envos de la empresa se hacen en cajas de 200 memorias. Un inspector de esta empresa elige una caja al azar y revisa tres memory stick. Si ninguno es defectuoso, acepta la caja. Cul es la probabilidad que rechace una caja que tiene un 4% de memorias defectuosas? P2.2 Cuando una computadora se bloquea, existe una probabilidad de 75% de que se deba a una sobrecarga, y de 15% de que sea por un problema de software. La probabilidad de que se origine en una sobrecarga o un problema de software es de 85%. a) Cul es la probabilidad de que se deba a ambos problemas? b) Cul es la probabilidad de que haya un solo tipo de problema? c) En un laboratorio hay 6 PC con problemas de sobrecarga y 4 PC con problemas de software. Si se quiere seleccionar 4 PC, determine la probabilidad de seleccionar 3 PC con problemas de sobrecarga y 1 con problemas de software. P2.3 Un ingeniero est a cargo de un proceso especfico en una refinera. La experiencia indica que 10% de los paros de la planta se deben nicamente a fallas de equipo, 5% a fallas de equipo y errores de los operadores, y 40% a errores de los operadores. Ocurre un paro de la refinera. a) Cul es la probabilidad de que se deba slo a errores de los operadores? b) Cul es la probabilidad de que: no se deba a fallas de equipo ni errores de los operadores? c) Cul es la probabilidad de que se deba a errores de los operadores, dado que no ocurri una falla de equipo?


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P2.4 Una jugadora de baloncesto debe realizar dos lanzamientos. Por estudios se sabe que la probabilidad que enceste en su primer lanzamiento es de 0,8. Sin embargo, suponga que su segundo lanzamiento depende de si ha tenido xito en el primero. Concretamente: si tuvo xito en el primer lanzamiento, su segundo lanzamiento tambin lo tiene con una probabilidad de 0,85; mientras que si el primer lanzamiento es malogrado, el segundo tiene xito con una probabilidad de 0,7. Encuentre la probabilidad de que la jugadora: a) Enceste el primero pero falle en el segundo. b) Falle en los dos lanzamientos P2.5 En cierta bodega, una caja contiene cinco focos de 60W, seis de 80W y siete de 100W. Suponga que se seleccionan al azar cuatro focos. a) Cul es la probabilidad de que los cuatro focos seleccionados tengan la misma potencia? b) Cul es la probabilidad de seleccionar dos focos con la misma potencia? c) Ahora suponga que se deben seleccionar los focos, uno por uno, hasta encontrar uno de 100W. Cul es la probabilidad de obtener en la octava extraccin el primer foco de 100W? P2.6 Un conjunto electrnico consta de dos subsistemas, digamos A y B. A partir de una serie de pruebas previas, se proponen las siguientes probabilidades: Falle A es de un 20%, Falle slo B es de un 15%, Fallen A y B es de un 15% a) Calcular la probabilidad de que al menos uno de los dos subsistemas fallen. b) Determine la probabilidad de que falle slo A. c) Encuentre la probabilidad de que no falle el subsistema A ni el subsistema B. P2.7 Suponga que A y B son eventos independientes, tal que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es a y la probabilidad de que ocurra B es b

Verifique la siguiente probabilidad P(A) = b

ab

1

1 .

P2.8 Una cadena de tiendas de pintura produce y vende pinturas de ltex y semiesmaltada. Con base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre ltex es de 0,75. De los que compran pintura de ltex, 60% tambin compran rodillos. Pero 30% de los compradores de pintura semiesmaltada compran rodillos. Un comprador que se selecciona al azar compra un rodillo y una lata de pintura. Cul es la probabilidad de que la pintura sea de ltex?

P2.9 En un evento de alta cocina, se han presentado los ms selectos cheff para concursar. La comisin est formada por tres exigentes expertos en el tema y cada uno de ellos evala colocando su nota en un sobre cerrado sin emitir juicio alguno. Se sabe que el experto 1 tiene una probabilidad de colocar una calificacin aceptable de un 65%, el experto dos y tres tienen una probabilidad de un 45% y un 70% respectivamente.

a) Cul es la probabilidad que a un concursante uno de ellos coloque una nota aceptable? b) Cul es la probabilidad que ninguno de los tres coloque una nota aceptable?


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P2.10 Suponga que los sucesos A y B son independientes. Pruebe que los eventos AC y BC son independientes. P2.11 A tres chferes para un examen de conducir, Pedro, Juan y Diego se les entrega un mismo problema de trnsito para resolverlo. Ellos trabajan el problema independientemente y tiene la probabilidad de 0.8, 0.7 y 0.6 de resolverlo respectivamente. a) Cul es la probabilidad que ninguno resuelva el problema? b) Dado que el problema fue resuelto, Cul es la probabilidad que la solucin sea dada slo por Diego? T2.1 Considere el experimento en que se lanzan dos dados, diferenciado por el color blanco y negro. Si estamos interesados en observar el producto del puntaje obtenido en los dados: a) Elabore una tabla de doble entrada de posibles valores. b) A qu valor apostara usted? Justifique probabilsticamente. T2.2 Un diagrama de rbol corresponde a una representacin grfica de un experimento que tiene varias etapas con un nmero finito de posibilidades y representada mediante ramas. EL nmero total de posibilidades del experimento se obtienen contando las ramas finales del rbol. Una mquina ha producido 4 dispositivos defectuosos y 3 buenos. Mediante un diagrama de rbol calcular la probabilidad de obtener 2 dispositivos defectuosos y 1 bueno en tres extracciones sucesivas sin reemplazo. Obtener 3 dispositivos defectuosos o 3 dispositivos buenos. T2.3 Hay n hojas de fotocopiadoras en una central de apuntes, de los que 3 estn con algn tipo de defecto. Supongamos que, si se eligen dos hojas aleatoriamente, la probabilidad de que ambas sean defectuosas es . Encuentre n. T2.4 Considere tres cajas C1, C2, y C3 con la siguiente composicin: C1 = {3 fichas verdes y 2 amarillas}, C2 = {4 verdes y 2 amarillas}, C3 = {1 verde y 4 amarillas} Suponga que seleccionamos aleatoriamente una ficha de una de las cajas: a) Defina los sucesos de inters y sus correspondientes asignaciones de probabilidades. b) Cul es la probabilidad que la ficha extrada sea verde? c) Habiendo extrado una ficha amarilla Cul es la probabilidad que proceda de la caja 2? d) Si juntamos todas las fichas en una sola caja y seleccionamos tres fichas secuencialmente, una tras otra, Cul es la probabilidad que las dos primeras sean verdes y la ltima sea amarilla? T2.5 Una urna contiene inicialmente a bolas blancas y b negras. Cada vez que se extrae una bola se apunta el color y se devuelve a la urna junto con otra bola del mismo color. Cul es la probabilidad de que las dos primeras extracciones se obtengan bolas negras? T2.6 El Tringulo de Pascal es un tringulo formado por nmeros enteros positivos. Se puede utilizar para calcular la probabilidad de ocurrencia de un cierto suceso en un cierto experimento. Caractersticas:


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a) Todas las filas del tringulo comienzan y terminan por la unidad, y son simtricas respecto al valor central. b) Cada nmero del tringulo corresponde a la suma de los dos nmeros ubicados arriba de l. Estos coeficientes representan la cantidad de casos favorables de un determinado suceso. c) La suma de todos los elementos de cada fila corresponde al valor 2n, siendo n el orden de la fila. Este valor indica la cantidad de casos posibles de un determinado suceso. d) Se puede seguir su construccin de manera infinita.

Determinar la probabilidad de obtener igual nmero de dispositivos defectuosos y buenos al extraer seis dispositivos. T2.7 Sean A y B dos eventos cualesquiera asociados a un experimento, tales que

( )AP = 8

1 y ( )BP = 4

3 . Determine ( )BAP c si: a) A y B son mutuamente excluyentes. b) A y B son independientes; c) A es subconjunto de B. T2.8 Supongamos que se lanzan dos dados bien construidos, de modo que cada uno de los 36 resultados posibles son igualmente probables. A denotar el suceso consistente en que resulten un 3 en el primer lanzamiento, B denotar el suceso consistente en que la suma de los dos lanzamientos sea 8, y C denotar el suceso que la suma de los lanzamientos sea 7. a) A y B son eventos independientes? b) A y C son eventos independientes? T2.9 Tres mquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fbrica. Los porcentajes de produccin defectuosa de estas mquinas son del 3%, 4% y 5%. Seleccionamos una pieza al azar y resulta ser defectuosa, Qu mquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa? Fundamente su respuesta. T2.10 Se sabe que el 30% de los crditos otorgados por un banco son para compra de viviendas, el 50% para compra de vehculos y el 20% de libre disposicin. Se sabe adems que el 5% de los crditos para compra de vivienda, y 2% de libre disposicin no son ocupados para el fin de lo solicitado. Tambin se sabe que el 93.6% de los crditos se ocupan de acuerdo a lo indicado en la solicitud. a) Determine la probabilidad que un cliente que solicita crdito para compra de vehculo lo ocupe para el fin solicitado. b) Si un cliente no ocupa el crdito de acuerdo a su solicitud. Cul es la probabilidad que el crdito se solicit para la compra de vivienda? c) Cul es la probabilidad que un cliente solicite un crdito para libre disposicin y lo ocupe para este fin? T2.11 Un anlisis para detectar escapes en una planta de energa nuclear descarta un escape en el 95% de los casos cuando la planta est funcionando correctamente, y seala la falla en un 99% de los casos cuando realmente hay un escape. Si de todas las plantas existentes en determinado pas se sabe que el 1% de las plantas tienen fallas de escape, responder:


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a) Cul es la probabilidad de que se haya cometido un error, si se analiza una planta cualquiera y el resultado del anlisis indica que hay un escape? b) Cul es la probabilidad que en una planta elegida al azar no se detecte un escape?

U3. Variables Aleatorias Discretas y Distribuciones de Probabilidad P3.1 Un fabricante tiene cinco terminales de computadores aparentemente idnticos listos para ser enviados a su destino. El no sabe que dos terminales son defectuosos. Recibe un pedido especial de dos terminales y lo surte seleccionando al azar dos de los cinco disponibles. Considere la variable aleatoria que mide el nmero de terminales defectuosos del lote. a) Determine la funcin de probabilidad f(x) de la v.a.d. X. b) Determine la funcin de distribucin acumulada de X. c) Determine la probabilidad de que al menos un terminal sea defectuoso. d) Obtenga el valor esperado del nmero de terminales defectuosos en el lote. P3.2 Cul es el canal ms visto en la t.v chilena, por la noche? Una encuesta en internet estima que, cuando se consulta por la preferencia entre los programas estelares de Canal 13 y Chilevisin, un 52% de los consultados prefiere ver el estelar de Chilevisin. Si se seleccionan al azar 3 televidentes nocturnos y se le consulta cul de las dos estaciones televisivas prefiere para ver un estelar. a) Obtenga la distribucin de probabilidades para X, el nmero de personas de la muestra que prefiere ver Chilevisin. b) Construya un histograma para p(x). c) Cul es la probabilidad de que una de las tres personas consultadas prefiera a Chilevisin? d) Cul es la media y la desviacin estndar para X? P3.3 En una Empresa se defini la variable aleatoria X como el nmero de computadores con defecto de partidas de dos computadores de este tipo. Su funcin de probabilidad est dada por:

=

=

coe

xsix

kxp

x

..0

12,0 !5

1)(

Determinar la constante k y calcular P( X 1) . Adems, encuentre la funcin distribucin de X. P3.4 Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen despus de diferente nmero de aos. Dada la distribucin acumulada de T, el nmero de aos para el vencimiento de un bono seleccionado aleatoriamente es:


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=


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P3.10 Las fallas en un determinado tipo de gra que se emplea en la construccin de edificios ocurren a razn de 1 cada 24 horas de operacin. El sistema de mantenimiento contempla una inspeccin cada 8 horas. a) Determinar la probabilidad de que en 48 horas de operacin ocurran por lo menos dos fallas. b) Cul es el nmero esperado de fallas en 72 horas? T3.1 Cada da un ingeniero utiliza la mquina C o la mquina D. Si se registra 4 das consecutivos la mquina utilizada, a) Determine el espacio muestral. b) Suponiendo que cada da se elige la mquina D con probabilidad 2/3 e independiente de la decisin de los otros das, obtenga las probabilidades de todos los resultados elementales. c) Considere la variable aletoria X como el nmero de das consecutivos que utiliza la mquina C. Determine el valor de X para cada resultado elemental y el recorrido de X. d) Calcule el nmero esperado de das consecutivos que utiliza la mquina C. e) Calcular la desviacin estndar de la v.a. X. f) Obtener la funcin de distribucin acumulada FX(x) de la v.a. X. Grafique la funcin. T3.2 Un animal muere (M) o sobrevive (S) en el curso de un experimento qurrgico. El experimento ser ejecutado con dos animales, si ambos sobreviven, no se realizar ningn otro ensayo; si exactamente un animal sobrevive, a uno ms se le aplicar el experimento. Finalmente, si ambos mueren, sern tratados dos adicionales. a) Listar el espacio muestral asociado al experimento. b) Suponga que los ensayos son independientes y que la probabilidad de sobrevivencia en cada ensayo es 2/3. Asigne probabilidades a los resultados elementales. c) Denotemos la v.a. X como el nmero de sobrevivientes. Obtenga la distribucin de probabilidades {o funcin de cuanta (x, P(X=x)} de la v.a.d. X. d) Determine el nmero de sobrevivientes esperados en este experimento. e) Obtener la varianza y la funcin de distribucin acumulada. T3.3 En un hospital, durante un ao especfico, se registraron las siguientes masas en los recin nacidos. Calcular la masa esperada al nacer para el ao especfico en el mismo hospital.

Masa al nacer (gramos) Cantidad de nios 2300 48 3150 22 2900 30 3420 15 3215 20


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T.3.4 En una industria manufacturera se registraron los artculos defectuosos, tal que la variable aleatoria X toma los valores 0, 1, 2 y 3 con sus respectivas probabilidades (2k-3)/10, (k+1)/10, (k-1)/10, (k-2)/10. a) Determine la funcin de cuanta y calcule las probabilidades P(X > 1) y P(X < 3) b) Obtenga la esperanza matemtica E(X) y la varianza V(X). c) Determine y grafique la funcin de distribucin acumulada de la v.a.d. X. Elaborar preguntas donde tenga que calcular probabilidades usando la funcin distribucin FX(x). T3.5 Un ingeniero ha comprobado que 45 de los 150 accidentes industriales en su planta hidrolgica, en los ltimos cinco aos, se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Determine la probabilidad de que de 84 nuevos posibles accidentes, entre 20 y 30 se deban a negligencias de los empleados. T3.6 Representar grficamente la distribucin B (n,p) para distintos valores de sus parmetros n y p. Por ejemplo, para los valores p = 0,3 con n = 4, 8, 24 y para p = 0,1 con n = 4, 8 y 50. Qu observa de las grficas para los distintos valores de los parmetros? T3.7 Experimento con dados. Suponga que gana si obtiene un nmero impar al lanzar un dado normal. Usted gana si obtiene ms del 70% de nmeros impares del total de lanzamientos. Considere los ensayos para n = 10, 30, 60 y 100. a) Calcular la probabilidad de ganar en los cuatro casos. Para el nmero de lanzamientos grandes utilice el applet de la distribucin de probabilidad binomial. b) Mediante la generacin de nmeros aleatorios en Excel y la condicin de p = P(E) de variables aleatorias Bernoulli, determine las posibilidades de ganar en los casos anteriores, a travs de la probabilidad como frecuencia relativa. T.3.8 Un sistema est formado por 100 componentes cada una de las cuales tiene una confiabilidad igual a 0,95. (Es decir, la probabilidad de que la componente funcione correctamente durante un tiempo especfico es igual a 0,95). Si esas componentes funcionan independientemente una de otra, y si el sistema completo funciona correctamente cuando al menos funcionan 80 componentes, Cul es la confiabilidad del sistema? T.3.9 Un fabricante de dispositivos semiconductores toma muestras de chips y los prueba; cada chip es clasificado como defectuoso o no defectuoso. Sea Xi =0 si el chip no es defectuoso y Xi =1 si el chip es defectuoso. Suponga que ambos sucesos tienen igual probabilidad. a) Si el fabricante prueba 5 chips, determine la probabilidad de obtener a lo ms un chip defectuoso, a lo ms dos chips defectuosos. b) Si el fabricante toma una muestra de 60 chips, calcule la probabilidad de obtener entre 5 y 15 chips defectuosos; entre 25 y 35; entre 50 y 60; de obtener a lo ms un chip defectuoso; a lo ms dos chips defectuosos. Qu observas? c) Calcule la probabilidad de obtener un total superior a 105 chips defectuosos; si se analizan 20 cajas de 6 chips cada uno.


16

T.3.10 Un lote de 30 tubos de TV a color se somete a inspeccin. El procedimiento consiste en extraer 5 al azar, sin reemplazo y someterlos a prueba. Si menos de 3 tubos fallan, el lote es aceptado. De otra manera el lote es rechazado. Suponga que el lote contiene 4 defectuosos. a) Cul es la probabilidad que el lote sea rechazado? b) Cul es el nmero esperado de tubos defectuosos en la muestra? c) Cul es el nmero esperado de tubos no defectuosos en la muestra?

U4. Variables Aleatorias Continuas y Distribuciones de Probabilidad P4.1 Ciertas barras de metal se generan mediante una aleacin en que se combinan dos metales. Las barras contiene cierto porcentaje (%) de plomo que puede ser considerado como una variable aleatoria X y funcin de densidad

=

...0

10005000)(

coe

xsix

xf X

El costo de producir una barra, depende fuertemente del porcentaje de plomo, adems de

los costos fijos y est dado por: 43)( 2 += XXW a) Calcular la funcin de distribucin acumulada de X b) Determine la probabilidad que el porcentaje de plomo contenido en una barra cualquiera vare de 20% a 80% c) A partir de la funcin distribucin de X, determine la funcin densidad de probabilidad para los costos. d) Calcule la esperanza del costo de producir una barra. P4.2 Para ciertas muestras de minerales la proporcin de impurezas por muestras, X, es una variable aleatoria con una funcin densidad de probabilidad dada por:

+

=

...0

105

4

5

2)(

coe

xsixXf

a) Obtener la funcin de distribucin acumulada de X. b) Usando slo la funcin de distribucin, calcular la probabilidad que la proporcin de impurezas por muestras es ms de 0.8. c) Determine el primer cuartil de la distribucin. d) El valor en dlares de cada muestra es Y = 5 - 0.5X. Determine e interpretar el valor esperado de Y. P4.3 Suponga que el tiempo de respuesta en cierta terminal de computadoras en lnea (tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y principio de la respuesta del sistema a esa consulta) es una variable aleatoria exponencial con tiempo esperado de respuesta igual a 5 segundos.


17

a) Obtener la probabilidad que el tiempo de respuesta a una consulta sea menos de 10 segundos. b) Cul es la probabilidad de que se realicen por lo menos dos respuesta en un periodo de 10 segundos? P4.4 Considere la v.a. X peso en bolsa de un fertilizante inorgnico para csped con distribucin uniforme de peso medio 25 libras y un recorrido de 2.4 libras. a) Calcule la probabilidad de comprar una bolsa con ms de 25.5 libras. b) Escriba la funcin de distribucin de X y sela para resolver nuevamente la parte a). c) Sea P = 500 +100X, la variable aleatoria correspondiente al precio, en pesos, de una bolsa. Cul es la f.g.m. de P? d) Cul es el precio esperado de una bolsa de fertilizante? (Utilice dos formas distintas). P4.5 Los camiones llegan al puerto de carga a una tasa de 2 por hora. Cul es la probabilidad de que ms de 30 minutos transcurran entre llegadas? P4.6 En los das de verano el tiempo de retraso de un tren de enlace suburbano se puede modelar como distribuida uniformemente entre 0 y 20 minutos. a) Encuentre la probabilidad de que el tren llegue por lo menos con 8 minutos de retraso. b) Encuentre la desviacin estndar del tiempo de retraso del tren. P4.7 Si el volumen de una mquina automtica en latas de una bebida gaseosa tiene una distribucin normal con media de 12.4 onzas de lquido y desviacin estndar de 0.1 onzas de lquido. Se pide: a) Defina la variable en estudio, y escriba su f.d.p. b) Interprete la E[X]. c) Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.2 o ms de 12.8 onzas de lquido. Cul es el % de latas desechadas? d) Si la media de la operacin de llenado puede ajustarse con facilidad, pero la desviacin estndar sigue teniendo el mismo valor, 0.1 onzas de lquido, Qu valor debe darse a la media para que el 99.85% de todas las latas contengan ms de 12.2 onzas de lquido?

P4.8 Se X variable aleatoria con funcin generadora de momentos 21878)( ttX etM

+= y sea Y

variable aleatoria con funcin generadora de momentos 22250)( ttY etM

+=

a) Calcular x0 tal que P(X x0)= 0.8943 b) Calcular P(Y < 65.46) c) Calcular P(121.9 < X + Y < 139.0) P4.9 La experiencia de una empresa qumica al aplicar una prueba a universitarios recin egresados que han solicitado trabajo, revel que la puntuacin media fue de 500, y la desviacin estndar, 50. La distribucin de las calificaciones fue normal.


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a) Con base en esta experiencia, la direccin est considerando aceptar una persona cuya puntuacin est en el 6% superior de la distribucin, y contratarla directamente para un puesto de responsabilidad. Cul es la puntuacin ms baja que debe tener un egresado universitario para calificar para un puesto de responsabilidad? b) Tambin, con base en el desempeo pasado, el director de personal planea no tomar en cuenta a las personas que tengan puntuaciones de 400 o menos en la prueba. Aproximadamente qu porcentaje de los solicitantes no se tomarn en cuenta? c) Debido al nmero limitado de vacantes este ao, los solicitantes con puntuaciones entre 400 y 485 se pondrn en espera o reserva. Qu porcentaje de los solicitantes quedar en espera? d) Debido al nmero limitado de vacantes este ao, los solicitantes con puntuaciones entre 400 y 485 se pondrn en espera o reserva. Si solicitaron trabajo en la empresa un total de 1000, Cuntos quedarn en la clasificacin de espera? T4.1 La fdp. del tiempo de falla (en horas) de un componente electrnico de una copiadora es:

>

=

...0

01000

1)(

1000

coe

yeyf

y

a) Calcular la funcin de distribucin de Y. b) Usando la respuesta de la parte a), determine la probabilidad que el componente tarde ms de 3000 horas en fallar. c) Usando la parte a), calcular el nmero de horas en que fallar el 10% de todos los componentes. d) Determine la f.g.m. de Y y a partir de ella obtenga el tiempo medio de falla y su desviacin estndar. T4.2 Dada la siguiente fdp. del tiempo de falla (en horas) de un componente electrnico de una copiadora es:

>

=

...0

0001.0)(

001.0

coe

yeyf

y

a) Determine la probabilidad que el componente tarde en fallar entre 2800 y 3100 horas. b) Calcular la confiabilidad que tarde ms de 106 horas en fallar todos los componentes. T4.3 Un laboratorio produce fertilizante inorgnico para csped. Uno de los tipos de fertilizante se vende en bolsas de peso uniformemente distribuido con un peso medio de 25 libras y un recorrido de 2.4 libras. a) Calcule la probabilidad de comprar una bolsa con ms de 25.5 libras. b) Escriba la funcin de distribucin de X y sela para resolver nuevamente la parte a). c) Sea P = 500 +100X, la variable aleatoria correspondiente al precio, en pesos, de una bolsa. Cul es la f.g.m. de P? d) Cul es el precio esperado de una bolsa de fertilizante? (Utilice dos formas distintas).


19

T4.4 Suponga que durante la ejecucin de un concierto, una persona tiene accesos espordicos de tos fuerte de manera prcticamente aleatoria, a un ritmo de 6 accesos de tos por hora. Si sus accesos de tos son acontecimientos de Poisson. a) Cul es la probabilidad de que la persona tosa a lo ms una vez durante 15 minutos? b) Cul es la probabilidad de que un acceso de tos demore ms de media hora? T4.5 Suponga que el dimetro de un cable elctrico est normalmente distribuido con un promedio de 0.8 pulgadas y una varianza de 0.004 pulgadas. a) Si se elige un cable al azar, cul es la probabilidad que su dimetro sea menor que 0.85 pulgadas? b) Qu dimetro deberan tener los cables de modo que el 87.7% de ellos no excedan de este valor? T4.6 En el bar de los buenos muchachos, se ha instalado una mquina para la venta de cervezas. La mquina puede regularse de modo que la cantidad media de cerveza por vaso sea la que se desee; sin embargo, en cualquier caso esta cantidad es una variable aleatoria con una distribucin normal con una desviacin estndar de 5.9 cc. a) Si el nivel se ajusta a 501 cc, Qu porcentaje de los vasos contendr menos de 487 cc? b) A qu nivel medio debe ajustarse la mquina para que el 83.15% de los vasos contenga ms de 490 cc? T4.7 Si Z ~ N (0, 1), entonces compruebe que:

a) P ( Z 1.96) = 0.975 b) P ( -1.96 Z 1.96) = 0.95 c) P (( Z >1.96) = 0.025

T4.8 Si X ~ N (10, 100), entonces compruebe que:

a) P (X < 9.5) = 0.4801 b) P (X 11) = 0.4602 c) P( 0 X 20) = 0.6826

T4.9 Determine la varianza de la variable aleatoria X mediante la funcin generadora de momentos de X con funcin densidad dada por:

)5,0exp(25,0)( xxxf = , x > 0 T4.10 La distribucin de Weibull se utiliza ampliamente en problemas de Estadstica relacionados con el envejecimiento de materiales aislantes slidos sujetos a esfuerzo y envejecimiento. Considere la variable aleatoria del tiempo (en horas) para la falta de especimenes de aislante slidos sometidos a un voltaje de CA. Los valores de los parmetros dependen del voltaje y temperatura; suponga = 2,5 y = 200.


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a) Cul es la probabilidad de que la duracin de un espcimen est entre 100 y 200? b) Qu valor es tal que exactamente 50% de todos los especimenes tengan duracin que exceda ese valor? T4.11 Suponga que la proporcin X de rea superficial de un cuadrante seleccionado al azar, cubierto por cierta planta, tiene una distribucin beta con = 5 y =2. a) Determine esperanza y varianza. b) Calcule P(0,2 40, X ).

U5. Distribuciones Muestrales P5.1 Considere dos variables aleatorias X1 y X2 con respectivas medias de 15 y 10, desviaciones estndar de 5 y 10 y coeficiente de correlacin de - 0.6. Calcular la media y desviacin estndar de la variable W = 2 X1 - 3 X2. P5.2 Sea X el nmero de paquetes que enva por correo un cliente seleccionado al azar, en cierta oficina de envos. Suponga que la distribucin de X es como sigue: x 1 2 3 4 P(X = x) 0,4 0,3 0,2 0,1 a) Considere una muestra aleatoria de tamao n = 2 (dos clientes) y sea 212 XXS += el total de paquetes enviados. Obtenga la distribucin muestral de S2. Compare la grficas de

1X y de S2 (se sugiere hacer la representacin en papel y con Excel) b) Calcule para n = 2, la probabilidad P (S2 > 4) c) Si se selecciona una muestra aleatoria de tamao n = 3, cul es la probabilidad de que el total de paquetes enviado por los tres clientes sea exactamente de 4 paquetes. P5.3 Una mquina produce artculos con cierto tipo de defecto, identificados como 0, 1 y 2. Suponiendo que en una partida hay 20 artculos sin defecto, 30 con un defecto y 50 con dos defectos. Se saca un artculo al azar y se anota su valor 1X . La distribucin de 1X ser:

=

=

=

==

25,0

13,0

02,0

)( 1x

x

x

xXP

Suponga que el artculo escogido primero se sustituye y luego se escoge un segundo artculo y se anota su valor, 2X . Obtenga la distribucin de la suma 212 XXS += .

Adems, calcular la esperanza de 2S y comentar en relacin a la media de la poblacin.

P5.4 Considere la siguiente poblacin {1,3,5,7,9} a) Listar los nmeros de tamao 2 b) Determine la distribucin de frecuencias de los rangos muestrales de tamao 2, donde Xi = Xmax Xmin Qu observas?


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c) Elabore un grfico adecuado y comente. d) Obtenga el promedio de los rangos muestrales y compare con la media de la poblacin. Qu observas? e) Obtenga la varianza de los rangos muestrales y compare con la varianza de la poblacin. Qu observas? P5.5 Un ingeniero ha comprobado que 45 de los 150 accidentes industriales en su planta hidrolgica, en los ltimos cinco aos, se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Determine la probabilidad aproximada de que de 84 nuevos posibles accidentes, entre 20 y 30 se deban a negligencias de los empleados. P5.6 Los conductores profesionales que acuden al Departamento de Trnsito de una Municipalidad, deben rendir su examen que tiene puntaje de 1 a 100 puntos. Si un conductor obtiene menos 80 puntos reprueba el examen, y no se le renueva la licencia. La experiencia ha mostrado que los puntajes obtenidos por estos conductores siguen una distribucin normal con media 75 y varianza 100. a) Cul es la probabilidad que un conductor cualquiera renueve su licencia? b) Suponga que los conductores que se encuentran en el 10% de la parte superior de la distribucin se le asigna una licencia tipo A. Cul es el puntaje mnimo que debe obtener un conductor para obtener una licencia tipo A? c) Suponga que 10 conductores rinden este examen simultneamente y que el puntaje

101 ,,,,,,,, xx que obtengan se consideran variables aleatorias independientes e idnticamente

distribuidas de esta poblacin de los posibles puntajes. Cul es la probabilidad que el puntaje total de estos exmenes supere los 800 puntos? P5.7 La seora Andrea es Ingeniero de una gran compaa de tarjetas de crdito y sabe que en promedio, el saldo mensual de determinado cliente es de U$110 y la desviacin estndar es U$10. Si el saldo est distribuido normal. a) Cul es la probabilidad de que el saldo de este cliente sea mayor que U$112? b) Cul es la probabilidad de que el saldo promedio de una muestra de tamao 25 sea mayor que U$112? c) Cul es la probabilidad de que la varianza muestral de 25 saldos sea a lo ms 57,7? d) Si la desviacin estndar poblacional es desconocida y el valor calculado a partir de una muestra de tamao 25 es 14.6 Cul sera su respuesta para b) en este caso? P5.8 Se toma una muestra aleatoria de tamao 16 de una poblacin normal que tiene una media de 75 y una desviacin estndar de 8. De otra poblacin normal de media 70 y desviacin estndar de 12, se toma una muestra aleatoria de tamao 9. Sean 1X y 2X las medias respectivas de cada muestra. a) Encuentre la probabilidad de que 1X - 2X sea mayor que cuatro.

b) De las muestras aleatorias se obtuvo las siguientes varianzas muestrales 21S = 49 y


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22S = 121. Suponga que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales. Calcular

ahora la probabilidad dada en a). c) Enuncie preguntas sobre obtener tamaos de muestra y clculo de error de estimacin. P5.9 El peso medio del equipaje registrado por un pasajero de la clase turista, seleccionado al azar, que vuela entre dos ciudades en cierta aerolnea, es de 40 libras y la desviacin estndar es 10 lb. La media y desviacin estndar para un pasajero de clase ejecutiva son 30 lb y 6 lb, respectivamente. Suponga que los pesos individuales de equipaje son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas. a) Si hay 50 pasajeros de clase turista y 12 pasajeros de clase ejecutiva en un vuelo particular Cul es la probabilidad de que el peso total del equipaje sea a lo sumo 2500 lb? b) Si en el prximo vuelo la reserva indica que hay igual cantidad de pasajeros de clase turista y ejecutiva, determine el nmero de pasajeros de clase turista y ejecutiva tales que la diferencia de los pesos promedios muestrales de los equipajes se aleje a lo ms en tres libras de la diferencia de los pesos de las medias poblacionales, con una probabilidad de 0.95. P5.10 Cierto tipo de componente electrnico tiene una duracin X (en horas) con funcin de densidad de probabilidad gamma de parmetros = 2, , dada por:

/2

1)( xexxf = para x > 0; y f(x) = 0 en cualquier otro punto.

Considere los siguientes estimadores para : 1 = y 2 =

a) Qu estimador recomienda Usted y por qu? Fundamente. b) Determine el estimador mximo verosmil para . P5.11 La vida til de un tipo de batera est normalmente distribuida con valor medio de 10 horas y desviacin estndar de 1 hora. Hay cuatro bateras en un paquete. Qu valor de vida til es tal que la vida til total de todas las bateras contenidas en un paquete exceda ese valor en slo 5% de todos los paquetes. P5.12 Represente por X1, X2, ., Xn una muestra aleatoria con la siguiente funcin densidad de probabilidad:

;

/ , x > 0

a) Determine el estimador de mxima verosimilitud de y despus calcule la estimacin para los datos de esfuerzo vibratorio. Las 10 observaciones sobre esfuerzo vibratorio de una paleta de turbina bajo condiciones especficas son:

16.88 10.23 4.59 6.66 13.68 14.23 19.87 9.40 6.51 10.95 b) Utilice el hecho que E(X 2) = 2, para determinar si el estimador de mxima verosimilitud es insesgado de .


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T5.1 Una empresa tiene 20 representantes de ventas que venden su producto. A continuacin se listan los nmeros de unidades vendidas durante un mes por cada representante. Supngase que tales cifras son una poblacin de valores:

2 3 2 3 3 4 2 4 3 2 2 7 3 4 5 3 3 3 3 5 a) Elabore un grfico de la poblacin b) Calcule la media poblacional c) Seleccione al azar cinco muestras de 5 elementos cada una, y calcule la media de cada muestra. Determinar los integrantes de cada muestra. d) Compare la media de la distribucin de medias muestrales, con la media de la poblacin. Se esperara que fueran iguales? e) Trace un histograma de las medias muestrales. Observa alguna diferencia entre la forma de la distribucin de dichas medias y la distribucin de la poblacin? T5.2 Una mquina produce artculos con cierto tipo de defecto, identificados como 0, 1 y 2. Suponiendo que en una partida hay 20 artculos sin defecto, 30 con un defecto y 50 con dos defectos. Se saca un artculo al azar y se anota su valor 1X . La distribucin de 1X ser:

=

=

=

==

25,0

13,0

02,0

)( 1x

x

x

xXP

a) Suponga que el artculo escogido primero se sustituye y luego se escoge un segundo artculo y se anota su valor, 2X . Elabore la distribucin de la media muestral

2)( 212 XXZ += b) Nuevamente, supongamos que despus de que el segundo artculo ha sido tambin reemplazado, se escoge un tercer artculo y se anota su valor 3X . Verifique que la v.a.

3)( 3213 XXXZ ++= tiene la siguiente distribucin muestral para la media muestral:

3z 0 1/3 2/3 1 4/3 5/3 2 )( 33 zZP = 0,008 0,036 0,114 0,207 0,285 0,225 0,125

T5.3 Una fbrica realiz numerosos estudios acerca de la duracin en das de sus lminas al sumergirla en el agua de cierta ciudad. a) La probabilidad aproximada, en una muestra aleatoria de 121 lminas, de que la diferencia entre la duracin esperada m y la duracin media sea mayor o igual a 180 das es de 0,1. Si la duracin de dichas lminas est distribuida exponencial Cul es el valor de la media ? b) Suponga que la duracin de las lminas se distribuye normal con media 2160 das y varianza desconocida. Si se toma una muestra de 18 lminas y nos da una desviacin estndar de 592 das Cul es la probabilidad que la media muestral dure ms de 2346 das?


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T5.4 Una empresa de servicios financieros tiene 40 sucursales de similar tamao a travs del pas. Cada sucursal tiene ventas anuales que constituyen una variable aleatoria con distribucin normal con desviacin estndar de 4 UF (miles). Determine la probabilidad de que la desviacin estndar muestral sea mayor que 3,115177 UF (miles). T5.5 A una hora determinada, sea Z el nmero de viajeros que llegan a una estacin en un vagn del metro de la ciudad de Santiago de Chile. Se cuenta el nmero X de pasajeros que ingresan; el nmero Y de viajeros que salen. El metro se va con U personas. Las variables X, Y, Z son variables aleatorias independientes cuya distribucin es normal:

X ~N(40; 9), Y ~ N(30; 12), Z ~ N(100; 20). a) Generar 200 valores para cada una de las variables X; Y; Z. b) Obtener 10 muestras de tamaos: 100 y 150 de cada una de las variables X; Y;Z y calcular su esperanza y varianza. Qu comportamiento observa de dichos valores? c) Obtener la distribucin de probabilidades de la variable aleatoria U. T5.6 Suponga una poblacin formada por 300 tiendas, donde el nmero de horas que diariamente permanecen abiertas esas tiendas tiene distribucin Uniforme de parmetros 0 y 50. a) Genere una poblacin de 300 tiendas correspondientes al nmero de horas que permanecen abiertas las tiendas. Calcule el tiempo promedio y la varianza del nmero de horas que estn abiertas las tiendas de la poblacin. b) Tome 5 muestras de tamao: 50, 80, 100, 200 y 250 correspondiente al nmero de horas que permanecen abiertas las tiendas. Obtenga la media y la varianza de cada una de las muestras. Qu comportamiento tienen estos valores? c) Realizar un histograma para cada una de las muestras obtenidas en b).

T5.7 Se ha extrado una muestra de tamao 3 de una poblacin normal de media y varianza desconocidas y 2 respectivamente. Considere los estimadores para :

=

y =

Qu estimador recomienda Usted y por qu? Fundamente.

T5.8 Suponga que la resistencia a la tensin esperada de acero tipo A es de 105 kg/pulg2 y que la desviacin estndar de la resistencia a la tensin es de 8 kg/pulg2. Para acero tipo B, suponga que la resistencia a la tensin esperada y la desviacin estndar de la resistencia a la tensin son de 100 kg/pulg2 y 6 kg/pulg2, respectivamente. Considere la resistencia a la tensin promedio de una m.a. de 40 especmenes tipo A, y la resistencia a la tensin promedio de una m.a. de 35 especmenes tipo B. Ambas muestras son independientes provenientes de poblaciones normales. a) Cul es la distribucin de ! " . Justifique su respuesta. b) Calcular la siguiente probabilidad P ( -1 # ! " # 1 ) c) Calcular la siguiente probabilidad, para la muestra de tipo A, P ( S2 > 95.377 )


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U6. Inferencia Estadstica

P6.1 Pepe planea comprar una flota de nuevos taxis para sus operaciones en una ciudad. La decisin depende de si el rendimiento del auto en consideracin es por lo menos 27.5 millas por galn de gasolina. Los 36 autos que comprueba la compaa de Pepe reportan una media de 25.6 millas por galn (MPG), con una desviacin estndar de 3.5 MPG. A un coeficiente de confianza del 99%, Qu aconsejara a Pepe que hiciera? Suponga normalidad. P6.2 Un departamento municipal est interesado en estimar el ingreso medio anual de 700 familias que viven en una seccin de 4 manzanas de su distrito, para ello toma una muestra aleatoria de 50 familias encontrando un ingreso medio de 11800 M$ con una desviacin estndar de 950 M$. Se sabe que el ingreso anual de familias tiene distribucin normal con desviacin estndar de 900M$. P6.3 Determine un intervalo de confianza del 90%, 95% y 99% para el ingreso medio verdadero de las familias de la seccin 4. b) Compare dichos intervalos, Qu puede deducir de su comparacin? c) Qu ocurre con sus intervalos si la desviacin estndar se puede reducir a la mitad? d) Qu ocurre con sus intervalos anteriores si aumenta su tamao muestral a 100 familias pero manteniendo la desviacin estndar de 950 M$? P6.4 Se realiza un estudio para determinar el efecto de la lluvia cida y otros contaminantes industriales en el agua de lagos. Se obtienen muestras aleatorias, provenientes de poblaciones normales, de diez lagos en un rea muy industrializada y de otros ocho en un rea boscosa virgen. Los datos del pH del agua son los siguientes: rea Industrial rea Virgen 6.9 7.0 7.0 6.8 6.2 6.5 6.9 7.0 6.3 6.6 6.7 7.0 5.9 5.5 7.1 7.2

6.0 7.3 a) Mediante un intervalo de confianza del 95% verifique la hiptesis de igualdad de varianzas poblacionales. b) Determine un intervalo de confianza del 95% para las diferencias de medias. Es posible afirmar que el pH del agua promedio en el rea industrializada tiende a ser ms bajo que en el rea virgen? c) Determine un intervalo de 99% de confianza para la desviacin estndar del rea industrial. d) Determine un intervalo de confianza del 90% para el PH promedio del agua en el rea virgen.


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P6.5 La longitud de las barras producidas por una cadena de produccin es una v.a. con distribucin normal y desviacin tpica 1.8 mm. Se extrae una m.a.s. de 9 observaciones y se obtiene el siguiente intervalo de confianza al nivel del 99% para la longitud media poblacional: [194.65, 197.75]. El director cree que el intervalo es demasiado amplio y exige uno con el mismo nivel de confianza pero cuya longitud no sea superior a 1mm. Cuntas observaciones debe tener la muestra para construir dicho intervalo? P6.6 En una encuesta de opinin pblica, 320 de un total de 400 personas entrevistadas se pronunciaron en contra de la ley de Impuesto. a) Establezca un intervalo de confianza del 95% para estimar la proporcin de personas que estn en contra de esta ley. b) Se desea estimar la proporcin p, de error mximo de 3% con un nivel de confianza de 99%. Qu tamao de muestra se requiere para asegurar esta precisin? c) Con qu nivel de confianza puede afirmarse que la proporcin de personas que estn en contra de esta ley est entre 77% y 83%? P6.7 Un artculo report que para una muestra de 50 cocinas con estufas de gas monitoreadas durante una semana, el nivel de CO2 medio muestral (ppm) fue de 654.16 y la desviacin estndar muestral fue de 164.43. a) Calcular e interpretar un intervalo de confianza de 95% para un nivel de CO2 promedio verdadero en la poblacin de todas las casas de la cual se seleccion la muestra. b) Suponga que el investigador haba hecho una suposicin preliminar de 175 para el valor de S antes de recopilar los datos. Qu tamao de muestra sera necesario para obtener un ancho de intervalo de 50 ppm para un nivel de confianza de 95%? c) Calcular nuevamente el apartado a) pero considerando ahora slo el nuevo valor del tamao de muestra encontrado en el inciso b). Comente sus resultados. P6.8 Para n grande la distribucin muestral de la desviacin estndar S es a veces

aproximada con una distribucin normal que tiene media y varianza 2

2n .

Determine un intervalo aproximado del 95% de confianza para . P6.9 Se realizan pruebas de un nuevo lector lser manual para uso en inventarios y el lector utilizado actualmente, con el fin de decidir si se adquiere el primero. Se obtienen los datos siguientes sobre el nmero de cdigos de barras de 7 pulg que pueden leerse por segundo: Tamao muestra media varianza Nuevo 35 40 24.9 Antiguo 35 29 22.7 a) Determine un intervalo de confianza del 90% para el cociente de varianzas poblacionales. Comente. b) Determine un intervalo del 90% de confianza para la diferencia de medias poblacionales. Comente en relacin a la eficiencia del nuevo lector.


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P6.10 Un fabricante de fibras textiles est investigando una nueva fibra para tapicera, la cual tiene una elongacin media por hilo de 12 kg. Con una desviacin estndar de 0.5 kg. La compaa desea probar la hiptesis 12: 12: 10


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P6.15 La pintura para autopista se surte en dos colores: blanco y amarillo. El inters se centra en el tiempo de secado de la pintura; se sospecha que la pintura de color amarillo se seca ms rpidamente que la blanca. Se obtienen mediciones de ambos tipos de pintura. Los tiempos de secado (en minutos) son los siguientes: Blanca: 120, 132, 123, 122, 140, 110, 120, 107 Amarilla: 126, 124, 116, 125, 109, 130, 125, 117, 129, 120 a) Se sospecha que el tiempo de secado de la pintura de color amarillo tiene la misma variacin que la pintura de color blanca. Qu opina Usted al respecto? Justifique usando

01.0= . b) Mediante una prueba de hiptesis con un nivel de significacin del 1% verifique que el promedio de tiempo de secado de la pintura de color amarillo se seca ms rpidamente que la blanca. Enuncie bajo qu supuestos est trabajando. c) Obtenga el valor p de la parte a) y b) P6.16 El ruido en las lneas de transmisin elctricas, variaciones de voltaje y cortes de energa (apagones) pueden afectar el funcionamiento de las computadoras. Cuando entra ruido en u televisor, el resultado consiste en esttica y nieve; si entra en una computadora, son posibles los errores y dao de circuitos. Se piensa que ms de 80% de las alteraciones de las lneas de transmisin elctrica en un sitio de cmputo especfico corresponde a ruido. a) Especifique la hiptesis alternativa y nula apropiada. b) De 150 alteraciones en la lnea de transmisin ocurridas durante el tiempo de estudio, 133 se deben a ruido. Puede rechazarse 0H ? Interprete los resultados en el contexto del problema usando el valor-p. P6.17 Diez hombres adultos, cuyas edades fluctan entre 35 y 50 aos, participan en un estudio para evaluar el efecto de la dieta y el ejercicio sobre los niveles de colesterol en la sangre. El colesterol total fue medido al inicio en cada sujeto, y tres meses despus de participar en un programa de ejercicio aerbico y de haber cambiado a una dieta baja en grasas. Los datos son dados en la tabla siguiente: Antes 265 240 258 295 251 245 287 314 260 279 Despus 229 231 227 240 238 241 234 256 247 239 Estos datos apoyan la afirmacin de que la dieta baja en grasas y el ejercicio aerbico son de gran valor en la disminucin de los niveles de colesterol? Enuncie los supuestos que se requieren, y utilice un nivel de significacin del 5%. P6.18 Se observ durante algn tiempo el nmero de accidentes sufridos por operadores de mquinas en cierta industria, con los resultados que se muestran en la tabla siguiente. Pruebe, a un nivel de significancia del 5%, la hiptesis de que los datos proceden de una distribucin Poisson.


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Accidente por Operario Nmero de Operarios

0 296 1 74 2 26 3 12

4 o ms 2 P6.19 Para un estudio acerca de los volmenes, en cc, que contienen ciertos envases de un producto de limpieza, se tomo una muestra aleatoria de 30 envases encontrando los siguientes datos: 739.79 741.29 743.17 744.58 744.72 744.90 746.13 746.24 746.78 748.01 748.63 749.24 749.78 749.90 750.46 751.27 751.67 751.84 752.41 752.98 753.21 753.57 753.89 754.02 754.10 754.99 755.61 755.77 757.26 760.11. a) Cree Ud. que los datos provienen de una poblacin distribuida normal? Realice su prueba con seis intervalos. b) Si el estndar es un contenido medio de 750 cc. Cree Ud. que los datos confirman dicho estndar? Fundamente. P6.20 Un generador de nmeros aleatorios fue usado para generar 1000 nmeros en el intervalo (0,1). Los nmeros generados estn resumidos en la tabla siguiente:

Intervalo N Generados (0.0 , 0.1] 114 (0.1 , 0.2] 100 (0.2 , 0.3] 99 (0.3 , 0.4] 98 (0.4 , 0.5] 111 (0.5 , 0.6] 104 (0.6 , 0.7] 106 (0.7 , 0.8] 95 (0.8 , 0.9] 92 (0.9 , 1) 81

Aceptara usted la hiptesis que este generador est trabajando como debe; esto es, podemos pensar que los nmeros generados constituyen una muestra aleatoria de una distribucin uniforme en (0,1)? (Use 01.0= ). P6.21 En un estudio de la relacin entre el uso de colores y la efectividad de material grfico, se seleccionaron aleatoriamente 100 grficas de revistas cientficas actuales. Cada una se clasifica en cuanto al uso o ausencia de colores respecto de su efectividad. Se tiene evidencia de que la efectividad del despliegue grfico no es independiente del uso de colores? Explique su respuesta con base en el valor-p de la prueba.


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Uso de colores

Efectividad Si No Excelente 7 4 Buena 10 19 Normal 9 26

Deficiente 4 21 T6.1 El artculo HL analiza el uso de fotografa infrarroja en color para la identificacin de rboles normales en bosques de pino de Oregon. Entre los datos reportados haba resmenes de estadsticos para medidas en muestras de rboles sanos y enfermos. Para una muestra de 70 rboles sanos, el promedio muestral de densidad de capa de tinte fue 1.028 y la desviacin estndar de 1,63. a) Calcule un intervalo de confianza de 95% para el verdadero promedio de densidad de capa tinte para todos estos rboles. b) Qu ocurre con sus intervalos si la desviacin estndar se puede reducir a la mitad? c) Qu ocurre con sus intervalos anteriores si aumenta su tamao muestral al doble pero manteniendo la desviacin estndar de 1.63? d) Suponga de los investigadores haban hecho una estimacin de 0,16 para el valor de S antes de reunir los datos. Qu tamao de muestra sera necesario obtener un ancho del intervalo de 0,05 con un nivel de confianza de 95%? T6.2 Una lnea elctrica se avera cuando la tensin sobrepasa la capacidad de la lnea. Se sabe que la tensin tiene distribucin normal con media 100 y varianza 20. Se desea estimar la tensin promedio de la capacidad de la lnea mediante la construccin de intervalos de confianza. a) Obtenga 200 valores correspondientes a la tensin de la capacidad de la lnea. b) A partir de los valores generados en a), obtenga 50 muestras de tamao 100 y calcule un intervalo de confianza del 95%, para estimar la tensin promedio de la capacidad de la lnea. T6.3 Una comisin que estudia las relaciones entre empresarios y empleados propuso que se adopte un sistema de calificacin. Cada empleado debe calificar a su supervisor inmediato; a su vez ste debe calificar a cada empleado. Para determinar si hay diferencia entre las reacciones del personal de oficina y el personal de la fbrica acerca de la propuesta, se seleccionaron aleatoriamente a 120 personas del personal de oficina y a 160 del personal de la planta; 78 de las personas del personal de oficina y 90 del personal de planta estuvieron a favor de la propuesta. Hay evidencia suficiente para fundamentar la consideracin de que la proporcin del personal de oficina a favor de la propuesta es mayor que la del personal de fbrica o planta? Resuelva a travs de un intervalo de confianza del 98%.


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T6.4 Un fabricante de componentes de direcciones hidrulicas compra sellos hidrulicos a dos proveedores. Se seleccionan muestras de los sellos de esos dos proveedores y cada una se prueba para determinar la presin que soporta. Los datos resultantes son los que siguen: Proveedor I n1 = 10 = 1350 lb/pulg

2 $ = 100 Proveedor II n2 = 10 = 1338 lb/pulg

2 $ = 29 Suponiendo distribucin normal: a) Concluya si la variabilidad en la presin que soporta los sellos del proveedor I es menor que 98, Utilizando un intervalo de Confianza del 95%. b) Hay evidencia basada en una prueba de que los sellos del proveedor I soportan en promedio presiones ms altas que los del proveedor II? Resuelva mediante un Intervalo de Confianza del 95%. T6.5 Un estudiante de la Universidad desea conocer el coeficiente intelectual de un grupo de reclusos de un centro penitenciario. Sabiendo que la desviacin estndar poblacional es de 15 puntos, de qu tamao hay que tomar la muestra para que, con un confianza del 98%, la media muestral y la poblacional no difieran en ms de tres puntos? T6.6 a) Determnese el tamao de muestra para estimar la proporcin poblacional p, con probabilidad de 96% de que el error cometido en la estimacin sea a lo ms 2%. Qu sucede con el tamao de muestra si no se tiene idea acerca de la proporcin muestral? b) A partir de los valores generados en a), obtenga 50 muestras de tamao 100 y calcule un intervalo de confianza del 95%, para estimar la tensin promedio de la capacidad de la lnea. T6.7 Dos empresas distintas desean establecerse en cierta regin y brindar servicios de televisin por cable. Denote por p la proporcin de suscriptores potenciales registrados que prefieren la primera empresa sobre la segunda. Considere probar 0H : p = 0,5 contra 1H : p 0,5, con base en una muestra de 25 individuos. Represente con X, el nmero de suscriptores en la muestra que est a favor de la primera empresa. a) Cul de las siguientes regiones de rechazo es la ms adecuada y por qu? { }187/1 = xxxR { }8/2 = xxR { }17/3 = xxR b) En el contexto de la situacin de este problema, calcular el error tipo I. c) Mediante el uso de la regin seleccionada, qu concluye si 6 de los 25 individuos favoreci a la primera empresa?


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T6.8 Un ingeniero que trabaja para un fabricante de llantas investiga la duracin promedio de un compuesto nuevo de caucho. Para ello, construye 16 llantas y las prueba en una carretera hasta alcanzar el fin de la vida til de stas. Los datos, en km., obtenidos son los siguientes:

60613 59836 59554 60252 59784 60221 60311 50040 60545 60257 60000 59997 69947 60135 60220 60523

Considere que la muestra es obtenida de una distribucin normal.

a) Calcule un I de C del 98% para la desviacin estndar de la vida til de las llantas. b) Qu tan grande deber ser el tamao de la muestra si la longitud de un intervalo de confianza de 95% para la vida til promedio de la llanta es de 2000 km.? c) Al ingeniero le gustara demostrar que la vida til promedio de la nueva llanta excede los 60 mil km. Proponga y pruebe las hiptesis apropiadas. Obtenga una conclusin. = 0.05. T6.9 La duracin de las ampolletas de 100W que fabrica una empresa sigue una distribucin normal con una desviacin estndar de 120 horas de duracin. Su vida media est garantizada durante un mnimo de 800 horas. Un comerciante debe decidir si comercializa dichas ampolletas puesto que la duracin hara atractiva la venta de estas. El comerciante antes de tomar una decisin, escoge al azar una muestra de 50 bombillas antes que estas sean puestas en cajas obteniendo una vida media de 750 horas. a) Con un nivel de significacin de 0.01, cul fue la decisin del fabricante? b) Si la probabilidad de cometer error tipo II no debe ser ms de 0,09. Determine la probabilidad de cometer error tipo I. Use para sus clculos H1: = 760. T6.10 En un estudio sobre contaminacin ambiental se tomaron muestras de aire en dos ciudades A y B, en un mismo da y a la misma hora. El anlisis de estas muestras dieron el siguiente resultado, para el nmero de partculas de materia presente en el aire, en mgr/m 3 . Suponga que la contaminacin tienen distribucin normal. Ciudad A: 51 70 42 37 55 60 68 61 74 Ciudad B: 81 96 67 74 77 82 76 75 83 a) Existe evidencia suficiente para concluir que la varianza de la contaminacin ambiental en mgr/m 3 es diferente para las dos ciudades? Utilice = 0.05 para llegar a una conclusin. b) Los datos apoyan la afirmacin que la contaminacin promedio en la ciudad B es mayor que el de la ciudad A? (Use = 0.05). c) La empresa usar la informacin obtenida de los datos de la ciudad B, si se convence que la cantidad promedio de partculas en el aire sobrepasa los 76 mgr/m 3 . Con la informacin proporcionada por la muestra, y si la varianza poblacional es 90 ( mgr/m 3 ) 2 , Qu decisin tomar la empresa ?.(Use = 0.01). d) Qu supuestos son necesarios para realizar la dcima en parte b)?


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T6.11 Los oponentes de la construccin de una presa en un ro afirman que menos de la mitad de los ribereos estn a favor de la construccin. Se emprende una encuesta para sustentar ese punto de vista. a) Especifique las hiptesis alternativa y nula apropiadas. b) De 500 personas interrogadas, 230 estn a favor de la construccin. Es esa evidencia suficiente para justificar la afirmacin de los oponentes de la presa? Use = 0.1 y valor p. T6.12 Recientemente se ha incrementado el inters de evaluar el efecto del ruido sobre la de las personas en llevar a cabo una determinada tarea. Un investigador disea un experimento en el que pedir a un determinado nmero de sujetos que lleven a cabo una tarea especfica en un medio controlado y bajo dos diferentes niveles de ruido de fondo. El investigador selecciona 66 personas que son capaces de realizar la misma tarea y de manera prctica en el mismo tiempo. Del total de personas, 33 seleccionadas al azar realizarn esta tarea bajo un nivel modesto de ruido de fondo. Las restantes 33 llevarn a cabo la misma tarea bajo un ruido de nivel 2, el cual es ms severo que el ruido de nivel 1. Los siguientes datos representan los tiempos observados (en minutos) que fueron necesarios para completar la tarea para cada una de las 33 personas de cada nivel

Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 1 Nivel 2 14 21 15 16 16 15 12 17 15 18 17 14 12 14 16 18 15 14 15 17 19 15 19 18 12 16 19 10 14 16 16 19 16 18 16 14 16 16 14 11 19 10 11 13 19 17 12 12 17 15 16 13 11 16 12 20 14 19 17 19 13 24 15 15 12 10

Asumiendo que los datos corresponden a muestras aleatorias de dos distribuciones normales e independientes y utilizando un nivel de significacin de 0.01 a) Determine si la variabilidad de los tiempos de ejecucin de ambos niveles son iguales. b) De acuerdo a lo concluido en a) Existe alguna razn para creer que el tiempo promedio para el nivel 2 es mayor por ms de dos minutos que para el nivel 1?


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EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

C1. La cantidad diaria en litros de caf, despachado por una mquina ubicada en la sala de espera de un aeropuerto es una variable aleatoria X que tiene distribucin Uniforme [5,9]. a) Encuentre la probabilidad de que en un determinado da la cantidad de litros de caf despachado por esta mquina sea de al menos 8,5 litros. b) Si revisamos a 9 mquinas en un da determinado que operan en forma similar e independiente en distintas partes del aeropuerto: obtenga la probabilidad de que el nmero de estas mquinas que haya despachado ms de 8,5 litros de caf sea a lo ms 7 y mayor que 5. c) Una mquina de este tipo puede atender a 6 personas en una hora. Cul es la probabilidad de que la mquina tome a lo ms un minuto en proporcionar el caf a un cliente? C2. Una compaa de electrnica fabrica resistores que tienen una distribucin normal con media 100 ohms y la varianza poblacional es 81 ohms2. Si se toma una muestra aleatoria de 25 resistores de la poblacin a) Encuentre la probabilidad que la resistencia promedio de stos sea menor que 105 ohms. b) Calcule la probabilidad que la varianza muestral sea inferior a 52,85. c) Qu opina del tamao de muestra utilizado si no se admite una diferencia entre x y ms all de 3 ohms con probabilidad 0.95? C3. Sea ( )1,..., nX X una muestra aleatoria de una poblacin X con f.d.p.:

, & & ' 0 # # 1, & * 0

Si observa una muestra de tamao 7 con valores observados 0.75 0.12 0.74 0.62 0.64 0.36 0.85, encuentre la estimacin de mediante el estimador mximo verosmil. C4. En un estudio sobre contaminacin ambiental se tomaron muestras de aire en dos localidades A y B. El anlisis de estas muestras dieron los siguientes resultados, para el nmero de partculas de materia presente en el aire, en mgr/m 3 . Suponga que la contaminacin tiene distribucin normal en ambas localidades. Localidad A: 81 96 67 74 77 92 75 Localidad B: 51 70 42 37 55 72 58 a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la verdadera media de la contaminacin de la localidad A. b) Es posible suponer que en las dos localidades tienen la misma variacin en cuanto a la contaminacin en mgr/m 3 ? (Use = 0.01).


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c) Decida, a travs del valor-p, si los datos apoyan que la contaminacin promedio de la localidad A excede en 2 mgr/m 3 partculas de materia a la localidad B. d) La empresa usar la informacin obtenida de los datos de la localidad B, si se convence que la cantidad promedio de partculas en el aire es inferior a 62 mgr/m 3 . Con la informacin proporcionada por la muestra, y si la varianza poblacional es 100 (mgr/m 3 ) 2 , Qu decisin tomar la empresa? Justifique mediante el valor-p. e) Mediante la informacin dada en c) y si la verdadera cantidad promedio de materia en ese da era de 60 mgr/m 3 , Cul es la probabilidad de cometer error tipo II? Considere la siguiente regin crtica, RC = +/ , 61. C5. El flujo de calor a travs del suelo en solares cubiertos slo con csped tiene distribucin aproximadamente normal con media de 29.0. Un artculo reporta los siguientes valores de flujo de calor, a travs del suelo de ocho solares cubiertos con polvo de hulla:

34.7 35.4 34.7 37.7 32.5 28.0 18.4 24.9 a) Dada la siguiente regin de aceptacin +/ # 33.37., determine la probabilidad de error tipo I. b) Sugieren los datos que el polvo de hulla es eficaz para incrementar el flujo medio de calor sobre el del csped? Resuelva mediante la forma clsica. Use obtenido en a). c) Concluya mediante el valor-p para el inciso b). C6. Suponga que una lnea de buses en Concepcin llega a la terminal a una tasa de 8 buses por hora. a) Determine la probabilidad la probabilidad de que lleguen entre 11 y 13 buses a la terminal en una hora y media. Comente acerca del valor obtenido. b) Determine la probabilidad de que el primer bus en llegar a la terminal suceda despus de cuatro minutos. Comente acerca del valor obtenido. C7. Un gerente de crdito ha descubierto que 28 de los 80 usuarios de tarjeta no paga el monto completo de la deuda durante un mes dado. a) Determine la probabilidad aproximada de que al seleccionar 30 cuentas de manera aleatoria, se obtengan entre 6 y 14 cuentas no pagadas. Comente sobre el clculo de probabilidad obtenida. b) Compare con el valor exacto de la probabilidad anterior, determinada mediante la probabilidad binomial, que es 0,9115. c) Calcule el tamao de muestra necesario para que la estimacin difiera de la verdadera probabilidad en menos de 4,5% con probabilidad al menos 0,96. C8. El tiempo en segundos necesario para conectarse con Internet mediante un servicio en el que debe marcarse un nmero recibe influencia de diversos factores, como el nmero de lneas telefnicas disponible en el rea de llamadas locales, hora del da, de la semana, nmero de usuarios en el rea, y as sucesivamente. Se obtienen los datos siguientes en un rea dada a dos horas distintas del da, siempre en el mismo da de la semana:


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Maana 31 44 35 45 21 52 35 60 55 61 Tarde 11 31 40 20 38 22 39 33 35 42 52 43 Suponga que los tiempos de conectarse a Internet en los dos perodos son muestras aleatorias independientes provenientes de poblaciones normales. a) Es apropiada la agrupacin? Explique su respuesta a travs de un intervalo de 95% de confianza del cociente de las varianzas entre los dos perodos. b) Se afirma que en el perodo de la tarde hay un acceso promedio a Internet ms rpido. Elabore las pruebas de hiptesis adecuadas y concluya mediante el valor-p. c) Contraste la hiptesis de que la varianza del tiempo de acceso a Internet por la maana es superior a 194 seg2. Responda a travs de una prueba de hiptesis de la forma clsica considerando un nivel de significacin del 5%. C9. El Ingeniero de control de calidad de una empresa dedicada a la fabricacin de ampolletas afirma que los tiempos de fallas en horas de las ampolletas que fabrican tiene una distribucin exponencial con un tiempo promedio de falla de 200 horas. Por medio de los siguientes resultados de una muestra de 283 ampolletas, qu puede concluir. Utilice un test de bondad de ajuste Chi Cuadrado, con = 0,05.

Duracin en horas Nmero 0 T 100 82 100 T 200 71 200 T 300 68

T > 300 62 C10. Se espera que dos operarios produzcan, en promedio, el mismo nmero de unidades terminadas en el mismo tiempo. Los siguientes datos son los nmeros de unidades terminadas para ambos trabajadores en una semana de trabajo:

Operador 1: 12 11 18 16 13 Operador 2: 14 18 18 17 16

Suponga que el nmero de unidades terminadas diariamente por los dos trabajadores son variables aleatorias independientes. Fundamente, con apoyo de recursos informticos, las siguientes aseveraciones: a) Se admite la igualdad de varianzas poblacionales cuyo valor-p fue de 0,30. b) Hay diferencias entre las medias del nmero de unidades producidas por los dos operarios, cuyo valor-p fue de 0,06. c) El nmero de unidades terminada por el operario 1 se distribuye normal d) El nmero de unidades terminada por el operario 2 no se distribuye normal


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C11. Suponga que para un estudio acerca del volumen de llenado de un cierto producto en envases de plstico se tomo una muestra aleatoria de 20 envases y se midi el contenido en centmetros cbicos encontrando los siguientes valores: 1,83 1,99 1,90 1,92 1,94 1,96 1,97 1,98 2,00 2,01 2,03 2,03 2,04 2,05 2,06 2,08 2,08 2,11 2,12 2,15 a) De acuerdo a los antecedentes, Cree Ud. que la poblacin generadora de los datos es Normal? Use test de bondad de ajuste. b) Analice la siguiente informacin dada en una salida del programa G-Numeric

Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) Test Alpha 0,05 p-Value 0,95664832054834 Statistic 0,08708121159937 N 20 Conclusion Possibly normal

Grfico probabilstico Normal

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Cuadernillo Actividades de Ejercicios de Unidades Tematicas