CUADERNILLO DE ACTIVIDADES ESTRUCTURAS … · El Ministerio de Educación, en el marco de la ... o adecuar contenidos y estrategias formativas de ... y destreza en el pensamiento

PEAMS- Componente de Especialización Estructuras Algebraicas/Trigonometría y su Didáctica

(Cuadernillo de Actividades)

1

CUADERNILLO DE ACTIVIDADES

ESTRUCTURAS

ALGEBRAICAS/TRIGONOMETRÍA Y SU

DIDÁCTICA

Bolivia – 2011

Participante:………………………………………………

Grupo:…………………………………………………….

Centro Tutorial:…………………….……………………

Departamento:…….…………………………………….

Tutor/a:…………………………………………………….



2

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

© De la presente edición: Colección: CARPETAS DE FORMACIÓN CONTINUA ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS/TRIGONOMETRÍA Y SU DIDÁCTICA CUADERNILLO DE ACTIVIDADES Coordinación Viceministerio de Educación Superior de Formación Profesional / Dirección General de Formación de Maestros / Equipo de Formación Docente Continua

Equipo de Redacción y Dirección Unidad Especializada de Formación Continua – UNEFCO Av. Víctor Paz Estensoro Nº 227 Tarija-Bolivia Telf.: 66-44416 Fax: 66-42805

www.minedu.gob.bo www.unefco.edu.bo

Diseño & Impresión

UNEFCO La venta de este documento está prohibida. Denuncie al vendedor a la Dirección General de Formación de Maestros, Telf. 2440815 o a la Unidad Especializada de Formación Continua, [email protected].

Bolivia, Julio 2011



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PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación, en el marco de la Constitución Política del Estado, la Ley de la Educación 070 “Avelino Siñani - Elizardo Pérez” y el Sistema Plurinacional de Formación de Maestros, ha priorizado la implementación de acciones formativas para maestras/os normalistas del Nivel Secundario del Sistema Educativo Plurinacional, para mejorar la calidad de la educación en dicho nivel, que por mucho tiempo no se benefició con formación continua; en este sentido, el Programa de Especialización y Actualización de Maestros de Secundaria (PEAMS) ha sido estructurado con dos componentes: especialización y actualización.

La “especialización” es una formación intensiva que tiene como objetivo el de “Brindar formación especializada a maestras/os normalistas que habiendo sido formados para primaria o inicial ejercen como docentes en áreas del nivel de educación secundaria, mediante procesos de formación centrados en aspectos disciplinares y de didácticas específicas, tomando en cuenta las necesidades reales del Sistema Educativo Plurinacional así como las nuevas políticas sociales y educativas del país que prevén la universalización de la educación secundaria, con el fin de garantizar la solvencia profesional de estos maestros/as y la calidad de la educación de todos los estudiantes de este nivel”.

Este componente es de régimen especial y transitorio. Los/as docentes que accedan a los cursos de especialización recibirán una certificación para el ejercicio de las especialidades del nivel secundario, según una normativa especial indicada en la Resolución Ministerial Nº 121/2010. El programa es financiado por el Ministerio de Educación y ejecutado por la Unidad Especializada de Formación Continua (UNEFCO), bajo la modalidad semipresencial.

El PEAMS, tiene previsto el desarrollo de materiales de apoyo en una Colección denominada “Carpetas de Formación Continua”, la misma que contempla una “Carpeta de trabajo” y un “Cuadernillo de Actividades” para cada uno de los 16 módulos de las 6 especialidades contempladas.

El “Cuadernillo de Actividades” tiene como objetivo organizar las actividades previstas tanto para la etapa presencial como para la no presencial: Estos Cuadernillos, al término de cada módulo, se convertirán en materiales para la evaluación de cada participante. En ellos se encuentran consignas, preguntas, recuadros, formatos y/o ejercicios, relativos al contenido del Módulo. Cada actividad responde a un determinado contenido, cuya realización contribuirá a la profundización y fijación de los aprendizajes requeridos para mejorar la práctica educativa.

Sobre la base de estos Documentos de Trabajo (versiones en construcción colectiva), tutores/as del PEAMS podrán añadir y/o adecuar contenidos y estrategias formativas de acuerdo a cada contexto. Invitamos a tutores y participantes de todo el país a contribuir con observaciones y sugerencias para mejorar y enriquecer posteriores ediciones ([email protected]).

Fernando Carrión J. - Director General UNEFCO

“Compromiso social y vocación de servicio: Maestras/os

forjadores de la Revolución Educativa”



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ÍNDICE

PRESENTACIÓN ÍNDICE GENERAL DATOS GENERALES DEL CUADERNILLO DE ACTIVIDADES ...................................... 5 Introducción ...................................................................................................................... 5 Objetivos holístico de área/especialidad ............................................................................ 5 Objetivo holístico de la Carpeta ......................................................................................... 5 UNIDAD 1: LAS GENERALIZACIONES EN LA ARITMÉTICA Y EL ALGEBRA ........... 6 Objetivos de la unidad ..................................................................................................... 6 Actividades iníciales........................................................................................................... 6 Actividades presenciales ................................................................................................... 8 Actividades a distancia .................................................................................................... 11 Actividades de evaluación ............................................................................................... 13 UNIDAD 2: LAS ECUACIONES ...................................................................................... 15 Objetivos de la unidad ................................................................................................... 15 Actividades iníciales......................................................................................................... 15 Actividades presenciales ................................................................................................. 16 Actividades a distancia .................................................................................................... 20 Actividades de evaluación ............................................................................................... 23

UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA ....................................................................................... 24 Objetivos de la unidad ................................................................................................... 24 Actividades iníciales......................................................................................................... 24 Actividades presenciales ................................................................................................. 24 Actividades a distancia .................................................................................................... 30 Actividades de evaluación ............................................................................................... 30 UNIDAD 4: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ......................................................... 31 Objetivos de la unidad ................................................................................................... 31 Actividades iníciales......................................................................................................... 31 Actividades presenciales ................................................................................................. 32 Actividades a distancia .................................................................................................... 37 Actividades de evaluación ............................................................................................... 40 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... 40



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DATOS GENERALES DEL CUADERNILLO DE ACTIVIDADES

INTRODUCCIÓN

Por la modalidad del Programa de Especialización y Actualización de Maestros de Secundaria -PEAMS, se ha previsto entregar a cada participante el presente “Cuadernillo de Actividades” que acompañará el desarrollo del “Carpeta de Trabajo” denominado “Estructuras Algebraicas/Trigonometría y su Didáctica”. Este cuadernillo tiene como objetivo recoger y documentar el desarrollo de todas las actividades propuestas en cada una de las unidades; éstas una vez desarrolladas, tanto en los momentos presencial y no presencial, se convierten en evidencia de los aprendizajes desarrollados en el proceso. En este sentido, este agrupa las actividades iniciales, presenciales, a distancia y evaluativas, por lo que cada participante deberá trabajarlas de acuerdo al avance temático. Todas las actividades son parte de la evaluación de proceso, por lo que solicitamos su realización. En el “Cuadernillo de Actividades” encontraras, consignas, preguntas, recuadros, formatos y/o ejercicios, relativos al contenido de la “Carpeta de Trabajo, Estructuras Algebraicas/Trigonometría y su Didáctica”, las que deberás trabajarlas tanto en los momentos presencial y no presencial (con el apoyo de su tutor/a. En las consignas de las actividades, encontrarás en número de página/s de la “Carpeta de Trabajo” que te servirán para resolver tus ejercicios. Cabe aclarar que no todos los subtítulos de la carpeta tienen una actividad a desarrollar en el cuadernillo, algunas actividades requieren leer un solo inciso para su resolución y otras necesitan de la lectura total o parcial de cada unidad. Sin olvidar que también tienes lecturas complementarias que pueden ayudar a ampliar tus conocimientos. Para entender el desarrollo de tu Cuadernillo de Actividades, recuerda siempre leer los objetivos de todas las unidades antes de empezar tus tareas, recuerda que, están en el mismo orden y formato de la Carpeta de Trabajo denominado “Estructuras Algebraicas/Trigonometría y su Didáctica”.

OBJETIVO HOLÍSTICO DE ÁREA

Desarrollar habilidades y destreza en el pensamiento lógico matemático, a través de la resolución de problemas, la investigación, uso de técnicas de cálculo, criterios de espacialidad, razonamiento lógico matemática y aplicarlos en el contexto sin perder los conocimientos previos de la universalidad aplicando a los cambios socioculturales.

OBJETIVO HOLÍSTICO DE LA CARPETA

Analizar los paradigmas educativos contemporáneos describir el binomio enseñanza aprendizaje en la educación secundaria determinando los principios y características de la didáctica de la educación superior aplicar los métodos didácticos más acertados conociendo la problemática universitaria de su contexto para el desarrollo del curso es necesario que posea algunos conocimientos previos referentes a la asignatura como son:

a) Corrientes contemporáneas del aprendizaje b) Planeamiento didáctico



6

c) Manejo de las tecnologías de la información medios los medios didácticos que acompañarán su proceso de aprendizaje

UNIDAD 1: LAS GENERALIZACIONES EN LA ARITMÉTICA Y EL ALGEBRA

Para realizar las actividades del cuadernillo, deberás realizar una lectura comprensiva de todas las unidades, sin embargo si estuviste atento/a a los pequeños detalles de las clases presenciales, sólo necesitas sistematizar lo comprendido para resolver las siguientes actividades.

OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Observamos las diferentes posibilidades y las necesidades de avanzar más allá de lo que es la aritmética.

Entendemos la representación de las propiedades de las operaciones como una generalización en la Aritmética.

Entendemos la representación de las regularidades, de los patrones y de las conjeturas referidas a los números como generalizaciones en la Aritmética y Dominar las reglas que rigen la sintaxis simbólica literal

ACTIVIDADES INICIALES

Responde las siguientes preguntas, utiliza el mismo cuadro para tus respuestas:



7

Anota y fundamenta las ideas más destacadas que te hayan llamado la atención de la unidad 1 de la carpeta de trabajo, así como los comentarios y las reflexiones que la lectura les haya sugerido. R.-

¿Qué importancia tiene la aritmética y en el uso de las operaciones algebraicas? R.-



8

¿Por qué es importante el uso de la simbología literal en la resolución de ejercicios algebraicos? R.-

ACTIVIDADES PRESENCIALES 1. Resolver los siguientes ejercicios, resolver las dudas con el tutor/a. En cada uno de estas expresiones, aplique ordenadamente los pasos a seguir y halle su valor numérico para los valores de la(s) indeterminada(s) que se indican correspondiente a la carpeta en el punto respecto a simbología literal y los ejemplos que ahí tienes.

Ejercicios Encontrado el valor numérico indicado

3y + 5; y = 1 3 * 1 + 5 = 3 + 5 = 8

3(y + 5); y = 1

2a2 + 2; a = 10



9

3b + 4(c/2);

b = 1, c = 2

(16m – n2) / 4;

m = 1, n = 4

; x = 3

2(3 + 5z)2 – (z + 3);

z = 1

[15 – (m – n)3]2;

m = 5, n = 3

8[2(y – 3) + 4(7 – y)]; y

= 5

2. Determine si la solución propuesta para cada ecuación es la solución correcta: de acuerdo al cuadro anterior reemplazando solamente los valores de las variables determinas.



10

Dada la expression Verificaremos los valores dados si son falsos o

verdaderos

5s – 7 = 2 + 2s; s = 2

7c –10 = 30 – c; c = 5

18e + 5 = 5; e = 0

3x 2 + 5 = x + 8; x = 1

60 = 85 – 15t; t = 5

3u 2 – 15u = 15u; u = 10

3m – 9 = 3(m – 3); m = 4

3m – 9 = 3(m – 3); m = 5



11

3. Con ayuda del tutor/a realiza los siguientes ejercicios de PRODUCTOS NOTABLES, también tienen una guía de definición en la carpeta

Encuentra los valores

de los siguientes

productos notables

Desarrolla las operaciones indicadas

( m + 5 )2

( a + 7 b )2

( n - 4 )2

( 2 n + 6 )2

( 3 a - 5 )2

( 7 + x )2

( 2 y – 3 z )2

( y – z )2

( c – 3 )2



12

ACTIVIDADES A DISTANCIA

1. Realiza una planificación para la enseñanza de la matemática tomando en cuenta los conocimientos previos, las ideas preliminares, y el cambio conceptual. Utiliza el siguiente espacio para diseñar tu formato:



13

2. Realiza las siguientes operaciones de los productos notables del siguiente cuadro:

Encuentra los valores de

los siguientes ejercicios Desarrolla las operaciones indicadas tomando en cuenta los

valores de las letras

( m + 5 )2

( a + 7 b )2

( n - 4 )2

( 2 n + 6 )2

( 3 a - 5 )2

( 7 + x )2

( 2 y – 3 z )2

( y – z )2

( c – 3 )2



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ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

El contenido de las evaluaciones serán ajustadas de acuerdo al tutor/a. en este sentido sugerimos algunas preguntas que los participantes deben conocer y responder para su evaluación:

1.- ¿defina con sus propias palabras lo que significa álgebra?

2.- ¿Porque es necesario conocer la aritmética para el desarrollo algebraico y qué función cumple en la actualidad?

3.- ¿Qué relación existe en la aritmética con las operaciones algebraicas de acuerdo a las guías del tutor?



15

3.- ¿Qué relación existe en la aritmética con las operaciones algebraicas de acuerdo a las guías del tutor?

4.- ¿Por qué es importante la simbología literal en el álgebra y cuando se debe aplicar?

5.- (El tutor/a puede formular preguntas que consideré importantes para evaluar a los participantes)

6.- (El tutor/a puede formular preguntas que consideré importantes para evaluar a los participantes)



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UNIDAD 2: LAS ECUACIONES


Reflexionamos sobre la construcción de las ecuaciones partiendo de igualdades aritméticas.

Comprendemos los conceptos de ecuación, incógnita, y la solución de una ecuación

Hallamos ecuaciones equivalentes a partir de una dada.


Responder las siguientes preguntas y comparte las resoluciones individuales y los

diferentes métodos de despejes con tus colegas:

¿A qué denominamos valor de la incógnita?

¿Cuán importante es el valor del despeje?



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ACTIVIDADES PRESENCIALES 1. Escriba las expresiones correspondientes a cada uno de los enunciados siguientes con ayuda del tutor y al mismo tiempo [utilice las letras de las indeterminadas así: a, si hay una sola indeterminada; a, b, si hay dos indeterminadas; etc.]:

Problema de análisis Solución literal

El doble de un número (es decir, el doble de a)

2 a

El triple de un número, más 1 3 a + 1

El triple de “un número más 1”

El cuadrado de la suma de dos números

La suma de los cuadrados de dos números

La suma de dos números multiplicada por su diferencia

Uno más el cubo de la suma de dos números

El triple de un número menos el doble de otro número

La cuarta parte de un número

La mitad de la diferencia de los cuadrados de dos números

La quinta parte del cuadrado de la diferencia de dos números

El número siguiente a uno dado

La suma de dos números menos la

diferencia de ambos, es igual al doble del

número menor

La suma de dos números multiplicada por

su diferencia, es igual al cuadrado del

número mayor, menos el cuadrado del

número menor

La suma de dos números seguidos es

igual al doble del primero, más 1 unidad



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2. Resolver los siguientes ejercicios aplicando los diferentes métodos de despejes:

Dada la ecuación Proceso de la balanza Simbología literal

10 + 4x = 30 – 6x Dividir los dos miembros entre 2 y restar 2x en ambos

13 – 5d = 4 + 4d Cambiar de lado los miembros de la ecuación, colocar la letra n como incógnita y sumar 5n en ambos miembros.

multiplicar ambos miembros por 4, sumar 1 y restar 5x en cada miembro

7(z + 2) = 14 dividir los dos miembros entre 7 y restar 2 en ambos

5 = 27 – 2c restar 1 en los dos miembros, dividir ambos entre 2, restar 2 en cada miembro y cambiarlos de lado

restar 4 en los dos miembros, multiplicar ambos por 3, dividirlos entre 2 y colocar y como incógnita



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3. Con ayuda del tutor resuelvan el siguiente cuadro y verifiquen su equivalencia de

acuerdo a la ecuación 11 – 2x = 7x + 2

Determinemos cuales de las siguientes ecuaciones son equivalentes a la ecuación 11 – 2x

= 7x + 2 [en los casos afirmativos, trate de precisar la(s) transformación(es) aplicada(s)]:

2 + 7r = 11 – 2r

15 – 2p = 7p + 8

11 – m = 2 + 7m

5s + 2 = 11

4 + 14n = 22 – 4c



20

9 – 5x = 4x

2 + 5t = 11 – 4t

6 + 15v = 33 – 12v

9 = 9x

22 – 4g = 4 + 7g

7u + 1 = 11 – u

33 – 2z = 25z + 6



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ACTIVIDADES A DISTANCIA 1. Reforzar lo aprendido en las actividades presenciales y la aplicación de la resolución de los ejercicios a consideración del tutor/a y/o personal.

Dada la ecuación Proceso de la balanza Simbología literal

12 + 6 x = 10 + 4x

13 – 5d = 8 d -16



22

8 ( 3 n - 5) = 32

10 = 4 – 6 m



23

2. Después de resolver varios ejercicios, observa como un todo y trate de resolver

intuitivamente y sin escribir nada, los valores de las siguientes ecuaciones:

7 = 3d + 4 d = 1

3 x – 5 = 2 x - 3

4m – 5 = 19

5 x – 6 = 3 x + 8

y – 18 = 5

21 – 6 x = 27 – 8 x

7 + 2 y = 5 y – 8

15 – 3 v = 1 + 4 v

11 x + 5 x – 1 = 65 x - 36

7c = 15 + 2c

5 x + 6 = 10 x + 5

17 = 9n + 17

18 – 2c = 4 c

5 x – x2 = 4 x – x2 + 5

8 x – 4 + 3 x = 7 x + x + 14



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ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN

Dejamos a consideración del tutor/a la evaluación de unidad, pudiendo considerar

realizar preguntas, ejercicios, reflexiones, casos prácticos, diseño, dibujos, aplicación

práctica y otras actividades, en la que los participantes demuestren sus habilidades

matemáticos, aplicando los contenidos estudiados. Utiliza el espacio para evaluar



25

UNIDAD 3: TRIGONOMETRIA


Reflexionamos la importancia que tiene la trigonometría en nuestro contexto.

Analizamos los diferentes conceptos generales que tiene la trigonometría y su aplicación en el diario vivir.

Nos apropiamos de las diferentes funciones y definiciones de las funciones trigonométricas de acuerdo a su variación de solución

ACTIVIDADES INICIALES Antes de dar inicio con las actividades de la unidad 3, los participantes deben conocer previamente los siguientes datos: 1. Conocer y diferenciar los conceptos de los ángulos agudos, obtuso, recto, la

clasificación de los ángulos en la aplicación de los triángulos como ser acutángulo, rectángulo, obtusángulo.

2. Conocer las aplicaciones de las funciones y co-funciones como de: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

ACTIVIDADES PRESENCIALES

Presentaremos el informe de las actividades presenciales al tutor y aclaremos algunas dudas con referente a la lectura y sus diferentes procedimientos.

Define cuál de los siguientes valores pertenecen a ángulos agudos, rectos y obtusos de acuerdo a los puntos estudiados en la unidad 3 de la carpeta de trabajo.

Ángulos dados Ángulos agudos, rectos,

obtusos En que cuadrante se

encuentran

35 0

1200

900

4000

750

1420

190

3200

2400

1000

5000

9000



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1. Hallar los valores de los triángulos rectángulo con sus respectivos ángulos de acuerdo a las formulas establecidas en la carpeta con el título funciones trigonométricas en la página 30 y resuelve con tu tutor si es posible.

Valores dados Valores encontrados Valores de los ángulos

a = 8, b = 6 c = 10 A = 530 7’ 48’’

B = 370 52’ 11’’

c = 22, a = 10 b = A = B =

b = 15, c = 30 a = A = B =

a = 8, b = 20 c = A = B =

c = 10, b = 4 a = A = B =

a = 40, b =30 c = A = B =

A = 230 10’ 18’’ c = 20

a = b = B =

B = 500 52’ a = 15

c = b = A =

A = 250 37’ 28’’ c = 50

a = b = B =

B = 620 5’ 30’’

b = a = c = A =

A = 300 27’ 20’’ a = 6

c = b = B =



27

2. Realizaremos los siguientes ejercicios de conversión de un sistema a otro, de acuerdo

a lo estudiado en la carpeta de trabajo, y su respectiva formula.

Convertir a los diferentes sistemas que se indican

300 sexagesimal a

grados Centesimal

60g centesimal a grados

sexagesimal

4/3 π rad a grados centesimal

150g centesimal a

grados radial

1100 sexagesimal a

grados radial



28

5/2 π radianes a grados sexagesimal

250g centesimal a

grados sexagesimal

4 π radianes a grados centesimal

350g centesimal a

grados radianicos

½ π radianes a grados sexagesimal



29

3. Resolver los siguientes ejercicios con la ayuda del tutor/a y/o personal, respecto a: triángulos oblicuángulos con los respectivos procesos de acuerdo con lo estudiado en la carpeta.

Hallar lo valores de los triángulos rectángulos

Dados los valores Hallar los valores indicados que faltan

a = 10, b = 8,

c = 5

a = 20, c = 6

B = 300 50’

A = 500 35’ 40”

B = 350 12’ 45”

c = 12

B = 600 25’ 20”

a = 30, c = 40



30

C = 100 30’ 18”

a = 25, b = 35

A = 350 45’ 10”

a = 80, b = 41

B = 300 45’ 40”

a = 26, b = 17

a = 40, B = 600

45’ c = 25



31

ACTIVIDADES A DISTANCIA Vuelve resolver los anteriores ejercicios (ejercicios realizados en las

actividades presenciales), ahora hazlo tú sólo/a en casa, en la siguiente sesión presencial eleva tus duda o consultas al tutor/a antes de empezar la nueva unidad.

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN Dejamos a consideración del tutor/a la evaluación de acuerdo a su criterio y aplicando

los contenidos estudiados en las sesiones presenciales.

Como sugerencia, puede aplicar la realización de un solo ejercicio, tomando en cuenta como indicadores el tiempo y método de resolución, el participante que emplee menos tiempo y aplique un nuevo método de resolución, podrá obtener un punto extra al de los demás. Socializar con sus colegas!



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UNIDAD 4: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS OBJETIVOS DE LA UNIDAD

Reflexionamos sobre la importancia que tienen las identidades trigonométricas en la resolución de funciones en ángulos notables y complementarios.

Analizamos los diferentes procesos de las ecuaciones trigonométricas y su aplicabilidad en el contexto.

Conceptualizamos los diferentes criterios y la didáctica que surge en nuestras unidades educativas.


Antes de dar inicio a esta actividad primeramente los participantes deben tomar los

siguientes datos:

1. El tuto/a realiza preguntas a los participantes respecto a las diferentes estrategias

para la resolución de las identidades trigonométricas y su aplicabilidad.

2. Registra las preguntas y respuestas, para luego aplicarlas con tus estudiantes.

Utiliza el siguiente espacio.



33

ACTIVIDADES PRESENCIALES 1. Resolver las siguientes identidades trigonométricas con el tutor y ayudándonos con los

formularios de la carpeta de trabajo



34



35

2. Resolver con la ayuda del tutor/a las ecuaciones de identidades trigonométricas, apoyados en la carpeta de trabajo.



36

3. Hallar la suma o resta de las funciones trigonométricas con la ayuda de la carpeta

unidad 4.



37



38

ACTIVIDADES A DISTANCIA

1. Resuelve los siguientes ejercicios para fortalecer lo avanzado y al mismo tiempo te

sugerimos que revises y realices los mismos ejercicios en casa para detectar dificultades

cuando apliques los ejercicios con tus estudiantes en el aula.



39

2. Resolver las siguientes identidades trigonométricas

1)

2) 3)



40

4)

5)

6)

7)

8)



41

ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN Dejamos a sugerencia del tutor/a y la verificación de conocimiento de cada uno de los participantes del grupo (Evaluar conocimiento teórico y práctico, pueden anexar, trascribir y/o pegar algún trabajo práctico que se les haya asignado en este espacio).

BIBLIOGRAFÍA.

Baldor, Aurelio (1977). Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría.

Gutiérrez. Pedro Antonio (2007). Matemática 3: Bolivia; Editorial LA HOGUERA

Bálsamo. Josefina y Contenidos de Fondo Educativo Panamericano (2009). Matemáticas 3. Impreso Bolivia: Editorial EL PAURO

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA EN INTERNET

http://www.slideshare.net/amesia/funciones-trigonometricas-de-angulos-compuestos

http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091230052632AAzzfg5

http://www.arrakis.es/~mcj/notas018.htm

http://filemon.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/raztrgisuma.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Identidades_trigonom%C3%A9tricas

http://www.sectormatematica.cl/proyectos/suma_y_diferencia.htm

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