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CUADERNO DE
EJERCICIOS DE
MATEMÁTICAS I:
ÁLGEBRA I
2017
MATERIAL RECOPILADO, ORGANIZADO Y/O ELABORADO
POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ
2017 ESCUELA DE BACHILLERES DE LA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO – ÁLGEBRA I
NOMBRE DEL ALUMNO
MATERIAL RECOPILADO, ORGANIZADO Y/O ELABORADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ 1
DATOS GENERALES
Semestre: Asignatura: Tipo:
Primero Matemáticas I: Álgebra Curso – Taller
Horas por semestre: Horas por semana: Créditos:
80 horas 5 horas 8 (ocho)
Horas teoría/sem: 3 Horas práctica/sem: 1 Horas de lab/sem: 1
PROPÓSITO GENERAL
El Álgebra en el bachillerato debe proporcionar el lenguaje necesario para que el estudiante pueda interpretar y utilizar conceptos y
modelos matemáticos, de hecho, el álgebra es una poderosa herramienta que es indispensable en el estudiante para continuar con cursos
posteriores de matemáticas a lo largo de su vida para desarrollarse en su entorno social, recordando que nuestro bachillerato es único y
propedéutico.
CONTENIDO PROGRAMÁTICO POR UNIDAD
Unidad I. Historia de la matemática
o Historia de la matemática.
Unidad II. El campo ordenado de los números reales
o Conjuntos y subconjuntos (unión, intersección y complementos).
o Conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R).
o Operaciones con números (suma, resta, producto y cociente).
o Postulados de campo de los números reales.
o Orden y distancia.
Unidad III. Introducción al álgebra
o Terminología y nomenclatura Algebraica.
o Valor numérico de expresiones algebraicas.
o Exponentes enteros positivos y sus leyes.
o Suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
o Productos notables.
o Factorización.
o Reducción de fracciones algebraicas simples y complejas.
Unidad IV. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
o Propiedades de la igualdad.
o Resolución de ecuaciones de primer grado.
o Problemas que involucren ecuaciones de primer grado.
o Despejes de fórmulas
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Historia de la matemática (5 horas) En el primer día de clases se presentará el docente, el curso y las formas de trabajo y de evaluación durante el mismo, se intercambiarán
ideas sobre lo que se espera de este semestre. En un segundo momento se solicitará al estudiante que para el día de mañana consiga
información sobre la evolución que ha tenido la matemática a lo largo de los años, en particular sobre ela aritmética y el álgebra, se tiene
que hablar al menos de tres culturas distintas que hayan trabajado en estas áreas de la matemática, la información debe ser obtenida por
medio de libros, principalmente y de medios electrónicos. Uno de los productos finales será la elaboración de un texto llamado “La
historia de el álgebra y la aritmética” para esto se sugerirá al alumno:
1. reúna información histórica de diversos medios, libros, revistas, internet, etc.
2. hagan equipos de a lo más cinco personas para trabajar en equipos cooperativos.
3. ordenen la información de acuerdo a los bloques históricos y de las palabras clave,
4. ubiquen a los personajes principales dentro de cada bloque además de tener información de su vida.
5. después de seleccionar la información utilicen señalizaciones en el texto, hagan resúmenes, mapas, etc.
6. Ordenar la información para elaborar su texto y además para la creación del “árbol genealógico” o “línea de tiempo” de estos temas.
Después los equipos presentaran al grupo su árbol genealógico o su línea de tiempo con una duración de a lo más cinco minutos en esta
presentación deben incluir una nota curiosa sobre los matemáticos de la época y al final de las presentaciones se hará una cosmovisión
general del tema. Se recomienda que el trabajo de organización de información se haga en una hora de clase y las dos restantes sean
para presentar el tema.
Unidad II. El campo de los números ordenados (20 horas)
Conjuntos (2 horas)
1. Defina que es un conjunto. 2. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
A = { x N / x - 1 5 }_____________________________________________________________________________
B = { x Z / - 2 x 3 }___________________________________________________________________________
C = { x / x es un pronombre personal en Inglés }._________________________________________________________
D = 2 1/ , 3 5x x N x ___________________________________________________________________
E = 2
2/ , 2 5
1x Z x
x
_________________________________________________________________
3. Define la intersección entre conjuntos.
4. ¿Cuál es conjunto formado por la intersección de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
5. Representa la unión de los conjuntos {e, x, i, t, o} y {t, r, i, u, n, f, o}
6. ¿Cuál es la intersección de los siguientes conjuntos: A= {l, u, n, a} y B= {t, r, i, u, n, f, o}
7. Obtener la diferencia A-B si A= {c, o, r, a, z, n} y B={h, i, p, e, r, t, n, s, o}
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8. Dados los siguientes conjuntos, encuentre la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución.
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 15 }
A = { 4, 8, 10, 12 } B = { 3, 6, 9, 12, 15 } C = { 1, 2, 3, 11, 12, 13 } D = { 1, 5, 6, 10, 11 } E = { 12, 13, 14, 15 }
a) A B b) (A B)´ c) (D E) – A
d) B C e) A´ f) B´
g) E´ D h) B E i) B E
j) A C k) ( B C)´ l) ( C D )´
m) ( A D )´ n) ( E C )´
9. Relaciones las columnas correctamente si se tiene que:
U = x | x es un digito
A = x U | 0 < x < 6 B = x U | 0 < x < 9 y x es par C = x U | 7 x 9
( ) A B a) 6, 8
( ) AC b) 8
( ) A B c) ( ) B C d) 7, 9
( ) A C e) 7, 8 , 9
( ) B C f) 1 , 2, 3, 4 , 5, 6, 8
( ) A – B g) 1, 3, 5
( ) B – C h) 1, 2 , 3, 4, 5
( ) C C i) 2, 4, 6, 8
( ) A – C j) 0, 6, 7, 8, 9
( ) B – A k) 1, 3, 5, 7, 9
( ) C – B l) 0, 1, 3, 5, 7, 9
( ) C – A m) 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6
( ) ( A B) C n) 2, 4
( ) ( A c) B o) 2, 4, 6, 7, 8, 9
( ) ( A B) C p) 2, 4, 6
( ) A C q) 1, 3, 5, 7
( ) B C r) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9
s) 1, 2, 3, 4, 5, 7,8, 9
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Conjuntos Numéricos
Elabore un mapa conceptual de los números reales
Clasificación de los números (1 hora) En la siguiente tabla marque con una palomita a que conjunto pertenece cada uno de los números, en los últimos renglones escriba
cinco números cualesquiera y clasifíquelos.
Número N Z Q I R C
-2/5
0
3 + 5i
2
– 5
10/2
7.345
1.3333…
/5
7
2. Decide si los siguientes números son racionales o irracionales:
-5,
0,
/2,
16 ,
7/3,
2,313131….,
15 ,
1,01001000100001… ,
-4/5,
4,65
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1.- Indica qué tipo de números reales (naturales, enteros, racionales o irracionales) utilizarías en cada uno de los
siguientes casos.
a) Número de cabras en un rebaño.
Un número______________________
b) Perímetro de la rueda de un autobús en
función de su diámetro.
Un número_______________________
c) Peso de una caja de naranjas en una
báscula.
Un número_______________________
d) Diagonal de un cuadrado que tiene por
lado 5 cm.
Un número_______________________
e) Año en el que tuvo lugar cierto
acontecimiento histórico.
Un número_______________________
Orden (30 minutos)
1. Enuncia la propiedad de tricotomía de los números reales
2. Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros.
a) -4; -10; 0; 5; -120; 403
b) 6; 4; 12; -9; 0; 8; -20
c) 12,075 ; 12,068 ; 12,9 ; 12,098 ; 12,009 ; 11,99 ; 12,1974 ; 13,01
d) 2/3, 4/5, 20/30, 1/2, 3/4, 1
3) Representa en la recta numérica dada las fracciones que se indican en cada caso:
0 1
a) 8
7 ;
8
1 ;
8
5 ;
8
2 ;
8
8
0 1
b) 15
7;
15
5;
15
2;
15
11;
15
15
0 1
c) 10
1;10
7;
10
0 ;
10
6;
10
4
4) Di que Fracción representa cada una de las letras:
0 1 0 1
a)
A B C D E A B C D E
4) Representa en la recta numérica dada las fracciones que se indican en cada caso:
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5
3
6
5
3
7
12
1
5) Di que Fracción representa cada una de las letras:
0 1 A=___ B=___
a)
A B
0 1 A=____B=____C=____D=_____E=_______
b)
A B C D E
6) Represente gráficamente las fracciones:
a)4
17 b)
9
4 c)5 ½ d)
15
13
Conversión de decimales a fracciones y viceversa (1 hora)
1. Cambia los números racionales a decimales mediante una división.
1) 7/8
2) 9/3 3) 7/10 4) -11/3
5) 5/4
6) 8/9 7) -103/11 8) 221/14
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2. Escribe en forma de fracción las expresiones siguientes, utiliza los espacios en blanco para justificar tus respuestas:
1) 2.0
2) 214,8 3) 32,2
4) 0,75
5) 24,0 6) 5300,0
7) 1,36
8) 3,1 9) 50,2
10) 36,1
11) 0.123123… 12) 3.216929292..
Números Reales y la Recta Real (20 minutos)
1. Indica el número que corresponde a cada letra.
2. Aproxima en la recta numérica los siguientes elementos de Q: a) 0.25, b) 1.3, c) 12/3, d) 6.5, e) -20/4, f) -10/10.
3. Identifique los números marcados en la recta numérica
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Examen rápido. Selecciona la respuesta correcta
1. ¿Cuál de los símbolos representa al conjunto de los números racionales ? A) Z B) N C) Q D) I
2. Un número decimal infinito que no tiene parte periódica, pertenece a: A) Z B) N C) Q D) I
3. Es un conjunto que además contiene a los naturales, es: A) Z B) N C) Q D) I
4. Es un conjunto que contiene a los naturales y enteros, es: A) Z B) N C) Q D) I
5. El número (3,14159....) es representado por: A) ε B) ϕ C) e D) π
6. El siguiente número (0,363636....) es un: A) Z B) N C) Q D) I
7. Un número es racional, cuando: A) la parte decimal no tiene parte periódica B) la parte decimal tiene parte periódica C) Tiene solo decimales D) No tiene raíz exacta
8. Los conjuntos que conforman el conjunto de los números Reales, son: A) N,Z,Q e I B) Z,Q e I C) N,Z,Q D) Q e I
9. La unión de los conjuntos Q e I resulta: A) Q B) I C) Z D) R
10. Toda fracción es una : A) división B) Relación C) Todas D) Razón
11. Un número irracional A) no se puede expresar como cociente de dos enteros B) es periódico C) es una solución de la ecuación x2=4 D) no es un número real
12. Determine una característica de los números irracionales A) tienen una expansión decimal infinita periódica B) tienen una expansión decimal infinita no periódica C) tienen números enteros D) tienen una expansión decimal finita
13. Si se toma el conjunto de números racionales y se une con el conjunto de números irracionales se forma A) conjunto vacío B) el conjunto de números racionales C) el conjunto de números de enteros D) el conjunto de números reales
14. Si se toma el conjunto de números racionales y se intersecta con el conjunto de números irracionales se forma A) conjunto vacío B) el conjunto de números racionales C) el conjunto de números de enteros D) el conjunto de números reales
15. El siguiente número 33/8 es? A) entero B) racional C) irracional D) natural
16. El siguiente número 84/9 es? A) Z B) N C) Q D) I
17. El siguiente número 13/7 es? A) Z B) N C) Q D) I
18. El siguiente número -√144 es? A) Z B) N C) Q D) I
19. La siguiente preposición Q U ll= R es? A) falso B) verdadera
20. La preposición N C Z C Q C R es? A) falso B) verdadera
21. La preposición N C Z C Q C ll es? A) falso B) verdadera
22. El siguiente número √81/3 es ? A) Z B) N C) Q D) I
23. Se puede garantizar que todo número natural, entero, racinal, irracional es real? A) verdadero B) falso
24. La siguiente preposición Q ∩ ll=R es? A) falso B) verdadera
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Propiedades de campo (2 horas)
En los ejercicios del 1 al 34 , cada proposición ilustra el uso de las propiedades de los números reales. Indicar cuál se aplica: 1. 5 + 2x = 2x + 5 2. x + ym = x + my 3. 7(3m) = (7 * 3)m 4. (2w + 8) + 3 = 2w + (8 + 3) 5. x(y + z ) = xy + xz 6. 5(u + v) = 5u + 5v 7. -(-12) = 12 8. 3xyz + 0 = 3xyz 9. (7 + 12)x = 7x + 12x 10. 8m + 5m = (8 + 5)m 11. 4uv + 7uv = (4 + 7)uv 12. 7x + 7y = 7(x + y) 13. (3x + 5) + 7 = 7 + (3x + 5) 14. (mn)p = p (mn)
15. Si ab = 0 , ¿tienen que ser 0 a o b?
16. Si ab = 1 , ¿tienen que ser 1 a o b?
17. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: (A) Todos los números naturales son enteros. (B) Todos los números reales son irracionales. (C) Todos los números racionales son reales.
1) Relaciona las siguientes columnas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
(6x3)2=6(3x2)
2(3+8) =( 2x3)+(2x8)
7+0=7
9+3 = 3+9
6x1=6
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Axioma de distributividad
Axioma de asociatividad
Axioma de conmutatividad
Axioma de existencia del inverso o recíproco
Axioma de elemento neutro aditivo
Axioma de identidad para el producto
2) Frente a cada expresión escribe la propiedad de los números reales por la cual la proporción indicada es verdadera:
a) 6 + 9 = 9 + 6
b) 9 + 0 = 9
c) 6 + ( 5 + 3 ) = ( 6 + 5 ) + 3
d) 16 (0) = 0
e)
3) Escribe el recíproco de -96, -9,
4) Escribe el inverso aditivo de -96, -9,
Escriba la diferencia entre un inverso aditivo, recíproco e inverso multiplicativo.
18
18
10
10
14
14
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6) Diga si los enteros forma un campo ordenado, justifique.
7) Mencione tres subconjuntos de los reales que no forman un campo ordenado. Justifique.
¿Qué es un número primo y qué es un número compuesto? Escriba los 20 primero números primos.
Escriba los criterios de divisibilidad para 2, 3, 5 7 y 11.
¿Qué es Máximo común divisor? ¿Cómo se obtiene? ¿Qué es Mínimo común múltiplo? ¿cómo se obtiene?
Descompón en factores primos:
a) 24 b) 16 c) 248 d) 12 e) 36 f) 450
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a) m.c.m. (20, 24, 36) = 360 b) M.C.D. (48, 72, 84) = 12 c) m.c.m. (30, 60, 90)= 180 d) M.C.D. (8, 16, 24)=8
Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud
posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud tendrá cada trozo? M.C.D. (96, 120, 144) = 23 3 = 24 cm debe medir cada
trozo.
Una rana corre dando saltos de 60 cm perseguida por un gato que da saltos de 90 cm. ¿Cada qué distancia coinciden las huellas del gato
y las de la rana? m.c.m. (60, 90) =180 cm. Coinciden cada 180 cm.
Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 y 54 segundos. A las 20 h 15 m se encienden simultáneamente. ¿a qué
hora vuelven a encenderse juntos? ( a las 20 h 21 m 18 s)
El nùmero de pollos de un criadero es menor que 1000. Si los agrupamos de a cinco, de a seis, de a nueve o de a once, siempre sobra
uno. ¿Cuàntos pollos hay en el criadero?. (Hay 991 pollos en total.)
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Operaciones básicas – Jerarquía de las operaciones (12 horas)
Mencione la jerarquía de las operaciones.
I. Sin utilizar calculadora resuelva las siguientes operaciones con números enteros:
1) 8 ( 3)
2) 6 5
3) 8 ( 4)
4) 4 ( 3 6)
5) 6 (4 8)
6) 12 (5 3)
7) 3 ( 5) 8 ( 3)
8) 6 ( 5 8) ( 3)
9) 5 ( 3 2) 5
10) ( 3) ( 3) ( 3)
11) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
12) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
16) 5(3 1) : 2 6
17) 7 2 (8 3) (5 2)
18) (4 3) (5 2) (7 3)
19) 3 4 (3 6) (8 5)
20) 3 (8 6) (5 4)
21) (8 4) 3 (4 6) 2
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13) (5 4) (2 4) (14 6) (7 8)
14) (8 3) (6 3) (12 4)
15) 2 ( 5) (7 3 12) 2
5 14 2 3 11 5 15 2 14 : 7 }
22) (7 8) (4 3) 2
23) 2 5 6: 2 4 3
24) 13 5 8 3 2 14 (2 3)
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¿Qué es un número racional?
Describe los tipos de fracciones que conozcas.
1) Completa la Tabla
Expresión Matemática Lectura Partes en que se divide
el entero Partes que se toman
¾
Quince Medios
Veinte
Siete
Cinco Quintos
13
1
2
1
Nueve Cienavos
Doce
Tres
Siete séptimos
17
4
2) ¿Qué fracción del cuadrado Grande representa cada una de las partes 1,2,3,4 y 5?
Parte 1 = ______ Parte 2= ______
Parte 3 = ______ Parte 4= ______
Parte 5 = ______
3) Para cada una de las frases, escribe la fracción que las representa:
a) Tres de cada diez caramelos son de menta = __________
1
2 3
5 4
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b) En un curso de 1º Medio hay 3 niñas por cada 40 varones = __________
c) El 15 por ciento de una cantidad = __________
d) En un jardín por cada 5 rosales hay 3 jazmines = __________
e) En la biblioteca por cada 3 libros de lectura hay 4 de consulta = __________
4) ¿Qué fracción del rectángulo Grande representa cada una de las partes 1,2,3,4 y 5?
Parte 1=……………. Parte 2=…………….
Parte 3=……………. Parte 4=……………. Parte 5=……………
II) Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
a) 6
1,
6
4,
6
11,
6
13 b)
8
1, -
8
17,
8
13, -
8
3
c) 5
2,
3
4,
2
1,
15
12 d)
3
1,
6
1,
9
1,
18
11
III) Completa el término faltante de tal forma que las fracciones sean equivalentes:
a) 5
4=
15 b)
3
2=
20
c) 36
= 6
1 d)
16 =
9
1
4) Simplifica las siguientes fracciones:
a) 720
480 b)
245
560
1
2
3
4
5
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II. Resuelve los siguientes ejercicios.
a)5
2+
6
1= b)
4
9+
5
3= d)
8
7+
4
6=
c) 9
4 -
9
2 d)
3
2 -
4
1 = f) 1
2
1 -
4
3 =
d) 9
4•
24
36 g)
14
72 21
9
h) 4
1 •
2
1 •
36
24
a)45
24:
8
9= b) -
45
100 :
90
20 =
e) -2 ½ : 4 ¼ =
Operaciones Mixtas
2
11
3
2
2
1
5
2
3
4
4
1
6
13
24
15
4
2
3
6
7
2
1
10
2
5
3
6
3
1
4
3
2
131
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6
7
3
2
2
15
4
1
3
12
6
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15
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3
17
4
3
10
7
4
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10
3
3 5 2:
5 3 3
2 6 3 3: :
12 4 4 2
3 12 13 4:
10 4 9 8
3
2
3
11
3
2
33
22
1
4
31
)
k
2
114
4
15
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4:3
1
2
1
2
1:
4
31
5
2·3
)
o
1 3 12 · 1
3 4 2
5 2: ( 2 )
6 3
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2
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III. Resuelve los siguientes ejercicios sin utilizar calculadora.
1. De una pieza de tela de 60 metros. un comerciante vende 2/5 de ella y después ¾ del resto. ¿Cuántos metros de tela le
quedan?
2. Un padre deja al mayor de sus hijos ¼ de su fortuna, al segundo 2/5 y al tercero $140,000.00 que restan. Calcula el
monto total de la herencia.
3. José Luís gana $ 12,000.00 mensuales. Si el monto de sus gastos mensuales es de 4/5 de su salario. ¿cuánto ahorra en
un año?
4. El costo unitario de una cerradura es de $ 60.00 .Si se desea que la ganancia sea de 2/5 de su precio de compra. ¿Cuál
debe ser su precio de venta?
5. En una finca de 500 hectáreas se cultivan 3/20, se alquilan 1/10 y el resto se piensa vender a $ 5000.00 la hectárea.
Determina el resultado de la venta.
6. Un vestido cuesta $ 5 430 más el 15% de IVA. Determina el costo del vestido.
7. En un grupo de 1500 alumnos, reprobó el 12%, determina el número de alumnos que aprobaron.
8. Calcula el sueldo de un empleado si después de descontarle el 14% de su sueldo por impuestos recibe $3 680.00.
9. En alumno tiene 80 en el primer parcial, 92 en el segundo parcial, 75 en el tercer parcial, 45 en el examen final. Para
determinar la calificación definitiva se considera el promedio de los parciales como un 60% y el examen final como un
40%, ¿cuál es la calificación del alumno?
10. Un cliente en un banco retira el 25% de sus ahorros, recibe $25,500.00, determina su saldo anterior.
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ARITMÉTICA 1. ¿Cuál es el resultado de la operación 12 + 9 – 14 – 8 + 5? A) 26 B) 22 C) 4 D) – 4 E) – 22 2. En la siguiente expresión: 3 – 18 x 3 + 42 ¿cuál es el resultado correcto? A) –35 B) – 29 C) 29 D) 35 E) 2401 3. El resultado de – 5(– 6)2 es igual a: A) 900 B) 180 C) 30 D) – 180 E) –900 4. En el grupo de Karlita se les pidió resolver la expresión: 10 + 4 x 3 / 6 – 80 + 2 – 33 ¿Cuál es la solución? 5. Al sumar mil nueve, trescientos mil quince, sesenta mil cien y cuarenta mil ochocientos cincuenta, ¿cuánto resulta? A) 41 974 B) 131 974 C) 347 974 D) 401 974 E) 410 974 6. Iván y Ernesto juegan canicas, Iván tiene el triple de canicas que Ernesto, en la primer jugada Iván pierde la mitad de sus canicas y Ernesto lo supera por cuatro, en la segunda jugada Ernesto pierde dos. Si al final de la segunda jugada los dos tienen el mismo número de canicas, ¿cuál es el número de canicas que tenía cada uno al principio del juego? A) 2 y 6 B) 3 y 9 C) 4 y 12 D) 5 y 15 E) 6 y 18 9. Si a 3 le restamos 22/9 el resultado es: A) 5/27 B) 5/9 C) 4/27 D) 4/9 E) 2/3
10. 4/9-8/9+6/9+10/9-14/9-18/9-1/9
11. 14
3
8
1
7
2
12.
4
3
6
2
3
1:
3
4
13. 5
1
5
2
2
1
4
3
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Unidad III: Introducción al álgebra (37 horas)
Lenguaje algebraico
I. Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas:
1. 2
ba
2. 2
ba
3. 2
ab
4. 0; bb
a
5. 12 n
6. 55 nn
7. 210n
8. 31n
9. 84 n
10. 65 2 nn
11. 5232n
12. 11
3
2
x
x
13. 3,3
12
n
n
n
14. 915 x
15. 125 x
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16. 625
x
17. baba
18. 120242 xxx
19. 4523 xxx
20. 01272 xx
21. 23 2 nn
22. 325
8 2
xxx
23. 22 ba
24. 2
3a
25. 2ba
26. 3 abc
27. 3
cba
28. baba
29. 2ba
II. Transformar en expresiones algebraicas los siguientes enunciados verbales:
a) El doble de un número más su cubo
b) El cuadrado de un número entre el triple de otro
c) El cubo de la mitad de la diferencia de dos números
d) El triple del cuadrado de un número más el doble del mismo
e) La raíz cuadrada del producto de dos números
f) El producto de dos números consecutivos
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g) La suma de dos números
h) La semisuma de dos números
i) La tercera parte de un número
j) La suma de dos números por su diferencia
III. Relaciona las columnas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
El doble de un número, menos el cubo de otro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … . .
La suma de dos números cualesquiera. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El triple de la diferencia de dos números cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El cuadrado de un número, menos el cubo del mismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El triple del cuadrado de un número cualquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El doble de un número aumentado en seis unidades, es igual a veinte. . . . . . .
El triple del producto de dos números cualesquiera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
El cociente de dos números cualesquiera, disminuido en dos unidades. . . . . .
El cubo de la suma de dos números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dos números consecutivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
a) 32 aa
b) 23a
c) x+ y
d) 32 ba
e) 2a+6=20
d) 3(m - n)
g) 3xy
h) 2b
a
i) 3ba
j)x, x+1
k) 2 a-b3 =20
IV. Indica las expresiones algebraicas correspondientes a los siguientes enunciados, utilizando una sola letra (x):
a) El siguiente de un número, más tres unidades.
b) El anterior de un número, menos doce unidades.
c) El doble de un número más su mitad.
d) El triple de un número, menos su cuarta parte.
e) La tercera parte de un número, más el doble de dicho número.
f) La mitad del siguiente de un número, menos cuatro unidades.
g) La quinta parte del triple de un número, más dieciocho unidades.
V. El número x es un número entero. Escribe frases equivalentes a las siguientes expresiones algebraicas:
a) x + 1
b) x - 1
c) 2 ·x + x : 2
d) x : 3 + 2 ·x
e) (x + 1) : 2
f) (3x) : 5
Evaluación de expresiones algebraicas
EL PESO IDEAL En algunos países se tiene la siguiente formula para calcular el peso ideal: “ Se mide la altura de la
persona, la altura se escribe en centímetros, a esa cantidad se le resta 100. Este resultado es el peso ideal de la persona”
a) ¿Cuál sería tu peso según esta formula?
b) ¿Cuál es la diferencia entre tu peso ideal y tu peso real?
c) Si tu sabes que la mamá de una amiga pesa 75 Kg. y mide 1.54 metros ¿Qué piensas de su peso? Coméntalo.
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d) Averigua cómo se calcula el peso ideal en México. VI. Rellena la siguiente tabla:
Expresión algebraica x y z Expresión numérica
3x + 2y + z 5 12.5 2
x2 + y - z 52 +7 – 9 = 23
4 3 7 4 · 32 – 7 = 29
x · (y2 – z) 2’5 3 7
x : 2 + y : 3 – z 11 : 2 + 12 : 3 – 9 = 0’5
5 10 3 52 + 102 = 125
VII. Calcula el valor numérico de la expresión:
a) 2x + 1, para x = 1
b) 2x2 – 3x + 2, para x = –1
c) x3 + x2 + x + 2, para x = –2
d) 2x2 – 5x + 1, para x = ½
VIII. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas:
a) 2 · x – 3, para x = 7
b) 2 · (x – 3), para x = 7
c) x + 2 · y, para x = 5,5 e y = –11,3
d) a · x + b : y, para a = 4, b = –6, x = 3,6 e y = 0,5
53,2:52
)
5152) 3
cbaparaa
cabc
yxparaxyxa
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Actividad grupal (en clase)
Indicaciones generales: Dividir al grupo en equipo de cinco personas. Cada equipo debe contar con tres dados de
distintos colores (se les debe de pedir en la clase anterior)
a) Cada uno de los dos dados, recibirá un nombre, uno se llamara “signo”, otro “X”, y el otro “Y”,
b) el primer dado al lanzarse dará el signo de cada uno de los valores de x o de y, si es par será positivo, si es impar será
negativo
c) dependiendo de los valores que se vayan obteniendo al lanzar los dados, iras reemplazando en cada una de las
expresiones o términos algebraicos.
d) Cada alumno del equipo lanzara los tres dados por lo menos una vez, después cada alumno realizará sus operaciones en
su cuaderno y al terminar compararán con sus compañeros sus resultados.
e) El equipo ganador obtendrá un punto en el parcial. (hay que entregar las operaciones en su cuaderno)
Expresión o término
Cara del dado X
(incluyendo signo)
Cara del dado Y
(incluyendo signo)
Termino o expresión
evaluada
2
x
3
y
x
y
4
2
6
yx
4
x
2
y
2
y
y
x3
4
x6
3
x2
2y
25 y
x
3
y
2
3
x
4
yx22y2x
yx
y3x2
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Examen rápido de lenguaje algebraico.
1. Completa la tabla escribiendo la expresión algebraica que represente a la situación señalada. (5 Pts)
Si la edad de Paulina es (P).
Situación En lenguaje Algebraico
La edad que tenía hace 9 años atrás
La edad que tendrá dentro de 6 años.
Los años que faltan para que cumpla 83 años.
Los años que tendrá cuando cumpla el doble de años.
La edad que tenía hace x años atrás
2. Escribe la expresión algebraica que indique el perímetro y área de los siguientes gráficos.
GRÁFICO PERÍMETRO ÁREA
a)
m
n
b)
3x
c)
4y 6
y
4. Une cada enunciado con la expresión algebraica que le corresponde.
La diferencia de dos números pares es igual a 72 72
37
x
La suma de un número más su doble es igual a 72 72 yx
La suma de la tercera parte de un número y 7 es 72. xx 2725
La diferencia del quíntuplo de un número y 72 es el doble del número. 722 xx
722y -2x
4. Escribe una expresión algebraica a partir del enunciado
ENUNCIADO EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
a. El quinto de un número aumentado en cuatro es igual al mismo número.
b. El doble de un número más su mitad
c. El cuadrado de un número más el cuadrado de otro número.
d. Se compra “x” libros a “y” soles cada uno. ¿Cuál es el importe de la
compra?
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Exponentes enteros positivos y sus leyes
I. Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado:
Ejercicio Signo C. numérico F. literal Grado
– 5,9ª2b3c menos 5,9 a2b3c 2+3+1=6
54
3
3kh
abc
4
2xy
– 8ª4c2d3
a4
3
3
4
1abr
3
kh3 52
-8b3c2d3
2
2xy
II. Determina el grado y clasifica según el número de términos. Recuerda que todos son polinomios
Expresión algebraica Grado de la expresión Número de términos
2x – 5y3 1; 3 = 3 2: binomio
4
32 yx
a – b + c – 2d
M2 + mn + n2
x + y2 + z3 – xy2z3
7x2y + xy
2
cba
4
hcb432
½
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III. Escribe las leyes de los exponentes.
1. Observa los ejemplos y escribe como se leen las siguientes potencias.
71 : siete a la uno. 81 :
32 : tres al cuadrado. 42 :
53 : cinco al cubo. 103 :
84 : ocho a la cuarta. 94 :
65 : seis a la quinta. 75 :
916 : nueve a la decimosexta. 617 :
1428 : catorce a la vigésimo octava. 1836 :
2. Observa los ejemplos e indica cuáles son los términos de las potencias siguientes.
32 : La base es 3 y el exponente es 2. 57 : La base es …. y el exponente es …..
84 : La base es …. y el exponente es …. 136 : La base es …. y el exponente es …..
75 : La …...…. es 7 y el ……………. es 5. 120 : La ………… es 12 y el …...……. es 0.
49 : ………………………………………... 27 : ………………………………………...
IV. Calcula el valor de cada potencia, utiliza las leyes de los exponentes y no uses calculadora. 1) 42 = 2) (-4)2 = 3) -42 = 4) (⅜)2 = 5) 52 = 6) (⅔) -2 =
c) b) a)
322
3
2
4
1
4
1
f) e) d)
533
2
3
5
1
3
2
IV. Simplifica los siguientes ejercicios utilizando las leyes de los exponentes.
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2) 33 * 32 3) 20 * 2 * 22 * 23 4) 82 * 81 * 83
5) 122 * 123 6) 43 * 43 * 41 7) 105 * 102 * 103
8) 23 * 25 9) 42 * 43 * 44 10) 62 * 63
a) 510 : 53 513 : 53 621 : 63
b) 912 · 93 518 : 53 617 : 66
v. Simplifique en Factores primos.
1) (51)2 2) (34)2 3) (22)3 4) (82)1
5) (122)3 6) (43)3 7) (105)2 8) (23)5
9) (42)4 10) (62)3 11) (95)3 12) (43)5
13) (152)2 14) (54)3
g) 3722552
722322
3·2·)2·3·()3·2(
3·2·3·)2·()3( i)
44
3232
2·5·)5·3(
2·5·2·3·5·2
h) 2234
2245
2·5·3·2·)3·7(
7·7·3·2·3·7 j)
338
5242
3·4·4·4·3
4·3·4·16·4
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a) 22 53 xx 55 46 xx 23 xx 74 64 xx
b) 5 37 5x x 75 6)3( xx 479 x 33 )2()11( xx
a) 53 · 54 = b) a7 · a4 · a8 = c) 33
34
8
32
yx
yx
d) 4 6 2
3 2
125
50
a b c
a b c e) (3a4b2c3)2·(2a2b5c)3= f) (4a2b1)3·(3a1b2)2 =
g) abab
baba23
7532
)( q)
pqpraq
pqrqp23
3532
)()(
)( s) qp
pq
p
q
qp·
52
32
12)
3 22 2 5 6 5
2 3 3
2x (yz) a b c:
3a b (xyz)
19)
22443
322523
)()(
)()(
baab
baba
20) 4 5 4 1 3 4 2
2 4 1 3 3 2 2
a b c p xy z q
x y z q a bc p 22)
5 52 2 2
2 2 2
12 14:
7 4
a b x y
xy a b
a. 36aa b. aa5
c. 23p2
d. 2
x3 e. 23 22 f. 65p
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g.
3232
x5x3 h.
423mn i. 632
xxx
1. 32
a6:a3 2. 243 kk
3.
4
2222 y9:y3y
4. cba50
cba125
23
264
5. 33
34
yx8
yx32 6.
ab)ab(
baba
23
7532
7.
pq)pr()aq(
)pq(rqp
23
3532
8.
qp
pq
p
q
qp·
52
32
9.
22443
322523
)ba()ab(
)ba()ba(
10.
22423
422243
)()(
)()(
yxxy
yxyx
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Examen rápido de Leyes de los exponentes
Opera y simplifica :
5
73
32
5
63
22
18211630725
.
.)
.
.)
.
.)
)))
yx
yxf
yx
yxe
yx
yxd
xxxcxxxbxxxa
f) [ ( a3 )2 ( a2 )5 ]3
Reduce y expresa como potencia de un solo número :
2
332
3
3
4
2
322
8
12)
125
5)
4
2)
9
3)
4
16)8.2)
fed
cba
g) Simplificar :
a) 34
47
.
.
ba
ba = b)
4245
64237
10
10
myz
zym
c) 54.6
7458
..3
...33
cab
cba = d)
245
6437
...10
...10
ymz
zym
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Polinomios
Términos semejantes (Suma y/o resta de polinomios)
I. Simplifica los términos semejantes, diga el grado del polinomio y ordene alfabéticamente.
1) aa 68
2) abab 159
3) bb 77
4) xyxy 3214
5) yxyx 22 3225
6) yxyx 33 5140
7) nmnm 22 6
8) baba 22
12
5
6
5
9) yxyx 22
14
9
7
4
10) amam5
3
1) 7a - 9b + 6a - 4b =
2) a + b – c – b – c + 2c – a =
3) 5x – 11y – 9 + 20x – 1 – y =
4) – 6m + 8n + 5 – m – n – 6m – 11 =
5) – a + b + 2b – 2c + 3a + 2c – 3b =
a) –x2 + x + x2 + x3 + x
2) 8x -3x+7x= 3) 3x +9y –2x –6y=
4) a + 2a + 9a 5) m2 – 2m2 – 7m2
6) 6x2y2 – 12x2y2 + x2y2 7) x2yz + 3xy2z – 2xy2z – 2x2yz
8) 2x – 6y – 2x – 3y – 5y 9) a + a2 + a3 + a4 – a – 2a2 + 3a3 – 4a4
10) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = 11) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =
12) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= 13) 1 + x + xy – 2 + 2x – 3xy – 3 + 2xy – 3x
14) 4
m
3
m2
2
mm 15)
4
a
3
a
2
a
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16) q
2
3p7q
4
3p2
17) 5
6
2
3
3
2
5
2222baababba
18) 222
m2mn2mn3
1m
10
1mn2m
5
3
19) t
4
1ts
3
5s
3
1s
3
2t
4
3s
3
11
20) mn
3
8nm
10
3nm
2
3mn
3
2nm
5
1 222
21) 6y
4
1xy
5
1yx
5
2y
5
3xy
8
331yx
5
2 322322
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Uso de paréntesis
I. Elimine los paréntesis y simplifique los términos semejantes.
1) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=
2. 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =
3. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =
4. (2 3 5 ) (5 4 2 ) (7 )a b ab a b ab a b ab
5. 2 2 2 2 2 2
(2 3 5 ) (6 2 3 ) (5 3 4 )x y xy xy xy x y xy xy xy x y
7. yx21yx5y3x2y3x5yx4
8. yxyxzzyx2
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9. - ( x - 2y ) - { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =
10. 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =
11. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} =
12. 9x + 31
2 y - 9z -
z3z5y9x
3
15z2y
2
1x7
13. 3x + 2y - x – (x – y)
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14. 2m – 3n - -2m + n – (m – n)
15. -(x2 – y2) + 2x2 – 3y2 – (x2 – 2x2 – 3y2)
16. --(a – 2b) – (a + 2b) – (-a – 3b)
17. 3x + 2y - 2x - 3x – (2y – 3x) – 2x - y
18. 15 - (6a3 + 3) – (2a3 – 3b) + 9b
19. 16a + -7 – (4a2 – 1) - -(5a + 1) + (-2a2 + 9) – 6a
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20. 25x - --(-x – 6) – (-3x – 5) - 10 + -(2x + 1) + (-2x – 3) - 4
21. 2 - --(5x – 2y + 3) - (4x + 3y) + (5x + y)
22. --(5a + 2) + (3a – 4) – (-a + 1) + (4a – 6)
23. 7a - -2a - -(-(a + 3b) – (-2a + 5b) - (-b + 3a)
Suma y resta de polinomios
I. Dados los polinomios, encuentre lo que se pide
A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones:
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a) A + B =
b) A – C =
c) B – A =
d) A + 2B – 3C
e) C – ( A + B )
F) 2A + 3B – 2C
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II. Suma los siguientes polinomios
1. (3x +2) + (-2x +3) =
2. ( 5x2 + 6x +1) + (-7x +2)=
3. (-4x2 +6x –3 ) + (-7x2 – 4x + 5)=
4. (3x2 + 2x -2) + (-2x2 +5x +5)=
5. (12m2 + 9m -10) + (8m2+ 3m +15)= 6. (5x3 + 6x2 – 3x +1) +( 5x4 –6x3 +2x –5)=
7. (8a5 –6a3 +6a+5) + (17a5 + 3a3 + 4a -7)= 8. (-3cd4 +6d2 +2cd –1) + (-3d2 +2cd +1)=
9.
222 m2mn2mn
3
1m
10
1mn2m
5
3
10.
ab
7
8a
9
4b
7
5ab7a2ab
5
3b
3
2 2222
11.
28ba410ba1518b5a71y1c1y1x1x1x
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III. Efectuar las siguientes restas de polinomios.
1. (3x +2) - (-2x +3) =
2. ( 5x2 + 6x +1) - (-7x +2)=
3. (-4x2 +6x –3 ) - (-7x2 – 4x + 5)=
4. (3x2 + 2x -2) - (-2x2 +5x +5)=
5. (12m2 + 9m -10) - (8m2+ 3m +15)=
6. (5x3 + 6x2 – 3x +1) - ( 5x4 –6x3 +2x –5)=
7. (8a5 –6a3 +6a+5) - (17a5 + 3a3 + 4a -7)= 8. (-3cd4 +6d2 +2cd –1) - (-3d2 +2cd +1)=
9.
222 22
3
1
10
12
5
3mmnmnmmnm
10.
abababaabb
7
8
9
4
7
572
5
3
3
2 2222
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Aplicaciones Calcular el perímetro de la siguiente figura: x2 +x 2x2 +x x 3x2 +x –3 Ahora tú determinarás el perímetro de cada figura :
9. 10. 11.
x
P = _____________ P = ____________ P = __________
12. 13. 14.
2
1m
2c 2c 2m
2m r m
m
c 2s
P = _________ P = __________ P = _____________
15. 16. 2y
3t 5t m
y
4t
m
a
p
m
a
x
x x
x
a a
b b
a a
m
r
y
y
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Producto de polinomios
1. Realiza las siguientes operaciones, utiliza las leyes de los exponentes:
a) 7 212
3x x
b) 4 723
3x x
c) 2 3
34
z
d) 5 43 6
24 5
y y y
e) 23 4
2 5a a
f) 4 713
2x x x
g) 22 x5x3
h) 55 x4x6
i) 23xx
j) 74 x6x4
k) 5 37 5x x
l) 75x6x)3(
m) 4x79
n) 3 55 1
6 3x x
o) 44x)6(x)5(
p) 53x)12(x4
q) 23x7x)6(
r) 75x
3
5x
5
2
s)
t) 4 64 2
11 3x x
II- Resuelve los siguientes productos algebraicos de un monomio por un polinomio:
1) 27 3( 4)x x
2)
3) ( 1)m n
4) ( 6 )a c bc
5) 6( 1 )z x
6) 2 ( 12) 4x y
7) 24 ( 2 )y y y
8) 2 (3 1)a a b
9) (1 2 )x x y
10) 2 ( )a b a
11) ( 3 )a ab b
12) 2 2(1 2 )x x y
33x)2(x)11(
11 4( 2 ) 5 7b c b
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III- Resuelve los siguientes productos algebraicos de un polinomio por un polinomio:
1) 8a(3a - 5y – 2z) – 6y(4a - 6y + 3z) =
2) 2(5a + 8b) – 3(3a2 - 5b) + 4a(a – 7b) =
3) (a + b)(a – 2b) + (a + b)(a + b) =
4) (x - 1)(x3 + x2 + x + 1) =
5) 4(a + 4)(a – 2) =
6) 26xy – (9x – 8y)(5x + 2y) – (4y – 3x)(15x + 4y) =
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7) (2x + 3y + 4z)(5x + 2y + z) = 7a. (x + 4)(x + 3)(x + 2)=
8) (7a – 2b) – [2(3a - c) – 3(2b - 3c)] =
9) 2 – x[7x – {9x – 3(3 + 6x)}] =
10) (2a – b)[5b – 4(a + 2b) + (a - 4b)] =
11) 44x + 2y{48y – 4x2(6z + 3y – 4x) + 4z} – 2x2y{4x – 8y + 2z(4x + y)} =
12)
ba
3
4ab
8
9ba
3
2 322 14.
32222 a
4
1b3ba
5
2ab3ab
8
3
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Examen rápido de polinomios
Identifica el coeficiente y la parte literal en los siguientes términos y luego escribe en el cuadro:
TÉRMINO
ALGEBRAICO COEFICIENTE PARTE ITERAL
zyx 353
0,0075 42cab
117 73zxy
25 yax
Evalúa 2 x para 4 - x - x
16 - x
23
4
Escribe SI o NO, según corresponde en cada casillero:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA ¿ES UN POLINOMIO?
112 xx
32 52 xx
x
x 4
32,05,0 24 xx
Al simplificar el polinomio 3bc + 5b2c – 15bc – 9b2c el resultado es:
Calcula: a) 4334 532198 xxxxx
Realiza 3x6x75x3x5 32
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Productos Notables
Binomio al cuadrado
Resuelve los siguientes binomios (utiliza la forma corta):
a) 22x b) 2
4x c) 2yx
d) 23x e) 222 x f) 253 x
g) 212 a h) 22ba i) 22ba
j) 252 x k) 27yx l) 242 nm
a. 2( 2 )x y b. 2(2 3)a
c. ( 3b – 4)2 = d. (4 + 5c) 2 =
e. 2y2x3 = f. 22 1ax4 =
g.
2
22
yx
h. 2
2 2a b
i.
23
3xx
j.
2
2 3
3y y
k.
24
2
3m2
l.
22 yz
5
3x
3
2
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Binomios conjugados
Quita paréntesis (utilizando los productos notables):
a) 11 bb b) xx 44 c) 44 mm
d) 1212 xx e) yxyx 3232 f) 2323 zz
g) yxyx 22 h) mnmn 2525 i) zyzy 33
1. (a – 4b) (a + 4b)
2. (m – 6) ( m + 6)
3. (3x + 7) (3x – 7)
4. (2 1) (2 1)x x
5. 2 2( 4) ( 4)x x
6. (3 ) (3 )a b a b
7. 2 2(2 5) (2 5)a a
8. n3m9n3m922
9.
4747 q
5
2p
4
3q
5
2p
4
3
10. y35xy35x
22
11.
4747
5
1
4
1
5
1
4
1qxqx
12.
4242
5
3
4
1
5
3
4
1zyzy
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Binomios con término común
Resuelve los siguientes productos:
1) (x + 1)(x + 2) =
2) (x + 2)(x + 4) =
3) (x + 5)(x – 2) =
4) (m – 6)(m – 5) =
5) (x + 7)(x – 3) =
6) (x + 2)(x – 1) =
7) (x – 3)(x – 1) =
8) (x – 5)(x + 4) =
9) (a – 11)(a + 10) =
10) (n – 19)(n + 10) =
11) (a2 + 5)(a2 – 9) =
12) (x2 – 1)(x2 – 7) =
13) (n2 – 1)(n2 + 20) =
14) (n3 + 3)(n3 – 6) =
15) (x3 + 7)(x3 – 6) =
16) (a4 + 8)(a4 – 1) =
17) (a5 – 2)(a5 + 7) =
18) (a6 + 7)(a6 – 9) =
19) (ab + 5)(ab – 6) =
20) (xy2 – 9)(xy2 + 12)
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50
Binomios al cubo
a) (x + 2)3 b) (3x - 2)3 c) (2x + 5)3
1) 332 tt
2) 32 v3u2
3)
3
n5
1m
10
1
4)
3
y2x2
1
a) ( 3a + 2b )3= b) ( p + 2 )3 = c) ( 2a - 4 )3 =
d) ( 6m - 3n )3 =
e) ( 4x2 - 3y )3 = f)
3
3
1
2
1ba
g) ( 3x - 1)3 =
h) (a2 + b3)3 = i) (mn2 – m2)3 =
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51
Reduce las siguientes expresiones, aplica productos notables:
a) (x + 5)2 – (x – 5) 2 =
b) (2x + 4)2 – ( 2x + 4) (2x – 4) =
c) (x – 4) (x + 8) + (2x – 4) (2x – 8) =
d) (x – 5) 3 – (x + 5)3 =
e) ( x + y + 3)2 – (x – y – 3 )2 =
F) ( 2x + 3y )2 - ( 1x - 3y )2 =
g) ( x + 2 )2 + ( 2x + 4 )( 2x - 4 ) + ( x + 3 )3 =
h) ( 2a + b + 3c )2 + ( 3a + 2b -c )2 =
i) ( p + q )( p - q ) - 3 ( 2p - q )(2p + q ) + ( p + q ) 2 =
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52
Examen de productos notables
Tiempo de realización: Aciertos:
Resuelve los siguientes productos:
1) (y – 6) (y + 4) = a) y2-10y -24 b) y2-2y +24 c) y2-2y -24 d) y2 + 2y-24
2) (a + 6) (a + 8) = a) a2 + 48 a +48 b) a2 + 48 + 14a c) a2 + 48 a +14 d) a2 + 2 a + 48
3) (2w + 8) (8 + 2w) = a) (16w + 16)2 b) (2w + 8)2 c) 2(w + 4) 2 d) (w + 4)2
4) (x + 5) (x + 1) = a) x2 + 5x + 5 b) x2 + 6x +6 c) x2 + 6x + 5 d) x2 + 5x + 6
5) (xy + n) 2 = a) x2 y2 + n2 b) xy2 + 2xyn + n2 c) x2 y2 + yxn + n2 d) (xy) 2 + 2 xyn + n2
6) (2xy – 5y2)2 = a) 4xy 2 – 20 xy + 25y2 b) 4x2 y 2– 4x y3+ 25y4 c) 4x2 y 2– 20x y3+ 25y4 d) 4x 2y 2 – 25y4
7)
6
4
3
1yy =
a)
18
42y b)
18
4
3
12 yy c)
9
4
6
42 yy d)
9
2
3
12 yy
8) (2t2 – 3r5 )3
Nota: Para esta parte hay unas copias que deben de entregarse al alumno y seleccionar que ejercicios debe hacer
extra para reafirmar su conocimiento, esto si el docente lo considera necesario.
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53
División de polinomios
I. Efectué las siguientes divisiones de un polinomio entre un monomio.
1.
yx2
yx10x8
2
32
2.
2
42233
ab3
ab3ba9ba6 3.
23
2222543
vu
vuvu2vu3
4.
xyz
yzxyzx6 232
.
5.
32
326688
ba3
baba3ba6
6.
22
32
yx4
x7xy2yx3
7.
2
5232
x3
yx5yx3
8.
2
243
x6
1
x5
1x
4
1x
3
2
9.
3 4
3
1 1
3 41
2
a a
a
II. Efectué las siguientes divisiones de un polinomio entre un polinomio.
1.
3x
12x7x3xx2
2
234
2.
1x2
4x2x3
2
3
3.
4x3
20x7x62
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54
4.
1aa
1a2aa
2
24
. 5.
3x
15x2x2
6.
4x3
20x7x62
7.
6x2
28x4x22
8.
4x
12x27x14x223
9.
5x2
9x8x11x623
10.
5x
10x73x33
11.
2x
8x3
12.
2x
16x4
13.
3x
9x3
14.
3x2
18x4x232
15.
1x2x
7x9x3x2
2
34
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NOMBRE DEL ALUMNO
MATERIAL RECOPILADO, ELABORADO Y ORGANIZADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ
55
16.
2x6x3
3x8x4x3
2
24
17.
1xx
1xxx
2
259
18.
1xx
1xxx
2
268
… Más divisiones, (puede utilizar división sintética para comprobar, donde sea posible)…
1.
2
5432 23
x
xxx 2.
3
583
x
xx 3.
2
763 25
x
xx
4.
4 24 5 1
2
x x
x
5.
1
3572 23
x
xxx
6.
2
1
12481632 2345
x
xxxxx
24.
1aa
1a2aa
2
24
25. 1nentre1n3n8
25
26.
22
224334
yx6
1
yx2
1yx
3
2yx
3
1
27. x3x4entre36x18x24x6x16x832456 28. 2hentre20h7h3
4
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56
Examen rápido de división
Describa el algoritmo de la división
Resuelve 1:453 23 xxx
Resuelve stoCocientexxxxa Re;1:1532)
223
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57
Factorización
Factor común
Encuentra el factor común de las siguientes expresiones
1. 6x - 12 = 2. 4x - 8y = 3. 24a - 12ab =
4. 10x - 15x2 = 5. 14m2n + 7mn = 6. 8a3 - 6a2 =
7. 3b – 6x 8. 20u2 – 55u = 9. 5x – 5 =
10. b4 – b3 = 11. 6x –12y + 18= 12. 15x + 20y – 30
13. 14c – 21d – 30= 14. 152x2yz – 114xyz2= 15. 25a – 30ab + 15ab2 =
16. ax + bx + cx = 17. 20x - 12xy + 4xz = 18. 3ab + 6ac - 9ad =
19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 = 20. 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx=
21. 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 = 22. 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =
23. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 = 24. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
25. 24524332
16
1
8
1
4
1
2
1babababa 26. babaabba
3322
25
16
15
8
5
12
35
4
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NOMBRE DEL ALUMNO
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58
27. a (x + 1) + b ( x + 1 ) = 28. x2( p + q ) + y2( p + q ) =
29. ( 1 - x ) + 5c ( 1 - x ) = 30. (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =
31. a ( a + b ) - b ( a + b ) = 32. m (2a + b ) + p ( 2a + b ) =
33. ( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) = 34. a (2 + x ) - ( 2 + x ) =
35. (a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) = 36. (2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =
37. 1123
babbaa 38. 221314 axnxam
39. cbacbax 22 40. 131 nnyx
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NOMBRE DEL ALUMNO
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59
Factorización por agrupamiento
Factoriza las siguientes expresiones
1. a2 + ab + ax + bx = 2. ab + 3a + 2b + 6 =
3. ab - 2a - 5b + 10 = 4. 2ab + 2a - b – 1 =
5. am - bm + an - bn = 6. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =
7. 3x2 - 3bx + xy - by = 8. 6ab + 4a - 15b - 10 =
9. 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 10. a3 + a2 + a + 1 =
11. ac - a - bc + b + c2 - c =
12. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
13. ax - ay - bx + by - cx + cy =
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60
14. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
15. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =
16. z7x5yz3
143xy
3
10xz
4
21x
4
15 2
17. bn5
16bm
5
4am
3
8am
3
2
Factorización de trinomios cuadrados
Expresar como un producto de dos binomios con término común:
1. x2 + 4x + 3 = 2. a2 + 7a + 10 =
3. b2 + 8b + 15 = 4. x2 - x - 2 =
5. r2 - 12r + 27 = 6. s2 - 14s + 33 =
7. h2 - 27h + 50 = 8. y2 - 3y - 4 =
9. x2 + 14xy + 24y2 = 10. m2 + 19m + 48 =
11. x2 + 5x + 4 = 12. x2 - 12x + 35 =
13. x2 + 6x + 8= 14. x2 – 16x + 63
15. x2 + 10x – 56= 16. x2 –13x – 48 =
17. y2 – 7y – 30= 18. x2 – 14x + 48=
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NOMBRE DEL ALUMNO
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61
19. x2 – 5x – 84= 20. x2 + 7x – 120=
21. tt 62 22. 2452 ww
23. 3072 ff 24. aa 2120 2
25. 33142 mm 26. 4062 kk
27. 56152 pp 28. 54152 ww
29. 6072 zz 30. 60172 aa
31. 300202 yy 32. 1322 xx
33. aa 42432 2 34. 675302 hh
35. 76 36 yy 36. 802 48 yy
37. 1222 xyyx 38. 1542142
ww
39. 4251352
zz 40. 22 152 aaxx
41. 22 214 baba 42. 20510 xx
43. 22 56nmnm 44. 2452
nmnm
45. 992 2244 baba 46. 22 2811 dcdc
47. 65182
dcdc 48. 482 24 yy
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62
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
1. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
a) x2 + 10x + ......... b) y2 –18y + ...........
c) m2 – ......... + 36n2 d) p2 + ............ + 64p2
e) ......... + 42x + 49 f) .......... – 390y + 225
g) 289z2 + 340 z + ........... h) 64x2 – 80xy + ............
2. Expresar el trinomio cuadrado perfecto como un cuadrado de binomio:
1. b2 - 12b + 36 = 2. 25x2 + 70xy + 49y2 =
3. m2 - 2m + 1 = 4. x2 + 10x + 25 =
5. 16m2 - 40mn + 25n2 = 6. 49x2 - 14x + 1 =
7. 36x2 - 84xy + 49y2 = 8. 4a2 + 4a + 1 =
9. 1 + 6ª + 9a2 = 10. 25m2 - 70 mn + 49n2 =
11. 25a2c2 + 20acd + 4d2 = 12. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =
13. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 = 14. g2 + 2gh + h2 =
15. 36n2 + 84pn + 49p2 16. 9x2 –12xy + 4y2
17. 225 – 30b + b2 18. p2 – 2pq + q2
19. 3p2 –6pq +3 q2 20. p2 – 14pq +49 q2
21. 8p2 – 16pq +8 q2 22. 81p2 – 18pq + q2
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NOMBRE DEL ALUMNO
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63
Factorización de trinomios cuadrados con a distinto de uno
1. 5x2 + 11x + 2 = 2. 3a2 + 10ab + 7b2 =
3. 4x2 + 7x + 3 = 4. 4h2 + 5h + 1 =
5. 5 + 7b + 2b2 = 6. 7x2 - 15x + 2 =
7. 5c2 + 11cd + 2d2 = 8. 2x2 + 5x - 12 =
9. 6x2 + 7x - 5 = 10. 6a2 + 23ab - 4b2 =
11. 3m2 - 7m - 20 = 12. 8x2 - 14x + 3 =
13. 5x2 + 3xy - 2y2 = 14. 7p2 + 13p - 2 =
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NOMBRE DEL ALUMNO
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64
15. 6a2 - 5a - 21 = 16. 2x2 - 17xy + 15y2 =
17. 2a2 - 13a + 15 = 18. 384 2 xx
19. 6112 2 xx 20. 62 2 xx
21. 12163 2 xx 22. 232 2 xx
23. 120 2 aa 24. 15148 2 aa
25. 35447 2 xx 26. 151615 2 mm
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NOMBRE DEL ALUMNO
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65
Factorización de la diferencia de dos cuadrados
Factoriza las siguientes expresiones.
1. 9a2 - 25b2 = 2. 16x2 - 100 =
3. 4x2 - 1 = 4. 9p2 - 40q2 =
5. 36m2n2 - 25 = 6. 49x2 - 64t2 =
7. 169m2 - 196 n2 = 8. 121 x2 - 144 k2 =
9. 22 b36
49a
25
9 10. 44 y16
9x
25
1
11. 3x2 - 12 = 12. 5 - 180f2 =
13. 8y2 - 18 = 14. 3x2 - 75y2 =
15. 45m3n - 20mn = 16. 2a5 - 162 a3 =
17. 22 169144 ba 18. 22mwt
19. 12125 102 zx 20. 224169100 ylk
21. 144842 nma 22. 1064291 dcba
23. 1264225196 zyx 24. 1361 16x
25. 8412 289256 mbd 26.
64
4
49
68 xm
27. 2536
82 xa 28. 6
94
1a
29. 22
dcba 30.
2536
82 xa
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NOMBRE DEL ALUMNO
MATERIAL RECOPILADO, ELABORADO Y ORGANIZADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ
66
Factorización de la suma o resta de dos cubos
Factoriza las siguientes expresiones.
1. 64 – x3 =
2. 27m3 + 6n6 =
3. 27
8
8
1 3 x =
4. 8a3b3 + 27 =
5. x6 – y6 =
6.64
13 x =
7. 13a
8. 13
y
9. 13x
10. 18 3m
11. 6427 3x
12. 273x
13. 273a
14. 3327 nm
15. 646x
16. 1253r
17. 32161 m
18. 96 278 ba
19. 126 bv
20. 33 278 mn
21. 27
8
8
1 3 x
23. 1333 xnm
24. 7298 6x
25. 3
8 yx
26. 39 ut
27. 3
8 yx
28. 612 ur
29. 33
32 mz
30. 6391258 zyx
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NOMBRE DEL ALUMNO
MATERIAL RECOPILADO, ELABORADO Y ORGANIZADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ
67
Expresiones racionales simples
Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda:
a) b) = c) d) 48
72
25
75
96
32
3
5
2
2
3 2
4 3
a
ab
a b
ab
m n
m n
a b
a b
( )
( )
e) f) = g) h) 4 4
5 5
3 6
5 10
8 7
64 49
2
2 2 2
a b
a b
x y
x y
x xy
xy y
x y
x y
i) j) = k) l) 24 18
44 33
16
8 16
9 30 25
6 10
25
20
2
2
2 2
2
x y
x y
x
x x
x x
x
x
x x
m) n) = ñ) o) 4 4 1
6 3
6 8
7 12
4 12
8 12
64
13 40
2 2
2
2
2
2
2
y y
x
x x
x x
x x
x x
u
u u
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NOMBRE DEL ALUMNO
MATERIAL RECOPILADO, ELABORADO Y ORGANIZADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ
68
p) q) r) s) ( )
( )
a b c
a b c
c
c
x x
x
x x
x x
2 2
2 2
6
2
2
2
2
2
1 64
1 4
7 10
25
2
3 2
t) v) w) x) a
a
m n
n m
y y
y y
x x
x x
2 2 2 2
2
2
2
9
3 3 2 2
12
2 15
5 6
8 15
( )
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NOMBRE DEL ALUMNO
MATERIAL RECOPILADO, ELABORADO Y ORGANIZADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ
69
Efectúa las siguientes operaciones algebraicas
1) 4a2b3 x 7x2 y8 21x2y4 – a3b6
2) 56a4b2 x 9x3y2 27xy4 35a5b2
3) ( 2x ) 3 x ( 9y )2 (– 4y ) 2 ( 3x )4
4) ( 12x y3 ) 3 x ( 9x3 )2 ( 18x2y2) 2 ( 4xy2 )3
5) 6a2b3 15a4 b3 8x2y6 –12x3y6
6) 2x2 + 3x . x2 + 2x – 3 . x2 – x 4x2 + 8x + 3
7) a2 + 7a + 10 . a2 – 9 = a2 – a – 6 a2 + 3a
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NOMBRE DEL ALUMNO
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70
8) a2 – 81 . a2 + 5 . __ 8ab = 2a2 + 10 4a – 36 ab + 9b 9) a2 – 81 . a + 11 . 2a – 12 . a3 + 5a2
2a2 + 10a a2 – 36 2a + 18 2a + 22
10) 2x2 + 15x + 18 . 12x2 – 23x – 24 . 12x2 – 25x + 12 12x2 – 41x + 24 4x2 + 27x + 18 8x2 + 10x – 3
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NOMBRE DEL ALUMNO
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71
11) x2 + 4x + 4 x2 + 2x. 3x2 – 12 x3 – 2x2
12) x3 – x 5x2 – 5x x2 + 6x 2x + 6
13) 15x2 + 7x – 2 6x2 + 13x + 6 25x3 – x 10x2 + 17x + 3
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72
14) a2x2 + 5a ax2 + 5 4a2 – 1 2a + 1
Efectúa las siguientes sumas y restas con las fracciones algebraicas
15) 2a – a – 1 + 2 = a + 3 a + 3 a + 3
16) 2a – a + 4 = a + 5 a + 5 a + 5
17) a + x – a = a a – x
18) a + x – a = a + x a – x
19) 2 – 5 + 3 = (2x + 3)(x + 1) ( 2x + 3)(x – 2) (x + 1)(x – 2)
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73
20) 1 – 1 + 1 = 5(1 + a) 10(1 – a2) 5(1 – a)
21) 1 – 1 + 1 =
ax a2 + ax a + x
22) 2 – 5 + 3 = 2x2 + 5x + 3 2x2 – x – 6 x2 – x – 2 23) a – 3 + 2a + 5 – 5a – 2 = 20a + 10 40a + 20 60a + 30
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74
24) 1 – 2 + 1 = x2 + 5x + 6 x2 – 4 x2 + x – 6
Efectúa las siguientes sumas y restas con las fracciones algebraicas complejas
25) 14
2
12
2
x
xx
26) 12
2
12 2
x
x
xy
xy
yx
11
22
27)
ab
aba
ab
aba
1
)(1
1
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MATERIAL RECOPILADO, ELABORADO Y ORGANIZADO POR M. EN C. RITA OCHOA CRUZ
75
x + x . 2
28) __________________________________________ =
x – x . 4
x + 1 – 2x . 2 29) __________________________________________ =
1 – 4 – x . 4
a – b . a – b a + b 30) __________________________________________ =
a + b + a . a – b b
a – x x a 31) __________________________________________ =
1 + x . a
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76
a – x x a 32) __________________________________________ =
1 + x . a
x + 3 + 6 . x – 4
33) __________________________________________ =
x + 5 + x . 4
b + 4 – b . 4 + b b 34) __________________________________________ =
4 + b – b . b 4 + b
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77
z 2 – 25 + 3 z – 5 __________ _____________________________
z + 8 35) __________________________________________ =
9 + z 2 – 36 . z – 6 __________ _____________________________
z – 11
81-a
9+a :
9-a
9+6a+a4
2
2
2
= 1)+2)(x+(x
2+x
2+3x+x2
=
5-x
5+x
1-x
x +
1-x
2 -
1+x
32
=
5-xx
5x
1-x
x +
1-x
2 -
1+x
32
4
22
2
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Ecuaciones de primer grado con una incógnita
Determinar la solución de las siguientes ecuaciones:
1. 5 + 6x = 2
2. 4b + 1 = -18 3. 18c - 3 = 0
4. 5 - 2d = 9
5. - 3f + 1 = 4
6. - 2 - 5g = 0
7. 13 - h = 13
8. 5j - 9 = 3j + 5
9. 2k + 7 = 12 - 3k
10. 10 - 4x = 7 - 6x
11. 5m - 3,2 = 2m + 2,8
29. 5n - 2n + 12 = 35 - 4n
30. 3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ – 11
14. 48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p
15. q - 3 + 6q - 9 + 12q - 15 = q
16. 6r + 12r - 9 - 8r + 10 + r = 0
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18. 5s + (4 - s) = 9 - (s - 6)
19. (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t)
20. 3 - (8v-5) + (6-7v) - 1 = 7 - (v-1) + (4v+4) 21. (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3)
22. -(4x-6+5x) + (9-5x+3-2x) = 7x - (1 - 6x) 12y = 3(3y - 5)
23. 7 - 6(c - 1) + 3(3 - 4c) = 7 + (7c - 4) 24. – 2(d + 7)-(3d + 5)=2d+(4d-9+3d)-(d - 3)
25. 8(6f - 14)-7(12 - 5f)+(23f + 2)-(2f + 65) = 0 26. 21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g – 12
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27. 40h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h )] = 3-(8h - 12)
28. 2 - {2m + [2m - (2 - 2m)]} = 2
29. 34 - 52(12n - 34) + 235 = 32 + 101(35n - 1)
30. 2 - (3ñ + 4)-(5ñ - 6 )-(7ñ - 8)-(9ñ - 10) = 11
31. (t - 3)² - (t - 2)² = 5
32. (2v - 4)² + 6v - 3 = 4v² - (3v - 1)
33. (w + 3)² + 4 = (w - 2)² + 5w – 2 34. (3x - 3)² - (2x - 7) = (3x - 5)(3x + 5)
35. 2 - (y + 1)² = 5 - 3[y - (5y + 9)] - y² 36. (x - 7)² - (1 + x)² = 2(3x - 4)
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81
37.
38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
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82
45.
46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
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Ecuaciones Fraccionarias de primer grado
x6
x731
3
1
x4
9
x3
8
x2
7
x
32
x
11
x
3
2
3
x
5
072
13
x24
1
x12
1
x9
1
x8
1
x14
11
4
1
x
1
x7
8
14
5
x4
3
23x
7
02
5
2x
3
1x
3
1x
2
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84
01x6
x6
1x3
2x3
0
3x
11
3x2
13
0x2
5x2
3x
4x
1
64
9
32
13
x
x
x
x
654
32
x
x
12
13
32
23
x
x
x
x
1
3
2
7
1
4
xxx 0
2
12
x
x
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85
52
4
52
2
254
322
xxx
x
x
x
x
x
x
x
x
4
18
53
4
1
2
1
2
2
3 2 8
4 3 7 12x x x x
, (x=9)
2
1 2 1 2 3 14
1 3 1 3 1 9
x x x
x x x
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2
2
2 6 2
3 9 1 3 1
x
x x
2
5 11 13 2
1 4 3 4
x xx x
x x x x
2 2 2
1 1 3
3 3 28 12 35 20x x x x x x
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Problemas verbales que involucran ecuaciones lineales
Plantear una ecuación consiste en interpretar, comprender y expresar en una ecuación matemática el enunciado verbal de cualquier problema. Es decir:
Lenguaje verbal (un problema) traducción Lenguaje matemático (ecuaciòn)
Recomendaciones para plantear una ecuación
No existen reglas sencillas que garanticen el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo es posible establecer algunas pautas generales y algunos principios que pueden ser útiles en la solución de problemas:
1. Leer y comprender el problema. 2. Ubicar la incógnita y relacionarlo con los datos del problema. 3. Plantear la ecuación y resolverla. 4. Comprobar el resultado. Ver si la respuesta es razonable.
Para plantear correctamente una ecuación es necesario simbolizar correctamente el enunciado de un problema. Veamos a continuación algunos ejemplos de enunciados y su respectiva representación matemática.
Enunciado Representación matemática
Un numero
El doble de un numero
El doble de un numero, aumentado en 5
El doble, de un numero aumentado en 5
El triple de un numero, disminuido en 7
El triple, de un numero disminuido en 7
Lo que tiene Omar es igual a lo que tiene Silvana
Omar tiene el doble que Silvana
Carlos tiene dos veces lo que tiene Diana
Carlos tiene dos veces mas de lo que tiene Diana
“x” es tres veces “y”
“a” es a “b” como 3 es a 5
“m” y “n” están en la misma razón que 2 y 7
La suma de tres números
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La suma de tres números consecutivos
La suma de tres números pares consecutivos
La suma de los cuadrados de tres números
El cuadrado de la suma de tres números
El cubo del doble de un numero
El doble del cubo de un numero
“A” excede a “B” en 4
Tres menos dos veces un numero cualquiera.
Un número par
Tres pares consecutivos
Un número impar
Tres impares consecutivos
Un número múltiplo de cinco
Un número múltiplo de tres
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Plantear y resolver los siguientes problemas 1. Un número multiplicado por 5 sumado con el mismo
número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es el número?
2. ¿Qué número se debe restar de p+2 para obtener 5?
3. El doble de un número aumentado en 12 es igual a su triple disminuido en 5. ¿Cuál es el número?
4. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuáles son los números?
5. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del sucesor de éste es 147. Hallar el número.
6. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuáles son los números?
7. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103. R/51 y 52.
8. Encuéntrense tres números enteros consecutivos cuya suma sea 57. R/18, 19 y 20.
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9. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar estos tres números. R/67, 68 y 69.
10. Hallar cuatro números enteros consecutivos cuya suma sea 74. R/17, 18, 19 y 20.
11. Hallar tres números enteros pares consecutivos cuya suma sea 192. R/62, 64 y 66.
12. Hallar tres números enteros consecutivos pares cuya suma sea 486. R/160, 162 y 164.
13. La suma de tres números enteros pares consecutivos es 102. ¿Cuáles son los números? R/32,34 y 36.
14. La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.
15. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número? Sol: 18
16. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruplo del menor. ¿De qué número se trata?
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17. Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. ¿Cuál es ese número? Sol: el 0 y el 7.
18. El producto de un numero natural por su siguiente es igual a 210. ¿De qué número se trata? Sol:14
19. Halla un número tal que su doble aumentado en una unidad sea igual que su triple disminuido en tres unidades. Sol: 4
20. La suma de tres números consecutivos es 144. ¿Cuáles son esos números? Sol: 46, 47, 48.
21. Calcula tres números naturales consecutivos, sabiendo que su suma es igual al cuádruplo del menor.
22. En el triángulo ABC, los lados BCAB 3 y ACBC2
1
. Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide cada lado?
23. El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3, la
fracción queda equivalente a 3
4. Hallar la fracción.
24. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma sea 103.
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25. Tres números enteros consecutivos suman 204. Hallar los números.
26. La suma de tres números impares consecutivos es 99. Hallar los números.
27. La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años más que la menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas.
28. Dividir 85 en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al doble de la mayor.
29. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que el doble del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor equivalgan a 740.
30. La cabeza de un pez corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg. 600 gramos. ¿Cuánto pesa el pez?
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31. Se cuenta que la legendaria fundadora de Praga, la reina Libussa de Bohemia, eligió a su consorte entre tres pretendientes, planteándoles el siguiente problema: ¿cuántas ciruelas contenía un canasto del cual ella sacó la mitad del contenido y una ciruela más para el primer pretendiente; para el segundo la mitad de lo que quedó y una ciruela más y para el tercero la mitad de lo que entonces quedaba y tres ciruelas más, si con esto el canasto se vació. ¿Puedes calcularlo tú?
Despejes de variables
Despeja en las siguientes expresiones la incógnita indicada. Lo ideal es que se despeje cada una de las variables
1. La velocidad de un objeto bajo ciertas condiciones está dada por la fórmula; V2 = v0 2 + 2ad donde v0 es la velocidad inicial, a es la aceleración y d es el desplazamiento.
Despeje la aceleración
Despeje el desplazamiento
2. La expresión 𝑺 =𝒂−𝒓𝑳
𝟏−𝒓 aparece en el estudio de las progresiones geométricas. Despeja r y L.
Despeje la r
Despeje L Despeje a
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3. La relación entre la temperatura en °C y la temperatura en °F es C = 5/9 C (F - 32). Despeje la variable F.
4. El área de un cilindro está dada por A = 2πr(r + h). Despeja para h.
5. El nivel de energía de un objeto es E = mgh + 1/2mv2.
Despeje la m
Despeje h Despeje v
6. De la formula 2
2at
tvd i que representa la distancia que recorre un móvil:
Despeje la a
Despeje vi
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7. De la fórmula 4
32aA
que sirve para calcular el área de de triángulo equilátero. Despeja el lado a-
8. De la formula
21
21·
rr
rrR
que sirve para calcular la resistencia eléctrica total en paralelo.
Despeje la r1
Despeje r2
9. De la fórmula2
21··r
qqKF que en física sirve para calcular la fuerza atracción entre dos cargas,
Despeje la r
Despeje q1 Despeje q2
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10. La fórmula que relaciona la capacitancia equivalente (Cs) para capacitadores en serie está dada por: 𝟏
𝑪𝑺=
𝟏
𝑪𝟏+
𝟏
𝑪𝟐+
𝟏
𝑪𝟑 Despejar cada una de las cuatro variables.
11. Despeja todas las variables de S = 2 R H + 2 R 2
13. Despeja todas las variables de 13
3
m
r
hp
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Evaluación y acreditación
Sobre la evaluación se señala lo siguiente:
1. La evaluación debe ser continua y se le debe dar un peso para la acreditación al trabajo diario de los alumnos,
como es la participación en clase, tareas y prácticas de laboratorio realizadas, etc.
2. El profesor debe recomendar el uso de los bancos de reactivos de la academia con la finalidad de que el
alumno aplique los conocimientos adquiridos y desarrolle habilidades, aptitudes y destrezas en la resolución
de ejercicios y problemas. Estos reactivos deben ser resueltos por los alumnos fuera del horario de clases.
3. Se propiciará trabajo colaborativo que permita al estudiante desarrollar los conocimientos, habilidades,
valores, actitudes, colaboración, claridad de ideas, honestidad, tolerancia, respeto, compromiso con el trabajo
que contribuyan al desarrollo individual y de la sociedad.
En cuanto a la acreditación:
1. La calificación mínima aprobatoria de 6 (seis)
2. La asistencia igual o mayor al 80%, así como el 80% en trabajos entregados, es requisito indispensable para
tener derecho a presentar los exámenes parciales. En relación a las prácticas de laboratorio el alumno debe
cubrir al menos el 80% de las prácticas realizadas durante el curso.
3. Los exámenes parciales se realizan por lo regular dos días después de finalizar la unidad correspondiente.
4. Las dudas generales del curso, se resolverán tanto en clase como en asesorías.
5. Para exentar la materia deberá de tener un promedio numérico mínimo de 8 (ocho) siempre y cuando todos
los parciales estén acreditados.
6. Para presentar el examen final, el alumno deberá de contar con al menos el 80% de asistencias de las sesiones
programadas según el calendario escolar.
7. Un examen con fines de acreditación debe incluir problemas, ejercicios y preguntas teóricas que relacionen
conceptos y aplicaciones.
8. En el caso de trabajos de investigación, se evaluarán los contenidos, la puntualidad de la entrega, la
presentación, la ortografía y la limpieza del mismo.
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Bibliografía
BALDOR, Aurelio; 2007. “Álgebra”. México. Grupo Editorial Patria
DE OTEYZA, Elena; HERNÁNDEZ, Carlos; LAMM, Emma. 1996. Álgebra. México. Ed. Prentice Hall.
GOBRAN, Alfonse; 1990. “Álgebra Elemental”. México. Grupo Editorial Iberoamérica.
KAUFMANN, Jerome; SCHWITTERS Karen. 2000. Álgebra intermedia. México. Ed. Thomson
REES Fred Sparks Paul. 1968. Álgebra. España. Ed. Reverté.
REES Fred Sparks, Paul. 1990. Álgebra. EUA. Ed. Mc. Graw Hill.
RIBNIKOV, K. 1987. Historia de las Matemáticas. Rusia. Editorial Mir Moscú.
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Me encanta Dios. Es un viejo magnífico que no se toma en serio. A él le gusta jugar y juega,
y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente. Pero esto
sucede porque es un poco cegatón y bastante torpe con las manos.
Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda, o Cristo, o Mahoma, o mi tía Chofi,
para que nos digan que nos portemos bien. Pero esto a él no le preocupa mucho: nos conoce.
Sabe que el pez grande se traga al chico, que la lagartija grande se traga a la pequeña, que el
hombre se traga al hombre. Y por eso inventó la muerte: para que la vida -no tú ni yo- la vida,
sea para siempre.
Ahora los científicos salen con su teoría del Big Bang... Pero ¿qué importa si el universo se
expande interminablemente o se contrae? Esto es asunto sólo para agencias de viajes.
A mí me encanta Dios. Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el tránsito en el
camino de las hormigas. Y es tan juguetón y travieso que el otro día descubrí que ha hecho -
frente al ataque de los antibióticos- ¡bacterias mutantes!
Viejo sabio o niño explorador, cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo y de carne y
hueso, hace campos de flores o pinta el cielo de manera increíble.
Mueve una mano y hace el mar, y mueve la otra y hace el bosque. Y cuando pasa por encima
de nosotros, quedan las nubes, pedazos de su aliento.
Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos, y manda tormentas, caudales de fuego,
vientos desatados, aguas alevosas, castigos y desastres. Pero esto es mentira. Es la tierra que
cambia -y se agita y crece- cuando Dios se aleja.
Dios siempre está de buen humor. Por eso es el preferido de mis padres, el escogido de mis hijos,
el más cercano de mis hermanos, la mujer más amada, el perrito y la pulga, la piedra más
antigua, el pétalo más tierno, el aroma más dulce, la noche insondable, el borboteo de luz, el
manantial que soy.
A mí me gusta, a mí me encanta Dios. Que Dios bendiga a Dios.
Me encanta Dios - Poemas de Jaime Sabines