CUADERNO DE EJERCICIOS PARA RECUPERAR LA PENDIENTE …

CUADERNO DE EJERCICIOS PARA RECUPERAR

LA PENDIENTE DE

MATEMÁTICAS DE 1º DE BACHILLERATO DE CIENCIAS

CURSO 2017-2018

NÚMEROS

Ejercicio 1.- Escribe dos números comprendidos entre:

𝑎) 19

23 𝑦

20

23 𝑏)

22

7 𝑦 𝜋

Ejercicio 2.- Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales. En el caso de los

racionales indica su expresión mediante una fracción irreducible.

𝑎) 12′12131415…… 𝑏) 12′121212… . . 𝑐) 12′0121212……

𝑑) 1′010010001…… . . 𝑒) 1′123123123…… 𝑓) 0′001002003004 …….

Ejercicio 3.- Clasifica estos números indicando a qué conjuntos numéricos pertenecen:

𝑎) 25′0123456…… 𝑏) 25′4252525…… . 𝑐) − 4 𝑑) 3

7 𝑒) 2

𝑓) 2′3 𝑔) − 0′0625 𝑕) −65

13

Ejercicio 4.- Ordena de menor a mayor estos números:

25′0111…… , 126

5 , 25′01 ,

226

9

Ejercicio 5.- Representa gráficamente los siguientes números reales:

𝑎) 12

5 𝑏) −

3

7 𝑐) 5 𝑑) 6 𝑒) 7 𝑓) 8

Ejercicio 6.- Escribe en forma de intervalos los siguientes conjuntos de números:

𝑎) 𝑥 −1

2 <

1

4 𝑏) 2𝑥 + 6 < 1 𝑐) 𝑥 ≤

1

3 𝑑) 𝑥 ≥ 3

Ejercicio 7.- Opera y simplifica:

𝑎) 2 2 − 3 2 2

+ 2 − 3 2 ∙ 2 + 3 2 = 𝑏) 𝑥 𝑥

𝑥3 =

𝑐) 3 + 2 27 − 12 + 10 48

25= 𝑑)

1

3 804

−1

2 4054

− 54

=

𝑒) 𝑥 ∙ 𝑥3

∙ 𝑥34= 𝑓)

1

2− 2 −

1

2

2

= 𝑔) 3 3 3 =

EJERCICIOS DE ECUACIONES

Resuelve las ecuaciones siguientes:

1) 𝑥−1

5−

𝑥+2

10+

1−3𝑥

15=

𝑥+2

30 Solución: x = -3

2) 𝑥−4

5+

3 𝑥−2

15=

1

10−

𝑥−1

2 Solución: x = 2

3) 2 𝑥−1

3−

𝑥−4

15+ 1 = 𝑥 −

3 𝑥−2

5 Solución: x = 3

4) 2𝑥−1

3−

𝑥−4

2− 𝑥 − 3 =

𝑥+2

4− 𝑥 Solución x = 50

5) 3 𝑥+1

2−

𝑥−5

4− 𝑥 − 1 =

9−𝑥

8+ 𝑥 + 2 Solución x=1

6) 6𝑥−2

4+

𝑥+1

5−

𝑥−3

2=

𝑥+1

10 Solución: x = -1

7) 2𝑥+1

3−

𝑥−4

2+ 𝑥 =

3𝑥

4+

6+𝑥

3 Solución: x = -4

Resuelve los siguientes sistemas lineales:

1) 2𝑥 + 𝑦 = −2

3𝑥 + 2𝑦 = −1 Solución: x = -3 y = 4

2) 4𝑥 + 𝑦 = 8𝑥 + 2𝑦 = −5

Solución: x = 3 y = -4

3) 3𝑥 + 2𝑦 = −1

4𝑥 + 3𝑦 = 1 Solución: x = -5 y = 7

4) 3𝑥 + 4𝑦 = −1

5𝑥 + 4𝑦 = 1 Solución: x = 1 y = -1

5) 7𝑥 + 2𝑦 = 03𝑥 − 5𝑦 = 0

Solución: x = 0 y = 0

6) 7𝑥 − 𝑦 = 12𝑥 + 𝑦 = 8


7) 2𝑥 + 3𝑦 = 4

3𝑥 + 2𝑦 = −4 Solución: x = -4 y = 4

8) 4𝑥 − 𝑦 = 0𝑥 + 𝑦 = 10

Solución: x= 2 y = 8

9) 4𝑥 − 𝑦 = −28𝑥 − 𝑦 = 6


10) 6𝑥 + 2𝑦 = −19𝑥 + 4𝑦 = −1

Solución: 𝑥 = −1

3 𝑦 =

1

2

11) 6𝑥 − 4𝑦 = 33𝑥 + 8𝑦 = 4

Solución: 𝑥 = 2

3 𝑦 =

1

4

12) 5𝑥 + 6𝑦 = −310𝑥 + 3𝑦 = 0

Solución: 𝑥 = 1

5 𝑦 =

−2

3

13) 8𝑥 + 6𝑦 = 3

2𝑥 + 5𝑦 = −1 Solución: 𝑥 =

3

4 𝑦 =

−1

2

14) 𝑥 + 𝑦 = 26𝑥 − 4𝑦 = −3

Solución: x = 1

2 y =

3

2

15) 2𝑥 + 𝑦 = 015𝑥 + 5𝑦 = 1

Solución: x = 1/5 y = -2/5

16) 2𝑥 + 3𝑦 = 06𝑥 + 5𝑦 = −2

Solución: x = -3/4 y = 1/2

17) 6𝑥 + 6𝑦 = 112𝑥 + 9𝑦 = 1

Solución: x= -1/6 y = 1/3

18) 10𝑥 + 5𝑦 = −15𝑥 + 15𝑦 = 7

Solución: x = -2/5 y = 3/5

19)

𝑥

2−

𝑦−1

3= 1

𝑥+1

5−

𝑦

2= −1


20)

𝑥+4

3−

𝑦−1

2= 0

𝑥+7

2+

𝑦+5

4= 5

Solución: x = -1 y = 3

21)

3𝑥+4

10−

2−𝑦

2= −1

𝑥−2

7−

𝑦+5

3= −1

Solución: x = 2 y = -2

22)

2𝑥+4

6−

3𝑦−1

2= 0

𝑥−6

5− 3𝑦 = −4


23)

2𝑥+𝑦

2−

𝑥−𝑦

5= 1

𝑥−2𝑦

7+

𝑦−2𝑥

2= −3

Solución: x= 3 y = -2

24)

𝑥+𝑦

2−

6𝑥+2𝑦

3=

−2

34𝑥+1

3− 2𝑥 − 4𝑦 = 2

Solución: x = 1/2 y = -1/2

25) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6

−2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −10 Solución: x = 1 y = -2 z = 3

26) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 3−𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 9

Solución: x = -3 y = 3 z = 0

27) 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 + 2𝑦 = −33𝑥 − 5𝑧 = 5

Solución: x = 5 y = -4 z = 2

28) 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5

3𝑦 − 2𝑧 = 65𝑥 + 2𝑧 = 1

Solución: x = -1 y = 4 z = 3

29) 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −22𝑥 + 3𝑦 + 5𝑧 = 1

3𝑥 + 4𝑦 = −3 Solución: x = 7 y = -6 z = 1

30) 𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 5

2𝑥 − 6𝑦 + 5𝑧 = 2−𝑥 + 8𝑦 − 3𝑧 = 3

Solución: x = 10 y = 1/2 z = -3

31) 3𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 1−𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 02𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 1

Solución: x = 1 y = 0 z = -1

32) 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 = 4

4𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = −3 Solución: x = 4 y = -3 z = 2

33) 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2−2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −4

Solución: x = -2 y = -1 z = 5

34) 4𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 13𝑥 − 𝑦 + 7𝑧 = 3𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 5

Solución: x = 2 y = -4 z = -1

35) 2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 5

3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = −5 Solución: x = 3 y = 2 z = -6

36) 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 8

4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −26𝑥 + 3𝑦 + 6𝑧 = 11

Solución: x = 1/2 y = -1/3 z = 3/2

Resuelve las ecuaciones de segundo grado siguientes:

1) 𝑥2 − 9𝑥 + 8 = 0 (8, 1)

2) 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 (1)

3) 𝑥2 − 2𝑥 − 24 = 0 (-4, 6)

4) 𝑥2 − 10 + 16 = 0 (2, 8)

5) 𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 0 (1, -5)

6) 6𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0 1

2,

1

3

7) 8𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0 −1

2,

1

4

8) 18𝑥2 + 3𝑥 − 1 = 0 −1

3,

1

6

9) 3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0 2,1

3

10) 2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 −1,1

2

11) 3𝑥2 + 5𝑥 − 2 = 0 −2,1

3

12) 4𝑥2 + 3𝑥 − 1 = 0 −1,1

4

13) 2𝑥2 − 3𝑥 − 9 = 0 3,−3

2

14) 2𝑥2 + 11𝑥 − 6 = 0 −6,1

2

15) 4𝑥2 − 19𝑥 − 5 = 0 5,−1

4

16) −𝑥2 − 5𝑥 + 14 = 0 2,−7

17) −𝑥2 − 8𝑥 − 16 = 0 (-4)

18) 𝑥2 − 11𝑥 + 10 = 0 (1, 10)

19) −2𝑥2 + 15𝑥 + 8 = 0

20) 𝑥2 + 2𝑥 + 7 = 0

1) 3𝑥2 + 12𝑥 = 0 (0, -4)

2) 2𝑥2 − 18 = 0 (3, -3)

3) 5𝑥2 − 10𝑥 = 0 (0, 2)

4) 𝑥2 + 𝑥 = 0 (0, -1)

5) 𝑥2 + 1 = 0 (Sin solución)

6) 𝑥2 − 2 = 0 ± 2

7) 𝑥2 − 𝑥 = 0 (0, 1)

8) −2𝑥2 + 6𝑥 = 0 (0, 3)

9) 𝑥2

2− 32 = 0 (8, -8)

10) −𝑥2 + 9 = 0 (3, -3)

11) 2𝑥2 − 50 = 0 (5, -5)

12) 3𝑥2 − 243 = 0 (9, -9)

13) 𝑥 𝑥 + 3 − 2𝑥 = 4𝑥 + 4 (4, -1)

14) 𝑥 𝑥 − 6 − 𝑥 = −13 − 𝑥 (Sin solución)

15) 4𝑥+3

8− 𝑥 =

𝑥2+2

16− 1 (2, -10)

16) 2𝑥 𝑥 + 3 = 3(𝑥 −1) (Sin solución)

17) 𝑥 + 2 𝑥 − 2 = 2 𝑥 + 5 + 21 (7, -5)

18) 2𝑥 𝑥 + 3 = 3(𝑥 − 19) (Sin solución)

19) 𝑥 2𝑥 − 3 = 0 (0, 3/2)

20) 2𝑥 3𝑥 − 4 − 1 − 3𝑥 1 + 𝑥 = −2

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

1) 𝑥 + 𝑦 = 5

𝑥2 + 𝑦2 = 17

𝑥 = 1,𝑦 = 4

𝑥 = 4,𝑦 = 1

2) 𝑥 + 𝑦 = 10𝑥.𝑦 = 24

𝑥 = 4,𝑦 = 6

𝑥 = 6,𝑦 = 4

3) 𝑥 − 𝑦 = 5

𝑥2 − 𝑦2 = 45 (𝑥 = 7,𝑦 = 2)

4) 𝑥2 − 𝑦2 = 9𝑥. 𝑦 = 20

𝑥 = 5,𝑦 = 4

𝑥 = −5,𝑦 = −4

5) 𝑥2 + 𝑦2 = 25𝑥 + 𝑦 = 7

𝑥 = 3,𝑦 = 4

𝑥 = 4,𝑦 = 3

6) 𝑥2 + 2𝑦2 = 3𝑥 + 𝑦 = 2

𝑥 = 1,𝑦 = 1

𝑥 =5

3,𝑦 =

1

3

7) 4𝑥2 − 𝑦2 = 0

3𝑥 + 𝑦 = 1

𝑥 = 1,𝑦 = −2

𝑥 =1

5,𝑦 =

2

5

8) 𝑥2 + 𝑦2 = 8𝑥.𝑦 = −4

𝑥 = 2,𝑦 = −2

𝑥 = −2,𝑦 = 2

7) 4 𝑥2 − 1 = 12 (2, -2)

8) 𝑥 − 1 2 = 9 (4, -2)

9) 𝑥 + 3 2 = 16 (1, -7)

10) 2𝑥 − 3 2 = 25 (-1, 4)

11) 3𝑥 − 2 2 = 100 (4, -8/3)

12) 𝑥2 + 2𝑥 + 7 = 0 (Sin solución)

1) 𝑥 + 3 𝑥 − 3 = 7 (4, -4)

2) 2𝑥 − 1 2 = 4 (3/2, -1/2)

3) 4𝑥 − 3 2 = 81 (3, -3/2)

4) 6𝑥 − 3 2𝑥 − 8 = 0 (1/2, 4)

5) 𝑥 + 2 𝑥 − 2 = 5 (3, -3)

6) −2𝑥2 + 15𝑥 + 8 = 0 8,−1

2

9) 5𝑥 + 2𝑦 = 12

𝑥.𝑦 = 2

𝑥 = 2,𝑦 = 1

𝑥 =2

5,𝑦 = 5

10) 𝑥𝑦 + 𝑥 = 9𝑥 − 2𝑦 = −1

𝑦 = 2, 𝑥 = 3

𝑥 = −6,𝑦 = −5

2

11) 5𝑥2 − 2𝑦2 = 2

𝑥.𝑦 = 6

(𝑥 = 2,𝑦 = 3)

(𝑥 = −2,𝑦 = −3)

Resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor de 2:

1) 𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥 = 0 (𝑥 = 0,−1, 2)

2) 5𝑥2 − 7𝑥 + 3 − 𝑥3 = 0 (𝑥 = 1 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒, 𝑥 = 3)

3) 𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 = 2 (𝑥 = 1 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒, 𝑥 = −2)

4) 𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0 (𝑥 = ±1, ±3)

5) 𝑥4 − 16𝑥2 = 0 (𝑥 = 0 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒, 𝑥 = ±4)

6) 2𝑥4 − 6𝑥2 − 8 = 0 (𝑥 = 2,−2)

7) 9𝑥4 + 5𝑥2 − 4 = 0 𝑥 =2

3, 𝑥 = −

2

3

8) 𝑥4 − 13𝑥2 + 36 = 0 (𝑥 = ±3, 𝑥 = ±2)

9) 𝑥2 − 7𝑥 + 6 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 − 12 = 0 (𝑥 = 1, 2,−2,−3, 6)

10) 𝑥5 − 7𝑥4 + 19𝑥3 − 25𝑥2 + 16𝑥 − 4 = 0 (𝑥 = 1 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒, 2 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒)

11) 𝑥4 + 2𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 (𝑥 = 1 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒, 𝑥 = −2 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒)

12) 2𝑥5 − 32𝑥 = 0 (𝑥 = 2,−2, 0)

13) 𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥 − 5 = 0 (𝑥 = 1,−1,−5)

14) 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 (𝑥 = 1)

15) 𝑥3 − 𝑥2 − 9𝑥 + 9 = 0 (𝑥 = 1, 3,−3)

16) 3𝑥3 − 5𝑥2 − 𝑥 + 7 = 0 (𝑥 = −1)

17) 𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 = 0 (𝑥 = 0)

18) 𝑥6 − 9𝑥3 + 8 = 0 (𝑥 = 1, 2)

19) 𝑥6 − 26𝑥3 − 27 = 0 (𝑥 = −1, 3)

20) 𝑥8 − 17𝑥4 + 16 = 0 (𝑥 = ±1, ±2)

Resuelve las siguientes ecuaciones algebraicas:

1) 8

𝑥− 1 =

4

𝑥 (𝑥 = 4)

2) 3𝑥 + 2

𝑥 + 1−

3

4= 2 (𝑥 = 3)

3) 𝑥 + 1 =6

𝑥 (𝑥 = 2, 𝑥 = −3)

4) 9

𝑥−𝑥

3= 2 (𝑥 = 3, 𝑥 = −9)

5) 3

𝑥 − 1−

2

𝑥2 − 1=

7

3 𝑥 = 2, 𝑥 = −

5

7

6) 4

𝑥 + 1+𝑥 + 1

𝑥= 4 𝑥 = 1, 𝑥 = −

1

3

7) 𝑥 + 8

𝑥2 − 4−

6

𝑥 + 2= −5 (𝑥 = 0, 𝑥 = 1)

8) 𝑥

𝑥 + 3−

𝑥

𝑥 − 3=

3

4 (𝑥 = −9, 𝑥 = 1)

9) 𝑥 + 1

𝑥−𝑥 − 2

𝑥2=

3

2 (𝑥 = ±2)

10) 3𝑥 + 4

5𝑥 + 6=

1

2 (𝑥 = −2)

11) 2𝑥 − 5

𝑥 + 6=

4

3 𝑥 =

39

2

12) 2

𝑥 − 1−

1

3=

𝑥 + 3

𝑥2 − 1 (𝑥 = 2)

13) 𝑥 + 2

𝑥−𝑥 − 1

𝑥2=

3

4 (𝑥 = −2 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒)

14) 𝑥 + 2

𝑥−𝑥 − 1

𝑥2=

7

4 𝑥 = 2, 𝑥 = −

2

3

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

1) 𝑥2 − 5 = 2 (𝑥 = ±3)

2) 𝑥2 + 9 + 𝑥2 = 21 (𝑥 = ±4)

3) 3𝑥 − 3 𝑥 + 3 = 𝑥 + 3 (𝑥 = 6)

4) 𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 2𝑥 − 1 (𝑆𝑖𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛)

5) 2 − 𝑥3

= −2 (𝑥 = 10)

6) 𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥 = 6 𝑥 =18

7

Resuelve las ecuaciones exponenciales siguientes:

1) 3𝑥2−2𝑥 = 1 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2

2) 52𝑥+7 = 256

𝑥 =−10

3

3) 94𝑥−1 = 272𝑥+3 𝑥 =11

2

4) 73𝑥−3 =1

7𝑥−5 𝑥 = 2

5) 5𝑥2+5𝑥−24 = 1 𝑥 = 5 𝑦 𝑥 = −8

6) 1

253 = 16𝑥 𝑥 =−5

12

7) 0´2𝑥+6 = 1

5

7 (𝑥 = 1)

8) 43−𝑥 2−𝑥 = 1 (𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 2 )

9) 1

8

2𝑥−1= 4𝑥+3 𝑥 = 0

10) 1

4

2𝑥−1= 8 𝑥 =

1

8

11) 3

3 𝑥

= 81 𝑥 = −8

12) 6𝑥2−3 = 6 𝑥 = ±2

13) 7

7𝑥−3 = 7 𝑥 =7

2

14) 3𝑥 = 15 𝑥 = 2´4649

15) 27𝑥+14=

1

9

1−4𝑥

4 (𝑥 = 1)

16) 1

8

𝑥+1

9= 4𝑥−23

(𝑥 = 1)

17) 𝑎𝑥2.𝑎3𝑥 .𝑎2 = 1 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = −2

18) 𝑒𝑥2. 𝑒−2𝑥 . 𝑒−3 = 1 (𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −1)

19) 3

7 −𝑥+3

=14

6 (𝑥 = 4)

20) 42𝑥+1 = 8𝑥+1 (x=1)

21) 1´25−6 = 5

4 𝑥+2

(x=-8)

22) 3𝑥+1 + 3𝑥 + 3𝑥−1 = 39 (𝑥 = 2)

23) 52𝑥+1 − 5𝑥+2 = 2500 𝑥 = 2

24) 3𝑥 + 32−𝑥 = 10 (𝑥 = 2 ,𝑥 = 0)

25) 32𝑥+2 − 28 ∙ 3𝑥 + 3 = 0 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = −2

26) 9𝑥 − 6 ∙ 3𝑥+1 + 81 = 0 (𝑥 = 2 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒)

27) 3𝑥+1 − 2 ∙ 3𝑥 − 2 ∙ 3𝑥−1 = 81 𝑥 = 5

28) 24𝑥 − 22𝑥 − 12 = 0 𝑥 = 1

29) 5𝑥 + 5𝑥−1 + 5𝑥−2 = 31 𝑥 = 2

30) 3𝑥 +1

3𝑥−1= 4 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 0

31) 72𝑥+3 − 8 ∙ 7𝑥+1 + 1 = 0 𝑥 = −1 𝑦 𝑥 = −2

32) 4𝑥 − 5 ∙ 2𝑥 + 4 = 0 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2

33) 5𝑥 −5

5𝑥−1− 24 = 0 𝑥 = 2

Resuelve los sistemas de ecuaciones exponenciales siguientes:

1) 2𝑥 + 5𝑦 = 9

2𝑥−1 + 5𝑦+1 = 9 𝑥 = 3 𝑦 = 0

2) 2𝑥 + 2𝑦 = 10

2𝑥−𝑦 = 4 𝑥 = 3 𝑦 = 1

3) 5𝑥+𝑦 = 253

5𝑥−𝑦 = 25 𝑥 = 4 𝑦 = 2

4) 8𝑦 ∙ 22𝑥 = 128

32𝑦 ∙ 3𝑥−1 = 27 𝑥 = 2 𝑦 = 1

5) 33𝑥−𝑦 = 310

32𝑥+𝑦 = 1 𝑥 = 1 𝑦 = −2

6) 3 ∙ 2𝑥 − 5 ∙ 3𝑦 = 32𝑥+1 + 3𝑦+1 = 59

𝑥 = 4 𝑦 = 2

7) 2𝑥 − 3𝑦−1 = 52𝑥+1 + 8 ∙ 3𝑦 = 712

(𝑥 = 5 𝑦 = 4)

Resuelve las ecuaciones logarítmicas siguientes:

1) 𝑥 = log3 81 (𝑥 = 4)

2) 𝑥 = log3 3 3 𝑥 =3

2

3) 𝑥 = log3

34

9 𝑥 =

−7

4

4) 𝑥 = log81 3 𝑥 =1

4

5) 𝑥 = log19 34

3 𝑥 =

3

8

6) 𝑥 = log 33

81 𝑥 = −8

7) 𝑥 = log 33

3

1

9 𝑥 = 3

8) 𝑥 = log 33

34

𝑥 =−1

2

9) 𝑥 = 7log 7 3 (𝑥 = 3)

10) 𝑥 = 7log 49 7 𝑥 = 7

11) log𝑥 7 = −2 𝑥 =1

7

12) log𝑥 7 =1

2 𝑥 = 49

13) log𝑥 163

=2

3 𝑥 = 4

14) log𝑥 1

2 =

1

4 𝑥 =

1

16

15) log2 𝑥 =−1

2 𝑥 =

1

2

16) log18𝑥 =

1

3 𝑥 =

1

2

17) log 43 𝑥 = 3 𝑥 = 4

18) log 24

𝑥 =4

3 𝑥 =

1

4

19) 𝑥 = log2 log2 2 𝑥 = 0

20) 𝑥 = log2 22log 2 3 𝑥 = 3

21) log𝑥 4 = 2 𝑥 = 2

22) log𝑥 1

9 = −2 𝑥 = 3

23) log0´008 𝑥 =−1

3 𝑥 = 5

24) x = log4 24

𝑥 =1

8

25) 𝑥 = log 3 9

3 𝑥 = 3

26) log𝑥 81 = −2 𝑥 =1

9

27) log3 𝑥 = −3 𝑥 =1

27

28) log16 𝑥 =−1

2 𝑥 =

1

4

1) log 𝑥 + log 36 = log 612 (𝑥 = 17)

2) log 7𝑥 = log 112 − 3 log 𝑥 (𝑥 = 2)

3) 3 + log 𝑥 = log 57 − log 19 (𝑥 = 0´003)

4) log 𝑥2 − log 𝑥 = log 17 (𝑥 = 17)

5) log 4 − 𝑥 + log 5 − 𝑥 = 2 log 3 + 𝑥 𝑥 =11

15

6) log 𝑥 + 6 − log 𝑥 − 3 = 1 (𝑥 = 4)

7) log 2 + log 11 − 𝑥2

log 5 − 𝑥 = 2 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 =

1

3

8) log 35 − 𝑥3

log 5 − 𝑥 = 3 (𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 3)

9) 2 log 𝑥 − log 2𝑥 + 8 = 0 (𝑥 = 4)

10) 3 + log2 𝑥 = log2 160 − log2 5 (𝑥 = 4)

11) log𝑥 100 − log𝑥 25 = 2 (𝑥 = 2)

12) log 𝑥 + 1 − log 𝑥 = 1 𝑥 =1

9

13) log 2 + log 𝑥 − 3 = log 2𝑥 𝑥 =9

2

14) log 3𝑥 + 5 − log 2𝑥 + 1 = 1 − log 5 (𝑥 = 3)

15) log 4𝑥 − 1 − log 3𝑥 − 2 = log 2 𝑥 =3

2

16) 2 log 𝑥 − log 𝑥 + 6 = 0 (𝑥 = 3)

17) log 𝑥 − 1 − log 5 + 𝑥 − log 5 − 𝑥 = 0 (𝑥 = 4)

18) log 2𝑥 − 3 − log 𝑥 + 1 = log 2𝑥 − 5 − log 1 − 𝑥

𝑆𝑖𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

19) 3 log 𝑥 − log 2𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 2)

20) 4 log 𝑥 − log 𝑥2 −4

5 = log 5 (𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 2)

21) 2 − log 𝑥 = log 25 (𝑥 = 4)

22) 2 log 𝑥 = 1 + log 𝑥 − 0´9 (𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = 9)

23) log3 𝑥 + 1 + log 3 𝑥 − 1 = 1 (𝑥 = 2)

24) 3 log2 2𝑥 + 2 + log 23 2𝑥 − 1 = 6 (𝑥 = 1)

25) log15𝑥 + log5 𝑥 + 2log25 𝑥 = 1 (𝑥 = 5)

26) log12

1

𝑥 − log2 𝑥 + 3 log8 𝑥 = 1 (𝑥 = 2)

27) log 22 − 2𝑥 − log 𝑥 − 2 = 2 1 − log 5 (𝑥 = 5)

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:

1) log 𝑥 + log𝑦 = 1

𝑥

𝑦= 5 𝑥 = 5 2 𝑦 = 2

2) log 𝑥 + log𝑦 = 3log 𝑥 − log𝑦 = 1

𝑥 = 100 𝑦 = 10

3) 2 log 𝑥 − 3 log𝑦 = 53 log 𝑥 + log𝑦 = 2

𝑥 = 10 𝑦 =1

10

4) 𝑥2 − 𝑦2 = 21

log 𝑥 + log𝑦 = 1 𝑥 = 5 𝑦 = 2

5) log𝑥(4 − 𝑦) =

1

2

log𝑦(4 + 𝑥) = 2 (𝑥 =

9

4 𝑦 =

5

2)

6) log 𝑥 + 𝑦 − log 𝑥 − 𝑦 = log 5

2𝑥

2𝑦= 2

𝑥 = 3 𝑦 = 2

7) 2 log 𝑥2 − log 𝑦2 = 4

2 log 𝑥 + log 𝑦2 = 2 𝑥 = 10 𝑦 = 1 𝑥 = 10 𝑦 = −1

8) 𝑥2 + 𝑦2 = 101

log 𝑥 − log𝑦 = 1 𝑥 = 10 𝑦 = 1

9) log 𝑥 + log𝑦 = 2

3𝑥 − 81𝑦 = 0 𝑥 = 20 𝑦 = 5

10) log 𝑥 − log𝑦 = 7log 𝑥 + log𝑦 = 3

(𝑥 = 105 𝑦 = 10−2)

EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA

1) En los siguientes triángulos rectángulos la hipotenusa se nombra con la

letra “a”. Resuélvelos.

𝑎) 𝐵 = 40° 𝑦 𝑎 = 130 𝑚

𝑏) 𝐵 = 55° 𝑦 𝑏 = 95 𝑚

𝑐) 𝑎 = 65 𝑚 𝑦 𝑏 = 40 𝑚

𝑑) 𝑏 = 125 𝑚 𝑦 𝑐 = 140 𝑚

2) En un tramo de carretera la inclinación es de 6° . Si ascendemos 45 m

más de altura, ¿cuánto hemos avanzado sobre la carretera?

3) Calcula los ángulos que forma una diagonal con los lados de un

rectángulo de 110 m de base y 60 m de altura.

4) Calcula los ángulos de un trapecio isósceles cuyas bases miden 83 y 51

m y la altura 60 m.

5) Calcula la altura de un poste, sabiendo que desde cierto punto del suelo

se ve éste bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 30 m, lo vemos

bajo un ángulo de 45°.

6) Si las puntas de las ramas de un compás distan 8 cm y cada rama mide

15 cm, ¿qué ángulo forman éstas?

7) Dos individuos observan un globo cautivo que está situado en un plano

vertical que pasa por ellos. Si la distancia entre los individuos es de 4 km

y los ángulos de elevación del globo son de 45° y 30°, respectivamente,

halla la altura a la que se encuentra el globo y la distancia a cada

observador.

8) Calcula el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de

18 cm de radio.

9) Calcula el área de un octógono regular circunscrito a una circunferencia

de 24 cm de diámetro.

10) De un ángulo se conoce la tangente que vale -3 y se sabe, además,

que 𝑠𝑒𝑛𝑥 > 𝑐𝑜𝑠𝑥 .Deduce en qué cuadrante se encuentra el ángulo y

halla las restantes razones trigonométricas.

11) Calcula el ángulo y las demás razones trigonométricas en cada

caso:

𝑎) 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0´8421 𝑦 𝛼 ∈ 𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑏) 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0´15 𝑦 𝛼 ∈ 𝐼𝑉 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑐) 𝑡𝑔𝛼 = 95 𝑦 𝛼 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑑) 𝑠𝑒𝑛𝛼 = −0´24 𝑦 𝛼 ∈ 𝐼𝑉 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑒) 𝑐𝑜𝑠𝛼 = −0´68 𝑦 𝛼 ∈ 𝐼𝐼𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑓) 𝑡𝑔𝛼 = −36 𝑦 𝛼 ∈ 𝐼𝑉 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

12) Resuelve cada uno de los siguientes triángulos no rectángulos:

𝑎) 𝐴 = 42° 𝑎 = 50 𝑚 𝑦 𝑏 = 60 𝑚

𝑏) 𝐶 = 70° 𝑎 = 10 𝑚 𝑦 𝑏 = 9 𝑚

𝑐) 𝑎 = 8 𝑐𝑚 𝑏 = 10 𝑐𝑚 𝑦 𝑐 = 14 𝑐𝑚

𝑑) 𝐵 = 40° 𝑎 = 4 𝑚 𝑦 𝑏 = 8 𝑚

𝑒) 𝐴 = 45° 𝐶 = 75° 𝑦 𝑏 = 10 𝑚

13) Las diagonales de un paralelogramo miden 20 y 16 cm,

respectivamente, y uno de los ángulos que forman al cortarse mide 120°.

Halla el área y el perímetro del mismo.

14) Calcula el área de un triángulo ABC del que se conocen dos lados,

que miden 4 y 1´5 m y el ángulo comprendido que mide 45°.

15) Desde dos puntos A y B situados en la misma orilla de un río y

distantes entre sí 80 m se observa un punto C situado en la orilla

opuesta, bajo ángulos de 60 ° y 45 ° , respectivamente. Calcula la

distancia desde el observador hasta el punto C.

16) Calcula todos los valores del ángulo x en cada uno de los siguientes

casos:

𝑎) 𝑠𝑒𝑛𝑥 =− 3

2 𝑏) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −0´6 𝑐) 𝑡𝑔𝑥 = 3

𝑑) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 = −3 𝑒) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2

17)

B A c

C=40°

a=520 m b=400 m

La figura muestra el corte transversal de una montaña, en la que se

quiere construir un túnel. La cima o punto C visible desde A y B, se encuentra

a 400 m de A y a 520 m de B y el ángulo C mide 40°. Calcula la longitud del

túnel AB y la altura de la montaña.

18) Dos barcos salen de un puerto y desde un mismo punto, según dos rectas

que forman entre sí un ángulo de 60°. Calcula la distancia que los separará al

cabo de dos horas de navegación suponiendo que mantienen velocidades

constantes de 50 y 65 km/h.

19) Dos pueblos M y P están situados en lados opuestos de una sierra. La

distancia entre ambos pueblos es de 20 km. La distancia del primer pueblo al

pico más alto de la sierra es de 3 km y el ángulo que forma la visual dirigida

desde este pueblo al pico es de 40°. Halla la distancia del segundo pueblo al

pico y la altura de éste.

20) En la figura siguiente los triángulos ABC y ACE son rectángulos e iguales.

El triángulo coloreado CDE es isósceles, siendo CD el lado desigual. Calcula el

área de este último triángulo.

21) Halla el resultado de las siguientes operaciones sin utilizar la calculadora:

𝑎) 5 cos𝜋

2− cos 0 + 2 cos𝜋 − cos

3𝜋

2+ cos 2𝜋 =

𝑏) 5𝑡𝑔 𝜋 + 3 cos𝜋

2− 2𝑡𝑔 0 + 𝑠𝑒𝑛

3𝜋

2− 2𝑠𝑒𝑛 2𝜋 =

A

7 m

3 m

E

D C B

𝑐) 2

3𝑠𝑒𝑛

𝜋

2− 4𝑠𝑒𝑛

3𝜋

2+ 3𝑠𝑒𝑛 𝜋 −

5

3𝑠𝑒𝑛

𝜋

2=

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

1) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥

2) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥

3) 6𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 6𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 5 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

4) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑡𝑔2 𝑥

2 = 1

5) 6𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1

6) 4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 1 = 0

7) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1 = 0

8) 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1

9) 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3

10) 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0

11) 𝑡𝑔2𝑥 − 3 = 0

12) 4𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 7𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3 = 0

13) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

14) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 =1

2

15) 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0

16) 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0

17) 𝑡𝑔2𝑥 − 𝑡𝑔𝑥 = 0

18) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 5𝑠𝑒𝑛2𝑥

19) 2𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 9𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 5 = 0

20) 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥

21) 𝑡𝑔2𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 = 0

22) 𝑠𝑒𝑛5𝑥+𝑠𝑒𝑛3𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑐𝑜𝑠3𝑥= 1

23) 𝑠𝑒𝑛3𝑥+𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠3𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥= 3

GEOMETRÍA DEL PLANO

1) Un vector fijo tiene su origen en el punto A=(1, -4) y sus coordenadas

son 𝐴𝐵 = (3,2) . Halla las coordenadas de su extremo B. Calcula el

módulo del vector.

2) Tres vértices consecutivos de un rectángulo son los puntos de

coordenadas (1,1), (6,6) y (3,9). Halla las coordenadas del cuarto

vértice.

3) Dados los vectores 𝑣 = 1,5 ,𝑤 = −3,4 𝑦 𝑢 = 5,12 halla:

a) 𝑣 , 𝑤 , 𝑢

b) Los ángulos que forman dos a dos.

c) 𝑣 + 𝑤 + 𝑢 analítica y gráficamente.

d) 3𝑣

e) Un vector normal a 𝑤

f) Un vector paralelo a 𝑣

4) Comprueba que el segmento que une los puntos medios de los lados AC

y BC del triángulo A=(3,5) , B=(-1,-1) y C=(6,0) es paralelo al lado AB

y de módulo su mitad.

5) Un vector tiene por extremos A=(2,3) y B=(8,6). Calcula las

coordenadas de los puntos que lo dividen en tres partes iguales.

6) Halla el producto escalar 𝑣 .𝑤 en los siguientes casos:

a) 𝑣 = 4 , 𝑤 = 6 𝑣 ,𝑤 = 45°

b) 𝑣 = 3 , 𝑤 = 2, 5 𝑣 ,𝑤 = 60°

c) 𝑣 = 3,−4 , 𝑤 = (−12,−5)

d) 𝑣 = −3, 4 , 𝑤 = (15,−20)

7) Sean los vectores 𝑣 = 3, 𝑥 𝑦 𝑤 = 𝑦, 5 . Calcula x e y de manera que

ambos vectores sean perpendiculares y 𝑤 = 13

8) Dados los vectores 𝑎 = 1,5 𝑦 𝑏 = (3,−1). Halla un vector 𝑐 de manera

que se verifique 𝑐 .𝑎 = 1 𝑦 𝑐 ⊥ 𝑏

9) Calcula un vector paralelo al vector 𝑣 = (2,3) y de módulo 8.

10) Calcula “a” para que el vector 𝑣 = (2,𝑎) sea perpendicular a

𝑤 = (1,−5)

11) Calcula cuatro puntos que dividan al segmento 𝐴𝐵 en 5 partes

iguales, siendo A=(-1, 2) y B=(4, 7)

12) Calcula el ángulo que forman los vectores 𝑣 = 2, 6

𝑦 𝑤 = (−3, 2)

13) Del vector 𝐴𝐵 = (3,−5) se conoce el punto A=(4,3). Calcula el

punto B.

14) Sea el vector 𝑢 = 𝑎, 3 . Calcula “a” para que:

a) 𝑢 sea perpendicular a 𝑣 = (2, 1)

b) 𝑢 = 18

c) 𝑢 sea paralelo a 𝑣 = (4,−6)

15) Sea 𝑢 = (1,−2) Calcula:

a) Un vector paralelo a 𝑢 y de módulo 4.

b) Un vector perpendicular a 𝑢 y de módulo 8.

16) Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A=(1, 1) ,

B=(3, -2), C=(4, 1)

17) Halla las ecuaciones de las rectas en cada uno de los siguientes

casos:

a) Pasa por el punto A=(-2, 2) y tiene por vector de dirección 𝑣 =

(2,−3)

b) Pasa por los puntos P=(4,3) y Q=(-2, 4)

c) Pasa por el punto (3, -1) y tiene de pendiente m=-2

d) Pasa por el origen de coordenadas y tiene 30º de inclinación.

e) Pasa por el punto (3, -2) y es paralela a la bisectriz del primer

cuadrante.

18) Dada la recta de ecuación: 2x-6y+3=0 escríbela en forma

continua, paramétrica, vectorial, explícita, punto pendiente y canónica.

19) Calcula el valor de “a” para que la recta de ecuación ax+3y-9=0 :

a) Pase por el punto (3, 1)

b) Tenga de pendiente m=-1

c) Uno de sus vectores de dirección sea 𝑣 = (6,−4)

20) Estudia la posición relativa de cada uno de los siguientes pares de

rectas:

a) 𝑟 ≡ 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 0𝑠 ≡ 2𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0

b) 𝑟 ≡ 3𝑥 + 2𝑦 − 12 = 0𝑠 ≡ 𝑥 − 𝑦 + 7 = 0

c) 𝑟 ≡

𝑥−2

3=

𝑦+1

2

𝑠 ≡ 3𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0

d) 𝑟 ≡ 𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0𝑠 ≡ 2𝑥 + 4𝑦 − 6 = 0

e) 𝑟 ≡ 𝑥 − 3 = 0𝑠 ≡ 𝑥 + 2 = 0

f) 𝑟 ≡ 𝑥 − 𝑦 = 2

𝑠 ≡ 𝑥,𝑦 = 1,2 + 𝑡(3,3)

g) 𝑟 ≡ 𝑦 = 2𝑥 − 5𝑠 ≡ 𝑦 = 𝑥 + 4

h) 𝑟 ≡ 𝑦 = −𝑥 + 10𝑠 ≡ 𝑦 = 𝑥 − 7

21) Halla las ecuaciones de los ejes de coordenadas y de las bisectrices

de cada uno de los cuadrantes.

22) Halla un vector de dirección y un vector normal a las rectas de

ecuación:

a) 2x-5y+10=0

b) 𝑥 = 1 − 2𝑡𝑦 = 3𝑡

𝑡 ∈ ℝ

c) 𝑦 = 4𝑥 − 8

d) 𝑥+2

3= 𝑦 − 4

23) Las ecuaciones de dos rectas son: r: 3x-5y+2=0 y s: 6x+my=1

Halla el valor de m para que:

a) Las rectas sean paralelas.

b) Las rectas sean perpendiculares.

c) Las rectas sean secantes no perpendiculares.

d) Las rectas sean coincidentes.

e) La segunda recta pase por el punto (6, 5)

24) Calcula el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:

a) 𝑟 ≡ 𝑥−2

3=

𝑦+1

2 y 𝑠 ≡ 𝑦 = 5𝑥 + 1

b) 𝑟 ≡ 𝑥 = 2 + 2𝑡𝑦 = 3 − 𝑡

𝑡 ∈ ℝ 𝑦 𝑠 ≡ 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0

c) 𝑟 ≡ 𝑦 + 5 = −2 𝑥 + 1 𝑠 ≡ 𝑥,𝑦 = 1,1 + 4,5 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ

d) 𝑟 ≡ 𝑦 = 3𝑥 − 2 𝑠 ≡ 𝑦 =−1

3𝑥 +

2

5

25) Calcula la distancia entre las rectas siguientes:

a) 𝑟 ≡ 𝑥−9

3=

𝑦+1

2 𝑦 𝑠 ≡

𝑥 = 1 − 6𝑡𝑦 = 7 − 4𝑡

𝑡 ∈ ℝ

b) 𝑟 ≡ −2𝑥 + 8𝑦 + 1 = 0 𝑠 ≡ 𝑦 =1

4(𝑥 − 10)

26) Calcula el área de un triángulo que tiene por vértices los puntos:

A=(4,1) , B=(2,3) , c=(-2,6)

27) Calcula los ángulos del triángulo anterior.

28) Calcula el área de un cuadrado sabiendo que dos de sus lados se

asientan sobre las rectas:

𝑟 ≡ 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 𝑦 𝑠 ≡ −2𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0

29) Calcula la ecuación de una recta que divida de forma perpendicular

al segmento 𝐴𝐵 por su punto medio, donde A=(2,3) y B=(2,1)

(Mediatriz).

30) Calcula el área del cuadrilátero de vértices: A=(2,-6) , B=(3,2) ,

C=(-5,1) y D=(-2,-4)

31) La recta de ecuación 𝑟 ≡ 4𝑥 − 3𝑦 = 2 es mediatriz del segmento

𝐴𝐵 . Sabiendo que A=(1,0), halla las coordenadas del punto B.

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

1) Calcula la ecuación general de una recta que sea paralela a la recta r:

2x+3y+1=0 y que pase por el punto P=(4,-2).

2) Calcula la ecuación continua de una recta que sea paralela a la recta r:

x-3y+4=0 y que pase por el punto P=(2,1)

3) Calcula las ecuaciones paramétricas de una recta que sea paralela a la

recta: 𝑟 ≡ 𝑥+1

3=

𝑦−2

−2 y que pase por el punto P=(2,7).

4) Calcula las ecuaciones paramétricas de una recta que sea paralela a la

recta r: 3x-2y+1=0 y que pase por el punto P=(2,5)

5) Calcula la ecuación general de una recta que sea paralela a la recta

𝑟 ≡ 𝑥 = 2 + 𝑡𝑦 = 3 − 4𝑡

𝑡 ∈ ℝ y que pase por el punto P=(3,-2)

6) Calcula la ecuación punto-pendiente de una recta paralela a r: y=-2x+1

y que pase por el punto P=(2,1)

7) Calcula la ecuación punto-pendiente de una recta paralela a la recta de

ecuación r: 3x+9y-2=0 y que pase por el punto P=(3,-2).

8) Calcula la ecuación explícita de una recta paralela a la recta 𝑟 ≡

𝑥 = 1 + 𝑡𝑦 = 3 + 𝑡

𝑡 ∈ ℝ y que pasa por el punto P=(2,3)

9) Calcula la ecuación vectorial de una recta perpendicular a r: 7x-2y+3=0

y que pase por P=(0,1)

10) Calcula la ecuación punto-pendiente de una recta que es paralela a

𝑟 ≡ 𝑥−1

3=

𝑦+1

4 y que pasa por el punto P=(3,5)

11) Calcula la ecuación general de la recta perpendicular a 𝑟 ≡

𝑥 = 2 + 3𝑡𝑦 = 1 − 𝑡

𝑡 ∈ ℝ y que pasa por el punto P=(3,1)

12) Calcula la ecuación general de la recta perpendicular a r: 2x+y-

4=0 y que pasa por el punto P=(2,4)

13) Calcula la ecuación continua de la recta perpendicular a 𝑟 ≡ 𝑥−1

3=

𝑦+1

2 y que pase por P=(2,8).

14) Calcula la ecuación punto-pendiente de la recta perpendicular a r:

y+3=2(x-1) y que pase por P=(3,1)

15) Calcula la ecuación explícita de la recta perpendicular a 𝑟 ≡ 𝑥−2

3=

𝑦+1

2 y que pase por P=(2,1)

16) Calcula las ecuaciones paramétricas de una recta que sea paralela

a r: y=2x+7 y que pase por P=(6,2)

17) Calcula la ecuación general de una recta que sea paralela a

𝑟 ≡ 𝑥 = 2 − 𝑡𝑦 = 5 + 3𝑡

𝑡 ∈ ℝ y que pasa por P=(3,8)

18) Calcula la ecuación punto pendiente de una recta perpendicular a r:

(x,y)=(4,9)+(-2,5)t y que pase por el punto P=(1,9)

19) Calcula la ecuación explícita

de una recta que sea perpendicular a r: y+2=6(x+3) y que pase por

P=(-2,0)

EJERCICIOS DE FUNCIONES

Ejercicio 1.- Estudia el Dominio de las siguientes funciones:

𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 𝑔 𝑥 =𝑥 + 3

𝑥2 + 5𝑥 − 6 𝑕 𝑥 = 3𝑥 − 9

𝑖 𝑥 = 𝑥 − 1

𝑥 + 5 𝑗 𝑥 = 𝑥2 − 5𝑥

3 𝑘 𝑥 = 2𝑥2 − 18

4

𝑙 𝑥 = 3𝑥 + 7

𝑥2 + 𝑥

3

𝑚 𝑥 = log 𝑥 + 6 𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 8

𝑜 𝑥 = 78𝑥+9 𝑝 𝑥 = 𝑥 + 8

𝑥 − 2

4

𝑞 𝑥 =𝑥 + 9

𝑥2 + 4

Ejercicio 2.- Estudia, en cada una de las siguientes funciones el Dominio, el Recorrido, la

Monotonía, los Extremos Relativos, la Acotación, los Extremos Absolutos, la Curvatura, los

Puntos de Inflexión, la Simetría, la Periodicidad y la Continuidad:

Ejercicio 3.- Analiza y estudia, en cada una de las siguientes funciones, el Dominio, el

Recorrido, la Monotonía y los Extremos Relativos.

Ejercicio 4.- Estudia la Acotación y la posible existencia de Supremo,

Ínfimo y Extremos Absolutos en cada una de las siguientes funciones:

Ejercicio 5.- Estudia la Simetría Par o Impar de las siguientes funciones:

Ejercicio 6.- Estudia si las siguientes funciones son periódicas y, en caso

afirmativo, halla el periodo:

Ejercicio 7.- Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑥−2 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 2 determina las

siguientes funciones con sus respectivos dominios:

𝑎) 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑏) 𝑓 𝑥 .𝑔 𝑥 𝑐) 𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 𝑑) 𝑔 𝑥 °𝑓 𝑥

𝑒) 𝑔(𝑥)°𝑔(𝑥)

Ejercicio 8.- Dadas las siguientes funciones 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1

𝑔 𝑥 = 2𝑥 𝑕 𝑥 =3

𝑥 + 4

Calcula:

𝑎) 𝑓°𝑔 𝑥 𝑏) 𝑕°𝑓 𝑥 𝑐) 𝑔°𝑕 𝑥 𝑑) 𝑕°𝑕 𝑥

Ejercicio 9.- Calcula la función inversa de cada una de las siguientes funciones y comprueba, en

cada caso, que la función dada compuesta con su inversa, da la función identidad:

𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2 𝑏) 𝑔 𝑥 =1 − 4𝑥

3 𝑐) 𝑕 𝑥 =

2𝑥 + 1

𝑥 − 5

𝑑) 𝑖 𝑥 = 2𝑥+2 𝑒) 𝑗 𝑥 = 7𝑥 + 9 𝑓) 𝑓 𝑥 =8

6𝑥 + 7

Ejercicio 10.- Siendo 𝑓 𝑥 = 5 − 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 3𝑥 − 𝑎 calcula el valor de a para que la

composición de ambas sea conmutativa.

Ejercicio 11.- Dadas las siguientes funciones, halla, en cada caso, las dos funciones que,

compuestas, nos dan la dada:

𝑎) 𝑓°𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 2 2 𝑏) 𝑓°𝑔 𝑥 = 32𝑥

𝑐) 𝑓°𝑔 𝑥 =𝑥2 + 1

𝑥2 − 3 𝑑) 𝑓°𝑔 𝑥 =

2𝑥 − 8

𝑥 + 6

Ejercicio 12.- Sean 𝑓 𝑥 = 𝑥−2

2 𝑦 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 4 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑓°𝑔 −1(4)

Ejercicio 13.- Identifica cada una de las tres expresiones siguientes con su gráfica correspondiente:

Ejercicio 14.- En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos:

Ejercicio 15.-En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos:

Ejercicio 16.-

Ejercicio 17.- Calcula los límites siguientes:

𝑎) lim𝑥→3

𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥2 − 8𝑥 + 15

𝑏) lim𝑥→−1

𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑐) lim𝑥→0

𝑥2 − 𝑥

4𝑥2 − 8𝑥

𝑑) lim𝑥→3

𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥

𝑥3 − 3𝑥 + 2

𝑒) lim𝑥→−2

𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8

𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 4

𝑓) lim𝑥→2

𝑥3 − 2𝑥 + 1

𝑥2 + 3𝑥 + 2



𝑎) lim𝑥→4

𝑥

2 𝑥+1

𝑏) lim𝑥→4

𝑥 + 1

2𝑥 − 3 𝑥2−6

𝑐) lim𝑥→1

𝑥2 − 1

7𝑥 − 7

𝑥−1

𝑑) lim𝑥→0

𝑥

𝑥2 + 2𝑥

1𝑥2

𝑒) lim𝑥→1

𝑥2 − 1

7𝑥 − 7

𝑥−1

𝑓) lim𝑥→2+

𝑥 + 6

𝑥

2𝑥−2

𝑔) lim𝑥→3

2𝑥 + 10

𝑕) lim𝑥→6

2 𝑥+23

𝑖) lim𝑥→5

𝑙𝑜𝑔 𝑥2 + 75

𝑎) lim𝑥→+∞

3𝑥 + 5

6𝑥 − 7

𝑏) lim𝑥→+∞

5𝑥 + 9

2𝑥3 − 𝑥

𝑐) lim𝑥→+∞

𝑥6 + 𝑥

2𝑥3 − 𝑥

𝑑) lim𝑥→+∞

5𝑥 + 9

2𝑥3 − 𝑥

𝑒) lim𝑥→+∞

2𝑥 + 9

8𝑥 − 1 𝑥+4

𝑓) lim𝑥→+∞

5𝑥2 + 9

2𝑥2 − 𝑥

𝑥+13

𝑔) lim𝑥→+∞

𝑥 + 9

5𝑥 − 2

−𝑥+36

𝑕) lim𝑥→+∞

3𝑥4 + 9

2𝑥4 − 𝑥

−2𝑥+10

𝑖) lim𝑥→+∞

5𝑥 + 9

2𝑥 − 1

𝑗) lim𝑥→+∞

4𝑥2 + 9

9𝑥2 − 𝑥

𝑘) lim𝑥→+∞

5𝑥 + 93

2𝑥3 − 𝑥5

𝑙) lim𝑥→+∞

4𝑥3 + 𝑥

2𝑥3 − 𝑥+

𝑥 + 1

4𝑥 − 6

𝑚) lim𝑥→−∞

−3𝑥3 + 7𝑥

𝑛) lim𝑥→−∞

5𝑥 + 9

2𝑥 + 3

ñ) lim𝑥→−∞

5𝑥4 + 9

2𝑥3 − 𝑥

𝑜) lim𝑥→−∞

2𝑥5 − 3𝑥3

Ejercicio 20.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

Ejercicio 21.- Calcula las asíntotas de las siguientes funciones:

𝑎) 𝑓 𝑥 =𝑥2

𝑥2 − 9 𝑏) 𝑓 𝑥 =

5𝑥 + 1

𝑥 − 8 𝑐) 𝑓 𝑥 =

2𝑥2 − 1

𝑥 + 1

𝑑) 𝑓 𝑥 =𝑥

𝑥2 + 4 𝑒) 𝑓 𝑥 =

6𝑥3

𝑥3 − 8 𝑓) 𝑓 𝑥 =

8𝑥 + 4

3𝑥 − 6

𝑔) 𝑓 𝑥 =𝑥4

𝑥2 + 4𝑥 𝑕) 𝑓 𝑥 =

4𝑥2

𝑥2 − 100 𝑓) 𝑓 𝑥 =

8𝑥4 + 4

3𝑥3 − 3

𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 3𝑥2 − 8 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 ≤ 5

−3𝑥 + 7 𝑠𝑖 5 < 𝑥 ≤ 10

𝑏) 𝑓 𝑥 =

4𝑥 + 7 𝑠𝑖 𝑥 < −2−1 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑥 − 3

2𝑥 − 9 𝑠𝑖 4 < 𝑥 ≤ 8

𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2

𝑥 − 6

𝑑) 𝑓 𝑥 = 2𝑥−5 𝑠𝑖 𝑥 < 6𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 6

𝑒) 𝑓 𝑥 =

log 𝑥 − 3 𝑠𝑖 3 < 𝑥 < 132𝑥 − 4 𝑠𝑖 13 ≤ 𝑥 ≤ 20

1

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 20

𝑓) 𝑓 𝑥 =

5𝑥 + 1 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 3𝑥2 + 7 𝑠𝑖 3 < 𝑥 < 5𝑥2 − 25

𝑥2 − 5𝑥 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑥 ≤ 6

GRÁFICAS DE FUNCIONES

Representa gráficamente y estudia las siguientes funciones:

1) 𝑓 𝑥 = −3𝑥 + 9

2) 𝑓 𝑥 = −2𝑥

3) 𝑓 𝑥 = 5

4) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥

5) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 9

6) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8

7) 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 6

8) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5

9) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 − 1

10) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4

11) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 3

12) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 8𝑥 − 16

13) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 < −1𝑥2 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −1

14) 𝑓 𝑥 = −3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

−𝑥2 + 4𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0

15) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 4 𝑠𝑖 𝑥 < −2−3 𝑠𝑖 −2 ≤ 𝑥 < 2

−𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

16) 𝑓 𝑥 = 4 𝑠𝑖 𝑥 < −1

𝑥2 + 3 𝑠𝑖 −1 ≤ 𝑥 ≤ 14 𝑠𝑖 𝑥 > 1

17) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

18) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 1

3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

19) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5

20) 𝑓 𝑥 = −2𝑥 + 4

21) 𝑓 𝑥 = 2𝑥

22) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4

23) 𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥

24) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5

25) 𝑓 𝑥 = 1

2 𝑥

𝑠𝑖 𝑥 < 1

−3𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

26) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0𝑙𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0

27) 𝑓 𝑥 = log1

2𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

28) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

29) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3

30) 𝑓 𝑥 = 1

3 𝑥

− 2

31) 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 − 3)

32) 𝑓 𝑥 = log14

(𝑥 + 4)

33) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

34) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

35) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔𝑥

36) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4

EJERCICIOS DE DERIVADAS

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

1) 𝑓 𝑥 = 6𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 7

2) 𝑓 𝑥 = 𝑥3

3) 𝑓 𝑥 =6

𝑥4

4) 𝑓 𝑥 = 8 𝑥 − 3 𝑥3 −1

𝑥

5) 𝑓 𝑥 = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑥

6) 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 + 𝑥 . 𝑡𝑔𝑥

7) 𝑓 𝑥 = 𝑥2. 𝑥 + 𝑥

8) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

9) 𝑓 𝑥 = 𝑥4

. 5𝑥

10) 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛𝑥

11) 𝑓 𝑥 = 6𝑥5 −2

𝑥3 . log4 𝑥

12) 𝑓 𝑥 =𝑥2 − 5

3𝑥 + 7

13) 𝑓 𝑥 =𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑡𝑔𝑥

14) 𝑓 𝑥 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

3𝑥 + 𝑥

15) 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛𝑥

8𝑥3 + 6𝑥

16) 𝑓 𝑥 =𝑥 − 𝑥

3

4𝑥

17) 𝑓 𝑥 =𝑥𝑙𝑛𝑥

𝑥

18) 𝑓 𝑥 =𝑒𝑥

𝑥2. 𝑠𝑒𝑛𝑥

19) 𝑓 𝑥 =𝑙𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

5𝑥

20) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥2

21) 𝑓 𝑥 = 8𝑥3 − 6𝑥

22) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2−5𝑥

23) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 7𝑥

24) 𝑓 𝑥 = 𝑥2. 𝑠𝑒𝑛 𝑥2

25) 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 3𝑥2 5

26) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥4 7

27) 𝑓 𝑥 =𝑥. 𝑡𝑔 8𝑥

ln 2𝑥

28) 𝑓 𝑥 =ln 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥

29) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 𝑥

30) 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

31) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 𝑥

32) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 3𝑥

33) 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑥

DERIVABILIDAD Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Ejercicio 1.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de la función 𝑓 𝑥 =𝑥

𝑥−4 en el

punto de abscisa x=5

Ejercicio 2.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de la función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 en el

punto de abscisa 𝑥 = 𝜋/4

Ejercicio 3.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva de la función 𝑓 𝑥 = 𝑒5𝑥 en el

punto de abscisa x=0

Ejercicio 4.- Dada la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 2

a) Estudia su Monotonía.

b) Calcula sus extremos relativos.

c) Estudia su curvatura.

d) Calcula sus puntos de inflexión.

Ejercicio 5.- Se considera la función 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2

a) Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas y estudia el signo de la función.

b) Estudia su monotonía y si tiene extremos relativos.

c) Estudia su curvatura y si tiene puntos de inflexión.

d) Dibuja su gráfica.

Ejercicio 6.- Sea 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2𝑥2 − 𝑏𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 > 2

Calcula a y b para que 𝑓(𝑥) sea derivable en 𝑥 = 2.

Ejercicio 7.- Sean dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) tales que las expresiones de sus funciones derivadas

son, respectivamente, 𝑓´ 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑦 𝑔´ 𝑥 = 2

a) Estudia la monotonía de las funciones 𝑓 𝑦 𝑔

b) De las funciones 𝑓 𝑦 𝑔 indica, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el

que su derivada es nula.

Ejercicio 1.- Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones:

Ejercicio 2.- Determina los valores que han de tomar 𝑎 𝑦 𝑏 para que la siguiente función sea

derivable en todo ℝ

𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 𝑎𝑥 − 7 𝑠𝑖 𝑥 < 1

4𝑥 − 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

Ejercicio 3.- Sea la función:

𝑓 𝑥 = 1 − 2𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 3 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 3−𝑥2 + 8𝑥 − 15 𝑠𝑖 𝑥 > 3

a) Calcula el valor de 𝑎 para que 𝑓(𝑥) sea continua en 𝑥 = 1.

b) Para 𝑎 =2 estudia la derivabilidad de 𝑓(𝑥).

Ejercicio 4.- Se considera la función:

𝑓 𝑥 = −

2

𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

2

𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 > 0

a) Estudia la derivabilidad de 𝑓(𝑥).

b) Halla las asíntotas de esta función.

𝑓 𝑥 =

𝑥2 − 4𝑥 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 12𝑥 − 5 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 3𝑥 + 8

𝑥 + 3 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 ≤ 6

𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 5100𝑥 − 250

𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 > 5

𝑓 𝑥 = 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

𝑥2 + 2 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 36𝑥 − 7 𝑠𝑖 3 < 𝑥 ≤ 7

a)

b)

c)

𝑓 𝑥 =

1

8𝑥2 − 𝑥 + 5 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 6

𝑥 + 1

2 𝑠𝑖 6 < 𝑥 ≤ 12

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0𝑥

𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0𝑥3 − 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 0

d)

e)

f)


𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2𝑥2 − 𝑏𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 > 2

Determina los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥) sea derivable.


𝑓 𝑥 = 2

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1

𝑥2 − 4𝑥 + 5 𝑠𝑖 𝑥 > 1

a) Estudia la derivabilidad de la función.

b) Represéntala gráficamente.

Ejercicio 7.- Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:

𝑔 𝑥 =𝑥 + 2

𝑥 − 1 en el punto de abscisa 𝑥 = 0

Ejercicio 8.- Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función:

𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 = 0


𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 3 en el punto de abscisa 𝑥 = 2


𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 = 𝑒


𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 en el punto de abscisa 𝑥 = 1

Ejercicio 12.- la derivada de la función f(x) viene dada por 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9

a) Obtén los intervalos de monotonía de la función 𝑓(𝑥) y los valores de x en los que dicha

función alcanza sus extremos locales.

b) Determina los intervalos de concavidad y convexidad de la función 𝑓(𝑥).

c) Sabiendo que la gráfica de 𝑓(𝑥) pasa por el punto (2,5), calcula la ecuación de la recta

tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en dicho punto.

Ejercicio 13.- Sea la función 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑥

Determina el valor de los parámetros 𝑎 𝑦 𝑏 sabiendo que la función 𝑓(𝑥) tiene un máximo en

𝑥 = 1 y que 𝑓(1) = 2

Ejercicio 14.- Sea la función 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 1

a) Calcula los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas.

b) Estudia su monotonía y los extremos relativos.

c) Estudia su curvatura y los puntos de inflexión.

d) Halla los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 3

e) Dibuja la gráfica.

Ejercicio 15.- Sea la función 𝑓 𝑥 =𝑥−1

2𝑥−1

a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto (0,1)

b) Estudia la monotonía y los extremos relativos.

c) Estudia la curvatura y los puntos de inflexión.

d) Halla las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y representa gráficamente la función.

Ejercicio 16.- Sea la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 −1

3𝑥3

a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Calcula las coordenadas de sus extremos relativos.

c) Estudia la curvatura y los puntos de inflexión.

d) Calcula el punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es

4.

Ejercicio 17.- Sea la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏

a) Determina los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,3) y alcanza un

extremo local en el punto de abscisa 𝑥 = −2.

b) Tomando 𝑎 = 8 𝑦 𝑏 = −10 deduce la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que

alcanza la función y los valores donde la función se anula.

Ejercicio 18.- Estudia la monotonía, los extremos relativos, la curvatura y los puntos de inflexión

de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥

Ejercicio 19.- Para la función 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2 determina su dominio, sus intervalos de

crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. Con esos datos realiza un esbozo de la

gráfica.

Ejercicio 20.- Sean dos funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) tales que las expresiones de sus funciones

derivadas son, respectivamente 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑦 𝑔′ 𝑥 = 2

a) Estudia la monotonía de las funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥).

b) De las dos funciones indica, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su

derivada sea nula.

c) ¿Cuál de las funciones 𝑓(𝑥) 𝑜 𝑔(𝑥) es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué?

Ejercicio 21.- Estudia la monotonía y los extremos relativos de la función

𝑓 𝑥 =1

3𝑥3 +

1

2𝑥2 − 2𝑥 + 3


𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 12 𝑠𝑖 𝑥 < −3−𝑥 + 3 𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2

a) Estudia la derivabilidad de la función.

b) Estudia su monotonía.

c) Calcula los extremos relativos.

Ejercicio 23.- Sea la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 24𝑥2 + 4𝑥

a) Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.

b) Obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) en el punto de abscisa 𝑥 = −2

c) En el punto de abscisa 𝑥 = 1 , ¿la función es creciente o decreciente?

Ejercicio 24.- Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de

euros, por la función:

𝐵 𝑡 =𝑡3

4− 3𝑡2 + 9𝑡 , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 8

Donde la variable 𝑡 indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación.

a) Estudia la monotonía y los extremos relativos y absolutos de 𝐵(𝑡)

b) Dibuja la gráfica de B(t) en el intervalo [0,8] y explica, a partir de ella, la evolución de los

beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.

Ejercicio 25.- Sea 𝑓(𝑥) una función cuya función derivada, 𝑓’(𝑥), tiene por gráfica una parábola

que corta al eje OX en los puntos (−1,0) 𝑦 (5,0) y con vértice (2,−4)

a) Estudia razonadamente la monotonía de 𝑓(𝑥)

b) Determina los extremos relativos de 𝑓(𝑥).

c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa 𝑥 = 2,

sabiendo que 𝑓(𝑥) = 5

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