Cud grecki

Wrocław, 12 X 2012

Cud grecki

Wykształcenie podstawowe

Spośród wielu twierdzeń i faktów pochodzących ze starożytnejGrecji w szkole na lekcjach matematyki pojawiają się:

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Pitagorasa

Sito Eratostenesa

Wzór Herona

Księżyce Hipokratesa

Równanie diofantyczne

„Eureka” Archimedesa — a co z jego matematyką ?! (A N G)

Znaczenie twierdzeń Talesa i Pitagorasa

Cud grecki

Trzy zagadnienia starożytności

Starożytni Grecy pozostawil nam trzy klasyczne problemykonstrukcyjne (za pomocą liniału i cyrkla!), których nie potrafilirozwiązać:

Kwadratura koła

Trysekcja kąta

Podwojenie sześcianu

Co dziś wiemy o tych konstrukcjach?

Cud grecki

Skąd Grecy?

Północ — Południe w starożytności i dziś

Około -2000 przybywają nad Morze Egejskie pewne ludyindoeuropejskie, zwące się Achajami

Przybysze to barbarzyńcy, niszczą osady i podbiją lud, którynazwali Pelazgami

Od kultury kreteńskiej uczą się żeglowania i np. pisma

Około roku -1100 nadchodza inne plemiona helleńskie —Dorowie (rzekomo jeszcze gorsi)

Około -1180 wojna trojańska

IX wiek - Homer — Iliada i Odyseja

Cud grecki

Starożytna Grecja

Cud grecki

Starożytna Grecja

Cud grecki

Skąd nauka grecka

Około VII w. zaczynają się intensywne kontakty handlowe Grekówz Egiptem. Przy okazji następuje intensywna wymiana idei. Egiptodwiedzają:

Tales z Miletu (640 - 546)?

Pitagoras (Samos - Krotona) (580 - 500)?

Platon (Ateny) (427 - 347)

Demokryt z Abdery (460 - 370)

Eudoksos z Knidos (408 - 355)

Cud grecki

Skąd znamy fakty i anegdoty o tych ludziach?

Żyjący w III wieku (500 - 800 lat po opisywanym okresie) DiogenesLaertios napisał Żywoty i poglądy słynnych filozofów.

Tales w Egipcie zadziwił kapłanów, gdy zmierzył wysokośćpiramidy, mierząc jej cień w chwili, gdy cień ciała ludzkiegoma długość równą wysokości ciała. Potrafił też z oddalizmierzyć wielkość okrętów (zastosowania!).

Zauważył, że kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jestprosty.

Szkoła jońska: Anaksymenes, Anaksymander, Anaksagoras -siedząc w więzieniu pracował nad kwadraturą koła.

Przykład anegdoty: pewnego razu Tales, prowadzony przezstarą służąca, wyszedł obserwować gwiazdy, wpadł do dołu iuskarżał sie na to. Staruszka odparła: „Ty, Talesie, nie mogącdostrzec tego, co jest pod nogami, chciałbyś poznać to, cojest na niebie!”

Cud grecki

Pitagorejczycy

Pitagoras urodził się na Samos ok. -580 roku. Odwiedził Talesa,potem spędził wiele czasu w Egipcie, a może i w Babilonii.

W Krotonie (południe Włoch) założył bractwo (około 300 młodychludzi), wyników dociekań nie wolno było ogłaszać osobompostronnym.

Pitagorejczycy twierdzili, że wszystko jest liczbą. Odkryli, żedobrze współbrzmią dźwięki, gdy długości strun mają się, jak 1:2,2:3 czy 3:4 (dostajemy konsonans). Natomiast stosunek 4:5 dajedysonans. Uwaga: skrócenie struny do połowy daje dźwięk ooktawę wyższy.

Pitagorejczycy przysięgali na pewien symbol (tetraktys) — trójkątzłożony z 10 kropek. Stąd zapewne waga, jaka przywiązywali doliczb trójkątnych.

Cud grecki

Pitagorejczycy

Według nich wszechświat jest pewną harmonią, którą chcieli opisać(stosunkami liczb naturalnych). Do dziś używamy wyrażenia„harmonia sfer”.

Odkrycie niewymierności√

2 wykazało więc „fundamentalny błądw budowie wszechświata”, było szokiem i utrzymywane było wścisłej tajemnicy.

Liczby trójkątne (kwadraty, pięciokątne, itd) i ich znaczenie dlapitagorejczyków.

Twierdzenie Pitagorasa i „trójki pitagorejskie”: 3, 4, 5 lub 5, 12,13 itd.

Złoty podział, złoty prostokąt i liczba Φ (skrót dla uczczeniaFidiasza).

Cud grecki

Sofiści

Sofiści = mądrzy ludzie.

Pojawili się w Atenach po roku -480 (bitwa z Persami podSalaminą). Ateny, przewodzące lidze państw-miast kwitłygospodarczo i sofiści stali się pierwszymi nauczycielami, którzy zaswą pracę otrzymywali wynagrodzenie.

Głównie zajmowali się próbami rozwiązań trzech „klasycznychproblemów konstrukcyjnych”. Np. do tego miała prowadzićkwadratura księżyców Hipokratesa.

Zajmowali się paradoksami Zenona z Elei.

Przypomnijmy też paradoks Epimenidesa z Krety, który powiedział:Kreteńczycy zawsze kłamą.

Cud grecki

Księżyce Hipokratesa

Hipokrates z Chios - matematyk, nie mylić z Hipokratesem z Kos -„ojcem medycyny”.

Cud grecki

Sokrates i Platon

Sokrates (Ateny, 469-399) nauczał na ulicach Aten, zaczepiającnapotkanych ludzi - często zamożnych i wpływowych - i rozmawiałz nimi o ważnych dla życia społecznego sprawach np. czym jestsprawiedliwość lub dobro.

Sam twierdził „Wiem, że nic nie wiem”.

To nie mogło się dobrze skończyć. Proces opisany jest przezPlatona w „Obronie Sokratesa”.

Cud grecki

Platon

Platon urodził się w roku 427 i otrzymał imię Aristokles.

Był zapaśnikiem, po serii zwycięstw w zapasach ze względu naszerokie bary nazwano go Platonem (platys = szeroki)

Grecki ideał wychowania: kalos - kagatos czyli piękny i dobry

W wieku 20 lat został uczniem Sokratesa, po śmierci mistrza10 lat przebywał w Egipcie, a po powrocie do Aten założył wgaju poświęconemu Akademosowi szkołę, zwaną z tejprzyczyny akademią

Był filozofem i zajął się jednym z najważniejszych zagadnieńfilozofii:

w jaki sposób byty istnieją? Ontologia = teoria bytu

Alegoria jaskini (Państwo, 7, 514a-517a)

Cud grecki

Idee Platona

Coś, co „jest” powinno być stałe, wieczne i niezmienne, bo jak ująłto Parmenides „Byt jest, a niebytu nie ma”.ks. Tischner: Być może stąd taki niezwykły rozkwit matematykigreckiej.

Platon: prawdziwy wieczny byt to „idee”, natomiast rzeczymaterialne to tylko odbicie idei (cienie prawdziwych przedmiotów).

Stąd idealizm.

Platon podał też definicję człowieka:

Człowiek jest to istota żywa, dwunożna, nieopierzona.

Diogenes (cynik, ten od beczki) oskubał koguta i zaniósł doszkoły Platona mówiąc: Oto jest człowiek Platona.

Odtąd do definicji dodawano słowa „o szerokich pazurach”.(str. 331 Laertios)

Cud grecki

Wpływ Platona na matematykę

Platon wprowadził definicje w matematyce, np. punkt to począteklinii albo linia niepodzielna. Linia to długość bez szerokości.

Aksjomaty, np. wielkości równe odjęte od równych dają w wynikuwielkości równe.

Platon zainicjował rozwój stereometrii (bryły platońskie towielościany foremne). Cztery wielościany obrazowały cztery żywioły(dialog Timaios): ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda -dwudziestościan i ogień - czworościan. Dwunastościan foremnyodpowiadał strukturze wszechświata.

Dozwolone są wyłącznie konstrukcje geometryczne za pomocącyrkla i liniału, gdyż tylko okrąg i prosta mogą się ślizgać po sobie.Dozwolona jest jedynie nieskończoność potencjalna, ale nieaktualna.

Przekonania te wywarły ogromny wpływ na Euklidesa.

Cud grecki

Nauczyciel - uczeń

Wpływ wybitnych nauczycieli na uczniów pokazuje następującyprzykład:

Sokrates

Platon

Arystoteles

Aleksander Wielki

miasto Aleksandria

Cud grecki

Arystoteles ze Stagiry (384 - 322)

Uczeń Platona, ale przeciwstawił się idealizmowi swegonauczyciela. Będąc lekarzem zauważył, że, w przeciwieństwie dopoglądów Platona, małe dzieci nie mają pamięci idealnego świata.Rodzą się jako „tabula rasa” czyli czysta tablica, a wiedzęzdobywaja poprzez doświadczenia.

Należy uporządkować sposób wyciągania wniosków z doświadczeń,aby dochodzić do prawdziwych stwierdzeń — trzeba wiedzieć,które myśli są adekwatne do rzeczywistości, a które nie.

W tym celu należało stworzyć naukę o myśleniu. I Arystotelesstworzył logikę, którą nazywał analityką, bo dla niegologika=dialektyka czyli sztuka prowadzenia dyskusji.

Cud grecki

Arystoteles ze Stagiry (384 - 322)

Ponieważ był metojkiem (nie-Ateńczykiem), więc nie mógł kupićziemi w Atenach.

Na obrzeżach Aten istniał gimnazjon przy świątyni ApollinaLykeiosa (wilczego).

Przy tym gimnazjonie Arystoteles założył własną szkołę, zwanąLykeion (stąd dzisiejsze liceum).

Uczniów nazywano perypatetykami, bo w zwyczaju mielispacerowanie w czasie dysput filozoficznych.

Cud grecki

Arystoteles ze Stagiry (384 - 322)

System filozoficzny Arystotelesa:

Forma i materia (albo: istota i istnienie).

Ulubiony przykład filozofów — jednorożec, łatwo wyobrazićsobie formę (istotę, ideę) jednorożca, ale jednorożce nieistnieją.

Tomasz z Akwinu (1225 - 1274, dominikanin). JHWH = ten,który JEST. Zatem istotą Boga jest istnienie.

Tomizm i neotomizm.

Problem uniwersaliów (powszechników): idealizm, realizm,nominalizm, reizm, solipsyzm,...

Można zaryzykować stwierdzenie, że większość matematykówto platonicy.

Dowód: nowe fakty w matematyce odkrywamy.

Cud grecki

Matematyka grecka

Popatrzmy chronologicznie na greckich matematyków:

Zenon z Elei (ok. -450): paradoksy: Achilles i żółw, lecącastrzała.Hipokrates z Chios (-440)Platon (Akademia, rok -387)Eudoksos z Knidos (ok. -360): teoria proporcji, metodawyczerpywaniaEuklides z Aleksandrii (ok. -300): Στωιχεια czyli ElementyArystarch z Samos (-270) odległość z Ziemi do Księżyca iSłońcaArchimedes ( -287 do -212): O walcu i kuli, najsłynniejszypalimpsest świata, „Trzoda Heliosa”. (Annals Probab. 1986)Eratostenes z Cyreny (-230): obwód Ziemi, „odsiewanie” liczbpierwszychApoloniusz z Pergi (-225): Stożkowe (koniki), nazwy — elipsa,parabola, hiperbola

Cud grecki

Matematyka grecka

Hipparch (-127) precesja równonocy

Heron z Aleksandrii (+60) pola i objetości

Klaudiusz Ptolemeusz (150) Almagest astronomia i geometria,pierwsze tablice sinusów

Diofantos z Aleksandrii (250 ?? (-150 do +300) Arytmetyka

Pappus z Aleksandrii (340)

Teon z Aleksandrii (390) wydaje Elementy Euklidesa, odtąd tobędzie tekst kanoniczny

Hypatia (400) (córka Teona) komentarze do Diofantosa iApoloniusza

Cud grecki

Skąd Aleksandria?

Aleksander Macedoński zakłada w dniu 7 kwietnia roku -332 namiejscu miejscowości Rhakotis nowe miasto, nazwane jegoimieniem, zaprojektowane przez architekta Dejnokratesa, znanego zprzebudowy Efezu.

Od roku -311 stolica dynastii Ptolemeuszów (pierwszym byłPtolemeusz Soter). Za czasów rzymskich miasto milionowe, drugiepo Rzymie w imperium.

Wzniesiono: pałac królewski, Bibliotekę Aleksandryjską, Muzeion(przybytek muz), latarnię morską w Faros itd.

Cud grecki

Książki czyli Zwoje

W Aleksandrii działały:

Muzeion = instytut naukowo-badawczy

biblioteka = główna Brucheion dostępna tylko dla badaczy iSerapeion dla wszystkich (przy świątyni Serapisa)

Każdy, kto wjeżdżał do Aleksandrii z książką, albo musiał jąodprzedać, albo zostawić do skopiowania.

Kopiowano szybko: Septuaginta, za czasów Ptolemeusza IIFiladelfosa (syna Sotera), ok. roku -270

Biblioteka płonęła co najmniej 2 razy.

Przestała istnieć w roku 642, gdy Aleksandrię zdobyliArabowie (Omar I: Albo te księgi zawierają ...)

Cud grecki

Arytmetyka Diofantosa

Zawierała 13 ksiąg, zachowało się 6 po grecku i 4 po arabsku.Rozwiązuje równania, nawet niektóre trzeciego stopnia. Dziśrównaniem diofantycznym nazywamy równanie w liczbachcałkowitych.

Według legendy na grobie Diofantosa był napis:

Tu jest grobowiec, w którym złożono prochy Diofantosa. Przezjedną szóstą jego życia Bóg obdarzył go młodością, przez dalszą,dwunastą część życia jego policzki były pokryte brodą. Po siódmejdalszej części życia doświadczył szczęścia małżeńskiego, w któregopiątym roku został ojcem syna. Nieszczęśliwie syn żył tylko połowęlat ojca, który pozostał w smutku przez cztery ostatnie lata swegożycia. Przechodniu, oblicz długość jego życia!

Cud grecki

Fermat i Arytmetyka Diofantosa

W roku 1621 ukazało się łacińskie wydanie Arytmetyki. Około roku1630 czytał je Fermat i na jednej ze stron zrobił notatkę. W roku1670 syn Fermata wydał Arytmetykę wraz z komentarzami swegoojca. Oto najsłynniejsza strona tego wydania:

Cud grecki

Fermat i Arytmetyka Diofantosa

... cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginisexiguitas non caperet.

Cud grecki

Archimedes

Znamy kilka jego prac, m.in. O walcu i kuli, O kwadraturzeparaboli czy Metoda.

Ponieważ studiował w Aleksandrii, a Eratostenes był jegoprzyjacielem, więc w Aleksandrii znano jego prace. Nie były onejednak tak znane, jak Elementy Euklidesa.

Poprzez tłumaczenia arabskie lub oryginały (z Konstantynopola),niektóre dzieła Archimedesa dotarły do Europy (np. wydane w1544 O walcu i kuli).

Cud grecki

Archimedes

W roku 1773 niemiecki dramaturg Gottlob Lessing odkrył wpewnej bibliotece manuskrypt, zawierający zadanie w formiewiersza, złożonego z 22 dystychów elegijnych, przypuszczalnienapisane przez Archimedesa około roku -250 i przesłane w liścieEratostenesowi. Zaczynały się tak:„Jeśliś pilny i mądry, o cudzoziemcze, określ mnogość stadaHeliosa,które dawno temu pasło się na trinakijskich polach Sycylii.”

„Archimedes’ Cattle Problem”

Cud grecki

Archimedes i najsłynniejszy palimpsest świata

W roku 1906 duński językoznawca J.L. Heiberg odkrył wKonstantynopolu pewien palimpsest.

Po I wojnie światowej zniknął, odnalazł się w 1998 roku na aukcjiw Christies w Nowym Jorku. Od 1998 restaurowano go w muzeumw Baltimore. I odczytano:

http://www.archimedespalimpsest.org/

Cała książka:

http://books.google.com/books?id= zX8OG3QoF4C&printsec=frontcover#v=onepage&q=&f=false

Cud grecki

Elementy Euklidesa

Cud grecki

Elementy

Napisane około roku -300, do roku 1900 były obowiązującympodręcznikiem niemal w całej Europie. Liczba wydań mniejszatylko od Biblii.

Materiały np. External Links na stronie

http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid’s Elements

Cud grecki