CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA n anul universitar 2010 2011 PREFA Prezentaculegereseadreseazdeopotrivelevilordeliceu,nscopul instruiriilorcurente,ctiabsolvenilorcaredorescssepregteasc temeinic n vederea examenului de bacalaureat i a concursului de admitere n universitideprestigiuncareadmitereasefacepebazaunorprobela disciplinele de matematic. Coninutul culegerii este adaptat noului curriculum de matematic care prinsetuldecompetene,valoriiatitudinipecarelepromoveazasigur premiselepentruointegrareprofesionaloptimprintraseeindividualede nvare i formare. Avndnvederediversitateadatoratexisteneiunuimarenumrde manualealternative,amcutatsunificmdiferitelemanieredeprezentare prinalegereaunorproblemepecareleconsidermindispensabilepentru abordareacusuccesacursurilordematematicdinciclulntidelatoate facultile Universitii Politehnicadin Timioara. Laalctuireaproblemelors-aavutnvedereoreprezentare corespunztoareattapriidecalcul,ctiaaspectelordejudecat, respectiv,deraionamentmatematic.Graduldedificultatealproblemelor nefiindcelaluneiolimpiadedematematic,acesteavorputeafiabordatede orice elev sau absolventcu o pregtire medie a prii teoretice i care posed deprinderi de calcul corespunztoare. Problemelesuntprezentatedupmodelultest,cuaserspunsuri fiecare, dintre care unul singur este corect. Contienidefaptulcdoarurmrirearezolvriiunorproblemenu ducelaformareadeprinderilordecalculiaunuiraionamentmatematic riguros,autoriiaualesvariantaproblemelorpropusefrrezolvri.De asemenea,pentruanuforanrezolvareobinereaunuirezultatdinainte cunoscut, nu se face precizarea care dintre cele ase rspunsuri este adevrat, aceastarezultndnurmauneirezolvricorecte.Totui,pentruunele problemele cu un grad mai mare de dificultate, autorii au considerat necesar s dea indicaii i rezolvri integrale. inndcontdefaptulcprezentacartevafifolositilantocmirea subiectelorpentruconcursuldeadmiterelaUniversitateaPolitehnicadin Timioara,invitmabsolveniideliceusrezolvetesteledinacestvolum, adugndu-iastfelcunotinenoilaceledejaexistenteiimplicndu-seprin aceasta n demersul de evaluare a propriilor competene. Departamentul de Matematic al UPT DEPARTAMENTUL DE MATEMATIC PROGRAMA ANALITIC Elemente de algebr Progresiiaritmeticeigeometrice.Funcii:funciaparte nt reag,funciaradical,funciadegradulaldoilea.Ecuaii iraionale. Sisteme de ecuaiineliniare. Funcia exponeniali funcia logaritmic. Ecuaii exponeniale iecuaii logaritmice. Permutri,aranjamente,combinri.BinomulluiNewt on.Numerecomplexesubformalgebricisubform trigonometric.Matrice.Determinani.Sistemedeecuaii liniare.Legidecompoziie.Grupuri.Ineleicorpuri.I nelede polinoame cu coeficieni ntr- un corp comut at iv. Elemente de geometrie i trigonometrie Vectorinplan.Funciitrigonometrice.Relaiintrefuncii trigonometrice.Ecuaiitrigonometrice.Produsulscalaradoi vectori.Aplicaiitrigonometricengeometriaplan:teorema cosinusului,t eoremasinusur ilor; rezolvareat riunghiurilor.Dreaptanplan.Ecuaiialedreptei.Condiiideparalelismi condiiideperpendicularitateadoudrepte.Calculede distaneiarii.Reprezentareagraficaconicelor:cercul, elipsa, hiperbola, parabola. Elemente de analiz matematic Limitedeiruri.Limitedefuncii.Continuitate.Derivabilitate. Aplicaiialederivatelornstudiulvariaieifunciilor.Primit ive.Integraladefinit.Aplicaiialeint egraleidefinit e: ariaunei suprafeeplane,volumulunuicorpderotaie,calcululunor limite de iruri. Aceast culegere este recomandat pentru admiterea la urmtoarele faculti ale Universitii Politehnica din Timioara: Facultatea de Arhitectur

Facultatea de Automatic i Calculatoare Facultatea de Electronic i Telecomunicaii CUPRINS ELEMENTE DE ALGEBR (simbol AL ).....................................................................................................................9 ELEMENTE DE GEOMETRIE PLAN I TRIGONOMETRIE (simbol GT ).................................................................................................................165 ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC (simbol AM )................................................................................................................217 PROBLEME MODEL CU REZOLVRI...............................................................320 BIBLIOGRAFIE..358 6 ELEMENTE DE ALGEBR 10Culegere de probleme ELEMENTE DE ALGEBR (simbol AL) AL - 001Care este cel de-al 10-lea termen al irului 1,3,5,7,...? a) 10b) 11c) 15d) 20e) 19f) 17 AL - 002S se gseasc primul termen a1( )ann1 i raia r ai unei progresii aritmetice dac : a a aa a a2 6 48 7 472 + = =. a) a r14 3 = = ,b) a r14 4 = = ,c) a r13 1 = = ,d) a r15 2 = = ,e) a r12 2 = = ,f) a r11 1 = = , AL - 003S se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an), dac a1=2, a5S n nn = + 5 62=14. a) 10100b) 7950 c) 15050 d) 16500e) 50100f) 350 AL - 004Pentru o progresie aritmetic suma primilor n termeni ai ei este. S se determine primul termen a1a r111 9 = = , i raia r. a)b) a r111 10 = = ,c) a r111 11 = = , d) a r110 11 = = ,e) a r110 10 = = ,f) a r19 9 = = , AL - 005S se determine raia i primul termen ale unei progresii aritmetice pentru carea S S Sn n n 5 21814= = , , iar undeeste suma primilor n termeni ai progresiei. a) a r16 3 = = ,b) a r114 1 = = ,c) a r12 4 = = , d) a r12 5 = = ,e) a r1852= = ,f) a r11 1 = = , Elemente de algebr11 AL - 006S se determinex Rastfel nct urmtoarele numere: 3 15x +( ( ,2 1 x + , 4 1 x +s fie n progresie aritmetic, unde| | reprezint partea ntreag a lui R . a) 3, 34x ||

.;b) 4, 33x ||

.;c) 4, 33x ( ( ; d) 3, 34x | | |\ .;e) 4, 33x | (

(\ ;f)x AL-007Ssedeterminex R astfelncturmtoarelenumeres fie n progresie aritmetic: 31xx + ( ( ,4 1 x , 5x ( ( , unde xN . a){ } 1, 2, 3 x ; b)5 x =c)1 x =d){ } 5, 6, 7, 8 x e)0 x =f)x AL-008Ssedeterminex R astfelncturmtorultripletsfieformatdin numere n progresie geometric 1 , 4, 3 5 x x + + a) 11,13x ` )b) 11, 13x ` )c)x d){ } 1 x e) 113x ` )f) 111,3x ` ) AL 009Fie( )1ann un ir avnd suma primilor n termeni 2S n an bn = + + , unde , a b R , pentru orice1 n . S se determine a i b astfel nct irul( )1ann s fie progresie aritmetic cu primul termen egal cu 2. a)2, 3 a b = = b)( ) , 1, 2 a b R c)1, 0 a b = =d)2, 0 a b = = e)2, 1 a b = = f)1, 2 a b = =12Culegere de probleme AL 010Fie, , p q p q N . S se determine raia unei progresii aritmetice n care primul termen este 3, iar raportul ntre suma primilor p termeni i suma primilor q termeni este 22pq. a) 1b) 2c) 6d) 5e) 4f) 3 AL 011Fie{ } 0 \ ,..., ,2 1R na a atermenii unei progresii aritmetice cu raia0 r . n funcie den a ,1i rs se calculeze suma: n nna a a a a aS1 3 2 2 11...1 1+ + + = . a) ( ) n a an+1 1b) r na an1211++c) ( ) | | r n a an111 1 + d) ( ) nr a an1 11e) ( )n r an+1f) ( )r n an121 + + AL 012S se determine numrul termenilor unei progresii aritmetice descresctoare dac simultan sunt ndeplinite condiiile : (i) Raia satisfaceecuaia27 93232= x x (ii) Primul termen satisface ecuaia : ( ) ( ) 3 lg 7 5 lg 1 lg 2 lg + = + + y y (iii) Suma progresiei este cu 9 mai mic dect exponentul p al binomului pb b||.|

\|+313 2 n a crui dezvoltare termenul al patrulea conine pe b la puterea nti. a) n = 5 b) n = 3 c) n = 6d) n = 10e) n = 4f) n=8 Elemente de algebr13 AL - 013S se determine primul termen a1( )ann1 i raia q pentru progresia geometric dac : a aa a5 14 2156 = =. a) a q10 1 = = ,b) a q11 2 = = ,c) a q11612= = , d)aqaq11161212= ===sau e) a q11 1 = = ,f)aqaq1 14224====sau AL - 014Suma a trei numere n progresie aritmetic este egal cu 12. Dac se adaug acestora, respectiv numerele 1, 2, 11, progresia devine geometric . S se afle aceste numere. a) 5,4,7 i 15,14,13 b) 1,4,7 i 17,4,-9 c) 6,8,10 d) 1,3,5 i 17,15,13 e) 5,9,13 i 18,14,10 f) 2,4,6 i 1,4,9 AL 015Trei numere sunt n progresie geometric. Dac se mrete al doilea cu 32, progresia devine aritmetic, iar dac se mrete apoi i al treilea cu 576, progresia devine din nou geometric. Care sunt cele trei numere ? a) 4,20,100 sau1,-7,49 ;b) 4,100,20sau-7,1,49 ; c) 100,4,20 sau1,49,-7 ;d) 2,4,6 sau6,4,2 ; e) 8,10,12sau-3,-1,0 ;f) 1,2,3sau49,50,51 AL 016Pot fi numerele 7,8,9 elemente ale unei progresii geometrice ? a)Da n progresie geometric n ordinea 7,8,9cu o raie q m , expresia) ( ) (1 2 2 1m x f x m x f x E + = , unde 2 1, x xsunt rdcinile ecuaiei0 ) ( = x f . a)m 1b)12+ mc)) 4 ( 4 m m d)) 1 ( 42 me)) 4 ( m mf)22+ m AL - 042S se determine m R , astfel ca rdcinile x1 i x2( )x m x m22 3 1 0 + = ale ecuaiei s satisfac relaia 3 5 2 01 1 2 2x x x x + = . a)m m1 22 3 = = , b)m m1 21 1 = = , c)m1 22 7, = d)m1 22 5, = e)m1 25, = f)m m1 22 2 = = , Elemente de algebr21 AL - 043Fie ecuaia0 2 2 22 2= + m m mx x , unde m R. Care este mulimea valorilor pe care le pot lua rdcinile reale 1x ,2xcnd m variaz ? a)] 2 , 2 [ b)] 2 1 , 2 1 [ + c)] 3 2 , 3 2 [ + d)] 1 , 1 [ e)] 3 1 , 3 1 [ + f)] 3 , 3 [AL - 044Fie ecuaia 2x2-2(m+2)x+m2+4m+3=0,mR. Dac ecuaia are rdcinile reale x1(m), x2) ( ) (2 1m x m x E + =(m), precizai valoarea maxim a expresiei . a) 3;b) 4;c) 2;d)2 ; e)3 ;f) 1. AL - 045Fiind dat ecuaiaax23231 3x x S + =+bx+c=0, (a 0), s se exprime n funcie de a, b i c suma , unde x1,x22 3333abcabS = sunt rdcinile ecuaiei date. a)b) 2 3333abcacS = c) 3 2233abcabS = d) 2 3333abcabS + = e) 2 3333abcacS + = f) 3 2233abcabS + = AL - 046Se consider ecuaiile0 12 72= + x x i 0 32= + m x x . S se afle m pentru ca ecuaiile s aib o rdcin comun. a){ } 0 , 4 m , b){ } 0 , 1 m c){ } 1 , 4 m d){ } 2 , 1 m e){ } 3 , 2 m f){ } 1 , 0 m AL - 047S se determine parametrii reali m i n astfel ca ecuaiile( ) ( ) 0 4 4 52 52= + + x m x mi( ) 0 20 5 1 22= + + nx x n22Culegere de probleme s aib aceleai rdcini. a) m = -11, n = 7;b) m = - 7, n = 11c) m = 9, n = 7 d) m = 11, n = 7e) m = 7, n = 11f) m = 9, n = -7 AL - 048Fie ecuaia( ) 0 1 1 2 32= + + + + m x m mx ,R m , ale crei rdcini sunt x1 i x22 1 2 1x x x x = +. S se determine o relaie independent de m ntre rdcinile ecuaiei. a)b) 2 122212 x x x x = + c) 2 122212 x x x x = d) 312 1 2 1 = + + x x x xe)0 32 12221= + x x x x f)02 12221= + + x x x x AL - 049Se consider ecuaiile0 ' ' ' , 02 2= + + = + + c x b x a c bx ax 0 ' , 0 a acu rdcinile 2 1, x xi respectiv' , '2 1x x . Dac ntre coeficienii celor dou ecuaii exist relaia 0 ' 2 ' ' = + bb c a ac , atunci care din urmtoarele relaii este verificat de rdcinile celor dou ecuaii? a)( )( ) 0 ' ' 2 ' '2 1 2 1 2 1 2 1= + + + x x x x x x x xb) '1'1 1 12 1 2 1x x x x+ = + c)' ' ' '2 2 1 1 2 2 1 1x x x x x x x x + + + = + d)' 2 ' 21 2 2 1x x x x + = e)' '2 1 2 1x x x x = f) '1'12 12 1 2 1x xx x x x + = + + AL - 050S se rezolve ecuaia iraional1 12= + x x . a)1 , 02 1= = x x b)1 , 12 1= = x x c)0 , 12 1= = x x d)2 , 12 1= = x x e)2 , 12 1= = x x f)2 , 02 1= = x x Elemente de algebr23 AL - 051Determinai toate valorile luiZ xpentru care are loc inegalitatea 0 7 11 3 < + x x . a){ } 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 1 b){ } 8 , 7 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 c){ } 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 d){ } 8 , 7 , 6 , 5 , 4 e){ } 7 , 6 , 5 , 3 , 2 f){ } 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 2AL - 052Fie funciaR R : f , 1 31 3) (2+=xxx f . S se determine x pentru care funcia ia cea mai mare valoare. a)3 1b) 31 33+ c) 1 d)3 1+ e) 21 f)3 1+ AL - 053S se determine toate valorile luiR mpentru care funcia( )( )| ) + = , 1 , 11 , , 1 2, :x m mxx xx f f R Reste monoton. a)( ) o m , b)4 = m c)R m d)| ) , 0 m e)| ) 1 , 2 m f) m AL - 054S se determine valorile luiR mastfel nct funcia ( )( |( ) + += , 3 , 23 , ,, :x mxx m xx f R R fs fie surjectiv. a)1 = m b)( ) 1 , 0 m c) ((

\|21, 0 md) |.|

\| 21, 1 m e) m f)1 = m AL - 055S se determine mulimea maximal E astfel nct funcia, : R R E f24Culegere de probleme ( ) { } 2 , 5 2 max = x x x fs fie bijecie. a) += R E b)| | 0 , = Ec) R = Ed)| | 1 , 0 = E e)( | 3 , = E f)| ) = , 1 E AL - 056Fie funcia de gradul al doilea ( ) ( ) 1 1 22 + = m x m mx x fm, ( ) 0 m . S se determinem astfel nct vrful parabolei asociate acestei funcii sse gseasc pe prima bisectoare. a) 41= mb)4 = mc) 21= md)m= 2e) 61= mf)6 = m AL - 057Determinai valorile parametrului real m astfel nct dreapta de ecuaiex y = +1s taie parabola de ecuaie( ) 2 52 2+ + + = m x m mx yn punctele (1,0) i (4,3). a)3 , 12 1 = = m m b)3 , 32 1 = = m m c)3 = m d)1 = m e)21 = m f)3 = m AL - 058Fie familia de funcii de gradul al doilea ( ) ( ) R + = m m x m x x fm, 2 1 22 S se arate c vrfurile parabolelor asociate acestor funcii se gsesc pe o parabol a crei ecuaii se cere. a) 2x y = b)12+ + = x x y c)12+ = x x yd)12 + = x x y e)3 22+ = x x y f)12+ = x y AL - 059Determinai expresia analitic a funciei de gradul al doileaR R : f , Elemente de algebr25 ( ) c x ax x f + + = 42, tiind c graficul ei taie axa Oy n punctul 1 i are abscisa vrfului 32 . a)( ) 1 4 22+ + = x x x fb)( ) 1 4 32 + = x x x fc)( ) 1 4 42+ + = x x x fd)( ) 1 4 32+ + = x x x fe)( ) 1 42+ + = x x x f f)( ) 3 4 32+ + = x x x fAL - 060S se determineR mastfel nct parabolele asociate funciilor ( ) 4 22 = x x x fi( ) 6 22 = mx mx x gs aib acelai vrf. a) m = -1b) m = 1c) m = -2 d) m = 2e) m = 3f) m = -5 AL - 061Fiind dat familia de parabole( ) ( ) 2 1 22+ + + = m x m mx x fm, *R ms se determine valorile lui m pentru care obinem parabole ale cror puncte de intersecie cu axa Ox sunt simetrice fa de origine. a){ } 1 R m b)2 = m c)1 = m d)1 = m e){ } 2 , 1 , 1 m f)3 = m AL - 062S se determineR q p,dac funciaR R : f ,( ) q px x x f + + =2 are maximul 4 n punctul x = -1. a)3 , 2 = = q p b)2 , 1 = = q p c)2 , 3 = = q p d)2 = = q p e)1 = = q p f)3 , 2 = = q p AL - 063 Presupunem c pentru ecuaia02= + + c bx ax( ) 0 aavem0 > i rdcinile 2 1, x x . S se calculeze 2 1x x n funcie de i a. 26Culegere de probleme a) a 2b) a c) a 2

d)e) a f) a ab2 2+ AL - 064Dac 1 2, x xsunt rdcinile ecuaiei 21 0 x x + = , atunci ecuaia care are rdcinile 11 x +i 21 x +este echivalent cu: a) 21 0 y y + = ;b) 22 0 y y + = c) 22 2 0 y y + = d) 23 1 0 y y + = e) 23 2 0 y y + = f) 23 3 0 y y + = AL - 065Fie o funcieR R : f, astfel nct( ) 5 1 = fiR y x, ,( ) ( )22y Kxy x f y x f + = + , unde K este o constant. S se determine valoarea lui K i funcia f. a)( ) 3 2 ; 4 + = = x x f K b)( ) 4 2 , 32+ = = x x x f K c)( ) 4 ; 3 + = = x x f K d)( ) 6 3 2 ; 12+ = = x x x f K e)( ) 3 2 ; 42+ = = x x f K f)( ) 5 2 2 ; 22+ = = x x x f K AL - 066Fiea R i funcia( )2: , 2 3 f f x x ax = + R R . Dac rdcinile 1 2, x xale ecuaiei( ) 0 f x =satisfac relaia( )1 2 1 23 4 x x x x + = , mulimea soluiilor inecuaiei( ) ( ) 2 1 f x f x + pentru oricex >1. a)( )m ,0 b)( )m + 0, c)( |m 1 4 ,d)( |m 0 1 ,e)| )m + 2, f)( ){ }m 11 0 , \ AL - 075Pentru ce valori ale lui m , mulimea A( ) ( ){ }| |= + + = x m x m x m R 1 2 1 0 112, are un singur element ? Elemente de algebr29 a) mR b)( )m + 1, c) m |\

|.|,34 d)| |m 2 1 , e) m +|\

|.| `)1413, f) m |\

|.|,14 AL - 076Fie ecuaia0 1 ) ( 2 ) 1 (2= + + am m a x m x , unde1 ai m sunt parametri reali. Pentru ce valori ale lui a, ecuaia admite rdcini reale oricare ar fi valoarea parametrului m ? a)((

\| 45, a b) R ac) ) 1 , 1 ( ad) ) 1 , 0 ( ae) ) , 0 [+ af) ) , 1 ( + a AL - 077Se consider ecuaia mx x m27 0 + = . Cruia din intervalele indicate mai jos trebuie s aparin parametrul real m, astfel ca ecuaia dat s aib o singur rdcin cuprins n intervalul | |2 4 ,? a)( | , 1 b)( )2,+ c) 012,|\

|.|d)

|.|120 , e)111795,

((f) 095,|\

|.| AL - 078S se determine valorile parametrului { }mR \ 0 astfel nct ecuaia ( )mx m x21 1 0 =s aib ambele rdcini n intervalul ( | ,3 . a)( )m |\

(( + , ,150 b)( | { }m 11 0 , \ c) m |\

(( +

|.|, ,1515 d)( ) | )m + , , 0 2 e) m

((1315,f)( )m |\

(( + , ,130 AL - 079S se determine Im ( ) { } R = x x f fpentru funciaR R : f , ( )12 322+ ++ =x xx xx f a) ((

+ 321 2 9,321 2 9 b) ||.|

+,321 2 9

30Culegere de probleme c) ((

\| 321 2 9,d) ||.|

+((

\| ,321 2 9321 2 9, e) ||.|

+((

\| ,321 3 9321 3 9, f) ||.|

\|+ 321 3 9,321 3 9 AL - 080Rezolvai n R inecuaia 1 3 2 02 + > x x x . a)( |x 1 3 ,b)( )x 1 3 , c)( )x 2 4 ,d)( ) ( )x 0 2 3 4 , , e)| |x 2 4 , f)( |x 1 4 , AL - 081S se rezolve n R ecuaia x x2 21 4 1 0 + = . a)( )x 2 1 , b) x R c)| )x + 2,d) x e)( |x , 2 f){ }x R \ , 1 4 AL - 082Precizai care este mulimea soluiilor sistemului

3 2 1603 2 822 2y xyy xy x = = . a) ( ) ( ) ( ) ( ) { }8 2 8 2 17 5 17 5 , ; , ; , ; , b) ( ) ( )2 8 2 817251725 , ; , ; , ; , |\

|.||\

|.|`) c) ( ) ( ) |\

|.| |\

|.|`)2 8 2 81725217252, ; , ; , ; ,d) ( ) ( )2 8 2 8 17521752, ; , ; , ; , |\

|.| |\

|.|`) e) ( ) ( )1 4 1 417251725 , ; , ; , ; , |\

|.| |\

|.|`)f) ( ) ( ) |\

|.| |\

|.|`)1 4 1 417251725 , ; , ; , ; , AL - 083S se rezolve sistemul = = +23xyy x a)( ) ( ) { } 1 , 3 , 3 , 1 b)( ) ( ) { } 2 , 3 , 3 , 2c)( ) ( ) { } 1 , 2 , 2 , 1 Elemente de algebr31 d)( ) ( ) { } 1 , 2 , 2 , 1 e)( ) { } 1 , 1 f)( ) { } 2 , 2 AL - 084S se determine soluiile reale ale sistemului = + +=+++5341 1xy y xxyyx a) ( ) ( ) { } 2 , 1 , 1 , 2 ,b)( ) { } 1 , 1 c)( ) { } 2 , 2 d)( ) ( ) { } 2 , 3 , 3 , 2e)( ) ( ) { } 1 , 3 , 3 , 1 f)( ) ( ) { } 1 , 1 , 2 , 2 AL - 085n care din urmtoarele mulimi se afl soluiile sistemului = + += + +13912 2xy y xxy y x a) | | { }| | ( ) 1 , 1 , 10 , 58 , 7 , 2 , 02 21 1 y xy xb) ( | | || { | | 3 , 0 , 9 , 8 , 79 , 7 , 3 , 12 21 1 y xy x c) ( ) ( ){ } ( ) 2 1 7 57 0 3 22 21 1, y , , x, y , , x d) ( ) ( |{ } { } 3 , 1 , 0 , 7 , 5 , 30 , , , 22 21 1 y xy x e) | | | )( ) ( ) 6 , 3 , 6 , 35 , 3 , 2 , 72 21 1 y xy xf) ( ) ( )( ) ( ) 5 , 1 , 9 , 79 , 7 , 5 , 12 21 1 y xy x AL - 086Fie ( ) { }, 1, 2, ...,k kx y k n =mulimea soluiilor reale ale sistemului 32Culegere de probleme 2 22 286 .x y x yx y xy+ + + =+ = S se calculeze 1nkkx=. a)3 2 2 ;b) 0;c) 1; d)3 2 2 + ;e) 2;f)2 2 + AL - 087S se determine soluiile sistemului ==2542xyx a) ( )( ) 5 , 2 ;51, 251, 2 ; 5 , 2 |.|

\||.|

\|b) ( ) ( )|.|

\| |.|

\|51, 2 ;51, 25 , 2 ; 5 , 2 c) 5; 2==yxeste singura soluied) 512 ==yx este singura soluie e) 514==xxeste singura soluief) 52==yx

AL - 088Fie( ) R = + += +mm z y xz y xS , :2 2. Fie Elemente de algebr33 ( ) { S m A R = admite o soluie real unic, notat cu}|.|

\|~ ~ ~, ,m m mz y x , =A mm S1i||.|

\|+ + =A mm m mz y x S2~2~2~2. Atunci a) 43; 02 1= = S S b)25 ;212 1= = S S c) 43;212 1= = S S d) 43;212 1= = S S e)14 ; 52 1= = S S f)25 ; 52 1= S S AL - 089n care din urmtoarele mulimi se afl soluiile reale ale sistemului

x yx x y y6 34 2 29849 =+ + =? a)( ) { }x y 11 1 0 1 , ; , , b)( ) ( )x y 3 3 3 3 , ; , c)( ) ( ) | |x y + , , ; , 3 3 2 3 3d)( ) ( )x y + , ; , 7 7 e)( )x y |\

|.| 121211 , ; ,f) x y |\

|.|| |\

|.|22221212, ; , AL 090 S se determine toate tripletele de numere reale (x, y, z) care verific sistemul neliniar x2 y = 0, y2 xz = 0 ,z2e)(0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,8) ; f) (1,1,4) ; (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1) 16y = 0 a) (0,0,0) ; (2,4,4) ; (2,4,8); b) (0,0,0); (2,4,8); (2,4,8) c) (0,0,0) ;(2,4,8) ; (2,4,8) ; d) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,8) 34Culegere de probleme AL 091S se determine condiiile pe care trebuie s le verifice parametri reali a,b astfel nct sistemul ( )( ) + = + = y x b y xy x a y x3 33 3s aib toate soluiile reale a) a,bR b)a,bR+ c) a,bR+ a2= + += + += + +361463 3 32 2 2z y xz y xz y x = 3ba 3b, b 3aa 2b, b 2a d) a,bR e)a,bR f) a,bR+ a = b AL 092Fiind dat sistemul s se precizeze numrul soluiilor reale i intervalele n care se afl aceste soluii a) n = 3 b) n = 6 (x,y,z) |1,5| |1,5| |1,5| (x,y,z) |0,4| |0,4| |0,4| c) n = 1 d) n = 6 (x,y,z) |3,7||3,7||3,7| (x,y,z) |2,9| |2,9| |2,9| e) n = 3 f) n = 2 (x,y,z) |0,1| |0,1| |0,1| (x,y,z) |1,2| |1,2| |1,2| AL 093 S se determine n care dinintervalele de mai jos se afl soluiile sistemului

62 3 3 22 2 2z y xz xzxy zyzx yxy + +=+=+=+ a) |.|

\|((

\||.|

\|23, 1 ,21, 0 ,21, 0 z y x b)||.|

\|||.|

\|||.|

\| 1 ,23,22, 0 , 1 ,22z y xc)||.|

\||.|

\|||.|

\|22, 0 , 1 ,21,23,21z y x d) ( ) ( ) ( ) 3 , 2 , 2 , 1 , 1 , 0 z y xElemente de algebr35 e) ( ) ( ) 1 , 0 ,23, 0 , 2 , 1 ||.|

\| z y xf) ( ) 2 , 1 ,23, 1 ,43, 0 |.|

\|||.|

\| z y x AL - 094S se determine valorile parametrului real a astfel nct sistemul x y zx y z a a2 2222 3132+ = + = + s aib o soluie unic real. a)( )a , 2 b) a +`)3 3523 352, c){ }a 1 2 , d)( )a 1 2 , e){ }a 4 1 ,f)( )a 4 1 , AL - 095S se determinemRastfel nct x y x y m2 24 4 0 + + >pentru oricex y , R . a) 7 = m b) ( ) 1 , mc) 3 < md) ( ) 5 , 3 m e) ( ) + , 8 m f) | ) 5 , 3 m AL - 096Fie ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 , :2 + + + = m x m x m x f f R R . S se afle n care din urmtoarele intervale se gsete m astfel nct valoarea minim a funcieifs fie 9 . a) ( ) 0 , m b) ( ) 1 , 0 m c)|.|

\| 3 ,21md) ( ) 7 , 4 m e) | | 9 , 7 m f) ( ) + , 8 m AL - 097S se determine parametrul+R m din ecuaia ( ) 0 5 12= + + x m mx , astfel nct rdcinile acesteia s verifice inegalitile21, 12 1> < x x . a)( )m 0 6 ,b)| |m 0 6 , c) mR d)( )m + 0,e) ( ) 0 , m f){ } ( )m 1 0 5 ,36Culegere de probleme AL - 098S se determine parametrul { }mZ \ 2 , astfel ca rdcinile 1x i 2xale ecuaiei0 1 5 ) 2 (2= + + m x x ms satisfac condiiile:) 2 , (1 x , ) 5 , 3 (2 x . a) m= 1 b) 3 = mc) 4 = md) 5 = me) 3 = mf) 2 = m AL - 099S se afle mulimea valorilor funcieifdefinit prin formula 12) (22++=xxx f . a) ) 0 , (b) ( ) + , 0c) | | 1 , 1 d) | ) + , 2e) ( ) 2 , 2 f) } 1 { AL - 100Fie ( )1322+ + += xn mx xx f , : f R R. S se determinem n , R astfel nct( ) | |f R = 3 5 , . a){ }m n |\

|.|2 35272; , b){ }{ }m n 4 3 1 ; c){ }{ }m n 2 3 1 ; d)| |m n = 2 3 2 3 0 , ; e)| | | |m n 3 5 11 , ; , f){ }m n = 3 2 1 ; AL - 101Fie funcia( )1122+ + += xax xx f , : f R R . S se determine mulimea ( ) | | { }0, 2 A a f = = R R . a)A = ;b){ } 1,1 A = ;c)| | 1,1 A = ; d){ } 2, 2 A = e)| | 2, 2 A = ;f)| | 0, 2 A = Elemente de algebr37 AL - 102Fie ecuaia ( )x x mx x21 = + . S se determine valorile parametrului real m astfel nct aceast ecuaie s aib trei rdcini reale diferite. a) mR b) ) 1 , 1 ( mc) m d)( |m ,1 e){ }m R \ , 11f){ }mR \ 1 AL-103Fie ( )( )( ){ }f I f xm x xm xm : , , \ =+ + R R R1 4102 22.Sse determine m astfel nct I s fie un interval mrginit de lungime minim. a) m= 0 b) m= 2 c) m= 2 d) m= 1e) m= 2 f) m= 4 AL - 104Numerelea b c , ,Rsatisfac egalitatea 2 32 2 2a b c + + = . S se determine valoarea minim pe care o poate lua expresia a b c + 2 . a) 33 b)332c) 332d) 10 e)12f) 10AL - 105S se rezolve inecuaia 2 3 5 4 0 + + + < x x . a)

|.|4523, b)

((4525, c)

|.|4579, d)

((3515, e) 079,|\

|.|f) |\

|.|790 , AL - 106S se determinex Rpentru care1 1 1 + = x x . a)( )x ,0 b) x = 1c) x =32 d)23 = xe) x = 32 f) x AL - 107Fie inecuaiax x > 1 42. Care din intervalele de mai josreprezint mulimea soluiilor inecuaiei ? 38Culegere de probleme a) ( ) 3 , b) |.|

\|20 ,217c) ( | 2 , 2 d) ( ) + , 22e) | ) 5 , 4 f)1 722|\

(((, AL - 108S se determine mulimeaA= + `)x x x x R25 6 3 . a)( | , 1b)| )2,+c)| )1,+d)( | { } ,1 3e)| ) { }1 2 3 , f)| )3,+ AL - 109S se rezolve nR ecuaia1122= |.|

\|+xxx . a) 2 1 = xb) 1 2 = xc) 1 2 2212 1 = x d) 1 2 222 1 = x e) 1 2 221 = xf)|.|

\| = 1 2 2 2 121xAL - 110S se determine domeniul maxim de definiie D , al funciei f D : R R , unde ( )f x x x nn n n n= + + + +1 1 11 1, N. a) D{ }= 0pentrun k = 2b) D( |= ,1pentrun k = 2D| )= + 1,pentrun k = + 2 1D= Rpentrun k = + 2 1 c) D| )= + 0,pentrun k = 2 d) D{ }= 1pentrun k = 2D{ }= 0 1 ,pentrun k = + 2 1D{ }= 0 1 ,pentrun k = + 2 1 e) D| )= + 1,pentrun k = 2f) D| )= + 1,pentrun k = 2D| )= + 1,pentrun k = + 2 1D{ }= 0pentrun k = + 2 1 AL - 111Se consider ecuaia: 2 1 1 2 4 x x x + + = + .n care din mulimile indicate mai jos , ecuaia are o singur rdcin real ? a)( ) , 4 b) |\

|.|1215, c)( )8,+ d)( ) | )1 2 3 , , + e)( ) 2 1 , f) |\

|.|412, Elemente de algebr39 AL - 112Precizai care este mulimea soluiilor inecuaiei 15 5 13 2 2 + x x . a) A=

((109492 ,b) A=

((2132,c) A=

((310949, d) A=

((3132,e) A| |= 3 2 , f) A=

((102492 , AL - 113S se afle pentru ce valori ale parametruluiR m , ecuaia 4 8 4 8 + + = + + m x x m x are soluii reale. a) R m b) ( ) 0 , m c) | | { } 0 \ 1 , 1 m d)((

\|21, 0 m e)|.|

\|+ ,21mf)|.|

\| 21, mAL - 114Precizai mulimea A creia i aparin valorile reale ale lui x pentru care are loc egalitatea( ) = x xxx x x8 3 3 1 52 . a)A( )= 0 1 , b)A( )= 1 2 , c)A| )= 2 3 , d)A( )= 2 3 , e)A( )2 7 , f)A| )= + 3, AL - 115S se calculeze valoarea expresiei E=+ + +a b ab aba a b ba b ab ab aba a b b ab3 3 3 32 2pentrua = + 2 3ib = 2 3 . a) E= 4 b) E= 4 c) E 2 = d) E 2 = e) E 1 = f) E 1 = AL - 116S se precizeze valoarea numrului real 5 2 6 2 8 4 13 6 26 5 2 6 2 8 4 13 6 26 + + + + + = E 40Culegere de probleme a)6 = Eb) 32= Ec) 213= Ed)4 = Ee) 25= E f)1 = E AL - 117S se determine valoarea expresiei 3 32 14 20 2 14 20 + + = E a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5f) 0 AL - 118S se determine valoarea expresiei ( )( )Z = n , En nn n312 121127 19 279 9 a) 672 b) 13 2nc)3 2 d) 233 2+ne) 1f) 2 AL - 119S se simplifice fracia: ( ) ( ) ( )2 2 23 3 33z x z y y xxyz z y xF + + + += a)z y x F + = b)z y x F + + = c) 2z y xF+ += d)1 + + + = z y x F e) 23 + + +=z y xF f) 21 + + +=z y xF AL - 120Care este mulimea valorilor reale ale lui x pentru care avem ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 x x x x x = +? a){ }x 0 1 , b){ }x 3 4 , c)| |x 0 1 , d)| |x 1 2 , e)| |x 2 3 , f)| |x 0 2 , Elemente de algebr41 AL - 121 Pentruy x s se determine valoarea expresiei ( )( )( )3233532 333 2 3 533 2 2y xyy y x y x xy x y xE + ++ = a) 1b)y x + c)y x d) 32x e) 3131y x + f) 32y AL - 122S se rezolve ecuaia11 02 222xa xax = ,cua a > R , 0 , dat, n mulimeanumerelor reale. a){ }x a a ,b)| | { }x a a , \ 0 c)| ){ }x a + , \ 0 d){ } ( |x a a 0, e)( )x + 0,f){ } | )x a a + ,AL - 123Fie ecuaia( )x m x m m21 1 0 + = , R .S se determine m astfel nct x x x x1 231 239 3 + + = . a){ }m 1 3 ,b){ }m 5 8 ,c){ }m 1 6 ,d){ }m 3 8 ,e){ }m 2 9 ,f){ }m 2 9 , AL - 124S se rezolve ecuaia ( ) ( )x x xn nn+ + = 1 15212 22. a) xnn= +5 15 1b) xnn= +2 12 1 c) xnn= +2 12 1 d) xnn= +5 15 1e) xn nn n= +5 25 2f) xn nn n= +5 25 2 AL - 125Fie( )21, f x x mx = +( )22 1 x x mx g = + +i( )22 2. x x mx h = + +S se determine parametrulmR astfel ca toate rdcinile ecuaiei: ( ) ( ) ( )3 3 3f x g x f x + =42Culegere de probleme s fie reale. a)mR;b)( | | ) , 1 1, m ;c)( | | ) , 2 2, m d)( | | ) , 3 3, m e)( | | ) , 4 4, m ;f)m AL - 126S se determine toate soluiile reale ale ecuaiei x x x x + + + = 3 4 1 8 6 1 1. a){ }x 2 510 , ,b)| |x 510 , c) { } 10 , 5 x d)| |x 15 ,e)( )x + 5, f)( )x 510 , AL - 127S se determine numrul rdcinilor reale ale ecuaiei0 3 23 2 2= + x x . a) o rdcin real b) dou rdcini realec) trei rdcini reale d) nici o rdcin real e) patru rdcini reale f) ase rdcini realeAL - 128S se determine toate soluiile reale ale ecuaiei x xx221 110 + = . a){ }x 11 , b){ }x 2 11 , , c) x d){ }x R \ 0e)( | { }x , 1 1f){ }x 11 0 , , AL - 129S se calculeze valoarea expresieiE= + + x x x x 2 1 2 1 , pentru | |x 1 2 , . a) E=+ 1 x b) E= + x x23 4 c) E= 2 d) E= 32x x e) E= 6 22x x f) E( )= 2 2 x AL - 130S se determine valorile luiR mpentru care ecuaia Elemente de algebr43 mx x mx x x2 21 1 + + + + =are soluii n R i s se determine aceste soluii. a) | | 7 , 5 ;41 = x m b)| )m x `) +12182 , ; ,c)||.|

\|++ = ,27 1;41x md)| )m x = +142 ; , e){ }m x |\

|.|14142 3 , ; ,f){ }m x = 234 6 ; , AL - 131Fiind date funciile| | | | 1 , 1 1 , 1 : , g fdefinite prin ( )| |( | =1 , 0 ,0 , 1 ,2x xx xx f i( )| |( | =1 , 0 ,0 , 1 ,2x xx xx gs se determine funcia h g f = . a)f h = b)g h = c) 2f h =d) 2g h = e)fg h = f)( )| |( | =1 , 0 ,0 , 1 ,42x xx xx hAL - 132Fie R R : , g f( )< + =2 dac , 5 22 dac , 3x xx xx f i( )> + +=0 dac , 70 dac , 12x xx xx gAtunci( )( ) x g f este : a)( )( )( |( |( |( ) + + + =, 5 19 25 , 0 , 40 , 1 , 7 21 , , 222x xx xx xx xx g f b)( )( )( |( |( ) +=, 5 , 115 , 0 , 4 20 , , 22x xx xx xx g f c) ( )( )( |( |( ) =8 , 0 , 19 20 , 1 , 41 , , 22x xx xx xx g f d)( )( )( |( ) + +=, 5 , 45 , , 7 22x xx xx g f e)( )( )( |( ) =, 1 , 19 21 , , 22x xx xx g f f)( )( )( |( ) =, 5 , 19 25 , , 22x xx xx g f 44Culegere de probleme AL - 133FieR R : f ; ( )( )| )+ =, 2 3 22 , 1x xx xx fS se determine inversa acestei funcii. a)( ) R + =x x x f 11b)( )( )( ) | )+ + +=, 1 3211 , 11x xx xx f c) ( ) R =x x x f ;1d)( )( ) ( |( ) + +=, 1 , 11 , 3211x xx xx fe)( )( )| )+ =, 23 212 ,111xxxxx f f) funcia nu este inversabil AL - 134S se precizeze care din rspunsurile de mai jos este corect pentru funcia R R : f , ( )> + =6 , 26 , 4 2x xx xx f a) f nu este inversabil; b) f este inversabil i( )> +=8 , 28 ,241y yyyy f c) f este inversabil i( ) y y f =1d) f este inversabil i( ) 21 =y y f e) f este inversabil i( )241+=yy ff) f este inversabil i( ) >+=8 , 28 ,241y yyyy f AL - 135Determinai valorile luiR apentru care funciaR R : f , Elemente de algebr45 ( ) ( ) 1 2 1 1 + + + = a x a x x a x feste inversabil i determinai inversa ei. a)( )>+= =1321;211xxx xx f ab)( )>+ + + + =0 ,0 , 12x m xx mx xx f s fie strict descresctoare pe R. 46Culegere de probleme a) m b)R m c)( ) 0 , md)| | 1 , 0 m e)( ) 2 , 1 m f)| ) , 2 m AL - 138Pentru ce valori ale luimR , graficul funcieif : R R , ( ) ( )f x me m ex x= +1 , taie axa Ox ? a)( )1 0 , b) |\

|.|112, c)( ) ( ) + , , 1 0 d)( ) + 5, e)( ) ,2 f) R AL - 139S se rezolve ecuaia: 3 2 2 3 2 232+|\

|.| |\

|.| =x x. a) x = 1 b) x = 2c)( )x =+2 23 2 2lglg d) x e)( )x =2 23 2 2lglg f) x = 2 2 lg Culegere de probleme 46 AL - 140S se rezolve ecuaia:( ) ( )1 2 3 2 2 2 + + =x x. a) x x1 20 1 = = , b) x x1 20 2 = = ,c)( )( )x1 23 5 23 2 2,ln lnln= d)( )( )x1 23 2 2 23 5,ln lnln= e)( )x x1 201 521 2= =++,lnln f)( )x x1 202 2 33= =,lnln AL - 141Determinai valoarea lui x pentru care2 = +x xe e a) 1b) 1c) 2d) 0e) 2f) ln2 AL - 142n care din urmtoarele mulimi se afl soluia ecuaiei 1 221212 3 3 4+ = xx xx a)( )2, e e b)( ) 1 , 1 c)( | 7 , 3 d)( | 3 , 1 e)( ) 1 , 0f)( ) 11 , 9 AL - 143S se rezolve ecuaia x x x x9 6 3 2 = a)01 = xesteb)01 = x c)01 = x unica soluie3 log 1122= x2 log2 = x d)01 = x e)01 = x f)01 = x 1 3 log2 2+ = x 3 log122 = x 3 log2 2 = x Elemente de algebr 47 AL - 144Determinai funciaR R : f , astfel nct( ) x f y =s fie soluie a ecuaiei x e ey y= . a)( ) x x f ln =b)( ) ( ) 4 ln2+ + = x x x f c)( ) ( ) x x x f + = 1 ln2d)( )24ln2+ =x xx f e)( )24ln2+ +=x xx f f)( )24ln2+ =x xx f AL - 145Determinai mulimea A creia i aparine soluia ecuaiei 1212 62821 33=|.|

\| xxxx a)( ) 8 , 2 = A b) ((

\|= 16 ,21A c)( ) 9 23, A = d)| ) 0 , 2 = A e) ((

=21, 0 A f)( ) 1 , 0 = A AL - 146S se determine valorile luiR mpentru care ecuaia ( )( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 1 1 3 = + x x xm x m x m x xcu condiiile1 + > m xi 2mx > are trei rdcini reale i distincte. a) m b)R m c) )` 21,23\ R m d) )`|.|

\| 23\32, m e) |.|

\| 21, m f) |.|

\| ,21m Culegere de probleme 48 AL - 147S se rezolve inecuaia:1332|\

|.|>+xx. a)( )4,+ b)| ) 2 1 , c)( )0 10 , d)( )1,+ e)( )2,+f)( )11 , AL - 148S se determinemRastfel nct inegalitatea 0 13294x x> +|.|

\||.|

\|ms fie adevrat pentru oricex < 0 . a) mb)( )m 2 2 , c)| |m 2 2 , d) ) , 2 [ + m e) m< 2 f) 2 m AL - 149Care este soluia sistemului de inecuaii:133 19 112++xx? a)( )| |log , log3 32 3 17 + b)( )log , log3 31 23 172++

(((c)( )3,+ d)( )2 3 , e) ( )(((

217 3log , 2 1 log3 3f)| |1 53, log AL - 150S se rezolve inecuaia:xx xx|.|

\|+ >3212 32 21. a)||.|

\|21 5log , 032xb)||.|

\|+21 5log , 032x c) ) 1 , 0 ( x d) ( ) ) 1 5 ( log , 032 x e) ( ) ) 1 5 ( log , 032+ xf) ) 1 , 1 ( x Elemente de algebr 49 AL - 151S se rezolve inecuaia:( )x xxx< . a) 012,|\

|.| b)( ) ( )0 1 4 , , +c)( )0 2 , d)( )0 3 ,e)( ) ( )0 2 6 , , +f)( ) ( )0 3 5 , , + AL - 152S se rezolve ecuaia:( )( )loglog2222 5812xx= . a) x x1 21133 = = , b) x x1 21133 = = ,c) x1113= d) x13 = e) x x1 21133 = = ,f) x19 = AL - 153Care este soluia ecuaiei: 2 3 11313+ + = log log x x ? a) x b) x = 3 c) x =13d)| )x + 9, e) ( ) 9 , 0 = xf) x |\

|.|139 , AL - 154S se precizeze domeniul maxim de definiie al funciei: ( )f xxx=log23 21. a)( ) +|\

|.|, , 132 b)( ) | ) + , , 1 2c)| )2,+ d)( )1,+e) ( | ( ) , 4 2 , 0 f) ( | | ) , 2 0 , Culegere de probleme 50 AL - 155S se determine domeniul maxim de definiie al funciei: ( )( )f xx xx x= + ln 2 1422. a) ( ) |.|

|.|

\| , 3 2 ,210 ,41 b) ( ) 4 , 223, 121, 1 |.|

\||.|

\| c) ( ) ( ) |.|

\| , 221, 0 0 , 1 dd) |\

(( |\

|.| |\

|.|112140 012, , , e) R \ , 014|\

|.|f){ }R \ , 0 1 AL -156S se determine domeniul maxim de definiie al funciei

( )f x x xx= log log 33. a)( )0,+b)( )1,+c)( )0131 , ,|\

(( + d) 012231 , ,|\

((

|.| e)( ) ( )0 1 2 , , + f)( )1 2 , AL - 157Fiex x x1 2 3, ,trei numere din intervalul (0,1) sau din intervalul ( )1,+ . Precizai care este valoarea minim a expresiei E= + + log log logx x xx x x x x x1 2 32 3 1 3 1 2. a) 1b) 0c) 3d) 6e) 3f) 6 Elemente de algebr 51 AL - 158tiind c log40100 = a , s se aflelog1625n funcie de a . a)3 22 4aa++ b)3 12aa++ c)3 12 3aa+ d)3 24 2aa e)3 42aa+ f)3 42aa+ AL - 159Dac a = log303ib = log305 , s se calculezelog3016n funcie de a i b . a) ( )4 1 a b b) ( )4 1+ a b c) ( )2 1 + a b d) 2 1 a b +e) ( )2 2 1 a b f) ( )2 2 1 a b + + AL - 160Mulimea soluiilor ecuaiei 5log 2 log22x xxx+ =este: a) ;b) 1, 22 ` );c){ } 2, 4 ;d) 1, 24 ` );e){ } 2, 5 f) 1, 25 ` ) AL - 161S se rezolve ecuaia:( )( )log logxxx x x22 2 42+ + + = . a) x = 1 b) x = 1 c) x = 3d) x = 4e) x = 2f) x = 8 AL - 162S se rezolve ecuaia: a x a ax a log log, ,6 65 6 0 0 1 + = > . a) x xa a 1 23 2 = = log , logb) x xa a13226 6 = =log log,c) xa= 623log d) x xa a 1 23 2 = = log , log e) xa= 632log f) x a x a1 6 2 63 2 = = log , log Culegere de probleme 52 AL - 163S se rezolve ecuaia:( )log logloglog2 41613 293+ = x xx. a) x = 3b) x = 1 c) x =163 d) x =316 e) x =13 f) x = 3 AL - 164S se determinemRastfel nct ecuaia( )m xx++=lglg 12s aib o singur soluie real. a) m b) m< 0c) m= 1d) m= lg2 e) m= lg4f) m= lg6 AL - 165S se determine valoarea parametrului ntreg m astfel nct ecuaia log log log13213133 2 3 4 7 6 0 m x m x m |\

|.|| |\

|.||+ = s aib o rdcin dubl. a) m= 1b) 2 = m c)33= m d) 4 = m e) m= 9 f) m= 9 AL - 166Rezolvnd ecuaia:( )| |( )log log log loglog log3 2 4 94 221xx=

(((,

s se stabileasc n care din urmtoarele intervale se afl soluia acesteia. a) ( | 2 , 1 b) | | 3 , 2 c) | ) 4 , 3 2 d) | ) 5 , 4 e) | | 18 , 5 f) ( ) + , 18 AL - 167S se determine valorile lui0 > mpentru care funcia ( ) 4 log 3 log21log21212 + = m m x x x fm este definit pe R . a) 4 = mb)|.|

\| 5 ,21mc)|.|

\|+ ,31m d)|.|

\|41, 0 m e)41= m f) mElemente de algebr 53 AL - 168Fiind dat expresia: ( ) ( ) x x x x Ex x 2 2 2 2log 2 log 2 log log 2 log 2 log + + + + =, s se determine toate valorile luiR xpentru careE = 2 . a) | ) + , 1b) | | { } 3 2 , 1 c)((

2 ,21 d) { } 1 \ 2 ,21((

e) | |)`23\ 2 , 1f) ( ) ( ) + , 3 2 , 1 AL - 169S se rezolve ecuaia 3 22 lg 2 lg = + x x. a) x=10 b) x=100c) x= 1000 d) x=1e) x=2 f) x=3 AL - 170Fie| ) + |.|

+ , 0 ,21: f ,( ) 1 , 1 1 2 log ) ( > + = a x x fa S se rezolve inecuaia5 ) (1x f , unde 1 feste inversa funcieif . a) | | 4 , 2 x b)| | 2 log , 0ax c) | | 4 log , 0ax d) | | 1 , 0 x e) | | 3 log , 1ax f) | | 8 , 5 x Culegere de probleme 54 AL - 171Fiind date funciileR R : f ,( )( |( ) + +=, 0 ,0 , , 3 22x x xx xx fi( )( )| |( ) = , 1 , ln1 , 1 , arcsin1 , ,, :2x xx xx ex g gxR R , s se determine soluia din intervalul( | 0 , 1 a ecuaiei( )( ) 0 = x f g . a)1 = x b)0 = x c) 21 = xd) 32 = x e) 41 = x i21 = xf) Nu exist. AL - 172Se consider inecuaia:1 , 0 ,43log log log4 2 > + a a x x xa aa i se noteaz cuMaM12012= |\

((,mulimea tuturor soluiilor sale. Care dintre urmtoarele afirmaii este adevrat ? a)b) M1212= +|\

|.|,c) M1212= +

|.|, d)|.|

\| = ,4141Me)( )M1105 = + ,f)( )M22 10 = , AL - 173S se rezolve inecuaia:log31 x < . a)( )x 0 1 ,b) x |\

|.|1313,c) x |\

|.| |\

|.|313133 , , Elemente de algebr 55 d) x |\

|.| +|\

|.|, ,1313 e)( )x + 3,f)( )x 3 3 ,AL - 174Fie( ) ( )P x x x y y y aa a= + > 23 8 0 0 1 log log , , , . S se determine toate valorile luiy astfel nct ( )P x > 0 , oricare ar fiR x . a)( )y a a 4 8,b)( )y a a 8 4,c) | | a a y ,8 d)( )y a ,2e)( )y a a 3,f)| |y a a 2, AL - 175S se determinemRastfel nct sistemul = ++ = +y xm y xyxxyy xlg lg210 log10 log10 log10 log101lg lg s admit soluii reale. a) ] 10 , 0 [ mb) ) 0 , 99 ( mc) ) 0 , 81 [ m d) ) 100 , 10 ( m e) ) 100 , ( m f) m AL - 176Se consider funcia) , 1 ( : + R f , < =0 ,0 , 1) (x xx ex fx. Calculai inversa sa, 1 f . a) + +=) , 0 [ ,) 0 , 1 ( ), 1 ln() (21x xx xx f b) + =) , 0 [ , 2) 0 , 1 ( ), 1 ln() (1x xx xx f c) + =) , 0 [ ,) 0 , 1 ( , ln) (1x xx xx fd) + +=) , 0 [ , 1) 0 , 1 ( ), 1 ln() (221x xx xx f Culegere de probleme 56 e) + +=) , 0 [ ,) 0 , 1 ( ), 1 ln( 2) (21x xx xx ff) + + =) , 0 [ , 1) 0 , 1 ( , ln) (221x xx xx f AL - 177S se rezolve inecuaia:log log logx x x2 2 22 42 > . a)( )x |\

|.| +12 21213, ,b)( )x 2 1 ,c) ( ) |.|

\| , 1 1 ,21x d)( )x + 1,e) ( ) |.|

\| , 121,2 31xf)( )x 0 1 , AL - 178Se consider expresia ( )E x xx= + log log44. Determinai valorile luix Rastfel nct ( )E x n3{ neste adevrat. a) N; } { } 1 , 0 5 n b)c){0,1} d){ } { n 1 , 0 N ;} 10 n e){ nN;} { } 12 \ 10 n f) N AL 184S se determine mulimea tuturor numerelor naturale pentru care urmtoarea inegalitate ( )( ) + > < N n a a a a a an n n, 1 ,3 2 1 29 5 7 3 5 1 , este adevrat. Culegere de probleme 58 a){ } 3 , n n N b) N n c){ } 5 , 4 , 3 \ N n d){ } k n n 2 : = N e) n f){ } 1 2 : + = k n n N AL - 185S se determine numrul de elemente ale mulimii ( ) ( ) )` . a)( ) ( |A= , , 3 11b){ }A= 5 6 7 , , c)| |A= 1 7 , d){ }A= 8 9 10 , ,e)| | { }A= 3 2 1 2 , ,f){ }A= 1 2 3 4 , , , AL - X. 199S se rezolve inecuaia:C Cx x 316324 + , precizndu-se care din urmtoarele intervale coninesoluia. a) 012,

((b)121 ,|\

((c)((

1 ,43d)((

\|1 ,65e)| |7 14 , f)| )14,+ AL - X. 200S se precizeze soluia sistemului : A AC Cxyxyxyxy==+105311 . a) x y = = 23 14 ,b) x y = = 20 5 ,c) x x = = 17 8 , d) x y = = 12 3 ,e) x y = = 10 2 ,f) x x = = 8 5 , AL 201S se determine numerele naturale x i y , astfel nct numereleyxyxyxC C C , ,111 s fie n progresie aritmetic, iar numerele yxA ,111,+++ yxyxA As fie n progresie geometric. a) x = 1, y = 3;b) x=3, y = 1;c) x = y = 3; d) x = 3, y = 21;e) x N *1 , , ,..., ,1 2 1++n a a a an n, y = 1;f) x = 4, y = 2 AL 202Fie numere reale n progresie aritmetic de raie r. S se calculeze suma:( )=+nkkknka C011 . a) rb a1c) 1d) 0e) nf) 2n Culegere de probleme 62 AL - 203S se determine al patrulea termen din dezvoltarea binomului xxn+|\

|.|13, n ipoteza c 2 2 240 02n nn = , N . a) 4x b)4 xc)63xd) 63x e) 4 f)22xAL - 204S se precizeze termenul care nu conine pe x din dezvoltarea binomului ax xa a x ++|\

|.||121230, ,*R . a) C a3010 15b) C a305 7c) C a307 5d) C a304 12e) C a3015 14f) C a308 8 AL 205n dezvoltarea binomuluinxx||.|

\|+421,n N , n 2,x +R , coeficienii primilor 3 termeni formeaz o progresie aritmetic. S se determine termenii raionali ai dezvoltrii. a) T1; T7; T9;b) T1; T5; T9;c) T2; T4, T8; d) T1; T3; T7;e) T2; T6; T8;f) T1; T3; T5nxxxa|.|

\|+1log. AL 206Determinaix din expresia, (a > 0, a 1) tiind c suma coeficienilor binomiali ai dezvoltrii este 128, iar al aselea termen al dezvoltrii este egal cu421a. a) x1 = 3a , x2 = a2 b) x1= 2a , x2 = a3c) x1 = 2a -1 , x2 = a-3 d) x1 = 3a, x2 = a -2 e) x1 = a, x2 = a4f) x1 = a 1, x2 = a- 4 Elemente de algebr 63 AL - 207Ci termeni care nu conin radicalisunt n dezvoltarea binomuluix x2 3 416+|\

|.|? a) Un termen b) Doi termeni c) Trei termeni d) Nici unul e) ase termenif) Patru termeni AL - 208Care este expresia termenului din dezvoltarea binomului aa33313+|\

|.||, care conine pe a4187347a ? a) b) 286347ac)107345ad) 286343ae) 202347af) 200344a AL - X. 209Care este termenul din dezvoltarea binomuluixyyx3321+|\

|.||, n care exponenii lui x iysunt egali ? a) T13 b) T10 c) T6 d) T8 e) T15 f) T112 21 x xn+|\

|.|

AL - X. 210n dezvoltarea binomului, suma coeficienilor binomiali ai ultimilor trei termeni este egal cu 22. S se afle valorile lui x pentru care sumadintre termenul al treilea i termenul al cincilea este egal cu 135. a) x x1 21 2 = = ,b) x = 2c) x x1 21 2 = = , d) x x1 21 2 = = ,e) x = 1 f) x x1 21 1 = = , Culegere de probleme 64 AL - X. 211n dezvoltarea binomuluixxn+|\

|.|13, suma coeficienilor binomiali este cu 504 mai mic dect suma coeficienilor binomiali din dezvoltarea binomului ( )a bn+3. S se afle termenul al doilea al primei dezvoltri. a) 3xb) 33xc) 3 13xd) 32 3xe) 3 f) 32x AL - 212S se determine termenul ce nu conine pe a din dezvoltarea binomului 0 ,1174 33 2||.|

\|+ a aa a)310 . 24817 9= = C T b)12376617 7= = C T c)6188517 6= = C T d)17117 2= = C T e)136217 3= = C T f)680317 4= = C T AL - 213S se gseasc rangul celui mai mare termen din dezvoltarea ( )1 0 1100+ , . a) 9b) 10c) 11d) 20e) 30f) 22 AL - 214Determinai valoarea celui mai mare coeficient binomial al dezvoltrii binomului ( )a bn+ , dac suma tuturor coeficienilor binomiali este egal cu 256. a) 1b) 8c) 60d) 70e) 28 f) 7 AL 215S se determine coeficientul lui x23 din dezvoltarea lui (x2 + x + 1)13 . a) 0b) 13c) 21d) 442e) 884 f)169 Elemente de algebr 65 AL 216S se afle coeficientul luix12 din dezvoltarea (10x2 +15x 12) (x+1)1551513C . a)b) 51514C c) 51515C d) 51520C e) 51525C f) 51530C AL - 217tiind c suma coeficienilor binomiali ai dezvoltrii 1) 1 ( ) 1 (++ + +n nx xeste 1536, s se calculeze coeficientul lui 6xdin aceast dezvoltare. a) 295 b) 294 c) 320d) 293 e) 128f) 200 AL - 218Calculai 22 122 11 1 + + = z z z z Epentru numerele complexe z1 i zz2 (fiind complexul conjugat numrului z). a)( )22212 z z + b)( )22 11 2 z z +c)( )( )22211 1 2 z z + d) 22 12 z z e)( ) ( ) 1 12121 + z z f)( )22211 2 z z + AL - 219S se gseasc valorile reale ale lui m pentru care numrul ( ) ( ) 1 5 1 2 32 41 42 43real este = + + i i m mi i . a)1 = m b)2 = m c) 25 = m d)3 = m e)1 = mf)0 = m AL - 220S se calculeze valoarea expresiei 1996 19961111|.|

\|++|.|

\|+=iiiiE . a) ib) 2c) id) 2e) 2if) 2i Culegere de probleme 66 AL - 221Precizai partea imaginar a numrului complex ( )i iiiii ++++ 263 4 123 412. a)i1023 b)i1029 c)i1019d)i1310e)i1033 f)i3310 AL - 222S se determineR astfel nct numrul complex ( )ii13 1+ + s fie real. a) 23 1 b) 42 3 + c) 41 3 + d) 41 3 2 + e) 43f) 32 1+ AL 223Fie z1,z22 12 1z zz ziy x+= + Ci,, xy RAtunci avem: a)22 12221z zz zx+= ,22 122 1z zz zy=b) 22212221z zz zx+= ,22212 12z zz zi y= c)22 12221z zz zx++= , 22 12 1 2 1z zz z z zi y++=d)22 12221z zz zx= ,22 12 1 2 1z zz z z zi y=e)22 12221z zz zx=, 22 12 1 2 1z zz z z zy= f)22 12221z zz zx= , 22 122 1z zz zy= AL - 224S se calculezezdac 42 2 2 2|.|

\| + + = i z . a) 1b) 2c)2 d) 16 e) 4f) 6 Elemente de algebr 67 AL 225O ecuaie de gradul al doilea cu coeficieni reali care are ca rdcin numrul complex 20081 31 3ii+| | |\ . este: a) 21 0 z z + + = ;b) 21 0 z z + = ;c) 22 2 0 z z + + = ; d) 22 2 0 z z + = ;e) 21 0 z+ = ;f) 23 0 z+ = AL - 226S se determine numerele complexe z astfel nct 0 3 8 422= + z z . a) z i `)132, b) zi`)1 32c) z i `)3212, d) z i `)1232,e) z ii `)12 52,f) zi i +`)3 222 5372, , AL 227S se precizeze cu care din valorile date mai jos este egal( )( )zii=+1197. a) z i =+ 1 b) z = 2c) z i = 1d) z i = e) z i =f) z i = + 2 AL - 228Creia din mulimile de mai jos aparine = +zzzz ,pentru

{ }z C \ 0 ? Nb) Z c) Q d) R e)C R \f) { }R \ 0 AL - 229S se determine toate numerele complexez Ccare verific ecuaia Culegere de probleme 68 i z z 2 1+ = . a) z i = +12 b) z i z i1 212322 = + = ,c) i z z 223, 02 1+ = = d) z i = 322e) z z i1 2012= = + ,f) z i = +523 AL - 230S se afle numerele complexe { }z x iy x y = + , , \ R 0 , de modul2 , astfel nct ( )x iy +23 s fie pur imaginar. a){ }z i i 1 1 ,b) ( ) ( ))` 3 122, 3 122i z c) ( ) ( ))` 5 133, 5 133i i zd) ( ) ( ))` i i z 322, 322 e) ( ) ( ))` 2 233, 2 233i i zf) ( ) ( ))` i i z 533, 533 AL - 231Fiea +Riz C , astfel nct zza + =1. S se determine cea mai mare i cea mai mic valoare posibil a luiz . a)a a + +2420 ,b)a,0 c)a a a a + + + 2 24242, d) 2 4 4 22 2+ + + a a , e)a a a a2 2424 12+ + , f)34 4a a,Elemente de algebr 69 AL - 232Fie z un numr complex astfel nct 2 2b a a z = , unde,0 > > b a . S se calculeze z bz b+. a) ab) ab 1 c) b ab a+d) 2 22 2b ab a+e) ab+ 1 f) b ab a+ AL - 233Fie aC . S se calculeze valoarea expresiei ( ) ( ) ( ) i a iia i a a E + + + + + = 14112 21 22 2. a) 1- a b) 1+a c) a d) 2a e) 1 f) 0 AL - 234Fie = + cos sin2323i . S se calculeze : ( )( ) ( )E = + + + 1 1 12 1997 ... . a) E = 1b) E = 2 c) E = 2663d) E = 21997e) E = 2665f) E = 4 AL - 235PentruR C\ xcare satisface ecuaia 11 = +xx , s se calculeze valoarea expresiei 3333331xx E + = . Culegere de probleme 70 a) E=1b) E=2c) E=-3 d) E=ie) E=2if) E=3i AL - 236Fie i rdcinile ecuaiei0 12= + + x x . S se calculeze 2000 2000 + . a) 1b) 0c) 1 d)3 ie)3 i f) 2 AL - 237Fie z un numr complex de modul 1 i argument . S se calculeze expresia nnzz21+ , (n N ). a) n cos 2 b) n cos c) n sin 2 d) n cos 21e) n cos1f) n sin 21 AL - 238Precizai care din valorile de mai jos sunt rdcinile ecuaiei z i z22 3 5 0 = . a) z i = 2 3b) z i = + 2 3 c) z i = 3 2 d) z i = 2 2e) 2 3 i z =f) z i = 3 3 AL - 239Soluiaecuaiei ( ) ( ) 0 1 5 2 52= + + i z i z este: a)2 , 3 i i ;b)i i 2 , 3 ;c)i i 3 , 2 ; d)i i 3 , 2 ;e)i i 1 , 2 5 ;f)i i 3 , 2 Elemente de algebr 71 AL - 240Se consider ecuaia ( ) ( )2 7 4 6 02 + + + = i z i z mi , n carez Ceste necunoscuta, iar m este un parametru real. S se determine valorile lui m pentru care ecuaia admite o rdcin real. a))` 533, 12 mb) m= 32c){ }m 2 5 ,d) m`)12334,e) m`)0335,f) m`)2312,AL - 241Formai ecuaia de grad minim, cu coeficieni reali, care admite cardcini i rdcinile ecuaiei :z z i23 2 5 2 0 + + = . a) z z z3 26 2 2 27 0 + + =b) z z z z4 3 26 2 28 30 2 27 0 + + = c) z z z z4 3 22 2 4 6 2 27 0 + + =d) z z z4 22 28 27 0 + + = e) z z z4 3 22 28 27 0 + =f) z z z4 26 2 30 2 27 0 + + = AL - 242Se d ecuaia ( ) ( ) 0 3 1 2 3 5 22= + + + i z i z .Fie o rdcin a ecuaiei pentru care, , = 1. S se determinex Rastfel nct s aib loc egalitatea =+ixix11. a) 31 = x b) 31= xc) 3 = xd)3 = x e) 32= xf) 32 = x AL - 243Rdcinile ptrate ale numrului complex 3+4i sunt : a) 2+i,2-i ;b) 2+i, -2-i ;c) 2+i, -2+1 ; d) 2-i, -2+i ;e) 1+i, 1-i ; f) 1+i, 2+i AL - 244Pentruz C s se determine soluiile sistemului Culegere de probleme 72 = + += 1114 22i zi zi z. a)i z z = = 1 , 12 1b)i z i z + = = 1 , 12 1 c)0 , 12 1= = z i z d)i z z + = = 1 , 02 1e)0 ,2 1= = z i z f)i z i z + = = 1 ,2 1 AL - 245S se calculeze rdcina ptrat din numrul complex ( ) 1 , 4 3 = + = i i z . a)i i + 2 , 2 b)i i 2 1 , 2 1 + + c)i i 2 1 , 2 1 + d)i i + + 2 , 2 e)i i 2 1 , 2 1 f)i i 2 1 , 2 AL - 246S se calculeze rdcinile de ordinul n=3 ale lui iiz+=11. a)1 , ,3 2 1= = = z i z i z b)i z z z = = =3 2 1, 1 , 1 c)( ) ( ) i z i z i z = + = + =3 2 1, 321, 321d),3 2 1i z z z = = = e)( ) ( ) i z i z i z = + = + =3 2 1, 3 121, 3 121f), 13 2 1 = = z z z AL - 247S se determine toate rdcinile complexe ale ecuaiei z481 0 + = . Elemente de algebr 73 a)( ) ( )3 2213 221 i i , b)( ) ( )321321 i i , c) ( ) ( )2 1 2 1 i i , d)( ) ( )2 1 2 1 i i ,e) 2 2 i i ,f) 3 3 i i , AL - 248Fie mulimile : { })`< = = =32arg | , 1 |*z z B z z A C C { }; 1 1 | + = z z C C{ }; 2 | = i z z D C { } 2 Im | = = z z E C ,)`< < =45arg32|* z z F C S se precizeze care dintre urmtoarele afirmaii sunt corecte. a) A este discul de centru 0 i raz 1; b) B este mulimea punctelor din semiplanul y>0, c) C este cercul de centru A(-1,0) i raz 1; d) D este cercul de centru A(0,1) i raz 2 e) E este o dreapt paralel cu axa Oy; f) F este |.|

\|AOB Int unde ||.|

\|23,21Ai||.|

\| 22,22B Culegere de probleme 74 AL 249S se determine modulul i argumentul pentru numrulcomplex: z = cos a +sin a + i(sin a- cos a). a)4arg , 2= = z z b)4arg , 2 = = a z z c) 4arg ,2cos 2= = zaz d) 4arg ,2cos 2 = = a zaz e) 4arg , 2= = z z f) 4arg , 2 = = a z zAL 250S se scrie sub form trigonometric numrul complex : z = 1+ cos - i sin , unde(0,). a)((

|.|

\| +|.|

\| =2sin2cos2cos 2 i z b)|.|

\|+ =2sin2cos cos i zc) ( ) sin cos2cos 4 i z + =d)2sin2cos i z + =e) ( ) sin cos cos i z + = f) |.|

\| =2sin2cos cos 2 i z AL 251Determinai partea real a numrului complex( ) cos sin 23 1iiz+= . a)|.|

\| = 37sin Re z b)|.|

\|+ = 67cos Re z c) 35cos Re= zd)|.|

\|+ = 67sin Re z e)|.|

\|+ = 4cos Re zf)|.|

\|+ = 4sin Re z AL 252S se determine modulul i argumentul redus pentru numrul complex: 1613 1||.|

\|+=iiz . a) 32arg , 2= = z zb)32arg , 2= = z z c)3arg , 2= = z z Elemente de algebr 75 d)3arg , 2= = z z e)32arg , 28= = z zf) 3arg , 28= = z z AL 253S se scrie sub formaz = x + iy numrul complex : ( )733 3iiz+=. a) ( ) 3 1237i + b) ( ) 3 11281i c)2221i d)ie) ( ) i + 31281f) ( ) i 31281 AL 254S se determine numrul complex:( ) ( )n ni i Z 3 1 3 1 + + = , nN . a)3cos 2 nZn= b)3sin 21 nZn+= c)3cos 21 nZn+= d)3sin 2 nZn=e)|.|

\|+ =+3sin3cos 21 ninZn f)|.|

\| =+3sin3cos 21 ninZn AL 255tiind c cos 21= +zz .S se calculeze expresia:nnzz E1+ = , nN*. a)E = 2cos n b)E = 2isin n c)E = 2sin nd)E = cos n e)E = 2icos n f)E = sin n AL 256Se noteazcu z1 i z2 rdcinile complexe ale ecuaiei: z3 ( )n nz z n E2 1 + =+1=0. S se determine valorile posibile pe care le poate lua expresia: , cnd n ia valori ntregi pozitive. a)( ) { n n EN } { } 1 , 0 = b) ( ) { n n E N } { } 2 , 1 , 0 = c) ( ) { n n E N } { } 2 , 1 = d) ( ) { n n E N }=Z e) ( ) { n n E N } { } 2 = f) ( ) { n n E N }=N Culegere de probleme 76 AL 257S se determine toate soluiile ecuaiei1 =nz z , oricare ar fi numrul natural n > 2. a)z = 1+ ib)z = 1 ic)z = i d)z1 = 0, z21 , 0 ,2sin2cos , 01 + = = n knkinkz zk = i e) f) 3 1 , 3 12 1i z i z = + = AL 258S se determine rdcinile kz ,5 , 0 kale ecuaiei: z65 , 0 ,11sin11cos = + = kkikzk = i. a) b) 5 , 0 ,121 4sin121 4cos =+++= kkikzk c) 5 , 0 ,7sin7cos = + kkikzk d) 5 , 0 ,52sin52cos = + = kkikzk e) 5 , 0 ,13sin13cos = + = kkikzk f) 5 , 0 ,121 2sin121 2cos =+++= kkikzk AL 259Fie o rdcin complex a ecuaiei: zn = 1, nN * 1 2... 3 2 1+ + + + =nn S , n > 2. S se precizeze valoarea expresiei: . a) 11=S b) =11S c) 1 =nSd) =1nS e) = n S f) 1 = nS AL 260S se determine rdcinile ecuaiei:t i tixixnsin cos11+ =|.|

\|+ n care nN*1 022 =+= n , k ,nk ttg xk,x,tR. a) b)1 , 0 ,2 =+= n knk ttg xk Elemente de algebr 77 c)1 , 0 , =+= n knk ttg xkd)1 , 0 ,22sin =+= n knk txk e)1 , 0 ,22cos =+= n knk txkf)1 , 0 , sin =+= n knk txk AL 261Precizai numrul maxim de rdcini comune ale ecuailor:z8 = 1 iz124 1, k , zk= = 1. a) nici unab) unac) dou d) patru e) trei f) opt AL 262Fiesoluiile ecuaiei:i ai aiziz +=|.|

\|+11114,a R* 4 3 2 1z z z z . Care este valoarea produsului ? a) 1b) 2c) 1d) 3e) 3f) 2 AL 263S secalculeze expresia: ( ) ( ) ( )3 2sin cos sin cos 3 sin cos 3 1 t i t t i t t i t E + + + + + + =. a) 23sin23costit+ b) 23cos 8tc) |.|

\|+23sin23cos2cos 83tit t d) 23sin 8te) |.|

\|+23sin23cos2cos3t t tf) 23sin23costit AL 264S se afle afixul celui de al treilea vrf al unui triunghi echilateral, tiind c afixele a dou vrfuri sunt:z1 = 1, z223 123 3 ++i = 2+i. a)b) 23 123 3 ++i c) 3+i Culegere de probleme 78 d)i e) 23 123 3 ++ii 23 123 3 ++i f)i + 1 AL 265Fie M1 , M2 , M3 , M43 21i z =puncte ale cror afixe sunt, respectiv, ,3 22i z + =, i z + = 63,i z = 64. Care din afirmaiile urmtoare este adevrata) M1 , M2 , M3, M4 sunt coliniareb) M1 , M2 , M3 , M4 sunt conciclice c) patrulaterul M1M2M3M4 nu este inscriptibil d) patrulaterul M1M2M3M4 este un ptrat e) M1M2 = M3M4 f) patrulaterul M1M2M3M4 ( )( )N + + + =+ + + + =nnnn nSnnn nS,1 2sin ...4sin2sin1 2cos ...4cos2cos 121 este romb. AL 266S se determine valorile expresiilor: a) S1 = S2 = 1b) S1 = 0, S2 = 1c) S1 = S2 = -1 d) S1 = S2 = 0e) S1 = -1, S2 = 0f) S1 = 0, S2( ) cos sin cos sin1+ + = i z = -1 AL 267Se dau numerele complexe: i ( ) cos sin cos sin2 + + = i z , unde este parametrul real dat. S se gseasc numerele n pentru care ( )nz z2 1esteun numr real i pozitiv. a) n = 3p, p N b) n = 2p, pNc) n = 2p+1, p N d) n = 4p, pNe) n = 4p + 1, p Nf) n = 3p + 1, p N AL 268Numerele complexe z1i z22 1 2 1z z z z = + satisfac relaia: . Care din afirmaiile urmtoare este adevrat ? a) z1 = 0, z2 =1- ib) z1 = z22 1, 0 z z = = 2+3ic)> 0 d) 1z >2i2z>2e) cel puin unul din cele dou numeref)1z >2, 02 = zElemente de algebr 79 are modulul mai mic sau egal cu 2. AL 269Fie z C \{ } 0 , zzzzw + =i Im( w) -partea imaginar a numruluiw. Care dintre afirmaiile urmtoare este adevrat ? a) Im( w)>0b) Im( w)< 0c) daci z = atunciw 0 d)w 0 pentru oricezC \{ } 0 e) daci z =atuncii w =f)wRiexist a,b R astfel nctb az z + =2 AL 270Determinai mulimea tuturor punctelor din plan ale cror afixe z verific relaia: +zz1R . a)axa real mai puin origineab) cercul cu centrul n originei raza 2 c)cercul cu centrul n originei raza 1 d) axa imaginar e) axa real fr origine reunit cu cercul cu centrul n origine de raz 1 f) axa imaginar reunit cu cercul cu centrul n origine de raz 2 AL 271Considerm dou numere complexe z1 , z2 C* 2 1 2 1z z z z =\ R astfel nct: . Ce putem afirma despre imaginile lor ? a) sunt coliniare cu originea b) sunt conciclice cu origineac) coincid d) mpreun cu originea formeaz vrfurile unui triunghi nedegenerat e) imaginea luiz121zcoincide cu imaginea luif) mpreun cu originea formeaz un triunghi isoscel. AL 272Vrfurile A, B, C ale unui triunghi au afixele21 , 1 , 1 z z z + + + , unde |.|

\|+ =32sin32cos i r zcur(0,1) . Precizai poziia originii O (0,0) fa de laturile triunghiului. a)| | AB O b)| | AC O c)| | BC O Culegere de probleme 80 d) O aparine interiorului triunghiului e) O aparine exteriorului triunghiului f) O este centrul cercului nscris n triunghiul ABC AL 273S se calculeze : nt itgt itgE||.|

\|+=11, t R - ( ) + k k ,21 2Z)`, n N*. a) i nti nt+tgtgb) nt int itg 1tg 1+c) nt int ictg 1ctg 1+ d) i nti nt+ctgctge)i nt + ctg f)nt i tg 1+ AL - 274S se calculeze ... ) 1 ( ...2 6 4 2 0+ + + + =knkn n n nC C C C C E a) 4cos 2 nE = b) 6cos 2 nEn= c) 4cos 2 nEn=d) 4sin 2 nE = e) 6sin 2 nEn= f) 4sin 2 nEn= AL 275Dac|.|

\| =20 , , tg a , s se calculeze suma ...7 3 5 2 3 1+ + n n n nC a C a aC C a) 1cos sinsin nnb) nncos sinsinc) 1cos sinsin nn d) nnsin cossine) sin cossinnnf) n nncos sinsin Elemente de algebr 81 AL - 276Se dau matricele ( )||.|

\|=4 , 1 5 , 03 , 0 2A ;( )||.|

\| =53216 , 0 1BS se calculeze matricea C = A + B. a) ||.|

\| =3 21 1C ;b) ||.|

\| =2 05 , 0 1C c) ||.|

\|=1 00 1C d) ( )||.|

\|=0 13 , 0 2C e) ( )||.|

\| =2111 6 , 0C f) ||.|

\|=2 01 1C Elemente de algebr 81 AL - XI. 277Se dau matricele ptratice de ordinul al doilea ||.|

\| =6 43 5Ei ||.|

\| =7 32 1F . S se calculeze matricea A = 2E 3F a) ||.|

\| =9 112 13A b) ||.|

\| =9 112 13A c) ||.|

\| =9 112 13A d) ||.|

\|=9 112 13A e) ||.|

\|=9 112 13A f) ||.|

\|=9 112 13A AL - 278Fie() Z33 1 31 1 22 0 1M A |||.|

\| = . Dac( ) x x f 3 =s se calculeze() A f . a)()|||.|

\| =3 1 31 1 26 0 3A fb)()|||.|

\| =3 1 91 1 62 0 3A fc)()|||.|

\| =9 3 93 3 66 0 3A f d)()|||.|

\| =9 1 31 3 22 0 3A f e)()|||.|

\| =3 1 91 3 26 0 1A f f)()3I A f = 82Culegere de probleme AL - 279S se calculeze produsul de matrice AB, unde ||.|

\|=2 1 01 2 3A ,|||.|

\|=231Ba) ||.|

\|117b) ||.|

\|6 37 11c) ||.|

\|2 1 32 7 11 d) ||.|

\|711e)( ) 3 7 11 f) |||.|

\|3711 AL - 280S se rezolve ecuaia matriceal: ||.|

\|=||.|

\|7 34 25 22 1Xa) ||.|

\|1 10 2b) ||.|

\|0 12 0c) ||.|

\|4 31 1 d) ||.|

\|2 52 1e) ||.|

\|1 14 1f) ||.|

\|1 01 2 AL - 281S se rezolve ecuaia matriceal: |||.|

\|=|||.|

\|5 2 12 3 43 1 11 1 10 1 21 1 1X a) |||.|

\| 0 3 52 5 40 2 3b) |||.|

\| 0 3 11 5 10 2 3c) |||.|

\| 0 3 11 5 11 2 3 d) |||.|

\|0 3 51 5 40 1 3e) |||.|

\| 2 3 50 5 40 2 3 f) |||.|

\| 1 3 52 5 40 2 3 Elemente de algebr 83 AL - 282S se rezolve ecuaia matriceal ||.|

\|=|||.|

\|6 1 08 9 61 4 34 3 23 2 1X a) ||.|

\|=1 11 1X b) ||.|

\|=1 0 11 1 0X c) |||.|

\|=1 1 22 1 11 1 2X d) ||.|

\|=3 2 12 1 3X e) ||.|

\|=1 1 11 1 1X f) ||.|

\|=1 3 23 2 1X AL - 283AflaiR aastfel ca matricea diagonal constant |||.|

\|=aaaX0 00 00 0 s fie soluia comun a ecuaiilor matriceale ( ) 11233 2 1 =|||.|

\|X i ( ) 13211 2 3 =|||.|

\|X a) 103= a b) 102= a c) 101= a d) 310= a e) 210= a f)10 = a 84Culegere de probleme AL - 284S se determine toate matricile X, cu proprietatea cXA AX = , unde A =||.|

\|1 32 1. a) 1 |\

|.|; ,Rb) 1 00 1|\

|.|c) 20|\

|.|; R d) 1 23 1|\

|.|; R e) 23|\

|.|; ,R f) |\

|.|; ,R AL - 285S se determine matricea X care verific relaia: 232 2 43 3 6|\

|.|=|\

|.|X . a) X = ( )1 1 2 b) X = 1 1 20 0 0 |\

|.|c) X = 1 12 2 |\

|.| d) X = ( )1 2 3 e) X = 112|\

|.|||f) X = 1 12 2|\

|.| AL - 286Care este valoarea parametrului aR pentru care exist x,y,z,t R , nu toi nuli, astfel nct x yaz ta1 21 22 11 11 31 21 310 00 0|\

|.| + |\

|.| + |\

|.| + |\

|.| = |\

|.| ? a)a = 1b)a = 0c)a = 1d)a = 2 e)a = 2 f)a = 4 AL - 287S se determine constantele reale p i q pentru care matricea A = 1 0 10 1 01 0 1|\

|.||| satisface relaia A3=pA2p q = = 2 3 ,+qA . a)b)p q = = 3 2 , c)p q = = 1 4 ,d)p q = = 2 3 , e)p q = = 2 1 ,f)p q = = 1 3 ,Elemente de algebr 85 AL - 288 S se rezolve ecuaia matricealX2 2 31 1 01 2 11 2 31 3 2|\

|.||| = |\

|.|. a) X = 6 31 54 12 14 |\

|.|b)X = 6 32 214 23 14 |\

|.|c) X = 2 4 61 3 21 2 2|\

|.||| d) X = 6 431 25 11|\

|.||| e) X = 5 31 44 12 10|\

|.|f) X = 6 32 214 23 14|\

|.| AL - 289 S se determine matricea X care verific ecuaia

|||.|

\| =|||.|

\|9 6 123 0 32 2 11 31 02 1X . a) X = 5 0 13 2 1|\

|.|b) X = 3 2 45 1 3 |\

|.| c) X = 3 2 35 1 4 |\

|.| d) X = 5 0 33 2 4 |\

|.| e) X = 5 2 43 0 3 |\

|.|f) X = 1 1 10 1 1 |\

|.| 86Culegere de probleme AL 290S se rezolve ecuaia matricial |||.|

\| =|||.|

\|5 4 31 1 23 5 11 2 12 1 03 2 1X a)|||.|

\| =16 24 41 16 98 4 441X ;b) |||.|

\|=16 24 41 16 98 4 441X c) |||.|

\| =16 24 41 16 98 4 441X ;d) |||.|

\| =0 8 71 2 14 3 121X e) |||.|

\| =16 24 41 16 98 4 441X ;f) |||.|

\| =0 8 71 2 14 3 121X AL 291 S se determine toate matricile formate cu elemente din codul binar B={ } 1 , 0 care s transforme prin nmulire matricea coloan|||.|

\|321 n matriceacoloan |||||.|

\|4213 Elemente de algebr 87 a) |||||.|

\|0 0 11 0 00 1 00 0 1 i |||||.|

\|0 0 11 0 00 1 00 1 1b) |||||.|

\|1 1 00 0 11 0 00 1 0 c)|||||.|

\|1 0 10 1 00 0 10 1 1 i|||||.|

\|1 0 10 1 00 0 11 0 0d)|||||.|

\|0 0 11 0 11 1 00 1 1 e)|||||.|

\|1 0 10 0 11 1 01 0 0i |||||.|

\|0 0 11 0 00 1 00 0 1f) |||||.|

\|1 1 11 0 00 1 00 0 1 AL - 292 S se rezolve ecuaia: ||.|

\|=1 412 12X ,XM22 31 2 |\

|.|(Z). a) X = b) X = |\

|.|2 31 2c) X = 2 31 2 |\

|.|i X = |\

|.|2 31 2 d) X = iiii363233|\

|.|||| e) X = 2 31 2|\

|.| f) X = |\

|.|2 31 2 AL - 293S se determine toate matricile X M2( Z )astfel ca:X 21 02 1|\

|.|=. a) |\

|.|1 01 1b) 1 01 1 |\

|.|i |\

|.|1 01 1c) 1 01 1 |\

|.| d) |\

|.|1 01 1i 1 01 1|\

|.| e) 1 01 1 |\

|.|i 1 01 1|\

|.| f) |\

|.|1 01 1i 1 01 1 |\

|.| 88Culegere de probleme AL - 294Se dau matriceleA= |\

|.|=|\

|.|=|\

|.|1 22 00 11 032 0, , B Cm cu mR.. S se determine valorile lui m R astfel nct s existe trei constante nu toate nule, a,b,cR cu condiiaaA+bB+cC = 0,0 - matricea nul. a) m = 1 b)m = 0c) oricemRd)m e) 45= mf)m = 54 AL - 295S se calculeze suma: ( )11 2 3 12 31k k kkkkn +|\

|.||=. a) ( ) ( )( ) ( )( )( )||||.|

\|+ +((

+ + + +32 13 22161 2 1212n n nn n nn n n n n n nn b) ||.|

\| ! 3 3 2! 3 ! 2 !n n n nn n n n c) ( ) ( )( ) ( )||.|

\|+ + + +! 3 3 23161 2 121n n n nn n n n n n nn d) ( )||.|

\|+ 1 3 2 113 2n nn n n e) ( ) ( ) ( )( ) ||.|

\| ! 6 ! 3 ! 2 !! 4 ! 3 ! 2 !n nn n n n f) ||.|

\| ! 3 3 2! 13 2n n n nn n n AL 296 Dac ( ) 3 121i + = iar||.|

\|=112 A , s se determine numrulan() = + + + n A a A A Ann, ...3 2 R astfel nct s avem N . a)2 2 +nb)2 21 nc)2 2 n d)2 21+ ne)1 21 nf)1 21+ n. Elemente de algebr 89 AL - 297Dac este o rdcin a ecuaieix2 k k kk k kkn 2 33 21|\

|.||=+x+1 = 0 i n = 3p,pN*, s se calculeze suma: . a) 22nn|\

|.|| b) |\

|.|1 11 1nnc) 0 00 0nn|\

|.| d) 2 32 2|\

|.|| e) 2 33 2|\

|.||f) nn0 00 0|\

|.| AL 298Fie|||.|

\|= 22111 1 1A ; |||.|

\|=1 1 11122 B , unde este o rdcin cubic complex a unitii i fie ecuaia matricealAX = B. Fie Ssuma modulelor elementelor matricei X. Atunci : a) S = 4;b) S = 16;c) S = 3; d) S =3 1+ ;e) S =3 1 ;f) S =3 2 + AL 299 Fie M mulimea tuturor matricelor cu 4 linii i 5 coloane n care toate elementele sunt numerele +1i- 1 i astfel nct produsul numerelor din fiecare linie i din fiecare coloan este-1 . S se calculeze numrul elementelor mulimii M. a) 2b) 7c) 6 d) 4e) 0f) 1 90Culegere de probleme AL - 300Se consider matricea M = abc d|\

|.|, a,b,c,dR. S se determinecondiiilencareexistp,qR,uniciastfelcaM 2a)b = c, a = d, p = a, q = b-pM-qI=0,Ifiindmatricea unitate, 0 matricea nul. S se determine n acest caz valorile lui p i q. 2-a2 b) b,cR, a = d, p = 2a, q = bc-a c) b = c, a,dR, p = a+d, q = b2 2-a2d) b 0 sau c 0 sau a d, p=a+d, q = bc-ad e) b = 0, c = 0, a = d, p = a+d, q = bc-ad f) b 0, a d, cR, p = a+d, q = -ad AL - 301Fie A,B,C Mnm = 1 ( C ) cu proprietileA+B = AB,B+C = BC,C+A = CA. Pentru ce valoare mR are loc egalitateaA+B+C = mABC? a) b)m =12 c)m =14 d)m = 3 e)m =34 f)m =13 AL - 302Fie A = a bc d|\

|.|o matrice nenul cu ad = bc , a,b,c,dR. S se determine (n funcie de elementele matricii A) numrul real r asfel nct s aib loc egalitateaAn = rn-1A pentru orice nN, n 2. a) r = a-db) r = a+dc) r = b+c d) r = b-ce) r = a+cf) r = b+d Elemente de algebr 91 AL - 303S se determine putereaN na matricei |||.|

\|=1 2 30 1 20 0 1A . a),10 10 0 1|||.|

\|=n nnna ba A n n bn ann+ ==222b),10 10 0 1|||.|

\|=n nnna ba A 2n bn ann== c),10 10 0 1|||.|

\|=n nnna ba A222n bn ann==d),10 10 0 1|||.|

\|=n nnna ba An n bn ann+ ==22 e),10 10 0 1|||.|

\|=n nnna ba An n bn ann+ ==222f),10 10 0 1|||.|

\|=n nnna ba An n bn ann ==2 AL - 304Fie matricea A = 1 20 3|\

|.|. Calculai det P(A), unde P(x) = x1001 20 1|\

|.| - 1. a) 0 b) 1 c) -1 d) 99 e) 100 f) -100 AL - 305Fie A =. S se arate cAn este de forma: An10 1an|\

|.|=i s se determine apoi ana a a nn n n + = + =12 2 , , n N. a) b)a a an n n + = =11 ,c)a a a nn n n + = + =11, d)a a an n nn+ = =12 2 ,e)a a an n nn+ = + =12 2 ,f)a a a nn n n + = =122 2 , 92Culegere de probleme AL - 306S se determine An, nN*, unde AM3(Z)este o matrice care verificrelaia:(11+x1+x2) = (1xx2nn n= |\

|.|||11 1 01 1 1)A pentru oricexR . a) A b) Annn= |\

|.|||1 0 01 00 1c) Ann n= |\

|.|||10 1 00 0 1 d) Ann n= |\

|.|||10 1 00 0 1e) Ann n= |\

|.|||10 1 00 0 1f) Annnn= |\

|.|||1 10 00 0 AL - 307Fie matricea A = cos sinsin cos |\

|.|. S se calculeze An, (n 1). a) Ann nn n=|\

|.||cos sinsin cos b) Ann nn n= |\

|.|cos sinsin cos c) Ann nn n= |\

|.|cos sinsin cos d) Ann nn n=|\

|.|cos sinsin cos e) Ann n nn n n=|\

|.|cos sinsin cos f) An n nn n=|\

|.||||1 11 1cos sinsin cos AL - 308S se calculeze1232321230|\

|.||||. a) |\

|.|1 00 1b) 1 00 1|\

|.|c) 0 11 0|\

|.| d) 0 11 0 |\

|.|e) 0 11 0 |\

|.|f) 1 00 1 |\

|.| Elemente de algebr 93 AL - 309Fiind dat matriceaA =|||.|

\|1 0 01 1 00 1 1, s se calculeze matricea Ana)A, nN*. n ( )|||||.|

\| 1 0 01 04112nn nn=b) An ( )|||||.|

\| 1 0 01 0211nn nn= c) An |||.|

\|1 0 01 03 1nn n= d)An |||.|

\|1 0 03 1 03 12nn n=e) An |||.|

\| 1 0 01 01 123 2nn n= f) An ( )|||||.|

\| +1 0 01 0211nn nn= AL - 310Fie matricea A =||||||.|

\|1 0 0211 031211. S se arate c An10 10 0 1a ban nn|\

|.|||, n 1 are formai s se determineanibnann =2. a), ( )61 +=n nbnb)ann =2, ( )bn nn =+ 2 512 c)ann =+ 12, ( )bn nn =+ 2 16d)ann =2, ( )bn nn =+ 3 524 e) a nn = + 2 3,b nn = + 3 7 f)ann =+ 2 14, ( )bn nn =+ 5 44 94Culegere de probleme AL - 311Fie matricea A =|||.|

\|1 0 02 1 03 2 1. S se calculeze Ana), nN, n 2. |||.|

\| +1 0 02 1 02 4 2 12nn n nb)( )|||.|

\| +1 0 02 1 01 2 2 1nn n n c)|||.|

\|1 0 00 1 00 0 1

d)( )( )||||||.|

\|++nn nnnn nn0 0210331e)|||.|

\|nn nn n n0 02 03 2f) |||.|

\|1 0 02 1 03 2 1 AL - 312S se calculeze An|||.|

\|2 0 00 1 00 1 2, nN* unde A = . a)An |||.|

\| nn n2 0 00 1 00 1 2 2=b) An |||.|

\| +nn n2 0 00 1 00 1 2 2=c) An |||.|

\| nn n2 0 00 1 00 1 2 2= d)An |||.|

\|nn2 0 00 1 00 2 1=e) An|||.|

\|nn n2 0 00 1 02 1 2 = f) An|||.|

\| nnn2 0 00 1 00 1 22 = Elemente de algebr 95 AL - 313Care sunt valorile parametrului aR pentru care matriceaA = 121212121212a aa aa a|\

|.||||||| este inversabil. a) orice aR\{ }1 2 , b) orice a[-7,2]c) orice aR d) orice a ( | { } ,1 9 e) orice a{ }1 2 3 4 , , , f) orice aR\{ }3 4 , AL - 314S se calculeze inversa matricei |||.|

\|=16 9 44 3 21 1 1A a) |||.|

\|=1 1 01 2 00 1 11A b) ||||.|

\| =212531 6 81 7 61A c) |||||.|

\| =212531 6 8212761A d) |||.|

\| =1 1 00 2 11 1 21A e) ||||||.|

\| =1 0 153213 1251A f) |||.|

\|=1 0 00 1 00 0 11A 96Culegere de probleme AL - 315S se determine parametrulR astfel nct matricea ||.|

\| =21 1As fie inversabil i apoi s se afle inversa sa. a) ||||.|

\|+ ++ + 2122122; 2 b) ||||.|

\|+ ++ + =2122122; 2 c) ||||.|

\|+ ++ + 2 22221; 1 d) ||||.|

\|+ + =2121112; 1 e) ||||.|

\|+ +++=2121211; 1 f) ||||.|

\|+++ + 11112212; 1 AL - 316Matricea |||.|

\| 7 4 50 2 15 4 3 2are rangul doi pentru: a)5 , 2 = = b)10 , 1 = = c)2 , 3 = = d)10 , 1 = = e)1 , 3 = = f)10 , 1 = = AL - 317S se determine valorile parametrilor reali i pentru care matricea: A = 1 2 41 2 31 2 2 4|\

|.||| are rangul 2. a) = = 1 1 , b) = =121 ,c) = = 112,d) = =121 , e) = = 112, f) = = 1212,Elemente de algebr 97 AL - 318Se d matricea 1 1 1 21 1 11 1 3 34 2 0 |\

|.||||aa. S se determine parametrul real a pentru care rangul matricei este egal cu 2. a) a = 4 b) a = -2c) a = 3d) a = 8e) a = -1 f) a = 0 AL - 319Pentru ce valori ale parametrilorR b a, , matricele |||.|

\| =1 1 31 32 2 1a Ai|||.|

\| =ba B1 1 34 1 34 2 2 1 au ambele rangul 2. a) 519,744= = b a b)1 ,31 = = b a c) 744,519= = b a d)2 , 1 = = b a e)1 , 2 = = b a f) 31, 1 = = b a AL - 320Fie matricea|||.|

\|=i ii A ,R ; dac rangul matricii este 2, atunci suma elementelor sale este soluie a ecuaiei: a)0 12= + x b)0 92= x c)0 13= + x d)0 273= i x e)0 14= + x f)0 814= x 98Culegere de probleme AL - 321S se determine valorile parametrilor R b a,pentru care matricea |||.|

\| =1 1 21 2 11 0 1aabAare rangul minim. a)1 , 1 = = b a b)1 , 1 = = b a c) 31, 1 = = b ad) 31, 2 = = b a e)2 , 2 = = b a f) 31, 1 = = b a AL - 322Se d matricea: 1 2 11 2 11 2 1 12 4 2 2 |\

|.||||. S se determine toate valorile parametrilor reali ,pentru care rangul matricei este doi. a) 1 1 , b) = 1 1 , c) = 1 1 , ; = 1 1 , d) = 1 1 , e) = = 1 1 ,f) = 1, R AL - 323Pe care din urmtoarele mulimi de variaie ale parametrilor realii matricea 1 2 41 2 31 2 2 4|\

|.|||are rangul 3? a)| | | | 11 1 4 , , ,b) ( ) |\

(( 7230 2 , , ,c) |\

|.| |\

|.|034132, , , d) ( ) |\

|.| 3350 1 , , ,e)

|.|

|.|121122 , , ,f) ( | |\

((122 0 7 , , ,Elemente de algebr 99 AL 324 Se consider matricea |||.|

\|=1 12 10 25 2 1 42 2 2A . S se precizeze valoarea parametrului , pentru care rangul matricei este doi. a) = 3;b) = 1;c) = -5;d) = 5;e) = -3;f) = 4. AL 325 Fie matricea|||||.|

\|+ + +=16 9 4 13 2 113 2a a a aa a a ax x xA Pentru ce valori reale ale lui a i x matricea A are rangul 2? a) a = 0; x = 1b) x = 1; a Rc) a = 0; x Rd) a = 0; x (-1,2) e)pentru nici o valoare real a lui ai x.f)a = 0; x = 0 AL - 326S se rezolve sistemul 2 53X Y AX Y B = + =undeA=1 20 1 |\

|.|, B=2 13 0|\

|.|. a) X Y = |\

|.|= |\

|.|13 115 30 06 1, b)X Y = |\

|.|= |\

|.|5 06 113 115 3, c)X Y = |\

|.|= |\

|.|13 115 35 06 1, d)X Y = |\

|.|= |\

|.|1 12 30 11 1, e)X Y = |\

|.|= |\

|.|13 015 15 12 1,f)X =|\

|.|1 32 1, Y = |\

|.|5 12 1 100Culegere de probleme AL - 327S se precizeze care dintre perechile de matrice (X,Y), date mai jos, reprezint o soluie a sistemului: 1 01 10 11 12 22 31 21 1|\

|.| + |\

|.| = |\

|.|+ = |\

|.|X YX Y. a) X Y = |\

|.|= |\

|.|1 00 11 00 1, b)X Y = |\

|.|= |\

|.|0 11 11 00 1, c) Y X = |\

|.|= |\

|.|0 11 11 10 0, d)X Y = |\

|.|= |\

|.|1 00 11 10 0, e) X Y =|\

|.|= |\

|.|0 11 11 10 0, f)X Y =|\

|.|= |\

|.|0 11 11 00 1, AL - 328S se calculeze determinantul: 2 1 43 2 20 2 1 a) 8b) 6c) 16d) 17e) 18f) 0 AL - 329S se calculeze determinantul: 1 11 12aa a aa = a) 0b) 2a2c) 4a2 d) 6a2e) 1f) -1 Elemente de algebr 101 AL - 330S se calculeze det ( )1 Adac|||.|

\|=1 0 21 3 00 4 1A a) 1b) 21c) 111 d) 71e) 111f) 51 AL - 331Fie matricele 1 1 11 2 12 1 1A = | | | | |\ .i1 1 11 2 31 4 9B = | | | | |\ .. S se calculeze determinantul matricii AB. a) -2;b) -1;c) 0;d) 1;e) 2; f) 3 AL - 332Calculai determinantul = x xy yy xy x222 211 . a)( )( )( ) = + + x y xy x y2 21b) ( )( )( ) = x y xy x y2 21 c)( )( )( ) = + x y xy x y2 21d) ( )( )( ) = + + + x y xy x y2 21 e) ( )( )( ) = + + x y xy x y2 21f) ( )( )( ) = + + x y xy x y2 21 102Culegere de probleme AL - 333Se consider f(x) = 2122152132 1 5 34 7 52 2 2++++++ +x x xx x xx. Aduceif (x)la forma cea mai simpl. a)f xx( ) =+112b)f xxx( ) =+412c) 12) (2+=xx f d)f x x ( ) =2e)f x ( ) = 0f)f x x ( ) = + 22 AL - 334Care este valoarea determinantului =+ + +1 1 11 1 11 1 1cos sinsin cos ? a) 3b) 2c) -2d) 1e) -1f) 0 AL - 335Se considerf(x) = sin cos sincos sin sinsin2 22 2221 2 1 1x x xx x xx + . Aduceif (x)la forma cea mai simpl. a) f x x ( ) cos = + 1 b)f x x x ( ) sin cos = +22 c)f x x ( ) sin = 2 2d)f x x ( ) cos =2e)f x x ( ) cos = 32 f)f x x ( ) cos =32 AL - 336Daca,b,csunt lungimile laturilor unui triunghi iha, hb, hc =111a h hb h hc h hb cc ab asunt nlimile corespunztoare, care este valoarea determinantului: ? a) = abcb) = 0c) = a2+b2+cd) = 1;e) = 2abcf) = 2 12(ab+ac+bc) Elemente de algebr 103 AL - 337S se calculeze determinantul: = 1 1 11122 , undeeste o rdcin cubic complex a unitii ( 31 = ). a) = 3b) = 3 6c) = + 3 6 d) =1e) =3 f) =6 AL - 338Dac A = 2 10 1 |\

|.|, calculai determinantul matriciiAkk =04. a) 15b) 20c) 40d) 30e) 31f) 41 AL 339 S se calculeze 3 3 3 3 3 32 2 2 2 2 2a c c b b aa c c b b aa c c b b a+ + ++ + ++ + += a)( )( )( ) a c c b b a abc = 2 b)( )( )( ) a b b c c a abc = 2c)( )( )( ) a c c b b a abc + + + = 2 d)0 = e)( )( )( )2 2 2 2 2 22 a c c b b a = f)( )( )( )3 3 2 2b a b a b a + + + = AL 340Fie x,y,z R; s secalculeze valoarea determinantului xyz yz xz xy z y xz z zy y yx x x+ + + += 11113 23 23 2 a)1 = b)1 = c)0 = d)z y x + + = e) 2 2 2z y x + + = f)xyz = 104Culegere de probleme AL 341 Fie a,b,c,d R . S se calculeze determinantul: 22221111d dc db dacd c cb cabd bc b baad ac ab aD++++= a) 2 2 2 21 d c b a b)( )( )( ) d c c b b a c) 2 2 2 21 d c b a + + + +d) 2 2 2 2d c b a + + +e) 1f) 0 AL 342 S se calculeze valoarea determinantului asociat matricei |||||.|

\| =a b c db a d cc d a bd c b aA a) 2 2 2 2d c b a + + + b)( )22 2 2 2d c b a + + + c)( )22 2 2 2d c b a + + +d)( )22 2 2 2d c b a + + + e)( )2d c b a + + + f)( )2d c b a + + + AL 343 S se determine toate valorilex R astfel ca valoarea determinantului i i i xi i x i xi i iD + ++ + +=1 3 8 13 1 2 2 13 1 2 4 2 4 11 1 1 1 s fie un numr real. a){ } 6 , 0 x b){ } 2 , 0 x c){ } 6 , 2 x d){ } 2 , 1 x e){ } 1 , 1 x f){ } 4 , 3 x . Elemente de algebr 105 AL 344 S se calculeze determinantul: 1 1 1 11 1 0 01 0 1 01 0 0 1 a)4b)3c) 5d)-4e)-5f) 0 AL 345 Fie ( )j ia A =o matrice ptrat de ordinul 4, definit astfel :{ } 4 , 1 , , , max = = j i j i aj i . S se determine det A. a) 0b) 4 !c) -4 ! d) 4e) 4f) 1 AL 346S se calculeze ( )( )20082007detdetAA, unde 2 2 21 1 11 1 ... 11 2 ..., , 2 1 2 ...... ... ... ...1 2 ...n n nnA n n nnn = | | | | | | | |\ .N a) 2009!;b) 2008!;c) 2007!;d) 2006!;e) 2008;f) 2007. 106Culegere de probleme AL 347Dac 3 2 1, , b b b sunt numere reale n progresie geometric cu raia +R q , s se calculeze pentruR , n funcie de primul termen b11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1232221bbb+++ i raia q, valoarea determinantului a) 2 61q b b) 12 1 61q b+c) 15 61q b d) 6 61q b e) 3 61q b f) 4 61q b AL - 348S se rezolve ecuaiax c cb cabc x b baac ab x a222= 0 . a)03 2 1= = = x x x b)a x x x = = =3 2 1 c)c x b x a x = = =3 2 1, , d) 2 2 23 2 1, 0 c b a x x x + + = = = e) 2 2 23 2 1, 0 c b a x x x + = = = f)0 , 13 2 1= = = x x x AL - 349Care sunt soluiile ecuaiei 4 1 41 2 22 4 1xxx= 0? a)x x x1 2 33 7 1 = = = , , b)x x x1 2 30 1 3 = = = , , c)x x x1 2 37 5 5 = = = , , d)x x x1 2 37 1 = = = , e)x x x1 2 37 3 3 = = = , , f)x x x1 2 32 7 1 = = = , ,Elemente de algebr 107 AL - 350Care sunt soluiile ecuaiei x x x3 211 2 1 11 1 5 34 1 0 0= 0? a)x x1 2 313 292= =,,b)x x1 2 313 292= = ,, c)x x x1 2 30 1 2 = = = , , d)x x1 2 31 521,, == e)x x x1 2 31 2 = = = , f)x x1 2 31 2 = = ,, AL - 351Precizai soluiile ecuaiei x a a aa x a aa a x aa a a x = 0 . a) a a a a 3 , 2 , , b) a a a a 2 , 2 , , c)a a a a 3 , , , d) a a a a 3 , , , e)a a a a 3 , , , f)a a a a 3 , , , AL - 352Care sunt soluiile reale ale ecuaiei e e ee e ee e ex a xa x xx x a222 = 0? a)x = 0 b)x a =c)x a = 2d)xa= 2 e)x a = f)x a = 2 AL - 353 Fie A o matrice ptratic de ordinul n (n 2) nesingular. Precizai care este relaia ntre det(A*) i detA , unde A* este reciproca lui A. a) detA = detA* b) det(A*) = (detA)n1nc) det(A*) = (detA)d) (detA*)n = detAe) (detA*)n1= detAf) detA = 1det * A 108Culegere de probleme AL - 354Fie matricea A =( ) { } 3 , 2 max ,4 14 1 + + = j i j i a aijji ij. S se calculeze det (AtA), unde A t este transpusa matricei A. a) 25b) 9c) 0d) 1e) -1f) 36 AL - 355Fie matricea A =( )ija , 3 1 , 3 1 j i , cu elementele{ } 3 2 , 3 min + + = j i j i aj i. S se calculezedet AiA1. a) ((((

= =1 0 11 2 21 0 321, 2 det1A Ab) ((((

= =1 2 11 1 11 2 231, 3 det1A A c) ((((

= =2 1 01 1 13 1 0, 1 det1A A d) ((((

= =3 0 11 1 00 1 321, 2 det1A A e) ((((

= =2 1 01 1 32 0 131, 3 det1A A f) ((((

= =1 1 21 1 01 3 1, 1 det1A A AL - 356S se calculeze determinantul =3 2 1 42 1 4 31 4 3 24 3 2 1x x x xx x x xx x x xx x x x , undex x x x1 2 3 4, , ,sunt rdcinile ecuaieix px qx r4 20 + + + = . a) = 1b) = -1c) = p-qd) = 0e) = p-q+rf) = -1 Elemente de algebr 109 AL - 357Se d ecuaiax xx a311 1 11 = 0; a R \ {-1}. S se determine parametrul a astfel nct ntre rdcinile ecuaiei s existe relaia( )x x x x x x1222321 2 321 + + < . a) a( | | ) + , , 1 2 b) a( ) ( ) + , , 1 2 c) a[-1,2] d) a[1,2]e) a( | ,1 f) a| )1,+ AL - 358S se calculeze =d , unde d =1 1 11 2 3122232x x xx x x, iarx x x1 2 3, , Rsunt rdcinile ecuaieix px q30 + + = . a) =22p b) = p pq327 c) = 4pq d) =q p2 e) = 4 273 2p q f) = + 4 273 2p q AL - 359S se calculeze determinantul = x x xx x xx x x1 2 32 3 13 1 2 , tiind cx x x1 2 3, , sunt rdcinile ecuaieix x x3 22 2 17 0 + + = a) = 1b) = -1c) = 2d) = 4e) = 3f) = 0 110Culegere de probleme AL - 360Fie matricea A = 1 1 11 2 3122232 |\

|.|||x x xx x x, undex x x1 2 3, ,sunt rdcinile ecuaiei: x ax b30 + + = , a, bR. S se calculeze det( )A Atn funcie de a i b,unde ta b3 2+Aeste transpusa matricei A . a)b) 4 273 2a b c)4 273 2a b + d)4 273 2a b e)a b3 2+ f) + 4 273 2a b AL - 361S se rezolve sistemul: x y zx y zx y z+ + = + =+ + =2 23 52 2. a) (1,1,0)b) (1,-1,1)c) (-4,0,3) d) (0,0,2)e) (1,0,0)f) (1,0,2) AL - 362S se rezolve sistemul = + += + += + +11 2 314 3 211 3 2z y xz y xz y x a) x =1, y =2, z =3b) x =2, y =1, z =1c) x =3, y =2, z =2 d) x =1, y =1, z =4e) x =1, y =3, z =2f) x =1, y =7, z =6 Elemente de algebr 111 AL - 363S se rezolve sistemul = + + = + + = + + 3 4 2 25 2 38 3t z y xt z y xt z y x a)R R = =+ +=+ + = t t z zt zyt zx , ,419 10,413 3 2 b)R R = =+ +=+ += t t z zt zyt zx , ,31 2,31 c)R R = = + = + = t t z z t z y t z x , , 2 , d)R = + = + = + = t t t z t y t x , 2 , 1 , 1 e)R = = = + = t t t z t y t x , 2 , 1 2 , 1 2 f)R , , 1 , 1 2 = = = + = z z z t z y z x AL - 364Care sunt valorile parametrului mR pentru care sistemul de ecuaii: mx y zx my zx y mz+ + =+ + =+ + =124admite soluie unic ? a) mR \ {-2,1}b) mR \ {2,-1}c) mR \ {-2,-1} d) mR \ {2,1} e) mR \ {-2,2}f) mR \ {-1,1} AL 365 Seconsider sistemul = + += + = + +021z y mxm z y xmz y x S se determine parametrul real m pentru ca sistemul s fie incompatibil. a) m = 1, m = -2;b) m = 2, m = -2;c) m = -1, m = 0; d) m = 3, m =4;e) m = -3, m = 3;f) m = 0, m = -2. 112Culegere de probleme AL - 366 S se determine m R astfel ca sistemul: = + = = +m y xy xy x4 518 2 s fie compatibil. a) 0b) 1c) 20 d) 23e) 8f) 21 AL - 367Pentru ce valoare a parametrului realR msistemul de ecuaii = + += + + = +m z y xz y xz y x24 4 51 2 este compatibil i nedeterminat de ordinul nti ? a) m =-1 b) m =2c) m =-2 d) m =1e) m =-3f) m=3 AL - 368S se determine la care din urmtoarele mulimi aparin parametrii R b a,pentru care sistemul ( )( )( ) ( )= + + + += + += + + +1 3 2 111z a ay x aa z a ay axb z a ay ax este compatibil nedeterminat. a)( ) ( ) 1 , 0 , 1 , 1 b a b)( ) ( ) 1 , 1 , 1 , 1 b a c)( ) ( ) 30 , 2 , 90 , 1 b a d)( ) ( ) 30 , 2 , 32 , 0 b a e){ } R R b a , 0 \ f)( ) { } 0 \ , 3 , 1 R b aElemente de algebr 113 AL - 369S se determine valorile parametrilor reali a i b pentru care sistemul x y zx y bzax y z+ = + + = + =2 2 62 48este incompatibil. a)a 12 ib 1b) a ba b= `)= 12471,\ ,RR sauc) ab = 121 d)a b 12iR e) ab==01f) ab== 471 AL - 370S se determine , R astfel nct sistemulx x xx x xx x x1 2 31 2 31 2 32 12 2 1+ + =+ + = + = , s fie incompatibil. a) 1 2 , b) = 1 2 , c) = = 1 2 , d)1 , 1 = e) = = 2 f) = 1 6 , AL - 371Fie sistemul de ecuaii ax by zbx ay bz ax y az b+ + =+ + =+ + =1 ,a,bR. S se determine valorile parametrilor a,bR pentru care sistemul este incompatibil. a) a = 1, b = 2b) aR \ {1, 1}, b = 2c) a = 1, b R \ {0} d) orice a = bRe) a = 1, bR \ {1, 2}f) a = 1, b = 0 114Culegere de probleme AL - 372Se consider sistemul liniar mx y zx y zm x y z n+ =+ + = + + =2 22 3 12 1 2 ( ) , m,nR. Pentru ce valori ale parametrilor m i n sistemul este compatibil simplu nedeterminat? a) m =3, n3b) m=3, n=3c) m3, n=3 d) m3, n3e) m=3, n=0f) m=3, n=2 AL - 373S se determine toate valorile parametrilor reali , ,pentru caresistemul: x y zx y zx y z+ + =+ + =+ + =1112 2 2 este compatibil dublu nedeterminat. a) b) = c) = d) = 1e) = = = 1 f) = = 1 1 1 , , AL - 374S se determine , R astfel nct sistemul liniar: 3 2 22 3 14 5 7x y z tx y z tx y z t+ + =+ + =+ + = s fie compatibil dublu nedeterminat. a) = = 1 2 , b) = = 0 1 , c) = = 1 1 , d) = = 1 3 , e) = = 1 0 , f) = = 2 0 , AL - 375Pentru ce valori ale lui R sistemul: + + + = + + + = =x y z tx y z tx y z t2 2 12 05 2

este compatibil ? a) = 2b) = 1 c) = 2d) = 3 e) = 1 f) = 3 Elemente de algebr 115 AL - 376S se determine parametrii reali a,b,c astfel ca sistemul:

2 3 4 5 19 35 6 10x y z tx y az tx y z bt c + =+ + + = + + =s fie dublu nedeterminat. a) a = b = c = 2b) a = 2, b = -12, c = -2c) a = c = 2, b = -12 d) a = b = 2, c = -12e) a = b = 2, c = 12f) a = c = 2, b = 12 AL - 377S se determine mulimea valorilor parametrului real m pentru care sistemul urmtor este compatibil x myx y mx m y m + =+ =+ + =1 02 03 1 1 0 ( ). a) {0,2} b) c) {1,0} d) {-1,1} e) R \{-1,1} f) {3,2} AL - 378Pentru ce valori ale lui m sistemul 2 02 2 02 0x my zx y zx y z+ + =+ = + = admite i soluii diferite de soluia banal? a) mR b) mc) m = 0 d) m 0 e) m = -1f) m -1 AL - 379S se determine parametrul realastfel nct sistemul omogen:

x y z tx y z tx y z tx y z t + =+ + = + + =+ =02 4 002 2 0 s aib soluii nenule. a) = 1b) = -1c) = 0 d) = 2e) = 1 sau = - 1 f) =-1 sau = 2 116Culegere de probleme AL - 380Ce valori ntregi pot lua parametriip, q i r astfel nct sistemul 121212x px qy rzy rx py qzz qx ry pz= + += + += + +s admit soluii nenule ? a) p = 1, q = 2, r = 3b) p = -1, q = 0, r = 1 c) p,q i r pot lua orice valori ntregi d)p,q i r nu pot lua nici o valoare ntreag pentru a satisface condiia cerut e)p = 1, q = 1 i r orice valoare ntreagf) p = 1, q = 2, r = 2 AL - 381Dacp xyz = , unde( ) , , xyzeste o soluie a sistemului: 202 12 1x y zx y zx y zx y z+ + = =+ + =+ = atunci a)p ;b)( | 3, 2 p ;c)( |2, 1 p ;d)( |1, 0 p ;e)( |0,1 p ;f)( |1, 2 p AL 382Se consider sistemul: ( ) R = + += + = +n mz y mxn z y xz y x,625 3 S se determine valorile luim R,n R, astfel ca sistemul dat s fie compatibil i nedeterminat. a)m -11,n R;b)m = -11,n= 221 ;c)m = -11,n R d)m = -11,n 221 ;e)m R,n= 221 ;f)m R,n R . Elemente de algebr 117 AL 383Seconsider sistemul ,1 210 2= + + = += + +z ay xz ay xz y ax undea R . Fie Ssuma valorilor parametruluia pentru care sistemul este incompatibil. Stabilii dac : a) 21= S ;b) 61= S ;c) 61 = S ; d) 35= S ;e) 43 = S ;f) 32 = S AL 384Fie|||.|

\|=aa ao a aA0 00i sistemul ( )|||.|

\|=|||.|

\|23933zyxI A , a fiind un parametru real iar I3{ } 1 \ R a este matricea unitate de ordinul trei. Pentru ce valori ale lui a sistemul de mai sus admite soluie unic ? a) a 1 b) a = 1 c) a -2 d) a 0 e) f) a 2. AL 385 S se determine parametrii , R astfel nct sistemul= + += + += + +11z y xz y xz y x s aib soluiile = = z x ,( ) + = 121y , R . a)0 , 2 = = b)2 , 2 = = c)1 = = d)2 = = e) = , 2 Rf)0 , = R 118Culegere de probleme AL 386 Se consider sistemul ( )+ = + + = b a cy x cb a by ax3 10 12 SsedeterminemulimileA,B,Ccroraleaparin valorilerealerespectivalelui a, b,cpentrucaresistemulareoinfinitatedesoluii,iarx=1,y=3esteunadintre soluii. a)| | | ) ( ) 3 , 0 ; 1 , 2 ; 3 , 0 = = = C B A b)| | | | ( ) 3 , 0 ; 0 , 1 ; 3 , 0 = = = C B A c)( ) ( ) ( ) 3 , 0 ; 1 , 2 ; 3 , 0 = = = C B Ad)( | | | ( | 2 , 1 ; 0 , 1 ; 2 , 1 = = = C B A e) ( ) | | ( | 2 , 1 ; 0 , 1 ; 3 , 1 = = = C B A f)( | | | | ) 3 , 1 ; 0 , 1 ; 4 , 2 = = = C B A AL 387Se consider sistemul liniar : = + = + = + 3 23 23 2c z c cy xb z b by xa z a ay x Care din urmtoarele condiii sunt satisfcute de soluiile x,y i z ale sistemului, pentru orice valori ale parametrilor a > 0,b> 0, c > 0 i a b c ? a)z y x < < b)x z y < < c) 2 2 2, x y z < d) 2 3, 27 z y z x < e)2 3, 27 z y z x < f)y x z < , Elemente de algebr 119 AL 388S se determine toate valorile lui R pentru care tripletele (x, y, z) corespunztoare sunt soluii ale sistemului omogen ( )= + = + = 0 7 30 2 3 20 2 4z y xz y xz y xoricare ar fik R : a) { } ( ) k z k y k x 5 , , 6 , 4 , 5 = = = sau( ) k z k y k x = = = , 2 , 6b) { } ( ) k z k y k x 5 , , 6 , 4 , 5 \ = = = R sau ( ) k z k y k x = = = , 2 , 6c) { } ( ) k z k y k x = = = , , 2 , 4 , 5 sau ( ) k z k y k z = = = , 3 , 2d) { } ( ) k z k y k x = = = , , 2 , 4 , 5 \ R sau( ) k z k y k x = = = , 3 , 2e) { } ( ) k z k y k x 2 , , , 4 , 5 = = = sau( ) k z k y k x 2 , 3 , = = =f) { } ( ) k z k y k x 2 , , , 4 , 5 \ = = = R sau ( ) k z k y k x 2 , 3 , = = = . AL 389 Fie a,b R i| ) 2 , 0 . S se afle varianta n care una sau alta dintre perechile (x,y) , prezentate alturat , este soluie a sistemului de ecuaii liniare ( )= + + + = = + 0 cos sincos sin cossin cos sinb a y axb a y xa y x a)( ) b y b a x b a = + = , ,sau ( ) b y b a x = = ,b)( ) 0 , , = + = y b a x b a sau ( ) 0 , = = y b a xc)( ) b y b a x b a = + = , , sau( ) b y b a x = = ,d)( ) b y b a x b a = + = = , ,2 2sau ( ) b y b a x = = ,2 2 e)( ) 0 , ,2 2= + = = y b a x b asau( ) 0 ,2 2= = y b a xf)( ) b y b a x b a = + = = , ,2 2sau ( ) b y b a x = = ,2 2 . 120Culegere de probleme AL 390Se consider sistemul: ( )( )= + += + + +=|.|

\|+ + +|.|

\|+ + +|.|

\|+ +1 3 1 21 4 1 301211112 2 2z y m xmz y m mxzm mmym mmxm mm cu R z y x , ,i parametrulR m . Dac { R =m M sistemul este incompatibil }, s se calculeze=M mm S3. a) 47= S b) S=1c) 89= S d) 81 = S e) 89 = S f) 98= S AL 391S se determine produsul valorilor parametrului R , valori pentru care sistemele de ecuaii = += +2 2 2 21 z y xz y x respectiv( ) = + + = 1 4 1 33 3 2 z y xz y x sunt compatibile i au aceleai soluii. a) 2b) 1c) 0d) 1e) 2f) 3 Elemente de algebr 121 AL - 392Se consider funciile{ } R R 0 \ :if ,{ } 1,2,3,4 i , definite prin x (x)1f = , x1(x)2f = ,x (x)3f = , x1- (x)4f = . Care din urmtoarele afirmaii relative la operaia de compunere a funciilor este adevrat? a) necomutativ i neasociativb) comutativ i asociativ c) necomutativ, dar asociativd) comutativ, dar neasociativ e) nu orice element are inversf) fr element neutru AL - 393S se determine toate valorile parametrului aR pentru care intervalul (-1,) este partea stabil n raport cu legea de compoziie a y x xy y x + + + = a) a b) a0c)a=0 d) a0e) a=-1f) a-1 AL - XII. 394S se determine R astfel nct funcia) (1, ) )x(1, (1, : f , definit prin y) (x xy y) f(x, + + =s fie o lege de compoziie pe (1,). a) 0c) m f)8 < m AL - 412Fie mulimea ( ) R20 11 0,1 00 1,0 11 0,0 11 0,1 00 1M K )`||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|=; s se determine submulimea maximal a lui K ce este parte stabil a mulimii M2)`||.|

\|1 00 1(R) n raport cu nmulirea matricelor. a)b) )`||.|

\|||.|

\|||.|

\|0 11 0,0 11 0,1 00 1 c) )`||.|

\|||.|

\|||.|

\| 0 11 0,1 00 1,0 11 0d) )`||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|0 11 0,1 00 1,0 11 0,1 00 1 e) )`||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|0 11 0,1 00 1,0 11 0,1 00 1f) K Elemente de algebr 127 AL - 413Pe mulimea{ } 1 \ R = Ase consider legea de compoziie definit prin: () R + = c A y x c y x xy y x , , , 2 2 2Pentru ce valoare a lui c legea este asociativ? a) c=1b) c=-1c) c=3 d) c=2e) c=4f) c=6 AL - 414Pe mulimea (0,) se consider legea de compoziie definit prin ln ln a x b yx y e = , oricare ar fi0 , > y x , unde R b a, . Precizai n ce condiii legea considerat este asociativ i comutativ. a) 1 , 1 = = b a b) pentru oriceR b a, cu proprietatea1 = + b ac)1 , 1 = = b a d)1 , 1 = = b ae) nu exist R b a,cu proprietatea cerutf) nici un rspuns nu e corect AL - 415Fie legea de compoziie intern pe R definit prin () R + + = y x y x xy y x , 2 , undeR