curs 2 asdn

7/30/2019 curs 2 asdn

1/36

II. REPREZENTAREA

NUMERELOR NCALCULATOR. ARITMETICA

BINAR

7/30/2019 curs 2 asdn

2/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 2

2.1. Reprezentarea

numerelor n calculator Reprezentarea numerelor n calculatoarele numerice

se face pe baza sistemului de numeraie binar Numere pozitive i negative reprezentare semn?

numere fr semn - reprezentare n binar sau n codbinar-zecimal

numere cu semn - asociat pe poziia cea maisemnificativ un bit special de semn

convenie: semnul plus - cifra 0 semnul minus - cifra 1

un numr binar de n bii, cu semn are n+1 bii

7/30/2019 curs 2 asdn

3/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 3

2.1. Reprezentarea

numerelor n calculator

Numere: ntregi

fracionare

Poziia virgulei la numere fracionare determinreprezentarea poziie fix sau variabil a virgulei: reprezentare n virgul fix reprezentare n virgul mobil (flotant)

7/30/2019 curs 2 asdn

4/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 4

2.1.1. Reprezentarea

numerelor n virgul fix

Calculatoarele pot opera cu numere de lungime fix Numrul de cifre (de exemplu, 32 sau 64 de poziii

binare) determinat de numrul de celule din caresunt realizate registrele utilizate

Poziia virgulei se stabilete iniial la proiectare nu se mai schimb

nu se realizeaz fizic, dar localizarea ei trebuie cunoscut

7/30/2019 curs 2 asdn

5/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 5


numerelor n virgul fix Blocurile aritmetice ale calculatoarelor care lucreaz

n virgul fix: virgula n faa cifrei celei mai semnificative

numerele sunt deci subunitare (numerele reale sunttransformate n prealabil n acest sens)

Indicarea semnului realizat prin mai multe

tehnici moduri diferite de reprezentare: mrime i semn

complement fa de 2 (cod complementar)

complement fa de 1 (cod invers)

7/30/2019 curs 2 asdn

6/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 6

ComplementDefiniii: (N)b = bn - (N)b (N)b = bn - (N)b - b-m

(N)b = complement fa de baza b a numrului (N)b (N)b = complement fa de b-1 a numrului (N)b n = nr. de cifre ale prii ntregi ale numrului N

m = nr. de cifre ale prii fracionare ale numrului N Dar, N = 2n- 1 = cel mai mare numr binar de n cifre care

poate fi reprezentat 2n necesar pentru complement nu se

poate reprezenta 2n se echivaleaz cu numrul 0

7/30/2019 curs 2 asdn

7/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 7

Complement

Exemple generale: N1 = (123,45)10 cu n = 3, m = 2

(N1)10 = 10n

- N1 = 103

- 123,45 = 876,55 (N1)10 = 10n - N1 - 10-m = 103 - 123,45 - 10-2 = 876,54

N2 = (1101,011)2 cu n = 4, m = 3 (N2)2 = 2n - N2 = 24 - 1101,011 = 0010,101

(N2)2 = 2n - N2 - 2-m = 24 - 1101,011 - 2-3 = 0010,100

7/30/2019 curs 2 asdn

8/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 8

ComplementDeterminarea complementului fa de 2 exist3 procedee:

(N)2 = 0 - N

(N)2 = N + 2-n pornind de la dreapta spre stnga se pstreaz

neschimbate cifrele egale cu 0, inclusiv prima cifregal cu 1, dup care toate celelalte cifre seinverseaz n = numrul de cifre ale numrului

7/30/2019 curs 2 asdn

9/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 9

Complement

Determinarea complementului fa de 1 exist3 procedee:

(N)2 = 0 - N - 2-n

(N)2 = N - 2-n

se inverseaz fiecare cifr n parte

7/30/2019 curs 2 asdn

10/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 10

Complement Exemplu de determinare a complementului fa de 2

Numrul (N)2 = 1010111. (N)2 = 000000 -

101011 =010101

2. (N)2 = 010100 +

000001 =0101013. (N)2 = 010101

rmne neschimbats-au inversat

7/30/2019 curs 2 asdn

11/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 11

Complement Exemplu de determinare a complementului fa de 1

Numrul (N)2 = 1010111. (N)2 = 000000 -

101011 -000001 =010100

2. (N)2 = 010101 -000001 =010100

3. (N)2 = 010100 am inversat cifrele (0 cu 1, 1 cu 0)

7/30/2019 curs 2 asdn

12/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 12

Reprezentarea prin mrime

i semn

Relaia de reprezentare prin mrime i semn:

an = bit de semn

N pozitiv

an = 0 N negativ an = 1

ai = cifrele binare ale numrului N

=

+=

1

22n

mi

i

i

n

naaN

7/30/2019 curs 2 asdn

13/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 13

Reprezentarea prin mrime

i semn

Avantaj - asemntoare cu scrierea manual Dezavantaje pentru realizarea calculelor aritmetice:

adunarea i scderea depind i de semnele numerelor este necesar examinarea semnului naintea operaiei

sunt necesare blocuri diferite pentru adunare i scdere

Exemplu: +6 = 00110 -6 = 10110

semn cifre numr semn cifre numr

7/30/2019 curs 2 asdn

14/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 14

Reprezentarea prin

complement fa de 2

Relaiile de reprezentare:pentru N > 0

pentru N < 0

ai = 1 - ai este complementul fa de 1 al cifrei ai Exemplu:

+6 = 00110

- 6 = 11010 (1010 = complementul fa de 2 al lui 6)

=

+=

1

220n

mi

i

i

naN

=

++=

1

2221n

mi

mii

naN

7/30/2019 curs 2 asdn

15/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 15

Reprezentarea prin

complement fa de 1

Relaiile de reprezentare:pentru N > 0

pentru N < 0

ai = 1 - ai este complementul fa de 1 al cifrei ai Exemplu:

+6 = 00110

- 6 = 11001 (1001 = complementul fa de 1 al lui 6)

=

+=

1

220n

mi

i

i

naN

=

+=

1

221n

mi

i

i

naN

7/30/2019 curs 2 asdn

16/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 16


numerelor n virgul fix Un numr N n virgul fix se poate scrie:

a0 = bit de semn

N* are semnificaiile: mrime i semn

N < 0 n complement fa de 2

N < 0 n complement fa de 1 ai = cifrele numrului

n = numrul de cifre din dreapta virgulei ai = 1- ai

*00 2 NaN +=

=

=

n

i

i

iaN

1

* 2

n

n

i

i

iaN

=

+= 22

1

*

=

=

n

i

i

iaN

1

* 2

7/30/2019 curs 2 asdn

17/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 17


numerelor n virgul fix

Avantaje dac virgula se plaseaz dup primapoziie binar:

N* fiind subunitar poziia virgulei este aceeai dupnmulirea binar

nmulirea nu va duce niciodat la depirea limitei

superioare a gamei de reprezentare a numerelor aceast plasare poate fi uor memorat

7/30/2019 curs 2 asdn

18/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 18


numerelor n virgul mobil

Pentru numere foarte mari sau foarte mici, cu gradde precizie ridicat

Reprezentarea unui numr - prin mantis M iexponent E

Exponent- indic ordinul de mrime al numrului

printr-o putere Mantisa determin mrimea (valoare) exact a

numrului n cadrul ordinului respectiv

7/30/2019 curs 2 asdn

19/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 19


numerelor n virgul mobil Exemplu - o reprezentare pe 32 de bii:

bitul 0 = SE - semn exponent biii 1- 6 = exponent E bitul 7 = SM - semn mantis biii 8-31 = mantis M

Numrul +12,34 se poate reprezenta n 2 moduri +0,1234 x 10+2 sau +1234 x 10-2

Reprezentarea pe 32 de bii va fi: 0 000010 0 000111111000110110001010 sau

1 000010 0 000000000000010011010010

SE SM0 1 2 3 4 5 6 7 8 . 31

7/30/2019 curs 2 asdn

20/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 20


numerelor n virgul mobil n calculatoare se utilizeaz reprezentarea numai cu semn la

mantis, nu i la exponent se folosete mrimea numitCaracteristic Caracteristica numrului N: C = E + deplasament

E = exponentul numrului (putere a lui 16) deplasamentul ales ca s rezulte ntotdeauna o valoare pozitiv

(ex.: 64 sau 128)

Valoarea exponentului E = (C - deplasament) avantaje

este numai pozitiv operaii simplificate cifra 0 reprezentat la fel cu reprezentarea n virgul fix tratare similar

dezavantaj -exist o opera

ie de scdere n plus!

7/30/2019 curs 2 asdn

21/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 21


numerelor n virgul mobil Reprezentare n simpl precizie, de exemplu:

Reprezentare n dubl precizie, de exemplu:

Exemplu: Pentru caracteristica C = 7 numerele pot fi ntre 0 i 27-1 0 C 127 Pentru deplasament = 64 exponentul E = C 64, deci

-64 E 63

a) S C M0 1 7 8 31

b) S C M0 1 7 8 63

7/30/2019 curs 2 asdn

22/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 22


numerelor n virgul mobil Forma normalizat - bitul cel mai semnificativ al

mantisei = 1 acest bit nu se mai memoreaz mantisa are un bit

semnificativ n plus simplificarea operaiilor

creterea preciziei

Probleme cu reprezentarea valorii 0, care nu poate finormalizat valoarea 0 are o reprezentarespecial

7/30/2019 curs 2 asdn

23/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 23


numerelor n virgul mobil Exemplu: gama numerelor reprezentate n

complement fa de 2, n cuvinte de 32 de bii: numere pozitive ntre: 0,5 2-128 i (1 - 2-24) 2127 numere negative ntre: - (1 - 2-24) 2127 i - 0,5 2-128

5 regiuni necuprinse n aceste domenii

depire depire inferioar negativ: < - (1 - 2-24) 2127 depire superioar negativ: > - 0,5 2-128

zero

depire inferioar pozitiv: < 0,5 2-128 depire superioar pozitiv: > (1 - 2-24) 2127

coprocesoarele matematice i unitile de calcul n

virgul mobil au mecanisme speciale pentru detectarea,semnalizarea i tratarea depirilor

7/30/2019 curs 2 asdn

24/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 24


numerelor n virgul mobil Compromis ntre dimensiunea mantisei i a

exponentului mantisa de dimensiune mai mare crete precizia

numerelor care pot fi reprezentate exponentul de dimensiune mai mare crete domeniul

numerelor care pot fi reprezentate

Creterea numrului de bii pentru reprezentare: creterea preciziei

creterea domeniului numerelor

7/30/2019 curs 2 asdn

25/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 25


numerelor n virgul mobil

Standardele pentru floating point: IEEE 754 din 1985, actualizat n 2008

IEEE 854 din 1987 reprezentarea numerelor n virgul mobil

operaii aritmetice n aceast reprezentare

7/30/2019 curs 2 asdn

26/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 26

2.2. Aritmetica binarOperaii aritmetice cu numere fr semn

Adunarea binar operaie modulo 2

cifra cu valoarea cea mai mare: 2-1 = 1 dac rezultatul adunrii a 2 cifre de rang i depete valoarea

1 apare transport ctre rangul i+1, care se adaug la sumacifrelor de rang i+1

transportul la cifra cea mai semnificativ indic depireacapacitii de reprezentare a rezultatului

7/30/2019 curs 2 asdn

27/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 27


Adunarea binar

Exemplu:2210 = 101102 +1910 = 10011241

10= 101001

2

x y Transport Sum0 0 0 0

0 1 0 11 0 0 11 1 1 0

7/30/2019 curs 2 asdn

28/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 28


Scderea binar 2 cifre de rang i; poate s apar mprumut de la rangul

i+1

Exemplu:2210 = 101102 -

1910 = 100112

310 = 000112

x y mprumut Diferen0 0 0 00 1 1 11 0 0 11 1 0 0

7/30/2019 curs 2 asdn

29/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 29


nmulirea binar prin adunarea repetat de produse pariale

produsul este 1 doar daci denmulitul i nmulitorulsunt 1

x y Produsul

0 0 00 1 01 0 01 1 1

7/30/2019 curs 2 asdn

30/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 30


nmulirea binar - exemplu:1210 = 11002 x

610 = 011020000

1100

1100

0000

10010002 (64 + 8 = 7210)

7/30/2019 curs 2 asdn

31/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 31


mprirea binar nu se poate efectua dac mpritorul este egal cu 0!!!

trebuie s fie satisfcut relaia:X = Q Y + R X = demprit; Y = mpritor; Q = ct; R = rest

se fac scderi ale mpritorului din resturile pariale dac restul parial este:

mai mare ca mpritorul cifra ctului este 1

dac restul parial este mai mic dect mpritorul cifra ctului este 0

7/30/2019 curs 2 asdn

32/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 32


mprirea binar - exemplu14710 = 100100112 ; 1110 = 1011210010011 : 1011 = 11012 ct = 13101011

1110

10111111

1011

1002 rest = 410

7/30/2019 curs 2 asdn

33/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 33

2.2. Aritmetica binarOperaii aritmetice cu numere n virgul fix

Adunarea numerelor reprezentate ncomplement fa de 2 se adun numerele bit cu bit, inclusiv biii de semn

se ignor transportul de la biii de semn dac rezultatul e negativ apare ca un numr reprezentat n

complement fa de 2

Observaii: dac rezultatul n valoare absolut este mai mare dect valoarea

maxim care poate fi reprezentat depire la adunarea a 2 numere de acelai semn apare depire daci

numai dac rezultatul are semn contrar semnelor numerelor

7/30/2019 curs 2 asdn

34/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 34


Adunarea numerelor reprezentate n complementfa de 2 - exemple+ 910 0 10012 + 910 0 10012

+ 510 0 01012 + 1110 0 10112+1410 0 11102 + 2010 1 01002 rezultat incorect- 910 1 01112 - 910 1 01112- 510 1 10112 - 1110 1 01012

- 1410 11 00102 - 2010 10 11002 rezultat incorect+ 710 0 01112 - 710 1 10012- 410 1 11002 + 410 0 01002

+ 310 10 00112 - 310 1 11012

7/30/2019 curs 2 asdn

35/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 35


Scderea numerelor reprezentate n complementfa de 2 se poate executa prin 2 metode:

prin scdere direct, dac se dispune de scztoare elementare

prin adunarea complementului fa de 2 a scztorului, dac sedispune de sumatoare elementare

pot s apar depiri, care trebuie detectate la scderea unor numere de semne contrare pot s apar

depiri daci numai dac rezultatul are acelai semn cuscztorul

7/30/2019 curs 2 asdn

36/36

13.10.2009 Curs 2 ASDN 36


Scderea numerelor reprezentate n complement fade 2 - exemplu pentru metoda cu adunare cucomplementul fa de 2 al scztoruluiD: + 710 0 01112S: - 410 1 11002S: - (- 4)10 0 01002 complement fa de 2

Atunci:D: + 710 0 01112S: + 410 0 01002

+1110 0 10112

Documents

curs 2 asdn