Curs 7 - Statistica in SPSS

8/18/2019 Curs 7 - Statistica in SPSS

1/47

DISTRIBUŢII DE PROBABILITATEPARTEA I

1

Statistică în SPSS - Curs 74 aprilie 2016


2/47

Ce veţi învăţa în acest curs:2

Ce este o variabilă aleatoare şi cum poate i eautili!ată în practicăCe se înţele"e prin #istribuţia #e probabilitate a

unei variabile aleatoareCum să #istin"em între variabilele aleatoare#iscrete şi cele continueCum se calculea!ă şi cum se interpretea!ă me#ia şi

#ispersia unei variabile aleatoare şi a sumei #e maimulte variabile aleatoare


3/47

$% &ariabile aleatoare3

Pentru orice e'perienţă aleatoare( se poate #eini o variabilă aleatoare ataşată%Pentru a #eini o astel #e variabilă aleatoare trebuie

să in#icăm toate re!ultatele posibile alee'perimentului%Definiţie: ) variabilă aleatoare este o #escriere

numerică a re!ultatelor unei e'perienţe%


4/47

*'emplul $4

*'perimentul: sunăm la teleon 100 #e persoanepentru a vin#e un anumit pro#us% &ariabila aleatoare +',: numărul #e pro#use vn#ute%

&alorile posibile pentru variabila aleatoare: 0( 1( 2( .(/( 100%


5/47

*'emplul 2:5

*'perimentul: unca pe o perioa#ă #e un an pentruinali!area unei biblioteci% &ariabila aleatoare +',: Procentul #e proiect care a

ost inali!at #upă 6 luni% &alorile posibile +procentuale, pentru variabila

aleatoare: 0 ≤ ' ≤ 100%


6/47

)bservaţie:6

nei aceleiaşi e'perienţe aleatoare i se pot asociamai multe variabile aleatoare( în uncţie #ere!ultatul care ne interesea!ă în stu#iu%

e e'emplu( la aruncarea unui !ar putem să iminteresaţi #e toate cele 6 re!ultatele posibile( sau #ere!ultate #e tipul par 3 impar mai mic #ect #oi 3mai mare sau e"al cu 2 etc%


7/47

Clasiicare7

&ariabilele aleatoare pot i #iscrete sau continueClasiicarea se ace în uncţie #e valorile pe care le

poate lua variabila

acă variabila ia un număr init( sau ininitnumărabil #e valori( atunci este o variabilă#iscretă%acă variabila ia valori într-un interval( sau într-o

mulţime #e intervale( atunci este o variabilăcontinuă%


8/47

*'emplu:8

&ariabila #iscutată pe #iapo!itivul 4 este o variabilăaleatoare #iscretă% &ariabila #iscutată pe #iapo!itivul 5 este o variabilă

aleatoare continuă%


9/47

$$% istribuţii #iscrete #e probabilitate9

Consi#erăm e'emplul unui #ealer autoărimea #e interes este volumul !ilnic al

vn!ărilor

Se ştie #in e'perienţa anterioară că numărulma'im #e maşini vn#ute într-o !i este 5Pe ba!a acestei e'perienţe( #ealerul consi#eră că

este relevant să consi#ere că numărul ' almaşinilor vn#ute !ilnic este 0( 1( 2( .( 4 sau 5%


10/47

eterminăm probabilităţile asociatere!ultatelor

10

atele #e care #ispunem: inormaţii provenite #incele .00 #e !ile lucrătoare #in anul anterior &olumul vn!ărilor şi recvenţa re!ultatelor sunt

pre!entate în tabelul următor%


11/47

Volum vânzăriVolum vânzări Număr de zileNumăr de zile

Nicio vânzareNicio vânzare 5454

Exact o maşinăExact o maşină 117117

Exact două maşiniExact două maşini 7272

Exact trei maşiniExact trei maşini 4242

Exact patru maşiniExact patru maşini 1212

Exact cinci maşiniExact cinci maşini 33

TotalTotal 30030011


12/47

uncţia #e probabilitate12

rată probabilităţile cu care apar re!ultateleSe notea!ă cu +',Se obţine #in tabelul #e #ate ca recvenţă relativă a

re!ultatelor


13/47

Volum vânzări (x)Volum vânzări (x) Probabilitate (f(x))Probabilitate (f(x))

Nicio vânzareNicio vânzare 5430054300 ! 0"18! 0"18

Exact o maşinăExact o maşină 117117300 ! 0"39300 ! 0"39

Exact două maşiniExact două maşini 7272300 ! 0"24300 ! 0"24

Exact trei maşiniExact trei maşini 4242300 ! 0"14300 ! 0"14

Exact patru maşiniExact patru maşini 1212300 ! 0"04300 ! 0"04

Exact cinci maşiniExact cinci maşini 33300 ! 0"01300 ! 0"01

TotalTotal 1113


14/47

)bservaţie:14

8abelul #e pe #iapo!itivul anterior este un mo# #erepre!entare a unei #istribuţii #e probabilitateasociată unei variabile aleatoare%

) altă manieră este repre!entarea "raică% ceasta are avanta9ul #e a i mai intuitivă


15/47

15


16/47

on ţ pentru o str uţ e eprobabilitate

16

+', ≥ 0 +1,Σ +', 1 +2,


17/47

$nterpretare17

&alorile #e probabilitate sunt toate po!itive;n #istribuţia #e probabilitate au ost luate în calcul

toate re!ultatele posibile cu probabilităţi corecte%

Se observă că #atele #in 8abelul #e pe #iapo!itivul 1.satisac aceste con#iţii%


18/47

uncţia #e istribuţie cumulativă18

Se notea!ă cu +', şi se mai numeşte uncţie #erepartiţie%uncţia +', #e probabilitate oeră inormaţii

#espre probabilitatea ca variabila aleatoare să ia oanumită valoare( '%Spre #eosebire #e aceasta( uncţia #e istribuţie

cumulativă oeră inormaţii #espre probabilitateaca variabila aleatoare să ia valori mai mici sau e"alecu un anume re!ultat%


19/47

*'emplu:19

Să presupunem că #orim să calculăm probabilitateaca #ealerul să reali!e!e cel mult trei vn!ări într-o !i% vem #e calculat +.,%

+., +0, < +1, < +2, < +.,+., 0(1= < 0(.> < 0(24 < 0(14+., 0(>5


20/47

(x)(x) F(x)F(x)

00 0"180"18

11 0"570"57

22 0"810"81

33 0"950"95

44 0"990"99

55 1"001"00

20


21/47

$$$% &aloarea me#ie şi #ispersia21

&aloarea me#ie( sau aşteptată( a unei variabilealeatoare #iscretă este me#ia re!ultatelor salepon#erată cu probabilităţile cu care acestea apar

Se notea!ă cu *+', sau cu µ şi se calculea!ă astel:*+', µ Σ ' +', +.,


22/47

xx f(x)f(x) x f(x)x f(x)

00 0"180"18 00

11 0"390"39 0"390"39

22 0"240"24 0"480"48

33 0"140"14 0"420"42

44 0"040"04 0"160"16

55 0"010"01 0"050"05

E#x$E#x$ !! µµ !! ΣΣ xx %#x$%#x$ !! 1"501"5022


23/47

$nterpretare $23

Pentru e'perimente care se pot repeta #enenumărate ori( valoarea aşteptată este valoareame#ie pe termen lun" a variabilei aleatoare%?u este neapărată nevoie ca valoarea me#ie să ie

una #intre valorile pe care le ia variabila aleatoare%;n e'emplul #ealerului auto( #eşi valoarea 1(5 este

imposibil să repre!inte o valoare a variabileialeatoare stu#iate( ea apro'imea!ă bine nivelul

!ilnic al vn!ărilor( pe @termen lun"A%


24/47

$nterpretare $$24

*'istă( totuşi( multe probleme în care variabilaaleatoare nu se reeră la evenimente care se potrepeta #e mai multe ori%;n astel #e situaţii nu mai putem interpreta

valoarea me#ie ca iin# o apro'imare a me#iei @petermen lun"A%eci#entul se poate( totuşi( "n#i că e'perimentul

se poate reali!a ipotetic #e mai multe ori( pentru a#etermina cea mai bună interpretare%


25/47

$mportanţa valorii me#ii25

Se re"ăseşte att în iniţiativele #e planiicare( ct şi în cele #e luare a unor #eci!ii%e e'emplu( presupunem că #ealerul va lucra în

următoarele trei luni timp #e 60 #e !ile%Care este numărul maşinilor care se aşteaptă a i

vn#ute în acest răstimpB60 ' 1(5 >0 #e maşini


26/47

ispersia26

&aloarea me#ie ne #ă inormaţii #espre valoarea@centralăA pentru variabila aleatoare%ispersia măsoară variabilitatea( sau #ispersarea

valorilor pe care le ia variabila aleatoare%Cu ct valorile variabilei aleatoare sunt mai

împrăştiate( cu att #ispersia va i mai mare şireciproc%


27/47

D²(X) = =

27

ispersia unei variabile

aleatoare se calculea!ă astel:


28/47

xx x &x & µµ #x & µµ$$'' %#x$%#x$ #x & µµ$$'' (( %#x$%#x$

00 & 1"5& 1"5 2"252"25 0"180"18 0"40500"4050

11 & 0"5& 0"5 0"250"25 0"390"39 0"09750"0975

22 0"50"5 0"250"25 0"240"24 0"06000"0600

33 1"51"5 2"252"25 0"140"14 0"31500"3150

44 2"52"5 6"256"25 0"040"04 0"25000"2500

55 3"53"5 12"2512"25 0"010"01 0"12250"1225

))' !' ! 1"25001"250028


29/47

baterea stan#ar#29

Se calculea!ă ca ra#ical #in #ispersie;n ca!ul e'emplului nostru ) ! 1"118eamintim că interpretarea abaterii stan#ar# este

mai naturală #ect interpretarea #ispersiei

$& uncţii liniare şi sume #e variabile


30/47

$&% uncţii liniare şi sume #e variabilealeatoare

30

neori #eci#entul este mai interesat #e anumitecombinaţii #e variabile aleatoare #ect #e variabilele luate separat%

e e'emplu( #acă #ealerul auto obţine un proit!ilnic #e .00 euro pentru iecare maşină vn#ută şialţi 200 #e euro #intr-un contract #e leasin"(proitul !ilnic este:Proit !ilnic .00 D ' < 200 şi este o variabilă

aleatoare%


31/47

&aloarea me#ie:31

) uncţie liniară #e variabila aleatoare ' se scrie a' < b( un#e a şi b sunt constante% &aloarea me#ie pentru o uncţie liniară #e variabilă

aleatoare este:*+a' < b, a(*+', < b +5,Proitul me#iu !ilnic este:*+.00' < 200, .00D*+', < 200 .00D1(5 < 200

650 euro


32/47

ispersia:32

E+a' < b, aE E+', +6,e e'emplu( E+.00' < 200, .00ED E+',

.00ED1(25 112500 euro

baterea stan#ar# este ..5(41 euroeci proitul !ilnic aşteptat pentru #ealerul auto este

#e 650 euro( cu o abatere stan#ar# #e ..5(41 euro%

a oarea aşteptat a sume e var a e


33/47

a oarea aşteptat a sume e var a ealeatoare

33

e e'emplu( să presupunem că #ealerul are încă unpunct #e lucru #escFis într-un alt loc #in ţară%8abelul următor arată numărul #e maşini care pot i

vn#ute pe parcursul unei !ile lucrătoare şi calculul valorii me#ii%


34/47

** %#*$%#*$ **((%#*$%#*$

00 0"050"05 0"000"00

11 0"100"10 0"100"10

22 0"300"30 0"600"60

33 0"250"25 0"750"75

44 0"150"15 0"600"60

55 0"100"10 0"500"5066 0"050"05 0"300"30

+ota,- +ota,- 1"001"00 µµ ! 2"85! 2"8534


35/47

*'emplu #e calcul35

ealerul este interesat să #etermine nivelul me#iu al vn!ărilor pe ansamblul celor #ouă puncte #e lucru%orim să calculăm *+'


36/47

E(X+Y) = E(X) + E(Y) (7)

E(X + Y + Z) = E(X) + E(Y) + E(Z) ETC.

36

e"ulă

spers a sume e ou var a e


37/47

spers a sume e ou var a ealeatoare

37

acă variabilele aleatoare ' şi G sunt v!i"i#e#e$%!e in&e'en&en$e( atunci #ispersia sumeilor se poate calcula astel:E+' < G, E+', < E+G, +=,;n ca!ul #ealerului auto( #acă se poate presupune

că vn!ările #e la cele #ouă puncte #e lucru suntin#epen#ente( atunci:E+' < G, E+', < E+G, 1(25 < 2(1. .(.= baterea stan#ar# este 1(=4


38/47

istribuţii 9u'tapuse #e probabilitate38

;n practică( multe #eci!ii presupun luarea în calcul amai multor variabile aleatoare simultan%;n problemele care implică #ouă sau mai multe

variabile aleatoare( #istribuţia #e probabilitate carere!ultă se numeşte distribuţie de probabilităţi juxtapuse%


39/47

*'emplu:39

Consi#erăm că în ca!ul #ealerului auto( vom lua înconsi#erare ca al #oilea element #e interes numărul#e vn!ători care se ală la lucru în !ilele #espre careavem #ate #espre numărul #e maşini vn#ute%atele sunt pre!entate în tabelul următor:


40/47

NumărNumărdede

maşinimaşini

vândutevândute

Număr de vânzătoriNumăr de vânzători

+ota, +ota,11 22 33

00 1515 3434 55 5454

11 3333 7878 66 117117

22 2323 4545 44 7272

33 1717 1414 1111 4242

44 22 77 33 1212

55 00 22 11 33

30030040


41/47

einim:41

+'( G, probabilitatea combinaţiei ' şi G( un#e 'repre!intă numărul #e maşini vn#ute( iar Grepre!intă numărul #e vn!ători pre!enţi la lucru%

e e'emplu( +0(1, 15H.00 0(050

N ăN ă N ă d â ăt i # $N ă d â ăt i # $


42/47

NumărNumărdede

maşinimaşini

vândutevândute#x$#x$

Număr de vânzători #*$Număr de vânzători #*$

+ota, +ota,11 22 33

00 0"0500"050 0"1130"113 0"0170"017 0"180"1811 0"1100"110 0"2600"260 0"0200"020 0"390"39

22 0"0770"077 0"1500"150 0"0130"013 0"240"24

33 0"0560"056 0"0470"047 0"0370"037 0"140"1444 0"0070"007 0"0230"023 0"0100"010 0"040"04

55 00 0"0070"007 0"0030"003 0"010"01

1142


43/47

8abelul #istribuţiei probabilităţilormar"inale:

xx % % xx#x$#x$ ** % % **#*$#*$

00 0"180"18 11 0"300"30

11 0"390"39 22 0"600"6022 0"240"24 33 0"100"10

33 0"140"14 +ota, +ota, !! 11

44 0"040"0455 0"010"01

+ota, +ota, !! 11

43


44/47

)bservaţie:44

Probabilităţile mar"inale #in 8abelul anterior sunti#entice cu probabilităţile pe care le-am pre!entat întabelul #e pe #iapo!itivul 1.

e e'emplu( '

+2, 0(24 şi G

+1, 0(.0

n epen enţa a ou var a e a eatoare


45/47

n epen enţa a ou var a e a eatoare#iscrete

45

ouă variabile aleatoare #iscrete ' şi G suntin#epen#ente #acă pentru orice valori ' şi G are loce"alitatea:

+'( G, '

+', ( G

+G, ltel( cele #ouă variabile aleatoare se numesc

#epen#ente%


46/47

;n e'emplul #ealerului auto:46

+0( 1, 0(050'+0, 0(1=G+1, 0(.0

+0( 1, '+0, D G+1, B0(050 0(1= D 0(.0 alseci( volumul vn!ărilor #epin#e #e numărul #e

persoane care se ală la lucru într-o !i%


47/47

)bservaţie:47

Pentru a #emonstra că variabilele aleatoare sunt#epen#ente a ost suicient să "ăsim cte o valoarepentru iecare #intre ele( pentru care să re!ulte căe"alitatea +'( G, '+', ( G+G, nu este satisăcută%Pentru a proba in#epen#enţa( va i nevoie să

#emonstrăm că e"alitatea este în#eplinită pentrutoate combinaţiile posibile #e ' şi G( nu #oar #e o

perecFe oarecare%

Documents

Curs 7 - Statistica in SPSS