1. ESFERA CELESTE SISTEMAS DE COORDENADAS ASTRONOMICAS

La determinación en cada instante de las posiciones de las estrellas se realiza en varios sistemas de coordenadas “naturales”, basados en las propiedades y movimientos de la Tierra (rotación y traslación) y en la estructura galáctica. Los sistemas de coordenadas se agrupan por la orientación del triedro, por su origen y por su función (direcciones u observaciones físicas).

1. SISTEMA DE COORDENADAS DE DISTINTA ORIENTACION Cada sistema de coordenadas se define por su plano fundamental Π (OXY), recta de origen (OX ) y sentido de giro (directo o inverso).

1.1. COORDENADAS HORIZONTALES z (zenit) A rr O h x (S) a π HOR y (W) π xy ≡ π HORIZ OX ≡ OS T. inverso. [OX ≡ ON en geodesia]

Un punto A(x y z) → rr = zyx coordenadas rectangulares horizontales

A(r, a, h) → ⋅⋅⋅⋅⋅

= )( )()cos( )cos()cos(hsenr asenhr ahrrr

a: acimut (0º → 360º) (a, h) c. esféricas rectangulares h: altura (-90º → +90º) z: distancia cenital: 90º - h (0º → 180º)

Los ángulos se miden en el centro de la esfera y en su superficie

máximo c. longituddiedro ángulo

Líneas coordenadas

→=→=

atesalmucantarctehverticalescirculosctea z a PN A h h N O S a Horizonte a W

1.2. COORDENADAS ECUATORIALES HORARIAS z (PN) A rr D x (Q) H y (W) π xy ≡ π EQ , )( I MEREQOQOX ππ≡ , T. inverso A(x y z) → = rsenDDsenHr HDrr cos coscosr h, D: coordenadas esféricas horarias

H: ángulo horario (0h → 24h) º151 ≡h m4º1 ≡ D: declinación (-90º → +90º) '151 ≡m s4'1 ≡ P: distancia polar: 90º-D (0º → 180º) ''151 ≡s Líneas coordenadas

=→=∝→=cteDParacelestesparaleloscteDtHParahorarioscírculoscteH

* . :* . movimiento diurno

z H Q PN A D H N O S W 1.3. COORDENADAS ECUATORIALES ABSOLUTAS z (PN) A O D y (Q) A x (γ ) Eqπ π xy ≡ π EQ , γOOX ≡ , T. directo A(x y z) → = rsenDDsenAr ADrr cos coscosr A, D: Coordenadas esféricas ecuatoriales A (AR,α ): Ascensión recta (0h→ 24h) D (δ ): Declinación (-90º → +90º) P: distancia polar (0º → 180º) Líneas coordenadas

→=→=

celestesparaleloscteDcelestesmeridianoscteH

PN (z) E D Q’ O Q (y) Eq (x) γ A

Suponiendo las figuras de los sistemas 1.2. y 1.3., tenemos: z Q H E H D N O S A Hor

W . Eq Q’ γ A+H = θγ γ ≡≡ HQ : Tiempo sidéreo (fórmula válida para cualquier estrella en un instante dado). Esta relación permite relacionar A y H a través de θ (Telescopios). Cuando una estrella pasa por el meridiano (H = 0) se cumple: θ = A, lo que relaciona los relojes sidéreos y los catálogos de *. Estas determinaciones se realizan con círculos meridianos. El paso por un almucantarate se registra con el astrolabio de Danjon. 1.4. COORDENADAS ECLIPTICAS z (Pe) A O B y ( ) L (γ ) Eclπ π xy ≡ π Ecl , γOOX ≡ , T. directo A(x y z) →

=

senBrBsenLr

LBrr cos

coscosr

L, B: Coordenadas esféricas eclípticas L: Longitud celeste (0º → 360º) B: Latitud celeste (-90º → +90º)

Líneas coordenadas

→=→=

latituddemenorescteBlongituddemáximoscteL

PN ϖ Pe E B L O γ 1.5. COORDENADAS GALACTICAS π xy ≡ π Gal ( LACTEAVÍAGALAXIASIMETRIA ≈π ). T. directo OX distinto en 2 sistemas (I y II)

→

→

Sagitario)en fuente-(Radio galáctico centrodirección :,ón intersecci : Eq

OCII

ONI Galππ

(Medidas ópticas y Radio-Astronomía) Coordenadas esféricas galácticas: l: longitud galáctica b: latitud galáctica Sistema I: (Ohlsson, lI, bI, acuerdo U.A.I (Unión Astronómica Internacional) de 1935, “antiguo sistema”) G

=

=

º284012Io mhIo

DA (1900.0)

)º280(4018: mhNARONOX =≡ (1900.0) Sistema II: (lII, bII, “nuevo sistema” acuerdo U.A.I de 1960) G

=

=

4,º274912IIo mhIIo

DA , mhNAR 4918= (1950.0)

OCOX = →= º123θ G

−=

=

'55º284,4217IIo mhIIo

DA (1950.0)

PN R Gal G θ Ao O Q Eq.C. γ N C R’ * Cada sistema de coordenadas esta diseñado para una aplicación determinada: - Coordenadas Horizontales: Mas sencillas y directas. Locales (Teodolito) a(t), h(t): no lineales → no adaptadas al movimiento diurno - Coordenadas Horarias: Adaptadas al giro de la esfera celeste (H∝ t, D = cte para las estrellas). Son locales - Coordenadas Ecuatoriales Absolutas: Universales. Constantes (1ª aproximación) para las estrellas → Catálogos * - Coordenadas Eclípticas: Universales. Relacionadas con el movimiento orbital de la Tierra → determinaciones en el sistema solar - Coordenadas Galácticas: Universales. → Estudios estadísticos de conjuntos de estrellas en galaxias

2. RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS DE DISTINTA ORIENTACION

* Existen dos METODOS equivalentes para relacionar las coordenadas esféricas en distintos sistemas: 1) Uso de MATRICES DE GIRO (unitarias y ortogonales): rRr i rr )(' α= , donde: rr

rr ,' son coordenadas rectangulares en 2 sistemas )(αiR : matriz de giro necesaria para proyectar (x y z) sobre (x’ y’ z’) mediante una

rotación α en torno al eje i, con i = 1, 2, 3 para x, y, z −=

ααααα cos 0 sen cos 0 1 0 1)(1 senR =

αα

ααα cos 0 0 1 0 sen- 0 cos)(2 senR = 1 0 0 0 cos sen- 0 sen cos)(3 αα

αααR

)()( 1 αα −= −ii RR (Matrices de giro) )()( αα Tii RR =− (Forma de matrices) )()(1 αα Tii RR =− (Ortogonales)

Signo de α :

−→+→)(.)(.

inversosTdirectosT S1

S1 * S2 = signo=−+ ))((

−−→+→)()(

tornilloGirotornilloGiro S2

2) FORMULAS DE TRIGONOMETRIA ESFERICA: Triangulo esférico:

esfera la de centro elpor planos entre diedros :angulos

maximos circulos los de segmentos :lados (Sobre una superficie esférica Radio=1) B c a b A C Fórmulas: (A) (3 lados y 1 ángulo): Asencsenbcba cos..cos.coscos += (B) (2lados y 2 ángulos):

senCsenc

senBsenb

senAsena ==

(C) (3 lados y 2 ángulos): AcsenbsencbBsena cos.cos..coscos. −= * Relación entre coordenadas HORIZONTALES y coordenadas ECUATORIALES HORARIAS: z (z) (PN) 90º-φ x’ (Q) 90º-φ O x (S) y (W)

+→−± )( Giro :)z' y' (x' z)y (x :))º90((R :M.Giro (-) inversosson T. 2 ),z' y' (x' horarias Coord. z)y (x eshorizontal Coord. )1 2 φ

)º90()( 2 −− φR

rRrRrRr T rrrr )º90()º90()º90(' 2122 φφφ −=−=−= −

2) En el triangulo esférico (PNZE) podemos aplicar las formulas (A), (B) y (C). Ambos procedimientos nos dan las fórmulas de Bessel: +−=

=+= senhsenasenD senaDsenH senhasenHD .coscoshcos coshcos .coscoscoshcoscosφφ

φφ )'( rr

rr ← Y sus inversas: +=

=−= senDsenHDsenh DsenHsena senDHDsena .coscoscos coscosh .coscoscoscoscoshφφ

φφ)'( rr

rr ←

(Cambiando: a por b y A por B en (A) (B) (C)) z (B) (c) 90º-φ 180º-a 90º-h (a) H Q PN (A) 90º- D (C) (b) E * Relación entre las coordenadas HORARIAS y coordenadas ECUATORIALES ABSOLUTAS: En ambos sistemas D es la misma coordenada. Se cumple: θ = A + H, que relaciona A y H mediante θ (tiempo sidéreo) * Relación entre las coordenadas ECUATORIALES y las coordenadas ECLIPTICAS: 1) Por matrices de giro: ((x y z): Coord. Ecuatoriales, (x’ y’ z’): Coord. Eclípticas Pe z PN z’ ε y’ ε O y Q x x’ γ

z' y' x'z yx T. directos (+). Giro

→→

''

zzyy

ε (R. tornillo→ +x) (+) → (+): )(1 ε+R

: )'( )(' 1 rrrRr ≡+= rr ε −

= rsenDDsenAr ADrsen senrsenBBsenLr LBr cos coscos·cos 0 cos 0 0 0 1cos coscosεεεε

(2) (2) ← (1) (1) Así se obtienen las fórmulas de Bessel: +−=

+== senDsenADsensenB senDsensenADsenLB ADLB

εεεε coscos coscoscos coscoscoscos

La transformación inversa será:

')(1 rRr rr ε−= , de dónde: +=−=

= senBsenLBsensenD senBsensenLBDsenA LBADεε

εε coscos coscoscos coscoscoscos

2) Por trigonometría esférica se obtiene idénticos resultados, con el triangulo (PN-Pe-E): PN (z’) Pe ε PN E ϖ (y’) ε 90º+A B ε 90º-L 90º-D ⇔ Q’ O D Q (y) Pe 90º-B L E A γ (x x’) Pe’ PS En esta figura se resumen ambos métodos de cálculo. * Relación entre las coordenadas ECUATORIALES y las coordenadas GALACTICAS (II) PN G R θ z’ z IIoD IIoA Q’ O Q N γ x’ C x R’

El sistema II queda definido por IIoA , IIoD y θ de modo que para pasar de las coordenadas galácticas (lII, bII) a las coordenadas ecuatoriales (A, D) tenemos los giros siguientes: 1) Giro / OZ de ángulo: -(180º-θ )

→→

ONOYOROX ' : )º180(3 −θR

2) Giro / OY de ángulo: -(90º- IIoD )

→≡→

')'(

OQOXOZOPOZ N : )º90(2 −IIoDR

3) Giro / OZ ≡ OZ’ de ángulo: IIoA−

→→

')('

OYOYOOXOX γ : )(3 IIoAR −

De este modo: )(323)( )·º180()·º90()·(' GalIIoIIoEq rRDRARr rr −−−= φ −

−−− −= senbbsenllbsen sensenDD DsenDAsenA senAAsenDDsenAAD oo oooo oo cos coscos·1 0 0 0 cos 0 cos· 0 cos 0 1 0 cos 0 ·1 0 0 0 cos 0 coscos coscos

φφφφ

La transformación inversa (D, A) → (l, b) se obtiene análogamente: M = A·B·C → M-1 = C-1·B-1·A-1

3. SISTEMAS DE COORDENADAS DE DISTINTO ORIGEN

* C. Topocéntricas (Observador, TC): Un punto A → c. rectangulares topocéntricas: = '' '''''' zyxrr

c. esféricas TC: (r”,α ”, δ ”)O” Ejemplo: Las C. Horizontales, son siempre TC. * C. Geocéntricas (Centro de la Tierra, GC): A → 'rr = (x’, y’, z’)O’: c. rectangulares GC (r’,α ’, δ ’)O’: c. esféricas GC * C. Heliocéntricas (Centro del Sol, HC) (si se refieren al c. masas del s. solar son baricéntricas) A → rr = (x, y, z): c. rectangulares HC. ( r’,α ’, δ ’): c. esféricas HC. Para la Tierra: Rr = (X, Y, Z): tabulada día a día en los Anuarios Hoy se obtienen a partir de las “Teorías planetarias” (JPL, BDL, IAA) * C. Galactocéntricas: origen en el centro galáctico. Son C. Galácticas y se emplean en problemas de dinámica y cinemática galáctica. * C. Planetocéntricas: origen en el centro de los planetas. Se emplean en determinaciones sobre su superficie. Suelen ser Ecuatoriales Planetarias.

- La relación entre las coordenadas TC, GC y HC se efectúa mediante traslaciones: 1) Coordenadas TC y GC: 'rr = ''rr + ρr , donde ρr es el vector de posición del observador / centro de masas de la Tierra: ρr = (A, B, C) +=

+=+= Csenrsenr Bsenrsenr Arr '''''' ''''cos''''cos' ''cos''cos'''cos'cos'

δδαδαδαδαδ

En astronomía el cambio de c. astronómicas por esta traslación es la Paralaje Diurna, y se aplica a determinaciones en el sistema solar. 2) Coordenadas GC y HC: Rrr

r

rr += ' → +=+=+= Zsenrrsen Ysenrsenr Xrr '' ''cos'cos 'cos'cos'coscos

δδαδαδαδαδ

Paralaje Anua (estrellas) 3) Coordenadas TC y HC: rr = ''rr + ρr + Rr : se puede hacer por separado 1) y 2). Estas transformaciones se aplican a las C. Ecuatoriales y Eclípticas, fundamentalmente. 4. FORMULAS DE CAMBIO ENTRE COORDENADAS DE DISTINTO ORIGEN

La relación entre las coordenadas esféricas en los sistemas TC, GC y HC puede obtenerse por diversos métodos: FORMULAS DIRECTAS y FORMULAS DIFERENCIALES (caso de ser R<< r y δδαα ≈≈ ',' ) aplicables en la mayoría de casos. 4.1. FORMULAS DIRECTAS DE TRASLACION: z = z’ z E z” δ (-) 'rr rr O’ δ ’ x’’ Rr 'α y’ O δ (-) y x’ α (+) x

Rrrr

rr +=' . Se suponen conocidas

),,(),,(CBAR

rrr

r δα y se quiere determinar )',','(' δαrrr :

Se hace un giro / OZ de ángulo +α''yx

yx

→→ : R3(+α )

R3(α )· 'rr = R3(α )·( Rrr

r + ) = R3(α )· rr + R3(α )· Rr R3(α )· 'rr = … = −

−' )'('cos )'cos('cos'δ

ααδααδsen senr (1.1)

R3(α )· rr = … = δ

δsenr 0cos (1.2) R3(α )· Rr = … = +−

+C BAsen BsenAαα

αα coscos (1.3)

Como (1.1) = (1.2) + (1.3): +−+

+= −− C BAsen BsenAsenrsen senr αα

αα

δ

δ

δααδααδ coscos0cos)' '('cos )'cos('cos' (1.4)

Dividiendo miembro a miembro la segunda ecuación por la primera resulta: ααδ

αααα BsenArBAsentg

+++−=− coscos

cos)'( , lo que permite hallar: αα −' , si se conoce la constante de

traslación: ),(rB

rAk =

r . Luego se calcula: Rrrr rrr +== '' y a continuación 'δ pos la ecuación (1.4) 4.2. FORMULAS DIFERENCIALES DE LA TRASLACION Cuando R<< r, r’ (paralaje diurna, paralaje anua, ~ aberración de luz) puede suponerse

δδαα ≈≈ ',' y podemos efectuar un segundo giro, en torno al eje OY’, de ángulo (-δ ), tal que: OX’ → OX”, OZ’ → OZ”: R2(-δ ), que aplicamos a la ecuación (1.4), donde: 1)'cos( ≈−αα ,

0)'( ≈−ααsen : +−

++= C coscossen0 coscos 0 sen- 0 1 0 sen 0 cos'0 'cos'cos 1 sen- 0 1 0 0 cos

αααα

δ

δ

δδ

δδ

δ

δ

δδ

δδ BAsen BsenArsenrsen

Operando:

++−+−

+++= −

δδαααα

δδδδ

δδ

δδ cos)cos( )0~)(cos( cos)cos(001)'-sen( 0 ~ )'cos(' CsenBsenA BAsen CsenBsenArr Y dividiendo la tercera por la primera, queda:

δδααδδααδδ CsenBsenAr

CBsenAtg+++

++−=− cos)cos(coscos)cos()'( , que permite conocer ( δδ −' ) en función de 'k

r =

(rA ,

rB ,

rC ): constante de traslación diferencial

4.3. FORMULAS DIFERENCIALES POR TRIGONOMETRIA ESFERICA Cuando R<< r, se tiene: ααα d=−' , δδδ d=−' y proyectando rr y 'rr sobre la misma esfera: z δ∆ Ao B rr Ao’ C 'rr 'δ δ y α 'α α∆ δα cos∆ B y” C: centro de la esfera de proyección de direcciones δ∆ Ao: posición de A visto desde O: ( δα , ) Ao ∆ Ao’: posición de A visto desde O’ Ao’ Ao Ao’: distancia esférica = ∆ ( R← ) ααα −=∆ ' , δδδ −=∆ ' x” El triangulo Ao Ao’ B no es esférico pero puede considerarse plano, ya que ∆ << r, r’. Como: (Exceso esférico 02 ≈

RS ) ∆=

∆=∆

δδα'o o'o cosA =AA oBAB 222 )()cos( δδα ∆+∆=∆ (en la esfera)

Efectuando los giros: R3(+α ) y R2(90º-δ ), se obtiene:

z≡ z’ z’’ A rr δ−º90 y’≡ y” α y α x’ x x” (x y z) → + )(3 αR (x’ y’ z’ ≡ z), de modo que: x’∈ ),( rz

rπ (x’ y’ x’) → − )º90(2 δR (x’’ y’’ ≡ y’ z’’), de modo que: o oAdeParaleloz AdeMeridianox rz '' '' '' r

En el sistema (x’’ y’’ z’’), las componentes de ∆

r son: =∆=

∆−==∆ dzz ry rx '' cos'''''' αδ

δr y en el sistema (x y z): =∆ CBAr z’’ Meridiano Ao B b y’’ Ao’ Paralelo ∆ x’’ Se tiene: =∆ ''

r R2(90º-δ )·R3(α )· ∆r

Matricialmente: = ∆∆− CBAsendZr r ·1 0 0 0 cos sen- 0 sen cos·sen 0 cos 0 1 0 cos- 0 cos αα

αδ

δδ

δδαδ

δ

Para determinar δα ∆∆ , , basta conocer ( δα , ) y la constante diferencial de traslación ),,('

rC

rB

rA

rk =∆=r .

Estas formulas relacionan las coordenadas ( δα , ) y ( ',' δα ) de un astro en dos sistemas con origen ligeramente distinto (paralaje) o cuando el rayo luminoso se desvía ligeramente (aberración de la luz).

5. COORDENADAS PARA OBSERVACIONES FISICAS

Se utilizan cuando se quiere referir una zona pequeña de la esfera celeste a un punto de ella que se considera origen o centro. Este es el caso de las observaciones superficiales del Sol (manchas, protuberancias, etc.), de la Luna, los planetas, las orbitas de las estrellas dobles visuales. Se consideran varios sistemas: * Coordenadas planetocéntricas: Suelen ser ecuatoriales planetarias. Su origen es el centro del planeta. La ascensión recta planetocéntrica se mide a partir del punto vernal V del planeta (π eq. planetario I π órbita planetaria). Desde el ecuador del planeta se mide la declinación planetocéntrica. * Coordenadas heliográficas y planetográficas: Son análogas a las coordenadas geográficas terrestres, y se utilizan en el caso del Sol y de aquellos planetas (Marte, Júpiter, Saturno) en que se conoce el eje y el periodo de rotación. Las coordenadas son: longitud heliográfica, contada a partir de un cierto meridiano origen en el sentido de la rotación (lo contrario para la longitud planetográfica) y latitud heliográfica y planetográfica. * Coordenadas relativas o micrométricas: Sólo necesitan para su definición la dirección del meridiano celeste que pasa por el origen (centro del disco de un planeta o el Sol, o primario en el caso de dos estrellas dobles). Estas coordenadas son: N Angulo de posición (θ ): determinado por las direcciones N (meridiano) y del punto M en PQ’ P cuestión, respecto al centro del disco o M θ primario, O. ρ O Distancia angular ( ρ ): desde el punto M hasta el centro del sistema, O (medida en segundos de arco) En el caso del eje de rotación conocido (algunos planetas, Sol), interesa también conocer el ángulo de posición P del polo norte del ecuador del planeta o Sol, PQ’. ρ ,θ se determinan con el micrómetro de hilos y el círculo de posición (históricos). Hoy → imágenes CCD → [x , y] / imagen → ρ ,θ x * * l y y l x

1Part IEFECTOS ATMOSFERICOS1. La radiación electromagnéticaLa radiación e.m. está formada por campos eléctricos y magnéticos vari-ables, sinusoidales y ortogonales entre sí, cuya dirección de propagaciónes perpendicular a ambos campos. Su defasaje es de π/2.La onda e.m. viene caracterizada por su frecuencia ν, número de os-cilaciones por segundo del campo −→E o −→H en un punto de la trayectoria,de modo que la ‘luz blanca’ está formada por un conjunto de radiaciones‘monocromáticas’, de frecuencia prácticamente única y constante, queabarcan un determinado intervalo de frecuencias muy pequeño frente alespectro e.m. total (0 < ν < ∞) . λλλλ E

H t El ojo humano es sensible al conjunto de frecuencias del espectro visible(luz blanca). La placa fotográfica y algunos detectores registran tambiénel espectro infrarrojo (IR) y el ultravioleta (UV), mientras que losradiotelescopios registran zonas del espectro de ondas de radio.Estas zonas del espectro e.m. son las que nuestra atmósfera deja pasarhasta la superficie terrestre, ventana óptica formada por el espectro

2visible, el IR y el UV próximos y la ventana radio.La longitud de onda, λ, es la distancia entre dos puntos de la onda e.m.que están en igual fase o estado de oscilación y depende de la frecuencia(ν), constante para cada onda, y de la velocidad de propagación (V),dependiente del medio en que se propague.En el vacío λ = cν , pero enotro medio con velocidad de propagación v < c se tiene que λ′ = vν < λ.Al cociente cv se le conoce como índice de refracción (n) del medio,que es siempre ≥ 1 y depende de la frecuencia ν.Las unidades de longitud empleadas en el estudio de la radiación e.m.son:

milimicra (mµ) = 10−6mmAngstrom (Å) = 10−7mm

El espectro visible abarca desde los 4000 Å (0.4µ, violeta) a los 7000 Å(0.7µ, rojo)y el espectro radio desde las ondas milimétricas a las ondaskilométricas.La observación a través de la atmósfera afecta al frente de ondas incidenteen el telescopio y modifica el rayo luminoso, tanto en dirección como enintensidad y estructura. Para estudiar estos efectos, debemos conocer elcomportamiento de la atmósfera terrestre.

2. La atmósfera terrestreLa atmósfera terrestre deja pasar la radiación visible a través de su ’ven-tana óptica’. Aunque cada radiación presenta un índice de refracciónn que depende de la frecuencia ν : n(ν), puede considerarse en primeraaproximación que n es constante para las frecuencias del espectro visible.Existen diversas fórmulas empíricas que relacionan n con ν.La variación del índice de refracción n con la altitud h de la capa atmos-férica se deduce de los datos siguientes.Puede suponerse que los gases atmosféricos (N2, O2, CO2), con excepcióndel vapor de agua, se comportan como gases perfectos, cumpliendo la ley:

P · V = n ·R · T

3donde: P, V y T son la presión, el volumen y la temperatura absolutadel gas, R es a constante de los gases perfectos y n en número de molesde gas.Si la atmósfera está en equilibrio, un cilindro vertical de densidad ∆ yaltitud h , limitado por dos superficies isobaras de presión P , P + dP ,de área en las bases dS, está sometido a las fuerzas gravitatoria y depresión:

dS

dS

dh ∆∆∆∆

p

p+dpS

g(P + dP ) · dS + g ·∆ · dS · dh = P · dS

de dondedP = −g ·∆ · dh

que es la llamada ecuación barométrica.En el caso de equilibrio hidrostático, las superficies isotermas (T = cte)e isobaras (P = cte) son superficies de nivel del potencial gravitatorioterrestre (W = V + Vc = cte). Aunque en la baja atmósfera la turbulen-cia perturba estas superficies, en valor medio puede considerarse que secumplen dichas condiciones. En ello se basan las teorías de la refraccióny el cálculo de altitudes barométricas.La ecuación de los gases perfectos

∆ = ∆0 · PP0 · T0

Tjunto con la ecuación barométrica, nos da la estructura atmosférica enfunción de un sólo parámetro. Conociendo, por sondeo vertical, la dis-tribución de temperatura con la altitud h, pueden obtenerse la otrasvariables, P , ∆.

4En la hipótesis de ausencia de vapor de agua, se demuestra que la tem-peratura decrece con h (−9.8oC/km: ‘gradiente adiabático’ ). Incluyendosu efecto, el valor teórico decrece a −6.5oC/km : ‘gradiente real’, análogoal observado. También existen variaciones diurnas, de modo que

T = T (h, t)La densidad ∆ decrece también con la altitud, salvo en las proximidadesdel suelo, donde pueden producirse inversiones de densidad, asociadas ainversiones térmicas. En este caso, el índice de refracción es inferior anivel del suelo. Esto pude producir graves perturbaciones en las obser-vaciones (’espejismos’).En ausencia de vapor de agua, se deduce una relación lineal entre n y ∆

n− 1∆ = n0 − 1

∆0que es la llamada ley de Gladstone, según la cual, n decrece con la al-titud h, desde el valor máximo en el suelo hasta el valor 1 en el límiteatmosférico. En condiciones normales (P = 1 atmosfera, T = 273oK),la densidad ∆0 = 0.001293 g/cm3.3. Refracción astronómicaLa luz de los astros, al atravesar la atmósfera, sufre una desviación, ob-servándose con una mayor altura (menor distancia cenital). La refracciónatmosférica R es la diferencia entre las distancias cenitales verdadera zy aparente.

5

z0 z Rzenit

Onn = 1

R = z − z0En primera aproximación, supondremos la atmósfera formada por ca-pas plano-paralelas, en las que el índice de refracción n varía en formadiscontinua, decreciendo con la altitud. De las leyes de la refracción sededuce1. Que como el rayo incidente, la normal y el rayo refractado están enun mismo plano, el rayo incidente se mantiene en un plano vertical y elrayo refractado conserva el acimut.2. Se cumple

n1 · sin I1 = n2 · sin I2que es un invariante para todas las capas. Igualando los valores extremos(capa inferior y vacío superior) se tiene que

1 · sin z = n · sin z0de donde

sin(z0 +R) = n · sin z0.Se cumple entonces que:· Para z = 0 se tiene z0 = 0 y R = 0.· Para z = 90o se tiene R ≈ 34′ (refracción horizontal).Como R, función creciente de z, es siempre pequeña se verifica quesin(z0+R) = sin z0 ·cosR+cos z0 ·sinR ≈ sin z0+R(rad) ·cos z0 = n·sin z0,de donde

R(rad) ≈ (n− 1) · tan z0.

6Si expresamos (n − 1) (radianes) en segundos de arco (60.3′′ a 0oC y 1atm.), se cumple que, para valores de z0 pequeños:

R′ ≈ tan z0.Teniendo en cuenta las leyes enunciadas antes, se tiene

R ≈ 60.34′′ · P760 · 273T · tan z0, (2.1)

donde P se expresa en mm de mercurio y T en grados centıgrados.Estas fórmulas son válidas para z0 < 70o. Para valores superiores dez0 debe utilizarse una segunda aproximación, con un modelo esférico deatmósfera:1. La atmósfera se compone de estratos esféricos infinitesimales de den-sidad constante. La densidad decrece con la altitud.2. El índice de refracción n de cada estrato es una función monótonadecreciente de la distancia r al centro de la Tierra.

rk-1 rkn0 nk-2 nk-1 nk n = 1IkIk-1zo I´k PkPk-1P0r00

zenit

Considerando dos estratos (k−1), (k) atravesados por el rayo, se cumple,por la segunda ley de la refracción:

nk · sin Ik = nk−1 · sin I ′k. (2.2)

7Además, según la ley del senork

sin Ik−1 = rk−1sin I ′k , (2.3)

eliminando I ′k entre ambas ecuaciones se obtienenk · rk · sin Ik = nk−1 · rk−1 · sin Ik−1 = ... = n0 · r0 · sin z0 .

En general,n · r · sin I = n0 · r0 · sin z0, (2.4)

que es un invariante.Podemos estudiar la trayectoria del rayo de luz r = r(θ), en coordenadaspolares.

zP00

zenitzoθθθθ

dθθθθr r·dθθθθ

P drI

En un punto genérico de la trayectoria P (r, θ) se verificaz = θ + I, de donde: dz = dθ + dI. (2.5)

Además, en el triángulo diferencial:r · dθ = dr · tan I. (2.6)

Diferenciando la expresión (1)dn · r · sin I + dr · n · sin I + n · r · cos I · dI = 0

8y sustituyendo dI de (1) y dr de (1), se obtiene:−dz = dn

n · tan I, (2.7)que es la ecuación fundamental de la refracción.Para simplificar los cálculos, hacemos

m = n0 · r0n · r , (m ≈ 1) , 2 · h = 1−m2 (h ≈ 0).

De (1) resulta:tan I = sin I

cos I =n0··r0n··r · sin z0√

1− (n0··r0n··r )2 · sin2 z0 = m · sin z0√1−m2 · sin2 z0

= m · tan z0√ sin2 ·z0+cos2 z0−m2·sin2 z0cos2 z0 = m · tan z0√1 + (1−m2) · tan2 z0y finalmente:

tan I = m · tan z0√1 + 2 · h · tan2 z0 . (2.8)

Sustituyendo tan I en (1), podemos integrar la ecuacion fundamental dela refracción si establecemos la forma de la función n(r). Considerandouna atmósfera tipo o estandard se calculan los valores de la llamada re-fracción media, tabulada en los Anuarios y Almanaques. Para integrarla,desarrollamos en serie de potencias de h la ecuación (1) y sustituyendoen (1), integramos desde el límite de la atmósfera (n = 1) hasta el niveldel observador (n = n0):

R = −∫ n01 dz = A · tan z0 −B · tan3 z0 + C · tan5 z0 − ... (2.9)

que es la llamada fórmula de Laplace, cuyos coeficientes son las integralesA = −n0 · r0 ∫ 1n01 1

r(n) · d(1n) ∼= 60.27′′

B = −n0 · r0 ∫ 1n01 hr(n) · d(

1n) ∼= 0.0669′′

C = −n0 · r0 ∫ 1n01 32h2r(n) · d(

1n)

9valores numéricos empleados en algunas Tablas de refracción, válidospara valores de z0 no demasiado elevados (z0 < 70o).Para la corrección práctica de los efectos de la refracción se han con-struído numerosas tablas basadas en diversas investigaciones y teorías.Así, el Anuario del Observatorio de Madrid emplea la expresión

R = Rn · b · Tsiendo Rn la refracción media (tabulada en función de z0) para 752 mmde mercurio de presión atmosférica y 10oC de temperatura; b es unacorrección debida a la presión y T una corrección por temperaturaLas Efemérides Astronómicas publicadas por el Real Instituto y Obser-vatorio de la Armada (ROA) de San Fernando (Cádiz), proporcionan lascorrecciones de refracción mediante la fórmula siguiente:

R = R0 · (1 + A · α) · (1 +B · β) = R′ · (1 +B · β)donde: R′ = R0 · (1 + A · α) es la refracción corregida de temperatura.R0 es la refracción normal, tabulada en función de la distancia cenitalz0 , y calculada para una latitud de 45o, a nivel del mar, a 0oC de tem-peratura, a 760 mm de mercurio de presión atmosférica y a 6 mm demercurio de tensión de vapor de agua. A es un coeficiente que dependede la temperatura ambiente y B depende de la presión reducida.α y β dependen de z0 y R′ respectivamente.4. Influencia de la refracción en las coorde-nadasTanto en un modelo de capas plano-paralelas como en uno de capas es-féricas, el valor máximo de R es de unos 34′ y nulo en la dirección delcenit. Deberán corregirse de refracción las observaciones individuales.Engeneral, puede considerarse las correcciones como diferenciales, dado elpequeño valor de R.En coordenadas horizontales:

dz = R , da = 0

10Consecuencia de la simetría de la atmósfera en torno a la vertical dellugar. La refracción no modifica el acimut de los astros y eleva su posiciónen la esfera celeste.En coordenadas horarias:La variación de z y la constancia de a se traducen, según la figura, en:

Ecuador

Z

P A A ’ F dH dD R Meridiano La refracción R eleva la posición de A a A′, de modo que aparecen unasdiferencias

dH = HA′ −HA , dD = DA′ −DA.En el triángulo AA′F se tiene:

FA′ = − cosD · dH = R · sinQAA′ = RFA = dD = R · cosQ

ya que puede considerarse como un triángulo plano, tangente a la esfera.Entonces:

dH = −R · secD · sinQdD = R · cosQ

donde Q es el ángulo paraláctico ZAP .

11En coordenadas ecuatoriales:A partir de la relación θ = A + H, se deduce que dA = −dH y, enresumen:

(dH)s = − 115 · (R)′′ · secD · sinQ

(dD)′′ = (R)′′ · cosQ(dA)s = 1

15 · (R)′′ · secD · sinQEstas correcciones se aplican a las coordenadas verdaderas para obtenerlas aparentes. Hay que calcular previamente Q en el triángulo PZA.La refracción adelanta los ortos y retrasa los ocasos.Las observaciones de precisión deben realizarse con z inferior a 60o.La refracción cerca del horizonte varía muy rápidamente y los astrosextensos (Sol, Luna) se ven deformados (∆R ≈ 6′).Cuando se obtienen imágenes (placas fotográficas o CCD’s) de poca ex-tensión, puede incluirse el efecto individual de la refracción diferencial(sistemático y casi constante) en las ecuaciones de ajuste de las coorde-nadas de los objetos (ver capítulo de Astrometría).

5. Otros efectos atmosféricosLas propiedades físicas y las condiciones de la atmósfera dan lugar a otrosefectos sobre las imágenes visuales.Dispersión atmosférica (δR)Es un efecto diferencial, debido a la variación del índice de refraccióncon la longitud de onda, δnδλ . Conociendo la dependencia de n con λ yderivando la ecuación 1 se obtiene

δR = [A′ · tanZ0 +B′ · tan3Z0] · δnδλ · δλ.Para el valor de δλ ≈ 3500 del espectro visible, δR es del orden de R40 ydepende de la presión y de la temperatura.

12Esta dispersión afecta al tamaño de los discos de difracción, que se am-plían en sentido vertical.(cada radiación produce un disco en distintaposición vertical al sufrir distinta refracción). El poder separador real deun telescopio será menor en esa dirección, excepto en el cenit, donde Ry δR se anulan.

Violeta Rojo δδδδR

Refracciones accidentalesSon pequeños desplazamientos de la posición aparente de un astro, de pe-riodo relativamente amplio, que afectan análogamente a regiones extensasde la esfera celeste. Se originan en las capas bajas de la atmósfera, debidoa sus movimientos y inhomogeneidad, que pueden considerarse como noesféricas y afectan a todas las observaciones, incluso a las cenitales.Si el ángulo z se modifica a z′ = z + dz se tiene que R se modifica aR + dR. Si R ≃ (n0 − 1) · tan z0 y derivamos se obtiene

dRR ≃ dz0

sin z0 · cos z0 .Tomando Rmedio ≃ 50′′ , z0medio ≃ 41o y dR ≃ 0.05′′, resulta dz0 ≃ 17′,que es la inclinación mínima de la capa que pone de manifiesto este efecto.

13 →N '

→N

'z

dz

esféricaCapa

perturbadaCapa

z

La refracción accidental modifica las posiciones de los astros en ∼ 1′′, conperiodos entre 10 y 20 minutos de tiempo. Como afecta a zonas extensas,no se aprecia en las imágenes de campo pequeño.

CentelleoSon oscilaciones mas pequeñas, que se producen con gran rapidez y enforma desordenada. Se originan en las capas altas de la atmósfera y seobservan a simple vista. Afectan al brillo, a la posición y al color de unaimagen puntual. Pueden distinguirse varios tipos:Centelleo dinámico (scintillation): Es el ‘parpadeo’ (variación debrillo) que se observa en las estrellas (no en los planetas, que presentan undisco sensible), de modo que su magnitud oscila entre límites próximos.Afecta a todas las radiaciones procedentes de la estrella y aumenta conel espesor de la atmósfera (z0 creciente).

14

A B A N M

Se explica suponiendo que las capas atmosféricas sufren ondulaciones, demodo que la intensidad luminosa se refuerza y debilita alternativamenteen los puntos A y B. Suponiendo varias capas MN superpuestas, elnúmero de zonas A y B aumenta hasta distar entre 20 y 30 cm (caso real,junto al suelo). La rotación de la Tierra arrastra a la atmósfera, de modoque las zonas A y B se desplazan rápidamente respecto al observador(‘sombras volantes’ en el suelo y paredes blancas en los instantes decomienzo y fin de un eclipse total de Sol). La luz de las estrellas, conun telescopio de mas de 30 cm de abertura presenta luces y sombras ensu disco de difracción. Si la abertura es inferior a 30 cm se producenvariaciones en el brillo total recibido.

tiempo brillo

Con instrumentos de tamaño medio (abertura ≈ 1 metro) el efecto tiendea desaparecer por compensación de las zonas A y B.Este centelleo hace que las estrellas de 7a magnitud (unas 15.000) puedanverse en determinados instantes (refuerzo del flujo luminoso). Simultánea-mente, en cada hemisferio se pueden observar unas 3.500 estrellas.

15Centelleo paraláctico (seeing): Son pequeñas y rápidas variacionesen la posición de las estrellas. No afecta a los planetas y crece también conla distancia cenital. No se anula en el cenit y es el mayor inconvenienteen las observaciones visuales, al aumentar el diámetro de las imágenes’puntuales’ hasta varios segundos de arco.La capa perturbadora desvía los rayos paralelos del haz luminoso, demodo que la superficie de onda que llega al objetivo del telescopio no esplana ni asimilable a ninguna forma geométrica. Puede suponerse quela superficie de onda es plana en pequeñas extensiones (≈ 10 cm), peroesos planos ya no son perpendiculares a la dirección del haz fuera dela atmósfera, oscilando sus normales alrededor de una dirección media,dentro de un cono de semiabertura t (muy pequeño, ≈ n′′), llamadaturbulencia.La imagen en un anteojo pequeño (abertura < 10 cm) oscila desorde-nadamente alrededor de su posición media. →N

→ 'N t Si la abertura es grande (> 10 cm), la imagen (prescindiendo de losefectos de difracción) no será nunca un punto geométrico. Observandocon un fuerte aumento, se ven grandes alteraciones en las figuras dedifracción (máximo central y anillos), que proporcionan una medida dela turbulencia. Inversamente, para una t fija, las imágenes dependen dela abertura del telescopio. También puede calcularse el aumento óptimoa utilizar en una observación planetaria, a partir de observaciones deestrellas de altura análoga.Centelleo cromático: Son rápidos cambios de color que sufren las es-trellas de altura pequeña. No afecta a los planetas y tampoco a lasobservaciones cenitales. Se explica suponiendo que el haz incidente estáformado por haces monocromáticos separados (por efecto de la dispersiónatmosférica y las ondulaciones de las capas atmosféricas).

16Para que el ojo, a través del telescopio, perciba este centelleo, la sepa-ración entre el rojo y el violeta ha de ser igual a la pupila de entradadel telescopio. Suponiendo una atmósfera de densidad constante de al-titud H0 ≈ 3.000 metros, puede obtenerse la separación k entre ambosrayos, a una altitud h < H0, para haces paralelos por encima de H0 queconvergen en 0.El valor de k aumenta con z0 y h crecientes, y disminuye con la presiónatmosférica. Este centelleo no se percibe a simple vista (kojo = 6 mm) siz0 < 16o.

cenit n0 = 1 H0 z0 M N k h δδδδR I I

n Violeta Rojo

0

3. LA TIERRA Y SU ROTACION 1.- FORMA Y DIMENSIONES DE LA TIERRA. DETERMINACIÓN DEL RADIO TERRESTRE. TRIANGULACIÓN Todo cuerpo aislado que gira no demasiado deprisa en torno a un eje que contiene a su centro de masas toma una forma próxima a la esfera. Tal es el caso del Sol, Luna, planetas y de la propia Tierra, observada desde el espacio. Dicha forma permite hallar su radio por el método clásico de Eratóstenes ( siglo III a.C.), en el que se emplean medidas astronómicas ( dirección de la Vr ) y de longitudes sobre la superficie. Históricamente se determinó así el radio R a partir de la relación:

Π⋅= º180ºnlR

l donde R y l se expresan en las mismas unidades R nº y nº es la distancia angular en grados entre 1O y 2O . o2 La distancia l entre 1O y 2O es normalmente T imposible determinarla directamente, por lo que se recurre a la medida directa de una base y de los ángulos de una serie de triángulos que enlazan 1O y 2O . Este método geodésico es la TRIANGULACIÓN. E G Los puntos A, B, C, …, se sitúan a A C o2 ambos lados de la dirección 1O y 2O

a distancias entre 30 y 40 km, de modo H que sean observables desde otros vértices. En o1 F En cada vértice se sitúa una plataforma B D desde la que se determinan los ángulos con un teodolito. La base A1O se determina con toda precisión (± 2 mm para 10 km). Se consideran los triángulos como esféricos y se ajustan todos los datos por mínimos cuadrados. La proyección de la línea que hace 1O BDFH 2O sobre la línea 21OO permite hallar la distancia 21OO en km. 21OO se proyecta a su vez sobre el meridiano. DIMENSIONES Y FORMA DE LA TIERRA

La primera triangulación se remonta a 1615 (Snellius) y son muy numerosas las determinaciones de longitud de meridianos y paralelas en todos los continentes. La longitud de un arco de meridiano de 1º varía entre 110,6 km (Ecuador) y 111,7 km (Polos) en forma continua, lo que indica una disminución de la curvatura terrestre, cuya figura es un esferoide (figura cuya curvatura varía monótonamente) que se considera un ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.

o1

La relación a ba −=ε (a, b semiejes de la elipse meridiana) es el aplanamiento del esferoide. Ha habido tentativas para representar la superficie terrestre mediante un elipsoide de 3 ejes, introduciendo un aplanamiento ecuatorial a aa −′

=′ε muy pequeño. La Unión Astronómica Internacional (U.A.I.) adoptó en 1964 el elipsoide de revolución siguiente:

a = 6378,16 km b= 6356,78 km 25,2981=ε

Por medidas gravimétricas se ajusta (Krassovsi) un elipsoide de tres ejes: a = 6378,24 km a ba −=ε = 3,298

1 000.301=

′−=′a

aaε La diferencia entre los radios ecuatoriales máximo y mínimo es de 213 m y el eje máximo tiene una longitud geográfica de 15º E. Las determinaciones de las órbitas de los satélites artificiales dan para la forma de la Tierra una figura de revolución, asimétrica respecto al ecuador. (Forma de pera): a = 6375,75 km 1b = 6355,39 km 2b = 6355,36 km 1b a 2,298

1=ε 2b Desde un punto de vista astronómico, la Tierra puede considerarse una ESFERA de R = 6.371 km, media aritmética de los semiejes del elipsoide, de modo que ambas figuras sean equivalentes en área y volumen. La figura real de la Tierra no puede representarse por ninguna figura matemática. Por ello se define el GEOIDE, superficie de nivel de la gravedad que coincide con el nivel medio de los océanos y se prolonga en forma continua y cerrada por debajo de la superficie continental. Para ajustar el geoide a la figura de la Tierra se efectúa una compensación de masas (la masa del geoide se incrementa con la del relieve exterior al mismo).

gHaHgH

gΦΦ

Superficie terrestre Geoide Elipsoide La importancia del elipsoide en el estudio de la forma de la Tierra reside en que ambas figuras no se separan, en toda la superficie, en más de 100 metros, al tiempo que el elipsoide es una figura geométrica sencilla (caso opuesto al geoide). La geodesia y la gravimetría tratan de determinar el elipsoide que mejor se ajusta al geoide y la posición de los puntos de éste respecto de aquél. Tomando el elipsoide como figura de referencia terrestre, se tiene:

Vertical geodésica gZ : dirección normal al elipsoide en O.

Vertical astronómica aZ : dirección de la plomada (vertical) en O. Horizonte astronómico aH :

P r gZ plano tangente al geoide en aH aZ O. Horizonte geodésico gH :

O plano tangente al elipsoide en O.

Desviación de la vertical: Es el ángulo que forman las dos o verticales, y su valor apenas alcanza 1’ de arco. La Tierra gira en torno a un eje de rotación instantáneo (‘eje del mundo’), que no coincide con el eje de figura del elipsoide ni con el tercer eje de inercia del geoide. En la figura:

Φ

ΦIQIQ IQ

Φ irIQ IΦ

'er

i O : centro del elipsoide e e’ P T : centro del geoide Z i : eje instantáneo de

rotación Q’ H Q e : eje polar del T elipsoide

O e’ : tercer eje de

Q’ inercia del geoide. (fijo respecto a la Tierra) Ecuador instantáneo: es el plano por T, ortogonal a i, .

Latitud, : es la altura del polo sobre el horizonte, o el ángulo de la vertical con el ecuador. Cuando se mida a partir de y aH ó de aZ y , es la . Debido al desplazamiento de los Polos (3.4 ), el eje i describe alrededor del eje e’ una curva resultante de dos movimientos periódicos de muy pequeña amplitud. Por ello se define el POLO MEDIO de la Tierra como la intersección del eje 'er (considerado prácticamente como invariable, ya que su modificación se debería a movimientos internos de masas) con la superficie terrestre. El ECUADOR MEDIO contiene a los ejes principales de inercia de la Tierra ( Q’) La LATITUD ASTRONÓMICA de los anuarios es el ángulo de la vertical astronómica con el ecuador medio ( , aH ) ( aZ , Q’) La LATITUD GEODÉSICA es el ángulo de la vertical geodésica con el ecuador del elipsoide ( gZ , EQ ) ( gHe,r ) Denominamos COORDENADAS GEOGRÁFICAS a las referidas al elipsoide de revolución cuyos ejes mayores están situados en el ecuador medio y cuyo eje menor es el eje polar medio. Sobre dicho elipsoide tomaremos los meridianos y paralelos geográficos. La LONGITUD GEOGRÁFICA l, tomando como origen el meridiano de Greenwich, es negativa hacia el este y positiva hacia el oeste. Se mide en tiempo: hh l 1212 +≤≤− La diferencia de longitudes entre dos lugares es igual a la diferencia de tiempos sidéreos que existe entre ellos en un cierto instante.

EQ

Φ

Φ

ρaΦ−Φ′

Aθ , Bθ tiempos sidéreos en A y B G para un instante dado. Al , Bl longitudes geográficas de A y B. Al P A Se tiene: Aθ - Bθ = Bl - Al = APB Bl Luego: Aθ + Al = Bθ + Bl = cte. Aθ En Greenwich Gl = 0 y Gθ + 0 = Aθ + Al ; conociendo Aθ y Gθ se puede determinar Al . Bθ B Tomando el elipsoide como figura de referencia, para fijar la posición de un lugar O sobre la superficie terrestre hay que conocer sus coordenadas rectangulares o polares con respecto a los ejes de la elipse meridiana correspondiente a la sección del elipsoide por el meridiano del lugar. Los ejes son:

z P v Tx sobre el ecuador y P Tz en la dirección del eje Q polar. Las coordenadas B O (x,z) rectangulares son (x,z) y las polares, el radio vector de O, que designaremos c por (siendo el u cociente entre aquel y A’ A el radio ecuatorial : T a M x 1≤≤ ρac , y el ángulo

XTO,Φ′ , la latitud geocéntrica.

v = , ángulo entre la vertical y el radio, es el B’ ángulo de la vertical. u, ángulo de TQ con el eje TX, es la latitud reducida. Se pueden obtener fácilmente diversas relaciones entre estos elementos: K−Φ⋅′′+Φ⋅′′−Φ=Φ′ 417.1266.36'11 sensen (1) que nos proporciona el

valor de la latitud geocéntrica en función de la latitud geográfica para el elipsoide internacional: 2971=f . * El valor máximo de v es de 6311 ′′′ y corresponde a unas latitudes: 84545º ′′′=ΦM y 214544 º ′′′=Φ′M .

Φ′

ρa ρ

a

ahH =

* En función de Φ pueden obtenerse las coordenadas rectangulares y el valor de ρ .

Introduciendo dos funciones auxiliares C(Φ ) y S(Φ ), tales que:

ΦΦ==Φ′=ΦΦ==Φ′=

senaSusencsenazaCuaax

)(cos)(coscos

ρρ (2)

Numéricamente se obtiene para :ρ K+Φ⋅−Φ⋅+= 4cos0000035,02cos0016835,09983200,0ρ (3) * Los valores de v, Φ′ , C, S y ρ pueden calcularse en función de Φ. * Veamos también el efecto de la altitud, h, del observador O en sus coordenadas. Se tiene: O’ Φ′daρ z Q

h v d( ρa ) Φ′d O (x,z) ρa Φ′ Φ x T Φcosh

[ ] Φ′≅Φ⋅+= dadadaQO ρρρ ')(' =Φ

=⇒=Φ′= senvHd vHdhsenvda vhad

ρ

ρ

ρρ ' coscos)(

siendo la altitud reducida.

Como que 63'11 ′′≤v en una primera aproximación se tiene ( 0',:)0 =Φ=≅ dHdv ρ En general, las coordenadas cartesianas serán:

Φ+=Φ+ΦΦ=Φ+=Φ+ΦΦ=⇒

Φ=Φ=

senhSahsensenaSzhCahaCx

hsendzhdz

)()(`cos)(coscos)(`cos (4)

Las coordenadas ρ ,Φ′ del observador, ya corregidas de la altitud , se obtendrán de: Φ+=Φ=

Φ+=Φ= senHSsenaz HCax )(' cos)('cosρ

ρ (5)

2. POTENCIAL TERRESTRE. POTENCIAL DE LA GRAVEDAD Se denomina POTENCIAL TERRESTRE al de atracción gravitatoria de toda la masa terrestre sobre un punto exterior a la misma; para estudiarlo nos referiremos a la figura, donde: P o: el centro de masas de la Tierra; ρr : el redio vector de un elemento de masa dm con respecto a o; rr pr : el vector de origen en dm y extremo en el punto P exterior en que se desea conocer el potencial pr rr : el vector de posición de P respecto de o; M: la masa total de la Tierra; G: la constante de gravitación universal, que vale

z y 81067,6 −⋅ unidades C.G.S (cm, g, s); o M ρr dm x

El potencial gravitatorio del elemento de masa dm en el punto P vale ∫= M pdmGV (6)

dónde dvdm )(ρδ r= , siendo )(ρδ r la densidad en el punto de vector de posición ρr y

dv el elemento de volumen ocupado por dm . Como que: ρrrr −= rp , elevando al cuadrado y operando se obtiene:

)21(2 2222222rr

rrrrp ρρρρ +−=−+=rr

rr , por lo que 212222111−

+−=rr

rrp

ρρrr (7) En lo que sigue consideraremos puntos suficientemente alejados de la Tierra, tales que

ρ>>r , de modo que despreciaremos los términos de los desarrollos en serie superiores al 2º orden. Sustituyendo (7) en (6), desarrollando en serie y operando, se obtiene finalmente para V la expresión:

K

r +

−•−= IrIrr

Gr

GMV 223 32 (8) en la que:

∫ −= M dmUI )( 22 ρρ r , es el llamado tensor de inercia de la Tierra, que en

forma matricial se escribe:

−−−−−−

=CFGFBHGHA

I y cuyas componentes

quedan determinadas una vez fijados los ejes x, y, z.

U es el tensor unitario en 3 dimensiones. 2ρr , 2rr son los cuadrados tensoriales de ρr y rr :

==

==

Tensorrrrr

Tensorjiij jiij:))(()(

:))(()( 22 22r

r ρρρρ ambos son simétricos

• es el producto interior de dos tensores cuyo resultado es un escalar jiji jijiji baba ∑=

⋅=3 1,))((

I es la traza de I (suma invariable de las componentes de la diagonal principal) = A+B+C.

En este caso: 2rI r• = FyzGxzHxyCzByAx 222222 −−−++ siendo zyxr ,,=r * Si la Tierra tuviera distribución esférica de masas, se cumple que: A=B=C y F=G=H=0 Entonces: UAI ⋅= , AI 3= ,

=−=−• 03333 2222 AAr

rArAU

rr y el potencial

se reduce al primer término del desarrollo (8). En el caso de estar el punto P muy alejado, se cumplirá también aproximadamente rGMV ≅ (caso de la Mecánica Celeste del sistema solar). * Tomando como ejes coordenados (x, y, z) los ejes principales de inercia de la Tierra, con origen en su centro de masas, los momentos centrífugos F,G y H se anulan, quedando solamente los momentos principales A, B y C. * Suponiendo distribución de masas de la Tierra con simetría de revolución en torno al

eje z, se tiene que: A=B e I=

CA

A

000000 2222 )( CzyxArI ++=• r CAI += 2

Sustituyendo en (8): 2 223 )3)((

2 rrzAC

rG

rGMV −−−= (9) (Fórmula de MAC CULLAGH).

Para astros suficientemente alejados podemos suponer que el plano (x, y) determinado por los dos ejes principales de inercia coincide con el ecuador terrestre. Entonces: rzsenD = (coordenada geocéntrica).

Con GM=µ y 62 10162323 −⋅=−= Ma ACJ tendremos en (9):

−

−=−

−−= )13(31)13()(

21 2222222 Dsen

raJ

rDsen

ra

rG

GMaAC

rV µµµ (10)

Si hubiéramos considerado infinitos términos en el desarrollo de (7), se obtendría:

,)(1 2

= ∑∞ senDPraJ

rV nnnµ donde nJ son los armónicos o momentos de orden n

de la Tierra, y )(senDPn los polinomios de Legendre de orden n cuyo término general es nnnnn x

dxd

nxP )1(!2

1)( 2 −= . Para estudiar el movimiento aproximado de los satélites artificiales “basta” considerar hasta el armónico de 4º orden. Los primeros términos son:

,1)(0 =xP ,)(1 xxP = ,2123)( 22 −= xxP ,2325)( 33 xxxP −= 83830835)( 244 +−= xxxP

En (10) vemos que 62 109,108232 −⋅== JJ . Los armónicos 3J y 4J son negativos y del orden de 2 610−⋅ . El término tercero, impar en sen D y también en D, es el primero que indica la forma de pera de la Tierra, e implica que el Ecuador no es plano de simetría del potencial. Hasta hace unos años se suponía que 03 =J , pero actualmente su valor no nulo se ha podido determinar mediante el estudio del movimiento de los satélites artificiales. De (10) se puede deducir las componentes de la aceleración total jr : Polo z P rjr pjr jr

r ( )

=−=

−

−=−=

DsenraJrdD

dVrj

DsenraJrdr

dVj pr 21

131 22 222µ

µ

(11)

D x O Ecuador Si la Tierra presentase distribución esférica de densidades y masas se cumpliría: ,0=J 2rjr µ= 0=pj

Como realmente 0≠J , se cumple que: )º90()(),()( DjDjDjDj pprr −=−= como se deduce finalmente (11); además, para r constante, pj es máxima para D=45º y nula en sus Polos y el Ecuador. A partir de (8) se deduce que:

rIrGrIrIrr

GrgradVj rrr

r 52253 3523 +

−•−=−= µ (12)

El primer término es central ( rr ). El segundo término lleva la dirección del vector:

−−−−−−

=

•

−−−−−−

=•CzFyGxFzByHxGzHyAx

zyx

CFGFBHGHA

rI r

Se denomina POTENCIAL DE LA GRAVEDAD al que actúa sobre un punto P situado en la superficie de la Tierra como consecuencia de la atracción de ésta y de su rotación. La gravedad gr es la resultante de la aceleración de la atracción jr y de la aceleración centrífuga cjr : cjjg rr

r += H’ ωr vertical En la FIGURA se tiene que:

ρrr

ar = P Φ=D (Latitud geocéntrica) cjr Dr cos : el radio de giro de P Dr cos

ωr : velocidad angular de la Tierra v Drjc cos2ω=

r que deriva de un Potencial centrífugo: jr r H DrV 222 cos21' ω= D gr G O a

El potencial de la gravedad será la suma de los potenciales terrestre y centrífugo: 'VVW += (13)

Llamando q al cociente entre la aceleración centrífuga y la atracción en el Ecuador, en el supuesto de una Tierra esférica de radio a:

==3001~

3222µ

ωµω a

a

aq . Sustituyendo en (13) se obtiene

( )

+−

−= Da

rqDsenraJ

vW 2322cos

213

31µ (14) donde suponemos para V la

expresión simplificada (10), aunque ahora ar ≅ .

El GEOIDE es una superficie equipotencial de la gravedad ( gS g r

r

⊥ ), tal que W se mantiene constante sobre la superficie del geoide. Si igualamos (14) a una constante obtendremos, en forma aproximada, la ecuación del geoide, de grado 14. Como el elipsoide es de 2º grado y difiere del geoide en m100± , presenta grandes ventajas aproximar el geoide por el elipsoide y considerar la superficie de este como equipotencial de la gravedad. Así, igualando las expresiones de W correspondientes al ecuador y los polos: PEqPeq WW

caJcWDcrPolos

qJaWDarEcuador

=

−===

++=== 2321º90:

231º0:

µ

µ

(15)

y recordando que acf −=1 , resulta, al despreciar errores en f2: )31(321231 fJfqJ +−+≅++ Como la observación muestra que J y f son del mismo orden, se obtiene que: 2qfJ −= (16) J puede conocerse a partir de f, mediante triangulaciones geodésicas. Por ser W el potencial de la gravedad: gradWg −=r La componente de gr en la dirección de rr será: drdWvg −=cos (17), donde v es el ángulo de la vertical Φ≅Φ−Φ= 2' senfv Por tanto:

−−

−=−≅−= Da

rqDsenraJdr

dWvdr

dWg 23222 cos)13(1r cos1 µ (18)

Veamos ahora cómo varía g con la declinación, teniendo en cuenta que r y D, sobre el elipsoide, están relacionados mediante la ecuación: 1cos 2 222 22

=+c

Dsenra

Dr ,

Considerando como siempre errores en 2f , resulta: Dsenfar 21−=≅ Sustituyendo en (18) se obtiene: )1( 2Dksengg E += (19), donde debemos determinar el valor de k. En el Polo D = 90º y queda: 1)1( −=+= EPEP ggkdondedekgg (20) Los valores de g en el Ecuador y en el Polo son, mediante (18):

Ecuador: [ ]qJagDar E −+=== 1º0 2µ y sustituyendo el valor de J

dado por (16):

−+= qfag E 2312µ (Fórmula de JEFFREYS)

Polo: º90== Dcr operando con (18) y (16) resulta: [ ]qag P += 12µ

Sustituyendo Pg y Eg en (20) y operando, queda: fqk −≅ 25 que llevado a

(19) da finalmente:

−+= Dsenfqgg E 2251 (21) (Fórmula de

CLAIRAUT)

Mediante (21), efectuando determinaciones gravimétricas (péndulo, etc.), podemos conocer f, y por tanto la forma de la Tierra. En la práctica, la fórmula de Clairaut suele darse en función de la latitud geográfica Φ )( elipsoide⊥ :

Φ

−+= 2251 senfqgg E (22)

En esta aproximación, sustituyendo 'Φ=D por Φ , el error que se comete es del orden de 2f , el mismo con el que trabajamos en los restante cálculos. Con desarrollos más precisos obtendríamos:

[ ] 222 20000059,00052884,010490,978 segcmsenseng Φ−Φ+= (23) expresión que debe corregirse de varios factores, entre ellos el debido a la altitud del observador. Suponiendo la Tierra esférica de radio r, se tiene 2rg µ= y diferenciando drrgdrrdg 22 3 −=−= µ Por tanto, al valor de g calculado mediante (23) se le ha de restar la corrección debida a la altitud. Si ésta viene representada por h, en metros, el término correctivo vale: -0,0003855 )( 2segcmh⋅ 3. ROTACION DE LA TIERRA. La velocidad angular ω de la Tierra puede considerarse constante en primera aproximación. Sin embargo, sufre pequeñas variaciones que se han puesto de manifiesto con los relojes de cuarzo y más modernamente, los relojes atómicos.

La ecuación del momento cinético con respecto a unos ejes fijos dice:

MC r&r = (24) siendo ωrr IC = el momento cinético y Mr el momento de las fuerzas exteriores. Suponiendo simetría esférica en la distribución de masas de la Tierra I=AU , siendo U el tensor unidad y A el momento de inercia respecto a cualquier eje, por tanto: ωω rrr AAUC == (25) Suponiendo también que Mr y ωr sean paralelos, resulta de (24) y (25): MdtAd rr

=)( ω Tomando módulos: MdtAd =)( ω (26) Las causas de la variación de la velocidad angular de la Tierra pueden ser regulares, irregulares y periódicas. Analicémoslas:

REGULARES: El Sol produce mareas. La superficie del mar adopta la forma de un elipsoide de revolución de eje mayor dirigido constantemente hacia el Sol. El frotamiento de las aguas, al moverse “siguiendo” al Sol, en mares poco profundos hace aparecer un momento que tiende a frenar la rotación de la Tierra, dando lugar, a que la duración del día solar medio aumente, aunque de forma muy pequeña, del orden de 0,00164 segundos por siglo. Suponiendo constante, k,

dicho momento y prácticamente paralelo a ω , según (26), tendremos: kdtdA −== ω e integrando tAk−= 0ωω . Debido a las mareas solares y lo mismo tendríamos con las lunares,

ω disminuye proporcionalmente al tiempo.

IRREGULARES: ω puede variar por cambios brucos en la distribución de masas del interior de la Tierra, totalmente imprevisibles. Suponiendo M=0 de (26) se deduce: Aω =cte. Un desplazamiento brusco de masas en el interior de la Tierra hace variar A y ω varía también para que Aω se mantenga constante.

PERIÓDICAS: Son debidas a cambios periódicos del momento de inercia de la Tierra, de origen atmosférico, motivados por los movimientos estacionales de la atmósfera. Si A varía periódicamente en Aω =cte, ω también lo hará. Desde Noviembre a Junio, ω aumenta respecto a la media y los relojes atrasan. El retraso máximo a últimos de Mayo alcanzando 0,042 segundos. A últimos de Septiembre adelantan en cambio 0,023 segundos.

4. MOVIMIENTO DEL POLO. La Tierra gira en torno a su eje instantáneo de rotación, el cual no coincide con el tercer eje de inercia del geoide, en torno al cual efectúa unos movimientos muy pequeños, cuya trayectoria sobre la superficie terrestre se denomina polodia. Estos desplazamientos no dependen de ninguna fuerza exterior (perturbaciones del Sol, Luna o planetas) por lo que su estudio se denomina rotación libre de la Tierra. Para estudiarla, consideramos la Tierra como un cuerpo rígido, e introduciremos dos sistemas de referencia con origen en el centro de gravedad de la misma, ambos directos: * XYZ, de carácter inercial, con desplazamiento paralelo a sí mismo y * xyz, solidario con la Tierra. Se tiene: Cr momento cinético de rotación de la Tierra en el sistema XYZ z Z ωr Hr ωr velocidad angular de la Tierra ( 1ωr en XYZ, 2ωr en xyz) θ dH I tensor de inercia de la Tierra vr ( 1I en XYZ, 2I en xyz) dm Mr momento de las fuerzas exteriores y que supondremos nulo en este caso ρr Hr momento cinético de rotación de la o Tierra en xyz. Y X x

Por el Teorema del Momento Cinético: MC r&r = =0 con Cr = 1I 1ωr Cr se mantiene constante con el tiempo (en XYZ)

Respecto de los ejes móviles xyz, el Teorema anterior se escribe: 02 ==∧+= MHHC rrr&r&r ω (45) Ya que el momento absoluto Cr (respecto a XYZ) es igual al relativo (respecto a xyz) más el de arrastre ( movimiento del sistema xyz respecto del XYZ), y el momento absoluto lo hemos supuesto constante. En general, Hr no será paralelo a ωr . En este sistema xyz, el momento cinético elemental dH , correspondiente al elemento de masa dm de vector de posición ρr , vale:

[ ]dmdmdmvdH ρωρωρρωρρ rrrrrrrrr )()( 2222 −=∧∧=∧= (46) Siguiendo la notación de (3.2) ( U: tensor unitario, 2ρr : cuadrado tensorial de ρr ) podemos escribir: [ ] 222 )( ωρρ rr dmUdH −= Integrando para toda la masa M, obtendremos Hr : 222 )( ωρρ rr

r

−= ∫M dmUH (cte. para toda la masa de T)

el corchete [ ], como vimos en (3.2) es el Tensor de Inercia, I, luego: 22ωrr

IH = , y (45) toma la forma de la Ecuación de EULER: 022222 rrr&r =∧+ ωωω II (47) Supuesto que los ejes x,y,z, coincidan con los ejes de inercia principales de la Tierra el

tensor de inercia toma la forma diagonal:

=

CB

AI

0000002 y si existe simetría axial A=B.

Designando por p, q, r, las componentes de 2ωr (en x, y, z) la Ecuación de Euler se escribe:

=

•

∧

+

•

000

000000

00000

rqp

CA

A

rqp

rqp

CA

A

&

&

&

θ.

Desarrollando resulta:

=

−−

−+

∧

+

000

0)()(prACqrAC

CrAqAp

rqp

rCqApA

&

&

&

equivalente al sistema

=−−=−+

rCprACqAqrACpA

&

&

&

0)(0)(

La 3ª ecuación expresa que la componente r de 2ωr según el eje z es constante.

Descomponemos 2ωr en dos vectores ortogonales, tales como == rryqps 000 rr siendo rr constante, por lo que 2ωr = s&r . Como además rCsAI rrr

+=ω , la Ecuación de Euler toma la forma: srACsA rr&r ∧−= )( (48)

Como rr es constante, el vector rA AC rr −=µ , también lo será y estará dirigido según z. De (26) se deduce que s&r s

r⊥ , por lo que el módulo de sr es también constante según el eje z, y : rstg =θ . r y s son constantes. Siendo s&r srr ∧= µ , se tiene que s&r es ⊥ a rr y a sr , y como s es constante, el extremo de sr describe una circunferencia con velocidad angular constante µr . Dicha circunferencia es normal a rr , y por tanto a z. En resumen, el eje instantáneo de rotación (ωr ), describe un cono de revolución alrededor del eje de figura (z), con un periodo

rACAP π

µπ 22

−==

Experimentalmente se ha comprobado que θ es del orden de la décima de segundo de arco, por lo que s << r y ωr rr≅ . De los valores AC A− = 305 y =ω ds12π . Se deduce P = 305 días sidéreos. Este período teórico se denomina período euleriano, y difiere del observado, que vale 430 días sidéreos. Para explicar esta discordancia se incluye el efecto de la plasticidad de la Tierra, comprobada por las mareas terrestres, introduciendo en las ecuaciones anteriores los momentos centrífugos. A partir de los módulos elásticos que suministra el estudio de la propagación de las ondas sísmicas, NEWCOMB obtuvo resultados concordantes con la observación, la oscilación de CHANDLER, de período próximo a 14 meses y amplitud 0.4’’ ó 13 metros. A esta variación del polo instantáneo hay que añadir las oscilaciones estacionales, provocadas por movimientos de la atmósfera, que producen un movimiento cónico del eje instantáneo terrestre, de amplitud 0.1’’ y período un año, y algunas oscilaciones irregulares provocadas por causas aleatorias, de muy pequeña amplitud. La composición de estos movimientos hace que el polo instantáneo de desplace dentro de un cuadrado de 0.8’’ de lado (20 metros), siguiendo una trayectoria denominada polodia ( figura) El centro del cuadrado es el polo de la figura I de la Tierra (eje z). Al desplazarse el polo instantáneo varían las coordenadas astronómicas de todos los puntos de la Tierra: el eje instantáneo MP de rotación y su plano normal por el centro, z ecuador instantáneo varía con el tiempo; 4.03.02.01.0 ′′′′′′′′ los ángulos de la vertical con el ecuador medio e instantáneo son las latitudes astronómica media mΦ e instantánea Φ Ambas difieren en un término periódico, ∆Φ+Φ=Φ∆Φ m: Análogamente sucede con la longitud: lll m ∆+=

Se trata de expresar ∆Φ y l∆ en función de la posición del polo instantáneo I sobre la superficie terrestre. Sean x, y, z, los ejes de figura de la Tierra: z según el polo N x, y en el ecuador medio de modo z P ξ que el plano xz contenga a I Greenwich η El ángulo θ entre z e I es muy z’ pequeño, por lo que consideramos G I en el plano tangente al elipsoide, θ M por el Polo de la figura z. En dicho plano introducimos unos ejes ηξ , paralelos a x,y. rr ′≡ rr Las coordenadas de I ( ηξ , ) podemos expresarlas por ángulos o ξ x centrales. Consideremos también el triedro x’, y’, z’ definido como η x’ sigue: y y’ z’: según el eje instantáneo de rotación, I x’: según la intersección del plano (x, z’) con el ecuador instantáneo y’: perpendicular a los anteriores, en sentido inverso. En estos ejes vienen expresadas las ecuaciones instantáneas l,Φ de un lugar M(x, y, z) Si rr es el vector de posición de M, tendremos en ambos sistemas:

ΦΦ

=

ΦΦ

=''

''cos''cos'cos'

'coscoscos

senlrsenlr

lrr

rsenlsenlr

lrr rr (49) Además 'rr rr = y r = r’.

En función de los giros elementales ηξ , , necesarios para pasar de un sistema a otro se tiene:

+−−

=−′=∆yx

zz

rrrηξ

ηζ

rr

Las componentes de este vector elemental pueden expresarse en función de l∆∆Φ, , mediante las oportunas fórmulas diferenciales de paso de coordenadas rectilíneas a coordenadas esféricas donde ahora l≡Φ≡ αδ , . Sustituyendo en dichas fórmulas los valores de x, y, z, dados por (49), resulta:

[ ]

+=∆ΦΦ−=∆

senlltglsenll

ηξηξ

cos

cos (50) Según estas fórmulas, las longitudes y latitudes instantáneas oscilan alrededor de sus valores medios. En particular, la longitud instantánea de Greenwich no es nula; por ser muy pequeña, tomemos 1cos0 ≅≅ llsen . Como º53=Φ , se tiene: º53tgl η−≅∆ , cuya cota superior será 03.0027.0

1533.13.0 sss

l <=

⋅′′≤∆

En la determinación de coordenadas astronómicas hay que tener también en cuenta otros efectos que las modifican, superpuestos al movimiento del polo:

Variación luni-solar de la vertical asociada al fenómeno de las mareas. Variaciones de origen mal conocido como: movimientos en la litosfera, terremotos, deformaciones térmicas de la litosfera, movimientos de masas. Estas variaciones afectan tanto a la vertical como al desplazamiento del polo instantáneo y la velocidad angular ω , como vimos en (3.3).

TRASLACIÓN DE LA TIERRA. Elementos de una órbita. Orbita aparente del Sol.

1. PROBLEMA DE DOS CUERPOS. 1.1. GENERALIDADES.

• Ecuación del movimiento relativo

Sean m1 y m2 las masas de dos puntos materiales y r la distancia entre ambos.

Suponemos m1 > m2 y llamaremos primario y secundario respectivamente a ambos puntos. De acuerdo con la ley de gravitación, el primario atrae al secundario, según la recta que les une, con una fuerza 1Fr de módulo:

]1.4[2 211 K

r

rmmGF ⋅⋅= siendo G = 6,67x10-8 u.cgs, la constante de gravitación

universal. Mediante el vector rr de origen en m1 y extremo en m2, la expresión vectorial de la fuerza 1Fr es: r

rmmGF rr 3 211 ⋅

⋅−= [4.2] Según el principio de acción y reacción, el primario es atraído por el secundario con una fuerza:

rrmmGFF r

rr 3 2112 ⋅⋅=−= [4.3]

Sean ahora 1rr y 2rr los vectores de posición del primario y secundario referidas a un sistema de coordenadas de origen O. Se verifica la relación: 12 rrr

rrr −= [4.4] Si sobre m1 y m2 no actúan otras fuerzas que las mencionadas, podemos escribir sus ecuaciones de movimiento en la forma: r

rmmGrm r&&r 3 2122 ⋅

⋅−= ,, rrmmGrm r&&r 3 2111 ⋅

⋅= [4.5] Derivando 2 veces en [4.4] y sustituyendo los valores de 1r&&r y 2r&&r de [4.5], resulta:

rr

mmGrrr r&&r&&r&&r 3 2112 )( +⋅−=−= o sea ; r

rr

r&&r 3µ−= [4.6] habiendo hecho ( )21 mmG +⋅=µ [4.7] La relación [4.6] es la ecuación del movimiento relativo del secundario.

• Integral de las áreas: Si designamos por rv &rr = , la velocidad relativa del secundario, según [4.6]:

r

rrv r&&r&r 3µ−== [4.8]

y si calculamos )( vrdtd rr ∧ , teniendo en cuenta [4.8] obtenemos:

0)( 30 rrr&rr

321

r&r =∧−=∧+∧ rrr

vrvrµ . Integrando: cvr rrr =∧ [4.9]

relación que constituye la integral de las áreas . La constante de integración cr es la constante de las áreas y equivale a 3 constantes escalares. El área del triángulo elemental de la figura puede expresarse como módulo del vector:

.21 rdrAd rrr

∧= Se define como velocidad areolar, derivada con respecto al tiempo del área barrida por el radio vector:

cvrdtrdr

dtAdA rrr

rr

r

&r

21

21

21 =∧=∧== [4.10]

lo que suministra una interpretación vectorial de la constante de las áreas: Ac &rr 2= , o sea : la constante de las áreas es el doble de la velocidad areolar. Integrando [4.10] se obtiene: ktcA

r

r

r

+⋅=21 [4.11]

que expresa la ley de las áreas: “las áreas barridas por el radio vector en tiempos iguales son iguales” (2ª ley de Kepler). Multiplicando escalarmente por rr ambos miembros de [4.9]:

.0)( =⋅∧=⋅ rvrrcrrrrr Por tanto, el vector rr se mantiene perpendicular al vector

constante cr y se mueve por tanto en el plano ortogonal a cr por el primario, luego la órbita del secundario alrededor del primario es plana.

• Ecuación de la órbita relativa

Teniendo en cuenta [4.8] y [4.9], y que cr es un vector constante y además que: rrrrr ⋅=2 y derivando: vrrrrr

rr&rr& ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ 222 , vamos a calcular:

]([

=⋅−⋅=

=−⋅⋅−=⋅−⋅−=∧⋅−=∧=∧

rr

dtd

rrrvr

vrrrrr

vrrrvrr

vrrr

cvcvdtd

rr&

r

rr&

rrrrrrrrrr&rrr

µµ

µµµ2 2333 )()())()(

Integrando, se obtiene: er

rcv

rrrr µµ +=∧ , siendo erµ la constante vectorial de

integración. O sea: ).( er

rcv

r

r

rr +=∧ µ [4.12] Si ahora calculamos c2, teniendo en cuenta [4.9] y [4.12]:

)()()()(2 errer

rrcvrcvrccc

rrr

r

rrrrrrrrr ⋅+=+⋅=∧=∧=⋅= µµ , y hacemos

µ

2cp = [4.13] obtenemos finalmente: errp rr ⋅+= . [4.14], ecuación de la órbita relativa.

Para interpretarla, introduciremos el ángulo V, anomalía verdadera, formado por los vectores rr y er :

)cos1(cos VerVerrp +=⋅⋅+= , y despejando V, Tenemos: Ve

prcos1+

= [4.15] ecuación polar focal de una cónica de parámetro p dado por [4.13], y excentricidad e (módulo de er ). El primario ocupa

uno de los focos de la cónica y el vector er tiene la dirección del radio vector del vértice principal más próximo al primario, llamado periastro. Podemos enunciar: “ en su movimiento relativo el secundario describe una cónica en uno de cuyos focos se encuentra el primario” (primera ley de Kepler).

La naturaleza de la cónica [4.15] depende del valor de su excentricidad e: si e < 1, será elipse,; si e=1, parábola; y si e>1, hipérbola. En el primero y tercer caso, siendo a y b los semiejes, el valor del parámetro es: a

bp2

= . En la elipse, el semieje a recibe el nombre de distancia media, pues es la media aritmética de las distancias máxima y mínima del secundario.

Por la 2ª ley de Kepler, el movimiento será periódico de período P y movimiento medio )./(2 tiempodeunidadradianesPn π= Según [4.10], tomando

módulos: banP

baAc ⋅⋅=⋅⋅== π22 & y según [4.13]: 232322 22224

/ Paan

abban

Pc πµ ==⋅⋅== [4.16],

lo cual nos dice que para todas las elipses de igual µ : “los cuadrados de los periodos son proporcionales a los cubos de las distancias medias” (3ª Ley de Kepler).

Consideremos ahora las constantes de integración cr y er , equivalentes cada una a tres constantes escalares. Dichas constantes no son independientes. En efecto, multiplicando escalarmente por cr los dos miembros de [4.12] y recordando que 0=⋅ rc rr , tendremos:

ececrcr

cvcrrrr

321

rrrrr ⋅⋅=⋅+⋅=∧⋅= µµ )1()(0 0 , o sea: 0=⋅ ec rr [4.17]

Esto es: cr y er son perpendiculares. Existen pues 5 constantes independientes,

que corresponden a las 5 condiciones que determinan en el espacio una cónica con un foco prefijado. Como la ecuación de la órbita se ha obtenido por integración de la ecuación diferencial vectorial de segundo orden [4.6] la solución contiene 6 constantes arbitrarias. La sexta constante aparecerá cuando expresemos rr y vr en función de t; puede tomarse para la misma la época de paso por el periastro , T.

En función de esta constante T y contando las áreas a partir del periastro, de la ley de las áreas [4.11], para t = T se tiene: kTc

r

r

r

+⋅=210 , de donde Tck ⋅−= r

r

21 y

por tanto: )(21

21

21 TtcTctcA −=−⋅= rrr

r , solución que fija la posición del secundario en la órbita.

Calculemos ahora la velocidad en función del radio vector. Multiplicando vectorialmente [4.12] por cr , se obtiene:

) vccvcvcccvcer

rc

r

321

rrrrrrrrrr

r

r 20 )()()( =⋅−⋅=∧∧=+∧⋅µ

Despejando vr : )(2 e

rrc

cv r

r

rr +∧= µ y recordando [4.13]: ecPr

rcP

v rr

r

rr ∧+∧= 11 [4.19] Así pues, podemos descomponer vr como suma de 2 vectores no ortogonales:

rrc

P

r

r ∧1 , de módulo constante Pc y dirección normal a rr y ec

Prr ∧1 , de módulo

constante Pce y dirección la del eje menos a 90º de er en el sentido del movimiento.

Componiendo ambos vectores se obtiene una circunferencia como hodógrafa del movimiento (hodógrafa de Hamilton). Su radio vale

Pc

y su centro se haya en la normal al eje principal por O, a una distancia

Pce de dicho foco. De la figura se deducen

también las componentes radial y perpendicular de la velocidad en función de la anomalía verdadera:

⋅+=

⋅=

)cos1( VePcv

senVePcv pr

• Integral de la Energía: Multiplicando escalarmente por vr , de (4.8) se obtiene:

dtr

dr

rrr

rvv

=−=⋅−=⋅

1)( 23 µµµ

&&rr&rr , y como: vvvvvvdtd

dtvd &rr

& ⋅==⋅= )(21)(

21 2

, resulta:

( )dtr

d

dtvd

⋅=

1

21 2

µ e integrando:

hr

v += µ221 , [4.20]

relación que constituye la integral de la energía. La constante escalar de integración h se llama constante de la energía y depende de cr y er . Según [4.20], el módulo de la velocidad del secundario sólo depende de su distancia al primario, pues µ y h son constantes.

Calculemos ahora la constante h de la energía en función de cr y er . Multiplicando escalarmente [4.19] por sí misma:

⋅⋅⋅++=

+=

+∧=⋅= err

ePce

rr

Pce

rrc

Pvvv rrr

r

r

r

rrr 1211 22222222 , y teniendo en cuenta [4.13] y [4.14]:

( )

−+=

−⋅++= P

errprePv 12121

222 µµ . Identificando con [4.20] se deduce:

Peh 1

21 2 −= µ , o en función de c y e : ( )1

21 222 −= ec

h µ [4.21]

Como que 02 22 >c

µ , según 1≤e o 1≥e , [4.21] nos dice : 0≤h o 0≥h y por tanto, según [4.20] la velocidad en el infinito será imaginaria, nula o real, según la órbita se elíptica, parabólica o hiperbólica. Para la elipse, además, ( )21 eap −= ,

ah µ21−= y sustituyendo en [4.20]:

−=ar

v1´22 µ , [4.22]

fórmula también válida para la parábola e hipérbola sin mas que poner ∞ y - a , respectivamente. Si la órbita es circular de radio r, según [4.22]:

rrrvc µµ =

−= 122 ; cv es la velocidad circular: rvc µ= .

Si la órbita es parabólica, la velocidad a la distancia r vale:

rve µ2= , que es la velocidad de escape a dicha distancia.

Comparando ambas velocidades resulta: ce vv ⋅= 2 .

1.2. MOVIMIENTO ELÍPTICO. Su estudio se simplifica introduciendo los ángulos o anomalías siguientes:

Anomalía verdadera: es el ángulo formado por el radio vector del astro Q y la dirección del periastro OP.

Anomalía excéntrica: es el ángulo formado por el radio CQ’, siendo Q’ la intersección con el círculo principal de la elipse de la norma por Q al eje mayor, y la dirección del pericentro CP.

Anomalía media: es el ángulo M descrito con vértice en el foco O, en sentido antihorario y a partir de la dirección del periastro, por un astro ficticio que gira con una velocidad angular constante igual al movimiento medio n. Si empezamos a contar el tiempo en el instante de paso por el periastro, la anomalía media valdrá n.t, y en general será:

( )TtnM −= , si designamos por T la época de paso por el periastro. Consideremos ahora un sistema de ejes cartesianos ηξ , , con origen en el foco 0, y sean ( ηξ , ) las coordenadas del secundario Q en dicho sistema. Se verifica:

)(coscoscos 1 eEaaeEaCOCQVr −=−=−=⋅=ξ . Teniendo en cuenta que:

ba

QQQQsenEa ==⋅ 11 '

η, se cumple también: ( ) senEeasenEbsenVr ⋅−=⋅=⋅= 21η

De esta forma obtenemos ηξ , en función de una sola variable, la anomalía

excéntrica: ( )

⋅−⋅=⋅=

−⋅=⋅=

senEeasenVr

eEaVr 21

coscos

η

ξ [4.23]

Dividiendo ambas ecuaciones por a , obtenemos el sistema de coordenadas:

⋅−=⋅==

−=⋅==

senEesenVar

aY

eEVar

aX 21

coscos

η

ξ

[4.24]

que son las llamadas coordenadas reducidas del secundario. De las relaciones [4.23], elevando al cuadrado y sumando ordenadamente, obtenemos: ( ) ( )[ ] ( )222222222 cos1cos2cos EeaaEseneEseneEeEr ⋅−=−++−= , y siendo: 1,0 <> ea , 1cos ≤E , extrayendo la raíz cuadrada:

( )Eear cos1 ⋅−= [4.25] fórmula que suministra el radio vector en función de la anomalía excéntrica. Si queremos relacionar las anomalías verdadera y excéntrica, consideremos la primera de [4.23] y [4.25]:

( )

⋅−=−=⋅

)cos1(coscos

EeareEaVr [4.26]

Restando miembro a miembro: ),coscos1()cos1( eEEeaVr +−−=− o sea:

2)1(2)cos1)(1(22 22 EseneaEeaVsenr +=−+=⋅ [4.27] y sumando miembro a miembro [4.26]: )coscos1()cos1( eEEeaVr −+⋅−=+ , o sea:

2cos)1(2)cos1)(1(2cos.2 22 EeaEeaVr −=+−= . [4.28] Dividiendo ordenadamente [4.27] y [4.28]:

⋅−+=

211

222 Etge

eVtg , o también: 21

12

EtgeeVtg ⋅

−+= [4.29]

fórmula que suministra la anomalía verdadera en función de la excéntrica. Relacionemos finalmente, las anomalías media y excéntrica. Partiendo de la

ley de las áreas en su forma polar: cdtdVr =⋅2 , y recordando que:

banAc ⋅⋅== &2 , se tiene: dVrdtbandA 22 =⋅⋅⋅=⋅ , e integrando entre 0 y V , valores que corresponden a la época T de paso por el periastro y a una época t cualquiera:

dVrab

TtnMV∫=−= 0 21)( [4.30]

Para efectuar la integración indicada, calculemos dV diferenciando en [4.29]:

2cos2

111

2cos2

1 22 EdE

ee

VdV ⋅⋅

−+= , y teniendo en cuenta (4.28), operando:

dErbdE

readE

rea

eedE

E

Ve

edV ⋅=⋅−=⋅−⋅−+=⋅⋅−

+=222 1)1(

11

2cos2cos

11 [4.31] Sustituyendo en la integral [4.30] y recordando [4.25] queda:

∫∫∫ ⋅−=−=⋅−=⋅=EEV

senEeEdEEedEbEeaab

rdVrab

M 000 )cos1())(cos1(11 Obtenemos así la relación buscada: senEeEM ⋅−= , [4.32] denominada ecuación de Kepler. Para resolverla (hallar el valor de E correspondiente a un M dado), demostramos en primer lugar que a cada valor de M corresponde una única raiz de E. En efecto: Para πkM = , πkE = siendo ∈k , k = K,2,1,0 ±± Si ππ )1( +<< kMk , veamos que hay también una sola raíz ( 10,)( <<+= απαkM ). En efecto, poniendo: )tan()( teconsMsenEeEE −⋅−=ϕ ,

se tiene.

>−=−−+⋅−+=+<−=−−⋅−=

0)1()1())1((0)()(

πααπππππϕαπαπππππϕkkseneknk

kksenekk

Además: EeE cos1)´( ⋅−=ϕ es positiva en todo el intervalo de ππ )1( +<< kEk , ya que e<1. Por tanto, en dicho intervalo la función )(Eϕ es

monótona creciente y como alcanza valores de signos opuestos en los extremos, tiene una sola raíz, en dicho intervalo. Está raíz es el valor de E que satisface a la ecuación de Kepler. Como este resultado es válido para todo k entero y nulo, se verifica para todo valor de M.

Entre el gran número de métodos propuestos para resolver esta ecuación,

citaremos los siguientes: MÉTODO NUMÉRICO: Sirve para corregir el valor de E a partir de un

valor inicial. Diferenciando la ecuación de Kepler [4.32] resulta:

)cos1( EedEdM −= , o también, tomando incrementos:

EeMEcos1−

∆=∆ [4.33] El esquema del proceso iterativo del cálculo de E es el siguiente:

etcEEEEM

EMMMMKeplerEEEEEM

EMMMMKeplerEsenMeMMEM

→∆+=⇒

∆

∆⇒−=∆⇒⇒⇒∆+=⇒

∆

∆⇒−=∆⇒⇒⇒

⋅+=⇒

1121 2 12220010 1 01110]32.4[.

].33.4[]32.4[..

hasta que 0≅∆ iE . El valor de E correspondiente al M dado será el iE . Antes se utilizaban tablas a doble entrada que suministran directamente E en función de e y M. MÉTODO ITERATIVO: Consiste en sustituir las sucesivas soluciones de

E en el paso siguiente de la iteración. Aunque puede requerir alguna iteración mas que el método anterior, su programación es sencilla. senMeME •+=0

1ª iteración: 01 senEeME •+= 2ª iteración: 12 senEeME •+= 3ª iteración: 23 senEeME •+= ………

Se repite el proceso hasta que dos valores consecutivos de E coinciden dentro del límite impuesto. DESARROLLOS EN SERIE.

Para un estudio completo del movimiento elíptico interesa conocer las anomalías

excéntricas y verdadera y el radio vector de la órbita el secundario en función de la anomalía media y la excentricidad. Dichas relaciones se expresan por media de sendos desarrollos en serie.

Desarrollo en serie de la Anomalía excéntrica: Expresamos E por desarrollo en serie de Mac-Laurin de potencias de e, considerando M como parámetro. Para hallar los distintos términos del mismo, derivemos sucesivamente la ecuación de Kepler respecto de e y veamos lo que valen 0=

enndeEd : senEeEM ⋅−= ; para e = 0, ME =0 ; ( ) senEEe

dedE

dedM −⋅−== cos10 ;

para 0=e , ;00 senMsenEdedE ==

( ) ;cos2)cos1(022222

EdedEsenEe

dedEEe

deEd

deMd ⋅⋅−⋅

+−== para e=0,

( )MsenMsenMdeEd 2cos2022

=⋅⋅=

etc. y aplicando la fórmula de Mac-Laurin:

( ) ( ) ...)33(82232

+−++⋅+= senMMseneMsenesenMeME [4.34]

Desarrollo en serie del radio vector: Recordando la ecuación de Kepler: senEeEM ⋅−= y la expresión del radio

vector: )cos1( Eear ⋅−= , derivando la primera respecto de E resulta:

arEe

dEdM =⋅−= cos1 , y de aquí:

dMdE

ra = .

Calculemos

dMdE a partir de [4.34], considerando e constante.

...)cos3cos9(82coscos132 +−⋅+⋅+⋅+== MMeMeMe

dMdE

ra [4.35]

de donde, desarrollando en serie por división ( )

−+−=+ − ...

211

21 ααα :

( )

+−+−+⋅−=

⋅=

−

...)3cos(cos832cos12cos1 321

MMeMeMeadMdEar [4.36]

Desarrollo en serie de la anomalía verdadera:

Teniendo en cuenta la ley de las áreas: 48476

bean

dtdVr 222 1−⋅⋅= y que:

dtndMTtnM ⋅=−= ),( , sustituyendo dt y despejando dV, se deduce: dMe

radV ⋅−

= 221 . De [4.35] se obtiene, elevando al cuadrado y ordenando las

potencias de e: ( ) ...)cos33cos13(412cos52cos21

322+++++⋅+=

MMeMeMera y desarrollando

en serie 21 e− : ( ) ...8

12111 422/122 ++−=−=− eeee [4.37].

Multiplicando ambas series se obtiene: ( ) dMMMeMeMedV

+−+++= ...cos3cos1342cos25cos21

32 , e integrando entre 0 y V y 0 y M, respectivamente resulta: ...)3313(1224

5232 +−++⋅+= senMMseneMsenesenMeMV [4.38].

Desarrollos en serie de las coordenadas reducidas.

Expresemos las coordenadas reducidas, definidas en [4.24], mediante desarrollos en serie análogos a los anteriores:

⋅−=

−=

senEeY

eEX 21cos

Despejemos cos E de : )cos1( Eear ⋅−= y teniendo en cuenta [4.36]:

...)cos3(cos83)2cos1(2cos

1cos

2+−+⋅−−=

−= MMeMeeM

ea

rE y restando e de

esta expresión: ( ) ...cos3cos8

3)2cos3(2cos2

+−+−−= MMeMeMX [4.39] Por otra parte, de la ecuación de Kepler: senEeEM ⋅−= , despejando sen E y teniendo en cuenta [4.34]:

( ) ...338

22

2−−++=−= senMMseneMsenesenM

eMEsenE

y multiplicando por el desarrollo en serie de 21 e− obtenido anteriormente [4.37]: ( ) ...533

82

2

2+−++= senMMseneMsenesenMY [4.40]

1.3. MOVIMIENTO PARABÓLICO. Hemos visto que la órbita del secundario con respecto al primario puede expresarse por: Ve

prcos1 ⋅+

= . En el movimiento parabólico e =1 y p = 2q, siendo q

la distancia del foco al periastro; con ello la ecuación de la órbita podrá ponerse en la forma:

2cos 2Vqr = [4.41]. Consideremos ahora un sistema de coordenadas rectangulares ηξ , , con origen en el foco O. Según [4.41] se verificará.

Y haciendo sVtg =2

⋅=+=

⋅⋅=−=

)(2)1(

2)1( 22sarctgV

sqrsqsq

ηξ

[4.42]

Se trata, pues, de determinar s en función del tiempo, ya que una vez calculada, se obtiene inmediatamente las coordenadas cartesianas y polares del secundario en su órbita, según [4.42]. Partimos de la ley de las áreas en su forma polar y recordando [4.13] (

µ

2cp = ) : ppcdtdVr µµ 22 ===⋅ , de donde , según [4.41]:

2cos22

1 4232V

dVqdVrqdt ⋅==µµ

Integrando entre T y t, y teniendo en cuenta que

para t = T, V= 0, tenemos:

( )

+⋅⋅=

+⋅=− ∫ 23

12

2

2cos2

2122

32320 223 VtgVtgqV

VdVtgqTt

Vµµ

.

El movimiento parabólico viene pues regido por la ecuación: ( )

231

2233 VtgVtgTtq +=−µ [4.43]

Como el segundo miembro de [4.43] es monótonamente creciente cuando V

varía entre -π y π ( 2Vtg varía entre -∞ y +∞ ), para cada valor del primer miembro

esta relación constituye una ecuación de tercer grado en 2Vtg que tiene una única raíz

real que ha sido tabulada para diversos valores del primer miembro.

222cos

2cos22

)21(2cos

22coscos 2 22 22

VtgqVVVsen

qsenVr

VtgV

VsenVqVr

⋅⋅=⋅

⋅=⋅=

+=−

⋅=⋅=

η

ξ

La ecuación [4.43], cúbica en 2Vtg , puede resolverse fácilmente haciendo:

γγγ tgVtg −=⋅= cot2cot22

, [4.44] , de donde:

( )43421 2233322333 cot3cotcot3cot3cot)(cot2 Vtgtg tgtgtgtgtgtgVtg γγγγγγγγγγγγ

β

−−−=−⋅+⋅−=−=

Haciendo además: 32

βγ tgtg = [4.45], obtenemos para [4.43]:

( ) βββµ cot32

22cot

31

2 3 =

−=− tgTtq , o finalmente:

Tt

qtg

−⋅=

µβ

3232 [4.46]

Las relaciones [4.46], [4.45] y [4.44] resuelven el problema planteado: [ ] [ ] [ ]Vt 44.445.446.4 →→→ γβ .

2. ELEMENTOS DE UNA ÓRBITA.

2.1. GENERALIDADES. Para definir la posición de un astro en una cierta época, es necesario en general conocer 7 cantidades, denominadas elementos de la órbita; en algunos casos particulares es suficiente con 6 elementos (caso de los satélites artificiales y de los pequeños planetas cuya masa es despreciable frente a la del primario) o 5 elementos (caso de los cometas de órbita parabólica en que además de tener masa despreciable, e = 1). La posición de la órbita con respecto a un triedro fundamental de referencia X, Y, Z, queda determinada por medio de 3 de dichos elementos, sus ángulos de Euler

wi,,Ω . La intersección del plano de la órbita con el plano fundamental de referencia X, Y, recibe el nombre de línea de los nodos. Hay un nodo ascendente N, extremo en el que el astro pasa a la región de las z positivas, y otro diametralmente opuesto o nodo descendente N’ .

Ω es el argumento del nodo, o ángulo formado por el eje X y la dirección del nodo ascendente.

Si Ecuadorxy ππ = , Ω es la ascensión recta de N. Si Eclípticaxy ππ = , Ω es la Longitud Celeste de N.

i es la inclinación de la órbita o ángulo de los planos de la órbita y fundamental. Si º900 ≤≤ i , el movimiento se llama directo, si º180º90 <≤ i , retrógrado.

w es el argumento del periastro, o ángulo que forman la línea de los nodos y la dirección del periastro, contando

en el sentido del movimiento, a partir de N: º3600 <≤ w . Los elementos que determinan la magnitud y la forma de la órbita suelen ser el semieje mayor a y excentricidad e. En algunos casos estos dos elementos se sustituyen por la distancia del periastro )1( eaq −= y la distancia del apoastro )1(' eaq += . En las órbitas parabólicas basta un solo elemento, la distancia del periastro 2

pq = . Finalmente, para definir la posición del astro en una determinada época aún son necesarios otros dos elementos: el período de revolución P ó el movimiento medio

Pn π2= , y la época de paso por el periastro T o la anomalía media 0M en una época 0t . En el caso de conocerse µ , la relación [4.16]: 32an=µ nos suministra fácilmente el valor de n, y por tanto, de P. Tal es el caso de un satélite artificial o de un pequeño planeta en que 0≈m y GM=µ (M = m.Tierra o m.Sol). Actualmente, los 3 ángulos de Euler se sustituyen por 3 constantes vectoriales RQP rrr

,, , vectores unitarios ligados a la órbita y definidos como sigue:

Rr : perpendicular al plano de la órbita y según la regla del tornillo. Pr : en el plano de la órbita y en el sentido del periastro. Qr : en el plano de la órbita y perpendicular a Pr : PRQ rrr

∧= . Obtengamos la matriz de cambio de base para pasar del sistema de referencia PQR al XYZ; aplicamos para ello las matrices de giro definidas en los temas anteriores. En primer lugar efectuamos un giro de ángulo -w en torno a R, que vendría definido por la matriz ( )wR −3 :

( )

−=−

1000cos0cos3 wsenw

senwwwR

A continuación efectuaremos un segundo giro de ángulo -i en torno de la línea de los nodos ON (posición que ha pasado a ocupar OP después del primer giro). Este segundo giro viene definido por la matriz )(1 iR − :

−=−

iseniseniiiRcos0

cos0001

)(1

Después de este giro, que equivale a abatir el plano de la órbita sobre el plano

fundamental, OR coincidirá con OZ . Por último, giramos alrededor de OZOR ≡ un ángulo Ω− , siendo la matriz

correspondiente )(3 Ω−R :

ΩΩΩ−Ω

=Ω−1000cos0cos

)(3 sensen

R

Con este giro, llevamos a coincidir OP con OX y OQ con OY . Efectuando el

producto de las tres matrices obtenemos:

( )43421

4444 34444 21

44 344 21 rrrrrr )(,,)( 313)(,, 100010001

)()( PQRRQPXYZPQRMXYZRQP ZZZ YYY XXXwRiRR

RQPRQPRQP

⋅−⋅−⋅Ω−=

→

[4.47]

M es la matriz buscada de cambio de base. Identificando en [4.47] obtenemos las

constantes vectoriales en función de los ángulos de Euler:

⋅Ω−

⋅Ω=

⋅⋅⋅Ω+⋅Ω−⋅⋅Ω−⋅Ω−

=

⋅⋅⋅Ω+⋅Ω⋅⋅Ω−⋅Ω

=

isenisenisen

R

wseniwisenwsenwisensenw

Q

senwsenisenwiwsensenwisenw

P

cos

cos

cos

coscoscos

coscoscos

coscoscos

coscoscos

r

r

r

[4.48]

La matriz M es ortogonal ya que los 2 sistemas PQR y XYZ lo son. Además los

vectores, RQP rrr

,, satisfacen las relaciones:

1=⋅=⋅=⋅ RRQQPP rrrrrr ,, 0=⋅=⋅=⋅ PRRQQP rrrrrr [4.49] Como los 2 triedros tienen la misma orientación (directa), el determinante de M

vale: 1+=M . En virtud de las relaciones [4.49], de entre las 9 constantes escalares equivalentes a las 3 constantes vectoriales, solamente 3 son independientes. Los elementos RQP rrr

,, , a y e pueden sustituirse también por cr y er , pues según [4.13]:

( )221 e

ca

−=

µ ,, Pee

r

r = ,, Rccr

r = [4.50] . Veamos resumidas los distintos elementos a considerar en una órbita:

ELEMENTOS DE

ÓRBITA ELÍPTICA

ÓRBITA PARABÓLICA

Posición de la

órbita wiΩ

RQPr

r

r

wiΩ

RQPr

r

r

Forma y tamaño de la

órbita e

a 'qq

e

cr

r

CBAr

r

r

( )1=eq

n

mr

r

e

cr

r

Duración P n µ ( )0, ≈∞≈ nPµ Posición inicial T ( )00 tM T

Conocidos 00 ,, vr rrµ en un determinado instante 0t , pueden calcularse los elementos de una órbita (fundamento de algunos métodos de determinación de órbitas): En efecto, según [4.9]: 00 vrc

rrr ∧= , y de [4.12]: ( ) 0001r

rcve

r

rrr −∧=µ

.

Suponiendo movimiento elíptico, de [4.22], se obtiene: µ

20021 v

ra−= , y de aquí,

según [4.16]: 3anµ= . De la relación [4.25] podemos deducir 0E :

−=ar

eE 00 11cos y llevando el valor de e y de 0E a la ecuación de Kepler [4.32],

obtenemos el valor de 000 senEeEM ⋅−= . A partir de la solución: )( 00 TtnM −= podemos obtener :

nMtT 00 −= . Tenemos pues Tnec ,,,

rr ó oM que determinan completamente la órbita. Si el movimiento es parabólico, cr se halla según [4.9], e =1 y la fórmula [4.13] nos da p = 2q. De la tercera ecuación [4.42] se obtiene

2Vtgs = , que llevado a [4.43]

permite determinar T.

2.2. CÁLCULO DE EFEMÉRIDES.

Consiste en determinar, en función de los elementos de su órbita, la posición de un astro en un cierto instante t. El vector de posición de un astro puede expresarse, referido a la base PQR, en la forma:

=

0ηξ

rr , definida por las fórmulas [4.23] en el movimiento elíptico, y por las [4.41] en

el parabólico. Referido al sistema fundamental XYZ, el mismo vector, designado ahora por rr ’será:

=

zyx

r `r Aplicando la matriz M de cambio de base [4.47] obtendremos: ( )

( )PQRxyz rMr rr ⋅=` ,

o sea:

ηξηξηξηξ

⋅+⋅=

+++

= QPQPQPQP

r zz yy xxrr

r` , [4.51]

o utilizando las coordenadas reducidas [4.24]: ( )YQxPar ⋅+⋅⋅=

rr

r´ [4.52] Antes, X e Y estaban tabuladas en tablas de doble entrada, en función de la anomalía excéntrica E y de la excentricidad e o se obtenían por los desarrollos en serie. Hoy se calculan fácilmente con ordenador. Algunos autores utilizan las constantes vectoriales CBA

rrr

,, , definidas como sigue:

=

⋅−==

=

RaCQeaQbB

PaA

rr

rrr

rr 21 , [4.53]

con lo cual, según [4.52]: YBe

xAr ⋅⋅−

+⋅=rr

r 211` , y teniendo en cuenta [4.24]:

( ) senEBeEAr ⋅+−⋅=rr

r cos` , [4.54] fórmula muy práctica para el cálculo electrónico. Entre las dos últimas constantes vectoriales se verifican las relaciones de comprobación: ( ) 01,, 222 =⋅→−=⋅=⋅ BAeaBBAA rrrrrr

α . Cuando se trata de calcular una efeméride parabólica suelen introducirse la constantes vectoriales mr y nr :

⋅=

⋅=

QqnPqmr

r

r

r

[4.55]

obteniéndose entonces `rr de acuerdo con las fórmulas [4.42]: ( ) snsmr ⋅⋅+−⋅= rrr 21` 2 . [4.56]

Para el cálculo efectivo de una efeméride, supongamos elíptica, determinaremos primero la anomalía media según la fórmula: M = n (t-T); resolveremos luego la ecuación de Kepler: M=E – e.senE y, aplicando [4.52] ó [4.54], obtendremos las componentes del radio vector `rr .

Si , por ejemplo, se trata de calcular la posición de un satélite artificial, el plano fundamental es el ecuador y las componentes de `rr son:

⋅⋅⋅⋅⋅

=senDr

senADrADr

r'

cos'coscos'

`r , e identificando con [4.52] ó [4.54], obtendremos finalmente la

ascensión recta y la declinación geocéntrica de dicho satélite en la época considerada. En el caso de un planeta o cometa las coordenadas que se obtienen son heliocéntricas, debiéndose modificar para obtener las geocéntricas correspondientes. 3. ÓRBITA APARENTE DEL SOL. TRAYECTORIA DEL SOL.

La trayectoria elíptica de la Tierra alrededor del Sol hace que éste describa aparentemente una elipse en torno a la Tierra, a lo largo de un año.

Sin embargo, este movimiento aparente se complica por diversas causas: las perturbaciones planetarias y la desigualdad mensual. Perturbaciones planetarias: los planetas próximos (Júpiter, por su gran masa; Venus, por su proximidad) al situarse normalmente fuera del plano de la eclíptica, tienden a desviar la velocidad del Tierra-Luna fuera del plano orbital medio, al tiempo que modifican el módulo de dicha velocidad. Estas variaciones son periódicas, en función del planeta que las provoque, sumándose sus efectos. La desviación de la posición respecto al plano medio es siempre inferior a 6,0 '' . Al mismo tiempo, las perturbaciones planetarias hacen que la posición y la forma de la elipse orbital se modifiquen periódicamente. Desigualdad mensual: la no coincidencia del centro de la Tierra y del

centro de masas del sistema T-L hace que el plano TVTS ⊕− y CMVCMS ⊕− no coincidan.

Dado que: mdMD = mM 81= Dd 81= kmdD 384000≈∆=+

kmD 471282

≈∆=

Como kmR 6371= , el centro de masas del Sistema Tierra-Luna está dentro de la Tierra ( RD < ). Como º5=i , la Tierra está alternativamente encima y debajo del plano CMVCMS ⊕− , de modo que: maxº5 δsen

Dsena =

aDsen

aDsen ≈=≈ º5maxmax δδ 5/180xΠ (rad)

6'.'0)/º''3600º.5(10·150

182

384000 6max =

=δ

Este efecto paraláctico se denomina desigualdad mensual. Debido a las perturbaciones planetarias (seculares y de largo periodo), el plano definido por CMVCMS ⊕− , llamado Eclíptica Media, se desplaza girando y variando el ángulo que forma con un plano fijo: la longitud del nodo aumenta ''33 por año (seculares), y el ángulo entre ambos planos aumenta 47'.'0 por año (L.P.). Debido a las perturbaciones planetarias de corto periodo y a la desigualdad mensual, el plano ( TVST ⊕ ), llamado Eclíptica Verdadera, oscila a un lado y otro

de la Eclíptica Media. En cualquier momento, la latitud media del Sol Θb es, en módulo, 2'.'1≤

El movimiento del centro de masas del sistema Tierra-Luna en torno al Sol puede considerarse elíptico, sometido a las perturbaciones planetarias. Por eso, al hablar de la órbita de la Tierra en torno al Sol (o de la órbita aparente del Sol), se sobreentiende que se refiere al centro de masas del sistema Tierra-Luna. ORBITA APARENTE DEL SOL. Puede obtenerse a partir de la órbita de la Tierra que, en su movimiento relativo, describe una elipse, en cuyos focos se encuentra el Sol (prescindiendo de las perturbaciones gravitatorias de los demás planetas).

Si a partir de la Tierra T, en un cierto instante, trazamos los vectores 1TS , 2TS , 3TS ,…, opuestos a los radios vectores 1ST , 2ST , 3ST ,… de la Tierra, se obtiene la órbita aparente del Sol, que es una elipse simétrica con respecto a O, punto

medio de TS , de la órbita real de la Tierra. La posición del Sol en la Esfera Celeste se diferencia en 180º de la posición HC de la Tierra (con más rigor, debe considerarse el centro de masas del sistema Tierra-Luna).

Elementos de la órbita aparente del Sol.

a (semieje mayor) km610·60,149=

No debe confundirse con la unidad astronómica (u.a.), que se define como la distancia A correspondiente a la tercera ley de Kepler aplicada a un secundario de masa nula:

MkAu 232 = (4.57) donde: diau /98560 º'= (correspondiente al periodo de un año)

50172020989,0=k (constante de Gauss)

1=M (masa del Sol) Se deduce que: 00000003,1=a u.a.

Te ·000042,0016751,0 −= , donde T es el tiempo transcurrido desde 1900 expresado en siglos. Esta variación es periódica (P=24000 años).

El perigeo de la órbita solar se produce el 1 de enero y el eje mayor de la órbita gira lentamente respecto a las estrellas ( año/63'',11+ ) y más deprisa ( año/89'',61+ ) respecto al punto Aries (γ ), dando una vuelta en torno a éste en unos 21000 años. Su posición viene dada por:

ωr (longitud media del perigeo) '13281º= ''15 (1900.0)

En el movimiento elíptico, designando por M y L la anomalía media y la longitud media del Sol, se tiene: ML += ωv (4.58) Análogamente, designando por V y Θ la anomalía y longitud verdaderas del Sol: V+=Θ ωv (4.59)

Para obtener los argumentos de la órbita del centro de masas del sistema Tierra-Luna respecto del Sol, basta sumar 180º a cada uno de los anteriores. COORDENADAS GEOCENTRICAS DEL SOL. La relación entre las coordenadas rectangulares ecuatoriales y eclípticas del Sol es:

44 344 21444 3444 21 ECLÍPTICAS C.S ECUAORIALE C. A ECLÍPTICAS C. DE PASO DE MATRIZESECUATORIAL C. ···cos·cos·cos

·cos0

cos0001

−=

senbRsenlbR

lbR

sensen

ZYX

εεεε , de donde:

+=−=

=

)·cos··cos()···cos(cos

·cos·cos

senbsenlbsenRZsenbsensenlbRY

lbRX

εεεε (4.60)

Como 2'',1'' ≤b , se puede escribir: 1cos ≈b 206265/''bsenb ≈ )/'(' año

Se reducen a:

+=−=

=

)''·0000044,0·()''·0000019,0·(cos

·cos )( )(bsenlsenRZbsenlRY

lRX

εε

Despreciando los términos en )( ''b , la relación entre A, D y l es:

====

==

senlsensenDRZsenlsenADRYlADRX

·/·cos·cos/

cos·coscos/

εε (4.61)

EL TIEMPO EN ASTRONOMIA 1. RELACION ENTRE EL TIEMPO SIDEREO Y EL

TIEMPO MEDIO. !"#""$ %&'($ $) $*+ ,-. /- 0$1$ 1 2 3) 1 1 • + ++ -+ - - 4 - , , )5675 8 1 9: ,; 4 + $ - <,= > + *?9@7 A)9 BA95CA@7) D975)A95@7?A D975) ?)5@@7 *7A95)$ -+ 4 ,E- - +$1/ $

2. AÑOS. CALENDARIO. ESTACIONES.• , - " - ++, - - 4- FA5?9A -;G)5675H$ FA79A65A -95) 695I@ J+ ( + -+ -;G!%" &'$ FA @A0)575A - 4- ) - 4+ - J+ - G1 $,+ >' -+ ++;G

6K7

+- 7LL@MA0N- O "++1G++ +7 !"#"PPP%%%$1%!'+, ++ +- +? + Q !"! % R%%'$ Q !"!P # R%" '$• ) + +, - + G + +($1- +7S + G T $ 4 4 ++ # + + ! $ 1 4 $ G + S + -J=+ ; +;++,+4++#%%J1%+ !$1PU4 8-#/+-+4%%1+- +; ; 8 8-#%%U%%V%%P%%$) + +, ; -+ J+ #%% - + G+4%%%+,+=+JK W+J%7*$O S 9++GT !"!++ +S 74-6 TT+ $- ;+;+J += O #U 1 + 8 + ,++- "+,$2O PV"Q"###PU33S FA 79A@A05A N)$ + 7 = + )$+ 4 + ;+J"V%& 2)X"%V#>Q"V%&:"%V#>EYZR$3, ++ O +4 % $1 - ////%• +=+ - SN995A@$,%&P%&V%&1"U%&:+J +- ( [ 1 \ 6+ " ;+J "% " =: " "" G: "" "-4 :"""+4 $ ++1- - + + - 4 ,DQP%& 6QP"V% DQP AQVPV% 5QVP%

6K

,+6B' ( VP>' + , +-3. TIEMPO UNIVERSAL. TIEMPO DE

EFEMERIDES. TIEMPO ATOMICO.• 7*, 7*$-+, K9@M5B?;P")J + - ; + J 7* + -A++J R"J - , S, 1RJ S, )7 ,"#JJ • - 4 J1 - 7* 1 1 ,+, - + J J $+4 ,+ $• BB$$; 1,+ 7]$+4, +/-+- ?4+ +<7*4 ,>Q7*%R+ ++- -=-Q +4 7 $7*Q7*%R<7*; >+ ++$7* R + ++ , + + $$ 7*" Q 7* R <7* +; >7*; J;7-; 7J17?7$ - W - + + , 4 - 0 4 ) 1 -$ 4 - ; @MA0N )Q"UP&#^"U!#>R"P %"U V>ZR%VP>Z_) + -+7)$:+ G !"!$- % P%%`+)- -+7*" Q77Q7X7*",4 ;+- + -+P%%% +- -]• 7;+ - ,1)=-+7$; 14+ G++$?;+Q7 -*, 7*$; 1+ - J 7*S7*"$ L % 7*" ; 7*a$- +-++

4. ESCALAS DE TIEMPO. ) - 4 + ++- + J ,+ 8+J+ +- b+- +,G +17+- + +;+1+++ ,J4;+ + ,++-1;+<->-+ -J1+- ; +1; +)G -= - + - ++-4;;+-+$ 1- +++-;+- 1- - +4- + - 7-+5 ++ ; +- 4+- N 5 60 N560$4++ G+ ;+ , 4+ +; + ;+ -5 +*5$ 5 +*;P U +< +PP" UU%- ++ - + ,J- ;;> ; - ,+- ; +7-+ 5 + +1 + G + ++ 75 4- - /+ , J ;+1+1 - + +- + + + + + , + +;++- ? PV# 1 -++ ++ *5 K 4PU $ G+ ; + +- +-7-?+7 7?7$ 7-; 7$ ) + ++ + 8- 5 Q V #%%$;, 5;475+ + 4+- A;+5 +6106 , + 4 ; J -4+ PV# + 7- ; 1 - PV#

+ --4+ ;+7?78+4 4 ,=+ +75+- +4 ,+"V#%%%%U"!)+ + - + 4 7?7Q75R"V#) ; + + - - + ; + 4 + +++++ +1 7-?+N + +7?N$7?7+7?N/- +?4 7?7 - + 7 ++ J 1 ; , ;+ ; - , ; 7- + + ; + J ++ , ++ + ;+ , 7- - 17- 00 , + ; +7- 7$J+J ; + - ++ - 4 , 7- ++4-;; 1 -+ + -+ - +=+ + - + 7 1 ,+ 4, 481JJ1++ 7- - - 4+ ; + - 4 K @,+ + , -+4 , - ;+ NG ; *7 /- J 1 + ; -+ -+ -+ 4 , ; - , +$ ;+ J - +*7 + ; ; 7- + 4+1;+,4 +7 ); 7-*, *7%, - , + 4 ,+ 1 +,+4 ++*7+-+-

*7" ; = *7 -++ + ++- +- + +--- J ; - - + ,c+$*7 + ; +- ++- -++)+,4*7$ ); + +1758 /+4$ ); + *71*7-/+ %P+$ 6 +- + + -;+ /+ + *7 +- , $ ) J - *7 + %%%%") ; + *7 X *7 + - ++ + +; , - -J )+ + B9 51A4 , 9A$ ; , - , ; + ) , ;, - - + 1 - +N5B9A$- ++ ,1;J +*7;+ - 6 + -4+ ,+ -+ *7 + !75 7-+5 +7 7-; 7?7 7-?+7 7?N 7-?+N + +*7%*7*7" @+7-*, *7 7-*, 7Q7?7X*7 R!U- PVP7?7X75Q R"V#*7"X*7 A4 ; +?*7Q*7X*7 A4 ; +

?7Q75X*7Q @8 /+R"# PVV- ;+J4 ; +$*7"X*7Q N$*7X*7%Q - $ /1+ - +7 $7?N - / 7 Q , 7?N 7- + $ T-+"%%%% + =+ +G ; + ; ++- + -- PU"6 + +- ;+J , 4 - D 1 D5 -4+ ; +- PU" "") ; -- N5B1-,+1 -1-<A ,+5 +>A5$ - 4 +, + d + --+- +7 +; *7X*7%+14 - 4+ ++d Sd- -

PRECESIÓN Y NUTACION

1. ROTACION FORZADA DE LA TIERRA.

La precesión y nutación del eje de la Tierra se debe a las perturbaciones que el Sol, la Luna y los planetas ejercen sobre el sólido Tierra, que podemos asimilar a un Elipsoide. Estos fenómenos de variación del eje de la Tierra corresponden a la Rotación Forzada de la Tierra.

El conjunto de fuerzas que actúan sobre un sólido dan lugar a una Fuerza Resultante responsable en

este caso del movimiento orbital y un Par de Fuerzas, que da lugar a la precesión y nutación. Con la misma notación que la Rotación libre, el Teorema del Momento Cinético nos dice que:

MHr&r = , en el sistema XYZ

En este problema supondremos que: ejeH er3|||| ωrr

de inercia del ejeGeoide || menor del elipsoide de zrevolución r|| Todo esto se deduce de considerar la Tierra asimilable al Elipsoide de Revolución. Tomaremos

como origen de sistemas de coordenadas el centro de masas de la Tierra. .

Sea m’ una masa perturbadora, situada a la distancia R del centro de masas de la Tierra. La atracción de m’ sobre cada elemento de masa dm de µ (Tierra) será una fuerza Fdr cuya resultante Fr vendrá dada

por: ∫=µFdFrr , que estará contenida

en el )'(ZOm∏ por razones de simetría de la masa µ respecto a

dicho plano, y tendrá dos componentes: RF rr ||1 y RF rr⊥2 (ya que las fuerzas Fd

r no se reparten simétricamente respecto a 'Om , en el )'(ZOm∏ ).

Si U es el potencial de atracción de m’ sobre el Elipsoide terrestre: RUF

∂∂=1r

θ∂∂= ·2 RUFr

Como:

θθ ∂∂=

∂∂=∧+∧=∧= URURFRFRFRM ··121 rrrrrrr

El vector Mr es ),( 2FR rr

⊥ , luego será )'(ZOm∏⊥ , dirigido hacia afuera.

El potencial U viene dado por: ∫ ∫==µ µ p

dmGmpdmmGU '' , que es el potencial de atracción de µ

en el punto (m’) sobre la masa m’. Tomando para U el potencial dado por la fórmula de Mac Cullagh (3.9, 3.10):

31(2'' 3 −−+= R ACGmRGmU µ cos )2θ Por tanto: θ

θsenR ACGmUM 3'3 −=

∂∂=

r cosθ (6.1) Veamos ahora cómo varía Hr , debido a Mr , en el sistema XYZ.

Sean:

X, Y, Z: sistema inercial tal que XYm ∏∈' . Como LunaSolm ,'≅ ECLXY ∏≈∏

x, y, z: sistema “asociado” a la Tierra: ωrr ||z

celEqxy .∏≡∏ γox ||r

X’ Y’ Z’: sistema “mixto”: ZZ ≡' )(' γxX ≡

MHr&r = es ⇒∏⊥ )'(POm

HOZOPr

⇒⊥≡⇒⊥ )( Luego: )(|| .CEqxyH ∏∏&r y puede descomponerse en dos vectores, según ox y oy :

∂∂−

∂∂

==

αθ

αθ ·cos·UsenUMH r&r Como )(|| zHH rr&r ⊥ se

cumple que cteH =r y basta estudiar la velocidad angular de Hr en torno a OZ . xH&r , en t∆ , desplaza P a 'P resultando una velocidad angular: IPPP ' ,de P en torno a (z) yH&r , en t∆ , desplaza P a ''P resultando una v. angular:

OPPP '' ,de P en torno a (x).

La variación angular correspondiente, según los ejes (z) y (x), será:

(z): β

αθ

β

αθδ HsensenUOPsensenUIPPPt ∂

∂

=∂∂

==∂∂ ' ,, 0<

∂∂ tδ

(x): H

senU

OP

U

t

αθ

αθβ ∂

∂

−=∂∂

−=∂∂ cos

,, 0<∂∂ tβ

Como en este caso: ωω

ω vr

r

CC

AA

IH =

== 0

0·

000000

, se cumple:

CTCHH πω 2===r (6.2)

T: periodo sidéreo de rotación de la Tierra (un día sidéreo, expresado en t. medio).

(6.1) (6.2) −−=

∂∂

−−=∂∂⇒ TsensenCR ACGmt Tsen sensenCR ACGmt ···cos2 '3 ··cos2 '3 33 αθθ

πβ

βαθθ

πδ

Definimos

≈−∈=

=

∈=−=

.__.:3051

2_:'

2'3·2·2

'3 33perturbastrodistR

CAC

Traperturbadomasam

RGmTC

ACR

GmKπω

ωπ

En el )'( Axm∆ se cumple: γβθ sensen ·cos = (seno) (A)

y en el )'( Pxm∆ : ·γθα sensensen = cos β (seno) (B) y: cos θγ sen= ·cosα (coseno) (C)

Operando:

y

De donde: )2cos1(cos γβδ −−=

∂∂ Kt (6.3) :ψδ ≡ ángulo de precesión

y: γββ 2·senKsent −=∂∂ (6.4) :εβ ≡ ángulo de nutación

2. PRECESION Y NUTACION SOLAR Y LUNAR.

Precesión y nutación solares.

Consideremos un Sol ficticio que recorre la Eclíptica con velocidad angular constante Sη y a una distancia constante de la Tierra (1 u.a.), SR .

125,365

2 −= dmS πη kmRS 610·6,149= La longitud SL del fS crece t∝ , siendo

tL SS ·η= (t=0 para γ/S ) Ahora: Sψδ → Sεβ → SL→γ SKK →

(6.3) SS Kt

−=∂

∂⇒

ψ cos −1(Sε cos )2 SL (6.5) (6.4) SSSS LsensenKt

2εε−=

∂∂⇒ (6.6)

Como Sε varía muy lentamente, consideramos 0ε aproximadamente constante en los os2 miembros de las ecuaciones diferenciales (6.5) y (6.6). Entonces se integra con tL SS ·η= :

(6.5) SS Kt

−=∂

∂⇒

ψ cos −1(0ε cos )2 tSη (6.6) tsensenKt SSS ηεε 20−=

∂∂⇒

con 33 2

3·43 ST SSSS R

GMTCAC

RGMK

ωπ∈

=−=

(6.7)

(6.8)

Precesión y nutación lunares. La Luna tiene una órbita media inclinada aproximadamente 5º9' respecto a la Eclíptica línea de nodos ECLL ΠΠ= I . La intersección de estos dos planos da lugar a los nodos ascendente y descendente.

En primera aproximación, la órbita lunar es una elipse de excentricidad 201≈e y podemos suponer una órbita circular de radio lR (distancia media Tierra-Luna) recorrida (en 27.3 d.m.) con velocidad media constante lη : 163.272 10·38.0

−=

= dmkmR ll πη

Definimos:

=

−Ω=Ω Eclíptica la a respecto nodos de línea la deciónretrograda de periodo :años 186794 6794

2 320 tπ

Si en primera aproximación despreciamos el valor de i (pequeño y de efecto periódico) se obtiene una solución análoga al caso del Sol, tomando ε como constante:

)2cos1(cos lll LK −−= εψ& lll LsensenK 2·εε −=&

Así se obtienen unos resultados análogos a la P y N solar: la P lunar es aproximadamente correcta, pero la N lunar resulta incorrecta.

En una segunda aproximación, resolveremos el problema considerando únicamente el movimiento de precesión del eje NP en torno a L ( 'ψ ), despreciando la nutación de NP /L ( 1,' εψ ), de periodo muy corto (~15 días) y amplitud aproximadamente nula. El par perturbador lunar produce una precesión secular del NP en torno a L, que se traduce en un desplazamiento de 'NN PP → . En el eje L, a su vez, se desplaza lentamente en torno a eP , “arrastrando” en este doble movimiento a NP (Figura 1). El movimiento de NP /L (

'NNPP ) puede descomponerse en dos componentes (Figura 2):

1) perpendicular a )( NeOPPΠ 2) paralela a )( NeOPPΠ El término secular (proporcional al tiempo) que produce la precesión de NP en torno a L es: 1cos' εψ lKt −=

∂∂ , que

provoca un desplazamiento de P en la Esfera Celeste a 'P en la unidad de tiempo:

Este desplazamiento se proyecta según el max. de longitud y menor de latitud de P como:

Las variaciones correspondientes de ψ y ε serán ( εψsenPI ∂= ):

εαεεψ

sensenK

t l coscos 11−=∂

∂ (6.9)

αεεε sensenKt l 11cos=∂∂ (6.10)

Para integrar las ecuaciones (6.9) y (6.10), aplicamos las fórmulas siguientes

de donde:

+=

=+=

===∂∂

44444444 344444444 21

4342143421

)2( 2111

22···22··cos

]·cos··cos·[cos··

··cos···cos

βεβε

βεεβ

βεαεεε

senisensenKsenisenK

senisenisenseniK

senseniKsensenKt

lllll

(6.11)

En el )( ' IPP NN∆ (Figura 2) se cumple:

( )

−−+

−−=

==−

+−=∂∂−=

∂∂

4444444 34444444 214434421 )2()1( 22

2·cos22·cos2·cot2

1231··cos

......]·coscos·cot·[·1·

]··cos····cos·[·coscot·

ββεεε

βεεβε

ββεβεεαεψ

isenisentgisenK

isensensen

senisentgseniseniKsentt

ll

(6.12)

El término (1) es secular y vale:

εεψ ·cos231·cos )988.0( 2 ll KisenK

t−≈

−−=

∂∂

≈4434421

(término secular si Lr fuera || a ePr )

La precesión luni-solar es pues: ( ) ( )0··cos~ ttKK lS −+ ε .

Los términos (2) son periódicos y dan lugar a la nutación lunar, sustituyendo β por )( )(

∗

Ω t

(longitud del nodo ascendente lN ): La ecuación (6.11) corresponde a la nutación lunar en oblicuidad. Los términos (2) de (6.12) corresponden a la nutación lunar en longitud.

Su integración se realiza considerando i y ε constantes en los segundos miembros, y como

Ω+=Ω−= º180º180β (ya que 0<Ω ), se tiene: Ω−= sensenβ Ω−= coscosβ Ω= &&β

Como t67942π−=Ω (haciendo 00 =Ω ), se cumple: 67942π−=Ω& 67942πβ =& ,

de donde, integrando (6.11) y ((6.12-2)):

+=

=−−=

∆

6794/4)6794/2cos(·2··6794/2

)6794/2cos(·22··cos

22cos·2··cos·2

2··cos

0~ 22π

πεπ

πε

ββε

ββεε

ε

tisensenKtisenK

isensenKisenK ll ll32144 344 21

&&

(6.13)

+

+−=

∆

)6794/4()6794/4(·2··cos

)6794/2()6794/2(·2

2)·cot(·cos

0~ 2π

πε

ππεεεψ

ψ

tsenisenK

tsenisentgK

ll321

4444 34444 21

(6.14)

Como 004.0~

2

2isen, despreciando los segundos términos del segundo miembro de (6.13) y (6.14),

podemos resumir el movimiento del NP en torno a eP como sigue: El polo norte NP describe un cono de precesión de ángulo ε con velocidad angular constante

( ) εψ ·coslS KK +−=& , en torno al eje fijo eP .

A este movimiento se superpone la resultante de dos movimientos rectangulares, de amplitud ∆ε y que es una elipse descrita con movimiento

uniforme respecto a su centro, y cuyos ejes están en la relación:

( )

εεεεε

εεψ cos2cos......·cot· ==−=

∆∆ sentgsen

. Esta elipse de nutación lunar es descrita en un periodo de 3218 años (periodo idéntico al de retrogradación de la línea de nodos).

Datos numéricos.

Las constantes que intervienen en las fórmulas de precesión y nutación toman los valores siguientes:

)1(··43 3 dsSSS T

CAC

RGMK −=π

=−

S-Lnutación y precesión la departir a calculado

5.3051

CAC

Por la tercera ley de Kepler: 2 324 S SS T

RGM π= y ST (año sidéreo) = 366.25 d.s., de donde C ACK S −= ·)25.366( 3 2π

La precesión solar en un año es:

)/'('206265·25.366·917.0·5.3051·)25.366(

3 '27º23coscos2'' radS 876=

=∆ε

πψ 89'.'15'' =∆ Sψ

La precesión total anual es: TSlSlS KKKKKK =

+=+ 988.01988.0

La relación entre las constantes de precesión es: 20.210·38.0 10·6.14933343253.81/1 3663

=== LSSLSl RRMMKK de donde: ( ) SST KKK 17.320.2·988.01 =+= Por tanto, la precesión total anual (LS) vale:

37'.'5017.3·89'.'15'' ==∆ Sψ /año juliano (365.25 d.m.) Los términos de nutación lunar toman los valores: 34'.'946794·2··cos ==∆

πεε LsenK l Las observaciones astronómicas dan el valor 9.”21. 95'.'646794·2)·cot(·cos·· =−=∆

πεεεεεψ isentgsenKsen l Los datos astronómicos dan 6.”81.

La nutación en longitud es: 4'.'17398.0 95'.'695'.'6 ===∆

εψ sen

Las observaciones dan el valor: 17.”23. Estos datos corresponden a una teoría de primer orden (segunda aproximación) en términos solares y lunares, despreciando también los términos planetarios. En una solución rigurosa, debemos incluir los términos de nutación solar y otros términos de nutación lunar, de corto periodo y amplitud, que se

(15)(15) (15) (6.15)

(6.16)

El factor 37'.'50 es la constante de precesión luni-solar, y el factor 21'.'9 es la constante de nutación.

Precesión y nutación planetarias.

Los planetas atraen a la masa de la Tierra desde posiciones fuera del ECLÍPTICAΠ , de modo que la órbita terrestre ( ECLΠ ) se desplaza respecto a un plano invariante (Eclíptica fija). Los efectos principales son:

1. Un avance del punto Aries de año/11'.'0 : Precesión planetaria en longitud.

2. Una variación de ε , de muy largo periodo ( año/47'.'0− ): Precesión planetaria en oblicuidad.

3. Una serie de términos periódicos, muy pequeños: Nutación planetaria en longitud y oblicuidad.

Precesión y nutación generales.

Considerando todos los efectos anteriores, se llega a los resultados siguientes. Constante de precesión general: año/256'.'50 , que corresponde a un periodo de giro de eN PP /

de 25790 años. Así: )1900('...·.'047'.'026'.'8 27'º23

...26'.'50 20 −=

−−=+−= fechattt

tε

ψψ (6.17) La aparente “precesión” de ε es en realidad una nutación de periodo muy largo (unos 40000

años), de modo que ε permanece siempre acotada. Al integrar las ecuaciones diferenciales, considerando ε constante en los os2 miembros se

comete un error, cuya corrección da lugar a:

)1900(000009'.'0210'.'9 :nutación de Constante00022'.'0256'.'50 :precesión de general Constante

−=

++ fechatt

t (6.18)

3. EFECTO SOBRE LAS COORDENADAS.

Debido a la precesión y nutación planetarias, la eclíptica se desplaza girando y variando el ángulo que forma con un plano fijo respecto de la Tierra (Eq. T). Considerando únicamente los movimientos seculares (precesión planetaria) se obtiene la Eclíptica media, plano definido por el centro del Sol, el centro de masas del sistema Tierra-Luna y el vector velocidad de este centro de masas. Considerando además la nutación planetaria y la desigualdad mensual, la Eclíptica Verdadera, plano determinado por el centro del Sol, el centro de la Tierra y el vector velocidad de ésta, oscila rápidamente a ambos lados de la Eclíptica Media, con una amplitud de 2'.'1 . Debido a la precesión y nutación luni-solares, el ecuador terrestre experimenta variaciones respecto a un plano invariante en el espacio. En cada instante puede considerarse un Ecuador verdadero, que pasa por el centro de masas de la Tierra y es ortogonal al eje instantáneo de rotación en dicho momento, que coincide con el eje medio de la Tierra. Este plano se obtiene corrigiendo de precesión y nutación un Ecuador constante de referencia. Si sólo corregimos de precesión, obtenemos un Ecuador Medio. La intersección del Ecuador medio y la Eclíptica media es la línea de los equinoccios media y el nodo ascendente de la eclíptica es el punto Aries medio o equinoccio medio. En cambio, si consideramos el Ecuador verdadero y la Eclíptica verdadera, obtenemos el punto Aries o equinoccio verdadero.

Se suelen considerar como elementos de referencia medios los correspondientes al principio del año astronómico que, como veremos más adelante, empieza cuando la longitud media del Sol, corregida de aberración, es igual a 280º. Esto se indica colocando un cero a la derecha del año; así, 1950.0 indica el comienzo del año astronómico de 1950. El ángulo que forma el Ecuador medio con la eclíptica media en una fecha es la oblicuidad media en dicha fecha. Su valor, contando t en años a partir de 1900,0 vale (6.17): 32 10000000018'.'0t0.00000059-'46845t0.'-'268.' 27'º23 t+=ε (6.19) La oblicuidad verdadera en una fecha es el ángulo que forma la Eclíptica verdadera y el ecuador verdadero en dicha fecha. Las coordenadas celestes medias de un astro son las referidas a la eclíptica, equinoccio y ecuador medios. Análogamente, se definen las coordenadas verdaderas respecto a los elementos verdaderos. En la práctica, especialmente en navegación, interesan las coordenadas medias. En las observaciones de precisión obtenemos las verdaderas y es preciso corregir de nutación para conocer las coordenadas medias. Para saber las coordenadas medias y verdaderas de un astro en una fecha, tomando, por ejemplo, el Catálogo de 1900.0, se corrige de precesión hasta principios del año en cuestión; una vez hecho esto se efectúa la reducción al día o a la fecha, corrigiendo de precesión y nutación o de precesión sólo, según que nos interesen las coordenadas verdaderas o medias. Los Anuarios astronómicos nos dan los términos de la nutación a lo largo del año.

Variación de los polos. Como consecuencia de los movimientos de precesión y nutación, el polo celeste se desplaza respecto a las estrellas. Despreciando la pequeña variación secular de la oblicuidad de la eclíptica, el eje del mundo describirá, debido a la precesión, un cono de revolución alrededor del eje de la eclíptica, de semi abertura igual a la oblicuidad ε de la eclíptica. Dicho movimiento se efectúa en sentido retrógrado y con un periodo de unos 26000 años. Debido a la nutación, el punto Aries verdadero oscila a uno y otro lado del Aries medio y, además, la oblicuidad de la eclíptica varía periódicamente. En consecuencia, el polo verdadero describe una pequeña elipse alrededor del polo medio; si nos limitamos a su parte principal, los semiejes de dicha elipse son las constantes de nutación 21'.'9 y 86'.'6 . Resumiendo: el eje medio del ecuador describe un cono de revolución alrededor del eje de la eclíptica, y el eje verdadero un cono elíptico alrededor del eje medio del ecuador. Estudiemos con detalle estos desplazamientos. En la figura se tiene:

'EE : eclíptica media de una época 'QQ : ecuador medio de una época EP : polo de la eclíptica media P : polo del ecuador medio 'P : polo del ecuador verdadero γ : Aries medio 'γ : Aries verdadero (se considera la intersección de la eclíptica media con el ecuador verdadero, dada la escasa variación de la primera).

Debido a la precesión, el polo medio del ecuador describe un círculo menor alrededor del polo de la eclíptica. Por otra parte, como la oblicuidad de la eclíptica varía, el polo verdadero 'P describirá una elipse alrededor del polo medio P. Consideremos las coordenadas eclípticas medias de ambos polos:

donde ε y 'ε son las oblicuidades media y verdadera de los ecuadores respecto a la eclíptica media. Vamos a estudiar la variación del polo verdadero en el plano tangente a la esfera celeste por el polo medio y en el sistema de referencia ξ , η de la figura. .

El ángulo diedro formados por los máximos de longitud del polo medio y del polo verdadero es 'LL − . Debemos reducirlo al círculo menor y multiplicar para ello por cos B. Se obtiene: (L – L’) cos B = (L – L’) cos =− )2( επ sen ε∆ψsen ε)L'(L −=−= Como en latitud estamos sobre un círculo

máximo, no es necesario hacer ninguna reducción y, por tanto: ε∆−=−BB' .

Por tanto, las coordenadas (ξ , η ) del polo verdadero P’ en el sistema considerado serán:

∆−=∆−=

εηεψξ sen

(6.20) Sabemos que los términos principales de la nutación de origen lunar son (6.15) (6.16): ...cos21'.'9 ...23'.'17

+Ω=∆+Ω−=∆

εψ sen

Sustituyendo en (6.20), refiriendo ε a 1900,0, se tiene:

Ω−=Ω=Ω=

cos21'.'986'.'623'.'17

ηεξ sensensen

(6.21) que son las ecuaciones paramétricas de una elipse de semiejes 86'.'6 y 21'.'9 . El eje mayor tiene la dirección del máximo de longitud P. Como ya indicamos, este movimiento de P’ en torno a P se efectúa con un periodo de 18 32 años. Si tenemos en cuenta que el punto Aries medio se mueve a lo largo de la eclíptica media de modo que en un año retrograda 50.”26, en dicho intervalo de tiempo el polo medio P se desplazará a lo largo del círculo menor correspondiente un ángulo: 0'.'2026'.'50 ≈εsen Así, mientras que en un año el polo medio se ha desplazado 20.”0 sobre el eje ξ , el polo verdadero 'P habrá descrito sólo una pequeña parte de elipse ( 18/1≈ ) en torno a P.

Como consecuencia del movimiento del polo medio, la estrella “polar” no es siempre la misma. Todas las estrellas con latitud celeste de ε−º90 (unos 67º) serán “polares” en el transcurso de unos 26000 años. Actualmente, la estrella polar es la α de la Osa Menor, cuya distancia al polo es del orden de 1º. Esta distancia disminuye en la actualidad, alcanzándose el mínimo en el año 2015. Dentro de 12000 años la estrella polar será Vega (α Lirae), estrella de primera magnitud.

PARALAJE ANUA Y DIURNA

1. PARALAJE ANUA. Debido al movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol, por un efecto de cambio de origen, denominado paralaje anua, las estrellas próximas parecen oscilar alrededor de sus posiciones medias, en el transcurso de un año. Este efecto es muy pequeño, dad la distancia a que se encuentran las estrellas más próximas, y su semi amplitud no alcanza nunca 1’’.Sin embargo, este efecto permitió determinar por vez primera la distancia de las estrellas próximas a nuestro Sistema Solar. Si expresamos el movimiento de la Tierra en función del movimiento aparente del Sol (Rr , con origen en T y extremo en S) se tiene:

Rrrrdr

rrr =−= ' (ya que R<< r) (7.1)

rdr es la corrección de paralaje a aplicar para pasar de las coordenadas heliocéntricas rr (verdaderas) a coordenadas geocéntricas 'rr (aparentes). E '1rr rr '2rr Rr T1 T2 Si consideramos el triedro de las coordenadas eclípticas, se tiene:

Coordenadas del Sol:(R cos ,R sen ,0) (Rectangulares, GC) Coordenadas de la estrella:(r, L, B) (Esféricas, HC) 'rr Pe rr T• ⊗ R γ S Π ecl.

Si proyectamos los vectores rr , 'rr sobre la misma esfera (TRASLACIÓN DIFERENCIAL), se cumple:

(x, y, z): (R cos , R sen , 0) rdrrEE rrr

r

=−= '' (x’’, y’’, z’’): (dx’’, dy’’, dz’’) Las posiciones E, E’ presentan distintas coordenadas:

E(r, L, B), E’(r’, L’, B’), de modo que: L’-L = dL ,, B’-B = dB

Efectuando los giros: R3(L): (x, y, z⇒x’, y’, z’=z) R2(90º-B):(x’, y’, z’⇒ x’’, y’’=y’, z’’)

de modo que : rz

r'' ,, LONGITUDMAXIMOx '' (L = cte.),, LATITUDMENORy '' (B = cte.) se tiene: dx’’ R cos

''rdr = dy’’ = R2 (90º-B) R3(L) R sen ( rdr ) (7.2) dz’’ 0 z=z’ Pe E rdr z’’ E’

rr Mº.LONG z’’ 'rr y’’ y’=y’’ y’’ 90º-B dr’’ x’’ y ω 90º-B L x’’ ΠEclip x’ x γ x’’

En (x’’, y’’, z’’) se cumple: ''rdr = (-r dB, r cos B dL, dz’’), de modo que sustituyendo en lo que sigue r por

s, se tiene:

dB= -Π sen B cos ( -L) dL= Π sec B sen ( -L) (7.3) sds = Π cos B cos ( -L) donde se ha hecho Π=sR (rad), paralaje de la estrella o ángulo bajo el cual se ve desde la misma el radio de la órbita terrestre. Para interpretar estas ecuaciones (7.2) consideramos ahora el sistema x’’, y’’, z’’, con origen la estrella considerada y teniendo en cuenta (1) con R constante en el tiempo: dx’’= -s dB = R sen B cos ( -L) dy’’= s cos B dL = R sen ( -L) (7.4) dz’’= ds = R cos ( -L) ecuaciones paramétricas de una circunferencia, intersección de la esfera: 222 0'''' Rdydx =++ con el plano: dx’’ cos B- dz’’sen B =0, paralelo al plano de la eclíptica (ya que es paralelo al eje y’’ y además Bdxdz cot'' '' = ). Debido a la paralaje anua, la estrella pasa a describir en un año, alrededor de su posición verdadera y con movimiento uniforme, una circunferencia de radio R paralela a la eclíptica. Dicha circunferencia se proyecta sobre el plano x’’y’’, tangente a la esfera celeste, según una elipse de semiejes: R sen B y R y excentricidad cos B, llamada elipse de paralaje. En coordenadas ecuatoriales tendremos, pasando antes las coordenadas eclípticas geocéntricas del Sol a coordenadas ecuatoriales mediante la rotación R1 (-ε) y aplicando después las fórmulas diferenciales de paso de coordenadas rectilíneas a coordenadas esféricas ecuatoriales: dx’’ -s dD R cos

''sdr = dy’’ = s cos D dA = R2(90º-D) R3(A) R1(-ε) R sen (7.5) dz’’ ds 0 Operando e introduciendo la paralaje Π de la estrella, limitándonos a la consideración de las dos primeras componentes: dD = Π [(cos D sen ε - sen D sen A cos ε)sen - sen D cos A cos ] (7.6) dA= Π sec D[cos A cos ε sen - sen A cos ]

Actualmente, con más precisión, en las “Efemérides Astronómicas” se da otra forma a las ecuaciones (6), expresándolas directamente en función de las coordenadas ecuatoriales rectangulares geocéntricas del Sol, X, Y, Z, calculables como veremos más adelante. La órbita aparente del Sol se supone ahora elíptica con foco en la TIERRA; tomando como unidad la distancia de la Tierra al Sol, la paralaje de la estrella vale: Π= s1 . En este caso las fórmulas diferenciales de cambio son:

-s dD X s cos D dA = R2(90º-D) R3(A) Y (7.7) ds Z Operando y haciendo Π= s1 , finalmente: dD=Π(-X sen D cos A – Y sen D sen A + Z cos D) (7.8) dA=Π sec D(-X sen A + Y cos A)

2. PARALAJE DIURNA. En un mismo instante, los astros próximos se observan en distintas direcciones, según sea el lugar de la observación, y esta diferencia de posiciones observadas será tanto mayor cuanto más próximo esté el astro al observador (satélites artificiales, Luna, planetas, Sol), variando además con el transcurso del tiempo. Se hace necesario pues, reducir las observaciones a un mismo punto, que se toma el centro de la TIERRA. Es un efecto de traslación del origen de coordenadas (satélites artificiales, Luna), que en algunos caso puede tratarse como cambio diferencial de coordenadas esféricas (planetas, Sol) cuando las distancia del astro es >> distancia entre los lugares de observación. Estas coordenadas se llaman geocéntricas y las relativas a cada observador topocéntricas. La corrección que hay que aplicar para pasar de las segundas a las primeras se denomina corrección de paralaje diurna. En primera aproximación, para comprender el fenómeno, consideramos la TIERRA esférica de radio R y estudiemos la corrección de paralaje diurna en coordenadas horizontales. Como ambas direcciones están en el mismo círculo vertical, solo habrá corrección de paralaje en altura, manteniéndose constante el acimut (FIGURA). Sea M un astro, z’ su distancia central topocéntrica relativa a un observador 0’, z su distancia central geocéntrica, p su paralaje en altura, ángulo bajo el que se ve desde M, el radio R, y hp su paralaje horizontal, el ángulo anterior cuando el astro está en hM , sobre el horizonte de 0’. PN 0’ z’ r’ p TIERRA z r M hp 0 hM HORIZONTE

Supongamos además que r, distancia del astro al centro de la TIERRA, se mantiene constante en el transcurso del día. Aplicando el teorema del seno al triángulo 00’M nos da:

)'()'º180()( zsenr

zsenr

psenR =

−=

Es decir: )'(

)(zsenpsen

rR = (7.9)

En el triángulo rectángulo 00’ hM se tiene: sen hp = )'(

)(zsenpsen

rR =

o sea : sen p = sen hp sen z’ (7.10) siendo: z = z’- p (7.11) Si exceptuamos los satélites artificiales y la Luna, la pequeñez de p y hp permite sustituir en (28) sus senos por sus arcos en radianes: p = hp sen z’ con lo que, según (11): z = z’- hp sen z’ (7.12) Si interesa el resultado en segundos de arco se tiene: hp ’’= rR 206265’’ Este factor expresa el número de segundos de arco por radián. Consideramos ahora la TIERRA como un elipsoide de revolución y estudiamos la corrección de paralaje diurna en coordenadas horarias. Se llama paralaje horizontal ecuatorial 0p de un astro M, al ángulo bajo el cual se ve desde dicho astro el radio ecuatorial de la Tierra: 0p ≅sen 0p = ra ( Kma 4,6378= ) En el caso del Sol se designa por 0Π , su paralaje horizontal ecuatorial cuando se encuentra a una unidad astronómica de distancia: 1 u.a = 149,5 · 610 Km (distancia media Sol-Tierra). Tomando como unidad de longitud dicha distancia media, 0Π en segundos de arco valdrá: 0Π = 80,''8''206265·5,149

4,6378 = (7.13) Recientemente se han corregido los valores de a , de la u.a y de 0Π , trabajándose con: a=6378,2 Km , u.a =149,6· 610 Km y 0Π =8’’,79.

Si medimos las distancias en u.a. y 0Π en radianes resulta para el radio vector del observador sobre el elipsoide ρa la expresión (FIGURA): 0Π = aaua =. 0Π a 0’ S T 0 u.a. = 1 ρa Luego: ρa = 0Π ρ Traslademos ahora el sistema local de coordenadas horarias al centro de la TIERRA conservando fijo el plano x’z’( xz = meridiano). Con ello se tiene (FIGURA): M z z’ rr 'rr 90º-D D’

ρ+Π 0 'Φ 0’ H’ x’ D Π MERIDIANO x 0 H H’ y y’ ρrrr 0' Π+= rr (7.14) Ecuación vectorial que equivale a un sistema de tres ecuaciones (para las tres

componentes) con tres incógnitas, r, H y D, lo que permite su cálculo: r cos D cos H = r’ cos D’ cos H’+ ρ0Π cos 'Φ r cos D sen H = r’ cos D’ sen H’ (7.15) r sen D = r’ sen D’ + ρ0Π sen 'Φ siendo 'Φ la latitud geocéntrica. Recordando las fórmulas de transformaciones de coordenadas por traslación, vistas en el tema de la Esfera Celeste, resulta: tg(H’-H) =

HDrsenH

cos'coscos)'(cos00

ΦΠ−ΦΠ

ρρ (7.16)

Suponiendo que H’-H sea pequeña, se obtiene para D’-D: tg(D’-D)= )'coscos'(cos

)cos'cos'(cos00senDsenDHrDsenHsenD

Φ+ΦΠ−Φ−ΦΠ

ρρ (7.17)

Si el astro M se encuentra muy alejado (caso de planetas y cometas), ρ0Π es un infinitésimo frente a r y está justificado el empleo de fórmulas diferenciales que simplifican los cálculos: ρrrrr 0' Π−=−= rrrd (7.18) En la figura aparecen triedros (x, y, z), (x’,y’,z’) y (x’’,y’’,z’’) relacionados mediante los giros:

(x, y, z) → )(3 HR (x’, y’, z’) → − )º90(2 DR (x’’, y’’, z’’) de modo que: ''rdr =R2 (90º-D)R3 (H) rdr (7.19) En el triedro(x y z) :

'

0'cos000

ΦΠ−

ΦΠ−=Π−=

senrd

ρ

ρρrr (7.20)

y en (x’’y’’z’’):

drDdHrrdD

rd−

−= cos''r (7.21)

Por tanto:

drDdHrrdD

−

−cos =

senDD

DosenD

0cos010cos−

1000cos0cos

HsenHsenHH

− '

0'cos00 ΦΠ−

ΦΠ−

senρ

ρ (7.22)

ESFERA DE DIRECCIONES PN z z’’ rdr y’’ z’ x’’ 0 x x’ Q H Eq.CEL W y D

Desarrollando resulta: )cos'cos'(cos0 DsenHsenDrdD Φ−ΦΠ−=− ρ senHDdHr 'coscos 0 ΦΠ= ρ (7.23) )'coscos'(cos0 senDsenHDdr Φ+ΦΠ−=− ρ De esta fórmulas (7.23) solo interesan las dos primeras ecuaciones, que permiten calcular dD y dH. Dado que D≅D’ y H≅H’ en estas fórmulas y en lo que sigue es indiferente usar coordenadas topocéntricas (H’, D’) o geocéntricas (H, D). Concretamente se introduce en (23) un ángulo auxiliar γ tal que: tg γ = tg Φ’sen H y se obtiene:

γγρsen

DsensenrdD )('0 −ΦΠ−=− senHDdHr 'coscos 0 ΦΠ= ρ Luego:

rDsenHHHdH sec'cos' 0 ΦΠ−

=−=−ρ (a)

(7.24)

recDsensenDDdD γγρ cos)('' 0 −ΦΠ

=−=− (b)

En (7.24-a) se suele dividir por 15 para que le resultado venga expresado en segundos de tiempo (ya que r se mide en u.a y 0Π en segundos de arco). Para corregir de paralaje diurna en coordenadas ecuatoriales basta recordar que:

dA = - dH y aplicar (7.24-a). La corrección en declinación sigue siendo (7.24-b). A los numeradores de (7.24-a) y (7.24-b) se les denomina factores paralácticos: FACTOR PARALÁCTICO EN ASCENSIÓN RECTA: ).()(sec'cos),()/'('15

1 )'('0 aussenHDauspA ΦΠ= ρ FACTOR PARALÁCTICO EN DECLINACIÓN: ).()'('cos)(').()'('0 auecDsensenaupD γγρ −ΦΠ= Con esta notación se tiene: A = A’+

rpA (7.25) D = D’+ r

pD (7.26) En los Anuarios Astronómicos suelen figurar los factores:

'cos151 0 ΦΠ ρ ,, '0 ΦΠ senρ , 'Φtg , relativos a los principales Observatorios del mundo (MPC).

Estas últimas fórmulas permiten calcular r: observando M desde dos puntos distintos, en un mismo instante, será:

rpAr

pAA AA 2211 '' +=+= ,, rpDr

pDD DD 2211 '' +=+=

Debe obtenerse el mismo valor de r a partir de las A y las D.

ABERRACION DE LA LUZ 1. FUNDAMENTO FISICO. La aberración de la luz es el fenómeno por el cual los objetos se observan en distinta dirección, cuando el observador se desplaza lateralmente con velocidad no despreciable frente a c. En el caso de la Tierra, y para efectos astronómicos, la interpretación “clásica” del fenómeno (la Relatividad añade una corrección del orden de 0.001’’, prácticamente indetectable) puede hacerse como sigue: Sean, respecto a un sistema inercial, O: p: posición de un astro, cuando la luz sale de él. P: posición del mismo, cuando dicha luz llega a la TIERRA, T. P’: posición en la cuál se observa al astro en tal instante. Sean, además: : vectores de posición del astro y de la TIERRA. : : velocidades, supuestas constantes en el “tiempo de luz”, ∆t, que la luz tarda en ir de p a T.

El fenómeno es el resultante de la superposición de otros dos: por una parte, mientras la luz recorre el espacio pT a una velocidad c en el intervalo ∆t: pT = c ∆t, el astro se ha desplazado de p a P: pP = r · ∆t; por otra parte, la luz incide sobre el observador T con una velocidad relativa: c’ = c – ρ , y el observador ve el astro en una posición P’, tal que: pP’ = ρ·∆t. Según esto, la corrección ds que hay que aplicar para pasar de la posición topocéntrica verdadera s a la aparente s’, vale:

s’ - s = ∆s = (ρ - r)·∆t. Como pP << pT, y: , finalmente: (8.1) 2. ABERRACION ANUA Apliquemos ahora (8.1) al estudio de la ABERRACIÓN ANUA, debida a la traslación de la Tierra alrededor del Sol (realmente alrededor del centro de gravedad del sistema solar, como se considera en las “Efemérides Astronómicas” desde 1960). Para la mayoría de las estrellas se desconoce el término r’·dt, la aberración secular, por lo que su efecto se engloba en las posiciones medias de los Catálogos. Según esto, expresando el movimiento de la Tierra en función del aparente del Sol alrededor de la Tierra, ρ = - R, la fórmula (1) se reduce a: (8.2) En coordenadas rectilíneas eclípticas (γ, Ω, Polo Norte de la Eclíptica), las componentes de R se obtienen fácilmente recordando la fórmula (19) de la Traslación de la Tierra: ecPrrcPv rrrrr ∧+∧= 11 Se tiene: (8.3)

Proyectando sobre los ejes XY cada una de las componentes de dicha velocidad, en función de las longitudes celestes del Sol y del perigeo, y ø, respectivamente, y siendo: e: la dirección del perigeo de la órbita aparente del Sol en torno a la Tierra, vista desde ésta. R: la dirección de la posición del Sol vista desde la Tierra. γ: la dirección del punto ARIES: origen de longitudes celestes, vista desde la Tierra (EJE X). Ω : la dirección del punto CANCER vista desde la Tierra (EJE Y) (8.4) , habiendo introducido la constante de aberración: ) = 20,50” (8.5) siendo, c: constante de las áreas, C: velocidad de la luz, p: parámetro de la órbita terrestre, n: movimiento medio de dicha órbita, a: semieje mayor, e: excentricidad. El valor internacional de esta constante, pendiente de rectificación, es de 20.47”. Si la estrella en cuestión tiene unas coordenadas esféricas eclípticas L, B, S, las fórmulas diferenciales de paso de rectilíneas a esféricas, tras las rotaciones R3 (L) y R2 (90° - B), ya estudiadas en la paralaje anua: =

•ø • ø)

Y operando: . ) + e.cos (8.6) - ) + e. Corrientemente no se tienen en cuenta los términos en la excentricidad e de (6) que se engloban en las posiciones medias de los Catálogos. Con ello (6) se reduce a: (8.7) L) Para interpretar estas ecuaciones consideremos el sistema de coordenadas x”y”z” con origen en la estrella, que consideramos en la paralaje anua. Con ello se tiene, según (7) (8.8) que, análogamente al caso de la paralaje anua, son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia, intersección de la esfera: dx”2 + dy”2 + dz”2 =k2·S2 con el plano: dx” · cosB – dz” · sin B, paralelo al plano de la eclíptica (ya que es el paralelo al eje y” y además dz”/dx” = cot B) Debido a la aberración anua, la estrella parece describir en un año, alrededor de su posición verdadera y con movimiento uniforme, una circunferencia de radio k·S paralela a la eclíptica. Dicha circunferencia se proyecta sobre el plano X”Y”, tangente a la esfera celeste, según una elipse de semiejes k·S·sinB (x”) y k·S (y”) llamada elipse de aberración. Siendo su excentricidad e = cos B, se reduce a una circunferencia en el polo de la eclíptica (B = 90°) y a un segmento rectilíneo en el plano de la misma (B = 0°). 3. ABERRACION ANUA DEL SOL. La teoría expuesta sirve también para estudiar la aberración anua del Sol, pues estando éste muy cerca del centro de gravedad del sistema solar, el término es

realmente pequeñísimo y despreciable y valen las fórmulas (2) a (6), haciendo B ≈ 0°, L = , S = R: ] (8.9) ) Es decir, debido a la aberración de la luz, vemos al Sol con una longitud unos 20.50” menor que la que realmente tiene. Aquí no se desprecian los términos en la excentricidad, y tanto el término anual en la longitud d como el valor relativo del radio vector dR/R, oscilan en ±K·e: ±0.34” y ±0.0000017: -20.50”-0.34” ≤ d ≤ -20.50”+0.34”; -0.0000017 ≤ dR/R ≤ +0.0000017, oscilando entre estos valores extremos en el transcurso de un año. 4. ABERRACION DIURNA. Consideremos por último la aplicación de (8.1) al estudio de la aberración diurna de las estrellas, debida a la rotación de la TIERRA sobre su eje. Excluidas las aberraciones secular y anua y pudiendo suponer ahora la tierra esférica de radio medio ρ, se tiene en coordenadas ecuatoriales y con notación conocida: ,, . Sustituyendo en (1), una vez definida para cada observador (φ) su constante de la aberración diurna: y aplicando las fórmulas diferenciales de paso de rectilíneas a esféricas ecuatoriales, se obtienen las relaciones: Operando y recordando que Θ – A = H, queda:

(8.10) Dada la pequeña corrección de aberración diurna de una estrella, sólo se aplica en observaciones de mucha precisión (observaciones meridianas) y en este caso se efectúa simultáneamente con las de refracción y paralaje diurna, para reducir las posiciones observadas a posiciones aparentes (geocéntricas). 5. ABERRACION PLANETARIA. Si t es el instante de una observación de un astro del sistema solar, como la luz tiene una velocidad finita, dicho instante es τ segundos posterior al de emisión del rayo luminoso por el astro, o sea, la posición observada corresponde al instante t – τ. Si se conoce la distancia a la Tierra en el instante t, puede calcularse τ, y por tanto el instante t – τ. Si se desea, por ejemplo, obtener la A y D del astro para t, hay que añadir a los valores en t – τ (observados y corregidos de aberración, paralaje, etc.) las cantidades: τ·∆A y τ·∆D, siendo ∆A, ∆D, las variaciones por segundo de A y D, respectivamente.

COORDENADAS ECUATORIALES MEDIAS Y VERDADERAS: REDUCCIONES Veamos como se corrigen de precesión y nutación las coordenadas ecuatoriales de las estrellas .Supondremos supondremos en primera aproximación, que la eclíptica media no varía (ya que lo hace muy lentamente, con términos en t2); por tanto las latitudes de las estrellas se mantendrán constantes. En consecuencia: dL será la suma de la precesión y de la nutación en longitud y dB = 0. Recordemos que las ecuaciones de cambio de coordenadas esféricas eclípticas a ecuatoriales son (FIGURA): 90º-L ε 90º-A 90º-D Q B

90º-B γ D A L

cos D cos A = cos B cos L cos D sen A = cos ε cos B sen L –sen ε sen B (9.1) sen D = sen ε cos B sen L +cos ε sen B

Diferenciando la tercera:

cos D dD =sen ε cos B cos L dL +(cos ε cos B sen L –sen ε sen B)dε y teniendo en cuenta que la primera y segunda ecuación de (9.1): cos D dD = cos D cos A sen ε dL + cos D sen A dε De donde, dividiendo por cos D: dD =cos A sen ε dL + sen A dε (9.2)

Diferenciando ahora la primera de (9.1) y sustituyendo dD por su valor (9.2): -cos D sen A dA =sen D cos A dD-cos B sen L dL= =sen D cos2 A sen ε dL+sen D sen A cos A dε-cos B sen L dL= =sen D sen ε dL (1-sen2 A)+sen D sen A cos A dε-cos B sen K dL= =(sen D sen ε-cos B sen L)dL-sen D sen ε sen2 A dL+sen D sen A cos A dε (9.3) De la fórmula de cambio inverso de coordenadas ecuatoriales a eclípticas: cos B sen L =cos ε cos D sen A + sen ε sen D deducimos: sen D sen ε -cos B sen L =-cos D sen A cos ε y sustituyendo en (9.3): -cos D sen A dA =-cos D sen A cos ε dL+ sen D sen ε sen2 A dL+sen D sen A cos A dε. Dividiendo ambos miembros por –cos D sen A, obtenemos agrupando términos:

dA =(cos ε + sen A tg D sen ε) dL-cos A tg D dε (9.4) Se cumple: dL =pττττ +∆∆∆∆ΨΨΨΨ siendo: p = 50’’,2564 + 0’’,000222 t la precesión general en longitud y ττττ la fracción de año transcurrida desde el comienzo del año astronómico en cuestión. Como el punto Aries retrograda con el tiempo y por tanto la longitud aumenta, se suma pττττ. Por otra parte: dε =∆ε. Para simplificar el cálculo de (9.2) y (9.4) definimos ahora la precesión general en ascensión recta: m =p cos ε = 46’’,0851 + 0’’,000219 t (9.5) y la precesión general en declinación: n = p sen ε =20’’,0468 – 0’’,000085 t (9.6) Puesto que ε disminuye, sen ε disminuye y cos ε aumenta con el tiempo; de ahí los signos de loa términos en t de (9.5) y (9.6). Teniendo estas expresiones en cuenta, (9.2) y (9.4) pueden ponerse en la forma:

dA =( nm + sen A tg D)(nττττ+∆∆∆∆ΨΨΨΨ sen ε)-cos A tg D ∆∆∆∆εεεε

P N N (9.7) dD = cos A (nττττ + ∆∆∆∆ΨΨΨΨ sen ε) + sen A ∆∆∆∆εεεε P N N

Introduciremos ahora los llamados números de Bessel o besselianos , que son generales para toda la esfera celeste y viene dados en los ANUARIOS día por día : Α = nττττ + ∆∆∆∆ΨΨΨΨ sen ε (9.8) (solo depende de la P, N y ∆t ) Β = - ∆∆∆∆εεεε

y las constantes estelares, dependientes de la estrella de que trate: a = (

nm )+ sen A tg D

b = cos A tg D a’=cos A (9.9) (dependen de cada estrella) b’=-sen A Entonces la fórmulas (9.7) dan lugar a:

A’=A+Α a +Β b (9.10) D’=D+Α a’ +Β b’ Estas son las coordenadas verdaderas en la época, referidas al ecuador y equinoccio verdaderos de la época. Si en las consideraciones anteriores no hubiésemos tenido en cuenta la nutación obtendríamos unas fórmulas análogas que nos darían las coordenadas medias en la época. Los Catálogos de Estrellas nos dan las coordenadas medias del comienzo de un año astronómico. Para actualizarlas, se hace la REDUCCIÓN al AÑO corrigiendo la precesión, y a continuación la REDUCCIÓN al DÍA, mediante las fórmulas (9.10). La NUTACIÓN en Ascensión Recta, que interviene en algunas expresiones astronómicas, se representa por N y vale, haciendo en (9.4) dL = ∆Ψ,, A = 0,, D = 0 (ya que coincide con el punto ARIES):

N =∆Ψ cos ε = -17’’,23 cos ε sen Ω ≅ 15’’,9 sen Ω (9.11) N varía periódicamente, con un periodo de 18/3 años, anulándose cada 9 1/3 años. POSICIONES APARENTES. REDUCCIÓN DE POSICIONES.

• Las posiciones aparentes de las estrellas son las posiciones geocénticas (GC),

se deducen de las posiciones verdaderas heliocéntricas (HC), al tener en cuenta las correcciones de aberración y paraleje anuas. En el caso en que se conozca, debe aplicarse también la corrección de movimiento propio.

• CORRECCIÓN DE ABERRACIÓN Y PARALAJE ANUAS. -En lo referente a la aberración anua, despreciando los términos en la excentricidad que, como dijimos, se engloban en las posiciones medias de los Catálogos, expresando R&r en coordenadas ecuatoriales mediante la rotación R1(-ε) y aplicando las fórmulas de paso de rectilíneas a esféricas se tiene : -dD sen cos D dA = K R2 (90º -D) R3(A) R1(-ε) - cos (9.12)

sds 0

y operando y considerando solo las dos primeras componentes: dA =-K sec D [ cos A cos cos + sen A sen ] (9.13) dD =-K[(cos D sen ε - sen D sen A cos ε) cos + sen D cos A sen ] Introduciendo ahora los números de Bessel y las constantes estelares:

“C”= -K cos ε cos “D”=-K sen c = cos A sec D d = sen A sec A (9.14) c’= tg ε cos D –sen A sen D d’= cos A sen D las relaciones (9.13) pueden ponerse en la forma: dA =”C”c+”D”d (9.15) dD =”C”c’+”D”d -Para la corrección de paralaje ánua siendo BΘ ≅ 0, con mucha aproximación Z =Y tg ε, las fórmulas (7.8) suelen escribirse: dA = Π(cY-dX) (9.16) dD = Π(c’Y-d’X) en función de las constantes estelares (9.14).

La composición de la aberración y la paralaje ánuas, dadas por las dos componentes de (7.4) y (8.8) conduce a otra elipse:

dx’’ = s sen B [ K sen ( -L) + Π cos ( -L)] Π tg EC (9.17) dy’’ = s [- K cos ( -L)+ Π sen ( -L)] de semiejes: s sen B )(k 22 π+ y s )(k 22 π+ , y excentricidad : cos B, llamada órbita aparente de la estrella alrededor de su posición verdadera, recorrida en un año por el efecto combinado del paralaje y aberración anuas.

SOL APARENTE. Para el Sol, la posición aparente del mismo, materializada por el Sol aparente, se

obtiene aplicando a su posición verdadera la corrección de aberración ánua. En coordenadas eclípticas esta corrección viene dada por las fórmulas (8.6)

obteniéndose prácticamente la corrección en longitud (siempre negativa) dividiendo la constante de aberración: K = 20’’,50, por el radio vector geométrico, no corregido de aberración: a (1 – e2) d = -

RK = -

)cos1( Vep

K

+

= - )e -(1 a 2K (1+ e cos V)≅ -K (1+ e cos V) (9.18)

ya que :p = a(1-e2)≅ 1 u.a. De las coordenadas eclípticas aparentes se pasa luego a las ecuatoriales aparentes, referidas al equinoccio verdadero y al ecuador de la fecha, aplicando las fórmulas de paso son la oblicuidad de la eclíptica de la fecha. Esto tiene importancia, ya que el tiempo solar viene definido por el movimiento del SOL APARENTE.

REDUCCION DE POSICIONES. Es la corrección total que permite pasar de las posiciones medias para una cierta fecha, dadas por los CATÁLOGOS, a las posiciones aparentes (GC) mediante el cálculo intermedio de las posiciones verdaderas (HC).

Dicha corrección puede resumirse en las fórmulas: dA = (t1-t0)( µA + [m] )+Α a + Β b + C c + D d + Π(cY-dX) (9.19) dD = (t1-t0)( µD + [n] )+Α a’ +Β b’ +C c’ +D d’ + Π(c’Y-d’X) [ ]PROPIO MOVIMIENTOY PRECESIÓN [ ]NUTACIÓN PRECESIÓN [ ]ÁNUA ABERRACIÓN [ ]ÁNUA PARALAJE REDUCCIÓN REDUCCIÓN POSICS.H.C ⇒ POSICS.G.C AL AÑO AL DIA [PCS.MS(t0) → PS.MS(t1)] [PS.MS(t1)→ PS.VS(t)] [PS.VS(t)→ PS.APARS(t)] (HC) (AC) (HC) (GC)

Para obtener las posiciones topocéntricas observadas hay que añadir el efecto de la REFRACCÍON, PARALAJE y ABERRACIÓN DIURNAS. Las ecuaciones (108) pueden escribirse en forma matricial: dA µA + [m] a b Α c d C +ΠY = (t1-t0)+ + (9.20) dD µD + [n] a’ b’ Β c’ d’ D -ΠX En la TABLA siguiente se muestran loas distintos tipos de posiciones y las correcciones a aplicar para su obtención:

ORIGEN POSICIONES DATOS Y Y TIPO DE FÓRMULAS CORRECCIÓN CATÁLOGOS ------------------- P.MEDIAS (HC)(t0) ------------------------- A , D, µA, µD (1950,2000.0)(γm) PRECESIÓN desde t0 a t1 dA=[m](t1-t0),,dD=[n] ](t1-t0) ( 9.5) (9.6) ------------------------------------------- MOV.TO PROPIO DE t0 a t1 dA=µA(t1-t0),, dD=µD(t1-t0) P.MEDIAS (HC)(t1) (PRINCIPIO DE AÑO)(γm) PRECESIÓN desde t1 a t -------------------------------------------------- dA, dD como antes con τ=t-t1 P.MEDIAS (HC)(t) (PARA LA FECHA )(γm) precesión y nutación p.τ dA = Α a + Β b NUTACIÓN desde t1 a t ---------------------------------------------------- (9.10) dD = Α a’ + Β b’ P.VERDADERAS(HC)(t) (PARA LA FECHA)(γ) ABERRACIÓN ANUA (9.15) ---------------------------------------------------- PARALAJE ANUA (9.16) P.APARENTES(GC)(t) (PARA LA FECHA)(γ) REFRACCIÓN TABLAS REFRACCIÓN PARALAJE DIURNA ------------------------------------------------- (7.25) (7.26) ABERRACIÓN DIURNA (8.10) POSICIONES RELATIVAS OBSERVACIÓN-------------------- P.TOPOCÉTRICAS (TC)(t)------------------A,D FOTOGRAFÍA/CCD (PARA LA FECHA)(γ) POSICIONES ESTR. EN FG/CCD

BRILLOS Y MAGNITUDES EN

EL SISTEMA SOLAR Los planetas no emiten luz propia, sino que reflejan la energía solar que reciben.

Modificando algo la notación anterior, para adaptarla a la empleada en los Anuarios, veamos algunas definiciones:

1. INTENSIDAD Y BRILLO LUMINOSOS: La intensidad luminosa I de un planeta P, situado a una distancia r del Sol S, es la

cantidad de luz que envía dicho planeta, por unidad de superficie sólida, en una dirección de ángulo de fase F y viene dada por:

(10.1) Donde: C es una constante característica del planeta (relacionada con su ALBEDO)

y f(F) una función de la fase F, tal que f(0) = 1 y f(π) = 0. El brillo aparente B de un planeta situado a una distancia ∆ de la Tierra, es la cantidad de luz que por unidad de superficie y de tiempo, recibimos de dicho planeta. Viene dado por:

(10.2)

Este brillo aparente B se mide por la sensación que experimenta el ojo, bajo la

excitación lumínica mediante la magnitud aparente m. La ley fisiológica de WEBER-FECHNER hace la variación de la sensación m proporcional a la variación relativa de la excitación B:

con k>0. E integrando:

, (10.3) con k’>0 (cuanto mayor es el brillo B, menor es la magnitud m). La escala de magnitudes se

acomoda a la usada en la Antigüedad, haciendo que a una diferencia de magnitudes igual a 5 corresponda una razón entre brillos igual a 100:

k ’ de modo que:

[fórmula de POGSON] (10.4) Sustituyendo en (10.4) la expresión (10.2) para B y agrupando las términos

constantes, se obtiene: , (10.5)

dónde g es la magnitud aparente del planeta para (u.a2) y F = 0 y f(0) = 1.

* Para los asteroides, observados cerca de la oposición puede tomarse F≈0, y: (10.6)

Si el objeto se comporta como un reflector esférico (reflexión especular con intensidad no dependiente del ángulo de fase, caso de algunos satélites artificiales), también puede aplicarse la fórmula (10.6).

* En el caso de cometas, se supone que su intensidad luminosa decrece con la distancia al Sol según una potencia 2x (con x > 2: 2x ≈ 4.2 ± 1.5), tal que:

. (10.7) g y x se determinan por observación.

* Para los planetas y satélites, se han tomado diversas aproximaciones: [1] Función de FASE:

(10.8)

Donde K es la FASE del planeta o “área” iluminada / “área” circular. Cumple las condiciones: f(0) = 1 y f(π) = 0 y representa un modelo elemental, al asimilar el planeta a un espejo plano circular que descubre cierta proposición de su superficie, orientado hacia el observador y la fuente. [2] Se supone el planeta esférico y la reflexión difusa, en cuyo caso la función de fase vale:

, (10.9) que también satisface : f(0) = 1 y f(π) = 0. La constante C de las fórmulas (10.1) y (10.2) es proporcional al cuadrado del radio del planeta y su albedo, razón entre la energía luminosa que difunde el planeta en todas las direcciones y la que recibe del Sol.

En la hipótesis de órbitas circulares, la fórmula (10.9) llevada a (10.5), nos da una ecuación trascendente en F y para obtener el máximo brillo aparente.

[3] Empíricamente, si para cada planeta se representa, en coordenadas polares, la función f(F) frente a F, se obtiene unas curvas llamadas indicatrices de difusión, tales que: I: indicatrices de todos los planetas, excepto VENUS. Presentan un punto anguloso para F = 0. II: curva correspondiente a (10.9). III: curva correspondiente a (10.8). La indicatriz de VENUS está comprendida entre las curvas II y III. Todas las curvas presentan un punto de retroceso para F = π.

Llevando a (10.5) la función f(F) determinada experimentalmente mediante la indicatriz y desarrollando el logaritmo, se obtienen para cada planeta las fórmulas de MÜLLER, tabuladas en los Anuarios:

(10.10) En el caso de Saturno debe tenerse también en cuenta la influencia de los anillos en

el brillo aparente. (L=L•-L+<6°, <27°, coordenadas de SATURNO centradas referidas al ANILLO)

ALBEDO(A) V(mvis) CONFIGURACIÓN r·∆ V(1,0)= gvis V(F°,L°,B°)

MERCURIO 0.056 -0.2 E 0.36 -0.36 VENUS 0.72 -4.22 E 0.50 -4.34 TIERRA 0.39 -3.84 S(desde ·) 1.00 -3.9 MARTE 0.16 -2.02 Op 0.80 -1.51 JUPITER 0.70 -2.6 Op 21.9 -9.25 SATURNO 0.75 +0.7 OM(Op; L=B=0°) 81.6 -9.0 URANO 0.90 +5.5 Op 349 -7.15 NEPTUNO 0.82 +7.85 Op 876 -6.90 PLUTON 0.15 +14.9 Op 1521 -1.0 LUNA 0.067 -12.73 Op 0.0026 +0.23

ECLIPSES Y OCULTACIONES

1. ORBITA DE LA LUNA

* DATOS FISICOS La luna tiene una masa: ML = 3,81

1 MT y un radio RL=1.738 km, por lo que su

aceleración gravitatoria: GRM = 163 cm/s2 y su velocidad de escape vp = gR2 =2,38

km/s (4,6 veces menor que en la superficie terrestre). La densidad media: 3,3 g/cm3 es menor que la terrestre (5,5 g/cm3) por lo que se supone carece de núcleo denso. * ÓRBITA DE LA LUNA La órbita no perturbada es una elipse (a = 384.000 km, e = 0,055 = 1/18), con una oscilación en su distancia a la Tierra de ± 21.000 km. El plano orbital forma un ángulo de 5º 9’ con la eclíptica y el periodo de revolución o mes sidéreo (respecto a las estrellas) es de 27,32 días medios, avanzando en sentido directo (de W a E en la esfera celeste visible). N’ PG T N El movimiento de la luna es complejo: 1.- Por las numerosas perturbaciones que sufre, de origen solar principalmente. 2.- Por su proximidad, que permite un registro detallado de sus desviaciones. Las perturbaciones cambian continuamente los valores de los elementos orbitales: - Perturbaciones periódicas: Afectan a todos los elementos; por ejemplo, i oscila entre 4º 58’ y 5º 20’ (valor medio: 5º 9’), con un periodo del orden de 6 meses. Son muy numerosas, aunque de amplitudes pequeñas, y de periodos diversos, superponiéndose en cada caso, de modo que su estudio es muy difícil y la orbita lunar cambia continuamente. Pe z PG T y x N π ecl γ - Perturbaciones seculares (o de efecto continuo):

i

Ω ω

i

· Afectan a: la longitud del nodo ascendente (en la eclíptica): Ω = γ N, que disminuye continuamente, ya que N gira en sentido inverso al de avance de la Luna, dando un giro completo en la eclíptica en 6793 días medios (18 2/3 años) y a la longitud del perigeo (sobre la orbita): ω = N PG, que aumenta de modo que da un giro completo en 3232 d. medios (9 años). En cada mes sidéreo, el nodo N se ha desplazado 1,5º, de modo que la posición de la Luna no coincide con la inicial anterior (hasta 18 2/3 años después no se proyecta la Luna en el mismo punto de la esfera celeste). El movimiento de los nodos influye en la visibilidad de la Luna. La inclinación de su orbita respecto al ecuador oscila entre ε - i y ε + i (18º 18’ y 28º 36’), de modo que la DL en el primer caso varía entre ± 18º 18’ y en el segundo caso entre ± 28º 36’, en el intervalo de un mes lunar. * MOVIMIENTO APARENTE Y FASES LUNARES El movimiento aparente de la Luna en la esfera celeste es consecuencia de su movimiento orbital en torno a la Tierra. Este movimiento es directo (de W a E) y según una trayectoria no cerrada. Se acompaña de una variación continua de su iluminación, llamada fases lunares, que se deben a ser la Luna un astro oscuro y opaco, iluminado por el Sol, y que observamos desde distintas posiciones. C.C L.LL L.N T C.M Suponiendo iluminación paralela que alcanza a una semiesfera, la apariencia desde la Tierra depende del ángulo F (fase). La fase Φ se define como d’/d (d’: anchura máxima de la parte iluminada; d: diámetro del disco). La línea que separa ambas zonas es el terminador (es una media elipse, ya que es la proyección de una semicircunferencia). En el Cuarto Creciente (F = 90º), la Luna esta en cuadratura oriental (LTS = 90º) y es visible la primera parte de la noche. En Luna llena (F = 0º), la Luna esta en oposición (LTS = 180º) y es visible toda la noche.

F

En el Cuarto Menguante (F = 90º), la Luna esta en cuadratura occidental (LTS = 90º) y se observa la segunda parte de la noche. En Luna nueva (F = 180º), la Luna esta en conjunción con el Sol (LTS = 0º) y no es visible. La conjunción y oposición del Sol y la Luna se denominan sizigias. * PERIODOS DE REVOLUCION DE LA LUNA El intervalo entre dos fases análogas se llama revolución o periodo sinódico, y vale 29,53 días medios. 3 T L S 29,53dias 2 27,32dias T L 1 * T L * ∆ t12 (periodo sidéreo) < ∆ t13 (periodo sinódico). También se definen otros periodos: - Periodo Anomalístico: ∆ t entre dos pasos de la Luna por el perigeo de orbita (27,55 días medios) (el perigeo avanza respecto las estrellas). - Periodo Draconítico: ∆ t entre dos pasos de la Luna por un nodo de su orbita (27,21 días medios) (el nodo retrocede respecto las estrellas). - Periodo Trópico: ∆ t en que la Luna aumenta 360º su longitud celeste (γ ) (la precesión acorta este periodo en 7 segundos respecto al mes sidéreo). * ROTACION Y LIBRACIONES El periodo de rotación coincide con el periodo sidéreo (27,32 días medios), de modo que presenta siempre la misma cara hacia la Tierra. El eje de rotación forma un ángulo medio de 83º 20’ (± 10’) con su plano orbital. Así, el ecuador lunar forma con el plano orbital un ángulo de 6º 39’, y con el plano de la eclíptica, un ángulo de 1º 30’. El plano de la eclíptica es intermedio al ecuador y al plano orbital lunar, y los tres planos se cortan en una recta (ley de Cassini, 1721). π eq L α π ec i π L

En cada instante se observa un 50% de la superficie lunar, pero las observaciones prolongadas permiten explorar casi el 60%, debido a cierto “balanceos” y a las libraciones. Las libraciones ópticas o aparentes son de tres tipos: 1.- Libración en longitud: debida a la rotación regular (wL = cte) de la Luna en torno a su eje, mientras su movimiento de traslación (2ª Ley de Kepler) no es uniforme. (2) c b a b c A a a P (3) T (1) c b a b c E (4) 1/4 de periodo después del perigeo (2), la Luna ha girado 90º sobre su eje, pero ha avanzado mas de 90º sobre su orbita. Desde T al punto a se encuentra a la izquierda del centro, por lo que también se observa la zona en torno a b. Análogamente sucede en (4), en que se observa también la zona c. El periodo de esta libración es de una revolución anomalística y su amplitud máxima es de 7º 54’. 2.- Libración en latitud: debida a la inclinación del eje de rotación lunar respecto al plano de su orbita ya que el eje se mantiene paralelo a si mismo. ωr ωr 83º20' T Se observan alternativamente (cada 14d) las regiones próximas a los polos lunares. El periodo de esta libración es una revolución draconítica y alcanza 6º 50’. 3.- Libración diurna o paraláctica: es el efecto de la paralaje diurno, debida a la proximidad de la Luna. La amplitud entre puntos opuestos del ecuador terrestre es de ~1º y su periodo es de un día. Las libraciones físicas: balanceo real de la Luna, se debe a que el eje mayor de la elipse orbital oscila periódicamente de dirección, dando lugar a una amplitud de libración muy pequeña (~2”)

2. OCULTACIONES DE ASTROS POR LA LUNA El movimiento de la Luna en la esfera celeste hace que pase por delante de los astros (estrellas, planetas, radio-fuentes, etc.), provocando su ocultación momentánea. Los instantes de la inmersión y emersión sirven para estudiar diversos fenómenos (movimiento y perfil exacto de la Luna; posición y extensión de las radio-fuentes; posición geográfica del observador; etc.). La predicción de una ocultación (instante y dirección de la inmersión y emersión) se realiza resolviendo la ecuación: [ (A* - AL) cos DL ] 2 + (D* - DL) 2 = K2 , (11.1) donde: (A, D)* son las coordenadas ecuatoriales geocéntricas de la estrella (catálogos). (A, D)L son las coordenadas ecuatoriales topocéntricas de la Luna, para t. K: es el radio angular del disco lunar, para t. A partir de los valores de (A, D) L y K, tabulados de hora en hora, puede hacerse un calculo iterativo que anula la condición (11.1).

3. ECLIPSES DE SOL Y LUNA • ECLIPSES DE SOL

La ocultación del Sol se denomina eclipse de Sol. Su aspecto varia con la posición del observador y con el instante de tiempo, y el fenómeno es muy variable debido a la similitud de los diámetros aparentes del Sol y la Luna. O’ SOL T L O El disco del Sol es tapado por completa para un observador dentro del cono de sombra, cuyo diámetro máximo en la superficie terrestre no supera los 270 km: Eclipse total de Sol. En las zonas de penumbra, interiores al cono de penumbra, se observan los Eclipses parciales de Sol, de fase mayor o menor según el observador este más o menos cerca del cono de sombra. Fuera del cono de penumbra OO’ no hay eclipse. Dadas las dimensiones del Sol, la Luna y las distancias Sol-Tierra y Tierra-Luna, el vértice del cono de sombra se forma a veces fuera de la superficie terrestre. Cerca del

eje, en ese caso s,e observa un Eclipse anular (se ve el borde del Sol alrededor del disco de la Luna como un anillo estrecho brillante). El movimiento de la Luna respecto a la línea Sol-Tierra y la rotación de la Tierra hacen que la sombra de la Luna se desplace lentamente de W a E, describiendo una banda de sombra de varios miles de km de largo y unos 200 km (máximo 270) de ancho. El eclipse comienza por el borde W del Sol, hasta alcanzar el máximo (el eclipse total dura unos 2 ó 3 minutos, máximo 7 minutos) y disminuye y termina por el E. La duración total (para un observador) puede alcanzar las 2 horas. Los eclipses de Sol se producen en la época de la Luna nueva, cuando el Sol, la Luna y la Tierra están aproximadamente alineados (la Luna en las proximidades de los nodos de su orbita). • ECLIPSES DE LUNA

La sombra y la penumbra proyectadas por la Tierra en dirección opuesta al Sol tienen también forma de conos, de modo que a la distancia de la Luna, el diámetro del cono de sombra de la Tierra es de 2,5 veces el diámetro de la Luna. SOL T L Cuando la Luna penetra en el cono de sombra de la Tierra, deja de estar iluminada por el Sol y se produce un Eclipse de Luna, que es visible en todo el hemisferio terrestre en que la Luna esta sobre el horizonte, comenzando y finalizando en el mismo instante para todos los observadores. El movimiento de la Luna (de W a E) hace que su borde E penetre primero en la zona de sombra (circulo de radio = 2,5 RL). Los eclipses puedes ser totales o parciales y pueden durar hasta 2 horas. Estos eclipses van precedidos y seguidos por eclipses de Luna por la penumbra, que pueden ocurrir sin que haya eclipse por la sombra. Los eclipses de Luna suceden en las épocas de Luna llena y en las condiciones de los eclipses de Sol (alineación del Sol, la Tierra y la Luna). • CONDICIONES DE LOS ECLIPSES DE SOL Y LUNA

La inclinación del plano de la orbita de la Luna respecto de la eclíptica (5º 09’) impide que se produzcan eclipses de Sol y Luna en cada revolución sinódica, pasando la Luna por encima o por debajo del disco solar o el cono de sombra de la Tierra, respectivamente. - Para que suceda un eclipse, la Luna llena o nueva debe estar cerca de los nodos de su orbita (Sol, Tierra y Luna alineados aproximadamente).

S’ L π O L’ π L ρ β L ρ L S T Supongamos que el Sol, la Luna y la Tierra están en un plano perpendicular a la eclíptica. Entonces: LTS = β , es la latitud celeste GC de la Luna, que si es inferior al representado en la figura, corresponderá a un eclipse parcial de Sol en el punto O de la Tierra. El ángulo β es: β = LTS = LTL’ + L’TS’ + S’TS Pero: LTL’ = ρ L: es el radio angular GC de la Luna; S’TS = ρ S: es el radio angular GC del Sol; L’TS’ = TL’O – TS’O = π L (paralaje horizontal GC de la Luna) – π S (paralaje horizontal GC del Sol) De donde: β = ρ L + ρ S + π L - π S Tomando los valores medios: ρ L = 15’,5 .. ρ S = 16’,3 ,, π L = 57’,0 ,, π S = 8”,8 resulta: β = 88’,7 Cuando la latitud celeste GC de la Luna sea inferior a 88’,7 habrá un eclipse de Sol (al menos parcial y “rasante”). La distancia angular (eclíptica) del centro de la Luna al nodo (∆ l) puede calcularse mediante: ORB N i β ECL ∆ l Para: β = 88’,7 ,, i = 5º 09’, resulta ∆ l = 16º,5 Como un eclipse de Sol puede ocurrir a ambos lados del nodo, el intervalo angular eclíptico en que puede haber eclipse es de 33º, distancia que recorre el Sol (a una velocidad angular media de 59’/día) en 34 días. Como en dicho intervalo puede haber una Luna Nueva o incluso dos (periodo de revolución sinódica de 29,5 días), en cada

S s

año habrá un mínimo de dos eclipses de Sol, o incluso cuatro o cinco, a ambos lados de los nodos N y N’: El primer eclipse se produce cerca del 1º de enero y el 2º durante la Luna Nueva siguiente. El 3º y el 4º eclipse al cabo de 6 revoluciones sinódicas y el 5º eclipse, 354 días después del primero (12 revoluciones sinódicas). El eclipse siguiente se produciría a comienzos del año siguiente. - Eclipse de Luna: Sea S el centro de la sombra de la Tierra, cuyo radio angular a la distancia media de la Luna es de 41’, mientras que el radio del disco lunar es de 15’,5. N S ECL i L.LL ORB Para que se produzca eclipse de Luna, la distancia Sol-Luna, en la Luna Llena, será inferior a 41’ + 15’,5 = 56’,5. Del ∆ (SLN) se deduce: sen SL = sen SN · sen SNL, donde: sen 56’,5 = sen SN · sen 5º 09’ , y SN = ∆ l = 10º,6 , distancia máxima del cono de sombra de la Tierra, a ambos lados del nodo N, para que pueda haber eclipse de Luna. La sombra de la Tierra se desplaza sobre la eclíptica a 59’/día recorriendo esa distancia en 10,8 días y el doble (21º,2, distancia entre puntos simétricos de N) en 21,6 días. Como la revolución sinódica es de 29,5 días, puede no haber eclipse de Luna en dos revoluciones sinódicas consecutivas, en que S esté a ambos lados de N, a distancia superior a 10º,6. Si se produce un eclipse de Luna central (Luna Llena en N), en la revolución siguiente, la Luna pasa por N al cabo de 27,2 días (revolución draconítica) mientras que la Luna Llena se produce 2,3 días después, intervalo en que la Luna se aleja de N 30º y su centro pasará a una distancia de S superior a 56’,5. Análogamente, puede producirse uno o ningún eclipse de Luna al cabo de 6 revoluciones lunares en las proximidades del otro nodo de la órbita lunar. En un año puede haber hasta 3 eclipses de Luna (mínimo 0) cuando el primero se produce a primeros de Enero, el segundo a fines de Junio y el tercero a fines de Diciembre.

* NUMERO DE ECLIPSES POR AÑO. SAROS Considerando lo anterior, se deduce que el número máximo de eclipses en un año es 7: 2 eclipses de Luna y 5 eclipses de Sol ó 3 eclipses de Luna y 4 eclipses de Sol. En el primer caso, al comienzo del año se producen 2 eclipses de Sol y 1 de Luna intercalado; lo mismo a mitad del año, y un 5º eclipse de Sol al final del año. En el segundo caso, se observa un eclipse de Luna seguido de otro eclipse de Sol, a comienzos de año; a mediados del año, 2 eclipses de Sol y uno de Luna en medio; y , a finales de año, un eclipse de Sol seguido de un eclipse de Luna. Tales secuencias son poco frecuentes, siendo lo más normal que ocurran 2 eclipses de Sol y 2 eclipses de Luna por año. El número mínimo de eclipses en un año es dos, ambos eclipses de Sol. Los eclipses se repiten en el mismo orden después de un intervalo llamado Saros (ya conocido por los Caldeos) de 18 años y 11,3 días, necesario para que una misma fase lunar se produzca con la Luna a la misma distancia del nodo que en el caso del eclipse inicial de la serie. Como que las fases lunares se repiten cada 29,53 días, la Luna cruza el nodo de su órbita cada 27,21 días y el Sol pasa por el mismo nodo de la órbita lunar cada 346,62 días (año draconítico), el Saros es el intervalo necesario para que los tres periodos comiencen de nuevo al mismo tiempo. Se tiene que: 223 meses sinódicos = 223 x 29,53 = 6585,32 d.m. = 18 años 11 d 7 h 42m. 242 meses draconíticos = 242 x 27,21 = 6585,36 d.m. (19 años draconíticos = 19 x 346,62 = 6585,78 d.m.) Como 223 meses sinódicos difieren en 0,04 días medios de 242 meses draconíticos, en 6585 días, la Luna Nueva (ó Luna Llena) estará a cierta distancia de la posición que ocupaba 18 años antes, de modo que las condiciones de repetición de los eclipses no son idénticas. Como el Saros comporta un número entero de días más 1/3día, las zonas de visibilidad de los eclipses se desplaza hacia el W unos 120º respecto de las posiciones 18 años antes. Cada Saros incluye 70 eclipses, 41 de Sol y 29 de Luna. Aunque los primeros son mas frecuentes, los eclipses de Luna son visibles en todo el hemisferio terrestre, mientras que los de Sol lo son en una banda relativamente estrecha. Aunque en cada Saros hay unos 10 eclipses totales de Sol, son visibles en zonas estrechas y hay puntos de la Tierra en que solo son visibles cada 200 ó 300 años.