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Curso de Metodos Numericos.Errores

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: j.a.otero@itesm.mxweb: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Topicos

1 UN MODELO MATEMATICO SIMPLE¿Que es un modelo matematico?Ejemplo

2 Aproximaciones y erroresEjemplos

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Topicos

1 UN MODELO MATEMATICO SIMPLE¿Que es un modelo matematico?Ejemplo

2 Aproximaciones y erroresEjemplos

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

¿Que es un modelo matematico?

Modelo matematicoSe define como una formulacion o una ecuacion que expresalas caracterısticas esenciales de un sistema fısico o de unproceso en terminos matematicos.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

¿Que es un modelo matematico?

El modelo se representa mediante una relacion funcional:

Variabledependiente

= f

(Variable

independiente,Parametros,

Funcionesde fuerza

)

Variables dependientes: es una caracterıstica que refleja elcomportamiento o estado de un sistema.

Variables independientes: son dimensiones tales comotiempo y espacio, a traves de las cuales se determina elcomportamiento del sistema.

Parametros: son el reflejo de las propiedades o lacomposicion del sistema.

Funciones de fuerza: son influencias externas que actuansobre el sistema.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

¿Que es un modelo matematico?

El modelo se representa mediante una relacion funcional:

Variabledependiente

= f

(Variable

independiente,Parametros,

Funcionesde fuerza

)

Variables dependientes: es una caracterıstica que refleja elcomportamiento o estado de un sistema.

Variables independientes: son dimensiones tales comotiempo y espacio, a traves de las cuales se determina elcomportamiento del sistema.

Parametros: son el reflejo de las propiedades o lacomposicion del sistema.

Funciones de fuerza: son influencias externas que actuansobre el sistema.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

¿Que es un modelo matematico?

El modelo se representa mediante una relacion funcional:

Variabledependiente

= f

(Variable

independiente,Parametros,

Funcionesde fuerza

)

Variables dependientes: es una caracterıstica que refleja elcomportamiento o estado de un sistema.

Variables independientes: son dimensiones tales comotiempo y espacio, a traves de las cuales se determina elcomportamiento del sistema.

Parametros: son el reflejo de las propiedades o lacomposicion del sistema.

Funciones de fuerza: son influencias externas que actuansobre el sistema.

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¿Que es un modelo matematico?

El modelo se representa mediante una relacion funcional:

Variabledependiente

= f

(Variable

independiente,Parametros,

Funcionesde fuerza

)

Variables dependientes: es una caracterıstica que refleja elcomportamiento o estado de un sistema.

Variables independientes: son dimensiones tales comotiempo y espacio, a traves de las cuales se determina elcomportamiento del sistema.

Parametros: son el reflejo de las propiedades o lacomposicion del sistema.

Funciones de fuerza: son influencias externas que actuansobre el sistema.

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¿Que es un modelo matematico?

El modelo se representa mediante una relacion funcional:

Variabledependiente

= f

(Variable

independiente,Parametros,

Funcionesde fuerza

)

Variables dependientes: es una caracterıstica que refleja elcomportamiento o estado de un sistema.

Variables independientes: son dimensiones tales comotiempo y espacio, a traves de las cuales se determina elcomportamiento del sistema.

Parametros: son el reflejo de las propiedades o lacomposicion del sistema.

Funciones de fuerza: son influencias externas que actuansobre el sistema.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

Ejemplo

Se desea determinar la velocidadfinal de la caıda libre de un

paracaidista∑Fy = Fg − Fr = ma∑Fy = Fg − Fr = m

dv

dt∑Fy = mg − Fr = m

dv

dt∑Fy = mg − cv = m

dv

dt

c: es el coeficiente de arrastre ocoeficiente de resistencia del aire

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

mdv

dt= mg − cv

dv (t)

dt= g − c

mv (t) , con v (0) = 0

Cuya solucion es:

v (t) =gm

c

(1− e−

cmt)

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

Programa MATLAB

% Ejemplo de un pa r ac a id i s t asyms v ( t ) g m cv ( t ) =dsolve ( d i f f ( v ) ==g−c /m∗v , v ( 0 ) ==0)

>>v ( t ) =

( g∗m − g∗m∗exp(−(c∗ t ) /m) ) / c

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

Si consideramos un paracaidista con una masa de 68.1 kg que saltade un globo aerostatico fijo. Aplicando la solucion anterior paracalcular la velocidad antes de que abra el paracaıdas. Considerandoque el coeficiente de arrastre es igual a 12.5 kg/s, tenemos:

v (t) = 53.39(1− e−0.18355t

), m/s.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

Programa MATLAB

clear ; clc ;fp lo t (@( t ) 53.39∗(1−exp(−0.18355∗ t ) ) , [ 0 60 ] ) ;grid onxlabel ( ’ t ’ )ylabel ( ’ v ( t ) ’ )

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

Lo que se ha obtenido se le llama solucion analıtica oexacta de nuestro modelo matematico.

Para muchos modelos no se puede encontrar la solucionexacta.

Se necesita una solucion aproximada.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

Lo que se ha obtenido se le llama solucion analıtica oexacta de nuestro modelo matematico.

Para muchos modelos no se puede encontrar la solucionexacta.

Se necesita una solucion aproximada.

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Ejemplo

Lo que se ha obtenido se le llama solucion analıtica oexacta de nuestro modelo matematico.

Para muchos modelos no se puede encontrar la solucionexacta.

Se necesita una solucion aproximada.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

Una solucion aproximada

dv

dt∼=

∆v

∆t=v (ti+1)− v (ti)

ti+1 − ti

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

mg − cv = mdv

dt

mg − cv (ti) = mv (ti+1)− v (ti)

ti+1 − tiv (ti+1) = v (ti) +

[g − c

mv (ti)

](ti+1 − ti)

valornuevo

= valor anterior + pendiente× tamanodel paso

Metodo de EulerLa Ecuacion diferencial se ha transformado en una ecuacionque puede utilizarse para determinar algebraicamente lavelocidad en ti+1, usado la pendiente y los valores anterioresde v y t.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

Programa MATLAB

clear ; clc ;paso =1;t =0: paso : 6 0 ;ve=53.39∗(1−exp (−0.18355.∗ t ) )va ( 1 ) =0;for i =2: size ( t , 2 )

va ( i ) =va ( i −1)+(9.8 −12.5/68.1∗va ( i −1) ) ∗ ( t ( i )− t ( i −1) ) ;endplot ( t , ve , t , va , ’ ∗ ’ )grid onxlabel ( ’ t ’ )ylabel ( ’ v ( t ) ’ )legend ( ’ Exacta ’ , ’ Aproximada ’ )

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

t vaprox vexac

0 0.0000 0.00002 19.6000 16.40464 32.0047 27.76876 39.8555 35.64118 44.8243 41.0946

10 47.9690 44.872512 49.9592 47.489614 51.2188 49.302516 52.0160 50.558518 52.5206 51.428520 52.8399 52.031222 53.0420 52.448724 53.1699 52.737926 53.2508 52.938328 53.3021 53.077130 53.3345 53.173232 53.3550 53.239834 53.3680 53.286036 53.3762 53.317938 53.3814 53.340140 53.3847 53.355442 53.3868 53.366044 53.3881 53.373446 53.3890 53.378548 53.3895 53.382050 53.3898 53.384552 53.3900 53.386254 53.3902 53.387456 53.3903 53.388258 53.3903 53.388760 53.3903 53.3891

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Topicos

1 UN MODELO MATEMATICO SIMPLE¿Que es un modelo matematico?Ejemplo

2 Aproximaciones y erroresEjemplos

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

¿Que hacemos con un problema?1 Planteamos el modelo para resolverlo.

Pudiera tener erroresPudiera tener demasiadas simplificaciones

2 Buscamos el resultado analıtico (exacto) Ra.No siempre es posible obtener Ra

Ra se toma como resultado verdadero (Ra = R)3 Buscamos el resultado numerico (aproximado) RN .4 Buscamos los errores.

Se define Error Verdadero (Ev) como:i) Ev = R−RN , ii) Ev = |R−RN |Se define Error Relativo Verdadero (εv) como:i) εv =

∣∣R−RN

R

∣∣, ii) εv =∣∣R−RN

R

∣∣ 100%

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

¿Siempre podemos encontrar Ev y εv?En muchos problemas de aplicacion no es posible obtener lasolucion analıtica; por lo tanto, no se pueden calcular loserrores: Verdadero y Relativo Verdadero. En tales casos sedeben usar aproximaciones o estimaciones de errores.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Cifras significativasEl concepto de cifras significativas (CS) se ha desarrolladopara designar formalmente la confiabilidad de un valornumerico. Las CS de un numero son aquellas que puedenutilizarse en forma confiable. Se trata del numero de dıgitosque se ofrecen con certeza, mas uno estimado. Para trabajarcon las CS emplearemos la notacion cientıfica.

EjemploEscriba el numero 45 300 en 3, 4 y 5 CSEscriba el numeroπ=3.1415926535897932384626433832795 en 3, 4 y 5 CS

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplo

3 CS - 4.53× 104, 4 CS - 4.530× 104 y 5 CS - 4.5300× 104

3 CS - 314×10−2, 4 CS - 3141×10−3 y 5 CS - 31415×10−4

3 CS - 314×10−2, 4 CS - 3142×10−3 y 5 CS - 31416×10−4

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Error de redondeoComo las computadoras retienen solo un numero finito de CS,muchos numeros (pi, numero de Euler, etc.) no se podranrepresentar con exactitud. A la omision del resto de las CS sele conoce como error de redondeo

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Exactitud y precisionLos errores en calculos y medidas se pueden caracterizarcon respecto a su exactitud y su precision.La exactitud se refiere a que tan cercano esta el valorcalculado o medido del valor verdadero.La precision se refiere a que tan cercanos se encuentran,uno de otros, diversos valores calculados o medidos.

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Exactitud y precision

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

ErrorEn muchas aplicaciones reales, no se conocen a priori larespuesta verdadera, luego una alternativa es normalizar elerror, usando la mejor estimacion posible al valor verdadero, esdecir:

εa =|error aproximado||valor aproximado|

× 100%

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

ErrorMuchos MN usan un metodo iterativo para calcular losresultados y se hace una aproximacion considerando laaproximacion anterior. Este proceso se hace varias veces o deforma iterativa, esperando cada vez mejores aproximaciones.En tales casos, el error se calcula como la diferencia entre laaproximacion previa y la actual, es decir:

εa =

∣∣∣∣aproximacion actual− aproximacion anterior

aproximacion actual

∣∣∣∣× 100%

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

ErrorEn ocasiones se desea que el error % sea menor que unatolerancia porcentual prefijada (error establecido) εs. En talcaso, los calculos se repiten hasta que:

|εa| < εs

Es conveniente relacionar los errores con el numero de CS enla aproximacion. Se ha demostrado que si el siguiente criteriose cumple, se tendra la seguridad que el resultado es correctoen al menos n CS:

εs = (0.5× 102−n)%

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplos

Programa MATLAB

clear ; clc ;paso =2;t =0: paso : 6 0 ;ve=53.39∗(1−exp (−0.18355.∗ t ) ) ;va ( 1 ) =0;m=size ( t , 2 ) ;for i =2:m

va ( i ) =va ( i −1)+(9.8 −12.5/68.1∗va ( i −1) ) ∗ ( t ( i )− t ( i −1) ) ;endR = [ t ( 2 :m) ’ va ( 2 :m) ’ ve ( 2 :m) ’ abs ( va ( 2 :m) ’−ve ( 2 :m) ’ )

abs ( ( va ( 2 :m) ’−ve ( 2 :m) ’ ) . / ve ( 2 :m) ’ ) ] ;disp (R)

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplos

t va ve |va − ve| | va−veve

|2 19.6000 16.4046 3.1954 0.19484 32.0047 27.7687 4.2360 0.15256 39.8555 35.6411 4.2144 0.11828 44.8243 41.0946 3.7297 0.0908

10 47.9690 44.8725 3.0965 0.069012 49.9592 47.4896 2.4696 0.052014 51.2188 49.3025 1.9163 0.038916 52.0160 50.5585 1.4576 0.028818 52.5206 51.4285 1.0921 0.021220 52.8399 52.0312 0.8087 0.015522 53.0420 52.4487 0.5933 0.011324 53.1699 52.7379 0.4320 0.008226 53.2508 52.9383 0.3126 0.005928 53.3021 53.0771 0.2250 0.004230 53.3345 53.1732 0.1613 0.003032 53.3550 53.2398 0.1152 0.002234 53.3680 53.2860 0.0820 0.001536 53.3762 53.3179 0.0583 0.001138 53.3814 53.3401 0.0414 0.000840 53.3847 53.3554 0.0293 0.000542 53.3868 53.3660 0.0208 0.000444 53.3881 53.3734 0.0147 0.000346 53.3890 53.3785 0.0105 0.000248 53.3895 53.3820 0.0075 0.000150 53.3898 53.3845 0.0053 0.000152 53.3900 53.3862 0.0039 0.000154 53.3902 53.3874 0.0028 0.000156 53.3903 53.3882 0.0021 0.000058 53.3903 53.3887 0.0016 0.000060 53.3903 53.3891 0.0012 0.0000

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UN MODELO MATEMATICO SIMPLE Aproximaciones y errores

Ejemplos

EjemploEn matematica con frecuencia las funciones se representanmediante series infinitas. Por ejemplo:

ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ ...+

xn

n!=

n∑k=0

xk

k!

Empezando por el primer termino y agregando termino portermino, estime el valor de e0.5. Halle εv y εa. Agregue terminoshasta que el error aproximado (εa) sea menor que el errorestablecido (εs) usando tres cifras significativas. Considere queel valor exacto es: e0.5 = 1.648721.

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Ejemplos

Programa MATLAB

clear ; clc ;RExac=1.648721;n = 3;EEst=0.5∗10ˆ(2−n ) ;i =1;R( i ) =1;R( i +1)=R( i ) +0 .5 ˆ ( i ) / f a c t o r i a l ( i ) ;ERelVer ( i +1)=abs ( (R( i +1)−RExac ) / RExac ) ∗100;EApro ( i +1)=abs ( (R( i +1)−R( i ) ) /R( i +1) ) ∗100;while EApro ( i +1)>EEst

i = i +1;R( i +1)=R( i ) +0 .5 ˆ ( i ) / f a c t o r i a l ( i ) ;ERelVer ( i +1)=abs ( (R( i +1)−RExac ) / RExac ) ∗100;EApro ( i +1)=abs ( (R( i +1)−R( i ) ) /R( i +1) ) ∗100;

endF ina l1 =[ i R( i +1) EApro ( i +1) ]F ina l2 =[R( 2 : i +1) ’ ERelVer ( 2 : i +1) ’ EApro ( 2 : i +1) ’ ]

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Ejemplos

Programa MATLAB

F ina l1 =

5.0000 1.6487 0.0158

F ina l2 =

1.5000 9.9147 33.33331.6250 1.4598 7.69231.6458 0.1755 1.26581.6484 0.0172 0.15801.6487 0.0014 0.0158