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SEÑALES Y SISTEMAS
Alejandro García Juárez.
Introducción
Componentes de frecuencia Espectro de potencia
IntroducciónIntroducciónUna función puede ser representada aproximadamente sobre un intervalo dado por una combinación lineal de un conjunto de funciones ortogonales gn(t).
nnn tgctx )()(
Aplicaciones
Telecomunicaciones (Telefonía celular, satélites …)
Electrónica ( Filtros, potencia, modulación…)
Óptica (Optoelectrónica, Procesamiento de imágenes…)
Entretenimiento ( música, audio, multimedia…)
Investigación (Rayos X, análisis químico …)
Análisis de señales y sistemas
Una señal es una variable que describe una variedad de
fenómenos físicos que contienen algún tipo información.
SEÑAL
Algunos tipos de señales pueden ser: voltaje, sonido, imagen, voz,
temperatura etc...
SEÑAL
Nos interesan especialmente las señales que varían en el tiempo.
SEÑAL
Las señales variables en el tiempo pueden representarse mediante
una función del tiempo x(t).
SEÑAL
t
x(t)
Las señales periódicas se pueden definir como una función para la
cual,
x(t + T) = x(t)
t
x(t)
tT 2T 3T
t + T
x(t) x(t + T)
x(t + nT) = x(t), n= 0, ±1, ±2,…
Encontrar el periodo de la función
4cos
3cos)( tttx
En general, si la función
tttx 21 coscos)(
es periódica con periodo T, entonces es posible encontrar dos enteros m y n tales que
nTmT
22
2
1
Es decir, la relación ω1 / ω2 debe ser un número racional
Un parámetro importante de las señales es su energía.
En muchos casos la energía se representa apropiadamente
mediante la potencia.
Si la señal es un voltaje, corriente,
pulso luminoso, desplazamiento, velocidad, etc., la potencia resulta ser proporcional al cuadrado de la
señal:
P(t) = K x2(t)
t
x(t)
T 2T 3T
P(t) = K x2(t)
Tt
2T 3T
Por lo tanto la energía total de una señal vendrá definida por la ecuación .
Además podemos definir la potencia media o potencia promedio de esa señal mediante la ecuación.
Se dice que una señal es de energía si y solo si satisface la condición dada por la ecuación
Se dice que una señal es de potencia si y solo si satisface la condición dada por la ecuación
Las señales de potencia y energía son por lo tanto mutuamente exclusivas. En particular una señal de energía tiene potencia media cero y una señal de potencia tiene energía infinita.
En general tanto las señales periódicas como las aleatorias van a ser señales de potencia, mientras que las señales determinísticas y no periódicas suelen ser de energía.
La potencia de una señal que es variable en el tiempo. Una buena idea es
promediarla:
T
0 — 1
TPmed = Kx2(t) dt
T
0 — 1
TPmed = K x2(t) dt
El valor
T
0 — x2(t) dt 1 T
es el valor cuadrático medio de la señal. Su raíz cuadrada es el valor eficaz:
Xef = — x2(t) dt T
0
1 T
El valor eficaz corresponde al valor de una señal
hipotéticamente constante con igual energía en un tiempo T.
t
x(t)
T 2T 3T
P(t) = K x2(t)
Tt
2T 3T
Pmed
Xef
Sistemas
Un sistema es un conjunto interconectado de elementos que
procesan señales.
Se caracteriza por tener una o más entradas y una o más
salidas.
x1(t)
x2(t)
xn(t)
y1(t)
y2(t)
ym(t)
. . .
. . .Sistema
x ySistema
Un caso particular es el que tiene una sola entrada, x, y una sola
salida, y.
En un sistema lineal la respuesta ante una suma de señales es igual a la suma de las
respuestas individuales.
Asimismo, si se multiplica la entrada por una constante, la respuesta queda
multiplicada por la misma constante.
Si y1 es la salida correspondiente a x1
e y2 es la correspondiente a x2, entonces si x1 + x2 son las señales de entrada, entonces, la salida resulta
ser y1 + y2.
x1 + x2 y1 + y2Sistema
Si y es la salida correspondiente a la entrada x, entonces ante una entrada
Kx la salida será Ky.
K x K ySistema
R2
R1
+
–
v1
+
–
v2
EJEMPLO
R2
R1 + R2v2 = ———— v1
v2 = Av1
En el caso de este sencillo divisor de tensión resistivo, la salida es
directamente proporcional a la entrada:
Una propiedad fundamental de un sistema lineal invariable en el
tiempo es que la entrada y la salida están relacionadas
matemáticamente por ecuaciones diferenciales, con coeficiente
constantes.
C
R+
–
v1
+
–
v2
i
Recordar este sencillo sistema
v1 = RC v2´ + v2
Serie de Fourier
Enlaces satelitales Redes inalámbricas
R e d d e d is tr ib u c ió n
P u n to d e A cceso
Redes de telefonía celular Sistema radio – fibra óptica
WiMaxWorldwide Interoperability for Microwave Access
Diseñado para ser utilizado en el área metropolitana o MAN proporcionando accesos concurrentes en áreas de hasta 48 kilómetros de radio y a velocidades
de hasta 70 Mbps, utilizando tecnología portátil LMDS.
WiFiberWiFiber, es una tencología que permite transmitir y recibir datos hasta
2,7 Gbps. Actualmente está disponible en Estados Unidos
Esta tecnología permite bajar un vídeo de unos noventa minutos en tan sólo seis segundos, algo que tardaría hasta noventa minutos con una
conexión ADSL.
Power Line Communication de Banda Ancha
Broad-band Power Line Communication (BPLC) es una tecnología que permite el acceso a Internet, TV por cable, telefonía y aplicaciones con
fibra óptica. Principalmente se utiliza en municipios y áreas rurales.
A una señal periódica puede asignársele una frecuencia igual
a la cantidad de ciclos por segundo.
La señal periódica más simple es la onda senoidal.
x(t) = X sen ot
o = 2 fo
t
xx(t) = X sen ot
T 2T
Serie de Fourier
Cualquier función periódica de frecuencia fo puede considerarse
como la superposición de una serie de ondas senoidales y cosenoidales de frecuencias fo, 2fo, 3fo, 4fo, etc.
Representación Trigonométrica de la serie de Fourier
x(t) = ½ Ao + (An cos(2nfot) + Bn sen (2nfot))
Armónicos
Coeficientes de Fourier n = 1
x(t) = Co + Cn cos(2nfot - n) n = 1
Armónicos
Serie de FourierTrigonométrica Compacta
Frecuencia Fase
Serie de Fourier
Los valores Cn se llaman coeficientes de Fourier, y se calculan de la
siguiente manera...
Funciones Ortogonales
Un conjunto de funciones k(t) es ortogonal en un intervalo a < t < b si para dos funciones cualesquiera m(t) y n(t) pertenecientes al conjunto k(t), se cumple:
b
a nnm dttt
nm para nm para 0
)()(
Funciones OrtogonalesConsidérese, por ejemplo,un conjunto de funciones senoidales; mediante el
cálculo elemental se puede demostrar que:
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
2/
ny m de valor todopara 0)cos()(
0nm para T/2,nm para ,0
)()(
0nm para T/2,nm para ,0
)cos()cos(
m de valor todopara 0)(
0m para 0)cos(
T
Too
T
Too
T
Too
T
To
T
To
dttntmsen
dttnsentmsen
dttntm
dttmsen
dttm
Coeficientes de Fourier
An = — x(t) cos not dt T
0
2 T
Bn = — x(t) sen not dt T
0
2 T
Cn = An2 + Bn
2
Ao = — x(t) dt T
0
2 T
x
t
t
x
La representación gráfica del espectro provee una información sumamente
útil.
Espectro
440 1320 2200
x
f [Hz]
Las frecuencias de las ondas senoidales puras que forman
una señal periódica son múltiplos de una frecuencia
dada. Estas senoides se denominan armónicos.
Encontrar la serie de Fourier para la función definida por:
20,1
02
,1
Tt
tT
tx
y x(t + T) = x(t)
La representación gráfica para x(t) en –T/2< t < T/2 es:
1x(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
Coeficiente a0:
2
2
20
/T
/TT dt)t(fa
2/
0
0
2/
20
T
TT dtdta
0
2/
2/
02
T
TT tt 0
2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
Coeficientes an:
2/
2/0
2 )cos()(T
TTn dttntfa
2/
00
0
2/0
2 )cos(1)cos(1T
TTn dttndttna
0)(1)(1
0
2/
002/
0
00
2
T
TT tnsen
ntnsen
n
0para n
2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
Coeficientes bn:
2/
2/0
2 )()(T
TTn dttnsentfb
2/
00
0
2/0
2 )()(T
TTn dttnsendttnsenb
0
2/
002/
0
00
2 )cos(1)cos(1 T
TT tn
ntn
n
)1)(cos())cos(1(1
nn
n
0para))1(12 n
nn
2
2
0101
)(T
T
tparatpara
tf
Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para 0 = 0= 2, es decir, T = 2:
10
051
031
0
))12(12
14)(
...)5()3()(4)(
n
tnsenn
tf
tsentsentsentf
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Com
pone
ntes
Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoséptimo armónico
...)5()3()(4)( 051
031
0 tsentsentsentf
)3cos(1)()cos(1)(
definitivaen
todopara 0)())3cos(1(3)()(2
1 si ,01 si ,1
)cos())3cos(1(3)cos()(2
2))3cos(1(3)(2
01
01
32
000
32
000
32
00
ttnsenbtnatf
ndttnsentdttnsentfT
b
nn
dttntdttntfT
a
dttdttfT
a
nn
nn
Tn
Tn
T
32 periodo de )3cos(1)(
Tttf
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
Encontrar la serie de Fourier para la función definida por:
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t)
f(t)
t
En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: f(t) = -f(-t)
f(t)
t
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).
Solución:Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.
• Si f (x) es par:
a
dxxf0
)(2
a
a
dxxf )(
a
dxxf0
)(
a-a
a
a
dxxf )(
• Si f (x) es impar:
0
a
a
dxxf )(
a-a
a
a
dxxf )(
Como la función sen(n0t) es una función impar para todo n y la función cos(n0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n.
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
...)5()3()(4)( 051
031
0 tsentsentsentf
Simetría de media onda
Una función periodica de periodo T se dice simétrica de media onda, si cumple la propiedad
Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo:
)()( 21 tfTtf
f(t)
t
Si x(t) es una función periódica par con periodo T, su representación en serie de Fourier queda expresada como:
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
dttntxT
A
tnAAtx
Ton
nono
20
1
cos)(4
)cos(21
Si x(t) es una función periódica impar con periodo T, su representación en serie de Fourier queda expresada como:
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
dttnsentxT
B
tnsenBtx
Ton
non
20
1
)(4
)(
Simetrías y Coeficientes de Fourier
Simetría CoeficientesFunciones en la serie
Ningunasenos y cosenos
Par bn= 0únicamente
cosenos
Impar an= 0únicamente
senos
Media onda
Senos y cosenos impares
2/
00
4 )cos()(T
Tn dttntfa
2/
00
4 )()(T
Tn dttnsentfb
imparndttntf
parna T
Tn
2/
00
4 )cos()(
0
imparndttnsentf
parnb T
Tn
2/
00
4 )()(
0
2/
2/0
2 )cos()(T
TTn dttntfa
2/
2/0
2 )()(T
TTn dttnsentfb
Encontrar la serie de Fourier para la función definida por:
20,
02
,0
TttAsen
tT
txo
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
La serie de Fourier de cualquier función periódica x(t) que tiene simetría de cuarto de onda par, consta solamente de armónicos impares de términos del coseno, es decir,
4012
112
12cos)(8
)12(cos
Ton
non
dttntxT
A
tnAtx
COEFICIENTES DE FOURIER DE ONDAS SIMÉTRICAS
La serie de Fourier de cualquier función periódica x(t) que tiene simetría de cuarto de onda impar, consta solamente de armónicos impares de términos del seno solamente, es decir,
4012
112
12)(8
)12(
Ton
non
dttnsentxT
B
tnsenBtx
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES FOURIER
En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas series en términos de las exponenciales complejas. tjn oe
1cos
21)(
nonono tnsenBtnAAtx
Si se considera
n
tjnn
oectx )(
Entonces la serie compleja de Fourier, se puede expresar como:
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES FOURIER
2
2
2
2
)(1
)(1
21,
2121
T
T
tjnn
T
T
tjnn
nnnnnn
oo
dtetxT
c
dtetxT
c
jBAcjBAc
Ac
o
o
Si x(t) es real, entonces
*nn cc
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES FOURIER
Puesto que: tjn oetx )(
Es una función periódica con, periodo T, se tiene que cn, se puede hallar a partir de:
n
nnnnn
jnnn
jnn
Ttjn
n
ABBAc
ecccecc
dtetxT
c
nn
o
122
*
0
tan,21
,
)(1
FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES FOURIER
Encontrar la serie compleja de Fourier, para la función diente de sierra que se muestra en la figura, y reducir el resultado a la forma trigonométrica de la serie de Fourier.
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
La gráfica de la magnitud de los coeficientes de complejos cn en función de la frecuencia ω, se denomina espectro de la función periódica x(t).
La gráfica del ángulo de fase n en función de ω, se denomina espectro de fase de x(t)
Puesto que el índice n toma solamente valores enteros, los espectros de amplitud y fase no son curvas contínuas sino que aparecen en la variable discreta nωo; se les denomina como espectros de frecuencia discreta o espectros de línea.
p(t) = cn e n = –
jn st
cn = — p(t) e dt -T/2
1 T
T/2 -jn st
t
p(t)
T 2T-T-2T /2-/2
A
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
tT 2T
p(t)
-T-2T /2-/2
A
p(t) = cn e n = –
jn ot
cn = — e dt = — ————— A T- /2
/2 -jn ot sen no/2 no/2
AT
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
tT 2T
p(t)
-T-2T /2-/2
A
ω
cn
2T/
A/T
-2T/ 4T/-4T/ 1 2-1-2
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
tT 2T
p(t)
-T-2T /2-/2
A
ω
cn
2T/
A/T
-2T/ 4T/-4T/ 1 2-1-2
Si se reduce el ancho de los pulsos de muestreo, el espectro
se aplana.
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
tT 2T
p(t)
-T-2T /2-/2
A
ω
cn
A/T
2T/-2T/ 1 2-1-2
ESPECTRO DE FRECUENCIA COMPLEJA
El contenido de potencia de una función periódica x(t) en el periodo T está definido como el valor cuádratico medio
2
2
2)(1 T
Tdttx
T
El teorema de Parseval establece que si x(t) es una función real y periódica, con periodo T, entonces
n
n
T
Tcdttx
T2
2
2
2)(1
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
n
n
T
Tcdttx
T2
2
2
2)(1
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
2
2
2
2
2
2
2 )(1)()(1)(1 T
T n
tjnn
T
T
T
T
dtectxT
dttxtxT
dttxT
o
n
tjnn
oectx )(
2
2
2
2
2 )(1)(1 T
T
tjn
nn
T
T
dtetxT
cdttxT
o
n
nnn
n
T
T
cccdttxT
2*2
2
2)(1
Teniendo en cuenta el teorema de Parseval, mostrar que
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
1
22
1
2222
2
2
2
21
41)(1
n
no
nnno
T
T
CC
BAAdttxT
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
1
22212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
TT baadttf
1
2220
2/
2/0
2/
2/10
2/
2/1
0
2/
2/ 10002
112/
2/
1
21
4
)()()cos()()(12
])()cos([)()()(
nnn
T
T
T
Tn
nT
Tn
n
T
T nnnT
T
TT
baa
dttnsentfTbdttntf
Tadttf
Ta
dttnsenbtnaatfdttftf
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado:
El valor cuadrático medio de una función periódica x(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir:
Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.
1
220
2/
2/
21
2)]([
n
nT
TT
CCdttx
CONTENIDO DE POTENCIA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA: TEOREMA DE
PARSEVAL
Transformada de Fourier
La mayoría de las señales no son periódicas, sino que varían en
forma aleatoria.
Este carácter aleatorio es en realidad lo que permite conferir mayor cantidad de información.
Es posible extender el concepto de serie de Fourier al caso de
señalesno periódicas.
Para ello consideremos una onda no periódica x(t), de la cual
seleccionamos una porción de duración T
t
x (t)
t
x(t)
t
xPT(t)
Ahora procederemos a extender esa porción en forma periódica
con período T
t
xPT(t)
tT2
- —
xT(t)
T2—
T2
- —
t
xT(t)
T2—Dado que esta nueva onda es
periódica, puede obtenerse su espectro...
T2
- —
t
xT(t)
T2—
f
cn
1/T
El espectro obtenido representa solamente a la
pequeña porción de señal que hemos seleccionado.
Podemos intentar representar una porción más larga, es decir de duración T´ > T.
t
x(t)
t
x(t)
xPT’(t)
t
xT’(t)
tT´2
- — T´2—
xT’(t)
tT´2
- — T´2—
f
cnT
T´
1/T´
1. El espectro se volvió más detallado
Se observan tres cosas:
2. La frecuencia fundamental se redujo (f ´ < f ).
3. La amplitud de las líneas espectrales en general se redujo
Si se desea que el espectro represente a toda la señal, se
podría hacer tender T a infinito, es decir:
)(lim)( txtx TT
... pero nos encontraremos con el inconveniente de que tanto la frecuencia fundamental como
los coeficientes de Fourier tienden a 0.
Es decir, a medida que T se acerca al infinito, los
“armónicos” se encuentran infinitamente cercanos y son de
amplitud infinitamente pequeños.
Esto quiere decir entonces, que el espectro discreto se vuelve un
espectro continuo.
x(t)
f
x(t)
f
Espectro continuo
Antes de introducir la transformada de Fourier,
reescribamos la serie de Fourier en versión compleja.
Donde los coeficientes vienen dados por:
n
tjnn
oectx )(
2
2)(1 T
T
tjnn dtetx
Tc o
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
Al sustituir los coeficientes dentro de la serie de Fourier, se tiene:
n
tjnT
T
ujn oo edueuxT
tx 2
2)(1)(
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
Puesto que :
n
tjno
T
T
ujn oo edueuxtx
2
2)(
21)(
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
2
1 oT
Se tiene lo siguiente:
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
Ahora si se T tiende a infinito, entonces o se anula.
oSin embargo, si
Entonces la frecuencia de cualquier armónico no, debe corresponder a la variable general de frecuencia que describe el espectro continuo. Es decir,
nn o
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
n
tjnT
T
ujn edueuxtx
2
2)(
21)(
En el límite, dT ,
dedueuxtx tjuj
)(
21)(
INTEGRAL DE FOURIER Y ESPECTRO CONTINUO
Si se define
deXtx tj
)(
21)(
dtetxX tj )()(
Entonces
Estas dos expresiones, son la representación de Fourier de la función no periódica
TRANSFORMADA DE FOURIER
dtetxX tj )()(
La función
Se conoce como la integral de Fourier o transformada de Fourier de x(t) y la operación de integración se simboliza frecuentemente por ;
esto es,
dtetxtxX tj )()()(
)(ˆ)()( xtxX
TRANSFORMADA DE FOURIER
De manera análoga -1 es el símbolo que se utiliza para indicar la operación inversa, es decir, obtener x(t) cuando se conoce X(ω); esto es,
deXXtx tj
)(21)()( 1
x(t) se denomina transformada inversa de Fourier de X(ω).
TRANSFORMADA DE FOURIER
La condición para que exista X(ω) generalmente está dada por:
dttx )(
En otros términos, la integral del valor absoluto de x(t) debe ser finita.
TRANSFORMADA DE FOURIER
Encontrar la transformada de Fourier del pulso rectangular f(t) que se ilustra en la figura.
f(t)
-/2 /2 t
1
Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es:
t
t
t
tf
2
22
2
0
1
0
)(
TRANSFORMADA DE FOURIER
Integrando:
Usando la fórmula de Euler:
2/
2/
)()(
dtedtetfF titi
2/
2/1
tii e )( 2/2/1
ii
i ee
ieesen
ii
2)2/(
2/2/
)2/(sinc2/
)2/()( senF
TRANSFORMADA DE FOURIER
Sinc(x/2) es la transformada de
Fourier de una función rectángulo.
Sinc2(x/2) es la transformada de
Fourier de una función triangulo.
Sinc2(ax) es el patrón de difración de una
ranura.
La función sinc(x)
La función delta de Kronecker y delta de Dirac
if 0( )
0 if 0t
tt
t
(t)
,
1 if 0 if m n
m nm n
Propiedades de la función
( ) 1t dt
t
(t)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a f t dt t a f a dt f a
exp( ) 2 (
exp[ ( ) ] 2 (
i t dt
i t dt
Transformada de Fourier de la (t):
)(ttf 1)(ˆ
dtetf ti
t
(t)
1
()
Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1 es:
t
)(21ˆ
dtef ti
21
Recordemos
f t
0 , t T2
1 , T2t
T2
0 , T2 t
T2
T2
T
2T
2T
2
2)(ˆT
TsenTf
2
, 022
, 1
2
, 0
tT
TtT
Tt
tf
2
2)(ˆT
TsenTf
f t 1
T ∞
dtef ti1ˆ )( 2
T ∞
Transformada de Fourier de la función coseno
0{cos( )}tFcos(0t) t
)cos( 0ttf
dtetf ti )cos(ˆ0
dteedteee tititititi
)()( 0000
21
2
)()(2
2)(ˆ00 f
)()()(ˆ00 f
Transformada de Fourier de la función seno:
)( 0tsentf
dtetsenf ti )(ˆ0
dte
iee ti
titi
2
00 dteei
titi
)()( 00
21
)()()(ˆ00 if
sen(0t) t
t)}sen({ 0F
La transformada de Fourier de la onda plana exp(i0 t)
La TF de exp(i0t) es una frecuencia pura.
F {exp(i0t)}
exp(i0t)
t
t Re
Im
)(2
}{
0)( 0
00
dte
dteeeF
ti
tititi
Sum
F {exp(i0t)}
exp(i0t)
t
t Re
Im
TF
TF
TRANSFORMADA DE FOURIER
Encontrar la transformada de Fourier de x(t) definida por
0,00,)(
ttetx
t
Donde > 0
Solución de la transformada de Fourier de la función:
00,00 ,
attetf
at
0
ˆ dteef tiat
2222
0
)(
0
)(
1
1)10(1
ai
aa
iaia
ia
iaia
iaedte
tiatia
La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es ella misma.
2 2
2
{exp( )} exp( )exp( )
exp( / 4 )
at at i t dt
a
F
t0
2exp( )at
0
2exp( / 4 )a
TF
La transformada inversa de FourierDada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:
dkekGkGFxg ikx)(21)()( 1
dxexgkG ikx)()(
)'(
)'(
)'(
''
21)(
)(21)(
21
xg
xx
xxik
ikxikxikx
dxdkexg
dkedxexgdkekG
TRANSFORMADA DE FOURIER
La función X(ω) = [x(t)] es en general, compleja y, se tiene que
)()()()()( jeXjIRX
Donde | X(ω) | se denomina espectro de magnitud de x(t) , y (ω), espectro de fase.
TRANSFORMADA DE FOURIER
Si x(t) es real, las partes real e imaginaria de X(ω) quedan representados por:
tdtsentxI
tdttxR
)()(
cos)()(
TRANSFORMADA DE FOURIER
Por otra parte, es posible mostrar que R(ω) e I(ω) son funciones par e impar de
ω, respectivamente; es decir,
)()(
)()()()(
*
XX
IIRR
TRANSFORMADA COSENO DE FOURIER
Si x(t) está definida sólo para 0 < t < , x(t) se puede representar por
0
cos)(2)(
tdXtx c
Donde Xc(ω) está dado por
0
cos)()( tdtxX c
TRANSFORMADA COSENO DE FOURIER
Xc(ω) se denomina transformada coseno de Fourier de x(t), la cual se representará por
0
1 cos)(2)()(
tdXXtx ccc
0
cos)()()( tdtxXtx cc
Y la transformada coseno de Fourier inversa de Xc(ω), se representará por
TRANSFORMADA SENO DE FOURIER
Si x(t) está definida sólo para 0 < t < , x(t) se puede representar por
0
)(2)(
tdsenXtx s
Donde Xs(ω) está dado por
0
)()( tdsentxX s
TRANSFORMADA SENO DE FOURIER
Xs(ω) se denomina transformada seno de Fourier de x(t), la cual se representará por
0
1 cos)(2)()(
tdXXtx sss
0
cos)()()( tdtxXtx ss
Y la transformada seno de Fourier inversa de Xs(ω), se representará por
Propiedades de las transformadas de Fourier:
1. Linealidad:
f (t) F .T . ˆ f g(t) F .T . ˆ g
f (t) g(t) F .T . ˆ f ˆ g
f (t) F .T . ˆ f (a ib) f (t) F .T . (a ib) ˆ f
La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones.
f(t)
g(t)
t
t
t
F()
G()
f(t) + g(t)F() + G()
)}({)}({)}()({
tgbFtfaFtbgtafF
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0 ;
2
, 2
22 , 1
2 , 0
)(
ba
bt
atb
at
tf
La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:
2 , 1
2 , 0
)( ;
2 , 1
2 , 0
)(
)()()(
bt
btthat
attgdonde
thtgtf
Luego:
ˆ f ( ) ˆ g () ˆ h ()
ˆ f ( ) a2
sen(a2
)
a2
b2
sen(b2
)
b2
Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
0
1
-a -b b a0
Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:
at
atb
btb
bta
at
tf
,0
,1
,0
,1
,0
; h(t) 0 , t b1 , t b
g(t)0 , t a1 , t a
f t g(t) h(t)
aasenagTF
)(
22)(ˆ ..
bt
btth
, 1
, 0)(
at
attg
, 1
, 0)(
bbsenbhTF
)(
22)(ˆ ..
bbsenb
aasenahgf
)(
22)(
22)(ˆ)(ˆ)(ˆ
)(ˆ ftfF
af
adtetf
a
atdeatfa
dteatfatfF
ta
i
ata
i
ti
ˆ1')'(1
)()(1
)(
'
)(
2. Escalado:
af
aatfF ˆ1
Efecto de la propiedad de escalado
f(t) F()
Pulsocorto
Pulsomedio
Pulsolargo
Mientra más corto es el pulso, más ancho es el espectro.
Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica.
t
t
t
3. Traslación en el dominio del tiempo
featfftf aiTFTF ˆ)(ˆ)( ....
dtetgg ti )(ˆ
dteatf ti)(
dueufg aui )()(ˆ
dueufe uiai )(
)(ˆˆ feg ai
f (t a)g(t)
4. : f (t) f *(t) ˆ f ˆ f *
)(ˆIm)(ˆIm
)(ˆRe)(ˆRe
ff
ff
5. :
dttff )(0ˆ
dff )(ˆ210
6. Identidad de Parseval : f *(t)g( t)dt
ˆ f *() ˆ g ( )d
dtdgdf ee titi '')'(ˆ)(ˆ *
edtgdfd ti
')'(ˆ')(ˆ )(*
( ' )
f (t) g(t) f (t) 2 dt
ˆ f ( ) 2
d
Teorema de Rayleigh
dgf )(ˆ)(ˆ *
En particular:
