Cursul - 9Simetriile planului euclidian

Fie d PE si O, P PE P

Construim: PP ‘d, PPo=PoP’ Po

Definitia 1. Aplicatia sd: PE PE , sd(P) = P’ se numeste simetrie axială. ( d – axă de simetrie) P ’

Definitia 2. Aplicatia so: PE PE , so(P) = P’ se numeste simetrie centrală (O - centrul de simetrie) O

P’ P

Proprietati:1) Simetriile sunt izometrii involutive ( f2=id.)2) Punctele axei sunt elememte fixe (sd)3) O dr. perpendiculara pe d este fixa (sd)4) O dreapta prin O este fixa (so)

Teorema-1. Orice izometrie involuriva este o simetrie axiala sau centrala

Propozitia 1. Daca ab { 1PE ,sa, sb, so } – grup abelianTeorema 2. Daca ∆ABC ∆A’B’C’ atunci exista o izometrie unica f : PE PE asa incat f(A)=A’ , f(B) = B’ , f( C)=C’.

• Orice izometrie a planului este produsul a cel mult trei simetrii fata de drepte convenabil alese, deci grupul Izo(PE) este generat de simetriile axiale ale planului euclidian.

Definitia 3. Aplicatia tv : PE PE , tv(M) = M’ , v V3 cu proprietatease numeste translatie de vector v .

Proprietati:1) Orice translatie este o izometrie2) T( PE) Izo(PE)3) Orice translatie se descompune intr-un produs de doua simetrii centrale si reciproc4) Orice translatie se descompune intr-un produs de doua simetrii axiale si reciproc

Teorema 3. a) Compunerea a trei simetrii axiale cu axele paralele este o simetrie axiala cu axa de aceeasi directie

b) Compunerea a trei simetrii axiale cu axele concurente este o simetrie fata de o dreapta prin punctul comun celor trei drepte.

v'MM

Definitia 3. Numim rotatie de centru O si unghi o transformare

rO, : PE PE , rO, (M) = M’ cu proprietatile

1) (O,M’) = (O,M) 2) MOM’ =

Daca = 0 ro, = id

Proprietati:

- ro, o ro, = ro,+ ,( ro, )-1 = ro,- grupul rotatiilor

- orice rotatie este o izometrie

- rotatiile invariaza un singur punct (centrul), cercurile cu centrul in centrul de rotatie sunt invariate

- daca O = a b ro = sa ◦ sb

Teorema 4. Orice produs de patru simetrii axiale poate fi scris ca produsul a doua simetrii.

Teorema 5. Produsul unui nr. par (impar) de simetrii axiale este egal cu produsul a doua (trei) simetrii axiale.

Produsul unui nr. par de simetri axiale este diferit de produsul unui nr. impar de simetrii axiale.

Definitia 3. O izometrie se numeste deplasare , respectiv antideplasare, daca aceasta se scrie ca produsul unui numar par,

respectiv impar, de simetrii axiale.٠Grupul deplasarilor

Teorema 4. Orice izometrie f poate fi reprezentata de compunerea unei translatii cu o izometrie cu un punct fix, f = t ◦g .t – translatie, g(O) = O.

Compunerea izometriilor particulare:

- sO ◦sd este o simetrie axiala daca O d

- t ◦ r = (ss ◦sb) ◦ (sc◦ sd) = s1 ◦s2 r’ sau t’- r ◦ t r’ sau t’

- r1 ◦r2 = ro’ ( t daca = 0 sau )

Teorema 5. ( Chasles) Orice izometrie este una din transformarile:1o transformarea identica sau2o simetrie axiala sau3o translatie sau4o rotatie sau5o f = t ◦ g .

Grupul deplasarilorGrupul metric

“o”T R S RS

TT R(T) RS RS

R

Grupul

R(T)

deplasarilorR

RS RS

S RS RS R(T) R(T)

RS RS RS R(T) R(T)