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CURVAS DE DECLINACION.
Marco A. Ruiz.
.
1
2. CURVAS DE DECLINACION.
� PRESENTACIÓN. Una curva de declinación representa un gráfico ó una expresión que permite estimar el comportamiento del caudal con el tiempo ó con volumen de aceite producido total. Con una curva de declinación se puede calcular las reservas de petróleo de un yacimiento, el incremento de la producción acumulada en un intervalo de tiempo ó el pronóstico de la tasa de flujo a un tiempo dado. Los modelos de declinación representan técnicas de pronóstico desarrolladas a partir de la historia de producción conocida para un intervalo de tiempo dado. La Figura 1 muestra una curva típica para la declinación de tasa de flujo con el tiempo.
Figura 1. Forma Típica de la Declinación de la Tasa de Producción con el Tiempo para un Pozo Productor.
A partir de los datos de tasa de producción de un pozo se seleccionan valores para intervalos de tiempo definidos a partir de los cuales se estima la declinación en un pozo productor. Tabla 1. Ejemplo de Datos de Producción utilizados para Evaluar la Declinación en un Pozo.
Bbl/mesBbl/mesBbl/mesBbl/mes MesesMesesMesesMeses
Mes Año Caudal q Tiempo t ∆t
1 Enero 1958 28200 0 0
2 Julio 1958 15680 6 6
3 Enero 1959 9700 12 6
4 Julio 1959 6635 18 6
5 Enero 1960 4775 24 6
6 Julio 1960 3628 30 6
7 Enero 1961 2850 36 6
8 Julio 1961 2300 42 6
9 Enero 1962 1905 48 6
10 Julio 1962 1610 54 6
11 Enero 1963 1365 60 6
12 Julio 1963 1177 66 6
13 Enero 1964 1027 72 6
� CONCEPTOS. Tasa de declinaciónTasa de declinaciónTasa de declinaciónTasa de declinación ó Declinación. ó Declinación. ó Declinación. ó Declinación. Se representa por D y representa el cambio del caudal de producción con el tiempo. Sin embargo, se expresa como una fracción, como un coeficiente, del caudal de producción instantáneo q . La declinación se
expresa en unidades de tiempo a la menos uno.
dt
dq
qD
1−= (2.1).
2
En la forma de diferencias, se expresa como:
( )t
qqD
∆∆
−=/ (2.2)
La expresión (2.2) ofrece una forma de estimar el valor de D para cada caudal q sí se tiene un registro de la tasa de producción con el tiempo.
Exponente de DeclinaciónExponente de DeclinaciónExponente de DeclinaciónExponente de Declinación. S. S. S. Se representa por b y representa la variación del inverso de la tasa de declinación con el tiempo. Su valor está entre 0 y 1 y de acuerdo con mecanismos de empuje puede asumir los siguientes
valores para b :
Gas en Solución : 0.5 < b < 0.85.
Capa de gas : 0.5 < b < 0.85 Drenaje por Gravedad : 0.0 <b < 0.40
Empuje Hidráulico : 0.0 < b < 0.2 Se habla de tres tipos de declinación dependiendo del valor del exponente de declinación. Además, cada tipo de declinación se caracteriza por desarrollar una relación típica – un gráfico - del caudal
con tiempo. De acuerdo al valor del exponente de declinación - b -, se tiene:
Tipo Exponente de declinación b . ⋅ Exponencial: 0.0 ⋅ Hiperbólica: 0.0 < b <1.0 ⋅ Armónica: 1.0 La declinación exponencial aparece con mayor regularidad debido a su simplicidad en su aplicación. Para el caso de declinación hiperbólica
aparece la necesidad de estimar con precisión el valor del exponenteb . Petróleo PrimarPetróleo PrimarPetróleo PrimarPetróleo Primario Móvilio Móvilio Móvilio Móvil (RPPM(RPPM(RPPM(RPPM).... Pronóstico del volumen de petróleo acumulado producido al momento en el cual la tasa llega a cero.
2.12.12.12.1 DECLINACION EXPONENCIALDECLINACION EXPONENCIALDECLINACION EXPONENCIALDECLINACION EXPONENCIAL. Se caracteriza por una declinación ó tasa de declinación constante. Así, se puede plantear:
teconsdt
dq
qD tan
1=−= (2.3)
dtDq
dq=−
CDtq +−=ln (2.4)
La expresión anterior define un gráfico de )(qLog en función del tiempo como
una línea recta cuya pendiente m resulta equivalente a:
303.2
Dm
−= (2.5)
Una relación entre caudal y tiempo se puede mostrar como:
∫ ∫−=q
q
t
toi
dtDq
dq
)(ln o
o
ttDq
q−−=
tD
o eqq −= (2.6)
3
La expresión (2.6) facilita estimar el pronóstico del caudal futuro para un tiempo de producción determinado a partir de un caudal inicial conocido. La expresión (2.6) facilita estimar el pronóstico del tiempo recorrido para alcanzar un caudal q a partir de un caudal inicial conocido. Para la
situación específica en el cual q representa el caudal limete económico,
este se puede estimar:
tiempo
Barril
BarrilnetoingresoSU
tiempotosproducciónSUq f ==
/.
/cos.
De la expresión (2.6) se puede inferir la forma lineal del gráfico del caudal en función del tiempo en escala semi logaritmica.
tDqLogqLog o −=
La Figura 2 muestra la forma de la declinación para un modelo Exponencial ó geométrico. Para el volumen de petróleo Para el volumen de petróleo Para el volumen de petróleo Para el volumen de petróleo producido producido producido producido acumuladoacumuladoacumuladoacumulado a partir de un tiempo cero hasta que el caudal asuma el valor q:
( ) ( )qqD
eD
qe
D
qdteqN o
tDo
tttDotD
oP −=−=−== −−−∫1
1 *
0
0
*
(2.7) La expresión muestra que un gráfico de caudal en función del Petróleo producido – q - vs. NP, en un sistema coordenado normal, debe tener
tendencia lineal con pendiente equivalente a la declinación D . Las reservas de petróleo móvil se pueden estimar:
Figura 2. Forma de la Declinación del Caudal para un Modelo Exponencial.
iqD
RPPM1
= (2.8)
Procedimiento para Pronósticos de la Declinación de la Producción con un Modelo Exponencial. � Procedimiento Analítico.
⋅ Estimar el valor de la declinación D . Para cada fila de la Tabla 1 se puede estimar la declinación D de acuerdo a la expresión (2) y se toma la media de la columna ó la moda como el estimativo buscado. La Tabla 2 esquematiza un ejemplo para los datos de la Tabla 1.
⋅ Estimar el tiempo requerido hasta alcanzar al valor de caudal dado. Se aplica la expresión (2.6) a partir de un caudal inicial.
⋅ Estimar con la expresión (2.6) el caudal alcanzado para un tiempo de producción definido.
⋅ Estimar con la expresión (2.7) el pronóstico de volumen de petróleo producido hasta alcanzar un caudal dado a partir de un caudal inicial.
4
Tabla 2. Estimativo de la Declinación D. Bbl/diaBbl/diaBbl/diaBbl/dia MesesMesesMesesMeses 1/D D
Caudal q Suma t q ave Tave ∆t ∆q ∆q/∆t qave / (∆q/∆t) mes-1
970 0 0 0 0 0
530 6 750 3 6 -440 -73,3 -10,23 -0,0978
326 12 428 9 6 -204 -34,0 -12,59 -0,0794
224 18 275 15 6 -102 -17,0 -16,18 -0,0618
166 24 195 21 6 -58 -9,7 -20,17 -0,0496
126 30 146 27 6 -40 -6,7 -21,90 -0,0457
100 36 113 33 6 -26 -4,3 -26,08 -0,0383
81,4 42 90,7 39 6 -18,6 -3,1 -29,26 -0,0342
67,4 48 74,4 45 6 -14 -2,3 -31,89 -0,0314
56,6 54 62 51 6 -10,8 -1,8 -34,44 -0,0290
48 60 52,3 57 6 -8,6 -1,4 -36,49 -0,0274
41,6 66 44,8 63 6 -6,4 -1,1 -42,00 -0,0238
36,2 72 38,9 69 6 -5,4 -0,9 -43,22 -0,0231
� Procedimiento Grafico. ⋅ Graficar en papel Semilogaritmico los datos de producción en
función del tiempo. Delinear la mejor recta a partir de los datos.
⋅ Estimar la declinación D a partir del gráfico. ⋅ Leer del gráfico, el tiempo requerido hasta alcanzar un valor de
caudal dado. Leer del gráfico el caudal alcanzado para un tiempo dado.
⋅ Estimar con la expresión (2.7) el pronóstico de volumen de petróleo producido hasta alcanzar un caudal dado a partir de un caudal inicial.
2.22.22.22.2 DECLINACION DECLINACION DECLINACION DECLINACION HIPERBOLICA.HIPERBOLICA.HIPERBOLICA.HIPERBOLICA. La variación de caudal de producción por unidad de tiempo, expresada como una fracción del caudal de producción, resulta proporcional a una potencia de la tasa des producción.
bqCD = (2.9)
Para un tiempo inicial ot se puede plantear que:
b
oo qCD = (2.10)
Al resolver para la constante se obtiene:
b
o
o
q
DC = (2.11)
Se puede plantear de (2.1) y (2.11) la siguiente expresión general para la declinación hiperbólica.
b
q
qD
dtq
dq
=−
0
0
1 (2.12)
En esta declinación los parámetros 0D ,
0q y b se consideran constantes y
constituyen parámetros a estimar de los datos de producción conocidos. Al separar variables e integrar se puede notar:
( ) dtq
Ddqq b
0
01 =− +−
( ) ∫∫ =− +−t
b
q
q
b dtq
Ddqq
i 00
01
( )b
bb
q
tDqq
b0
0
0
1=− −−
tDqb
q
b
qb
bb
0
0
0 1+=
−−
5
b
tDbqq
/1
0
01
1
+= (2.13)
tDb
b
ob
01+= (2.14)
La expresión (2.14) permite denotar la forma parabólica de un grafico de caudal en función del tiempo para una escala semilogaritmica, Figura 3.
Figura 3. Declinación Hiperbólica en Escala Semilogaritmica.
En la expresión anterior 0D representa la tasa de declinación inicial
correspondiente al caudal .0q
El volumen de producción acumulada en función del tiempo se puede desarrollar de:
( )∫ ∫−+==
t tb
iP dttDbqdttqN0 0
/1
01)(
( )[ ] tb
o
o
P tDb
bDb
qN
0
/110 11
1
−+
−=
( )( )
−+−
=
−
111
1
0
0
0b
b
P tDbDb
qN
( )( )
−+−
=
−
111
1
0
0
0b
b
P tDbDb
qN (2.15)
Sin embargo, se puede notar de la expresión (2.13) que:
b
q
qtDb
=+ 0
01
La expresión (2.14) se puede modificar a la forma siguiente:
( )
( )
−
−=
−
11
1
0
0
0
b
Pq
q
Db
qN (2.16)
( )
( ) ( ) ( )
−
−=
−−
−
1
0
1
1
00 11
1 bb
i
b
PqqDb
qqN (2.17)
6
( )
( ) ( )[ ]bb
i
b
P qqDb
qN −− −
−= 11
0
0
1 (2.18)
Para aplicar la ecuación (2.18) se requiere establecer un procedimiento
para estimar el exponente b con antelación. Las reservas de petróleo primario móvil (RPPM) se pueden estimar a partir de la ecuación (2.18) bajo la forma final:
( )
( )[ ]bi
b
qDb
qRPPM −
−= 1
0
0
1 (2.19)
2.32.32.32.3 DECLINACION DECLINACION DECLINACION DECLINACION ARMONICA.ARMONICA.ARMONICA.ARMONICA. En la declinación armónica la tasa de declinación se establece como proporcional a la tasa de flujo:
00 qCD = (2.20)
qCdt
dq
qD =−=
1 (2.21)
0
0
1
q
qD
dt
dq
q=−
Al desarrollar, por separación de variables, se obtiene:
tq
D
q
q
q 0
0
0
1=
( )tDqq
0
0
111
+=
( )tDq
q0
0
1+= (2.22)
Una expresión para el pronóstico del volumen producido se puede desarrollar de:
( )( )[ ] ( )∫ +=+=
+=
tt
P tDD
qtD
D
qdt
tD
qN
0
0
0
0
00
0
0
0
0 1ln1ln1
(2.23)
Sin embargo, se puede modificar la expresión (2.23) a la forma siguiente:
=
+
=q
q
D
q
tD
q
q
D
qN P
0
0
0
0
0
0
0
0 ln
1
ln (2.24)
De acuerdo a la expresión (2.24) se puede observar que:
( )qqD
qN P loglog303.2 0
0
0 −=
Po ND
qq303.2
loglog 0 −= (2.25)
La expresión (2.25) define una gráfico lineal de la cual de cuya pendiente se puede
estimar el valor de la declinación oD .
7
De la expresión (2.24) se puede estimar el incremento de producción de la forma siguiente:
=∆
2
1
0
02
1 ln)(q
q
D
qN P (2.26)
Para estimar el volumen de petróleo producido móvil, se puede proceder: ⋅ Estimar el tiempo final de la expresión (2.22) ⋅ Resolver la expresión (2.23) para el tiempo anterior estimado.
2.42.42.42.4 UN MODELO DE DECLINACION GENERAL.UN MODELO DE DECLINACION GENERAL.UN MODELO DE DECLINACION GENERAL.UN MODELO DE DECLINACION GENERAL. El modelo de declinación hiperbólica permite presentar una expresión general para las curvas de declinación. De la expresión (2.13) se puede notar que:
b
tDbqq
/1
0
01
1
+= (2.27)
Si el exponente de declinación b asume el valor unitario, la ecuación (2.27) recoge la forma de la declinación armónica (2.22). Además, se puede notar que:
( )tDb
tD
b
Limo
b
o .exp/1
10
/1
=
+
→ (2.28)
Por lo tanto se puede notar que la declinación hiperbólica se ajusta a la
declinación exponencial para valores del exponente b cercanos a cero.
2.52.52.52.5 EEEESTIMACION DE PARAMETROS EN EL MODELO DE STIMACION DE PARAMETROS EN EL MODELO DE STIMACION DE PARAMETROS EN EL MODELO DE STIMACION DE PARAMETROS EN EL MODELO DE DECLINACION. DECLINACION. DECLINACION. DECLINACION.
Los modelos de declinación requieren la estimación de los parámetros b , 0D y 0q .
El caudal 0q se conoce, como generalidad, de datos de producción del pozo. La
declinación 0D se puede estimar con la representación gráfica ó tabulada del
historial de producción. Ante la dificultad de estimar b para algunos datos de producción, se puede aproximar el pronóstico de declinación al asumir un modelo exponencial ó armónico. Sin embargo, la literatura propone algoritmos iterativos para identificar el modelo de declinación.
� Método IterativoMétodo IterativoMétodo IterativoMétodo Iterativo. A partir de la ecuación general (2.13) de puede desarrollar una expresión para el caudal en función del tiempo con la cual se puede
presentar una metodología de estimación del parámetro b . De la expresión (2.13) se puede notar:
( ) ( )b
b
b
b
b
o
b
o
b
tDb
Db
q
Db
tDb
Db
q
Db
Db
tDbqq
/1
0
/1
0
0
/1
0
0
/1
0
0
/1
/1/1
0
0
111
1
+
=
+=
+=
( )( )
+−
= t
DbLog
bDb
qLogqLog
b
0
/1
0
0 11 (2.29)
( )( )
( )tCLogbDb
qLogqLog
b+−
=
1/1
0
0 (2.30)
Con la ecuación (2.30) y el siguiente procedimiento se puede aproximar un valor
para el parámetro b . ⋅ Asumir un valor para la constante C. ⋅ Graficar los valores de )(qLog en función de los valores de )( tC + .
⋅ Si no se define un gráfico con tendencia lineal actualizar el valor asumido para C y repetir el procedimiento.
8
⋅ Si se define un grafico de tendencia lineal estimar el parámetro b de
la pendiente. Estimar 0D con C y b .
� MMMMétodo de la “Razón de Pérdida” ( Loss Ratio).
De acuerdo a la definición del parámetro b se puede notar:
∆∆∆∆
=
∆∆
∆∆
=
∂∂
∂∂
=
∂∂
=tq
q
tq
tq
tq
tq
tDtb
/
1(2.31)
Con los datos de producción disponibles se puede desarrollar el siguiente procedimiento tabulado, Tabla 3.
Tabla 3. Esquema propuesto para estimar el valor del parámetro b .
t q q t
q
∆
∆
tq
q
∆∆ /
∆∆∆
∆
tq
q
t /
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Una estimación para el parámetro b está representada por el valor obtenido para la última columna. En este caso se selecciona el valor que mas se repite y para tiempos altos de la tabla donde se puede presentar mayor estabilización del comportamiento de la tasa de flujo debido a que está involucrado mayor parte del yacimiento. Estimado el valor del parámetro b se procede con los pronósticos requeridos. Procedimiento para Pronósticos de la Declinación de la Producción con un Modelo Hiperbólicos. � Procedimiento Analítico.
⋅ Estimar el valor de los parámetros oD y b . Para cada fila de la Tabla 1 se puede
estimar la declinación D de acuerdo a la expresión (2) y el parámetro b de acuerdo al procedimiento de la Tabla 4. En cada caso se toma la media de la columna ó la moda como el estimativo buscado. La Tabla 4 esquematiza un ejemplo para los datos de la Tabla 1.
⋅ Estimar el tiempo requerido hasta alcanzar al valor de caudal dado. Se aplica la expresión (2.14) a partir de un caudal inicial.
⋅ Estimar con la expresión (2.18) el pronóstico de volumen de petróleo producido hasta alcanzar un caudal dado a partir de un caudal inicial.
Tabla 4. Ejemplo de Estimativos para la Declinación D y del Parámetro b . Bbl/diaBbl/diaBbl/diaBbl/dia MesesMesesMesesMeses 1/D D ∆ (1/D) ∆ (1/D)/∆t
Caudal q Suma t q ave Tave ∆t ∆q ∆q/∆t qave / (∆mes-1 ∆ Columna kColumna M / ∆t
970 0 0 0 0 0 0
530 6 750 3 6 -440 -73,3 -10,23 -0,0978 0
326 12 428 9 6 -204 -34,0 -12,59 -0,0794 -2,36 -0,39
224 18 275 15 6 -102 -17,0 -16,18 -0,0618 -3,59 -0,60
166 24 195 21 6 -58 -9,7 -20,17 -0,0496 -4,00 -0,67
126 30 146 27 6 -40 -6,7 -21,90 -0,0457 -1,73 -0,29
100 36 113 33 6 -26 -4,3 -26,08 -0,0383 -4,18 -0,70
81,4 42 90,7 39 6 -18,6 -3,1 -29,26 -0,0342 -3,18 -0,53
67,4 48 74,4 45 6 -14 -2,3 -31,89 -0,0314 -2,63 -0,44
56,6 54 62 51 6 -10,8 -1,8 -34,44 -0,0290 -2,56 -0,43
48 60 52,3 57 6 -8,6 -1,4 -36,49 -0,0274 -2,04 -0,34
41,6 66 44,8 63 6 -6,4 -1,1 -42,00 -0,0238 -5,51 -0,92
36,2 72 38,9 69 6 -5,4 -0,9 -43,22 -0,0231 -1,22 -0,20
9
2.6. UN MODELO ALTERNO DE DECLINACION 2.6. UN MODELO ALTERNO DE DECLINACION 2.6. UN MODELO ALTERNO DE DECLINACION 2.6. UN MODELO ALTERNO DE DECLINACION HHHHIPERBOLICA. IPERBOLICA. IPERBOLICA. IPERBOLICA. Al observar la ecuación (2.30) se puede postular una relación lineal en escala log – log para la declinación hiperbólica. Debido a la inexistencia del cero en escala log – log, se propone una
relación lineal para qLog en función de )( ottLog + donde
ot representa una constante arbitraria.
La expresión para la relación propuesta asume la forma:
[ ]ooo tLnttLnaqLnqLn −+−= )( (2.32)
a
o
t
ttqq
−
+=
0
0 (2.33)
De acuerdo a la expresión (2.32) un gráfico de qLog en función de
)( ottLog + exhibe una tendencia lineal con pendiente a .
Además se puede desarrollar de la expresión (2.33):
1
0
1
0
−−−
+−=
+−=
∂∂
t
tt
t
qa
t
tt
t
qa
t
q o
o
a
o
o
o (2.34)
De la expresión (2.34) y de la definición (2.1) se puede lograr:
1
0
−
+=
t
tt
t
aD o
o
(2.35)
De la expresión (2.35) se puede notar:
⋅ Para 0=t , o
oD
at = (2.36).
La expresión (2.35) se puede reescribir como:
1
1
−
+=
a
tDDD o
o (2.37)
+
=
a
tD
DD
o
o
1
(2.38)
a
t
DD o
+=11
(2.39)
De acuerdo a (2.39), un gráfico del inverso de la declinación en función del tiempo
permite estimar los parámetros oD y la pendiente a , Figura 4.
Figura 4. Comportamiento de la Tasa de Declinación con el Tiempo.
10
Además se puede observar que para un valor de ∞→a , es decir, una
pendiente del gráfico con tendencia a cero, implica que la declinación D
equivale a oD . Es decir, se tiene una declinación constante ó modelo de
declinación exponencial. De acuerdo a la expresión (2.33) y al resultado (2.36) se puede notar:
a
o
a
tDqq
−
+= 10 (2.40)
Además se puede observar de la expresión (2.40):
1//1
11
−−
+=
+=
a
tD
a
tD
q
q o
aa
o
a
o
Al combinar la expresión anterior con la (2.38), se puede notar:
o
a
o D
D
q
q=
/1
(2.41)
a
oo D
D
q
q
=
(2.42)
� PRODUCCION ACUMULADA Y EL TIEMPO. Para desarrollar una expresión para el volumen acumulado y el tiempo se
procede con la definición de pN y la expresión (2.40).
tta
DN
a
o
p ∂
+=
−
∫ 1
( )
−
+
−= 11
1 a
tD
aD
aqN o
o
op
( )
−
−−
=− 1
1
11
1 a
oo
o
p
a
tDaD
aqN (2.43)
A partir de las expresiones (2.38) y (2.43) se puede presentar:
( )
−
−=
− 1
11
a
oo
o
pD
D
aD
aqN (2.44)
( )
−
−=
−
a
a
oo
o
pq
q
aD
aqN
1
11
(2.45)
� Procedimiento Gráfico Propuesto para la Declinación Hiperbólica. Procedimiento Gráfico Propuesto para la Declinación Hiperbólica. Procedimiento Gráfico Propuesto para la Declinación Hiperbólica. Procedimiento Gráfico Propuesto para la Declinación Hiperbólica. ⋅ Para cada fila de la Tabla 1 se puede estimar la declinación D de acuerdo a la
expresión (2). La Tabla 4 esquematiza un ejemplo para los datos de la Tabla 1. ⋅ Graficar el inverso de la declinación en función del tiempo y definir la
tendencia lineal de los valores para señalar una curva de forma exhibida en la Figura 4.
⋅ A partir del gráfico estimar los parámetros oD y la pendiente a .
⋅ Estimar el tiempo requerido hasta alcanzar al valor de caudal dado. Se aplica la expresión (2.40) a partir de un caudal inicial.
⋅ Estimar con la expresión (2.40) el caudal alcanzado para un tiempo de producción definido.
⋅ Estimar con la expresión (2.45) el pronóstico de volumen de petróleo producido hasta alcanzar un caudal dado a partir de un caudal inicial.
11
12
