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Th6ee .,...,.._ en vue de l'obtention d'un

DOCTORAT DE GENIE MECANIQUE

1* Dominique CORNETTE

Un'"'-"'. Vlllwlc....,._ et du twn.ut..c:.n.bNele

CONTRIBUTION AU DEVELOPPEMENT D'UNE METHODOLOGIE DE CONCEPTION

· AU CHOC DES VEHICULES AUTOMOBILES EN PHASE D'AVANT PROJET

Soutenue le 12 ENcembre 1117 dennt le Jury cornpoe• de

B•rnz:Ss= J.C. BOCQUET, C.CON'Il,

lp=l•tem Y. RA VALAilD, P.DRAZEUC, E. MARKŒWICZ,

E.HAVG, J.C. LACBA T, J.L. TIIIIUON,

Pnlt•nwli'U .. ..-.1116 .. V..._. __ Mlllln .. ~li'UIIIY-*' .. v.-...-Dinde• Set. ...... E. S.l. GrHp s.A. Dlndew~~SOLLAC cw• Seme. Mlle • fenae, SOLLAC·L.LD.E.P.P.

N° d'ordre : 97-33

Thèse présentée en vue de l'obtention d'un

DOCTORAT DE GENIE MECANIQUE

par

Dominique CORNETTE Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis

CONTRIBUTION AU DEVELOPPEMENT D'UNE METHODOLOGIE DE CONCEPTION

AU.CHOC DES VEHICULES AUTOMOBILES EN PHASE D'AVANT PROJET

Rapporteurs

Examinateurs

Soutenue le 12 Décembre 1997 devant le jury composé de

J.C. BOCQUET, C.CONTI,

Y. RA VA LARD, P. DRAZETIC, E. MARKIEWICZ,

E.HAUG, J.C. LACHAT, J,L. TIDRION,

Professeur à l'Ecole Centrale de Paris Professeur à la Faculté Polytechnique de Mons

Professeur à l'Université de Valenciennes Professeur à l'Université de Valenciennes Maître de Conférences à l'Université de Valenciennes

Directeur Scientifique, E. S. 1. Group S.A. Directeur Informatique Scientifique, SOLLAC Chef de Service Mise en Forme, SOLLAC-L.E.D.E.P.P.

.. .la lumière pour un Cartésien, existe dans l'air; pour un Newtonien, elle vient du soleil en six minutes et demie. VOLTAIRE, Mélanges historiques, Lettre philosophique, XIV

... les questions que nous venons de proposer sur la nature du temps et de l'espace, nous fourniront l'occasion d'un éclaircissement utile sur la définition que les mécaniciens donnent de la vitesse.

D'ALEMBERT, Eléments de philosophie, OE. Comp., t. 1, p316

Ainsi toute la philosophie est comme un arbre, dont les racines sont la métaphysique, le tronc est la physique et les branches qui sortent de ce tronc sont toutes les autres sciences, qui se réduisent à trois principales, à savoir la médecine, la mécanique et la morale ...

DESCARTES, Principes de la philosophie, Lettres de l'auteur

A Isabelle, A mes parents.

REMERCIEMENTS

Le travail présenté dans ce mémoire a été effectué au sein de l'Equipe de Recherche

de Messieurs les Professeurs Y. RA VALARD et P. DRAZETIC «Modélisation en

Dynamique Rapide et Essais de Collision» du Laboratoire d'Automatique et de Mécanique

Industrielles et Humaines- Groupe de Recherches en Génie Mécanique-, dirigé par Monsieur

le Professeur J. OUDIN.

Qu'ils trouvent ici l'expression de ma gratitude pour l'aide et les conseils qu'ils m'ont

prodigués, ainsi que pour tous les moyens, nécessaires au bon déroulement de mes travaux,

qu'ils ont mis à ma disposition.

Je voudrais adresser mes plus vifs remerciements:

Au Laboratoire d'Etudes et de DEveloppement des Produits Plats de SOLLAC, pour

ses supports techniques et financiers, notamment à Monsieur F. BUGNARD, Directeur des

Laboratoires, Monsieur P. SEURIN, Directeur du L.E.D.E.P.P. et à Monsieur S.

HEURT AULT, Responsable de l'unité Mise en Œuvre du L.E.D.E.P.P. pour m'avoir permis

d'effectuer ce travail.

A Messieurs les Professeurs J.C. BOCQUET.et C. CONTI pour l'honneur qu'ils me

font d'avoir bien voulu accepter de juger ce travaiL

A Monsieur J.C. LACHAT, Responsable Informatique Scientifique de SOLLAC, et

Monsieur E. HAUG Directeur Scientifique de la société E.S.I, pour l'honneur qu'ils me font

de s'intéresser à ces travaux.

A Monsieur M. DITTLO, Directeur d'ISOFORM, et tous les membres du bureau

d'études pour leur aide et la bonne humeur dont ils ont su faire présence.

A Monsieur J.L. THIRION, Chef de Service Mise en Forme, pour son encadrement

et son intarissable dynamisme.

A Monsieur E. MARKIEWICZ, Maître de Conférences, pour sa participation aux

recherches, pour la grande qualité de ses idées et son amitié.

Enfin à tous mes collègues du Groupe de Recherches en Génie Mécanique, ainsi

que tous les membres de la Catapulte, pour leur aide et la bonne humeur dont ils ont su faire

présence.

R, , es ume

En phase d'avant projet, les constructeurs automobiles veulent avoir accès à une méthodologie de simulation et d'optimisation au choc qui permet d'avoir une idée rapide du comportement des différentes conceptions. Les grandes déformations plastiques localisées lors du choc d'une structure rendent possible l'utilisation de la dynamique des multi-corps en modélisant celles-ci par des ressorts non-linéaires. Nous présentons les coordonnées naturelles qui permettent de décrire rapidement un modèle multi-corps d'une structure automobile avec un minimum de variables. Nous associons à cette description le principe de Kane pour la formulation des équations du mouvement. Nous développons des modèles cinématiques de manière à déterminer analytiquement la résistance à l'effondrement de structures à parois minces, de géométrie complexe, soumises à des chargements de flexion et de compression. Une méthode originale de localisation des grandes déformations plastiques est présentée. Elle couple les résultats analytiques pour les composant locaux et ceux d'un modèle élément finis poutre. Cette méthode détermine le nombre et la position des joints de déformation, afin d'optimiser les temps de calcul, et améliore les caractéristiques des ressorts non-linéaires pour la phase de pré-effondrement pour des chargements complexes. Nous confrontons les modèles analytiques à des simulations numériques ainsi qu'à des essais expérimentaux. En utilisant un exemple d'un longeron en "S" de type automobile, la modélisation multi-corps développée, les modèles analytiques et la méthode de localisation sont validés sur un modèle éléments finis de référence. Les résultats obtenus font de cette approche un outil performant pour une estimation rapide du comportement au choc des structures automobiles.

Mots Clés: multi-corps, choc automobile, flambement, effondrement, modèles cinématiques

Abstract

During the design phase, the manufacturer wants to have access to a simulation and crash optimization methodology which enables him to have a quick and rough idea about the be ha vi our of se veral alternative designs. The localized large plastic deformation of a structure

· allows one to apply rigid body dynamics to modellarge plastic deformations of the structure by using generalized spring elements to represent the plastic characteristics of the structural components. A spatial multibody system with natural coordinates which are Cartesian coordinates of points and components of vectors is described. This description of the multibody system is used in conjunction with Kane's method to obtain the dynamical equations of motion. Distinct kinematic models have been developed in order to analytically determine the resistance to collapse of thin-walled structures, of relatively complex geometry, subjected to compression or bending loading. An original method for the localization of the large plastic deformation based on the comparison between analytical results for the local components and a global bearn finite element model is presented. The localization method determine the number and position the deformation joints so as to optimize the calculation time and improve the characteristics of the non-linear springs for the pre-collapse stage in the case of dynamic loading and for complexes structures. We validate these analytical models with finite element calculations and experimental tests. Using an example of a double curvature "S" frame undergoing a collision against a rigid block, the spatial multibody modelling and the localization method are tested where translational and rotational springs are supplied by the results of kinematic models and bearn elements. After comparison between this simplified modelling's results and the FE numerical calculations, this approach appears to be a promising tool for rapid estimations of crash behaviour of car structures.

Keywords: multibody, crashworthiness, buckling, collapse, kinematic models

Sommaire

NOTATIONS ................................................................................................................... 1

CHAPITRE 1: Introduction

1. Introduction 5 2. Outils de prédiction du comportement au choc 6

2.1 Approche globale ......................................................................................................... 7 2.2 Approche locale: Méthode des Eléments Finis ............................................................. 8

3. Problématique de la recherche 11 Références Bibliographiques du Chapitre 1 14

CHAPITRE 2: Modélisation multi-corps

1. Introduction. 18 2. Choix d'un système de coordonnées. 19

2.1 Coordonnées naturelles .............................................................................................. 19 2.2 Equations de contraintes ............................................................................................ 20

3. Méthodes d'obtention des équations du mouvement................................................. 24 3.1 Formulation matricielle du Principe de Kane avec les coordonnées naturelles ............ 25 3.2 Effort actif généralisé et effort d'inertie généralisé pour un corps rigide .................... 30 3.3 Actuateurs ou liaisons de déformation ...................................................................... .45 3.4 Résolution et intégration numérique .......................................................................... .48

4. Conclusion 51 Références Bibliographiques du Chapitre 2 52

CHAPITRE 3: Outils d'aide à la modélisation multi-corps du choc des structures

1. Introduction; 55 2. Réponse de l'effondrement en compression axiale 57

2.1 Phases de pré-effondrement et d'effondrement .......................................................... 58 2.2 Phase de post-effondrement ....................................................................................... 62

3. Réponse de 1 'effondrement en flexion 66 3.1 Phases de pré-effondrement et d'effondrement ......................................................... 67 3.2. Phase de post-effondrement ...................................................................................... 70

4. Localisation des zones subissant de grandes déformations. 7 5 4.1 -Introduction ............................................................................................................. 75 4.2 - Modèles éléments finis poutres élasto-plastiques à parois minces sous chargement

dynamique: ............................................................................................................. 77 5. Conclusion 85 Références Bibliographiques du Chapitre 3 88

CHAPITRE 4: Validation

1. Validation des modèles analytiques en compression et en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 1.1 - Profilé à section Q avec platine rapportée par soudure par points ............................ 91 1.2- Bavolet d'un petit véhicule électrique .................................................................... lOO

2. Application à la collision d'un longeron en 'S'à double courbure

Contribution au développement d'une méthodologie de conception au choc des véhicules automobiles en phase d'avant projet.

111

Sommaire

2.1. - Présentation de la structure test. ............................................................................ 111 2.2.- Description du modèle éléments finis coques de référence .................................... 113 2.3. - Localisation des zones de grandes déformations plastiques pour la construction du

modèle multi-corps ............................................................................................ 113 2.4. - Modélisation multi-corps de la structure : ............................................................. 116 2.5. - Confrontation des résultats : ................................................................................. 118

3. Conclusion. 124 Références Bibliographiques du Chapitre 4 126

Conclusion fénérale


127

Notations 1

NOTATIONS

chapitre 2:

A,B,C,D

G

1

ldim

lAB

M

M,Mi

M

n

nd dl

(A,x,y,z) -

(O,X,Y,Z)

p

q, q et q Q

r, r et r

u,v

v

matrice associée à l'opérateur vectoriel

points de description d'un corps en coordonnées naturelles

vecteur des efforts actifs généralisés

vecteur des efforts inertiels généralisés

centre de gravité du corps

matrice identité de dimension 3

matrice identité de dimension dim

longueur du segment [AB]

masse du corps i

vecteur associé au moment appliqué

matrice de masse, matrice de masse du corps i

matrice de masse généralisée du système

matrice de masse généralisée du système pour Ùn corps à i points et j

vecteurs

nombre d'éléments du système

nombre de degrés de liberté du système

repère local

repère global

nombre d'équations redondantes

vecteur des coordonnées, vitesses et accélérations généralisées

vecteur des efforts appliqués projetés sur le vecteur des coordonnées naturelles

vecteur des coordonnées, vitesses et accélérations descriptives exprimées dans le repère global

vecteur des coordonnées descriptives exprimées dans le repère local

résultante des efforts de liaison du corps i

vecteur de description d'un corps en coordonnées naturelles

volume du corps

vitesse partielle du point Mi relative à la coordonnée généralisées


Notations

x

chapitre 3;

b

c ç E

Et H

L

rn

M

Px a

Pxef

Ma

Mef

Mya,Mza

Myef, Mzef

Mo(i)

Ma/3

n

nh1

np

Naf3

p

matrice des vitesses généralisées

vecteur des équations de contrainte, kième équation de contrainte

matrice jacobienne des contraintes

vecteur des contraintes dérivé par rapport au temps

largeur de la plaque

matrice constitutive du matériau en contraintes planes.

largeur de l'élément coin

module d'Young

module sécant

module tangent

demi longueur d'onde de pliage plastique

longueur de la plaque

coefficient d'écrouissage

moment de flexion instantané

effort ultime analytique de compression

effort ultime éléments fmis de compression (poutres)

moment ultime analytique de flexion pour un plan de flexion calculé

norme du moment ultime éléments fmis de flexion

moments ultimes analytiques de flexion pour les deux directions principales d'inertie de la section

moments ultimes éléments finis de flexion pour les deux directions principales d'inertie de la section (poutres)

moment de flexion parfaitement plastique de la ième ligne de pliage

moment de flexion dans les zones continOment déformées

nombre de lobes dans la phase de pré-effondrement

nombre total de lignes de pliage

nombre de plaques constituant le profilé

effort de membrane dans les zones continOment déformées

effort d'écrasement instantané

effort de compression cinématique


2

Notations

Pcr

ptotal

r

t

u

Uo

v

w

~xt Weq

x

y

z

effort critique de flambement élastique

effort de compression élasto-plastique (partie comprimée)

effort de compression élasto-plastique (partie tendue)

effort moyen d'écrasement

«squash load», capacité maximale de dissipation d'énergie plastique pour une section non déformée

effort total dans la section

effort ultime

petit rayon de la surface toroïdale

épaisseur de la plaque

déplacement axial selon x

amplitude initiale du déplacement en compression

énergie de flexion

énergie de membrane

déplacement transversal selon y

déplacement transversal selon z

puissance externe

déplacement transversal équivalent selon z pour une plaque de largeur unitaire

puissance interne

position axiale

position transversale

position par rapport à la fibre neutre

angle de basculement entre les deux mécanismes de pliage

vecteur sortie des inconnues (r,H, a )

distance d'écrasement effective

vitesse relative de raccourcissement uniforme des bords de l'élément coin

vecteur des déformations

déformation à la limite élastique

déformation courante

tenseur des vitesses de déformation

vecteur des courbures


3

Notations

v

Go

Ger

tenseur des vitesses de courbure

orientation du plan de flexion

énergie potentielle totale

demi angle de pliage de la rotule

vitesse de rotation à travers la ième ligne de pliage mobile

coefficient de Poisson

limite élastique

contrainte courante

contrainte critique de flambement plastique

vecteur entrée des paramètres connus ( C,t, 2 '1'0 )

angle entre les deux plaques de l'élément coin


4

Chapitre 1: Introduction 5

CHAPITRE 1:

Introduction

1. Introduction

Le développement des moyens de transports individuels et collectifs doit s'effectuer

en assurant à la fois le confort et la sécurité des passagers. Aujourd'hui, les concepteurs sont

tenus de respecter des mesures de sécurité très strictes auxquelles est soumis le matériel de

transport.

En vue de vérifier les conditions particulières de sécurité, le concepteur doit étudier

les mécanismes de déformation que peuvent subir ces structures dans le cas de sollicitations

extrêmes. Dans les secteurs automobile, ferroviaire, naval ou aérospatial, les constructeurs

désignent ce domaine de recherche sous le terme de "sécurité passive". Il correspond à

l'étude, de toutes les technologies intégrées aux véhicules visant à limiter l'effet d'un accident

sur les passagers. Citons l'exemple des dispositifs d'absorption d'énergie introduits dans les

véhicules automobiles et ferroviaires. Ce domaine est complémentaire de celui de la "sécurité

active" visant-à développer les technologies préventives comme par exemple l'évolution de la

signalisation ou de la qualité du freinage.

Lorsqu'un accident est inévitable, deux objectifs principaux sont alors recherchés. Le

premier est de limiter le seuil maximal de décélération au niveau des passagers. Le deuxième

est d'absorber la totalité de l'énergie cinétique par déformation de la structure tout en

préservant l'intégrité des zones occupées.

Pendant la phase de conception des véhicules, il est donc indispensable de vérifier les

choix technologiques effectués. Des normes se rapportant au dimensionnement des structures

de transport ont d'ailleurs été établies.

Cependant, nous ne pouvons guère envisager un processus de dimensionnement en

effectuant des essais successifs sur des prototypes, pour des raisons évidentes de coût. Il est



donc nécessaire de recourir à l'utilisation d'outils de simulation numérique de complexité

croissante adaptés aux différentes phases de conception.

2. Outils de prédiction du comportement au choc

Deux outils sont disponibles pendant la phase de conception d'une structure. Le

recours à l'un ou l'autre, est essentiellement fonction des délais imposés pour la mise en

oeuvre et du budget alloué pour l'étude :

- Le premier outil est numérique. Il appartient au domaine de la dynamique rapid~

non-linéaire et permet l'analyse des champs de déplacement, de vitesse et d'accélération ainsi

que des champs de contrainte et de déformation des composants structuraux. Dans la plupart

des chocs, certains composants subissent des mouvements de forte amplitude qui donnent

forcément naissance à un comportement que nous qualifions de non-linéaire. Il existe deux

types de non-linéarités :

les non-linéarités géométriques (grands déplacements, grandes

déformations, contact entre les pièces ou avec le milieu extérieur),

. les non-linéarités matérielles (comportement ·élasto-visco-plastique des

matériaux).

Nous distinguons deux approches numériques pour la prédiction du comportement des

structures en dynamique rapide non-linéaire. La première est dite globale, et la seconde est

dite locale.

- Le deuxième outil est expérimental. Il tient une place majeure dans les études de

collision par les solutions qu'il apporte tant au niveau de la conception du prototype, que de

la progression des modèles numériques. Nous réalisons des essais sur des structures en vraie

grandeur ou sur des maquettes à échelle réduite en faisant appel à des techniques de

similitude indirecte [1-2].

Seules les approches numériques globale et locale sont présentées. Les outils

numériques et expérimentaux sont complémentaires dans un processus de conception et ont

chacun leurs avantages et inconvénients. Puis, nous présentons sous la forme d'un tableau

synoptique la démarche appliquée pour la conception aux chocs, ainsi que la chronologie

d'utilisation des outils appliqués pour l'étude des structures en collision. Ces tableaux,

respectivement représentés aux figures 1.1 et 1.2, retracent la logique d'utilisation des



différentes méthodes et approches, et font clairement apparaître les caractéristiques requises

pour permettre leur application.

2.1 Approche globale

Cette approche repose sur la constatation suivante : lors d'un choc, les composants

structuraux ne se comportent pas tous de la même façon. Certains éléments se déforment

beaucoup plus que d'autres. Les parties qui ne se déforment peu ou pas peuvent donc être

assimilées à des solides rigides. Cette approche, fondée sur la théorie des Systèmes

Mécaniques Articulés, a pour objectif de simuler ces phénomènes par des modèles discrets,

en utilisant des éléments simples afin de représenter un composant ou un sous-ensemble de

composants. Le fait de ne s'intéresser qu'aux zones concernées par la déformation procure à

cette méthode un caractère rapide dans l'exécution du calcul. Même dans le cas de structures

relativement complexes, les temps de réponse sont généralement courts. Cet outil semble

parfaitement adapté pour la phase de préconception.

Une structure est modélisée par un ensemble de corps reliés entre eux par

l'intermédiaire de liaisons. Ces dernières représentent les éléments qui subissent de grandes

déformations. n existe deux types de liaisons :

- les liaisons rigides entre deux corps: Chaque liaison est définie par une position dans

l'espace et un type (joint de translation, joint de rotation, ... ). Les liaisons rigides sont

également appelées "articulations" ..

- les liaisons déformables: Elles sont caractérisées par une courbe de comportement

qui conditionne la déformation du sous-ensemble de composants. Le mode de déformation

est généralement non-linéaire. Les liaisons déformables sont également appelées "ressorts",

ou "actuateurs".

De manière générale, en vue de bâtir les modèles, nous adoptons la démarche

suivante:

- les déformations dont le comportement global est axial, sont modélisées par un

joint de translation couplé avec un ressort unidirectionnel,

- les déformations engendrant un comportement global bi- voire tridimensionnel,

sont modélisées par un joint de rotation en 2D ou par un joint de révolution en 3D.

Une rotule plastique est constituée d'un joint, couplé à un ou plusieurs ressorts de

rotation ou de révolution. Les lois caractérisant le comportement des ressorts, axial

et de rotation, sont respectivement la courbe "effort - déplacement" ou P(o) et la

courbe "moment - angle de pliage" ou M(9).



Du point de vue temps de calcul, les modèles basés sur la dynamique des corps rigides

constituent un moyen efficace de prédiction du comportement des véhicules de transport lors

d'une collision. Le LAMIHILGM a précédemment développé le progiciel CRASH2D [3-6],

en collaboration avec GEC Alsthom et la S.N.C.F., avec comme objectif la simulation des

phénomènes de chevauchement lors de la collision de véhicules ferroviaires en 2D. Pour des

applications plus générales, mettant en oeuvre des comportements tridimensionnels, tels que

ceux d'un véhicule automobile, le LAMlli/LGM s'est engagé, en collaboration avec

SOLLAC-LEDEPP, dans le développement d'un code multi-corps 3D, CRASH3D [7-9].

Cependant, ces outils requièrent l'introduction des caractéristiques propres à chacune des

liaisons déformables. L'utilisateur doit disposer d'un outil efficace lui permettant de définir

les courbes de comportement des ressorts de translation et de rotation.

2.2 Approche locale: Méthode des Eléments Finis

La méthode des éléments finis consiste à modéliser le milieu continu en éléments

discrets connectés entre eux par des noeuds, dont le nombre est fini. Le nombre de noeuds est

à relier au nombre de degrés de liberté du modèle. Les types d'éléments employés (poutres,

plaques, coques, etc ... ) sont déterminés en fonction de la structure réelle (géométrie,

matériaux) et de l'étude effectuée.

Dans .le domaine. de la dynamique rapide non-linéaire, la méthode des éléments finis,

. couplée à des moyens informatiques de plus . en plus performants, permet actuellement

d'appréhender confortablement des problèmes d'impact à moyenne vitesse. En effet, les

logiciels fondés à partir du concept éléments finis tels que PAM-CRASH™ [10] et LS

DYNA™ [llj, sont efficaces dans la simulation en dynamique rapide d'éléments de structure

dont les comportements sont non-linéaires. Par ailleurs, ces logiciels gèrent parfaitement les

possibilités de contact entre les éléments ainsi que le frottement induit par ce mode de

déformation, et permettent de prendre en compte différentes caractéristiques matérielles.

Ces logiciels sont souvent utilisés pendant la phase de conception, pour optimiser ou

valider la conception des éléments structuraux. Dans le domaine automobile, ces logiciels

sont adaptés pour la simulation au crash de véhicules. Il n'est cependant pas rare qu'un

véhicule complet soit modélisé par 100 000 éléments coques.


Chapitre 1: Introduction

... STRUCTURE -

~-----... EXPERIMENTATION 1 1 SIMULATION 1

A /~ ...

Echelle 1 Similitude Approche Approche Globale Locale

~ / MODIFICATION RECALAGE CONFRONTATION ....

ET/OU - des modèles OPTIMISATION -

A~ ,

VERIFICATION du comportement structurel

,, EXPLOITATION

Figure 1.1. Stratégie d'étude du comportement en collision.


Chapitre 1: Introduction

SIMULATION NUMERIQUE

Modélisation Multi-corps

et/ou Poutres

Localisation des joints de déformation

/

Courbe de Compression axiale P(~)

1 t ' Expérimental Numirlque Alllllytique 1

Expérlmen/QJ

Courbe de flexion M(9)

t Numirlque Alllllytique

Figure 1.2. Outils numériques de simulation du comportement en collision.


10


3. Problématique de la recherche

Du fait de leur souplesse et de leur rapidité, les modélisations multi-corps rigides sont

utilisées en phase de préconception pour évaluer le comportement global de la structure. Elles

permettent d'obtenir les champs de déplacement, vitesse et accélération à différents endroits

de la structure. L'avantage de cette formulation est qu'elle offre la possibilité de pouvoir

comparer les différentes solutions entre-elles. Cependant, les mécanismes développés lors du

comportement au crash de structures automobiles sont tridimensionnels et l'ajout d'une

troisième dimension augmente considérablement les temps de calculs si nous utilisons les

mêmes méthodes que celles utilisées pour les applications planes (coordonnées cartésiennes

et lois de Newton-Euler). Nous devons nous orienter vers de nouveaux concepts pour Îa

description des mécanismes d'une part, et pour le développement des équations du

mouvement d'autre part.

Ces modèles nécessitent de définir des corps rigides liés entre eux par des joints et des

. ressorts (Fig. 1.3). En phase de préconception, nous possédons la description d'une structure

continue. Or, comment et avec quels outils devons-nous procéder pour discrétiser et

alimenter la structure?

Figure 1.3. Représentation schématique d'une modélisation multi-corps rigide.

L'efficacité d'un modèle multi-corps est étroitement liée aux caractéristiques matérielles et

dimensionnelles de la structure. Les caractéristiques des ressorts non-linéaires constituant les

joints de déformation peuvent être déterminées soit par un calcul élément finis, soit en ayant

recours à une méthode expérimentale ou encore par le biais de modèles analytiques et

cinématiques (Fig. 1.2). Seuls ces derniers semblent répondre aux objectifs d'une étude en

phase de préconception, les autres moyens de détermination étant longs à mettre en œuvre.

Les modèles cinématiques permettent de déterminer les courbes caractéristiques des sous-



ensembles par des calculs simples qui ne nécessitent pas le recours à des calculateurs

puissants. La formulation théorique, fondée à partir de l'analyse limite, fournit une solution

de type borne supérieure. Cette méthode, basée sur un ensemble de déplacements

cinématiquement admissibles, est utilisée en compression axiale [8, 12, 20-29], en flexion

plane [8-9, 30-37] ou encore en torsion [38]. Cependant, ces modèles sont développés pour

des cas de sollicitation pure (compression axiale ou flexion pure). Or, dans le cas de

structures complexes et/ou de sollicitations arbitraires, des couplages peuvent apparaître entre

les chargements de flexion et de compression, notamment dans la phase précédant

l'effondrement du composant.

Si les modèles analytiques servent à déterminer la réponse d'effondrement des

ressorts de translation et de rotation, il reste à répondre aux questions: Comment discrétiser la

structure? Où placer les joints de translation et de rotation simulant la déformation lors d'une

collision?

Afin d'aider l'utilisateur dans la construction du modèle multicorps rigides, lors de

précédents travaux une méthode de localisation des rotules plastiques a été développée.

L'hypothèse de base était l'activation série des modes de flambement lors de la déformation

des structures impactées. Cette méthode a été développée pour des structures planes [39]. Si

cette méthode était tout à fait adéquate pour les applications bidimensionnelles traitées, dans

le cas d'une approche tridimensionnelle pour des_ structures complexes, nous relevons

certains inconvénients tels que:

- la non prise en compte de la déformation plastique du matériau (flambement

eulérien),

-la non localisation des zones de compression,

· - la non détermination du plan de flexion de la rotule (orientation de la

charnière plastique),

- un nombre de rotules plastiques dépendant directement de la base modale

retenue,

- l'activation de l'ensemble des rotules est supposée simultanée.

L'objectif de cette recherche est, dans un premier temps, de définir et de qualifier une

méthodologie permettant de modéliser le mouvement en dynamique de systèmes mécaniques

articulés rigides de grandes tailles. Nos choix sont guidés par la rapidité de la modélisation,

incluant aussi bien les temps de calculs que les temps de description du système par

l'utilisateur. L'approche conviviale du progiciel est également fortement prise en compte.

Dans un second temps, l'effort est dirigé sur le développement d'outils d'aide à la

modélisation multi-corps du choc des structures automobiles. Ceux-ci sont basés sur des



modèles analytiques pour la détermination de la réponse d'effondrement et sur une

méthodologie de localisation des zones subissant de grandes défonnations plastiques.

Au chapitre 2, le fonnalisme multi-corps (CRASH3D) est présenté. Celui-ci utilise les

cordonnées naturelles [13-15] comme variables descriptives du système mécanique et le

principe de Kane [16-19] pour l'obtention des équations du mouvement. La description du

système multi-corps à l'aide des coordonnées naturelles est très conviviale et diminue le

nombre des variables descriptives de ce système. Quant à la méthode de Kane, elle permet

d'obtenir un système d'équations différentielles minimal. Nous avons donc trouvé judicieux

d'associer ces deux concepts déjà efficaces séparément

Dans le troisième chapitre, nous présentons des outils indispensables à la réalisation

d'un modèle multi-corps qui est représentatif du comportement au choc de la structure et qui

correspond aux attentes du concepteur pour une phase d'avant projet. Nous proposons des

modèles analytiques pour la détennination des caractéristiques d'effondrement en

compression et en flexion et une méthode de localisation des zones de grandes déformations

en compression et en flexion. Celle-ci est basée sur une utilisation couplée d'un modèle

éléments finis poutres élasto-plastiques à parois minces sous chargement dynamique et des

modèles analytiques de caractérisation du comportement en compression et en flexion. Cette

méthode présente l'avantage d'améliorer les caractéristiques des ressorts non-linéaires pour

les phases de pré-effondrement des composants dans le cas de sollicitations complexes.

Le quatrième chapitre valide les différents concepts présentés lors des deux chapitres

précédents. Nous effectuons, dans un premier temps, une validation des outils d'aide à la

modélisation .multi-corps du choc des structures par des essais numériques et expérimentaux

de compression axiale et de flexion pure sur des profilés automobiles. Enfin, nous traitons

une application tridimensionnelle de collision d'un longeron automobile de type poutre en 'S'

à double courbure. La méthode de localisation des zones de grandes défonnations plastiques

est utilisée pour la création d'un modèle multi-corps représentatif du comportement de la

structure. Les résultats de la simulation numérique multi-corps sont comparés à ceux d'un

modèle éléments finis de référence.



REFERENCES du chapitre 1

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Chapitre2: Modélisation multi-corps 18

CHAPITRE2:

1. Introduction.

Modélisation multi-corps Dans ce chapitre, nous présentons les coordonnées naturelles qui

permettent de décrire rapidement un modèle mu/ti-corps d'une structure automobile avec un minimum de variables. Nous associons à ces variables descriptives le principe de Kane pour la fonnulation des équations de la dynamique. Celui-ci présente l'intérêt d'obtenir un système d'équations différentielles minimal à résoudre numériquement. Nous développons la mise en équation avec les coordonnées naturelles des efforts actifs généralisés pour différents types de corps rigides et des efforts inhérents à l'utilisation de ressorts non-linéaires pour la caractérisation des grandes déformations en flexion et en compression.

La simulation des systèmes multi-corps par des méthodes numériques a été rendue

possible, depuis une trentaine d'années, avec l'utilisation d'ordinateurs suffisamment puissants

pour permettre de résoudre les équations inhérentes à de telles études. Les applications sont

vastes, puisque nous trouvons la conception et l'optimisation des mécaiùsmes, la robotique,

·l'aéronautique, la biomécanique, la génétique, ou encore la chimie organique. Depuis 1970, de

nombreux logiciels ont été développés afm d'analyser les mécanismes articulés. Leurs auteurs

ont utilisé diverses méthodes pour décrire ces systèmes, obtenir leurs équations du mouvement

et les résoudre. Le problème majeur des logiciels de calculs de structures mécaniques

contraintes est le temps de calcul, que nous souhaitons le plus faible possible, ceci afm de

pouvoir intégrer ce genre d'outil dès la phase d'avant-projet. Or, la résolution de tels

mécanismes fait intervenir de grands systèmes d'équations différentielles ou algébro

différentielles non linéaires qui doivent être intégrées. De nombreuses méthodes de résolution

de ces systèmes sont à l'étude pour réduire les temps de calcul. Un autre point de vue consiste,

d'une part, à réduire le nombre de variables nécessaires à la description du système multi

corps, et d'autre part à simplifier la forme des équations décrivant son mouvement.

Contribution au développement d'une méthodologie de

conception au choc des véhicules automobiles en phase d'avant projet.

Chapitre2: Modélisation mufti-corps 19

2. Choix d'un système de coordonnées

Afm de modéliser les systèmes mécaniques rigides 3D, il est nécessaire de posséder un

système de coordonnées défmissant sans équivoque les positions et le mouvement. Celui-ci

doit faire appel à une vision globale de la structure. La modélisation ainsi développée est plus

facile à appréhender. Pour le choix de représentation du mécanisme il est possible d'utiliser les

coordonnées absolues, relatives [ 1-4] ou naturelles [5-7]. Ces trois types de représentation des

corps dans l'espace permettent de définir un ensemble de variables qui décrit à tout instant la

configuration d'un système.

2.1 Coordonnées naturelles

L'objectif de cette recherche est de définir et de qualifter une méthodologie permettant

de modéliser le mouvement en dynamique rapide de systèmes mécaniques articulés rigides de

grandes tailles , ceci en trois dimensions. L'effort de conception est donc dirigé par la rapidité

de la modélisation, incluant aussi bien les temps de calculs que les temps de description du

système par l'utilisateur. La modélisation d'une structure automobile soumise au choc étant

complexe et pouvant comporter un grand nombre de degrés de liberté, nous nous sommes

orientés vers les coordonnées naturelles.

Celles-ci présentent l'avantage de décrire le mécanisme avec des coordonnées

cartésiennes, sans faire intervenir de valeur d'angles. Avec ces coordonnées, un solide est décrit

au moins par deux points et un vecteur unitaire (non colinéaire avec le vecteur formé par les

deux points). Nous avons donc 9 coordonnées pour positionner un solide.

x Figure 2.1. : Modélisation d'un corps en coordonnées naturelles.

A ce stade, les coordonnées euleriennes semblent fournir moins de variables

descriptives puisque seulement 6 coordonnées (7 avec les paramètres d'Euler) sont nécessaires



Chapitre2: Modélisation mu/ti-corps 20

pour positionner un solide. En fait, les coordonnées naturelles étant définies au niveau des

joints entre les solides, un même point et/ou un même vecteur sont utilisés pour au moins

deux éléments, d'où une réduction du nombre global de variables. Les coordonnées relatives

donnent un système minimal de coordonnées descriptives dans le cas d'une chaîne

cinématique arborescente ouverte, puisque le nombre total des paramètres de configuration

correspond au nombre des degrés de liberté du système mécanique. Nous écartons cependant

celles-ci car la modélisation multi-corps d'un châssis d'une structure automobile comporte de

nombreuses chaînes fermées et le modèle multi-corps correspond plus à une description de

type poutre à deux ou trois noeuds que nous retrouvons dans les coordonnées naturelles.

Quelques règle's très simples permettent de modéliser un mécanisme 3D avec les

coordonnées naturelles :

- chaque joint doit avoir autant de points et de vecteurs qu'il est nécessaire pour

définir ses mouvements,

- un point doit être positionné à un joint où il existe matériellement un point

confondu (rotule, pivot, ponctuelle, encastrement),

- s'il existe une direction privilégiée (un axe) à un joint, un point appartenant à

chacun des corps doit se trouver sur cet axe,

- l'axe d'un joint est matérialisé par un vecteur unitaire (ou deux points, mais

cette solution sera moins efficace numériquement).

2.2 Equations de contraintes

Nous avons deux types d'équations de contraintes :les équations de corps rigides et les

équations de liaisons. Grâce aux équations de liaisons, il nous est possible de modéliser tous

les systèmes mécaniques en décomposant les liaisons composées (de niveau 2) en liaisons

simples (de niveau 1).

2.1.1 Contraintes de corps ri~ides

En coordonnées naturelles, un solide est modélisé par deux points et un vecteur. Nous

notons indifféremment rp le vecteur des coordonnées cartésiennes d'un point P ou le vecteur

des composantes d'un vecteur P exprimés dans le repère global (Fig. 2.1). Les équations de




corps rigides garantissent que les points 1 et 2 et le vecteur 3 appartiennent au même corps, et

que celui-ci est indéformable.

*Equation de contrainte de Vecteur Unitaire

r32 -1 = 0

* Equation de contrainte de Longueur Constante

(r2 - r1 )2

- L12 2 = 0

*Equation de contrainte d'Angle Constant

(rz - q).r3 - Cst = 0

(2.1a)

(2.1b)

(2.1c)

Le temps n'apparaît pas explicitement dans ces trois équations de contraintes. Les matrices

jacobiennes sont exprimées par :

(2.2a)

pour la contrainte de vecteur unitaire,

(2.2b)

pour la contrainte de longueur constante,

et (2.2c)

pour la contrainte d'angle constant.

2.1.2 Contraintes de liaisons

Afin de modéliser les liaisons géométriques des systèmes mécaniques, nous

développons des équations de contraintes de liaisons. Les liaisons cinématiques que nous

avons choisies de décrire dans un premier temps sont d'ordre inférieur (au sens de Reuleaux).

Il nous est possible de décrire un modèle mécanique en utilisant des liaisons de type rotule,

pivot, cylindrique, ou prismatique.

* La liaison rotule:

La liaison rotule ne nécessite pas l'introduction d'équation particulière : elle se trouve

automatiquement prise en compte par la description en coordonnées naturelles lorsque deux




éléments du mécanisme ont un point commun. En effet, dans ce cas, le seul mouvement

relatif possible entre ces deux corps est une rotation autour de ce point (Fig. 2.2).

* La liaison pivot:

,_/ Corps2 Corpsl~

Figure 2.2. : Liaison rotule

Nous avons la même propriété pour la liaison pivot. Cette fois, elle est définie lorsque

deux éléments partagent un même point et un même vecteur. Afin de les conserver communs,

le seul mouvement possible entre les deux corps est la rotation autour de l'axe dirigé par le

point et le vecteur (Fig. 2.3.).

Figure 2.3. : Liaison pivot.

* La liaison cylindrique: ·

Cette liaison peut être modélisée de plusieurs façons. La première (Fig. 2.4.a) est de

matérialiser l'axe de la liaison par un vecteur et par deux points. En imposant une condition

de colinéarité entre ce vecteur et celui formé par les deux points, seule une translation et seule

une rotation sont possibles entre les deux corps.

Figure 2.4.a. : Liaison cylindrique 2 points, 1 vecteur.

Nous pouvons modéliser la liaison cylindrique en considérant 3 points et un vecteur.

L'axe de la liaison est matérialisé par les deux points du corps 1 ou par le point et le vecteur

du corps 2 (Fig. 2.4.b). Nous imposons au vecteur (12) d'être colinéaire avec le vecteur 4.




Enfin, la modélisation peut être faite grâce à 4 points (Fig. 2.4.c). L'axe de la liaison

passe alors par deux des points d'un même solide, et nous imposons une condition de

parallélisme entre les droites (12) et (34).

Figure 2.4.b.: Liaison cylindrique 3 points, 1 vecteur. Figure 2.4.c. : Liaison cylindrique 4 points.

Nous avons choisi de ne développer que le cas où la liaison cylindrique est définie par

deux points et un vecteur (Fig. 2.4.a), car c'est la manière la plus simple de procéder et qui

fait intervenir le moins de variables.

(2.3)

La liaison cylindrique possède deux degrés de liberté, l'un en rotation, et l'autre en

translation. Quatre équations de liaisons sont nécessaires pour interdire le mouvement selon

les quatre autres degrés de liberté dans l'espace. Deux d'entre elles sont des contraintes de

corps rigides (équation de longueur constante entre les points 1 et 2 et équation de vecteur

· unitaire pou~ le vecteu~ 3). Les deux autres sont obtenues à partir du produit vectoriel

définissant la colinéarité du vecteur 3 avec les points 1 et 2. Nous avons une équation

redondante engendrée par le produit vectoriel qui génère trois équations de contraintes.

L'élimination de celle-ci se fait automatiquement lors de la résolution du système linéaire

associé.

La matrice jacobienne s'écrit :

(2.4)

où a représente la matrice associée à l'opérateur vectoriel, c'est à dire que pour un vecteur a=

[

0 -z y] [x, y, z], nous avons a= z 0 -x , ainsi ab= a.Ab.

-y x 0




* La liaison glissière :

La liaison glissière découle de la liaison cylindrique : il suffit de bloquer la rotation.

La modélisation retenue est représentée à la figure 2.5 :

Figure. 2.5.: Liaison glissière.

Les équations analytiques sont les suivantes :

(2.5a)

(2.5b)

L'une des trois équations résultant du produit vectoriel (2.5a) est linéairement

dépendante des deux autres. La liaison glissière possède un seul degré de liberté en

translation, ce qui est traduit analytiquement par ce système de trois équations indépendantes,

auquel il faut associer une équation de corps rigide entre les points i et 2, et une équation

d'angle constant entre les vecteurs 4 et 5. La matrice jacobienne s'écrit :

0 (2.6)

3. Méthodes d'obtention des équations du mouvement

Nous pouvons utiliser plusieurs principes pour obtenir les équations du mouvement

d'un système mécanique. Cependant, le choix de ce principe doit être établi en fonction des

impératifs suivants:

- il diminue le nombre d'opérations algébriques nécessaire pour l'obtention des

équations du mouvement [13], [19],

- il est très facilement programmable,




- il doit permettre d'obtenir un système d'équations différentielles du premier ordre,

accélérant ainsi la résolution [20].

Le choix de la méthode d'obtention des équations dynamiques du mouvement est

vaste. Si elles découlent toutes des équations de Newton-Euler, certaines sont plus facilement

interprétables, d'autres sont plus adaptées à un certain type de système de coordonnées, ou

encore à l'exploitation des résultats souhaités. Il est évident que les choix faits par les auteurs

au niveau des méthodes numériques sont fortement liés aux applications qu'ils souhaitent

traiter [21].

Notre choix s'est donc arrêté pour le principe de Kane [8-11]. Il nous donne un

système algébro-différentiel minimal qui s'avère très simple à résoudre.

3.1 Formulation matricielle du Principe de Kane avec les coordonnées naturelles

Un système mécanique peut être décrit analytiquement grâce à un vecteur de

coordonnées descriptives r de dimension n. D'autre part, il existe un vecteur q des

coordonnées généralisées, dont la dimension est nddl et dont les composantes sont

indépendantes, qui pennet de calculer le mouvement du système à un instant donné.

L'éçriture des équations de contraintes nous donne un système de (n-nddl+p) équations:

fb(r,t) = 0 (2.7)

La dérivé~ par rapport au temps de (2. 7) donne:

(2.8)

Une diagonalisation par la méthode de Gauss-Jordan de ce système de (n-nddl+p)

équations se décrit par le schéma suivant :




n-nddl 1 + = 0 n-nddl+p

p 0

Lors de la phase descendante de la méthode de Gauss-Jordan, nous éliminons les p

lignes de la matrice jacobienne tl»r correspondant aux p équations de contraintes redondantes.

Nous déterminons les ensembles de coordonnées dépendantes et indépendantes. Ces

ensembles constituent les vecteurs rdep et q liés entre eux par la relation :

(2.9)

Kane définit V la vitesse généralisée partielle du point P relative à la vitesse P,s

généralisée 4s par la relation :

- drp - drp - afp VP,s- Gqs- Bqs- ~s (2.10)

Ceci correspond à la définition des coordonnées généralisées comme étant des

combinaisons linéaires des coordonnées descriptives. L'équation (2.9) pour l'ensemble des

vitesses descriptives donne les deux équations suivantes :

(2.lla)

lq=q (2.1lb)

Les vitesses généralisées q étant les nddl dernières composantes du vecteur des

vitesses descriptives t, nous pouvons écrire ces équations sous la forme suivante:

(2.12)

Grâce à l'équation (2.12), nous déduisons la matrice X des vitesses généralisées

partielles comme étant :




[-Cl» ] - r

X= ind

Inddl (2.13)

Cette matrice des vitesses généralisées est au cœur de l'expression matricielle des

équations de Kane. C'est en effet la matrice permettant de transformer le système de n

équations en un système de nddl équations. Cette matrice est obtenue à partir de la matrice

jacobienne des contraintes, qui comme nous l'avons vu précédemment est éparse. Par

conséquent, en considérant les éléments nuls de cette matrice, le nombre d'opérations à

réaliser pour avoir X est faible.

' ... Notons aussi que le vecteur -Cl» 1 peut être obtenu en considérant q nul dans

l'équation (2.9). Il est alors égal à l'opposé du vecteur des vitesses dépendantes. Par

conséquent, ce terme et la détermination du vecteur des vitesses descriptives à partir du

vecteur des vitesses généralisées pourront être obtenus avec peu d'efforts de calcul.

Cette remarque est aussi valable pour l'équation en accélérations. En effet, en dérivant

deux fois par rapport au temps les équations de contraintes (2.12), nous obtenons la relation :

(2.14)

Si,. de la même manière que pour l'équation en vitesses, nous isolons les dérivées par

rapport au temps des vitesses indépendantes et dépendantes, q et fctep, nous obtenons :

(2.15)

Nous pouvons, de ce fait, exprimer le vecteur des accélérations descriptives en

fonction du vecteur des accélérations indépendantes :

(2.16)

ce que nous écrivons :

r = Xq+c* (2.17)




Nous retrouvons ainsi la matrice des vitesses généralisées partielles dans l'expression

des accélérations. Cette matrice ayant été déterminée auparavant, nous n'augmentons pas le

temps de calcul. Nous voyons aussi que le second terme du membre droit de l'équation (2.17)

est égal au vecteur des accélérations lorsque les accélérations généralisées sont nulles, ceci

permettant un calcul avec un minimum d'efforts. Par conséquent, le calcul des accélérations

du système se résume au calcul du terme c * et de la multiplication de ij par X .

Kane obtient les équations du mouvement en projetant la seconde loi de Newton sur

les vitesses généralisées partielles [8]. Pour un mécanisme décrit par un vecteur de

coordonnées r de dimension n, cette loi s'écrit sous la forme d'un système de n équations

différentielles :

R+F-Mr=O (2.18)

Dans ce système, r est le vecteur des accélérations, R le vecteur des efforts aux

liaisons, F le vecteur des efforts appliqués et M la matrice de masse. Cette matrice de masse

est écrite pour un corps k de la façon suivante :

[mkl 0 ]

Mk = 0 .k,rrT dm (2.19)

Il faut ensuite assembler les matrices de masse des différents corps k du mécanisme.

La projection de cette loi sur le vecteur des vitesses généralisées partielles relatives à la

vitesse généralisée èJ.s s'écrit:

V~(R+F-Mr) =0 , (2.20)

Or, dans le cas de liaisons idéales ou parfaites que nous traitons, c'est à dire ayant une

puissance dissipée nulle, le vecteur des efforts de liaisons R est orthogonal au vecteur des

vitesses généralisées partielles IV,s(10]. La projection de l'un sur l'autre est donc nulle. Ainsi

l'équation de Kane relative à la vitesse généralisée èJ.s s'écrit:

(2.21)




Nous généralisons maintenant l'équation (2.21) à l'ensemble des vecteurs des vitesses

généralisées. Ces vecteurs forment la matrice X. Nous écrivons alors le système des nddl

équations de Kane :

(2.22)

Si nous reprenons les n-nddl de l'équation (2.17) où rdep est exprimé en fonction des

accélérations généralisées q , et que nous l'insérons dans les équations de Kane, nous

trouvons:

(2.23)

Nous obtenons donc un système différentiel de nddl équations dont les inconnues sont

les nddl composantes du vecteur accélération q . Ces équations sont écrites sous forme

vectorielle par l'addition de deux vecteurs de dimension nddl :

Fa+ F* = 0 (2.24)

où Fa est le vecteur des efforts appliqués généralisés et F* le vecteur des efforts inertiels

généralisés.

Dans ces équations du mouvement interviennent la matrice M de masse du système et

le vecteur F des efforts appliqués. En effet, avec une définition par un repère gravitationnel

du solide, les-termes d'inertie et d'efforts sont concentrés au centre de gravité. Dans le cas des

coordonnées naturelles, il faut au contraire répartir ces termes d'efforts sur les points et

vecteurs définissant le corps. Nous allons donc nous intéresser maintenant à la construction de

la matrice de masse d'éléments les plus courants et du vecteur des efforts actifs généralisés.

La forme de cette matrice ou de ce vecteur dépend du type de représentation du corps rigide

en coordonnées naturelles. La modélisation du châssis d'une structure automobile demande

d'avoir recours à différents types de représentation des corps rigides, celles-ci étant

directement liées aux différentes liaisons qui agissent sur le corps. Le nombre et le type de

joints cinématiques attachés au corps conditionnent le nombre de points et de vecteurs pour la

description en cordonnées naturelles du corps. Nous présentons maintenant les entités les plus

courantes.




3.2 Effort actif généralisé et effort d'inertie généralisé pour un corps rigide

3. 2.1 Corps ri ~ide défini par deux points et deux vecteurs unitaires.

Nous commençons par la définition de la matrice de masse et du vecteur des efforts

appliqués pour un corps isolé défini par deux points et deux vecteurs non-colinéaires (Fig.

2.6). C'est le corps que nous rencontrons le plus souvent. Nous montrons que, pour un tel

corps, les efforts actifs généralisés et les efforts d'inertie généralisés sont constants au cours

du temps. Par la suite, nous définissons d'autres types de corps en utilisant les résultats

obtenus pour celui-ci.

x

Figure 2.6. : Corps rigide défini par deux points et deux vecteurs 4nitaires.

Un point P de l'élément est repéré par son vecteur position r dans le repère global et

par le vecteur r dans le repère local. Par convention, un vecteur exprimé dans le repère local

est toujours surmonté d'une barre.

Nous définissons une matrice carrée N (3x3) à partir des coordonnées des vecteurs

rAB· ii et v. Nous l'appelons matrice des coordonnées naturelles du corps.

(2.25)

Nous introduisons la matrice de passage P permettant d'exprimer les coordonnées

naturelles dans le repère global en fonction de leurs coordonnées locales. C'est à dire que nous

exprimons N en fonction de N de la façon suivante :

N = PN doncP = NN-1 (2.26)




Si nous écrivons maintenant les vecteurs position, vitesse et accélération d'un point P

quelconque de l'élément, nous obtenons :

(2.27a)

(2.27b)

(2.27c)

Partant des équations (2.1 0) et (2.27b ), nous exprimons la vitesse généralisée partielle

du point P relative à la vitesse généralisée 4 s en fonction de celle du point A et de la position '

de P exprimée dans le repère local :

(2.28)

La matrice N s est constituée des vecteurs des vitesses généralisées partielles relatives '

à la vitesse généralisée 4 s:

(2.29)

.. Nous pouvons maintenant, à l'aide de ces notations, exprimer le vecteur des efforts

généralisés et la matrice de masse généralisée d'un corps du système. Si nous notons np le

nombre de points P du corps k où s'exerce un effort appliqué Fp, l'effort actif généralisé

relatif à 4,s d'un corps k est défini par:

np

ak ""' T Fs = ~ vP,sFP (2.30a) P:l

soit avec l'équation (2.28):

np np r

ak ""' r ""' ( • --1- ) Fs =~VA,sFp+~N.sN rp Fp P=l P=l

(2.30b) np np

F ak ""' V T F ""' -r N -rN' T F s = ~ A,s P + ~ rp ,s P P=l P=l




Convenons maintenant d'écrire la matrice N-T en considérant chacune de ses colonnes

comme étant un vecteur :

N-T_ [--1 - nt (2.31)

Nous développons l'effort actif généralisé relatif à 4,s en exprimant N,s et N-1 :

Fak = [vT s A,s V T . T . T B,s 0 ,s V ,s

np

LFp- Fpï'pÏÏÏl P=l

np

LFpfpTiiïl P=l np "'F - T--1 "'-' prp n 2 P=l np

LFpfpTii31 P=l

(2.32)

Nous écrivons cette dernière égalité sous forme d'un produit scalaire entre un premier

vecteur relatif à la vitesse partielle des coordonnées naturelles du corps que nous notons V,s et

un second vecteur relatif aux efforts appliqués noté Q22 :

(2.33)

Si l'effort Fp est constant dans le repère local de l'élément, alors le vecteur Q22 est

constant au cours du temps.

Un corps k isotrope a une matrice de masse Mk de la forme:

(2.34)

Si nous considérons une répartition de la masse à l'intérieur de ce corps sur un nombre

fini ne de points P, l'expression de l'effort d'inertie généralisé relatif à la vitesse généralisée

iJ,s est la suivante :

ne *k "'M ..

Fs =- .i..J k V P.s ·rp (2.35) P=l




Nous développons sous forme matricielle l'expression de la matrice de masse

généralisée M 22 d'un corps k tel que celui de la figure 2.6. En développant les expressions de

Vp,s et rp nous obtenons:

(2.36)

ce qui, après développement des matrices N-', N s et N, peut encore s'écrire sous la forme

suivante:

T T VAs (m+ 2b1 + a 11 )1 -(b1-au)l (b2- al2)1 (b3 -a13 )I rA

'

F"'k -- V[Js -(b1 -a11 )1 a111 -al21 -a13I rn (2.37) ' s - • T (b2 - a21)1 -a211 a221 a231 ü u,s

• T V,s (b3 -a31)1 -a311 a321 a331 v

Ceci représente la matrice de masse généralisée. Les termes aij et bi sont définis par :

ne

aij =iii' 'I,mpfpfp ii/ P=l (2.38)

bi= miit"rG

ne

où G est le centre de gravité du corps et rn sa. masse. La somme Lmpfpfp correspond à P=l

la matrice d'inertie du corps exprimée dans le repère local par rapport au point A. Cette -

matrice est constante au cours du temps puisque nos corps sont rigides et que tous les termes

qui la constituent sont exprimés dans le repère local de l'élément.

La matrice de masse est symétrique. En effet :

ne

aij =iii' 'I,mpfprp ii/ P=l

ne

qui peut s'écrire: aij = L mpiij'rprp ii-.f P=l




ou encore ne

aij::: :Lmp(nJ'fprp ntr P=l

Or, le terme entre parenthèses est un scalaire, et par conséquent sa transposée est égale à elle-

même, d'où:

ne

aij = :LmpiiJ'rpr;; nt (2.39) P=l

et donc: (2.40)

La matrice de masse généralisée d'un corps k défini par d~ux points et deux vecteurs

s'exprime:

(m+2b1 +a11 )1 -(bi -au)l (b2 - a 12 )1 (b3 -ai3)1

M22= a 111 -a121 -a131

(2.41) symétrie a221 a231

a331

Nous remarquons que dix termes permettent de définir la matrice de masse

généralisée, tout comme les caractéristiques dynamiques d'un solide dépendent des trois

coordonnées du centre de gravité, de la masse et des trois produitS et trois moments du

tenseur d'inertie.

Nous avons l'écriture de l'effort d'inertie généralisé relatif à la vitesse généralisée

q ,s d'un corps- k :

(2.42)

A partir des définitions du vecteur des efforts généralisés et de la matrice de masse

généralisée d'un corps défini par deux points et deux vecteurs, nous pouvons utiliser ces

mêmes quantités pour d'autres types d'éléments dont nous développons les caractéristiques

dans les paragraphes suivants.




3.2.2 Corps ri~ide défini par trois points et un vecteur unitaire

Avec les coordonnées naturelles, nous pouvons définir un corps par trois points non

alignés et un vecteur unitaire non contenu dans le plan défini par les trois points, comme sur

la figure 2.7.

x

Figure 2.7. : Corps rigide défini par trois points un vecteur unitaire.

Nous ramenons ce cas au précédent en définissant le vecteur unitaire v manquant au

point B comme étant le vecteur directeur de la droite (BC) :

(re -rB) (re -rB) v= lire -rBII = leB

(2.43)

. Nous pouvons définir une matrice constante de transformation T d'un vecteur de

coordonnées naturelles formé de deux points et deux vecteurs à un vecteur de coordonnées

naturelles formé de trois points et un vecteur :

avec

rA rA

rB =T

rB (2.44)

u re v u

1 0 0 0

0 1 0 0 T= 0 0 0 1 (2.45)

0 1

--1 lcB

1 -1 leB

0

Nous avons de même pour les vitesses généralisées partielles :




vA,s VA.s

VBs =T

VB,s

ûs Vc,s (2.46)

v,s us

La matrice de transformation T est utilisée pour déterminer l'expression de la matrice

de masse d'un élément défini par trois points et un vecteur.

Si nous notons M 22 la matrice de masse d'un corps k décrit par deux points et deux

vecteurs, l'effort d'inertie généralisé par rapport à la coordonnée généralisée qs s'écrit :

F*k VTM .. s =- ,s 22r (2.47)

En utilisant la matrice de transformation T définie précédemment, nous écrivons:

F*k - VTTTM T'' s --,s 22r (2.48)

Nous exprimons ainsi la matrice de masse généralisée d'un élément décrit par trois

points et un vecteur à partir de celle d'un élément défini par deux points et deux vecteurs :

ce fait:

(2.49)

Nous développons cette expression afin d'écrire analytiquement la matrice de masse :

(m+2b1 +a11 )1

symétrie

(b3-a13)1

lcB

( ~:;'- ;i;} a33 1 lcB

(- al2 - a23 JI

lcB

a23 1 lcB a221

Pour les efforts actifs généralisés, nous procédons de la même manière. Nous avons de

(2.50)




Ce qui analytiquement nous donne :

np

LFp- Fp'fpii11

P=l np --1

L F p'fp T (ïi11 + .!2_) P=l fcB

np --1

LFprpT .!2_ P=l fcB

(2.51)

np

LFpfpTii21 P=l

3.2.3 Corps ricide défini par rJUatre points

Quatre points non coplanaires et non alignés trois à trois comme sur la figure 2.8.

positionnent et orientent un corps dans l'espace.

x

Figure 2.8. : Corps rigide défini par quatre points.

Nous ramenons cette description d'un corps à celle d'un corps défini par deux points et

deux vecteurs, en définissant les vecteurs unitaires u et v manquants comme étant les vecteurs

directeurs des droites (AB) et (BD), c'est à dire :

(2.52)

Ainsi, de la même façon que dans le cas précédent, nous définissons une matrice

constante de transformation T d'un vecteur de coordonnées naturelles formé de deux points et

deux vecteurs à un vecteur de coordonnées naturelles formé de quatre points :



Chapitre2: Modélisation mu/ti-corps

fA fA

fn =T

fn ü fe

(2.53)

v fv

1 0 0 0 0 1 0 0 1 1

avec T= --1 0 -1 1 ICA ICA

(2.54)

0 1

--1 lDB

0 1 -1 lDB

Nous avons de même pour les vitesses généralisées partielles :

VA,s VA,s

Vn,s =T

Vn,s (2.55)

Ù,s Vc,s

v,s V vs '

L'expression de la matrice de masse généralisée est alors :

((m+2bt +au) J ( ) a23 b2 -a12 b 3 -a13 - bl -au +

lcA lvn · b2 -al2 · a22 1

feAl DB 1 1 1

-2 +- a12 b 3 -a13 a22 a23 fcA f~A +--

f~A lcA lvn feAl DB

al3 -a23 -al3 au +2--

feAl DB lvn M4o =

lnn 1 1 1

a33 a12 a33 +-lbn lcA 2

lvn

symétrie a22 a23 -1 -1 f~A l~A

a33 -1 lbn

Le vecteur des efforts généralisés s'écrit :



38

(2.56)


(2.57)

3.2.4 Corps ri~ide dé_fini par deux points et un vecteur unitaire.

Nous développons ici le cas de la description d'un corps par deux points et ,un vecteur

comme schématisé par la figure 2.9.:

x

Figure 2.9. : Corps rigide défini par deux points un vecteur unitaife.

Pour l'étude d'un tel corps, nous définissons une matrice de transformation T

permettant de passer des éléments analytiques d'un corps défini par deux points deux vecteurs

à celui-ci.

Pour cela, nous considérons que le vecteur unitaire v, absent de la description présente

peut être défini comme suit :

{rB-rA)Au

v = ~~rB - rA ) A ull (2.58)

Nous notons la norme du dénominateur lABu et nous utilisons la matrice du produit

dyadique défini précédemment pour dériver par rapport à la coordonnée généralisée qs

l'équation précédente :



Chapitre2: Modélisation mufti-corps

(rA -rB )ü,s v ,s = ....;.._ __ ....:...._'--lABu

ii( V B,s- V A,s)

lABu (2.59)

Nous déduisons la matrice de transfonnation T de dimension (12 x 9) telle que:

VA,s 1 0 0

VB,s 0 1 0 [V A,,] [V A,,]

= 0 0 1 :~~s = T :~~s (2.60) Us

' ü ü rB -rA V,s ---lABu [ABu lABu

40

Dans ce cas, la, matrice T n'est pas constante au cours du terrips car elle dépend des

vecteurs r A• rB et u qui sont exprimés dans le repère global.

Si maintenant nous dérivons deux fois par rapport au temps l'équation (2.58), nous

obtenons:

V= (rB -rA)Au +2

(tB -tA)/\U + (r8 -rA)Aü lABu lABu lABu

(2.61)

Nous en déduisons l'égalité suivante:

rA 1 0 0 1 0 0

fB 0 1 0

[::]+ 0 1 0

[;:] (2.62) = 0 0 1 0 0 1 ü ii. -ii rB -rA ii ii rB -rA _v -- --[ABu [ABu [ABu [ABu [ABu [ABu

, où nous identifions la matrice Tet sa dérivée par rapport au temps i'. Nous écrivons:

(2.63)

L'effort d'inertie d'un corps k défini par deux points et deux vecteurs s'écrit de la

manière suivante:




T T VAs rA

' T rB F;k =-

VBs M22 ' .r ü u,s

(2.64)

.r v,s v

En utilisant les expressions précédentes des vitesses généralisées partielles et des

accélérations, nous avons :

(2.65)

Nous définissons alors la matrice de masse généralisée M 21 d'un corps défini par

deux points et un vecteur comme étant :

(2.66)

Le second terme de droite de l'équation (2.65) sera calculé à l'instant précédent le

temps courant de calcul. Il sera considéré dans le membre de droite du système d'équations à

résoudre.

Cette matrice de masse est calculée à chaque itération du calcul car la matrice de

transformation T n'est pas constante au cours du temps. Cependant, avec le principe de Kane,

seul ce calcul est nécessaire, alors qu'avec les équations de Lagrange, il aurait fallu

différencier par rapport au temps et aux coordonnées la nouvelle matrice de masse ainsi

obtenue.

L'expression du vecteur des efforts généralisés est aussi obtenue en partant de celui

d'un corps défini par deux points et deux vecteurs. Ainsi, nous avons :

(2.67)

3.2.5 Corps rifide di,fini par deux points

Pour maintenir une distance constante entre deux points, ou lorsque les dimensions du

solide modélisé sont négligeables au regard de sa longueur, il est utile de définir un solide




uniquement par deux points (Fig 2.10.). Nous réduisons ainsi le nombre des équations de

contrainte, mais en contrepartie nous ne connaissons pas l'orientation autour de l'axe défini

par les deux points. Le moment d'inertie de ce solide autour de cet axe est donc négligeable.

x

Figure 2.10. :Corps rigide défini par deux points.

La démarche suivie est différente de la précédente. En effet, nous considérons un

point quelconque P sur le segment [AB]. Ce segment a par définition la même direction que

l'axe x du repère local. Ainsi le vecteur fp des coordonnées de P exprimé dans le repère local

est en fait l'abscisse du point. Nous exprimons alors matriciellement le vecteur des

coordonnées du point P dans le repère global en fonction des vecteurs rA et l'B, et de

l'abscisse f du point P :

(2.68)

Nous noterons T la matrice ainsi définie. En dérivant rp par rapport à la vitesse

généralisée 4,s nous obtenons sa vitesse généralisée partielle :

[VAs] Vp,s =T V '

B,s (2.69)

De même, nous dérivons cette égalité deux fois par rapport au temps, ce qui nous

donne l'expression de l'accélération rp :

.. T[rA] rp = rB (2.70)

Ces équations nous permettent d'exprimer la matrice de masse généralisée et le vecteur

des efforts généralisés de notre élément.




Nous avons vu que l'effort d'inertie généralisé relatif à la vitesse généralisée éJ,s d'un

corps k s'écrit :

ne

F;k =- ,LMvP,s ·rp (2.71) P:l

Si nous remplaçons V P,s et rp par les expressions précédentes, nous obtenons :

(2.72)

Si nous supposons constante la section le long de l'axe du corps, M est en fait une

masse linéique. Notons rn la masse du corps, nous avons dans ce cas l'expression suivante:

(2.73)

La matrice T dépend de l'abscisse des ne points P, et en considérant la somme finie sur

ces points comme une somme infmie sur le corps, nous écrivons:

Nous avons alors:

ou sous forme matricielle: M 20 =

lt.B - m J r _ M20 =- T Tdr

[AB 0

(2.74a)

(2.74b)

(2.74c)




Ce qui après résolution des intégrales nous donne la matrice de masse généralisée d'un

corps défini par deux points :

[

ml m1] M _ 3 6 2o- m m

-1 -1 6 3

Cette matrice de masse est constante au cours du temps.

Pour les efforts actifs généralisés, nous avons :

(2.75)

(2.76)

T

Nous remplaçons la vitesse généralisée partielle V P,s par son expression en fonction

de V A,s et VB,s. ce qui donne :

np [V ]T Fsak = L VA,s . TT

P=l B,s

np ( - ) v T L 1--;- Fp F = [ A,s] P=l AB

p V np -B,s L_r_ Fp

l P=l AB .

(2.77)

Ainsi, nous avons l'expression de l'effort généralisé par analogie avec les cas précédents :

I(l- /: ) Fp Q

20 = P=l AB

np -L_r_ Fp P=lfAB

(2.78)

3.2.6 Les autres corps

Nous avons défini les matrices de masse et les vecteurs des efforts des éléments les plus

souvent rencontrés lors de la modélisation des systèmes multi-corps avec les coordonnées

naturelles. Néanmoins d'autres types de corps peuvent exister et ils sont généralement dus à un

nombre important de liaisons sur le corps. Dans ce cas, les entités comportent plus de points

et/ou de vecteurs que dans celles développées précédemment. Pour le calcul des matrices de

masse et les vecteurs des efforts de ces corps, nous utilisons l'une des entités défmies




précédemment, les points et les vecteurs de description supplémentaires sont attachés par des

équations de contraintes de corps rigides.

3.3 Actuateurs ou liaisons de déformation

Nous avons vu précédemment qu'il était très facile avec les coordonnées naturelles de

définir des liaisons cinématiques entre les différents corps. L'utilisation des modélisations

multi-corps nécessite le développement de liaisons de déformation qui vont caractériser toutes

les déformations de la structure et dissiper les énergies mises en jeu. Elles sont la

superposition d'une liaison géométrique avec un ressort non linéaire.

Ces ressorts sont de· deux types : - translation,

-rotation.

Nous présentons la façon de les intégrer dans un système multi-corps utilisant les

coordonnées naturelles. Les caractéristiques de ces ressorts non-linéaires peuvent être

obtenues de différentes manières, soit par le biais d'essais expérimentaux, soit par calculs

numériques ou soit par des modèles analytiques. Ces derniers, qui nous semblent les plus

adéquats pour des approches en phase de préconception, feront l'objet du prochain chapitre.

3.3.1 Ressort de translation

· Il crée un couple d'efforts constants ou dépendants du temps entre deux éléments du

système mécanique. Ces efforts sont, selon la direction de l'actuateur, de même norme et de

sens opposé. Avec les coordonnées naturelles, il faut définir les points aux extrémités de

l'actuateur de translation (points A et B Fig. 2.11). Nous avons ainsi un vecteur donnant la

direction de l'actuateur à tout instant dont nous notons la norme LAB. Considérons un ressort

de translation de raideur k et de longueur à vide Lo (Fig. 2.11)

raideurk Longueur à vide L0

Figure 2.11.: Ressort de translation.




Si nous considérons que la raideur k du ressort peut être fonction de la distance LAB

(c'est à dire implicitement du temps), nous avons un effort f qui s'écrit:

f=k(LAB)(LAB-Lo) (2.79)

Lorsque k est constant, nous sommes en présence d'un ressort linéaire. Nous écrivons

ainsi le vecteur des efforts externes créés par un actionneur de translation :

f [rA -rB] Qac,_, =L r -r

AB B A

(2.80)

Les trois premiers termes de ce vecteur sont relatifs au point A des coordonnées

naturelles, alors que les trois suivants concernent le point B. Ces termes seront additionnés au

vecteur des efforts actifs généralisés du système en tenant compte de leur point d'application.

3.3.1 Ressort de rotation

Les ressorts de rotation exercent un moment entre deux corps du mécanisme selon un

axe d'articulation commun à chacun d'eux (Fig. 2.12). Nous notons rn le vecteur directeur de

cet axe. Le moment développé est fonction de l'angle entre les deux corps, angle matérialisé

par deux segments [ij] et [ik] (Fig. 2.13a).

, Figure 2.12. Joints de déformation en rotation.

Nous pouvons écrire le moment qu'il développe comme suit :

M =k(09)59m (2.81)




pointj

pointi point k

Figure 2.13.a: Ressort de rotation. Figure 2.13.b: Efforts créés par un ressort de rotation.

La valeur de l'angle e n'est pas explicite. Elle est obtenue en étudiant les valeurs de

l'arcosinus du produit scalaire et de l'arsinus du produit vectoriel entre les segments [ij] et

[ik]. Notons aussi que la raideur k peut être dépendante de l'angle. Dans le cas contraire, nous

sommes en présence d'un ressort linéaire de rotation.

Pour faciliter l'exposé, nous nous sommes placés dans le cas où les points i, j et k se

trouvent dans un même plan (Fig. 2.13a). En fait il est possible d'utiliser des points non

coplanaires (Fig. 2.13b).

Connaissant maintenant la valeur du moment développé par le ressort de rotation, nous

pouvons le substituer par trois efforts fi, fj et fk appliqués aux points de description. Ces

efforts sont considérés dans le plan (i,j,k). Nous pouvons schématiser la substitution comme

suit:

(2.82a)

f. -r:. rk = ~~ _~\\A (k(ôe)ôe )rn (2.82b)

(2.82c)

Le vecteur des efforts actifs développés par un actionneur de rotation s'écrit de ce fait:




(2.82d)

Les trois premiers termes de ce vecteur sont relatifs au point i des coordonnées

naturelles, les trois suivantes au point j, et les trois dernières concernent le point k. Ces termes

seront additionnés au vecteur des efforts actifs généralisés du système en tenant compte de

leur point d'application.

3.4 Résolution et intégration numériques

3.4.1 Résolution numériQue

Nous avons vu que le système des équations dynamiques du mouvement s'exprime:

(2.83a)

Afin de résoudre numériquement ce système, nous l'écrivons sous la forme :

(2.83b)

Dans un premier·temps, nous validons les conditions initiales en positions, vitesses et

accélérations par une étude cinématique. Nous résolvons alors l'équation (2. 7) pour obtenir

les accélérations indépendantes q à l'instant (t+Llt). Puis nous déterminons le vecteur des

accélérations dépendantes r en résolvant l'équation (2.17) :

r = Xq+c"'

Cette opération ne nécessite aucun traitement particulier, puisque la matrice X et le

vecteur c* ont été définis lors de la détermination de l'ensemble des accélérations

indépendantes.

Les vecteurs position et vitesse, r et r, à l'instant (t+ilt), sont ensuite obtenus par

intégration numérique.




3.4.2/nté~ration numériaue

Ce schéma d'intégration consiste en la résolution du problème de Cauchy, c'est à dire

en la résolution d'un système différentiel du premier ordre avec conditions initiales. L'une des

méthodes les plus couramment utilisées pour cette intégration est l'algorithme de Runge-Kutta

d'ordre quatre [6,19]. Cette méthode consiste à remplacer l'intégration de dérivées d'ordre

deux par le calcul de fonctions d'évaluation en quatre points de l'intervalle de temps. Ces

fonctions sont :

ki=f(t,y) (2.84a)

(2.84b)

(2.84c)

(2.84d)

La solution numérique à l'instant (t+.1t) est exprimée en fonction de la solution précédente y(t):

y(t+.1t)=y(t)+ 1t (ki+2kz+2k3+k4) (2.84e)

L'algorithme de Runge-Kutta est dit explicite parce que la résolution de y(t+.1t) ne .

nécessite que la connaissance de l'état précédent y(t). De ce fait, nous n'avons pas besoin d'un

calcul itératif pour résoudre le système. Si cette méthode est simple, elle présente

l'inconvénient d'entraîner rapidement une violation des contraintes de liaisons, même pour des

systèmes simples. En effet, la résolution du système nous donne les accélérations du

mécanisme. Or ces équations sont obtenues en dérivant deux fois par rapport au temps les

équations de contraintes. Ceci signifie que l'intégration par rapport au temps s'applique aussi au

système d'équations suivant :

(2.85)

3.4.3 Stabilisation des éauations de contraintes

La première des solutions pour stabiliser les équations de contraintes consiste à

résoudre un système constitué à la fois des équations de contraintes et des équations de la




dynamique. De cette manière, les contraintes seront vérifiées en même temps que leur dérivée

seconde par rapport au temps.

Plusieurs méthodes existent pour la résolution de ces systèmes algébro-différentiels.

Citons les solveurs ·utilisant la prédiction-correction [20] tel que celui de Gordon-Shampine

[21] ou encore la méthode de Runge-Kutta implicite. Toutefois, ces méthodes sont lourdes à

mettre en oeuvre et ne sont pas sans problème de stabilité [22].

Nous avons choisi une autre alternative en utilisant la méthode de stabilisation de

Baumgarte [23]. Elle consiste à remplacer le vecteur des équations de contrainte (2.85) par

celui qui suit :

(2.86)

Les constantes a et P sont ordinairement choisies identiques et ont une valeur comprise

entre 1 et 20 [24-25].

La solution générale de ce système d'équations différentielles est :

(2.87)

Ici, les vecteurs constants 3t et 32 dépendent des conditions initiales, et par conséquent

ils prennent en compte les termes constants des équations de contraintes. En général, les

positions ·et vitesses initiales du mécanisme garantissent que les vec.teurs 3t et 32 sont nuls.

Ainsi, ·si les erreurs numériques altèrent cette condition, la partie réelle négative de

l'exponentielle amortira les erreurs lors de l'intégration numérique.

La méthode de stabilisation des équations de Baumgarte à l'avantage d'être simple,

efficace et très peu gourmande en temps de calcul. Cette méthode a été largement utilisée.

Nikravesh propose une étude comparative de l'intégration numérique des équations du

mouvement avec d'une part un système algébro-differentiel, et d'autre part une stabilisation de

Baumgarte [26]. Il conclut que cette dernière est deux fois plus efficace que la résolution du

système mixte. Toutefois, cette méthode ne résout pas toutes les instabilités, particulièrement

au voisinage des singularités cinématiques [27], nécessitant alors une diminution du pas de

temps d'intégration.




4. Conclusion

Nous avons développé une modélisation des systèmes mécaniques articulés rigides

avec les coordonnées naturelles, associée à une formulation des équations de la dynamique

selon le principe de Kane. L'écriture des équations du mouvement sous forme matricielle a

dégagé plusieurs avantages du couplage de ces deux concepts.

En premier lieu, nous avons montré que la matrice des vitesses généralisées partielles

était facilement obtenue par une diagonalisation de Gauss-Jordan. Cette matrice nous permet

d'écrire un système d'équations différentielles du premier ordre à nddl inconnues. La

résolution de ce système nous donne alors le vecteur des accélérations généralisées. Par la

suite, le calcul du vecteur des accélérations descriptives n'est pas pénalisant au regard du

temps gagné en ne résolvant qu'un système purement différentiel et de plus minimal, surtout

que cette manipulation n'utilise que des matrices ayant été calculées auparavant.

D'autre part, nous avons défini les caractéristiques analytiques des corps rigides décrits

par les entités suivantes :-deux points et deux vecteurs unitaires,

- trois points et un vecteur unitaire,

- quatre points,

- deux points et un vecteur unitaire,

- deux points.

Nous sommes ainsi en mesure de décrire tout système mécanique articulé en utilisant

les coordonnées naturelles, et de définir les matrices de masse et les vecteurs des efforts

appliqués de chacun de ses corps pour, après assemblage, écrire les équations de la

dynamique selon Kane.

La résolution de ces équations de la dynamique est réalisée avec l'algorithme de Runge

Kutta, auquel est associé une stabilisation de Baumgarte.

Nous allons maintenant nous intéresser, dans le chapitre suivant, à la détermination des

caractéristiques des ressorts non linéaires, mais aussi à la construction du modèle multi-corps

où il est indispensable de positionner judicieusement les zones qui vont subir de grandes

déformations en flexion et en compression.




Références Bibliographiques du Chapitre 2

1. NIKRA VESH P.E. : Computer Aided Analysis of Mechanical System, éditions

Prentice Hall (1988).

2. NIKRA VESH P.E., GIM G. : "Systematic construction of the equations of motion for

multibody systems containing closed kinematic loops ", Proc. ASME Design

automation conference, Montreal, Canada, pp. 27-33 (1989).

3. NIKRA VESH P.E., AMBROSIO J.A.C. : "Systematic construction of equations of

motion for rigid-flexible multibody systems containing open and closed kinematic

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Chapitre3: Outils d'aide à la modélisation multi-corps du choc des structures 55

CHAPITRE 3:

1. Introduction

Outils d'aide à la modélisation

multi-corps du choc des structures Dans cette partie, nous présentons des modèles analytiques qui permettent

de déterminer très rapidement la résistance à l'effondrement de structures à parois

f1!inces et à géométrie relativement complexe lorsqu'elles sont soumises à des

chargements de compression axiale ou de flexion pure. Les trois phases du

processus de déformation, à savoir les phases de pré-effondrement, d'effondrement

et de post-effondrement sont traitées. Nous montrons ensuite la nécessité de

localiser les zones de dissipation énergétique qui seront prise en compte dans le

modèle mu/ti-corps par le biais de joints de déformation. Nous proposons une

méthode d'aide à la construction d'un modèle mu/ti-corps représentatif du

comportement au choc de la structure à étudier.

Dans le chapitre 2, un code de modélisation spatiale multi-corps, CRASH-3D,

développé à partir de la méthode de Kane en coordonnées naturelles, a été présenté. Cette

approche globale de prédiction du comportement au choc d'une structure nécessite

l'obtention des caractéristiques en compression et en flexion des différentes sous-structures

où les déformations plastiques sont localisées. Elles peuvent être obtenues soit par des calculs

éléments finis non-linéaires statiques, soit par des essais expérimentaux. Cependant, ces

approches, lourdes et longues à mettre en œuvre, ne permettent pas de répondre dans des

temps très courts aux objectifs d'une approche en phase de préconception. Ceci justifie

l'utilisation des modèles analytiques afin d'obtenir rapidement les réponses à l'effondrement

de ces sous-structures.

Les modèles cinématiques en compression et en flexion pure sont le résultat des

travaux pionniers de Wierzbicki et Abramowicz [1-10] et de Kecman[ll-13]. Ces modèles

Contribution au développement d'une méthodologie de conception

au choc des véhicules automobiles en phase d'avant projet.

Chapitre]: Outils d'aide à la modélisation multi-corps du choc des structures 56

sont efficaces et adéquats, mais sont limités, notamment dans le cas de la flexion, à un

domaine restreint de sections transverses. Les travaux de Kecman, qui ont été

particulièrement concentrés sur l'effondrement de tubes à sections rectangulaires pour des

applications liées aux problèmes de retournement de bus, ont abouti au développement d'un

modèle cinématique en flexion et au développement du programme informatique WEST[14].

Toutefois, ce modèle est limité aux profilés à épaisseur unique et dont la section est à angles

droits, et ne présente pas de description détaillée des phases de pré-effondrement et

d'effondrement. Au cours de ces quinze dernières années, Wierzbicki et Abramowicz, qui

sont à l'origine des concepts de super éléments de pliage et super éléments poutre ont

développé le programme informatique commercial CRASH-CAD [15]. Dans sa dernière

version, CRASH-CAD est un outil de conception complet utile pour un grand choix de

structures prismatiques soumises à un chargement en compression axiale, à un chargement en

flexion ou à un chargement combinant flexion et compression. Cependant, la théorie qui est à

la base de la plupart des récents développements n'est pas accessible en lecture grand public.

En ce qui concerne notre domaine d'action dans le développement d'outils de

modélisation simplifiée basés sur une approche multi-corps, de nouveaux modèles ont été

développés et certains des modèles existants ont été améliorés (,lans le but d'étendre leur

domaine de validité à une plus large gamme d'éléments géométriques [16-20, 22-24].

Grâce à ces modèles, la résistance à l'effondrement est calculée de manière analytique

pour des structures rectilignes à parois minces à géométrie arbitraire. Ces tubes minces sont

des pièces essentielles de châssis automobiles et ferroviaires qui absorbent l'énergie par la

déformation plastique, et ainsi préservent la sécurité des passagers. La résistance à

l'effondrement peut être utilisée comme une donnée d'entrée dans les joints de déformation

d'un programme de simulation multi-corps bi- ou tridimensionnelle [21,25,27]. Dans un

élément tel qu'une barre ou un ressort non-linéaire, ce dernier modèle, connu sous la

dénomination de «modèle hybride», permet de réduire remarquablement le nombre

d'éléments coques et poutres dans un modèle de conception, et donc d'accroître la vitesse de

calcul [26,28]. Nous nous proposons de présenter brièvement ces modèles analytiques de

caractérisation du comportement en compression axiale et en flexion pure, en vue d'une

utilisation dans une approche multi-corps tridimensionnelle.



Chapitre3: Outils d'aide à la modélisation mu/ti-corps du choc des structures 57

Si la détermination des caractéristiques d'effondrement est indispensable à la

détermination des caractéristiques des ressorts du modèle multi-corps, il faut néanmoins

pouvoir positionner judicieusement les différents joints de déformation lors de la construction

du modèle. Nous proposons une méthode efficace d'aide à la décision pour le positionnement

des zones subissant de grandes de déformations plastiques en compression axiale ou en

flexion pure. Cette méthode est basée sur une utilisation de résultats d'un modèle global

élément finis poutres élasto-plastiques pour structures à parois minces de section transverse

complexe couplés avec les résultats de modèles analytiques. Elle présente l'avantage de tenir

compte, en phase de pré-effondrement, d'un chargement arbitraire couplant la compression et

la flexion

2. Réponse de l'effondrement en compression axiale

Les déformations d'une structure linéique à parois minces sont dues à des chargements

de compression et de flexion. Comme il est montré sur la figure 3.1, la réponse typique d'une

colonne prismatique se décompose en trois phases identifiées par le pré-effondrement,

l'effondrement et le post-effondrement.

La phase de pré-effondrement, qui correspond principalement ~ux déformations

élastiques ·ou élasto-plastiques, fait intervenir, dans un premier temps, la compression

uniforme qui détermine la position d'équilibre. Dans un deuxième temps, après bifurcation de

cet état d'équilibre, intervient le post-flambement où chaque plaque est soumise à des

chargements ôe compression et de flexion. Pour des structures à section transversale épaisse,

des déformations plastiques peuvent apparaître avant l'instabilité de flambement. Dans ce cas,

la compression uniforme est suivie par une compression plastique jusqu'à l'apparition de

l'instabilité. Au point d'effondrement, la colonne atteint sa charge ultime (pic). Au delà,

caractérisée par la phase de post-effondrement, la colonne subit de grandes déformations

latérales qui provoquent la chute de l'effort instantané. Comme l'effondrement en

compression axial est caractérisé par la formation de plusieurs lobes plastiques tout au long de

la colonne, un effort moyen à l'écrasement Pm peut alors être extrait.

La présente démarche restitue séparément chaque étape du processus de déformation

de sorte qu'une caractéristique entière d'écrasement est définie pour des sections à parois




minces métalliques de géométries complexes.

p (N) pré-effondrement

~-- effondrement (charge ultime)

/

post-effondrement (écrasement)

effort moyen d'écrasement (Pm)

ô (rn)

Figure. 3.1.: Caractéristiques d'écrasement d'une colonne prismatique.

2.1 Phases de pré-effondrement et d'effondrement

Une plaque isolée, simplement appuyée dans la direction du chargement, est

considérée. La charge ultime varie selon la géométrie, les propriétés matérielles et selon le

mode de flambement, ce mode de flambement pouvant être initié par des imperfections. Dans

les tests et les simulations, deux modes d'écrasement apparaissent généralement, le mode

asymétrique (Fig.3.2a) et le mode symétrique (Fig.3.2b). Dans le cas d'un mode asymétrique,

les bords libres de cette plaque sont considérés comme rotulés. Ils sont considérés comme

encastrés si lé mode d'éc"rasement est symétrique.

~ ~ l'llo.. ,~ f ' ill"'" ~IJ \. J ..... ,

a b

Figure. 3.2.: Mode de flambement d'une colonne prismatique a- asymétrique b- symétrique.

Dans ce chapitre, seul le calcul du mode d'écrasement asymétrique sous chargement

quasi- statique est présenté. Les détails concernant le mode d'écrasement symétrique et

l'application au chargement dynamique sont fournis en références [ 17, 18].



Chqpitre3: Outils d'aide à la modélisation multi-corps du choc des structures 59

Les expressions suivantes, pour les champs de déplacement en compression et en

flexion satisfaisant les conditions limites, sont utilisées:

et

x u=-uOL

• ( 1r ) • (ntr ) w =w0 sm ï;Y sm Lx

(3.1)

(3.2)

où U0 est l'amplitude maximale due à la compression, Lest la longueur de la plaque, W 0 est

l'amplitude maximale due à la flexion, b est la largeur de la plaque et n est le nombre de

lobes élastiques. Afin de prendre en compte les imperfections géométriques initiales, un

champ de déplacement en flexion additionnel, w , du même type que (3.2) peut être défini

[10].

L'énergie potentielle totale s'écrit comme suit:

(3.3)

où,

W· W -~ eq-

bi (3.4)

correspond à l'amplitude du déplacement latéral pour une plaque de largeur unitaire.

Les deux premiers termes du côté droit représentent le travail des efforts intérieurs

provoqués par la flexion et l'action de la membrane, et le troisième terme correspond au

travail des efforts extérieurs.

Les énergies de flexion et de membrane sont exprimées comme suit:

1 J 2 -T -u1 =2 z 1e CKdV v



(3.5)

(3.6)

Chapitre3: Outils d'aide à la modélisation multi-corps du choc des structures

où

[Ex.x] [ -w,xx l E = Eyy , K = -W, yy et C = Yxy -2w,xy

0 1 0 1

1- v 1

2J

60

(3.7)

e , 1ë et C représentent respectivement le vecteur des déformations, le vecteur des courbures

et la matrice constitutive du matériau en contraintes planes.

La condition d'équilibre 8II = 0 donne l'effort de post-flambement Pet une équation

couplant les déplacements en compression et ceux en flexion.

Le déplacement critique, Uer, est obtenu pour un déplacement latéral nul ( Weq = 0). La

substitution de Uer dans l'expression de P fournit le chargement critique pour un flambement

élastique P cr· Comme l'ont montré Wierzbicki et Huang, lorsque la colonne est de forte

épaisseur, la section peut être entièrement plastifiée avant d'atteindre la valeur critique de

flambement élastique. En effet la capacité maximale de dissipation d'énergie plastique par

une section non déformée est représentée par le «squash load»:

Psq = a0bt avec b la largeur de la plaque et t l'épaisseur.

Par conséquent :

- si P cr< P sq le flambement est élastique,

- si P êr > P sq le flambement est plastique.

si Pcr < Psq , la réponse en compression uniforme est suivie de la phase de post-flambement

qui est en relation avec le champ de déplacement axial, u, et le champ de déplacement latéral

normé, Weq· La charge maximale, Pu, est obtenue en utilisant le critère de plasticité de von

Mises en contraintes planes:

(3.8)

où Go est la limite élastique du matériau.

Le premier point de plastification Pu apparaît sur les lignes de coin et à hauteur d'une




demi longueur d'onde de flambement. Suite à l'équation (3.8), le critère prend la forme

suivante:

(3.9)

- Si P cr > Psq. les déformations plastiques apparaissent avant l'instabilité du flambement

élastique et la compression uniforme est alors suivie d'une compression plastique jusqu'au

point d'instabilité. Suivant cette dernière procédure, la théorie unifiée du flambement

plastique de Stowell [32], avec une condition d'incompressibilité du matériau, est utilisée

pour déterminer la contrainte critique de flambement plastique, <1er·

Dans ce cas, la matrice constitutive du matériau utilisée dans l'expression de l'énergie

de flexion s'écrit comme suit:

r 1 ol 1

c1 2 1

.i.Eil. ol où, 1 3 E

(3.10) c = 1 c =-+-~ 3 SI 2 Il

1 4 4 E s

lo 0 :;j

Pour déterminer le module sécant, Es, et le module tangent, Er , la courbe de

contrainte-déformation est idéalisée par le modèle suivant:

(3.11)

où eo est la déformation à la limite élastique <Jo, e est la déformation courante et m le

coefficient d'écrouissage du matériau. Par conséquent:

G Em-1 d<J Em-1 E - - - (f -- et E =- =ma -

t - E - 0 Eo s dE 0 Eo (3.12)

La charge ultime est donc égale à la somme de chacune des charges sur les plaques

isolées constituant la section :



Chapitre]: Outils d'aide à la modélisation mufti-corps du choc des structures

np

Pu= L<1crtb i=l

où np est le nombre de plaques constituant la section.

2.2 Phase de post-effondrement

62

(3.13)

Comme indiqué en Fig. 3.3 la caractéristique de compression axiale est obtenue par le

modèle cinématique mixte généralisé d' Abramowicz et de Wierzbicki [7]. La théorie est

basée sur l'observation qu'un élément coin d'un profilé prismatique ne peut se déformer

qu'en un nombre limité de modes d'effondrement plastique, principalement les modes

asymétrique et symétrique. Le modèle cinématique décompose le processus de pliage en deux

phases. La première est contrôlée par le mode quasi-inextensible ou asymétrique (Fig. 3.4.a).

L'angle de rotation a de la plaque est choisi de façon à représenter une variable indépendante

du processus (paramètre temporel). Ce mode d'effondrement persiste jusqu'à une

configuration intermédiaire a et engendre trois zones de déformation plastique:

- une surface toroïdale B où sont confinées les déformations en extension selon

la direction circonférentielle,

- deux lignes de plia,ge horizontales stationnaires ABC,

- deux lignes de pliage inclinées mobiles LBO.

En ce point, le mode extensible prend le contrôle du processus d'écrasement. Ce mode

d'effondrement persiste jusqu'à la configuration finale lXJ et engendre également trois zones

de déformation plastique:

- deux surfaces coniques de déformation en extension WD et ODD ,

-deux lignes de pliage horizontales stationnaires ADBC,

- deux lignes de pliage inclinées stationnaires LBO.

Pour a= 0, le modèle est représentatif du mode d'écrasement symétrique (Fig. 3.4.b)

et seules les trois dernières zones de déformation plastique sont actives.

Les modes d'effondrement précédemment décrits sont des simplifications des modes

de déformées expérimentales représentées en Fig. 3.5.



Chapitre]: Outils d'aide à la modélisation mufti-corps du choc des structures 63

c

Figure 3.3. : Modèle cinématique mixte généralisé [7].

Figure 3.4.a : Mode naturel de pliage asymétrique [2]. Figure 3.4.b: Mode naturel de pliage symétrique [3].

a. b.

Figure 3.5. : Echantillons après écrasement : a. asymétrique - b. symétrique.

En idéalisant le comportement du matériau comme étant rigide-parfaitement plastique

caractérisé par une contrainte d'écoulement équivalente O'o, le théorème des puissances



Chapitre3: Outils d'aide à la modélisation mufti-corps du choc des structures 64

virtuelles est utilisé pour résoudre le problème. La méthode consiste à calculer la force

d'écrasement instantanée pour chaque élément coin composant la section et à additionner ces

forces élémentaires.

(i) A l'équilibre, les puissances interne et externe doivent être égales:

Wint = Wext = P(a) (3.14)

où,

nhl

Wint = J(MapKap+NapÉap)dS + LJ Mo(i) (è(i)]dz(i) s i=l 1.5;) '

(3.15)

(ii) La force d'écrasement instantanée est ainsi calculée :

M 6

P(a) 8 = LL Ni W;j (3.16) i=l j=l

OÙ wij = f (X) sont les puissances dissipées dans les différents mécanismes plastiques

exprimées en fonction du vecteur des inconnues X· M est le nombre d'éléments coins

constituant la section et Nj est le nombre de contributions pour èhacune des six zones de

déformation plastique représentatives d'un élément coin déformé.

A l'aide d'une procédure de minimisation par rapport à x , l'effort moyen

d'écrasement est obtenu:

M 6

pm8eff = LLNj W;j (3.17) i=l j=l

où 8eff est la distance d'écrasement effective.

Ce modèle, limité aux sections transversales mono-épaisseur, a été étendu au cas de

structures plus complexes à sections transversales moiti-épaisseurs.

La configuration initiale (Fig. 3.3) , définie par la largeur C de l'élément coin, a été

divisée en C1 et C2 pour l'épaisseur de chaque plaque t1 et t2• L'angle adjacent entre les deux




plaques est 2 'P0 • Les paramètres d'entrée du modèle sont alors:

(3.18)

Pour le calcul de l'effort moyen d'écrasement de structures à np plaques à épaisseurs

et angles arbitraires, lorsque le premier lobe plastique apparaît, les lignes de pliages inclinées

et les zones d'extension sont supposées situées sur la plus mince des deux plaques (tJ). Pour

les lobes suivants, ces mécanismes de dissipation d'énergie alternent entre les deux épaisseurs

des éléments coin (tJ et t2).

Basé sur cet as~emblage, le calcul de l'énergie dissipée dans les différentes zones de

déformation peut être formulé de nouveau.

En appliquant la procédure de minimisation par rapport à z, et après assemblage des

efforts élémentaires de chaque élément coin, l'effort d'écrasement moyen du i ème lobe, Pmu

, est obtenu:

M 6

P. s: ,H = "" "" N . w. mu u eJJ ~ ~ 1 1) (3.19)

i=l j=l

Dans le cas de sections multi-épaisseurs, l'effort d'écrasement moyen Pmu de deux

lobes consécutifs est différent à cause de l'alternance des deux épaisseurs de chaque élément

coin. L'objectif n'est pas d'obtenir le profil d'écrasement entier de la colonne mais

simplement ~e décrire la· réponse instantanée du premier lobe. Pour les N-1 lobes suivants,

pouvant apparaître sur une colonne de longueur L et qui peuvent être en nombre pair ou

impair, nous utilisons l'effort global d'écrasement moyen , Pm. qui prend en compte les deux

épaisseurs alternatives, t1 et t2:

1 N I,Pm,·l N -1 il=2

(3.20)

où le nombre impair il correspond à une section mince t1 et le nombre pair il correspond à

une section épaisse t2.



Chqpitre3: Outils d'aide à la modélisation mufti-corps du choc des structures 66

3. Réponse de l'effondrement en flexion pure

Comme pour la compression axiale, la courbe de réponse typique d'une colonne

prismatique sollicitée en flexion pure se décompose en 3 phases (Fig.3.6).

La phase de pré-effondrement correspond à des déformations élasto-plastiques. Dans

le cas d'un flambement élastique, le point «A» caractérise le moment critique Mer (Fig.3.6.a).

Une seconde phase de post-flambement apparaît lorsque chaque plaque est soumise à des

déplacements transversaux. Au point d'effondrement (B-B'), le moment atteint un maximum

(ou pic). Dans le cas de structures à section transversale épaisse, des déformations plastiques

apparaissent avant l'instabilité du flambement. Le comportement élastique est dans ce cas

suivi par une phase élasto-plastique jusqu'à apparition de l'instabilité plastique (Fig.3.6.b). La

phase de post-effondrement provoque alors une diminution du moment et de grandes

déformations plastiques en flexion.

M pré-effondrement B effondrement

Mer Mo

post-effondrement

0 8 Flambement élastique (a)

0 8 Flambement plastique (b)

Figure 3.6. : Courbes typiques de réponse du comportement en flexion a- flambement élastique, b- flambement plastique.

La démarche analytique qui suit traite séparément chaque étape du processus de

déformation pour la détermination des caractéristiques en flexion de profilés à parois minces

à sections arbitraires.




3.1 Phases de pré-effondrement et d'effondrement

Nous étudions dans un premier temps le mode de flambement de la section. Comme

montré par Dutheil [33], entre autres, la section peut être considérée comme un assemblage

de plaques liées par des conditions aux limites (Fig. 3.7). La nature et l'intensité du

chargement subit par ces plaques est fonction de leur position par rapport à la fibre neutre:

- plaques uniformément comprimées,

- plaques uniformément tendues,

-plaques subissant un chargement de compression linéairement réparti,

- plaques subissant un chargement de tension linéairement réparti.

L'équilibre de chaque plaque est étudié afin de déterminer le mode de flambement et la

contrainte critique de flambement crcr (Fig. 3.8).

Mahendran [34] a défini un outil mathématique, utilisant les éléments finis et les

séries de Fourier, pour déterminer le comportement d'une plaque soumise à des chargements

combinés de compression et de cisaillement. En suivant la même procédure, des

modifications ont été faites de manière à satisfaire les conditions d'une plaque fléchie et

d'assurer une répartition du mom~nt constant le long qe la longueur d'onde de flambement.

Les champs de déplacement suivants sont définis:

où, f3m=m7dL et m sont les termes de la série de Fourier (m=l,2,3, ... ).



(3.21)

(3.22)

(3.23)


Figure 3.7.: Décomposition d'un profilé en éléments plaques.

Figure 3.8. : Champs de déplacement.

En fiH de compression, la contrainte dans la plaque atteint une valeur critique pour

laquelle des déplacements transversaux w, dus au voilement, commencent à apparaître. Ces

derniers provoquent une consommation énergétique de flexion supplémentaire. L'énergie

potentielle totale s'écrit alors comme la somme des énergies de flexion, de membrane et du

travail extérieur:

(3.24)

U 1 et U m ont les mêmes expressions que celles définies pour le pré-effondrement en

compression dans les équations 3.5 et 3.6. Pour obtenir le moment critique, la méthode de

Ritz est utilisée en minimisant la fonctionnelle TI par rapport aux degrés de liberté qui sont les

inconnues (U;, V;, Ui, Vi, W; 8;, Wi, Si) :




dii = ù II dU. + ù II dV, + ù II dU. + ù II dV. ùu. 1 ùV: 1 ;;u. ' ;;v. ' 1 1 J J

ùii ùii {)[] ùii + ùW.dW;+ {)(}. d6;+ ùW. d~ + {)(}. d(Jj =0

1 1 J J

(3.25)

Un assemblage de toutes les plaques est effectué afin d'obtenir le comportement

global du profilé. La minimisation de la fonctionnelle ll donne lieu à un système de deux

équations dont la première permet d'obtenir les déplacements Ui, Uj, Vi et Vj en fonction de

la contrainte critique et la seconde définit un système aux valeurs propres. La résolution de ce

système aux valeurs propres permet d'obtenir le mode propre de voilement et la contrainte

critique de flambement élastique O'cr· Cette théorie n'est cependant pas directement applicable

à la phase de post-flambement car la formulation de l'énergie de membrane ne prend pas en

compte les déplacements transversaux.

Le champ de déplacement, contrairement aux modèles de compression [9,10,17,18],

ne peut être pré-défini car la plaque subit un chargement non constant qui est fonction du

chargement de chaque bord.

Par conséquent, nous utilisons le mode de voilement comme champ de déplacement

de manière à décrire la phase de post-flambement [23].

Nous considérons que le mode de voilement reste inchangé. De ce fait, en introduisant

le déplacement transversal dans l'énergie de membrane, nous pouvons reformuler la

fonctionnelle n :

(3.26)

où A0 est l'amplitude de la déformation, 80 est l'angle de flexion et u0 est le raccourcissement

de l'axe neutre .

En minimisant n par rapport aux variables A0 , 80 et u0 , nous obtenons un système de

trois équations algébriques non-linéaires. Par résolution de ce système, nous déterminons

l'équation de la fibre neutre et la courbe de post-flambement. Ensuite, en utilisant le critère de

plastification de von Mises en contraintes planes, nous déterminons le moment ultime de

flambement élastique à l'effondrement:




(3.27)

Cependant, dans le cas de sections à parois épaisses, des déformations plastiques

apparaissent avant l'instabilité de flambement. Le comportement élastique est alors suivi par

une phase élasto-plastique. Le chargement augmente jusqu'à apparition de déplacements

transversaux et initie l'instabilité. Dans ce cas, en suivant la même démarche que celle

proposée par Stowell [32], avec une condition d'incompressibilité du matériau, nous

déterminons la contrainte critique de flambement plastique.

3.2. Phase de post-effondrement

Comme il est indiqué sur la figure 3.9, les coins subissent des déplacements uniformes

qui dépendent de leur position par rapport à la position de l'axe neutre. Ceci souligne le fait

qu'une plaque isolée subit un chargement de flexion (ui;tui) associé à un chargement de

compression axiale (ui;é()).

bordi

0 section

Figure 3.9. : Déplacements dus à la flexion.

Par conséquent, la superposition du modèle quasi-inextensible de Wierzbicki et

Abramowicz [7] et du modèle de Kecman [13] nous permet d'étudier la combinaison de leur

comportement respectif (Fig. 3.10). Cependant, l'utilisation d'éléments coins pour décrire

l'effondrement de la section en flexion provoque des discontinuités en coupant certains

mécanismes plastiques du modèle de Kecman. C'est pourquoi, pour le développement d'un

modèle généralisé en flexion cinématiquement admissible, la section a été décrite par des

éléments plaques liés par des conditions limites [23].




Figure 3.10. : Superposition du modèle quasi-inextensible de Wierzbicki et Abramowicz et du modèle de Kecman.

Cette superposition aboutit à cinq modèles de base ou mécanismes (Fig. 3.11)

représentatifs du comportement à l'effondrement de plaques horizontales et verticales ou

inclinées d'un profilé de géométrie arbitraire. Pour les plaques verticales ou inclinées, les

mécanismes sont différenciés par le type de plaque (aile libre ou plaque connectée aux deux

bords), et par la direction du mouvement des lignes de coin.

Lors de l'étude d'une section transversale quelconque, le choix des différents

mécanismes cinématiques est conditionné simplement à partir de l'étude du mode de

flambement. Comme ces modèles diffèrent principalement par leur comportement au niveau

des lignes de coin pour une plaque, la comparaison des déplacements transversaux des deux

plaques qui composent la ligne de coin impose son mécanisme d'effondrement. Le

mécanisme cinématique global est obtenu après assemblage de toutes les plaques.

Une description géométrique et cinématique est ensuite réalisée dans le but de

quantifier l'énergie dissipée dans les différents mécanismes plastiques de chacun des cinq

modèles de base. Un exemple d'assemblage de ces mécanismes est montré à la figure 3.11

pour un profilé à section rectangulaire à partir du mode de voilement obtenu. Sur cette figure,

nous pouvons observer que le comportement est déterminé pour chaque coin, en comparant

les déplacements transversaux des différentes plaques. Une recherche du mode cinématique

correspondant à chaque plaque est effectuée parmi les cinq mécanismes de base. La section

est décrite de la plaque la plus éloignée de la fibre neutre vers la plaque la plus proche.



Chapitre3: Outils d'aide à la modélisation mufti-corps du choc des structures

DECOMPOSITION DU MODE DE VOILEMENT EN MODELE CINEMATIQUE

Mode!

Mode2

Mode4

ModeS

- - Section initiale -Mode de

flambement -Modèle

ci

r -· . . 1 .

1 1

Figure 3.11.: Modèles de base extraits de la superposition des modèles compression/flexion.



72

Chagitre3: Outils d'aide à la modélisation multi-corps du choc des structures

Section initiale

- Mode de flambement Modèle cinématique

Figure 3.12. : Exemple d'assemblage des différents mécanismes de base pour un profilé à section rectangulaire.

73

En flexion, la position de la fibre neutre est fixée de manière à équilibrer 1' effort entre

la partie _comprimée et la partie tendue. Dans le domaine élastique, elle se situe au centre de

gravité de la section et au cours de la plastification, elle évolue vers la position qui équilibre

la surface tendue et la surface comprimée. L'apparition de déplacements transversaux,

engendrés par l'instabilité des parois comprimées, réduit la capacité de la partie comprimée à

supporter un effort. Nous observons alors le déplacement de la fibre neutre vers la partie

tendue. Cette évolution s'accentue avec l'angle de pliage. Payen [23] propose une méthode

efficace pour la détermination de la position de la fibre neutre en annulant la somme totale

des efforts PtotaJ dans la section à chaque incrément d'angle (Fig. 3.13):

(3.28)

rL Mof(9) rL Mo Vt avec Pcin = Jj dl pour une ligne de pliage stationnaire et Pcin = Jj

9. dl pour une

o y(l) o y(l) r



Chapitre3: Outils d'aide à la modélisation multi·corps du choc des structures 74

ligne de pliage mobile. P~astoplas etP;lastoplas sont respectivement les efforts élasto-plastiques

de la zone comprimée et de la zone tendue obtenus par intégration du champ de contraintes

obtenu en considérant une répartition linéaire des déformations.

p . Modèle cinématique cm

p

Figure 3.13. : Evolution de la contrainte après effondrement.

Le théorème des puissances virtuelles est employé pour déterminer le moment

instantané d'effondrement en flexion (le comportement du matériau est supposé élasto

plastique à écrouissage linéaire):

np

I,wint M _ ..:.:i=~l-:--

- 29 (3.29)

où wint = !(x) est la puissance interne dissipée dans les différents mécanismes de chaque

plaque qui dépendent de X· X est le vecteur des paramètres inconnus déterminés étape par

étape en minimisant la puissance instantanée.




4. Localisation des zones subissant de grandes déformations

Dans cette partie, nous nous intéressons à la localisation des zones qui subissent de

grandes déformations plastiques.

4.1 Introduction

Nous avons vu que la modélisation multi-corps nous permet de prendre en compte ces

zones de déformation par l'utilisation de joints de déformation qui sont la superposition de

liaisons cinématiques ,avec des ressorts non-linéaires de translation· ou de rotation. Nous

venons de voir que les modèles analytiques sont des outils performants quant à la

détermination des caractéristiques de ces ressorts. Si les non-linéarités matérielles sont prises

en compte par le biais des modèles cinématiques, il reste cependant à prendre en compte les

non-linéarités géométriques de la structure à modéliser. Et il se pose le problème de la

détermination de la position des joints de déformation dans le modèle multi-corps. Ces joints

sont de deux types différents:

-joint de déformation en compression,

- joint de déformation en flexion.

Les grandes déformations plastiques sont modélisées par des ressorts et amortisseurs

non-linéaires. Une déformation dont le comportement global est axial est modélisée par

l'association d'un joint de translation avec un ressort rectiligne (Fig. 3.14.) alors qu'une

déformation dont le comportement global est tridimensionnel est modélisée par un joint de

révolution avec un ressort de rotation (Fig. 3.15).

11-sgvv\J§®GJ 1

Figure 3.14.: Joint de déformation en compression.



Chqpitre3: Outils d'aide à la modélisation mu/ti-corps du choc des structures 76

Figure 3.15. : Joint de déformation en flexion.

La localisation des zones de grandes déformations est un outil indispensable à la

construction d'un modèle multi-corps pour la modélisation du choc structurel. Le modèle doit

reproduire une cinématique de déformation de la structure représentative de la réalité. La

méthode de localisatiçn permet d'optimiser le nombre de joints de déformation et évite donc

d'accroître les temps de calcul par une augmentation du nombre de degrés de liberté induits

par une surabondance de ressorts non-linéaires. Nous utilisons un modèle éléments finis

poutre élasto-plastique à parois minces sous chargement dynamique pour la localisation des

zones de grandes déformation plastiques.

Dans le cas de structures complexes, le type de sollicitation est arbitraire et combine la

compression, la flexion et éventuellement la torsion sous chargement dynamique. La phase de

post-effondrement est assumée en compression axiale ou en flexion, pure quelque soit le mode

de chargement. Seules les phases de pré-effondrement sont affectées par le type de

chargement. Or, dans le cas des modèles analytiques celles-ci sont limitées à des chargements

primaires (axial pour la compression, de type cantilever ou quatre points pour la flexion). En

outre, dans le cas de la -flexion, la sensibilité du matériau à la vitesse de déformation et les

effets d'inertie dynamique latérale des plaques ne sont pas pris en compte.

Le modèle poutre éléments finis utilisé pour la localisation règle les limitations des

modèles analytiques en décrivant une phase de pré-effondrement plus réaliste. Ce modèle

poutre permet en plus de déterminer, dans le cas de la flexion, l'orientation du plan de flexion

indispensable au calcul du post-effondrement avec le modèle analytique en flexion.




4.2 Modèles éléments finis poutres élasto-plastiques à parois minces sous chargement

dynamique

4.2.1 Présentation de l'élément poutre

Les modèles poutres implémentés dans le code de calcul P AM-CRASH"" [38] sont

basés sur la formulation de Belytschko-Schwer [39] et sur la théorie des poutres d'Euler

Bemouilli. La particularité de cet élément poutre est d'être efficace dans le cas des grands

déplacements et grandes rotations. La technique de co-rotation, introduite pour l'élément

poutre par Belytschko et Schwer, décompose le champ de déplacement en un champ de

déformation et ~n champ de déplacement de corps rigide en utilisant deux systèmes de

coordonnées (Fig.3.16). Le premier système de coordonnées est le système nodal, il est fixé à

chaque noeud et solidaire de son mouvement. Le second système, qui se déforme avec

l'élément, est appelé le système élémentaire. Les déformations sont déterminées en comparant

les orientations du système élémentaire à un système de référence, après avoir soustrait les

déplacements de corps rigides à l'aide du système nodal.

z

( x, y, z) système nodal

( i, 9, 2) système élémentaire

(X,Y,Z) système global

Figure 3.16. :Représentation des différents repères associés à l'élément poutre.

Un modèle poutre élasto-plastique général (type 213 [38]) a donc été développé pour

des sections à parois minces de géométries arbitraires. L'utilisateur a, dans ce cas, la

possibilité de particulariser sa section en la décomposant par des points d'intégration

pondérés pour une meilleure évaluation des moments de flexion et des termes de couplage

compression/flexion dans le domaine plastique. La section transversale de la poutre est

décomposée en un nombre de secteurs (Fig. 3.17). Pour chacun des secteurs, un point

d'intégration Pi (Yi ,zi)est défini avec Ai l'aire de ce secteur.



Chqpitre3.· Outils d'aide à la modélisation mufti-corps du choc des structures

Point d'intégration Pi (Yi, Zi) Secteur d'aire Ai

Figure 3.17.: Décomposition de la section en secteurs.

78

Les caractéristiques élasto-plastiques du matériau sont prises en compte par une

courbe de contrainte-déformation rationnelle approximée par segments ou définie à l'aide

d'un modèle élasto-plastique. Les effets de vitesse de déformation sur le comportement du

matériau peuvent être pris en compte à l'aide d'une correction dynamique. Différents modèles

constitutifs sont disponibles: Cowper-Symonds, Johnson-Cook, Jones. Le choix d'un modèle,

qui est fonction des paramètres intrinsèques du matériau, est fonction de la disponibilité de

ces paramètres.

· Nous avons testé cet élément poutre pour des cas de compression et de flexion

pure. D'une manière générale, nous nous sommes aperçus que cet élément décrit

correctement la phase de pré-effondrement d'un profilé à parois minces sous un chargement

de flexion ou de compression (Fig. 3.18). L'utilisation de cet élément peut donc nous

permettre de relever tous les seuils d'effondrement dans les différentes parties de la structure

que ce soit en flexion ou en compression. La phase de post-effondrement n'étant pas

correctement décrite par dans ces éléments poutres, est prise en compte dans le modèle multi

corps à l'aide des caractéristiques obtenues par le biais des modèles analytiques en flexion et

en compression. En effet, les modèles poutres ne peuvent reproduire les modes

d'effondrement locaux des composants, une approche par des modèles plaques comme celle

employée dans les modèles cinématiques est donc plus judicieuse. Si le modèle analytique

décrit mieux la phase de post-effondrement (Fig. 3.18), la courbe de pré-effondrement en

flexion du modèle poutre tient compte de toutes les non-linéarités matérielles et géométriques




de la structure. En effet la réponse est donnée pour des conditions réelles de chargement,

combinant compression et flexion, prend en compte les effets d'inertie dynamique et de

vitesse de déformation, et utilise les bras de levier réels mis en jeu pour calculer le moment.

Pré-effondrement : Post -effondrement

FouM

Ôou a

Analytique

EF poutre

' '

Figure 3.18.: Comparaison des courbes de réponse Effort 1 Déplacement ou Moment 1 Angle entre un élément poutre élasto-plastique et le modèle analytique en compression axiale ou en flexion pure.

L'utilisation de ces éléments poutres nous permet, dans la modélisation multi-corps,

de positionner les zones subissant des déformations en compression, en flexion (rotules

plastiques) et nous informe sur l'orientation du plan de flexion de chacune des rotules. Ce

plan de flexion est en effet indispensable au calcul des caractérisùques d'effondrement par le

modèle cinématique en flexion (orientation de la section).

4.2.2 Positionnement des points d'inté~ratjon de la section

La section d'une structure à parois minces peut être décrite par un ensemble de points

reliés entre eux par des segments ayant chacun une épaisseur de tôle. Cette description

géométrique est d'ailleurs utilisée par les modèles analytiques en compression et en flexion.

Le modèle poutre 213 implémenté dans le code de calcul PAMCRASH nécessite pour

l'emploi de sections transverses complexes, d'introduire des points d'intégration. Cependant,

aucune règle de position n'est définie pour ces points dans le cas de sections à parois minces

quelconques. Nous avons opté pour deux points d'intégration par segment de description de la

section. Il faut cependant s'assurer qu'il n'y ait pas une trop grande disparité entre les

longueurs des différents segments, le cas échéant, ceux-ci doivent être découpés afin

d'obtenir une longueur homogène pour la section. Chaque segment de la section est donc



Chapitre3.· Outils d'aide à la modélisation multi-corps du choc des structures 80

décrit par deux points d'intégration dont la position est calculée de la manière suivante.

Soit un segment d'extrémités A et B de longueur b et d'épaisseur e dont la position du centre

G, est donnée par rapport au centre de gravité G de la section (Fig. 3. 19).

y' Xl

y

YGI

G""'------+-+x XGI

Figure 3.19.: Segment de section décrit par 2 points d'intégration.

Les points d'intégration Pt et pz sont définis de telle sorte que les composantes d'inertie

du segment au centre de gravité dans le repère principal d'inertie (Gxy) soient:

Ixx=eb/2(Ypt2+ Y pl)

Iyy=eb/2(Xpt2+Xpl)

. Nous définissons deux autre~ .repères : (GtXtYt) correspond au repère principal de

l'élément plaque (segment AB) au centre de la plaque G1 et (Gtx'y') correspond au repère

principal de la section tr~laté au centre de la plaque. a est l'angle de rotation pour passer du

repère (G1XiYt) au repère (Gtx'y'). Or, les composantes d'inertie du segment AB s'écrivent:

dans le repère (GtXtYt) dans le repère (G,x'y') dans le repère (Gxy)

I ''Ix 2 I ·2 x x = tXt cos a+ YtYt sm a lxx= Ix'x' + ebyG/

I ''Ix ·2 I 2 y y = tXtsm a+ YtYt cos a Iyy= Iy'y' + ebxG 12

Ixy= Ix' y'+ eb xG, yG1



Chapitre3: Outils d'aide à la modélisation multi·corps du choc des structures 81

Les coordonnées des points d'intégration Pt et P2 sont donc définies par:

A chaque point d'intégration Pi est affecté le coefficient de pondération wi=l/2 (bi .ei ),

où bi et ei sont respectivement la longueur et l'épaisseur du segment correspondant.

Les inerties de la section peuvent donc s'écrire :

n n

lxx="' w·y 2·

""-' 1 pl Iyy=Lwix~i i=i i=i

4.2.3 Aliorithme de localisation des zones de irandes déformations plastigues

L'algorithme représenté Fig. 3.20 définit une stratégie de·localisation des zones de

grandes déformations plastiques et d'obtention des caractéristiques pour les joints de

déformation du modèle multi·corps. Celle·ci est basée sur la comparaison entre les modèles

éléments finis poutres et les modèles analytiques présentés précédemment. L'algorithme est

décomposé en 9 étapes(!! à~ qui s'insèrent dans un schéma itératif sur la durée de simulation

numérique. Nous passons en revue les différentes étapes de cette démarche:



Chapitre3: Outils d'aide à la modélisation multi-corps du choc des structures

temps courantS temps final

MODELES ANALYTIQUES

Détermination:

- de l'effort ultime de compression Pxa

-des moments ultimes Mya et Mza pour les directions principales

d'inertie

tttM~,MD

~~ 9 (rd)

Calcul de la norme:

Mef=(Myef 2+Mzef 2) 112

82

INTERPOLATION ELLIPTIQUE: GJ ~------~------~

SINON

Prédiction du pic moment analytique

Ma=((Mya cos+) 2+(Mza sin+) 2)112

(t)i 1 , Assemblage pre-effondrement EF et post-effondrement analytique

Mef ou Pef Ma ou Pa

L .. :~~e,oo

Détermination de l'orientatio du plan de flexion

+=atan(Mzef/ Myef)

Figure 3.20.: Algorithme de localisation des zones de grandes déformations plastiques.



Chqpitre3.· Outils d'aide à la modélisation mufti-corps du choc des structures 83

*Etape !}: Une modélisation éléments finis poutres de la structure est effectuée dans les

conditions réelles de chargement (vitesse initiale, murs d'impact, masses

additionnelles ... )

*Etape !: Les modèles analytiques en compression axiale et en flexion pure déterminent, pour

chaque type de section transversale de la structure, l'effort ultime de compression

Pxa et les moments ultimes de flexion Mya et Mza pour les deux directions

principales d'inertie.

*Etape ~: A chaque pas de calcul, dans chacun des éléments poutres de la structure, l'effort

maximum de compression Pxef et les moments maxima de flexion Myef et Mzef

pour les deux directions principales d'inertie sont relevés.

*Etape .J.: La norme Mef est calculée :

Mef = ~Myef2 + Mzef2

Celle-ci correspond au moment de flexion de la poutre dans un plan incliné d'un

angle cp par rapport au plan (xOy).

*Etape~: Nous déterminons l'orientation du plan de flexion par:

(MzefJ cp=atan --Myef

*Etape ~: Par interpolation elliptique, nous effeétuons, selon cp l'orientation du plan de flexion

obtenue, une prédiction du moment ultime analytique Ma, à partir de la

cônnaissance des moment ultimes dans les deux directions principales d'inertie:

*Etape i: Nous définissons les critères de localisation des zones de déformation en

compression axiale et en flexion pure à l'aide des seuils de plastification Px a et Ma.

Une certaine tolérance est donnée à ces seuils, nous estimons qu'ils sont atteints

pour une valeur de 90% de celle de Pxa ou Ma. L'expérience nous a montré que ces

modèles analytiques donnent des résultats corrects légèrement surestimés avec une

marge d'erreur de l'ordre de 10%.



Chapitre]: Outils d'aide à la modélisation mu/ti-corps du choc des structures 84

*Etape z: Si les seuils de plastification sont dépassés par l'effort maximum de compression

Pxef ou le moment maximum de flexion Mef, l'élément poutre considéré est alors

remplacé par un joint de déformation équivalent en compression axiale et/ou en

flexion pure. La caractéristique du ressort non-linéaire est obtenue par assemblage

de la réponse en phase de pré-effondrement du modèle poutre éléments-finis et de la

réponse en phase de post-effondrement du modèle analytique en compression ou en

flexion. Dans le cas d'une rotule plastique, il convient d'associer, au ressort non

linéaire, une caractéristique de post-effondrement calculée dans le plan de flexion cp

par le biais du modèle analytique en flexion.

Dans le cas où ces seuils ne sont pas dépassés (flèches 'SINON), un nouveau cycle

du schéma itératif reprend avec l'étape !l.

*Etape~: Nous aboutissons à un modèle multi-corps complet ou hybride (multi-corps/élément

fmis) de la structure. Cette étape constitue le nouveau modèle de l'étape!! pour la

suite du processus itératif jusqu'à l'instant t correspondant au temps final (tf) de

l'étude.

Nous pouvons résumer les évolutions du modèle de la structure pour un temps de simulation

donné:

A l'instant initial (t = 0), un modèle poutre de la strucutre est effectué dans les

conditions réelles de chargement. Nous montrons, au chapitre 4, sur un exemple de

validation, qu'un tel modèle seul ne peut assurer une bonne représentativité du

choc,

en cours de calcul ( 0 ~ t ~ tr), nous modifions le modèle initial en un modèle

hybride (éléments finis poutres /multi-corps avec joints de déformations),

au terme de l'étude (t = tr) le modèle est soit hybride soit complètement multi-corps

si la majeure partie des composants de la structure ont plastifié.

Le schéma itératif proposé permet de prédire toute apparition de zones de déformation

plastique en compression axiale ou en flexion pure en cours de calcul. Il correspond tout à fait

à une approche en phase de préconception car les temps de calculs restent très courts.




5. Conclusion

Dans ce chapitre, nous proposons des approches analytiques avec lesquelles nous

obtenons rapidement les caractéristiques non-linéaires des ressorts utilisés dans les joints de

déformation. Ces modèles analytiques sont tout à fait adéquats pour des approches en phase

de préconception car les temps de modélisation et de réponse sont très courts. Il permettent

d'optimiser la conception de chacun des composants structuraux, de traiter un échantillon de

profilés relativement large et d'obtenir la réponse pour un plan de flexion quelconque. Nous

avons présenté ensuite une méthode de localisation des zones de déformation en compression

axiale et en flexion ~ure. Celle-ci utilise un modèle poutre élasto-pfastique implémenté dans

le code de calcul P AMCRASH et à l'avantage de localiser les rotules plastiques et de relever

les zones de déformation en compression pure. La méthode de localisation optimise le

nombre de joints de déformation et évite donc d'accroître les temps de calcul par une

augmentation du nombre de degrés de liberté induits par une surabondance de ressorts non

linéaires. L'orientation du plan de flexion de la charnière plastique est déterminée pour le

calcul de l'effondrement en flexion par le biais du modèle analytique. Le joint de déformation

en rotation ne nécessite plus l'introduction de caractéristiques généralement données dans les

plans principaux de la section transverse, mais la seule caractéristique dans le plan de t1exion

calculé .. La caractéristique du ressort non-linéaire est obtenue par assemblage de la réponse en

phase de pré-effondrement du modèle poutre éléments-finis et de la réponse en phase de post

effondrement du modèle analytique en compression ou en flexion. La caractéristique

d'effondrem.ent obtenue est alors représentative des conditions réelles de sollicitation de

chacun des composants. Cette méthode correspond tout à fait aux attentes d'une approche de

conception en phase d'avant-projet, car les temps de modélisation et de calculs restent très

courts. Elle peut donc s'insérer dans une procédure d'optimisation mathématique sous

contraintes pour une amélioration du comportement au choc de la structure.





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loading using a finite srip method, Thin-Walled Structures 4, 329-362 (1986).

35. SEKI N., SUNAMI Y. Energy absorption of thin-walled box bearn sujected to

combination ofbending with axial compression, Proc. 17th FISITA Conf., 1935-1946.

36. WIERZBICKI T., RECKE L., ABRAMOWICZ W., GHOLAMI T., HUANG J. Stress

profiles in thin-walled prismatic columns subjected to crush loading - Part 1 :




Compression, Computers and Structures 51, N_6, 611-623 (1994).

37. WIERZBICKI T., RECKE L., ABRAMOWICZ W., GHOLAMI T., HUANG J. Stress

profiles in thin-wal1ed prismatic columns subjected to crush loading - Part 2 : Bending,

Computers and Structures 51, N_6, 625-641 (1994).

38. PAM-CRASH. User's manual, Engineering System International, Version 1996.

39. BEL YTSCHKO, T., SCHWER, L., KLEIN, M.J., Analysis of Space Frames,

International Journal for Numerica1 methods in Engineering, Vol.ll,pp. 65-84 (1977).



Cha.pitre4: Validation

CHAPITRE4:

Préambule

90

Validation Dans un premier temps, nous présentons des exemples de validations

locales pour les modèles analytiques en compression et en flexion. Nous

utilisons pour cela deux profilés typiquement rencontrés dans le secteur

automobile à savoir un profilé à section .Q avec une platine rapponée

par soudure par points, représentatif d'un longeron, et un bavolet d'un

petit véhicule électrique. us résultats analytiques sont confrontés avec

des calculs par éléments finis. Dans le cas du bavolet, une campagne

d'essais de flexion 4 points a été mise en place. Ensuite, la méthode de

localisation est appliquée sur un longeron automobile de type poutre à

parois minces à double courbure en «S» présentant des modes de

déformation tridimensionnelle. Enfin, nous validons sur cette structure

l'approche mu/ti-corps retenue que nous confrontons avec des résultats

éléments finis obtenus à panir d'un modèle poutres élasto-plastiques et

d'un modèle coques élasto-plastiques.

Toutes les validations à l'aide de modèles éléments finis coques sont effectuées avec le code

de calcul PAMCRASH™. Les éléments coques élasto-plastiques utilisés sont de type 103 [8]

à 3 points d'intégration dans l'épaisseur et 4 points en surface pour palier tout problème de

mode à énergie nulle (hourglass). La gestion du contact est réalisée avec l'algorithme de

recherche automatique de type 36 [ 8 ].

1. Validation des modèles analytiques en compression et en flexion

Nous proposons dans cette partie de confronter les résultats obtenus avec les modèles

cinématiques à ceux obtenus par le calcul éléments finis et par expérimentation.



Chqpitre4: Validation 91

1.1 Profilé à section n avec platine rapportée par soudure par points

1.1 1 Présentation de la structure

La description matérielle et géométrique de la structure étudiée est présentée en figure

4.1. Cette structure est constituée d'un profilé à section n fermée à l'aide d'une platine soudée

par points, ce qui garantit ainsi une plus grande stabilité de l'effondrement en compression

axiale. Nous utilisons deux caractéristiques matérielles Ml et M2. Nous avons le SOLPHOR

P220 (matériau Ml) pour le test en compression axiale et le SOLDUR 380 (matériau M2)

pour les essais en flexion pure. En effet les mécanismes d'effondrement en flexion pure,

comparés à ceux obtenus en compression axiale, ne permettent pas d'absorber une aussi

grande partie de l'énergie cinétique du choc. Nous envisageons donc d'augmenter la capacité

d'absorption en flexion en utilisant un matériau à haute limite élastique le SOLDUR 380

(matériau M2).

• Masse volumique = 7800 kg/111 ·Module d'Young= 2. 10' Mpa

1 1

-Limite élastique M 1 = 220 Mpa; Limite élastique M2 = 380 Mpa -Module tangent Ml= 375 Mpa; Module tangent M2 = 400 Mpa - Contrainte ultime M 1 = 340 Mpa; Contrainte ultime M2 = 460 Mp

Figure 4.1. : Description géométrique du profilé.



Chapitre4: Validation 92

1.1.2 Péteonination de la réponse caractéristique de 1' effondrement en compression axiale

La figure 4.2 représente les conditions aux limites utilisées pour la simulation

numérique par éléments fmis de l'essai de compression axiale. Le modèle éléments fmis

comporte 7040 éléments coques. La structure est posée à l'une de ces extrémités sur un mur

rigide fixe où sont calculés les efforts de réaction. L'autre extrémité comporte une masse

additionnelle de 800 Kg et est soumise à une vitesse initiale de 3 rn/s. La sensibilité du matériau

à la vitesse de déformation n'est pas prise en compte. Toutes nos études antérieures ont

montré qu'à 3ms·1, les effets d'inertie dynamique sont négligeables sur la réponse ..

d'effondrement. Nous pouvons donc considérer le chargement comme quasi-statique. Les

deux extrémités du profùés sont supposées indéformables, les sections aux extrémités sont

donc modélisées par des corps rigides. Le déplacement instantané de l'extrémité associé à la

réponse en effort instantané du mur rigide nous permet d'obtenir la courbe effort-écrasement

du profùé. Les points de soudure sont modélisés dans le modèle éléments fmis par des corps

rigides sans critère de rupture. La distance entre chaque points de soudure est fixée à 35mm,

elle correspond à la longueur d'onde naturelle de flambement plastique 2H obtenue par le

modèle analytique. Les points de soudure, supposés sans rupture, sont donc pris en compte de

manière intfinsèque dans le modèle analytique. Le premier point de soudure èst disposé à une

demi-longueur d'onde de flambement plastique H de la zone d'impact, ce qui évite ainsi les

problèmes de déboutonnage.

La mise en donnée pour le modèle analytique se fait d'une manière très rapide à l'aide

des éléments suivants:

-Une description géométrique de la section est faite à l'aide de points et de segments,

- Des connexions sont définies entre les différents segments pour la prise en compte des

points de soudure et pour assurer une compatibilité des modes d'effondrement entre

les tôles soudées par points,

- les caractéristiques matérielles sont données sous la forme d'une courbe contrainte

déformation conventionnelle, contrairement au modèle numérique où la courbe est

rationnelle.



Chapitre4: Validation

V =3 m/s M=800Kg 2H=35 mm

MUR RIGIDE

Figure 4.2. : Présentation de l'essai de compression axiale.

93

La figure 4.3 nous montre les courbes de réponse effort-écrasement des modèles

analytique et numérique. Une bonne corrélation du modèle analytique vis à vis du modèle

éléments fmis est observée en terme de pic d'effort, d'effort moyen et d'énergie dissipée. Ces 3

types de données sont répertoriées dans le tableau 4.1.

90000

80000

7ooo0 60000

g50000 ... ... :.@40000 41

30000

20000

10000

-Pamcrasb

· -· -Analytique

0+------+------~----~

0 0,04 0,08 0,12

écrasement (m)

Figure 4.3. :Comparaison Analytique/Numérique des courbes de réponse du profilé en compression axiale.




Tableau 4.1. : Confrontation des résultats numériques/analytiques pour l'essai de compression axiale.

Modèle analytique Modèle numérique Erreur(%)

Pic d'effort (N) 83796 82759 4

Effort moyen (N)_ 28321 25893 9.38

Energie dissipée (J) 3172 2900 9.38

Les énergies dissipées sont calculées pour un écrasement donné de 112 mm et ne

correspondent pas à toute l'énergie cinétique initiale de 3600 J. Les _e~eurs relative~ entre les

deux modèles n'excèdent jamais 10%, ce qui nous semble acceptable pour une approche en

phase d'avant projet. Nous présentons en figure 4.4 le faciès de déformation obtenu par le

calcul numérique et en figure 4.5 le mode d'effondrement utilisé par le modèle analytique.

"" ~ & -,JJ

~~

~ / .....

Figure 4.4.: Faciès d'effondrement numérique en compression axiale du profùé.




_..,_description géométrique de la section

• limite des éléments coins

-I

mode d'effondrement analytique

connexion des se~ments soudés par points

Figure 4.5.: Mode d'effondrement prévu par le modèle analytique en compression.

1.1 3 Déteqnination de la réponse caractéristiQue en flexion

95

Dans le but de valider notre approche analytique pour · la détermination des

caractéristiques de flexion pure, nous utilisons le test de flexion cantilever (Fig. 4.6). Le

moment maximum apparaît à l'extrémité encastrée de la poutre. Durant la flexion élastique,

le moment maximum est atteint à la base du cantilever, le bras de levier est donc égal à la

longueur du spécimen. Quand le tube s'effondre, celui-ci pivote autour du centre de la rotule

plastique avec un bras de levier qui se réduit à la longueur entre le centre du mécanisme local

d'effondrement plastique et l'extrémité mobile du profilé.



Chaoitre4: Validation

V =l mis My=Mz=40Kg 2H=35 mm

x -

z 1 1

1 z 1 1 1 1 1

JJl_x. Figure 4.6. : Présentation de l'essai de flexion cantilever.

96

V+

x

V-

Nous déterminons les caractéristiques d'effondrement en flexion pour les deux

directions principales d'inertie de la section à savoir (Oy) et (Oz). La section présentant une

sym~trie par rapport à l'axe (Oy), seul un sens de flexion autour de cet axe est examiné. Par

contre, les caractéristiques de flexion du profilé autour de l'axe (Oz) sont données pour les

deux sens possibles de sollicitation.

Les résultats du modèle analytique sont comparés à ceux obtenus par le calcul

éléments finis.- La discrétisation éléments finis est la même que pour l'essai de compression

axiale. Seules les conditions aux limites, représentées sur la figure 4.6, diffèrent, où nous

pouvons observer les deux directions de sollicitation. La position du premier point de soudure

se trouve à un pas de soudage entier considéré identique à celui retenu pour le cas de

compression. Ceci favorise donc le confinement de la rotule entre l'encastrement et ce

premier point de soudure. Dans le modèle éléments finis, certaines conditions

supplémentaires doivent être prises afin de rester dans un cas de sollicitation en flexion pure.

Afin d'éviter les efforts de tension selon l'axe longitudinal de la poutre, la masse

additionnelle de 40 Kg, placée à l'extrémité de la poutre et animée d'une vitesse initiale de 3

mfs, ne comporte qu'une composante dans la direction de sollicitation à savoir Oz ou Oy. Les




autres composantes massiques du corps rigide sont considérées nulles. Nous nous plaçons

comme pour la compression axiale dans le cas d'une étude en quasi-statique et donc sans prise

en compte de la sensibilité du matériau à la vitesse de déformation.

La mise en donnée pour le modèle analytique en flexion se fait d'une manière identique

à celle du modèle en compression axiale, à savoir par une description géométrique de la section

et par une caractéristique conventionnelle du matériau.

Les figures 4.7a et 4.7b montrent respectivement les courbes de réponse en flexion

pure numérique et analytique pour la direction de sollicitation Oz (sens positif) et pour la

direction de sollici~tion Oy (sens négatif et positif). Ces courbes expriment le moment de

flexion en fonction de l'angle de pliage.

Figure 4.7.: Courbes de réponse du profilé en flexion: a- sollicitation suivant Oz b- sollicitation suivant Oy (sens+ et-).

Au regard de ces courbes, nous pouvons déjà dire que le modèle analytique donne une

bonne estimation des moments ultimes (pics) et de l'histoire de l'effondrement en flexion en

termes de moment et d'angle de pliage. Ce que nous pouvons quantifier plus précisément à

travers le tableau 4.2 .




Tableau 4.2. : Confrontation des résultats numériques/analytiques pour les essais de flexion pure.

direction de Oz Oy sens négatif- Oy sens positif-

sollicitation

Modèle Modèle Erreur Modèle Modèle Erreur Modèle Modèle Erreur analytique numérique (%) analytique numéri_g_ue (_%) ana!Ytigue numérique (%)_

Moment 2699 2853 5.4 -2300 -2251 2.1 2081 2169 4.1 ultime (Nm)

Moment 1602 1780 10 1628 1808 9.9 1010 1094 7.6 moven

Energie 411 457 10 399 443 9.9 277 300 7.6 dissioée (J)

Les erreurs relatives calculées par rapport aux résultats numériques n'excèdent jamais 10%,

nous pouvons donc dire que les résultats sont tout à fait acceptables pour une approche en

phase de préconception. Le moment moyen et l'énergie dissipée sont calculés dans chacune

des configurations d'essais pour un même angle de pliage final. Les figures 4.8a et 4.9

montrent respectivement la représentation des modes d'effondrement obtenus par le calcul

numérique pour les directions de sollicitation suivant Oz (lsens) et suivant Oy (2sens). Les

figures 4.8b et 4.10 représentent respectivement les modes de voilement de la section obtenus

par le calcul analytique pour les directions de sollicitation suivant Oz (lsens) et suivant Oy

(2sens).

~~ .A3

~ ~~~ lill

{ l . ••

0

1 • 0 • 0

~~--- .... .J'

' 1 •• 0 • • • •

l Figure 4.8. :Mécanisme d'effondrement en flexion suivant Oz: a- numérique b- analytique.




Figure 4.9.: Mécanisme d'effondrement en flexion suivant Oy: a. sens positif, b. sens négatif.

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \ , = 0 0 0 0 0

j L 1

\ 1 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0 000000000

Figure 4.10.: Mode de voilement analytique de la section pour une direction de sollicitation en flexion suivant Oy: a. sens positif, b. sens négatif.



Chapitre4: Validation lOO

1.2 Bavolet d'un petit véhicule électrique

Dans le cadre d'une collaboration avec le bureau d'études ISOFORM de SOLLAC, une

structure industrielle a été mise à notre disposition. Il s'agit d'un bavolet d'un petit véhicule

électrique. Ce bavolet fait partie des pièces maîtresses dans les dispositifs structuraux

sollicités lors de chocs latéraux entre véhicules, tout comme les montants de baies ou les

barres de renforts de portière. Les mécanismes de déformation engendrés lors de ces chocs

sont essentiellement des mécanismes d'effondrement en flexion. C'est pourquoi nous nous

proposons de réaliser une validation locale sur le modèle analytique en flexion avec une

structure test de géométrie très complexe. Nos résultats analytiques sont comparés à la fois à

des calculs élément finis; !:nais aussi à des résultats expérimentaux où la structure est sollicitée

en flexion de type quatre points (Fig. 4.11). La flexion quatre points permet en effet de ne

solliciter un profilé qu'en flexion pure, contrairement à la flexion cantilever où certaines

conditions aux limites ont dû être ajustées lors de la simulation numérique. Elle provoque un

moment constant au centre de la poutre dans la zone située entre les appuis supérieurs .

...... Figure 4.1.: Test de flexion quatre points.

1.2.1 Présentation de la structure

La poutre testée est composée de trois parties assemblées par soudage par points

(disposés le long de la poutre et espacés de 50 mm). La section transversale de la poutre testée

n'est pas singulière (Fig. 4.12) et ne comporte aucun plan de symétrie. Les directions

principales d'inertie ne correspondent pas aux directions horizontale et verticale, elles sont

inclinées par rapport à celles-ci d'un angle de 4 o

Nous étudions le comportement en flexion pure de ce bavolet pour différentes

orientations de section. Les dimensions de la section et les caractéristiques matérielles de la

poutre sont décrites en Fig. 4.12.



.....

. . . . io.69 mm

! . . . t;(~i

101

<ll Angle de rotation de la section • points soudés espacés de 50 mm

Materiau: Acier ES

- Masse volumique = 7800 kg/reJ -Module Young= 2. 1~ Mpa - Umite élastique = 191 Mpa

- Contrainte ultime en traction = 317 Mp

Figure 4.12.: Description générale de la poutre testée.

1.2.2 Présentation des essais expérimentaux de flexion QUatre points

Nous avons mis au point un banc quasi-statique de flexion quatre points équipé d'un

système de mesure de la caractéristique «effort-déplacement». Celui-ci est composé d'un

vérin hydraulique double effet d'une capacité maximale de 30 tonnes, d'une cellule force et

d'un capteur de déplacement (Fig. 4. 13).

capteur déplacement

Figure 4.13.: Descriptif du banc de flexion 4 points.

inférieurs fixes E:'i'~t"-révhlhles (840-l470mm)

L'éprouvette est placée sur deux rouleaux inférieurs fixés sur le bâti du banc d'essai.

L'entraxe de ces deux appuis peut varier en fonction des longueurs d'éprouvettes à tester.

L'effort de compression du vérin est transmis au profilé par l'intennédiaire de deux rouleaux



supérieurs placés aux extrémités d'un palonnier articulé. L' entraxe des deux rouleaux

supérieurs est également variable pour les mêmes raisons que celles des appuis supérieurs

(longueur d'éprouvette et bras de levier). L'axe du palonnier est fixé sur une cage mobile,

guidée en translation, et solidaire de l'extrémité de la tige du vérin par le biais d'une cellule

force. La cellule force positionnée à l'interface de la cage et du vérin permet d'acquérir

l'effort instantané nécessaire à la flexion du profilé.

Dans le cas de la flexion quatre points, la poutre doit être renforcée par des zones

rigides afin d'éviter une déformation locale et l'apparition du mécanisme d'effondrement au

niveau des appuis ponctuels. Nous avons donc utilisé un jeu de quatre renforts locaux du

profilé (Fig. 4.14) .. Ces renforts se composent:

-d'une coquille cylindrique en deux parties dont l'intérieur a été usiné afin d'épouser

la forme externe du profilé.

- d'une pince externe graduée tous les 10° qui permet d'orienter la coquille

cylindrique pour réaliser des essais de flexion dans des plans quelconques et

d'assurer un appui linéique au niveau des rouleaux inférieurs et supérieurs .

zone d'appui sur

. hauteur maximale entre les rouleaux inférieurs et supérieurs (!50 min)

le rouleau de dimension maximale l:J= !!Omm

Figure 4.14. Descriptif des renforts locaux utilisés.

Pour le bon déroulement d'un essai de flexion de ce type, il est indispensable que la

rotule plastique apparaisse au centre de l'éprouvette pour ne pas déséquilibrer les efforts au

niveau des appuis, d'autant plus que les masses additionnelles des renforts locaux sont non

négligeables (10 Kg) et qu'elles peuvent entraîner, par leur poids propre, le roulement du

profilé hors des appuis. Dans le domaine élastique, la flexion de type 4 points assure dans le

diagramme de répartition des moments, un moment constant et maximum dans la zone située



entre les deux appuis supérieurs. Par conséquent, en diminuant au maximum cette zone et en

écartant la possibilité de déclenchement par instabilité ou écrasement local au niveau des

appuis supérieurs, nous favorisons l'apparition d'une rotule au centre. De ce fait nous avons

opté pour un entraxe minimal des appuis inférieurs et supérieurs, 840 mm et 390 mm

respectivement.

La figure 4.15 montre la répartition des efforts en configuration déformée. Nous

pouvons extraire la caractéristique instantanée Moment/ Angle de Pliage de la rotule plastique

à partir des données expérimentales de l'effort F appliqué par le vérin et du déplacement d du

palonnier par les relations:

e = 2atan(d!L)

M=FUcos29

où L est la distance entre appui fixe et appui mobile.

En assumant un angle de pliage final 9max de 65° et en répartissant un nombre entier de

pas de soudage (50mm) de part et d'autre du centre de l'éprouvette, nous pouvons en déduire

une longueur totale d'éprouvette à tester de l050mm.

F

, ,

, , ' plan de flexion ,

Figure 4.15. Répartition des efforts pour le calcul de la caractéristique Moment-Angle.

Nous effectuons des essais pour une orientation de la section correspondant à des

sollicitations dans les directions horizontale et verticale dans chacun des sens possibles. Ces

essais sont répertoriés à l'aide de l'orientation de l'effort appliqué (Fig. 4.15), ce qui nous

donne pour ces 2 directions des chargements à 0°, 90°, 180° et 270°.



1.2,3 Simulation numérique.

Le maillage comporte 5970 éléments coques, Les caractéristiques de flexion sont

calculées pour différents angles de rotation de la section transverse, Les renforts locaux du

profilé sont modélisés au moyen de 4 corps rigides. Afin de simuler les appuis linéiques des

rouleaux du banc de flexion quatre points, les degrés de liberté Uy, Uz, Sx et Sz du centre de

gravité de ces corps rigides sont bloqués (Fig. 4.16). Le chargement de la poutre se fait par

une mise en vitesse du centre de gravité des deux corps rigides correspondant aux appuis

supérieurs mobiles. L'étude étant quasi-statique et la simulation réalisée avec un code

explicite dédié aux études de collision, nous uùlisons une fonction vitesse progressive (Fig.

4.17) afin de limiter les effets d'inertie dynamique. Les points de soudure sont mod~lisés par

42 corps rigides sans critère de rupture associé. Le centre de l'éprouvette du bavolet

correspond au milieu d'un pas de soudage. En position initiale, le centre de l'éprouvette est

placé au milieu des deux appuis supérieurs. Ces précautions sont indispensables pour obtenir

une rotule plastique au centre de l'éprouvette confinée à l'intérieur d'un pas de soudage.

Uy=O u.=o 9,.:0 9.=0

vitesse imposée: V(t)

o;:::;:::::::: éléments coques

.. corps rigides • centre de gravité du corps rigide

Figure 4,16,: Représentation des conditions aux linùtes de l'essai numérique.



2

1.8

1.6

1,4 """ "' 1.2 ! ~ 1 "' "' ~ 0,8 .<::: >

0,6

0,4

0,2

0

0 0,01 0.02 0,03 0,04 0,05

temps (s)

Figure 4.17. Fonction vitesse/temps utilisée pour le chargement en flexion quatre points.

Les efforts sont récupérés aux niveaux des appuis inférieurs fixes et les déplacements sont

ceux des centres de gravité des appuis supérieurs. Par un calcul analogue à celui effectué pour

la réponse expérimentale, nous pouvons extraire la réponse numérique Moment/ Angle de

Pliage de la rotule plastique. Pour chacune des simulations numériques,. nous nous assurons

que les réponses en effort ou en déplacement sont bien symétriques. au niveau de chaque

appui.

1.2.4 Confrontation des rés4ltats

Nous effectuons une validation du modèle analytique à l'aide des résultats des essais et des

calculs numériques. Ces essais sont répertoriés à l'aide de l'orientation de l'effort appliqué

(Fig. 4.15.), ce qui nous donne pour ces 2 directions, des chargements à 0°, 90°, 180° et 270°.

Les résultats analytiques sont tout d'abord confrontés aux résultats numériques et

expérimentaux sous forme de courbe Moment/ Angle de Pliage pour chacune des orientations

de sollicitation (Fig. 4.18. à 4.19.).



1200

ê 1000

~ 800 ë 600 a)

e 0 400 ~

200

0

.. ..(),1

0

oo + 180°

$ $ 1400

1200

ê 1000 t ~ 800 ë a) 600 e 0 ~ 400

•• • ••• • analytique . • · . . . . anal y tique -*-" expérimenlal

200

~Pamcrash 0 ~ expériiœntal

0,2 0,4 0 0,1 0,2 0,3 -+-Pam:rash

Alii!Je de P~ (rad) An!lJ.e de~ (rai)

Figure 4.18. : Caractéristiques Moment/ Angle de Pliage pour des sollicitations à oc et 180°.

900

0,1 0,3 0,5

+ e9

-9-~h

....... analytique

----*-expérirœntal

500

0 +-----+---+-0 0,2 0,4

e9 t

~Pa!nntib

. . . . analytique

-?E-expérilrental

Angle de Pliage (rad) Angle de~ (rOO)

Figure 4.19. : Caractéristiques Moment/ Angle de Pliage pour des sollicitations à 90° et 270°.

Pour chacune des configurations, nous avons réalisé deux essais expérimentaux qui se sont

montrés reproductibles. Les figures 4.20 à 4.24 montrent le faciès des mécanismes

d'effondrement obtenus par les approches numérique et expérimentale pour chacune des

configurations. La figure 4.25 nous donnent les modes de voilement analytique de la section

pour les 4 directions de sollicitation en flexion. Les tableaux de synthèse ( Tab. 4.3 et 4.4)

nous donnent, pour chacune des sollicitations, les moments ultimes, les moments moyens et

les énergies dissipées, ces deux derniers étant calculés pour un angle de pliage fixé pour les

trois approches.



Tableau 4.3.: Tableau de synthèse des résultats pour les sollicitations à 0° et 180°.

,~ ,. ~ ,D D0• ' t 180°

Modèle Modèle Essai erreur erreur Modèle Modèle Essai erreur erreur analytique numérique expérimental

AIE NIE analytique numérique expérimental

AIE NIE A N E 1 2 3

Moment 1328 1214 1260 5.4% ·3,6% 1289 1190 1279 0,8% -7%

ultime (Nm)

Moment 1003 783 856 17% ·8,5% 1066 863 890 19,7% -3%

moyen

(Nm) pour pour pour pour pour pour

pour un e = o.211 e = o,2n e = o.211 8 = 0,255 e = o,255 e = o.255

angle (rad)

Energie 278 217 237 17% -8,5% 272 220 227 19,7% -3% dissipée(J)

pour un 9= 0,277 9= 0,277 9= 0,277 9= 0,255 9= 0,255 9= 0,255 aggle_(rd)

Tableau 4.4. :Tableau de synthèse des résultats pour les sollicitations à 90° et 270°.

' _,, " J

e9· 900 .. t 270° ' .. '

Modèle Modèle Essai erreur erreur Modèle Modèle Essai erreur erreur

analytique numérique expérimental AIE NIE

analytique numérique expérimental AIE NIE

A N N A N E

Moment 516 431 497 3,8% -13% 464 412 380 22,1% 8.4%

ultime (Nm)

-

Moment 352 361 339 3,8% 6,4% 325 368 339 -4% 8,5%

moyen

(Nm) pour pour pour pour pour pour

pour un e = o,457 e = o,457 e = o.451 a= o.513 a =0,513 a =0,513

an2le (rad)

Energie 161 165 155 3,8% 6,4% 167 189 174 -4% 8,5%

dissipée

(J) pour pour pour pour pour pour

pour un e = o.457 e = o,457 e = o,457 e = o,513 e = o,513 8 = 0,513

angle (rad)

Dans chacun de ces tableaux, nous exprimons les erreurs relatives des approches

analytique et numérique face aux résultats expérimentaux. Au regard de l'ensemble des

résultats, nous pouvons dire d'une manière générale que les résultats analytiques donnent une


Chqpitre4: Validation 108

évaluation du moment ultime et du moment moyen avec dans une fourchette de 5 à 20%

d'erreurs face aux résultats expérimentaux. Les résultats éléments finis donnent des erreurs

relatives de l'ordre de 10%. Ces résultats analytiques restent acceptables pour une phase

d'avant projet. Il est cependant important de souligner que la complexité de la section du

profilé nous amène à penser que nous avons atteint les limites de représentativité du modèle

analytique. En effet, la section de ce profilé comporte une grande disparité au niveau des

longueurs des différentes plaques qui la constituent alors que les mécanismes de pliage

analytiques présentés au chapitre précédent ont été extraits pour des plaques qui ont des

dimensions assez homogènes.

D'une manière générale, nous pouvons dire que le modèle analytique surestime la

dissipation énergétique car la théorie est fondée sur une méthode de borne supérieure, tandis

que les résultats numériques montrent, dans ce cas, une sous-estimation de cette dissipation.

Si maintenant, nous nous intéressons aux temps de conception, le modèle analytique donne

des temps de réponse quasi-instantanés, alors que pour la simulation numérique par éléments

finis, les temps de calculs sont de l'ordre d'une vingtaine d'heure CPU sur un CRAY 190 (8

processeurs) pour chaque cas de chargement, sans compter les temps de modélisation. Et

d'une manière évidente les coups et les temps de réalisation de l'approche expérimentale n'en

f~nt pas une approche des plus intéressante. Cependant, ceci ne fait que renforcer notre idée

que la conception au choc· des structures reste indispensable et permettrait d'éviter l'emploi

de sections de profilés aussi complexes dont les· caractéristiques de bon comportement au

choc ne peuvent être assurées. En effet, cette structure, qui ne comporte aucun plan de

symétrie, peut entraîner des mécanismes d'effondrement très complexes et des risques de

torsion du bavolet. Ces derniers ont été écartés par la prise en compte de conditions aux

limites dans le modèle numérique (blocage du degré de liberté elt des corps rigides

représentant les pinces ) et par l'appui linéique des pinces sur les rouleaux dans

l'expérimentation.



Figure 4.20.: Faciès de la rotule plastique pour une sollicitation à 0° : a.- expérimental b. - numérique.

Figure 4.21. : Faciès de la rotule plastique pour une sollicitation à 90° : a.- expérimental b. - numérique.

Figure 4.22. : Faciès de la rotule plastique pour une sollicitation à 180: a.- expérimental b. -numérique.

Figure 4.23. : Faciès de la rotule plastique pour une sollicitation à 270° : a.- expérimental b. - numérique.


109


a

0 0 0

\

b c

~ 0 0 0

0000000

d OOoO

Figure 4.~5.. : Modes de voilement obtenus par le modèle analytique en flexion

pour des sollicitations à: a- 0° b- 180° c- 90° b- 270°.


0

110


2. Application à la collision d'un longeron en 'S'à double courbure

2. 1. Présentation de la structure test

La structure représentée en figure 4.26 est un longeron simplifié à parois minces à double

courbure en "S". Des études similaires ont déjà été effectuées sur le même type de structure, mais

dans une configuration plane à simple courbure en "S". La masse du véhicule était localisée en bout

de structure. Par conséquent, seuls des mécanismes de flexion étaient initiés [2-4].

Cependant, différentes études sur le comportement au choc des véhicules de transport

montrent que les chargements en compression et en flexion agissent quasi simultanément. Dans une

étude antérieure menée au LAMIH, la même structure plane a été utilisée avec quelques

modifications. Le chargement et les conditions limites étaient appliquées de manière, à provoquer un

effondrement en compression axiale, suivi d'un effondrement en flexion dans les coudées. Les

conditions d'un choc de type assurance étaient respectées, pour lequel les dégâts à faible vitesse

d'impact doivent minimiser les coûts de réparation et dans ce cas, seule l'extrémité axiale doit être

remplacée [5]. Dans notre cas, les mêmes conditions sont utilisées pour la poutre en "S" avec un

comportement tridimensionnel. Le premier objectif est de valider, aYec des résultats précis, la

modélisation multi-corps 3D, où les ressorts de translation et de rotation sont caractérisés par les

· courbes de réponse en compression et en flexion obtenues avec des modèles cinématiques. Le second

objectif est d'évaluer l'intérêt de cette approche simplifiée, en phase d'avant-projet, en termes de

gain de temps de calcul et de modélisation. Et enfin de valider les outils de localisation des zones de

déformations plastiques indispensables à la construction du modèle multi-corps.

Pour provoquer l'un après l'autre un effondrement en compression axiale et un effondrement

en flexion dans les zones coudées, nous nous sommes situés dans un contexte réel en répartissant la

masse additionnelle en deux endroits et suivant les ratios 112 et 112. La capacité d'absorption

d'énergie des deux longerons en "S" seuls ne permet pas d'utiliser la totalité de la masse d'un

véhicule de catégorie moyenne de 1200 kg.

C'est pourquoi, d'un point de vue purement académique, nous avons estimé une masse totale

correspondant à la capacité de dissipation de l'énergie cinétique de la structure. 80 kg sont placés

sur les extrémités inférieures, ce qui représente la liaison longerons/habitacle, et 80 kg sont placés sur



les extrémités supérieures, ce qui correspond à la liaison longerons/traverse moteur.

Pour éviter le risque que les mécanismes de compression et de flexion agissent en parallèle, le

longeron à double courbure en "S" est composé de deux éléments fabriqués avec des aciers

différents. Ces aciers sont développés par SOLLAC pour l'industrie automobile dans le but

d'améliorer la capacité de dissipation d'énergie dans un soucis d'allégement permanent [6]. Un acier

SOLPHOR P220 (référence SOLLAC) est utilisé pour le composant devant la traverse moteur qui

s'effondre en compression axiale. L'acier SOLDUR 355 à haute limite d'élasticité (référence

SOLLAC) est utilisé pour le reste de la structure qui s'effondre en flexion lorsque le composant axial

a dissipé toute son énergie. La structure est animée d'une vitesse initiale de 15 ms·1 et vient impacter

un rn ur rigide.

Initialement le comportement de la structure est étudié à partir d'un modèle éléments finis

coques et les résultats sont considérés comme référence. Ensuite un modèle multicorps avec

CRASH-3D est implémenté en utilisant à la fois les modèles cinématiques pour obtenir les

caractéristiques non-linéaires de translation et de rotation et un modèle poutre élasto-plastique pour

la localisation des zones de déformations plastiques. Ces résultats sont comparés à la référence.

~=1.4 30

20 t 50

90

• Masse volumique = 7800 kg/ml ·Module d'Young= 2. 1~ Mpa -Limite élastique Ml= 220 Mpa; Limite élastique M2 = 380 Mpa - Module tangent Ml = 375 Mpa; Module tangent M2 = 400 Mpa - Contrainte ultime M 1 = 340 Mpa; Contrainte ultime M2 = 460 Mpa

Figure 4.26.: Description de l'étude.


Chapi(re4: Validation 113

2. 2. Description du modèle éléments finis coques de référence

La structure étant symétrique, seul un longeron est modélisé par 7680 éléments coques. La

sensibilité à la vitesse de déformation est prise en compte d'après la loi de Cowper-Symonds avec

les coefficients D=802s·1 et p=3.593 [1]. Les points soudés sont modélisés avec 48 corps rigides

sans critère de rupture associé. La zone impactée est modélisée par un mur rigide de masse infinie.

Pour simuler les liaisons longerons/habitacle et longeronsJtraverse moteur où les demi-masses

additionnelles de 40 kg sont ajoutées, deux corps rigides sont définis et guidés dans la direction de

l'impact. La vitesse initiale est appliquée sur tous les noeuds de la structure et la simulation est

effectuée pour une étude de 30 ms. Pour ce temps final de calcul toute l'énergie cinétique n'est pas

entièrement dissipée. Elle représente environ 1.2 kJ, mais la capacité d'absorption d'énergie par les

mécanismes d'effondrement plastique dans les zones fléchies a atteint son maximum.

2. 3. Localisation des zones de grandes déformations plastiques pour la construction du modèle multi-corps

Nous effectuons une modélisation éléments finis poutres (type 213 [7]) de la structure avec

les mêmes conditions aux limites que pour le calcul éléments finis coques de référence. Cette

structure présente une zone de compression pure entre la traverse moteur et le· mur d'impact. Cette ' '

zone de déformation est bien'observée par une première simulation poutre qui nous donne bien un

dépassement de la charge critique. Les éléments poutres correspondant à cette zone sont remplacés

par une barre non-linéaire en compression. La caractéristique de cette barre non-linéaire est obtenue

par assemblage d~la phase de pré-effondrement obtenue dans les poutres avec la phase de post

effondrement obtenue avec le modèle analytique en compression axiale (Fig. 4.30.). Cette dernière,

étant corrigée dynamiquement par le modèle constitutif de Cowper-Symonds par le modèle

cinématique en compression axiale, prend en compte la sensibilité du matériau à la vitesse de

déformation.

Nous nous intéressons maintenant au problème de la localisation des mécanismes

d'effondrement en flexion et de la détermination du plan de flexion. La structure est composée de

27 éléments poutres, de 55 noeuds et d'une barre non-linéaire en compression axiale. (Etape fi)

Nous appliquons toutes les étapes de l'algorithme présenté au chapitre précédent.



Les valeurs des moment ultimes Mya et Mza obtenues pour les directions principales

d'inertie par le modèle analytique en flexion sont: Mya=2169 Nm Mza=2700 Nm (Etape .1)

Nous relevons dans chacun des éléments poutres de la structure les moments maximaux

Myef et Myef suivant les deux axes locaux de la section (Etape~.

Le tableau 4.5 résume les étapes J, ~et .5. pour chaque élément poutre de la structure en donnant:

- les moments éléments finis maximaux Myef et Myef relevés dans les directions principales

d'inertie,

- les normes des moments ultimes Mef et Ma obtenues respectivement par le calcul

éléments finis poutres et par interpolation des moments ultimes 'aflalytiques,

-l'orientation du plan de flexion' calculée pour chaque élément poutre,

- le ratio Mef/Ma entre les deux modèles qui nous permet de retenir la rotule si le seuil

imposé est dépassé (Etape 6).

noeud Myef Mzef • Ma Mef Mef/Ma [ N.m] [ N.m] [degré] [ N.m] [ N.m] [%]

1 -2883 -1730 31 2452 3362 137 2 -2830 -1634 30 2432 3267 137 3 -2826 -1503 28 2392 3200 134 4 -2066 -1099 28 2392 2340 .98 5 -1383 -616 24 2317. 1513 65 6 -952 -117 7 2097 959 46 7 511 -400 -38 2598 648 25 8 565 980 60 3024 1131 37 9 478 1473 72 3184 1548 48 10 514 1961 65 3099 2163 70 11 1409 2442 60 3024 2819 93 12 1817 2909 58 2991 3429 114 13 1638 2622 58 2991 3091 103 14 1291 2149 59 3007 2506 80 15 1414 2097 56 2956 2529 85 16 1147 1579 54 2920 1951 67 17 531 1139 65 3099 1256 40 18 98 701 82 3261 707 41 19 -433 108 -14 2163 449 20 20 -887 -323 20 2249 943 42 21 -1363 -756 29 2412 1558 65 22 -1971 -1280 33 2493 2350 94 23 -2733 -1844 34 2514 3296 131 24 -2668 -1800 34 2514 3218 128 25 -2681 -1548 30 2432 3095 127 26 -1955 -1175 31 2452 2280 93 27 -1957 -1176 31 2452 2283 93 J



Pour cette structure, l'algorithme de localisation ne nécessite qu'une seule itération, si l'on

excepte la première phase de détection de la zone se déformant en compression axiale, car les

rotules plastiques s'initient toutes au même instant (fin d'écrasement de la barre non linéaire).

La figure 4.27 nous donne l'évolution du ratio Mefl Ma pour toute la structure que nous

comparons à un seuil de 90%, seuil pour lequel l'élément poutre a plastifié et pour lequel le

moment ultime est supposé atteint. Nous pouvons remarquer que certains moments ultimes Mef

donnent des ratios pouvant aller jusqu'à 140 %. Le modèle poutre prend en effet en compte la

sensibilité à la vitesse de déf9rrnation du matériau par la loi de Cowper-Symonds et donne donc des

moments ultimes plus élevés que ceux obtenus en quasi-statique par le modèle analytique.

Figure 4.27.: Evolution du ratio Mef/Ma pour la stucture.

Nous obtenons une locâlisation des rotules dans les deux coudées de la structure et au niveau

de l'extrémité où est appliqué le chargement.

Pour les rotules plastiques localisées dans la première coudée de la structure juste avant la

barre de compression non-linéaire et celles situées à l'extrémité de la structure, nous retenons une

orientation du plan de flexion à 30°. Pour celles localisées dans la deuxième coudée l'angle

d'orientation du plan de flexion retenu sera de 58°.

Nous pouvons générer le modèle multi-corps, en définissant des joints de rotation de type

liaison pivot correspondant à chacune des rotules plastiques retenues. Ceux-ci sont alimentés par les

caractéristiques de flexion déterminées dans le plan de flexion trouvé. Toutes les zones non

déformées sont modélisées par des corps rigides.



2.4. Modélisation multi-corps de la structure

Une modélisation multi-corps du longeron est réalisée à l'aide de 9 corps rigides reliés entre

eux par 9 ressorts non-linéaires de rotation et 1 ressort non-linéaire de translation (Fig. 4.28).

La caractéristique effort/écrasement de compression du ressort non-linéaire de translation est

identique à la barre non-linéaire utilisée précédemment (Fig. 4.29).

Les caractéristiques moment/angle de flexion des ressorts non-linéaires de rotation sont

obtenues par assemblage du pré-effondrement poutre et du post-effondrement analytique calculé

pour des angles de flexion de 30° et 58° (Fig. 4.30.a). Comme le post-effondrement analytique en

flexion ne prend en compte la sensibilité à la vitesse de défonnation du matériau, nous avons

effectué une correction dynamique globale de la caractéristique en flexion avec le modèle de

Cowper Symonds en prenant une vitesse de défonnation moyenne e pour chacune des rotules

relevée dans le modèle élément finis de référence.

Dans le modèle multi-corps, ces angles d'orientation de section seront définis par des axes

de flexion orientés par rapport aux repères locaux des éléments (Fig. 4.30.b).

Vue de coté

CJ Corps rigide ~ Ressort non linéaire de translation

Cl Ressort non-linéaire de rotation lflli Mur rigide associé à. une liaison pivot

Figure 4.28. : Modélisation multi-corps rigides avec 9 ressorts de rotation non-linéaires.



140000 120000

z 100000 ._, 80000 t: lê 60000 u 40000

20000

0+-----+--------i 0 0,05

écrasement (rn)

0,1

Figure 4.29. : Caractéristique Effort 1 Déplacement obtenue par l'association des phases de pré-effondrement numérique et de post-effondrement analytique.

3000

-3000

angle (rad)

1= 30°

sa·

117

Figure 4.30.a.: Caractéristiques Moment 1 Angle obtenue par J'association des phases de pré-effondrement numérique et de posteffondrement analytique obtenue par le modèle cinématique en flexion pour des angles d'orientation de section de 30° et de 58° .

e ~Uf

y

Figure 4.30.b. : Orientation de J'axe de flexion de la rotule par rapport à l'axe local de la section.


Chqgitre4: Validation 118

2.5. Confrontation des résultats :

Les résultats de la simulation numérique avec le code de calcul multi-corps CRASH3D sont

comparés avec les résultats des simulations éléments finis poutres (213) et coques (103). La

confrontation est faite autant d'un point de vue qualitatif que quantitatif. Nous comparons dans un

premier temps les mécanismes de déformation trouvés dans chacune des approches à différents

instants (Figs. 4.31.a-h). Les déformées des modèles des trois approches sont quasiment similaires

aux différents instants de temps considérés. Au temps final les déformées ont la même allure et la

position des corps rigides du modèle multi-corps décrit convenablement le modèle éléments finis

coques. Nous observons que le modèle poutres ne reproduit pas correctement les grandes

déformations plastiques localisées dans les coudées.

Ensuite, nous comparons les réponses écrasement/temps, vitesse/temps et

accélération/écrasement de noeud qui correspond à la liaison longeron/habitacle (Figs. 4.32.a-c).

Sur les modèles éléments finis (103 et 213) et multi-corps, ce noeud correspond au centre de gravité

du corps rigide guidé de la partie arrière pour lequel les décélérations, vitesses et déplacements sont

calculés.

Les résult~ts obtenus .. par la simulation utilisant le modèle multi-corps rigides sont très

satisfaisants en comparaison des résultats éléments .finis du modèle coques. D'un point de vue

quantitatif, les différentes réponses du modèle multi-corps sont très proches de celles du modèle

éléments coques. __

La courbe accélération/écrasement du modèle multi-corps présente des oscillations plus

importantes en fin d'écrasement de la barre non-linéaire (jusqu'à 120 mm d'écrasement), dues au

fait que le couplage entre les chargements de compression et de flexion, même s'il est pris en

compte dans les caractéristiques des ressorts non-linéaires, est modélisé séparément par des joints

distincts.

Le tableau 4.5 nous donne les résultats en termes d'écrasement final, de vitesse finale,

d'accélération finale et d'énergie dissipée au temps 30ms·1 lors du choc de la structure pour les

approches éléments finis coques, éléments fmis poutres et multi-corps rigides.


Chcwitre4: Validation 119

Tableau 4.5. : Tableau de synthèse des résultats.

Modèle EF de Modèle EF Modèle erreur erreur Référence (1 03) Poutres (213) Multi-corps

P/R R p M

M/R

Ecrasement total (mm) 308,17 180 297,93 -41,6% -3,3% ' '

Vitesse finale (mis) 7,3 0,2 7,39 -97,2% 1,2%

Accélération fmale (m/s2) 97,26 0 94,95 100% -2,4%

Energie dissipée (J) 7932 8999 7906 13,5% 0,3%

L'ensemble des résultats indique une excellente corrélation entre le modèle multi-corps et le

modèle éléments finis de référence. Les erreurs relatives n'excèdent jamais 3,5 %.

L'énergie cinétique initiale est calculée à partir d'une vitesse initiale de l5m/s et d'une

màsse de 80 kg (2x40kg), ce qui nous donne 9000 J. En .considérant-qu'à 30 ms seule la demi

masse arrière de 40 kg est encore en mouvement, nous en déduisons la dissipation énergétique pour

les trois approches.

Nous pouvons conclure que la modélisation éléments finis poutres fournit des écarts trop

importants par rapport à la modélisation éléments finis coques pour être prise en considération. Son

seul intérêt pour nous est son utilisation pour détecter les zones subissant de grandes déformations.

Bien qu'il s'agisse d'un modèle poutre adapté pour les grands déplacements et grandes rotations, il

demeure toutefois impossible de reproduire les mécanismes d'effondrement et de post-effondrement

locaux des profilés à parois minces.

La modélisation multi-corps s'avère suffisamment efficace pour être utilisée en phase de

préconception. Les temps très courts de calcul et de modélisation permettent de souligner les zones

qui subissent de grandes déformations plastiques et d'avoir une bonne estimation de la dissipation

énergétique. En effet, la simulation de la collision de ce longeron pour une durée de 30m/s nécessite

28 heures en temps CPU sur une station de travail HP 9000 série 730 dans le cas du modèle coques,


Chqgitre4: Validation 120

et seulement quelques minutes pour le modèle multi-corps. Couplée aux modèles analytiques qui

donnent presque instantanément les caractéristiques non-linéaires des ressorts de translation et de

rotation, cette approche montre son efficacité dans un processus de conception itératif et permet aux

ingénieurs de retenir les premières solutions technologiques avant d'entreprendre une modélisation

plus fine mais plus coûteuse.

Figure 4o3lao : Vue de face des déformées des modèles coques, poutres et multi-corps pour le temps initial 0

Figure 4o3lbo: Vue de côté des déformées des modèles coques, poutres et multicorps pour le temps initial 0



Figure 4.3lf.: Vue de côté des déformées des modèles coques, poutres et multicorps pour un temps de 20ms.

Figure 4.3lg.: Vue de face des déformées des modèles coques, poutres et multicorps pi:>ui: un temps de 30ms.

Figure 4.3lh. :Vue de côté des déformées des modèles coques, poutres et multicorps pour un temps de 30ms.


122

Chqpitre4: Validation

0,3

0.25

! 0,2

1 0,15 .. .. 1! 0,1 ... '"'

0,05

0

0 0,01 0,02

temps (s)

0,03

123

-Pamcrash (coque 103)

-.-crash3D -+- Pamcrash (poutre 213)

0,04

Figure 4.32a. : Comparaison de la courbe traduisant l'écrasement en fonction du temps entre les modèles éléments finis coques et poutres et le modèle multi-corps.

15

12

3

0 0,01 O,Q2

temps (s)

-Pancrash (coque 103)

~Crash3d

......... Pancrash (poutre 213)

0,03 0,04

Figure 4.32c. : Comparaison de la courbe traduisant la vitesse en fonction du temps entre les modèles éléments finis coques et poutres et le modèle multi-corps.



600

400

200 .-. .. .., s 0

"-' 1:1 -200 .i .. f -400 :!! '"' Col -600 Col

--Pamcrash (coque 103)

Il

-800 8 Crash30

-1000 --· * · -Pamcrash (poutre 213) . ,• -1200

écrasement (m)

Figure 4.32b. : Comparaison de la courbe traduisant la décélération en fonction de l'écrasement entre les modèles éléments finis coques et poutres et le modèle multi-corps.

3. Conclusion. Dans la première partie de ce chapitre, nous avons montré que les modèles analytiques en

compression et en flexion étaient des outils fiables de détermination des caractéristiques non

linéaires des ressorts pour la modélisation multi-corps. Ces modèles analytiques répondent aux

objc;ctifs d'une étude en phase d'avant projet et permetten~. grâce à des temps de réponse très . .

couns, d'optimiser chacun des sous-composants d'une structure. Nous avons ensuite aborder le

problème de la détermination des zones de grandes déformations plastiques et en particulier celui de

la localisation des rotules plastiques indispensables à la construction d'un modèle multi-corps

représentatif du comportement en collision d'une structure automobile. Pour cela nous appliquons

la méthode présentée au chapitre précédent, qui est la plus adéquate lorsque les mécanismes

d'effondrement sont tridimensionnels et où l'orientation du plan de flexion des rotules plastiques est

donc nécessaire. Celui-ci est, en effet, indispensable pour obtenir les caractéristiques représentatives

de l'effondrement en flexion par le modèle analytique correspondant. Nous présentons enfin une

confrontation des résultats de la modélisation multi-corps obtenue pour un longeron simplifié avec

ceux d'un modèle éléments finis coques de référence. Nous avons effectué des comparaisons d'un

point de vue qualitatif et quantitatif. Ceux-ci semblent tout à fait acceptables et répondent à nos

attentes dans une phase de préconception. Nous comparons aussi nos résultats à une modélisation

poutres élasto-platiques afin de montrer que même si certaines méthodes peuvent présenter des


Chaoitre4: Validation 125

temps très courts de modélisation et de calcul, elles peuvent ne pas donner des résultats

satisfaisants. Ces modèles poutres ne peuvent pas en effet reproduire les modes d'effondrement

locaux des composants. Une approche par des modèles plaques comme celle employée par les

modèles analytiques est donc plus réaliste.


Chapi{re4: Validation 126


1. ABRAMOWICZ W., JONES N.: "Dynamic Axial Crushing of Circular ubes", Int. J. Impact

Engng, Vol 4, pp. 243-270, (1986)

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3. OHKAMI Y., TAKADA K., MOTOMURA K., SHIMAMURA M., TOMIZAWA H.,

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5. MARKIEWICZ E. Contribution au développement d'une méthodologie simplifiée d'aide au

design collision des véhicules de transport pendant la phase de préconception: introduction

du concept de super éléments de pliage, thèse de doctorat, Université de Valenciennes,

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6. MARKIEWICZ E., CORNETTE D., PAYEN F., DRAZETIC P., : "Simplified Vehicle

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7. THIRION J.L., GEOFFROY J.L., THIRION I., RUBIANES J. Effect of the mechanical

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Symposium, Valenciennes, France (1995).

8. PAMCRASH, User's manual, Engineering System International, Version 1996.


Conclusion Générale 127

CONCLUSION GENERALE

La présente recherche a eu pour but de contribuer au développement d'une

méthodologie de conception au choc des véhicules automobiles en phase d'avant projet, en

partenariat avec le Laboratoire d'Etude et de DEveloppement des Produits Plats (LEDEPP)

de la société SOLLAC.

Le premier chapitre présente les différents outils et problèmes rencontrés par les

concepteurs automobiles. ll ressort de l'étude bibliographique que l'approche globale b~ée

sur les modèles multi-corps est un outil approprié pour la phase de préconception. Les

modèles multi-corps se distinguent par une mise en données relativement simple. Cependant,

les mécanismes développés lors du comportement au crash de structures automobiles sont

tridimensionnels et l'ajout d'une troisième dimension augmente considérablement les temps

de calculs. L'utilisation de ces modèles est en outre, limitée du fait des caractéristiques à

introduire au niveau des ressorts non-linéaires, mais aussi par la façon de positionner

judicieusement les différents joints de déformations afin que la cinématique de déformation

soit représentative du comportement réel de la structure.

Le· deuxième chapitre présente un formalisme multi-corps permettant de modéliser le

mouvement en dynamique de systèmes mécaniques articulés rigides de grandes tailles. Nous

avons opté pour l'association de deux concepts déjà efficaces séparément. Nous avons

développé une modélisation des systèmes mécaniques articulés rigides avec les coordonnées

naturelles, associée à une formulation des équations de la dynamique selon le principe de

Kane. La description du système multi-corps à l'aide des coordonnées naturelles est très

conviviale et diminue le nombre des variables descriptives de ce système. Les liaisons

cinématiques nécessaires pour la défmition des joints de déformation sont, soit implicites

(rotule ou pivot), soit faciles à mettre en œuvre (cylindrique ou glissière). L'écriture des

équations du mouvement sous forme matricielle a dégagé plusieurs avantages du couplage de

ces deux concepts. Nous avons montré que la matrice des vitesses généralisées partielles était

facilement obtenue par une diagonalisation de Gauss-Jordan. Cette matrice nous permet

d'écrire un système d'équations différentielles du second ordre à nddl inconnues. La

résolution du système donne alors le vecteur des accélérations généralisées. Puis, nous avons



défini les caractéristiques analytiques des corps rigides pour différentes représentation en

coordonnées naturelles afin d'appréhender la modélisation d'éléments de châssis automobile.

Au cours du troisième chapitre, nous présentons les outils, indispensables à la

réalisation d'un modèle multi-corps du choc d'une structure automobile, qui correspondent

aux attentes du concepteur pour une phase d'avant projet. Nous proposons dans un premier

temps des modèles analytiques généralisés pour la détermination des réponses en

compression axiale et en flexion pure des profilés à parois minces, de géométrie complexe.

Ceux-ci sont les plus adaptés, en phase de préconception, pour l'obtention des

caractéristiques des ressorts non-linéaires du modèle multi-corps. Par des temps de

modélisation et de réponse très courts, ils permettent d'optimiser la conception de chacun des

composants strùcturaux, de traiter un échantillon de profilés relativement large et d'obtenir la

réponse pour un plan de flexion quelconque. Nous présentons ensuite une méthode de

localisation des zones de grandes déformations en compression et en flexion. Celle-ci est

basée sur une utilisation couplée d'un modèle éléments finis poutres élasto-plastiques à parois

minces sous chargement dynamique et des modèles analytiques de caractérisation du

comportement en compression et en flexion. Cette méthode présente l'avantage d'améliorer

les caractéristiques des ressorts non-linéaires pour les phases de pré-effondrement des

composants dans le cas de sollicitations complexes. Dans le cas d'un effondrement en

flexion, elle permet de déterminer le plan réel de flexion de la charnière plastique en vue de

l'obtention des caractéristiques de post-effondrement ..

Lè quatrième chapitre valide les différents concepts présentés lors des deux chapitres

précédents. Nous effectuons, dans un premier temps, une validation des outils d'aide à la

modélisation multi-corps du choc des structures par des essais numériques et expérimentaux

de compression axiale et de flexion pure sur des profilés automobiles. Nous traitons une

application tridimensionnelle de collision d'un longeron automobile de type poutre en 'S' à

double courbure où la méthode de localisation des zones de grandes déformations plastiques

est appliquée pour la création d'un modèle multi-corps représentatif du comportement de la

structure. Les résultats de la simulation numérique multi-corps sont comparés à ceux d'un

modèle élément fmis de référence. Les comparaisons sont effectuées d'un point de vue

qualitatif et quantitatif. Ceux-ci sont tout à fait acceptables et répondent aux attentes des

concepteurs dans une phase de d'avant projet. Nous comparons aussi nos résultats à une

modélisation poutres élasto-platiques afin de montrer que même si certaines méthodes

peuvent présenter des temps très courts de modélisation et de calcul, elles peuvent ne pas

donner des résultats satisfaisants.



Les travaux effectués sont concrétisés par le développement du progiciel CRASH3D.

Celui-ci est en cours d'intégration dans le code de calcul PAMCRASHTM développé par la

société Engineering System International dans le cadre d'une collaboration avec SOLLAC.

L'objectif de cette intégration est, d'une part, d'avoir accès aux différents algorithmes de

gestion du contact du code éléments finis, d'autre part. d'aborder des modélisations hybrides

(multi-corps-éléments finis) pour des structures dont certains composants ne peuvent être

traiter par les approches globales ou dans le cas d'amélioration d'un véhicule existant où

seuls certains composants sont à optimiser.

L'ensemble de ces résultats constitue une contribution au développement d'une

méthodologie de conception au choc des véhicules automobiles en phase d' àvant projet.

Néanmoins, des recherches doivent être entreprises pour compléter ce travail.

Celles-ci peuvent être menées tout d'abord au niveau du formalisme multi-corps, où

l'obtention des vitesses partielles généralisées par la méthode de Gauss-Jordan est un outil

robuste et fiable mais qui peut-être remplacée par d'autres méthodes de décomposition en

valeurs singulières afin d'en optimiser le coût opératoire. La résolution des équations de la

dynamique est réalisée avec l'algorithme de Runge-Kutta, auquel est associé une stabilisation

de Baumgarte. Cette solution est un premier pas dans la résolution, et bien qu'elle nous donne

des résultats tout à fait satisfaisants (comme nous le montrons dans le chapitre 4), pour des

modèles plus complexes, il sera peut-être nécessaire 9e se tourner vers d'autres techniques

plus fiables; mais aussi·plus coûteuses en temps de calcul.

Des recherches peuvent être menées, ensuite, au niveau du modèle analytique en

flexion. Le mode de chargement de la rotule que nous avons considéré est quasi-statique. Or,

dans les études de collision, la sensibilité des aciers à la vitesse de déformation ainsi que les

effets inertiels, notamment l'inertie dynamique latérale des plaques constituants le profilé,

deviennent des paramètres importants dans la prédiction de la réponse en flexion. Une étude

du comportement dynamique des rotules plastiques est donc à envisager afm d'établir à l'aide

de modèles constitutifs une correction dynamique. Des travaux doivent être poursuivis en vue

d'accroître davantage le domaine de validité des modèles cinématiques en compression et en

flexion aux nouveaux designs de profùés, notamment à géométrie variables, comme par

exemple des longerons à profil trapézoïdal, mais aussi la prise en compte des rayons de

raccordement et de leur changement d'épaisseur, ceux-ci provoquant des zones de

déformations en extension non négligeables.


Résumé

En phase d'avant projet, les constructeurs automobiles veulent avoir accès à une méthodologie de simulation et d'optimisation au choc qui permet d'avoir une idée rapide du comportement des différentes conceptions. Les grandes déformations plastiques localisées lors du choc d'une structure rendent possible l'utilisation de la dynamique des multi-corps en modélisant celles-ci par des ressorts non-linéaires. Nous présentons les coordoMées naturelles qui permettent de décrire rapidement un modèle .ll)ulti-corps d'une structure automobile avec un minimum de variables. Nous associons à cette description le principe de Kane pour la formulation des équations du mouvement. Nous développons des modèles cinématiques de manière à déterminer analytiquement la résistance à l'effondrement de structures à parois minces, de géométrie complexe, soumises à des chargements de flexion et

· de compression. Une méthode originale de localisation des grandes déformations plastiques est présentée. Elle couple les résultats analytiques pour les composant locaux et ceux d'un modèle élément fmis poutre. Cette méthode détermine le nombre et la position des joints de déformation, afm d'optimiser les temps de calcul, et améliore les caractéristiques des ressorts non-linéaires pour la phase de pré-effondrement pour des chargements complexes. Nous confrontons les modèles analytiques à des simulations numériques ainsi qu'à des essais expérimentaux. En utilisant un exemple d'un longeron en "S" de type automobile, la modélisation multi-corps développée, les modèles analytiques et la méthode de localisation sont validés sur un modèle éléments fmis de référence. Les résultats obtenus font de cette approche un outil performant pour une estimation rapide du comportement au choc des structures automobiles.

Mots Clés: multi-corps, choc automobile, flambement, effondrement, modèles cinématiques

Abstraçt

During the design phase, the manufacturer wants to have access to a simulation and crash optimization methodology which enables him to have a quick and ropgh idea about the behaviour of several alternative designs. The localized large plastic deformation of a structure allows one to apply rigid body dynamics to modellarge plastic deformations of the structure by using generalized spring elements to represent the plastic characteristics of the structural components. A spatial multibody system with natural coordinates which are Cartesian coordinates of po~ts and components of vectors is described. This description of the multibody system is used in conjonction with Kane's method to obtain the dynamical equations of motion. Distinct kinematic models have been developed in order to analytically determine the resistance to collapse of thin-walled structures, of relatively complex geometry, subjected to compression or bending loading. An original method for the localization of the large plastic deformation based on the comparison between analytical results for the local components and a global bearn fmite element model is presented. The localization ~ethod determine the number and position the deformation joints so as to optimize the calculation time and improve the characteristics of the non-linear springs for the pre-collapse stage in the case of dynamic loading and for complexes structures. We validate these analytical models with fmite element calculations and experimental tests. Using an example of a double curvature "S" frame undergoing a collision against a rigid block, the spatial multibody modelling and the localization method are tested where ttanslational and rotational springs are supplied by the results of kinematic models and bearn elements. After comparison between this simplified modelling's results and the FE numerical calculations, this approach appears to be a promising tool for rapid estimations of crash behaviour of car structures.

Keywords: 111 ls Uillliotheque .. llni~ersil aim.de .. \ alenciennes

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