Ćwiczenia.laboratoryjne.z.biofizyki

Beata Mycek, Maria Wjcik-Jawie, Sebastian Boek, Wojciech Jawie

wiczenia laboratoryjne z biofizyki

Skrypt dla studentw Wydziau Farmaceutycznego Collegium Medicum Uniwersytetu Jagielloskiego.

Krakw 2008.

Spis treci. Wstp .......................................................................................................................................... 1 wiczenie 1: Podzespoy i pomiary elektroniczne. ........................................................... 2

Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................... 2 1.1 Prd elektryczny. .................................................................................................... 2 1.2 Pojemno elektryczna. Kondensatory. ................................................................. 2 1.3 Prawa przepywu prdu. Opory i ich czenie. ....................................................... 4 1.4 Prawo indukcji Faraday'a. Indukcyjno. ............................................................... 5 1.5 Zasada pomiarw napicia i natenia. .................................................................. 6 1.6 Zjawisko Seebecka. ................................................................................................ 6 1.7 Prawo stygnicia Newtona. ..................................................................................... 7

Zagadnienia do kolokwium. ................................................................................................... 8 Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. ........................................................................... 8

wiczenie 2: Przetwarzanie sygnaw. .............................................................................. 9 Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................... 9

2.1 Ruch harmoniczny .................................................................................................. 9 2.2 Fale akustyczne. .................................................................................................... 12 2.3 Wysoko dwiku ............................................................................................... 13 2.4 Natenie dwiku i wraenie gonoci .............................................................. 14 2.5 Dwiki zoone ................................................................................................... 15 2.6 Sygnay elektryczne. ............................................................................................. 17 2.7 Twierdzenie Fouriera. ........................................................................................... 17

2.7.1 Graficzna interpretacja twierdzenia Fouriera ................................................... 19 2.8 Literatura. .............................................................................................................. 21

Zagadnienia do kolokwium. ................................................................................................. 21 Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. ......................................................................... 22

wiczenie 3: Falowe wasnoci wiata. ........................................................................... 23 Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................. 23

3.1 Podstawowe pojcia. ............................................................................................. 23 3.2 Zasada Huygensa. ................................................................................................. 25 3.3 Interferencja .......................................................................................................... 25 3.4 Dyfrakcja. ............................................................................................................. 26

3.4.1 Duga szczelina o szerokoci d. ........................................................................ 27 3.4.2 Wiele szczelin odlegych o d - siatka dyfrakcyjna. .......................................... 28 3.4.3 May otwr koowy o rednicy d. ..................................................................... 28 3.4.4 Twierdzenie Babineta. ...................................................................................... 30 3.4.5 Dyfrakcja a zdolno rozdzielcza mikroskopu. ................................................ 30

3.5 Waciwoci wiata laserowego. ......................................................................... 30 3.5.1 Kolimacja i spjno. ........................................................................................ 30 3.5.2 Natenie .......................................................................................................... 30 3.5.3 Jednobarwno .................................................................................................. 30 3.5.4 Polaryzacja ........................................................................................................ 31

3.6 Literatura uzupeniajca. ....................................................................................... 31 Zagadnienia do kolokwium. ................................................................................................. 31 Bezpieczestwo pracy z laserem. ......................................................................................... 31 Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. ......................................................................... 31

wiczenie 4: Formy przewodnictwa elektrycznego. ...................................................... 32 Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................. 32

4.1 Definicje. ............................................................................................................... 32

4.2 Przewodnictwo elektronowe. Przewodniki, pprzewodniki, izolatory, nadprzewodniki. ................................................................................................................ 32 4.3 Nadprzewodnictwo. .............................................................................................. 38 4.4 Przewodnictwo jonowe. ........................................................................................ 40

4.4.1 Przewodnictwo elektryczne roztworw elektrolitw. ...................................... 40 4.4.2 Stae przewodniki jonowe. ................................................................................ 42 4.4.3 Przewodnictwo elektryczne gazw ................................................................... 43

4.5 Literatura. .............................................................................................................. 44 Zagadnienia do kolokwium. ................................................................................................. 44 Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. ......................................................................... 45

wiczenie 5: Rentgenografia. ........................................................................................... 46 Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................. 46

5.1 Lampa rentgenowska. ........................................................................................... 46 5.1.1 Budowa i dziaanie lampy rentgenowskiej ....................................................... 46 5.1.2 Widmo promieniowania lampy rentgenowskiej ............................................... 47 5.1.3 Krtkofalowa granica promieniowania. ........................................................... 49

5.2 Oddziaywanie kwantw promieniowania z materi. ........................................... 49 5.2.1 Zjawisko fotoelektryczne. ................................................................................. 50 5.2.2 Zjawisko Comptona. ......................................................................................... 50 5.2.3 Zjawisko Rayleigha .......................................................................................... 51

5.3 Przechodzenie promieniowania przez materi. .................................................... 51 5.3.1 Przekrj czynny ................................................................................................ 51 5.3.2 Przenikliwo promieniowania ......................................................................... 52

5.4 Krystalografia rentgenowska. ............................................................................... 53 5.4.1 Budowa krysztaw .......................................................................................... 53 5.4.2 Dyfrakcja promieniowania rentgenowskiego na sieci krystalicznej ................ 54

5.4.2.1 Obrazy Lauego .......................................................................................... 54 5.4.2.2 Rwnania Lauego ..................................................................................... 56 5.4.2.3 Rwnanie Bragga ...................................................................................... 60 5.4.2.4 Metoda Debyea-Scherrera. ...................................................................... 61

5.5 Bibliografia. .......................................................................................................... 63 Zagadnienia do kolokwium. ................................................................................................. 63 Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. ......................................................................... 63

wiczenie 6: Spektroskopia optyczna. ............................................................................ 65 Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................. 65

6.1 Atomowa spektroskopia emisyjna. ....................................................................... 65 6.1.1 Wzbudzanie atomw: ....................................................................................... 65 6.1.2 Emisja promieniowania .................................................................................... 66

6.1.2.1 Emisja spontaniczna ................................................................................. 66 6.1.2.2 Emisja wymuszona ................................................................................... 67

6.1.3 Rozszczepienie promieniowania ...................................................................... 67 6.1.3.1 Pryzmat ..................................................................................................... 67 6.1.3.2 Siatka dyfrakcyjna .................................................................................... 67

6.1.4 Obserwacja widma ............................................................................................ 67 6.1.5 Omwienie linii serii Balmera w widmie atomu wodoru. ................................ 69


wiczenie 7: Lepko cieczy. ............................................................................................ 72 Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................. 72

7.1 Definicja lepkoci. ................................................................................................ 72 7.1.1 Ciecze niutonowskie i nieniutonowskie. .......................................................... 73 7.1.2 Czynniki wpywajce na lepko cieczy. ......................................................... 75 7.1.3 Rodzaje przepyww cieczy. ............................................................................ 76 7.1.4 Wyznaczanie lepkoci cieczy. .......................................................................... 78

7.1.4.1 Pomiar lepkoci w wiskozymetrze Hpplera. ........................................... 79 7.2 Literatura. .............................................................................................................. 79

7.2.1 Literatura uzupeniajca .................................................................................... 80 Zagadnienia do kolokwium. ................................................................................................. 80 Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. ......................................................................... 80

wiczenie 8: Oddziaywanie promieniowania jonizujcego z materi. ....................... 81 Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................. 81

8.1 Osabienie wizki promieniowania. ...................................................................... 81 8.1.1 Prawo osabienia wizki. .................................................................................. 81 8.1.2 Wspczynniki osabienia wizki ..................................................................... 82

8.2 Krawd absorpcji. ............................................................................................... 83 8.3 Pomiary promieniowania ...................................................................................... 84

8.3.1 Budowa i dziaanie licznika Geigera-Mllera .................................................. 85 8.3.2 Dozymetria ........................................................................................................ 86

8.4 Biologiczne skutki promieniowania jonizujcego. ............................................... 88 8.4.1 Hipoteza liniowa i hormeza radiacyjna ............................................................ 89


wiczenie 9: Magnetyczny rezonans jdrowy. ............................................................... 92 Przygotowanie teoretyczne. .................................................................................................. 92

9.1 Istota zjawiska magnetycznego rezonansu jdrowego. ........................................ 92 9.1.1 Sygna swobodnej precesji. ............................................................................... 94

9.2 Widma NMR zwizkw chemicznych. ................................................................ 94 9.3 Tomografia NMR ................................................................................................. 95 9.4 Literatura ............................................................................................................... 95

Zagadnienia do kolokwium. ................................................................................................. 95 Zasady bezpieczestwa. ........................................................................................................ 95 Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. ......................................................................... 95

Podzespoy i pomiary elektroniczne 1

Wstp Niniejszy skrypt dostosowany jest do programu wicze laboratoryjnych z biofizyki dla studentw Wydziau Farmaceutycznego Collegium Medicum Uniwersytetu Jagielloskiego. Skrypt ma uatwi przygotowanie si do wicze. Rozdziay skryptu odpowiadaj kolejnym wiczeniom. Gwn cz kadego rozdziau stanowi przygotowanie teoretyczne zawiera ono minimum wiedzy wymaganej od studenta przystpujcego do wiczenia. Na og wic nie zachodzi potrzeba korzystania z dodatkowej literatury, cho oczywicie gorco zachcamy do poszerzenia swej wiedzy ponad obowizkowe minimum. Dla uatwienia podajemy rwnie wykaz zagadnie, ktre naley opanowa. Wymieniamy te skrtowo czynnoci laboratoryjne skadajce si na wiczenie. Ponadto, tam gdzie jest to konieczne, podajemy zasady bezpieczestwa pracy. Ich znajomo jest obowizkowa. Druki sprawozda, w ktrych zawarta jest szczegowa instrukcja wykonania wiczenia, dostpne s w Internecie: http://www.farmacja.cm-uj.krakow.pl/dyd/biofiz.

2

wiczenie 1: Podzespoy i pomiary elektroniczne.

Przygotowanie teoretyczne.

1.1 Prd elektryczny. Prd elektryczny jest to uporzdkowany ruch dowolnego rodzaju adunkw elektrycznych (np. swobodnych elektronw w metalach lub jonw w elektrolitach), zwykle zachodzcy pod wpywem pola elektrycznego. Przewodniki to ciaa, w ktrych adunki mog si swobodnie przemieszcza; ciaa o umiejscowionych adunkach nazywamy dielektrykami. Grupa cia o wasnociach porednich nazywa si pprzewodnikami. W ujemnie naadowanym przewodniku metalicznym dodatkowe elektrony gromadz si na powierzchni; w dodatnio naadowanym przewodniku na jego powierzchni wystpuje niedobr elektronw. Przewodnik moemy traktowa jak ciao naadowane powierzchniowo, czyli w jego wntrzu pole jest zerowe, a potencja stay (obszar ekwipotencjalny). W najbliszym ssiedztwie naadowanego przewodnika natenie pola zaley od gstoci powierzchniowej adunku.

1.2 Pojemno elektryczna. Kondensatory. Wyobramy sobie ukad dwu odizolowanych przewodnikw. Jeden z nich adujemy adunkiem q, na drugi wprowadzamy adunek przeciwny: -q. Taki ukad dwch przewodnikw nazywa si kondensatorem. Pojemnoci elektryczn kondensatora (C) nazywamy stosunek wielkoci adunku q zgromadzonego na jednym z przewodnikw do powstaej w wyniku tego rnicy potencjaw U:

UqC = [ F ]

Jednostka: V 1C 1 F 1 = , F farad, C kulomb, V wolt

Dwie rwnolege pytki przewodnika o powierzchni rwnej S i odlege od siebie o d tworz kondensator paski, ktrego pojemno wynosi

dSC =

- przenikalno dielektryczna prni, = 8.85410-12 [ C V-1 m-1] Jeli pytki rozdzielone s nie prni, lecz orodkiem materialnym, pojemno takiego ukadu wzrasta r razy, gdzie r nazywa si wzgldn przenikalnoci dielektryczn tego orodka:

dSC r 0=

Kondensator cylindryczny stanowi dwa wsposiowe cylindry, np. o promieniach rwnych a i b i dugoci l. Jego pojemno jest rwna:

ab

lC r

ln

2

=

Kondensatory czy si w obwodach rwnolegle lub szeregowo. Dla pocze rwnolegych dodaj si adunki kondensatorw (rys. 1.1 a) i wypadkowa pojemno wynosi =

ii C C


W poczeniach szeregowych (rys. 1.1 b) dodaj si napicia na kolejnych kondensatorach, a wypadkowa pojemno wynosi

=i iC

C

11

C1

C1

C

C2

C2 C

Q1

Q

Q

Q

Q +1 Q2Q2U U

U1

U +U1 2

U2

a)

b) Rys. 1.1. czenie kondensatorw a) rwnolege b) szeregowe

Nateniem prdu (I) nazywamy pochodn adunku (q) przepywajcego przez dany przekrj poprzeczny przewodnika wzgldem czasu (t)

dtdq I = [A] ,

Jednostka: s 1

C 1 A 1 = , A amper, s - sekunda

Za kierunek przepywu prdu przyjto umownie kierunek ruchu adunkw dodatnich; w metalach przepyw adunku jest zwizany z ruchem elektronw, czyli faktycznie elektrony poruszaj si w przeciwnym kierunku ni pynie prd. Przepyw prdu jest rwnie charakteryzowany wektorem gstoci prdu (j) na powierzchni (dS) dI=dSjo , Gsto prdu mona wyrazi za pomoc gstoci (n) nonikw adunku (q) oraz ich prdkoci (v) vj qn= Z wyjtkiem materiaw nadprzewodzcych, prd elektryczny moe trwale pyn tylko wtedy, gdy istniej zewntrzne czynniki podtrzymujce ruch adunkw. Przy braku tych

4

czynnikw natenie prdu wzbudzonego w zamknitej przewodzcej ptli o okrelonym oporze zanika do zera. Prd mog podtrzymywa czynniki zewntrzne zwane elektromotorycznymi. Warunkiem funkcjonowania rda jest dziaanie nieelektrycznego czynnika elektromotorycznego, typu np.: mechanicznego, chemicznego, magnetycznego, cieplnego, wietlnego lub promieniotwrczego.

1.3 Prawa przepywu prdu. Opory i ich czenie. Przepywem prdu rzdz prawa Ohma i Kirchhoffa. I prawo Kirchhoffa dotyczy wzw obwodu elektrycznego, tzn. punktw, w ktrych zbiega si kilka przewodw. Mwi ono, e suma algebraiczna nate prdw wpywajcych do wza jest rwna zeru 0 =

ii I

II prawo Kirchoffa dotyczy obwodw zamknitych lub tzw. oczek: w obwodzie zamknitym suma si elektromotorycznych jest rwna sumie omowych spadkw napi na poszczeglnych oporach i

ii

ii R I E =

Zgodnie z I prawem Ohma napicie (U) panujce na zaciskach przewodnika jest proporcjonalne do natenia prdu

Jednostki: U = R I [ V ], 1 V = 1 1 A, - om

Wspczynnik proporcjonalnoci (R) nazywamy oporem przewodnika; odwrotno oporu R1

nazwano przewodnoci. Opr przewodnika jest proporcjonalny do jego dugoci (l) i odwrotnie proporcjonalny do przekroju (S) co wyraa si wzorem, zwanym II prawem Ohma:

S

lR = (1)

jest oporem waciwym [m];

1

= - przewodno waciwa

Opory czy si w obwodach rwnolegle lub szeregowo. Dla pocze rwnolegych dodaj si natenia prdw pyncych przez ukad i wypadkowy opr wynosi:

=i iR

R

11

W poczeniach szeregowych dodaj si napicia na kolejnych oporach i wypadkowy opr wynosi =

ii R R

Praca oraz moc prdu elektrycznego zale od napicia i natenia prdu i wyraaj si rwnaniami RtIUItW 2== [ J ],

RIUIt

WP 2=== [W],

Jednostki: 1 J = 1 C 1 V, 1 W = 1 A 1 V, J dul, W - wat Prd o nateniu I przepywajc przez przewodnik, zgodnie z prawem Joulea-Lenza, wydziela energi ciepln (Q) rwnowan pracy prdu RtIUItQ 2==


1.4 Prawo indukcji Faraday'a. Indukcyjno. Wok przewodnika w ktrym pynie prd elektryczny powstaje pole magnetyczne, poniewa rdami i obiektami oddziaywa magnetycznych s ruchome adunki elektryczne. Pole magnetyczne okrela wektor indukcji magnetycznej B, definiowany wzorem na si Lorentza BvF = q Na dodatni adunek q poruszajcy si z prdkoci v w polu o indukcji B dziaa sia F. Iloczyn wektorowy okrela kierunek dziaania siy. Dla adunku ujemnego kierunek siy jest przeciwny. W polu elektromagnetycznym mona zaobserwowa zjawiska indukcji prdu elektrycznego oraz zjawisko samoindukcji. Pierwsze polega na obserwacji przepywu prdu elektrycznego w przewodzcej cewce podczas zbliania lub oddalania od niej magnesu lub podczas czenia lub przerywania obwodu z prdem w innej, pobliskiej cewce zastpujcej ruch magnesu. Prawo indukcji Faraday'a gosi, e indukowana w obwodzie sia elektromotoryczna jest rwna szybkoci, z jak zmienia si strumie indukcji magnetycznej przechodzcy przez ten obwd

dt

dE B= [ V ]

gdzie cos B SB == SB o . Znak minus, nie ma tu przejrzystej interpretacji, ale jest potrzebny dla zachowania zgodnoci z innymi wzorami. Indukowana sia elektromotoryczna pojawia si w cewce rwnie w sytuacji, gdy zmiany strumienia wynikaj ze zmian prdu elektrycznego pyncego w tej samej cewce (sia elektromotoryczna samoindukcji).

dtdILE = [ V ],

L indukcyjno cewki [ H ],

Jednostki: 1 H = A 1

s 1 V 1, H - henr

Sia elektromotoryczna samoindukcji przeciwdziaa zmianie prdu; przy jego wzrocie indukowany prd pynie w przeciwnym kierunku. Prd przemienny. Prd elektryczny, ktrego natenie zmienia si w czasie, nazywamy zmiennym. Prdem przemiennym nazywamy prd zmienny, ktrego natenie jest okresow funkcj czasu. tII sin0=

Okresem zmian prdu jest

2=T .

rdem prdu przemiennego s prdnice indukcyjne, dla ktrych warto siy elektromotorycznej opisuje wzr ( ) += tEE sin0 Midzy SEM i nateniem prdu w obwodzie istnieje przewanie przesunicie fazowe (). W cigu jednego okresu prd przemienny przepywajc przez opornik o oporze R wykonuje prac

2

2 TRIW =

Praca ta jest rwna pracy prdu staego, ktrego natenie jest rwne skutecznej wartoci natenia prdu przemiennego

6

2

skII =

Skuteczna warto napicia w obwodzie prdu przemiennego wynosi

2

U 0=skU

Moc wydzielana przez prd przemienny.

cosIU cosI U21 00 skskP ==

1.5 Zasada pomiarw napicia i natenia. Przyrzd sucy do pomiaru napicia nazywa si woltomierzem. Napicie mierzy si midzy dwoma punktami obwodu - to znaczy, e chcc zmierzy spadek napicia na jakim elemencie obwodu (oporniku, kondensatorze itp.) naley woltomierz wczy rwnolegle do tego elementu. Woltomierz powinien w jak najmniejszym stopniu zakca rozkad prdw w obwodzie - dlatego musi mie moliwie duy opr wewntrzny, aby prd pyncy przez przyrzd mona byo zaniedba. Amperomierz jest przyrzdem sucym do pomiaru natenia prdu w obwodzie. Pomiaru dokonuje si w okrelonym punkcie obwodu, tj. naley jakby przeci przewd (w praktyce raczej odczy) i wczy przyrzd midzy dwa koce przecitego przewodu. Zwile wyraamy to mwic, e amperomierz wcza si w obwd szeregowo. Amperomierz nie powinien zakca ukadu napi w obwodzie - dlatego powinien mie moliwie may opr. Obecnie rzadko uywa si przyrzdw jednofunkcyjnych - na og ten sam przyrzd spenia funkcj woltomierza i amperomierza umoliwiajc rwnie wiele innych pomiarw. Rodzaj pomiaru ustawia si odpowiednim pokrtem. Przyrzdy tego rodzaju nazywa si miernikami uniwersalnymi (multimetrami). Typowym bdem przy pracy z takim miernikiem jest prba pomiaru napicia rda zasilania, gdy w rzeczywistoci przyrzd ustawiony jest na pomiar innej wielkoci (natenia, oporu itp.). Pomyka taka w najlepszym wypadku koczy si przepaleniem bezpiecznika i koniecznoci rozebrania miernika. Mierniki uniwersalne czsto pozwalaj rwnie dokonywa pomiarw temperatury przy wykorzystaniu zjawiska termoelektrycznego, zwanego zjawiskiem Seebecka [zeebeka].

1.6 Zjawisko Seebecka. Warunkiem przepywu ciepa przez np. kawaek metalowego drutu jest istnienie rnicy temperatur na kocach tego drutu. Przenoszenie ciepa przez elektrony polega na tym, e w chaotycznym ruchu elektronw pojawia si pewne uporzdkowanie: dominuje ruch w kierunku od cieplejszego do chodniejszego koca drutu. Kady elektron obdarzony jest adunkiem - w efekcie pojawia si prd. Aby ten prd nie zanikn musi mie moliwo ruchu w obwodzie zamknitym. Nie mona jednak tego obwodu zamkn drugim kawakiem takiego samego drutu - ruch cieplny elektronw w tym kawaku da prd dokadnie przeciwny do tego, ktry miaby pyn. Uycie innego przewodnika, w ktrym prd termoelektryczny ma inn warto, dopiero rozwizuje ten problem (rys.1.2).


Rys. 1.2. Obwd termooelektryczny.

Obserwowany prd jest rnic prdw termoelektrycznych wywoanych w obu przewodnikach. Jest to tzw. zjawisko termoelektryczne, a przedstawiony ukad nazywa si termopar i moe by wykorzystywany do pomiaru temperatury.

1.7 Prawo stygnicia Newtona. Newton sformuowa prawo rzdzce przepywem ciepa. Zgodnie z tym prawem szybko przepywu ciepa jest proporcjonalna do rnicy temperatur stygncego ciaa i otoczenia:

TkdtdQ = .

Z prawa tego wynika, e rnica temperatur ciaa i otoczenia zmienia si w czasie zgodnie ze wzorem (prawo stygnicia): tTT = e0 (2) - staa szybkoci stygnicia 0TTT = , 0max0 TTT = T - temperatura ciaa 0T - temperatura otoczenia

maxT - maksymalna (pocztkowa) temperatura ciaa

Logarytmujc wzr (2) otrzymujemy rwnanie liniowe: tTT = 0lnln

Wspczynnik mona wyznaczy na podstawie wykresu )(ln tfT = :

tTT = e0

t

T

t

T

tT T = 0 ln ln

Rys. 1.3. Zaleno temperatury stygncego ciaa od czasu w skali liniowej i logarytmicznej.

8

Zagadnienia do kolokwium. Pole elektromagnetyczne. Prd elektryczny i warunki jego przepywu w obwodzie.

Definicje i jednostki: natenia prdu elektrycznego, napicia, oporu przewodnika, gstoci prdu elektrycznego.

Praca i moc prdu elektrycznego wzory i jednostki. Prawo Joulea-Lenza. Prawo Ohma i prawa Kirchhoffa. Definicja i jednostka pojemnoci elektrycznej. Pojemno elektryczna kondensatora

paskiego i kondensatora cylindrycznego. Prawa czenia opornikw, kondensatorw, cewek. Sia Lorentza. Prawo indukcji Faradaya, definicja strumienia indukcji magnetycznej. Zjawisko indukcji prdu i sia elektromotoryczna indukcji. Zjawisko samoindukcji prdu i sia elektromotoryczna samoindukcji. Jednostka

indukcyjnoci. Charakterystyka prdu przemiennego (natenie prdu, SEM prdnicy indukcyjnej, praca

i moc prdu przemiennego oraz natenie skuteczne prdu i napicie skuteczne). Zjawisko Seebecka. Prawo przepywu ciepa i prawo stygnicia (wzory i objanienia). Wyznaczanie staej

szybkoci stygnicia. Zasady pomiarw natenia prdu oraz napicia.

Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. Oglne zasady posugiwania si miernikiem uniwersalnym. Pomiar SEM i oporu wewntrznego rda prdu przy pomocy miernika uniwersalnego. Pomiary opornoci, pojemnoci i indukcyjnoci. Dowiadczalne sprawdzenie praw czenia opornikw, kondensatorw i elementw indukcyjnych. Wyznaczenie staej dielektrycznej tworzywa sztucznego na podstawie pomiaru pojemnoci kondensatora paskiego (przy okazji zapoznanie si z technik pomiaru gruboci przy uyciu ruby mikrometrycznej). Wyznaczenie charakterystyki opornikw suwakowych (liniowego i logarytmicznego). Pomiar temperatury przy uyciu termopary. Badanie prawa stygnicia. Przedstawianie zalenoci wykadniczych na wykresie w skali plogarytmicznej. Pomiar SEM ogniw galwanicznych ilustracja szeregu napiciowego. Ogniwo steniowe ilustracja powstawania potencjau bonowego.


wiczenie 2: Przetwarzanie sygnaw.

Przygotowanie teoretyczne. Wahado zegara, ciarek drgajcy na sprynie, krcca si karuzela wszystkie te ruchy, pomimo i na pierwszy rzut oka rnice si od siebie, maj ze sob co wsplnego powtarzaj si cyklicznie. Po kadym cyklu wszystko zaczyna si od nowa. Taki regularnie powtarzajcy si w czasie ruch nazywamy periodycznym. Ruch periodyczny mona przedstawi przy pomocy funkcji okresowej. Funkcja okresowa jest to taka funkcja f , ktra dla kadego t spenia warunek

( ) )(tfTtf =+ (1) gdzie 0>T jest okresem tej funkcji. Szczeglnym przypadkiem ruchu periodycznego jest ruch harmoniczny, dajcy si opisa funkcj sinusoidaln.

2.1 Ruch harmoniczny Wyobramy sobie punkt 1P poruszajcy si ruchem jednostajnym po okrgu o

promieniu A w kierunku przeciwnym do ruchu wskazwek zegara, oraz drugi punkt 2P bdcy rzutem pierwszego punktu na rednic tego okrgu. Sposb poruszania si punktu 2P nazwano ruchem harmonicznym.

Rys. 2.1. Ruch harmoniczny po rednicy okrgu

Na rysunku ruch jest zatrzymany w czasie (nie ma innego wyboru). Wczmy zatem w naszej wyobrani czas i zatrzymajmy go ponownie, gdy oba punkty znw znajd si w tym samym pooeniu. Punkty wykonay jeden peny cykl. Czas, w ktrym wykonany zostaje jeden peny cykl nazywamy okresem drga i oznaczamy liter T. Wyobramy sobie teraz, e punkty poruszaj si tak szybko, e w cigu jednej sekundy wykonuj 50 penych cykli. Liczba cykli na sekund to czstotliwo drga. Punktom, wykonujcym 50 penych cykli w cigu jednej sekundy, jeden peny cykl zajmie czas rwny 1/50 s. Czstotliwo drga jest wic odwrotnoci okresu

T1

= (2)

Jednostk czstotliwoci jest herc [Hz]

][

1][s

Hz = (3)

10

Ciao drga z czstotliwoci 1Hz jeli w cigu jednej sekundy wykonuje jeden peny cykl. Skoncentrujmy teraz uwag na punkcie 2P . Jeeli punkt 1P poruszajc si po okrgu

znajdzie si w pooeniu okrelonym przez kt (rys. 2.2), to punkt 2P bdcy jego rzutem na rednic okrgu znajdzie si na wysokoci

sin= Ay (4) wzgldem rodka okrgu. rodek okrgu jest dla punktu 2P pooeniem rwnowagi.

Rys. 2.2. Wychylenie y punktu 2P z pooenia rwnowagi

W ruchu jednostajnym po okrgu pooenie punktu 1P opisane jest rwnaniem

tt += 0)( (5) t czas

0 - kt w chwili 0=t - prdko ktowa Podstawiajc wzr (5) do wzoru (4) otrzymujemy funkcj

( )0sin)( += tAty (6) Wzr (6) to oglne rwnanie ruchu harmonicznego. Promie okrgu A, czyli maksymalne wychylenie punktu 2P z pooenia rwnowagi nazywamy amplitud drga, czstotliwoci koow lub pulsacj, 0 faz pocztkow. Ze wzoru (6) wida, e zaleno pooenia punktu 2P od czasu ma posta sinusoidy.

Rys. 2.3. Zaleno pooenia punktu materialnego poruszajcego si ruchem harmonicznym od czasu.


Okres drga, pulsacja oraz czstotliwo powizane s ze sob zalenoci

22 ==T

(7)

Takie samo rozumowanie moglibymy przeprowadzi dla rzutu punktu 1P na o x. Ruch po okrgu jest wic zoeniem dwch ruchw harmonicznych wzdu prostopadych osi. Chwila zastanowienia prowadzi do wniosku, e fazy pocztkowe tych ruchw rni si o 90, a czstotliwoci s jednakowe1. Jak wiadomo w ruchu po okrgu wektor przyspieszenia jest skierowany do rodka i dla okrgu o promieniu A ma warto Ara rr

22 == . Wektor ten mona rozoy na skadowe rwnolege do osi ukadu wsprzdnych (rys. 2.4).

aray

axy

x

AP1

Rys. 2.4. Przyspieszenie w ruchu harmonicznym.

Dla skadowej wzdu osi y mamy (z podobiestwa trjktw):

Aa

ya ry

=

(8)

Minus bierze si std, e wektor ya ma zwrot przeciwny do osi y. Wyliczajc std ya dostaniemy:

yA

AyAaya ry

22

=== (9)

Widzimy, e w ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia (i przeciwnie do skierowane). Wspczynnik proporcjonalnoci jest przy tym kwadratem czstoci koowej drga. Jeeli ciao przymocowane do idealnej spryny zostanie wychylone z pooenia rwnowagi na odlego y, to sia, z jak spryna bdzie dziaa na to ciao w kierunku pooenia rwnowagi bdzie proporcjonalna do wychylenia

ykF rr

= (10)

gdzie k jest sta sprystoci spryny2. Znak minus we wzorze (10) wynika z tego, e wektor dziaajcej siy F

r ma zwrot przeciwny do wektora wychylenia ciaa yr (rys.2.5).

1 Przy innej rnicy faz otrzymalibymy elips lub odcinek zamiast okrgu, dla rnych czstotliwoci mog powsta skomplikowane krzywe, zwane figurami Lissajous. Poznanie ich waciwoci moe by przyjemn zabaw, zob. np. http://phy.hk/wiki/englishhtm/Lissajous.htm. 2 Brzmi to troch jak maso malane, jednak sprysto jest parametrem, ktry posiadaj wszystkie ukady fizyczne, nie tylko spryny.

12

Rys. 2.5. Ciao na sprynie wychylone z pooenia rwnowagi.

Korzystajc z drugiej zasady dynamiki Newtona otrzymujemy

ymk

mFa y == (11)

gdzie m jest mas ciaa na sprynie (przy zaniedbaniu masy spryny). Porwnujc to rwnanie z (9) stwierdzamy, e

mk

== 0 (12)

O czstotliwoci drga decyduj dwa parametry fizyczne ukadu: sprysto i bezwadno. Czstotliwo drga ronie ze wzrostem sprystoci, a maleje ze wzrostem bezwadnoci ukadu. Wzr (12) wyraa jednak czsto koow drga swobodnych, czyli nietumionych. W rzeczywistoci zawsze wystpuj pewne opory, ktre z czasem powoduj zmniejszanie si amplitudy drga a do ich cakowitego zaniku. Jeli sia oporu jest proporcjonalna do prdkoci poruszajcego si ciaa, to czsto koowa opisujca drgania tumione dana jest wzorem

220 =t (13) t - czsto koowa drga tumionych

m2 = - tzw. wspczynnik tumienia ( - wspczynnik proporcjonalnoci midzy prdkoci i

si oporu, tj. =opF ) Gdy 0 drgania w ogle nie wystpuj, a wychylenie maleje wykadniczo w czasie. W ten sposb amortyzatory samochodowe zapobiegaj drganiom nadwozia. Natomiast jeli zaley nam na uzyskaniu trwaego ruchu drgajcego mimo oporw, naley na ukad dziaa si wymuszajc. Maksymaln amplitud (przy sinusoidalnie zmiennej sile wymuszajcej) uzyskuje si przy pewnej czstotliwoci r , zblionej do t . Zjawisko to nosi nazw rezonansu, a r nazywa si czstoci rezonansow. Czytelnik zapewne mia w yciu okazj wykorzysta to zjawisko w praktyce np. rozhutujc hutawk.

2.2 Fale akustyczne. Posta ruchu periodycznego maj take oscylacyjne drgania powietrza, odbierane przez nas jako dwik. Struny gosowe, instrumenty muzyczne i inne urzdzenia akustyczne drgajc wprawiaj w drgania o tej samej czstotliwoci znajdujce si w ich otoczeniu powietrze, powodujc jego zagszczenia i rozrzedzenia. Amplitud tych drga jest maksymalny wzrost lub maksymalny spadek cinienia powietrza wzgldem aktualnego cinienia


atmosferycznego. Te zaburzenia cinienia rozchodz si w powietrzu jako fala akustyczna. Prdko rozchodzenia si fali akustycznej zaley od temperatury. W temperaturze pokojowej wynosi ona ok. 340 m/s.

Rys. 2.6. Fala akustyczna w powietrzu - periodyczne zmiany cinienia

Fale akustyczne mog rozchodzi si rwnie w innych orodkach staych lub ciekych (np. w metalowym prcie lub w wodzie), wszdzie tam, gdzie czstotliwo drga swobodnych jest wiksza od wspczynnika tumienia (wzr (13)). Nie mog natomiast rozchodzi si w prni, poniewa nie ma tam adnego orodka, ktry mgby zosta wprawiony w drgania.

Kiedy fala akustyczna dociera do naszych uszu, drgajce powietrze wprawia w drgania o tej samej czstotliwoci odpowiednie narzdy suchowe, co po przetworzeniu przez ucho wewntrzne przekazywane jest dalej w postaci impulsu nerwowego do mzgu, wywoujc wraenie suchowe. Jeeli drgania powietrza s periodyczne to mamy do czynienia z dwikiem. Zaburzenia cinienia majce charakter przypadkowy (nieuporzdkowany) nazywamy szumem.

Jak wiemy, szczeglnym przypadkiem ruchu periodycznego jest ruch harmoniczny. Dwik powstay w wyniku drga harmonicznych, ktry zosta przedstawiony na rysunku 2.6, take jest dwikiem szczeglnym i nazywany jest tonem. Wielkoci charakteryzujce ruch harmoniczny to czstotliwo i amplituda. W przypadku dwiku s one interpretowane przez nasze zmysy jako wysoko i gono.

2.3 Wysoko dwiku Czowiek jest w stanie rejestrowa dwiki o czstotliwociach od 16 Hz do ok. 20000 Hz (20 kHz). Dwiki o czstotliwoci powyej 20 kHz nazywamy ultradwikami, a poniej 16 Hz infradwikami3. Czstotliwo przekada si na wraenie wysokoci dwiku. Przykadowo ton a1 ma czstotliwo 440 Hz, a wyszy ton c2 523 Hz. O dwiku, ktrego czstotliwo jest dwukrotnie wiksza mwimy, e jest wyszy o oktaw. W skali 3 Pies ma grn granic syszalnoci wysz, co znalazo zastosowanie w konstrukcji specjalnych gwizdkw dla psw policyjnych. Ich dwik jest niesyszalny dla czowieka. Z kolei niektre zwierzta reaguj na infradwiki generowane przez ruchy tektoniczne skorupy ziemskiej.

14

muzycznej temperowanej, zgodnie z ktr strojone s instrumenty klawiszowe, oktawa dzieli si na 12 rwnych ptonw. Oznacza to, e iloraz czstotliwoci kolejnych ptonw jest stay i wynosi 12 2 . Innymi sowy, czstotliwoci kolejnych ptonw przedstawione w skali logarytmicznej s rwnomiernie rozmieszczone. Wraenie wysokoci tonu jest wic proporcjonalne do logarytmu czstotliwoci. Takie logarytmiczne zalenoci spotykamy w badaniu wrae zmysowych niezwykle czsto.

Tabela 1 Wybrane dwiki muzyczne i odpowiadajce im czstotliwoci drga

dwik czstotliwo drga [Hz] d1

e1 g1

a1

h1

293,67 329,63 392,00 440,00 493,88

2.4 Natenie dwiku i wraenie gonoci Energia drga harmonicznych jest sum energii kinetycznej i potencjalnej i pozostaje staa w czasie ruchu. Najatwiej wyliczy j w chwili gdy jeden ze skadnikw znika: w punkcie maksymalnego wychylenia jest tylko energia potencjalna, a podczas przechodzenia przez pooenie rwnowagi tylko kinetyczna. W obu przypadkach otrzymujemy tak sam warto:

22221

21 AmkAE == (14)

W fali biegncej chwilowa energia poszczeglnych czstek uczestniczcych w rozchodzeniu si fali nie musi by staa, gdy czstka taka pobiera energi od czstek poprzedzajcych j i przekazuje j czstkom nastpnym - zachodzi przekaz energii drga na odlego. Ilo energii, jaka w jednostkowym czasie przechodzi przez jednostkow powierzchni prostopad do czoa fali nazywa si nateniem fali

tS

EI = (15)

I natenie fali S powierzchnia

Okazuje si, e dla fal sinusoidalnych dowolnego typu ich rednie natenie jest, podobnie jak energia oscylatora, proporcjonalne do kwadratu amplitudy oraz do kwadratu czstotliwoci drga.

22 ~,~ IAI (16)

Nie jest to jednak oczywist konsekwencj wzoru (14), choby dlatego, e dotyczy on drga swobodnych, a oscylatory uczestniczce w rozchodzeniu si fali wykonuj drgania wymuszone. Jednostk natenia fali jest wat na metr kwadratowy [W/m2]. Najmniejsza warto natenia dwiku wywoujcego wraenie syszalne, czyli tzw. prg syszalnoci, dla czstotliwoci 1 kHz wynosi 10-12 W/m2. Z kolei najwiksza warto natenia dwiku, nie powodujca


jeszcze trwaego uszkodzenia suchu (tzw. prg blu) dla tej samej czstotliwoci wynosi 1 W. Iloraz najwikszego i najmniejszego natenia dwiku, jaki moe zosta zarejestrowany przez narzdy suchowe czowieka wynosi 1012 i nazywany jest zakresem dynamicznym ucha. Poniewa zakres ten jest bardzo duy, w praktyce do okrelania mocy dwiku wygodnie jest si posuy skal logarytmiczn. W skali tej wprowadzamy pojcie poziomu gonoci L, ktry wyznaczamy na podstawie ilorazu natenia badanego dwiku

1I i pewnej ustalonej wartoci natenia 0I , stanowicej punkt odniesienia. Za wielko 0I przyjmuje si 10-12 W/m2. Jednostk poziomu natenia dwiku jest decybel [dB].

][log100

110 dBI

IL = (17)

Poziom gonoci jest okrelony w sposb cisy, jednak wraenie gonoci dwiku jest pojciem subiektywnym i zwizane jest z budow narzdw suchowych. Wraenie gonoci zaley od natenia, ale take od czstotliwoci dwiku. Najwiksza czuo ucha przypada na dwiki z zakresu czstotliwoci od ok. 1 do 5 kHz. Najsabsza zdolno rejestracji fali akustycznej odpowiada niskim dwikom z dolnej granicy syszalnoci. Dwik o czstotliwoci 20 Hz musi mie poziom gonoci kilkakrotnie wyszy ni dwik o czstotliwoci 2000 Hz, aby dwiki te mogy zosta uznane przez przecitnego suchacza za jednakowo gone. Wraenie gonoci podawane jest w fonach. Dwik na tyle fonw, ile decybeli ma ton o czstotliwoci 1 kHz, ktry jest jednakowo gony z analizowanym dwikiem. W oparciu o dane dowiadczalne, na wykresie zalenoci poziomu gonoci od czstotliwoci dwiku wykrelono krzywe czce dwiki dajce jednakowe wraenie gonoci (rys. 2.7). S to tzw. krzywe Fletchera-Munsona.

Rys. 2.7. Krzywe Fletchera-Munsona [rysunek ze strony http://www.webervst.com/fm.htm]

Obszar zawarty pomidzy krzyw najnisz (prg syszalnoci) a najwysz (prg blu) nazywa si obszarem syszalnoci.

2.5 Dwiki zoone Tylko nieliczne dwiki maj posta czystej sinusoidy. Fale akustyczne o przebiegu sinusoidalnym bdce wynikiem drga harmonicznych nazywamy tonami. Poprzez interferencj tonw moemy otrzymywa rnorodne dwiki zoone. Szczeglnym przypadkiem dwikw zoonych s dudnienia, powstae w wyniku naoenia si dwch tonw o bardzo zblionej do siebie czstotliwoci. Czstotliwo z jak wystpuje minimalna amplituda dudnie rwna jest rnicy czstotliwoci interferujcych dwikw. Na tym zjawisku, a dokadniej na deniu do jego eliminacji opiera si proces strojenia instrumentw.

16

Rys. 2.8. Dudnienia.

Zoone przebiegi maj take samogoski powstajce w wyniku drga strun gosowych. Na rysunku 2.9 przedstawione zostay rzeczywiste przebiegi odpowiadajce samogoskom o oraz u. Przygldajc si im uwanie mona dostrzec pewne niewielkie rnice w ksztacie kolejnych grzbietw. Przebiegi fal akustycznych speniaj warunek (1) z pewn niedokadnoci, poniewa drgania wikszoci rde dwiku oraz powietrza nie s cile periodyczne.

samogoska o

samogoska u

Rys. 2.9. Przebiegi odpowiadajce samogoskom o i u

Prbki gosu na rysunku 2.9 pochodz od tej samej osoby. Przebiegi maj bardzo zbliony okres (ta sama czstotliwo czyli ta sama wysoko gosu) i amplitud (jednakowo gono). Jednak przebiegi odpowiadajce poszczeglnym samogoskom maj inny ksztat i dziki temu moemy je rozrni. Do czstotliwoci oraz amplitudy fali akustycznej, odbieranych przez nasze zmysy jako wysoko i natenie dwiku, dochodzi jeszcze jedna cecha wielowymiarowa ksztat przebiegu, interpretowany przez percepcj jako barwa dwiku. Wedug Amerykaskiej Organizacji Normalizacyjnej barwa dwiku jest atrybutem


wraenia suchowego, wzgldem ktrego suchacz moe oceni dwa stae w czasie dwiki zoone o tej samej gonoci, wysokoci i czasie trwania jako niepodobne. Wielowymiarowo barwy dwiku ujawni si w rozdziale powiconym transformacie Fouriera.

2.6 Sygnay elektryczne. Aby dokona analizy dwiku naley go wczeniej w jaki sposb zarejestrowa. Najczciej uywanym ukadem do rejestracji fal akustycznych s nasze narzdy suchu i mzg. Zarejestrowany przebieg moemy zapisa w naszej pamici, a nastpnie prbowa odtworzy, np. nucc zasyszan melodi. Obecnie stosowane s jednak bardziej precyzyjne sposoby zapisu i odtwarzania dwiku, jak rwnie innych zmian wielkoci fizycznych w czasie. Przebieg zmian dowolnej wielkoci fizycznej w czasie (dwik, zmiany temperatury, cinienia itd.) nazywamy sygnaem.

Pomiary wielkoci fizycznych wykonywane przez rne czujniki najczciej przetwarzane s na sygnay elektryczne. Sygna elektryczny jest to przebieg zmian napicia lub prdu w czasie. Proces przetwarzania pomiaru zmian danej wielkoci fizycznej na sygna elektryczny wykonywany jest przez specjalne urzdzenia przetworniki elektryczne. Przetwornikiem gosu na sygna elektryczny jest mikrofon. Drgania membrany w mikrofonie powodowane przez drgajce powietrze przetwarzane s na zmiany napicia. Im wiksza jest amplituda drga membrany, tym wiksza bdzie amplituda sygnau elektrycznego.

Zalet sygnaw elektrycznych jest moliwo ich precyzyjnej analizy i atwego przetwarzania (wzmocnienie, modulacja). Urzdzeniem sucym do rejestracji sygnaw elektrycznych jest oscyloskop, cho obecnie mona si rwnie w tym celu posuy komputerem.

Rys. 2.10. Sygna EKG (zapis pochodzi z bazy danych PhysioNet [4,5])

2.7 Twierdzenie Fouriera. W dalszej czci zajmiemy si analiz funkcji okresowych. Mona przyj, e sygnay akustyczne s w przyblieniu takimi funkcjami. Dowoln zoon funkcj okresow mona otrzyma poprzez sum prostych przebiegw sinusoidalnych. Mona to zrobi na wiele sposobw, zmieniajc kombinacje czstotliwoci i amplitud kolejnych skadowych sinusoid. Przebieg zbliony do samogoski u przedstawionej na rysunku 2.9 mona otrzyma dodajc do siebie dwie sinusoidy jedn o czstotliwoci rwnej czstotliwoci przebiegu 0 i drug o czstotliwoci dwa razy wyszej 01 2 = i odpowiednio dobranej amplitudzie (rys 2.11). Czstotliwo 0 w tym wypadku nazywamy czstotliwoci podstawow sygnau, a 1 jest jej cakowit wielokrotnoci.

18

A

b

C

Rys. 2.11. a) drganie z czstotliwoci podstawow b) z czstotliwoci dwa razy wiksz c) naoenie (superpozycja) obu drga

W ten sposb mona przedstawi kad funkcj okresow. Mwi o tym twierdzenie Fouriera: Dowoln funkcj okresow mona przedstawi jako sum sinusoid o czstotliwociach bdcych wielokrotnoci czstotliwoci podstawowej. Wynikajcy z powyszego twierdzenia wzr Fouriera mona zapisa w postaci

( )nn

n tnAtf +==

01

sin)( (18)

t czas

nA - amplituda n-tej sinusoidy

00 2 = , 0 - czstotliwo podstawowa

n - faza pocztkowa n-tej sinusoidy


Wykorzystanie twierdzenia Fouriera w praktyce wymaga przeprowadzenia wielu zoonych oblicze, ktre najczciej wykonywane s przy pomocy komputera. Rozkad funkcji okresowej na skadowe harmoniczne nazywa si transformat Fouriera4.

2.7.1 Graficzna interpretacja twierdzenia Fouriera Wygenerowana sztucznie samogoska u na rysunku 2.11 zostaa przedstawiona jako suma dwch skadowych sinusoid. Aby opis skadowych harmonicznych uczyni prostszym i rwnoczenie bardziej czytelnym, wygodnie jest zastpi zaleno sygnau od czasu, zalenoci amplitudy (i fazy) od czstotliwoci. Mwimy wtedy o przejciu z dziedziny czasu do dziedziny czstotliwoci. Przebieg sinusoidalny charakteryzuj dwie wielkoci - amplituda i czstotliwo. Na wykresie w dziedzinie czstotliwoci przebieg taki mona przedstawi w postaci linii (rys 2.12). Wykres ten nosi nazw widma amplitudowego.

4 W literaturze czsto spotyka si skrt FFT Fast Fourier Transform. Tzw. Szybka Transformata Fouriera jest najczciej stosowanym algorytmem numerycznym do rozbioru sygnau na skadowe harmoniczne.

20

a

b

Rys. 2.12. a) Sygna sinusoidalny o czstotliwoci 50 Hz, fazie pocztkowej 6/ i amplitudzie 10 (w dziedzinie czasu) b) widmo amplitudowe tego sygnau

Rozpatrujc konkretn sinusoid, lub kilka przebiegw sinusoidalnych tworzcych razem jeden sygna, naley rwnie uwzgldni fazy pocztkowe poszczeglnych przebiegw. Wykres zalenoci fazy pocztkowej skadowych sinusoid od czstotliwoci nazywa si widmem fazowym5.

Rys. 2.13. Widmo fazowe sygnau z rysunku 2.12.

W ten sposb, zgodnie z twierdzeniem Fouriera, dowoln funkcj okresow mona graficznie przedstawi przy pomocy jej widma amplitudowego i fazowego. Rysunek 2.14 przedstawia widmo amplitudowe samogoski u z rysunku 2.11.

5 Nie naley myli widma fazowego z wykresami fazowymi, ktrymi zajmuje si mechanika klasyczna, ani diagramami fazowymi, ktrymi zajmuje si chemia fizyczna.


Rys. 2.14. Widmo amplitudowe samogoski u

Powysze widmo nie jest oczywicie wzorcem samogoski u. Czstotliwo podstawowa oraz wzajemny stosunek amplitud skadowych harmonicznych zazwyczaj rni si od siebie, gdy u wypowiadane jest przez rne osoby. Skadowe harmoniczne zale take od stanw emocjonalnych (gos podniesiony, zachrypnity itp.). Wszystkie te parametry zwizane z ksztatem przebiegu fali gosowej opisuj jedn wielowymiarow cech gosu - barw.

2.8 Literatura.

1. D. Halliday, R.Resnick, J.Walker: Podstawy fizyki, PWN, Warszawa 2003. 2. Praca zbiorowa p. red. F. Jaroszyka: Biofizyka podrcznik dla studentw,

Wydawnictwo Lekarskie PZWL, Warszawa 2001. 3. G.M. Fichtenholz: Rachunek rniczkowy i cakowy, t. III, PWN, Warszawa 2004. 4. A.L. Goldberger i wsp.: PhysioBank, PhysioToolkit, and PhysioNet: Components of a

New Research Resource for Complex Physiologic Signals. Circulation 101(23):e215-e220

5. http://www.physionet.org/physiobank. Literatura uzupeniajca:

1. R. Tadeusiewcz: Sygna mowy. WK, Warszawa 1988.

Zagadnienia do kolokwium. Zalenoci czce ze sob okres drga, pulsacj i czstotliwo. Jednostka

czstotliwoci Rwnanie ruchu harmonicznego, wykres zalenoci pooenia punktu poruszajcego

si ruchem harmonicznym od czasu z zaznaczeniem okresu drga i amplitudy. Czstotliwo drga swobodnych i czstotliwo rezonansowa Co to jest fala akustyczna? Co to jest natenie fali? W jaki sposb zaley ono od amplitudy i czstotliwoci? Poziom gonoci

[wzr i jednostka] Zdefiniuj nastpujce pojcia: krzywe Fletchera-Munsona, prg syszalnoci, prg

blu. Jaki jest zakres czstotliwoci dwikw syszalnych dla czowieka? Z jakim wraeniami suchowymi zwizane s amplituda, czstotliwo i ksztat

przebiegu fali dwikowej? Definicja funkcji okresowej, twierdzenie i wzr Fouriera. Co to jest widmo

amplitudowe? Co to jest sygna? Jak funkcj w procesie rejestracji fali dwikowej peni mikrofon?

22

Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. Obsuga oscyloskopu. Obserwacja i wyznaczanie okresu oraz czstotliwoci przebiegw okresowych: dwikw instrumentw muzycznych, mowy oraz sygnau EKG. Obserwacja dudnie. Rejestracja sygnaw przy pomocy komputera. Analiza fourierowska sygnaw poprzednio obserwowanych na oscyloskopie. Badanie zalenoci wraenia gonoci od czstotliwoci wykres Fletchera-Munsona.

Falowe wasnoci wiata 23

wiczenie 3: Falowe wasnoci wiata.


3.1 Podstawowe pojcia. Fala to rozchodzenie si zmian wielkoci fizycznej w przestrzeni. wiato i dwik s drganiami, ktre rozchodz si w postaci fal, ale ich rodzaj jest zupenie inny. Dwik powstaje w wyniku drga jakiego obiektu materialnego (struny, powietrza) i rozchodzi si jedynie w orodkach materialnych (w prni dwik nie istnieje). rdem wiata moe by drgajcy adunek elektryczny. Skutkiem jego ruchu jest powstanie wzajemnie indukujcych si pl: elektrycznego i magnetycznego. wiato widzialne jest wic fal elektromagnetyczn i stanowi niewielki fragment widma elektromagnetycznego. wiato moe przechodzi przez orodki materialne, lecz ich obecno nie jest konieczna, moe ono take porusza si w prni. Charakteryzujc fal posugujemy si zwykle nastpujcymi wielkociami (rys. 3.1).:

Rys. 3.1. Niektre wielkoci charakteryzujce fal: dugo , amplituda A.

Dugo fali ( ) odlego midzy dwoma punktami bdcymi w tej samej fazie drga np. midzy dwoma kolejnymi wierzchokami. Amplituda (A) maksymalne wychylenie z pooenia rwnowagi. Czstotliwo ( ) liczba penych drga w jednostce czasu. Jednostk czstotliwoci w ukadzie SI jest herc (Hz) odpowiadajcy jednemu drganiu na sekund. Podzia fal elektromagnetycznych wedug czstotliwoci przedstawia tabela I. Czstotliwo fal wietlnych wynosi 4,31014 71014 Hz. Najnisze czstotliwoci z zakresu widzialnego odbieramy jako czerwie, a najwysze jako fiolet. Okres (T) czas potrzebny do wykonania jednego penego drgania (odwrotno czstotliwoci). Prdko fazowa fali ( ) - prdko, z jak punkt o ustalonej fazie drga (np. punkt maksymalnego wychylenia) mija wybrany punkt w przestrzeni = (1) Wszystkie fale elektromagnetyczne, a wic i wiato, poruszaj si w prni ze sta prdkoci rwn prawie 300 000 km/s. Z rwnania (1) wynika rwnie, e im wiksza czstotliwo, tym mniejsza dugo fali.

24

rednia prdko wiata w orodkach materialnych jest nieco mniejsza od prdkoci wiata w prni (oznaczanej literk c) i zaley od rodzaju orodka. W wodzie wiato rozchodzi si z prdkoci rwn 0,75c, w szkle okoo 0,67c, w diamencie 0,41c. Natenie fali (I) - ilo energii przepywajca przez jednostk powierzchni w jednostce czasu. Dla fali o ustalonej czstotliwoci jest ono proporcjonalne do kwadratu amplitudy. I ~ A2 Tabela 1. Fale elektromagnetyczne. Nazwa fal Zastosowanie Czstotliwo Dugo w

prni Fale radiowe radiofonia,

telefony komrkowe 100 kHz - 1GHz 3 km 30 cm

Mikrofale radar, kuchenka 1GHz - 1THz 30 cm - 0,3 mm Podczerwie pilot TV, wzrok kota 1012 - 41014 Hz 0,3 mm - 0,7 m Zakres widzialny na kadym kroku 4,31014 - 71014 Hz 700 nm 430 nm Ultrafiolet opalanie, tester

banknotw 71014 - 1017 Hz 430 nm 3 nm

Promieniowanie rentgenowskie

diagnostyka medyczna,krystalografia

1016 - 1020 Hz 30 nm-3 pm

Promieniowanie procesy jdrowe, radioterapia, promieniowanie kosmiczne

1017 - 1021 Hz 3 nm - 0,1 pm

Podzia fal: Ze wzgldu na kierunek drga fale dzielimy na poprzeczne i podune. Fala poprzeczna fala, w ktrej drgania zachodz w kierunku prostopadym do kierunku jej rozchodzenia si. wiato jest ukadem fal poprzecznych. W fali elektromagnetycznej pole elektryczne i magnetyczne s prostopade do siebie i oczywicie do kierunku rozchodzenia si fali. Paszczyzna rwnolega do drgajcego pola elektrycznego nazywa si paszczyzn polaryzacji. Fala poduna fala, w ktrej drgania zachodz w kierunku jej propagacji. Fale gosowe s falami podunymi. Ze wzgldu na sposb propagacji fale dzielimy na paskie i kuliste. Fala paska fala, ktrej punkty bdce w tej samej fazie drga le na jednej paszczynie. Amplituda, a wic i natenie, nie ulegaj zmianie. wiato laserowe mona uwaa za fal pask. Fala kulista fala, ktrej punkty bdce w tej samej fazie drga tworz sfer. Natenie maleje proporcjonalnie do odwrotnoci kwadratu odlegoci od rda punktowego.

2

1~r

I

Wymienione szczeglne przypadki fal nie wyczerpuj wszystkich moliwoci, np. fale na wodzie nie s ani podune ani poprzeczne. wiato wykazuje wasnoci korpuskularne i falowe. O falowych wasnociach wiata wiadcz trzy zjawiska:

ugicie (dyfrakcja) interferencja polaryzacja


3.2 Zasada Huygensa. Gdy fala napotyka nieprzeroczyst przeszkod lub szczelin, nastpuje jej ugicie. Zgodnie z zasad Huygensa [hojhensa] dowolny punkt orodka w ktrym rozchodzi si fala mona uwaa za rdo fali kulistej (rys. 3.2.). Zasada pozwala konstruowa powierzchnie falowe w zjawiskach takich jak odbicie, zaamanie czy ugicie.

a b Rys. 3.2. Konstrukcja Huygensa a.) dla czoa fali paskiej, b.) powstawanie fali kulistej podczas przejcia fali

paskiej przez bardzo may (w porwnaniu z dugoci fali) otwr.

Gdy wiato przechodzi przez wsk szczelin, to granica midzy jasnym, a ciemnym obszarem ulega rozmyciu. Widoczny jest jasny prostokt, ktry agodnie przechodzi w obszar ciemny. Przesuwajc detektorem wzdu ekranu (w kierunku prostopadym do szczeliny) mona rejestrowa zmiany natenia wiata przedstawione na rysunku 3.3. Widoczne po bokach mae wzniesienia zwizane s ze zjawiskiem interferencji.

Nateniewiata

Rys. 3.3. Rozkad natenia wiata przechodzcego przez wsk szczelin.

3.3 Interferencja jest to wynik naoenia si kilku fal o tej samej dugoci. Fale mog si wzmacnia lub znosi. Rozwamy dwa punktowe rda wiata A i B znajdujce si w odlegoci d. S to rda spjne, tzn. wysyane przez nie fale maj t sam czstotliwo i faz pocztkow. Zajmujemy si obrazem na odlegym ekranie umieszczonym tak, aby obydwa rda byy ode tak samo daleko (rys.3.4).

26

Rys. 3.4. Ilustracja do wyprowadzenia wzoru na pooenie maksimw i minimw interferencyjnych w do-wiadczeniu Younga.

Badamy sytuacj w punkcie P. Punkt X jest tak wybrany, aby AP=PX. Odcinek BX stanowi rnic drg optycznych dla fal z obu rde do punktu P. Maksymalne wzmocnienie jest wtedy, gdy spotykaj si fale w tej samej fazie6, a wic wtedy gdy BX jest cakowit wielo-krotnoci dugoci fali:

K,3,2,1, == nnBX Natomiast najwiksze wygaszenie ma miejsce, gdy fale w punkcie spotkania maj fazy r-nice si o 180 ( radianw w mierze ukowej). Tak jest, gdy drogi optyczne rni si o cakowit wielokrotno dugoci fali i jeszcze powk tej dugoci:

K,3,2,1,2

=+= nnBX aden z trjktw na rysunku nie jest prostoktny; jeli jednak do ekranu jest daleko to AX jest prawie prostopade do BP, a prosta OP jest prawie prostopada do AX (rys.). Kty i s niemal identyczne, wic:

dBX

=sin ,

gdzie d = AB. Wobec tego maksima interferencyjne bd dla ktw takich, e

dn =sin ,

a minima dla ktw, dla ktrych

dn

+=21sin

W gr wchodz mae kty, wic jeli stosujemy miar ukow mona stosowa przyblienie sin . Jest wic:

d

n (2)

3.4 Dyfrakcja. Rozwamy fal pask, ktra napotyka nieprzeroczyst przeszkod. Zgodnie z zasad Huygensa kady punkt orodka staje si rdem fali kulistej. Fale wysyane przez rne 6 O ile maj te same natenia. W tym wyprowadzeniu zaniedbujemy nieznaczn rnic nate wynikajc z rnych odlegoci rde od punktu P.


punkty orodka w ssiedztwie przegrody ulegaj interferencji tworzc tzw. obrazy dyfrakcyj-ne. Na przykad, chcc wyznaczy natenie obrazu dyfrakcyjnego maego otworu w punkcie P (rys. 3.5), dzielimy powierzchni otworu na mae elementy, wyznaczamy drogi optyczne z tych elementw do punktu P, wyliczamy faz fali dla kadej z tych drg i tak uzyskane skad-niki sumujemy. Przy odrobinie talentu matematycznego takie postpowanie pozwala wypro-wadzi odpowiednie wzory.

Rys. 3.5. Powstawanie obrazu dyfrakcyjnego na skutek interferencji fal pochodzcych z rnych miejsc otworu.

Powyszy opis jest w przypadku fal elektromagnetycznych znacznie uproszczony. Dokadna analiza zjawisk dyfrakcyjnych jest bardzo trudna (czasami praktycznie niemoliwa). W roz-waaniach powinno si uwzgldnia wektorowy charakter pola elektromagnetycznego, a take waciwoci materiau, z ktrego wykonano przeszkod (istotne jest np. czy jest to przewodnik, czy izolator). Tym niemniej w wielu przypadkach o znaczeniu praktycznym mona z wystarczajc dokadnoci obliczy rozkad natenia wiata w obrazach dyfrak-cyjnych. Poniej zestawiamy wyniki dotyczce najwaniejszych ukadw dyfrakcyjnych.

3.4.1 Duga szczelina o szerokoci d. W tym wypadku zaleno natenia wiata od kta ugicia (o ile jest on may) jest dana wzgldnie prostym wzorem:

( )22 )(sin)(

ppI , (3)

gdzie dp = .

Zaleno t ilustruje wykres (rys. 3.6).

28

a

4 3 2 1 0 1 2 3 40

0.5

1

Kt ugicia

Nat

enie

wia

ta

4 3 2 1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

Kt ugicia

Nat

enie

wia

ta

b

Rys. 3.6. Zaleno natenia wiata ugitego na szczelinie od kta obserwacji. Wykres sporzdzono dla szczeliny, ktrej szeroko jest 100 razy wiksza od dugoci fali. Kty podane s w stopniach. Wykres b

uwidacznia maksima wtrne, sabo widoczne w czci a.

Z podanego wzoru atwo znale pooenie ciemnych prkw - wystpuj one wtedy, gdy w liczniku wzoru (3) jest 0. Ma to miejsce, gdy 0)sin( =p , czyli np = . Std ostatecznie

dn

= . Wzr jest formalnie zgodny ze wzorem (2), cho znaczenie wielkoci d jest inne.

3.4.2 Wiele szczelin odlegych o d - siatka dyfrakcyjna. W przypadku kilku szczelin odlegych o d (szeroko szczelin musi by mniejsza) obraz za-

wiera maksima dla ktw opisanych wzorem d

n = . Wzr jest znw ten sam, ale znacze-

nie cakiem inne - podaje on teraz pooenie maksimw i symbol d oznacza co innego. Jeeli liczba szczelin jest niewielka (np. 4), to pomidzy tymi wyranymi maksimami le tzw. maksima wtrne. Przy duej liczbie szczelin, jak to ma miejsce w siatce dyfrakcyjnej, maksima wtrne zanikaj.

3.4.3 May otwr koowy o rednicy d. Tu rwnie znamy zaleno natenia od kta obserwacji, niestety we wzorze wystpuje pewna nieelementarna funkcja oznaczona symbolem J1 (tzw. funkcja Bessela).


( ) 21)(

ppJI , gdzie

dp = .

Zaleno ta zilustrowana jest na rysunku 3.7.

a

4 3 2 1 0 1 2 3 40

0.002

0.004

Kt ugicia

Nat

enie

wia

ta

b

Rys. 3.7. Zaleno natenia wiata ugitego na otworze koowym od kta obserwacji. Wykres sporzdzono dla otworu, ktrego rednica jest 100 razy wiksza od dugoci fali. Kty podane s w stopniach. Wykres

b uwidacznia maksima wtrne, sabo widoczne w czci a.

W kierunku padania mamy bardzo wyrane i do szerokie maksimum natenia, po ktrym nastpuje szereg znacznie sabszych maksimw poprzedzielanych obszarami cakowicie ciemnymi (szczegy wida na rys. 3.7 b). Na ekranie otrzymujemy wic jasn plamk oto-czon szeregiem coraz sabszych jasnych i ciemnych piercieni. Ustalenie pooenia minimw wymaga znajomoci miejsc zerowych funkcji J1(x). S one podane w tabeli. S tam te pooenia maksimw J1(x)/x.

n xn - zero funkcji J1 n maxn 1 3.832 1 5.136 2 7.016 2 8.417 3 10.174 3 11.620 4 13.324 4 14.796 5 16.471 5 17.959

4 3 2 1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

Kt ugicia

Nat

enie

wia

ta

30

Warunek na pierwsze minimum przybiera posta 832.3=p , czyli p832.3

= . Wstawiajc

wzr na p dostajemy d

=

832.3 .

3.4.4 Twierdzenie Babineta. Co bdzie jeli zamiast maego otworu na drodze wizki wiata znajdzie si maa okrga przesona? Niezwyke twierdzenie Babineta mwi, e uzyskany obraz dyfrakcyjny bdzie w zasadzie taki sam! I rzeczywicie, na przedueniu osi przesony (czyli w jej cieniu) pojawi si janiejsza plamka otoczona ukadem jasnych i ciemnych piercieni. Dokadniej, twierdzenie Babineta orzeka, e rozkady fal ugitych w przypadku przesony i jej negatywu (dopenienia) s jednakowe. Peny obraz skada si z fali paskiej, odpowied-nio przycitej przez obszary cienia, i fal ugitych. Cz paska w obrazach dyfrakcyjnych oczywicie si rni, ale po jej wyeliminowaniu pozostaje cz ugita - identyczna w obu przypadkach. Dziki temu twierdzeniu nie musimy odrbnie omawia obrazw maej okr-gej przysony, czy te cienkiego drutu - pooenia prkw s takie same jak odpowiednio: dla maego otworu i wskiej szczeliny.

3.4.5 Dyfrakcja a zdolno rozdzielcza mikroskopu. jeli obserwowany przez mikroskop obiekt jest znaczco wikszy od dugoci fali, ugicie

jest stosunkowo sabe i wszystkie szczegy s dobrze widoczne; gdy wielko ciaa jest rzdu dugoci padajcego na nie wiata, wtedy rozrnienie

szczegw jego budowy staje si coraz trudniejsze z powodu rozmywania si ich brzegw.

jeli wreszcie ciao jest mniejsze od dugoci fali wiata, to nie mona na nim dostrzec adnych szczegw. Aby pokona t trudno stosuje si mikroskopy elektronowe, a nie optyczne. Wykorzystuje si w nich falowe wasnoci czstek materialnych. Fale zwizane z elektronami maj dugo wielokrotnie mniejsz ni fale wietlne.

3.5 Waciwoci wiata laserowego.

3.5.1 Kolimacja i spjno. wiato laserowe w obszarze wizki jest dobrym przyblieniem fali paskiej, dziki czemu wietnie nadaje si do eksperymentw dyfrakcyjnych, ale take atwo je skupi na bardzo maym obszarze, co przydaje si w mikrochirurgii i w okulistyce. Impulsy laserowe mona przesya wiatowodem, co wykorzystuje si np. przy rozbijaniu kamieni ciowych lub moczowych.

3.5.2 Natenie Lasery impulsowe pozwalaj uzyskiwa krtkotrwae byski o duej mocy, ktre mona wykorzysta jako bardzo precyzyjny i sterylny skalpel.

3.5.3 Jednobarwno Promieniowanie lasera charakteryzuje si cile okrelon czstotliwoci fali. Mona tak dobra t czstotliwo, aby promieniowanie byo pochaniane tylko przez czsteczki okrelonych zwizkw chemicznych. Wykorzystujc fakt gromadzenia pewnych substancji przez komrki nowotworowe i dobierajc odpowiedni czstotliwo lasera mona


dokonywa nawietlania, ktre niszczy tylko komrki zmienione nowotworowo. W podobny sposb wykorzystuje si lasery w diagnostyce nowotworw.

3.5.4 Polaryzacja wiato typowego lasera ma polaryzacj liniow, co mona wykorzysta do badania substancji optycznie czynnych (skrcajcych paszczyzn polaryzacji).

3.6 Literatura uzupeniajca. 1. A.Z. Hrynkiewicz., E. Rokita: Fizyczne metody diagnostyki medycznej i terapii. PWN,

Warszawa 2000.

Zagadnienia do kolokwium. Podstawy ruchu falowego (dugo fali, amplituda, okres, czstotliwo, prdko

fazowa, natenie). Rodzaje fal elektromagnetycznych. Rnice midzy falami wiata i dwiku. Podzia fal ze wzgldu na kierunek drga. Podzia fal ze wzgldu na sposb propagacji. Zasada Huygensa. Zjawisko dyfrakcji i interferencji. Dowiadczenie Younga i wyprowadzenie wzoru na maksimum i minimum

interferencyjne. Twierdzenie Babineta. Rozkad prkw interferencyjnych w obrazie dyfrakcyjnym dugiej wskiej

szczeliny, maego tworu koowego, siatki dykrakcyjnej. Dyfrakcja a zdolno rozdzielcza mikroskopu. Waciwoci wiata laserowego.

Bezpieczestwo pracy z laserem. W wiczeniu stosowany jest laser pprzewodnikowy klasy 2 o mocy emitowanej poniej 1 mW. Oznacza to, e stwarza on zagroenie tylko w sytuacji skierowania wizki do oka; to zagroenie jest jednak powane. Nie wolno pod adnym pozorem spoglda w wizk laserow, ani kierowa jej w stron innych osb. Naley uwaa aby na drodze wizki nie znalazy si nieodpowiednio ustawione powierzchnie odbijajce: lusterka, pyty CD itp. Laser mona wcza tylko po uzyskaniu zgody prowadzcego wiczenie.

Czynnoci i umiejtnoci eksperymentalne. Obserwacja obrazw dyfrakcyjnych uzyskanych przy pomocy lasera: krawd, cienki drut i szczelina, may otwr i maa przesona koowa ilustracja twierdzenia Babineta. Pomiar rozkadu przestrzennego natenia wiata w obrazie dyfrakcyjnym ostrej krawdzi i cienkiego drutu. Pomiar rednicy krwinek na podstawie obrazu dyfrakcyjnego. Obrazy dyfrakcyjne siatki dyfrakcyjnej i dwuwymiarowych krysztaw. Ustalanie staych sieciowych i odtwarzanie struktury i orientacji krysztau.

32

wiczenie 4: Formy przewodnictwa elektrycznego.


4.1 Definicje. Przewodnictwo elektryczne jest to zdolno cia materialnych do przenoszenia adunkw w polu elektrycznym. Wielkoci charakteryzujc wasnoci elektryczne materiau, a tym samym jego zdolno do przewodzenia prdu elektrycznego, jest oporno elektryczna waciwa (opr waciwy - ). Okrelona jest rwnaniem wynikajcym z drugiego prawa Ohma (str. 4):

dSR =

Jest to oporno elektryczna opornika wykonanego z jednorodnego kawaka danego materiau o staym jednostkowym polu przekroju i jednostkowej dugoci. Odwrotno oporu waciwego nazywamy przewodnictwem waciwym:

1=

natomiast odwrotno oporu nazywamy przewodnictwem:

RL 1=

- opr waciwy przewodnika [ m], [ cm], R - opr przewodnika [], d - dugo przewodnika [m], [cm], S - powierzchnia przekroju poprzecznego [m2], [cm2], - przewodnictwo waciwe [S m-1], [S cm-1], L - przewodnictwo [-1] = [S],

Jednostki: - om , S simens , m metr , cm centymetr. Ze wzgldu na wielko opornoci waciwej materiay dzieli si na: izolatory (dielektryki), cm1010 > , ( 1188 m10m10 ), pprzewodniki, (o zmiennych opornociach waciwych), przewodniki, cm10 4 < , ( 1166 m10m10 >< ). Pod wzgldem mechanizmu mikroskopowego przewodnictwo elektryczne dzieli si na: elektronowe (zachodzi w metalach i pprzewodnikach), jonowe (w gazach, cieczach i krysztaach jonowych), przepyw prdu jest nierozcznie

zwizany z przepywem masy. Podzia przewodnikw na elektronowe (metaliczne) oraz jonowe (elektrolityczne) wynika z rnego rodzaju nonika adunku przy przepywie prdu przez orodek. Do grupy przewodnikw jonowych (adunek jest przenoszony przez jony) nale sole w stanie staym lub stopionym oraz roztwory soli, kwasw i zasad, natomiast do grupy przewodnikw elektronowych (adunek jest przenoszony przez elektrony) nale przede wszystkim metale i ich stopy w stanie staym i ciekym oraz pprzewodniki. W rozrzedzonym gazie w przenoszeniu prdu uczestnicz zarwno jony jak i elektrony.

4.2 Przewodnictwo elektronowe. Przewodniki, pprzewodniki, izolatory, nadprzewodniki.

Wyjanienie rnicy pomidzy wasnociami elektrycznymi metali (przewodnikw), p-przewodnikw i izolatorw umoliwia tzw. model pasmowy ciaa staego. Wemy pod

Formy przewodnictwa elektrycznego 33

uwag dwa atomy jakiego pierwiastka, np. wgla 1s22s22p2. Gdy atomy te znajduj si w duej odlegoci, obecno jednego atomu praktycznie nie wpywa na funkcj falow (i po-ziomy energetyczne) drugiego. W miar zbliania tych atomw do siebie obserwujemy coraz silniejsze nakadanie si ich chmur elektronowych. Nie mona ju niezalenie rozwaa or-bitali obu atomw, lecz naley wprowadzi czn funkcj falow. Poziomy energetyczne tej funkcji falowej ulegaj rozszczepieniu (rys. 4.1), przy czym ich zapenianie musi odbywa si w zgodzie z zakazem Pauliego (na kadym poziomie dwa elektrony o przeciwnych spinach).

Zakaz Pauliego w adnym ukadzie fizycznym nie moe by dwch elektronw w jednakowym stanie kwantowomechanicznym.

Rys. 4.1. Rozszczepienie poziomw energetycznych 2 atomw w wyniku ich zbliania. Wykres przedstawia

energi poziomw w zalenoci od odlegoci midzy jdrami atomw (r).

Jeli atomw bdzie bardzo wiele, poziomy pojedynczych atomw rozszczepi si na liczb poziomw proporcjonaln do liczby atomw w krysztale. Taki ukad poziomw nazywa si pasmem energetycznym (rys. 4.2). Dokadny ksztat wykresu pasm zaley zarwno od typu wizania wystpujcego w krysztale, jak i od struktury krysztau.

Rys. 4.2. Pasma energetyczne powstaj, gdy poziomy bardzo wielu atomw ulegaj rozszczepieniu. Zakadamy,

e odlegoci midzy ssiednimi atomami s jednakowe i w krysztale wynosz r0.

Kryszta nie jest wic zbiorowiskiem niezalenych atomw, lecz raczej wielk czsteczk, z licznymi poziomami energetycznymi zgrupowanymi w pasma. Na kadym z tych poziomw, zgodnie z zakazem Pauliego, mog znajdowa si najwyej dwa elektrony. Pasma wywodzce si z poszczeglnych orbitali mog si nakada (jak pasma odpowiadajce stanom walencyjnym 2s i 2p) lub mog by oddzielone obszarem bez poziomw

34

energetycznych (w naszym przykadzie obszar midzy pasmami wywodzcymi si z 1s i 2s). Obszar taki bywa nazywany pasmem wzbronionym. Jeli do krysztau zostanie przyoone zewntrzne pole elektryczne, moe ono przekazywa swoj energi elektronom powodujc ich przejcie na wysze poziomy energetyczne, o ile takie s wolne w zakresie energii, ktr pole moe przekaza. Przekazanie energii zwizane jest ze zwikszeniem pdu elektronw w kierunku pola, co makroskopowo obserwujemy jako przepyw prdu. Przewodnictwo metaliczne wystpuje w tych substancjach, w ktrych najwysze pasmo energetyczne, w jakim znajduj si elektrony, nie jest obsadzone cakowicie. Tak jest np. u pierwiastkw pierwszej grupy ukadu okresowego, gdzie w pamie o pojemnoci 2N poziomw znajduje si tylko N elektronw (jeden elektron walencyjny w kadym atomie), jak rwnie u pierwiastkw drugiej grupy, gdy wystpuje tam naoenie na siebie cakowicie zapenionego pasma powstaego z poziomw s i zupenie pustego pasma pochodzcego od poziomw p. W polu elektrycznym metale przewodz prd, gdy niewiele potrzeba energii, aby przenie elektrony z grnych poziomw zapenionych na lece w pobliu wolne po-ziomy. Teoria ciaa staego wskazuje, e wystpowanie oporu zwizane jest z defektami sieci krysta-licznej w idealnych krysztaach (ktrych nie ma) prd powinien pyn bez oporu. Przewodnictwo waciwe metalu zaley od koncentracji elektronw przewodnictwa, oraz redniej prdkoci rozwijanej przez elektrony w polu elektrycznym o jednostkowym nateniu (ta wielko nazywa si ruchliwoci). neu= - przewodnictwo waciwe [-1 m-1], [-1 cm-1], [S m-1], [S cm-1], n - stenie elektronw w 1 m3 (cm3), e - adunek elementarny [C], u - ruchliwo elektronw [m2 V-1 s-1 ], [cm2 V-1 s-1 ],

Symbole jednostek: C kulomb, 1C = 1A1s Ruchliwo elektronw w metalu jest zwykle rzdu 10-2 m2 V-1 s-1 (100 cm2 V-1 s-1) i maleje ze wzrostem temperatury. Poniewa stenie elektronw w pamie jest niezalene od tempera-tury, wic przewodnictwo waciwe metalu rwnie maleje ze wzrostem temperatury:

1T

w wyszych temperaturach

15T w pobliu zera absolutnego

Najlepszymi przewodnikami metalicznymi s srebro, zoto i mied. Inne przykady to: elazo (Fe), rt (Hg), glin (Al), konstantan (oporowy stop miedzi i niklu - 60% Cu i 40% Ni). W przeciwiestwie do metali, w pprzewodnikach i izolatorach pasmo utworzone z poziomu energetycznego elektronw walencyjnych (tzw. pasmo walencyjne lub podsta-wowe) jest cakowicie wypenione, tzn. elektrony obsadzaj wszystkie istniejce w obrbie pasma poziomy energetyczne. Od izolatorw odrnia natomiast pprzewodniki to, e naj-blisze, puste w normalnych warunkach, pasmo energetyczne znajduje si wzgldnie blisko, w odlegoci ok. 1 eV ponad pasmem walencyjnym (dla izolatorw energie odpowiadajce brze-gom tych pasm rni si o 2 i wicej elektronowoltw).

Elektronowolt (eV) jest jednostk energii powszechnie uywan w opisach wzbudze elektronowych i zagadnieniach pokrewnych. Jest to energia ktr zyskuje elektron w wyniku przebycia rnicy potencjaw 1 V ( 1 eV = 1,60210-19 J ).


cakowicie zapenionepasmo walencyjne

niemal cakowicie zapenionepasmo walencyjne

cakowicie zapenionepasmo walencyjne

czciowo zapenionepasmo przewodnictwa

niemal pustepasmo przewodnictwa

pustepasmo przewodnictwametale

pprzewodnikisamoistne

izolatory

' Eg

' Eg

maa przerwa energetyczna

dua przerwa energetyczna

Rys. 4.3. Pasma energetyczne w metalach, pprzewodnikach i izolatorach [2].

Cakowite wypenianie pasma podstawowego powoduje, e elektrony z tego pasma nie s przyspieszane polem elektrycznym, gdy nie ma w obrbie pasma poziomw energetycznych nieobsadzonych (a poziomu ju obsadzonego elektron nie moe zaj ze wzgldu na zakaz Pauliego). Oznacza to, e elektrony pasma walencyjnego w pprzewodnikach i izolatorach nie bd miay w polu elektrycznym wypadkowego pdu skierowanego zgodnie z kierunkiem pola, czyli e kryszta nie bdzie przewodzi. Taka jest sytuacja w temperaturze 0 K. W temperaturach wyszych istnieje pewne prawdopo-dobiestwo, e energia ruchu cieplnego bdzie na tyle dua, by elektron zosta wzbudzony z pasma walencyjnego do najbliszego pasma nieobsadzonego (pasma przewodnictwa). Praw-dopodobiestwo to jest w przyblieniu proporcjonalne do wyraenia boltzmannowskiego

TEg k

expB

, gdzie gE jest rnic energii elektronu w stanie wzbudzonym i w stanie

podstawowym, czyli tzw. przerw energetyczn lub szerokoci strefy wzbronionej, k staa Boltzmanna (k = R/No = 1,38010-23 J K-1), T temperatura [K].

Rozkad Boltzmanna. Boltzmann wyprowadzi wzr na prawdopodobiestwo posiadania energii E przez ukad bdcy w rwnowadze termodynamicznej z otoczeniem o temperaturze T. Zgodnie z tym wzorem )/exp()( kTEEP .

W diamencie, ktry jest typowym przedstawicielem izolatorw eV33,5= gE . W temperaturze pokojowej daje to warto czynnika boltzmannowskiego rzdu 9110 . Liczba ta jest tak maa, e nawet gdyby Ziemia bya jednym wielkim krysztaem diamentu nie byoby najmniejszej szansy wystpienia w niej choby jednego elektronu w pamie przewodnictwa. Natomiast w germanie eV67,0= gE i czynnik Boltzmanna ma warto

12106,4 co pozwala spodziewa si w jednym molu germanu bilionw elektronw w pamie przewodnictwa. Ta ilo zapewnia ju cakiem dobre przewodnictwo elektryczne. Elektron znajdujcy si w pamie przewodnictwa moe zwikszy swj pd w kierunku pola elektrycznego. Powoduje to zwikszenie jego energii, czyli przejcie na wyszy poziom energetyczny wewntrz pasma. Jest to moliwe, bo w pamie s nieobsadzone poziomy. Rwnie w pamie walencyjnym pojawiy si wolne poziomy po elektronach, ktre przeszy do pasma przewodnictwa. Mog one teraz zosta zajte przez elektron pasma walencyjnego przyspieszony polem, ktry dziki temu rwnie bierze udzia w przewodzeniu prdu. Udzia ten jest wprost proporcjonalny do liczby wolnych poziomw, czyli tzw. dziur w pamie podstawowym (pi), rwnej liczbie elektronw wzbudzonych do pasma przewodnictwa (ni). Dziury zachowuj si, jakby byy swobodnymi nonikami dodatniego adunku

36

elementarnego o ruchliwoci up. Tak wic przewodnictwo waciwe takiego pprzewodnika, ktry nazywa si samoistnym, bdzie rwne: ( )pnipini uunupun +=+= eee - przewodnictwo waciwe [-1 m-1], [-1 cm-1], [S m-1], [S cm-1], ni - liczba elektronw wzbudzonych do pasma przewodnictwa, pi - liczba dziur w pamie podstawowym, e - adunek elementarny [C], un - ruchliwo elektronw w pamie przewodnictwa[m2 V-1 s-1 ], [cm2 V-1 s-1 ], up - ruchliwo dziur w pamie walencyjnym [m2 V-1 s-1 ], [cm2 V-1 s-1 ],

W stanie rwnowagi, ktra ustala si pomidzy procesami powstawania par elektron-dziura i ich rekombinacji (ponownego czenia si) liczba tych par jest proporcjonalna do wyraenia

TEg

Bk2exp , wic mona napisa:

=

TEg

B0 k2exp

tym samym:

=

TE

LL gB

0 k2exp

Ruchliwoci (a wic take wspczynniki 0 i 0L ) s wprawdzie funkcjami temperatury, lecz zazwyczaj znacznie wolniej zmieniajcymi si w porwnaniu z czynnikiem wykadniczym. Std, powyej pewnej temperatury, dowiadczalnie stwierdza si liniow zaleno pomidzy

ln a T1 :

0B

lnk2

ln +=T

Eg

oraz:

0B

lnk2

ln LT

EL g +=

Temperatura ta jest tym nisza, im czystszy jest badany materia pprzewodnikowy (rys. 4.4), bowiem na przewodnictwo elektryczne pprzewodnikw maj zasadniczy wpyw zanieczyszczenia i defekty struktury.


log

Rys. 4.4. Wpyw dodatku donora (Al.) na przewodnictwo pprzewodnika (-Sn). Lini przerywan zaznaczono

temperatur przemiany cyny w odmian metaliczn [5].

Idealny kryszta jest pojciem fikcyjnym i nawet najczystsze materiay, jakie udaje si otrzy-ma zawieraj obce atomy. Normalnie osigany stopie czystoci (materia pprzewodni-kowo czysty) odpowiada steniu zanieczyszcze rzdu 10141016 atomwcm-3. Elektrony nalece do atomw tych zanieczyszcze maj energie lece pomidzy pasmem walencyj-nym a pasmem przewodnictwa, a wic w zakresie energii wzbronionych dla elektronw ma-cierzystego materiau. Jeli zanieczyszczenie tworzy roztwr substytucyjny, przy czym atom zanieczyszczenia ma wiksz liczb elektronw walencyjnych ni atomy sieci macierzystej (P w Ge), to atom taki bdzie mg atwo odda nadmiarowy elektron do pasma przewodnictwa stanowic lokalny poziom donorowy. Jeeli ma niedomiar elektronw (B w Ge), uzupeni go pobierajc jeden elektron ze zbioru elektronw w pamie walencyjnym, powodujc powstanie w nim dziury. Atom taki stanowi lokalny poziom akceptorowy. Zwykle jeden rodzaj pozio-mw dominuje; gdy s to poziomy donorowe, mwimy o pprzewodniku typu n, gdy akceptorowe o pprzewodniku typu p. Schemat poziomw energetycznych pprzewod-nika z domieszkami, czyli pprzewodnika niesamoistnego przedstawiono na rys. 4.5.

Rys. 4.5. Schemat poziomw energetycznych pprzewodnika domieszkowego [2].

38

Pprzewodniki typu n (nadmiarowe) uzyskuje si przez domieszkowanie krzemu lub ger-manu pierwiastkami V grupy nazywanymi donorami, natomiast pprzewodniki typu p (niedomiarowe) uzyskuje si przez domieszkowanie krzemu lub germanu pierwiastkami III grupy nazywanymi akceptorami). W pprzewodnikach domieszkowych przewaa zawsze jeden rodzaj nonikw: elektrony w materiale typu n, dziury w pprzewodnikach typu p, a przewodnictwo waciwe ( = n e un, = p e up) jest znacznie wiksze ni przewodnictwo materiau bez domieszek, bdcego p-przewodnikiem samoistnym.

Niektre zwizki organiczne, w szczeglnoci kompleksy elektrono-donoro-akceptorowe, wykazuj wasnoci elektryczne pozwalajce zaliczy je do pprzewodnikw, a nawet metali. Jednorodnikowa sl czterocyjanochinodwumetanu (silny akceptor elektronowy) z czterotiofulwalenem (silny donor elektronowy) wykazuje w temperaturze pokojowej przewodnictwo rzdu 104 -1 m-1, ktre ronie kilkusetkrotnie po ochodzeniu do temp. 70 K. Substancja ta, jak i inne podobne, ma wasnoci silnie anizotropowe przewodnictwo w jednym kierunku jest setki razy wysze, ni w kierunkach do prostopadych. Z tego wzgldu materiay te nazywane s jednowymiarowymi metalami.

Typowymi pprzewodnikami s: krzem (Si), german (Ge), arsenek galu (GaAs) lub antymo-nek galu (GaSb). Ponadto s nimi zwizki np. VC, TiN, TiO, NbO5, MoO3, TiO2, Al4C3, Cu2O, CuO, Mn2O, MnO. Przykadem izolatorw mog by: szko, porcelana, ebonit, diament, kwarc, siarka, parafina, polistyren, bursztyn, MgO.

4.3 Nadprzewodnictwo. Nadprzewodnictwo to zjawisko zaniku oporu elektrycznego obserwowane w niektrych metalach i ich stopach (stop - tworzywo metaliczne otrzymane przez stopienie dwch lub wicej pierwiastkw, z ktrych co najmniej jeden, uyty w przewaajcej iloci, jest metalem) oraz w pewnych spiekach ceramicznych (spiek - aglomerat, pwyrb lub wyrb gotowy otrzymany z proszkw przez spiekanie). Materia, dla ktrego zachodzi zjawisko nadprze-wodnictwa, nazywany jest nadprzewodnikiem. Nadprzewodnictwo obserwowane jest w niskich temperaturach, mniejszych od pewnej, charakterystycznej dla danego materiau tzw. temperatury krytycznej Tk (rys. 4.6).

Rys. 4.6. Wykres zalenoci oporu od temperatury dla pewnego nadprzewodnika.


Stan nadprzewodzcy moe zanikn powyej Tk lub po umieszczeniu nadprzewodnika w dostatecznie silnym polu magnetycznym, nawet gdy materia znajduje si w temperaturze mniejszej od krytycznej (gdy w nadprzewodniku pynie wtedy prd elektryczny, zanikowi nadprzewodnictwa towarzyszy wydzielenie ciepa, majce w przypadku silnych elektroma-gnesw charakter eksplozji). W zamknitym piercieniu (lub cewce) wykonanej z nadprzewodnika mona wytworzy indukcyjnie niezanikajcy przepyw prdu elektrycz-nego. Zjawisko nadprzewodnictwa odkry Heike Kamerlingh-Onnes (1911), badajc zaleno oporu rtci od temperatury dla bardzo niskich temperatur, bliskich zera bezwzgldnego (0 K). W temperaturze 4.2 K nieoczekiwanie opr elektryczny drutu wykonanego z zestalonej rtci po prostu znikn i prd pyn bez strat energii. Pierwotnie stan nadprzewodzcy obserwowano w temperaturze kilku (najwyej kilkunastu) K (tzw. temperatury helowe), ale w 1986 odkryto (J. G. Bednorz, K. A. Mller) tzw. nadprzewodniki wysokotemperaturowe, bdce materiaami ceramicznymi, dla ktrych Tk s wysze od temperatury wrzenia ciekego azotu (tj. od ok. 77 K). Zjawisko nadprzewodnictwa dla metalicznych nadprzewodnikw wyjaniono (L. N. Cooper, J. Bardeen, J. Schrieffer 1957) tzw. teoria BCS. W tej teorii istotn rol odgrywaj pary elektronw z pasma przewodnictwa o przeciwnych pdach i spinach. W niskich temperatu-rach pdy tych elektronw pozostaj skorelowane fakt zmiany pdu jednego z nich jest przekazywany drugiemu za porednictwem drga sieci. Wypadkowy pd tej tzw. pary Coopera pod nieobecno pola elektrycznego jest rwny zeru. Poniej temperatury krytycz-nej pary Coopera tworz si masowo. Gdy znajd si w polu elektrycznym ich pd przestaje by rwny 0, ale pozostaje identyczny dla wszystkich par. Pary przenosz prd kolektywnie drgania sieci, ktre s odpowiedzialne za wystpowanie oporu elektrycznego nios zbyt may pd, by zmieni pd wszystkich par (trzeba pamita, e pd elektronw - a wic i fa-langi par Coopera - jest skwantowany i nie moe zmienia si o dowolnie mae wartoci). Zjawisko nadprzewodnictwa jest wic efektem kwantowym, obserwowanym makroskopowo. Istnieje wiele interesujcych wasnoci nadprzewodnikw (m.in. efekt Meissnera-Ochsenfel-da, efekt Josephsona, kwantowanie strumienia magnetycznego itp). Efekt Meissnera-Ochsenfelda (1933) jest to zjawisko zaniku ("wypchnicia na zewntrz") pola magnetycznego w nadprzewodniku przy przejciu w stan nadprzewodzcy. Ze wzgldu na charakter przemiany fazowej towarzyszcej przejciu materiau ze stanu prze-wodzcego w nadprzewodzcy wyrnia si dwa rodzaje nadprzewodnikw: tzw. nadprze-wodniki I lub II rodzaju. W nadprzewodnikach I rodzaju wypadkowe pole magnetyczne w ich wntrzu jest rwne zeru, natomiast w nadprzewodnikach II rodzaju obszary wolne od pola magnetycznego ssiaduj z obszarami, do ktrych pole magnetyczne moe wnika. W obu przypadkach strumie magnetyczny pochodzcy od pyncych prdw nadprzewodz-cych moe przybiera tylko niektre wartoci, jest wiec kwantowany. Kwant pola ma-gnetycznego nazywa si w tym kontekcie fluksonem. Silne pole magnetyczne (o nateniu wikszym od pewnego, nazwanego krytycznym dla da-nego materiau) burzy stan nadprzewodzcy i wnika w nadprzewodnik. W 1962 r. Josephson przewidzia moliwo przepywu prdu nadprzewodzcego przez cienk warstw izolatora (o gruboci rzdu 1 nm) rozdzielajc dwa odcinki nadprzewodnika, co dowiadczalnie stwierdzono rok pniej. Efekt ten polega na przenikaniu par Coopera przez izolator, pomimo, e ich energia jest mniejsza od bariery potencjau istniejcej na zczu tzw. efekt tunelowy. Istniej dwa efekty Josephsona. Pierwszy charakteryzuje si przepywem staego prdu przez zcze pomimo braku napicia na jego kocach. Jeli natomiast na zczu wywoamy pewne napicie, to popynie prd zmienny o czstotliwoci zalenej od tego napicia. Due znacze-nie ma zachowanie si zcza Josephsona w polu magnetycznym. Prd krytyczny zcza za-

40

ley od strumienia pola magnetycznego przenikajcego przez zcze w bardzo ciekawy spo-sb, a mianowicie spada do zera ilekro przez zcze przenika strumie bdcy cakowit wielokrotnoci fluksonu. Pozwala to mierzy bardzo mae pola magnetyczne lub bardzo sabe prdy, poniewa przepyw prdu powoduje zawsze powstanie pola magnetycznego. Urzdzeniem zbudowanym na tej zasadzie jest SQUID (nadprzewodnikowy interferometr kwantowy ang. superconducting quantum interference device). Jest on stosowany w badaniach biomedycznych, bowiem umoliwia m.in. nieinwazyjny pomiar prdw pyncych w mzgu. Brak strat energii na wydzielanie ciepa w trakcie przepywu prdu elektrycznego w nadprzewodniku stwarza moliwoci ich praktycznego zastosowania. Ograniczeniem w ich stosowaniu jest konieczno utrzymywania materiau w niskiej temperaturze oraz to, e po-znane dotychczas nadprzewodniki wysokotemperaturowe s materiaami ceramicznymi, a wic s kruche, sztywne i atwo koroduj, co utrudnia ich przemysowe zastosowanie. Nad-przewodniki metaliczne wykorzystywane s gwnie w silnych elektromagnesach, bowiem pozwalaj wytwarza silne pola magnetyczne. W przypadku magnesw nadprzewodzcych straty energetyczne s dokadnie zerowe, podczas gdy zwyke elektromagnesy rozpraszaj znaczn ilo energii elektrycznej w postaci ciepa. Dziki temu moga rozwin si technika diagnostyczna MRI (ang. magnetic resonance imaging) wykorzystujca zjawisko magnetycznego rezonansu jdrowego do obrazowania. Wymagao to zbudowania elektromagnesu dostarczajcego bardzo silnego i stabilnego pola magnetycznego, a rwnoczenie mogcego pomieci w swym wntrzu badanego chorego. Trwaj prace nad uzyskaniem materiaw i technologii umoliwiajcych konstruowanie z nadprzewodnikw wysokotemperaturowych nadprzewodzc

Documents

Ćwiczenia.laboratoryjne.z.biofizyki