FİZK 104-202Ders 6

Gauss Kanunu

Dr. Ali ÖVGÜNDAÜ Fizik Bölümü

www.aovgun.comhttp://fizk104.aovgun.com1

Kaynaklar: -Fizik 2. Cilt (SERWAY) -Fiziğin Temelleri 2.Kitap (HALLIDAY & RESNIK) -Üniversite Fiziği (Cilt 2) (SEARS ve ZEMANSKY)

Gauss Kanunu

Gauss kanunu:Tanım

q Kapalı bir yüzey boyunca toplam elektrik akısı, yüzeydeki net elektrik yükünün ε0 a bölümüne eşittir.

q Gauss kanunu Coulomb kanununa eşdeğerdir.

Gauss kanunu : Tanım

qBir yük dağılımını düşünelim•Yüklerle kaplı hayali bir yüzeyle kuşatılmış olsun• Hayali yüzey üzerindeki çeşitli noktalarda elektrik alana bakalım

+ q

E!E

!

E!

Hayali yüzey

0qFE!

!=+ 0q

F! Deneme yükü

• Hayali yüzeydeki yük dağılımını ortaya çıkarmak için, özellikle yüzeydeki elektrik alanı ölçmemiz gerekmektedir.•Bunu yapmak için yük miktarı bilinen bir deneme yükü yerleştirilir ve elektrik kuvvet ölçülür.

Yük ve Elektrik Akısı

q Farklı yüklerin elektrik alanları

+q+ q2+

q−q2−

+ +

-

-

-

Dışa doğru akı

Dışa doğru akı

İçe doğru akı

İçe doğru akı

Yük ve Elektrik Akısı

qElektrik akısı

+q+ q2+

+ +Dışa doğruakı

Dışa doğru akı

+q+ Yüzeye uzaklık iki katına çıktığında

Yüzey alanı dört katına çıkarElektrik alan 1/4 olur.

Yük ve Elektrik Akısı

q Elektrik akısının tanımıYüzeyde küçük bir alan üzerindeki herhangi bir nokta için, yüzeye dik elektrik alan bileşenini ve yüzey alanı bileşenin çarpımını alırız.Böylece yüzey boyunca toplanan bu nicelik net elektrik akısını verir.

•Kapalı bir yüzey boyunca elektrik akısının dışa doğru mu yoksa içe doğru mu olduğu ,yüzeyi kaplayan yükün işaretine bağlıdır.•Yüzeyin dışındaki yükler yüzey boyunca net elektrik akısı vermez.

• Net elektrik akısı yüzeyle kuşatılmış olan net yük miktarıyla doğru Orantılıdır fakat bunu yanında kapalı yüzeyin boyutlarından bağımsızdır.

q Gauss kanununun nitel ifadesi

Elektrik Akısının Hesaplanması

q Hız alan vektörü ile elektrik akı arasındaki analojiAkan sıvı içindeki hız alan vektörü ve elektrik akı arasında iyi bir anoloji kurulabilir.

A (alan)

A! υ! Hız vektörü (akış hızı)

Alan düzlemini belirten bir vektör alan,düzleme diktir.

A!

υ!φ

Hacim akış oranı: AdtdV υ≡

Hacim akış oranı:

⊥

⊥

=

⋅===

A

AAAdtdV

υ

υυφυ!!

cos

nAAAA !!=== ⊥⊥ ;cos;cos φφυυ

⊥υ⊥A

Elektrik Akısının Hesaplanması

q Hız alan vektörü ile elektrik akı arasındaki analoji

A (area)

A! E!

Hız vektörü (akış hızı)Bir alanın düzlemini tanımlayan vektör alan düzleme diktir.

A!

φ

Elektrik akısı: EAE =Φ

Elektrik akı:

AAAdtdV !!

⋅=== ⊥ υυφυ cos

φφ cos;cos AAEE == ⊥⊥

AdtdV υ≡

AEAEEA!!

⋅===Φ ⊥φcos

Hacim akış oranı:

E!

Elektrik Akısının Hesaplanması

q Küçük bir alan unsuru ve Akı

AdEd E

!!⋅=Φ

q Bir alan için toplam akı

∫ ∫ ∫∫ =⋅===Φ=Φ ⊥ dAnAdAdEdAEdAEd EE!!!!

;cosφ

qÖrnek 22.1: Bir disk boyunca elektrik akısı

E!

A!r = 0.10 m

°= 30φ

C/mN54

30cos)m4N/C)(0.031100.2(cosm0314.0m)10.0(

2

23

22

⋅=

×==Φ==

°φπEA

A

E

Elektrik Akısının Hesaplanması

q Örnek 22.2: Bir küp boyunca elektrik akısı

1n̂2n̂3n̂

4n̂

5n̂

6n̂L

E!

221 180cosˆ

1ELELAnEE −=°=⋅=Φ

!

222 0cosˆ

2ELELAnEE +=°=⋅=Φ

!

090cos26543

=°=Φ=Φ=Φ=Φ ELEEEE

06

1=Φ=Φ ∑ =

=

i

i EE i

Elektrik Akısının Hesaplanması

qÖrnek 22.3: Bir küre boyunca elektrik akısı

+

+q

r=0.20 m

Ad!

q=3.0 µCA=2πr2

C/mN104.3

)(0.20m)N/C)(41075.6(

N/C1075.6

(0.20m)C100.3)C/mN100.9(

4

//ˆ//,

25

25E

5

2

6229

20

⋅×=

×===Φ

×=

×⋅×==

=

∫

−⊥

π

πε

EAEdA

rqE

AdnEEE!!

Gauss kanunu

q Öncelikle : Herhangi bir kapalı yüzey boyunca toplam elektrik akısı (belirli bir hacimle kaplanan yüzey) yüzeydeki toplam elektrik yüküyle orantılıdır.

q Durum 1: Bir tek pozitif q yükünün alanı

+q+

r=R

E!

E!

204

1RqE

πε=

r=R olan bir küre

at r=R

surface⊥E!

0

2

0

)4(41

επ

πεqR

RqEAE ===Φ

Akı R yüzey yarıçapından bağımsızdır .

Gauss Kanunuq Durum1: Bir tek pozitif q yükünün alanı

+q+

r=R

r=2R

RE!

RR EE!!

41

2 =

dAdAR =

dAdA R 42 =

Küçük bir küreden geçen her alan çizgisi aynı zamanda daha büyük bir küreden de geçer

Her bir küre boyunca toplam akıaynıdır.

Benzerlik dA gibi yüzeyin her bir parçasıiçin doğrudur.

RR ERRRRRRE ddAEdAEdAEd2224

41 Φ====Φ

∫ =⋅=Φ0εqAdEE

!!

Yükü kaplayan kapalı yüzeyi sağlayan her boyut veya her şekil için bu doğrudur.

Gauss Kanunuq Durum 2: Bir tek pozitif yükün alanı (Genel yüzey)

+q+

E!

dA

+

E!φcosE

EnE=

⋅=⊥

!!

φdA

φcosdAYüzeye dik E

!

dAEdAEd E φcos==Φ ⊥

∫ =⋅=Φ0εqAdEE

!!

Gauss kanunuqDurum 3: İçinde yük bulunmayan kapalı bir yüzey

∫ =⋅=Φ 0AdEE

!!

+

İçeri giren elektrik alan çizgileri, dışarı çıkar.Elektrik alan çizgilerinin alanın bir bölgesinde başlayabilmesi ya da bitebilmesi ancak o bölge içinde yük mevcutken olur.

q Gauss kanunu

Kapalı yüzey boyunca toplam elektrik akı yüzey içindeki net elektrik yükününε0 a bölümüne eşittir

∑∑∫ ===⋅=Φi ii iencl

enclE EEqQQAdE

!!!!,;

0ε

Bir başka örnek 22.4

Gauss kanununun uygulamalarıq Tanım

• Yük dağılımı Alan

• Simetri uygulamanın prosedürünü kolaylaştırır.

q Bir iletken üzerindeki yük dağılımını elektrik alanı• Fazla yük katı iletken üzerine yerleşmişken ve sabitken,

tamamen yüzeyde bulunur, bu metalin iç yükü değildir.(fazla yük = metali iletken yapan serbest elektron ve iyonlar dışındaki yüktür.)

İletken içindeki gauss yüzeyi

Yüzeydeki yük

iletken

Gauss kanununun uygulamaları

qİletken üzerindeki yük dağılımının elektrik alanı

İletken içindeki gauss yüzeyi

Yüzeydeki yükler

İletken

•İletken içerisindeki gauss yüzeyi çizilir• Bu yüzeyde her yerde E=0 dır (iletken içinde)• Yüzey içindeki net yük sıfırdır.• Katı iletken içerisinde herhangi bir noktada hiçbir fazla yük olmayabilir.• Her bir fazla yük iletken yüzeyinde bulunmalıdır.• Yüzeydeki E yüzeye diktir.

Gauss kanunu

İletken metal içerisinde her noktadaki elektrik alanbir elektrostatik konumda sıfırdır. (bütün yükler hareketsizdir).Şayet E sıfır olmasaydı, yükler hareket ederdi.

Sayfa 84 deki problem çözüm stratejisini okuyun

Gauss kanununun uygulamaları

qörnek 22.5: Yüklü iletken kürenin alanı

+

+

+

+

+ +

++

R

R 2R 3R

Gauss yüzeyi

0: =< ERr!

:rR < Küre dışında bir Gauss yüzeyi çizilir

204

1:RqERr

πε==

204

1RqER πε

=

4/RE9/RE

Gauss kanununun uygulamaları

q Örnek 22.6: Çizgi yükün alanı

Çizgi yük yoğunluğu

Simetriye göre seçilen Gauss yüzeyiEEE =⊥,!

Ad!

λ!=enclQ

0

)2(ελπ !

! ==Φ rEE

rE λ

πε021=

Gauss kanununun uygulamaları

qÖrnek 22.7: Yüklü sonsuz düzgün bir levhanın alanı

+++

+

+

++++ +

+

Gauss yüzeyi

E! E

!

AQencl σ=

0

)(2εσAEAE ==Φ

02εσ=E

İki sonlu yüzey

Gauss kanununun uygulamaları

q Örnek 22.8: Zıt yüklü paralel iletken plakalar arasındaki alan

+++++++++

---------

plate 1 plate 22E!

1E!

1E!

1E!

E!

2E!

2E!

ab

cS1

S2 S3

S4

Çözüm 1:

Bu yüzeyler üzerinde elektrik akı yok

Çözüm 2:

İçe doğru akı

Dışa doğru akı

Noktada a : 02121

!!!!!!=+=→−= EEEEE

b :

c :00

21 22

εσ

εσ ==→= EEE

!!!

02121

!!!!!!=+=→−= EEEEE

Gauss kanununun uygulamaları

qÖrnek 22.9: Düzgün bir şekilde yüklü kürenin alanıGauss yüzeyi

r=R

R

+++

+

+ +

++

+ +

+

+0

3 /)34(: επρ rEARr =<

30

032

41

/)34()4(

RQrE

rrE

πε

επρπ

=→

=

204

1:RQERr

πε==

20

0

2

41

)4(:

rQE

QrErR

πε

επ

=→

=<

Gauss kanununun uygulamaları

qÖrnek 22.10: Yüklü içi boş kürenin alanı

R=0.250 m

r=0.300 m

E!

İçi boş yüklü küre

N/C1080.1 2×=E

nC801.0)4(

)4(

20

0

2

−=−=

=−==Φ

−=

∫ ⊥

⊥

rEq

qrEdAE

EE

E

πεε

π

Gauss yüzeyi

İletkenler üzerindeki yükler

q Durum 1: Katı iletken üzerindeki yük elektrostatik bir durumdakiİletken yüzeyinde bulunur.

+ +++

++++++

+++ + + +

qDurum 2: Oyulmuş iletken üzerindeki yük

+ +++

++++++

+++ + + + Gauss yüzeyi

İletken içerisinde her noktada elektrik alan sıfırdır veKatı iletken üzerindeki her bir fazla yükonun yüzeyi üzerine yerleşir.

Oyuk içinde yük yoksa, oyuk yüzey üzerindeki net yük sıfırdır.

İletkenler üzerindeki yükler

qDurum 3: Oyuklu bir iletkenin yükü ve oyuk içindeki q yükü

+ +++

++++++

+++ + + +

Gauss yüzeyi

+-- - ----

•İletken yüklenmemiştir ve q yükünden yalıtılmıştır.

•Gauss yüzeyindeki toplam yük Gauss kuralı ve yüzeyde E=0 olduğundan sıfır olmalıdır.Bu yüzden boşluğun yüzeyinde yüzeye dağılmış –q yükü olmalıdır

•Benzer tartışma başlangıçta qC yüküne sahip iletken durumu için kullanılabilir.Bu durumda dış yüzeydeki toplam yük oyuk içine koyulan q yükünden sonraq+qC olmalıdır

İletkenler üzerindeki yükler

q Faraday ın buz kovası deneyi

iletken

Yüklü iletken top

(1) Faraday yüksüz metal buz kovası(metal kova) ve yüksüz elektroskop ile işe başladı

(2) Daha sonra, dikkatli bir şekilde kovanın yanlarına dokundurmadan buz kova içerisine metal topu sarkıttı. Elektroskop’ un yaprakları ayrıldı.Bununla birlikte, ayrılma derecesi metal topun yerleşiminden bağımsızdır. Sadece metal top tamamen geri çekildiğinde yaprakları eski pozisyonuna geri döner.

İletkenler üzerindeki yükler

q Faraday ın buz kovası deneyi

iletken

Yüklü iletken top

(3) Faraday şayet metal topun buz kovanın yüzeyi içine kontak etmesine müsaade edilseydi elektroskop’un yapraklarının ayrı kalacağına dikkat çekti.

(4) Daha sonra , buz kova içerisinden topu tamamen çıkardığında, yapraklar ayrı kaldı. Bununla birlikte, metal top artık yüksüzdür.

Bunun için küreye dıştan bağlı olan elektroskobun yaprakları, top kürenin içerisine dokundurulduğunda, hareket etmedi , böylece Faraday topu nötürleştirmek için içyüzeyin yeterince yüke sahip olduğunu buldu.

İletkenler üzerindeki yükler

q Bir İletken yüzeyindeki alan

• İletken dışındaki elektrik alanın büyüklüğü σ /ε0dır ve yüzeye dik yönlendirilmiştir.

İletken içine ilerleyen küçük bir hap kutu çizilir.içerde alan olmadığı için , bütün akılar üsttaraftan çıkar.

EA=q/ε0= σA/ ε0,

E= σ / ε0

Alıştırmalar

q Alıştırma 1

Alıştırmalar

qAlıştırma 1

Alıştırmalar

qAlıştırma 2: Bir küre ve bir iletken kabuk

R1

R2

Q1

Q2Q2=-3Q1 • Gauss kanunundan iletken içerisinde net yük olmaz,

ve yük küre yüzeyi dışında bulunmalıdır.

• Küre içinde net yük olmaz.Bu yüzden kabuk yüzeyine –Q1 net yükü götürülmelidir ve yüzeyin dışına +Q1+Q2 net yükü götürülmelidir. Böylecekabuk üzerinde net yük Q2 ye eşittir. Bu yükler düzenli bir şekilde dağılır.

22

122

1222

1

42

44 RQ

RQQ

RQ

outerinner ππσ

πσ −=+=−=

Alıştırmalar

qAlıştırma 2: Bir küre ve bir iletken kabuk

R1

R2

Q1

Q2Q2=-3Q1

rrQkr

rQQkErR

rrQkERrR

ERr

ˆ2ˆ:

ˆ:

0:

21

221

2

21

21

1

−=+=<

=<<

=<

!

!

!

Alıştırmalar

qAlıştırma 3: Silindir

λ

σdış

R

σiç

h

σtoplam

Sonsuz bir çizgi yük yarıçapı R olan içi boş yüklü iletken sonsuz bir silindiriksel kabuğun tam olarak ortasından geçer. Şimdi uzunluğu h olan silindirik kabuğun bir parçasına odaklanalım. Çizgi yük λ lineer yük yoğunluğuna sahiptir, ve silindirik kabuk σtotal yüzey yük yoğunluğuna sahiptir.

Alıştırmalar

qAlıştırma 3: Silindir

λ

σdış

R

σiç

h

σtoplam

Silindirik kabuk içinde elektrik alan sıfırdır. Bu yüzden silindirde silindir kabuk içinde bulunan bir gauss yüzeyi seçersek , kuşatılmış net yük sıfır olur. Çizgi boyunca dış yükü dengelemek için silindir duvar içinde bir yüzey yük yoğunluğu mevcuttur.

Alıştırmalar

qAlıştırma 3: Silindir

λ

σdış

R

σiç

h

σtoplam

•Çizgi yükün kuşatılmış parçası ( h uzunluğu) üzerindeki toplam yük :

• İletken silindir kabuğun yüzeyi içindeki yük:

hλhQinner λ−=

RRhh

inner πλ

πλσ

22−=−=

Alıştırmalar

qAlıştırma 3: Silinidir

λ

σdış

R

σiç

h

σtoplam

• Silindir üzerindeki net yük yoğunluğu:

•Harici yük yoğunluğu :

totalσ

Rtotalinnertotalouter πλσσσσ2

+=−=

outerσ

Alıştırmalar

qAlıştırma 3: Silindir

λ

σdış

R

σiç

h

σtotal

• r (>R) yarıçaplı çizgi yükle çevrelenen Gauss yüzeyini çizelim;

Rrfor2

,200

<=→==r

EhqqrhE renclencl

r πελλ

επ

Alıştırmalar

qAlıştırma 3: Silindir

λ

σdış

R

σiç

h

σtotal

•r (>R) yarıçaplı çizgi yükle çevrelenen Gauss yüzeyini çizelim;

Rrfor2

,2000

>+=→+==rr

REhQqqrhE totalrencl

enclr πε

λε

σλε

π

•Çizgi üzerindeki net yük: kabuk boyunca net yük:hλ totalRhQ σπ2=