Upload
spyxxx
View
109
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
DEVRE ANALİZİ
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ
EE410 1Ertuğrul Eriş
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ
NİYE DÖNÜŞÜM FAYDA/BEDEL
DEVRE/MATEMATİK MODEL DEVRE ÇÖZÜMÜ/DENKLEM ÇÖZÜMÜ İNTEGRO DİF DENK/DİF DENK/ CEBİRSEL
DENKLEM BAŞKA DÖNÜŞÜMLERE ÖRNEK
LOGARİTMA FREKANS DOMENİ
EE410 Ertuğrul Eriş 2
DEVRELERDE KAŞILAŞILAN İŞARETLER/FONKSİYONLAR
Elektriksel işaretler: Analog, sayısal Ses, görüntü, ışık, radyasyon, ultrason, Dönüştürücüler Fourier Dönüşümü Sinüsoidal işaretler
Kaynaklar DC kaynak + anahtar (Birim basamak), Süreksizlik noktası Süreksizlik noktasında türev
Dirac Delta fonksiyonu (Impulse)
Süreksizlik noktasında integral Bir boyutu sıfır olan alan (0)
AC
Lineer Devrelere görülen işaretler Doğru gerilim/akım AC gerilim/akım (Sönümlü) Üstel gerilim akım
EE410 Ertuğrul Eriş 3
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ(TRANSFORM) TANIM-1
EE410 Ertuğrul Eriş 4
Öyle bir dönüşüm olsun ki Differensiyel denklemin tam çözümünü versin Tanım, Çevre ve Düğüm denklemleri Cebirsel olsun
L {f(t)}=F(s)=L {f(t)}f(t)= L -1 {F(s)}
)(
0dtetf st
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ TANIM-2 İntegrasyon limitleri
Üst limit ∞bazı fonksiyonların Laplace’ı yok
Sınır - ∞ ile + ∞ arasında olmadığından, fiziksel gerçeğe uygun
One-sided/unileteral
Alt limit t=0 da süreklilik/süreksizlik t = 0- alt limit alınır t<0- ilk koşulların oluşumu t = 0- ile t=0+ aralığında integral: (0)
İstisna: Impulse function (Dirac Delta)
Functional/Operational Dönüşümler
L {f(t)}=
)(
0dtetf st
SÜREKLİ/SÜREKSİZ BAŞLANGIÇ
EE410 6Ertuğrul Eriş
Alt limit t=0 da süreklilik/süreksizlikt = 0- alt limit alınırt<0- ilk koşulların oluşumut = 0- ile t=0+ aralığında integral: (0)İstisna: Impulse function (Dirac Delta)
BASAMAK (STEP) FONKSİYONU
EE410 7Ertuğrul Eriş
Basamak fonksiyonu(matematik model).devrelerde Anahtarlamanın karşılığı:doğru gerilim kaynağının(DC) bir anahtarla devreye uygulanması.
. K, tKu(t)
tKu
0
0
0,t ,)(
K=1Birim basamak fonksiyonuUnit step function
BASAMAK FONKSİYONU SÜREKSİZLİĞİ
EE410 8Ertuğrul Eriş
K.)Ku(
. K, tKu(t)
tKu
500
0
0, t,0)(
Teori*uygulama uyumluluğu
BASAMAK FONKSİYONUN ÖTELENMESİ
EE410 9Ertuğrul Eriş
.
,0)(
a K, ta)Ku(t
a, tatKu
. 0
,)(
at, t)Ku(a
a, tKtaKu
Darbe (pulse)fonksiyonunu nasıl ifade edebiliriz?
KESİKLİ LİNEER(PIECEWISE LINEER) FONKSİYONLARIN BASAMAK FONKSİYONLARIYLA İFADESİ
EE410 10Ertuğrul Eriş
)()()(
)()()(
)()(
)(
4382
3142
12
tutut
tutut
tutut
tf
SÜREKSİZLİK NOKTASINDA TÜREV: DEĞİŞKEN PARAMETRELİ FONKSİYON OLARAK IMPULSE
(DIRAC DELTA) FONKSİYONU
EE410 11Ertuğrul Eriş
Değişken parametreli fonksiyon δ(t):Değişken parametre 0 a giderken;Fonksiyon, t=0 da sonsuza gider,Foksiyonun değişim aralığı, 0 a gider,Fonksiyon altındaki alan (1) dir.
0. )()0(' tf
BİR BAŞKA DEĞİŞKEN PARAMETRELİ FONKSİYON OLARAK DİRAK DELTA
FONKSİYONU δ(t)
EE410 12Ertuğrul Eriş
Değişken parametreli fonksiyon δ(t):Değişken parametre 0 a giderken;Fonksiyon, t=0 da sonsuza gider,Foksiyonun değişim aralığı 0 a gider,Fonksiyon altındaki alan (1) dir.K: Strenght
.
//
)(
//
//
/
KKK
eKeK
dteK
dteK
Alan
eK
tf
tt
tt
t
22
1212
22
2
0
0
0
0
)()(, tKtf 0
DIRAC DELTA (IMPULSE) FONKSİYONUN MATEMATİKSEL TANIMI δ(t)
VE SIFTING (AYIRMA) ÖZELLİĞİ
EE410 13Ertuğrul Eriş
strenghtK
t
KdttK
0 t,0)(
)(
.)()()(
ise, sürekli da
afdtattf
a tf(t)
Dirac delta fonksiyonunun ayırma özelliği (Shifting property):
DIRAC DELTA FONKSİYONU δ(t)’NİN LAPLACE’I
EE410 Ertuğrul Eriş 14
.)()()(
afdtattf
L {δ(t)}= 11)()(00
.dt.tdtet st
Sifting özelliği:
L {δ(t)}= 1
L {f(t)}=
)(
0dtetf st
DIRAC DELTA FONKSİYONUNUN TÜREVİNİN δ’(t) NİN LAPLACE’I
EE410 15Ertuğrul Eriş
L {δ’(t)}= s
Genelleştirilmişi:L {δ(n)(t)}= sn
Detaylar için kitaba bakılabilirL {f(t)}=
)(
0dtetf st
BİRİM BASAMAK FONKSİYONU İLE DIRAC DELTA δ(t) FONKSİYONU
İLİŞKİSİ VE
EE410 16Ertuğrul Eriş
f(t)→u(t) ε →0
f’(t) →δ(t) ε →0
δ(t)= du(t)/d(t)
BİRİM BASAMAK FONKSİYONU U(t) NİN LAPLACE’I
EE410 Ertuğrul Eriş 17
L {u(t)}= 1/s
sse
sdtetu stst 1
1011
00
)()(
L {f(t)}=
)(
0dtetf st
F(s) Rasyonel fonksiyon!
e-at NİN LAPLACE’I
EE410 18Ertuğrul Eriş
L {e - at}= 1/(s+a)
L {f(t)}=
)(
0dtetf st
F(s) Rasyonel fonksiyon!
SİNÜS’ÜN LAPLACE’I
EE410 19Ertuğrul Eriş
)(sin
)(cos
sincos
sincos
tjtj
tjtj
tj
tj
eej
t
eet
tjte
tjte
2
12
1
L {f(t)}=
)(
0dtetf st
F(s) Rasyonel fonksiyon!
)cos()cos(coscos
sinsincoscos)cos(
sinsincoscos)cos(
2
L {sin ωt }= ω/(s2+ω2)
L {cosωt }= s/(s2+ω2)Cos(ωt+φ) nin laplasını Nasıl hesaplarız?
RAMPA FONKSİYONUNUN LAPLACE’I
EE410 Ertuğrul Eriş 20
2
0
0
00
0
0
1
1
100
sdtte
sdttes
sdtetedtste
dtdvtv
dtsedueu
dtte
st
st
ststst
stst
st
)(
?
udvuvvdu
L {f(t)}=
)(
0dtetf st
F(s) Rasyonel fonksiyon!
DEVRELERDE KARŞILAŞILAN FONKSİYONLARIN LAPLACE-I
EE410 Ertuğrul Eriş 21
İmpuse δ(t) 1
Step u(t) 1/s
Ramp t 1/(s2)
Exponential e-at 1/(s+a)
Sine sinωt ω/(s2+ω2)
Cosine cosωt s/(s2+ω2)
Damped Ramp te-at 1/(s+a)2
Damped sine e-at sinωt ω/((s+a)2+ω2)
Damped cosine e-at cosωt (s+a)/((s+a)2+ω2)
L {f(t)}=
)(
0dtetf st
F(s)’ler Rasyonel fonksiyonlar!
OPERASYONEL DÖNÜŞÜMLER
EE410 Ertuğrul Eriş 22
Kf(t) KF(s)
f1(t)+f2(t)-f3(t) F1(s)+F2(s)-F3(s)
df(t)/dt sF(s)-f(0-)
d2f(t)/dt2 s2F(s)-sf(0-)-df(0-)/dt
dnf(t)/dtn snF(s)- sn-1f(0-)-sn-2 df(0-)/dt -dfn-1(0-)/dtn-1
F(s)/s
f(t-a)u(t-a), a>0 e-asF(s)
e-atf(t) F(s+a)
f(at), a>0 (1/a)F(s/a)
tf(t) -dF(s)/ds
tnf(t) (-1)n dnF(s)/dsn
f(t)/t
t
dxxf0
)(
t
duuF0
)(
Yorum: Laplace dönüşümüİntegro differansiyel denklem(leri) rasyonel fonksiyonlara dönüştürür.
L {f(t)}=
)(
0dtetf st
udvuvvdu
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN DEVRELERE UYGULAMASI
EE410 23Ertuğrul Eriş
)/()/(
/)(
LCsRCs
CIsv dc
112
)()(
)()(
)()(
:ise (0)koşoşulla ilk
)(
)(
sRIsV
ssCVsI
ssLIsV
Is
sI
tuIi
RR
cc
LL
dcdc
dcdc
1
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-1 Devre çözümleri s-domeninde rasyonel
fonksiyonlar
Proper rational n<m Improper rational m<n
Rasyonel fonksiyonlar basit kesirler (Partial fraction expansion) toplamı biçiminde yazılabilir.
Bu basit kesitlerden de Laplace dönüşümünün lineerliğinden yararlanarak t domenine geçilebilir
EE410 Ertuğrul Eriş 24
01
11
1
01
11
1
....
....
)(
)()(
bsbsbsb
asasasa
sD
sNsF
mm
mm
nn
nn
EE410 Ertuğrul Eriş 25
0
22
KK
tutetjs
K
js
K
tutejs
K
js
K
tuKte
tuKe
t
t
at
at
)() cos(K2 )(
*
)( kök kompleks Katlı
)() cos(K2 *
kökKomplex
)( a)(s
K kök reel Katlı
)( as
K Reelkök
2
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-2
Rasyonel fonksiyonun kutupları • reel ise ters laplace eksponansiyel• Kompleks ise eksponansiyel sönümlü sinüsoidal• İmajiner ise sinüsoidal sinsincoscos)cos(
K’nın s = -α+jβ köküne ait olduğu unutulmamalıdır!!!
u(t) 1/se-at 1/(s+a)sinωt ω/(s2+ω2)cosωt s/(s2+ω2)te-at 1/(s+a)2
e-at sinωt ω/((s+a)2+ω2)e-at cosωt (s+a)/((s+a)2+ω2)
EE410 Ertuğrul Eriş 26
)()())((
))((
))((
))(()(
tueesss
ss
s
K
s
K
s
K
sss
sssF
tt 68
321
487212068
12596
6868
12596
1-L
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜMERİK ÖRNEK-1
ate
as
11-L
Katsız reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği:
Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı?
EE410 Ertuğrul Eriş 27
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜMERİK ÖRNEK-2
2
42
3212
13
6
11313
6
))((
)()()())((
sss
s
s
K
s
K
s
K
s
K
sss
s
L )()( ))((
)()())((
tueKteKeKKsss
s
s
K
s
K
s
K
s
K
sss
s
ttt
433
212
42
3212
13
6
11313
6
L
at
at
teas
eas
2
1
1
1-
1-
L
L
Katsız /katlı reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği:
Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı?
EE410 Ertuğrul Eriş 28
)()(
)(
)()()(
)(
tueetetss
s
K
K
K
K
s
K
s
K
s
K
s
K
ss
s
ttt 55523
4
3
2
1
42
33
213
20100200205
25100
20
100
400
20
5555
25100
at
n
n
at
en
t
as
teas
!1
1
1
1
2
1-
1-
L
L
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜMERİK ÖRNEK-3
Katsız /katlı reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği:
Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı?
EE410 Ertuğrul Eriş 29
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-4
Yorum: Eşlenik komplex köklerden –α+jβ ait K katsayısını bulmak yeter, K* bulmaya gerek yok; bu veri ile ters laplace doğrudan yazılabilir.Kökler yalnız imajiner olursa sonuç?
j
tr
rr
rr
t
eKK
tuter
tK
js
K
js
K
js
K
js
K
tuteKjs
K
js
K
js
K
js
K
)() cos()!()()(
)()(
)() cos()()(
)()(
*
*
*
*
1
2
2
11-
1-
L
L
Katsız eşlenik komplex kök
Katlı eşlenik komplex kök
Eşlenik Kompleks kutupları olan rasyonel fonksiyonların ters laplace’ına örnek
EE410 Ertuğrul Eriş 30
)( )cos())((
)(
)()()())()((
)()(
))((
))((
)()(
*
tuteesss
s
KejK
ejK
K
js
K
js
K
s
K
jsjss
ssF
jsjsss
sss
ssF
tt
j
j
0362
253
3
532
1
321
2
2
53420122566
3100
1086
1086
12
4343643436
3100
4343256
2566
3100
0
0
1-L 0
KK
tute
eKKe
js
K
js
K
t
tjtj
)()cos(K2
laplace Ters
*
kökKomplex
)(*)(
ateas
11-L
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜMERİK ÖRNEK-4
Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı?
KATLI KOMPLEKS KUTBU OLAN RASYONEL FONKSİYONLARIN TERS LAPLACE’INI ALMAYA ÖRNEK
EE410 Ertuğrul Eriş 31
)( )cos(cos)(
)()(
)()(
)()(
)()(
*
*
**
tutettetf
ejK
K
ejK
K
js
K
js
K
js
K
js
K
jsjs
sssF
tt
j
j
033
902
1
902
1
22
1
22
1
22
22
9046424
33
12
33
12
4343
4343
4343
768
256
768
TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜMERİK ÖRNEK-5
0
1
1
KK
tuter
t
js
K
js
K
tr
rr
)( ) cos( )!(
K2 laplace Ters
)(
*
)( kökKomplex Katlı
Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı?
IMPROPER RATIONEL FUNCTION
Payın derecesi paydanınkinden büyük Bölme işlemi yapılarak
polinom+proper rasyonel functiona dönüştürülür
Polinomun ters dönüşümünden Dirac delta fonksiyonun türevleri ve/veya kendisi gelir
Proper rasyonel fonksiyonun ters dönüşümü ise önce yapıldığı gibidir
EE410 Ertuğrul Eriş 32
EE410 Ertuğrul Eriş 33
IMPROPER RATIONEL FUNCTION ÖRNEK
)t(u)ee()t(dt
)t(d
dt
)t(d)t(f
ssss
ss
sss)s(F
ss
ssss)s(F
tt 542
2
2
22
2
234
5020104
5
50
4
20104
209
1030104
209
3002006613
S-DÜZLEMİNDE KUTUP VE SIFIRLAR (POLES/ZEROS)
EE410 34Ertuğrul Eriş
)js)(js)(s(s
)js)(js)(s()s(F
)ps)....(ps)(ps(
)zs)....(zs)(zs(K)s(F
n
n
868610
4343510
21
21
INITIAL AND FINAL VALUE TEOREMLERİ
EE410 Ertuğrul Eriş 35
)()(
)()(
limlim
limlim
0
0
ssFtf
ssFtf
st
st
Bulunan sonuçları test etmekte kullanabiliriz
ÖRNEK-1
EE410 36Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-2
EE410 37Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-3
EE410 38Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-4
EE410 39Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-5
EE410 40Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-6
EE410 41Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-7
EE410 42Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-8
EE410 43Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-9
EE410 44Ertuğrul Eriş
ÖRNEK-10
EE410 45Ertuğrul Eriş
PROGRAM ÇIKTILARI
ÖĞRENİM PROGRAMI OLUŞTURULMASI
?ÖĞRENİM PROGRAMI?
?ÖĞRENİM PROGRAMI?
öğ anket
Öğ.anket
Ders öğ.
anket
Öğrenci Profili
BÖLÜM, PROGRAM
ÖĞRENCİ
YENİ ÖĞRENCİ
İyileştirme araçları
DIŞ PAYDAŞLAR
Öğ. elem
Yönetim,idare
İç Paydaşlar
ÖĞRENCİ, ÜRÜN
DEVLET, ÖZEL SEKTÖR
MEZUNLAR, AİLELER
MESLEK OD, NGO
SONUÇ: ULUSAL/ULUSLARARASI AKREDİTASYON
A
B/V
E U
LUS
AL
YETER
LİK
LER
AB/ULUASAL
MEZUN ÖĞRENCİ
Çıktılar için veri top ve değerlendirme
ALAN YETERLİLİKLERİ
BİLGİKnowledge
BECERİSkills
KİŞİSEL/ MESLEKİ YETKİNLİKLERCompetences
DIŞ PAYDAŞ GEREKSİNİMLERİ
ORYANTASYON
ORYANTASYON
PROGRAM ÇIKTILARIPROGRAM
ÇIKTILARI
PROGRAM
ÇIKTILARI
ALAN yETERLİKLERİ
BLOOM’S TAXONOMYANDERSON AND KRATHWOHL (2001)
http://www.learningandteaching.info/learning/bloomtax.htm
!!Listening !!
48
TÜRKİYE YÜKSEKÖĞRETİM ULUSAL YETERLİKLER ÇERÇEVESİ (TYUYÇ)
TYUYÇDÜZEYİ
BİLGİ- Kuramsal- Uygulamalı
BECERİLER- Kavramsal/Bilişsel- Uygulamalı
KİŞİSEL VE MESLEKİ YETKİNLİKLER
Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk
Alabilme Yetkinliği
Öğrenme Yetkinliği
İletişim ve Sosyal Yetkinlik
Alana Özgü ve Mesleki Yetkinlik
6LİSANS
_____
EQF-LLL:6. Düzey
_____
QF-EHEA:1. Düzey
- Ortaöğretimde kazanılan yeterliklere dayalı olarak alanındaki güncel bilgileri içeren ders kitapları, uygulama araç –gereçleri ve diğer bilimsel kaynaklarla desteklenen ileri düzeydeki kuramsal ve uygulamalı bilgilere sahip olmak
- Alanında edindiği ileri düzeydeki kuramsal ve uygulamalı bilgileri kullanabilmek,
- Alanındaki kavram ve düşünceleri bilimsel yöntemlerle inceleyebilmek, verileri yorumlayabilmek ve değerlendirebilmek, sorunları tanımlayabilmek, analiz edebilmek, kanıtlara ve araştırmalara dayalı çözüm önerileri geliştirebilmek.
- Uygulamada karşılaşılan ve öngörülemeyen karmaşık sorunları çözmek için bireysel ve ekip üyesi olarak sorumluluk alabilmek,
- Sorumluluğu altında çalışanların mesleki gelişimine yönelik etkinlikleri planlayabilmek ve yönetebilmek
- Edindiği bilgi ve becerileri eleştirel bir yaklaşımla değerlendirebilmek, öğrenme gereksinimlerini belirleyebilmek ve öğrenmesini yönlendirebilmek.
- Alanıyla ilgili konularda ilgili kişi ve kurumları bilgilendirebilmek; düşüncelerini ve sorunlara ilişkin çözüm önerilerini yazılı ve sözlü olarak aktarabilmek,
- Düşüncelerini ve sorunlara ilişkin çözüm önerilerini nicel ve nitel verilerle destekleyerek uzman olan ve olmayan kişilerle paylaşabilmek,
- Bir yabancı dili kullanarak alanındaki bilgileri izleyebilmek ve meslektaşları ile iletişim kurabilmek (“European Language Portfolio Global Scale”, Level B1)
- Alanının gerektirdiği düzeyde bilgisayar yazılımı ile birlikte bilişim ve iletişim teknolojilerini kullanabilmek (“European Computer Driving Licence”, Advanced Level).
- Alanı ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması, duyurulması ve uygulanması aşamalarında toplumsal, bilimsel ve etik değerlere sahip olmak,
- Sosyal hakların evrenselliğine değer veren, sosyal adalet bilincini kazanmış, kalite yönetimi ve süreçleri ile çevre koruma ve iş güvenliği konularında yeterli bilince sahip olmak.
ULUSAL LİSANS YETERLİLİKLER ÇERÇEVESİ
BLOOMS TAXONOMY
DEVRE ANALİZİ DEĞERLENDİRME MATRİSİ
ALAN YETERLİLİKLERİ(ABET) a b c d e f g h i j kLineer elektrik devreleri, frekans -domanlarinde ‘çevre akımları’ ve ‘düğüm gerilimleri’ yöntemleriyle çözebilecekler.
3 3 3 1 2
Lineer elektrik devreleri, s -domanlarinde ‘çevre akımları’ ve ‘düğüm gerilimleri’ yöntemleriyle çözebilecekler.
3 3 3 1 2
Devre çözümlerini yorumlayabileceklerdir. 3 3 3 1 2
Frekans domeni çözümlerinin sınırları ve faydalarını açıklayabilecekler, t-domani çözümleriyle karşılaştırabileceklerdir.
3 3 3 1 2
s-domeni çözümlerinin sınırları ve faydalarını açıklayabilecekler, t-domani çözümleriyle karşılaştırabileceklerdir.
3 3 1 2
Lineer devreleri ‘Transfer fonksiyon’ları ile modelleyip analiz edebileceklerdir.
3 3 3 1 1
Çeşitli filtreleri RLC ve/veya işlemsel kuvvetlendirircilerle tasarlayabileceklerdir. (Sentez)
3 3 3 1 1
Lineer İki kapılı devreleri kullanarak devre analizi yapabileceklerdir.
3 3 3 1 1
Ertuğrul Eriş Devre Analizi İlk Ders 49
ÖĞ
RE
NİM
ÇIK
TIL
AR
I