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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
1
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO
PARANÁ-SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO-SUED
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL-
PDE
UNIDADE DIDÁTICA
CARMEM LUCIA DIONISIO ROCHA NAVASCONI
CAMPO MOURÃO
2010
2
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO
PARANÁ-SEED
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO-SUED
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL-
PDE
UNIDADE DIDÁTICA
INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS EM SALA DE AULA COM O
GEOGEBRA- ARTICULANDO GEOMETRIA E ÁLGEBRA.
Unidade Didática apresentada à Fecilcam e
a Secretaria de Educação do Paraná, como
requisito para a participação do PDE escrito
sob a orientação do Prof° Wellington
Hermann.
CAMPO MOURÃO
2010
3
SUMÁRIO
1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICA................. ............................ 04
2 A DINÂMICA DE UMA AULA INVESTIGATIVA............. ........................... 04
2.1 Planejamento e Programação......................... ............................... 04
2.2 A Introdução do Assunto em Sala.................... ............................. 05
2.3 Desenvolvimento do Trabalho de Pesquisa............ ..................... 05
2.4 Partilha e Conclusão do Trabalho Desenvolvido...... ................... 06
3 O SOFTWARE GEOGEBRA................................ ............................ 06
3.1 Os Comandos do Software............................ ................................. 07
3.1.1 Principais comandos................................ ....................................... 08
3.1.2 Interface.......................................... .................................................. 08
3.1.3 Comandos mais usados nessa unidade................. ...................... 09
4 TAREFAS EXPLORATÓRIO-INVESTIGATIVAS................ ............. 10
4.1 Tarefa 1: Investigando e descobrindo seqüências.... ................ 12
4.2 Tarefa 2: Quadrados em quadrados................... ......................... 14
4.3 Tarefa 3: Atividade com fósforos................... .............................. 15
4.4 Tarefa 4: Azulejos pretos e brancos................. ........................... 17
4.5 Tarefa 5: Bordas da piscina........................ .................................. 17
4.6 Tarefa 6: Com quantas bolinhas se faz um quadrado... ............ 18
4.7 Tarefa 7: Explore as figuras e suas regularidades. ................. 19
4.8 Tarefa 8: Produto notáveis......................... ................................. 20
5 REFERÊNCIAS..................................................................... 24
4
1 APRESENTAÇÃO DA UNIDADE DIDÁTICA
Nessa unidade são apresentadas tarefas exploratório-investigativas
com o propósito de articular geometria, álgebra e aritmética, sem a pretensão
de direcionar o desenvolvimento das tarefas para este fim. Apenas tentaremos
chegar aos conceitos, caso o caminho trilhado pelos alunos seja este.
Utilizamos, para isso, tarefas retiradas de livros, dissertações e outros
trabalhos procurando reinterpretá-las ao enfoque exploratório investigativo.
Para a realização das tarefas sugerimos a utilização do software
Geogebra, pois assim a aula pode ficar mais dinâmica. O software de
geometria Geogebra pode ser considerado como um recurso tecnológico que
pode modificar as aulas de Matemática, uma vez que torna mais fácil a tarefa
de criar figuras geométricas e gráficos.
Na sequência apresentamos sugestões para encaminhamentos de
aulas com enfoque exploratório-investigativo e alguns comandos do Geogebra
seguido das tarefas propostas.
2 DINÂMICA DE UMA AULA INVESTIGATIVA
Objetivando a preparação de uma aula com investigações matemática
devemos levar em conta o planejamento e programação; introdução do assunto
em sala; desenvolvimento do trabalho de pesquisa a partilha e conclusão do
trabalho desenvolvido.
Destacamos cada uma dessas fases a seguir:
2.1 Planejamento e Programação
A mobilização que uma aula investigativa requer e a mesma de
qualquer aula, ou seja, deve ser programada com antecedência, visando
auxiliar aos alunos ao trabalho de pesquisa e de investigação.
Ponte, Brocardo e Oliveira (2006, p. 25), afirmam que uma aula investigativa:
5
(...) pode sempre programar-se o modo de começar uma investigação, mas nunca se sabe como ela irá acabar. A variedade de percursos que os alunos seguem os seus avanços e recuos, as divergências que surgem são elementos largamente imprevisíveis numa aula de investigação. (PONTE, 2006, p. 25)
2.2 A Introdução do Assunto em Sala
Nesta fase o professor tenta envolver os alunos na realização das
tarefas. Usando as palavras de Ponte “essa fase, embora curta, é
absolutamente crítica, dela dependendo todo o resto” (PONTE; BROCARDO;
OLIVEIRA, 2006, p. 26) podemos então perceber que está nessa fase o
sucesso da atividade dessa maneira como o professor introduz a tarefa dando
as instruções necessárias e estimulando os alunos a pesquisa e a inquirição de
questões merece uma atenção especial.
A boa condução pelo professor nessa etapa pode determinar o
sucesso ou o fracasso do desenvolvimento das tarefas O tema proposto deve
suscitar novidades possibilitar caminhos a serem explorados para a solução
das atividades.
É importante que o professor não dê muitas dicas ao aluno, pois isto
pode induzir o aluno a seguir por um caminho o que não é interessante. A
característica de aulas investigativas é justamente a possibilidade de o aluno
seguir por caminhos diversos, explorando ao máximo sua criatividade.
No início os alunos podem se sentir confusos, porém esta confusão
inicial é logo superada.
2.3 Desenvolvimento do Trabalho de Pesquisa
Essa etapa constitui o cerne da atividade investigativa onde o aluno
pode desenvolver o raciocínio e adquirir conhecimentos. Pode ser realizado
em grupos ou individualmente. Nessa fase o professor é mediador
possibilitando e incentivando o aluno a pesquisar sobre o assunto.
Na exploração das atividades e na formulação de questões os alunos
podem levar algum tempo e encontrar alguma dificuldade, mas na o devem
6
perder o foco persistindo na procura do caminho que devem seguir para
encontrar a solução.
Pode-se tornar a investigação mais interessante por meio do em
trabalho em grupo onde diferentes pontos de vista podem ser explorados e as
dúvidas dos integrantes do grupo podem gerar novas idéias do que e como
encontrar.
2.4 Partilha e Conclusão do Trabalho Desenvolvido
É nessa etapa que se finaliza atividade e é nela que ocorre o
compartilhamento dos trabalhos desenvolvidos nos grupos.
Através das discussões os alunos irão relatar aos colegas e aos
professores a conclusão do trabalho. Compartilhando com os seus pares o
que aprenderam e os conhecimentos adquiridos durante a investigação. É
nesta fase que as conjecturas levantadas e testadas pelos pequenos grupos
são validados ou corrigidos.
O professor, como mediador deve estimular e questionar os alunos
elucidando as dúvidas que surgirem e esclarecendo-as a todos. Geralmente,
pede-se que um representante de cada grupo apresente as conclusões que
seu grupo chegou. Neste momento o professor também deve atentar-se a não
desaprovar de imediato as conclusões dos alunos. Antes deve promover o
debate entre os grupos com a finalidade de estimular que as correções sejam
feitas por meio das discussões entre os alunos.
O professor só deve intervir caso os alunos não cheguem a resultados
aceitáveis.
3 O SOFTWARE GEOGEBRA
O Geogebra é um software de matemática que reúne três grandes
áreas da matemática: GEOmetria, álGEBRA e Cálculo, para ser utilizado em
ambiente de sala de aula. Seu código é aberto e funciona em qualquer
plataforma (Microsof Windows c, Linux c, Macintosh c, etc).
7
Esse programa foi idealizado por Markus Hohenwarter, professor da
Universidade de Salzburg, com o intuito de dinamizar o ensino de matemática,
reunindo geometria, álgebra e cálculo, o software permite relações entre suas
respectivas janelas, podendo ser utilizado em diversos níveis de ensino.
O Geogebra pode ser dividido em quatro partes como ilustra o quadro
abaixo:
Figura 1: Layout do Geogebra
Fonte: CHIANG (2007) 3.1 Os Comandos do Software
Os comandos são representados por ícones na barra de ferramentas,
ao clicar um ícone, aparecerá uma legenda ao lado explicando a função do
comando. Mas também podemos introduzir os comandos no campo de
entrada.
Na janela de visualização, exemplificamos facilmente as figuras que
são difíceis de serem desenhadas a mão livre, mas que com alguns toques
simples podemos visualizar as imagens dessas figuras por diversos ângulos,
coloridos, um por um, e até modificar as fórmulas onde foram definidas para
8
poder traçar rastros e em seguida compará-las minuciosamente, isto é,
ampliando-as imagens para facilitar a visualização.
Já na janela álgebra, visualizamos os pontos, as retas, as fórmulas,
etc. nas suas respectivas cores, o que facilita a sua identificação no gráfico.
Existe uma correspondência biunívoca entre eles, se clicarmos sobre um
ponto, ou uma reta na janela álgebra, o seu correspondente na janela
visualização, está em evidência e vice-versa, Além de fazer e desfazer os
gráficos com facilidade, isso permite com que os erros cometidos sejam
corrigidos rapidamente. A função Barra de navegação para passos da
construção (no menu Exibir) permite ver passo a passo a construção do gráfico
em questão. Já no protocolo de construção podemos ver os comandos e
fórmulas para chegar o gráfico final.
Para os usuários de outros países, o software dispõe de mais de 20
opções de idiomas, com um simples clique no mouse ele seleciona o idioma
desejado.
É fácil gravar as imagens criadas em formatos.png ou .eps. Além de
permitir a impressão da figura criada, podemos lançar o trabalho final -
incluindo a figura e as etapas de construção na internet, como uma planilha
dinâmica no formato html, para ser publicado na internet.
3.1.1 Principais comandos Ativar Janela de Álgebra – Exibir + janela de Álgebra Ativar Janela de Visualização - Exibir + Eixo/Exibir + Malha Ativar Campo de Entrada – Exibir + Campo de entrada 3.1.2 Interface
A Interface do software é constituída de uma janela gráfica que se
divide em uma área de trabalho, uma janela algébrica e um campo de entrada
de texto.
A área de trabalho possui um sistema de eixos cartesianos onde o
usuário faz as construções geométricas com o mouse. Ao mesmo tempo as
9
coordenadas e equações correspondentes são mostradas na janela de
álgebra.
O campo de entrada de texto é usado para escrever coordenadas,
equações, comandos e funções diretamente e estes são mostrados na área de
trabalho imediatamente após pressionar a tecla Enter.
3.1.3 Comandos mais usados nessa unidade
COMANDOS
FIGURAS
PROCEDIMENTOS
Mover
Clique sobre o objeto construído e o movimente na área de trabalho
Novo Ponto
Clique na área de trabalho e o ponto fica determinado
Ponto médio ou centro
Clique sobre dois pontos e o ponto médio fica determinado
Reta definida por dois pontos
Clique em dois pontos da área de trabalho e a reta é traçada
Segmento definido por dois pontos
Clique em dois pontos da área de trabalho e o segmento é traçado
Segmento com comprimento conhecido
Clique em um ponto da área de trabalho e dê a medida do segmento
Vetor definido por dois pontos
Clique em dois pontos da área de trabalho e o vetor fica determinado
Polígono
Clique em três ou mais pontos fazendo do primeiro também o último ponto. Fica determinado o polígono
Polígono Regular
Clique em dois pontos e abre-se uma janela que indica com quantos lados quer o polígono
Retas perpendiculares
Selecione uma reta e um ponto e a reta perpendicular fica
10
Tabela-3: Comandos do Geogebra 4 TAREFAS EXPLORATÓRIO-INVESTIGATIVAS
Apresentamos a seguir oito tarefas com o enfoque investigativo as
quais podem propiciar aos professores momentos próximo à pesquisa, pois
durante suas realizações estes podem investigar o conhecimento de seus
alunos e os processos que estes utilizam para resolver problemas.
Assim, como afirma Demo, podemos educar por meio da pesquisa:
determinada
Retas paralelas
Selecione uma reta e um ponto e a reta paralela fica determinada
Mediatriz
Selecione um segmento ou dois pontos e a mediatriz fica determinada
Bissetriz
Clique em três pontos, o segundo ponto determina a bissetriz
Distância
Clique em cada objeto que se queira determinar a distância
Reflexão com relação a um ponto
Clique no ponto a ser refletido e no outro que servirá de base para reflexão
Reflexão com relação a uma reta
Clique no ponto a ser refletido e na reta que servirá de base para reflexão
Inserir texto
Clique na área de trabalho e insira o texto
Ampliar
Clique sobre o objeto que se deseja ampliar
Reduzir
Clique sobre o objeto que se deseja reduzir
Exibir/esconder objeto
Clique sobre o objeto que se deseja esconder/exibir
Exibir/esconder rótulo
Clique no rótulo do objeto para exibí-lo ou escondê-lo
Apagar objetos
Clique sobre o objeto que se deseja apagar
11
Educar pela pesquisa tem como condição essencial primeira que o profissional da educação seja pesquisador, ou seja, maneje a pesquisa como princípio científico e educativo e a tenha como atitude cotidiana. Não é o caso fazer dele um pesquisador “profissional”, sobretudo na educação básica, já que não a cultiva em si, mas como instrumento principal do processo educativo. Não se busca um “profissional da pesquisa”, mas um profissional da educação pela pesquisa. (DEMO, 2000, p. 2)
Concluímos, então que o papel do professor é essencial para que a
pesquisa se transforme em ação, na prática e pela prática.
Propomos uma seqüência didática composta por oito tarefas
exploratórias investigativas, que serão apresentadas a seguir.
As tarefas exploratório-investigativas utilizadas nessa unidade poderão
levantar problemas desafiadores que mobilizem os participantes a explorar as
possíveis soluções.
Apresentamos a seguir sugestões para o encaminhamento e
desenvolvimento das tarefas:
As atividades podem ser realizadas em grupos constituídos por 4
pessoas, de tal forma que sejam divididas as tarefas entre os membros.
Escolham:
• Um coordenador: responsável pela organização dos trabalhos e
resolução de possíveis conflitos;
• Redator: responsável pela redação final do registro a ser entregue;
• Dois relatores: serão dois membros do grupo responsáveis pela
apresentação (para toda a classe) dos resultados encontrados pela
equipe.
Apesar da divisão acima, todos deverão participar das etapas de
realização das tarefas.
Quando realizar as tarefas deve-se fixar a malha, pois temos que ter
um padrão na distância de cada quadrícula, dessa forma na janela de
visualização clique com o botão direito e vá até a visualização, depois malha,
distância, clique x=1 e y=1 e vá em fechar.Assim a malha ficará fixa e podemos
construir as figuras sem alterar o seu tamanho. Em todas as tarefas esse
procedimento tem que ser realizado.
12
Para apresentar as tarefas faremos um quadro sintetizando as nove
tarefas que compõem nossa seqüência didática.
Tarefa Título Objetivo
1 Investigando e descobrindo sequências
Desenvolver de forma investigativa o desenvolvimento do pensamento
algébrico
2 Quadrados e
mais quadrados
Descobrir as relações entre a área do quadrado inicial e a dos quadrados
inscritos 3
Atividade com fósforos
Possibilitar a construção do conceito de perímetro.
4 Azulejos pretos e brancos
Analisar a capacidade de raciocínio matemático
5 Azulejos da piscina
Promover a comunicação e capacidade de diálogo entre os participantes
6 Com quantas
bolinhas se faz um quadrado.
Analisar a capacidade de formular, generalizar e conduzir o raciocínio
matemático
7 Explore as
figuras e suas regularidades
Generalizar por meio de iterações
como podemos encontrar um quadrado perfeito
8 Produtos notáveis
Compreender por meio da área dos quadrados a relação entre soma de
dois quadrados; Investigar no Geogebra essas
relações e generalizar as conclusões;
Figura-3 Quadro síntese das tarefas da seqüência didática
4.1 Tarefa 1: Investigando e descobrindo seqüência s 1 Objetivos
• Desenvolver de forma investigativa o pensamento algébrico;
1 Esta atividade foi baseada no artigo - As potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos da 6a série-apresentada no 15° Cole (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO; 2004 ).
13
• Fazer explorações, descobertas, levantar e formular, relatando aos
colegas as suas descobertas;
• Utilizar o Geogebra para realizar as explorações da atividade.
A tarefa:
Hoje, vamos trabalhar com seqüências de bolinhas e suas formas. Que
tal descobrir relações entre a forma em que a seqüência é construída, a
quantidade de bolinhas em determinada posição e a sua posição na
seqüência? Desafio vocês a investigar as próximas posições da seqüência!
Dê uma olhada nas duas primeiras posições da seqüência de bolinhas
abaixo:
Figura 2: Tarefa 1 - Investigando e descobrindo seqüências
O grupo achou complicado? A seguir temos algumas questões para
orientação do estudo.
1) Continue a seqüência no Geogebra, para isso clique no comando novo
ponto e vá até a malha deixando o ponto na posição desejada, faça isso
até a 10ª posição.
2) O grupo seria capaz de encontrar outras maneiras de continuar essa
seqüência? Quais seriam?
14
3) Se o grupo pensou em mais de um tipo de seqüência, escolha a que
mais lhe agrada para encontrar um jeito de dizer por escrito como seria
sua 100ª posição? Além disso, seria capaz de dizer quantas bolinhas
terá a 100ª posição?
4) Vocês conseguem agora escrever uma regra que pode representar o
número de bolinhas ou a forma de uma posição qualquer (indefinida) da
seqüência?
4.2 Tarefa 2: Quadrados em quadrados 2 Objetivos:
• Descobrir as relações entre a área do quadrado inicial e as dos
quadrados inscritos;
• Verificar quantos quadrados podem ser formados seguindo as
orientações descritas na atividade ;
• Trabalhar colaborativamente em equipe;
• Fazer matematicamente, formulando e resolvendo as questões
propostas;
• Vivenciar as conexões da Geometria, aritmética e álgebra.
A tarefa:
Num quadrado podem-se inscrever outros quadrados. De entre estes,
considere aqueles cujos vértices são pontos de interseção das quadrículas com
os lados do quadrado inicial.
Na figura, você pode observar um quadrado 3 x 3, com um quadrado
inscrito, nas condições descritas acima.
2 Esta atividade retirada do livro: Investigações Matemáticas em Sala de Aula-(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006, p. 66)
15
Figura 3: Tarefa 2 - Quadrados em quadrados
Fonte:(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA; 2006, p. 66)
1. Num quadrado como este,quantos quadrados nestas condições
poderá inscrever? E em quadrados 4x4? E 5 x5? Investigue no Geogebra a
possibilidade de inscrever quadrados nessas condições.
2. Com base nos quadrados que já desenhou e alargando o seu estudo
a quadrados com dimensões diferentes, investigue possíveis relações entre os
quadrados inscritos e o quadrado inicial?
3. Para melhor visualização use a planilha (Exibir – Planilha) do
Geogebra, para isso no menu clique em exibir planilha e esta aparecerá ao
lado na janela de visualização onde os dados podem ser inseridos. Você pode
colocar os seguintes dados: lados, número de quadrados inscritos para cada
iteração.
Lado N° de quadrados inscritos
1° 2° 3° 4°
2 3 4 5
4.3 Tarefa 3: Atividade com fósforos 3 Objetivos:
• Possibilitar a construção do conceito de perímetro;
3 Esta atividade foi baseada na publicação: matemática para todos investigações na sala de aula, números e regularidades, Projeto “Explorar e Investigar para Aprender Matemática”, APM.1998, p.47.
16
• Raciocinar matematicamente;
• Organizar uma tabela para os dados apresentados;
• Encontrar representações algébricas para a construção.
A tarefa: Observe a figura:
Figura 4: Tarefa 3 - Atividade com fósforos
Quantos fósforos foram utilizados na construção deste quadrado?
Figura 5: Tarefa 3 - Atividade com fósforos
Investiga quantos fósforos são necessários para construir qualquer
quadrado deste tipo?
Se quiser pode usar a planilha do Geogebra para auxiliar na execução
da tarefa, os passos são os mesmos da tarefa anterior.
17
4.4 Tarefa 4: Azulejos pretos e brancos 4 Objetivos
• Compreender a linguagem algébrica como meio de expressões;
• Reconhecer que a álgebra não é somente um objeto onde se aplica
técnicas e métodos;
• Discutir com o grupo as possíveis soluções;
• Organização de dados e estabelecimento de relações.
A tarefa:
Qual a relação matemática existente entre o número de azulejos azuis
e vermelhos?
Figura 6: Tarefa 4 - Azulejos pretos e brancos
Fonte: (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 153)
4.5 Tarefa 5: Bordas da piscina 5 Objetivos:
• Produzir investigações para encontrar fórmulas (generalizações)
possíveis para calcular áreas;
• Sistematizar as propriedades observadas;
• Discutir utilizando-se da álgebra como ferramenta.
4 Atividade baseada em: (LINS; GIMENEZ; 1997, p. 153). 5 Atividade baseada em: (LINS;GIMENEZ; 1997, p.156).
18
A tarefa:
Uma borda é formada com 2 linhas de 7 quadrados e 2 colunas de 9
quadrados encontre a medida da borda toda? Se você deseja azulejar essa
borda qual seria a medida da área considerada?
Figura 7: Tarefa 5 - Bordas da piscina Fonte: (LINS; GIMENEZ; 1997, p. 156)
4.6 Tarefa 6: Com quantas bolinhas se faz um quadra do 6 Objetivos:
• Construir a seqüência de bolinhas buscando a generalização;
• Compreender que a elaboração de fórmulas é a maneira de generalizar
o raciocínio;
• Discutir, argumentar e comprovar a existência de uma seqüência na
formação dos quadrados.
6 Atividade baseada em: (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO; 2004).
19
Tarefa:
Observe as figuras e verifique:
Quantas bolinhas são necessárias para a formação da 1ª figura?
E da 2 ª figura ? E para a 3ª figura são necessárias quantas bolinhas?
Investigue nas próximas figuras quantas bolinhas são necessárias?
Argumente com seus colegas como podemos saber o total de bolinhas
para qualquer quadrado?
Sistematize sua conclusão através de uma generalização.
Por meio da elaboração de fórmulas é possível generalizar o
raciocínio?
Figura 8: Tarefa 6 - Com quantas bolinhas se faz um quadrado
Fonte: (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTOVÃO; 2004)
Nessa tarefa você deverá utilizar o comando polígono regular do
Geogebra para desenhar os quadrados e em seguida o comando novo ponto
para inserir as bolinhas no interior dos quadrados,não esqueça de trabalhar
com a malha selecionada e as distâncias definidas.
4.7 Tarefa 7 : Explore as figuras e suas regularida des 7 Objetivos:
7 Atividade baseada em: Números Quadrangulares e Triangulares disponível: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm101/numerospoligonais.html>. Acesso em: 30 de jul.2010.
20
• Encontrar a relação entre as figuras e os números quadrados;
• Verificar a existência de uma relação entre os números quadrangulares
e triangulares;
• Generalizar por meio de iterações como podemos encontrar um
quadrado perfeito com a figura 2.
A tarefa:
Explore cada uma das figuras como quiser.
Tente desvendar alguma característica comum.
O que você observou?
Relate suas observações para o grupo.
Figura 9: Tarefa 7 - Explore as figuras e suas regularidades
Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm101/numerospoligonais.html. Acesso em: 30 jul.2010.
Use o Geogebra para fazer as explorações da construção das figuras,
você pode pesquisar na internet mais informações sobre os números
quadrangulares e triangulares e suas regularidades.
4.8 Tarefa 8: Produtos notáveis 8 Objetivos
8 Atividade desenvolvida por: HERMANN, H.; NAVASCONI, C. L. D. R.
21
• Compreender por meio da área dos quadrados a relação entre soma de
dois quadrados;
• Investigar no Geogebra essas relações e generalizar as conclusões;
• Compreender o processo dos produtos notáveis através da álgebra
geométrica;
• Estabelecer relações entre a área das figuras e a fórmula generalizada
para produtos notáveis;
• Investigar as possíveis soluções para esse tipo de Produto ( a+b).(a+b)
A tarefa:
a) Considere figuras de dimensões 2x2, 2x1,1x2 e 1x1. Organize estas
figuras com o objetivo de formar novas figuras e analise suas áreas. O
que você observa nas relações entre as suas áreas?O que você
observou sobre a área total de cada composição?
Figura 10: Tarefa 8 - Produtos notáveis
b) Faça o mesmo com figuras de dimensões 3x3, 3x1, 1x3 e 1x1 O que
você observe sobre as suas áreas? E sobre a área total de cada
composição o que você observou?
22
Figura 11: Tarefa 8 - Produtos notáveis
c) Novamente, monte novas configurações com as figuras de dimensões
4x4, 4x1, 1x4 e 1x1. O que você observou sobre a área total de cada
configuração?
Figura 12: Tarefa 8 - Produtos notáveis
d) Qual seria a área total de figuras obtidas a partir de outras com
dimensões a x a, a x 1, 1 x a e 1 x 1.Teste suas conjecturas com as
figuras dos itens a), b) e c).
e) Considere que no item anterior (d) tivéssemos uma figura com
dimensões a x a, duas com dimensões a x 1 e duas com dimensões 1 x
a. Quantos quadrados de 1 x 1 seriam necessários para obter um
quadrado perfeito?
f) Considerando que você tenha uma figura a x a e várias figuras com
dimensões a x 1 e 1 x a, enuncie uma forma geral de se obter o número
de quadrados 1 x 1 a fim de se obter um quadrado perfeito.
23
Para a montagem dos quadrados no Geogebra utilize os comandos
polígono regular, e para os retângulos o comando polígono. Se você quiser
pode usar o comando área que possibilita encontrar a área da figura
desenhada. Com o auxílio da planilha é possível também organizar os dados, o
que auxilia na comparação das áreas das figuras.
24
5 REFERÊNCIAS CHIANG,K. H. Minicurso de Geogebra , Foz do Iguaçú, 2007. DEMO, P. Educar pela pesquisa . Campinas: Autores Associados, 2000. FIORENTINI D; FERNANDES F. L. P; CRISTOVÃO E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações matem áticas no desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos d e 6ª série - Faculdade de Educação – Unicamp 2004. LINS, R. C; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas, SP: Papirus,1997. p. 153-156. PONTE, J. P.; BROCADO, J.; OLIVEIRA, H Investigações matemáticas na sala de aula. Belo horizonte: Autêntica, 2006.