Dag van wiskunde - dpbbrugge.be 2007/Dag_vd_Wiskunde_2007(2_3... · Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 13 De vaststellingen die je met behulp van een tekenprogramma hebt gedaan

Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 1

Dag van wiskunde

Zaterdag 17 november 2007

Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad

Inhoudstafel

pagina

1. Verticale samenhang leerinhouden

2. Zwaartepunt van een driehoek → werken met formule?

3. Afstand van een punt tot een rechte → werken met parametervoorstelling?

4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades

5. Meetkundige problemen analytisch oplossen

6. Van goniometrische getallen naar analytische meetkunde

7. Meetkundige plaatsen

2–4

5

6-7

8-10

11-20

21-22

23-32


1. Analytische Meetkunde van het vlak:

tweede-derde graad ASO-KSO-TSO

1ste

graad A-stroom→ A.M. 2de

graad:

1ste

leerjaar:

- punten in het vlak door middel van coördinaten bepalen

- in het vlak evenwijdige, snijdende en loodrechte rechten herkennen en definiëren

- eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand van rechten verwoorden

- de afstand van een punt tot een rechte definiëren

- de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek definiëren en tekenen

met behulp van een geodriehoek

- een hoogtelijn en een zwaartelijn van een driehoek definiëren

- hoogtelijnen en zwaartelijnen in een driehoek tekenen met behulp van een geodriehoek

- straal, middellijn, koorde en middelpuntshoek in een cirkel herkennen en tekenen

2de

leerjaar – leerplan a

- het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden

- de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen alsook de omgekeerde van

deze eigenschap bewijzen

- het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden

- de eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen alsook de

omgekeerde van deze eigenschap bewijzen

- de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met

behulp van de passer

2de

leerjaar – leerplan b

- het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden

- het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden

- de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met

behulp van de passer

2de

graad

1ste

leerjaar ASO, TSO/KSO (lpl a)

- algemene vergelijking van een rechte ( 0=++ cbyax met 0≠a of 0≠b ) en verband

leggen met de verwante eerstegraadsfunctie

- stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden

- problemen analytisch oplossen:

vraagstukken,

eigenschappen analytisch bewijzen (niet in ASO 4u)

- vectoren (niet in ASO 4u, B IW, U elders TSO/KSO)


opmerking ASO (5u):

‘het vectorbegrip gebruiken om een vergelijking van een rechte op te stellen’ ?

→ parametervoorstelling van

een rechte

2de

leerjaar ASO (5u)

- loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte,

bissectrices van een rechtenpaar

- de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en)

van twee cirkels

- problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels)

opmerking: in 4u enkel vergelijking cirkel

1ste

leerjaar TSO (lpl b):




- vraagstukken

- vectoren (B 4+1, U 4)

1ste

leerjaar TSO (lpl c) - 2de

leerjaar TSO/KSO (lpl d)




- vraagstukken

3de

graad

TSO/KSO (lpla)

Vlakke analytische meetkunde

- vectoren

- loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte,

bissectrices van een rechtenpaar

- de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en)

van twee cirkels

- problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels)


Elementaire kegelsneden (verplicht IW, keuze elders)

- Een ellips, een hyperbool en een parabool definiëren als een verzameling van punten.

- De canonieke vergelijking opstellen van een ellips, een hyperbool en een parabool.

- De vergelijking opstellen van de raaklijn in een punt van een ellips, een hyperbool en een

parabool.

- De vergelijking opstellen van de normaal in een punt van een ellips, een hyperbool en een

parabool.

- De vergelijking opstellen van de middellijn toegevoegd aan een richting.

Krommen (keuze)

- Meetkundige voorwaarden analytisch vertolken.

- De baan van een punt in het vlak beschrijven met een stel parametervergelijkingen.

- Een kromme tekenen als de poolvergelijking gegeven is.

- Een kromme gegeven in poolcoördinaten omzetten naar zijn cartesiaanse gedaante en

omgekeerd.

ASO (lpl a)

Analytische Meetkunde A (keuze)

- De parabool, ellips en hyperbool als meetkundige plaatsen definiëren en hun

eigenschappen gebruiken om meetkundige problemen op te lossen.

- Poolcoördinaten gebruiken om krommen voor te stellen.

- Parametervergelijkingen gebruiken om krommen te bestuderen.

- Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste

vergelijking.

Analytische Meetkunde B (keuze)

- Punten en rechten beschrijven t.o.v. een affiene en euclidische ijk

- Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste

vergelijking

- Punten en rechten beschrijven in het gecompleteerde vlak

- Affiene eigenschappen van kegelsneden in het gecompleteerde vlak onderzoeken en

toepassen

- Euclidische eigenschappen van kegelsneden onderzoeken en toepassen


2. Zwaartepunt van een driehoek: werken met formule?

- m.b.v. tekenprogramma kunnen leerlingen exploratieopdracht uitvoeren

zwaartepunt_numeriek.fig

- elke leerling kan zijn/haar ‘zwaartepunt’ berekenen

- is er een verband tussen de coördinaten van het zwaartepunt en de coördinaten van de

hoekpunten van de gegeven driehoek?

- leerkracht kan, m.b.v. symbolisch programma, dit verband aantonen

Beschouw hiertoe zo algemeen mogelijk een driehoek ABC met ( ) ( ) ( )e,fCdcBbaA en ,;, .

De drie zwaartelijnen gaan respectievelijk door

( ) ( ) ( )

++

++

++

2,

2en ,;

2,

2en ,;

2,

2en ,

dbcaFfeC

fbeaEdcB

fdecDbaA .

In dit bewijs maken we bewust gebruik van een cartesiaanse vergelijking van een rechte

door twee punten in de vorm ( )( ) ( )( )121121 yyxxxxyy −−=−− !

Men toont dan aan dat

++++

3,

3

fdbecaZ . Zie zwaartepunt.dfw


3. Afstand van een punt tot een rechte: werken met parametervoorstelling?

Numeriek

Bepaal de afstand van het punt ( )2,1P tot de rechte 032 =++↔ yxr of 32 −−= xy .

Methode 1: klassieke methode

Methode 2

Stel ( )32, −− ttQ het voetpunt van de loodlijn uit P op r.

Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is ( ) 121

52−=−⋅

−

−−

t

t waaruit

5

9−=t .

Het punt Q heeft dan coördinaten

−

5

3,

5

9.

De gevraagde afstand is 5

7

5

32

5

91

22

=

−+

+=PQ .

Methode 3

Deze methode steunt op de afstand als ‘minimale afstand’:

Stel terug ( )32, −− ttQ het voetpunt van de loodlijn uit P op r.

( ) ( ) 26185251 222++=++−= ttttPQ .

PQ is minimaal van zodra dat 2

PQ minimaal is (en omgekeerd).

Nu is 26185 2++ tt minimaal voor

5

9

10

18−=−=t .

Het vervolg is analoog als hierboven.

Veralgemening tot 22

vu

wvduc

+

++

• Bepaal de afstand van het punt ( )dcP , tot de rechte baxyr +=↔

Stel ( )battQ +, het voetpunt van de loodlijn uit P op r.

Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is 1−=⋅−

−+a

ct

dbat waaruit

12+

+−=

a

cabadt .

Het punt Q heeft dan coördinaten

+

++

+

+−

1,

1 2

2

2a

bacda

a

cabad.

De gevraagde afstand

2

2

2

2

2

11

+

−++

+

−−=

a

dbac

a

caabadPQ

( ) ( )

( )22

222

1+

−++−+=

a

dbacdbaca


( )

12

2

+

−+=

a

dbac

12

+

−+=

a

dbac (1)

• Is een vergelijking van de rechte gegeven in de vorm 0=++ wvyux met 0≠v

(dus v

wx

v

uy −−= ) dan wordt (1) herleid tot

22

2

2

1vu

wvduc

v

u

dv

wc

v

u

+

++=

+

−−−

= (2).

• Is een vergelijking van de rechte van de vorm 0=+ wux (de rechte is dan verticaal), dan

kan men gemakkelijk aantonen dat (2) geldig blijft.

Een analoge opmerking geldt indien de rechte een horizontale stand aanneemt

( 0=+ wvy ).


4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades …

Multiple choice → open vragen ?

Synthetisch – analytisch ?

Voorbeeld 1: ’87-’88 R1 vraag 19

Gegeven het vierkant hiernaast.

Wat geldt er voor de oppervlakten A, B en C?





Voorbeeld 5: ’93-’94 R2 vraag 23 → opgave aanpassen ?




Voorbeeld 8: ’01-‘02 R1 vraag 5


enz …


5. Meetkundige problemen analytisch oplossen

Zwaartelijn in een rechthoekige driehoek:

in een rechthoekige driehoek is de

zwaartelijn naar de schuine zijde half zo lang

als de schuine zijde

A

C

B

M

Middenparallel van een trapezium:

het lijnstuk dat de middens van de niet-

evenwijdige zijden van een trapezium

verbindt is evenwijdig met de twee

evenwijdige zijden en half zo lang als hun

som

D

A

C

M

N

Eigenschappen van een vierhoek:

in een vierhoek zijn de middens van de

diagonalen en het midden van het lijnstuk dat

de snijpunten van de overstaande zijden

verbindt collineair

eig_vierhoek(1).fig

D

A B

CM

N

E

FO


de lijnstukken die de middens van twee

opeenvolgende zijden van een willekeurige

vierhoek verbinden vormen een

parallellogram

eig_vierhoek(2).fig

D

AB

C

E

F

G

H

Opgelet met: ‘Toon analytisch de stelling van Pythagoras aan’ !!!

Projectie-eigenschap:

Projecteer elk hoekpunt van een driehoek

ABC loodrecht op een willekeurig

gekozen rechte r. Noem de loodrechte

projecties respectievelijk A’, B’ en C’.

Vanuit A’ laat je de loodlijn a’ neer op

BC, vanuit B’ laat je de loodlijn b’ neer

op AC en vanuit C’ laat je de loodlijn c’

neer op AB.

Stel vast dat de rechten a’, b’ en c’ door

één punt S gaan.

Toon bovenstaande vaststellingen aan op

analytische wijze.

Doe dit voor driehoek ABC met A (-2,5) ,

B (8,3) en C (3,1). Welke rechte kies je

voor r?

projectie-eigenschap.fig

B

C

A

A'

C'

B'

a'b'

c'

S

r

Cirkel van Feuerbach

Maak gebruik van een tekenprogramma om de volgende opdracht uit te voeren :

- Teken een driehoek ABC.

- Bepaal de middens van de drie zijden ( )P P P1 2, en 3 .

- Bepaal de voetpunten van de drie hoogtelijnen ( )P P P4 5, en 6 .

- Bepaal het snijpunt van de hoogtelijnen (H).

- Bepaal de middens van [ ] [ ] [ ]AH BH CH, en . ( )P P P7 8, en 9 .

- Toon aan dat de punten P P P1 2 9, ,......, op één cirkel liggen.

Bepaal het middelpunt M en de straal r van deze cirkel.

Men noemt de cirkel door de negen punten P P P1 2 9, ,......, de negenpuntscirkel

van Feuerbach.


De vaststellingen die je met behulp van een tekenprogramma hebt gedaan kan je ook

op analytische wijze aantonen.

Doe dit voor driehoek ABC met A(-5,-3), B(1,5) en C(7,3).

cirkel van Feuerbach.fig

1

1

A

B

C

P3

P2

P1

H

P4

P5

P6

P7

P8

P9

M

Cirkel van Feuerbach en kegelsneden:

- Alle kegelsneden die de drie hoekpunten van een driehoek ABC en het snijpunt H van de

hoogtelijnen bevatten, zijn orthogonale hyperbolen.

- De meetkundige plaats van het middelpunt van de voorgaande hyperbolen is een cirkel.

- Deze cirkel gaat door de middens van de zes zijden van de volledige vierhoek ABCH en

door de drie diagonaalpunten, namelijk BHCACABCCHAB ∩∩∩ en, .

Voor meer uitleg: zie cirkel van Feuerbach.dfw


Raaklijn aan een cirkel

ABCD is een vierkant met AB = 60 . P is een punt

van [CD] zodat DP = 30 .

Q is een punt van [BC] zodat BQ = 20.

Is de rechte PQ een raaklijn aan de cirkel met A als

middelpunt en straal 60?

⇓

Veralgemening tot ‘eigenschap’?

raaklijn aan cirkel(1).fig

ABCD is een rechthoek.

P is een punt op [AB] zodat AD AP= .

Door P trekt men de rechte r evenwijdig met AD.

c is de cirkel met B als middelpunt en straal BC .

Noem Q het snijpunt van r en c binnen

de rechthoek ABCD.

Is de driehoek ABQ rechthoekig in Q?

⇓

gulden snede!

raaklijn aan cirkel(2).fig

Parabool en rechthoekige driehoek

Men beschouwt een parabool met topvergelijking pxy 22= . Door het punt ( )0,pA trekt men

een rechte, niet evenwijdig met de as van de parabool, en die de parabool snijdt in de punten

B en C. De rechte evenwijdig met de as door het midden van [ ]BC snijdt de topraaklijn in D.

Toon aan dat de driehoek ABD rechthoekig is.

( )0,pA , ( )pxmyBC −=↔ .

B en C ‘vinden’ we via ( )

−=

=

pxmy

pxy 22

.

Bijgevolg is ( ) pxpxm 222

=− of

( ) 012 22222=++− pmxmpxm .

De som van de oplossingen van deze vergelijking is gelijk

aan ( )

2

2 12

m

mp + zodat

( )2

2 1

m

mpxM

+= en

m

pyM = .

Hieruit volgt dat

m

pD ,0 . Rico AD =

m

1− en rico BC =

m zodat beide rechten loodrecht op elkaar staan.

parabool(1).fig

1

1

F A

B

C

M

D


Parabool en concurrentie van rechten

Beschouw een parabool met brandpunt F. De loodlijn l in F op de as van de parabool snijdt

de parabool in de punten Q en R . De normaal in Q snijdt de parabool een tweede keer in S.

Toon aan dat de raaklijn in Q, de evenwijdige door R aan de y-as en de raaklijn in S door één

punt gaan.

2,

2,0,22 p

ydp

FpyxP −=↔

=↔

2

pyl =↔

snijdt de parabool in de punten

−

2,en

2,

ppR

ppQ .

- raaklijn t in Q: 2

pxy −−= , normaal n in Q

2

3pxy += .

- snijpunten van n met de parabool:

+=

=

2

3

22

pxy

pyx

Hieruit volgt dat 032 22=−− ppxx .

parabool(2).fig

1

1FQ R

S

Eén van de oplossingen (zie punt Q) is p− zodat de andere oplossing 3p is.

Bijgevolg is S

2

9,3

pp .

- raaklijn in S: 2

93

pxy −= , de rechte door R en evenwijdig met de y-as: px = .

Men toont gemakkelijk aan dat

−

2

3,

pp de enige oplossing is van

−=

=

−−=

2

93

2

pxy

px

pxy

.


Ellips en midden van een lijnstuk

Op een ellips neemt men de toppen S en T op de grote as en een willekeurig punt P. De

topraaklijn in S snijdt de rechte TP in U en de raaklijn in P aan de ellips in V.

Bewijs dat V het midden is van [ ]SU .

Neem bijvoorbeeld de ellips met als

vergelijking 1925

22

=+yx

.

Stel ( )ttP sin3,cos5 .

- topraaklijn in S : 5−=x

- raaklijn in P: 13

sin

5

cos=+

tytx

- rechte PT: ( )55cos5

sin3−

−= x

t

ty

- ( )0,5−S ,

+−

t

tV

sin

cos33,5 en

ellips(1).fig

−−

t

tU

cos1

sin6,5 of nog:

( )

+−

t

tU

sin

cos16,5 . Hieruit volgt dat V het midden is van [ ]SU .

Alternatieve oplossing

Stel ( )dcP , een punt van de ellips, dus 1925

22

=+dc

.

- topraaklijn in S : 5−=x

- raaklijn in P: 1925

=+dycx

- rechte PT: ( )55

−−

= xc

dy

- ( )0,5−S , ( )

+−

d

cV

5

59,5 en

−−

c

dU

5

10,5 .

- Het midden van [ ]SU heeft coördinaten

−−

c

d

5

5,5 .

Dit punt valt samen met het punt V als en slechts als ( )

d

c

c

d

5

59

5

5 +=

− of nog:

( ) eKPdccd

cd ∈⇔=+⇔−=⇔−= 192525

19

259252222

22


Ellips en cirkel

Toon aan: het beeld van een brandpunt van een ellips door de spiegeling t.o.v. een

willekeurige raaklijn behoort tot de cirkel die als middelpunt het andere brandpunt heeft en als

straal de lengte van de grote as.

ellips2.fig

Oplossing: zie bestand ellips(2).dfw


Een ellips anders bekeken …



Hyperbool en parallellogram

Op een hyperbool neemt men een willekeurig punt P. De rechten door P evenwijdig met de

asymptoten van deze hyperbool vormen met deze asymptoten een parallellogram waarvan het

maatgetal van de oppervlakte constant is. Toon dit aan.

hyperbool(1).fig

O1

1

P

Q

R

Oplossing: zie bestand hyperbool(1).dfw


6. Van goniometrische getallen → analytische meetkunde

Beschouw de goniometrische cirkel …

We verkrijgen:

( ) ( ) ( ) ( )

tF

tEtDtCtBtA

sin

1,0en 0,

cos

1;1,cot;tan,1;sin,0;0,cos

Een analoge constructie m.b.v. een cirkel met straal r levert dan:

( ) ( ) ( ) ( )

t

rF

t

rErtrDtrrCtrBtrA

sin,0en 0,

cos;,cot;tan,;sin,0;0,cos

⇓

Bovenstaande resultaten zijn een uiterst handig hulpmiddel voor de volgende constructies:

- ellips:

=

=

tby

tax

sin

cos met [ [π2,0∈t ; 1

2

2

2

2

=+b

y

a

x

- raaklijn in een punt van een ellips aan die ellips 1sincos

=+↔b

ty

a

tx: deze rechte snijdt de

x-as in

0,

cos t

aS


- hyperbool: [ [

∈

=

=

2

3,

2\2,0en

tan

cosππ

πt

tby

t

ax

; 12

2

2

2

=−b

y

a

x

- raaklijn in een punt van een hyperbool aan hyperbool 1tan

cos=−↔

b

ty

ta

x : deze rechte

snijdt de x-as in ( )0,cos taS .

Zie hiervoor de bestanden:

ellips_parametervgln.fig

raaklijn ellips.fig

hyperbool_parametervgln.fig

raaklijn hyperbool.fig

7. Meetkundige plaatsen


Meetkundige plaats 1

Gegeven is een parabool met top T. Op deze parabool neemt men een variabel punt A.

De raaklijn a in A aan de parabool snijdt de raaklijn t in de top in het punt B.

Bepaal de meetkundige plaats van de middelpunten van de omgeschreven cirkel van de

driehoek TAB.

Neem voor de eenvoud de parabool met als vergelijking 4

2x

y =

MP1.fig

1

1

T

x² - 4 y = 0

A

B

S

2 x² - y + 1 = 0

( )

12:eliminatie

28

4:lijnmiddellood

4rico,

8,

2midden,

4:lijnmiddellood

0,2

,4

,,0,0

4

2

2

2

2

2

+=

++−=

=

=

=↔

xy

tx

tyTA

tTA

ttTA

txTB

tB

ttAT

xyP



Op een cirkel met straal r neemt men de vaste middellijn AB en één variabel punt P.

Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt Z van de driehoek ABP als P de cirkel

doorloopt.

MP2.fig

1

1

BA

P

S

Stel ( ) ( ) ( ) 222met ,en 0,;0, rdcdcPrBrA =+− .

Voor het zwaartepunt geldt:

3,

3

dcZ , m.a.w.:

=

=

3

3

dy

cx

.

De parameters c en d elimineren we via de verbindingsvergelijking 222rdc =+ zodat de

meetkundige plaats van het zwaartepunt wordt gegeven door 9

222 r

yx =+ .

Meetkundige plaats 3 !!!

Gegeven is de cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm.

De rechte t raakt aan C in het punt A.

1. Er zijn vier punten die zowel op afstand 1 cm van t als op afstand 1 cm van c liggen.

Construeer deze vier punten.

2. Bepaal de meetkundige plaats van de punten die even ver van t als van c liggen.

constructie ↔ analytische uitwerking !!!

MP3.fig


1

1

A t

P Q VW

3=PQ en V en W (spiegelbeeld van W t.o.v. Q) fungeren als ‘schuifpasser’.

Stel M(0,0) , 922=+↔ yxc , 3−=↔ yt en ( )3,0 −A .

Een punt P(x,y) ligt op de meetkundige plaats als en slechts als

( ) MPtPd −= 3, (P binnen de cirkel) of ( ) 3, −= MPtPd (P buiten de cirkel).

Dit betekent dat 2233 yxy +−=+ of 33 22−+=+ yxy en dus

3322+−=+ yyx of 3322

++=+ yyx .

• Is 3−≤y dan volgt hieruit dat

yyx +=+ 622 of yyx −=+22

Bijgevolg: yx

=−

12

362

mits 36 −≤≤− y (enkel voor ( )3,0 − !) of x = 0 mits 3−≤y .

• Is 3−≥y dan volgt hieruit dat

yyx −=+22 of yyx +=+ 622

Bijgevolg: x = 0 mits 03 ≤≤− y of yx

=−

12

362

mits 3−≥y

• Samengevat: x = 0 voor 0≤y ; 12

362−

=x

y voor 3−≥y .

Merk op dat 12

362−

=x

y een parabool is met brandpunt het punt M en als richtlijn de

rechte met als vergelijking y = 6− .



Constructieopdracht

Een driehoek ABC heeft twee vaste hoekpunten A en B terwijl het hoekpunt C zich verplaatst

op een vaste rechte evenwijdig met AB. Bepaal de meetkundige plaats van

- het zwaartepunt van deze driehoek (MP4_Z.fig),

- het hoogtepunt van deze driehoek (MP4_H.fig),

- het middelpunt van de omgeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_M.fig)

- het middelpunt van de ingeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_I.fig).

Neem bijvoorbeeld A(-4,0), B(4,0) en C(t,4)

Z: 3

4=y

D

1

1

A B

C

FE

S

H: 44

1 2+−= xy

1

1

A B

C

H

M: x = 0


1

1

A B

C

M

I: ( ) 0322162 222=−+−+ xyxy

1

1

A B

C

I

Oplossing: zie bestand MP4.dfw


Meetkundige plaats 5 ⇒ link met projectieve kegelsneden

Gegeven is een vaste driehoek ABC. De rechte r is een variabele rechte evenwijdig met de

zijde AB van de driehoek. Het snijpunt van r met BC is het punt D en het snijpunt van r met

AC is E. We bepalen de meetkundige plaats van het snijpunt S van de rechten AD en BE.

We veronderstellen stilzwijgend dat r verschillend is van AB.

MP5.fig

1

1

A B

C

P DE

S

Neem bijvoorbeeld ( ) ( ) ( )4,0en 0,3,0,2 CBA − .

De rechte r heeft als vergelijking ty = .

Hieruit volgt:

−

−t

tEt

tD ,

2

4en ,

4

312, ( ) 082034 =+−+↔ tyttxAD en ( ) 06102 =−−+↔ tyttxBE .

Eliminatie t levert 48 +−= xy .

Uitgebreide uitwerking: zie bestand MP5.dfw

Link met projectieve kegelsneden:

de gevraagde meetkundige plaats kan ook beschouwd worden als de poollijn van het

punt ∞AB ten opzichte van de ontaarde kegelsnede bepaald door de rechten AC en CB.



Beschouw de ellips ↔eK 12

2

2

2

=+b

y

a

x, T is de top met coördinaten (-a,0).

De loodlijn uit een willekeurig punt P van de ellips eK op de x-as snijdt deze x-as in het punt

Q. Noem s de rechte door P en evenwijdig met de x-as.

De rechte r door Q en evenwijdig met de rechte TP snijdt de rechte s in een punt S.

Toon aan: de meetkundige plaats van de punten S, als P de ellips doorloopt, is de ellips met

vergelijking ( )

14 2

2

2

2

=+−

b

y

a

ax.

MP6.fig

Stel ( )dcP , met 12

2

2

2

=+b

d

a

c, voor Q geldt: ( )0,cQ , rico TP =

ca

d

+ met 0≠+ ca .

( )

=

−+

=↔

dy

cxca

dy

S .

Uit dit stelsel halen we c en d en we substitueren de verkregen resultaten in de

‘verbindingsvergelijking’ 12

2

2

2

=+b

d

a

c:

=

−=

yd

axc

2 zodat ( )

14 2

2

2

2

=+−

b

y

a

ax.



Beschouw een willekeurige rechte l door de oorsprong die de cirkel 222

1 ayxc =+↔ snijdt in

een punt P en de cirkel 222

2 byxc =+↔ in een punt Q.

Men construeert de raaklijn p in P aan 1c en de raaklijn q in Q aan 2c .

De rechte p snijdt de x-as in een punt R en de rechte q snijdt de y-as in een punt S.

Door R tekent men een evenwijdige r met de y-as en door S tekent men een evenwijdige s met

de x-as. De rechten r en s snijden elkaar in het punt T.

Bepaal de meetkundige plaats van het punt T als l om de oorsprong wentelt.

MP7.fig

Voor het punt T geldt dat

=

=

t

by

t

ax

sin

cos. Hieruit volgt dat 1

2

2

2

2

=+y

b

x

a een vergelijking is van de

gevraagde meetkundige plaats.


Meetkundige plaats 8: trifolium van de Longchamps

Gegeven zijn twee vaste punten O en A en een rechte l die O bevat. De orthogonale projectie

van A op l is B. Bepaal de meetkundige plaats van de orthogonale projectie P op l van het

symmetrisch punt C van B ten opzichte van de rechte OA als l rond O wentelt.

MP8.fig

We redeneren voor de eenvoud in het

eerste kwadrant.

Neem O in de oorsprong en aOA = .

De rechte l heeft als cartesiaanse

vergelijking θtanxy = .

Voor het punt B geldt (polair):

( )θθ ,cosaB . Bijgevolg is

( )θθ −,cosaC waardoor

( )θθθ ,2cos.cosaP (te verkrijgen via

een eenvoudige redenering in de

rechthoekige driehoek OPC).

De gevraagde meetkundige plaats heeft

als poolvergelijking

θθ 2cos.cosar = .

O1

1

A

l

B

C

P

Om een cartesiaanse vergelijking van

θθ 2cos.cosar = te vinden merken we vooraf op

dat deze kromme de pool O bevat.

θθ 2cos.cosar = ( )2224 cos2.cos rrarr −=⇔ θθ

( ) ( )22222 . yxaxyx −=+⇔



Gegeven zijn de vaste punten O en A. Beschouw de cirkel c met diameter OA en de raaklijn

t aan c in A. Een variabele rechte l door O snijdt c in C en t in B. Bepaal de meetkundige

plaats van het midden P van [ ]BC .

MP9.fig

We redeneren ‘voor de eenvoud’ in het eerste

kwadrant:

Stel ( )0,0O en ( )0,aA .

De variabele rechte l gaat door het punt

( )θθ ,cosaC (redeneer in de rechthoekige

driehoek OCA).

Voor het punt B geldt:

θ

θ,

cos

aB .

De gevraagde meetkundige plaats heeft als

poolvergelijking

+=

θθ

cos

1cos

2

ar .

Een analoge redenering in het vierde

kwadrant leidt tot eenzelfde resultaat.

Een cartesiaanse vergelijking vinden we als

volgt:

O1

1

A

c

t

CB

P

uit

+=

θθ

cos

1cos

2

ar volgt dat

+=

x

r

r

xar

2 of

rx

rxar

22

2+

= zodat

( )2222 rxaxr += .

Bijgevolg verkrijgen we als cartesiaanse vergelijking ( ) ( )2222 22 yxaxyx +=+ .

Opmerking

Het is heel wat moeilijker om de gezochte meetkundige plaats te bepalen ten opzichte van een

cartesiaans assenstelsel. We illustreren dit met behulp van het bestand MP9.dfw.

Documents

Dag van wiskunde - dpbbrugge.be 2007/Dag_vd_Wiskunde_2007(2_3... · Analytische Meetkunde – Luc De Wilde 13 De vaststellingen die je met behulp van een tekenprogramma hebt gedaan