Dai sotuyentinh

ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH

PHÙNG HỒ HẢIViện Toán họcBản nháp 0.01

Ngày 30.11.2009

Phùng Hồ Hải Đại số Đa tuyến tính

Mục lục

Chương I. Không gian véc tơ 51.1. Trường 51.2. Không gian véc tơ 71.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 131.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 161.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 201.6. Bài toán phổ dụng 24

Chương II. Tích ten xơ 312.1. Ánh xạ đa tuyến tính 312.2. Tích ten xơ 322.3. Tính kết hợp và giao hoán của tích ten xơ 372.4. Tích ten xơ của ánh xạ, của tổng trực tiếp, tính khớp 392.5. Tích ten xơ của các không gian con và không gian thương 412.6. Liên hệ với hàm tử Hom 442.7. Lũy thừa ten xơ 472.8. Ten xơ hỗn hợp 48

Chương III. Nhóm đối xứng 513.1. Nhóm đối xứng 513.2. Tác động của Sn 573.3. Đại số nhóm k[Sn] 61

Chương IV. Lũy thừa đối xứng và ten xơ đối xứng 654.1. Ánh xạ đa tuyến tính đối xứng và lũy thừa đối xứng 654.2. Lũy thừa đối xứng của ánh xạ, tổng trực tiếp 694.3. Ten xơ đối xứng 714.4. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số 0 72

3

4 Mục lục

4.5. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số dương 744.6. Lũy thừa đối xứng và dãy khớp 75

Chương V. Lũy thừa ngoài và ten xơ phản đối xứng 795.1. Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoài 795.2. Lũy thừa ngoài của ánh xạ, tổng trực tiếp 845.3. Ten xơ thay phiên 865.4. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số 0 895.5. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số dương 915.6. Đối ngẫu 925.7. Khai triển Cramer và khai triển Laplace 95

Chương I

Không gian véc tơ

1.1. Trường

ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Một trường là một tập hợp k cùng hai phéptoán “cộng”, ký hiệu +, và “nhân”, ký hiệu · thỏa mãn các điềukiện sau:

(i) (k,+) là một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị ký hiệulà 0, gọi là phần tử không của k,

(ii) (k×, ·) là một nhóm giao hoán (ở đây k× := k \ {0}), vớiphần tử đơn vị ký hiệu là 1, gọi là phần tử đơn vị của k,

(iii) phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng:

(1.1.1) (a+ b) · c = (a · b) + (a · c)

CHÚ Ý 1.1.2. (i) Chúng ta sẽ quy ước như thông lệ làphép nhân được thực hiện trước phép cộng và thôngthường sẽ bỏ dấu · khi ký hiệu phép nhân.

(ii) Từ định nghĩa, một trường có ít nhất hai phần tử 0 và 1.

VÍ DỤ 1.1.3. (i) Các tập hợp Q, R, C với các phép toánthông thường lập thành trường.

(ii) Trường có đúng hai phần tử 0 và 1 thường được ký hiệulà F2. Cấu trúc trường trên F2 có thể được mô tả thôngqua các phép cộng và nhân modulo 2.

(iii) Tương tự, với mỗi số nguyên tố p, tập các lớp đồng dưtheo modulo p với các phép toán cộng và nhân tạo thành

5

6 I. KHÔNG GIAN VÉC TƠ

một trường, thường được ký hiệu là Fp. Trường Fp nhưvậy có p phần tử.

(iv) Cố định một trường k, ta có thể xây dựng một trườngmới chứa k như sau. Xét tập hợp các phân thức hữu tỷtheo một biến t:

(1.1.2) k(t) :=

{P (t)

Q(t)|P,Q ∈ k[t]

}Khi đó k(t) với các phép cộng và nhân phân thức hữu tỷlại là một trường. Hiển nhiên trường này chứa trường knhư một trường con1.

(v) Trường k(t) thường được gọi là trường hàm trên k theobiến t. Nó còn được gọi là trường các thương của vành đathức k[t]. Ta cũng có thể xây dựng các trường khác chứak bằng cách xét các trường thặng dư của k[t] modulo mộtđa thức bất khả quy nào đó. Trong vành các đa thức, đathức bất khả quy đóng vai trò của một số nguyên tố, tậphợp các lớp đồng dư modulo một đa thức bất khả quyvới phép cộng và nhân thông thường cũng lập thành mộttrường.

ĐỊNH NGHĨA 1.1.4. Đặc số của một trường là số nguyên dươngnhỏ nhất p sao cho

p · 1 := 1 + 1 + . . .+ 1︸︷︷︸p

= 0

(ở đây 1 ký hiệu phần tử đơn vị của k). Trong trường hợp khôngtồn tại số p như vậy ta nói trường có đặc số 0.

VÍ DỤ 1.1.5. • Rõ ràng các trường Q, R, C có đặc số 0.• Mặt khác trường Fp và Fp(t) có đặc số p.

1Một trường con L của trường k là một tập con sao cho (L, +) và L×, ·) là

các nhóm con tương ứng của (k, +) và (k×, ·).

1.2. Không gian véc tơ 7

• Dễ dàng kiểm tra rằng nếu p > 0 là đặc số của k thì pphải là số nguyên tố. Thật vậy, nếu p không là nguyên tố,p = p1p2, pi > 1, thì

(p1 · 1)(p2 · 1) = p · 1 = 0

dẫn tới p1 · 1 hoặc p2 · 1 phải bằng 0, mâu thuẫn với giảthiết nhỏ nhất của p.• Nếu trường k có đặc số 0 thì ta có thể coi Q như là một

trường con của nó. Thật vậy, với mỗi số nguyên b 6= 0,phần tử b · 1 là khác 0 trong k, do đó khả nghịch. Phầntử nghịch đảo của nó được ký hiệu là 1/b. Như vậy ta cóthể ứng mỗi phân số a/b với phần tử a · 1/b của k.• Ngược lại, nếu k có đặc số p > 0, thì có thể coi Fp như là

một trường con của k.

1.2. Không gian véc tơ

ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 (Không gian véc tơ). Cố định một trường k.Một không gian véc tơ trên k là một tập hợp V cùng với các phéptoán cộng véc tơ, ký hiệu là +, và phép nhân với vô hướng, ký hiệulà ·:

(1.2.1)V × V −→ V ; (u, v) 7−→ u+ v

k× V −→ V ; (λ, v) 7−→ λ · v

thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) (V,+) là một nhóm giao hoán với phần tử đơn vị là 0,(ii) phép nhân với vô hướng có tính đơn vị:

1 · v = v, với mọi v ∈ V

(iii) phép nhân với vô hướng tương thích với phép nhân trongk:

(λµ) · v = λ · (µ · v)


(iv) phép nhân với vô hướng có tính phân phối đối với phépcộng véc tơ:

λ · (a+ b) = (λ · a) + (λ · b)

NHẬN XÉT 1.2.2. Từ định nghĩa một không gian véc tơ ta suyra ngay các tính chất sau:

0 · v = 0,

(−1) · v = −v

Chúng ta cũng sẽ quy ước như mọi khi là phép nhân với vôhướng sẽ được thực hiện trước phép cộng véc tơ cũng như sẽ bỏdấu · khi ký hiệu phép nhân với vô hướng.

VÍ DỤ 1.2.3. (i) Trên mặt phẳng cố định một điểm O. Tậpcác véc tơ với gốc là O và ngọn là một điểm bất kỳ trongmặt phẳng lập thành một không gian véc tơ trên R vớiphép cộng véc tơ thông thường.

(ii) Ví dụ trên có thể mở rộng ra không gian. Một không gianvéc tơ trên R thường được gọi là một không gian véc tơthực.

(iii) Tập hợp các đa thức với hệ số trong một trường k là mộtkhông gian véc tơ trên k, phép cộng véc tơ ở đây là phépcộng đa thức, phép nhân với vô hướng là phép nhân mộtđa thức với một phần tử của k. Chú ý trong trường hợpnày ta có thể đồng nhất trường k một cách chính tắc vớitập các đa thức bậc 0. Đối với một không gian bất kỳkhông có phép đồng nhất (một cách chính tắc) như vậy.

ĐỊNH NGHĨA 1.2.4 (Không gian con). Tập con U trong khônggian véc tơ V được gọi là không gian con nếu (U,+) là nhóm concủa (V,+) và U đóng với phép nhân với vô hướng.


ĐỊNH NGHĨA 1.2.5 (Ánh xạ tuyến tính). Cho hai không gianvéc tơ V và W trên trường k. Một ánh xạ f : V −→ W được gọi làánh xạ tuyến tính nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:

i) f(u+ v) = f(u) + f(v) với mọi u, v ∈ V ,ii) f(λu) = λf(u) với mọi λ ∈ k, u ∈ V .

Hạch của ánh xạ tuyến tính f được định nghĩa là tập

Ker(f) := {v ∈ V |f(v) = 0}

Đây là một không gian con của V .Ảnh của ánh xạ tuyến tính f

Im(f) := {f(v)|v ∈ V }

cũng là không gian con của W .

ĐỊNH NGHĨA 1.2.6. Tổ hợp tuyến tính của các véc tơ trong k làmột tổng dạng

λ1v1 + λ2v2 + . . . λnvn

với λi ∈ k và vi ∈ V . Bộ các véc tơ (vi) được gọi là phụ thuộc tuyếntính nếu tồn tại một bộ các phần tử λi ∈ k không đồng thời bằng0 sao cho

λ1v1 + λ2v2 + . . . λnvn = 0

Trong trường hợp ngược lại bộ (vi) được gọi là độc lập tuyến tính.Một tập con S trong V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi tậpcon hữu hạn của nó là độc lập tuyến tính.

Nhận xét rằng một tập độc lập tuyến tính không thể chứa véctơ 0. Ngược lại một tập bao gồm chỉ một véc tơ khác 0 luôn là độclập tuyến tính.

ĐỊNH NGHĨA 1.2.7. Tập sinh của một không gian véc tơ V làmột tập con S của V sao cho mọi phần tử của V biểu diễn được


dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S.Cơ sở của V là một tập con B sao cho mọi phần tử của V biểu

diễn được một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của cácphần tử trong B.

NHẬN XÉT 1.2.8. i) Một cách tổng quát hơn, với mỗi tậpcon S ⊂ V , tập các tổ hợp tuyến tính của các véc tơ từS lập thành một không gian con, gọi là không gian concăng bởi S, ký hiệu 〈S〉. S là tập sinh của V nếu 〈S〉 = V .

ii) Tập sinh trong một không gian véc tơ luôn tồn tại, chẳnghạn ta có thể lấy S = V . Tuy nhiên sự tồn tại của một cơsở là không hiển nhiên.

ĐỊNH LÝ 1.2.9. Cho V là một không gian véc tơ trên trường k.Các điều kiện sau đây là tương đương đối với một tập con B ⊂ V :

(i) B là một cơ sở của V ;(ii) B là tập sinh tối thiểu của V (nghĩa là mọi tập con thực

sự của B không là tập sinh của V );(iii) B là tập sinh của V và B là độc lập tuyến tính.

HỆ QUẢ 1.2.10. Cơ sở B của không gian véc tơ V thỏa mãntính chất phổ dụng sau: với mọi không gian véc tơ W , mọi ánh xạf : B −→ W có thể mở rộng một cách duy nhất thành ánh xạ tuyếntính ϕ : V −→ W .

Bnhúng

//

∀f AAAAAAAA V

∃!ϕ~~}}}}}}}}

W

ĐỊNH LÝ 1.2.11. Trong một không gian véc tơ bất kỳ luôn tồn tạiít nhất một cơ sở. Hai cơ sở bất kỳ có cùng lực lượng. Hơn thế nữa,nếu cho một tập các véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian thìta luôn có thể bổ sung vào đó các véc tơ để thu được một cơ sở củakhông gian.


ĐỊNH NGHĨA 1.2.12. Lực lượng của cơ sở trong một không gianvéc tơ được gọi là số chiều (hoặc nói một cách rút gọn là chiều)của không gian véc tơ đó.

CHÚ Ý 1.2.13. Trong giáo trình này, nếu không nói ngược lại,một không gian véc tơ sẽ luôn được giả thiết là hữu hạn chiều.

Xét một không gian véc tơ V và giả sử (x1, x2, . . . , xn) là mộtcơ sở của V . Để thuận tiện, ta sẽ quy ước ký hiệu một cơ sở nhưvậy là (x). Với mỗi v ∈ V ta có khai triển

v =∑i

vixi

Phần tử vi của trường k được gọi là tọa độ thứ i của v theo cơ sở(x).Ta ký hiệu véc tơ cột các tọa độ của v bởi [v]. Nếu hiểu (x) nhưlà một véc tơ hàng thì ta có

v = (x)[v]

ở đây vế phải là phép nhân một ma trận kích thước 1 × n với matrận n× 1.

Giả thiết (x′) là một cơ sở khác trong V . Biểu diễn các véc tơtrong (x′) theo cơ sở (x) ta thu được ma trận P = [pik] các véc tơcột [x′k] của các tọa độ của x′k theo cơ sở (x). Nói cách khác ta có

x′k =∑i

pikxi

hoặc

(x′) = (x)P


Ma trận P được gọi là ma trận chuyển cơ sở (x) sang (x′). Ta cómô tả cụ thể

P =

p1

1 p12 . . . p1

n

p21 p2

2 . . . p2n

. . . . . . . . . . . . . . . .pm1 pm2 . . . pmn

Vì (x′) cũng là cơ sở nên ma trận này là khả nghịch. Nghịch đảocủa nó chính là ma trận chuyển sơ sở từ (x) sang (x′).

Ta có thể tính được tọa độ của một véc tơ v theo cơ sở (x′)

thông qua tọa độ của nó theo (x) và (x′) bởi công thức

[v′] = P−1[v]

Thật vậy đẳng thức trên được suy ra từ đẳng thức

v = (x)[v] = (x′)[v′] = (x)P [v′]

Ta nói P−1 là ma trận chuyển tọa độ từ cơ sở (x) sang cơ sở(x′).

CHÚ Ý 1.2.14. Người đọc có thể nhận xét rằng cách ghi chỉ sốma trận ở đây khác với cách ghi ở một số giáo trình khác. Ở đâychúng ta sẽ thống nhất một số quy tắc sau:

i) Chỉ số của một véc tơ cơ sở được đánh ở dưới,ii) Chỉ số của tọa độ được đánh ở trên;

iii) Ngoài ra chúng ta sẽ quy ước mô tả rút gọn một tổngtheo chỉ số như sau2: tổng sẽ được lấy theo một chỉ sốnào đó nếu chỉ số đó xuất hiện 2 lần, một lần ở vị trí trênvà một lần ở vị trí dưới, chẳng hạn

aibi :=∑i

aibi

2Cách viết này được sử dụng lần đầu tiên bởi A. Einstein và được sử dụngrộng rãi trong Vật lý.

1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 13

Ví dụ công thức v = (x)[v] có thể viết

v = vixi

như vậy ở vế phải tổng được lấy theo i.

VÍ DỤ 1.2.15. i) Cho A = [aji ] là ma trận kích thước m×n (nghĩa là có m hàng và n cột) và B = [blk] là ma trậnkích thước n × p. Khi đó ta có tích của chúng là ma trậnC = [cjk] cho bởi

cjk = aji bik

ở đây vế phải tổng được lấy theo chỉ số i chạy từ 1 tới ntrong khi các chỉ số k, j là cố định.

ii) Vết của ma trận vuông A = [aji ] được định nghĩa là

trace(A) = aii

như vậy tổng được lấy theo i. Giả thiết B và C là các matrận kích thước tương ứng m × n và n × m. Khi đó tíchBC và CB tồn tại và là các ma trận vuông cấp tương ứnglà m×m và n× n. Ta có

trace(BC) = bjkckj = ckj b

jk = trace(CB)

iii) Tương tự ta dễ dàng kiểm tra rằng ma trận biểu diễn củamột ánh xạ hợp thành là tích của ma trân biểu diễn củatừng ánh xạ.

1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính

Trong mục này ta sẽ xét các không gian véc tơ hữu hạn chiều.Giả sử V và W là hai không gian véc tơ với chiều tương ứng là nvà m. Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là


L(V,W ). Ta có thể định nghĩa phép cộng các anh xạ tuyến tínhcũng như phép nhân với vô hướng:

(1.3.1)(f + g)(v) := f(v) + g(v)

(λf)(v) := λ(f(v))

Từ đó L(V,W ) có cấu trúc một không gian véc tơ.

Nếu cố định hai cơ sở (x) = (xi) và (y) = (yj) tương ứng trongV và W thì ta có thể mô tả f thông qua một ma trận như sau. Vìf là một ánh xạ tuyến tính nên nó được xác định một cách duynhất bởi ảnh của các véc tơ xi. Thật vậy, với mỗi v ∈ V ta viếtv =

∑vixi từ đó

f(v) =∑i

vif(xi)

Bây giờ khai triển f(xi) theo cơ sở yj:

f(xi) =∑j

ajiyj

Ta thu được ma trận

A =

a1

1 a12 . . . a1

n

a21 a2

2 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

với cột thứ i là tọa độ của véc tơ f(xi) theo cơ sở (y). Dế thấy rằngnếu [v] ký hiệu véc tơ cột mô tả tọa độ của v theo cơ sở (x) thì

[f(v)] = A · [v]

ĐỊNH NGHĨA 1.3.1. Ma trận A thu được ở trên được gọi là matrận biểu diễn của ánh xạ f theo hai cơ sở (x) và (y).

Ta dễ dàng kiểm tra rằng ma trận biểu diễn của một ánh xạhợp thành là tích của ma trân biểu diễn của từng ánh xạ.

1.3. Không gian véc tơ các ánh xạ tuyến tính 15

MỆNH ĐỀ 1.3.2. Chiều của không gian L(V,W ) là tích các sốchiều của V và W .

CHỨNG MINH. Cố định hai cơ sở (x) = (xi) và (y) = (yj) tươngứng trong V và W . Khi đó tồn tại các ánh xạ tuyến tinh eij : V −→W xác định bởi tính chất

eij(xk) = δikyj

Nói cách khác, ánh xạ eij biến xi vào yj còn các phần tử khác củacơ sở (x) vào 0. Từ các tính chất trên của một ánh xạ tuyến tínhta thấy f là tổ hợp tuyến tính của các ánh xạ eij với hệ số là cácphần tử trong ma trận biểu diễn của f theo các cơ sở (x) và (y):

f = ajieij

Từ đó suy ra kết luận của mệnh đề. �

Trong trường hợp V = W , ánh xạ tuyến tính f : V −→ V đượcgọi là một tự đồng cấu tuyến tính hoặc một phép biến đổi tuyếntính. Trong trường hợp này thay vì chọn hai cơ sở như ở trên tachỉ chọn 1 cơ sở. Nói cách khác, ma trận biểu diễn của ánh xạ ftheo cơ sở (x) của V được cho bởi điều kiện:

f(xi) = ajixj

Hợp thành của hai tự đồng cấu của V lại là một tự đồng cấu củaf . Dễ thấy phép hợp thành thỏa mãn tính phân phối đối với phépcộng ánh xạ và phép nhân với vô hướng:

(f + g) ◦ h = (f ◦ h)+)g ◦ h)

(λf) ◦ g = λ(f ◦ g)

Từ đó tập L(V, V ), thường được ký hiệu tắt là E(V ), là một vànhtheo hai phép toán cộng và hợp thành ánh xạ.


Quay lại trường hợp một ánh xạ tuyến tính f : V −→ W vớima trận A theo các cơ sở (x) và (y). Ta quan tâm tới mối liên hệgiữa A và ma trận A′ cũng của f nhưng theo các cơ sở khác, (x′)

và (y′) tương ứng của V và W .

Giả thiết P ma trận chuyển cơ sở từ (x) sang (x′) và Q là matrận chuyển cơ sở từ (y) sang (y′) ký hiệu là Q. Khi đó ta có côngthức liên hệ sau giữa A và A′:

A′ = Q−1AP

Trong trường hợp f : V −→ V là một tự đồng cấu tuyến tínhvà P là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (x) sang cơ sở (x′). Khi đóma trận biểu diễn A và A′ của f tương theo các cơ sở (x) và (x′)

tương ứng được liên hệ bởi công thức

A′ = P−1AP

1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ

Giả sử U1, U2 là các không gian con của V khi đó tổng U =

U1 + U2 tập hợp các véc tơ có dạng u1 + u2 với ui ∈ Ui. Dễ thấyđây lại là một không gian con của V .

ĐỊNH NGHĨA 1.4.1. Giả thiết U1,2 là các không gian con củamột không gian véc tơ V . Tổng U = U1 + U2 được gọi là tổng trựctiếp nếu mọi véc tơ trong U được biểu diễn một cách duy nhất ởdạng u1 + u2 với ui ∈ Ui. Ta nói U là tổng trực tiếp (trong) của U1

và U2, ký hiệu U = U1 ⊕ U2.

MỆNH ĐỀ 1.4.2. Điều kiện cần và đủ để V là tổng trực tiếp(trong) của hai không gian con U1 và U2 là: V = U1+U2 và U1∩U2 =

0.

1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 17

CHỨNG MINH. Nếu V là tổng trực tiếp của U1 và U2, thì vớimọi v ∈ U1 ∩ U2 từ hệ thức v − v = 0 ta có ngay v = 0. Ngượclại nếu V là tổng của U1 và U2 đồng thời U1 ∩ U2 = 0, thì từmột hệ thức dạng u1 + u2 = v1 + v2 với ui, vi ∈ Ui, ta suy rau1 − v1 = v2 − u2 ∈ U1 ∩ U2 = 0. Nghĩa là u1 = v1, u2 = v2. �

ĐỊNH NGHĨA 1.4.3. Tổng trực tiếp (ngoài) của hai không gianvéc tơ V1 và V2 (không nhất thiết hữu hạn chiều) là một khônggian véc tơ V cùng các ánh xạ tuyến tính

j1,2 : V1,2 −→ V, p1.2 : V −→ V1,2

thoả mãn các hệ thức sau:

(1.4.1) j1p1 + j2p2 = idV , piji = idVi

Ký hiệu: V = V1 ⊕ V2. Các ánh xạ ji được gọi là các phép nhúng,các ánh xạ pi được gọi là các phép chiếu.

NHẬN XÉT 1.4.4. i) Tổng trực tiếp ngoài của hai khônggian véc tơ luôn tồn tại. Chẳng hạn ta có thể xây dựngV như là tập các cặp (v1, v2) với các phép toán thực hiệntheo thành phần.

ii) Khi V là tổng trực tiếp ngoài của V1 và V2, ta có thể đồngnhất Vi với ảnh của nó trong V qua ji. Khi đó V là tổngtrực tiếp trong của V1 và V2.

iii) Khi nói tới tổng trực tiếp ta không chỉ quan tâm tới mìnhkhông gian V mà cả các ánh xạ pi, ji.

iv) Ví dụ: cho 0 −→ Uf−→ V

g−→ W −→ 0 là một dãy khớpngắn, khi đó mỗi phép chẻ h : W −→ V xác định mộtcấu trúc tổng trực tiếp V = U ⊕W mà trong đó các ánhxạ nhúng là f và h còn g là một trong hai phép chiếu vàphép chiếu thứ hai là l = f−1(idV − hg).

VÍ DỤ 1.4.5 (Ánh xạ lũy đẳng).


Một ánh xạ tuyến tính p : V −→ V được gọi là lũy đẳngnếu p2 = p. Ký hiệu U = Imp. Khi đó ánh xạ hạn chế của plên U là một ánh xạ đồng nhất. Ta nói p là một phép chiếutừ V lên không gian con U . Mặt khác ta cũng có ánh xạid−p là lũy đẳng: (id−p)2 = id−2p+p2 = id−p. Từ đóid − p là một phép chiếu lên không gian W = Im(id − p).Dễ dàng kiểm tra rằng V = U ⊕W . Thực ra đây là mộtcách mô tả khác của tổng trực tiếp, tuy nhiên nó có rấtnhiều ứng dụng.

Giả sử U ⊂ V là các k-không gian véc tơ. Với mỗi v ∈ V xéttập con có dạng

v + U := {v + u|u ∈ U}

của V . Một tập như vậy được gọi là lớp ghép của v theo U . Tưởngtượng hình học, đây là không gian con U được tịnh tiến đi bởi véctơ v. Dễ dàng kiểm tra rằng các lớp ghép của các véc tơ v và v′

theo U hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau. Tưởng tượng hìnhhọc ta thấy chúng song song với nhau. Tập các lớp ghép của cácphần tử của V theo U được gọi là tập thương của V theo U .

Điều kiện để v + U và v′ + U trùng nhau là v − v′ ∈ U .

Trên tập thương V/U có một cấu trúc không gian véc tơ đượcđịnh nghĩa như sau.

(1.4.2)(v + U) + (v′ + U) = (v + v′) + U

λ(v + U) = (λv) + U

Tập V/U với cấu trúc này được gọi là không gian thương của V

theo U . Ánh xạ tự nhiên V −→ V/U , v 7−→ v + U , gọi là ánh xạthương, là một ánh xạ tuyến tính. Nhận xét rằng đây là một toànánh.

1.4. Tổng trực tiếp, dãy khớp của các không gian véc tơ 19

Không gian thương V/U có tính chất quan trọng sau. Giả thiếtf : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính biến U vào 0. Khi đó f cảmsinh một ánh xạ tuyến tính f : V/U −→ W , xác định bởi

(1.4.3) f(v + U) := f(v)

Dễ thấy f là đơn ánh và f là hợp thành của f với ánh xạ thương(là ánh xạ toàn ánh).

Dãy các ánh xạ tuyến tính

. . .fi−1−→ Vi−1

fi−→ Vifi+1−→ Vi+1 . . .

được gọi là một phức nếu Im(fi) ⊂ Ker(fi+1) với mọi i. Một phứcnhư trên được gọi là khớp tại Vi nếu

Im(fi) = Ker(fi+1)

Một dãy khớp dạng

0 −→ Uf−→ V

g−→ W −→ 0

được gọi là một dãy khớp ngắn. Dãy khớp ngắn như vậy được gọilà chẻ ra nếu tồn tại ánh xạ h : W −→ V sao cho g ◦ h = idW .

MỆNH ĐỀ 1.4.6. Mọi dãy khớp ngắn các không gian véc tơ đềuchẻ ra. Ánh xạ chẻ không được xác định duy nhất. Mỗi ánh xạ chẻh xác định một đẳng cấu giữa V và U ⊕W .

CHỨNG MINH. Đây là một hệ quả hiển nhiên của sự tồn tại cơsở trong một không gian véc tơ. Sự tồn tại ánh xạ chẻ h tươngđương với sự tồn tại không gian con W ′ trong V sao cho W ′ ⊕f(U) = V . �


1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu

Không gian các ánh xạ tuyến tính L(V, k) được gọi là khônggian véc tơ đối ngẫu với V . Một phần tử của L(V, k) được gọi làmột dạng tuyến tính hoặc một phiếm hàm (tuyến tính) trên V . Đểthuận tiện ta sẽ ký hiệu

V ∗ := L(V, k)

Giả sử f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó f xácđịnh một ánh xạ, ký hiệu là f ∗ từ W ∗ tới V ∗, như sau. Với ϕ ∈ W ∗,định nghĩa

f ∗(ϕ) = ϕ ◦ f

Trên ngôn ngữ sơ đồ ta có sơ đồ giao hoán

(1.5.1) Vf

//

f∗(ϕ) ��???????? W

ϕ��~~~~~~~~

k

Ánh xạ f ∗ được gọi là ánh xạ đối ngẫu của f .

Nếu g : U −→ V là một ánh xạ tuyến tính khác thì ta có quytắc hợp thành

g∗ ◦ f ∗ = (f ◦ g)∗

Trươc tiên ta sẽ giả thiết V có chiều hữu hạn. Cố định một cơsở (x) = (x1, x2, . . . , xn) trong V . Khi đó theo tính chất của cơ sở(xem 1.2.10) tồn tại các ánh xạ ξi : V −→ k thỏa mãn

ξi(xj) = δij

Từ đó ξi(v) = vi. Vậy ξi là phiếm hàm tuyến tính xác định tọa độthứ i của một véc tơ theo cơ sở (x) đã cho. Với ϕ : V −→ k ta có

ϕ(v) = viϕ(xi) = ϕ(xi)ξi(v)

1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 21

nghĩa là

ϕ = ϕ(xi)ξi

Vậy (ξ) = (ξi) là một cơ sở của V . Cơ sở này được gọi là cơ sởđối ngẫu với cơ sở (x). Chú ý rằng cơ sở đối ngẫu được đánh sốbởi các chỉ số trên, điều này cũng tương thích với việc ξi là phiếmhàm xác định tọa độ thứ i của một véc tơ.

Giả thiết A = [aij] là ma trận của f theo các cơ sở (x) và (y)

tương ứng trong V và W :

f(xi) = ajiyj

Khi đó ma trận của f ∗ theo các cơ sở đối ngẫu (η) và (ξ) được chobởi

(1.5.2) f ∗(ηj) = ajiξi

Thật vậy, ta có với mọi v ∈ V(f ∗(ηj)

)(v) = ηj(f(v)) = ηj(aki v

ixk) = ajivixj = ajiξ

i(v)

Nhận xét rằng ma trận của f ∗ theo các cơ sở đối ngẫu khôngthực sự trùng với ma trận A của f theo các cơ sở ban đầu mà làma trận chuyển vị của ma trận A. Lý do là ở công thức (1.5.2) cácchỉ số của cơ sở là chỉ số trên.

Ta tiếp tục xét không gian đối ngẫu hai lần V ∗∗ của V đượcđịnh nghĩa là

V ∗∗ := L(V ∗, k)

Như vậy một phần tử của V ∗∗ là một phiếm hàm tuyến tính trênV ∗. Nhận xét rằng mỗi phần tử của V cũng xác định một phiếmhàm tuyến tính trên V ∗ bởi công thức

v 7−→ ηv : ηv(ϕ) := ϕ(v)

Như vậy ta có một ánh xạ tự nhiên từ V vào V ∗∗.


MỆNH ĐỀ 1.5.1. Ánh xạ tự nhiên cho ở trên là một đẳng cấutuyến tính của V vào không gian đỗi ngẫu hai lần V ∗∗ của nó.Thông thường ta sẽ dùng đẳng cấu này để đồng nhất V ∗∗ với V .

CHỨNG MINH. Ta chứng minh ánh xạ là đơn ánh. Thật vậy, nếuηv = 0 nghĩa là ϕ(v) = 0 với mọi ϕ ∈ V . Thì v = 0. Mặt khác theotrên ta thấy V ∗ và V có chiều bằng nhau, do đó V ∗∗ cũng có chiềubằng chiều của V . Vậy một ánh xạ đơn ánh giữa chúng phải làđẳng cấu. �

CHÚ Ý 1.5.2. Giả sử V là một không gian tuyến tính vô hạnchiều. Khi đó ta vẫn có các tính chất sau:

i) Cố định một cơ sở (x) = (xi)i∈I của V thì tồn tại cácphiếm hàm tuyến tính ξi, ξi(xj) = δji .

ii) Phiếm hàm ξj là phiếm hàm xác định tọa độ theo cơ sở(x).

iii) Ánh xạ đối ngẫu f ∗ của một ánh xạ tuyến tính f : V −→W được định nghĩa tương tự.• Tuy nhiên các phiếm hàm ξi, i ∈ I không lập thành một

cơ sở của V . Ví dụ phiếm hàm ϕ ánh xạ tất cả các xi vàophần tử 1 trong k không là tổ hợp tuyến tính của ξi. Dođó không gian V được đồng nhất một cách chính tắc vớimột không gian con thực sự của V ∗∗.

Dưới đây ta sẽ xét một số tính chất của không gian đỗi ngẫuđúng cả đối với không gian vô hạn chiều.

Giả thiết V = V1 ⊕ V2. Khi đó ta có đẳng cấu chính tắc

V ∗ ∼= V ∗1 ⊕ V ∗2

1.5. Không gian đối ngẫu và ánh xạ đối ngẫu 23

Thật vậy, giả thiết ji, pi, i = 1, 2 là các ánh xạ cấu trúc xác địnhtổng trực tiếp V1 ⊕ V2. Khi đó đẳng cấu trên được cho bởi các ánhxạ j∗i và p∗i .

Giả thiết 0 −→ Ug−→ V

f−→ W −→ 0 là một dãy khớp ngắn.Khi đó ta có dãy đỗi ngẫu

0 −→ W ∗ f∗−→ V ∗g∗−→ U∗ −→ 0

với g∗ ◦ f ∗ = (f ◦ g)∗ = 0. Giả thiết h : W −→ V là ánh xạ chẻdãy khớp trên, nghĩa là f ◦ h = idW . Theo trên ta có ngay dãy đỗingẫu cũng khớp.

Giả thiết U là không gian con của V và W là không gianthương. Khi đó không gian đối ngẫuW ∗ có thể được đồng nhất vớikhông gian con U⊥ của V ∗ bao gồm các phiếm hàm triệt tiêu trênU . Thật vậy mỗi phiếm hàm trên V , triệt tiêu trên U sẽ xác địnhmột phiếm hàm trên không gian thương. Ngược lại mọi phiếmhàm trên V/U khi hợp thành với ánh xạ thương sẽ cho ta mộtphiếm hàm trên V .

Không gian U⊥ còn được gọi là phần bù trực giao của U trongV ∗. Ngược lại U∗ có thể được đồng nhất với không gian thươngcủa V ∗ bao gồm các lớp tương đương của các phiếm hàm nhậncùng giá trị trên V . Ta cũng sẽ dùng ký hiệu (V/U)⊥ cho U∗. Vậytheo trên ta có đẳng thức

V ∗/U⊥ = (V/U)⊥

Ta có các tính chất sau của phần bù trực giao.

MỆNH ĐỀ 1.5.3. i) Giả thiết U1, U2 là các không gian con của V .Khi đó

(U1 + U2)⊥ = U1

⊥ ∩ U2⊥, (U1 ∩ U2)

⊥ = U1⊥ + U2

⊥


ii) Giả thiết f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó

(Imf)⊥ = Kerf ∗, (Kerf)⊥ = Imf ∗

CHỨNG MINH. Các tính chất trong (i) được suy ra từ định nghĩa.Việc chứng minh dành cho bạn đọc.

Ta chứng minh (ii). Từ định nghĩa ϕ ∈ (Imf)⊥ nghĩa là ϕ◦ f =

0. Nhưng điều đó cũng có nghĩa ϕ ∈ Kerf ∗.

Đẳng thức thứ hai chứng minh phức tạp hơn một chút. Giảthiết ϕ là một phiếm hàm tuyến tính trên V mà nhận giá trị 0 khihạn chế lên U := Kerf . Thế thì theo 1.4.3 ta có các ánh xạ tuyếntính

ϕ : V/U −→ k và f : V/U −→ W

với f là đơn ánh.

Vf

//

$$IIIIIIIIII

ϕ

��66666666666666666 W

∃ψ

��

V/U

f::uuuuuuuuu

ϕ

��k

Theo trên ánh xạ f ∗ là toàn ánh và do đó đối với phiếm hàmϕ ∈ (V/U)∗ tồn tại phiếm hàm ψ ∈ W ∗ để f ∗(ψ) = ϕ. Nghĩa làϕ = ψ ◦ f . Từ đó ϕ = ψ ◦ f , hay ϕ = f ∗ψ, nghĩa là ϕ ∈ Imf ∗. Điềungược lại dễ chứng minh. �

1.6. Bài toán phổ dụng

Khái niệm bài toán phổ dụng có thể được giải thích một cáchđơn giản thông qua các ví dụ.

1.6. Bài toán phổ dụng 25

VÍ DỤ 1.6.1 (Tích trực tiếp của tập hợp). Giả thiết S1 và S2 làhai tập hợp. Tích trực tiếp hoặc tích Đề Các của hai tập hợp nàylà tập hợp

S1 × S2 := {(s1, s2)|si ∈ Si, i = 1, 2}

Ta có các ánh xạ hiển nhiên pri : S1 × S2 −→ Si gọi là các phépchiếu

pri : (s1, s2) 7−→ si, i = 1, 2

Tập hợp S1 × S2 và hai ánh xạ pri này có tính chất hiển nhiênsau: với mọi cặp ánh xạ fi : T −→ Si, tồn tại duy nhất ánh xạf : S −→ S1 × S2 thỏa mãn

fi = pri ◦ f

Thật vậy, f được xác định bởi: f(t) = (f(t1), f(t2)). Mô tả bằng sơđồ:

(1.6.1) T

f2

!!

f1

((

f

%%S1 × S2

pr2��

pr1// S1

S2

Ta nói bộ ba (S1×S2, pr1, pr2) thỏa mãn tính chất phổ dụng đối vớibài toán phổ dụng:

∀(f1, f2), ∃!f thỏa mãn sơ đồ (1.6.1)

VÍ DỤ 1.6.2 (Đối tích của hai tập hợp). Coi hai tập hợp S1, S2

là hoàn toàn không có liên hệ gì với nhau và xét hợp của chúngta thu được hợp rời S1

∐S2. Các tập hợp S1 và S2 có thể coi một

cách tự nhiên là tập con của S1

∐S2 ta ký hiệu các ánh xạ nhúng

là ji : Si −→ S1

∐S2. Tương tự như trong ví dụ trên, S1

∐S2

cùng các ánh xạ nhúng thỏa mãn tính chất sau: với mọi cặp ánh


xạ gi : Si −→ T , tồn tại duy nhất ánh xạ S1

∐S2 −→ T thỏa mãn

gi = g ◦ ji. Mô tả bằng sơ đồ:

(1.6.2) S1

j1�� g1

��

S2j2

//

g2--

S1

∐S2

g

%%T

Ta nói bộ ba (S1

∐S2, j1, j2) thỏa mãn tính chất phổ dụng đối với

bài toán phổ dụng:

∀(g1, g2), ∃!g thỏa mãn sơ đồ (1.6.2)

So sánh hai sơ đồ ở (1.6.1) và (1.6.2) ta thấy tất cả các mũi tênbị đảo chiều. Ta nói khái niệm hợp rời là đối ngẫu với khái niệmtích trực tiếp. Vì thế hợp rời của hai tập hợp còn được gọi là đốitích trực tiếp của chúng.

VÍ DỤ 1.6.3 (Tập 1 phần tử). Ta tiếp tục với một ví dụ đơn giảnnhưng quan trọng. Tập có duy nhất một phần từ thường được kýhiệu {∗}. Ta có nhận xét sau: từ một tập hợp bất kỳ tồn tại duynhất một ánh xạ tới {∗}. Tính phổ dụng của {∗} được mô tả nhưsau:

(1.6.3) ∀S, ∃!f : S −→ {∗}

Ta nói {∗} là vật cuối trong phạm trù các tập hợp cùng các ánh xạgiữa chúng.

VÍ DỤ 1.6.4 (Tập rỗng). Đối ngẫu với khái niệm vật cuối là kháiniệm vật đầu. Tính phổ dụng của vật đầu, được ký hiệu chẳng hạnlà I, được mô tả như sau;

(1.6.4) ∀S, ∃!g : I −→ S


Dễ dàng kiểm tra rằng tập rỗng ∅ là tập duy nhất thỏa mãn tínhphổ dụng ở trên3.

VÍ DỤ 1.6.5 (Không gian véc tơ 0). Ta tìm không gian véc tơ cótính chất tương tự như tập rỗng. Tất nhiên ở đây phạm vi nghiêncứu của chúng ta là các không gian véc tơ cùng các ánh xạ tuyếntính giữa chúng, thay vì các tập hợp và ánh xạ. Theo trên, khônggian véc tơ này phải thỏa mãn bài toán phổ dụng trong phạm trùcác không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính:

(1.6.5) ∀W, ∃!g : V −→ W

Dễ thấy không gian véc tơ 0 là không gian duy nhất thỏa mãnbài toán phổ dụng này. Vậy không gian 0 là vật đầu trong phạmtrù các không gian véc tơ và ánh xạ tuyến tính. Mặt khác ta cũngnhận xét rằng không gian 0 đồng thời là vật cuối vì nó thỏa mãnbài toán phổ dụng

(1.6.6) ∀W, ∃!f : W −→ V

Như vậy khác với trường hợp tập hợp và ánh xạ, đối với các khônggian véc tơ vật đầu và vật cuối trùng nhau.

VÍ DỤ 1.6.6 (Tổng trực tiếp). Tổng trực tiếp của hai không gianvéc tơ cũng thỏa mãn một bài toán phổ dụng. Cụ thể, nó là tíchtrực tiếp của hai không gian véc tơ đó theo nghĩa của Ví dụ 1.6.1:

(1.6.7) T

f2

!!

f1

((

f

%%V1 ⊕ V2

p2��

p1// V1

V2

3Chú ý rằng có nhiều tập có 1 phần tử và chúng đều đẳng cấu với nhaunhưng người ta quy ước chỉ có duy nhất 1 tập rỗng, là con của mọi tập khác


Nhận xét rằng (V1 ⊕ V2, j1, j2) cũng đồng thời thỏa mãn bài toánphổ dụng ở (1.6.2)

(1.6.8) V1

j1�� g1

��

V2j2

//

g2 --

V1 ⊕ V2

g

%%T

Nghĩa là (V1 ⊕ V2, j1, j2) đồng thời là đối tích của hai không gianvéc tơ V1 và V2.

VÍ DỤ 1.6.7 (Không gian sinh bởi một tập). Ta kết thúc mụcnày bằng ví dụ của không gian véc tơ sinh bởi một tập. Cho S

là một tập hợp, xét bài toán phổ dụng sau: tìm không gian véc tơF (S) cùng một ánh xạ i : S −→ F (S) sao cho với mọi không gianvéc tơ V và mọi ánh xạ j : S −→ V , tồn tại duy nhất một ánh xạtuyến tính f : F (S) −→ V thỏa mãn j = f ◦ i. Mô tả bằng sơ đồ:

(1.6.9) Si //

∀j !!DDDDDDDDD F (S)

∃!f��V

Nhận xét rằng trong ví dụ này có sự liên hệ giữa hai đối tượng:tập hợp và không gian véc tơ.

Để xây dựng lời giải cho bài toán phổ dụng này có thể làmtheo 2 cách. Cách thứ nhất là định nghĩa F (S) như là tập hợpcác ánh xạ f từ S vào k với tính chất chỉ có một số hữu hạn giátrị f(s), s ∈ S là khác 0. Với các phép toán cộng và nhân với vôhướng được định nghĩa một cách hiển nhiên, F (S) có cấu trúcmột không gian véc tơ. Ánh xạ i được xác định như sau. Với mỗi


s ∈ S, i(s) là ánh xạ S −→ k cho bởi

i(s) = 1, i(s′) = 0, ∀s 6= s′ ∈ S

Dễ thấy tập i(S) ⊂ F (S) là một cơ sở của F (S) (đây là chỗ mà tacần điều kiện hữu hạn của các ánh xạ trong F (S)). Tính phổ dụngcủa (Sfin, i) được suy ra từ tính chất của cơ sở (Hệ quả 1.2.10).

Một cách xây dựng khác của F (S) là định nghĩa nó như là tậpcác tổ hợp tuyến tính hình thức∑

λss

trong đó λs là các phần tử của k và ở mỗi tổng trên chỉ có một sốhữu hạn λs khác 0. Phép cộng và phép nhân với vô hướng đượcthực hiện theo thành phần, nghĩa là

µ(∑λss) =

∑µλss

(∑λss) + (

∑µss) =

∑(λs + µs)s

Chương II

Tích ten xơ

2.1. Ánh xạ đa tuyến tính

Cố định một trường k và xét các không gian véc tơ trên k,không nhất thiết hữu hạn chiều.

Giả thiết V,W và U là các không gian véc tơ. Một ánh xạ

f : V ×W −→ U

được gọi là song tuyến tính nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(2.1.1)f(v1 + v2, w) = f(v1, w) + f(v2, w)

f(v, w1 + w2) = f(v, w1) + f(v, w2)

f(λv, µw) = λµf(v, w)

Nói cách khác f là một ánh xạ theo hai biến mà khi cố định mộttrong hai biến ta được một ánh xạ tuyến tính. Trong trường hợpU = k, f được gọi là một dạng song tuyến tính.

Tập hợp tất cả các ánh xạ song tuyến tính từ V × W vào U

được ký hiệu là B(V ×W,U). Dễ dàng kiểm tra rằng B(V ×W,U)

có cấu trúc một không gian véc tơ.

Giả thiết V1 ⊂ V , W1 ⊂ W . Khi đó ánh xạ song tuyến tínhf hạn chế lên tập con V1 × W1 cho ta một ánh xạ tuyến tínhf1 : V1 ×W1 −→ U . Mặt khác, ký hiệu NV (f) là tập hợp các véctơ v trong V thoả mãn f(v, w) = 0 với mọi w trong W . Dễ dàngkiểm tra rằng NV (f) là một không gian con trong V . Ta cũng có

31

32 II. TÍCH TEN XƠ

định nghĩa tương tự của NW (f). Bây giờ giả sử V1 ⊂ NV (f). Khiđó f cảm sinh một ánh xạ song tuyến tính f trên V/V1 ×W

f(v, w) = f(v, w)

ở đây v ký hiệu lớp tương đương của v trong không gian thươngV/V1. Ta cũng có thể làm tương tự đối với các không gian con củaNW (f).

VÍ DỤ 2.1.1. i) Tích vô hướng trên một không gian véctơ V là ví dụ của một ánh xạ song tuyến tính V × V −→K. Cố định một cơ sở của V thì một tích vô hướng trênV được cho bởi một hàm bậc hai trên các tọa độ. Chẳnghạn nếu (xi) là một cơ sở thì

(v, w) = aijvivj

với aij thỏa mãn aij = aji.ii) Tổng quát, bất kỳ một bộ aij các phần tử từ k cũng xác

định một dạng song tuyến tính trên V với cơ sở xi đãcho.

iii) Ánh xạ giá trị

ev : L(V,W )× V −→ W

cho bởi (f, v) 7−→ f(v) là một ánh xạ song tuyến tính.

Tổng quát, cho các không gian véc tơ V1, V2, . . . , Vp. Một ánhxạ từ V1 × V2 × . . . × Vp vào một không gian véc tơ U được gọi làđa tuyến tính nếu khi cố định p − 1 biết bất kỳ ta thu được mộtánh xạ tuyến tính theo biến còn lại.

2.2. Tích ten xơál;kdfj

Nhận xét rằng trên V × W tồn tại một cấu trúc không gianvéc tơ làm cho nó đẳng cấu với V ⊕ W . Tuy nhiên một ánh xạ

2.2. Tích ten xơ 33

song tuyến tính từ V ×W tới U nói chung không là một ánh xạtuyến tính từ V ⊕W tới U và ngược lại. Nói cách khác, hai tậphợp B(V ×W,U) và L(V ⊕W,U) là hoàn toàn khác nhau. Tíchten xơ của V và W chính là không gian thay thế cho V ⊕W đểhai không gian trên đẳng cấu với nhau.

ĐỊNH NGHĨA 2.2.1. Cho V , W là hai không gian véc tơ. Tíchten xơ của chúng là một cặp (V ⊗W,⊗) trong đó V ⊗W là mộtkhông gian véc tơ và ⊗ : V ×W −→ V ⊗W là ánh xạ song tuyếntính, thỏa mãn tính chất phổ dụng sau:

(∗) Với mọi ánh xạ song tuyến tính f : V ×W −→ U tồn tạiduy nhất một ánh xạ tuyến tính g : V ⊗W −→ U thỏamãn

g ◦ ⊗ = f

Mô tả bằng sơ đồ:

(2.2.1) V ×W⊗ //

∀f ##GGGGGGGGG V ⊗W

∃!g{{wwwwwwwww

U

Nói cách khác, ánh xạ ⊗ xác định một đẳng cấu tự nhiên

L(V ⊗W,U) ∼= B(V ×W,U), g 7−→ g ◦ ⊗

Trong phần còn lại của mục này chúng ta sẽ chứng minh sựtồn tại và tính duy nhất của tích ten xơ.

Tính duy nhất được hiểu như sau. Giả sử cặp (T, ⊗) cũng thỏamãn các điều kiện của tích ten xơ của V và W . Khi đó tồn tại duynhất một ánh xạ tuyến tính

θ : V ⊗W −→ T


thỏa mãn sơ đồ giao hoán sau:

(2.2.2) V ×W⊗

yyrrrrrrrrrr ⊗

##GGGGGGGGG

V ⊗Wθ

// T

Đối với một bài toán phổ dụng, thông thường khi nghiệm tồntại đều duy nhất. Trường hợp này cũng vậy. Theo giả thiết, cặp(T, ⊗) thỏa mãn điều kiện của (∗), do đó theo định nghĩa của(V ⊗W,⊗) ta có duy nhất ánh xạ θ thỏa mãn sơ đồ (2.2.2). Đểchứng minh θ là đẳng cấu ta sẽ xây dựng ánh xạ ngược của nó.Cũng theo giả thiết, (T, ⊗) là tích ten xơ của V và W , nghĩa làthỏa mãn (∗). Từ đó ta có ánh xạ θ′ thỏa mãn:

(2.2.3) V ×W⊗

%%LLLLLLLLLL⊗

{{wwwwwwwww

Tθ′

// V ⊗W

Để chứng minh θθ′ và θθ′ là các ánh xạ đồng nhất ta nhận xét rằngθθ′ và idT là hai ánh xạ từ T vào chính nó, cùng thỏa mãn sơ đồ

(2.2.4) V ×W⊗ //

⊗ %%KKKKKKKKKKK TidT

{{xxxxxxxxxx

θ′θ{{xxxxxxxxxx

T

Vì thế theo (2.2.1) chúng phải trùng nhau. Tương tự ta cũng cóθ′θ là ánh xạ đồng nhất. Vậy θ là đẳng cấu. Ta nói tích ten xơ củahai không gian véc tơ nếu tồn tại thì duy nhất sai khác một đẳngcấu duy nhất.

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra xây dựng tường minh của V ⊗W . Vớimỗi tập S, ký hiệu F (S) là không gian véc tơ với cơ sở là S. Các

2.2. Tích ten xơ 35

phần tử của không gian này là các tổ hợp tuyến tính hình thứchữu hạn ∑

s∈S

λss

trong đó λs là các phần tử trong k, hầu hết1 bằng 0. Phép cộng véctơ và phép nhân với vô hướng được thực hiện theo thành phần.

Coi V ×W như là một tập hợp (nghĩa là “quên các cấu trúckhác trên đó”) và xét không gian véc tơ F (V ×W ) sinh bởi tậpnày. Như vậy phần tử của không gian này là các tổng hình thứchữu hạn ∑

v∈V,w∈W

λu,v(u, v)

Ký hiệu N(V,W ) là không gian con của F (V ×W ) sinh bởi cácphần tử có dạng

(λv1 + µv2, w)− λ(v1, w)− µ(v2, w)

(v, λw1 + µw2)− λ(v, w1)− µ(v, w2)

và đặt

V ⊗W = F (V ×W )/N(V,W )

Ánh xạ ⊗ được cho bởi

(v, w) 7−→ (v, w)

Ta sẽ chứng minh rằng ⊗ là ánh xạ song tuyến tính và thỏa mãn(∗).

Định lý dưới đây cho ta một hình dung cụ thể về V ⊗W . Đểthuận tiện ta sẽ dùng ký hiệu sau:

v ⊗ w = ⊗(v, w)

1Ta quy ước “hầu hết” là tất cả chỉ trừ một số hữu hạn phần tử.


Từ đó ta có các hệ thức sau:

(λv1 + µv2)⊗ w = λv1 ⊗ w + µv2 ⊗ wv ⊗ (λw1 + µw2) = λv ⊗ w1 + µv ⊗ w2

Từ cách xây dựng ở trên của tích ten xơ V ⊗W ta thấy một ten xơbất kỳ có dạng ∑

i

vi ⊗ wi

ĐỊNH LÝ 2.2.2. Giả sử (xi) là một cơ sở của V và (yj) là một cơsở của W (không nhất thiết hữu hạn chiều). Khi đó (xi⊗ yj) là mộtcơ sở của V ⊗W .

CHỨNG MINH. Dễ thấy tập {xi⊗yj} là một tập sinh của V ⊗W .Để chứng minh chúng độc lập tuyến tính ta cần bổ đề sau.

BỔ ĐỀ 2.2.3. Giả sử ai là các véc tơ độc lập tuyến tính trong V .Khi đó từ hệ thức ∑

i

ai ⊗ bi = 0

trong V ⊗W ta phải có bi = 0 với mọi i.

CHỨNG MINH. Giả sử ϕi : V −→ k là ánh xạ tuyến tính thỏamãn ϕi(aj) = δij. Khi đó từ sơ đồ giao hoán

V ×W⊗ //

ϕiidW $$HHHHHHHHHV ⊗W

g{{vvvvvvvvv

W

với g là một ánh xạ tuyến tính nào đó, ta có bi = 0. �

Quay trở lại chứng minh Định lý. Giả sử

aijxi ⊗ yj = 0

2.3. Tính kết hợp và giao hoán của tích ten xơ 37

Khi đó

xi ⊗ (aijyj) = 0

theo trên ta có với mỗi i, aijyj = 0. Vì (yj) là cơ sở nên aij = 0 vớimọi i, j. �

2.3. Tính kết hợp và giao hoán của tích ten xơ

Giả thiết V1, V2, . . . , Vp là các không gian véc tơ. Khi đó sử dụngcác ánh xạ đa tuyến tính trên V1×V2× . . .×Vp ta cũng định nghĩađược tích ten xơ của các không gian này. Nhận xét rằng với bakhông gian V1, V2, V3 ta có ba cách để định nghĩa tích ten xơ củachúng:

V1 ⊗ V2 ⊗ V3, (V1 ⊗ V2)⊗ V3, V1 ⊗ (V2 ⊗ V3)

Sử dụng tích chất phổ dụng ta có thể xây dựng được các đẳng cấuchính tắc sau:

α1,2,3 : V1 ⊗ V2 ⊗ V3 −→ (V1 ⊗ V2)⊗ V3

v1 ⊗ v2 ⊗ v3 7−→ (v1 ⊗ v2)⊗ v3

β1,2,3 : V1 ⊗ V2 ⊗ V3 −→ V1 ⊗ (V2 ⊗ V3)

v1 ⊗ v2 ⊗ v3 7−→ v1 ⊗ (v2 ⊗ v3)

Thực vậy, xét ánh xạ a : V1 × V2 × V3 −→ (V1 × V2) × V3, biến(v1, v2, v3) vào (v1, (v2, v3)), trong sơ đồ

V1 × V2 × V3a //

⊗��

(V1 × V2)× V3

⊗��

V1 ⊗ V2 ⊗ V3 α1,2,3

//___ (V1 ⊗ V2)⊗ V3

Từ tính chất phổ dụng của V1 ⊗ V2 ⊗ V3, ánh xạ a cảm sinh ánhxạ α1,2,3 thỏa mãn điều kiện ở trên. Ánh xạ β1,2,3 cũng được xây


dựng tương tự. Sử dụng các ánh xạ chính tắc này ta sẽ đồng nhấtba tích ten xơ ở trên.

Mặt khác, xét ánh xạ s : V1×V2 −→ V2×V1, (v1, v2) 7−→ (v2, v1).Khi đó ta có sơ đồ

V1 × V2s //

⊗��

V2 × V1

⊗��

V1 ⊗ V2 σ1,2

// V2 ⊗ V1

cảm sinh ánh xạ tuyến tính

σ1,2 : V1 × V2 −→ V2 ⊗ V1, v1 ⊗ v2 7−→ v2 ⊗ v1

Ánh xạ này cũng là một đẳng cấu và được gọi là phép đối xứngcủa tích ten xơ. Ta nói tích ten xơ của các không gian véc tơ cótính đối xứng. Tuy nhiên, ta sẽ không đồng nhất hai không gianV1 ⊗ V2 với V2 ⊗ V1 nhờ ánh xạ σ1,2. Lý do rất đơn giản: trongtrường hợp V1 = V2, ánh xạ σ1,2 không là ánh xạ đồng nhất. Tuynhiên trong mọi trường hợp ta có đẳng thức:

σ1,2 ◦ σ2,1 = id

Trong trường hợp tổng quát, khi có nhiều không gian véc tơV1, V2, . . . , Vp ta sẽ có nhiều phép đẳng cấu giữa các tích ten xơcủa các không gian này khi được thực hiện theo các thứ tự khácnhau. Ta sẽ nghiên cứu các đẳng cấu này ở chương sau.

2.4. Tích ten xơ của ánh xạ, của tổng trực tiếp, tính khớp 39

2.4. Tích ten xơ của ánh xạ, của tổng trực tiếp, tính khớp

Giả thiết f : V1 −→ V , G : W1 −→ W là các ánh xạ tuyến tính.Từ sơ đồ

V1 ×W1

f×g//

⊗��

V ×W⊗��

V1 ⊗W1f⊗g

//// V ⊗W

với nhận xét rằng ánh xạ ⊗ ◦ (f × g) là một ánh xạ song tuyếntính, ta nhận được từ tính phổ dụng của V1 ⊗ W1 ánh xạ tuyếntính

f ⊗ g : V1 ⊗W1 −→ V ⊗W, v ⊗ w 7−→ f(v)⊗ g(w)

Ánh xạ f ⊗ g được gọi là tích ten xơ của hai ánh xạ f và g.

Sử dụng tính chất trên của f ⊗ g ta có thể mô tả được ma trậncủa ánh xạ này theo cơ sở (x1

i ⊗ y1j ) và (xi ⊗ yj) tương ứng của

V1 ⊗W1 và V ⊗W . Giả thiết f(x1i ) = ajixj và g(y1

k) = blkyl. Khi đó

f(x1i ⊗ y1

k) = aji blkxj ⊗ yl

Để mô tả ma trận của ánh xạ này, ta cần sắp xếp các véc tơ của cơsở x1

i ⊗ y1j và xi ⊗ yj. Có hai cách sắp xếp tự nhiên.

Cách thứ nhất: x1⊗y1, x1⊗y2, . . . , x1⊗ym, . . . , xn⊗ym... (nghĩalà sắp xếp theo thứ tự từ điển). Với cách sắp xếp này ma trận củaf ⊗ g là ma trận khối dạng

a1

1B a12B . . . a1

nB

a21B a2

2B . . . a2nB

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ar1B ar2B . . . arnB


Với cách thứ hai: x1⊗ y1, x2⊗ y2, . . . , x1⊗ ym, . . . , xn⊗ ym... (nghĩalà sắp xếp theo thứ tự từ điển ngược), ta có ma trận khối dạng

Ab11 Ab12 . . . Ab1m

Ab21 Ab22 . . . Ab2m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Abs1 Abs2 . . . Absm

Cũng sử dụng đẳng thức

(f ⊗ g)(v ⊗ w) = f(v)⊗ g(w)

ta có thể chứng minh các tính chất sau.

a) Giả thiết f1,2 : V1 −→ V , g1,2 : W1 −→ W là các ánh xạtuyến tính. Khi đó

f ⊗ (g1 + g2) = f ⊗ g1 + f ⊗ g2

(f1 + f2)⊗ g = f1 ⊗ g + f2 ⊗ g

b) Sơ đồ dưới đây là giao hoán:

V1 ⊗W1

f⊗id//

id⊗g��

f⊗g

((QQQQQQQQQQQQQV ⊗W1

id⊗g��

V1 ⊗Wf⊗id

// V ×W

nghĩa là (f ⊗ id) ◦ (id ⊗ g) = (id ⊗ g) ◦ (f ⊗ id) = f ⊗ g.

Giả thiết V là tổng trực tiếp của các không gian V1, V2 với cácánh xạ cấu trúc j1,2 và p1,2. Khi đó sử dụng các đẳng thức ở trênta dễ dàng chứng minh được V ⊗W là tổng trực tiếp của V1 ⊗Wvà V2⊗W với các ánh xạ cấu trúc là j1,2⊗ id và p1,2⊗ id. Vậy tích

2.5. Tích ten xơ của các không gian con và không gian thương 41

ten xơ có tính phân phối đối với tổng trực tiếp:

(V1 ⊕ V2)⊗W ∼= V1 ⊗W ⊕ V2 ⊗W

Ta có thể mở rộng đẳng thức trên cho nhiều không gian véc tơ.

Giả thiết 0 −→ V1f−→ V

g−→ V2 −→ 0 là một dãy khớp ngắncác không gian véc tơ (xem 1.4). Khi đó theo 1.4.6, dãy khớp nàylà chẻ, nghĩa là tồn tại ánh xạ h : V2 −→ V sao cho g ◦ h = id.Từ đó V là tổng trực tiếp của V1 và V2 với các ánh xạ cấu trúc làf, h, g, l := f−1(id − hg). Theo trên ta sẽ có dãy khớp

0 −→ V1 ⊗W −→ V ⊗W −→ V2 ⊗W −→ 0

với mọi không gian véc tơ W . Ta nói tích ten xơ của các khônggian véc tơ bảo toàn dãy khớp ngắn hoặc tích ten xơ là một hàm tửkhớp.

2.5. Tích ten xơ của các không gian con và không gianthương

Sự dụng tích khớp của tích ten xơ ta sẽ nghiên cứu mối liên hệgiữa tích ten xơ của hai không gian với tích của các không giancon và thương của chúng.

ĐỊNH LÝ 2.5.1. Giả thiết V1 là không gian con của V và W1 làkhông gian con của W . Khi đó

i) V1 ⊗ W1 có thể đồng nhất với một không gian con củaV ⊗W

ii) Trong V ⊗W ta có hệ thức

V ⊗W1 ∩ V1 ⊗W = V1 ⊗W1


iii) Tích ten xơ của các không gian thương V/V1 vàW/W2 thỏamãn

V/V1 ⊗W/W1∼= V ⊗W/(V ⊗W1 + V1 ⊗W )

CHỨNG MINH. Giả thiết V1 ⊂ V với V2 = V/V1 và W1 ⊂ W

với W2 = V/W1. Trên ngôn ngữ của dãy khớp ta có hai dãy khớpngắn:

0 // V1

f// V

g// V2

// 0

0 // W1a // W

b // W2// 0

Nhân ten xơ hai dãy khớp này với nhau ta có sơ đồ giao hoán sau:

0

��

0

��

0

��0 // V1 ⊗W1

f⊗id//

id⊗a��

V ⊗W1

g⊗id//

id⊗a��

V2 ⊗W1//

id⊗a��

0

0 // V1 ⊗Wf⊗id

//

id⊗b��

V ⊗Wg⊗id

//

id⊗b��

V2 ⊗W //

id⊗b��

0

0 // V1 ⊗W2

f⊗id//

��

V ⊗W2

g⊗id//

��

V2 ⊗W2//

��

0

0 0 0

Từ sơ đồ ta thấy ánh xạ a⊗ f : V1 ⊗W1 −→ V ⊗W là hợp thànhcủa hai ánh xạ đơn ánh, do dó là đơn ánh. Vậy V1⊗W1 có thể đồngnhất với một không gian con của V ⊗W . (i) được chứng minh.

Hiển nhiên vế phải ở (ii) nằm trong vế trái, ta chứng minhđiều ngược lại. Theo (i) ta phải chứng minh rằng nếu x ∈ V ⊗Wthỏa mãn x = (f ⊗ id)y = (id ⊗ a)z, thì x = (f ⊗ a)t. Thật vậy,

2.5. Tích ten xơ của các không gian con và không gian thương 43

nếu x = (f ⊗ id)y thì (g ⊗ id)x = 0 từ đó

(g ⊗ id)(id ⊗ a)z = 0

hay

(id ⊗ a)(g ⊗ id)z = 0

Vì id ⊗ a là đơn ánh ta có (g⊗ id)z = 0, từ đó suy ra z = (f ⊗ id)t

với t trong V1 ⊗W1. (ii) được chứng minh.

Đối với (iii) trước hết ta nhận xét rằng theo sơ đồ ánh xạ

g ⊗ b : V ⊗W −→ V2 ⊗W2

là toàn ánh. Vậy ta cần chứng minh hạch của ánh xạ này trùng vớiV ⊗W1 + V1 ⊗W . Hiển nhiên

V ⊗W1 + V1 ⊗W ⊂ Ker(g ⊗ b)

Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại. Giả thiết x ∈ Ker(g ⊗ b).Thế thì y = (g ⊗ id)x ∈ V2 ⊗W thỏa mãn

(id ⊗ b)y = 0

do đó y = (id ⊗ a)z với z ∈ V2 ⊗ V1. Vì ánh xạ g ⊗ id ở hàng thứnhất là toàn ánh nên tồn tại t ∈ V ⊗W1 để

(g ⊗ id)t = z

Đặt u = (id ⊗ a)t ∈ V ⊗W . Thế thì

(g ⊗ id)u = (g ⊗ id)(id ⊗ a)t = (id ⊗ a)(g ⊗ id)t = y

Vậy (g ⊗ id)(x− u) = 0 do đó tồn tại w ∈ V1 ⊗W để

(f ⊗ id)w = x− u = x− (id ⊗ a)t

Vậy x ∈ V1 ⊗ W + V ⊗ W1 nếu hai không gian này được đồngnhất với các không gian con của V ⊗W bởi các ánh xạ (f ⊗ id) và(id ⊗ a). �


Một ten xơ trong V ⊗ W được gọi là tách được nếu nó biểudiễn được ở dạng

v ⊗ w

2.6. Liên hệ với hàm tử Hom

Cho V,W,U là các không gian véc tơ trên k. Giả thiết f : V −→L(W,U) là một ánh xạ tuyến tính. Như vậy với mỗi v ∈ V , f(v) làmột ánh xạ tuyến tính từ W tới U . Khi đó ta định nghĩa

f : V ⊗W −→ U, f(v ⊗ w) = f(v)(w)

Dễ thấy ánh xạ ΦV,W,U : f 7−→ f là một ánh xạ tuyến tính. Dễdàng kiểm tra Φ thỏa mãn tính chất sau đây.

a) Giả sử a : V −→ V ′ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó tacó sơ đồ giao hoán sau:

L(V, L(W,U))Φ // L(V ⊗W,U)

L(V ′, L(W,U))Φ//

a∗

OO

L(V ′ ⊗W,U)

a∗

OO

trong đó a∗ là ánh xạ nhận được bằng phép hợp thànhvới a.

b) Giả sử b : W −→ W ′ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó tacó sơ đồ giao hoán sau:

L(V, L(W,U))Φ //

b∗��

L(V ⊗W,U)

b∗��

L(V, L(W ′, U))Φ// L(V ⊗W ′, U)

trong đó b∗ là ánh xạ nhận được bằng phép hợp thànhvới b.

2.6. Liên hệ với hàm tử Hom 45

c) Giả sử c : U −→ U ′ là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó tacó sơ đồ giao hoán sau:

L(V, L(W,U))Φ //

b∗��

L(V ⊗W,U)

b∗��

L(V, L(W,U ′))Φ// L(V ⊗W,U ′)

trong đó c∗ là ánh xạ nhận được bằng phép hợp thànhvới c.

Ta nói Φ là một ánh xạ tự nhiên.

ĐỊNH LÝ 2.6.1. Ánh xạ

(2.6.1) ΦV,W,U : L(V, L(W,U)) ∼= L(V ⊗W,U), f 7−→ f

là một đẳng cấu.

CHỨNG MINH. Ta xây dựng ánh xạ ngược. Giả sử g : V ⊗W −→U là một ánh xạ tuyến tính. Xét ánh xạ

g : V −→ L(W,U), g(v)(w) := g(v ⊗ w)

Dễ dàng kiểm tra rằng g 7−→ g là ánh xạ ngược của Φ. �

Trong đẳng cấu (2.6.1) nếu thay V = L(W,U) ta thu đượcđẳng cấu

L(L(W,U), L(W,U)) ∼= L(L(W,U)⊗ V, U)

Dễ thấy rằng ảnh của ánh xạ đồng nhất ở vế trái chính là ánh xạgiá trị ev : L(W,U)⊗W,U ở vế phải.

Ký hiệu V ∗ := L(V, k), khi đó ta cũng có ánh xạ tự nhiên(2.6.2)

Ψ : W ⊗ V ∗ −→ L(V,W ), w ⊗ ϕ 7−→ ϕw, ϕw(v) = ϕ(v)⊗ w


ĐỊNH LÝ 2.6.2. Giả thiết W là một không gian véc tơ khác 0. Khiđó ánh xạ

Ψ : W ⊗ V ∗ −→ L(V,W )

xây dựng ở trên là một đơn ánh, tuy nhiên nó là đẳng cấu khi khiV hoặc W có chiều hữu hạn.

CHỨNG MINH. Trước hết ta chứng minh Ψ là đơn cấu. Giả sửx ∈ KerΨ, x =

∑iwi ⊗ ϕi, với wi độc lập tuyến tính. Vậy

Ψ(∑i

wi ⊗ ϕi) = 0

Nghĩa là với mọi v ∈ V ,∑i

ϕwi(v) =∑i

ϕi(v)wi = 0

Vì wi độc lập tuyến tính ta có ϕi(v) = 0 với mọi v. Vậy ϕi = 0 vớimọi i. Từ đó x = 0. Nghĩa là Ψ là đơn ánh.

Trường hợp V là hữu hạn chiều. Khi đó cố định một cơ sở hữuhạn (x1, x2, . . . , xn) trong V . Một ánh xạ tuyến tính f : V −→ W

được xác định một cách duy nhất bởi các giá trị wi = f(xi) trongW . Với (ξi) là cơ sở đối ngẫu của (x) ở trong V ta có theo 1.5

f = Ψ(wi ⊗ ξi)

Trường hợp W là hữu hạn chiều. Ta chứng minh bằng quy nạptheo số chiều của W . Trường hợp dimW = 1 khẳng định là hiểnnhiên. Trong trường hợp tổng quát biểu diễn W dưới dạng tổngtrực tiếp của hai không gian con khác 0. Vì Ψ tương tích với cácánh xạ cấu trúc của một tổng trực tiếp, ta có điều phải chứngminh. �

2.7. Lũy thừa ten xơ 47

HỆ QUẢ 2.6.3. Giả thiết W là không gian véc tơ hữu hạn chiều,khi đó với mọi V và U ta có đẳng cấu chính tắc:

(2.6.3) L(V ⊗W,U) ∼= L(V, U ⊗W ∗)

Mặt khác, giả thiết V có hữu hạn chiều. Khi đó

(2.6.4) E(V ) = L(V, V ) ∼= V ⊗ V ∗

Trong đẳng thức (2.6.4), ảnh của ánh xạ đồng nhất của V là mộtten xơ trong V ⊗ V ∗, thường gọi là phần tử Casimir. Cố định mộtcơ sở (x) trong V và ξ là cơ sở đỗi ngẫu trong V ∗. Khi đó phần tửCasimir là

xi ⊗ ξi

Nhận xét rằng phần tử này không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.

2.7. Lũy thừa ten xơ

Cho V là một không gian véc tơ. Lũy thừa ten xơ bậc p ≥ 1

của V là tíchV ⊗p := V ⊗ . . .⊗ V︸︷︷︸

p

Ngoài ra ta sẽ quy ướcV ⊗0 := k

Tính chất kết hợp của tích ten xơ cho ta một đẳng cấu duy nhất

V ⊗p ⊗ V ⊗p ∼= V ⊗p+q

(v1 ⊗ . . .⊗ vp)⊗ (w1 ⊗ . . .⊗ wq) 7−→ v1 ⊗ . . .⊗ vp ⊗ w1 ⊗ . . .⊗ wq

Như vậy với hai ten xơ u ∈ V ⊗p và v ∈ V ⊗q ta có thể định nghĩatích ten xơ u⊗ v của chúng như là phần tử trong V ⊗p+q. Tích tenxơ được định nghĩa như vậy có tính chất kết hợp:

(u⊗ v)⊗ w = u⊗ (v ⊗ w)

(ở đây w ∈ V ⊗r và đẳng thức được hiểu trong V ⊗p+q+r).


Tuy nhiên chú ý rằng tích ten xơ không giao hoán, nghĩa là nóichung ta có

u⊗ v 6= v ⊗ u

như là các phần tử trong V ⊗p+q.

Giả thiết V có chiều hữu hạn n và (xi) là một cơ sở trong V .Khi đó, theo 2.2.2, các ten xơ

xα := xα1 ⊗ xα2 ⊗ . . .⊗ xαp

với α = (α1α2 . . . αp) chạy trên tập các bộ p số nguyên từ 1 tới nlập thành một cơ sở của V ⊗n. Từ đó

dimV ⊗p = np

Cho một ánh xạ tuyến tính f : V −→ W . Khi đó ta có lũy thừaten xơ

f⊗p : V ⊗p −→ W⊗p

Ma trận của ánh xạ này theo cơ sở (xα) ở trên là lũy thừa ten xơcủa ma trận của f theo cơ sở (xi).

Giả thiết f : V −→ W là đơn ánh, khi đó theo ?? (i), f⊗p cũnglà đơn ánh và V ⊗p có thể được coi như không gian con của W⊗p.

Mặt khác, giả thiết f là toàn ánh với hạch là U ⊂ V . Khi đócũng theo ?? iii), f⊗n là toàn ánh. Bằng quy nạp ta dễ dàng chứngminh rằng

Kerf =

p∑i=1

V ⊗i−1 ⊗ U ⊗ V ⊗p−i

2.8. Ten xơ hỗn hợp

Ta tiếp tục giả thiết V có chiều hữu hạn n và (x) là một cơ sởcủa V . Ký hiệu (ξ) là cơ sở đối ngẫu trong V ∗. Ten xơ hỗn hợp

2.8. Ten xơ hỗn hợp 49

kiểu (p, q) của V là tích

T r,s(V ) := V ∗⊗r ⊗ V ⊗s

Một phần tử của T r,s thường được gọi là một ten xơ r lần hiệpbiến và s lần phản biến. Ta có biểu diễn tọa độ của một ten xơ t

t = ti1,i2,...,isj1,j2,...jrξj1 ⊗ ξj2 ⊗ . . .⊗ ξjr ⊗ xi1 ⊗ xi2 ⊗ . . .⊗ xis

Các tọa độ ứng với chỉ số dưới được gọi là các tọa độ hiệp biếncòn các tọa độ ứng với chỉ số trên được gọi là các tọa độ phảnbiến. Điều này được thể hiện thông qua công thức chuyển tọa độ.Giả thiết P là ma trận chuyển cơ sở từ cở (x) tới cơ sở (x′) của V .Khi đó ma trận chuyển tọa độ từ (x) tới (x′) là Q = P−1 và matrận chuyển tọa độ từ ξ tới ξ′ là P . Từ đó công thức chuyển tọa độđối với T =

[ti1,i2,...,isj1,j2,...jr

]là

t′i1,i2,...,isj1,j2,...jr

= qi1k1qi2k1. . . qisksp

l1j1pl2j2 . . . p

lrjrtk1,k2,...,ksl1,l2,...lr

ở đây P = [plj], Q = [qik]. Như vậy các tọa độ với chỉ số dưới đượcchuyển bằng cách nhân với P (hiệp biến), các tọa độ với chỉ sốtrên được chuyển bằng cách nhân với Q = P−1 (phản biến).

Về mặt lịch sử ten xơ ra đời dưới dạng các bộ số[ti1,i2,...,isj1,j2,...jr

]thỏa mãn quy tắc biến đổi như trên. Một bộ số như vậy cũng cóthể được xác định như một ánh xạ đa tuyến tính

τ : V × V × . . .× V︸︷︷︸r

×V ∗ × V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸s

−→ k

(xj1 , xj2 , . . . , xjr , ξi1 , ξi2 , . . . , ξis) 7−→ ti1,i2,...,isj1,j2,...jr

Hay nói cách khác ta có đẳng cấu chính tắc

T r,s ∼= L(V × V × . . .× V︸︷︷︸r

×V ∗ × V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸s

, k)

Ánh xạ giá trị ev : V ∗ ⊗ V −→ k xác định các ánh xạ tuyếntính từ T r,s vào T r−1,s−1 gọi là phép chập như sau. Cố định hai vị


trí 1 ≤ i ≤ r và 1 ≤ j ≤ s và xây dựng ánh xạ

ev ij : T r,s(V ) −→ T r−1,s−1(V )

ϕ1 ⊗ . . . ϕi . . .⊗ ϕr ⊗ x1 ⊗ . . . xj . . .⊗ xs7−→ ϕi(xj)ϕ

1 ⊗ . . . ϕi . . .⊗ ϕr ⊗ x1 ⊗ . . . xj . . .⊗ xs

ở đây ký hiệu a trên một thành phần ten xơ nghĩa là thành phầnđó bị bỏ đi.

VÍ DỤ 2.8.1. i) Ta có đẳng cấu chính tắc E(V ) ∼= V ⊗V ∗.Vậy một tự đồng cấu tuyến tính của V là một ten xơ kiểu(1,1).

ii) Một dạng song tuyến tính trên V là một ten xơ kiểu (2, 0).

Chương III

Nhóm đối xứng

3.1. Nhóm đối xứng

Ký hiệu bởi Sn tập các song ánh từ tập hợp {1, 2, . . . , n} vàochính nó, hay nói cách khác, tập các hoán vị của {1, 2, . . . , n}. Vớiphép hợp thành Sn là một nhóm: phần tử đơn vị là ánh xạ đồngnhất, phần tử nghịch đảo của một ánh xạ là ánh xạ ngược củaánh xạ đó. Với phép nhân này Sn được gọi là nhóm đối xứng hoặcnhóm các hoán vị. Thông thường ta sẽ dùng các chữ cái Hy Lạpσ, τ, ω... để các phần tử của Sn. Ta dùng cách mô tả sau đối vớimột phần tử của Sn:

σ =

(1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)

)

Ngoài ra ta còn dùng ký hiệu sau đây đối với các hoán vị đặcbiệt. Giả sử 1 ≤ x1, x2, . . . , xk ≤ n là các số đôi một khác nhau tasẽ dùng ký hiệu (x1, x2, . . . , xk) để chỉ hoán vị giữ nguyên các sốkhác x1, x2, . . . , xk và hoán vị x1, x2, . . . , xk theo nguyên tắc

x1 7−→ x2, x2 7−→ x3, . . . , xk−1 7−→ xk, xk 7−→ x1

Một hoán vị như vậy được gọi là một xích với độ dài k hoặc mộthoán vị vòng quanh. Từ định nghĩa ta có

(x1, x2, . . . , xk) = (x2, . . . , xk, x1)

51

52 III. Nhóm đối xứng

Hai xích (x1, x2, . . . , xk) và (y1, y2, . . . , yl) được gọi là rời nhau nếucác số xi và yj đôi một khác nhau.

Một xích với độ dài 2 được gọi là một chuyển vị, một chuyểnvị dạng (i, i+ 1) được gọi là một chuyển vị cơ bản (hoặc chuyển vịsơ cấp). Như vậy trong Sn có tất cả n− 1 chuyển vị cơ bản. Chú ýrằng khái niệm chuyển vị không phụ thuộc vào thứ tự 1, 2, . . . , n

trong khi khái niệm chuyển vị cơ bản lại phụ thuộc. Ta sẽ sử dụngký hiệu

σi := (i, i+ 1), i = 1, 2, . . . , n− 1

MỆNH ĐỀ 3.1.1. Một hoán vị biểu diễn được một cách duy nhấtthành tích của các xích rời nhau.

CHỨNG MINH. Cho σ là một hoán vị. Xét dãy 1, σ(1), σ2(1), ...

Dãy này tuần hoàn. Thật vậy, vì dãy này chỉ nhận hữu hạn giátrị nên tồn tại hai số nguyên dương k < l sao cho σk(1) = σl(1).Vì σ là song ánh, ta có σl−k(1) = 1. Gọi s là số nguyên dương bénhất sao cho σs(1) = 1. Khi đó dãy trên là tuần hoàn chu kỳ s.Dãy 1, σ(1), . . . , σs−1(1) được gọi là quỹ đạo của 1 dưới tác độngcủa σ. Tương tự ta cũng có thể định nghĩa quỹ đạo của một số bấtkỳ từ 1 tới n dưới tác động của σ. Nhận xét rằng quỹ đạo của haisố dưới tác động của σ hoặc là trùng nhau hoặc không giao nhau.Thật vậy, nếu σk(a) = σl(b), giả thiết k ≥ l ta có σk−l(a) = b, nghĩalà b nằm trong quỹ đạo của a, khi đó quỹ đạo của a và của b làtrùng nhau.

Vậy tập {1, 2, . . . , n} được phân thành các quỹ đạo rời nhaudưới tác động của σ. Nhận thấy trên mỗi quỹ đạo σ tác động nhưmột xích, từ đó σ có thể được biểu diễn dưới dạng tích của cácxích được xác định bởi tác động của σ lên các quỹ đạo của mình.

Vì một xích không thể biểu diễn được dưới dạng tích các xíchkhác nên biểu diễn trên là duy nhất. �

3.1. Nhóm đối xứng 53

VÍ DỤ 3.1.2. Dưới đây là khai triển thành xích của một hoánvị trong S6: (

1 2 3 4 5 6

3 5 4 2 1 6

)= (1, 3, 4, 2, 5)(6)

CHÚ Ý 3.1.3. 1) Khi biểu diễn một hoán vị σ dưới dạngtích các xích, các xích độ dài 1 ứng với các số bất biếndưới tác động của σ, nghĩa là k sao cho σ(k) = k. Thôngthường trong biểu diễn xích của σ ta sẽ bỏ các xích nàyđi. Chẳng hạn, thay vì viết (1, 3, 4, 2, 3)(6) ta sẽ viết (1, 3, 4, 2, 5).

2) Thông thường ta sẽ đồng nhất nhóm Sn, n < m với nhómcon của Sm bao gồm các hoán vị giữ nguyên các số > n.Khi đó ưu điểm của việc biểu diễn dưới dạng tích cácxích là một hoán vị trong Sn có thể được coi một cách tựnhiên như các phần tử trong Sm,m > n.

MỆNH ĐỀ 3.1.4. Mỗi xích có thể biểu diễn được dưới dạng tíchcác chuyển vị. Mỗi chuyển vị là tích của các chuyển vị cơ bản. Từđó một hoán vị bất kỳ luôn biểu diễn được dưới dạng tích của cácchuyển vị cơ bản σi, i = 1, 2, . . . , n− 1.

CHỨNG MINH. Thật vậy, ta có hệ thức

(x1, x2, . . . , xn) = (x1, x2)(x2, x3) . . . (xk−1, xk)

Tiếp theo ta có (giả thiết y − x ≥ 2)

(x, y) = (x, y − 1)(y − 1, y)(x, y − 1)

Từ đó suy ra các mệnh đề phải chứng minh. �

NHẬN XÉT 3.1.5. i) Việc biểu diễn một hoán vị thànhtích các chuyển vị hoặc chuyển vị cơ bản như trình bày ởtrên là không duy nhất.


ii) Tất nhiên với một hoán vị luôn tồn tại một biểu diễnthành tích các chuyển vị cơ bản mà số các chuyển vị làít nhất. Tuy nhiên ngay cả trong trường hợp này cũng cóthể có nhiều biểu diễn khác nhau. Ví dụ

(13) = (12)(23)(12) = (23)(12)(23)

là hai biểu diễn với độ dài ngắn nhất của chuyển vị (13)

dưới dạng tích các chuyển vị cơ bản.

Ta sẽ xây dựng bằng quy nạp một biểu diễn của σ ∈ Sn nhưsau. Giả sử σ(n) = k. Nếu k = n thì ta có thể coi σ là phần tử củaSn−1. Trong trường hợp ngược lại đặt

σ′ := σn−1σn−2 . . . σkσ

ta có σn−1(n) = n, vậy ta có thể coi σ′ là phần tử của Sn−1. Ta tiếptục quá trình trên đối với σ′. Cuối cùng ta thu được khai triển (vớil = σ′(n− 1))

(3.1.1)σ = σk . . . σn−1σ

′

= σk . . . σn−1σl . . . σn−2σ′′ = . . .

Nhận xét rằng khai triển này là chính tắc, mỗi phần tử của Sn códuy nhất một khai triển như vậy. Để chứng minh khai triển này làmột khai triển có độ dài ngắn nhất ta sẽ sử dụng khái niệm độ dàicủa hoán vị.

ĐỊNH NGHĨA 3.1.6. Một nghịch thế của hoán vị σ là một cặp(i < j) sao cho σ(i) > σ(j). Độ dài của một hoán vị được địnhnghĩa là số l(σ) các cặp nghịch thế của hoán vị σ.

MỆNH ĐỀ 3.1.7. Ta có các tính chất sau của hàm l(σ)

(3.1.2) l(σσi) =

{l(σ) + 1 nếu σ(i) < σ(i+ 1)

l(σ)− 1 nếu σ(i) > σ(i+ 1)

3.1. Nhóm đối xứng 55

Từ đó l(σ) chính là độ dài ngắn nhất của khai triển σ thành tích cácchuyển vị cơ bản và khai triển ở (3.1.1) là một khai triển có độ dàingắn nhất.

CHỨNG MINH. a) Nếu σ(i) < σ(i+ 1) thì

σσi(i) = σ(i+ 1) > σ(i) = σσi(i+ 1)

Mặt khác với mọi j 6= i, i + 1 ta có σ(j) = σσi(j). Vậy số nghịchthế của σσi tăng lên 1 so với σ. Trường hợp σ(i) < σ(i + 1) cũngđược lý luận tương tự. Hệ thức (3.1.2) được chứng minh.

b)Từ hệ thức trên của l(σ) ta dễ dàng xây dựng được một biểudiễn của σ dưới dạng tích của l(σ) hoán vị cơ bản. Cụ thể, nếul(σ) ≤ 1 thì tồn tại i sao cho σ(i) > σ(i+1), từ đó l(σσi) = l(σ)−1.Ta lại tiếp tục quá trình trên cho σσi...

c) Ký hiệu k(σ) là độ dài ngắn nhất của một biểu diễn của σthành tích các hoán vị cơ bản. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạptheo k(σ) rằng k(σ) = l(σ). Giả sử

σ = σi1σi2 . . . σik

là biểu diễn của σ với độ dài ngắn nhất: k = k(σ). Nếu k(σ) = 1

ta có ngay l(σ) = 1 = k(σ). Nếu k(σ) > 1 thì

σσik = σi1σi2 . . . σik−1

là biểu diễn của σσik với độ dài ngắn nhất, nghĩa là

k(σσik) = k(σ)− 1

Theo giả thiết quy nạp

k(σσik) = l(σσik)


Mặt khác theo a) l(σ) = l(σσik)± 1. Nếu l(σ) = l(σσik)− 1 thìtheo b) σ có thể biểu diễn được thành tích của l(σσik)−1 = k(σ)−2

hoán vị cơ bản, mâu thuẫn. Vậy l(σ) = l(σσik) + 1 = k(σ)

Cuối cùng dễ dàng kiểm tra rằng trong khai triển (3.1.1)

l(σ) = l(σn−1) + n− k

Từ đó khai triển trong (3.1.1) là một khai triển có độ dài ngắnnhất. �

Ta định nghĩa dấu của hoán vị σ là

(3.1.3) sign(σ) := (−1)l(σ)

Từ hệ thức (3.1.2) ta có

sign(σ) = sign(σ)sign(σi)

từ đó suy ra

(3.1.4) sign(σ ◦ τ) = sign(σ) · sign(τ)

Ta có thể chứng minh trực tiếp công thức (3.1.4) bằng cáchchứng minh rằng

(3.1.5) sign(σ) =∏

1≤i<j≤n

σ(i)− σ(j)

i− j

Thật vậy, dễ thấy vế phải chỉ có thể nhận giá trị±1 vì bình phươngcủa nó luôn bằng 1. Như vậy để tínhvế phải ta chỉ quan tâm tớidấu của mỗi phân số σ(i)−σ(j)

i−j . Số các phân số là âm đúng bằng độdài l(σ) của hoán vị σ.

3.2. Tác động của Sn 57

Bây giờ công thức (3.1.4) được chứng minh như sau. Ta có

l(στ) =∏

1≤i<j≤n

σ(τ(i))− σ(τ(j))

i− j

=∏

1≤i<j≤n

σ(τ(i))− σ(τ(j))

τ(i)− τ(j)

∏1≤i<j≤n

τ(i)− τ(j)

i− j

Mặt khác phân số σ(τ(i))−σ(τ(j))τ(i)−τ(j) không đổi nếu ta đổi dấu cả tử lẫn

mẫu. Từ đó ta có∏1≤i<j≤n

σ(τ(i))− σ(τ(j))

τ(i)− τ(j)=

∏1≤i<j≤n

σ(i)− σ(j)

i− j

Từ các đẳng thức trên ta suy ra l(στ) = l(σ)l(τ).

Ta có thể phát biểu một cách khác rằng ánh xạ

sign : Sn −→ {+1,−1} ∼= Z/2Z

là một đồng cấu nhóm.

3.2. Tác động của Sn

Tác động của một nhóm G lên một tập hợp X được hiểu làmột đồng cấu µ từ nhóm G vào nhóm Aut(X) các song ánh củaX, ở đây phép toán nhóm trên Aut(X) là phép hợp thành ánh xạ.Ta cũng có thể phát biểu môt cách khác như sau. Tác động của Glên tập X là ánh xạ

µ : G×X −→ X, (g, x) 7−→ g · x

thỏa mãn các tiên đề sau:

(3.2.1) g · (h · x) = (gh) · x

(3.2.2) e · x = x


ở đây e ∈ G ký hiệu phần tử đơn vị của G. Với mỗi g ∈ G, tácđộng µ xác định một ánh xạ

µg : X −→ X, x 7−→ g · x

Từ các tiên đề trên ta suy ra µg ◦ µh = µgh và µe = idX . Từ đó cácánh xạ µg đều là song ánh vì

µg ◦ µg−1 = µe = id

Vậy phép tương ứng g 7−→ µg xác định một đồng cấu nhóm

µ : G −→ Aut(X)

Ánh xạ µg được gọi là tác động của g lên X.

Phần tử x ∈ X được gọi là bất biến dưới tác động của G nếugx = x, ∀g ∈ G. Một tập Y ⊂ X được gọi là bất biến dưới tác độngcủa G nếu gY ⊂ Y như là các tập hợp, với mọi g ∈ G. Vì G là mộtnhóm nên nếu Y bất biến ta có gY = Y với mọi g ∈ G.

Tập Ox := {gx|g ∈ G} được gọi là quỹ đạo của x dưới tác độngcủa nhóm G. Đây là một tập bất biến dưới tác động của G. Dễthấy G là hợp rời của các quỹ đạo của các phần tử của nó.

Mặt khác, với mỗi x cố định, tập Gx các phần tử h ∈ G saocho hx = x lập thành một nhóm con trong G, gọi là nhóm con ổnđịnh của nhóm G. Nhận xét rằng nếu x và y nằm trong cùng mộtquỹ đạo thì các nhóm con ổn định Gx và Gy là liên hợp với nhautheo nghĩa sau. Nếu g ∈ G thỏa mãn gx = y thì

Gy = {ghg−1|h ∈ Gx}

Ta có công thức liên hệ sau giữa số phần tử của nhóm con ổn địnhvà số phần tử của quỹ đạo của một phần tử x ∈ X:

|Ox| · |Gx| = |G|

3.2. Tác động của Sn 59

Ví dụ dưới đây của tác động của nhóm Sn có nhiều ứng dụngtrong lý thuyết biểu diễn cũng như tổ hợp. Ở đây chúng tôi môtả nó để người đọc có thể hình dung được cụ thể các khái niệm ởtrên.

VÍ DỤ 3.2.1 (Xem [?]). i) Ký hiệu bởi I(p, n) tập các bộp số tự nhiên đầu tiên1 (không nhất thiết khác nhau):

I(p, n) = {(i1, i2, . . . , ip), 1 ≤ i1, . . . , ip ≤ n}

I(p, n) có thể được mô tả như tập các ánh xạ từ tập p sốtự nhiên đầu tiên tới tập n số tự nhiên đâu tiên.

Nhóm Sp tác động lên tập này bằng cách hoán vị cácbộ số:

σ(i1, i2, . . . , ip) = (iσ−1(1), iσ−1(2)iσ−1(p))

ở đây ta phải sử dụng σ−1 thay vì σ để tiên đề (3.3.2)được thỏa mãn. Điều này có thể dễ dàng thấy khi coimột bộ số như trên như một ánh xạ.

ii) Dễ thấy mỗi quỹ đạo của nhóm Sp chứa một phần tử đạidiện I = (i1, i2, . . . , ip) với tính chất i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ip. Tatính số phần tử của quỹ đạo của bộ số này bằng cách tínhnhóm con ổn định của nó. Giả thiết trong dãy i1, i2, . . . , ipcó λ1 số đầu bằng nhau, sau đó lại có λ2 số tiếp theo bằngnhau,... Khi đó λ1 + . . .+ λk = p. Nhóm ổn định của I lànhóm các hoán vị trao đổi λ1 số tự nhiên với nhau, traođổi λ2 số tự nhiên tiếp theo với nhau... Ta mô tả nó nhưnhóm con

Sλ1 × Sλ2 × . . .× Sλk ⊂ Sp

Số phần tử của nhóm con này là λ1!λk!λk!. Vậy số phầntử trong quỹ đạo dưới tác động của Sp của bộ I nói trên

1Trong giáo trình này số tự nhiên được hiểu là các số nguyên dương


bằng

n!

λ1!λ2! . . . λk!=

(n

λ1, λ2, . . . , λk

)iii) Ta sẽ ký hiệu bởi Λ(p, n) tập các quỹ đạo của Sp trong

I(p, n). Mỗi phần tử của Λ(p, n) như vậy được đại diệnbởi một dãy không giảm I = (i1, i2, . . . , ip). Ta sẽ mô tảdãy này bằng một cách khác, tương đương. Ký hiệu α1 làsố các số 1 trong dãy, α2 là số các số 2 trong dãy, v.v... Khiđó ta có bộ (α1, α2, . . . , αp) các số nguyên không âm vớitổng bằng p. Một bộ số như vậy trong lý thuyết biểu diễnđược gọi là một trọng.

iv) Mặt khác, ta cũng có tác động của nhóm Sn lên I(p, n),mỗi hoán vị của Sn sẽ hoán vị từng số ik:

σ(i1, i2, . . . , ip) = (σ(i1), σ(i2), . . . , σ(ip))

Nhận xét rằng hai tác động của Sp và Sn lên I(p, n) giaohoán với nhau. Tức là với mọi σ ∈ Sp và τ ∈ Sn và mọibộ I ∈ I(p, n) ta có

στ(I) = τσ(I)

Từ đó ta có tác động của Sn lên tập các quỹ đạo dưới tácđộng của Sp, tập Λ(p, n) đã nhắc tới ở trên. Cụ thể nếuký hiệu OI là quỹ đạo của I dưới tác động của Sp (tứclà một phần tử của Λ(p, n)) thì phần tử τ ∈ Sn biến OI

thành Oσ(I).v) Theo trên, một quỹ đạo OI có thể được dại diện bởi một

trọng (α1, . . . , αn). Dễ dàng kiểm tra rằng tác động củaSn được cho bởi

σ(α1, . . . , αn) = (ασ−1(1), ασ−1(2), . . . , ασ−1(n))

Tập các Sn-quỹ đạo trong Λ(p, n) được ký hiệu là Λ+(p, n).Trong mỗi quỹ đạo ta chon một phần tử đại diện là

3.3. Đại số nhóm k[Sn] 61

một dãy (α1, α2, . . . , αn) với tính chất α1 ≥ α2 ≥ . . . ≥αn (nghĩa là một dãy không tăng). Nhận xét rằng tổng∑

i αi = p. Ta gọi một dãy như vậy là một phân hoạchcủa p với độ dài (không quá) n. Trong lý thuyết biểu diễnmột trọng như vậy được gọi là một trọng trội.

3.3. Đại số nhóm k[Sn]

Một tác động của nhóm G lên một không gian véc tơ V đượcgọi là tuyến tính nếu tác động của mọi phần tử của G lên V là cácánh xạ tuyến tính. Trong giáo trình này ta sẽ quan tâm chủ yếu tớicác tác động tuyến tính của nhóm Sn lên các không gian véc tơ.Ta định nghĩa một tác động của Sn lên lũy thừa ten xơ V ⊗n nhưsau. Với mỗi σ ∈ Sn, tác động của σ lên V ⊗n là ánh xạ tuyến tínhxác định bởi

(3.3.1) σ(v1 ⊗ v2 ⊗ . . .⊗ vn) = vσ−1(1) ⊗ vσ−1(2) ⊗ . . .⊗ vσ−1(n)

Việc chứng minh ánh xạ này tồn tại được thực hiện hoàn toàntương tự như đối với ánh xạ σ1,2 ở mục 2.3.

Ta sẽ kiểm tra (3.3.1) thỏa mãn tiên đề (3.3.2) (tiên đề (3.3.3)hiển nhiên được thỏa mãn). Thật vậy

τ(σ(v1 ⊗ v2 ⊗ . . .⊗ vn)) = τ(vσ−1(1) ⊗ vσ−1(2) ⊗ . . .⊗ vσ−1(n))

= vσ−1(τ−1(1)) ⊗ vσ−1(τ−1(2)) ⊗ . . .⊗ vσ−1(τ−1(n))

= τ(v(τσ)−1(1) ⊗ v(τσ)−1(2) ⊗ . . .⊗ v(τσ)−1(n)

Việc nghiên cứu các tác động tuyến tính của một nhóm hữuhạn (còn gọi là các biểu diễn của nhóm đó) có thể được đưa vềviệc nghiên cứu tác động của đại số nhóm tương ứng mà ta sẽđịnh nghĩa dưới đây. Ưu thế của phương pháp này là ta có thểứng dụng triệt để các kết quả của đại số tuyến tính.


Đối với mỗi nhóm hữu hạn G, ký hiệu k[G] là không gian véctơ với cơ sở là G, một phần tử của k[G] là một tổng hình thức∑

g∈G

λgg

Trên k[G] có thể định nghĩa phép nhân như sau:(∑g∈G

λgg

)·

(∑h∈G

µhh

)=

∑g,h∈G

λgµhgh

=∑k∈G

(∑h∈G

λhµh−1k

)k

Với phép nhân này k[G] là một đại số với đơn vị là e, phần tử đơnvị của G.

Cho A là một đại số trên trường k. Một mô đun trên A là mộtkhông gian véc tơ V trên k cùng ánh xạ tuyến tính

µ : A⊗ V −→ V, a⊗ v 7−→ a · v

thỏa mãn các tiên đề

(3.3.2) a · (b · x) = (ab) · x

(3.3.3) 1 · x = x

Một mô đun con W của V là một không gian véc tơ con đóngvới tác động của A. Trong trường hợp đó, ta cũng có tác động cảmsinh của A lên không gian thương U = V/W .

Mệnh đề sau đây cho phép chúng ta đưa việc nghiên cứu cáctác động tuyến tính của một nhóm về việc nghiên cứu các mô đuntrên đại số nhóm tương ứng, chứng minh là hiển nhiên.

3.3. Đại số nhóm k[Sn] 63

MỆNH ĐỀ 3.3.1. Có một tương ứng 1-1 giữa các không gian véctơ trên k với một tác động tuyến tính của nhóm hữu hạn G và cácmô đun trên k đại số k[G].

CHÚ Ý 3.3.2. Việc nghiên cứu chi tiết hơn tác động tuyến tínhcủa một nhóm lên các không gian véc tơ (còn gọi là các biểu diễntuyến tính của nhóm đó) không nằm trong mục đích của giáotrình này. Những độc giả quan tâm tới lý thuyết biểu diễn củanhóm hữu hạn có thể tham khảo trong [?, ?].

Chương IV

Lũy thừa đối xứng và ten xơ đối xứng

4.1. Ánh xạ đa tuyến tính đối xứng và lũy thừa đối xứng

Cho V và W là các không gian véc tơ. Ánh xạ đa tuyến tính

ϕ : V × . . .× V︸︷︷︸p

−→ W

được gọi là đối xứng nếu với mọi hoán vị σ ∈ Sp ta có

ϕ(v1, v2, . . . , vp) = ϕ(vσ(1), vσ(2), . . . vσ(1))

Vì σ biểu diễn được dưới dạng tích các chuyển vị cơ bản nên tachỉ cần đòi hỏi đẳng thức trên với các chuyển vị cơ bản. Tập tấtcả các ánh xạ đa tuyến tính đối xứng ϕ như vậy được ký hiệu làSym(V × . . .× V ,W ).

Tương tự như đối với tích ten xơ, ta tìm không gian Sp(V )

cùng ánh xạ đa tuyến tính đối xứng

Φ : V × . . .× V︸︷︷︸p

−→ Sp(V )

Sao cho ánh xạ cảm sinh

L(Sp(V ), U) −→ Sym(V × . . .× V ,W )

65

66 IV. Lũy thừa đối xứng và ten xơ đối xứng

là đẳng cấu tuyến tính. Nói cách khác, Sp(V ) thỏa mãn bài toánphổ dụng

(4.1.1) V × . . .× VΦ đối xứng

//

∀ϕ đối xứng %%LLLLLLLLLLLSp(V )

∃!f||xxxxxxxx

W

Từ tính phổ dụng của V ⊗p, một ánh xạ đa tuyến tính ϕ nhưtrên cảm sinh một ánh xạ tuyến tính

ϕ : V ⊗p −→ W

thỏa mãn

ϕ(v1 ⊗ v2 ⊗ . . .⊗ vp) = ϕ(vσ(1) ⊗ vσ(2) . . .⊗ vσ(1))

với mọi hoán vị σ ∈ Sp. Vậy bài toán phổ dụng trên có thể đưa vềbài toán sau:

(4.1.2) V ⊗pΦ đối xứng

//

∀ϕ đối xứng !!CCCCCCCCSp(V )

∃!f||xxxxxxxx

W

Nhắc lại rằng nhóm Sp tác động lên V ⊗p bằng cách hoán vị cácthành phần ten xơ. Mỗi hoán vị σ ∈ Sp xác định một ánh xạ tuyếntính V ⊗p −→ V ⊗p

σ : v1 ⊗ v2 ⊗ . . .⊗ vp −→ vσ−1(1) ⊗ vσ−1(2) ⊗ . . .⊗ vσ−1(n)

Không gian Sp(V ) được xây dựng như là không gian thươngcủa V ⊗p bởi không gian con xác định như sau. Đặt

I2 := Im(σ − id)

4.1. Ánh xạ đa tuyến tính đối xứng và lũy thừa đối xứng 67

với σ ký hiệu phép đối xứng V ⊗V −→ V ⊗V , v1⊗ v2 7−→ v2⊗ v1.và Ip là không gian con trong V ⊗p cho bởi

Ip =

p−1∑i=1

Im(σi − id) =

p−1∑i=1

V ⊗i−1 ⊗ I2 ⊗ V p−i−1

ĐỊNH LÝ 4.1.1. Ánh xạ thương

πp : V ⊗p −→ V ⊗/Ip

thỏa mãn bài toán phổ dụng (4.1.2). Nói cách khác

Sp(V ) ∼= V ⊗p −→ V ⊗/Ip

CHỨNG MINH. Theo định nghĩa không gian con I2 của V ⊗ Vđược căng bởi các ten xơ dạng v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1. Từ đó ta có ngay

πp ◦ σi − πp = πp(σi − id) = 0

vì Im(σi − id) ⊂ Kerπp. Theo trên ánh xạ πp là đối xứng.

Giả thiết ϕ : V ⊗p −→ W là một ánh xạ tuyến tính đối xứng.Khi đó với mỗi ten xơ ti ∈

∑p−1i=1 V

⊗i−1 ⊗ I2 ⊗ V p−i−1 ta có ngayϕ(ti) = 0. Từ đó ϕ(Ip) = 0 Vậy tồn tại ánh xạ tuyến tính f đểf ◦ πp = ϕ. Mặt khác vì πp là toàn ánh nên f được xác định duynhất. �

Ảnh của ten xơ v1 ⊗ v2 ⊗ . . .⊗ vp trong Sp(V ) sẽ được ký hiệumột cách đơn giản là v1v2 . . . vp. Từ tính đối xứng của ánh xạ πp tacó đẳng thức

v1 . . . vivi+1 . . . vp = v1 . . . vi+1vi . . . vp

Do đó nếu cố định một cơ sở x1, x2, . . . , xn của V thì tập các phầntử

xi1xi2 . . . xip , 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ip ≤ n

là tập sinh của Sp(V ). Ta sẽ chứng minh nó là cơ sở của Sp(V ) vàtừ đó tính được chiều của không gian này.


MỆNH ĐỀ 4.1.2. Cố định một cơ sở (xi) của V thì tập các phầntử

xi1xi2 . . . xip , 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ip ≤ n

là cơ sở của Sp(V ). Từ đó nếu V có chiều bằng n thì

dimSp(V ) = Cpn+p−1

CHỨNG MINH. Ta sẽ chứng minh bằng cách sử dụng tính phổdụng của Sp(V ). Giả thiết 0 là tổ hợp tuyến tính của các phần tửcó dạng

0 =∑

λIxi1xi2 . . . xip

ở đây tổng chạy trên các bộ I = (i1 ≤ . . . ≤ ip). Giả thiết phần tửxi1xi2 . . . xip có hệ số λI khác 0 trong tổ hợp này. Ta xây dựng mộtánh xạ tuyến tính đối xứng ψ trên V ⊗p với giá trị trong k như sau.

Giá trị của ψ tại ten xơ xk1⊗ . . .⊗xkp được cho bằng 1 nếu tồntại một hoán vị σ ∈ Sp sao cho ij = kσ(j), trong trường hợp ngượclại giá trị của ψ được cho bằng 0. Vì các ten xơ này lập thành cơ sởcủa V ⊗p nên ψ được xác định duy nhất. Từ định nghĩa ta cũng cóngay ψ là ánh xạ đối xứng. Vậy tồn tại một ánh xạ g : Sp(V ) −→ k

sao cho g ◦ πp = ψ. Xét giá trị của hai ánh xạ này trên ten xơ∑λIxi1 ⊗ xi2 ⊗ . . .⊗ xip

Ta thấy ánh xạ g ◦ πp nhận giá trị 0 trong khi đó ánh xạ ψ nhậngiá trị λI khác 0. Mâu thuẫn, từ đó khẳng định của mệnh đề đượcchứng minh. �

Tương tự như đối với các ten xơ, ta cũng có thể định nghĩa tíchcủa các lũy thừa đối xứng. Cụ thể ta có ánh xạ

Sp(V )⊗ Sq(V ) −→ Sp+q(V )

xác định như sau. Theo định nghĩa Sp(V ) là không gian thươngcủa V ⊗p bởi không gian con Ip, tương tự với Sq(V ), Sp+q(V ). Trong

4.2. Lũy thừa đối xứng của ánh xạ, tổng trực tiếp 69

ten xơ V p+q ta có Ip ⊗ V ⊗q và V ⊗p ⊗ Iq là các không gian con củaIp+q. Mặt khác, theo Định lý 2.5.1 (iii), hạch của ánh xạ

πp ⊗ πq : V ⊗p+q −→ Sp(V )⊗ Sq(V )

là Ip⊗ V ⊗q + V ⊗p⊗ Iq. Từ đó ta có duy nhất ánh xạ πp,q : Sp(V )⊗Sq(V ) −→ Sp+q(V ) thỏa mãn sơ đồ sau:

V ⊗p ⊗ V ⊗q

πq⊗πq��

∼= // V ⊗p+q

πp+q��

Sp(V )⊗ Sq(V )πp,q

// Sp+q(V )

Từ cách xây dựng ta có ngay

πp,q(v1v2 . . . vp ⊗ w1w2 . . . wq) = v1v2 . . . vpw1w2 . . . wq

Tích của hai lũy thừa ten xơ v ∈ Sp(V ) và w ∈ Sq(V ) được địnhnghĩa là πp,q(v ⊗ w) và được ký hiệu đơn giản là vw. Dễ thấy tíchnày là giao hoán, theo nghĩa vw = wv.

CHÚ Ý 4.1.3. Chú ý rằng ánh xạ πp,q luôn là toàn ánh nhưng nóichung không là đơn ánh vì nói chung Ip⊗V ⊗q +V ⊗p⊗Iq là khônggian con thực sự của Ip+q. Ví dụ ánh xạ π1,1 biến u ⊗ v − v ⊗ u ∈V ⊗ V vào 0.

4.2. Lũy thừa đối xứng của ánh xạ, tổng trực tiếp

Cho f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có mộtánh xạ tuyến tính ký hiệu là Sp(f) từ Sp(V ) vào Sp(W ) được xácđịnh bằng tính chất phổ dụng của lũy thừa đối xứng:

V ⊗pf⊗p

//

πp��

W⊗p

πp��

Sp(V )Sp(f)

//____ Sp(W )


Thật vậy, vì πp là ánh xạ đối xứng nên πp ◦ f⊗p cùng là ánh xạ đôixứng. Từ đó theo tính chất phổ dụng của Sp(V ), tồn tại Sp(f) đểSp(f)πp = πpf

⊗p. Từ đó ta có ngay

Sp(f)(v1v2 . . . vp) = f(v1)f(v2) . . . f(v1)

và Sp(f) được xác định bởi phương trình này.

MỆNH ĐỀ 4.2.1. Cho f : V −→ W , g : U −→ V . Khi đó

(f ◦ g)p = Sp(f) ◦ gp

Từ đó f là một ánh xạ đơn ánh (tương ứng toàn ánh) thì với mọi p,Sp(f) cũng là ánh xạ đơn ánh (tương ứng toàn ánh).

CHỨNG MINH. Hệ thức (f ◦g)p = Sp(f)◦gp suy ra ngay từ địnhnghĩa.

Nếu f là đơn ánh thì tồn tại g : W −→ V sao cho gf = idV . Từđó (gf)p cũng là ánh xạ đồng nhất do đó Sp(f) là đơn ánh. Nếu flà toàn ánh thì tồn tại g : W −→ V sao cho fg = idW , tương tự tacũng suy ra Sp(f) là toàn ánh. �

Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu mối liên kết giữa lũy thừa đối xứngcủa một tổng trực tiếp với lũy thừa đối xứng của các thành phầncủa nó. Sử dụng các ánh xạ ở trên ta luôn xây dựng được với mỗip > 0 và 0 ≤ i ≤ p ánh xạ Ji:

Si(V )⊗ Sp−i

Ji ++VVVVVVVVVVVVVVVVVVV

(j1)i⊗(j2)p−i// Si(V ⊕W )⊗ Sp−i(V ⊕W )

πp

��Sp(V ⊕W )

với j1, j2 là các ánh xạ cấu trúc từ V , W tới V ⊕W .

4.3. Ten xơ đối xứng 71

MỆNH ĐỀ 4.2.2. Với các ánh xạ ji, 0 ≤ i ≤ p, định nghĩa ở trênta có đẳng cấu chính tắc (xem Ví dụ 1.6.6)

p⊕i=0

Si(V )⊗ Sp−i(W ) ∼= Sp(V ⊕W )

CHỨNG MINH. Chọn các cơ sở (xi) và (yj) tương ứng của V vàW . Khi đó ta có cơ sở (xi, yj) của V ⊕W nếu đồng nhất V và Wvới các không gian con của V ⊕W thông qua các ánh xạ j1,2. Theo4.1.2, tập {xi1xi2 . . . xik , i1 ≤ . . . ≤ ik} là một cơ sở của Sk(V ), vàđiều tương tự cũng đúng với Sp−k(V ). Từ đó tập

{xi1xi2 . . . xik ⊗ yj1yj2 . . . yjp−k , i1 ≤ . . . ≤ ik, j1 ≤ . . . ≤ jp−k}

lập thành một cơ sở của Sk(V ) ⊗ Sp−k(W ). Ảnh của cơ sở nàytrong Sp(V ⊕W ) là tập

{xi1xi2 . . . xikyj1yj2 . . . yjp−k , i1 ≤ . . . ≤ ik, j1 ≤ . . . ≤ jp−k}

Từ đó dễ thấy ánh xạ trong mệnh đề là đẳng cấu. �

4.3. Ten xơ đối xứng

Xét tác động (3.3.1) của Sp lên lũy thừa ten xơ V ⊗p. Một tenxơ t trong không gian này được gọi là đối xứng nếu

(4.3.1) σ(t) = t, ∀σ ∈ Sp

Ví dụ trong V ⊗2 các ten xơ dạng v ⊗ v hoặc v ⊗ w + w ⊗ v là cácten xơ đối xứng. Tập hợp các ten xơ đối xứng trong V ⊗p lập thànhmột không gian con, ký hiệu là TSp(V ).

Tương tự như đối với lũy thừa đối xứng, ta chỉ cần kiểm trađiều kiện ở (4.3.1) đối với các chuyển vị cơ bản σi. Ta có σi(t) = t


khi và chỉ khi t ∈ Ker(σi − id). Từ đó

TSp(V ) =

p−1⋂i=1

Ker(σi − id)

Cố định một cơ sở (xi) của V . Giả sử ten xơ xi1 ⊗xi2 ⊗ . . .⊗xiptham gia trong khai triển của ten xơ đối xứng t với hệ số λ khi đómọi ten xơ dạng

xiσ(1) ⊗ xiσ(2) ⊗ . . .⊗ xiσ(p)

cũng tham gia trong khai triển của t vơi hệ số λ. Với mỗi dãy tăngdần các chỉ số I = (i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ ip) ký hiệu

mI :=∑J∈OI

xj1 ⊗ xj2 ⊗ . . .⊗ xjp

ở đây OI ký hiệu quỹ đạo của dãy I dưới tác động của nhóm Spnhư mô tả trong Ví dụ 3.2.1 (với n bằng chiều của V có thể là vôhạn). Nhận xét rằng mI là một tổng của

(p!

λ1!...λk!

)ten xơ tách được

(xem Ví dụ 3.2.1).

Theo trên một ten xơ đối xứng là tổ hợp tuyến tính của cácten xơ dạng mI . Mặt khác dễ thấy các ten xơ này là độc lập tuyếntính. Vậy ta có định lý sau.

ĐỊNH LÝ 4.3.1. Giả thiết (xi) là một cơ sở của V . Khi đó tập cácten xơ mI định nghĩa ở trên lập thành một cơ sở của TSp(V ). Từ đónếu V có chiều bằng n thì TSp(V ) có chiều bằng Cp

n+p−1.

4.4. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số 0

Trong trường hợp đặc số của trường k bằng 0, ta có một mô tảrất thuận tiện đối với các ten xơ đối xứng. Xét toán tử

Φp :=1

p!

∑σ∈Sn

σ

4.4. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số 0 73

Ta có đẳng thức

τΦp =1

p!

∑σ∈Sn

τσ = Φp

Từ đó với mọi t ∈ V ⊗p, Φp(t) ∈ ST p(V ). Nói cách khác ImΦp ⊂TSp(V ) Từ định nghĩa ta cũng có ngay Φp(t) = t nếu t là ten xơđối xứng. Từ đó

ImΦp = TSp(V )

Mặt khác theo trên ta cũng có

Φp2 = Φ

nghĩa là Φp là một toán tử lũy đẳng. Vậy Φp là một phép chiếu từV ⊗p lên TSp(V ).

Ta tiếp tục xét ánh xạ hợp thành

TSp(V ) −→ V ⊗p −→ Sp(V )

hay nói cách khác là ánh xạ hạn chế của πp lên TSp(V ). Dễ thấyảnh của phần tử mI trong TSp(V ) là phần tử(

p!

λ1! . . . λk!

)xi1xi2 . . . xip

Từ đó ta suy ra ánh xạ này là đẳng cấu. Vậy ta đã chứng minhđược mệnh đề sau.

MỆNH ĐỀ 4.4.1. Giả thiết trường k có đặc số khác 0. Khi đó ánhxạ tự nhiên

(4.4.1) TSp(V ) −→ V ⊗p −→ Sp(V )



4.5. Ten xơ đối xứng, trường hợp đặc số dương

Trong trường hợp này nếu p lớn hơn hoặc bằng đặc số củatrường k, ánh xạ Φp không được định nghĩa. Như vậy đẳng cấu(4.4.1) chỉ tồn tại đối với các lũy thừa p nhỏ hơn đặc trưng củatrường k.

Xét ánh xạ (4.4.1) trong trường hợp p là đặc trưng của trườngk (như vậy p là một số nguyên tố). Ta nhận xét rằng các hệ số tổhợp (

p!

λ1! . . . λk!

)đều bằng 0 ngoại trừ trường hợp duy nhất khi có một số λi bằngp và các số còn lại đều bằng 0. Các bộ số này tương ứng với cácten xơ dạng

xi ⊗ xi ⊗ . . .⊗ xitrong TSp(V ). Ảnh của chúng trong Sp(V ) là các lũy thừa

xip

Vậy trong trường hợp này ảnh của ánh xạ (4.4.1) là không giancon của Sp(V ) sinh bởi các lũy thừa xip.

Nhận xét rằng không gian này đẳng cấu với không gian

V (p) := V ⊗F k

với F ký hiệu ánh xạ Frobenius λ 7−→ λp của k. Thật vậy, ánh xạđẳng cấu tự nhiên được cho bởi

x⊗ λ 7−→ λxp

Nhắc lại rằng lũy thừa ten xơ Sp(V ) được định nghĩa là

Sp(V ) = V ⊗p/∑i

Im(σi − id)

4.6. Lũy thừa đối xứng và dãy khớp 75

còn ten xơ đối xứng TSp(V ) được định nghĩa như là không giancon của V ⊗p

TSp(V ) =⋂i

Ker(σi − id)

Theo Mệnh đề 1.5.3 ta có ngay khẳng định sau.

MỆNH ĐỀ 4.5.1. Giả thiết V có hữu hạn chiều khi đó ta có cácđẳng thức

TSp(V ∗) = (Sp(V ))∗ và Sp(V ∗) = (TSp(V ))∗

CHỨNG MINH. Theo mục 1.5

(Sp(V ))∗ =

(∑i

Im(σi − id)

)⊥Theo 1.5.3, ta có(∑

i

Im(σi − id)

)⊥=⋂i

Im(σi − id)⊥ =⋂i

Ker(σ∗i − id)

Vế phải chính là TSp(V ∗). Đẳng thức thứ hai được chứng minhtương tự. �

4.6. Lũy thừa đối xứng và dãy khớp

Giả thiết Ug−→ V

f−→ W là một dãy khớp ngắn. Ta sẽ nghiêncứu mối liên hệ giữa các lũy thừa đối xứng tương ứng. Đây là mộtbài toán phức tạp. Vì thế ta sẽ bắt đầu bằng trường hợp đơn giảnnhất: tìm mối liên hệ giữa S2(V ) với S2(U) và S2(W ). Để phânbiệt ta sẽ ký hiệu ánh xạ thương V ⊗ V −→ S2(V ) bởi π2(V ), vàtương tự đối với U , W .

Theo trên ta có đơn ánh g2 : S2(U) −→ S2(V ) và toàn ánhf 2 : S2(V ) −→ S2(W ) và ánh xạ hợp thành S2(U) −→ S2(V ) −→


S2(W ) là ánh xạ 0. Tuy nhiên theo Mệnh đề 4.2.2 ta biết dãy nàykhông khớp.

Ta định nghĩa không gian con F 1 trong S2(V ) như là ảnh củaánh xạ

φ1 : U ⊗ Vg⊗id

// V ⊗ Vπ2(V )

// S2(V )

Mệnh đề 4.2.2 lại gợi ý cho ta khẳng định của bổ đề dưới đây. Kýhiệu

F 2 := g2(S2(U)) = Img2π2(U) = Imπ2(V )(g ⊗ g)

Khi đó F 2 ⊂ F 1 ⊂ S2(V ) và sơ đồ giao hoán sau

(4.6.1) U ⊗ Uid⊗g

//

g2π2(U)

��

U ⊗ V

φ1

��

g⊗id// V ⊗ V

π2(V )��

F 2 � � // F 1 � � // S2(V )

BỔ ĐỀ 4.6.1. Ta có các đẳng cấu chính tắc

F 1/F 2 ∼= U ⊗W, S2(V )/F 1 ∼= S2(W )

CHỨNG MINH. Trước tiên ta tìm Kerφ1 : U ⊗ V −→ S2(V ). Đểđơn giản ta sẽ đồng nhất U với một không gian con của V bằngánh xạ g. Khi đó

Kerφ1 = Kerπ2 ∩ (U ⊗ V )

Nhận xét rằng các ten xơ trong Kerπ2(V ) là đối xứng (nghĩa làσ(t) = t) do đó

Kerφ1 = Kerπ2(V ) ∩ (U ⊗ V ) ∩ (V ⊗ U)

= Kerπ2(V ) ∩ (U ⊗ U)

= Kerπ2(U)

4.6. Lũy thừa đối xứng và dãy khớp 77

Từ hình vuông giáo hoán bên trái của (4.6.1) ta có

F 1/F 2 ∼= U ⊗ V/U ⊗ U ∼= U ⊗W

Tương tự ta có sơ đồ giao hoán

U ⊗ V + V ⊗ U

��

� � // V ⊗ Vf⊗f//

π2

��

W ⊗Wπ2

��

F 1 � � // S2(V ) // S2(W )

với dòng trên là khớp. Mặt khác ảnh của U ⊗ V + V ⊗ U qua π2

trong S2(V ) chính là F 2 (nghĩa là sơ đồ trên cùng với mũi tên đứtđoạn cũng giao hoán). Từ đó ta có ngay đẳng cấu

S2/F 1 ∼= S2(W )

Bổ đề được chứng minh. �

Từ bổ đề trên ta thấy trong S2(V ) có một lọc

S2(V ) = F 0 ⊃ F 1 ⊃ F 2 ⊃ 0

của các không gian con với các thương liên tiếp đẳng cấu vớiS2(W ), U ⊗W và S2(U).

Trường hợp tổng quát cũng được xét tương tự. Ta xây dựngmột cái lọc các không gian con trong Sp(V )

Sp(V ) = F 0 ⊃ F 1 ⊃ . . . ⊃ F p ⊃ 0

như sau: F i là ảnh của ánh xạ

φi : Si(U)⊗ Sp−i(V )gi⊗id// Si(V )⊗ Sp−i(V )

πi,p−i // Sp(V )

ĐỊNH LÝ 4.6.2. Ta có các đẳng cấu tự nhiên sau:

F i/F i+1 ∼= Si(U)⊗ Sp−i(W )


CHỨNG MINH. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử V cóhữu hạn chiều. Ta có sơ đồ sau

U⊗i ⊗ V ⊗p−i � � //

��

pi

''PPPPPPPPPPPPPP V ⊗p

$$IIIIIIIII

Si(U)⊗ Sp−i(V )

��

φi // Fi

ϕwwo o o o o o o� � // Sp(V )

Si(U)⊗ Sp−i(W )

Chọn một cơ sở (xi) của U và mở rộng nó thành cơ sở của V bằngcách bổ sung các véc tơ (yj). Ký hiệu zj là ảnh của yj trong W ,chúng lập thành một cơ sở của W .

Như vậy Si(U)⊗ Sp−i(V ) được sinh bởi các ten xơ có dạng

xI ⊗ xJyK

với I có i thành phần và tổng số các thành phần của J và K làp− i. Ảnh của ten xơ này trong Sp(V ) là xIxJyK . Vậy F i có cơ sởbao gồm các tích dạng xIyK trong đó I có ít nhất i thành phần.

Từ đó ta có toàn ánh ϕ : Fi −→ Si(U) ⊗ Sp−i(W ) làm cho sơđồ trên giao hoán. Ánh xạ này biến ten xơ xIxJyK vào 0 nếu J cóít nhất một thành phần và biến xIyK vào xIzK nếu I có đúng i

thành phần và K có p− i thành phần.

Tương tự F i+1 là không gian con của Sp(V ) bao gồm các tíchxI′yK′ trong đó I ′ có ít nhất i + 1 thành phần. Vậy hạch của ánh

xạ Fi −→ Si(U)⊗ Sp−i(W ) chính là F i+1.

�

Chương V

Lũy thừa ngoài và ten xơ phản đối xứng

5.1. Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoài

Cho V và W là các không gian véc tơ. Ánh xạ đa tuyến tính

ψ : V × . . .× V︸︷︷︸p

−→ W

được gọi là thay phiên nếu

ψ(v1, v2, . . . , vp) = 0

khi trong các phần tử v1, v2, . . . , vp có (ít nhất) hai phần tử bằngnhau. Tập tất cả các ánh xạ đa tuyến tính thay phiên ψ như vậyđược ký hiệu là Alt(V × . . .× V ,W ).

Tương tự như đối với lũy thừa đối xứng, ta tìm không gian∧p(V ) cùng ánh xạ đa tuyến tính thay phiên

Ψ : V × . . .× V︸︷︷︸p

−→∧p

(V )

Sao cho ánh xạ cảm sinh

L(∧p

(V ), U) −→ Alt(V × . . .× V ,W )

79

80 V. LŨY THỪA NGOÀI VÀ TEN XƠ PHẢN ĐỐI XỨNG

là đẳng cấu tuyến tính. Nói cách khác,∧p

(V ) thỏa mãn bài toánphổ dụng

(5.1.1) V × . . .× VΦ đối xứng

//

∀ψ thay phiên %%KKKKKKKKKKK

∧p(V )

∃!f{{xxxxxxxx

W

Từ tính phổ dụng của V ⊗p, một ánh xạ đa tuyến tính ψ nhưtrên cảm sinh một ánh xạ tuyến tính

ψ : V ⊗p −→ W

thỏa mãn

ψ(v1 ⊗ v2 ⊗ . . .⊗ vp) = 0

nếu ít nhất hai trong số các thành phần ten xơ của v1⊗v2⊗ . . .⊗vpbằng nhau. Vậy bài toán phổ dụng trên có thể đưa về bài toán sau:

(5.1.2) V ⊗pΦ thay phiên

//

∀ψ thay phiên !!CCCCCCCC

∧p(V )

∃!f{{xxxxxxxx

W

NHẬN XÉT 5.1.1. i) Từ đẳng thức

(v + w)⊗ (v + w)− v ⊗ v − w ⊗ v = v ⊗ w + w ⊗ v

ta suy ra một ánh xạ đa tuyến tính thay phiên thỏa mãntính chất

ψ(. . .⊗ xi ⊗ xi+1 ⊗ . . .) = −ψ(. . .⊗ xi+1 ⊗ xi ⊗ . . .)

từ đó với mọi σ ∈ Sp ta có

ψ(v1 ⊗ v2 ⊗ . . .⊗ vp) = sign(σ)ψ(vσ(1) ⊗ vσ(2) ⊗ . . . vσ(p))

5.1. Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoài 81

ii) Ánh xạ ψ : V ⊗p −→ W thỏa mãn điều kiện trong (i) đượcgọi là ánh xạ phản đối xứng. Khi đặc số của trường k khác2 ánh xạ ψ là ánh xạ thay phiên khi và chỉ khi nó là phảntuyến tính.

iii) Trong trường hợp đặc số của trường k bằng 2, điều kiệnphản đối xứng tương đương với điều kiện đối xứng vàkhông suy ra điều kiện thay phiên.

iv) Từ tính phản đối xứng của lũy thừa ngoài∧p

(V ) ta thấyđiều kiện (5.1.2) chỉ cần kiểm tra đối với các ánh xạ ψthỏa mãn

(5.1.3) ψ(. . .⊗ v ⊗ v ⊗ . . .) = 0

Tương tự như với lũy thừa đối xứng,∧p

(V ) được xây dựngnhư là không gian thương của V ⊗p bởi không gian con sau. Kýhiệu

J2 = Ker(σ − id) ⊂ V ⊗2

và Jp là không gian con trong V ⊗p

(5.1.4) Jp =

p−1∑i=1

Ker(σi − id) =

p−1∑i=1

V ⊗i−1 ⊗ I2 ⊗ V p−i−1

ĐỊNH LÝ 5.1.2. Ánh xạ thương

∧p : V ⊗p −→ V ⊗/Jp

thỏa mãn bài toán phổ dụng (5.1.2). Vậy∧p(V ) ∼= V ⊗p/Jp

CHỨNG MINH. Trước tiên ta chứng minh rằng J2 được căng bởicác ten xơ dạng v ⊗ v. Thật vậy, hiển nhiên v ⊗ v ∈ J2. Ngược lạigiả sử t ∈ J2. Cố định một cơ sở (xi) của V và biểu diễn t theo cơsở này:

t = tijxi ⊗ xj


Vì t ∈ J2(V ) nên tij = tji. Mặt khác ta có

xi ⊗ xj + xj ⊗ xi = (xi + xj)⊗ (xi + xj)− xi ⊗ xi − xj ⊗ xj

Vậy t biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các ten xơdạng v ⊗ v.

Từ trên ta có ngay ∧2 : V ⊗2 −→ V ⊗2/J2(V ) thỏa mãn bài toánphổ dụng (5.1.2) với p = 2.

Trong trường hợp tổng quát, như nhận xét ở trên ta chỉ cầnkiểm tra với các ánh xạ ψ thỏa mãn (5.1.3). Từ dó dễ dàng suy rakhẳng định của định lý. �

Ảnh của ten xơ v1 ⊗ v2 ⊗ . . .⊗ vp trong∧p

(V ) sẽ được ký hiệulà v1 ∧ v2 ∧ . . . ∧ vp. Từ tính phản đối xứng của ánh xạ ∧p ta cóđẳng thức

v1 ∧ . . . ∧ vi ∧ vi+1 ∧ . . . ∧ vp = v1 ∧ . . . ∧ vi+1 ∧ vi ∧ . . . ∧ vp

Do đó nếu cố định một cơ sở x1, x2, . . . , xn của V thì tập các phầntử

xi1 ∧ xi2 ∧ . . . ∧ xip , 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ip ≤ n

là tập sinh của∧p

(V ). Ta sẽ chứng minh nó là cơ sở của∧p

(V ) vàtừ đó tính được chiều của không gian này theo chiều của V .

MỆNH ĐỀ 5.1.3. Cố định một cơ sở (xi) của V thì tập các phầntử

xi1 ∧ xi2 ∧ . . . ∧ xip , i1 < i2 < . . . , ip

là cơ sở của∧p

(V ). Từ đó nếu V có chiều bằng n thì

dim∧p

(V ) = Cpn

CHỨNG MINH. Ta sẽ chứng minh bằng cách sử dụng tính phổdụng của

∧p(V ). Giả thiết 0 là tổ hợp tuyến tính của các phần tử

5.1. Ánh xạ tuyến tính thay phiên và lũy thừa ngoài 83

có dạng

0 =∑

λJxj1 ∧ xj2 ∧ . . . ∧ xjp

ở đây tổng chạy trên các bộ J = (j1 < . . . < jp) và phần tửxi1 ∧ xi2 ∧ . . . ∧ xip có hệ số λI khác 0.

Ta xây dựng một ánh xạ tuyến tính thay phiên ψ từ V ⊗p vào kvới giá trị tại ten xơ xk1 ⊗ . . .⊗ xkp được định nghĩa như sau. Nếutồn tại hoán vị σ ∈ Sp sao cho ij = kσ(j) ta đặt giá trị của ψ tạiten xơ này bằng sign(σ) trong trường hợp không tồn tại hoán vịσ như vậy giá trị của ψ được cho bằng 0. Vì các ten xơ như trênlập thành cơ sở của V ⊗p nên ψ được xác định duy nhất. Từ địnhnghĩa ta cũng có ngay ψ là ánh xạ thay phiên. Vậy tồn tại một ánhxạ g :

∧p(V ) −→ k sao cho g ◦ ∧p = ψ. Xét giá trị của hai ánh xạ

này trên ten xơ ∑λJxj1 ⊗ xj2 ⊗ . . .⊗ xjp

với J chạy trên các bộ j1 < j2 < . . . < jp. Ta thấy ánh xạ g ◦ ∧p

nhận giá trị 0 trong khi đó ánh xạ ψ nhận giá trị λI khác 0. Mâuthuẫn. Từ đó khẳng định của mệnh đề được chứng minh. �

Tương tự như đối với các ten xơ và lũy thừa ten xơ, ta cũng cóthể định nghĩa tích của các lũy thừa ngoài, được gọi là tích ngoàicủa chúng. Cụ thể ta có ánh xạ∧p

(V )⊗∧q

(V ) −→∧p+q

(V )

xác định như sau. Theo định nghĩa∧p

(V ) là không gian thươngcủa V ⊗p bởi không gian con Jp, tương tự với

∧q(V ),

∧p+q(V ).

Trong ten xơ V ⊗p+q ta có Jp ⊗ V ⊗q và V ⊗p ⊗ Jq là các không giancon của Jp+q. Mặt khác, theo Định lý ?? (iii), hạch của ánh xạ

∧p ⊗ ∧q : V ⊗p+q −→∧p

(V )⊗∧q

(V )


là Ip⊗V ⊗q +V ⊗p⊗ Iq. Từ đó ta có duy nhất ánh xạ ∧p,q :∧p

(V )⊗∧q(V ) −→

∧p+q(V ) thỏa mãn sơ đồ sau:

V ⊗p ⊗ V ⊗q

∧q⊗∧q��

∼= // V ⊗p+q

∧p+q��∧p

(V )⊗∧q

(V ) ∧p,q//∧p+q

(V )

Từ cách xây dựng ta có ngay

∧p,q(v1 ⊗ . . .⊗ vp ⊗ w1 ⊗ . . .⊗ wq) = v1 ∧ . . . ∧ vp ∧ w1 ∧ . . . ∧ wq

Tích của hai lũy thừa ten xơ v ∈∧p

(V ) và w ∈∧q

(V ) được địnhnghĩa là ∧p,q(v ⊗ w) và được ký hiệu đơn giản là v ∧ w. Dễ thấytích này là phản giao hoán, theo nghĩa

vw = (−1)pqwv

CHÚ Ý 5.1.4. Ánh xạ ∧p,q luôn là toàn ánh nhưng nói chungkhông là đơn ánh vì nói chung Jp⊗ V ⊗q + V ⊗p⊗ Jq là không giancon thực sự của Jp+q. Ví dụ ánh xạ ∧1,1 biến u⊗ v− v⊗u ∈ V ⊗Vvào 0.

5.2. Lũy thừa ngoài của ánh xạ, tổng trực tiếp

Cho f : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có mộtánh xạ tuyến tính ký hiệu là ∧p(f) từ

∧p(V ) vào

∧p(W ) được xác

định bằng tính chất phổ dụng của lũy thừa đối xứng:

V ⊗pf⊗p

//

∧p��

W⊗p

∧p��∧p

(V )∧p(f)

//____∧p

(W )

5.2. Lũy thừa ngoài của ánh xạ, tổng trực tiếp 85

Thật vậy, vì ∧p là ánh xạ thay phiên nên ∧p ◦ f⊗p cũng là ánhxạ thay phiên. Từ đó theo tính chất phổ dụng của

∧p(V ), tồn tại

∧p(f) để∧p(f) ◦ ∧p = ∧p ◦ f⊗p

Từ định nghĩa ta có ngay

∧p(f)(v1 ∧ v2 ∧ . . . ∧ vp) = f(v1) ∧ f(v2) ∧ . . . ∧ f(vp)

và ∧p(f) được xác định bởi phương trình này.

MỆNH ĐỀ 5.2.1. Cho f : V −→ W , g : U −→ V . Khi đó

∧p(f ◦ g) = ∧p(f) ◦ ∧p(g)

Từ đó nếu f là một ánh xạ đơn ánh (tương ứng toàn ánh) thì vớimọi p, ∧p(f) cũng là ánh xạ đơn ánh (tương ứng toàn ánh).

CHỨNG MINH. Hệ thức ∧p(f ◦ g) = ∧p(f) ◦ ∧p(g) suy ra ngaytừ định nghĩa.

Nếu f là đơn ánh thì tồn tại g : W −→ V sao cho gf = idV . Từđó ∧p(gf) cũng là ánh xạ đồng nhất do đó ∧p(f) là đơn ánh. Nếuf là toàn ánh thì tồn tại g : W −→ V sao cho fg = idW , tương tựta cũng suy ra ∧p(f) là toàn ánh. �

Tiếp theo ta sẽ nghiên cứu mối liên kết giữa lũy thừa ngoài củamột tổng trực tiếp với lũy thừa ngoài của các thành phần của nó.Sử dụng các ánh xạ ở trên ta luôn xây dựng được với mỗi p > 0

và 0 ≤ i ≤ p ánh xạ Ji như là ánh xạ hợp thành∧i(V )⊗

∧p−i(W )

Ji ++XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

∧i(j1)⊗∧p−i(j2)//∧i

(V ⊕W )⊗∧p−i

(V ⊕W )

∧i,p−i��∧p

(V ⊕W )

với j1, j2 là các ánh xạ cấu trúc từ V , W tới V ⊕W .


MỆNH ĐỀ 5.2.2. Với các ánh xạ ji, 0 ≤ i ≤ p, định nghĩa ở trênta có đẳng cấu chính tắc (xem Ví dụ 1.6.6)

p⊕i=0

∧i(V )⊗

∧p−i(W ) ∼=

∧p(V ⊕W )

CHỨNG MINH. Chọn các cơ sở (xi) và (yj) tương ứng của V vàW . Khi đó ta có cơ sở (xi, yj) của V ⊕W nếu đồng nhất V và Wvới các không gian con của V ⊕W thông qua các ánh xạ j1,2. TheoMệnh đề 5.1.3, tập {xi1 ∧ xi2 ∧ . . .∧ xik , i1 < . . . < ik} là một cơ sởcủa

∧k(V ), và điều tương tự cũng đúng với

∧p−k(V ). Từ đó tập

{xi1 ∧ . . . ∧ xik ⊗ yj1 ∧ . . . ∧ yjp−k , i1 ≤ . . . ≤ ik, j1 ≤ . . . ≤ jp−k}

lập thành một cơ sở của∧k

(V ) ⊗∧p−k

(W ). Ảnh của cơ sở nàytrong

∧p(V ⊕W ) là tập

{xi1 ∧ . . . ∧ xik ∧ yj1 ∧ . . . ∧ yjp−k , i1 ≤ . . . ≤ ik, j1 ≤ . . . ≤ jp−k}

là một cơ sở trong∧p

(V ⊕W ). Từ đó dễ thấy ánh xạ trong mệnhđề là đẳng cấu. �

5.3. Ten xơ thay phiên

Một ten xơ t trong không gian này được gọi là thay phiên nếuvới mọi bộ ánh xạ tuyến tính f1, f2, . . . , fp : V −→ k, trong đó cóhai ánh xạ nào đó bằng nhau ta có

(5.3.1) (f1 ⊗ f2 ⊗ . . .⊗ fp)(t) = 0

Ví dụ trong V ⊗2 các ten xơ dạng v ⊗w−w⊗ v là các ten xơ phảnđối xứng. Tập hợp các ten xơ phản đối xứng trong V ⊗p lập thànhmột không gian con, ký hiệu là T

∧p(V ).

NHẬN XÉT 5.3.1. i) Tương tự như đối với lũy thừa ngoài,điều kiện (5.3.1) chỉ cần kiểm tra đối với các ánh xạ dạng. . .⊗ f ⊗ f ⊗ . . ..

5.3. Ten xơ thay phiên 87

ii) Ten xơ thay phiên thỏa mãn điều kiện phản đối xứng

(5.3.2) (. . . fi ⊗ fi+1 ⊗ . . .)(t) = −(. . . fi+1 ⊗ fi ⊗ . . .)(t)

iii) Nếu đặc số của trường khác 2, điều kiện (ii) tương đươngvới điều kiện phản đối xứng. Tuy nhiên nếu trường có đặcsố 2 các ten xơ dạng

v ⊗ v ⊗ . . .⊗ v

thỏa mãn điều kiện phản đối xứng nhưng không là thayphiên.

MỆNH ĐỀ 5.3.2. Ten xơ t ∈ V ⊗p là thay phiên khi và chỉ khi

t ∈⋂i

Im(σi − 1)

CHỨNG MINH. Nếu t ∈⋂i Im(σi − 1) thì ta có ngay

(. . .⊗ f ⊗ f ⊗ . . .)(t) = 0

vậy t là thay phiên.

Mệnh đề ngược lại chứng minh khó hơn một chút. Trước tiênta nhận xét rằng với mỗi t ∈ V ⊗p tồn tại một không gian con hữuhạn chiều U ⊂ T sao cho t ∈ U⊗p. Từ đó không mất tính tổng quátta có thể giả thiết V có hữu hạn chiều. Coi các phần tử của V nhưcác phiếm hàm tuyến tính trên V ∗. Khi đó t là thay phiên khi vàchỉ khi phiếm hàm tuyến tính xác định bởi t trên V ∗⊗p là ánh xạtuyến tính thay phiên. Nghĩa là t triệt tiêu trên

Jp(V∗) = Ker(V ∗⊗p −→

∧p(V ∗))

Ngược lại, nếu t ∈ V ⊗p triệt tiêu trên Jp(V∗) thì t là ten xơ thay

phiên. Vậy không gian các ten xơ thay phiên trong V ⊗p là phần bùđại số trong V ⊗p của không gian Jp(V ∗):

T∧p

(V ) = Jp(V∗)⊥


Từ công thức (5.5.2) và Mệnh đề 1.5.3 ta rút ra kết luận của mệnhđề:

Jp(V∗)⊥ =

(∑i

Ker(σ∗i − id)

)⊥=⋂i

Ker(σ∗i−id)⊥ =⋂i

Im(σi−id)

�

Từ chứng minh của mệnh đề trên ta có hệ quả sau.

HỆ QUẢ 5.3.3. Giả thiết V có chiều hữu hạn. Khi đó ta có đẳngthức sau

T∧p

(V ) ∼=∧p

(V ∗)∗

Giả thiết (x1, x2, . . . , xn) là một cơ sở của V . Khi đó tập

x∨I :=∑σ∈Sp

sign(σ)xiσ(1)⊗ xiσ(2)

⊗ . . .⊗ xiσ(p),

i1 < i2 < . . . < ip, là một cơ sở của T∧p

(V ). Từ đó nếu V có chiềun thì T

∧p(V ) có chiều Cp

n.

CHỨNG MINH. Khẳng định đầu tiên được suy ra ngày từ chứngminh của Mệnh đề 5.3.2. Từ dãy khớp

0 −→ Jp(V∗) −→ V ∗⊗p −→

∧p(V ∗) −→ 0

ta có, theo định nghĩa∧p

(V ∗)∗ là phần bù đại số Jp(V∗)⊥ của

Jp(V∗), do đó đẳng cấu với T

∧p(V ).

Tiếp theo ta biết tập (ξ∧I := ξi1∧ξi2∧. . .∧ξip , i1 < i2 < . . . < ip)

lập thành một cơ sở của∧p

(V ∗). Mặt khác ta có

ξ∧I(x∨J) =∑σ∈Sp

sign(σ)ξI(xjσ(1)⊗ xjσ(2)

⊗ . . .⊗ xjσ(p)) = δIJ

với I, J là các dãy tăng bao gồm p số từ tập {1, 2, . . . , n}. Từ đótập (x∨I) lập thành một cơ sở của T

∧p(V ). �

5.4. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số 0 89

ĐỊNH LÝ 5.3.4. Giả sử V là một không gian véc tơ với cơ sở(xi)i∈I . Khi đó tập các ten xơ

x∨J :=∑σ∈Sp

sign(σ)xjσ(1)⊗ xjσ(2)

⊗ . . .⊗ xjσ(p)

với J = (j1 < j2 < . . . < jp) lập thành một cơ sở của T∧p

(V ).

CHỨNG MINH. Giả sử t là một ten xơ thay phiên trong V ⊗p. Khiđó tồn tại U ⊂ V hữu hạn chiều sao cho t ∈ U⊗p ⊂ V ⊗p. Vậy ta cóthể giả thiết V có hữu hạn chiều. Lúc đó khẳng định của định lýsuy ra từ hệ quả trên. �

5.4. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số 0

Trong trường hợp đặc số của k khác 2, điều kiện thay phiên(5.3.1) tương đương với điều kiện phản đối xứng (5.3.2). Vì vậyten xơ thay phiên thường được gọi là ten xơ phản đối xứng hoặcten xơ ngoài. Ten xơ phản đối xứng có thể định nghĩa một cáchđơn giản như tập các ten xơ trong V ⊗p thỏa mãn

(5.4.1) σ(t) = sign(σ)t, ∀σ ∈ Sp

Dễ thấy điều kiện trên có thể thay bằng điều kiện

σi(t) = −t, i = 1, 2, . . . , p− 1

Từ đó ta có ngay kết luận của Mệnh đề 5.3.2

t ∈⋂i

Ker(σi + id) =⋂i

Im(σi − id)

Trong trường hợp đặc số của trường k bằng 0, ta có một mô tảđơn giản sau cho các ten xơ phản đối xứng. Xét toán tử

Ψp :=1

p!

∑σ∈Sn

sign(σ)σ


Ta có

τΨp =1

p!

∑σ∈Sn

sign(σ)τσ = sign(τ)Ψp

Từ đó với mọi t ∈ V ⊗p, Ψp(t) ∈ T∧p

(V ). Nghĩa là

ImΨp ⊂ T∧p

(V )

Ta cũng có Ψp(t) = t nếu t là ten xơ đối xứng. Từ đó

(5.4.2) ImΨp =∧p

(V )

Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra

Ψp2 = Ψp

nghĩa là Ψp là một toán tử lũy đẳng. Vậy ta đã chứng minh Mệnhđề sau.

MỆNH ĐỀ 5.4.1. Toán tử Ψp là một phép chiếu từ V ⊗p lên T∧p

(V ).

Nhận xét rằng

Ψp(x⊗I) =1

p!x∨I

nếu I = (i1, i2, . . . , ip) có các thành phần đôi một khác nhau.Ngược lại, nếu trong I có 2 thành phần bằng nhau thì Ψp(x⊗I) =

0.

Tiếp theo ta xét ánh xạ hợp thành

T∧p

(V ) −→ V ⊗p∧p−→∧p

(V )

Hay nói cách khác là ánh xạ hạn chế của ∧p lên TSp(V ). Dễ thấyảnh của phần tử x∨I trong T

∧p(V ) là phần tử

xi1 ∧ xi2 ∧ . . . ∧ xip

Từ đó ta suy ra ánh xạ hợp thành trên là đẳng cấu. Vậy ta đã chứngminh được mệnh đề sau.

5.5. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số dương 91

MỆNH ĐỀ 5.4.2. Giả thiết trường k có đặc số bằng 0. Khi đó ánhxạ tự nhiên

(5.4.3) T∧p

(V ) −→ V ⊗p −→∧p

(V )


Hệ quả hiển nhiên của đẳng cấu này là đẳng thức

(5.4.4) Jp(V ) = KerΨp

5.5. Ten xơ thay phiên, trường hợp đặc số dương

Nếu đặc số của trường khác 0 ánh xạ Ψp không định nghĩađược khi p lớn hơn đặc số của trường. Vì vậy chúng ta xét ánh xạ

Ψp :=∑σ∈Sn

sign(σ)σ

Theo Định lý 5.3.4, Ψp là toàn ánh từ V ⊗p tới T∧p

(V ). Từ đó, theoMệnh đề 5.3.2, ta có đẳng thức

(5.5.1) ImΨp =⋂i

Im(σi − 1)

MỆNH ĐỀ 5.5.1. Ta có đẳng thức sau

(5.5.2) Jp =∑i

Ker(σi − 1) = KerΨp

Từ đó ánh xạ Ψp cảm sinh đẳng cấu

(5.5.3)∧p

(V ) ∼= T∧p

(V )

CHỨNG MINH. Không mất tính tổng quát (xem chứng minh của5.3.2) ta có thể giả sử V là hữu hạn chiều trên k. Từ đó sử dụng


Mệnh đề 1.5.3 ta có

KerΨp = (ImΨp∗)⊥ =

(⋂i

Im(σ∗i − id)

)⊥=

∑i

(Im(σ∗i − id))⊥ =∑i

Ker(σi − id)

Mặt khác theo trên ảnh của Ψp là T∧p

(V ) vậy ta có đẳng cấuchính tắc ∧p

(V ) := V ⊗p/Jp −→ ImΨp = T∧p

(V )

Ánh xạ này được cho cụ thể bởi x∧I 7−→ x∨I . �

CHÚ Ý 5.5.2. Ánh xạ ở (5.5.3) là ngược chiều so với ánh xạ Ψp

ở (5.4.3).

5.6. Đối ngẫu

Trong mục này chúng ta sẽ giả thiết không gian V có chiềuhữu hạn n. Khi đó

∧p(V ) = 0 với mọi p > n và với 0 ≤ p ≤ n

(5.6.1) dim∧p

(V ) = dim∧n−p

(V ) = Cpn

Giả thiết x1, . . . , xn là một cơ sở của V . Khi đó∧p

(V ) có cơ sởchính tắc bao gồm các phần tử

xi1 ∧ xi2 ∧ . . . ∧ xip , 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ip ≤ n

Đặc biệt dim∧n

(V ) = 1 và cơ sở của∧n

(V ) chỉ có 1 phần tử

x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn

Ta cố định đẳng cấu∧n

(V ) ∼= k biến phần tử duy nhất này của cơsở vào 1 ∈ k. Phép nhân ngoài ∧p,n−p xác định một ánh xạ songtuyến tính

(5.6.2) (−,−)(x) :∧p

(V )×∧n−p

(V )∧p,n−p−→

∧n(V )

∼=−→ k

5.6. Đối ngẫu 93

(chỉ số (x) dùng để chỉ rằng ánh xạ này phụ thuộc vào việc chọncơ sở (x)).

Với mỗi bộ I = (i1, i2, . . . , ip) thỏa mãn 1 ≤ i1 < i2 < . . . <

ip ≤ n ký hiệu I là bộ (i1, i2, . . . , in−p) sao cho

i1 < i2 < . . . < in−p và I ∪ I = {1, 2, . . . , n}

và đặt

(5.6.3) σI :=

(1 2 . . . p p+ 1 . . . n

i1 i2 . . . ip i1 . . . in−p

)

Giả thiết xi1 ∧ xi2 ∧ . . . ∧ xip, i1 < i2 < . . . < ip, là một phầntử trong cơ sở chính tắc của

∧p(V ). Khi đó xi1 ∧ . . . ∧ xin−p là một

phần tử trong cơ sở chính tắc của∧n−p

(V ) và

∧p,n−p(xi1 ∧ . . . ∧ xip , xj1 ∧ . . . ∧ xjn−p) = sign(σI)x1 ∧ x2 ∧ . . . ∧ xn

vậy(xi1 ∧ . . . ∧ xip , xj1 ∧ . . . ∧ xjn−p)(x) = sign(σI)

Ngược lại dễ thấy nếu hai tập {i1, . . . , ip} và {j1, . . . , jn−p} giaonhau khác rỗng thì

(xi1 ∧ . . . ∧ xip , xj1 ∧ . . . ∧ xjn−p)(x) = 0

Từ đó suy ra ánh xạ song tuyến tính (−,−)(x) là không suy biến.Vậy ta đã chứng minh mệnh đề sau.

MỆNH ĐỀ 5.6.1. Ánh xạ song tuyến tính (−,−)(x) xác định trong(5.6.2) là không suy biến và do đó xác định một đẳng cấu

(5.6.4) θ(x) :∧p

(V ) ∼=∧n−p

(V )∗

Ánh xạ θ(x) xây dựng ở mệnh đề trên phụ thuộc vào việcchon cơ sở (x). Để xây dựng một đẳng cấu không phụ thuộcvào việc chọn cơ sở ta làm như sau. Ánh xạ song tuyến tính


∧p,n−p :∧p

(V ) ×∧n−p

(V ) −→∧n

(V ) xác định một ánh xạ tuyếntính

∧p,n−p :∧p

(V )⊗∧n−p

(V ) −→∧n

(V )

Theo (2.6.3), ánh xạ này tương ứng với một ánh xạ

(5.6.5) θ :∧p

(V ) −→∧n

(V )⊗∧n−p

(V )∗

Mỗi cơ sở (x) của V xác định một đẳng cấu∧n

(V ) tới k và quađẳng cấu này θ chính là θ(x). Từ đó ta có

HỆ QUẢ 5.6.2. Ánh xạ θ xác định ở (5.6.5) là một đẳng cấu.

Mặt khác ta có một phép đối ngẫu tự nhiên giữa∧p

(V ) và∧p(V ∗) xác định như sau. Xét ánh xạ song tuyến tính∧p

(V ∗)×∧p

(V ) −→ k

cho bởi

(ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ . . . ∧ ϕp, v1 ∧ v2 ∧ . . . ∧ vp) 7−→ det(ϕi(vj))

ở đây ϕi ∈ V ∗, vj ∈ V . Từ tính chất của định thức dễ thấy ánhxạ này được xác định tốt. Mặt khác ta thấy nếu (ξi) là cơ sở đốingẫu với cơ sở (xi) ở trong V ∗ thì cơ sở (ξ∧I = ξi1 ∧ . . .∧ ξip) trong∧p

(V ∗) thỏa mãn

(5.6.6) (ξ∧I , x∧J) = δIJ

Từ đó∧p

(V ∗) là không gian đối ngẫu của∧p

(V ) và cơ sở (ξ∧I) làđỗi ngẫu với cơ sở (x∧I).

HỆ QUẢ 5.6.3. Giả thiết V là không gian hữu hạn chiều. Khi đóta có đẳng cấu chính tắc

(5.6.7) θ :∧p

(V ) ∼=∧n

(V )⊗∧n−p

(V ∗)

5.7. Khai triển Cramer và khai triển Laplace 95

Đẳng cấu trong hệ quả trên hiên nhiên không phụ thuộc vàocơ sở. Chúng ta sẽ mô tả tường minh đẳng cấu này theo cơ sở (xi)

trong V và cơ sở đối ngẫu (ξi) của nó trong V ∗. Theo (2.6.3), ánhxạ θ ở (5.6.5) được xác định bởi

θ(xi1 ∧ . . . ∧ xip)(xj1 ∧ . . . ∧ xjn−p) = sign(σI)δJI x1 ∧ . . . ∧ xn

Từ đó, theo (5.6.7) ta có

(5.6.8) θ(xi1 ∧ . . . ∧ xip) = σIx1 ∧ . . . ∧ xn ⊗ ξ i1 ∧ . . . ∧ ξ in−p

NHẬN XÉT 5.6.4. Đối với các lũy thừa đối xứng ta cũng có ánhxạ song tuyến tính Sp(V ∗)× Sp(V ) −→ k xác định bởi

(ϕ1ϕ2 . . . ϕp, v1v2 . . . vp) 7−→∑σ∈Sn

∏i

ϕi(vσ(i))

Nếu đặc số của trường bằng 0, ánh xạ này là không suy biến, từđó ta có đẳng cấu chính tắc giữa Sp(V ∗) và Sp(V )∗. Tuy nhiên nếuđặc số của trường khác 0, ánh xạ này có thể suy biến và ánh xạcảm sinh Sp(V )∗ −→ Sp(V ∗) có thể không là đẳng cấu, xem 4.4.1và 4.5.1.

5.7. Khai triển Cramer và khai triển Laplace

Giả thiết (y1, y2, . . . , yn) là một cơ sở khác của V với ma trậnchuyển cơ sở A = (aji ): yi = ajixj. Khi đó y1 ∧ . . . ∧ yn cũng là mộtcơ sở của

∧n(V ) và do đó là cộng tuyến với x1 ∧ . . . ∧ xn. Cụ thể

ta có

(5.7.1) y1 ∧ . . . ∧ yn = detA x1 ∧ . . . ∧ xn

Tương tự như vậy trong không gian∧n−1

(V ), các tích ngoài

y1 ∧ . . . ∧ yi ∧ . . . ∧ yn, 1 ≤ i ≤ n


lập thành một cơ sở. Ma trận chuyển tọa độ sang cơ sở này từ cơsở

x1 ∧ . . . ∧ xi ∧ . . . ∧ xn, 1 ≤ i ≤ n

chính là ma trận Aad = (Aij) phụ hợp với ma trận A (Aij là phầnbù đại số của phần tử aji tức là định thức của ma trận nhận đượctừ A bằng cách bỏ cột và hàng chứa aji - cột i và hàng j):

y1 ∧ . . . ∧ yi ∧ . . . ∧ yn = Ajix1 ∧ . . . ∧ xj ∧ . . . ∧ xn

Kết hợp với (5.7.1) ta thu được khai triển Cramer theo cột đầutiên cho định thức của A:

(−1)j+1aj1A1j = detA

Trong trường hợp tổng quát ma trận chuyển cơ sở từ (x∧I)

sang (y∧J) là ma trận (AIJ) với phần từ là các định thức AJ

Icủa ma

trận con tạo thành từ các phần tử trên các cột i1, i2, . . . , ip và cáchàng j1, j2, . . . , jp (hay nói cách khác, ma trận con tạo thành từ A

bằng cách bỏ đi các cột i1, . . . , in−p và các hàng j1, . . . , jn−p):

yI = AIJxJ

Từ công thức ma trận chuyển tọa độ đối với tích ngoài

y1 ∧ . . . ∧ yp ∧ yp+1 ∧ . . . ∧ yn

ta thu được khai triển Laplace theo p cột đầu tiên cho định thứccủa A:

detA =∑I

sign(σI)AII0AI0I

với I0 = (1, 2, . . . , ip), I0 = (p+ 1, . . . , n).

Documents

Dai sotuyentinh