D'Alembertov princip

Primjer 1. Po horizontalnom putu vue se tijelo mase 1kg silom od F=10N. Koeficijent trenja izmeu

mase i podloge je =0,2. Koliko je ubrzanje tijela? Koliku brzinu tijelo postigne nakon 5 sekundi, ako je

tijelo krenulo iz stanja mirovanja?

Na tijelo djeluje sila F horizontalno. Kao reakcija klizanja po

podlozi javlja se i sila trenja izmeu podloge. Sila trenja se

rauna kao proizvod normalne sile i koeficijenta trenja. U

ovom sluaju, poto nema vertikalnih sila osim teine tijela,

dobijamo da je normalna sila (reakcija podloge) jednaka teini

tijela:

= = = 9,81

Odavde je sila trenja:

= = 9,81 0,2 = 1,962

Dakle, jedine sile koje djeluju na tijelo u horizontalnoj ravni su F i Ftr. Prema D'Alembetovom principu, u

pravcu kretanja se javlja jo jedna sila, a to je sila inercije. Ova sila je usmjerena suprotno od smjera

kretanja tijela. Sada suma ovih sila treba da bude jednaka nuli (Sile koja vuce tijelo, sile trenja i sile

inercije).

= 0

Odakle je sila inercije jednaka:

= = 10 1,962 = 8,038

Poto je sila inercije jednaka proizvodu mase i ubrzanja tijela, odavde moemo izraunati ubrzanje:

=

=8,038

1 = 8,038

Nakon 5 sekundi, tijelo postigne brzinu:

= = 8,038 5 = 40,19

F

Ftr

Fin

Primjer 2. Niz strmu ravan iz take A se pusti tijelo mase 5 kg da klizi. Odrediti koeficijent trenja, tako da

tijelo u taki B dostigne brzinu od 3ms-1.

Na tijelo djeluje samo njegova teina, pod ijim

uticajem i krene tijelo da klizi. Teina djeluje

vertikalno prema dole, i iznosi:

= = 5 9,81 = 49,05

Sada se teina G moe rastaviti na 2 komponente: normalnu silu, i silu koja vue tijelo niz kosinu.

= sin

= cos

Gdje je ugao koji dobijemo kao:

tan =3

5 => = arctan

3

5= 31

Dakle, sile F i N su:

= 49,05 sin 31 = 25,26

= 49,05 cos 31 = 42,04

Sila trenja je je jednaka proizvodu normalne sile N i koeficijenta trenja. Sada u pravcu kretanja (du kose

ravni) imamo sile koje djeluju:

= = 25,26 42,04

Ubrzanje kojim se krede tijelo niz strmu ravan je:

=

=25,26 42,04

5

Dakle, ovim ubrzanjem cemo na kraju kose ravni u tacki B postici brzinu 3ms-1.

= => 3 =25,26 42,04

5 => =

15

25,26 42,04

Gdje je t vrijeme za koje tijelo dodje u taku B.

5

3

5kg

B

A

G N

F

Ftr

Put koji pree tijelo iz take A u taku B dobijemo iz pitagorine teoreme:

= = 32 + 52 = 34 = 5,83

Taj put tijelo pree za:

= 2

2 => 5,83 =

1

2

25,26 42,04

5

15

25,26 42,04

2

Odakle izraunamo koeficijent trenja:

= 0,5

Primjer 3. Masa motora zajedno sa motociklistom iznosi 225kg. Motocikl se krede u vrtikalnoj ravni

konstantnom brzinom 72kmh-1. Put po kojem se motocikl krede je vertikalna kruna krivina poluprenika

300m. Izraunati reakciju podloge u poloaju B, kao i ugao kada reakcija podloge bude 0 (taka C).

Kada motocikl doe u taku B, na njega

osim teine, imamo i reakciju podloge kao i

centrifugalnu silu koja djeluje od centra

radijusa putanje prema vani. Dakle, na

motocikl djeluju slijedede sile:

Poto se motocikl krede konstantnom brzinom = 72

= 20

, tangencijalno ubrzanje de biti jednako

nuli, tako da i tangencijalna sila inercije de biti jednaka nuli. Prema D'Alembertovom principu, znamo da

je:

. = 0

Gdje su:

= = 225 9,81 = 2207,25

. = = 2

= 225

202

300= 300

Odakle je normalna sila N (reakcija podloge) jednaka:

= . = 1907,25

A C

B

R=300m

N

G

U taki C, reakcija podloge je jednaka nuli. U toj taki takoe tangencijalno ubrzanje je 0 (nema

promjene brzine) a tako i tangencijalna sila.

Izvrit demo projekciju svih sila na pravac radijusa krivine. Centrifugalna sila

djeluje takoe na tom pravcu. D'Alembert:

cos + . = 0

Gdje su:

= 0; = ; . = = 2

Odakle je ugao jednak:

cos = .

=

2

=2

= 0,13

= arccos 0,13 = 82,18

Primjer 4. Izraunati reakcije oslonaca grednog nosaa na kojem je montirana dizalica mase M koja

podie teret m ubrzanjem a. Za koliko se povedaju reakcije oslonaca u odnosu na sluaj kada dizalica ne

radi?

Dakle, jedina vanjska sila koja djeluje na gredni nosa je

sila koja nastaje pod uticajem dizalice i tereta. Pored

teina dizalice i tereta, tu je jo i sila inercije koja nastaje

pod uticajem ubrzanog kretanja. Dakle, na mjestu gdje je

postavljena dizalica, zamjenit demo jednom silom S.

Ta sila jednaka je zbiru teine tereta M, teine mase m i sile

inercije, koja je usmjerena suprotno kretanju mase m.

= . + . + . = + +

Postavljanjem jednaina za sumu sila po y osi i momenata za taku A, dobijamo reakcije Fa i Fb.

=1

3 =

1

3( + + )

=2

3 =

2

3( + + )

N

G

C

m

M

A B

2l/3 l/3

S

Fb Fa

ZADACI ZA VJEBU:

1. Na tijelo mase 5kg djeluje sila F=25N pod uglom 30. Tijelo se krede horizontalno po podlozi.

Koliki je koeficijent trenja, ako tijelo postigne brzinu od 10ms-1 na putu od 12m.

2. Automobil mase 1700kg se krede jednakoubrzano u udolini iji je poluprenik R=80m. Ubrzanje

automobila kojim se krede je a=10ms-2. Kolika je reakcija podloge u taki A, a kolika u taki B, ako

je brzina automobila u taki A bila vA=10ms-1? Koliko je totalno ubrzanje u taki A?

3. Na sredini proste grede (l=1m) postavljena je dizalica M=25kg. Kolike su reakcije oslonaca:

a) Ako dizalica die teret mase m=100kg ubrzanjem a=5ms-2? Kolika je sila u uetu dizalice?

b) Ako dizalica sputa teret iste mase i istim ubrzanjem? Kolika je sila u uetu dizalice?

c) Koliko de vremena trebati da se masa od 100kg podigne na visinu od 20m ako dizanje poinje

sa povrine zemlje iz stanja mirovanja ubrzanjem a=5ms-2 dok se ne postigne brzina 7ms-1

koja ostaje nepromjenjena dok se tijelo ne podigne na traenu visinu?

4. Homogena puna lopta poluprenika R=0,2m baci se poetnom brzinom v0 po horizontalnoj ravni.

Lopta pri tome pree put od 10m za 10 sekundi, kada se zaustavi. Koliki je koeficijent trenja

izmeu podloge I lopte? Koliko puta se obrne lopta u toku kretanja?

F

30

A

B

R=80m 30

5. (***) Dva tijela, koja se dodiruju, postavljena su na strmu ravan nagibnog ugla . Mase tijela su

m1 i m2, a koeficijenti trenja izmeu strme ravni i tijela su 1 i 2 (1 > 2). Izraunaj:

a) Silu reakcije izmeu tijela u procesu kretanja

b) Minimalnu vrijednost ugla pri kojem tijela poinju da klize niz strmu ravan.

m1

m2

m2g m1g

2

1

F