ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN.

In den Astr. Nachr. Nr. 291 7, 292 7 , 2948, 2951, 2966, 2973, 2994 und 2997 sind Ephemeriden gegeben, welche fur die Zeit von September 1889 bis Ende 1890 die Lage des Mondkraters hlosting A mit dem selenographischen Ort R = -5" 10' rgi 'o, fl = -3" I I' 24!'0 gegen die Mitte der scheinbaren Mondscheibe bestimmen. Die Ephemeride fur I 89 I befindet sich in meinem Besitz. Seit Neujahr 1892 sind die Ephemeriden im Anhange des Berliner Astro- nomischen Jahrbuchs fur I 8 94 und die folgenden Jahre erschienen.

Diese Ephemeriden verfolgen den Zweck, die Beob- achtungen des Mondkraters im Meridian zu fordern und die Reobachtung des Mondes von den Unsicherheiten ZU befreien, wekhe die Unebenheit des Randes die UWe- nugende Kenntniss eines mittleren Mondradius, die besonders in Greenwich rnerklich hervorgetretenen personlichen Gleich- ungen bei der Auffassung des Antritts eines hlondrandes an die Faden und die rnit der Helligkeit des Hintergrundes veranderliche Irradiation hervorrufen. Denn es ist zu er- wnrten, dags durch die Heobachtung des kleinen, hellen, runden Kraters, die der eines Sterns ahnlich ist, der Mond- lauf niit grosserer Sicherheit und geringerer Muhe beobachtet wird als durch die Antritte eines Randes und unmittelbar

Band 136.

vor- oder nachher durch Declinationseinstellung eines Nord- o&r Sudrandes. Insbesondere durfte die parallaktische Okichung auf diese Weise sicherer bestimmt werden, welche j a wegen ihrer grossen Amplitude von uber zwei Bogen- minuten die vortheilhafteste Grundlage fur eine dereinstige Bestimmung der Sonnenparallaxe zu werden verspricht. Ausserdem geben die Ephemeriden die erforderlichen Hulfs- mittel, urn durch Heliometer andere Krater an Mosting A anzuschliessen und dadurch ihre selenographischen Coordi- naten zu bestimmen.

Es scheint nun wgezeigt zu sein, die Rechnungs- metho-d;ert hie= kurz darzulegen, zumal da dieselben iln Laufe & Zeit mehrfache Vereinfachungen erfahren haben, wenn auch die Grundlagen der Ephemeridenrechnung immer dieselben geblieben sind.

1.

In den Konigsberger Beobachtungen, Band 38, Ab- handlung I, Seite [28] habe ich gezeigt, dass die physische Libration u in Lange, 61 in Neigung des Mondaquators gegen die Ekliptik und 6 Pg im zugehorigen Knoten gegeben sind durch die Gleichungen

NZ 3241. I.

Darlegung der Ephemeridenrechnung von Mosting A. Von J. Franz.

und kleinere Glieder, die von der Erde aus gesehen 0105 nicht ubersteigen. Hier ist @ die mittlere Anomalie der Sonne, 9% die mittlere Lange, I7 das Perigaeum des Mondes, also !HZ - n seine mittlere Anomalie, endlich 03 = n- 6;3 der Abstand des Perigaeums der Mondbahn von ihrem aufsteigenden Knoten auf der Ekliptik. Hier, wie im Folgen- den, werden alle Grossen auf das scheinbare Aequinoctium des Tages bezogen. Z = I O 31' Z Z ! I ist die constante Neigung des hlondaquators gegen die Ekliptik, jJ der auf- steigende Knoten der Mondbahn auf der Ekliptik gerechnet vom Fruhlingspunkt an und Pg = 6;) & 180O nach dem Cassini'schen Gesetz der aufsteigende Knoten des Mond- aquators auf der Ekliptik.

Es sei ferner, um alle Bezeichnungen gleich anzugeben, i die Neigung des Mondaquators gegen den Erdaquator, &2' der zugehorige Knoten vom Fruhlingspunkt an gerechnet, A der Bogen des Mondaquators zwischen Erdaquator und Ekliptik, 8 die scheinbare Schiefe der Ekliptik, PZ die mittlere

Lange des Mondes nach den Jahrbuchern, R und fl die in der Einleitung oben angegebene selenogvaphische Lange und Breite des Kraters, a und d seine selenocentrische Rectascension und Declination. Ferner sei K der ebene selenocentrische Winkel Krater - Mondmittelpunkt - Beob- achtungsort , (5 der Gesichtswinkel Krater - Beobachtungs- ort ,- Mondmittelpunkt, JC der Positionswinkel des Kraters an der Mitte der Mondscheibe. Endlich seien a , 6 und /z die scheinbaren mit Parallaxe behafteten Werthe der Rect- ascension, Declination und des Halbmessers des Mondes nach den Ephetneriden, aK und 6, scheinbare AR. und Decl. des Kraters.

Nach (1) sind nun R + a , 4 = I+ d1, Ul = Pg + SPg die mit der physischen Libration behafteten Werthe der selenographischen Lange des Kraters, der Nei- gung und des Knotens des Mondaquators gegen die Ekliptik.

Urn aus ihnen die Lage des Mondaquators gegen den Erdaquator zu bestimmen, betrachten wir das aphifrische

I

3 324 * 4

cos 3, sin i, =

cos al' sin i, =

sin e cos u1 cos I, + cos e sin /1 cosi, = - s inecos&s in I l + cosecosJ1

cos E cos u1 sin 1, + sin E cos I, ' (2 )

Nun hat man streng

sin (aK - a) cos d, =

cos (aK - a) cos 6, = - sin o cos z sin d + cos o cos d sin 6 cos z cos 6 + cos G sin d

sin o sin JZ

sin 6 , =

oder, da O , aK- a , dK- 6 sehr klein sind, findet man die an die Meridianbeobachtung des Kraters Mosting A anzu- bringende Reduction auf die Mitte der Mondscheibe in der Form

( 7 ) , I

d-d,= - G C O S x I a - a , = - 6 sin x sec 6

und erhalt so den mit Parallaxe in 6 und auch in a be- hafteten Mondort fur die Zeit der Culmination des Kraters.

Auf diese Weise sind die Ephemeriden in den Astr. Nachr. und die Ephemeride fur 1892 im Berliner Jahrbuch gerechnet. Nur wurden statt der obigen Formeln aqui- valente, zur logarithmischen Berechnung bequeme, in der bekannten Weise angewandt. Die Rechnung ist fur die Culminationszeit des Mondes in Greenwich, welche hier fur die Culminationszeit des Kraters gesetzt werden kann, weil die Aenderungen der optischen und physischen Libration in der kurzen Zwischenzeit unmerklich sind, und zwar ohne Inter- polation fur jeden Tag einzeln ausgefuhrt. Man kann auch die Ephemeride von zwei zu zwei Tagen rechnen und in die Mitte interpoliren, wenn man die Zeiten, in denen der Krater nicht beleuchtet ist, mitnimmt.

2.

Fur Meridianbeobachtungen auf einer Sternwarte, die mit Greenwich gleiche Polhohe hat, findet man a - aK und d - 6, durch einfache Interpolation mit dem Argument des Langenunterschiedes. Dagegen sind noch die Variationen dieser Differenzen fur I' Breite und eventuell merkbare zweite Glieder anzugeben, und diese finden sich auch in den veroffentlichten Ephemeriden yon Mosting A.

Man kann diese Variationen dadurch erhalten, dass man die ganze Ephemeride auch fur einen Ort, der z. B. IOO sudlich oder nordlich von Greenwich liegt, rechnet, und Anfangs habe ich dies auch wirklich gethan, indem ich fur die Culmination des 10' sudlich von Greenwich bei Poitiers gelegenen Standpunktes die Rechnung durchfuhrte. Aber ich erhielt die Variationen ubereinstimmend rnit dieser Rechnung und zugleich sicherer und einfacher durch fol- gende Differentialformeln.

Indem man die Gleichungen (5) nach der geocentri- schen Breite sp (sonst gewohnlich sp ' genannt) differenzirt, erhalt man, da auf den rechten Seiten nur 6 wegen der Hohenparallaxe von sp abhangt, mit Benutzung der Gleich. ungen ( 5 ) ,-.

d x d K cos JZ sin K- + sin x cos K- = o

d!P dsp d x d K dd - sin z sinK- + COSK cos K- = cos K- dsp dsp dsp

d K d6 s inK- = c o s z s i n K- dSP d!P

5 3241

cos 'iz (e - I) ep cos I12 (e + I) 2

i sin 'it ( E - I) , f" sin -

2 sin R 2

t g A = - tg. -

sin = .~___. -_

6

sin Y2 (e - I ) sin 'I2 ( E + I)

8 t g B = 7- - tg 2

A = A t B , Q ' = A--B

oder nach (9)

(8)

Hieraus folgt

. d6 - sin n -

dcp

(9)

Nun ist nach ( 6 ) , da 6 < 4:s , h = 0025 und K < I 7 " ist, mit gendgender Annaherung G == k sin K , also

d K dk - d6 -- h cos X - - + sin K

d 9 dcp dcp

d6 d h = h c a s a c o s K - + s i n K -

dcp dsp

1st nun p die Horizontalaquatorealparallaxe des Mon- des, so ist nach der Theorie der Parallaxe

-- . - s inp cos (cp - 6) dd

dsp

und dadurch wird

( 1 2 ) - d6 - - - h s inp (cos x cos K c o s (9 - 6) + sin K s i n (cp - 6)) d 9

und, wenn man in (8) G: /z statt sin I( setzt, so wird rnit Riicksicht auf (10)

d n 6 = h s inp sin a cos K c o s (cp - d)

dcp Nachdem so in (12) und (13) die Veranderungen der Distanz G und des zugehorigen Positionswinkels x rnit

der Breite (c gefunden sind, kann man leicht die gesuchten Variationen

d (CY - CYL~) d (d - 6K) I d'(d - 6,) 1 va = und vB' =

'i'x z== - d P dSF z dy2

finden, W O das sogenannte zweite Glied v6' den Factor 'j', als Entwickelungs-Coefficient der Taylor'schen Reihe enthalt. Differenzirt man namlich die Gleichungen ( 7 ) , nachdem man in der ersten derselben sec 6 statt sec dA, gesetzt

hat, was hier bollig erlaubt ist, so erhalt man rnit Berhcksichtigung von (IZ), ( 1 3 ) , (10) , ( 7 ) und der Relation G = /r sin K leicht

TIa = - (a - aK) s inp sin sp sec d

ve = - (d - dK) s inp sin (9 - 6) + h s inp cos K c o s (q - d) (14)

( 1 5 )

Urn die zweite Variation fur Declination, welche noch fur die nordliche gemassigte Zone merklich wird, zu erhalten, genugt es (15) so nach cp zu differenziren, dass man auf der rechten Seite sp allein als veranderlich betrachtet. So wird

/t s i n p cos (cp - 6) - s inp cos K s i n (9 - 6) (16)

(6 - dK) ?IE' = -

2 2

Damit diese Variationen fur I O Breite gelten und va I wo a - aK, 6 - 6,, va, v6 und v6' aus der Ephemeride ebenso wie a - ax in Zeitsecunden, v6 und v8' ebenso wie 6 - dK in Hogensecunden ausgedruckt seien, hat man noch va und vE niit 3600 sin I " oder mit sin I O zu multi- pliciren, v6' mit sin2 1'.

1st dann dq die Rreite des Reobachtungsortes weniger der von Greenwich in Graden ausgedruckt, so hat man die Keduction von dem beobachteten Krater Mosting A auf den Mondmittelpunkt

in AR.

in I>ecl. = (d - dK) + vB. d cp + vB' - ( A cp)2

= (a - aK) + va.dcp

cos 'iz (e - I) ep

i sin 'it ( E - I) , f" sin -

2 sin R 2

tg A = - tg. - cos I12 (e + I) 2

sin = .~___. -_

mit dem Langenunterschied von Greenwich interpolirt sind.

3. Eine Vereinfachung der Rechnung erhalt man, wenn

man die physische Libration in der Lage des Mondaquators in Bezug auf den Erdaquator durch Differentialformeln, die auch ein selbstandiges Interesse haben, ermittelt und nach- traglich zu den von der physischen Libration freien Grossen i, d und a' addirt. Dann braucht man diese ohne die Librationsschwankungen regelmassig verlaufenden Grossen nur von 2 0 zu 2 0 Tagen zu berechnen und zu interpoliren. Man findet sie aus den Glejchungen (2), in welchen man alle unteren Indices fortlgsst, oder durch die rnit ihnen identischen Gauss'schen Gleichungen

sin Y2 (e - I) sin 'I2 ( E + I)

8 tg B = 7--- tg 2 --

7 323.1 8

Die Librationen in i, A und a' erhalt man durch Differentiation der Gleichungen (2) ohne Indices, indem man nur die Schiefe E der Ekliptik, welche von der Libration unabhangig ist, als constant betrachtet.

Differenzirt man die dritte Gleichung (2), so erhalt man niit Rucksicht auf die erste und zweite Gleichung (2 )

nach Division durch sin i

d i = c o s A d I - s i n A s i n I 6 8

und dies geht mit Hiilfe der Gleichungen ( I ) uber in

d i = - 116 cos (A + iiz - I7) ( 1 7 )

Differenzirt inan aber die erste und zweite Gleichung (2), eliminirt dann cos i d i , so wird eunachst

s i n i 6 A = s i n e ( c o s u c o s A + s inQs inAcos1)dp ' - sin A (cos B cos I - sin E cos 8 sin I ) Q I

Da nun sin E cos 1' = sin i cos ICOS A - cos i sin I

sin e s i n u = sin Asin i

COSECOSI- sinecosi' 'sin1 = c o s i

und nach (2)

un d

ist, so wird

s i n i Q A = ( s i n i c o s I - c o s i s i n I c o s A ) d ~ - s i n A c o s i d I

Nun ist es aber zweckniassig, statt Q A die Variation 6 (A - 8) einzufuhren, da die Schwankungen, denen d A und d 8 wegen des kleinen Nenners sin I in ( I ) unterliegen, sich in der Differenz aufheben, nnd da nur die Differenz A - u in den Librationsgleichungen eine wesentliche Rolle spielt. Wir schreiben also die letzte Gleichung

d ( A - u ) = - c t g i ( s i n I c o s A 6 u + s i n d Q I ) - ( I -cosI)Qi 'J

oder mit Berucksichtigung von ( I ) I

d' ( A - ?J) = + 1:6 ctg i sin (A + m - 11) + 1:6 tg -- sin (m - I7) (18) 2

Da nun I= 1"31!37 ist, so hat man tg'/, I= 0.01, 1:6 tg I = o:o , also kann das letzte Glied von (18 ) als einflusslos fortfallen.

Differenzirt man endlich die vierte und funfte Gleich- ung ( 2 ) , eliminirt darauf cos i d z und berucksichtigt, dass

cos 8 cos a' + sin 8 sin 66' cos E == cos A s i n U c o s 8 ' - cos? j s inQ 'cosB = s i n A c o s I

sin a ' sin B = sin A sin I ist, so wird

oder niit ( I )

s i n z d n ' = c o s A s i n I d u + s i n A d I

sin iQQ' = - 1:6 sin (A + 7.n - n) (19)

Man hat also zu i, A - pj und a' die folgenden physischen Librationen des Mondaquators in Bezug auf den Erdaiquator zu addiren :

d i :- - 116 cos ( A + m - 17) (17) 6 (A -- 43) = + 1:6 sin (d + WL - I7) ctg i ( I 8)

da' = - 1!6sin(A+nz--III)coseci ( 1 9 ) ~ _ _ _

4. Eine weitere Vereinfachung, die zuerst in der Ephe-

meride fur 1 8 9 3 eingefuhrt ist, erhalt man, wenn man den Theil der physischen Libration, welcher bisher auf die Lage des Mondaquators bezogen war, auf die selenographische Breite (und Lange) des Kraters wirft. Denn eine Schwan- kung des Mondaquators hat denselben scheinbaren Effect auf die Lage des Kraters, als wenn seine selenographische Breite @ und Lange ,?, sich in gewisser Weise anderte, die letztere allerdings nur unwesentlich, wenn der Krater, wie dies bei Mosting A der Fall ist, in der Nahe des Mond- aquators liegt.

Hierzu betrachten wir das spharische Dreieck rnit den Ecken Nordpol der Ekliptik, Nordpol des Mondaquators und Ort des Kraters vom Mittelpunkt des Mondes aus gesehen. Die diesen Ecken gegeniiberliegenden Seiten sind bezw. 90"- p, 90" - b und I und die Winkel an den beiden ersten Ecken 90" + I - 6;2' und 90" - (A + M - $2) oder, was dasselbe ist, 270" - (A + M - 1') , wenn man mit I und b die selenocentrische Lange und Breite des Kraters auf die Ekliptik bezogen, und die Lange voni Friihlingspunkt an gerechnet versteht.

Man hat also die Gleichungen

cos bcos ( I - 8) = - cospcos (A + ?% - 8) cos b sin ( I - 99) = - cos p sin (,?, + m -- 13) cos I - sin j3 sin I

sin b = - cos p sin (A + rn - ?j) sin I+ sin @ cos I

Es soilen nun statt d I und d u solche Variationen dp und dA eingefuhrt werden, dass sich doch dieselben Werthe von I und b fur ein gegebenes m ergeben. Zu diesem Zweck differenziren wir die Gleichungen ( 2 0 ) so, dass wir d , b und wz, als constant, 1, p , I und 8 als veranderlich betrachten und berechnen durch einfache Elimination die Differentiale Bp und B R als Functionen der d I und d u . So wird nach Elimination von 62 , da COSI nahezu = I ist,

6 8 = sin(,?, + m - 9 J ) d I - cos(A + m - u)sinIQ?J

9 3241

oder mit Berucksichtigung von ( I )

wo R) =- ll- g J , R = - 502 ist.

d p = - 1!6 sin (a + 2)

Ebenso erhalt man durch Elimination von d @

cospd R = - sinficos (1 + m - p j ) - (sinRsin(B + m - U ) s i n I + c o s a ( I - COSI) ) du oder rnit Rucksicht auf ( I )

6 1 - + 116 tg @ cos (a + 12) - 1!6 tg I s in (m - n) (2 2 )

Da nun wie bei (18) 116 tg I == o!o und fur Mosting A ausserdem 116 tg B = O ! I ist, so kann man fur diesen Krater die Gleichung (22 ) 6 % = + O!I cos (a + 2) schreiben und, da die Librationen von der Erde aus ge- sehen nur durchschnittlich den 2 2 oaten Theil ihres selenocentrischen Werthes betragen, d R uberhaupt vernachlassigen.

Statt der Gleichungen (2 ) , (3) und (4) treten nun die Gleichungen (aa) ein, ferner

2, = ~ + I ~ O " + A - ~ ~ + R + ~ R + U (3 a)

cos (a - A ) ' ) cos d - cos (f i + d@) cos Ro sin (a - a') cos d == cos (f i + dp) sin 1, cos i - sin (@ + d@) sin i

sin d = cos (8 + d@) sin R, sin i + sin (B + d@) cos i

Man kann sich durch Ausfuhrung der literalen Rech- nung leicht davon uberzeugen, dass die Gleichungen (4 a) dieselben Werthe fur n und d geben, wie die Gleichungen \4), wenn man die Gleichungen ( I ) , ( 1 7 ) , ( IS ) , ( IS ) , ( 2 1 )

und (z 2) berucksichtigt. Die Gleichungen ( 2 1 ) und ( 2 2 ) lassen sich auch leicht

durch geometrische Betrachtungen ableiten und die wesent- liche Gleichung (2 I ) war ursprunglich durch solche gefunden norden, doch wollen wir hier nicht naher auf diesen anderen Weg eingehen.

5. In den Gleichungen (j) sind die scheinbaren niit

Parallaxe behafteten AR. und Decl. des Mondes, mit a und d bezeichnet, angewandt. Daher ergeben auch die Gleich- ungen (7) die Differenzen a - ax, d - 6, mit Parallaxe be hafte t .

Man erhalt nun eine erhebliche Vereinfachung der Epherneridenrechnung und auch der Reduction der Beob- achtungen, wenn man in den Gleichungen ( 5 ) und ( 6 ) fur a , d und k die wahren von Parallaxe freien Werthe der AR., Decl. und des Halbmessers des Mondes einfuhrt. Dann ergeben offenbar die Gleichungen ( 7 ) die Differenzen a - a x und d -- d,, wie sie vom ,Mittelpunkt der Erde aus ge- when erscheinen.

Man muss aber dann den im Meridian beobachteten Ort des Kraters rnit Anwendung der ,Horizontalaquatoreal- parallaxe des Kratersc p , in Declination von Parallaxe befreien und erhalt dann durch Anbringung der Grossen (7) rofort den Ort des Mondes vom Erdmittelpunkt aus ge-

sehen, wohl gemerkt immer fur die Zeit der Culmination des Kraters, nicht des Mondes. Man konnte diese Diffe- renzen freilich auch gleich so angeben, dass -man den Ort des Mondes fur die Zeit seiner Culmination durch ihre Anbringung erhalt, wenn man nur die Eigenbewegung des Mondes in der kurzen Zwischenzeit anbringt.

Um nun die erwahnte Horizontalaquatorealparallaxe p , des Kraters zu finden, betrachten wir das ebene Drei- eck zwischen dem Erdmittelpunkt, Mondmittelpunkt und Krater rnit den zugehorigen Winkeln G , K und 1 8 0 ~ - K- 6 und den Seiten A , I, und Y und erkennen, dass

rKsin (K+ O ) = r s i n K

r : r, = sinp,: s i n p ist. Da nun

so findet man s inp sin ( K + G )

sin K (23) sinp, = -.

Dieser Werth von sinpK oder sein 1,ogarithmus wird dann praktisch gleich in der Ephemeride rnit angegeben und dafur fallen die Variationen fur I O Breite fort. Zu- gleich gilt dann die Transit-Ephemeride nicht 'nur, wie bisher, fur die nordliche gemassigte Zone, sondern fur jeden Ort der Erde, wenn man rnit dem Argument der Langen- differenz interpolirt. Indem diese Modification der Ephe- meride hiermit fur die Zukunft vorgeschlagen wird, geben wir noch schliesslich die fur die Berechnung der physi- schen Libration anzuwendenden numerischen Werthe nach Hansen an. Es ist

m - II == 109'?30 + (13 X 360O + 910989) t @ = 359O56 + (360~ - oOo09) t Q3 = 194?99 + 600032 .f

wo t die Zeit in Julianischen Jahren als Einheit ist und ftir 1890 Jan. 0 .5 mittlere Greenwicher Zeit verschwindet.

K6nigsberg 1894 Mai 13. r. Franz.