432 Al~:H. ~l.~'l'lt.

D a r s t e l l u n g e n oberer und unterer I n t e g r a l e durch

I n t e g r a l e mel3barer F u n k t i o n e n

V,,n KLAUS Knm]r in Wiirzburg

in einer friiheren Arbeit [1] 1) wurden d ~ obere und untere Integral in einer miig- lichst grol./en Menge re(dler Funktionen so erklgrt, (lag sie in Abhfingigkeit yore ]n- tegrationsbereieh totaladditive Mengenfunktionon bildeten, lm folgenden soll die [)arsteliung dieser beiden Mengenfunktioncn als Integrale mel3barer FunktioneJ~ t)~,hand~,lt win'den.

Wir btnutzen die B('griffe und Bezei(~hnung('n aus [1.]. # sei stets ein schwaeh q,ndli('hes, in ein(,m Hom.:l.sch(,n Ring ~ definiertes Ma.g und / eine reelle Funktiom

) die in ein(,r 5'h'nge M ;~us ~_, erldii.rt ist. / d/~ bedeute da.s im Lehrbuch yon Hm~N M

und R(;SEN'r1Im~ ([2], S. 171) untersue.hte, stets vorhandene obere lntegnfl voJ~ /

iib(,r 31 m~d ,,ntspr('elwnd o./' / d# das HAIlN-ROSENTI[ALs0,he untere Integral 2). Ist M

O �9 / ./ /d/~ < -]- co oder o / d # > - - - o o , s o g i b t e s nach [2], S. 173 eine /majori" M M

O

meli./bare und iit)er M integrierbare F t, nktion /*, ,,lit der f / dot = f / * d# sierende; x X

fiir jede nwN)arc Teilmengc X yon M gilt, und eine entspreehende Fmdction [,-

Hieraus folgt unmittelbar, dal3 ~" / d/~ in diesem Fall als Funktion yon X im Bereich X

M ~ ~ der m(q,/baren Teihnengen X wm M totaladditiv ist. Zug](@,h existieren die

ill d#

M M M

oder , . / ' /d /~ oder ~mch beide Integrale einen Sire1 haben, jedoch gleiehzeitig . / ' / d # M M

~) Zahh, n in e('kigml Kla,nmern weiscn attf das Literaturverzeichnis am Schhflt (h,r Arbeit hin- -~) Wir vt,rwenden nicht (tie in [2] gebrauchte l~ozeit:hnung (M) ffd/,, weil sic in [l] die obere

\'ariation cincs Integrals b(,(teuten wiirde.

Yol. IV, 1953 I)arstellungon (ib(,rer und unterer lntegrah, 433

~- co u n d f / d y = - - G o ist . I ) a / ] d # - = / / d # gi l t , s o b a h | t / d / ~ e x i s l i , , r i . so o . . M M M .7~

o

e rwc i s t s ich / / d # n a c h [1], Sa t z 5.7 schon m i t e r der schwiieh(,r(,n V o r a u s s o t z u n g .

X

./" / d /x set v o r h a n d e n , Ms t o t M a d d i t i v ; e n t s p r e c h e n d das unt( , re ln t ( 'grM. E x i s t i e r t

M

-X- i " ]f ingegen j i d # ni( 'ht , so folgt mls Jl], S a t z 2 .1 .3 .14 m i d 5.8. (laid ] d # kein(, t o t a l -

M X a d d i t i y e Meng( ,n funk t ion d a r s t e l l t , b e d e u t e t n / iml ieh P (,ine in 31 ( , n tha l t ene m('l,lbare

Hi i l le der 5 lenge {x : / ( x ) ~-> [)} im 0ng0ren Sinn(, m i d is t Q --= 4I P, s6 e rg ib t sit 'h

) 7 7 ) 7 i / @, = l <li~ = /+ d y = - - oo, l dy = 1 @ ~- .--- . l - dy . . . . oo. �9 . ,

J, 1 ) M Q Q

W i r ]e i ten l l l ln m n g e k e ] l r t die ]~xis tenz (h,r 7"Ullkt ion( , l l /* i l n d / , l l l i t l I i l f e des

]{AI)ON-]N-IKODYMschoII Sa, tzes aus der Tota,ladditMtii t (los oberen und mm, ren in- tegrals ab. W i r o rha l t en d a b e i die gloicho Absehwi i .chung der V o r a u s s e t z u n g e n , \vie

be im P r o b l e m der Tota laddi t iv i tgCt . W i t beschri<tnken uns a uf obore Intt,gra.lt ' u n d

h e g i n n e n m i t dora

Satz 1. Da.s obere Integral voi~ [ iibe,r M exi,~tiere, ~nd g ,~ei eine mei3bare uud iiber -l'[ inlegrierbare .F.u, nklio~,. Die Ungle.ichu~.q

X X

rlelte /i~r yede ,me[3bare Teilme~ude X yon, M. Dann ,ist / (x) G g(x) /ast iibe.rall in M.

Beweis . Auf Grund der schwa chen Endlichkeit yon it k6nncn wir yon vornherein/, (M) -< -I c., vonuissctzen. ])ie M(mgeZ = {x: g(x) < f(x)} ist, da g in ihr den Weft -f- co nicht anninunt, gMch der Veroinigung .der paarweise fremden ),le, n.~en Zoo --- Z , . {x: g(x) . . . . c~} und Z i = Z {x: i.< g(x) _<- i + 1}, i =- f), ~ 1, -i~ 2 . . . . . Wegen der ]~%l$1)arkeit yon .q gilt nach I1 ], Satz 3.6:

(2) ,.* (x) = ~ #* (ZD. i

Zo<o ist die Vereinigung der monoton wachsmlde, n Mengenfolge (Z~.,k)k=l, 2 .... mit Zook =: Zoo ,-~ {x: - - k < f ( x ) } , was nach [1], S;~tz 3.8 die Glcichung y*(Zco)= lira/~*(Zc~ k) nach sich

zieht. Z~k set eine megbare ]tii]lo yon Zo<~k im en~eren Sinne. Jode zu Z,~k fremde I((iml~ononte

einer Zerlegung von Z~k hat das Ma/~ Null, woraus - - k ~ ( Z ~ k ) g / f(ltl foist, also naeh d g

Z,~_k

(1) s icher--oo < f g d.. Andererseits ist, .q (x) = ---co fiir j(,des x f i l ls Zook, SO dalJ derseibe Schlu[l Z&k

wie eben die GMchung f f d # = (--co) * liefert, nlul.I = y Z.~k 0 t ~ (Zc~k) ])elnnaeh H* (Zzk) * " :

Z~ok ein, d. h. aueh tt*(Z~) == O.

434 K. KH~;K~':~';ER~; ,',I{<:H. ~,t.'~Ti].

(iat~z iihulich ~rhatt.v~l wh" nun :~*(Zi) 0 (i O,/- l, d 2 . . . . ~ und damit, mwh (2t dic t~,t, ha~H~ - tung/t*(Z) (I. in(h,m wir Zi als Ver(,inigunff der mrmoton wachsendon Mongeuf.I,."e (Zik) ~_ ~,2 ....

1 mitZik- Z i +,x:#ix) t k ~. f lx)} darstellen. Ist niimlich Zi~ eil~e me61)are Iliilh' yon Zik

im engoren Sintw, so ~itt m~eh Ill:

cf

/ 'q ;fi< k /r ' " -- z ~ z ~+~ z r+ ~ z ?~

l>, f.q@ endli(.h (st, t)edeutot dies /~*(Zikl . /~(Z~) . IL d. h. /~*(Z~) . i). z ~

Eillfa.che Beispic, h~ zeige~, dat~ tier Satz nicht me, hr gilt, wenn die ]tolten wnl ] m~d .q vertauscht werden. Er bleiht ebensC~wenig richtig, wenn # nic.ht schwaeh endlich (st, selbst dann nieht, wenn / und .<I be(de mel3bar sind, wie das folgende ]3el- spiel zeigt: ~ sei der lJonELSetle Ring aller Teilmengen einer nieht leeren M enge M, /~(O) ~ 0. # ( X ) ~ ~- ~ . wenn 0 < : X ~ M , ] ( x ) ~ 2 und . q ( x ) ~ 1 fiir jedes

al~s M.

S a t z 2. Exls t i e r t das obere Integral yon / iiber M . ,,;o gibt es ei ne mefibare and 9bet

M integrieg'bare M a ] o r a n t e / * y o n / , mi t der

= .//* X S

/iir jede ,meflbare Teilmenffe X von M gilt. J e zwei meflbare F u n k t i o n e n [*, die (3)

e'r/iille~ C ,st(tureen [ast i2beralI in M iiberein.

Beweis. ])ie Mengenfunktion f f@ ist i,, ~, ~ t[,tah~(Iditiv und /t-stetig ([1 [. SatzS.7 X

und 5.5). I)aher gibt es nach dem I(,x~on'-NIKol~vmschen Satz (121, S. 169) eine reel]bare und fiber M intl~grierbare Funktion f*, die (3) be( jl~der mellbaren Teilmenge X yon M erfiillt. Nach Satz (st au/3erdem f ( x ) ~ f * ( x ) fast iiborall in M, und ersetzen wir f*(x) nStigenfalls innerhalb einer melibaren Nulhnenge durch + o-., so haben wir eine Majorante von fmit den verhtngten Eigensc|mften. I)ie Eindeutigkeitsaussage des Satzes 2 I)ihlet eine unmittelbare Folge des fiir den Fall eines mel,I- baren .f formulierten Satzes 1.

Es sei I)emerkt. dg./offenbar auch der Satz 1 eine Folge des Satzes 2 und tier fiir die lntegrale me6barer Funktionen geltenden Regeln ist. Anders als bei der Tota~- additivitiit des ot)eren integrals ist im Satz 2. ebenso wie im Satz 1, die Vorausset- zung, # sei schwach endlich, unentbehrlich. Es seien Jl"i~mlich | M, /~ und die Teil- menge K yon M s(> beschaffen, dal~ h" keine mefSba.re Hiille im engeren Sinne besitzt (11], S. J 03). Wit bezeichnen die charakteristisclle Fm~ktion yon K mit / und ~ehme" an, es g~tbe eine / ma jo r i s i e r ende mefSbare F u n k t i o n / * , so dal~ (3) ftir jede m e 6 b a r e

T e i l m e n g e X yon M g~lte. ])am~ wi~re die 3 lenge K * = {x : / * ( x ) > 0) meBbar and

Vol. IV, 1953 ])arstellungen oberer und unterer [ntegrah, 435

onthiel te K. Auf jedo moBbare Teilmengo Y von K * - - K tritfe, da / in Y ver-

schwande, die G l e i c h u n g . f / * d i x = . ~ / / d z - - 0, d . h . IX(Y) =:- 0, zu, wollaell Y Y

IX, ( K * - - K ) = 0, also K* eine meBbare Hiil le von K im engeren Sinn w/ire.

1st / die charak te r i s t i schc F u n k t i o n ether Teihnenge K von M, so kfinnen /*

und [ . nach [1], Satz 3.]1 als charak te r i s t i sche F u n k t i o n e n ether meBbaren Htil]e

und eincs mcBbaren Kerns yon K im engeren Sinne gew~thlt werden. Angesichts

des ebcn be t r ach t e t en Gegenl)eispiels scheint jedoch die fo]gonde Fes t s t e l lung

n icht ganz t r iv ia l zu seth.

Satz 3. Bedeutet Z,: die charakteristische Funktion ether Teilmenge K von M, .~o gilt, auch wen~ tx nieht .~chwach endlich ist,

@.

(4) [ = M M

Bowels. Wir k6nnen beiln Beweis der ersten (]lei(.hung mit nieht leerem K operieren. 1st X eine meBbare ]Menge und K ~ X C M, so bildet {X, M -X} eine Zerlegm~g .E yon M mit tt(X) cr*(ZK,.~ ). Bedeutet andcrerseits N eine Zerlegung yon M und X die Vereinigung aller zu K nieht fremden Kompononten yon ~, so gilt a*(ZK,?r --/~(X). Die erste Gleiehung (4) folgt nun

direkt aus den l)efinitionen yon tt*(K) und f ZK dtt. Die zwoite ergibt sieh w e n n lll~tn

den trivialen Fall K =: M ausschlie~t. M

Wir wollen zum SehluB a) die F u n k t i o n c n / * u n d / , durch Ordnungsre la t ionen

( .harakter is ieren und lighten hierzu im Sys tem aller in M def inier ten reellen F u n k -

t ionen die folgende Rela t ion oin: es set g _<' h , wenn g(x) <__ h(x) fast iibera]l ill

M gilt. _<' is t t r ans i t i v und reflexly, und aus g ~ ' h und h <~' .q folgt, dab g und h

fas t i iberall zusammenfal len .

Sa tz 4. Ist das obere Integral yon / tiber M vorhanden und die Funktion /* gemgi[3 Satz 2 konstruiert, so b'ildet ]* hinsichtlieh deg" Relation <_' unter den me[3baren und integrierbaren Funktionen g, die der Ungleichung / <_' g geniigen, eine kleinstea).

l]eweis, f* ist selbst eine me Bbare und integrierbare Funktion und f ~'f*. Ist g eine weitere derartige Funktion, so gilt na(:h Definition yon f* und nacJl [1], Sate 5.11 fiir jede meflbare Teil- menge X yon M:

[I. X X X

also f* ~<' ff naeh Sate 1.

a) Ether Anregung yon Herrn C. Phuc folgend. 4) Eindeutig gekennzeiehnet ist hierdurch night f* selbst, sondern die Klasse der mit ]'* fast

iiberall fibereinskimmenden Funktionen.

Archiv der Mathematik. IV. 30

4!{{j I ( , KI~I(:I~.I.:IH~,I((: ~.IL(:|T. ?,|ATlu.

]rn ]:all - - o-~ < / / d/~ s t immt nach {1 [, 8atz 5.1 I die :tl('nge der mel.~l)aren M

und integrierbaren Funkt ionen .q, fiir die / _G 'E ist, mit der Menge der mel.~bareu Funkt ionen 9, die diese 17nglddnmg erfiilhm, iiberein, andenffalls jedoeh im ~ll- gemeinen nieht. 1Nii.htsdestow(miger gilt dot 8~ztz 4 uu('h dann no(,h, worm m~u, (loft ,,reeL/bar und integrierbar" dutch ,,reel.it)at" ('rsetzt. Wit m']mlten aaff diese Weise (.ine Chara, l<t~risierung von /* , in der l(;(liglich der l:lo~u,:LS('he Ring ~ und der Bolu,:lr sche Ring der m(,l.~baren, d. h. zu ~ gehSrigen Nulhnengen vorkommen, dag(,gen nieht d~s Mal,~ it. In der '.Pt~t ist (let Begriff der Mel.~l)arkeit einer F u n k t i o . a lMn durtql ~ gegeb(,n, und die Nullmengen, d. h. (lie Mt'J~gen vom iiui,M'en Mal.~ Null. mit deren llilfe <-" .ia (h,finiert ist, sind die Teilmengen der m(.~har(m Nullmengeu. Es besteht ~lso die folg(,nde Vers(qV, irfung ,hm Satz 4.

Satz 5. i s t das ohere Integral ~on / iiber M vorhanden und die l#a,~klio~ /* ye,miifi

A'atz 2 kon.~tru ,~.r/, .,'o b ~ l&4 {* hi n,~',ct~tl, oh, der Relat io,Jb ~ ' ,n ler de'~ m~;flbaren F ~ hid io ~ '~

g, d.ie d~r (rnyleicl~,~tn(/ / r<~' g genii, yen,, e, ine k:lei~.vte.

B,'w,'is. gs('ieines.MwFunlcti(m. WirzerlegenMin (lie zm,l.lbarenMeng,.nK la':g(.rl~( I] und L =- {x :g(x) <..(I}. \Vi[' im Beweis z, Satz 4 er...qbt sich. dal.l.f*(.r) <: if(x) s.w.hl ill K als alu'h in L fast iilmrall gill, als~ a,('h fast iil)erall in M.

Literaturverzeiehnis

I l l K. I<.tcKl~.mr Zur Tlwm'h ~ des oberen und mm,r .n Integrals. I U.)5:-~ ).

[~] ]IAIIN-J{()~,E~,TIIAI,, SP{- functions. All)uquerquo /ilqS.

Malh. Nachr. 9, 8~i -128

Ehl,_"(,FanFeul am 2. 1(). 1!153