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Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Philipp Kranen
Extremal Combinatorics
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Gliederung
• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung
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Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Einleitung
• Prinzip der Inklusion und Exklusion• Siebformel• Das Sieb des Eratosthenes
• Verbindet die Kardinalität einer Vereinigung von Mengen mit der Kardinalität von Schnittmengen einiger dieser Mengen (letztere sind oft leichter zu Bestimmen)
• Bsp.: 2 Mengen A und B| A U B | = | A | + | B | - | A ∩ B |
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Einleitung
• Bsp.: 3 Mengen
|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B|- |A∩B|- |A∩B| + |A∩B∩C|
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(II)
A B
C
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Einleitung
• Bsp.: 3 Mengen
|A U B U C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B|- |A∩B|- |A∩B| + |A∩B∩C|
• Allgemein: Siebformel
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(II)
A B
C
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Einleitung
• Name „Inklusion und Exklusion“• Überschätzen, falls k ungerade• Unterschätzen, falls k gerade
• Bonferroni-Ungleichungen• Zunächst entdeckt von Ch. Jordan• Später auch von Bonferroni• Heute: Diverse Erweiterungen und
Verbesserungen der Ungleichungen
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(III)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Übersicht
• Einleitung• Inklusion und Exklusion
• Das Prinzip• Anwendungen
• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung
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Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Schreibweise►
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Schreibweise
• Satz 1:
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Beweis
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Beweis
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Beweis
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Beweis
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Satz 2:►
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(III)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Satz 2:
• Beweis
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(III)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Satz 2:
• Beweis
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(III)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Das Prinzip
• Resultat
• Alternative Schreibweise
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(IV)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Wieviele Zahlen ≤ 1000 sind durch 3, 5 oder 7 teilbar? Lösung (Satz 2):
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Wieviele Zahlen < 1000 sind durch 3, 5 oder 7 teilbar? Lösung (Satz 2):
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Wieviele Zahlen < 1000 sind durch 3, 5 oder 7 teilbar? Lösung (Satz 2):
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai , i є I aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai , i є I aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai , i є I aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Wieviele Elemente gehören zu allen Ai , i є I aber zu keinem Anderen? (Spezialfall: Satz 1)
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Derangement-Zahlen• Derangement = Permutation ohne Fixpunkt• Wie groß ist die Anzahl der Derangements?
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(III)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Derangement-Zahlen• Derangement = Permutation ohne Fixpunkt• Wie groß ist die Anzahl der Derangements?
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(III)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Derangement-Zahlen• Derangement = Permutation ohne Fixpunkt• Wie groß ist die Anzahl der Derangements?
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(III)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Inklusion und Exklusion: Anwendungen
• Derangement-Zahlen• Derangement = Permutation ohne Fixpunkt• Wie groß ist die Anzahl der Derangements?
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(III)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Übersicht
• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung
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Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Bonferroni-Ungleichungen
• Die Ungleichungen
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Bonferroni-Ungleichungen
• Beweis
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Bonferroni-Ungleichungen
• Beweis
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Bonferroni-Ungleichungen
• Beweis
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Bonferroni-Ungleichungen
• Beweis
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Übersicht
• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni Ungleichungen• Erweiterungen
• Inklusion und Exklusion• Bonferroni-Ungleichungen• Anwendungen
• Zusammenfassung
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Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Erweiterungen: Inklusion und Exklusion
• 5 Mengen → 2 - 1 = 31 Schnittmengen• |U A | = |A | + |A | + |A |+ |A |+ | A |
- |A ∩ A | - |A ∩ A | - |A ∩ A | - |A ∩ A |• 9 statt 31 Terme
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(I)
i 1 2 3 4 5
1 2 2 3 3 4 4 5
5
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Erweiterungen: Inklusion und Exklusion
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Erweiterungen: Inklusion und Exklusion
• Verwendung von „Messfunktionen“
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Erweiterungen: Bonferroni-Ungleichungen
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Erweiterungen: Bonferroni-Ungleichungen
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Erweiterungen: Anwendungen
• µ beispielsweise ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses• Wahrscheinlichkeitstheorie• Verläßlichkeitsanalyse
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(I)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Übersicht
• Einleitung• Inklusion und Exklusion• Bonferroni Ungleichungen• Erweiterungen• Zusammenfassung ►
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Zusammenfassung
• Berechnung der Kardinalität m.H.v. Kardinalitäten von Schnittmengen
• Näherung mit Hilfe der Bonferroni-Ungleichungen• Exakter durch erweiterte Gleichungen
• Einsatz von „Messfunktionen“• Bsp.: Wahrscheinlichkeiten
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Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Fragen
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
• Platziere 3 Paare um einen runden Tisch. Wieviele Möglichkeiten gibt es, dass• keiner neben seinem Partner sitzt?• sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?
• Insgesamt gibt es 5! Möglichkeiten, die 6 Personen um den Tisch zu platzieren.
…
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
… keiner neben seinem Partner sitzt?
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Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
… keiner neben seinem Partner sitzt?
…
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
… sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?
…
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
… sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?
…
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
… sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?
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Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
… sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?
…
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
… sich keine zwei Frauen gegenüber sitzen?
…
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Ende
Danke
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
• Graphfärbung mit r Farben
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(II)
Philipp Kranen Das Prinzip der Inklusion und Exklusion
Weitere Anwendungsbeispiele
• A sei nxn Matrix mit Aij є {-1, 0, 1} und Aii = 0. Dann gilt det(A) ≠ 0.
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(III)