Embed Size (px)
Citation preview
DAUS I DADES lllEl pas de la incertesa al risc
DAUS I DADES lllEl pas de la incertesa al risc
© Edició: Institut d’Estadística de les Illes Balears (IBESTAT) Direcció del projecte: Andreu Sansó Rosselló Coordinació general: Damià Perelló Femenia i Sara Fernández Vázquez C/ de Sant Sebastià, 1 07001 Palma (Mallorca) Telèfon: 971 784 575 Fax: 971 784 579
Autor: Javier Cubero
Gestió i producció: inrevés SL Il·lustracions i maquetació: Alex Fito Coordinació i guió adaptat: Pere Joan
Col·lecció: Estadística al carrer. Volum 3 Títol: Daus i dades III. El pas de la incertesa al risc Núm. IBESTAT: 4/2008 Dipòsit legal: PM 1.822-2009
Impressió: Planobal Data d’edició: 2008
© Drets de reproducció: Institut d’Estadística de les Illes Balears (IBESTAT)
PRESENTACIÓ
A 0mb la constitució de l’Institut d’Estadística de les Illes Balears (IBESTAT), aquest 02008, com a entitat autònoma, s’ha volgut fer una passa molt important en
tot allò que ha de ser la vertebració d’un vertader sistema estadístic per a la nostra comunitat autònoma. També ha estat un moment d’anàlisi i de reflexió sobre la fei-na que ja s’havia dut a terme en etapes anteriors i que, per la seva qualitat i vàlua, calia recuperar i projectar cap al futur. Aquest ha estat el cas de la col·lecció Daus i dades, que amb Javier Cubero com a autor, ha estat capaç de trobar una formulació molt pedagògica per fer arribar els grans conceptes estadístics a amplis sectors de la població, entre els quals cal esmentar especialment els més joves.
El format amable i atractiu que comporta l’ús del còmic com a suport l’ha fet gai-rebé únic en la seva especialitat, però no per això mancat del rigor ni del nivell que requereix una publicació de caràcter científic com aquesta. Això ha comportat que les dues edicions anteriors, que es materialitzaren sota els auspicis dels directors generals d’Economia Antoni Monserrat (volum I) i Maria Marquès (volum II), tenguin la necessitat de ser reeditats i completats amb un tercer volum que tancarà una tri-logia molt completa pel que fa al coneixement dels principis estadístics. Tot aquest procés s’emmarca en la voluntat de fomentar l’estadística com a disciplina útil per al coneixement de la realitat que ens envolta a partir d’elements que aparentment són senzills, però que tenen un gran abast formatiu.
Per acabar, voldria agrair la col·laboració de totes les persones que han participat en l’edició d’aquest material didàctic, tant pel que fa als creatius i dibuixants com als tècnics. Igualment, m’agradaria encoratjar totes les persones perquè s’acostin a aquestes publicacions a descobrir-hi tot un món ple de coneixements que sens dubte ens ajudaran a comprendre millor la nostra realitat d’una manera més apassionant i racional alhora.
Andreu Sansó Rosselló
Director de l’IBESTAT
Capítol 1 - GEORGES LOUIS LECLERC pàg. 6
Capítol 2 - SIR FRanCIS GaLtOn pàg. 23
Capítol 3 - PaFnUtI ChEbyShEv pàg. 51
ÍNDEX
7
ELS PERSONATGES
Capítol 1
GEORGES LOUIS LECLERCComte de buffon (1773)
Montbard, borgonya, 1707 – París, 1788
Matemàtic i naturalista francès.
Estudis de la mecànica, l’astronomia, la medicina…, la teoria dels nombres, el càlcul, la geometria i la probabilitat.
És famós en aquesta darrera matèria pel seu curiós experiment de determinar moltes xifres decimals en el valor del nombre ∏ tractant-ho com una
experiència de probabilitat geomètrica coneguda com l’agulla de Buffon.
9
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Una altra vegada plegats. I ja tenim problemes per
resoldre! Ara hem de realitzar un treball sobre:
nombres índex.
Això… no és
allò de l’IPC i
tots aquests
numerots
econòmics
que cada dia són
més complicats
i van com van?
O sigui, si el meu
padrí comprava
una ensaïmada a 6
pessetes…
Què?!
Un poc menys de 0,04 €.
Ho repetesc: menys de
quatre cèntims.
Doncs vaja
una època per
comanar-nos el
treball, en un
altre moment
hauria tingut
èxit.
…i ho comparam
amb el que ens
costa avui…
10
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Bé, una mica d’això
i de moltes coses
més que comparam;
doncs fixau-vos,
podríem pensar el
següent:
Quants dies o hores o minuts, havia de treballar
el meu padrí per comprar una ensaïmada? ...
i, quants n’hauria de treballar jo, avui dia?,
i, seria una ensaïmada d’iguals característiques?
Sense voler ens hem acostat
als conceptes de deflactació,
preu en unitats constants,
índex de preus, i fins i tot, de
molt lluny, al de preu hedònic.
Has passat una
mala nit...,
no és ver?
Doncs el que sí que veig és que hem
d’inventar alguna cosa general que
defineixi aquestes comparances i
d’altres que poguessin sorgir.
I hauria de tenir tractament
matemàtic perquè es pogués
aplicar correctament.
11
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Doncs ho tenim:
són… els nombres
índex. Mirau la
pantalla
Aquesta pantalla
queda molt bé i amb
uns dibuixos animats…
Millor!
Però…, què vol dir?
Doncs que el
nombre índex és el
quocient entre dues
quantitats.
Verbigràcia: l’índex
de preus del melicotó
prenent com a base l’any
2000 i com a actual,
l’actual any 2008, seria…
Deixau-la sola!
Deixau-me la
pissarra…
12
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Us aclaresc que encara que per
operar ho farem com indica la pissarra,
generalment per exposar-ho es
multiplica el resultat per cent.
Llavors ho dónes
en tants per cent.
BONA! Eureka!
“un”!
Na Grafi i jo vàrem anar a la
biblioteca i hem observat algunes
propietats dels nombres índex.
Hem elaborat uns gràfics
que poden servir-nos per
al treball. Mirau!
13
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
IDENTITAT
INVERSIÓ
CÍCLICA
14
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
CIRCULAR
Doncs crec
que ens ajudarà
bastant.
Dediquem ara una bona estona,
en cos i ànima a… divertir-nos.
I quan se’ns oblidi aquesta
estona tornam a començar.
Bé, entre poc i massa!... Crec
que podríem divertir-nos però
per a la setmana que ve ens
repartim una sèrie de tasques.
Les podríem fer a la sala
de noves tecnologies;
Ens deixen usar-la.
I amb totes fer una
exposició privada
per nosaltres, amb
nosaltres i per a
nosaltres.
15
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Una setmana després
La visió i el
continent són
extraordinaris.
No us despisteu, veiem-ne
els continguts.
Això vol dir que si el
preu d’un producte l’any
2007 era de 30 € i el 2001
era de 25 €… L’índex és:
16
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
A veure…
si ho he entès…
El preu ha augmentat
el 120 – 100 = 20 %
O sigui, si, del producte
anterior, l’any 2007
en vàrem comprar 200
quilograms i l’any 2001
n’havíem comprat 300...
Perfecte!
O sigui, en compram
un 33,3% menys.
Ssssss!
17
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Ja ho hem complicat!
Clar, el valor
d’un producte
serà el preu per
la quantitat.
Valor dels melicotons és
igual a preu del quilogram de
melicotons per quantitat de
melicotons comprats.
Que curiós!
L’índex de valor és igual al
producte de l’índex de preus
per l’índex quantitatiu.
Què?!
…de quantitats,
però dir quàntic
és més divertit.
Sort que ho has dit
perquè jo em pensava
que Quàntic era això
del FBI de l’anàlisi
de personalitat,
que crec que és en
aquesta ciutat.
Bé, deixau estar les
bromes i deixem també
els índex simples, així
la setmana que ve els
complicarem.
Ja en una experiència
anterior vàrem parlar
de Laspeyres i Paasche…
Podríem...
18
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Som-hi!
ÍNDEX LASPEYRES DE PREUS
Lp
ÍNDEX LASPEYRES QUANTITATIU
LQ
Fer el mateix que hem
fet amb els índexs
complexos ponderats.
19
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
ÍNDEX PAASCHE DE PREUS
Pp
ÍNDEX PAASCHE QUANTITATIU
PQ
20
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Ara establirem unes
quantes fórmules
a la pissarra per a
completar el treball.
21
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Ha, ha, ha
Moneda constant, la que
regeix en el període estudiat.
Moneda corrent, la de cada període.
Gauss, tu vares dir al
principi alguna cosa
com ara “explosió” o
“deflagració”.
Mira que t’agrada
fer l’ase!
Vas parlar de
deflactació i crec que
interessa saber passar
de moneda corrent a
moneda constant.
O sigui:
22
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Doncs, si deflactació és el pas a moneda
constant i s’usa normalment Laspeyres, i
algunes vegades també Paasche…
Farem un darrer
exercici…
Vegem primer el
menys simpàtic.
Però després… Perquè aquest
capítol el dedicam al Comte de
Buffon i hauríem de fer alguna
cosa d’ell.
Unes mamballetes per en Gauss
que ho ha fet tan bé!
No!... Sort que
ja ha acabat.
Uff!
23
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
L’AGULLA DE BUFFON
El nombre π és freqüent i important en realitzacions estadístiques, i el comte de Buffon, mitjançant un ex-periment que de forma simple i senzilla exposam a continuació, va ser una de les moltes persones que van dedicar esforços a la tasca de descobrir com més xifres millor d’un nombre que en té infinites.
Experiment:
Prenguem un full de paper, tracem-hi vuit particions iguals separades per segments com indica la figura, i obtinguem un palet amb longitud “p“ igual a la distància entre els segments, ja sigui retallant-lo o mesurant primer el pal i després les divisions del full.
Veureu que el nombre resultant s’aproxima estocàsticament a π a mesura que les tirades són més nombroses.
Realització:
Llancem el pal sobre el full. Com més vega-des, millor (llançaments suaus), i anotam el nombre total de llançaments, al qual ano-menarem t. Anam, al mateix temps, comp-tant les vegades que d’aquests llançaments l’agulla talla les retxes vermelles; a aquest recompte l’anomenarem C.
nombre de llançaments t
nombre de talls C
Sí
no
El recompte el pots fer com ho indicam en una de les nostres experiències.
Una vegada que tingueu els vostres resultats, efectuau l’operació següent:
t =
C =
............................. = 1.103
....................................... = 702
24
Capítol 1 – Georges Louis Leclerc
Sala de π en el “Palais de la Decouverte”. París
Capítol X
SIR FRanCIS GaLtOn(1909)
Duddeston, 1822 – haslemere, 1911
Antropòleg i geògraf, va crear l’escola biomètrica anglesa.Una vegada acabats els seus estudis, va realitzar grans viatges amb l’objectiu d’investigar, com el seu cosí Charles Darwin.És un dels traductors dels mètodes estadístics aplicats a la Biología conjuntament amb en Karls Pearson que curiosament és autor d’una biografia del personatge tractat.Entre molts altres temes va ser el primer en explicar el fenòmen de regressió mitjana i emprar la línia de regressió; va ser un dels pioners en l’ús de la distribució normal.El seu enginy el va dur a construir la màquina de Quincunx.
Capítol 2
SIR FRanCIS GaLtOn(1909)
Duddeston, 1822 – haslemere, 1911
Antropòleg i geògraf, va crear l’escola biomètrica anglesa.Una vegada acabats els estudis, va realitzar grans viatges amb l’objectiu d’investigar, com el seu cosí Charles Darwin.És un dels introductors dels mètodes estadístics aplicats a la biologia conjuntament amb Karls Pearson, que curiosament és autor d’una biografia del personatge tractat.Entre molts altres temes va ser el primer a explicar el fenomen de regressió mitjana i a emprar la línia de regressió; va ser un dels pioners en l’ús de la distribució normal.El seu enginy el va dur a construir la màquina de Quincunx.
26
Capítol 2 – Sir Francis Galton
ALLÒ era una classificació: en
discretes i en contínues.
Un poc d’aire ens anirà bé per
refrescar les idees. Recordau quan
xerràvem de variables aleatòries?
Allò del llagost
i el caragol…
Esperau, que m’agradaria fer un
dibuix, per si… refresca la idea
de variable aleatòria.
Idò no està malament.
fan planta!
27
M’ho explicau,
per favor.
Aquesta cartera que
els acompanya sempre,
deu ser “la probabilitat”,
no és ver?
I per què? Encara que es
veu bé sembla moguda.
Afirmatiu. Tota variable
aleatòria té sempre
annexionada en si una
probabilitat.
La variable aleatòria pot adoptar diversos valors, en alguns casos infinits,
cada un amb el seu acompanyant inseparable que és la probabilitat.
I la suma de totes
les probabilitats ha
de ser sempre U.
0,15
0,100,50
0,25
Capítol 2 – Sir Francis Galton
1
28
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Llavors, com es dibuixaria
això de contínua i discreta? Em
sembla que aquesta darrera
serà més difícil o… no serà
gaire discreta.
Això de discreta no
és per calladeta, sinó
perquè els valors no
són continus. peguen
bots.
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Sabent que p1+p2+p3+ ... + pk = 1
DISCRETA
CONTÍNUA
p1
p2 p3 p4p5 pk
29
Posem aquests dos dibuixos en un pla un poc més seriós.
La tirada d’un dau DISCRETES
Igual probabilitat
O si ho miram amb perns, per exemple.
Perns defectuosos 3%Perns bons 97%
DISCRETES Distinta probabilitat
Probabilitat
Però aquesta no s'assembla
a la variable de Bernoulli?
Sabent que
3%
97%
Capítol 2 – Sir Francis Galton
30
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Això és allò que deia “si tir
una moneda a l’aire, tenc la
probabilitat 0,5 que surti
cara i 0,5 que surtir creu”.
Que no deu ser el mateix
que tenir mitja probabilitat
de cara i mitja de creu.
Però… Que dius!
Ho veus, no
n’encert ni una…
Mira, tu el que has
de fer és…
Pensar molt les
coses i quan hi
hagis pensat bé…
Digues el contrari i…
l'encertaràs!
hA! hA! hA! hA! hA!
Si l’experiment de
Bernoulli es repeteix…
Podem tenir
la distribució
Binomial.
Sí, però abans fixeu-vos en
això… una transparència
amb les característiques
més importants.
31
Molt bé! I ara tornem a la
binomial. …Què en sabem?
doncs que en cada realització tan sols
hi ha dos resultats possibles: èxit i fracàs,
amb dues probabilitats que sumen u.
Repetim l’experiment
n vegades; cada
prova que repetim és
independent…
No tenen res a veure
l’una amb l’altra…Seguesc… És
independent de les
altres.
La probabilitat d’èxit
és igual en totes les
repeticions.
DISTRIBUCIÓ DE BERNOULLI
Sent p la probabilitat d’èxit i (1-p), com és lògic, la de fracàs
La seva mitjana o esperança
La seva variància
Capítol 2 – Sir Francis Galton
32
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Va bastant bé.
Anar… potser va bastant bé,
però a mi, si no em dius una
verbigràcia, com diu na 55…,
no em ve.
Quants perns defectuosos
esperam trobar en una caixa de
1.000 unitats?
La probabilitat que un pern sigui defectuós és de 0,03.
Per tant, la probabilitat que
no ho sigui és de 1 - 0,03 = 0,97.
Això va un poc millor.
doncs, crec que és
l’hora de la binomial.
Funció de probabilitat de la variable aleatòria BINOMIAL
33
Quina probabilitat tenc que em
surti un pern defectuós si en
compr quatre?
Un altre problema! I
que me’n surtin dos si en
compr quatre?
Apa! i que
me’n surtin
tres si en
compr quatre?
Vaja! i que m’en
surtin quatre de
defectuosos si en
compr quatre?Seguesc! i que
me’n surtin cinc
de defectuosos
si en compr
quatre?ouu! Atura! Que la
probabilitat és zero.
Uf! Buf! Puf! Aquí veig moltes classes de
problemes, sí, de vertaders problemes…
Per exemple…
Doncs tenc un gràfic amb el qual responem
a n’Endevinall en tot el que ha demanat.
Capítol 2 – Sir Francis Galton
34
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Si ens hi fixam, la probabilitat de comprar-ne zero
de defectuosos en quatre perns és:
I la suma seria:
doncs són totes les oportunitats possibles.
35
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Sí, però de la meva
pregunta, què?
Els perns defectuosos que
"esperam" en comprar-ne 1.000?
l’esperança, o sigui, la mitjana…
Estic esgotat, per què no ho
deixam per a la setmana que ve… i a
veure si donam la campanada de Gauss
xerrant de la distribució Normal.
D’acord!
perns defectuosos
36
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Aquí duc el meu
treballet, amics!
Funció de densitat normal n[µ, o- 2]
SIMÈTRICAMESOCÚRTICA
Això teu bé, passem a
veure el de na Grafi.
µ
95% de la població
µ - 1'96σµ+1'96σ
µ90% de la població
µ - 1'645σµ+1'645σ
µ
37
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Funció de densitat
Funció de distribució acumulada
La darrera integral, per
ara, la deixarem; de tota
manera sabem alguns
valors. Quins són?
La
És la suma de totes les
probabilitats.
Correcte.
Així no hi hauria cap
oportunitat.
Doncs jo el que sabia era
que la mitjana, mediana i
moda coincideixen en una
distribució Normal i he
fet el dibuix de la pàgina
següent.
I la
perquè és simètrica i
a més el màxim (MODA)
coincideix amb la mitjana.
38
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Alehop!
ExtraordinariDoncs el mateix que
ha intentat simplificar
a la seva manera
n’Endevinall, així es
va proposar una
simplificació amb la
distribució Normal.
Tipificant-la?
És veritat…
tipificant-la o
estandarditzant-la.
da-li!
da-li! i
Da-liiii!
Tipificar és restar a cada variable la seva mitjana i dividir el resultat per la seva desviació típica.
39
Capítol 2 – Sir Francis Galton
D’acord, i, què
aconseguim?
Que la mitjana es converteixi en zero
i la seva variància en 1.
I totes es poden
estandarditzar…
És clar que sí!
doncs Per què he
perdut el temps
estudiant tot això?
vegem d’una
manera molt
clara la
distribució
Normal
Estàndard i des
d’ara me les
donau totes
tipificades.
Així me n’aprenc una i
les resolc totes.
n[0,1]
Funció de densitat
Funció de distribució acumulada
95%
-1'96 +1'960
40
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Endevinall, jas una taula amb tots els valors
d’aquesta darrera n[0,1] calculats:
O sigui, que quan és una
Normal “normaleta” es posa
n[µ, ] per simplificar, i quan
és normal estàndard s’indica
amb n[0,1].
Creieu de
veres que això
que fem és
normal?
Anem de passeig una estona,
a veure si ens normalitzam.
Veritablement tipificat no
sé si hi estàs, però típic sí
que ho ets… vaja si ho ets.
taula 1: Funció de distribució normal estàndard
41
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Una altra jornada i un
altre dia de camp i feina;
comencem per recordar
el concepte de graus de
llibertat.Estau confosos, això no és
llibertat, és presó de primer
grau, de tercer grau…
No té res a veure
amb presons, ni amb
maldats.
llançaré un
dau sense que
n’Endevinall el vegi.
Llavors…
Diguem-ne que és un
concepte estocàstic, de
l’atzar.
Definim-lo mitjançant
un entreteniment.
Ell provarà d’endevinar-ne el
resultat. Grafi, per favor, duu
els comptes.
42
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Ha sortit U.
Ha sortit un SIS.
Ha sortit un QUATRE.
Vinga, ha sortit CINC.
TRES.
Has fallat.
Has fallat.
Has fallat.
Tens una altra oportunitat.
Tens una altra
oportunitat.
una altra!
una altra
oportunitat.
Has fallat.
Ni que fos beneit, ara sí que
és el DOS segur.
mira, el dau té SIS
oportunitats de mostrar
una cara distinta.
Has fallat.
43
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Cal emplenar
les caselles
amb nombres
qualssevol, amb
la condició que
sumin els totals
ja definits, tant
en files com en
columnes (els
nombres poden
ésser negatius).
Però tu només n’has
hagut de triar CINC.Has tengut cinc
graus de llibertat.
Ja que la teva darrera
elecció era forçada, com
molt bé has dit.
Quantes caselles podeu
emplenar lliurement?
O el que és el mateix: quins
seran els Graus de llibertat?
Compliquem un poc la cosa.
Toca pensar:
44
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Això m'agrada; en l’horitzontal és
forçós posar-hi 12 i en la vertical, 3.
Podria emplenar tots els
quadres de color, mentre que els
quadres “en blanc” vénen forçats.
És a dir, tindríem
Ara! Ara sí…
O sigui: GRAUS DE LLIBERTAT:
Per aquí he vist que hi ha una
distribució que es diu… no sé
què d’en… Pearson.
[nOMbRE COLUMnES – 1] x [nOMbRE FILES – 1]
4 x 7 = 28 graus de llibertat
45
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Aquesta sí QUE la sé; es diu khi quadrat de Pearson.
La fórmula
d’aquesta
distribució sí que
és complicada…
Per aprendre-la,
nosaltres la veurem d’una
altra forma:
2n) triarem les que siguin independents entre si.
a) Pot ser només una.b) Podrien ser de la forma N( µ 1) però nosaltres sempre
donarem per suposat que són estàndards, per simplificar-ne l’estudi.
[ ]2
1r) Prendrem un cert nombre de distribucions normals estàndards.
n[0 1] n[0 1] n[0 1]
{n[0 1]}2
{n[0 1]}2
{n[0 1]}2
[ ]2
[ ]2
3r) Les elevam al quadrat:
46
Capítol 2 – Sir Francis Galton
4t) Les sumam.
nID: normals independentment distribuïdes.
O sigui, és una khi quadrat
amb “v” Graus de llibertat.
generalment els Graus de llibertat
es representen amb aquesta lletra, “v”,
que és la n grega, la “nu”.
Vull dir que els
Graus de llibertat són
el nombre de Normals
que sumam.
Exacte.
A veure!
A veure si
ho veig.Si prenc 5 distribucions
normals tipificades
independents entre si,
les elev al quadrat i
després les sum, en
surt una.
47
Capítol 2 – Sir Francis Galton
I més encara, d’aquesta
distribució sabem que la seva mitjana
serà 5 i la seva variància serà 10.
La mitjana és igual als
graus de llibertat, i la
variància, al doble.
n'Examinarem els gràfics.
• Funció de densitat de la
Les representacions són distintes segons els graus de llibertat.
• Funció de distribució de la
Sempre poSitiuS
48
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Doncs l’únic que em
resta per dir és:
Què?
Que és
productiva.
Vull dir… el següent:
Uf! D’acord…
Això s’anima.
Recordeu-vos d’aquell senyor… què nomia? Sealey
Gosset, que per a publicar els seus estudis havia
de posar un pseudònim…
Student.
Sí! Doncs té una
distribució, la “t” d'Student.
Pobre home, amb pseudònim i la
seva distribució amb minúscula.
49
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Crec que serà millor indicar-la
a un full de na Grafi.
La “t” també té
Graus de llibertat.
PLatICÚRtICa
SIMÈtRICa
Sí, però són els mateixos
que té la khi quadrat.
I la mitjana o esperança:
Aquesta distribució
ens serà molt útil quan
haguem de fer feina amb
mostres petites.
I la variància és:
50
Capítol 2 – Sir Francis Galton
I els seus gràfics són:
Un gran detall!
Ja està béééé!
• Funció de densitat de probabilitat de tv
• Funció de distribució de probabilitat de tv
Un petit detall:
51
Màquina de Galton
Caixa amb artefacte perquè vagin caient les boletes, que aniran xocant aleatòriament amb uns claus situats com es veu a la figura, per al final caure sobre l’encasellat de la base.
Les boletes, en xocar amb els perns, tenen la mateixa probabilitat d’anar a la dreta que a l’esquerra.
Capítol 2 – Sir Francis Galton
Recordem una experiència realitzada en el primer tom.
52
Capítol 2 – Sir Francis Galton
1.000 boletes
100.000 boletes
infinites boletes
Tindrem com a resultat, quan el nombre de boletes sigui prou gran, una col.loca-ció sobre els casellers que s’aproparà a la forma de la distribució normal.
Capítol X
SIR FRanCIS GaLtOn(1909)
Duddeston, 1822 – haslemere, 1911
Antropòleg i geògraf, va crear l’escola biomètrica anglesa.Una vegada acabats els seus estudis, va realitzar grans viatges amb l’objectiu d’investigar, com el seu cosí Charles Darwin.És un dels traductors dels mètodes estadístics aplicats a la Biología conjuntament amb en Karls Pearson que curiosament és autor d’una biografia del personatge tractat.Entre molts altres temes va ser el primer en explicar el fenòmen de regressió mitjana i emprar la línia de regressió; va ser un dels pioners en l’ús de la distribució normal.El seu enginy el va dur a construir la màquina de Quincunx.
Capítol 3
PaFnUtI ChEbyShEv
1821 - 1894
Matemàtic rus també conegut com Tchebychew, Chebychev o Cebisev.Va defensar la tesi Un intent d’anàlisi elemental de la teoria probabilística.Va rebre la medalla de plata pel treball Càlcul de les arrels de les equacions.La dissertació de la integració amb ajuda d’algoritmes, el va fer aconseguir la plaça de professor titular a la Universitat de Sant Petersburg.Però és més conegut entre els estudiants d’estadística, principalment, per la seva Desigualtat de Chebyshev.
Que en un cas pràctic seria:
“La probabilitat d’un element per a qualsevol distribució estadística de trobar-se entre la mitjana i menys dues desviacions típiques, i la mitjana més dues desviacions típiques és major que el 75%”.
54
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
i pens...
hA!
hA!
hA!
Bé… vull pensar que
l’estadística em serviria.
Per exemple,
si pos una fàbrica
de camises i calçons
moderns…
Explica’t… i t’anirem
posant els emperons.
ja ho val!
Bé, podria fer una estadística
d’alçades i dimensions de tots
els possibles clients…
També podria fer una
estadística sobre el
gust en el vestir…
55
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
És a dir:
Podria saber quines
talles he de fabricar
i quines quantitats de
cadascuna.
Has esmentat tantes coses,
bastant bones, que crec
que les hem de definir
conceptualment, per la
importància que tenen.
Anem a la biblioteca virtual,
ens informam, preparam el
tema… a veure com surt…
gens
ni sí
ni n
o
una
mic
a sí
mol
t
amb
boge
ria
56
Donau-me material
i fabricaré una
presentació.
Haurem de reunir totes
les imatges, veure'n les
repeticions...
escollir i
determinar les
que hi falten.
Però, primer
s’han de
realitzar…
Faré un filtre
de les imatges
elaborades.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
57
Crec que la primera
imatge ha de ser…
Individus. O sigui, un
conjunt de persones!
No, específicament…
fixa-t'hiElements o individus.
Que poden ser
persones, arbres,
taules, bigues, gustos,
il·lusions, porcs,
elefants…
“allò que vulguem estudiar”.
Tots i cadascun dels
elements (individus) dels quals
es vol tenir una informació.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
58
d’aquests elements podem
estudiar-ne una o diverses
característiques, no és vera?
Sí! És a dir, les
variables… que poden
ser quantitatives i
qualitatives.
A aquestes últimes les
anomenam correntment
atributs.
O sigui! Si volem trobar la
mitjana (mitjana aritmètica)
d’una variable de certa
població… aquesta variable
pot ser l’estatura.
Estatura (Quantitativa) Elegància (Qualitativa)
Pes (Quantitativa)
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
59
Sumem les dades d’aquesta
variable, estatura, i dividim
la suma entre el nombre
d’elements de la població.
Perfecte!
Teòricament…
Com que teòricament?
Perfecte i ja està!
No, perquè de vegades
no podem prendre les
mides de la població.
Per què?
Crec que hauríem de veure'n alguns exemples.
Doncs a veure
qui els inventa;
premi al millor.
Verbigràcia… servidor
posa l’exemple número 1:
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
60
Mesurar la resistència mitjana de les
bigues de la fàbrica “La Resistent”.
Quan hàgim provat totes les bigues, podrem trobar la resistència mitjana.
i haurem de sortir corrent, ja que gràcies al nostre estudi,
el fabricant en sabrà molt de la resistència de les bigues...
A veure, posem pesos fins que la biga es
rompi i així sabrem quant de pes resisteix.
En el moment que es rompi, apuntam el pes que
hi hem col·locat, i aquest serà la resistència.
però no en podrà vendre cap…
Totes estaran rompudes!!!Ara propòs el meu,
exemple número 2.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
61
Provarem la qualitat de les pomes
de la fruiteria “La fruita d’or”.
Per a això tastarem les pomes i les qualificarem
com a: Extraordinària, Molt bona, Bona, mitjancera.
Endevinall, què penses?
Extraordinària
Molt bona
Bona
mitjancera
nyam! nyam! nyam!
enquestacompletada
Que correm, pareix que ens volen regalar una carbassa…
...d’una forma
molt estranya.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
62
Idò, a veure si el meu no acaba malament. Exemple número 3:
M’han demanat que
trobi el pes mitjà
de tots els porcs
de l’empresa “Cort
la Porcella”.
Ja sé quina n'és
la població…
però els porcs,
de quantes potes
són?
De quatre, home… de quatre. Els pesaré d’un en
un, i posteriorment en calcularé el pes mitjà.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
63
Uf! He de repetir tot el
procés, ja que sembla
que els primers que vaig
pesar han engreixat.
Potser, es podria
arreglar; tenint moltes
de balances i molts de
pesadors.
Que han
engreixat?… si
pareixen elefants.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
64
Però per a això
cal tenir molts de
doblers per gastar en
l’estudi, i generalment
el pressupost és
ajustadet.
I ara que estam
en crisi!...
Diràs que "estan" en
crisi, perquè nosaltres
sempre hi estam.
Unes vegades per raons econòmiques,
d'altres vegades per destrucció de
la població, etc., pareix que no podem
treballar amb la població.
Doncs haurem
d’”estimar”
d’una altra
manera els
paràmetres que
ens demanen.
He sentit
“paràmetre” i
“estimar”; això
segon ho conec:
jo estim molt
n’Azareta.
Però no sé què pinta aquí això primer,
aquesta “paraulota” que no conec.
Paràmetre és un valor
fix, únic, encara que
pugui ser desconegut.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
65
És a dir, sumam els nostres pesos i dividim entre sis;
el resultat és 47,8 quilos, que és el paràmetre pes
mitjà de la població formada per nosaltres sis.
Per exemple, la mitjana del nostre pes, el dels
sis en aquest moment, que és un nombre, una
variable determinista, un paràmetre.
I això d’”estimar”, què?…
A mi m’interessa molt.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
66
Una estimació, ja ho vàrem dir, és una
aproximació més o menys encertada
d’un paràmetre, o un interval on
pensem que es troba el paràmetre.
Què?
Si tu dius: “d’aquí fins allà, hi ha
devers 15 metres”. Ningú no pensarà
que són 15 metres justos (paràmetre),
sinó que aproximadament n’hi ha 15, és
a dir, una estimació.
O si dius tenc entre
20 i 25 euros, és
una estimació, és una
variable aleatòria.
Mires les butxaques,
comptes, tens 21 €.
Això és un paràmetre, una
variable determinista.
Ara ho agaf!
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
67
Arribam a la conclusió que o bé no es pot
calcular el paràmetre mitjançant la població,
o, generalment, hi trobam moltes dificultats.
Per això haurem d’inventar alguna cosa que
ens doni una aproximació, si és possible, molt
bona sobre el paràmetre, “un estimador”.
Hi ha dues
classes
d’estimadors:
puntuals i per
intervals.
Abans de seguir us vull recordar una escena dels
nostres episodis anteriors sobre estimació.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
68
M’agradaria que veiéssim unes frases
que he trobat a dos cartells.
L’estadística és la ciència que estudia el pas de la incertesa al risc.
Més val encertar aproximadament, que fallar exactament.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
69
Les frases són molt boniques…,
però, a què vénen?La primera és perquè
recordem que quan fem
una estimació, sempre hi ha
un risc d’equivocar-nos,
de cometre un error.
Supòs que ja es deuen
haver fet investigacions
perquè sigui tant petit
com sigui possible.
La segona ens indica
que les estimacions les
hem de fer per intervals,
mai puntualment, ja que,
si no, correm un risc
molt elevat de fallar.
Alguna cosa semblant,
podríem dir que és
veritat amb un cert risc.
Així, en tota estimació, sempre
donarem un interval, bé...
...quan
sapiguem com
fer-ho…
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
70
Us ho dic més clar, continuau
creant problemes.
Però, de quins
problemes parles?
alegria, alegria!
D’acord, tendré un poc de
paciència, però per favor,
no ho compliquem massa.
Ara els
enumer:
1r: Com trobam l’estimador?
2n: On el cercam?
3r: Com definim l’interval?
4t: Com comprovam que l’estimació és acceptable?
5è: Quina utilitat li donarem?
Per això analitzarem diverses
qüestions que al final crec
que et deixaran content.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
71
Mostra: Conjunt reduït d’elements d’una població, extrets convenientment per a un manteniment tan proporcional com sigui possible, respecte d’aquella, de les variables o característiques estudiades; de l’esmentada mostra obtindrem una informació, que podrem inferir-la respecte de la població.
Uaf! Bruuuf!
Veritablement això és
“heavy metal”.
Primer, observem una
definició:
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
72
Farem un esquema i crec
que es veurà millor.
Població
dimensió mostral= 15
Mostra
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
73
M’agradaria explicar-vos quatre
coses sobre l’esquema:
Jo he trobat això:
Doncs jo he trobat que això que hem
fet abans s’anomena “Cens” perquè:
Jo aport el següent:
1r: La població seria molt més grossa, però, perquè el dibuix sigui més clar, suposarem que la dimensió mostral és 75.
2n: La mostra s’ha decidit que sigui de 15 elements.
3r: La mostra s’elegeix per uns procediments que posteriorment veurem; aquí l'elecció és teòrica, per poder establir les definicions bàsiques.
Unitat mostral: És cada un dels possibles components de la mostra.
Cens: L'estudi de tots i cada un dels elements de la població.
Marc mostral: Enumeració exhaustiva de totes les unitats mostrals.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
74
Població marc: És cada un dels possibles components de la mostra.
Coeficient d’elevació: Quantitat d'unitats poblacionals representades per cada un dels components de la mostra.
Fracció de mostreig: Inversa del coeficient d’elevació.
I el que na Grafi va posar a l’esquema seria:
He trobat:
O sigui:
Quina casualitat, jo he trobat:
És a dir, com apareix a l’esquema:
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
a l’exemple: 5
75
Això va bé. Ara hem de contestar el
primer “problema” de n’Endevinall.
Com trobam l’estimador?
En resum vull saber si tinc clars aquests dos conceptes:
Paràmetre: Valor determinista fix, encara que pot ser desconegut.En el nostre cas, calculable a partir de les dades de la població.
Estimador: Variable aleatòria calcula-da a partir d’una mostra; per aproximar-se al paràmetre poblacional.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
76
Jo sé un mètode anomenat dels moments, que consisteix a fer un “copia i enganxa”
de la fórmula que usaríem per calcular en la població, i aplicar-la en la mostra.
Per favor… una ració
d’exemples, que, si no, em
mareig…
Suposem que vull calcular l'estatura mitjana de tots els
joves de 14 a 18 anys de les Balears; mitjançant una mostra.
La mostra estaria ben
escollida, no és vera?hi Entrarien
al·lots de Palma?
SÍ, n'hi entrarien més que de Manacor, perquè la població és més nombrosa a Palma
que a Manacor, i també n’hi entrarien de Santa Eulària, i de Ciutadella… Aproximadament
en la proporció que en aquesta característica comptarien en la població.
Què bé, jo seria candidat a
pertànyer a aquesta mostra.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
77
Anem per feina. Per estimar l'estatura mitjana de la població, efectuaríem
la suma de totes les estatures, i la dividiríem per la xifra de la població.
A veure si ho he entès… Per trobar l’estimació
a partir de la mostra, efectuaríem:.
Si entràs a la mostra, també em
mesurarien… Què bé!!!! Però aquest estimador és un sol valor, o sigui,
és puntual, pensava que havíem quedat que era
millor donar un interval.
Mitjana
Població
Estimació de la mitjana
Mostra
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
78
Els intervals els veurem cap al final, ara farem una pausa
per enfrontar-nos als diferents tipus de mostreig.
Primer farem un llarg
descans, mooooooooolt
llaaaaaaaaarg, i després
veurem les formes de
mostrejar.
D’aaaaacord.
zzzzzz
per amunt!!! som-hi amb el mostreig.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
79
Mostreig
Eina científica que ajuda en la investigació de l'estimació de paràmetres poblacionals.
Supòs que aquesta eina ens ajudarà a
estrènyer els perns, en tots aquells casos
que anteriorment vàrem veure amb la població.
Sí, ajuda quan la població és molt nombrosa.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
80
També quan el mesurament ha de fer-
se amb un procediment destructiu.
Quan hi ha processos
d’alteració.
Vegem, doncs, els
principals tipus de
mostreig:
NO PROBABILÍSTICS
PROBABILÍSTICS
PROBABILÍSTICS
MAS: Mostreig aleatori simple.
Mostreig aleatori sistemàtic.
Mostreig estratificat.
Mostreig per conglomerats.
Mostreig polietàpic.
Mostrejos especials.
NO PROBABILÍSTICSMostreig de conveniència.
Mostreig de judicis.
Mostreig per quotes.
Mostreig de bola de neu.
Comencem per veure
què és aquest "MAS"…
És el mètode conegut més
sencill, però generalment
el menys emprat.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
81
Binomi, ves posant un nombre a tots i
cada un dels elements de la població.
Endevinall, anirem elaborant
1.329 paperetes numerades.
Introduïm
les
paperetes
al barret i
establim la
quantitat
mostral.
Som-hi!
He repartit 1.329 nombres.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
82
Ara ve això de la mà
innocent… Jo!
El 27!
No, ho farà en Gauss; el fet que sigui el
que més en sap de tots nosaltres no vol
dir que no pugui ser el més innocent.
Passi a ser part
de la mostra.
...i així fins a arribar a 20.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
83
Fem algunes transparències de definició i resum del procés.
Equiquè?
El MAS, Mostreig Aleatori
Simple, selecciona la mostra per
processos aleatoris, hi compleix la
condició de ser equiprobabilístic
per a tot element.
Qualsevol element de
la població té igual
probabilitat de formar
part de la mostra.
AMB REPOSICIÓSENSE REPOSICIÓ
El procediment pot ser amb
reposició i sense reposició.
Quin és millor?!
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
84
El millor és amb
reposició, no obstant
això, en poblacions molt
grosses i amb mides
de mostra adequades,
el procediment sense
reposició és molt
acceptable.
Podem usar el barret, o un bombo de
loteria, i per a mostres nombroses
els seleccionarem mitjançant una
taula de nombres aleatoris.
Estan agrupats de
quatre en quatre,
però nosaltres podem
agrupar-los de 5 en 5, o
com vulguem.
Les taules de nombres aleatoris són
generalment a qualsevol llibre d'estadística.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
85
També seria extraordinari prendre com a llista de nombres
aleatoris la dels primers premis de la loteria durant molts anys.
No és gens
extraordinari,
perquè són
nombres aleatoris.
Crec que hauríem
de començar amb el
Mostreig aleatori
sistemàtic.
No, si això d’extraordinari ho dic perquè, si demostram
que no ho són…, Quin caramull de diners guanyaríem.
Han sortit: del primer
bombo, el 5…i del segon, un 7.
Doncs escenifiquem-ho:
75
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
86
I així seguiríem amb la
mostra fins que el nombre
de seleccionats fos igual
a la quantitat mostral.
El mostreig aleatori sistemàtic és com
el mostreig aleatori simple, però amb un
sistema previ de realització; el que s’ha
exposat abans o…
Comencem amb el procés:
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
87
S’utilitza un sol bombo i, posteriorment, al nombre
que en resulta se li suma una constant:
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
88
Això ha estat un exemple; del sorteig, possiblement, en sortiria un altre nombre en un altre
cas, i la constant dependria, llavors, de la població i de la quantitat mostral que s’establís.
Per veure la resta de tipus de mostreig, seria
molt interessant que na Grafi ens elaboràs unes
“pseudopel·liculetes”, que d’això en sap molt.
població total 20+10+5+30+20= 85 ????
d'acord, som-hi.Mostreig
estratificat???
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
89
Tenim una població en la qual hi ha subgrups
internament homogenis, encara que diferents
entre si quantitativament i qualitativament.
Ja hem trobat
els “Estrats”
Les tècniques més
generalitzades són:
Com escollim les quantitats
mostrals de cada estrat?
1r. Mostreig estratificat proporcional.
2n. Mostreig estratificat no proporcional.
3r. Assignació òptima dels estrats.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
Quantitats poblacionals en cada estrat:
N1; N2; N3; N4; N5; N6
Quantitat poblacional:
N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = N
Quantitats mostrals en cada estrat:
n1; n2; n3; n4; n5; n6
Quantitat mostral:
n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 = n
90
Per contestar més directament a en Binomi hauríem
de cercar un nou concepte i les seves classes:
Afixació uniformeUnitats mostrals de cada estrat:
Afixació
Els estrats petits en surten
beneficiats en precisió.
Forma de repartir la quantitat
mostral entre els estrats.
estrat 1
estrat 2
estrat
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
91
Quantitats mostrals de cada estrat:
Desviacions típiques o estàndards de cada estrat:
Totes les unitats de
la població tenen la
mateixa probabilitat de
pertànyer a la mostra.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
92
les dimensions de les mostres de cada
estrat estan influenciades per la variabilitat
i les dimensions mateixes de l’estrat.
Aquí sí que he quedat
un poc fora de joc.
vegem si podem
aclarir alguna cosa.
Estrat 3
Estrat 1
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
93
la quantitat mostral
té aquest mateix
ordre: 3, 4, 2, 1, de
major a menor.
Estrat 3: Mida “grossa” Variabilitat “grossa”
Estrat 4: Mida “petita” Variabilitat “grossa”
Estrat 2: Mida “grossa” Variabilitat “petita”
Estrat 1: Mida “petita” Variabilitat “petita”
Estrat 4
Estrat 2
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
94
És a dir, a més de la mida, es mira si són
molt diferents o són semblants.Va en la línia, però tu ho resols
mitjançant la fórmula.
L’últim tipus d’afixació
que veurem serà la: Afixació óptima
En aquest tipus d’afixació també es té en compte el cost. Les seves fórmules són:
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
95
Veiem un nou tipus de mostreig;
el mostreig per conglomerats.
en Faig un petit esbós.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
96
Primer, desagregarem
la població en grups
heterogenis d’individus.
Seleccionam a l’atzar una mostra
d’aquests grups, als quals
també se’ls denomina àrees o
conglomerats.
Ep! Que dic que
comença a nevar,
al·lots.
Sembla que està
canviant el temps…
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
97
I dels conglomerats seleccionats com a mostra, en fem estudi
censal, o sigui, estudiam tots els individus que els componen.
I així podríem continuar…
amb moltes formes de
mostreig.
El que hem de fer és
continuar a cobro.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
98
Però veient el meravellós
temps blanc que s’està
formant…
Plantegem l’últim esquema i en
el proper… ja ho veurem…
Procés del mostreig
•Definiciódelsobjectiusdel’enquesta.
•Definiciódelapoblacióobjected’estudi. Elements. Unitats de mostreig. Abast. Temps.
•Definiciódelmarcmostral.
•Selecciódelprocedimentdemostreig.
•Establimentdelamidadelamostra.
•Obtenciódelamostra.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
99
Quina
nevada!
Abans que marxem…
He trobat un tipus de
mostreig que hi va
clavat.
Com dius?
Mostreig en bola de neu: consisteix
a fer una primera selecció i que els
enquestats te'n recomanin d’altres
per enquestar i així…
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
100
Estan canviant les coses…, abans n’Endevinall sempre era
el primer de voler partir, i avui és el darrer investigant.
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
101
A la neu!!!!!!!!!!
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
102
FI
Capítol 3 – Pafnuti Chebyshev
![Daus Gonia: Imaji dan Nasi [Prototype Day]](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/547cd06bb47959ac508b4761/daus-gonia-imaji-dan-nasi-prototype-day.jpg)
