David Hilbert

Nacimiento23 de enerode1862Knigsberg,Prusia Oriental

Fallecimiento14 de febrerode1943(81 aos)Gotinga(Alemania)

NacionalidadAlemana

CampoMatemtico

InstitucionesUniversidad de KnigsbergUniversidad de Gttingen

Alma mterUniversidad de Knigsberg

SupervisordoctoralFerdinand von Lindemann

EstudiantesdestacadosWilhelm AckermannOtto BlumenthalRichard CourantMax DehnErich HeckeHellmuth KneserRobert KnigEmanuel LaskerErhard SchmidtHugo SteinhausTeiji TakagiHermann WeylErnst ZermeloJos Agustn Prez del Pulgar

ConocidoporTeorema de la Base de HilbertAxiomas de HilbertProblemas de HilbertPrograma de HilbertAccin Einstein-HilbertEspacio de Hilbert

David Hilbert(23 de enerode1862,Knigsberg,Prusia Oriental14 de febrerode1943,Gotinga,Alemania) fue unmatemticoalemn, reconocido como uno de los ms influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableci su reputacin como gran matemtico y cientfico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como lateora de invariantes, laaxiomatizacin de la geometray la nocin deespacio de Hilbert, uno de los fundamentos delanlisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemtica necesaria para lamecnica cunticay larelatividad general. Fue uno de los fundadores de lateora de la demostracin, lalgica matemticay la distincin entre matemtica ymetamatemtica. Adopt y defendi vivamente la teora de conjuntos y los nmeros transfinitos deCantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en lamatemticaes su presentacin en 1900 de unconjunto de problemasque establecieron el curso de gran parte de la investigacin matemtica del siglo XX.En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teora general de la relatividad, David Hilbert se adelant a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse el mrito.1

VidaHilbert naci enKnigsberg, enPrusia Oriental(actualKaliningrado,Rusia). Se gradu en elliceode su ciudad natal y se matricul en laUniversidad de Knigsberg("Albertina"). Obtuvo su doctorado en 1885, con una disertacin, escrita bajo supervisin deFerdinand von Lindemann, tituladaber invariante Eigenschaften specieller binrer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen("Sobre las propiedades invariantes deformas binariasespeciales, en particular las funciones circulares").Hermann Minkowskicoincidi con Hilbert en la misma universidad y momento como doctorando, y llegaron a ser amigos ntimos, ejerciendo uno sobre el otro una influencia recproca en varios momentos de sus carreras cientficas.Hilbert permaneci como profesor en la Universidad de Knigsberg de1886a1895, cuando, como resultado de la intervencin en su nombre deFelix Klein, obtuvo el puesto de Catedrtico de Matemtica en laUniversidad de Gttingen, que en aqul momento era el mejor centro de investigacin matemtica en el mundo, donde permanecera el resto de su vida.

El teorema de finitudEl primer trabajo de Hilbert sobre funciones invariantes le llev en1888a la demostracin en su famosoteorema de finitud. Veinte aos antes,Paul Gordanhaba demostrado elteoremade la finitud de generadores para formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este mtodo a funciones con ms de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los clculos implicados. Hilbert se dio cuenta de que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostr elteorema fundamental de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantescunticasen cualquier nmero de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostr la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algortmica sino mediante unteorema de existencia.Hilbert envi sus resultados a losMathematische Annalen. Gordan, el experto en teora de invariantes para laMathematische Annalen, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechaz el artculo, criticando la exposicin porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue:Esto es teologa, no matemtica!Klein, por otro lado, reconoci la importancia del trabajo y se asegur de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendi su mtodo en un segundo artculo, proporcionando estimaciones sobre el grado mximo del conjunto mnimo de generadores, y lo envi una vez ms a losAnnalen. Tras leer el manuscrito, Klein le escribi, diciendo:Sin duda ste es el trabajo ms importante en lgebra general que losAnnalenhan publicado nunca.Ms adelante, cuando la utilidad del mtodo de Hilbert haba sido reconocida universalmente, el propio Gordan dira:He de admitir que incluso la teologa tiene sus mritos.

Axiomatizacin de la geometraAxiomas de HilbertEl textoGrundlagen der Geometrie(Fundamentos de la geometra), que Hilbert public en1899, sustituye los tradicionalesaxiomas de Euclidespor sistema formal de 21axiomas. Evitan las debilidades identificadas en los deEuclides, cuya obra clsicaElementossegua siendo usada como libro de texto en aquel momento.El enfoque de Hilbert marc el cambio alsistema axiomticomoderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometra puede tratar decosas, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario asignar un significado explcito a los conceptos indefinidos. Como dice Hilbert, los elementos tales como elpunto, larecta, elplanoy otros, se pueden sustituir con mesas, sillas, jarras de cerveza y otros objetos. Lo que se discute y se desarrolla son sus relaciones definidas.Hilbert comienza enumerando los conceptos sin definicin: punto, recta, plano, incidencia (una relacin entre puntos y planos), estar entre, congruencia de pares de puntos ycongruenciadengulos. Los axiomas unifican lageometra planay laslidade Euclides en un nico sistema.Los 23 problemasProblemas de HilbertHilbert propuso una lista muy influyente de23 problemas sin resolveren elCongreso Internacional de MatemticosdeParsen 1900. Se reconoce de forma general que esta es la recopilacin de problemas abiertos ms exitosa y de profunda consideracin producida nunca por un nico matemtico.Tras reescribir los fundamentos de lageometra clsica, Hilbert poda haberlo extrapolado al resto de las matemticas. Este enfoque difiere, sin embargo, de los posteriores logicistas Russel-Whitehead o el formalismo matemtico de su contemporneoGiuseppe Peanoy ms recientemente del conjunto de matemticosNicolas Bourbaki. La comunidad matemtica al completo podra embarcarse en problemas que l identific como aspectos cruciales en las reas de la matemtica que l consider como claves.Lanz el conjunto de problemas en la conferencia "Los problemas de la matemtica" presentada durante el curso del Segundo Congreso Internacional de Matemticos celebrado en Pars. Esta es la introduccin a la conferencia de Hilbert:Quin entre nosotros no estara contento de levantar el velo tras el que se esconde el futuro; observar los desarrollos por venir de nuestra ciencia y los secretos de su desarrollo en los siglos que sigan? Cual ser el objetivo hacia el que tender el espritu de las generaciones futuras de matemticos? Qu mtodos, qu nuevos hechos revelar el nuevo siglo en el vasto y rico campo del pensamiento matemtico?Present menos de la mitad de los problemas en el Congreso, que fueron publicados en las actas. Extendi el panorama en una publicacin posterior, y con ella lleg la formulacin cannica actual de los 23 Problemas de Hilbert. El texto al completo es importante, dado que la exgesis de las cuestiones puede seguir siendo materia de debate inevitable, cada vez que se preguntan cuntas han sido resueltas:1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo. Cul es el cardinal del continuo?2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmtica. Son compatibles los axiomas de la aritmtica?3. La igualdad de los volmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.4. El problema de la distancia ms corta entre dos puntos. Es la lnea recta la distancia ms corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometra?5. Establecer el concepto de grupo de Lie, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.6. Axiomatizacin de la fsica. Es posible crear un cuerpo axiomtico para la fsica?7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos nmeros como e, 2v2, etc.8. El problema de la distribucin de los nmeros primos.9. Demostracin de la ley ms general de reciprocidad en un cuerpo de nmeros cualesquiera.10. Establecer mtodos efectivos de resolucin de ecuaciones diofnticas.11. Formas cuadrticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.12. La extensin del teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.13. Imposibilidad de resolver la ecuacin general de sptimo grado por medio de funciones de slo dos argumentos.14. Prueba de la condicin finita de ciertos sistemas completos de funciones.15. Fundamentacin rigurosa del clculo enumerativo de Schubert o geometra algebraica.16. Problema de la topologa de curvas algebraicas y de superficies.17. La expresin de formas definidas por sumas de cuadrados.18. Construccin del espacio de los poliedros congruentes.19. Las soluciones de los problemas regulares del clculo de variaciones, son siempre analticas?20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet.21. Demostracin de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrmico.22. Uniformidad de las relaciones analticas por medio de funciones automrficas: siempre es posible uniformizar cualquier relacin algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.23. Extensin de los mtodos del clculo de variaciones.

Algunos se resolvieron en poco tiempo. Otros se han discutido durante todo el siglo XX, y actualmente se ha llegado a la conclusin de que unos pocos son irrelevantes o imposibles de cerrar. Algunos continan siendo actualmente un reto para los matemticos.

FormalismoSiguiendo la tendencia que se haba convertido en estndar a mitad de siglo, el conjunto de problemas de Hilbert tambin constitua una especie de manifiesto, que abri la va para el desarrollo de la escuela delFormalismo matemtico, una de las tres escuelas matemticas ms importantes del siglo XX. De acuerdo al formalismo, la matemtica es un juego carente de significado en el que uno lo practica con smbolos carentes de significado de acuerdo a unas reglas formales establecidas de antemano. Por tanto es una actividad de pensamiento autnoma. Sin embargo, hay margen para la duda al respecto de si la propia visin de Hilbert era simplistamente formalista en este sentido.

El programa de HilbertPrograma de HilbertEn1920propuso de forma explcita un proyecto de investigacin (enmetamatemtica, como se llam entonces) que acab siendo conocido comoprograma de Hilbert. Quera que lamatemticafuese formulada sobre unas bases slidas y completamente lgicas. Crea que, en principio, esto poda lograrse, mostrando que:Toda la matemtica se sigue de un sistema finito deaxiomasescogidos correctamente; yQue tal sistema axiomtico se puede probar consistente.Pareca tener razones tcnicas y filosficas para formular esta propuesta. Esto afirmaba su disgusto por lo que se haba dado a conocer comoignorabimus, que an era un problema activo en su tiempo dentro del pensamiento alemn, y que poda rastrearse en esa formulacin hastaEmil du Bois-Reymond.El programa sigue siendo reconocible en lafilosofa de la matemticams popular, donde se le llama normalmenteformalismo. Por ejemplo, el grupoBourbakiadopt una versin selectiva y diluida como adecuada para los requisitos de sus proyectos gemelos de (a) escribir trabajos fundamentales enciclopdicos, y (b) dar soporte alsistema axiomticocomo herramienta de investigacin. Este enfoque ha tenido xito e influencia en relacin con el trabajo de Hilbert en el lgebra y el anlisis funcional, pero no ha conseguido cuajar igual con sus intereses en fsica y lgica.

El trabajo de GdelHilbert y los matemticos de talento que trabajaron con l en esta empresa estaban dedicados al proyecto. Su intento de dar soporte a la matemtica axiomatizada con principios definidos, que eliminara las incertidumbres tericas, iba sin embargo a acabar en derrota.Gdeldemostr que no se poda demostrar la completitud de ningn sistema formal no contradictorio que fuera suficientemente amplio para incluir al menos la aritmtica, slo mediante sus propios axiomas. En1931suteorema de la incompletitudmostr que el ambicioso plan de Hilbert era imposible tal como se planteaba. El segundo requisito no poda combinarse con el primero de forma razonable, mientras el sistema axiomtico sea genuinamente finito.Sin embargo, el teorema de completitud no dice nada al respecto de la demostracin de la completitud de la matemtica mediante un sistema formal diferente. Los logros posteriores de lateora de la demostracincomo mnimoclarificaronla relacin de la consistencia con las teoras de inters principal para los matemticos. El trabajo de Hilbert haba empezado lgico en su camino a la clarificacin; la necesidad de entender el trabajo de Gdel llev entonces al desarrollo de lateora de la computabilidady despus de lalgica matemticacomo disciplina autnoma en la dcada de 19301940. De este 'debate' naci directamente la base para lainformtica tericadeAlonzo ChurchyAlan Turing.

La escuela de GttingenEntre los alumnos de Hilbert se encuentranHermann Weyl, el campen mundial de ajedrezEmanuel Lasker,Ernst ZermeloyCarl Gustav Hempel.John von Neumannfue asistente suyo. En la Universidad de Gttingen, Hilbert se encontr rodeado por un crculo social constituido por algunos de los matemticos ms importantes del siglo XX, comoEmmy NoetheryAlonzo Church.

Anlisis funcionalAlrededor de 1909, Hilbert se dedic al estudio de ecuaciones diferenciales e integrales; su trabajo tuvo consecuencias directas en partes importantes el anlisis funcional moderno. Para poder llevar a cabo estos estudios, Hilbert introdujo el concepto de unespacio eucldeode infinitas dimensiones, llamado ms tardeespacio de Hilbert. Su trabajo en esta parte del anlisis proporcion la base de importantes contribuciones a lafsica matemticaen las dos dcadas siguientes, aunque en direcciones que por entonces no se podan anticipar. Ms tarde,Stefan Banachamplific el concepto, definiendo losespacios de Banach. El espacio de Hilbert es por s misma la idea ms importante delanlisis funcional, que creci a su alrededor durante el siglo XX.

FsicaHasta 1912, Hilbert fue de forma casi exclusiva un matemtico puro. Cuando planeaba hacer una visita a Bonn, donde estaba inmerso en el estudio de la fsica, su amigo y colega matemticoHermann Minkowskihaca chistes diciendo que tena que pasar 10 das en cuarentena antes de poder visitar a Hilbert. En realidad, Minkowski parece ser responsable de la mayora de investigaciones de Hilbert en fsica anteriores a 1912, incluido su seminario conjunto sobre el tema en 1905.En 1912, tres aos tras la muerte de su amigo, cambi su objetivo hacia este tema de forma casi exclusiva. Arregl que se le asignara un tutor en fsica.2Empez estudiando lateora cintica de los gasesy pas luego a la teora elemental deradiaciny a la teora molecular de la materia. Incluso tras el estallido de la guerra en 1914, continu celebrando seminarios y clases donde se seguan de cerca los trabajos deEinsteinentre otros.Hilbert invit a Einstein a Gttingen para que impartiera una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su teora de la gravedad en desarrollo (Sauer 1999, Folsing 1998). El intercambio de ideas llev a la forma final de las ecuaciones de campo de laRelatividad General, en concreto lasecuaciones de campo de Einsteiny laaccin de Einstein-Hilbert. Aunque Einstein y Hilbert no llegaron nunca a enzarzarse en una disputa pblica sobre prioridad, ha habido algo dediscusin sobre el descubrimiento de las ecuaciones de campo.Adems, el trabajo de Hilbert anticip y asisti a varios avances en laformulacin matemtica de la mecnica cuntica. Su trabajo fue clave para el deHermann WeylyJohn von Neumannsobre la equivalencia matemtica de lamecnica de matricesdeWerner Heisenbergy laecuacin de ondadeErwin Schrdinger, y suespacio de Hilbertjuega un papel importante en la teora cuntica. En 1926, von Neumann mostr que si los estados atmicos se entendiesen como vectores en el espacio de Hilbert, entonces se corresponderan tanto con la teora de funcin de onda de Schrdinger como con las matrices de Heisenberg.Mediante esta inmersin en la fsica, trabaj en darle rigor a la matemtica que la sostiene. Aunque es muy dependiente de la matemtica avanzada, el fsico tiende a ser descuidado con ella. Para un matemtico puro como Hilbert, esto era feo y difcil de entender. Al empezar a comprender la fsica y la manera en que los fsicos usaban la matemtica, desarroll una teora matemticamente coherente para lo que encontr, principalmente en el rea de lasecuaciones integrales. Cuando su colegaRichard Courantescribi el clsicoMtodos de fsica matemticaincluy algunas ideas de Hilbert, y aadi su nombre como coautor incluso aunque Hilbert no lleg a contribuir al escrito. Hilbert dijo que la fsica es demasiado dura para los fsicos, implicando que la matemtica necesaria estaba lejos de su alcance por lo general; el libro de Courant-Hilbert les facilit las cosas.

Teora de nmeroSHilbert unific el campo de lateora algebraica de nmeroscon su tratado de 1897Zahlbericht(literalmente 'informe sobre nmeros'). Abati elproblema de Waringen el sentido amplio. Desde entonces tuvo poco ms que decir sobre el tema; pero la emergencia de lasformas modulares de Hilberten la disertacin de un estudiante implica que su nombre est ms unido a un rea importante.Propuso una serie de conjeturas sobre lateora de cuerpos de clases. Los conceptos fueron muy influyentes, y su propia contribucin queda patente en los nombres delcuerpo de clase de Hilberty elsmbolo de Hilbertde lateora local de cuerpos de clases. Los resultados sobre estas conjeturas quedaron probados en su mayora sobre 1930, tras el importante trabajo deTeiji Takagique lo estableci como el primer matemtico japons de nivel internacional.Hilbert no trabaj en las reas principales de lateora analtica de nmeros, pero su nombre qued unido a laconjetura de Hilbert-Plya, por razones anecdticas.

Charlas, ensayos y contribuciones miscelneasSuparadoja del Grand Hotel, una meditacin sobre las extraas propiedades del infinito, se usa a menudo en textos populares sobrenmeros cardinalesinfinitos.

ltimos aosHilbert vivi para ver a losnazispurgar a la mayora de miembros facultativos sobresalientes de laUniversidad de Gttingen, en1933.. Entre aquellos forzados a marcharse estuvieronHermann Weyl, que haba ocupado la ctedra de Hilbert al retirarse en 1930,Emmy NoetheryEdmund Landau. Uno de los que hubo de dejar Alemania fuePaul Bernays, colaborador de Hilbert enlgica matemticay coautor con l del importante libroGrundlagen der Mathematik(que acab presentndose en dos volmenes, en 1934 y 1939). sta fue una secuela del libro de Hilbert-AckermannFundamentos de lgica tericade 1928.Un ao despus, asisti a un banquete y lo sentaron al lado del nuevo Ministro de Educacin,Bernhard Rust. Rust le pregunt: Cmo va la matemtica en Gttingen ahora que ha sido liberada de la influencia juda? A lo que Hilbert contest, La matemtica en Gttingen? Ya no queda nada de eso.Para cuando Hilbert muri en1943, los Nazis haban reestructurado casi por completo la universidad, ya que mucho del personal facultativo anterior era judo o estaba casado con judos. Al funeral de Hilbert asisti menos de una docena de personas, slo dos de los cuales eran colegas acadmicos.4En su tumba, en Gttingen, se puede leer su epitafio:Wir mssen wissen, wir werden wissen('Debemos saber, sabremos').Irnicamente, el da antes de que Hilbert pronunciase esta frase,Kurt Gdelpresentaba su tesis, que contena el famosoteorema de incompletitud: hay cosas que sabemos que son ciertas, pero que no podemos probar.