David Ruelle RaslantKaosi Ve

7/24/2019 David Ruelle RaslantKaosi Ve

1/190

RASTLANTI VE KAOS

David Ruelle

T B T A K

POPLER BLM KTAPLARI


2/190

TBTAK Popler Bilim Kitaplar 7

Rastlant ve Kaos / Chance and Chaos

David Ruelle

eviri: Deniz Yurtren

Trke metnin bilimsel danman: Prof. Dr. Ali Ulvi Ylmazer

Trkiye Bilimsel ve Teknolojik Aratrma Kurumu, 1994

Bu yaptn btn haklan sakldr. Yazlar ve grsel malzemeler,

izin alnmadan tmyle veya ksmen yaymlanamaz.

TBTAK Popler Bilim Kitaplarnn seim i ve deerlendirilmesi

TBTAK Yayn Komisyonu tarafndan yaplmaktadr.

20. Basm Aralk 2006 (5000 adet)

TBTAKPopler Bilim Kitaplar Mdrl

Atatrk Bulvar No: 221 Kavakldere 06100 Ankara

Tel: (312) 467 72 11 Faks: (312) 427 09 84

e-posta: [email protected]

nternet: kitap.tubitak.gov.tr

ISBN 975 - 403 -011 -1

lk basm Kasm 1994'te yaplan

Rastlant ve Kaos

bugne kadar 50.000 adet baslmtr.

Semih Ofset - Ankara
mailto:[email protected]:[email protected]


3/190

Rastlantve Kaos

David Ruel le

EVR

Deniz Yurtren

TBTAK POPLER BLM KTAPLARI


4/190

indekiler

Rastlant 1Matematik ve Fizik 7

Olaslklar 12

Piyangolar ve Yldz Fallar 18

Klasik Determinizm 24

Oyunlar 32

Balang Durumuna Hassas Ballk 37Hadamard,Duhem ve Poincare 43Trblans: Modlar 49

Trblans: Garip ekerler 56

Kaos: Yeni Bir Paradigma 64Kaos: Sonular 71

Ekonomi 78Tarihsel Evrimler 84

Kuanta: Kavramsal ereve 90Kuanta: Durumlarn Saylmas 96

Entropi 102Geri Dnlmezlik 108

Denge statistiksel Mekanii 114

Kaynar Su ve Cehennemin Kaplar 120Bilgi 127

Algoritmik Karmaklk 133Karmaklk ve Gdel Teoremi 140Cinsiyetin Gerek Anlam 147

Zeka 152Sonsz: Bilim 159Notlar 164


5/190

nsz

Suam habet fortuna rationemPetronius, Rastlantnn nedenleri vardr der. Bu konuda un-

lar sorabiliriz... Ne gibi nedenler? Rastlant nedir? Nasl ortaya -kar? Gelecek ne lde belirsizdir? Bu sorularn yantlarn bize fi-zik ve matematik bilimleri salamaktadr. Hernekadar bu yantlarolduka alakgnll ve hatta baz durumlarda kesinlikten uzaksada bilmeye deerdir ve kitabmzn konusunu da bunlar oluturmaktadr.

Fizik yasalan somut gereklere dayamr. O halde nasl oluyor darastlant evrenin tanm iinde yer alabiliyor? lerde greceiniz gi-bi bu durum eitli yollarla gereklemektedir. Yine greceinizzere gelecein belirsizlik oran kesin izgilerle snrlanmtr.Rastlant ve belirsizlik kavramlarnn eitli ynleri konusunda bukitapta ne srlen her ey genelde kabul edilmi (ya da edilebilir)eski ve yeni bilimsel grlere dayanmaktadr. zellikle kaosa ili-

kin ada grleri olduka ayrntl biimde ele aldm. Grecei-niz gibi kesinlikle teknik bir anlatma bavurmadm ve kulland-m az saydaki denklemi gzard etseniz de fazla bir kaybmz ol-mayacak. Kitabm yazarken ilke olarak okurun lise dzeyinde fi-zik ve matematik bilgisinden fazlasna gereksinim duymamasnazen gsterdim. Buna karlk kitabn sonunda yer alan ve herke-sin anlayabilecei bir anlatm ile daha ok meslektalanma hitapeden olduka teknik bir anlatm arasnda deien notlarda bu ilke-nin biraz dna ktm kabul ediyorum.

Son olarak unu belirtmem gerekiyor: bilim adamlarn ve bilim-sel aratrmalar pek de yceltmeyen baz grlerimin meslekta-larmn bir blm tarafndan ho karlanmayacan biliyorum.Dier yandan bunun iin kimseden zr dilemiyorum, zira eer bi-limin amac geree ulamaksa bilimin nasl yapld konusundada geree bal kalmamz gerekmez mi?

Bures sur Yvett1990 Yaz


6/190

Teekkr

Bu kitab yazarken baz meslektalarmla yaptm bilimseltartmalarn byk yararn grdm. Hernekadar kendisininsonuta ortaya kan eser karsnda bir lde dehete dmesiolasl varsa da zellikle Shelly Goldsteine ok ey borluyum.Nicolas Ruelle anlatm ynnden ok yararl nerilerde bulun-du. Arthur Wightman ve Laura Kang Ward ngiliz dilinin sa-vunmasn kahramanca stlendiler. Yoshisuke Ueda ve OscarLanford ok gzel bilgisayar izimleri saladlar. Ve son olarakHelga Dernois olduka etrefil bir tasla daktiloya ekerken r-nek bir sabr ve ylmazlk gsterdi. Hepsine teekkr ediyorum.


7/190

Rastlant ve Kaos 1

I. BLM

Rastlant

Yakn bir gelecekte sper bilgisayarlar matematikilerleboy lebilecek ve belki de onlar sonsuza dek isizliemahkum edecektir. En azndan, deerli meslektam Beli-

kal matematiki Pierre Delignee sylediim buydu. Onukzdrmak konusundaki kararlm iinde kendisine bazbilgisayarlarn daha imdiden ok iyi satran oynayabildik-lerini anlattm ve rnein drt renk teorisine(1) ilikin kan-tn bilgisayar yardm olmakszn elde edilemediini anm-sattm. Bugn iin bilgisayarlarn genelde tekrara dayananolduka skc (ve biraz da aptalca) iler iin kullanldnbiliyorum, ama yakn bir gelecekte ok daha yksek dzey-de ilevsellik ve yaratclkla donatlm, insan zekasnnalma biimini ok daha rahatlkla taklit edebilen ve bugnkilere kyasla ok daha hzl ve yanlgsz alan bilgi-sayarlarn ortaya kmamas iin bir neden grmyorum.Bu gerekletii zaman elli, yz ya da en ok ikiyz yl iin-

de bilgisayarlar bilim adamlarna almalarnda yardmcolmakla kalmayacak, insiyatif kullanabilen, yeni ve yararltanmlar getirebilen, tahmin yrtebilen ve insan zekasnnsnrlarnn ok tesindeki teoremleri kantlayabilen aralarhaline geleceklerdir. Unutmayalm ki beynimizin geirdiidoal evrim bize karmak matematik problemlerini zmekteTok avlanmak, yiyecek toplamak, savamak ve top-

lumsal ilikilerimizi srdrmek gibi alanlarda yardmc ol-maya yonelktrTPierre Deligne beklenebilecei gibi matematiin gelecei

konusundaki kehanetlerimden pek holanmad. Biraz d-ndkten sonra kendisi iin nemli olann bakalarndan


8/190

2 Rastlant

ya da elektronik gerelerden yardm istemeksizin tmylekendi bana elde edebilecei sonular olduunu, buna karlk ancak bilgisayarla karlabilecek sonular ya da birgrup almasnn rn olup bir matematikinin yalnz ba-na dorulamasna olanak bulunmayan uzun matematik-sel kantlarla ilgilenmediini syledi. Delignein buradakastettii, basit sonlu gruplarn snflandrlmasna ilikinnl bir teoremin kantyd(2). Bu kant ok sayda paradanolumakta ve bebin sayfann stnde yer tutm aktadr.

Yukarda anlattklarmdan yola karak bilim in bugnve gelecei konusunda kolaylkla karamsar bir sonuca var-labilir. Kukusuz ki bir matematiki tek bana bir proble-mi kantlamakta glk ekiyorsa dier bilim alanlarndakiaratrmaclar daha byk glkler bekliyor demektir. s-ter fiziki, ister hekim olsun, bir bilim adam verimli biraratrma yrtebilmek iin aslnda pek de anlamad birtakm aralarn yardmna bavurmak zorundadr. Hernekadar bilimin kendisi evrenselse de ona hizmet edenlerinher biri ancak kendi dalnda uzmanlamtr ve bu nedenle

bilgisi belli snrlar iinde kalmaktadr. Doal olarak bilim-sel aratrmalarn entellektel ve toplumsal ynleri bilimintemelinin atld gnlerden bu yana byk bir deiim ge-irmi bulunmaktadr. Bugn bizim bilim adam olarak ad-landrdmz kiilere gemite filozof denirdi. O zamanlarbu kiiler dnyamza ilikin kresel bir aklamaya ya da

baka bir deyile nedenler ve nasllar konusunda sentetikbir gre varmaya uramaktaydlar. rnein Isaac Newton almalarn matematik, fizik, simya, teoloji ve ncirde-ki kehanetlerle balantl tarih aratrmalar gibi farklalanlarda srdrmekteydi^. Acaba bizler tm bilimlerinanas olan felsefe alanndaki aray bir kenara m brakm

bulunuyoruz?Kesinlikle hayr. Bu aray gnmzde eskisinden okdeiik yntemlerle srdrlyor da olsa tm bilimsel ara-trmalarn odak noktasn oluturmaktadr. Kitabmda sizlere bunu gstermeye alacam. Dolaysyla bu sayfalar-


9/190

3

da bilimin teknik ynlerine ve roketler ya da atom parala-yclar gibi yksek teknoloji rnlerine ilikin hi bir eybulamayacaksnz. Tp alanndaki byk gelimeler ve in-sanl bekleyen nkleer tehlikelere de deinmeyeceim.Metafizikle ilgili bir ey de beklemeyin. Sadece onyedinci yada onsekizinci yzylda yaam bir filozofun gzleriyle ba-karak yirminci yzylda elde edilmi bilimsel sonular ara-snda bir geziye kacaz. Bu gezide rehberimiz tam anla-myla rastlantolacak zira izleyeceimiz yol rastlant kavra-mnn aratrlmasndan geiyor.

Rastlant, bilinmezlik, talih bunlar biraz olumsuz kav-ramlar deil mi? Bu gibi szckler bilim adamlarndan okfalclarn ilgi alanna girmiyor mu? Byle dnyorsanz

yanlyorsunuz zira rastlant konusunda bilimsel aratrma-lar yaplmas hi de olanaksz deildir. Bu alandaki al-malar Blaise Pascal, Pierre Fermat, Christiaan Huygens veJacques Bernoulli gibi saygn bilim adamlarnn ans oyun-larnn analizine ynelik aratrmalar ile balamtr. Buanaliz gnmzde olaslk hesaplar adyla bilinen ve okuzun bir sreden beri matematiin yan dallarndan biri ola-

rak kabul edilen bir konunun ortaya kmasna yol am-tr. Olaslkjesaplarmn odak noktasn oluturan teoriyegre, madeni bir para stste bir ok kez havaya atlrsayaz (ya da tura) gelmesi oran yzde elliye yakn olur. By-lelikle, tek bir kez atlan parann yaz m tura m gelecei-nin tmyle bilinmez oluuna karlk bir ok kez atlmas-

nn verecei sonular olduka doru biimde kestirebilir.Uzun bir sre iinde ok kez yinelenen bir olaylar dizisi yada geni sistemlere ilikin olarak rastlant esinin arat-rlmasnda bilinmezlikten bilinebilirlie bu gei byk

nem tar.Yirminci yzyln balarnda maddenin atomlar ve mole-

kllerden olutuu grn kabul etmeyen baz fiziki ve

kimyaclarn bulunmasna karlk bilim adamlarnn b-yk bir blm bir litre havada hzla oradan oraya uuanve tmyle dzensiz bir biimde birbirleriyle arpp duran


10/190

4 Rastlant

saysz molekln varlna artk inanmt. Molekler kaos

ad verilen bu kargaa aslnda kk bir hacim iinde bir araya gelmi bir sr geliigzellik ya da rastlantdan bakabir ey deildir. Ne denli geliigzellik ya da rastlant? Buok yerinde sorunun yantn bize yaklak olarak 1900 yln-da AvusturyalI Ludwig Boltzmann ile Amerikal J. WillardGibbs'in bulduu istatistiksel mekanik adl bilim dal ver-mektedir. Belli bir sdaki bir litre hava ya da bir kilogramkurunun rastlantsallk miktar bir litre hava ya da bir ki-logram kurunun entropi'sidir. Bugn entropilerin amazbiimde saptanabilmesini salayan yntemler bulunmakta-dr. Bu yolla kontrol altna alnan rastlant maddenin anla-lmasnda ok nemli bir rol oynamaktadr.

Rastlant ya da geliigzelliin fazla anlam olmad ka-

nsnda msnz? Biraz dnrseniz bunun doru olmad-n grrsnz: Belli bir insan topluluunda kan gruplarnngeliigzel bir biimde dalm olduu dorudur, ama kanverilmesi gerektiinde kiinin A+ ya da 0 grubunda olmas-nn nem tamad sylenemez. Amerikal matematikiClaude Shannon tarafndan 1940larm sonlarnda ileri sr-

len bilgi teorisianlaml iletilerin bilgi ieriinin llebilme-sini salamtr. lerde de greceimiz gibi, bir iletinin ier-dii ortalama bilgi belli bir iletiler grubu iinde rastlantsal-lk miktarn verir.

Bunun doal bir tanmlama olduunu anlayabilmek iinbir iletinin seilmesiyle eitli olas iletiler iindeki rastlan-t esinin ortadan kaldrldn bilmemizde yarar var. s-

tatistiksel mekanik gibi bilgi teorisi de rastlantnn llmesiyle ilgili olduundan bu iki teori birbiriyle yakndanbalantldr.

Anlaml iletilerden sz alm ken bunlarn zellikle ya-amsal nem tayan bilgileri ieren bir trne, genetik ile-tilere deinmek istiyorum. Gnmzde ok iyi bilindii gibi

hayvan ve bitki trlerinin kaltmsal zellikleri bir k u a k t a n dierine kromozomlarn ierdii DNA (deoksiribonkleikasit) tarafndan tanr. DNA tm dier canllar gibi bakten


11/190

5

ve virslerde de bulunmaktadr (ancak baz virs trlerinde

DNAnn yerini RNA ribonkleik asit almtr). DNAnmA, T, G ve C harfleriyle tanmlanan drt ayr tre ait ele-manlardan oluan uzun bir zincir olduunu biliyoruz. Dola-ysyla kaltmn drt harfli bir alfabe ile yazlan uzun ileti-lerden olutuu sylenebilir. Hcre blnmesi srasnda builetiler her yeni hcre tarafndan kopyalanr. Bu ilem

srasnda mutasyon adn verdiimiz baz geliigzel yanl-lar ortaya kar ve bylece her yeni hcre ya da birey ata-larndan farkl birtakm zelliklere sahip olur. Doal elemebunlarn bazlarn seerken geri kalan gsz (ya da dahaaz ansl) bireyleri yok eder. Bu da yaamn temel talarnoluturan genetik iletilerin tanmasnda rastlantnn ne3enli rol oynadn gstermektedir. Hernekadar yaamn

kkenleri ve trlerin evrimi gibi daha geni kapsaml konu-lar bu biimde aklanamazsa da bunlar yaratl ve genetikbilgi aktarm terimleri iinde ele alarak bize yol gsterecekkavramlara ve olduka kesin sonulara varabiliriz.

Yaam sal ilevlerde rastlantnn oynad yaratc rolele almadan nce sizi dier baz konu lar arasnda olduka

uzun srecek bir geziye karacam. statistiksel meka-nii ve bilgi teorisini tartacaz, trblans ve kaostan,kuantum mekanii ve oyunlar teorisinden sz edeceiz,tarihsel determinizm, kara delikler, algoritmik karmaave dier baz kavramlar zerinde duracaz. Bu uzun ge-zimiz srasnda iki byk entellektel alan, yani mate-matik ve (tm dier doal bilimleri de kapsayan) f izikarasndaki snr izgisini izleyeceiz. Bunun yansra in-san zekasnn hereyin nedenini ve nasln anlamaya y-nelik kararl (ve zaman zaman da acnas) abalarn gz-lemlemek de ilgin olacak. Rastlant sorununun tesindede matematiin tuhafl, fiziin tuhafl ve insan zeka-snn tuhafl arasndaki ilikilerin oluturduu geni

elimizden geldiince aydnlatmaya alacaz. Balangolarak matematik ve fizik oyunlarnn baz kurallarn elealmak istiyorum .


12/190

II. BLM

Matematik ve Fizik

6 Rastlant ve Kaos

Matematik yetenei genellikle ok erken bir yata ortayakar. Byk Rus matematikisi Andrei N. Kolmogorov buyaygn gre u ilgin eklemeyi yapmtr: Matematik yete-neinin belirmesi ile ayn anda normal psikolojik geliim du-

rur. Kolmogorov buna dayanarak kendi zeka yann onikiolduunu ne srerken uzun yllar boyunca Sovyet BilimlerAkademisinin ok gl ve korkulan bir yesi olan meslek-ta van M. Vinogradovunkini de sekiz olarak vermektedir.Kolmogorova gre Akademisyen Vinogradovun psikolojikgeliiminin durmasna dek geen bu sekiz yl genelde kkerkek ocuklarn kelebeklerin kanatlarm kopard ve kedi-lerin kuyruklarna bo konserve tenekeleri balad dnemikapsamaktadr.

Kolmogorovun bu grne(1) ters den rnekler aranr-sa bulunabilir ama doruluunu kantlayanlar ok daha faz-ladr. Tandm bir matematikinin zeka ya herhalde altcivarnda olmal. Bu durum kendisi iin gerek yaamda ba-

z sorunlar yaratyor rnein tek bana yolculuk yapmakzorunda kald zaman! Bu saygdeer meslektam mate-matikiler arasnda kendini iyi kt idare ediyorsa da sal-drgan fizikilerin bulunduu bir toplulukta uzun sre bar-nabileceim pek sanmyorum.

Matematii bu denli zel ve dier bilim dallarndan farklklan nedir? Bir matematik teorisinin k noktasnn belli

matematiksel nesnelere ilikin olarak ortaya srlen temelkavramlar olduunu syleyebiliriz (matematiksel nesne ye-rine szckler de denebilir zira bunlar aslnda szcklerdenoluur). Bu temel kavramlardan yola klarak mantk yolu


13/190

7

ile teorem ad verilen yeni kavramlara varlr. Matematiktekullanlan nokta ve uzay gibi szckler size tandk gele-bilir ama bu alanda sezgilere fazla gvenmemek ve sadecebalangta verilen temel kavramlarla yetinmek ok nemli-dir. Nokta ve uzay yerine sandalye ve masa da diyebilirsi-niz, hatta baz durumlarda bu ok daha uygun debilir.

Matematikiler bu tr evirilere hi kar kmazlar. O hal-de isterseniz yle bir tanmlama yapalm: Matematikle u-ramak ok sk kurallar olan dilbilgisi altrmalar yapma-ya benzer. Matematiki temel kavramlardan yola karakbir dizi yeni gr retir ta ki bunlardan biri ok hounagidene dek. Bundan sonra dier matematikiler bu yeni do-mu bebei grmeye arlrlar ve hayranlk sesleri karta-rak Aman ne cici bir teorem derler. Balangtaki temelkavramla daha sonra ortaya kan gr arasnda kalan fi-kirler zinciri teoremin kantn oluturur. Genelde bir te-orem ne denli ksa ve basitse o denli uzun ve karmak birkanta sahiptir. Aslna bakarsamz matematii ilgin klanda bu uzun kantlardr. Ayrca kantn uzunluu dnsel

ynden de byk nem tar. Kantlarn uzunluu konusuile ilerde inceleyeceimiz algoritmik karmaa ve Gdel teoremi(2) birbirleriyle yakndan balantldr.

Matematiksel kantlar uzun olduklar iin bunlara var-mak olduka byk bir abay gerektirir. Yapmamz gere-ken ey hi yanlgya dmeksizin uzun ilem zincirleri olu-turmak ve bu srada ne yaptmz, nereye gittiimizi gr-

mektir. Grmek , doruyu ve yanl, yararly ve yararszbirbirinden ayrabilmek, hangi tanmlarn kullanlmas ge-rektii ve hangi kavramlarn teorinin doal biimde gelime-sini salayaca gibi konularda sezgi sahibi olmaktr.

Matematik oyununun anlamsz ve gereksiz olduunu san-mayn. eitli matematik teorileri arasnda ok sayda ba-

lantlar bulunmaktadr: bir teorinin amac bir dierinde ifa-de bulabilir ve bu da bizi yeni ve verimli sonulara gtrebi-lir. Matematiin ok derinlere inen bir btnsellii vardr.Her birinin kendi temel nerileri bulunan kme teorisi, to-


14/190

8Matematik ve Fizik

poloji ve cebir gibi ayr ayr teorilerin bir araya gelerek olu-turduu btnn de tesinde matematik ok daha geni an-lamda bir btndr. Matematik ok byk bir krallktr veancak onu grebilenler ona sahip olur. Grebilenler mate-matik sezgisi ile kutsanmlar bu glerinden gurur duyarve gremeyenlerin yannda hakl bir stnlk duygusuna

kaplrlar. Sradan insanlar iin dndkleri, bir jet pilotu-nun yer personeli iin ya da eskiden ngilizlerin kta Avrupas uluslar iin dndklerine benzer.

Matematik bir tr entellektel yogadr zveri, g ve ka-rarllk ister. Gerek bir matematiki sanatna kendisindenok ey katar. Szcklere dklsn ya da dklmesin, bilin

stne ksn ya da kmasn, matematikinin beyni sreklibiimde garip kavramlar ve karmak balantlarla urar(Bilinaltnn matematiksel bulularda rol oynamas ok skgrlen bir durumdur Henri Poincare bunun ok gzel birrneini verir)'3. Beynin matematiksel dnme biimininegemenliine girmesi ve bu dnme biiminin baka hi bireye benzememesi matematikiye dier insanlardan apayrbir konum kazandrmtr. Bu da Kolmogorovun ileri srd- gibi gerek matematikinin psikolojik geliiminin durma-sn anlalabilir klmaktadr.

Peki, ya fizikiler? Matematikiler ve fizikiler ou za-man dman kardeler gibidirler ve aralarndaki farklarabartmaya eilim gsterirler. Dier yandan Galileonun de-

dii gibi matenj^tik fiziin dilidir 4 ve bir teorik fiziki herzaman iin bir lde de matematikidir. Bu nedenle Arimed, Newton ve bir ok dierlerinin bulular her iki alandada gereklemitir. Doruyu sylemek gerekirse, fizik mate-matikle ok yakndan balantl ama ayn zamanda da ma-tematikten ok farkl bir bilimdir. imdi bunu biraz daha a-maya alacam.

Fiziin amac evremizdeki dnyadan bir anlam kar-maktr. Bu yzden eer bir fizikiyseniz ayn anda herey*birden anlamaya kalkmaz, bunun yerine gerek paralan*m tek tek incelersiniz Belli birgerek parasn ele alaa*


15/190

9

onu bir matematik teorisinin yardmyla tanmlamaya al-rsnz. Balangta belli bir fenomen grubunu seip bugrupla ilgili fizik kavramlarn saptadktan sonra seecei-niz bir matematik teorisinin amalan ile fizik kavramlarnzarasnda bir balant kurarsnz'5 ve sonuta ortaya birfizik teorisi kar. Fiziksel ve matematiksel kavramlar arasndakurduu balantlar ne denli ayrntl ve tanmlad feno-

menler grubu ne denli genise bir fizik teorisinin o denli iyiolduu kabul edilir, ama teorinin matematiksel blmnnuygulanabilirlii de nemlidir. Genelde fizikiler daha kar-mak olmasna karn doruluk derecesi daha yksek olma-yan matematik teorileri yerine daha basit ve amaca dahauygun olanlar seerler.

Fiziksel bir kavrama ilikin ilevsel bir tanmlamann tek

geerli tanmlama olmadn bilmek ie yarar. Bu konudakibilgimiz arttka ilevsel tanmlamalar daha derinlemesineanaliz edebiliriz ama yine de bunlar ait olduklar matematikteorisinden daha az kesinlik tar. rnein kimyasal deney-ler sz konusu olduunda yeterince saf bir katalizr semekistersiniz ve bazen gereinden fazla titiz davranp tehlikelikatalitik etkileri bulunan kirleticileri ok sk biimde snr-larsnz. Ama eer akla gelebilecek her tr kirleticinin ora-nn milimetrik olarak nceden saptama abas iine girerse-niz sonuta hi bir deney yapamazsnz. Fizikle ilgilenenherkesin eninde sonunda karlat eliki udur: Elle tu-tulur nesneler zerindeki kontrolnz maddesel varl ol-mayan natematiksel olgular zerindeki kontrolunuzdan da

JSaazdrrBazIan bu durumdan ylesine tedirgin olurlar kifizkTomak yerine matematiki olmay seerler.Fizik teorileri konusunda basit bir rnek olarak zar oyunu

teorisini ele alalm. Burada anlalmasna allan gerekparas zar oyunu srasnda ortaya kan olaylardr. Zar oyu-nu teorisinde bamszlk kavram nem tar: birbirini izle-yen atlarn her birinin ncekilerden tmyle bamsz ol-

mas gerektiinden her attan nce zarlar iyice alkalanma-ldr. Teorinin kestirimlerine bir rnek verirsek, iki zar s


16/190

10 Matematik ve Fizik

tste bir ok kez atld takdirde sonu her onsekiz attabir toplam 3 (yani 2 ve 1) olur.

imdi buraya kadar anlattklarmz zetleyelim. Bir mate-matik teorisi ile bir fiziksel gerek parasn biraraya getirdi-imiz zaman ortaya bir fizik teorisi kar. ok sayda fenome-ni kapsayan ok sayda fizik teorisi olduu gibi belli bir feno-

men iin ou zaman birden fazla farkl teorinin retildiinide grrz. Baz durumlarda bir teoriden dierine yaklak(ve genelde kontroll olmayan) kestirim yolu ile geilebilir.Bazen de birbiriyle uyumsuz ve hatta elikili grnen kav-ramlara dayal farkl teoriler arasnda ortaya kan balant-lar ciddi kavramsal sorunlar yaratabilir. yle ya da byle, s-

rekli biimde bir teoriden dierine atlamak fizik yapmannnemli bir blmn oluturmaktadr. Profesyoneller kuan-tum dzeltmeleriya dagrecesizlik snrna baktklarn sy-lerler, ya da ileri srlen gr ieriinden anlalabilir ol-duu iin hi bir ey sylemeye gerek duymazlar. Bu koullaraltnda fizikiler arasnda geen tartmalar tmyle iin-den klmaz olmasa bile bir lde anlalmaz bir hal alr.

Peki, fizikiler bu karmaann iinde yollarn nasl bulur-lar? Bu soruyu yantlamak iin fiziin iinde yaadmz ken-dine zg evreni tanmlamas ynnden temelde bir btn-sellie sahip bulunduunu anmsamalyz. Matematiinbtnsellii farkl matematik teorileri arasndaki mantksalbalantlardan domaktadr. Buna karlk fizik teorilerininbirbirlerine mantk yoluyla balanmas gerekli deildir sadece ayn fiziksel gerei tanmlamalar bir btn olutur-malar iin yeterlidir. Normalde fizikilerin tanmlamayaaltklar gereklere ilikin varoluumcu kukular bulun-maz. ou zaman da belli bir fenomenler grubunu aklamakiin mantk ynnden birbiriyle uyumayan bir ka teoridenayn anda yararlanmak zorunda kalrlar. Byle durumlarda

bu uyumsuzluktan yaknp dursalar da u ya da bu teoriyidevreden kartacak denli ileri gitmezler en azndan tmbilinen gerek paralarn iinde toplayan tek bir teori bulun-caya dek!


17/190

11

Son olarak bir uyarda bulunmak istiyorum: Fiziin n-ceden belirlenmi mi, rastlantsal m olduu, yerel olup ol-mad vb. konulara ilikin genel ve soyut tartmalara higirmeyin. Bu gibi sorularn yant teoriden teoriye deitiigibi nceden belirlenmilik. rastlantsallk ya da yerelliin

belli bir teoride oynad role de baldr. Fizikle ilgili an-laml bir tartma her zaman iin uygulamaya dayanan birbilgi birikimini gerektirir. Buna ya daha nce kantlanmbir teorinin yardmyla sahip olacak, ya da en azndan ilkeolarak uygulanabilirlii bulunan bir deneye ilikin yeterliderecede ak bir tanmlama ile kendiniz salayacaksnz.


18/190

12 Rastlant ve Kaos

III. BLM

Olaslklar

Rastlantya ilikin bilimsel yorumlarn balang noktasolaslk hesaplardr. Olaslk ilk bakta basit ve ak birkavram gibi grnse de bu onun kolaylkla kodland veformle edildii anlamn tamaz. Sezgiden bilime giden

yolda dikkatle ve zenle yrmek zorundayz. imdi konuyadaha yakndan bakalm.

leden sonra yzde doksan olaslkla yamur yaacak,bu nedenle emsiyemi yanma almalym. Bir olasln szkonusu olduu bu ve benzeri ifadeler bir karar alnmasngerektiren durumlarda ska kullanlr. Burada yamur ya-

mas olasl 90/100, 9/10, ya da .9dur. Yaygn kullanmdaolaslklar yzde sfr ile yzde yz, ya da matematiksel an-latmla 0 ile 1 arasnda deiir. 0 (yzde sfr) olaslk ola-nakszl, 1 (yzde yz) olaslk ise kesinlii ifade eder. Bel-li bir olayn gerekleme olasl ne 0 ne de 1 ise belirsizlikszkonusudur, ama bunun da dereceleri vardr. rnein ger-ekleme olasl 0.000001 (milyonda bir) olan bir olay nor-

mal koullarda beklenmeyen bir olaydr.stlendiimiz bir iin baaryla sonulanmas nceden bi-

linen ya da bilinmeyen bir takm koullara baldr. Bu yz-den bilinmeyen koullarn ortaya kma olaslnn dorubiimde hesaplanabilmesine yarayan olaslklarla ilgili bir

fizik teorisine gereksinim duyarz. Fizik szcn zelliklevurgulamak isterim zira olaslklar salt matematiksel a-

dan hesaplamak yeterli deildir, ayrca sonularn fizikselgerek ile karlatrlmas da zorunludur. Eer matematik-sel sonula fiziksel gerek arasndaki balantya gerekennemi vermezsek elikiler arasnda skp kalabiliriz. Bu


19/190

13

nedenle, leden sonra yamur yamas olasl .9 dur gi-bi bir yargya varmadan nce biraz dnmek gerekir. Buyargnn ilevsel anlam en azndan kesin deildir ve bu aa-mada stats de kukuludur.

u ifadeyi ele alalm: Havaya bir para atld zaman ya-z gelmesi olasl .5tir. Bu kestirim en azndan para atl-

madan nce mantksal adan doru gibi grnse de parayere dt anda yanl olur zira o zaman belirsizlik orta-dan kalkmtr. Parann yaz m tura m gelecei hangi andakesinlik kazanr? Klasik determinizm (nceden belirlenmilik) teorisini kabul ettiimizi, yani evrenin belli bir zaman-daki durumunun herhangi bir dier zamandaki durumunu

belirlediine inandmz dnelim. Bu takdirde havayaattmz parann hangi yznn stte kalacak biimde d-eceinin evrenin oluumu annda belirlenmi olduunu ka-bul ediyoruz demektir. Bu durumda olaslk hesaplarm biryana m brakacaz, ya da ancak klasik teorinin yerine ku-antum teorisini benimseyerek mi olaslk hesaplarndanbahsedebileceiz? Hayr! Fizik byle ilemez. Doru yakla-

m, olaslklar ne klasik ne de kuantum mekanii tarafn-dan snrlandrlmam biimde ele almaktr. Ancak kav-ramlarmz matematiksel ve ilemsel olarak belirlediktensonradr ki olaslklarn determinizm, kuantum mekanii vedierleri ile balantlarm incelemek iin daha uygun bir ko-numa gelmi oluruz.

Olaslklar konusunu ele alrken savunmak istediim d-nsel yaklam aklamak istiyorum. eitli fenomen (yada daha nce kullandm deyimle gerek paras) gruplariin olaslklar ieren idealizasyonlar vardr. Bunlarn il-ginlii kullanl olmalarndan kaynaklanr: Bir paray ha-vaya attmz zaman yaz ya da tura gelmesi olaslklarnneit olduunu bilmek ie yarar. Ayn ilemi 20 kez tekrarla-dmz zaman her defasnda yaz (ya da tura) gelmesi olas-lnn milyonda birden daha dk olduunu bilmek de ya-rarldr. Olaslklar hesaplamak bize ileri tmyle belirsizrastlant ya brakmaktan daha somut bir eyler salar.


20/190

14 Olaslklar

imdi de bu bir eylere mantksal ve ilevsel alardan da-ha ak tanmlar getirelim.

Olaslk hesaplaryla (ya da genel olarak kat bitenle) faz-la tanklnz yoksa bu blmn geri kalan size biraz s-kc gelebilir. Yine de atlamadan okumanz neriyorum. Bu-rada yapmak istediim ey size bir fizik teorisi rnei ver-mektir ilevsel olarak tanmlanmam fiziksel kavramlar,

bir matematik teorisi ve fiziksel kavramlar ile matematikselkavramlar arasnda kurulan balantdan oluan bir fizik te-orisi. Olaslklar teorisini ele alacam zira fizik teorileristandartlarna gre bu olduka basit b ir teoridir.

Olaslklar teorisi, olaslk (A ) = . 9 gibi formller ileoynama sanatdr. Bu formln anlam, "A" olaynn gerek-

leme olaslnn yzde 90 olduudur. Matematiksel adanA belli kurallara gre istenen yne ekilebilen bir simge-dir. Fizikte ise "A", leden sonra yamur yamas gibigerek bir olay gsterir ve ilevsel olarak tanmlanmas ge-rekir (rnein, leden sonra bir yrye kmaya kararverebilirim ve eer yam ur yaarsa bunu farkederim: Fizik-

te ou zaman olduu gibi bu ilevsel tanmlamada da biroranda belirsizlik sz konusudur, zira belki yrym sra-snda bir kamyonun altnda kalrm ve bylece meteorolojikonusundaki bilgeliimin de sonu gelir.).

A deil olay da matematik asndan sadece bir bakasimgedir. Fizikte ise bu A olaynn gereklememesi anla-mn tar. Yukardaki rnee uygulayacak olursak A deil, leden sonra yam ur yam ayacak demektir.

imdi de Anm yansra yeni bir olay olan Byi ele alalm.Yine matematiksel adan bu bize yeni olaylarn tanmlanma-sna yarayan simge gruplan (rnein A ya da B> A ve B gibi)salar. Fizik ynnden ise B", rnein leden sonra yamurdeil, kar yaacak ya da elimden drdm ekmek dilimi-

nin yal yz altta kalacak gibi bir anlam tayabilir. A yada B olay fizik balamnda A* gerekleecek, B gerekle-ecek, ya da hem A hem B gerekleecek anlamn tar. AveBolay ise A ve Bnin birlikte gerekleeceini gsterir.


21/190

15

imdi de olaslklarn matematiksel anlatmn temelkuralla zetleyelim:

(1) Olaslk (A deil) = 1 olaslk (A );

(2) A ve B nin birbiriyle eliik olmas halinde olaslk(A ya da B ) = olaslk (A ) + olaslk (S );

(3) A ve B nin birbirinden bamszolmas halinde ola-

slk (A ve B) = olaslk (A") x olaslk (B ).Bu kural biraz sonra tekrar ele alacaz ama nce

bunlarn eliik ve bamsz gibi yeni ve tanmlanmamkavramlar ierdiine dikkatinizi ekmek istiyorum. Bu ki-tap olaslklar konusunda bilimsel bir aratrma olsayd buaamada ters, ve, ya da ile eliik ve bamsz gibi matema-

tiksel kavramlarn nasl kullanlacana ilikin bir takmkurallara deinir ve sonsuz olay kmeleri ile ilgili baz te-mel ilkeleri ortaya koyardk. Doal olarak bunlar da nemli-dir ama amacmz bu olmad iin iin bu blmne girmi-yoruz.

Olaslk hesaplarnn matematiksel temellerinia) byleceksa ama doru bir biimde saptam bulunuyoruz. imdi deayn derecede nem tayan ikinci aamaya, yani olaslk he-saplarnn fiziksel ereveye oturtulmasna sra geldi. Asln-da fiziksel ereve yerine eitli fiziksel ereveler demek ge-rekiyor, zira olaslklar birbirinden ok farkl durumlardaortaya kar ve ilevsel tanmlar da buna bal olarak dei-ir. Buna karlk biz burada genel tanmlarla yetineceiz.

Fiziksel adan iki olay eer birlikte gereklemeleri ola-naksz ise eliikolarak nitelenir. Diyelim ki olay A ve olayB srasyla leden sonra yamur yaacak ve ledensonra yamur deil, kar yaacak olsun. Bu durumda A veB eliik olaylar olduundan yukardaki Kural 2ye grebunlarn olaslk oranlarn toplarz. yle ki, yzde 90 ya-mur olasl + yzde 5 kar olasl = yzde 95 yamur ya

da kar olasl. Bu da bize yeter.Dier yandan, iki olay eer birbiri ile ilikili deilse ya da

baka bir deyile birinin gereklemesi dierinin gerekle-mesi ya da gereklememesini etkilemiyorsa bunlar bamsz


22/190

16 Olaslklar

olaylardr. rnein A ve B olaylar srasyla leden son

ra yamur yaacak ve elimden drdm ekmek dilimi-nin yal yz altta kalacak ise, birbiriyle hi bir ilikisi bu-lunmayan bu iki ulayn bamsz olaylar olduunu syleriz.Bu durumda Kural 3 uygulayarak bunlarn olaslk derece-lerini arparz:. 9 yamur olasl x . 5 ekmek diliminin yalyznn alta gelecek biimde dmesi olasl = . 45 her iki

olayn da gereklemesi olasl. Yani, leden sonra yamuryamas olasl yzde 90 ve ekmek diliminin yal yznnaltta kalmas olasl yzde 50 olduuna gre darda ya-mur yaarken halya ya bulamas olasl yzde 45tir2.

Bylece 2 ve 3 numaral kurallarmzn ilerliini kantla-m oluyoruz. Kural 1 ise sadece yam\iY yamas olasl

yzde 90 ise yamamas olasl yzdelOdur diyor ki bunakimsenin kar kacan sanmyorum.Yukarda ele aldmz iki kavramdan biri olan bamsz-

lk kavram dierine kyasla biraz daha tartmaya aktr.Mantk ve deneyimin gsterdiine gre baz olaylar birbirin-den bamsz biimde gelise de zaman zaman beklenmedikdurumlar ortaya kabilir. Bu nedenle bamsz gibi grnenolaylara ilikin olaslklarn 3 numaral kuralmza uy-duunu dorulamak gerekir. Bu balamda ilevsel tanm-lara da titizlikle uyulmaldr. rnein, zar oyununda zarlariyice salladktan sonra atmak arttr, zira ancak o zamanher at dierlerinden bamsz olacaktr.

Bylece olaslklarla nasl oynayabileceimizi renmi

bulunuyoruz ama henz bunlarn ilevsel adan ne anlamageldiklerini bilmiyoruz. O halde imdi A nin olaslk dere-cesini saptamaya alalm. Bunun iin A nin gerekleme-sini salayacak koullarda ok sayda bamsz deney yap-mak ve bu deneylerin kata kanda A mn gerekletiinigrmek yeterlidir; elde ettiimiz sonu A nin olasldr.(Bir matematiki iin ok sayda deney sonsuza dek sre-bilir). rnein, eer bir paray ok kez havaya atarsak buatlarn yaklak olarak yarsnda yaz (ya da tura) geldii-ni grrz ki bu da . 5 olaslk demektir.


23/190

17

Bu gzel ilevsel tanmlamay elde ettikten sonra imdide bugn leden sonra yamur yaacak tmcesiyle anlat-tmz olayn olasln nasl saptayabileceimize bakalm.Aslnda aramzdaki baz su katlmadk gerekiler bugnleden sonray her biri birbirinden bamsz biimde bir

ok kez tekrarlamann olanaksz olduunu ve bu nedenle szkonusu olasln bir anlam tamadn ileri sreceklerdir.Buna karlk meteorolojik koullara ilikin verileri kullana-rak bir bilgisayar yardmyla ok sayda simulasyon yapmakve bunlarn kata kanda yamur sonucunun ktn gr-mek yoluyla bu olasla anlam kazandrlabilir. Bu simulasyonlarm yzde 90nda sonucun yamur olmas halinde san-rm en su katlmadk gerekiler bile evden karken emsi-yelerini alacaklardr.


24/190

18 Rastlant ve Kaos

IV. BLM

Piyangolar ve Yldz Fallar

Bundan nceki blmde size temel matematiksel kuralla-r, ilevsel tanmlamalar ve dier ynleriyle olaslklar ta-nttm ve siz imdi belki btn bunlarn gerekten gerekliolup olmadn dnmektesiniz. Ne de olsa bunlar ok da-ha ksa biimde de anlatlabilirdi, rnein yle diyebilir-

dim: Birbiriyle elien olaylarn olaslklarn toplarsak yadaolasln elde ederiz; birbirinden bamsz olaylarn ola-slklarm arparsak ve olasln elde ederiz; belli bir olaynok sayda bamsz denemeler iinde grlme skl o ola-yn olasldr. Biraz dnnce bu kavramlar zihnimizdesaydamlk kazanr ve bylece konunun tartlacak bir yankalmaz. Dier yandan, eitli ans oyunlar, piyangolar veyldz fallar gibi eylerin yaygnl gz nne alndndaolaslklar konusunda insanlarn bilimsel dnceden nedenli farkl yaklamlara sahip bulunduklarn grmekteyiz.

Piyangolar toplumun daha az ayrcalkl kesimlerini ver-gilendirmenin yaygn ve kabul edilebilir bir biimidir. K-k bir bedel deyerek satn aldnz bir piyango bileti k-

k bir zengin olma umududur. Dier yandan byk ikrami-yenin size kmas olasl, sokakta yrrken banza birtula dmesi olasl gibi normal koullarda aklnza bilegetirmeyeceiniz denli dk bir olaslktr. Doruyu syle-mek gerekirse piyangodan salayabileceiniz irili ufakl ka-zanlar genelde uzun bir sre iinde satn aldnz biletlere

dediiniz paray karlamaz bile. Olaslk hesaplarna gre,dzenli olarak piyango bileti alyorsanz sonuta kaybnzkazancnzdan ok olacaktr. Kazanma ansnn yzde 10 veen yksek ikramiyenin bilet bedelinin 5 kat olduu ortahal-


25/190

19

li bir piyangoyu ele alalm. ok saydaki ekililerde kazan-ma olasl 1/10a yakndr ve bilet bedelinin 5 katn kazan-dnz iin toplam kazancnz dediiniz toplam bilet bedeli-nin yaklak yarsdr. Bylece net kazancnz negatif olur,yani harcadnz parann yaklak olarak yarsn geri ala-mazsnz. Sonuta ne denli ok bilet alrsanz o denli kayb-

nz olacaktr. Bu kural daha byk aptaki piyangolar iinde ayn biimde iler zira aslnda tm sistem piyangolar d-zenleyen kii ya da kurulularn kazan salamas ilkesizerine kurulmutur*1.

imdi de yldz fallar konusunu ele alalm. Burada olas-lk hesaplarna dayanan ve aslnda bir nceki blmde oku-duumuz 3 numaral kuraln deiik bir biimde formle

edilmesi ile ortaya kan Kural 4 geerlidir. Yani: (4) A ve B bamszsaOlaslk (A nin gereklemesi durumunda B)=olaslk (B).Dier bir anlatmla, A mn gerekletiini bilmek bize

B ye ilikin hibir ey sylemiyor ve ikinci olayn olasl(B) ninki ile eit kalyor. A ve Bnin bamsz olduklar-

n varsayarsak bu gr doru olur. (A ve Bbamsz de-ilse aralarnda korelasyonlar balantlar olduu syle-nir. 4 numaral kural ilgilenen okurlar iin kitabn sonundayer alan notlar blmnde aklamaya altm 2.

imdi de olaslklarn ne rol oynad ilk bakta grlme-yen ve daha ilgin bir konu olan yldz fallarna geiyorum.Tipik bir rnei ele alalm: Aslan burcunda doduysamz ge-

zegenler bu hafta sizin iin ok elverili bir konuma girecekve hem akta hem de ans oyunlarnda kazanacaksnz, amaeer burcunuz Balk ise bu hafta uakla yolculuk yapmayn,evden kmayn ve salnza zen gsterin. Astronomlarve fizikiler, X Aslan burcunda domutur ve X bu haftaans oyunlarnda kazan salayacak biiminde anlatlan iki

olayn birbiri ile balantl olduunu kesinlikle kabul etme-yeceklerdir. Ayn ey, X Balk burcunda domutur ve Xbu hafta uaa binerse bana bir ey gelecek biiminde an-latlan olaylar iin de sz konusudur. Gerekten de birbiri


26/190

20Piyangolar ve Yldz Fallar

ile hi bir ilgisi bulunmayan ve bu nedenle olaslklar teori-sine gre bamsz olan iki olay iin bundan daha iyi bir r-nek verilemez. Dolaysyla burada 4 numaral kural uygu-lar ve X in Aslan ya da Balk burcunda domu olmasnnans oyunlarnda kazanma olasln etkilemeyeceini sy-leyebiliriz. Bunun gibi, Balk burcunda domu bir kiinin

uakla yolculuk yapmasnn dier burlarda domu kiilerekyasla daha tehlikeli olmad da aktr. Sonu olarak yl-dz fallarnn hi bir anlam ve yarar yoktur.

Bylece bu konuyu karara balayp kapatabiliyor muyuz?Henz deil, zira astrolojinin savunucular XAslan burcun-da domutur ve Xbu hafta ans oyunlarnda kazanacak

tmcelerinin birbirinden bamsz olaylar anlattn kabuletmeyecekler ve bize ayn zamanda astrolog olan Hipparchus, Ptolemy ve Keppler gibi nl astronomlarn bir listesi-ni sunacaklardr. Bu durumda tartmay noktalamann eniyi yolu deneysel yntemlere bavurmaktan geer: Yldz fal-lar ile gerekler arasnda balant bulunduunu kantlayanistatistiksel veriler bulabilir misiniz? Doal olarak yantolumsuzdur ve bylece astrolojinin tmyle uydurma olduuanlalr. Dier yandan astrolojinin bilim adamlarnca d-lanmasnn bundan farkl bir nedeni bulunduunu da ekle-mek gerekir: Bilim evrene ilikin bilgimizi yle bir biimdedeitirmitir ki eski alarda olanaksz grlmeyen bir ta-km balantlar bugn evrenin yaps ve fizik yasalarnn do-

as gibi konularda bildiklerimizin nda kabul edilebilirolmaktan kmtr. Astroloji ve yldz fal eski alara aittirve ada bilim iinde yer almalar szkonusu deildir.

Dier yandan durumun bu denli basit olmadn ve enazndan ciddi bir tartmay hak ettiini de sylemeliyim.Tm fiziksel cisimler arasnda var olan evrensel ekim gcnedeniyle Vens, Mars, Jpiter ve Satrnn yal gezegeni-miz zerinde bir takm fiziksel etkileri bulunduunu biliyo-ruz. Bu etkilerin olduka nemsiz saylabilecek lde kald-n dnrsek bunlarn yaammzda hi bir rol oynama-dn ileri srebiliriz ve ite bu noktada yanlgya deriz


27/190

21

Baz fiziksel olgular (rnein hava koullan) d etkenlerekar byk bir duyarllk gsterir, yle ki en kk bir ne-den bir sre sonra nemli etkiler yaratabilir. Bu yzden Ve-nsn ya da bir baka gezegenin belli bir konumda bulun-masnn hava koullarn etkileyecei ve bu durumun gzlegrlr bir takm sonulara yol aaca dnlebilir. lerde

de greceimiz gibi, bugn leden sonra yamur yap ya-mayacann dier bir ok etkenin yansra Vensn bir kahafta nceki ekimsel etkisine de bal olduunu gsterenbaz belirtiler bulunmaktadr. Dier yandan dikkatli baka-cak olursak Vensn hava koullarn etkilediine ilikinolarak ileri srlen tm varsaymlarn ayn zamanda bizi bu

etkinin tam olarak ne olduunu renmekten alkoyduunuda grrz. Dier bir deyile, bugn leden sonra yamuryamas ile Vensn u ya da bu konumda bulunmas olas-lklar teorisinin uygulan bakmndan birbirinden bam-sz olaylardr. te yandan, tm bu sylediklerimizin mantkynnden geerli olmasna karn olayn bu denli basit oldu-

unu dnmek saflna da dmemeliyiz(3).Tartmamz srdryoruz. Yldzlarn ve gezegenlerinbizi olaslklar teorisi asndan anlam tayan balantlarkurmaya gtren etkilerinin grld durumlar gerektenvar mdr? Diyelim ki biraz kak bir astronom var ve buastronom yapt Vens gzlemlerine dayanarak kanl cina-yetler ilemekte; bu durum bize belli yldz fallanna ilikin

ilgin balantlar salamaz m? Ayrca bu olmayacak bir eyde deil Vensn evrimini dikkatle izleyen Mayalann ay-n zamanda akmaktandan yaplm hanerlerle gs de-ip kalbi yerinden koparmak gibi bir yntemle insan kurbanetmeye ok merakl olduklann da biliyoruz. Demek ki insanbeyninin devreye girmesiyle ortaya kan bir mekanizma as-

lnda daha nce birbiri ile hi bir ilgisi bulunmayan olaylararasnda balant kurabilmektedir. O halde olaylarn ger-ekten bamsz olduklanndan nasl emin olabiliriz?

Gnmzde bilim adamlan evrenin dzeni ve ileyii ko-nusunda olduka ayrntl bilgilere sahiptirler. Dolaysyla


28/190

22Piyangolar ve Yldz Fallar

birtakm balantlarn varl ya da yokluunu ounluklakesin biimde saptayabiliyoruz. rnein, kimyasal bir tepki-menin hznn safszlklarn varlndan nemli lde etki-lenebileceini, ama Ayn konumunun byle bir etkisi bulun-madn biliyoruz. Kukulu bir durum varsa dorulamayntemlerine de bavurabiliriz. nsan zekasnn normalde

szkonusu olmayan baz balantlar kurabildii dorudur,ama bunun da snrlar olduunu bilmekte yarar var.

Aslan burcunda doduysanz bu hafta iinde akta veans oyunlarnda kazan salayacaksnz. Gezegenlerin ko-numu ile ydz fal merakls X in zel yaam arasndakibalantlara ilikin ne syleyebiliriz? Yukarda belirttiimiz

gibi insan beyni devreye girdii zaman (Mayalan ve kakastronomu anmsayn) bu tr balantlarn kurulmas ola-naksz deildir. Bunun dndaki rnekler ilgi alanmza gir-medii iin stlerinde durmayacaz. Atalarmz evreni in-san beyninin rnleri olan tanrlar, eytanlar, cinler ve ben-zeri dsel varlklarla doldurduysa da bilim bunlarn tm-

n silip sprmtr. Tanrlar ld.... ve insann devreyegirmesi X in oyunlardaki ansm arttramaz. Bu nedenleAslan burcunda domu olmakla bu hafta ans oyunlarn-dan kazanl kmann birbirinden tmyle bamsz olaylarolduunu kabul ediyoruz istatistiksel bir aratrma da bu-nu dorulayacaktr. Gelelim X in aktaki ansna. Buradainsan zekasndan ok yldz fal merakls X in fallara ne

denli inand nem tar. nsan doas yledir ki bu haftaakta kazanacamza inanmak kendimize gvenimizi vebuna bal olarak da kar cinsle ilikilerimizde ansmzartrabilir.

Tm bunlardan karlabilecek tek sonu, biz insanlarnzaman zaman belirti ya da kehanet olarak yorumlad-

mz rastlantsal olaylara dayanarak mantk d yarglaravaryor olmamzdr. Bu davran biimi her zaman zararlolmayabilir rnein, duvara dayal bir merdivenin altndangemekten kanmak batl inan olabilir ama ayn zamandamerdivenin o anda kayarak bamza dmesi tehlikesine*


29/190

23

kar alnm bir nlemdir. Ayrca, ilerde de greceimiz gi-bi, oyunlar teorisi bize bazen anszn aldmz mantk dbir kararn yararl olabileceini de sylemektedir. Doruyusylemek gerekirse, tm karar ve davranlarmzda mantkyolunu izleme yeteneine sahip bulunduumuzu da iddiaedemeyiz.

Yine de olaslklar konusunda edineceimiz bilgi bizi bazyanlglara dmekten alkoyabilir. Olanaklar kstl insan-larn piyango ve ans oyunlarna yatrm yapmalar ve by-lece daha yararl biimde kullanabilecekleri bir paray soka-a atmalar zc bir durumdur. Yldz fallarna gelince benim de zaman zaman bunlar okuduum oluyor uzak l-

kelere yolculuklar, romantik karlamalar ve uzak bir ak-rabadan kalan byk miraslara ilikin kehanetleri oldukaelendirici bulduumu da sylemeliyim. Fazla ciddiye aln-madklar srece bunlarn kimseye bir zarar dokunmaz. Di-er yandan bir takm i adamlarnn ya da kurulularn uya da bu kiiyi ie almak konusunda burlara dantn

duymak dorusu insan kzdryor. Bu tr astral ayrm-clk saflktan da te, hi ho olmayan bir davran biimidir.


30/190

24 Rastlant ve Kaos

V. BLM

Klasik Determinizm

Zamannakdnyay alglaymzn nemli bir blmn oluturur. Rastlant'nin da byle olduunu grdk. Buikisi arasmda nasl bir balant bulunmaktadr? Paray ha-vaya atmadan nce yaz (ya da tura) gelmesi olaslnn

yzde 50 olduunu biliyoruz. Paray atyoruz ve diyelim kiyaz geliyor. Sonucun byle olaca tam olarak hangi andakesinlik kazanr? Bu soruyu kendimize daha nce de sordukve yantlamann kolay olmadn grdk. Bu noktada kar-mza birden fazla fizik teorisi ile tanmlanan bir gerek par-as kyor ve stelik bu farkl teoriler arasndaki balant-

lar bulmak olduka g bir i gibi grnyor. Rastlantytanmlayan olaslklar teorisini daha nceki blmlerde ta-nm bulunuyoruz. Zaman kavramn tanmlamaya gelinceiler biraz karyor zira bunu yapabilmemizi salayacak enaz iki ayr teorinin varln gryoruz: klasik mekanik vekuantummekanii.

Bir an iin havaya para atmay bir yana brakalm vemekanik konusunu ele alalm. ster klasik ister kuantumolsun, mekaniin amac bize evrenin zaman iinde ne gibibir deiimden getiini aklamaktr. Bu nedenle meka-nik bilimi gezegenlerin gnein evresinde ya da elektron-larn atom ekirdeinin evresinde nasl dndn ak-lamak zorundadr. Byk cisimler iin kusursuz sonular

veren klasik teori atomlar konusunda yetersiz kalr ve budurumda kuantum teorisi bize yol gsterir. Kuantum me-kanii sayesinde daha doru sonular elde edebiliriz, amauygulanmas daha gtr ve daha ok zen gerektirir. Di-er yandan her iki mekaniin de k hzna yaklaan hiZ'


31/190

25

lara sahip cisimlere uygulanmas olanakszdr; byle durum-larda Einstem m grelilik teorisini kullanmak zorunlu olur.Bu ya zel grelilik ya da ekim esi de sz konusuysa ge-nel grelilik olacaktr.

Bu noktada bana neden klasik ya da kuantum mekaniiy-

le yetinmek zorunda olduumuzu sorabilirsiniz. Tm kuan-tum ve grelilik etkilerini de hesaba katarakgerekmekani-i kullanamaz myz? Ne de olsa bizi ilgilendiren konu u yada bu klasik ya da kuantum kavramndan ok gerekte varolan biimiyle evrenin kendisi deil mi? imdi bu nemli so-ruyu yantlamaya alalm. Hereyden nce elimizin altn-

da birgerek mekanik bulunmadn kabul etmek gerekir.Benim bu satrlar yazmakta olduum u ana dek fizikselevren (grelilik, kuanta, atomalt paracklarnn zelliklerive ktle ekim gc) konusunda elimizdeki tm bilgilerikapsayan genel bir teori ortaya konmu deildir. Her fizikibyle bir teorinin bulunduunu grmek ister ve belki de buhayal bir gn gerekleecektir, ama bugn iin bu sadece birumuttur. nerilen teoriler arasnda birinin bir gn doruteori olduu ortaya ksa bile bugn iin byle bir ey henzsz konusu deildir; yani evrenin yaptalarnn ktleleri,birbirleriyle etkileimleri ve benzeri konularda bize kar-latrmal eriim salayan bir teori yoktur. Bu durumda ya-plabilecek en iyi ey olabildiince yaklak bir mekanie

bavurmaktr. Bu blmde klasik mekanii bu adan elealacaz. Daha sonra inceleyeceimiz kuantum mekaniininbiraz daha somut fiziksel kavramlara dayandn ve bu ne-denle de bu mekanik ile rastlant arasndaki ilikinin anali-zinin daha karmak olduunu greceksiniz. Tm belirtilerkuantum mekaniine ait fiziksel kavramlara sezgi yoluylaeriilmesinin kolay olmadn gstermektedir. Bu yzden

rastlant ile zaman arasndaki balanty aratrmada bili-nen fiziksel kavramlaryla klasik mekanii kullanmak daha uygun olacaktr. Yukarda da belirttiim gibi mekaniinamac evrenin zaman iindeki deiimini irdelemektir. Me-kanik dier konularn yansra bizi gezegenlerin gnein


32/190

26Klasik Determinizm

evresindeki dn, roket gdml bir uzay aracnn izledi-i yol ya da adal bir akkann ak zellikleri gibi konu-larda bilgilendirmek, ya da ksaca fiziksel sistemlerin za-man iindeki evrimini aklamak zorundadr. Bunun naslgerekletirilebileceini tam olarak kavrayan ilk bilimadamNewton olmutur. Newtonun kullandndan daha anlalr

bir dille anlatrsak, bir fiziksel sistemin belli bir zamandakidurumu,o sistemin ktle merkezinin konum ve hz tarafn-dan belirlenir. Bu nedenle gezegenlerin, uzay aralarnn yada ak halindeki adal bir akkann ierdii tm noktala-rn konum ve hzlarn bilmek zorundayz (dier yandan birakkan szkonusu olduunda sonsuz sayda nokta ve bunabal olarak gz nne alnacak sonsuz sayda konum ve hz

bulunduunu da belirtmeliyim).Newton mekaniine gre, fiziksel bir sistemin belli bir za-

mandaki buna balang zaman diyoruz durumunu, yanikonum ve hzlar biliyorsak dier herhangi bir zamandaki du-rumunu da kestirebiliriz. Bunu nasl yaparz? Burada yeni birkavrama, yani sistemi etkileyen kuvvet kavramna gereksi-

nim vardr. Belli bir sistem iin kuvvet, zamann her anndasistemin o andaki durumu tarafndan tanmlanr. rnein ikigk cismi arasndaki ekim bu cisimlerin arasndaki uzaklnkaresiyle^ ters orantldr. Newton ayrca bir sistemin duru*munda zaman iinde oluan deiim ile bu sistemi etkileyenkuvvetler arasndaki ilikiyi de ortaya koymutur (bu ilikiyinotlar blmnde Newtonun denklemi ile veriyorum)'1'. Bir

sistemin balang durumunu biliyorsak bu durumun zamaniinde urad deiimleri ve buna bal olarak sistemin her-hangi dier bir zamandaki durumunu da saptayabiliriz.

Yukarda size Newton mekanii (ya da bugnk adyla kla-sik mekanik) olarak bildiimiz bu evrensel felsefeyi ok ksabiimde tantmaya altm. Klasik mekaniin ayrntlarna

girmek matematiksel yntemler gerektirdii iin burada by-le bir giriimde bulunmayacaz. Dier yandan matematikselayrntlardan uzak durmak kouluyla Newton teorisinin ier'dii baz ilgin noktalara ksa bir bak atabiliriz. Newton un


33/190

27

grleri zamannda birok bilim adam iin artc olmu-tu. zellikle Rene Descartes gkcisimleri konusunda Newton tarafndan ileri srlen uzaktan etki kavramn kabuletmeyerek bu gr anlamsz ve mantk d olarak nitele-miti. Newtona gre fizik bir gerek parasn ele alp bunabir matematik teorisi katmak ve bilinen gerekleri bu yol-

dan kantlamakt. Byle bir yaklam fazla basit bulan Des-cartes ise uzaktan etkilemeden ok, stste binmi iki di-lideki gibi temas kuvvetlerini ele alan mekaniksel bir akla-may yelemekteydi. O zamandan bu yana fiziin geirmiolduu evrim Newton,un hakl olduunu gstermitir. Des-cartes bir paracn konumu ve hznn ayn anda kesinlikle

saptanamad kuantum mekaniini tanm olsa acaba nednrd?Newton mekaniine geri dnersek, bu teorinin dnyamza

ilikin olarak tmyle determinist bir portre izdiini gr-rz: Evrenin geliigzel seilmi bir balang zamandakidurumunu biliyorsak herhangi bir baka zamandaki duru-munu da saptayabiliriz. Laplacen determinizme ilikin n-

l aklamas


34/190

28 Klasik Determinizm

nin yaz m tura m gelecei klasik mekaniin yasalar tara-fndan amaz biimde belirlenmitir. Doay anlayabilmeyolunda rastlantnn ve olaslklarn nemli bir rol oynad-n bildiimiz iin ilk anda determinizmi yadsmaya eilimgsterebiliriz. Gerekte ise rastlant ile determinizmin eli-kili gibi grnmesi yanl bir izlenimdir. Bu konuya ilikin

daha ayrntl bir aklamay ilsrki blmlere brakp bura-da bu izlenimi nasl deitirebileceimize ksaca deinmekistiyorum.

Bilmemiz gereken ilk ey rastlant ile determinizm arasn-da mantksal adan bir eliki bulunmaddr. yle ki, birsistemin balang durumunun ierdii koullar nceden be-

lirlenmi olabildii gibi rastlantsal yoldan ortaya km daolabilir. Daha teknik bir anlatmla, sistemin balang duru-munda belli bir lde olaslk pay bulunabilir. Eer durumbyleyse sistem herhangi dier bir zamanda da rastlantsal-lk esini ierecek ve bu da yeni bir olaslk paynn ortayakmasna yol aacaktr. Bu yeni olaslk pay da mekanik ya-

salarnn uygulanmas ile determinist yoldan saptanabilir.Herhangi bir sistemin balang durumu uygulamada hibirzaman yzdeyz bir kesinlikle bilinemeyecei iin dk biroranda bile olsa rastlantnn herzaman hesaba katlmas ge-rekir. lerde de greceimiz gibi balang durumunun ierdi-i ok kk bir rastlantsallk daha sonraki bir aamada okdaha byk boyutlar kazanabilir. Grdmz gibi uygula-

mada determinizm rastlanty ortadan kaldrmamaktadr.Ancak, istenirse klasik mekanik rastlant ya da geliigzellie hi yer vermeden de anlatlabilir. Buna karlk ilerde degreceiniz gibi kuantum mekanii iin ayn ey sylenemez.Geni fenomen gruplan iin yaptklar tanmlamalar hemenhemen ayn olmasna karlk bu iki fiziksel gerek anlatm

kavramsal adan birbirinden ok farkldr.Rastlant ile determinizm arasndaki iliki fizikiler ara-snda her dnemde tartma konusu olmutur. Bunun en ye~ni rnei ise son zamanlarda Rene Thom ile lya PrigogiIearasnda srmekte olan bilimsel atmadr(3'. Bu iki biKTT1


35/190

29

adam arasnda bu konuda byk bir gr ayrl vardr.Dier yandan, gzle grlebilir fenomenler konusunda ciddibilim adamlarnn hi bir anlamazla dmemeleri ilgi e-kicidir (geri bunun tersi daha da ilgi ekici olurdu). ReneThoma gre madem ki bilimin amac yasalar oluturmak-tr, evrenin zaman iinde geirdii deiime ilikin bilimselbir aratrma da ister istemez determinist yasalarn bulun-

mas ile sonulanacaktr. te yandan bunun Laplacem de-terminizmi olmas gerekmez: pekala da bir olaslk paynynlendiren baz determinist yasalar elde edilebilir rast-lant ve geliigzellikten uzak kalmak sanld kadar kolaydeildir! Thomun gr, rastlant determinizm ikilemi vebununla balantl olan zgr irade konusu ynnden nem

tamaktadr. Aslnda Thom bize sorunun u ya da bu meka-niin seimi ile zmlenemeyeceini, zira her mekaniinznde determinizmin bulunduunu anlatmaktadr.

zgr irade konusu biraz daha kark olmakla birliktegzard edilemeyecek denli nem tar. nce size bu konuyailikin olarak kuantum mekaniinin kurucularndan biriolan Erwin Schrdinger in savunduu gr anlataym(4):Schrdingere gre, Laplace determinizmine kyasla kuan-tum mekaniinde rastlantya ayrlan yer bu mekaniin z-gr iradeye ilikin grlerle daha ok uyum salayacaumudunu glendirmitir. Ama, diyor Schrdinger, bu umutaslnda gereklemesi olanaksz bir dtr. Bunu da yleaklyor: Bakalarnn zgr iradesi bizim iin bir sorun

oluturmaz, zira onlarn aldklar kararlar konusunda t-myle determinist bir aklamay kolayca kabul edebiliriz.

Asl jo r u n determinizm ile kendi zgr irademiz arasndakiatmadan doar. Bu sorunu, eitli seeneklerin bulunduu

^amadalbnlardan yalnzca birini seerek kendimize karstlendiimiz sorumluluk olarak tanmlayabiliriz. Fizik ya-

salarnda rastlantya ne denli yer verirsek verelim bunun bi-ze bu sorunu ortadan kaldrma konusunda hibir yardm ol-mayacaktr. Geliigzel bir seim yapmakla kendimize karstlendiimiz sorumluluu g e r e k t i i gibi yerine getirdiimi


36/190

30 Klasik Determinizm

zi ileri srebilir miyiz? Aslna baklrsa ou zaman pek faz-la seme zgrlmz olduu da sylenemez. rnein, di-yor Schrdinger, nemli ve skc kiilerle dolu resmi bir ye-mee katlmak zorunda olduunuzu dnn (anlalan bukonuda epey deneyimi var), bu durumda skldka sklrs-nz ve bir an gelir ki masann zerine frlayp tm porselen

ve kristalleri tuzla buz etmek pahasna lgnca hoplaypzplamak gibi bir istek duyabilirsiniz, ama doal olarak bu-nu yapmazsnz. Masada uslu uslu oturmay srdrrkenzgr iradenizi kullandnz iddia edebilir misiniz? Dierbir durumda ise size ac vereceini bildiiniz, ama buramburam sorumluluk kokan bir seim yapmak zorunda kalabi-lirsiniz bu muhakkak ki geliigzel alnm bir karar olma-

yacaktr. Sonu olarak, rastlant zgr iradeyi anlamanzayardm etmez diyoruz. Schrdinger de zgr irade ile ne kla-sik mekaniin' determinizmi ne de kuantum mekaniininrastlantsall arasnda bir eliki grmemektedir.

zgr irade kavram ile balantl olarak bir de ncedenbelirlenmitik yasas'na dayanan eski bir teolojik soruya de-

inmek istiyorum: Tanr hangi ruhlarn kurtulua ereceini,hangilerinin ise sonsuzadek lanetleneceini nceden belir-lemi midir? Bu soru Hristiyan dnyasn ok uzun bir sreoyalayan konulardan biri olmutur. Burada zgr iradeninkarsnda determinizmden ok hereyi grebilen ve hereyiyapabilen bir Tanr kavram bulunmaktadr. Bu doktrininyadsnmas Tanrmn gcnn snrl olduunu iddia etmek

olurken kabul de tm erdemlilik abalarn yararszklacak niteliktedir. nceden belirlenmilik doktrini Aziz

Augustine (354440), Aziz Thomas Aquinas ( 1 2 2 5 - 1 2 7 4 ) , Protestan reformcu Jean Calvin (15091564) ve onyedincyzyl Jansencileri tarafndan savunulmutur. Doktrininkat biimlerine herzaman kar km bulunan Katolikkilisesinin ise konuya daha lml bir biimde yaklatnbiliyoruz. Bir zamanlar dnrleri ilgilendiren teolojik tatmalarn banda gelmi olan bu doktrin gnmzde artkanlamm yitirmi olup bu konuda ortaa Latincesi ile yaz1


37/190

31

m binlerce kitap sayfas tarihin karanlna gmlmtr.Gemiteki sorunlar bugn de yantlanmam olarakduruyorsa da artk hibir nem tamamakta ve yava yavaunutulmaktadr.

zgr irade konusundaki kiisel grlerim ilerki blm-lerde ele alacamz nceden kestirilebilirlik sorunu ile ba-

lantldr. Konuya biraz daha aklk getirmek iin birparadokstan yararlanabiliriz: Gelecei grebilmek iin fizikyasalarndaki determinizmi kullanan bir kahin bir yandanda zgr irade araclyla kendi kehanetlerinin aksinikantlamaktadr (Bilimkurgu yazarlar bu tr paradokslarok kullanrlar Frank HerbertinDuneve Isaac Asimovun

Foundation adl eserleri buna rnektir). Bu paradoks naslzmlenir? Bir zm, ya determinizmi ya da zgr iradeyidevreden karmak olabilir, ama bir seeneimiz daha var:Kahinin iini bir paradoks yaratacak denli iyiyapamadn varsayabiliriz. Diyelim ki Kahin belli bir sis-teme ilikin kehanetlerinin aksini kantlayarak bu yoldan

bir paradoks yaratmak istiyor bu durumda Kahinin ken-disi de sistemin bir blmn oluturacak, bu da sistemi ol-duka karmak bir hale getirecektir. Dier yandan sis-temin gelecei konusunda tmyle doru bir kehanettebulunmak iin ok byk bir kestirim gc gerektiindenbu i Kahinin yeteneklerini kolayca aabilir. Bu kk y-k basite indirgenmi bir sorunun yine basit bir anlatmla

ortaya konmas olmakla birlikte yle sanyorum kigelecein denetlenmesinin olanaksz oluunun nedenini (yada nedenlerinden birini) anlamamz iin yeterlidir. Anlat-tm durum ile Gdelin eksiklik teoremi arasnda bir ben-zerlik vardr. Bu teoremde de bir paradoksun irdelenmesi,karar vermenin olaanst uzun bir sre olmas nedeniylebizi sonularn doruluk ya da yanlln saptayamadmz bir konuma ulatrr. Ksaca sylemekgerekirse, zgr irademizin anlaml bir kavram olmasnnbalca nedeni evrenin ya da daha doru bir deyile bizimkendi karmaklmzdr.


38/190

32 Rastlant ve Kaos

VI. BLM

Oyunlar/

Normal zarlarn l den 6ya kadar deien saylar gste-ren 6 eit yzeyi vardr. Geliigzel saylar elde etmek iinbize gereken zarlarn ise O ile 9 arasnda deien saylarieren 10 eit yzeyi olmas gerekir. Normalde 10 yzeyli bir

polihedron(ok yzeyli cisim) yoksa da ikosahedronad veri-len 20 yzeyli bir polihedron bulunmaktadr ve biz bununher karlkl iki yzeyi zerine ayn sayy koyabiliriz. Buyirmi yzeyli zarn bir kez atl bize 0 ile 9 arasnda bir sa-y verir ve her saynn gelme olasl ayn, yani onda birdir.Ayrca, birbirini izleyen her atn bamsz olmasn salar-

sak sonuta birbirleri ile hibir balants olmayan bir takmsaylar elde ederiz. Byle bir zarla yaplan atlara ilikinolaslklar teorisi eitli olaslklar hesaplayabilmemizi desalar. rnein, stste atn toplamnn 2 olmas ola-sl binde 6dr.

Buraya dek ok ilgin bir ey sylememi olabilirim amayukarda deindiim geliigzel seilmi rakamlardan olu-

an saylar (rnein 7213773850327333562180647) ierenbasl listeler olduunu duymak belki sizi artabilir bylebir liste pek ie yarar bir ey gibi grnmese bile. Bu blm-de konumuz oyunlar teorisiolacak ve ben size bunun aksimkantlayacam.

e herkesin bildii bir oyunla balyoruz. Arkama sakla-dm ellerimin birinde bir bilya var ve ellerimi yumruk ya-

pp size uzatyorum siz bilyamn hangi elimde olduunutahmin edeceksiniz. Bunu bir ok kez tekrarlayp sonulanbir yere not ediyoruz. Ondan sonra ka kez doru ya da yanl tahminde bulunduunuzu sayyoruz ve kim oyunu kay


39/190

33

betmise kazanana beili bir para dyor, bira smarlyor yada buna benz 3r birey yapyor. Doal olarak her iki taraf daoyuna kazanmaya kararl olarak girer ama biz aynca her ikioyuncunun da vasatn stnde zekaya sahip olduunu var-sayalm. Eer ben bilyay her seferinde ayn avucumda ya

da dzenli biimde srayla bir sa, bir sol avucumda saklar-sam siz bunu ok abuk farkeder ve oyunu kolayca kazanr-snz. Dahas kullanabileceim buna benzer tm mekanikstratejileri de eninde sonunda anlarsnz. Peki, bu durum bi-ray smarlamak zorunda kalan tarafn herzaman ben olaca-m m gsterir? Hayr! Eer ben bilyay 1/2 olaslkla geli-

igzel biimde sa ya da sol elimde saklarsam ve el seimi-mi her seferinde tmyle bamsz biimde yaparsam sizindoru tahminde bulunma olaslnz yarya iner ve sonuolarak ne kazanr ne de kaybedersiniz.

Oyunu 1/2 olaslk zerinden ka kez oynarsak sizin bu-nun yars kadar doru tahminde bulunacanz bylece orta-ya km oluyor. Benim el seimim ile sizin tahmininizin ba-

msz olaylar olduunu syleyerek bunu kantlayabiliriz.Dikkat edin, bilyay hangi avucumda saklayacam konusun-da olduka geliigzel davranacam sylemedim. Siz be-nim sol ya da sa elim iin gstereceim en kk bir tercihiya da birbirini izleyen seimlerim arasnda greceiniz her-hangi bir balanty doal olarak bana kar kullanacak vebylelikle (oyun yeterince uzun srerse) yine kazanacaksnz.

Ben kurnazlk edip sizi yanltmaya ynelik bir stratejikullansam da siz tahminlerinizi tmyle geliigzel bir bi-imde yaparak bunu karlayabilirsiniz.

Gelelim benim (1/2 olaslkl) el tercihimde nasl her sefe-rinde bamsz bir seim yapabileceime: Eer geliigzelseilmi saylardan oluan uzunca bir listem varsa her ift

saynn sa ve her tek saynn sol ele karlk geldiini var-sayarak her seferinde bamsz bir seim yapmay garantile-mi olurum (benim el seimimle sizin tahmininizin tmylebamsz olaylar olduunu unutmamak kouluyla). Bylelik-le siz benim geliigzel saylardan olumu listemin varl


40/190

34 Oyunlar

m bilmediiniz gibi ben de size bilyay hangi avucumda sak-ladma ilikin bir ipucu vermemi olacam. Doal olaraksize telepatik mesajlar vererek de yardm etmeyeceim. (Te-lepatiye deinmiken unu da belirtmekte yarar var: zel-likle bu tr oyunlarla balantl olarak telepati konusundayaplan aratrmalar byle bir eyin kesinlikle var olmad-n kantlamtr).

Bu arada geliigzel seilmi saylardan oluan bir listeninbaz durumlarda nasl ie yarayacan da grdnz. Bylebir listenin nasl ele geirilebilecei ise ayr bir konu olup bu-nu ilerde tartacaz. imdilik oyunlarmza geri dnelim.

Oyunlar konusunda geliigzel davrann yararllFransz Emile Borel ve Macar asll Amerikal John von Neuman adl matematikiler tarafndan kantlanmtr. Doalolarak ekip halinde ya da bir ortakla oynuyorsanz geliig-zel davran genelde iyi sonu vermeyebilir ama bir bakaoyuncuya kar tek bana oynayan bir kiinin izleyebileceien iyi yol ou zaman kar tarafn beklemedii geliigzelataklar yapmaktr.

yle bir oyun dnelim ki benim eitli ataklar yapmaseeneim olsun ve siz kendi atanz benim ne yaptmbilmeden semek durumunda olun ayrca her karlklatan sonucuna gre kaybeden kazanana belli bir para de-sin. rnein benim atam bir bilyay hangi avucumda sak-

layacama karar vermek, sizinki ise bu konuda bir tahmin-de bulunmaktr. Doru tahminde bulunursanz benim size 1dolar demem gerekiyor, bilemezseniz siz bana 1 dolar (yada herhangi bir ey) vereceksiniz.

Bir baka oyun da yle olabilir: Ben birden fazla sna-n bulunduu bir sava alanndaym, siz de kk bir uak-la tam stmde daireler iziyor ve tepeme bir bomba atmak

iin frsat kolluyorsunuz. Normalde benim evredeki en sa'lam grnl sma semem ve orada saklanmam gere'kir ama sizin de normalde yapabileceiniz en doru i benimen iyi sma semi olabileceimi dnerek oray bombalamaktr. Bunu bildiim iin benim o denli salam grnm**


41/190

35

yen ikinci sna semem gerekmez mi? Eer ikimiz de okakllysak olaslklara dayanan stratejiler izleriz. rneinben evredeki eitli snaklar arasnda bana en fazla kur-tulma ans verecek zelliklere sahip olanlar arar, bundansonra nereye saklanacam belirlemek iin yaz tura atarya da geliigzel saylardan oluan bir liste kullanrm. Sizde beni vurma ansnzn en yksek dzeyde olduu smabelirlemek iin benzer biimde olaslklardan yararlanrs-nz. Bu size sama gelebilir ama ikimiz de aklc davranabiliyorsak yapacamz budur. Doal olarak ben hareketleri-mi gizlemezsem sizin iiniz daha kolaylar, buna karlksiz de nereyi bombalamay tasarladnz bana sezdirmemeye almalsnz.

Gnlk hayatta patronunuz, sevgiliniz ya da lkenizi y-netenlerin sizi ynlendirmeye altn sk sk grrsnz.Size nerdikleri oyun seeneklerden birinin kesinlikle da-ha parlak grnd bir seimdir. Bu seenekte karar kld-nz zaman karnza yeni bir oyun kar ve bylelikle ksabir sre sonra aklc seimlerinizin sizi aslnda hi bir za-man istememi olduunuz bir yere getirdiini grr ve tuza-a dtnz anlarsnz.

Bu noktaya gelmemek iin yapacanz ey arada bir bek-lenmedik biimde davranmaktr. En ekici grnen seenek-lerden uzak durduunuz zaman kaybettiiniz eylerin kar-lnda daha zgr olabilirsiniz.

Doal olarak hedefiniz sadece beklenmedik biimde dav-

ranmak deil, bunu belli bir olaslk stratejisine uygun ola-rak yapmaktr. imdi kesin biimde tanmlanm olaslklarkapsayan bu stratejiyi saptayalm. Belli bir oyunu aadakigibi bir demetablosu belirlesin:

Benim birden ok (rnein 3) seeneim, sizin de yine bir-den ok (rnein 4) seeneiniz var ve seimlerimizi bam-

sz olarak yapyoruz (Bu seimsizin seeneiniz j er ^ s n a a girmek ya

\ f da kat oyununda belli bir kaBENM 2SEENEM 3

o 4 2 d oynam ak trnd endir).7 - 2 3 7


42/190

36Oyunlar

Her ikimiz de seimimizi yaptmz zaman yukardaki tablo-da grld gibi ortaya baz demeler kacaktr. rneinbenim seimim olan 2 ve sizin seiminiz olan 4ten ortaya si-zin bana vereceiniz iki dolarlk bir deme kar. Eer be-nim seimim 3 ve sizin seiminiz 2 ise deme eksi iki dolarolur, yani ben size iki dolar derim.

Benim seimimi de belli olaslklara gre yaptm, si-zin de kendi drt seiminizde ayn yolu izlediinizi dne-lim. Tm bu olaslklar belli bir ortalama demeyi belirler kisizin iiniz bunu en az (minimum), benimki ise en ok (mak-simum) yapmaktr. 1928 ylnda J. Von Neumann tarafn-dan kantlandna gre sizin en azmz iin benim en

okum ile benim en okum iin sizin en aznz ayndr, kibu da nl minimaks teoremindir. Bunun anlam udur:Her ikimiz de ok akll oyuncular olduumuz iin nasl ayrgrlerde olacamz konusunda kesinlikle ayn grteyiz.

Sizin seimleriniz ile benim seimlerimin olaslklarn veortalama demeyi hesaplamak gibi matematiksel ayrntlara

girmiyorum. Genel bir nitelik tayan bu soruna lineer prog-ramlama ad verilir ve her iki tarafn seeneklerinin saysok yksek olmad srece bir glk oluturmaz. Lineerprogramlamann tam olarak ne denli g olduunu dahailerde greceiz.

Grdnz gibi oyunlar teorisi insana geliigzel saylarsalayan gizli bir kaynaa sahip olmasnn yararl bir ey ol-duunu gsteren sevimli bir matematik teorisidir. Dieryandan biz belki de hi bir eyin geliigzel olmad deter-minist bir evrende yaamaktayz. Eer Tanrnn bize zelbir telefon hatt araclyla geliigzel saylar vermesi desz konusu deilse bu durumda ne yapabiliriz? Evet ya zaratar ya da yaz tura oynar ve ilevsel olacak tanmlanm

belli koullar altnda bunun geliigzel sonular verecei*11ne sreriz. Yine de bir noktada bu geliigzelliin nasl otaya ktn bulmak zorundayz. Olduka karmak bunitelik tayan bu sorunu bundan sonraki blmlerde ealacaz.


43/190

VII. BLM

Balang Durumuna Hassas Ballk

Rastlant ve Kaos 37

Satran oyununu bulan bilge kiinin yksn biliyormusunuz? dl olarak kraldan satran tahtasnn ilk kare-sinin zerine bir, ikinci karenin zerine iki, nc kareninzerine drt pirin koymasn ve bu biimde saylar her se-

ferinde ikiye katlayarak satran tahtasnn tm karelerinipirinle doldurmasn istemi bu bilge. Kral nce bu isteiok alakgnll bulmu ve iinden bilge kiiye glm amaondan sonra bu istei yerine getirmek iin gereken ldepirinci biraraya getirmeye ne kendisinin ne de dnyanntm krallarnn servetinin yetmeyeceini grm. Bu yk-

nn doruluunu kantlayabiliriz: Bir sayy on kez ikiyekatlarsak o sayy 1024le arpm oluruz; bunu yirmi kezyaparsak bir milyonun stnde bir sayyla arpm oluruzve bu bylece srer gider.

Belli bir srenin sonunda ikiye katlanan ve yine aynuzunlukta bir sre daha geince tekrar ve tekrar ve tekrarikiye katlanan bir saynn stel biimde arttn syleriz.

Demin de grdmz gibi srekli ikiye katlanan bir sayksa bir zamanda ok byk bir say haline gelir. stel art-a deimez oranda art ad da verilir. Paranz %5lik birsabit art oranyla bankaya yatrrsanz (vergiler ve enflas-yonu hesaba katmazsak) paranz yaklak olarak 14 yl iin-de iki katma kar. Bu tr bir art olduka doaldr ve gn-lk yaamda rneklerine olduka sk rastlanr ama hibirzaman ok uzun srmez.

Bir kurunkalemi sivri ucunun zerinde dengede durdur-maya alrsak ne olacan anlamak iin stel arttan ya-rarlanabiliriz. Bu ii herhangi bir hileye bavurmadan vap


44/190

38Balang Durumuna Hassas Ballk

mak olanakszdr, nk kalemi hibir zaman tam dengedetutamazsnz ve denge noktasndan en ufak bir sapma kale-min u ya da bu yana dmesiyle sonulanr. Eer kalemindmesini klasik mekanik yasalarna uygun olarak incelersek(ki bunu yapmayacaz) kalemin dme hznn yaklak ola-

rak ve en azndan balangta stel biimde arttn bulu-ruz. Yani kalemin d srasnda denge noktasndan sapmahz belli bir sre iinde iki katma, yine ayn srenin geme-siyle tekrar iki katma ve tekrar ve tekrar iki katma kar vesonunda kalem masann zerinde yatay bir konumda kalr.

Bu deney balang durumuna hassas ballabir rnek

oluturmaktadr. Bu matematik deyimini yle aklayabili-riz: Sfr noktasnda (kalemin balangtaki konumu ya dahz) sistemin durumunda meydana gelen ok kk bir de-iiklik kendisinden sonra gelen ve zamanla stel biimdebyyen bir deiiklie yol aar. ok kk bir neden (kale-min milimetrik bir oranda saa ya da sola eilmesi) ok b-yk bir etki yaratr. Bu durumun (kk nedenin byk et-ki yapmas) olumas iin sfr noktasnda olaand koul-larn (rnein sivri ucu stnde durdurulmaya allan birkalemin kolay bozulabilir dengesi gibi) bulunmas gerektii-ni dnebilirsiniz, ama aslnda bunun tam tersi dorudur;keyfi balang koulundaki pek ok fiziksel sistem balangdurumuna hassas ballk gstermektedir. Bunun sezgiye

aykr bir yan olduundan matematikilerin ve fizikilerinolup biteni anlamalar zaman almtr.

imdi bu konuya ilikin bir baka rnee topun nndeyuvarlak ya da dbkey engellerin bulunduu bir bilardooyununa geiyorum. Fizikilerin her zaman yapt gibi sis-temi bir lde amacmza uyacak biimde deitireceiz

dnerek yuvarlanmalar grmezden gelecek, s r t n m e )

hesaba katmayacak ve arpmalarn esnekolduunu varsayacaz. Bilardo topunun merkezinin bir arpma olma srece dz bir izgi izleyen ve dzgn olan hareketi ile leniyoruz. Top bir engelle arpt zaman ise bunun }reItopun merkezinin daha byk (topun tam yarap den


45/190

39

ha byk ekil 1) bir engel tarafndan geri gnderildiinidneceiz. Bilardo topunun merkezinin izledii yolun birengel tarafndan kesilip topun geri dnmesi, bir k huzme-sinin bir ayna tarafndan yanstlmas ile ayn zellikleri ta-r (esnek arpma deyimi de bunu anlatmaktadr). Bu ben-

zerlii kurduktan sonra bilardo sorununa ilikin olarak ba-lang durumundaki deiiklikler konusunu tartmaya ha-zrz.

ekil l de de grld gibi ayn bilardo masas zerindebirigerek dieri hayali iki topun bulunduunu varsayalm.

ekil 1. zerinde dbkey engeller bulunan bir bilardo masas. Topun hareketi sol altkeden balamakta olup topun merkezinin izledii yol dz bir izgi ile gsterilmitir,kinci (sanal) bir top ilkinden ok az farkl bir ynde harekete balar (krk izgi). Birta arpmadan sonra iki topun izledii yollarn birbiriyle ilgisi kalmaz.

kisine birden ayn anda vuruyoruz ve bylece toplar aynhzla ama biraz'farkl ynlerde yuvarlanmaya balyor. Budurumda iki topun izledii yollar belli bir a oluturuyor biz buna alfaas diyelim ve iki top arasndaki uzaklk za


46/190

40 Balang Durumuna Hassas Ballk

manla orantl olarak artyor. Buradaki zamanla orantl ar-tn daha nce deindiimiz stel artla ayn ey olmad-na dikkatinizi ekerim. Eer gerek ve hayali toplarmznmerkezleri bir saniyelik bir sre sonunda birbirine bir mik-ronluk (milimetrenin binde biri) bir uzaklkta bulunuyorsayirmi saniye sonra bu uzaklk yirmi mikrona erimi olacak-

tr (ki bu da hl ok kk bir uzaklktr).Biraz dnrsek topun bilardo masasnn dz kenarn-

dan geri dn hareketinin durumu deitirmeyeceini g-rrz: Geri dn yapan toplarn izledii yollar balangta-ki alfa asnn aynn oluturacak ve gerek ile hayali topla-rmzn arasndaki uzaklk yine zamanla orantl biimde ar-

tacaktr. Dz kenara arpan topun geri dn k huzme-sinin aynadan yansmas ile ayn yasalara uyar: aynanny-zeyi dz olduu srece daha ilgin bir durumun ortaya k-mas beklenemez.

Dier yandan bilardo masasnn zerinde yuvarlak engel-ler bulunduunu ve bunlarn dbkey aynalarla ayn ileviyaptm biliyoruz. Dbkey bir aynada kendinize baktysa-

nz grntnzn dz yzeyli bir aynadakinden farkl oldu-unu grmsnzdr. Bu olayn aklamas optik dersindeyaplr ve temelde yledir: nce bir k huzmesini belli birada (rnein alfa) dbkey bir aynaya gnderirseniz ayna-dan yansyan k huzmesinin bundan farkl (daha byk)bir as olur (buna da alfa bir diyebiliriz). Olay basitletir-

mek iin alfa bir asnn alfa asnn iki kat olduunu var-sayalm (geri bu ilerde de greceimiz gibi olay fazlasylabasitletirmektir).

imdi stnde biri gerek, dieri hayali iki topun ve yu-varlak engellerin bulunduu bilardo masamza geri dnyo-ruz. Balangta iki topun izledii yollarn alfa asn olu-turduunu ve toplarn bilardo masasnn dz kenarna ar-

pp geri dnmesi durumunda da bu ann deimediini be-lirtmitik. Buna karlk toplar yuvarlak engellerden birinearpt zaman izledikleri yollar birbirinden uzaklar vebataki alfa asnn iki kat byklkte olan alfa bir asm1


47/190

41

oluturur. kinci kez yuvarlak bir engele arpmalar duru-munda toplarn izledii yollar 4 alfa byklnde bir aoluturur. Bu tr 10 arpmadan sonra oluan a balan-gtaki ann 1024 kat byklkte olur ve bu byle srer.Her saniyede bir arpma olmas durumunda gerek ve ha-yali toplarmzn izledikleri yollar arasndaki ann zaman-

la stel biimde byd grlebilir. Aslnda, kk olma-ya devam ettii srece toplar arasndaki uzakln da aynbiimde arttn matematiksel yoldan kolayca kantlayabili-riz11: Burada balang durumuna hassas ballk sz konu-sudur.

imdi de, gerek ve hayali toplarmzn merkezleri arasn-

daki uzakln her saniyede bir iki katma ktn varsaya-lm. Bu durumda balangtaki bir mikronluk uzaklk on sa-niye sonra 1024 mikrona (yaklak olarak bir milimetre) k-m olur. Bylece bu uzaklk 20 saniye sonra bir metreyi, 30saniye sonra ise bir kilometreyi gemi olacaktr, ama doalolarak bilardo masamz bu denli byk olmad iin ortadabir mantkszlk var demektir. Bu mantkszl yaratan eyise, toplarn yuvarlak bir engele arptktan sonra izledikleriyollarn oluturduu ann iki katma kt ama hl k-k kald yolunda yukarda dtmz fazlasyla basiteindirgeme yanlgsdr. ki topun izledii yollar birbirine ya-kn olduu srece bu varsaym az ok doru saylabilirsede daha sonra yanla dnr: gerek topun izledii yol

bir engele arpacak, buna karlk hayali topun izledii yolengelin ok uzandan geecektir (ya da bunun tersi).

imdi de bir bilardo topunun zerinde yuvarlak engellerbulunan bir masa zerindeki hareketi ile ilgili olarak ren-diklerimizi zetleyelim. Gerek topun hareketi ile ondanok az farkl bir balang durumunda olan hayali topunhareketini ayn anda gzlemlersek iki hareketin genelliklebir sre iin stel artla birbirinden ayrldn grrz.Daha sonra toplarn biri bir engele arparken dieri bu en-gelin uzandan geecek ve o andan balayarak ikihareketin birbiri ile hi bir ilgisi kalmayacaktr. Doruyu


48/190

42 Balang Durumuna Hassas Ballk

sylemek gerekirse, hayali top iin olaand balangkoullar sz konusu olabilir ve bu durumda iki topunhareketi birbirinden stel artla ayrlmaz; rnein, hayalitop ayn yol zerinde ama bir milimetre geriden gerek topuizleyebilir. Yine de byle bir durumun sklkla grl-

meyeceini ve normalde iki topun izledii yollarn birbirin-den yukarda anlatld gibi uzaklaacan belirtelim.Bu konuyu kapatmadan nce yukarda bilardo toplar

konusunu sadece olay anlamanz amalayan bir biimdeele almakla yetinip kantlama yoluna gitmediimi vur-gulamak istiyorum. unu da syleyeyim ki, yuvarlak engel-ler ve bilardo toplar konusunda ayn yntemi izleyerek sonderece karmak bir matematiksel analiz de yaplabilir. lkolarak Rus matematiki Yakov G. Sinai'21tarafndan gerek-letirilmi olan bu analizin yaplmas son derece gtr.Balang durumuna hassas ballk gsteren sistemlerinmatematiksel analizleri genelde kolay deildir ve belki debu nedenle fizikilerin bu tr sistemlerle ilgilenmeye ba-

lamalar olduka yeni bir gelimedir.


49/190

VIII. BLM

Hadamard, Duhem ve Poincare

Rastlant ve Kaos43

Bundan nceki blmde sizi zerinde yuvarlak engellerbulunan bir bilardo masasnda garip bir takm ilerin dn-dne inandrm olmay umuyorum. imdi de diyelim kibalang durumunda ufak bir deiiklik yaptm ve gerek

topun konumu ve ynn biraz farkl hayali bir konum veyn ile deitirdim. Bu durumda gerek ve hayali topla-rn izledii ve balangta birbirine ok yakn olan yollararasndaki uzaklk sz konusu yollar artk birbirleri ile ilgi-lerinin kalmad noktaya ulancaya dek, giderek daha hz-l biimde artacaktr. Bunun balang durumuna hassasballk adn verdiimiz kouldan kaynaklandn biliyo-

ruz. Kavramsal ynden bu ok nemli bir bulutur. Bilardotopumuzun hareketi amaz bir biimde balang durumutarafndan belirlenmekte, ama izleyecei yolu nceden tah-min edebilme olanamz temelde kstlanmaktadr. Bakabir deyile, determinizm hl vardr ama imdi bir de uzundnemde nceden kestirilmezlik esi ortaya kmtr. Bu-nun nedeni balang durumuna ilikin bilgimizin kesinlii-

nin azalm olmas ve gerek balang durumu ile ona okyakn olan ok saydaki hayali balang durumlarn bir-birinden ayrt edemeyiimizdir. Dolaysyla yapabileceimizkestirimlerin hangilerinin doru olduunu bilmiyoruz. Dieryandan, bir bilardo topunun hareketini bile nceden kestiremiyorsak, gezegenlerin hareketlerini, hava deiimlerini,imparatorluklarn geleceini nasl bilebiliriz? Bu ilgin soru-

yu saydklarmzn her biri iin farkl biimde yantlayabili-riz. Gezegenlerin hareketlerine ilikin tahminler yzyllarkapsar, hava koullarndaki deimeler ise enok bir ya da


50/190

44Hadamard,Duhem ve Poincare

iki hafta nceden kestirilebilir. mparatorluklarn yazgs yada insanln geleceine ilikin kestirimlerde bulunmak isedoal olarak ok daha gtr ama burada da nceden bilin-mezlik temeline dayal baz sonulara varlmas olasdr. Bugibi sorularn yantlarnn ok da uzak olmadnn ayrdnavaran bilim adamlarnn ne denli heyecan duyduunu d-

nebiliyor musunuz?Buna karn bu yolda yine de admlarmz dikkatle atmal-

yz. Eer bir bilimadamnn eletirel zekasna sahipseniz be-nim insann geleceine iliin kehanetlere kalkmadan ncebilardo toplar konusunda u ana kadar deinmediim baznoktalar akla kavuturmam istersiniz.

rnein, bilardo topunun hareketini incelerken srtnmeesini hesaba katmadk. Bu e gzard edilebilir mi? Fizik-te bu tr sorularla srekli karlarz: Belli lde bir ama-ca uydurma ya izin verilebilir mi? Bilardo rneinde srtn-me esi topun eninde sonunda durmasn salar, ama bu du-ru hareketin nceden kestirilebilirliinin yok olmasndan

ok sonra gerekleirse srtnmenin varln gzard etmekgibi bir amaca uydurma iimize yarayacaktr.imdi daha g bir soruyla kar karyayz: balang du-

rumuna hassas ballk ne denli yaygndr? Biz imdiye deksadece dbkey engellerin bulunduu bir bilardo oyununu yani zel bir sistemi inceledik ve balang durumundakiok kk bir deiikliin uzun dnemde bilinmezlie yol aa-

cam saptadk. Bu tm sistemler iin geerli midir yoksa bi-lardo konusu ayrcalkl bir rnek midir? Burada sistem de-yimiyle ya srtnme esinin bulunmad mekanik sistemle-ri ya da srtnmenin neden olduu enerji yitimini karlaya-cak bir enerji kaynana sahip olan (daha genel bir anlatmlaelektriksel ya da kimyasal blmleri bulunan) sistemleri an-

latmak istiyorum. nemli olan sistemde kesin biimde tank-lanm determinist bir zamansal evrimin bulunmasdr,durumda matematikiler dinamik bir sistemin varl11 asz ederler. Bir yldzn evresinde dnen gezegenler dinambir sistemi olutururlar, ki bu durumda srtnmenin bu 1,1


51/190

45

madii mekanik bir sistem sz konusudur. Bir pervaneninkartrd bir sv da dinamik bir sistemdir ama burada sr-tnme esinin varl sz konusudur. Eer insanlk tarihinideterminist yoldan ve zaman iinde deiimi ierecek biimdeamacmza uygun olarak tanmlayabilirsek bu da dinamiksistemlere bir rnek olabilir.

imdi yukardaki sorumuza geri dnelim: Balang duru-

muna hassas ballk, dinamik sistemler ynnden ele alnd-nda genel bir kural m, yoksa az grlen zel bir durum mu-dur? Uzun dnemde kestirilebilirlik bu sistemlerin ortak zel-lii midir? Bu konuda eitli olaslklar sz konusudur. Bazkoullarda balang durumuna hassas ballktan sz ede-meyiz (rnein srtnmenin sz konusu olduu bir salnnm

zamanla duraca kesinlikle nceden bilinen bir olaydr). Di-er baz olaylarda ise balang durumuna hassas ballktm balang durumlar iin geerlidir (bilardo oyunumuzdaolduu gibi ayrca bunun ok zel bir rnek oluturmadkonusunda szme gvenmek zorundasnz). Ve son olarakda, birok dinamik sistemde baz balang durumlar iinuzun dnemde kestirilebilirlik sz konusuyken dierleri iin

deildir.Bir bakma tm bu olaslklarn varl dkrkl yarata-

bilir ama eer hangi sistemlerin balang durumuna hassasballk gsterdiklerini ve bu sistemlerin gelecekteki durumu-na ilikin kestirimlerimizin ne denli uzun sreler iin geerliolduklarn saptayabilirsek ok yararl bilgiler edinmi oluruz.

Bu noktada balang durumuna hassas ballk konusu-nu bir de tarih ynnden ele alalm. Kk olaylarn byketkileri olabildiini ve bu nedenle gelecein nceden kesti-rilmesine olanak bulunmadn insanlar binlerce yl ncerenmilerdir. Buna karlk olduka yeni bir tarihte fark-na vardmz dier bir gerek de udur: Baz sistemlereilikin olarak balang durumundaki kk deiimler o

denli birbirinden farkl kestirimlere yol amaktadr ki birsre sonra kestirimlerin bir anlam kalmaz. Bu gr ondokuzuncu yzyln sonlarnda Fransz matematiki Jacques


52/190


Hadamard'1*tarafndan kantlanmtr (Hadamard o tarih-lerde otuz yalarndayd, daha sonra ok uzun bir sre yaa-d ve 1963te ld).

Hadamard'n inceledii sistem, dz yzeyli bir masa ye-rine negatif eimli bir yzey zerinde oynanan deiik bir

tr bilardoydu. Bu deney, yzey zerindeki bir noktannsrtnmesiz hareketinin incelenmesine dayanmaktadr.Daha teknik bir anlatmla, Hadamardn bilardosu negatifeimli bir yzey zerindeki birjeodezik ak'la balantl-dr. Sz konusu ak matematiksel olarak mmkndr12' veHadamard bu yoldan balang durumuna hassas ball

bir teorem iinde kantlamtr (Hadamardn kant dahasonralar 1970lerde dbkey engelli bilardoya ilikin ola-rak Sinai tarafndan ortaya konan kanta kyasla ok dahakolaydr.

Fransz fiziki Pierre Duhem, Hadamardn vard sonucundnsel ynden tad anlamn farkna varan ilk bilimadamlarndan biridir (siyasal konularda tutuculuu ile tan-nan Duhem buna karlk bilimin ok eitli alanlarnda yaa-d an ok ilerisinde grlere sahipti). Duhemin 1906dayaynlanan bir kitabndaki blm balklarndan biri yledir:Kullanlmas sonsuza dek olanaksz bir matematiksel tm-dengelim rnei'3. Yazarn aklamasna gre sz konusu tm-dengelim Hadamardn bilardo masas zerinde bir topun izle-

dii yoldur. Kullanlmas olanaksz nitelemesi ise uradangelmektedir: Balang durumunda zorunlu olarak bulunankk bir belirsizlik eer yeterince beklenirse topun izleyeceikestirilen yolda ok daha byk bir belirsizlie yol aar; doalolarak bu durum yaplan kestirimi geersiz klmaktadr.

Ayn yllarda bilimsel konularda felsefe trnde eser l ervermi olan dier bir Fransz bilim adam da nl m a t e m a t i k 'i Henri Poincaredir. 1908de yaynlanan Science et Methodcbalkl nl eserinde'4 Poincare, nceden bilinmezlik konusu*nu herkesin anlayabilecei bir dille ele almtr. Dierdan yazar bu kitapta Hadamarda ya da Hadamardn mat*matiine hi deinmemektedir (ama unutmayalm ki dim,n11


53/190

47

sistemler teorisinin yaratcs olan Poincare bu konuda her-kesten ok bilgiye sahipti). Poincarenin ileri srd nemlibir gr, rastlant ve determinizmin uzun dnemde bilin-mezlikte bulutuklar idi. Poincare bunu ksaca ve ok akolarak yle anlatmtr: Gzmzden kaan ok kk birneden, grmezden gelemeyeceimiz denli byk bir etkiye yolaar ve biz bu etkinin rastlantsal olduunu syleriz.

Poincare olaslklarn fiziksel dnyann tanmlanmasndane denli ie yaradklarn ve rastlantnn gnlk yaamn ay-rlmaz bir parasn oluturduunu biliyordu. O gnlerde ku-antum belirsizlik henz bilinmedii iin klasik determinizmebal kalan Poincare bu nedenle rastlantnn nasl ie kart-n anlamaya abalyordu. Bu konuda uzun bir sre kafa

yorduktan sonra eitli yantlar buldu. Poincare, dnya konu-suna ilikin klasik determinizm grne dayanan tanmla-rn doal olarak bizi eitli yollardan olaslklara gtreceinianlamt. Bu yollardan biri de balang durumuna hassasballktan gemektedir'5'.

Poincare kitabnda balang durumuna hassas ballk ko-

nusuna iki rnek vermektedir. Bunlardan biri, byk bir hz-la drt bir yana uuan ve srekli olarak birbirleriyle arp-an ok saydaki molekllerden oluan bir gazdr. Yazara g-re bu arpmalar balang durumuna hassas ballk yarat-maktadr (Bu rnek, dbkey engellere arpan bilardo topurnei ile ayn trdendir). Gaz molekllerinin arpmalarn-daki nceden bilinmezlik olaslklara dayanan bir tanm hak-

l karmaktadr.Poincarenin ikinci rnei meteoroloji ile ilgilidir. Burada

yazar hava tahminlerinin gvenilir olmayn, balang du-rumuna hassas balln yansra balang durumuna ili-kin bilgimizin bir oranda yetersiz oluuna da balamakta vebunun sonucunda hava deiikliklerinin rastlantyla olutu-

u gibi bir izlenimin ortaya ktn ileri srmektedir.Gnmz uzmanlar iin Poincarenin analizinin en arpc

yan ne denli ada olduudur. Sert kiireciklerden oluangazlar ile atmosferik dolam konulan son yllarda Poin


54/190


carenin grne dayanan aratrmalara konu olmutur.in dier bir ilgin yan da Poincareden gnmz fizik-

ilerinin hassas ballk konusundaki aratrmalarna dekgeen srenin uzunluudur. Hadamard, Duhem ve Poin-carenin analizlerinden uzun bir sre sonra bu konudakigrler bu kez kaos teorisi ad altnda bir kez daha ortayaatlmsa da bu bilimadammn bulular yeni teoride yer al-mamtr. Poincarenin matematii (ya da bunun yeni biimi)bu gn de kullanlmakla birlikte hava tahminleri konusundavard sonular farkl bir yoldan elde edilmektedir.

Fizik tarihinde grlen bu ilgin boluun iki nedeni ol-duunu sanyorum. Bunlarn ilki kuantum mekaniinin ortaya

kdr. Bu teori fizik alannda bir tr devrim yaratm vebulunuundan bu yana geen yllar boyunca fizikilerin tmalmalarn bu konu zerinde younlatrmalarna neden ol-mutur. Kuantum mekaniinin rastlant ve geliigzellie yeni ve daha doal bir tanm getirmi bulunduu gnmzde klasikmekanik yasalarn izleyerek rastlanty balang durumuna

hassas ballkla aklamak iin neden aba harcayalm ki?ada kaos teorisinin Duhem ve Poincarenin at yoldailerlemek yerine neden bu bilimadamlarnn grlerini fiziktarihinin karanlklarna gmd konusuna ilikin ikinci biraklamam daha var: Kanmca bu grler zamanndan nce or-taya atlmlard ve bu nedenle onlar kullanmak iin gerekliolan aralar henz ortada yoktu. rnein Poincare lmteorisinden ya da ergodik teoremden yararlanma olananasahip olmad iin rastlant konusundaki parlak bulularn okkesin biimde ortaya koyamamt. Bugn bir bilim adam Poin-carenin yazdklarn okuduu zaman bilinaltnda bu yaz lar -daki grleri yorumlamasn salayan ok geni bir k a v r a m l a rsistemi bulunmaktadr ama Poincarenin kendisi bu k a v r a m l a r -

dan yoksundu. Dier bir etken de, bugn bizim matematiiyetersiz kald yerde bilgisayardan yararlanma olanana sahipoluumuzdur. ada kaos teorisinin bulunmasnda ok nem 1bir rol oynam olan bu ara yirminci yzyln b a l a r n d ayazk ki daha ortalarda yoktu.


55/190

Rastlant ve Kaos 49

IX. BLM

Trblans

Documents

David Ruelle RaslantKaosi Ve